# Théorème de Hahn-Banach

En mathématiques, et plus particulièrement en analyse et en géométrie, le théorème de Hahn-Banach, dû aux deux mathématiciens Hans Hahn et Stefan Banach, est un théorème d'existence de prolongements de formes linéaires satisfaisant à certaines conditions.
En permettant de prouver abstraitement l'existence de nombreuses fonctions continues, c'est un outil fondamental de l'analyse fonctionnelle.
Par son interprétation géométrique en termes d'hyperplans évitant un convexe fixé, il joue également un rôle primordial dans l'étude de la géométrie des convexes, et au-delà en analyse convexe.

## Forme analytique et forme géométrique

Les énoncés dénommés « théorème de Hahn-Banach » dans la littérature scientifique sont nombreux, différant les uns des autres parfois par de simples détails et parfois de façon significative. Ils se divisent néanmoins nettement en deux classes : certains garantissent de pouvoir prolonger une forme linéaire, sous certaines exigences de majoration (les formes « analytiques » du théorème) ; d'autres assurent qu'on peut séparer deux ensembles convexes par un hyperplan affine (les formes « géométriques » du théorème).
Donnons pour commencer un exemple d'énoncé pour chacune de ces deux catégories.

### Un énoncé de la forme analytique du théorème

Théorème — Soient V un espace vectoriel réel et p une application sous-linéaire de V dans $\mathbb {R}$.
Soient G un sous-espace vectoriel de V et f une forme linéaire sur G qui vérifie en tout point x de G la condition de majoration $f(x)\leq p(x)$.
Alors il existe un prolongement linéaire g de f sur V vérifiant encore la condition $g(x)\leq p(x)$ en tout point x de V.

### Un énoncé de la forme géométrique du théorème

Théorème — Dans un espace vectoriel topologique E, soient C un convexe ouvert non vide et L un sous-espace affine, disjoint de C.
Il existe alors un hyperplan affine contenant L, et disjoint de C donc fermé.
La forme analytique du théorème est due à Banach (1932) généralisant un résultat de Hahn qui s'intéresse dès 1920 aux espaces vectoriels normés. Il existe une généralisation du théorème de Hahn-Banach aux espaces vectoriels sur le corps des complexes due à H. Frederic Bohnenblust et Andrew F. Sobczyk (1938). Les difficultés de la généralisation du théorème de Hahn-Banach apparaissent même pour des espaces vectoriels de dimension finie.

### Relations entre les deux énoncés et preuve de la forme « géométrique »

La forme géométrique du théorème — d'où l'on peut ensuite déduire une succession de variantes diverses relatives à la séparation des convexes — est la retranscription de la forme analytique pour le cas particulier où la fonction convexe qui y intervient est la jauge d'un ouvert convexe d'un espace normé. C'est d'ailleurs le cas dans les utilisations les plus simples et fondamentales du théorème en analyse fonctionnelle qu'on peut selon ses goûts lire depuis une version ou l'autre (on en verra un exemple plus bas).
Voyons de plus près comment la forme géométrique se déduit de la forme analytique :
Quitte à faire préalablement une translation, on supposera que l'origine est dans C. Dès lors, puisque L ne rencontre pas C, c'est donc un sous-espace affine évitant l'origine.
Notons p la jauge du convexe C. Elle est sous-linéaire et donc convexe ; par définition même d'une jauge, il est évident que pour tout x dans C, $p(x)\leq 1$. Comme on a supposé C ouvert, on peut aller un peu plus loin : d'une part C est un voisinage de 0 et toute demi-droite ouverte issue de 0 contient donc des points de C, ce dont on déduit que p ne prend pas la valeur $+\infty$ ; d'autre part, on peut améliorer l'inégalité large $p(x)\leq 1$ et préciser sans peine que les points de C sont caractérisés par l'inéquation stricte p(x) < 1. Voilà pour la fonction sous-linéaire.
Notons G le sous-espace vectoriel engendré par L. Puisque $0\not \in L$, la sous-variété affine L est de codimension 1 dans G et il existe une (et une seule) forme linéaire f sur G telle que L soit la partie de G d'équation f(x)=1. Voilà pour la forme linéaire à prolonger.
Enfin, pour x dans L, $1\leq p(x)$ (puisque $x\not \in C$) tandis que f(x)=1. La condition $f(x)\leq p(x)$ est donc vérifiée sur L. En jouant sur l'homogénéité positive de f et de p, on étend son domaine de validité à un demi-espace strict de G ; sur l'autre demi-espace f prend des valeurs négatives ou nulles tandis que, comme partout, p est à valeurs positives ou nulles. L'inégalité $f(x)\leq p(x)$ est donc vraie partout dans G.
Toutes les hypothèses de la version dite « analytique » du théorème sont en place. Appliquons-la donc. Elle nous offre une nouvelle forme linéaire encore notée f, cette fois définie sur E tout entier. Notons H l'hyperplan affine d'équation f(x)=1 : par construction, c'est bien un hyperplan contenant L.
Soit maintenant un point x de C : pour ce point, $f(x)\leq p(x)$ (puisque f a été produite par la forme analytique de Hahn-Banach) et p(x)<1 (puisqu'on est dans l'ouvert convexe C). Donc $f(x)\neq 1$, et x n'est pas dans H. On a bien vérifié que C et H ne se rencontrent pas.
Enfin les hyperplans d'un espace vectoriel topologique sont nécessairement fermés ou denses. Or H n'est pas dense puisqu'il ne rencontre pas le voisinage C de 0. C'est donc qu'il est fermé.
On peut s'étonner que la forme géométrique fasse intervenir une topologie tandis que la forme analytique concerne un espace vectoriel sans structure additionnelle. En fait, il est tout à fait possible d'énoncer une forme géométrique dans un espace vectoriel quelconque : il faudra alors supposer que tout translaté du convexe C contenant l'origine est absorbant, à défaut de pouvoir donner un sens à « ouvert » ; on n'a bien sûr plus le complément sur le caractère fermé de l'hyperplan obtenu. La démonstration est la même.

