# Algèbre géométrique (structure)

Une algèbre géométrique est, en mathématiques, une structure algébrique, similaire à une algèbre de Clifford réelle, mais dotée d'une interprétation géométrique mise au point par David Hestenes, reprenant les travaux de Hermann Grassmann et William Kingdon Clifford (le terme est aussi utilisé dans un sens plus général pour décrire l'étude et l'application de ces algèbres : l'algèbre géométrique est l'étude des algèbres géométriques). Le but avoué de ce physicien théoricien et pédagogue est de fonder un langage propre à unifier les manipulations symboliques en physique, dont les nombreuses branches pratiquent aujourd'hui, pour des raisons historiques, des formalismes différents (tenseurs, matrices, torseurs, analyse vectorielle, utilisation de nombres complexes, spineurs, quaternions, formes différentielles…). Le nom choisi par David Hestenes (geometric algebra) est celui que Clifford voulait donner à son algèbre.
L'algèbre géométrique est utile dans les problèmes de physique qui impliquent des rotations, des phases ou des nombres imaginaires. Elle fournit une description compacte et intuitive de la mécanique quantique et classique, de la théorie électromagnétique, la relativité. Les applications actuelles de l'algèbre géométrique incluent la vision par ordinateur, la biomécanique ainsi que la robotique et la dynamique des vols spatiaux.

## Histoire

Dès l'Antiquité des liens entre l'algèbre et la géométrie étaient connus des Grecs.
En 1843 William Rowan Hamilton découvre les quaternions qu'il interprète géométriquement comme des vecteurs (à tort). Un an plus tard, Hermann Günther Grassmann introduit le produit intérieur et le produit extérieur qui permettent la construction d'algèbres opérant sur des objets géométriques. Enfin, en 1873 William Kingdon Clifford parvient à intégrer les résultats d'Hamilton et ceux de Grassmann dans une première formulation de l'algèbre géométrique.
La découverte de Clifford passe inaperçue, sans doute à cause du décès prématuré de son auteur, et les physiciens de la fin du XIXe siècle ne connaissant pas cet outil mathématique commencent à employer un autre système connu sous le nom de « calcul vectoriel ». Développé par Josiah Willard Gibbs et Oliver Heaviside, le calcul vectoriel a permis notamment de formuler clairement la théorie de l'électromagnétisme de James Clerk Maxwell, et s'est également révélé d'usage facile en mécanique classique. Ces succès en ont fait, jusqu'à ce jour, le système mathématique le plus utilisé en physique.
Au début du XXe siècle, la théorie de la relativité générale amène à reconnaître l'espace-temps de dimension 4. Le calcul vectoriel ne s'étend pas bien en dimension 4, une des raisons étant que le produit vectoriel n'est défini qu'en dimension 3. Les physiciens, n'ayant toujours pas connaissance des algèbres découvertes par Clifford, compensent les insuffisances du calcul vectoriel en introduisant divers systèmes mathématiques complémentaires.
Ce n'est que dans la deuxième moitié du XXe siècle que David Hestenes montra que l'algèbre géométrique est parfaitement adéquate en dimension 4 où elle se décline en algèbre de l'espace-temps (Space-Time Algebra) qui formalise élégamment et efficacement la relativité restreinte. Hestenes montre également qu'avec l'algèbre géométrique, l'électromagnétisme gagne en simplicité, et que la mécanique classique en dimension 3 bénéficie d'une meilleure gestion des rotations. Un autre résultat majeur obtenu par Hestenes est que la mécanique quantique peut être reformulée par l'algèbre géométrique sans nombres imaginaires et sans matrices, avec une interprétation géométrique.
Aujourd'hui, l'algèbre géométrique est parfois présentée comme langage universel pour les ingénieurs et physiciens.

## Définitions
### Algèbre géométrique

Il existe plusieurs définitions d'une algèbre géométrique, mais l'une des plus concises peut-être formulée ainsi:
Définition — Une algèbre géométrique est une algèbre associative unitaire sur un corps, engendrée par un sous-espace vectoriel dont tous les éléments ont pour carré un scalaire.
Avec cette définition, l'algèbre géométrique, le corps et le sous-espace vectoriel sont notés respectivement ${\mathcal {G}}$, $\mathbb {K}$ et ${\mathcal {V}}$. La principale condition exprimée dans la définition s'écrit alors: $\forall \mathbf {v} \in {\mathcal {V}},\,\mathbf {v} ^{2}\in \mathbb {K}$.
Hestenes a exprimé sa forte réticence à considérer le cas d'une algèbre sur le corps des complexes. En fait, dans Hestenes, Li et Rockwood 2001, le corps des scalaires est bel et bien choisi égal au corps des réels. La définition la plus générale a ici été présentée mais dans le reste de cet article, sauf mention contraire, on supposera $\mathbb {K} =\mathbb {R}$. Dans ce même ouvrage, Hestenes impose aussi à ${\mathcal {V}}$ une dimension finie n. Dans ce cas, ${\mathcal {V}}$ et ${\mathcal {G}}$ peuvent être notés respectivement ${\mathcal {V}}^{n}$ et ${\mathcal {G}}_{n}$ (ou ${\mathcal {G}}({\mathcal {V}}^{n})$).
Dans cet article, ${\mathcal {V}}$ est de dimension quelconque, mais dans le cas où cette dimension est infinie, elle sera tout de même supposée dénombrable pour faciliter les notations.
L'opération de multiplication dans une algèbre géométrique est appelée produit géométrique. Elle est le plus souvent notée sans symbole, par simple juxtaposition des opérandes. Cependant certains auteurs, notamment Eric Lengyel (en), préconisent l'utilisation du symbole unicode U+27D1 : ⟑ .
Lorsque ${\mathcal {V}}$ est de dimension finie, et que le carré de tout élément de ${\mathcal {V}}$ est positif, il sera vu plus loin que ${\mathcal {V}}$ est alors dotée d'une structure d'espace vectoriel euclidien. On pourra alors parler de « cas euclidien ».

### Algèbre de Clifford

La donnée d'un espace vectoriel ${\mathcal {V}}$ et d'une forme quadratique ${\mathcal {Q}}$ sur ${\mathcal {V}}$ permet de construire une algèbre géométrique dite générée par ${\mathcal {V}}$ sous la condition $v^{2}={\mathcal {Q}}(v)$. Cette algèbre est ce qu'on appelle l'algèbre de Clifford associé à ${\mathcal {Q}}$, notée ${\mathcal {C}}l({\mathcal {V}},{\mathcal {Q}})$.
Si une algèbre de Clifford requiert une forme quadratique pour sa définition, on verra plus loin qu'inversement, une algèbre géométrique permet de définir de façon unique une forme quadratique à partir du produit géométrique. La notion d'algèbre géométrique est donc identique à celle d'algèbre de Clifford, la seule différence étant l'ordre de présentation : une algèbre de Clifford est définie à partir d'un espace vectoriel et d'une forme quadratique, tandis qu'une algèbre géométrique est définie à partir d'une algèbre et d'un sous-espace vectoriel particulier. C'est pourquoi de nombreuses sources définissent purement et simplement les algèbres géométriques comme des algèbres de Clifford, assimilant exactement les deux concepts.

### Vecteur

Même si ${\mathcal {G}}$ est en tant qu'algèbre doté d'une structure d'espace vectoriel, David Hestenes réserve le mot vecteur aux éléments de ${\mathcal {V}}$. Dans cet article, en règle générale, les vecteurs seront notés en bas-de-casse gras.

