# Métrique de Minkowski

La métrique de Minkowski est la métrique définissant les propriétés de l'espace-temps de Minkowski. Elle joue un rôle capital dans les théories de la relativité restreinte et générale car elle contient toute l'information topologique de l'espace-temps global en relativité restreinte, et de l'espace-temps local en relativité générale. Elle est invariante par changement de référentiel galiléen par une transformation de Lorentz.

## Définition

En relativité restreinte, l'espace et le temps sont liés par une constante universelle homogène à une vitesse, notée $c$, qui joue le rôle d'une vitesse limite. Cette constante chronogéométrique qui structure l'espace-temps a une valeur égale à la vitesse de la lumière$^,$. L'espace et le temps forment l'espace-temps à quatre dimensions appelé espace de Minkowski. Dans cet espace on utilise préférentiellement les coordonnées galiléennes, rectangulaires autrement dit rectilignes orthogonales, $(t,x,y,z)$, ou les coordonnées galiléennes réduites $(ct,x,y,z)$, où la multiplication de la coordonnées temporelle par $c$ la rend homogène à un espace.
L'intervalle entre deux évènements est un scalaire invariant relativiste ou scalaire de Lorentz appelé métrique de l'espace-temps de Minkowski, dont le carré est défini par la forme (une forme est un polynôme homogène) quadratique :
    $(\Delta s)^{2}=\pm [c^{2}(\Delta t)^{2}-(\Delta x)^{2}-(\Delta y)^{2}-(\Delta z)^{2}]$.
où :
* $t$ est la coordonnée de temps,
* $x,y,z$ sont les trois coordonnées d'espace,
* $c$ est la constante chrono-géométrique.
* le signe est affaire de convention
Dans un référentiel galiléen ${\mathcal {R}}$ de système de coordonnées galiléennes $(x,y,z,t)$, imaginons qu'à l'origine spatiale $O(0,0,0)$ se produise un flash à l'instant initial $t=0$. Supposons que la lumière se propage à la vitesse limite $c$. Un observateur dans ${\mathcal {R}}$ voit une sphère de lumière de centre $O$ s'étendre dans l'espace, d'équation :
    $x^{2}+y^{2}+z^{2}=c^{2}t^{2}$
Soit ${\mathcal {R}}'$ un référentiel galiléen se déplaçant à la vitesse ${\vec {v}}_{e}$ constante dans ${\mathcal {R}}$, selon les axes $x$ et $x'$ confondus, dans le sens des $x$ croissants. On suppose qu'à l'instant initial $t'=t=0$, l'origine spatiale $O'(0,0,0)$ de ${\mathcal {R}}'$ croise celle de ${\mathcal {R}}$. En relativité restreinte comme en mécanique non relativiste, un observateur dans ${\mathcal {R}}'$ voit aussi une sphère de lumière s'étendre dans l'espace. Cependant, par invariance de $c$, en relativité la sphère de lumière vue par un observateur dans ${\mathcal {R}}'$ n'a pas pour centre $O$ mais $O'$, et a pour équation dans ${\mathcal {R}}'$ :
    $x'^{2}+y'^{2}+z'^{2}=c^{2}t'^{2}$
L'équation de la sphère de lumière est invariante par changement de référentiel galiléen, c'est un invariant relativiste. Cela suggère de poser
    $s^{2}=\pm \left(c^{2}t^{2}-x^{2}-y^{2}-z^{2}\right)$
