# Coordonnées canoniques

En mathématiques et en mécanique classique, les coordonnées canoniques sont des ensembles de coordonnées sur l'espace des phases qui peuvent être utilisées pour décrire un système physique à un moment donné dans le temps. Les coordonnées canoniques sont utilisées dans la formulation hamiltonienne de la mécanique classique. Un concept étroitement lié apparaît également en mécanique quantique ; voir le théorème de Stone-von Neumann et les relations de commutation canoniques pour plus de détails.
Comme la mécanique hamiltonienne est généralisée par la géométrie symplectique et que les transformations canoniques sont généralisées par les transformations de contact, la définition du XIXe siècle des coordonnées canoniques en mécanique classique peut être généralisée à une définition plus abstraite du XXe siècle des coordonnées sur le faisceau cotangent d'une variété (la notion mathématique d'espace des phases).

## Définition en mécanique classique

En mécanique classique, les coordonnées canoniques sont des coordonnées $q^{i}$ et $p_{i}$ dans l'espace des phases qui sont utilisés dans le formalisme hamiltonien. Les coordonnées canoniques satisfont aux relations fondamentales entre crochets de Poisson :
    $\left\{q^{i},q^{j}\right\}=0\qquad \left\{p_{i},p_{j}\right\}=0\qquad \left\{q^{i},p_{j}\right\}=\delta _{ij}$
Un exemple typique de coordonnées canoniques est pour $q^{i}$ être les coordonnées cartésiennes habituelles, et $p_{i}$ être les composants de l'élan. D'où en général le fait que les coordonnées $p_{i}$sont appelées «moments conjugués».
Les coordonnées canoniques peuvent être obtenues à partir des coordonnées généralisées du formalisme Lagrangien par une transformation de Legendre, ou d'un autre ensemble de coordonnées canoniques par une transformation canonique.

## Définition sur les faisceaux cotangents

Les coordonnées canoniques sont définies comme un ensemble spécial de coordonnées sur le fibré cotangent d'une variété . Ils sont généralement écrits comme un ensemble de $\left(q^{i},p_{j}\right)$ ou $\left(x^{i},p_{j}\right)$ avec les x ou les q désignant les coordonnées sur la variété sous-jacente et les p désignant le moment conjugué, qui sont des formes 1 dans le fibré cotangent au point q dans la variété.
Une définition commune des coordonnées canoniques est tout ensemble de coordonnées sur le faisceau cotangent qui permet à la forme canonique d'être écrite sous la forme
    $\sum _{i}p_{i}\,\mathrm {d} q^{i}$
qui est une différentielle totale. Un changement de coordonnées qui préserve cette forme est une transformation canonique ; c'est un cas particulier de symplectomorphisme, qui est essentiellement un changement de coordonnées sur une variété symplectique.
Dans l'exposition suivante, nous supposons que les variétés sont des variétés réelles, de sorte que les vecteurs cotangents agissant sur des vecteurs tangents produisent des nombres réels.

## Développement formel

Étant donné une variété Q, un champ vectoriel X sur Q (une section du fibré tangent TQ ) peut être pensé comme une fonction agissant sur le fibré cotangent, par la dualité entre les espaces tangent et cotangent. Autrement dit, définir une fonction
    $P_{X}:T^{*}Q\to \mathbb {R}$
tel que
    $P_{X}(q,p)=p(X_{q})$
est valable pour tous les vecteurs cotangents p dans $T_{q}^{*}Q$ . Ici, $X_{q}$ est un vecteur dans $T_{q}Q$, l'espace tangent à la variété Q au point q . La fonction $P_{X}$ est appelée la fonction momentum correspondant à X
En coordonnées locales, le champ vectoriel X au point q peut s'écrire
    $X_{q}=\sum _{i}X^{i}(q){\frac {\partial }{\partial q^{i}}}$
où les $\partial /\partial q^{i}$ sont le cadre de coordonnées sur TQ . Le momentum conjugué a alors l'expression
    $P_{X}(q,p)=\sum _{i}X^{i}(q)\;p_{i}$
où les $p_{i}$ sont définis comme les fonctions de momentum correspondant aux vecteurs $\partial /\partial q^{i}$ :
    $p_{i}=P_{\partial /\partial q^{i}}$
Les $q^{i}$ avec les $p_{j}$ forment ensemble un système de coordonnées sur le faisceau cotangent $T^{*}Q$ ; ces coordonnées sont appelées les coordonnées canoniques.

## Coordonnées généralisées

En mécanique lagrangienne, un ensemble différent de coordonnées est utilisé, appelé coordonnées généralisées. Celles-ci sont communément désignées par $\left(q^{i},{\dot {q}}^{i}\right)$ avec $q^{i}$ appelé la position généralisée et ${\dot {q}}^{i}$ la vitesse généralisée. Lorsqu'un hamiltonien est défini sur le fibré cotangent, les coordonnées généralisées sont liées aux coordonnées canoniques au moyen des équations d'Hamilton – Jacobi.