#### Produits intérieur et extérieur

À partir du produit géométrique de deux vecteurs a et b, on définit deux nouveaux produits, dont le premier est symétrique et le second antisymétrique:
${\begin{aligned}\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} &={\frac {1}{2}}\left(\mathbf {a} \mathbf {b} +\mathbf {b} \mathbf {a} \right)\\\mathbf {a} \wedge \mathbf {b} &={\frac {1}{2}}\left(\mathbf {a} \mathbf {b} -\mathbf {b} \mathbf {a} \right)\end{aligned}}$
a • b est appelé produit intérieur, a ∧ b est appelé produit extérieur. La littérature scientifique francophone utilise aussi le chevron (∧) pour désigner le produit vectoriel. Cette ambiguïté n'existe pas dans la littérature anglo-saxonne car le produit vectoriel y est désigné par le symbole ×.
$\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} \in \mathbb {K}$
Démonstration :
$\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} ={\frac {1}{2}}(\mathbf {a} \mathbf {b} +\mathbf {b} \mathbf {a} )={\frac {1}{2}}((\mathbf {a} +\mathbf {b} )^{2}-\mathbf {a} ^{2}-\mathbf {b} ^{2})\in \mathbb {K}$
Le produit extérieur est généralisé à k vecteurs par la définition suivante :
$\bigwedge _{j=1}^{k}\mathbf {a} _{j}=\mathbf {a} _{1}\wedge \mathbf {a} _{2}\wedge \dots \wedge \mathbf {a} _{k}:={\frac {1}{k!}}\sum _{\sigma \in {\mathfrak {S}}_{k}}\operatorname {sgn} (\sigma )\mathbf {a} _{\sigma (1)}\mathbf {a} _{\sigma (2)}\dots \mathbf {a} _{\sigma (k)}$
où ${\mathfrak {S}}_{k}$ est le groupe des permutations d'indice k. Si r = 2, cela se réduit au produit extérieur de deux vecteurs définis précédemment.
Il sera vu plus loin que le produit intérieur correspond au produit scalaire usuel. Quant au produit extérieur, bien que ce n'est pas démontré dans cet article, il correspond au produit extérieur tel que définit dans l'article algèbre extérieure. Cette identité justifie l'utilisation de la même terminologie et de la même notation.

#### Décomposition canonique

Pour deux vecteurs a et b, on a la relation suivante, qui constitue la décomposition dite canonique du produit géométrique de deux vecteurs :
$\mathbf {ab} =\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} +\mathbf {a} \wedge \mathbf {b} .$
$\mathbf {a} \cdot \mathbf {b}$ et $\mathbf {a} \wedge \mathbf {b}$ sont respectivement appelés partie scalaire et partie bivectorielle du produit géométrique ab. Cette terminologie est justifiée par les observations précédentes, quant à la nature des produits intérieurs et extérieurs.

### Multivecteur

Les éléments de ${\mathcal {G}}$ sont appelés multivecteurs. Hestenes utilise aussi parfois l'expression directed number, qu'on peut traduire par nombre orienté. Cependant, le terme multivecteur semble prévaloir dans les publications récentes.

#### Verseur

Un verseur (versor en anglais) est un multivecteur qui peut être écrit comme produit géométrique de vecteurs non nuls. Le nombre de vecteurs formant par produit géométrique un verseur donné est minoré par ce qu'on appelle son grade.
Comme il sera vu plus loin dans cet article, les verseurs sont à la base de la plupart des applications de l'algèbre géométrique, car leur exponentiation permet de générer notamment les isométries dans le cas euclidien.

#### Base canonique

On considère une base $(\mathbf {e} _{1},\mathbf {e} _{2},...)$ de ${\mathcal {V}}$ qui soit orthonormée pour le produit intérieur. On peut en trouver une en appliquant l'Algorithme de Gram-Schmidt sur une base de ${\mathcal {V}}$ avec le produit intérieur, qui est une forme bilinéaire symétrique, même si le produit intérieur n'est pas un Produit scalaire si un élément de ${\mathcal {V}}$ est de carré négatif ou nul.
Deux vecteurs différents de cette base orthonormée étant de produit intérieur nul, ils anti-commutent, d'où la définition de la base canonique suivante.
Une base canonique est une base de ${\mathcal {G}}$ (vu en tant qu'espace vectoriel) telle qu'il existe une base orthonormée $(\mathbf {e} _{1},\mathbf {e} _{2},...)$ de ${\mathcal {V}}$ dans laquelle les éléments de la base canonique peuvent s'écrire :
$e_{J}=\mathbf {e} _{\sigma _{1}}\mathbf {e} _{\sigma _{2}}\ldots \mathbf {e} _{\sigma _{k}}$
où $J=(\sigma _{1},\sigma _{2}\ldots \sigma _{k})$ est une suite finie et strictement croissante d'entiers positifs.

### Dimension finie

Les définitions de cette sous-section ne sont valables que lorsque ${\mathcal {V}}$ est de dimension finie n.

#### Pseudoscalaire

Un pseudoscalaire est un verseur dont le grade n est égal à la dimension de l'espace. Tous les pseudoscalaires sont multiples les uns des autres, c'est-à-dire que $\mathrm {dim} {\mathcal {G}}_{n}=\mathrm {dim} {\mathcal {G}}_{0}=1$
Tous les pseudoscalaires unitaires, notés $I_{\sigma }$, sont égaux à un signe moins près. Cette quasi-unicité justifie une notation indépendante du choix des vecteurs $\mathbf {\sigma }$, ainsi que l'utilisation de l'article défini.
Le pseudoscalaire unitaire est donc défini par :
$I=\pm I_{\sigma }$

#### Dualité

La dimension finie permet de fixer une dualité, et avec elle un opérateur d'intersection ($\vee$) tel que l'intersection de deux multivecteurs est, à un facteur de proportionnalité près, le dual du produit extérieur des duaux.
Il existe plusieurs choix de dualité, comme la dualité de Poincaré et la dualité de Hodge.

### Analyse multivectorielle

Tout comme la donnée d'un espace vectoriel permet l'analyse vectorielle, c'est-à-dire l'étude du calcul infinitésimal pour des fonctions définies sur cet espace vectoriel à valeurs scalaires ou vectorielles, la donnée d'une algèbre géométrique, dont les éléments sont appelés multivecteurs, permet l'analyse dite multivectorielle des fonctions définies sur ${\mathcal {V}}$ mais à valeurs cette fois potentiellement multivectorielles. Les anglo-saxons, à l'instar d'Hestenes, parlent de geometric calculus ou multivector calculus, tout comme ils parlent de vector calculus pour désigner ce que les francophones appellent analyse vectorielle.

