# Mesure finie

Sur un espace mesurable $(X,{\mathcal {A}})$, une mesure finie (ou mesure bornée) est une mesure positive μ pour laquelle μ(X) est fini, ou plus généralement une mesure signée, voire une mesure complexe dont la masse $|\mu |(X)$ (valeur sur X de la variation totale |μ| de μ) est finie.

## Fonctions intégrables

Toute fonction complexe f mesurable et bornée est intégrable contre toute mesure finie $\mu$ ; et on dispose de la majoration :
$\left|\int _{X}f.d\mu \right|\leq \|f\|_{\infty }.|\mu |(X)$

## Exemples de mesures finies

* La mesure de comptage sur un ensemble X est finie ssi X est un ensemble fini.
* Les masses de Dirac sont des mesures finies, quel que soit l'espace mesurable considéré.
* Plus généralement, les mesures de probabilité sont des exemples de mesures finies : ce sont des mesures positives de masse 1.
* La mesure de Lebesgue sur un domaine borné de ℝ$^n$.
* Pour une mesure complexe ν pas nécessairement finie et pour une fonction ν-intégrable f, la variation totale de la mesure fν est exactement |f| |ν| ; de fait, la mesure fν est finie.

## Suite décroissante des espaces L$^p$

D'après l'inégalité de Hölder ou celle de Jensen, les espaces L$^p$ d'une mesure finie forment une famille décroissante pour l'inclusion, avec des injections continues. Plus précisément :
${\text{si }}\mu (X)<+\infty {\text{ alors }}0<p\leq q\leq +\infty \Rightarrow \mathrm {L} ^{p}(\mu )\supset \mathrm {L} ^{q}(\mu ){\text{ car }}\forall f\in \mathrm {L} ^{q}(\mu ),\|f\|_{p}\leq \mu (X)^{{\frac {1}{p}}-{\frac {1}{q}}}\|f\|_{q}.$
Une réciproque très forte est vraie : si μ est σ-finie et s'il existe p et q, avec 1 ≤ p < q ≤ +∞, tels que L$^p$(μ) ⊃ L$^q$(μ), alors μ est finie.

## Espace des mesures finies

Toute somme de mesures finies (signées ou complexes) est une mesure finie. Toute mesure proportionnelle à une mesure finie est une mesure finie.
L'espace $\scriptstyle {\mathcal {M}}(X,{\mathcal {A}})$ des mesures finies (signées ou complexes) forme un espace de Banach (réel ou complexe) pour la norme :
$\|\mu \|=|\mu |(X).$
Pour toute mesure ν sur $\scriptstyle (X,{\mathcal {A}})$ (finie ou pas), l'application f ↦ fν induit une isométrie de L$^1$(ν) sur un sous-espace vectoriel fermé de $\scriptstyle {\mathcal {M}}(X,{\mathcal {A}})$.
Lorsque ν est σ-finie, ce sous-espace auquel L$^1$(ν) s'identifie est égal (d'après le théorème de Radon-Nikodym) à l'ensemble de toutes les mesures finies absolument continues par rapport à ν. Il est inclus dans le dual topologique de L$^∞$(ν) :
$\mathrm {L} ^{1}(\nu )\subset \mathrm { L^{\infty }(\nu ))'.$
Cette inclusion est stricte (sauf dans les cas triviaux) car (L$^∞$(ν))' est constitué des « mesures » (finies et absolument continues par rapport à ν) qui sont seulement finiment additives.
$\scriptstyle {\mathcal {M}}(\mathbb {N} )$
Si ν est la mesure de comptage sur ℕ, alors ν est σ-finie et l'absolue continuité par rapport à ν est automatique donc L$^1$(ν) (qui s'écrit ici ℓ$^1$) s'identifie à $\scriptstyle {\mathcal {M}}(\mathbb {N} )$ tout entier. L'inclusion de ℓ$^1$ dans le dual de ℓ$^∞$ se traduit par :
$\forall a\in \ell ^{1},\forall b\in \ell ^{\infty },~\langle a,b\rangle =\sum a_{n}b_{n}.$
Mais il existe des formes linéaires continues, sur l'espace ℓ$^∞$ des suites bornées, qui ne proviennent pas de cette façon d'un élément a de ℓ$^1$ : par exemple, sur le sous-espace des suites convergentes (en), on dispose d'une forme linéaire continue qui à toute suite convergente associe sa limite. On peut, par le théorème de Hahn-Banach, prolonger cette forme sur ce sous-espace en une forme continue sur ℓ$^∞$ donc en une « mesure finie » qui est seulement finiment additive sur ℕ puisque, bien que non nulle, elle s'annule sur chaque singleton.