# Figure de la Terre et méridienne de Delambre et Méchain

L'histoire du mètre et du système métrique actuellement utilisés dans tous les échanges scientifiques internationaux, de même d'ailleurs que l'histoire de la détermination de la masse de la Terre, constitue en quelque sorte une histoire dans l'histoire générale de la géodésie et de la détermination de la figure de la Terre. L'introduction du mètre et du système métrique fut assurément la conséquence des difficultés que connurent les géodésiens du XVIIIe siècle à disposer en chaque lieu d'un étalon de longueur suffisamment précis et fiable, et facilement reproductible en principe. Le mètre et le système métrique décimal sont sans doute, avec la Déclaration des droits de l'homme, un des plus importants héritages légués par la Révolution française à la postérité. Il est impossible de raconter en détail dans cet article, et dans un autre article qui en constitue la suite, l'histoire politico-économico-scientifique passionnante qui se cache derrière le système métrique.

## Mètre et système métrique décimal : enfants de la Révolution française

On sait que les lois de la Nature ne dépendent pas du choix des unités de mesure. Par exemple, l'attraction gravifique diminuera toujours comme l'inverse du carré de la distance, peu importe si l'on exprime la distance en toises ou en mètres. Elle sera toujours proportionnelle au produit des masses des deux corps qui s'attirent, que l'on exprime ces masses en onces ou en kilogrammes. À la rigueur, on pourrait même exprimer l'une des masses en onces, l'autre en grammes, par exemple. Ce qui va changer avec les unités choisies, ce ne sont donc pas les relations entre grandeurs physiques mais seulement les valeurs numériques des constantes qui interviennent dans ces relations. Dans l'exemple considéré, c'est la valeur numérique de la constante d'attraction qui variera selon le système d'unités adopté. De prime abord, on ne peut donc pas dire qu'un système d'unités est meilleur qu'un autre. C'est le fait qu'il s'est avéré pratique à l'usage et surtout le fait qu'il a fini par être accepté par la plupart des nations civilisées qui donnent sa supériorité au système métrique. Certains États ont longtemps été réticents à accepter ce système de mesures, pour des raisons de prestige national ou tout simplement pour des raisons d'hostilité à la France. Pourtant, dès le départ il avait été conçu dans l'idée d'un système supranational, qui n'appartienne à aucune nation particulière mais à l'ensemble de l'humanité, en accord avec les idées généreuses prévalant sous la France révolutionnaire. C'est la raison pour laquelle le mètre fut initialement défini non comme une quelconque longueur matérialisée à un endroit particulier dans un pays particulier, mais comme la dix millionième partie d'un quart de méridien terrestre. En principe, tout le monde y avait accès, mais le mètre n'appartenait à personne en particulier.
Aux environs de 1770 les travaux de triangulation nécessités par la méridienne de France étaient terminés, si l'on excepte certains opérateurs de Cassini qui poursuivaient le canevas géodésique de la carte de France, dont le premier ordre fut publié dans son ensemble en 1783. La comparaison des toises utilisées au Nord (Laponie), au Pérou, au Cap et en France avait montré que toutes ces toises étaient égales, dans des marges d'erreur de quelques centièmes de ligne. La toise du Pérou fut adoptée comme étalon et devint la toise de l'Académie. C'est à cette toise qu'on devait rapporter les mesures ultérieures. Malheureusement, ceci ne résolvait pas la question de l'unification des mesures, qui dans tout le Royaume de France (sans parler des autres nations) conservaient farouchement leur indépendance anarchique, malgré plusieurs tentatives d'unification. Cette situation, qui s'avéra grave dans ses conséquences à diverses reprises, ne pouvait plus s'éterniser, mais les choses ne changèrent effectivement que lorsque l'Assemblée Constituante nomma en 1790 (donc un an après le début de la Révolution), sur proposition de Charles-Maurice Talleyrand (1754–1838), une commission composée de Jean-Charles Borda (1733–1799), du comte Joseph-Louis de Lagrange (1736–1813), du marquis Pierre-Simon de Laplace (1749–1827), de Gaspard Monge (1746–1818) et de Marie-Jean-Antoine Caritat, marquis de Condorcet (1743–1794). Celle-ci présentait un rapport le 19 mars 1791 dans lequel elle proposait un double choix pour unifier les mesures de longueur : l'unité serait soit un pendule battant la seconde à la latitude de 45° au niveau de la mer, soit la dix millionième partie du quart du méridien terrestre. Le 26 mars 1791, la Constituante adopta ce rapport et le Roi Louis XVI, représentant encore le pouvoir exécutif à ce moment, chargea l'Académie de la nomination des commissaires pour sa mise en œuvre. L'astronome Cassini IV, le mathématicien Legendre (ou Le Gendre) et l'astronome Méchain étaient chargés de mesurer la méridienne. Les deux premiers ne tardèrent pas à se retirer et furent remplacés par le jeune astronome Jean-Baptiste Delambre.