## Propriétés
### Symétrie et antisymétrie des produits intérieur et extérieur

Les produits intérieur et extérieur de deux vecteurs sont, par construction, respectivement symétrique et antisymétrique :
${\begin{aligned}\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} &=\mathbf {b} \cdot \mathbf {a} \\\mathbf {a} \wedge \mathbf {b} &=-\mathbf {b} \wedge \mathbf {a} \end{aligned}}$
Plus généralement, le produit extérieur de plusieurs vecteurs est antisymétrique :
$\forall \sigma \in {\mathfrak {S}}_{k},\quad \bigwedge _{j=1}^{k}\mathbf {a} _{j}=\operatorname {sgn} (\sigma )\bigwedge _{j=1}^{k}\mathbf {a} _{\sigma (j)}$

### Caractérisation algébrique de notions géométriques
#### Colinéarité et orthogonalité

Théorème — Deux vecteurs sont colinéaires si et seulement si leur produit extérieur est nul.
Si deux vecteurs $\mathbf {a}$ et $\mathbf {b}$ sont colinéaires, alors il existe un scalaire $\lambda$ tel que $\mathbf {a} =\lambda \mathbf {b}$. Dès lors, on a $\mathbf {a} \wedge \mathbf {b} =\lambda \mathbf {a} \wedge \mathbf {a} =\lambda 0=0$.
Inversement, si $\mathbf {a} \wedge \mathbf {b} =0$, alors la décomposition canonique donne $\mathbf {a} \mathbf {b} =\mathbf {a} \cdot \mathbf {b}$. En multipliant à droite par $\mathbf {b}$, il vient $\mathbf {a} \mathbf {b} ^{2}=(\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} )\mathbf {b}$ et donc, en ignorant le cas dégénéré où $\mathbf {b} ^{2}=0$ :
$\mathbf {a} ={\frac {\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} }{\mathbf {b} ^{2}}}\mathbf {b} .$
Il reste alors à observer que ${\frac {\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} }{\mathbf {b} ^{2}}}$ est un scalaire en tant que quotient de deux scalaires. Il y a donc bien colinéarité.
Cette observation, ajoutée à la définition de l'orthogonalité, permet de déduire les deux propriétés fondamentales suivantes :
Caractérisation algébrique de l'orthogonalité et de la colinéarité —
* Deux vecteurs sont orthogonaux si et seulement si ils anti-commutent.
* Deux vecteurs sont colinéaires si et seulement si ils commutent.
C'est-à-dire :
${\begin{array}{ccccc}\mathbf {a} \perp \mathbf {b} &\iff &\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =0&\iff &\mathbf {a} \mathbf {b} =-\mathbf {b} \mathbf {a} \\\mathbf {a} \propto \mathbf {b} &\iff &\mathbf {a} \wedge \mathbf {b} =0&\iff &\mathbf {a} \mathbf {b} =\mathbf {b} \mathbf {a} \end{array}}$

#### Indépendance linéaire

Une généralisation de la caractérisation algébrique de la colinéarité existe pour l'indépendance linéaire. En effet, $k$ vecteurs $(\mathbf {a} _{1},\mathbf {a} _{2}\ldots ,\mathbf {a} _{k})$ sont linéairement indépendants si et seulement si leur produit extérieur est non nul. Ou, de façon équivalente, ils sont linéairement dépendants si et seulement si leur produit extérieur est nul :
$\left(\exists (\alpha _{1},\alpha _{2}\ldots ,\alpha _{k})\in \mathbb {K} ^{k}\setminus \{(0,\ldots ,0)\}\quad \sum _{j}\alpha _{j}\mathbf {a} _{j}=0\right)\iff \bigwedge _{j=1}^{k}\mathbf {a} _{j}=0.$

### Identité de Jacobi

$A\times (B\times C)=(A\times B)\times C+B\times (A\times C).$

### Structures remarquables
#### Espace quadratique

Puisque le produit intérieur de deux vecteurs est un scalaire et qu'il est distributif et symétrique, il constitue une forme quadratique sur ${\mathcal {V}}$ et confère ainsi aux vecteurs de l'algèbre géométrique une structure quadratique naturelle.
Dans le cas défini précédemment comme euclidien, le produit intérieur est en outre défini positif, et satisfait donc aux conditions nécessaires et suffisantes pour définir un produit scalaire, rendant ainsi la structure quadratique euclidienne, d'où l'appellation « cas euclidien ». Dans ce cas, les notions de norme et d'orthogonalité définies précédemment coïncident respectivement avec les notions de norme euclidienne et d'orthogonalité au sens euclidien.

#### Algèbre extérieure

Le produit extérieur fournit (en oubliant le produit géométrique dont il est issu) une définition alternative de l'algèbre extérieure de ${\mathcal {V}}$ :
$\wedge {\mathcal {V}}={\mathcal {G}}\quad {\rm {car}}\quad {\mathcal {G}}=\bigoplus _{k}{\mathcal {G}}^{k}\quad {\rm {et}}\quad {\mathcal {G}}^{k}=\wedge ^{k}{\mathcal {V}}.$
Le vocabulaire de l'algèbre géométrique recoupe donc celui des algèbres extérieures. Par exemple, une lame de grade $k$ est aussi appelée multivecteur de grade k, k-multivecteur ou encore k-vecteur.

#### Sous-algèbres complexes

Le carré de tout bivecteur unitaire (e$_1$e$_2$) construit à partir de deux vecteurs de signatures identiques, est égal à –1 :
$\mathbf {e} _{1}^{2}\mathbf {e} _{2}^{2}=1\Rightarrow (\mathbf {e} _{1}\mathbf {e} _{2})^{2}=-1.$
Dès lors, la sous-algèbre engendrée par le couple (1, e$_1$e$_2$) est un corps isomorphe au corps des complexes. Cet isomorphisme justifie alors la notation :
$i=\mathbf {e} _{1}\mathbf {e} _{2}$
de telle sorte qu'on a :
$i^{2}=-1.$
Ce résultat peut en fait être généralisé à toutes les lames unitaires dont le carré est égal à -1. Elles génèrent chacune avec la lame unitaire de grade nul un corps isomorphe au corps des complexes. C'est par exemple le cas pour le pseudoscalaire unitaire dans le cas euclidien de dimension 3 :
$I^{2}=-1.$
Une lame unitaire de grade 1, c'est-à-dire un vecteur unitaire, peut aussi engendrer un corps isomorphe au corps des complexes. Il faut et suffit pour cela que sa signature soit négative. C'est notamment le cas lorsque la structure quadratique n'est pas euclidienne, mais Lorentzienne. Par ailleurs, lorsqu'il existe au moins deux vecteurs de signatures différentes, il est possible de construire un bivecteur unitaire j tel que j$^2$ = +1, et la sous-algèbre qu'il engendre avec l'unité est alors isomorphe au corps des nombres complexes déployés, donnant au sous-espace correspondant une structure géométrique hyperbolique.

#### Quaternions

Dans le cas particulier où n = 3, on peut former trois bivecteurs unitaires : $i=\mathbf {e} _{1}\mathbf {e} _{2},\quad j=\mathbf {e} _{2}\mathbf {e} _{3}\quad {\rm {et}}\quad k=\mathbf {e} _{1}\mathbf {e} _{3}.$
Dans le cas euclidien, on a de plus :
$i^{2}=j^{2}=k^{2}=ijk=-1,$
si bien que la sous-algèbre engendrée par (1, i, j, k) est isomorphe au corps des quaternions.
i, j et k ne sont pas exactement les bivecteurs unitaires naturellement générés par la base orthonormale. En effet, on a bien i = e$_1$ e$_2$, j = e$_2$ e$_3$, mais par contre k = –e$_3$ e$_1$. Dans sa thèse de doctorat, Richard Wareham mentionne cette différence et y voit la cause de certaines erreurs de signe apparaissant parfois avec l'utilisation des quaternions. Ce sujet est aussi abordé par Chris Doran.

#### Algèbre de Lie

${\mathcal {G}}^{2}$ est stable par commutateurs. À ce titre, et compte tenu de l'identité de Jacobi, il forme une algèbre de Lie.