### La preuve de la forme « analytique »

Deux types d'idées bien distinctes sont à mettre bout à bout pour aboutir à une preuve dans le cadre de généralité où le théorème a été énoncé. Dans un premier temps, quelques calculs assez simples permettent de justifier l'extension de la forme linéaire f dans le cas particulier où G est de codimension 1 dans V. Une fois cette étape franchie, on a déjà le théorème en dimension finie (il suffit de faire grossir pas à pas le sous-espace où on a réussi à étendre f, d'une dimension à chaque pas, et jusqu'à atteindre la dimension de V). En revanche, pour les usages en dimension infinie, il faut adapter cette méthode fort simple et appeler quelques techniques assez standardisées de théorie des ensembles : on peut employer une récurrence transfinie, ou encore recourir au lemme de Zorn.
Première partie : gagner une dimension
Dans un premier temps, on va prolonger la forme linéaire f à un espace plus grand que G en gagnant une dimension. Fixons un élément v de V \ G (s'il n'y en a pas, G = V et on a terminé avant même d'avoir commencé).
Un prolongement linéaire de f au sous-espace vectoriel $G\oplus \mathbb {R} v$ est une application de la forme :
    $\forall x\in G\quad \forall \lambda \in \mathbb {R} \quad f(x+\lambda v):=f(x)+\lambda \alpha$
où α est un réel arbitraire.
Un tel prolongement f est majoré par p non seulement sur G mais sur $G\oplus \mathbb {R} v$ si et seulement si ce réel α est choisi de telle façon que :
    $\forall x\in G\quad \forall \lambda \neq 0\quad f(x)+\lambda \alpha \leq p(x+\lambda v).$
En posant s = λ si λ > 0 et s = –λ si λ < 0, la condition sur α s'écrit donc :
    $\forall x\in G\quad \forall s>0\quad f(x)+s\alpha \leq p(x+sv){\text{ et }}f(x)-s\alpha \leq p(x-sv),$
ce qui équivaut à :
    $\forall x\in G\quad \forall s>0\quad a_{x,s}\leq \alpha \leq b_{x,s}{\text{ avec }}a_{x,s}:={f(x)-p(x-sv) \over s}{\text{ et }}b_{x,s}:={p(x+sv)-f(x) \over s}\cdot$
La condition d'existence d'un tel α est donc :
    $\sup _{x\in G,s>0}a_{x,s}\leq \inf _{x\in G,s>0}b_{x,s}$
ou encore :
    $\forall x,y\in G\quad \forall s,t>0\quad a_{x,s}\leq b_{y,t}.$
Cette condition est bien réalisée, d'après la convexité de p, la majoration de f sur G et sa linéarité :
    ${f(x)-p(x-sv) \over s}\leq {p(y+tv)-f(y) \over t}$
car
    $tf(x)+sf(y)\leq tp(x-sv)+sp(y+tv)$
car
    ${\frac {tp(x-sv)+sp(y+tv)}{s+t}}\geq p\left({\frac {t(x-sv)+s(y+tv)}{s+t}}\right)=p\left({\frac {tx+sy}{s+t}}\right)\geq f\left({\frac {tx+sy}{s+t}}\right)={\frac {tf(x)+sf(y)}{s+t}}\cdot$
Deuxième partie : utilisation du lemme de Zorn
En raisonnant de proche en proche, on voit que l'on peut prolonger f à des espaces de plus en plus grands. Si G est de codimension finie dans V, alors le procédé ainsi défini s'arrête. Sinon, on utilise l'axiome du choix.
Pour cela, on considère l'ensemble des couples (M,g) dans lesquels M est un sous-espace vectoriel de V contenant G et g est une forme linéaire sur M prolongeant f (en respectant la contrainte de majoration par p), et on l'ordonne partiellement par :
    $(M_{1},g_{1})\leq (M_{2},g_{2})\Longleftrightarrow M_{1}\subset M_{2}$ et $\forall x\in M_{1},g_{1}(x)=g_{2}(x).$
L'ensemble des couples est inductif. En effet, il est non vide (le couple (G, f) est son plus petit élément) et si $(M_{i},g_{i})_{i\in I}$ est une chaîne non vide, on pose :
    $M=\bigcup _{i\in I}M_{i}.$
M est un sous-espace vectoriel. (En général, une union d'espaces vectoriels n'est pas un espace vectoriel, en revanche, ici, c'est le cas car la famille des $M_{i}$ est non vide et totalement ordonnée).
On définit la forme linéaire g sur l'espace M par :
    $g(x)=g_{i}(x)$ si $x\in M_{i}.$
On vérifie aisément que cette définition de g est correcte. (M,g) est alors un majorant de la chaîne $(M_{i},g_{i})_{i\in I}$. Le lemme de Zorn s'applique, et l'on peut alors trouver un sous-espace N maximal sur lequel f se prolonge.
Maintenant si N n'est pas égal à V, alors la première partie de la démonstration montre que l'on peut prolonger f (définie sur N) à un espace strictement plus grand que N, ce qui est en contradiction avec la maximalité de N.