## Travaux théoriques préalables : trigonométrie sphéroïdique

Avant de décrire brièvement cette nouvelle méridienne de France, qu'on appelle aussi la « méridienne de Delambre et Méchain », il convient de rappeler que durant les vingt ou trente années qui précédèrent la Révolution française, la géodésie avait proposé à la sagacité de savants comme Euler, Monge, Laplace et d'autres un certain nombre de sujets d'étude : attraction des ellipsoïdes, théorie de l'équilibre des corps en rotation, théorie générale des surfaces. Les solutions apportées à ces problèmes théoriques allaient se révéler d'un grand intérêt pour traiter des applications géodésiques plus pratiques. Ainsi, Euler en 1760 puis Monge en 1771 définissaient les éléments fondamentaux de la géométrie des surfaces, branche qui allait devenir la géométrie différentielle : courbure, lignes tracées sur les surfaces, géodésiques, lignes de courbure. J. Meusnier énonce en 1776 un théorème qui jouera un rôle important en géométrie différentielle. En 1773, Pierre-Simon de Laplace, alors âgé de 24 ans, élève et protégé de D'Alembert, publia son premier mémoire de mécanique céleste. Celui-ci traite de la stabilité des grands axes des orbites planétaires.
En 1785 paraît à l'Académie un mémoire dans lequel Legendre introduit la notion de potentiel, que celui-ci assigne expressément à Laplace, et fonde la théorie des fonctions sphériques, outils mathématiques qui sont devenus indispensables à la géodésie théorique. En cette même année 1785 paraît aussi un mémoire de Laplace intitulé Théorie des attractions des sphéroïdes et de la figure des planètes qui sera suivi en 1786 d'un Mémoire sur la figure de la Terre. Laplace y combine diverses mesures d'arc et obtient un aplatissement de 1/250 tandis que la méthode gravimétrique, exprimée dans le théorème de Clairaut, lui fournit seulement 1/321. Toujours en 1785, l'astronome Joseph de Lalande (1732–1807) avait obtenu par la même théorie de Clairaut un aplatissement de 1/302. Deux années plus tard, en 1787, Legendre publie son Mémoire sur les Opérations trigonométriques, dont les résultats dépendent de la figure de la Terre, où il énonce notamment, sans le démontrer, un théorème devenu célèbre et qui porte son nom. Ce mémoire étudie les formules nécessaires à la réduction et au calcul des triangles sur la surface d'un sphéroïde, et donne ainsi des bases solides à la trigonométrie sphéroïdique. Cette dernière constitue une généralisation de la trigonométrie sphérique, extension dont la nécessité s'était déjà fait sentir avec les travaux de méridienne de Jean Dominique et de Jacques Cassini, mais qui n'avait pas été traitée de manière entièrement satisfaisante dans les travaux théoriques de Clairaut datant de 1733 et 1739, d'Euler datant de 1744 et d'Achille Pierre Dionis du Séjour (1734–1794) datant de 1778. Les formules de Legendre sont appliquées aux triangles formés entre Dunkerque et Greenwich, lors de l'extension de la méridienne de Delambre et Méchain vers l'Angleterre.
On trouve une démonstration du « théorème de Legendre » et les formules pour résoudre un des problèmes inverses, dans le cas particulier où l'un des côtés du triangle sphéroïdal est très petit par rapport aux autres, dans un ouvrage de J.B. Delambre (1747–1822) paru en 1799 et intitulé Méthodes analytiques pour la détermination d'un arc du Méridien à Paris. Cet ouvrage contient au début (pp. 1–16) un petit article de Legendre dans lequel ce dernier expose la Méthode pour déterminer la longueur exacte du quart de Méridien. Toutefois, Legendre n'y démontre toujours pas le théorème qui porte son nom, mais laisse cette tâche (pour le cas particulier cité) à Delambre. En fait, il s'agit dans l'ouvrage en question du premier texte qui fournisse la théorie complète de la trigonométrie sphéroïdique appliquée au calcul de la ligne méridienne et de l'excentricité de l'ellipsoïde terrestre.
L'ouvrage de Delambre, dont le but essentiel est de résumer l'appareil mathématique utilisé entre 1793 et 1799 pour les calculs du nouveau mètre, donne explicitement, en la rendant opérationnelle, la théorie de l'arc indépendant de l'aplatissement terrestre. C'est un premier grand résultat que la nouvelle trigonométrie sphéroïdique offre à la géodésie, et qui aura son importance dans les travaux géodésiques ultérieurs pour fonder le système métrique.
Sous l'effet des opérations géodésiques qui allaient vite prendre de l'ampleur non seulement en France mais aussi dans les pays voisins, surtout à cause des succès militaires remportés par les armées révolutionnaires puis napoléoniennes, la trigonométrie sphéroïdique devenait une branche à part entière de la géodésie théorique, et se développait en une théorie mathématique autonome. Tout d'abord, c'est en 1806 que Legendre prouve pour la première fois son théorème en toute généralité, et insiste sur l'indépendance de son résultat par rapport à l'aplatissement du sphéroïde considéré, de la latitude du sommet du triangle étudié et des directions azimutales des côtés. L'œuvre dans laquelle Legendre a ainsi résolu le problème fondamental de la trigonométrie sphéroïdique porte le titre Analyse des triangles tracés sur la surface d'un sphéroïde. Ensuite, la même année 1806 voit paraître en Italie un ouvrage intitulé Elementi di trigonometria sferoidica dans lequel Barnabá Oriani (1752–1832), déjà connu par de beaux travaux géodésiques, complétait quelque peu la théorie de Legendre. Oriani détermine les trois équations fondamentales de la trigonométrie sphéroïdique, en les développant en série jusqu'à un ordre d'approximation arbitraire, et résout le problème inverse consistant à trouver la latitude d'un point sur un sphéroïde à partir de la latitude et de l'azimut d'un autre point de la ligne géodésique, en supposant connue la distance entre les deux points. En fait, cet ouvrage d'Oriani expose la solution complète des douze problèmes les plus importants de la trigonométrie sphéroïdique. Celle-ci a encore connu un peu plus tard quelques développements d'ordre pratique sous l'impulsion du Colonel Louis Puissant (1769–1843), mais pour l'essentiel on peut considérer qu'elle constituait une discipline déjà mûre à partir de 1806.

## Méridienne de Delambre et Méchain et progrès scientifiques à la même époque

Entretemps, alors que ces progrès s'accomplissaient en géodésie théorique, la géodésie d'observation ne restait pas inactive. Rappelons tout d'abord les expériences en 1775 de Nevil Maskelyne au Mont Schiehallion pour déterminer la masse de la Terre. D'autre part, même s'il ne s'agit pas d'une observation géodésique à proprement parler mais d'une découverte astronomique majeure, il convient de citer l'observation, le 13 mars 1781, de la nouvelle planète Uranus. Celle-ci fut faite par William Herschel à l'aide d'un télescope de sa propre fabrication. À l'époque, c'était sans doute le meilleur au monde. Herschel n'était pas au départ un astronome, mais un musicien épris d'optique et de culture scientifique. Comme son compatriote, le grand musicien G.F. Haendel, il était né dans le Hanovre et avait émigré en Angleterre à la suite du roi George III. On lui doit d'autres découvertes astronomiques importantes, notamment les systèmes d'étoiles doubles découverts en 1782, et le mouvement du système solaire vers l'apex situé dans la constellation d'Hercule. Plus tard, en 1802, W. Herschel remarquera encore que le spectre solaire s'étend vers des fréquences plus basses que les radiations de lumière rouge, découvrant ainsi le rayonnement infrarouge.
En 1783, Pilâtre de Rozier effectua une première ascension en ballon. En 1787, Jean-Charles Borda décrivit les perfectionnements qu'il convenait d'apporter aux instruments de géodésie et cette même année on commençait à procéder avec le nouveau cercle répétiteur de Borda aux prolongements de la méridienne de France. Tout d'abord, sur une proposition antérieure de Cassini de Thury, des opérations de liaison entre l'Observatoire de Paris et l'Observatoire royal de Greenwich dans la banlieue de Londres furent entreprises. Cette jonction fut menée de concert par le général britannique William Roy (1726–1790) pour l'Angleterre, par Cassini IV, Méchain et Legendre pour la France. La méridienne de La Caille, prolongée jusqu'à Calais, le cap Blanc-Nez et Mont Lambert près de Boulogne-sur-Mer permit la liaison avec la côte anglaise sur Douvres et Fairlight Down. Une chaîne de triangulation d'une vingtaine de triangles reliait du côté anglais ces sommets à Greenwich.
À la fin du mois de juin 1792, Delambre et Méchain et leurs opérateurs commencèrent l'exécution des travaux de mesure de méridien dont ils avaient été chargés par le décret de 1791 afin de déterminer exactement la longueur Q d'un quart de méridien, dans le but de fixer la valeur du mètre par la relation :
1 mètre = 10$^{–7}$ Q.
De 1792 à 1793, Delambre eut de nombreux démêlés avec des gardes nationaux locaux et ne put guère travailler efficacement. Méchain, quant à lui, était parti en Espagne. Jouissant de conditions climatiques et de visibilités exceptionnelles, il avait fait en deux mois des mesures en neuf stations et commencé les observations astronomiques nécessaires au fort de Montjuich, dans les environs de Barcelone. Il songeait en outre à relier les Îles Baléares à la chaine de triangulation du continent. Mais il fut victime d'un grave accident qui l'immobilisa pendant près d'un an. De plus, la guerre franco-espagnole déclarée le 7 mars 1793 le retint également. Il mit à profit cette détention pour recalculer la latitude de la ville catalane. Malheureusement pour lui, sa seconde mesure ne coïncidait pas avec la première. Il ne put par la suite jamais renouveler cette mesure et rentra en France dans un état de stress qui vira à la dépression.
Delambre a écrit dans une note qu’il avait choisi une des deux versions des données de Méchain mais qu’il n’en informerait pas le public, celui-ci n'ayant pas besoin de le savoir.
Il put enfin retourner en France pour participer aux derniers travaux de la méridienne Dunkerque-Perpignan et fut nommé au poste de directeur de l'Observatoire de Paris, alors placé sous la responsabilité du Bureau des longitudes. Mais le projet du prolongement de la méridienne de France jusqu'aux Baléares resta à l'ordre du jour, et Méchain s'y attaqua de nouveau à partir de 1803. Malheureusement, il ne put l'achever, car il mourut subitement de fièvre jaune à Castellón de la Plana le 20 septembre 1804. L'achèvement en fut confié, sur proposition de Laplace, à Jean-Baptiste Biot (1776–1862) et à François Arago (1786–1853). Les travaux recommencèrent en 1807 et s'achevèrent en 1808.
Entretemps, Lagrange avait publié en 1788 la première édition de sa Mécanique analytique, ouvrage entièrement novateur qui allait exercer une profonde influence sur l'évolution de la physique théorique et, bien sûr, de la mécanique et des disciplines tributaires. Toujours en 1788, Charles-Augustin de Coulomb (1736–1806) publie sa loi d'attraction électrostatique établie avec la balance de torsion qu'il avait inventée en 1784. L'invention de la pile électrique par Alessandro Volta date de 1800.
De 1801 à 1803, Jöns Svanberg (1771–1851) refait les mesures de Maupertuis et Clairaut en Laponie ; il aboutit à 57196 toises pour le degré de Laponie, contre les 57436 toises trouvées par Maupertuis. D'autre part, Legendre publie en 1805 sa Nouvelle méthode pour la détermination des orbites des comètes et dans l'appendice décrit sa nouvelle méthode des moindres carrés, qui joue un rôle essentiel dans la réduction des données géodésiques. Il existe un litige concernant la priorité de l'invention de cette méthode. En effet, Carl Friedrich Gauss (1777–1855) affirme de son côté avoir inventé et utilisé la méthode des moindres carrés vers 1795 ; il en publie l'essentiel dans son ouvrage Theoria motus corporum celestium in sectionibus conicis solem ambientium, qui paraît en 1809.