### Inversibilité

Une algèbre géométrique hérite de sa structure d'anneau unitaire la notion d'inverse : un élément A est dit inversible s'il existe un élément A$^{−1}$ (qui est alors unique) tel que
$AA^{-1}=A^{-1}A=1.$
Lorsque ${\mathcal {V}}$ est non dégénéré, tout vecteur de ${\mathcal {V}}$ est inversible :
$\mathbf {a} ^{-1}={\frac {\mathbf {a} }{\mathbf {a} ^{2}}}.$
Toujours dans le cas non dégénéré, les verseurs sont eux aussi inversibles, comme produits d'inversibles. Le calcul de l'inverse d'un verseur passe par celui de sa réversion, c'est-à-dire le verseur qui est le produit extérieur des mêmes vecteurs, mais dans l'ordre inverse.

### Règle de De Morgan

$(A\vee B)^{\sim }={\widetilde {A}}\wedge {\widetilde {B}}.$

### Identités remarquables

Les identités remarquables suivantes sont mentionnées dans McDonald 2015. Toutes ne sont pas relevées du fait de notations légèrement différentes.
${\begin{aligned}A\cdot (B\cdot C)&=(A\wedge B)\cdot C\\(\mathbf {a} \wedge \mathbf {b} )\cdot (\mathbf {c} \wedge \mathbf {d} )&=(\mathbf {a} \cdot \mathbf {d} )(\mathbf {b} \cdot \mathbf {c} )-(\mathbf {a} \cdot \mathbf {c} )(\mathbf {b} \cdot \mathbf {d} )\\\mathbf {a} \cdot (\mathbf {bc} )&=(\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} )\mathbf {c} -(\mathbf {a} \cdot \mathbf {c} )\mathbf {b} \\\mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} \wedge \mathbf {c} )&=(\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} )\mathbf {c} -\mathbf {b} (\mathbf {a} \cdot \mathbf {c} )\end{aligned}}$

### Lien avec le produit vectoriel

Le produit extérieur a ∧ b n'est ni un scalaire, ni un vecteur : c'est un bivecteur, qui sera identifié plus tard comme le dual du vecteur issu du produit vectoriel. La différence entre les deux opérations étant que le bivecteur fourni par le produit extérieur est intrinsèque au plan des deux vecteurs, tandis que le produit vectoriel est noté comme un pseudovecteur perpendiculaire à ce plan.
Le produit extérieur de deux vecteurs peut être vu comme une aire orientée.

## Interprétation géométrique
### Bivecteurs unitaires

Un bivecteur unitaire s est le produit géométrique de deux vecteurs orthonormés que l'on peut, sans perdre en généralité, considérer comme les deux premiers vecteurs d'une base orthonormée (e$_1$, e$_2$, ...) :
$s=\mathbf {e} _{1}\mathbf {e} _{2}$
L'orthonormalité de e$_1$ et e$_2$ donne, entre autres :
    $s=\mathbf {e} _{1}\mathbf {e} _{2}=\mathbf {e} _{1}\wedge \mathbf {e} _{2}=-\mathbf {e} _{2}\wedge \mathbf {e} _{1}=-\mathbf {e} _{2}\mathbf {e} _{1}$
Le caractère remarquable de s provient du fait que le produit géométrique par s laisse stable l'espace vectoriel généré par (e$_1$, e$_2$, ...), et défini donc une transformation linéaire (ou plus précisément deux transformations linéaires, selon que la multiplication a lieu à droite ou à gauche), permettant ainsi une interprétation géométrique directe :
${\begin{aligned}(\alpha \mathbf {e} _{1}+\beta \mathbf {e} _{2})s=&(\alpha \mathbf {e} _{1}^{2})\mathbf {e} _{2}&-(\beta \mathbf {e} _{2}^{2})\mathbf {e} _{1}\\s(\alpha \mathbf {e} _{1}+\beta \mathbf {e} _{2})=&(-\alpha \mathbf {e} _{1}^{2})\mathbf {e} _{2}&+(\beta \mathbf {e} _{2}^{2})\mathbf {e} _{1}\end{aligned}}$
Le point important ici étant que e2 1 et e2 2 sont scalaires du fait du critère de contraction.
Le carré de s est un scalaire, car
$s^{2}=-\mathbf {e} _{1}^{2}\mathbf {e} _{2}^{2}.$
Il est négatif si e$_1$ et e$_2$ ont la même signature, et positif dans le cas contraire. Le comportement algébrique (et géométrique dans le plan (e$_1$, e$_2$, ...)) de s est radicalement différent dans les deux cas.