où le signe positif ou négatif est choisi de façon purement conventionnelle. Avec cette définition, si $s^{2}$ est nul dans un référentiel galiléen ${\mathcal {R}}$, alors il est nul dans tout autre référentiel galiléen ${\mathcal {R}}'$, autrement dit $s^{2}$ et $s'^{2}$ sont proportionnels :
    $s^{2}=as'^{2}$
L'espace étant supposé homogène (toute expérience donne le même résultat indépendamment de l'endroit où elle est faite), le facteur de proportionnalité $a$ ne peut être fonction des coordonnées. Le temps étant également supposé homogène (toute expérience donne le même résultat indépendamment de l'époque à laquelle elle est faite), $a$ ne peut être fonction du temps. L'espace étant supposé isotrope (toute expérience donne le même résultat indépendamment de l'orientation choisie), $a$ ne peut être fonction de la direction de la vitesse relative des référentiels. $a$ n'est donc fonction que de la norme euclidienne de la vitesse relative des référentiels :
    $s^{2}=a(v_{e})s'^{2}$
Considérons trois référentiels d'inertie, nous avons alors :
    $s_{1}^{2}=a(v_{12})s_{2}^{2}$
    $s_{2}^{2}=a(v_{23})s_{3}^{2}$
    $s_{1}^{2}=a(v_{13})s_{3}^{2}$
ce qui donne
    $s_{1}^{2}=a(v_{12})a(v_{23})s_{3}^{2}$
c'est-à-dire
    $a(v_{13})=a(v_{12})a(v_{23})$
Cette relation est impossible car $v_{13}$ dépend non seulement des valeurs $v_{12}$ et $v_{23}$, mais aussi de l'angle entre les vecteurs ${\vec {v}}_{12}$ et ${\vec {v}}_{23}$. Par conséquent $a$ est une constante et nous avons :
    $a=a^{2}$
Cela laisse deux possibilités, $a=0$ donne $s=0$ ce qui est impossible, donc $a=1$ et :
    $s^{2}=s'^{2}$
$s$ est la distance spatio-temporelle quadridimensionnelle, invariante par changement de référentiel galiléen, donc absolue dans l'espace-temps.
Il s'agit ici de l'intervalle d'espace-temps entre l'évènement origine $(0,0,0,0)$ et l'évènement $(t,x,y,z)$. Le scalaire $s$ étant invariant par changement de coordonnées spatio-temporelle, on l'appelle quadriscalaire ou scalaire de Lorentz ou encore un invariant de Lorentz.
Si les deux événements ont lieu au même endroit dans le référentiel galiléen de l'observateur alors :
    $\Delta s^{2}=\pm (c^{2}\Delta \tau ^{2})$,
où $\tau$ est le temps propre de l'observateur.
Pour deux événements infiniment proches dans l'espace-temps, la métrique de Minkowski est définie par la forme quadratique différentielle$^,$$^,$$^,$ :
    $\mathrm {d} s^{2}=\pm (c^{2}\mathrm {d} \tau ^{2})=\pm (c^{2}\mathrm {d} t^{2}-\delta _{ij}\mathrm {d} x^{i}\mathrm {d} x^{j})=\pm (c^{2}\mathrm {d} t^{2}-\mathrm {d} x^{2}-\mathrm {d} y^{2}-\mathrm {d} z^{2})$,
où :
* $\mathrm {d} \tau$ est l'intervalle de temps propre ;
* $\mathrm {d} t$ est l'intervalle de temps-coordonnée ;
* $\delta _{ij}$ est le symbole de Kronecker qui représente la métrique de l'espace euclidien à trois dimensions en coordonnées cartésiennes.