## La longueur du mètre et la figure de la Terre, contribution de la gravimétrie

En 1799, la longueur du mètre avait été calculée en extrapolant la longueur du quart de méridien à partir de la mesure de la méridienne de Delambre et Méchain en utilisant un aplatissement de la Terre de 1/334 obtenu en combinant les données de l’arc de Dunkerque à Barcelone et celui du Pérou$^,$. Pierre-Simon de Laplace avait également trouvé une valeur concordante de 1/336 pour l'aplatissement de la Terre en se basant sur seulement 15 mesures de la pesanteur$^,$.
Même avec les instruments disponibles lors de la mesure de la méridienne de Delambre et Méchain , l'erreur de 2 km dans le quadrant terrestre était exagérée. Legendre en comparant leurs résultats à ceux de leurs prédécesseurs soupçonne que les irrégularités de l'attraction gravitationnelle locale sur le fil à plomb jouent un rôle. En effet, alors que l'erreur due à la négligence des déviations de la verticale est responsable d'environ 95 % de l'erreur totale, l'erreur dans la mesure de la longueur du méridien représente moins de 2 % de l'erreur totale et l'erreur due à une hypothèse erronée sur la forme de la Terre contribue à environ 3 % de l'erreur totale. Si le travail minutieux de Méchain et Delambre était la seule source d'erreur, le mètre actuel ne serait trop long que de moins de 4 μm au lieu d'être trop court de 197 μm. L'essentiel de la différence est dû à la non-prise en compte des déviations de la verticale ; ce qui était hors de la portée de Delambre et Méchain car le champ de gravité de la Terre n’avait pas encore été étudié.
Le pendule réversible construit par les fils de Johann Georg Repsold, selon les indications de Bessel, favorise l’essor de l’étude du champ gravitationnel de la Terre. Dès 1864, le pendule réversible de Repsold-Bessel est utilisé en Suisse par Emile Plantamour. Ce dernier remplace Elie Ritter après son décès dans Commission géodésique suisse également composée lors de sa création par Guillaume Henri Dufour, Johann Rudolf Wolf, Hans Heinrich Denzler et Adolphe Hirsch.
Dans une de ses premières séances, au commencement de l'année 1862, la Commission géodésique suisse décide de comprendre la détermination de la pesanteur effectuée dans différents points de la Suisse, au nombre des opérations qui se rattachent à la mesure de l'arc de méridien traversant le centre de l'Europe, l'arc géodésique de Struve. L'appareil utilisé pour ces déterminations est le pendule à réversion dont l'idée première revient à Johann Gottlieb Friedrich von Bohnenberger et sur la construction duquel Friedrich Wilhelm Bessel donne des indications très précieuse dès 1826. L'exécution d'un pendule à réversion, construit selon les principes indiqués par Bessel, est confiée aux célèbres artistes de Hambourg, les frères Repsold, et comme il est convenu que les premières observations soient faites à Genève, l'instrument y est envoyé à l'automne 1864. Émile Plantamour réalise ses premières expériences avec cet appareil entre la fin de l'année 1864 et le début de l'année 1865. De tels pendules ont également été construits par les frères Repsold pour la Prusse, l'Autriche, l'Italie, l'Espagne, les États-Unis, la Russie et la France.
Toutefois, les résultats obtenus avec ces gravimètres ne peuvent être considérés que comme provisoires. En effet, ils ne prennent pas en compte les mouvements que les oscillations du pendule impriment à son plan de suspension. Les mouvements du plan de suspension constituent un facteur majeur d’erreur de mesure de la durée des oscillations et de la longueur du pendule. En effet, la détermination de la gravité par le pendule est soumise à deux types d’erreur systématique, la résistance de l’air et les mouvements que les oscillations du pendule impriment à son plan de suspension. Ces mouvements sont particulièrement amples avec le pendule de Repsold, car il a une importante masse, afin de contrecarrer l’effet de la viscosité de l’air. Alors que Émile Plantamour procède à une série d’expériences avec cet appareil, Adolphe Hirsch trouve le moyen de mettre en évidence les mouvements du plan de suspension du pendule par un ingénieux procédé d’amplification optique. Isaac-Charles Élisée Cellérier (8.01.1818 – 2.10.1889), un mathématicien genevois, et Charles Sanders Peirce mettent indépendamment au point une formule de correction qui permettra d’utiliser les observations faites avec ces gravimètres$^,$.
En 1875, la Commission permanente de l’Association pour la mesure des degrés en Europe réunie à Paris décide d’adopter le pendule réversible utilisé en Suisse et de répéter à Berlin, la détermination de la gravité au moyen des différents appareils utilisés dans chaque pays, afin de les comparer et d’obtenir l’équation de leurs échelles. Comme la figure de la Terre peut être déduite des variations de la longueur du pendule, la direction de l’United States Coast Survey donne dès 1875 à Charles Sanders Peirce l’instruction de se rendre en Europe, afin d’étudier les gravimètres utilisés dans les différents pays européens et de réviser les anciennes déterminations de la pesanteur de façon à les mettre en relation avec celles effectuées en Amérique.
Lors de l'exposition universelle de 1889, parmi les nombreux instruments géodésiques présentés par la maison Brunner Frères, la plupart réalisés pour le Bureau des longitudes, on peut admirer un pendule réversible conçu par Gilbert Étienne Defforges sur le modèle du pendule réversible construit par les frères Repsold pour Émile Plantamour. En 1892, Gilbert Étienne Defforges mesure au Bureau international des poids et mesures, au moyen d'un pendule réversible construit par la maison Brunner frères, la valeur de l'intensité de la pesanteur terrestre qui servira à définir l'accélération normale de la pesanteur terrestre lors de la 3ème Conférence générale des poids et mesures à Paris en 1901.
En 1901, Friedrich Robert Helmert trouve essentiellement par la gravimétrie, des paramètres de l'ellipsoïde remarquablement proches de la réalité, soit un demi-grand axe égal à 6 378 200 m pour un aplatissement de la Terre de 1/298,3. Ceci alors que l'analyse des premiers résultats issus des mesures par satellites fixeront cette dernière valeur à 1/298,25.