#### Cas euclidien

Lorsque e$_1$ et e$_2$ ont la même signature, on a soit $\mathbf {e} _{1}^{2}=\mathbf {e} _{2}^{2}=+1$ soit $\mathbf {e} _{1}^{2}=\mathbf {e} _{2}^{2}=-1$. Dans les deux cas le bivecteur e$_1$e$_2$ a les mêmes propriétés algébriques et géométriques, mais pour fixer les idées on choisira ici $\mathbf {e} _{1}^{2}=\mathbf {e} _{2}^{2}=+1$, c'est-à-dire le cas euclidien.
On a alors la propriété importante $s^{2}=-\mathbf {e} _{1}^{2}\mathbf {e} _{2}^{2}=-1$, c'est-à-dire :
$s^{2}=-1.$
s engendre alors avec l'unité une sous-algèbre isomorphe au corps des complexes, comme vu plus haut. Ceci suggère d'utiliser dorénavant la lettre i au lieu de s dans cette section.
On aura également les relations suivantes :
${\begin{aligned}i\mathbf {e_{1}} &=-\mathbf {e_{2}} \\i\mathbf {e_{2}} &=\mathbf {e_{1}} \end{aligned}}$
${\begin{aligned}\mathbf {e_{1}} i&=\mathbf {e_{2}} \\\mathbf {e_{2}} i&=-\mathbf {e_{1}} \end{aligned}}$
C'est-à-dire que la multiplication par i tourne toute combinaison linéaire de (e$_1$, e$_2$, ...) d'un quart de tour, dans un sens qui dépend du côté selon lequel est effectuée la multiplication (à gauche ou à droite). On peut s'assurer du fait que la rotation est d'un quart de tour par exemple en remarquant que 4 est le plus petit entier k tel que i$^k$ = 1. Il s'avère que cette rotation d'un quart de tour génère un groupe de rotations, comme il est montré ci-après.
Le produit géométrique d'une paire de vecteurs unitaires $\mathbf {a} ,\mathbf {b} \,(|\mathbf {a} |=|\mathbf {b} |=1)\,$ est noté U et est appelé tourneur:
$U=\mathbf {ab}$
Le nom tourneur est justifié par le fait que $U$ transforme a et b l'un envers l'autre par rotation:
    $\mathbf {b} =\mathbf {a} U,\quad \mathbf {a} =U\mathbf {b}$
Lorsque a et b sont dans le plan (e$_1$, e$_2$, ...), on peut sans perdre en généralité choisir e$_1$ = a et trouver un angle θ tel que :
    $\mathbf {b} =\cos(\theta )\mathbf {e} _{1}+\sin(\theta )\mathbf {e} _{2}$
U s'écrit alors :
$U=\mathbf {ab} =\cos(\theta )\mathbf {e} _{1}\mathbf {e} _{1}+\sin(\theta )\mathbf {e} _{1}\mathbf {e} _{2}=\cos(\theta )+\sin(\theta )\mathbf {e} _{1}\mathbf {e} _{2}$
et donc, par association des parties scalaires et bivectorielles de la décomposition canonique:
${\begin{aligned}\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} &=\cos(\theta )\\\mathbf {a} \wedge \mathbf {b} &=i\sin(\theta )\end{aligned}}$
où i est le bivecteur unitaire :
$i=\mathbf {e} _{1}\mathbf {e} _{2}={\frac {\mathbf {a} \wedge \mathbf {b} }{\sin(\theta )}}={\frac {U-\cos(\theta )}{\sin(\theta )}}.$
Il est alors possible d'écrire :
$U=U_{\theta }=\mathbf {ab} =\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} +\mathbf {a} \wedge \mathbf {b} =\cos(\theta )+i\sin(\theta )=e^{i\theta },$
c'est-à-dire :
$U_{\theta }=e^{i\theta }.$
Lorsqu'on multiplie (par exemple à gauche) ce tourneur par un vecteur x(ϕ) tel que :
$\mathbf {x} (\phi )=\cos(\phi )\mathbf {e} _{1}+\sin(\phi )\mathbf {e} _{2}$
on obtient, par application des identités trigonométriques ainsi que des règles algébriques d'orthonormalité de e$_1$ et e$_2$ :
${\begin{aligned}\mathbf {x} (\phi )U_{\theta }&=\mathbf {x} (\phi )e^{i\theta }\\&=(\cos(\phi )\mathbf {e} _{1}+\sin(\phi )\mathbf {e} _{2})(\cos(\theta )+i\sin(\theta ))\\&=\cos(\phi )\mathbf {e} _{1}\cos(\theta )+\sin(\phi )\mathbf {e} _{2}\cos(\theta )+\cos(\phi )\mathbf {e} _{1}i\sin(\theta )+\sin(\phi )\mathbf {e} _{2}i\sin(\theta )\\&=(\cos(\phi )\cos(\theta )-\sin(\phi )\sin(\theta ))\mathbf {e} _{1}+(\cos(\theta )\sin(\phi )+\cos(\phi )\sin(\theta ))\mathbf {e} _{2}\\&=\cos(\phi +\theta )\mathbf {e} _{1}+\sin(\phi +\theta )\mathbf {e} _{2}\\&=\mathbf {x} (\phi +\theta ).\end{aligned}}$
Le vecteur x(ϕ) a donc bien « tourné » d'un angle θ. Un calcul similaire montrerait qu'une multiplication à droite fait tourner x(ϕ) d'un angle –θ.
En résumé :
${\begin{aligned}\mathbf {x} (\phi )U_{\theta }&=\mathbf {x} (\phi +\theta )\\U_{\theta }\mathbf {x} (\phi )&=\mathbf {x} (\phi -\theta ).\end{aligned}}$
Le produit géométrique de deux vecteurs unitaires représente donc bien une rotation.
Il y a une analogie entre tourneur et vecteur.
Une composition de rotation s'exprimera par le produit de deux tourneurs :
$U_{\theta }U_{\varphi }=U_{\theta +\varphi }$
Il est utile d'observer que :
    $U_{\varphi }\mathbf {x} (\phi )U_{\psi }=U_{\varphi }\mathbf {x} (\phi +\psi )=\mathbf {x} (\phi +\psi -\varphi )$
et que donc, pour ϕ = –θ/2 et ψ = θ/2 :
$U_{-{\frac {\theta }{2}}}\mathbf {x} (\phi )U_{\frac {\theta }{2}}=\mathbf {x} (\phi +\theta )$
Ceci constitue la formulation dite canonique de la rotation d'angle θ. Cette formulation présente comme avantage d'être extensible aux dimensions supérieures (notamment dans l'espace tridimensionnel).

#### Espace de Minkowski

Lorsque e$_1$ et e$_2$ ont une signature différente (admettons par exemple, pour fixer les idées, que $\mathbf {e} _{1}^{2}=1$ et $\mathbf {e} _{2}^{2}=-1$), on a $s^{2}=-\mathbf {e} _{1}^{2}\mathbf {e} _{2}^{2}=1$, c'est-à-dire :
$s^{2}=1$
La multiplication par s intervertit e$_1$ et e$_2$ :
    $\mathbf {e} _{1}s=\mathbf {e} _{1}\mathbf {e} _{1}\mathbf {e} _{2}=\mathbf {e} _{1}^{2}\mathbf {e} _{2}=\mathbf {e} _{2}$
    $\mathbf {e} _{2}s=\mathbf {e} _{2}\mathbf {e} _{1}\mathbf {e} _{2}=-\mathbf {e} _{2}\mathbf {e} _{2}\mathbf {e} _{1}=-\mathbf {e} _{2}^{2}\mathbf {e} _{1}=\mathbf {e} _{1},$
c'est-à-dire :
${\begin{aligned}\mathbf {e} _{1}s&=\mathbf {e} _{2}\\\mathbf {e} _{2}s&=\mathbf {e} _{1}\end{aligned}}$
${\begin{aligned}s\mathbf {e} _{1}&=-\mathbf {e} _{2}\\s\mathbf {e} _{2}&=-\mathbf {e} _{1}.\end{aligned}}$
La multiplication par s agit donc dans le plan (e$_1$, e$_2$, ...) comme une réflexion dont l'axe est l'une des bissectrices des droites dirigées par e$_1$ et e$_2$, le choix de la bissectrice dépendant du côté où s'effectue la multiplication (à droite ou à gauche).
Le fait que s$^2$ = 1 est cohérent avec le caractère involutif des réflexions.

### Multiplication par un verseur

Sauf mention contraire, on se limitera à partir d'ici au cas euclidien.

