# Théorème de Stone-Weierstrass

En mathématiques, le théorème de Stone-Weierstrass est une généralisation du théorème d'approximation de Weierstrass en analyse réelle, selon lequel toute fonction continue définie sur un segment peut être approchée uniformément par des fonctions polynomiales.
La généralisation par Marshall Stone étend ce résultat aux fonctions continues définies sur un espace compact et à valeurs réelles, en remplaçant l'algèbre des fonctions polynomiales par une sous-algèbre ou un treillis vérifiant des hypothèses naturelles.

## Théorème d'approximation de Weierstrass

Soit f une fonction continue de [a, b] dans ℝ.
   Pour tout ε > 0, il existe une fonction polynomiale p à coefficients réels telle que pour tout x dans [a, b], |f(x) – p(x)| ≤ ε.
ou encore :
   Il existe une suite (P$_n$) de polynômes convergeant uniformément vers f sur [a, b].
L'ensemble C([a, b]) des fonctions à valeurs réelles et continues sur [a, b], muni de la norme infinie $\|f\|=\sup _{x\in [a,b]}|f(x)|$, est une algèbre de Banach (c.-à-d. une ℝ-algèbre associative et un espace de Banach telle que $\|f\cdot g\|\leq \|f\|\cdot \|g\|$ pour tout f et g). L'ensemble des fonctions polynomiales forme une sous-algèbre de C([a, b]) et le théorème d'approximation de Weierstrass affirme que cette sous-algèbre est dense dans C([a, b]).
Supposons le théorème vrai pour toute fonction continue sur un segment fixé [c, d] (avec c < d), et montrons qu'il l'est encore pour une fonction f continue sur un autre segment [a, b] (avec a < b). Choisissons pour cela un homéomorphisme polynomial Φ : [a, b] → [c, d] — par exemple la bijection affine x ↦ c + (x – a)(d – c)/(b – a) — et notons g la fonction f ∘ Φ$^{−1}$, qui sur [c, d] est continue donc (par hypothèse) limite uniforme d'une suite de polynômes g$_n$. Posons f$_n$ := g$_n$ ∘ Φ. C'est encore une fonction polynomiale, définie cette fois sur [a, b] et (puisque Φ est une bijection de [a, b] sur [c, d]) ║f – f$_n$║ = ║(g – g$_n$)∘ Φ║ = ║g – g$_n$║ → 0.
Ci-dessous, un exemple d'une suite de polynômes convergeant vers la fonction valeur absolue sur l'intervalle [–1, 1].

## Autres versions et généralisations
### Version trigonométrique

Pour toute fonction f continue périodique, il existe une suite de polynômes trigonométriques qui converge uniformément vers f.
Issu de la théorie des séries de Fourier, le théorème de Fejér donne un exemple constructif d'une telle suite.

### Loi des grands nombres

S. Bernstein a donné une démonstration constructive et probabiliste du théorème de Weierstrass sur [0, 1], en prouvant qu'on pouvait prendre :
    $P_{n}(x)=\sum _{k=0}^{n}f\left({\frac {k}{n}}\right)B_{k}^{n}(x)$
où les $B_{k}^{n}(x)={n \choose k}x^{k}(1-x)^{n-k}$ sont les polynômes de Bernstein.
En effet, si X est une variable aléatoire suivant la loi binomiale de paramètres (n, x), alors P$_n$(x) est l'espérance de f(X/n), c'est-à-dire la moyenne de f appliquée au nombre de succès de n expériences indépendantes de probabilité x. La convergence simple de P$_n$(x) vers f(x) pour tout x est une conséquence de la loi faible des grands nombres. En majorant la probabilité de l'écart entre X/n et x, on en déduit la convergence uniforme de P$_n$ vers f.