## Prise en compte des erreurs dans le domaine de la géodésie

Au XIXe siècle, il est bien connu que la longueur du mètre est grevée d’une incertitude dans la détermination de la latitude de l’extrémité sud de la Méridienne de Delambre et Méchain$^,$. En mesurant la latitude de deux stations à Barcelone, au moyen du cercle répétiteur, Méchain avait découvert que la différence de leur latitude était plus grande que celle prédite par une mesure de la triangulation entre ces deux points. En effet, les jeux dans l'axe central du cercle répétiteur causent une usure, lors du changement de la position du cercle, qui nuit à la fiabilité des mesures et en conséquence les mesures zénithales comportent des erreurs systématiques non négligeables.
* Illustrations d'un roman de Jules Verne montrant les deux positions du cercle répétiteur
* Relevé de triangulation au cercle en position azimutale.
* Mesure de hauteur zénithale au cercle en position verticale.
De plus, Barcelone est située au sud des Pyrénées et au bord de la mer Méditerranée, situation qui génère une déviation de la verticale défavorable qui donne une amplitude trop grande de l’arc de méridien et un mètre trop court. Cette source d’erreur avait été identifiée par Jean Le Rond d’Alembert dès 1756, avant que Gauss n’ait proposé le concept de géoïde en 1828 et avant même la mesure de Delambre et Méchain.

### La méthode des moindres carrés et la longueur du mètre

Au XIXe siècle, les déviations de la verticale sont considérées comme des erreurs aléatoires. Nous savons à présent, qu’en plus d’autres erreurs dans la méridienne de Dunkerque à Barcelone, une déviation de la verticale défavorable donna une valeur erronée de la latitude de Barcelone et un mètre trop court par comparaison avec une définition plus large déduite de la moyenne d’un grand nombre d’arc. Quoi qu'il en soit, la définition théorique du mètre était inaccessible et trompeuse à l’époque de Delambre et Méchain, car la Terre est une boule qui peut grossièrement être assimilée à un sphéroïde aplati, mais qui en diffère dans le détail de telle façon à empêcher toute généralisation et toute extrapolation à partir de la mesure d’un seul méridien.
Des mathématiciens tels Adrien-Marie Legendre et Carl Friedrich Gauss développent de nouvelles méthodes pour traiter les données, notamment la méthode des moindres carrés qui permet de comparer des observations entachées d'erreurs à un modèle mathématique. Ainsi, la publication par Friedrich Wilhelm Bessel en 1838 de Gradmessung in Ostpreussen marque une nouvelle ère de la géodésie. On y retrouve la méthode des moindres carrés appliquée au calcul d’un réseau de triangles et à la réduction des observations en général. La manière systématique dont toutes les observations sont prises en compte en vue d’assurer les résultats finaux avec une extrême précision est admirable.
Dès la première moitié du XIXe siècle une détermination plus précise de la longueur d'un grand arc de méridien résulte de la mesure de l'arc géodésique de Struve (1816-1855), qui tire son origine du besoin des puissances européennes, après le congrès de Vienne en 1815, d'établir des frontières et des cartes militaires plus précises. Le tsar Alexandre Ier de Russie, qui s'associe aux monarchies scandinaves, charge l'astronome Friedrich Georg Wilhelm von Struve de réaliser la mesure d'un arc géodésique qui s'étend de Hammerfest en Norvège jusqu'à la mer Noire, sur plus de 2 800 km. Les données de cet arc n'invalident pas le mètre, mais mettent en évidence que les perfectionnements continuels des instruments scientifiques permettront de meilleures déterminations de la taille et de la forme de la Terre.
Friedrich von Schubert (1789–1865) démontre bientôt que tous les méridiens ne sont pas d'égale longueur, ce qu'avait envisagé Jean Le Rond d'Alembert qui avait également mis en question que les parallèles ne soient des cercles. En 1860, Elie Ritter, en se basant sur les mêmes données que Schubert qui penche pour un ellipsoïde à trois axes inégaux, confirme l'hypothèse d'Adrien-Marie Legendre selon laquelle la forme générale de la Terre est celle d'un sphéroïde de révolution. Toutefois l'année suivante, en se basant sur toutes les données disponibles à l'époque, Ritter arrive à la conclusion que le problème n'est résolu que de manière approximative, les données paraissant trop peu nombreuses, et en partie trop affectées par des causes locales, pour donner un poids suffisant au résultat. Selon son calcul, l'équation du méridien diffère de celle de l'ellipse et présente, vers le 45ème degré de latitude, un renflement dont l'épaisseur est difficile à déterminer en raison de l'incertitude concernant notamment la latitude de la station de Montjuïc.
L’expédition géodésique de Delambre et Méchain avait eu comme double objectif de standardiser les poids et mesures par l’établissement du système métrique décimal et de lier la détermination de la valeur de ses unités à la figure de la Terre$^,$. La longueur du Mètre des Archives avait été déterminée sur la base de la mesure d'une portion de l'arc du méridien de Paris en admettant un aplatissement de 1/334 selon un calcul de Pierre Simon de Laplace qui avait combiné les données de la méridienne de Delambre et Méchain avec celle de l'expédition géodésique française en Équateur. En 1841, Bessel propose son ellipsoïde de référence et un aplatissement de la Terre beaucoup plus proche de la réalité que celui qui avait été employé pour calculer la longueur du mètre à partir de la mesure de la méridienne de Delambre et Méchain. En effet, Bessel entreprend un nouveau calcul des dimensions du sphéroïde terrestre, dans lequel il part de dix arcs mesurés avec l'exactitude suffisante. Par l'emploi de la méthode des moindres carrés, le calcul conduit à un résultat de 1/299,15 pour l'aplatissement de la Terre que l'on regarde longtemps comme le plus probable qui puisse être basé sur les matériaux existant alors$^,$$^,$.

## Le mètre et l'internationalisation de la géodésie

Le XIXe siècle est marqué par l’internationalisation de la géodésie dont le développement pratique s’accompagne d’un approfondissement théorique. Joseph-Louis Lagrange, Pierre-Simon de Laplace, Adrien-Marie Legendre et Carl Friedrich Gauss succèdent à Léonard Euler, Alexis Claude Clairaut et Jean Le Rond d’Alembert. Ce sont des mathématiciens de haute classe capables non seulement de faire faire d’immenses progrès aux mathématiques théoriques, mais également de leur trouver des applications pratiques. Si les méthodes de la géodésie restent fondamentalement celle du XVIIIe siècle (triangulation, astronomie de position, mesure de la pesanteur, mesures de temps correspondantes), son internationalisation s’accompagne d’immenses progrès de la précision des instruments, des procédés d’observations et de calcul, tandis que la rigueur des méthodes de travail sera poussée à l’extrême$^,$.

