# Nombre de Bell

En mathématiques, le n-ième nombre de Bell (du nom de Eric Temple Bell) est le nombre de partitions d'un ensemble à n éléments distincts ou, ce qui revient au même, le nombre de relations d'équivalence sur un tel ensemble.

## Premières propriétés

* Ces nombres forment la suite d'entiers  A000110 de l'OEIS, dont on peut calculer à la main les premiers termes :$B_{0}=1,\quad B_{1}=1,\quad B_{2}=2,\quad B_{3}=5,\quad B_{4}=15,\quad B_{5}=52,\quad B_{6}=203,\quad B_{7}=877,\quad \ldots$Le premier vaut 1 car il existe exactement une partition de l'ensemble vide : la partition vide, formée d'aucune partie. En effet, ses éléments (puisqu'il n'y en a aucun) sont bien non vides et disjoints deux à deux, et de réunion vide.
* Les $B_{3}=5$ partitions de $\{a,b,c\}$ sont $\{\{a\},\{b\},\{c\}\}$, $\{\{a,b,c\}\}$, et les trois partitions du type $\{\{a\},\{b,c\}\}$.
* Les nombres de Bell peuvent aussi se calculer de proche en proche par la relation de récurrence suivante, parfois nommée « relation d'Aitken » et en fait due au mathématicien japonais du XVIIIe siècle Yoshisuke Matsunaga:$B_{n+1}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}B_{k},$qui peut se démontrer ainsi : Ayant fixé un élément x dans un ensemble à n + 1 éléments, on trie les partitions suivant le nombre k d'éléments hors de la partie contenant x. Pour chaque valeur de k de 0 à n, il faut donc choisir k éléments parmi les n éléments différents de x, puis s'en donner une partition.
* Les sept plus petits nombres de Bell premiers sont B$_2$ = 2, B$_3$ = 5, B$_7$ = 877, B$_{13}$ = 27 644 437, B$_{42}$ = 35 742 549 198 872 617 291 353 508 656 626 642 567, B$_{55}$ = 359 334 085 968 622 831 041 960 188 598 043 661 065 388 726 959 079 837 et B$_{2841}$ (cf. suites  A051131 et  A051130 de l'OEIS). On ignore s'il en existe d'autres.

## Série génératrice

Pour manipuler tous les nombres de Bell, on peut s'intéresser aux séries génératrice et génératrice exponentielle associées, qui sont respectivement :
$G(X)=\sum _{n}B_{n}X^{n}{\text{ et }}E(X)=\sum _{n}{\frac {B_{n}}{n!}}X^{n}=1+X+2{\frac {X^{2}}{2!}}+5{\frac {X^{3}}{3!}}+15{\frac {X^{4}}{4!}}+\ldots$
La première est par exemple utilisée pour étudier les classes de congruence des $B_{n}$. Quant à la seconde série formelle, elle satisfait l'équation différentielle $E'(X)=\mathrm {e} ^{X}E(X)$ : on le constate en écrivant la formule de récurrence sous la forme
${\frac {B_{n+1}}{n!}}=\sum _{k+l=n}{\frac {1}{k!}}{\frac {B_{l}}{l!}}~.$
On en déduit qu'elle est égale à $\mathrm {e} ^{\mathrm {e} ^{X}}$ à une constante multiplicative près (qu'on trouve par identification du terme constant) :
$E(X)=\mathrm {e} ^{\mathrm {e} ^{X}-1}.$
L'identification des coefficients conduit à la formule de Dobinski :
$B_{n}={\frac {1}{\mathrm {e} }}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {k^{n}}{k!}}$
qui est le moment d'ordre n d'une loi de Poisson de paramètre 1.

## D'autres propriétés

Ils satisfont également à la congruence de Touchard : si p est un nombre premier quelconque alors
    $B_{p+n}\equiv B_{n}+B_{n+1}\mod p.$
Chaque nombre de Bell est une somme des nombres de Stirling de seconde espèce :
    $B_{n}=\sum _{k=0}^{n}S(n,k)=\sum _{k=0}^{n}\left\{{\begin{matrix}n\\k\end{matrix}}\right\}.$
Plusieurs formules asymptotiques pour les nombres de Bell sont connues ; l'une d'elles est
    $B_{n}\sim {\frac {1}{\sqrt {n}}}\left[{\frac {n}{W(n)}}\right]^{n+{\frac {1}{2}}}e^{{\frac {n}{W(n)}}-n-1},$
où W est la fonction W de Lambert ; on obtient une approximation moins précise, mais plus commode d'emploi, à l'aide de l'encadrement $\ln x-\ln \ln x<W(x)<\ln x$ ; on pourra également remarquer la similitude de l'approximation précédente avec la formule de Stirling.