#### Cas général

On considère désormais un couple de vecteurs (a , b) non nécessairement unitaires, mais non nuls et non colinéaires. Les résultats précédents peuvent être généralisés en considérant le couple :
    $(\mathbf {\tilde {a}} ,\mathbf {\tilde {b}} )=({\frac {\mathbf {a} }{|\mathbf {a} |}},{\frac {\mathbf {b} }{|\mathbf {b} |}})$
Les vecteurs $\mathbf {\tilde {a}}$ et $\mathbf {\tilde {b}}$ sont, eux, unitaires, et ont les mêmes signatures que a et b. Ils sont aussi séparés par un même angle θ, de telle sorte que le tourneur $\mathbf {\tilde {a}} \mathbf {\tilde {b}}$ s'écrit :
    $\mathbf {\tilde {a}} \mathbf {\tilde {b}} =e^{i\theta }$
où
    $i={\frac {\mathbf {\tilde {a}} \wedge \mathbf {\tilde {b}} }{\sin(\theta )}}.$
Le produit géométrique peut donc s'écrire :
$\mathbf {a} \mathbf {b} =|\mathbf {a} ||\mathbf {b} |e^{i\theta }$
tandis que le bivecteur unitaire i peut s'écrire :
$i={\frac {\mathbf {a} \wedge \mathbf {b} }{|\mathbf {a} ||\mathbf {b} |\sin(\theta )}}.$
On a vu précédemment que l'ensemble de multivecteurs engendré — par les combinaisons linéaires et produits géométriques — par 1 et i est un corps isomorphe au corps des nombres complexes. Ceci justifie l'emploi d'un vocabulaire et de notations analogues.
Ainsi, si l'on note z le produit ab, le scalaire
$|z|=|\mathbf {a} \mathbf {b} |=|\mathbf {a} ||\mathbf {b} |$
est ce qu'on appelle le module de z. Il s'agit d'une notion très différente de la norme (ou grandeur) évoquée plus haut, car cette dernière n'est définie que pour les vecteurs, et z n'est pas un vecteur.
Tout comme un nombre complexe peut être décomposé en une partie réelle et une partie imaginaire, un produit géométrique peut être décomposé en deux parties qui ne sont ni plus ni moins que les produits intérieur et extérieur, qu'on peut aussi appeler symétrique et antisymétrique, ou encore scalaire et bivectoriel.
${\begin{aligned}z&=\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} &+&\mathbf {a} \wedge \mathbf {b} \\&=|z|\cos(\theta )&+&|z|i\sin(\theta ).\end{aligned}}$
De la même façon, θ peut être appelé argument de z.
z peut être interprété géométriquement comme l'arc orienté d'un cercle de rayon z.
Le conjugué de z est le multivecteur de même partie scalaire mais de composante bivectorielle opposée :
    $z^{\dagger }=(\mathbf {ab} )^{\dagger }=\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} -\mathbf {a} \wedge \mathbf {b} =\mathbf {b} \cdot \mathbf {a} +\mathbf {b} \wedge \mathbf {a} =\mathbf {ba}$
Le conjugué d'un produit géométrique apparaît donc comme le produit géométrique effectué en ordre inverse :
$(\mathbf {ab} )^{\dagger }=\mathbf {ba} .$
Ce fait peut être utilisé pour calculer le module du produit géométrique z.
$|zz^{\dagger }|=|\mathbf {a} \mathbf {b} \mathbf {b} \mathbf {a} |=|\mathbf {a} ^{2}\mathbf {b} ^{2}|=|\mathbf {a} |^{2}|\mathbf {b} |^{2}=|z|^{2}$
autrement dit :
$|z|={\sqrt {|zz^{\dagger }|}}.$
Les produits géométriques peuvent être utilisés directement sur les vecteurs :
    $\mathbf {b} =\mathbf {a} ^{-1}z=z^{\dagger }\mathbf {a} ^{-1}$
avec l'inverse du vecteur a donné par
    $\mathbf {a} ^{-1}={\frac {1}{\mathbf {a} }}={\frac {\mathbf {a} }{\mathbf {a} ^{2}}}={\frac {\mathbf {a} }{|\mathbf {a} |^{2}}}.$
Ici, le produit géométrique z opère une rotation sur le vecteur a, le met à l'échelle pour donner le vecteur b (c'est une similitude).

### Espace euclidien de dimension 3

Soit l'espace vectoriel euclidien ${\mathcal {P}}^{3}$. Par multiplication et addition, les vecteurs engendrent une algèbre géométrique ${\mathcal {G}}_{3}={\mathcal {G}}\left({\mathcal {P}}^{3}\right)$. En particulier, on peut construire une base pour l'algèbre géométrique à partir de la base orthonormée canonique $\lbrace \mathbf {\sigma _{1}} ,\mathbf {\sigma _{2}} ,\mathbf {\sigma _{3}} \rbrace$ de ${\mathcal {P}}^{3}$.
À l'aide du produit géométrique, on peut définir l'unité pseudoscalaire (qui représente un volume orienté) :
    $i=\mathbf {\sigma _{1}} \mathbf {\sigma _{2}} \mathbf {\sigma _{3}} .$
On a également la base de bivecteurs suivante
    $\mathbf {\sigma _{1}} \mathbf {\sigma _{2}} =i\mathbf {\sigma _{3}} ,\,\mathbf {\sigma _{2}} \mathbf {\sigma _{3}} =i\mathbf {\sigma _{1}} ,\,\mathbf {\sigma _{3}} \mathbf {\sigma _{1}} =i\mathbf {\sigma _{2}}$
Les bivecteurs unités représentent des aires orientées.
Le pseudoscalaire i a des propriétés spéciales qui facilitent le passage entre l'espace vectoriel euclidien et l'algèbre géométrique. On a :
    $i^{2}=-1$
Tout bivecteur B de ${\mathcal {G}}_{3}$ est le dual d'un vecteur b en considérant la relation :
    $\mathbf {B} =i\mathbf {b} =\mathbf {b} i$
Ainsi l'opération de dualité géométrique est simplement exprimée par la multiplication par le pseudoscalaire i. Cela permet d'écrire le produit extérieur sous cette forme :
    $\mathbf {a} \wedge \mathbf {b} =i\mathbf {a} \times \mathbf {b}$,
a × b étant le « cross-product anglo-saxon », qui correspond au produit vectoriel dans la littérature scientifique française, lequel produit vectoriel est malencontreusement noté ∧ comme le produit extérieur. Le produit vectoriel est ainsi implicitement défini comme le dual du produit extérieur. Par conséquent, la décomposition canonique du produit géométrique peut être mise sous la forme :
    $\mathbf {a} \mathbf {b} =\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} +i\mathbf {a} \times \mathbf {b}$
C'est grâce à cette définition que l'on pourra faire le lien entre l'algèbre géométrique et l'analyse vectorielle standard.
Les éléments d'une algèbre géométrique sont dénommés des multivecteurs. Les propriétés spéciales du pseudoscalaire i permettent d'écrire tout multivecteur M de ${\mathcal {G}}_{3}$ dans sa forme étendue :
    $M=\alpha +\mathbf {a} +i\mathbf {b} +i\beta$,
où α et β sont des scalaires et où a et b sont des vecteurs. L'intérêt de cette formulation est qu'elle réduit la multiplication de multivecteurs dans ${\mathcal {G}}_{3}$ à celle des vecteurs. Les quatre termes d'un multivecteur sont linéairement indépendant, ainsi les parties scalaire, vecteur, bivecteur et pseudoscalaire des multivecteurs se combinent séparément lors d'une addition, ce qui n'est pas le cas pour la multiplication.
L'algèbre géométrique ${\mathcal {G}}_{3}$ est un espace linéaire de dimension 1+3+3+1=2$^3$=8.
La forme étendue d'un multivecteur a la structure algébrique formelle d'un « scalaire complexe » α + i β augmenté d'un « vecteur complexe » a + i b, mais toute interprétation physique repose sur la signification géométrique du pseudoscalaire i.

#### Correspondances
##### Avec les quaternions

| Algèbre géométrique | Quaternions | Interprétation |
| 1 | 1 | scalaire |
| $\sigma _{2}\sigma _{3}$ | -i | plan orienté yz |
| $\sigma _{3}\sigma _{1}$ | -j | plan orienté zx |
| $\sigma _{1}\sigma _{2}$ | -k | plan orienté xy |

##### Avec les biquaternions

| Algèbre géométrique | Biquaternions | Interprétation |
| 1 | 1 | point défini par son rayon-vecteur |
| $\sigma _{1}$ | i i | droite orientée (vecteur selon l'axe x) |
| $\sigma _{2}$ | i j | droite orientée (vecteur selon l'axe y) |
| $\sigma _{3}$ | i k | droite orientée (vecteur selon l'axe z) |
| $\sigma _{1}\sigma _{2}$ | -k | plan orienté xy (bivecteur) |
| $\sigma _{2}\sigma _{3}$ | -i | plan orienté yz (bivecteur) |
| $\sigma _{3}\sigma _{1}$ | -j | plan orienté zx (bivecteur) |
| $\sigma _{1}\sigma _{2}\sigma _{3}$ | i | volume orienté xyz (trivecteur) |