### Signature de la métrique de Minkowski

Si l'on écrit le carré de la métrique sous la forme
    $(\Delta s)^{2}=c^{2}(\Delta t)^{2}-(\Delta x)^{2}-(\Delta y)^{2}-(\Delta z)^{2}$
alors la signature de la métrique est $(1,3)$, ou le premier entier indique le nombre de signes positifs, et le second entier le nombre de signes négatifs. On donne souvent la métrique sous sa forme explicite $(+---)$. Si l'on écrit le carré de la métrique sous la forme
    $(\Delta s)^{2}=-c^{2}(\Delta t)^{2}+(\Delta x)^{2}+(\Delta y)^{2}+(\Delta z)^{2}$
alors la signature de la métrique est $(3,1)$, ou sous forme explicite $(-+++)$.
La loi d'inertie de Sylvester stipule que la signature est indépendante du système de coordonnées choisi, autrement dit du référentiel galiléen en relativité.

## Approche tensorielle

Plaçons-nous dans la base naturelle du système de coordonnées galiléennes réduites, formée par les vecteurs unitaires tangents aux lignes de coordonnées. Notons $e_{\mu }$ les quadrivecteurs de base de la base naturelle. Leurs produits scalaires forment les composantes du tenseur métrique de l'espace-temps pseudo-euclidien de Minkowski. En notation indicielle :
    $\eta _{\mu \nu }\equiv e_{\mu }\cdot e_{\nu }$
où :
* l'on utilise la notation habituelle $\eta _{\mu \nu }$ pour désigner spécifiquement les composantes du tenseur métrique de l'espace-temps de Minkowski plutôt que la notation d'usage $g_{\mu \nu }$ pour les tenseurs métriques
* le produit scalaire, plus précisément appelé quadri-produit scalaire, n'est pas euclidien, dans le sens où il n'est pas défini-positif mais "seulement" non dégénéré (condition moins restrictive)
* par symétrie du quadri-produit scalaire le tenseur métrique est symétrique. Il a 4x4=16 composantes, dont 10 sont indépendantes
* le tenseur métrique est diagonal lorsque le système de coordonnées est rectangulaire
* le tenseur métrique est deux fois covariant
Les quadrivecteurs sont invariants par changement de référentiel galiléen (i.e. par changement de coordonnées spatio-temporelles, ou par transformation de Lorentz). Leur norme, leur direction et leur sens ne changent pas, seules leurs composantes changent. Un quadrivecteur $A$ de composantes contravariantes $A^{\mu }$$e_{\mu }$ s'écrit, selon la convention de sommation sur les indices répétés d'Albert Einstein :
    $A=\sum _{\mu =0}^{3}A^{\mu }e_{\mu }=A^{\mu }e_{\mu }$.
Le quadri-produit scalaire de deux quadrivecteurs $A$ et $B$ s'écrit :
    $A\cdot B\equiv A^{\mu }e_{\mu }\cdot B^{\nu }e_{\nu }=A^{\mu }B^{\nu }\eta _{\mu \nu }$
Le quadri-produit scalaire d'un quadrivecteur avec lui-même donne le carré de sa pseudo-norme (qui est donc un invariant ou scalaire de Lorentz):
    $A\cdot A=A^{\mu }e_{\mu }\cdot A^{\nu }e_{\nu }=A^{\mu }A^{\nu }\eta _{\mu \nu }=A^{\mu }A_{\mu }=\|A\|^{2}$
Le vecteur position, appelé quadrivecteur position ou vecteur d'univers, a pour expression :
    $X=x^{\mu }e_{\mu }$
Ses composantes contravariantes s'écrivent :
    $x^{\mu }=(x^{0},x^{1},x^{2},x^{3})=(x^{0},x^{i})=(ct,{\vec {x}})$
où :
* l'indice latin varie de 1 à 3
* ${\vec {x}}$ est le trivecteur position de la mécanique classique
Le carré de sa pseudo-norme est le carré de la métrique de l'espace-temps de Minkowski :
    $X\cdot X=x^{\mu }e_{\mu }\cdot x^{\nu }e_{\nu }=x^{\mu }x^{\nu }\eta _{\mu \nu }=\pm [(x^{0})^{2}-(x^{1})^{2}-(x^{2})^{2}-(x^{3})^{2}]=\pm (c^{2}t^{2}-x^{2}-y^{2}-z^{2})$

### Signature de la métrique de Minkowski

Dans le premier cas, si l'on conserve le signe positif, le carré de la pseudo-norme des vecteurs de base de la base naturelle ont pour expression $e_{\mu }^{2}=\{1$ si $\mu =0$ et $-1$ si $\mu =1,2,3\$. Le tenseur métrique s'écrit alors en notation matricielle :
    $\eta _{\mu \nu }={\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&-1&0&0\\0&0&-1&0\\0&0&0&-1\end{pmatrix}}$.
Il a pour signature $(+---)$.
Dans la seconde convention de signe, si l'on garde le signe négatif, le tenseur métrique s'écrit :
    $\eta _{\mu \nu }={\begin{pmatrix}-1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}}$.
Il a pour signature $(-+++)$.

## Propriétés

Pour une signature $(+---)$, la forme quadratique $Q({\widetilde {x}})={\widetilde {x}}\cdot {\widetilde {x}}={\widetilde {x}}^{2}$ est de genre temps lorsque ${\widetilde {x}}^{2}>0$, de genre lumière lorsque ${\widetilde {x}}^{2}=0$ et de genre espace lorsque ${\widetilde {x}}^{2}<0$. Cette classification est invariante par changement de référentiel galiléen.
Il est à noter qu'en relativité générale, toute métrique peut être remplacée par la métrique de Minkowski dans un système de coordonnées géodésiques locales (au voisinage infinitésimal d'un événement). L'espace-temps de Minkowski est l'espace osculateur (tangent à l'ordre deux) à la variété riemannienne qui modélise l'espace-temps courbe de la relativité générale.
Le tenseur métrique $\eta _{\mu \nu }$ et son inverse $\eta ^{\mu \nu }$ coïncident :
    $\eta _{\mu \nu }=(\eta _{\mu \nu })^{-1}=\eta ^{\mu \nu }$
et
    $\eta ^{\mu \nu }\eta _{\mu \nu }=4$.