### États Unis

L'expansion du trafic maritime commercial sur les côtes américaines rend nécessaire la création de cartes côtières précises. Une loi promulguant la création de l'United States Coast Survey est votée par le Congrès des États-Unis, et approuvée par le Président Thomas Jefferson, le 10 février 1807. L'exécution de la loi est confiée au département du Trésor dont le Secrétaire est Albert Gallatin. Ce dernier met au concours le poste de directeur de ce qui deviendra la première agence scientifique civile du gouvernement des États-Unis$^,$.
Le projet de Ferdinand Rudolph Hassler est accepté avec l'aval de la Société philosophique américaine. Hassler projette notamment de déterminer la taille des triangles en mesurant plusieurs bases à l'aide de règles géodésiques de sa conception, qui figurent probablement parmi les éléments les plus originaux des instruments rassemblés pour cette entreprise. En effet, alors que la plupart des règles géodésiques utilisées à cette époque en Europe sont calibrées sur la toise, Hassler décide d'utiliser une règle calibrée sur le mètre. Par ailleurs, Hassler met au point un système de lecture au microscope qui lui permet de n'utiliser qu'une seule règle, plutôt que d'en juxtaposer plusieurs. Il conçoit un appareil à mesurer les bases géodésiques, qui au lieu de mettre bout-à-bout différentes règles, consiste à déplacer une seule règle sur la distance à mesurer sur le terrain en prenant comme repères des microscopes placés sur des chevalets. En 1816, il est nommé directeur du Survey of the Coast. Formé en Suisse, en France et en Allemagne, Hassler a apporté un étalon du mètre aux États-Unis en 1805 grâce auquel il étalonne ses instruments de mesure$^,$.
En 1830, Hassler prend la direction du Bureau of Weights and Measures qui sera intégré dès 1832 dans le U. S. Coast and Geodetic Survey, après la révision de la loi sur le levé côtier et sa nouvelle nomination en tant que Superintendant of the Coast Survey le 9 août 1832. Hassler compare les étalons des unités de longueur en usage aux USA à l’époque et mesure leur coefficient d’expansion thermique afin de déterminer l’effet de la température sur les mesures$^,$.
En 1834, il mesure à Fire Island la première base du relevé côtier des États-Unis, peu avant que Louis Puissant ne déclare devant l’Académie des Sciences que Jean Baptiste Joseph Delambre et Pierre Méchain avaient fait des erreurs dans la mesure de la méridienne dont il est fait mention dans la Base du Système métrique décimal$^,$.

### Espagne

L’Espagne adopte le mètre en 1849. En 1852, l’Académie royale des sciences exactes, physiques et naturelles presse le gouvernement de promouvoir l’établissement d’une carte nationale à grande échelle. Le vaste projet de la carte d’Espagne doit être fondé sur une triangulation de premier ordre du royaume qui doit elle-même commencer par la mesure d’un certain nombre de bases géodésiques dans les différentes régions du pays.
Après avoir été en 1870 nommé Sous-Directeur de statistique et Directeur des travaux géodésiques à la Direction générale de statistique, Carlos Ibáñez e Ibáñez de Ibero aura la grande satisfaction de voir, par décret du 12 septembre 1870, organiser, au Ministère del Fomento, sur sa proposition et d'après ses projets, l'Institut géographique dont il sera nommé directeur. En 1873, l'Institut géographique est augmenté et transformé sous le titre de Direction générale de l'Institut géographique et statistique d'Espagne. C'est le plus vaste établissement de ce genre existant alors, dont l'organisation a servi de modèle, sur bien des points, à des institutions analogues dans d'autres pays. Il embrasse à la fois la géodésie, la topographie générale y compris les nivellements, la cartographie, la statistique et en particulier les recensements périodiques de la population, enfin le service général des poids et mesures. Tous ces services ont été organisés par Ibáñez qui, à côté du corps des topographes et de celui de la statistique, y crée un autre personnel, nommé " Auxiliaires de Géodésie ", recruté à la suite d'examens sérieux parmi les sous-officiers de l'armée espagnole, et destiné à l'exécution des nivellements de précision. En y ajoutant les inspecteurs et vérificateurs des poids et mesures, le personnel de l'Institut d'Espagne compte plus de six cents fonctionnaires et employés, commandés et dirigés par un grand nombre d'officiers appartenant à toutes les armes. Tous les gouvernements qui se sont succédé en Espagne le confirmeront dans ce poste et favoriseront le développement de l'Institut jusqu'en 1889. Cette année là, Ibáñez malade démissionne de la direction de l'Institut de Géographie et de Statistique qu'il dirige depuis 19 ans. Sa décision semble avoir été précipitée par la publication d'un décret qui lui retire le contrôle économique de l'Institut pour le remettre au ministre des Travaux Publics, car elle prend effet au cours d'une campagne de dénigrement orchestrée par le journaliste carliste Antonio de Valbuena$^,$$^,$. La réapparition de la première épouse du général après son décès en 1891 achèvera de le discréditer et entraînera l'annulation de son second mariage$^,$.

### Khédivat d'Égypte

En 1858, une Commission technique est créée pour reprendre, en adoptant les procédures en vigueur en Europe, les travaux de cadastre initiés sous Méhémet Ali. Cette Commission suggère au vice-roi Mohammed Saïd Pacha d'acquérir des instruments géodésiques qui seront commandés en France. Le vice-roi confie à l'astronome Ismāʿīl-Afandī Muṣṭafá (1825-1901) l'étude de l'appareil à mesurer les bases géodésiques étalonné sur le mètre construit par Jean Brunner à Paris. Ismāʿīl-Afandī Muṣṭafá est chargé d’effectuer, dans les ateliers de Jean Brunner à Paris, les expériences nécessaires à la détermination des coefficients de dilatation des deux barres de platine et de laiton, et de comparer l'étalon égyptien à un étalon connu. La Règle espagnole conçue par Carlos Ibáñez e Ibáñez de Ibero et Frutos Saavedra Meneses est choisie à cet effet, car elle a servi de modèle pour la construction de la Règle égyptienne. En 1863, Ibáñez et Ismāʿīl-Afandī Muṣṭafá effectuent, à l’Observatoire Royal de Madrid, la comparaisons de la Règle égyptienne avec la Règle espagnole qui avait été comparée à la règle N° 1 de l’appareil de Borda, le module de comparaison pour la mesure de toutes les bases géodésiques en France$^,$.

### Suisse

Après la réunion du canton de Genève à la Suisse en 1815, Guillaume Henri Dufour publie la première carte officielle de la Suisse pour laquelle le mètre est adopté comme unité de longueur$^,$. Il fonde en 1838 à Genève un bureau topographique (futur Office fédéral de topographie) et dirige la publication de la première carte officielle de la Suisse entre 1845 et 1864 établie sur la base de nouvelles mensuration cantonales. Un officier franco-suisse, Louis Napoléon Bonaparte assiste à la mesure d’une base près de Zurich pour la carte Dufour qui gagnera la médaille d’or à l’Exposition Universelle de 1855$^,$. Les bases de la triangulation de cette carte sont mesurées en 1834 au moyen de règles de trois toises de longueur étalonnées sur la toise de Repsold (égale à la toise fabriquée en 1821 par Jean-Nicolas Fortin pour Friedrich Georg Wilhelm von Struve)$^,$.
En 1801, la République helvétique à l'instigation de Johann Georg Tralles promulgue une loi introduisant le système métrique qui n'est jamais appliquée, car en 1803 la compétence pour les poids et mesures revient aux cantons. Sur le territoire de l'actuel canton du Jura, alors annexé à la France (Mont-Terrible), le mètre est adopté en 1800. La République de Genève adopte le système métrique en 1813, le canton de Vaud en 1822, le canton du Valais en 1824 et le canton de Neuchâtel en 1857.
Douze cantons du Plateau suisse et du nord-est adoptent en 1835 un concordat basé sur le pied fédéral (exactement 0,3 m) qui entre en vigueur en 1836$^,$. Les cantons de Suisse centrale et orientale, ainsi que le Les cantons alpins continuent à utiliser les anciennes mesures. Selon la Constitution de 1848, le pied fédéral doit entrer en vigueur dans tout le pays. Au côté de Guillaume Henri Dufour, Élie Ritter milite en faveur du maintien du système métrique décimal dans les cantons romands et contre l’uniformisation des poids et mesures en Suisse sur la base du pied métrique$^,$. En 1868, le système métrique sera légalisé aux côtés du pied fédéral, ce qui constituera un premier pas vers son introduction définitive. Les étalonneurs cantonaux seront supervisés par un Bureau fédéral de vérification, créé en 1862, dont la gestion sera confiée à Heinrich von Wild à partir de 1864$^,$.