##### Avec l'algèbre des matrices

L'algèbre géométrique ${\mathcal {G}}_{3}$ est analogue à l'algèbre construite sur des matrices 2 × 2 à coefficients complexes. Cette algèbre se retrouve en mécanique quantique, introduite par Wolfgang Pauli, pour modéliser le spin des particules. La base canonique de cette algèbre est constituée des huit matrices complexes de dimensions 2 × 2 suivantes :
* pour les vecteurs, les trois matrices de Pauli :
    $\sigma _{1}=\sigma _{x}={\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}},\quad \sigma _{2}=\sigma _{y}={\begin{pmatrix}0&-i\\i&0\end{pmatrix}},\quad \sigma _{3}=\sigma _{z}={\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}~;$
* pour les bivecteurs :
    $\sigma _{1}\sigma _{2}=\sigma _{xy}={\begin{pmatrix}i&0\\0&-i\end{pmatrix}},\quad \sigma _{2}\sigma _{3}=\sigma _{yz}={\begin{pmatrix}0&i\\i&0\end{pmatrix}},\quad \sigma _{3}\sigma _{1}=\sigma _{zx}={\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}}~;$
* pour les trivecteurs :
    $\sigma _{1}\sigma _{2}\sigma _{3}=\sigma _{xyz}={\begin{pmatrix}i&0\\0&i\end{pmatrix}}~;$
* pour les scalaires :
    $\sigma _{0}=1={\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}.$

## Discussion

Le point distinctif de cette formulation est la correspondance naturelle entre les entités et les éléments de l'algèbre associative. Ceci provient du fait que le produit géométrique de deux vecteurs peut être redéfini en termes de leur produit vectoriel et de leur produit scalaire, par
    $\mathbf {a} \,\mathbf {b} =\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} +\mathbf {a} \wedge \mathbf {b} .$
On suppose que le corps des scalaires de l'espace vectoriel original ${\mathcal {V}}$ est le corps des réels.
La définition et l'associativité du produit géométrique nécessitent le concept d'inverse d'un vecteur (ou division par un vecteur). Ainsi, on peut facilement établir et résoudre des équations algébriques vectorielles qui autrement seraient encombrantes à manipuler. De plus, on gagne une signification géométrique qui serait difficile à rechercher, par exemple, en utilisant les matrices. Malgré le fait que tous les éléments ne sont pas inversibles, le concept d'inversion peut être étendu aux multivecteurs. L'algèbre géométrique permet que l'on traite des sous-espaces directement, ainsi que leur manipulation. En outre, l'algèbre géométrique est un formalisme sans coordonnées.
Les objets géométriques comme a ∧ b sont appelés des bivecteurs. Un bivecteur peut être décrit comme un segment plan (un parallélogramme, un cercle, etc.) doté d'une orientation. Un bivecteur représente tous les segments planaires avec la même grandeur et direction, quel que soit l'endroit où ils se trouvent dans l'espace qui les contient. Néanmoins, une fois que soit le vecteur a ou b est signifié à partir d'un certain point préféré (e.g. dans les problèmes de physique), le plan orienté B = a ∧ b est déterminé sans ambiguïté.
Comme exemple significatif, bien que simple, on peut considérer le rayon-vecteur v différent de zéro, d'un point d'un espace euclidien affine usuel, $\mathbb {R} ^{3}$ (rappelons que le rayon-vecteur d'un point affine est le vecteur qui part de l'origine et aboutit à ce point). L'ensemble de tous les points de rayons-vecteurs x tels que x ∧ v = B, B désignant un bivecteur donné contenant v, détermine une droite l parallèle à v. Puisque B est une aire orientée, l est uniquement déterminé en conservant l'origine choisie. L'ensemble de tous les points de rayons-vecteurs x tels que x . v = s, s désignant un scalaire (réel) donné, détermine un plan P orthogonal à v. De nouveau, P est uniquement déterminé en conservant l'origine choisie. Les deux morceaux d'information, B et s, peuvent être établis indépendamment l'un de l'autre. Maintenant, quel est le rayon-vecteur y qui satisfait le système {y ∧ v = B, y . v = s} ? Géométriquement, la réponse est claire : c'est le rayon-vecteur de l'intersection de l et P. Par l'algèbre géométrique, même la réponse algébrique est simple :
    $\mathbf {y} \mathbf {v} =s+B\Rightarrow \mathbf {y} =(s+B)/\mathbf {v} =(s+B)\mathbf {v} ^{-1}$
où l'inverse d'un vecteur différent de zéro est exprimé par z$^{−1}$ = z/z • z.
Note : La division par un vecteur transforme le multivecteur s + B en une somme de deux vecteurs. De plus, la structure de la solution ne dépend pas de l'origine choisie.
Tel qu'il est défini, le produit externe (ou produit extérieur, ou produit vectoriel) ∧ engendre l'algèbre graduée (algèbre extérieure de Hermann Grassmann) $\wedge ^{n}{\mathcal {V}}_{n}$ des multivecteurs. Un multivecteur est ainsi une somme directe d'éléments de degré k (k-vecteurs), où k va de 0 (scalaires) à n, la dimension de l'espace vectoriel original ${\mathcal {V}}$. Les multivecteurs sont représentés ici par les majuscules grasses. Note : Les scalaires et les vecteurs deviennent des cas particuliers de multivecteurs (« 0-vecteurs » et « 1-vecteurs », respectivement).

### La règle de contraction

La connexion entre les algèbres de Clifford et les formes quadratiques provient de la propriété (ou règle) de contraction. Cette règle donne aussi à l'espace une métrique définie par le produit interne naturellement dérivé. Également, dans l'algèbre géométrique dans toute sa généralité, il n'existe pas une quelconque restriction sur la valeur du scalaire, il peut être négatif, même zéro (dans ce cas, la possibilité d'un produit interne est éliminée si vous demandez $\langle x,x\rangle \geq 0$).
La règle de contraction peut être mise sous la forme :
    $Q(\mathbf {a} )=\mathbf {a} ^{2}=\varepsilon _{a}{\Vert \mathbf {a} \Vert }^{2}$
où |a| est le module du vecteur a et $\varepsilon _{a}=0,\,\pm 1$ est appelé la signature du vecteur a. Ceci est particulièrement utile dans la construction de l'espace de Minkowski (l'espace-temps de la relativité) via $\mathbb {R} _{1,3}\,$. Dans ce contexte, les vecteurs nuls sont appelés vecteurs de lumière, les vecteurs à signature négative sont appelés vecteurs d'espace et les vecteurs à signature positive sont appelés vecteurs de temps (ces deux dernières dénominations sont échangées lorsqu'on utilise $\mathbb {R} _{3,1}$ à la place de $\mathbb {R} _{1,3}\,$).