## Un exemple d'application en analyse fonctionnelle

Le corollaire suivant illustre comment le théorème de Hahn-Banach peut produire très facilement des résultats essentiels d'analyse fonctionnelle.
Corollaire — Soit E un espace vectoriel normé, G un sous-espace vectoriel de E et f une forme linéaire continue sur G. On peut alors prolonger f en une forme linéaire continue sur E, de même norme que f.
On note $c=\|f\|$ et on applique le théorème à la fonction convexe $p(x)=c\|x\|$.
Il est inutilement long mais instructif de résoudre la question en utilisant la forme géométrique du théorème de Hahn-Banach : au lieu de penser à la fonction convexe p, on peut aussi penser au convexe ouvert $C$ dont elle est la jauge, à savoir la boule ouverte de centre $0$ et de rayon $1/c$. Si on veut se lancer dans cette voie, il faut introduire alors le sous-espace affine L, ensemble des points x de G tels que f(x)=1. On l'étend en un hyperplan fermé en appliquant Hahn-Banach ; la forme linéaire continue g pour lequel cet hyperplan est l'ensemble d'équation g(x)=1 répond alors au cahier des charges.

## Quelques autres versions du théorème

On trouvera ci-dessous deux variantes de la « forme analytique » qui se déduisent facilement de celle mise en relief. La première fournit une variante du résultat pour les espaces vectoriels complexes ; la seconde précise que sous une bonne hypothèse de symétrie de p, notamment vérifiée quand p est une semi-norme, on peut obtenir une majoration de la valeur absolue (ou du module dans le cas complexe) de la forme linéaire prolongée.
Théorème — Soit V un espace vectoriel sur $\mathbb {C}$ et p une fonction convexe définie sur V, qui ne prend pas la valeur $+\infty$.
Soit G un sous-espace vectoriel de V, et f une forme linéaire sur G qui y vérifie en tout point la condition de majoration : $\mathrm {Re} \,f(x)\leq p(x)$.
Il existe alors un prolongement de f en une forme linéaire sur l'espace V tout entier, vérifiant encore la condition : $\mathrm {Re} f(x)\leq p(x)$ en tout point de V.
Théorème — Soit V un espace vectoriel sur $\mathbb {R}$ ou $\mathbb {C}$ et p une fonction convexe définie sur V, qui ne prend pas la valeur $+\infty$.
On suppose en outre que p possède la propriété de symétrie suivante : pour tout scalaire $\theta$ avec $|\theta |=1$ et tout vecteur x de V, $p(x)=p(\theta x)$.
Soit G un sous-espace vectoriel de V, et f une forme linéaire sur G qui y vérifie en tout point la condition de majoration : $|f(x)|\leq p(x)$.
Il existe alors un prolongement de f en une forme linéaire sur l'espace V tout entier, vérifiant encore la condition : $|f(x)|\leq p(x)$ en tout point de V.
On trouvera des variantes de la forme géométrique à l'article Séparation des convexes.

## Le rôle de l'axiome du choix

Comme on l'a vu, dans la théorie axiomatique de Zermelo-Fraenkel, le lemme de Zorn (équivalent à l'axiome du choix) entraîne le théorème de Hahn-Banach. En réalité, le lemme des ultrafiltres, qui y est une proposition plus faible que l'axiome du choix, est suffisant pour y démontrer le théorème de Hahn-Banach. Mais inversement, on sait depuis des travaux de David Pincus de 1972 que le théorème de Hahn-Banach n'est pas suffisant pour y démontrer le lemme des ultrafiltres. Ainsi, le théorème de Hahn-Banach n'est pas équivalent à l'axiome du choix dans ZF. On doit ajouter à cela que ZF n'est pas à lui seul suffisant pour démontrer Hahn-Banach, dont toute preuve doit donc reposer inévitablement sur un axiome additionnel.

### Ensembles non Lebesgue-mesurables

Signalons enfin que, dans ZF, le théorème de Hahn-Banach suffit à démontrer l'existence de sous-ensembles de ℝ non Lebesgue-mesurables. Pawlikowski a précisé ce résultat de Foreman & Wehrung en montrant que le théorème de Hahn-Banach implique le théorème de Banach-Tarski (qui lui-même fournit l'existence de parties de ℝ non Lebesgue-mesurables).