## Perfectionnement des instruments scientifiques et création du Bureau international des poids et mesures

Pendant la seconde moitié du XIXe siècle, seuls les meilleurs artisans européens et américains sont capables de produire les instruments de précision indispensables pour la métrologie, la géodésie et l'astronomie. Les frères Brunner comptent parmi les représentants les plus importants de l'industrie française de précision. Jean Brunner puis ses deux fils, Léon et Émile Brunner se spécialisent dans les instruments géodésiques et astronomiques.
Parmi les instruments scientifiques calibrés sur le mètre, qui sont exposés à l'Exposition Universelle de 1855, se trouve l’appareil Brunner, un instrument étalonné sur le mètre, conçu pour la mesure de la base centrale d’Espagne. Des copies de la Règle espagnole sont réalisées pour l’Égypte, la France et l’Allemagne$^,$. Ces étalons sont comparés les uns aux autres et avec la règle N° 1 de l’appareil de Borda qui est la référence principale pour la mesure des bases en France$^,$.
Ces comparaisons sont essentielles. En effet, la dilatation thermique qui correspond à l'expansion du volume d'un corps occasionné par son réchauffement est déjà bien connue à l’époque. Pierre Bouguer en avait fait la démonstration devant un large public à l'Hôtel des Invalides. Ce problème a constamment dominé toutes les idées concernant la mesure des bases géodésiques. Les géodésiens sont occupés par la préoccupation constante de déterminer avec précision la température des étalons de longueur utilisés sur le terrain. La détermination de cette variable, dont dépend la longueur des instruments de mesure, a de tout temps été considérée comme si complexe et si importante qu'on pourrait presque dire que l'histoire des étalons géodésiques correspond à celle des précautions prises pour éviter les erreurs de température$^,$.
En 1858, la mesure de la base centrale d’Espagne prend une importance majeure en géodésie dans la mesure où les prolongations de la méridienne de France qui avaient semblé confirmer la longueur du mètre n’avaient été validées par la mesure d’aucune base de contrôle en Espagne$^,$.
Lorsque Ibáñez mesure, en 1858-59, avec la Règle espagnole, la base centrale de la triangulation d'Espagne, près de Madridejos, dans la province de Tolède, il trouve comme résultat de cette opération modèle la longueur de 14664,5 m ± 0,0025 m, et les deux mensurations de la partie centrale, longue de 2766,9 m, s'accordaient à 0,19 mm près. Le même degré de précision est obtenu avec l'appareil mono-métallique en fer pour les huit autres bases qu'lbáñez mesure plus tard en Espagne, de 1865 à 1879, ainsi que pour les trois bases suisses, qui sont déterminées avec une erreur kilométrique de 0,43 mm.
La règle espagnole se compose de deux règles en platine et en cuivre de 4 mètres de longueur formant par leur superposition un thermomètre métallique. Des étalons géodésiques calibrés sur le mètre avaient déjà été utilisés aux États-Unis. En effet, l'unité de longueur dans laquelle sont mesurées toutes les distances du relevé côtier des États-Unis est le mètre français, dont une copie authentique est conservée dans les archives du Coast Survey Office. Il est la propriété de la Société philosophique américaine, à qui il a été offert par Ferdinand Rudolph Hassler, qui l'avait reçu de Johann Georg Tralles, délégué de la République helvétique au comité international chargé d'établir l'étalon du mètre par comparaison avec la toise, l'unité de longueur utilisée pour la mesure des arcs méridiens en France et au Pérou. Il possède toute l'authenticité de tout mètre d'origine existant, portant non seulement le cachet du Comité mais aussi la marque originale par laquelle il se démarquait des autres étalons lors de l'opération de normalisation.
À la suite de l'initiative et de l'empressement de Carlos Ibáñez e Ibáñez de Ibero à mesurer le globe, il est convenu en 1860 de remesurer l'arc de méridien de Dunkerque à Formentera. C'est pourquoi de 1861 à 1866, Antoine Yvon Villarceau vérifie les opérations géodésiques en huit points de la méridienne. Quelques-unes des erreurs dont étaient entachées les opérations de Delambre et Méchain sont alors corrigées.
De 1865 à 1868, Ibáñez ajoute la triangulation géodésique des îles Baléares à celle de la péninsule ibérique$^,$. Pour cette triangulation, Ibáñez e Ibáñez de Ibero conçoit un second appareil plus maniable construit avec une règle mono-métallique en fer dotée de thermomètres à mercure, utilisés pour corriger l'augmentation de longueur de la règle provoquée par la dilatation du métal sous l'effet de la température. Cet instrument sera appelé l'appareil Ibáñez et est réalisé à Paris par les frères Brunner. Légèrement moins précis, il permet d'augmenter la vitesse des relevés$^,$. L'appareil Ibáñez sera également utilisé en Suisse pour la mesures des bases géodésiques d'Aarberg, Weinfelden et Bellinzone. Les examens minutieux et répétés de la longueur de l'appareil Ibáñez effectués entre 1865 et 1885 montreront une modification de l'état moléculaire de la règle qui se manifeste par une augmentation de son coefficient de dilatation dont la cause est attribuée à l'époque à son transport rapide en train depuis l'Espagne jusqu'en Suisse.
En 1869, Ibáñez se rend à Southampton avec cette règle pour effectuer des mesures nécessaires à la comparaison internationale des étalons géodésiques. En effet, en 1860, le gouvernement russe, à la demande d'Otto Wilhelm von Struve, invite les gouvernements de Belgique, de France, de Prusse et d'Angleterre à connecter leurs triangulations dans le but de mesurer la longueur d'un arc de parallèle à la latitude de 52° afin de vérifier les dimensions et la figure de la Terre telles qu'elles ont été déduites des mesures d'arc de méridien. Il s'avère nécessaire de comparer les règles géodésiques utilisées dans chaque pays afin de combiner les mesures effectuées. Le gouvernement britannique invite la France, la Belgique, la Prusse, la Russie, l'Inde, l'Australie, l'Espagne, les États-Unis et la Colonie du Cap à envoyer leur règle géodésique au bureau de l'Ordnance Survey à Southampton$^,$.
Avant la Première guerre mondiale, il existe d’assez nombreuses associations scientifiques internationales exerçant leur activité dans les sciences géophysiques. Parmi elles, la plus puissante et la plus ancienne est l’Association géodésique internationale, où l’influence de l’Allemagne prédomine et dont le Bureau central est situé à l’Institut géodésique prussien de Potsdam.
Les mesures géodésiques effectuée jusqu’à la moitié du XIXe siècle permettent d’établir que la Terre est un ellipsoïde de révolution aplati aux pôles. Friedrich Wilhelm Bessel et d’autres géodésiens ont proposé des ellipsoïdes de référence qui correspondent aux dimensions de l’ellipsoïde qui répondent le mieux à l’ensemble de ces mensurations. Toutefois, les géomètres ont également démontré que la figure de la Terre diffère sensiblement de cette forme géométrique. En 1861, Johan Jacob Baeyer propose la création de l'Association pour la mesure des degrés en Europe centrale dont l'objectif est une nouvelle détermination des anomalies de la forme de la Terre au moyen de triangulations géodésiques précises, combinées à des mesures de la gravitation. Il s’agit de déterminer le géoïde au moyen de mesures gravimétriques et de nivellement, afin d’en déduire la connaissance exacte du sphéroïde terrestre tout en prenant en compte les variations locales.