### Produits intérieur et extérieur

Le produit scalaire usuel et le produit vectoriel de l'algèbre vectorielle traditionnelle (sur $\mathbb {R} ^{3}\,$) trouvent leurs places dans l'algèbre géométrique ${\mathcal {G}}_{3}\,$ comme le produit interne
    $\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} ={\frac {1}{2}}(\mathbf {a} \mathbf {b} +\mathbf {b} \mathbf {a} )$
(qui est symétrique) et le produit externe
    $\mathbf {a} \wedge \mathbf {b} ={\frac {1}{2}}(\mathbf {a} \mathbf {b} -\mathbf {b} \mathbf {a} )$
avec
    $\mathbf {a} \times \mathbf {b} =-i(\mathbf {a} \wedge \mathbf {b} )$
(qui est antisymétrique). La distinction entre vecteurs axiaux et polaires, obscure en algèbre vectorielle, est naturelle en algèbre géométrique, où elle s'exprime comme la distinction entre vecteurs et bivecteurs (éléments de grade deux). Le i ici est l'unité pseudoscalaire du 3-espace euclidien, qui établit une dualité entre les vecteurs et les bivecteurs, et est nommé ainsi à cause de la propriété prévue i$^2$ = –1.
Alors que le produit vectoriel peut seulement être défini dans un espace à trois dimensions, les produits interne et externe peuvent être généralisés à n'importe quelle dimension.
Soient $\mathbf {a} ,\,\mathbf {A} _{\langle k\rangle }$ un vecteur et un multivecteur homogène de grade k. Leur produit interne est alors : $\mathbf {a} \cdot \mathbf {A} _{\langle k\rangle }={1 \over 2}\,\left(\mathbf {a} \,\mathbf {A} _{\langle k\rangle }+(-1)^{k+1}\,\mathbf {A} _{\langle k\rangle }\,\mathbf {a} \right)=(-1)^{k+1}\mathbf {A} _{\langle k\rangle }\cdot \mathbf {a}$ et leur produit externe est
    $\mathbf {a} \wedge \mathbf {A} _{\langle k\rangle }={1 \over 2}\,\left(\mathbf {a} \,\mathbf {A} _{\langle k\rangle }-(-1)^{k+1}\,\mathbf {A} _{\langle k\rangle }\,\mathbf {a} \right)=(-1)^{k}\mathbf {A} _{\langle k\rangle }\wedge \mathbf {a} .$

## Algèbre géométrique conforme

Un espace vectoriel, même muni d'un produit scalaire, n'est pas, à lui seul, approprié pour modéliser l'espace usuel, c'est-à-dire l'espace euclidien. En effet, il faut pouvoir distinguer les concepts de points et de vecteurs. Pour cela, plusieurs modèles existent, les plus notables étant l'espace affine et la géométrie projective.
Tandis que la géométrie projective ajoute une dimension supplémentaire, faisant de l'espace usuel un hyperplan, l'algèbre géométrique conforme est un modèle de l'espace euclidien basé sur l'algèbre géométrique qui ajoute non pas une mais deux dimensions supplémentaires. Ces deux dimensions ayant la structure d'un espace de Minkowski, l'espace usuel devient alors une horosphère.

## Applications
### Relativité restreinte et électromagnétisme

Un exemple utile est $\mathbb {R} _{3,1}$, et la façon dont il engendre ${\mathcal {G}}_{3,1}$, un exemple d'algèbre géométrique qu'Hestenes appelle algèbre de l'espace-temps. Cette algèbre est dotée d'une base de vecteurs le plus souvent notés $(\mathbf {\gamma } _{0},\mathbf {\gamma } _{1},\mathbf {\gamma } _{2},\mathbf {\gamma } _{3})$ telle que :
    $\mathbf {\gamma } _{0}^{2}=-1,\qquad \mathbf {\gamma } _{1}^{2}=\mathbf {\gamma } _{2}^{2}=\mathbf {\gamma } _{3}^{2}=+1$
$(\mathbf {\gamma } _{1},\mathbf {\gamma } _{2},\mathbf {\gamma } _{3})$ constitue une base orthonormée de l'espace euclidien usuel. $\mathbf {\gamma } _{0}$ est quant à lui le vecteur séparant deux événements d'une unité de temps.
Le champ électromagnétique, dans ce contexte, s'avère être un champ bivectoriel pour lequel les champs électriques et magnétiques caractérisent les parties respectivement spatio-temporelles (c'est-à-dire contenant la direction temporelle) et purement spatiales (bivecteurs dirigés par deux directions de l'espace usuel) :
$F=(\mathbf {E} +i\mathbf {B} )\mathbf {\gamma } _{0}$
ou, de façon plus détaillée :
    ${\begin{aligned}F&=(\mathbf {E} +\mathbf {\gamma } _{0}\mathbf {\gamma } _{1}\mathbf {\gamma } _{2}\mathbf {\gamma } _{3}\mathbf {B} )\mathbf {\gamma } _{0}\\&=\mathbf {E} \mathbf {\gamma } _{0}-\mathbf {B} \mathbf {\gamma } _{1}\mathbf {\gamma } _{2}\mathbf {\gamma } _{3}\\&=E^{k}\mathbf {\gamma } _{k}\mathbf {\gamma } _{0}-B^{k}\mathbf {\gamma } _{k}\mathbf {\gamma } _{1}\mathbf {\gamma } _{2}\mathbf {\gamma } _{3}\\&=E^{k}\mathbf {\gamma } _{k}\mathbf {\gamma } _{0}-(B^{1}\mathbf {\gamma } _{2}\mathbf {\gamma } _{3}+B^{2}\mathbf {\gamma } _{3}\mathbf {\gamma } _{1}+B^{3}\mathbf {\gamma } _{1}\mathbf {\gamma } _{2}).\end{aligned}}$
On peut alors montrer que les équations de Maxwell traduisent le fait que le quadrivecteur courant $J=\rho \mathbf {\gamma } _{0}+\mathbf {j}$ dérive de ce champ bivectoriel :
$\nabla F=J$
$\nabla$ désigne ici le gradient au sens de l’algèbre géométrique, c'est-à-dire tel que défini plus haut : $\nabla =\mathbf {\gamma } ^{\mu }\partial _{\mu }$. L'expression détaillée de cet opérateur requiert le calcul de $\mathbf {\gamma } ^{0}$. Comme par définition $\mathbf {\gamma } ^{0}\cdot \mathbf {\gamma } _{0}=1$, on a $\mathbf {\gamma } ^{0}=-\mathbf {\gamma } _{0}$, de telle sorte que $\nabla$ s'écrit :
    $\nabla =-\mathbf {\gamma } _{0}\partial _{0}+\mathbf {\gamma } _{1}\partial _{1}+\mathbf {\gamma } _{2}\partial _{2}+\mathbf {\gamma } _{3}\partial _{3}.$
La force de Lorentz s'écrit quant à elle $q\mathbf {u} \cdot F$, où $q$ et $\mathbf {u}$ sont la charge électromagnétique et la quadrivitesse, de telle sorte que l'équation du mouvement s'écrit, en considérant la quadri-impulsion $\mathbf {p}$ :
${\frac {d}{d\tau }}\mathbf {p} =q\mathbf {u} \cdot F.$
Les accélérations dans cet espace métrique lorentzien ont la même expression $e^{\mathbf {\beta } }$ que la rotation dans l'espace euclidien, où $\mathbf {\beta }$ est bien sûr le bivecteur engendré par le temps et les directions d'espace impliquées, considérant dans le cas euclidien que c'est le bivecteur engendré par les deux directions d'espace, renforçant l'« analogie » de la quasi-identité.

### Infographie

En 2014, il existe au moins une compagnie utilisant l'algèbre géométrique en infographie, et plus particulièrement dans l'industrie du jeu vidéo. Il s'agit de Geomerics (en), fondée en 2005 notamment par Chris J. L. Doran (en), docteur en physique. Doran a déclaré avoir fondé Geomerics précisément dans le but de trouver d'autres manières d'attirer l'attention de la communauté scientifique vers les méthodes de l'algèbre géométrique.
En mars 2014, la société Unity Technologies a entamé une collaboration avec Geomerics pour l'intégration de leur moteur de rendu d'illumination globale en temps réel au sein de la cinquième version du moteur Unity.