# Groupe de Heisenberg

En mathématiques, le groupe de Heisenberg d'un anneau unifère A (non nécessairement commutatif) est le groupe multiplicatif des matrices triangulaires supérieures de taille 3 à coefficients dans A et dont les éléments diagonaux sont égaux au neutre multiplicatif de l'anneau :
$H_{3}(A)=\left\{\left.{\begin{pmatrix}1&a&c\\0&1&b\\0&0&1\\\end{pmatrix}}~\right|~a,b,c\in A\right\}.$
Originellement, l'anneau A choisi par Werner Heisenberg était le corps ℝ des réels. Le « groupe de Heisenberg continu », $H_{3}(\mathbb {R} )$, lui a permis d'expliquer, en mécanique quantique, l'équivalence entre la représentation de Heisenberg et celle de Schrödinger. On peut généraliser sa définition en géométrie symplectique.
Le « groupe de Heisenberg discret » $H_{3}(\mathbb {Z} )$ correspond à l'anneau ℤ des entiers.
Le groupe de Heisenberg $H_{3}({\rm {F}}_{p})$, où p est un nombre premier, correspond au corps premier fini F$_p$ = ℤ/pℤ. C'est un p-groupe fini, d'ordre p$^3$.

## Structure de groupe

$H_{3}(A)$ est un sous-groupe du groupe linéaire GL(3, A).
La loi sur A$^3$ induite par la bijection
$A^{3}\to H_{3}(A),\quad (a,b,c)\mapsto {\begin{pmatrix}1&a&c\\0&1&b\\0&0&1\\\end{pmatrix}},$
est :
$(a,b,c)(a',b',c')=(a+a',b+b',c+c'+ab').$
C'est donc le produit semi-direct A⋉(A×A), le groupe additif A agissant sur le produit direct A×A par : a⋅(b, c) = (b, c + ab).
Par construction, A$^3$ muni de cette loi est un groupe isomorphe à $H_{3}(A)$, dans lequel :
* les puissances n-ièmes sont données par $(a,b,c)^{n}=\left(na,nb,nc+{\frac {n(n-1)}{2}}ab\right)$,
* le symétrique de $(a,b,c)$ est $(-a,-b,-c+ab)$, donc
* le commutateur $\left[x,y\right]:=xyx^{-1}y^{-1}$ de $x:=(a,b,c)$ et $y:=(a',b',c')$ est $(0,0,ab'-ba')$, donc
* le groupe dérivé et le centre sont égaux à 0×0×A.
Le groupe $H_{3}(A)$ est par conséquent nilpotent de classe 2, donc non abélien (sauf si A est l'anneau nul, auquel cas le groupe est trivial).

## Groupe de Heisenberg continu

$H_{3}(\mathbb {R} )$ est un groupe de Lie réel de dimension 3. Le groupe de Heisenberg discret $H_{3}(\mathbb {Z} )$ en est un réseau.

## Géométrie symplectique linéaire

Plus généralement, on peut associer un groupe de Heisenberg à tout espace vectoriel symplectique $(V,\omega )$ ($\omega$ est une forme bilinéaire non dégénérée alternée sur $V$). Le groupe de Heisenberg $H(V)$ est l'espace topologique produit $V\times \mathbb {R}$, muni de la loi de groupe :
    $(v_{1},t_{1})*(v_{2},t_{2})=\left(v_{1}+v_{2},t_{1}+t_{2}+{\tfrac {1}{2}}\omega (v_{1},v_{2})\right).$
Le groupe $H(V)$ est une extension du groupe additif de $V$. L'algèbre de Lie de $H(V)$ est l'espace vectoriel $h(V)=V\oplus \mathbb {R}$, muni du crochet de Lie
    $[(v_{1},t_{1}),(v_{2},t_{2})]=(0,\omega (v_{1},v_{2})).$

## Groupe de Heisenberg discret

Le groupe $H_{3}(\mathbb {Z} )$, identifié à $\mathbb {Z} ^{3}$ muni de la loi ci-dessus, est engendré par $x:=(1,0,0)$ et $y:=(0,1,0)$. En faisant intervenir leur commutateur $z:=\left[x,y\right]=(0,0,1)$, on démontre qu'une présentation de ce groupe est donnée par trois générateurs $x,y,z$ et trois relations : $z=xyx^{-1}y^{-1}$, $xz=zx$ et $yz=zy$.
D'après le théorème de Bass, $H_{3}(\mathbb {Z} )$ a une croissance (en) polynomiale d'ordre 4.

## Groupe de Heisenberg sur F$_p$

D'après sa structure (voir supra) :
* $H_{3}({\rm {F}}_{p})$ a un centre d'ordre p et son quotient par ce centre est un p-groupe abélien élémentaire (isomorphe à (ℤ/pℤ)×(ℤ/pℤ)) : on dit que $H_{3}({\rm {F}}_{p})$ est un p-groupe extra-spécial (en) ;
* ce quotient est aussi l'abélianisé de $H_{3}({\rm {F}}_{p})$.

### Cas p premier impair

Le groupe $H_{3}({\rm {F}}_{p})$ est le quotient de $H_{3}(\mathbb {Z} )=\mathbb {Z} \ltimes (\mathbb {Z} \times \mathbb {Z} )$ par le sous-groupe normal $p\mathbb {Z} \ltimes (p\mathbb {Z} \times p\mathbb {Z} )$. Comme p est impair, ce sous-groupe est constitué des puissances p-ièmes d'éléments du groupe. Une présentation de $H_{3}({\rm {F}}_{p})$ (déduite de celle de $H_{3}(\mathbb {Z} )$ ci-dessus) est donc donnée par trois générateurs $x,y,z$ et les relations : $z=xyx^{-1}y^{-1}$, $xz=zx$, $yz=zy$ et $x^{p}=y^{p}=z^{p}=1$.
L'exposant de $H_{3}({\rm {F}}_{p})$ est p.

### Cas p = 2

Le groupe $H_{3}({\rm {F}}_{2})$ est isomorphe au groupe diédral D$_8$. En effet, il est d'ordre 8 et engendré par les images ${\overline {x}},{\overline {y}}$ des générateurs $x,y$ de $H_{3}(\mathbb {Z} )$, ou encore par $\sigma :={\overline {x}}$, d'ordre 2 et $\tau :={\overline {x}}{\overline {y}}$, d'ordre 4, qui vérifient $\sigma \tau \sigma ^{-1}=\tau ^{-1}.$