Pour résoudre ce problème, il est nécessaire d’étudier avec soins et en tous sens des espaces considérables de terrain. Au printemps 1861, Baeyer élabore le plan de coordonner les travaux géodésiques de l’espace compris entre les parallèles de Palerme et Christiania (Oslo) et les méridiens de Bonn et de Trunz (nom allemand de Milejewo en Pologne). Ce territoire est couvert d’un réseau de triangle et comprend plus de trente observatoires ou stations dont la position est déterminée astronomiquement. Bayer propose de remesurer dix arcs de méridiens et un plus grand nombre d’arcs de parallèles, de comparer la courbure des arcs méridiens sur les deux versants des Alpes, afin de rechercher l’influence de cette chaîne de montagnes sur la déviation de la verticale. Il envisage également de déterminer la courbure des mers, de la Méditerranée et de l’Adriatique au sud, de la mer du Nord et de la Baltique au nord. Dans son esprit, la coopération de tous les États d’Europe centrale peut ouvrir le champ à des recherches scientifiques du plus haut intérêt, recherches que chaque État, pris isolément, n’est pas en mesure d’entreprendre.
Le 7 juillet 1861, la délégation de Prusse à Berne soumet le projet de Baeyer au Conseil fédéral. Le Département fédéral de l’Intérieur le soumet à Guillaume Henri Dufour, chef du bureau topographique fédéral. Lors de la session de la Société helvétique des sciences naturelles de 1861 à Lausanne, le projet discuté par la section de physique de la Société est vivement appuyé par Élie Ritter et par Adolphe Hirsch. Sur leur proposition, la Société décide de donner un préavis favorable à l’accession de la Suisse à l’Association pour la mesure des degrés en Europe centrale et de constituer la Commission géodésique suisse. Ses membres fondateurs sont Rudolf Wolf, président (Zurich), Guillaume Henri Dufour, président d’honneur et Élie Ritter, bientôt remplacé par Émile Plantamour (Genève), Adolphe Hirsch (Neuchâtel) et Hans Heinrich Denzler (Berne).
La première assemblée générale de l'Association pour la mesure des degrés en Europe centrale a lieu à Berlin en 1864. Il y est décidé d'adopter la Toise de Bessel, une copie de la Toise du Pérou réalisée en 1923 par Jean-Nicolas Fortin à Paris, comme étalon international$^,$.
La valeur de la Toise de Bessel, qui suivant le rapport légal alors admis entre le mètre et la Toise du Pérou, devait être égale à 1,9490348 m, se trouvera être de 26,2·10$^{-6}$ m plus grande lors de mesures effectuées par Jean-René Benoît au Bureau international des poids et mesures. C'est la considération des divergences entre les différentes toises employées par les géodésiens qui amène l'Association pour la mesure du degré en Europe centrale à envisager, lors de la réunion de sa Commission permanente à Neuchâtel en 1866, la fondation d'un Institut mondial pour la comparaison des étalons géodésiques, premier pas vers la création du Bureau international des poids et mesures.
En 1864, dans son rapport à la Commission géodésique suisse sur la conférence de Berlin, Adolphe Hirsch évoque sa crainte que le choix de la Toise de Bessel comme étalon international ne détourne d'une adhésion à l'Association géodésique internationale la France, où la règle N° 1 de la double-toise de Borda utilisée pour la mesure de la méridienne de Jean-Baptiste Joseph Delambre et Pierre Méchain est alors la référence pour la mesure de toutes les bases géodésiques$^,$, et les pays, qui, comme l'Espagne et les États-Unis, emploient le mètre$^,$. En 1867, la seconde Conférence générale de l’Association internationale de géodésie recommande l’adoption du mètre en remplacement de la toise.
Les frères Brunner participent à l'exposition universelle de 1867. Ils y présentent plusieurs instruments dont un télescope de 22 cm d'ouverture destiné à l'Observatoire du Caire. En marge de l’Exposition Universelle de 1855 et du second Congrès statistique qui s'étaient tenus à Paris, une Association en vue de l’obtention d’un système décimal uniforme de mesures, poids et monnaies avait été créée en 1855$^,$. Sous l'impulsion de cette association, un Comité des poids, mesures et monnaies est créé lors de l'Exposition universelle de 1867 à Paris et appelle à l'adoption internationale du système métrique$^,$.
En 1869, l’Académie des sciences de Saint-Pétersbourg envoie un rapport signé par Otto Wilhelm von Struve, Heinrich von Wild et Moritz von Jacobi invitant l’Académie des Sciences à une action commune en vue d’assurer l’usage universel du système métrique dans tous les domaines de la science. La même année Napoléon III convoque la Commission internationale du mètre qui se réunit à Paris en 1870. La guerre franco-prussienne éclate. Le Second Empire s’effondre, mais le mètre survit$^,$. Dès la première session de la Commission internationale du mètre en 1870, Carlos Ibáñez e Ibáñez de Ibero est intégré dans le Comité des travaux préparatoires$^,$. Lors de la séance du 12 octobre 1872, il est élu président du Comité permanent de la Commission internationale du mètre qui deviendra le Comité international des poids et mesures (CIPM)$^,$.
   « Depuis l’origine, le mètre avait gardé une double définition ; il était à la fois la dix-millionième partie du quart du méridien et la longueur représentée par le Mètre des Archives. La première était historique ; elle a conservé une grande valeur pédagogique et de propagande, mais elle n’est pas métrologique. C’est ce qu’affirme Dumas après Jacobi, ce que l’Académie sanctionna d’un vote unanime, en déclarant que la longueur du Mètre des Archives devait être la seule représentation de l’unité métrique.
   Dès l’année 1870, une Commission internationale se réunit à Paris ; bientôt dispersée, elle se rassembla de nouveau en 1872. On discuta beaucoup, au sein de cette Commission, l’opportunité soit d’envisager comme définitives les unités représentées par les étalons des Archives, soit de revenir aux définitions primitives, et de corriger les unités pour les en rapprocher. La première solution prévalut, conformément au bon sens et conformément au préavis de l’Académie. Sur ce point fondamental, la Commission internationale n’a donc rien renversé et même rien innové. La définition historique du Mètre restait liée aux dimensions de la Terre ; sa représentation métrologique le rattachait à l’œuvre admirable de Delambre, Méchain, Borda, Lavoisier, et, pour le kilogramme, à celle, non moins surprenante, de Lefèvre-Gineau et Fabbroni. Abandonner les valeurs représentées par les étalons, c’eût été mutiler cette œuvre, et remplacer, au point de vue métrologique, un système parfaitement établi par un autre, à créer à nouveau ; c’eût été, en plus, consacrer un principe extrêmement dangereux, celui du changement des unités à tout progrès des mesures ; le Système métrique eût été perpétuellement menacé de changement, c’est-à-dire de ruine. C’est bien là qu’eût été, pour le système métrique, le réel danger. »
— Charle Édouard Guillaume
Les frères Brunner participent à l'exposition universelle de 1878. Ils y présentent notamment des cercles azimutaux réitératifs et des cercles méridiens portatifs qui seront employés lors de la connexion des triangulations espagnole et algérienne par dessus la mer Méditerranée dirigée par François Perrier et Carlos Ibáñez e Ibáñez de Ibero$^,$$^,$.
En 1879, Carlos Ibáñez e Ibáñez de Ibero et François Perrier dirigent la jonction du réseau géodésique espagnol avec l'Algérie et permettent ainsi la mesure d'un arc de méridien qui s'étendra des Shetland aux confins du Sahara. Cette réalisation constitue une prouesse technique pour l'époque. Il s'agit d'observer des signaux lumineux se propageant à une distance allant jusqu'à 270 km par-dessus la Méditerranée. Les appareils nécessaires à la production des signaux lumineux électriques sont transportés dans des stations d'altitude situées sur les monts Mulhacén et Tetica en Espagne et Filhaoussen et M'Sabiha en Algérie$^,$$^,$.
François Perrier annoncera à l'Académie des sciences en juillet 1879 :
   « Si l'on jette les yeux sur une carte d'Europe, et que l'on considère l'immense série des travaux géodésiques qui couvrent actuellement d'un bout à l'autre les îles Britanniques, la France, l'Espagne et l'Algérie, on comprendra aussitôt combien il importait de relier entre eux ces grands réseaux de triangles pour en faire un tout allant de la plus septentrionale des îles Shetland, par 61° de latitude, jusqu'au grand désert d'Afrique, par 34°. Il s'agit là, en effet, du tiers à peu près de la distance de l'équateur au pôle. La mesure de son amplitude géodésique et astronomique devait être une des plus belles contributions que la Géodésie pût offrir aux géomètres pour l'étude de la figure du globe terrestre. Biot et Arago, à leur retour d'Espagne, avaient entrevu cette possibilité dans un lointain avenir, si jamais disaient-ils, la civilisation s'établissait de nouveau sur les rives qu'Arago avait trouvé si inhospitalières. Ce rêve, bien hardi, s'est pourtant réalisé ; l'Algérie devenue française, a eu besoin d'une carte comme la France : la triangulation qui devait lui servir de base est terminée depuis des années ; nous venons de la rendre utile à la Science, en déterminant astronomiquement les points principaux. De son côté, l'Espagne terminait ses opérations géodésiques sur son territoire, en leur donnant une précision bien remarquable. Il ne restait donc plus qu'à franchir la Méditerranée par de grands triangles pour réunir d'un seul coup tous ces travaux. Les deux gouvernements d'Espagne et de France ont tenu à honneur d'entreprendre cette œuvre de concert; ils ont chargé de l'exécution les officiers espagnols de l'Institut géographique et les officiers d'état-major français qui sont attachés au Service géodésique du Ministère de la Guerre. Je viens dire à l'Académie, après le général Ibañez, qui lui a déjà annoncé en son nom et au mien le service commun, que la jonction des deux continents est enfin réalisée et lui donner les détails qui lui permettront d'apprécier l'œuvre entreprise par les deux pays. Désormais, la Science possède un arc méridien de 27°, le plus grand qui ait été mesuré sur la Terre et projeté astronomiquement sur le ciel. »
Le point fondamental de la Nouvelle Méridienne de France est le Panthéon. Toutefois, le réseau géodésique ne suit pas exactement le méridien. Il dérive parfois à l'Est et parfois à l'Ouest. Selon les calculs effectués au Bureau central de l'Association géodésique internationale, le méridien de Greenwich est plus proche de la moyenne des mesures que le méridien de Paris. L'arc de méridien, rebaptisé arc de méridien d'Europe-Afrique de l'ouest par Alexander Ross Clarke et Friedrich Robert Helmert donne une valeur pour le rayon équatorial de la Terre a = 6 377 935 mètres, l’ellipticité supposée étant de 1/299,15 (selon l'ellipsoïde de Bessel). Le rayon de courbure de cet arc n'est pas uniforme, étant en moyenne d'environ 600 mètres plus grand dans la partie nord que dans la partie sud. En 1883, lors de la Conférence générale de l'Association internationale de géodésie à Rome, l'adoption du méridien de Greenwich comme méridien d'origine est proposée dans l'espoir que le Royaume-Uni adhérera à la convention du Mètre$^,$. Le méridien de Greenwich est adopté en octobre 1884 à la conférence internationale du méridien de Washington. En contrepartie, les Britanniques adhérent à la Convention du Mètre la même année.
Lors du transit de Vénus de 1874, les expéditions sont équipées par des instruments réalisés par les frères Brunner. Au début des années 1880, ils améliorent un de leurs instruments destiné à la mesure de la déclinaison magnétique qui sera finalement utilisé lors d'une mission astronomique au Chili. À cette époque, ils réalisent également de nombreux instruments astronomiques pour les observatoires de Paris, Nice, Toulouse, Lisbonne, Lyon (lunette équatoriale-1882) et Alger. En 1883, ils construisent un comparateur pour le Bureau international des poids et mesures. Cet immense appareil est utilisé pour comparer les étalons du mètre destinés aux États parties à la Convention du Mètre. Pour cette réalisation Émile Brunner reçoit la croix de la Légion d'Honneur.
Depuis la définition originale du mètre, chaque fois qu'une nouvelle mesure est effectuée, avec des techniques, des méthodes ou des instruments plus précis, on dit que le mètre est basé sur une erreur de calcul ou de mesure. Lorsque Carlos Ibáñez e Ibáñez de Ibero, premier président de l'Association géodésique internationale et du Comité international des poids et mesures, participe à l'extension de la mesure de la méridienne de Delambre et Méchain, les mesures de la Terre soulignent l’importance de la méthode scientifique à une époque où les statistiques sont mises en œuvre en géodésie. Carlos Ibáñez e Ibáñez de Ibero est l'un des 81 membres fondateurs de l'Institut international de statistique (ISI), il représentera son pays à la première session de cette société scientifique à Rome en 1887$^,$$^,$.
De plus, le Bureau international des poids et mesures jouera un rôle central dans la mesures des bases géodésiques à l'échelle de la planète, car la découverte de l'invar par Charles Édouard Guillaume minimise l'impact des erreurs systématiques de température. En 1920, Charles-Édouard Guillaume recevra le prix Nobel de physique. Ce prix Nobel marquera la fin d'une époque où la métrologie quitte le giron de la géodésie pour devenir une application technologique de la physique.
L'utilisation du mètre par Ferdinand Rudolph Hassler et la création de l'Office of Standard Weights and Measures en tant que bureau au sein du Coast Survey contribueront à l'introduction du Metric act of 1866 autorisant l'utilisation du mètre aux États-Unis. La fondation de l'United States Coast and Geodetic Survey permettra l'avènement de la science américaine à l'avant-garde de la métrologie mondiale, Charles Sanders Peirce étant le premier à relier expérimentalement le mètre à la longueur d'onde de la lumière. Albert Abraham Michelson reprendra bientôt l'idée et l'améliorera.