### Théorème de Stone-Weierstrass, version algébrique

Le théorème d'approximation se généralise dans deux directions :
* L'intervalle compact [a, b] peut être remplacé par un espace compact X.
* L'algèbre des fonctions polynomiales peut être remplacée par une autre sous-algèbre A de C(X) à condition qu'elle vérifie une propriété cruciale qui est de séparer les points (en) (un sous-ensemble A de C(X) sépare les points si pour toute paire {x, y} de points de X, il existe une fonction p de A telle que p(x) ≠ p(y)).
Dans ce cadre, le théorème s'écrit :
Théorème — Soient X un espace compact et C(X) l'algèbre de Banach des fonctions continues de X dans ℝ. Une sous-algèbre est dense dans C(X) si (et seulement si) elle sépare les points et contient, pour tout point x de X, une fonction qui ne s'annule pas en x.
Puisque les polynômes sur [a, b] forment une sous-algèbre unifère de C([a, b]) qui sépare les points, le théorème de Weierstrass est une conséquence du théorème ci-dessus.
Le corps des réels peut être remplacé par celui des complexes, à condition de supposer que A est stable par conjugaison.
Ce théorème se déduit du théorème de Stone-Weierstrass « version treillis » (ci-dessous) et des deux lemmes suivants.
Lemme 1 — Pour tout réel a > 0, il existe une suite de polynômes qui converge uniformément sur [–a, a] vers la fonction x ↦ |x|.
Lemme 2 — Toute sous-algèbre fermée de C(X) est un treillis.
* Lemme 1. Par homothétie, il suffit d'approximer par des polynômes la fonction valeur absolue sur [–1, 1]. Pour cela, on écrit |x| = √1 – (1 – x$^2$) et l'on utilise que la série de Taylor de la fonction h ↦√1 – h est normalement convergente sur [0, 1].
* Lemme 2. Soit L cette sous-algèbre. En vertu des relations$\max(g,h)={\frac {g+h}{2}}+{\frac {|g-h|}{2}}{\text{ et }}\min(g,h)={\frac {g+h}{2}}-{\frac {|g-h|}{2}},$il suffit de démontrer que si f ∈ L alors |f| ∈ L. En prenant$a=\max _{x\in X}\left|f(x)\right|,$qui existe par continuité et compacité, on trouve par le lemme 1 une suite de polynômes (P$_n$) qui converge uniformément sur [–a, a] vers la fonction valeur absolue. Quitte à retrancher à chacun de ces polynômes son terme constant, on peut les supposer de plus nuls en 0. Les P$_n$(f) forment alors une suite de fonctions de L, qui converge uniformément sur X vers |f|.
Soit L l'adhérence de la sous-algèbre A.
* Par continuité de la multiplication, de l'addition et du produit par un scalaire, L est une sous-algèbre.
* D'après le lemme 2, c'est un treillis.
* Montrons que l'hypothèse du théorème de Stone-Weierstrass « version treillis » est vérifiée. Soient deux points distincts x et y de X et deux réels a et b. À partir de$p,q,r\in A{\text{ telles que }}p(x)\neq p(y),q(x)\neq 0,r(y)\neq 0,$on construit d'abord$g\in A{\text{ telle que }}g(x)\neq g(y),g(x)\neq 0,g(y)\neq 0,$en posant g = p + uq + vr pour des réels u et v convenablement choisis. Il existe alors des réels α et β tels que la fonction$f=\alpha g+\beta g^{2}$(qui appartient à A donc à L) vérifie f(x) = a et f(y) = b.
Il en résulte que L est dense dans C(X) donc égal à C(X), c'est-à-dire que A est dense dans C(X).

### Fonctions entières

En 1885, Weierstrass avait aussi démontré un théorème analogue pour les fonctions entières (les fonctions holomorphes dans tout le plan complexe), que Torsten Carleman a généralisé en 1927, en montrant que toute fonction continue sur R est limite uniforme (sur R) d'une suite de fonctions entières. Suivant une remarque de Marcel Brelot, Wilfred Kaplan (en) a montré que la preuve de Carleman produisait même le résultat suivant :
Théorème de Carleman$^,$ — Soit $Q:\mathbb {R} \to \mathbb {C}$ une fonction continue. Pour toute fonction continue $E:\mathbb {R} \to \left]0,+\infty \right[$, il existe une fonction entière $f$ telle que : $\forall x\in \mathbb {R} \quad |f(x)-Q(x)|<E(x)$.

### Applications

Le théorème de Stone-Weierstrass permet de démontrer les quatre propositions suivantes :
* si f est une fonction continue à valeurs réelles définie sur le pavé [a, b] × [c, d] et si ε est réel strictement positif, alors il existe une fonction polynomiale p à deux variables telle que pour tous x dans [a,b] et y dans [c, d], |f(x,y) – p(x,y)| < ε.
* si X et Y sont deux espaces compacts et si f : X×Y → ℝ est une fonction continue alors, pour tout ε > 0, il existe n > 0 et des fonctions continues f$_1$, f$_2$, … , f$_n$ sur X et g$_1$, g$_2$, … , g$_n$ sur Y telles que ║f – ∑$_i$ f$_i$g$_i$║ < ε
* Une mesure bornée sur [a, b] dont tous les moments sont nuls est nulle (cf. Problème des moments). Par exemple, si une fonction intégrable f de [0, 1] dans ℝ est telle que$\forall p\in \mathbb {N} ,~\int _{0}^{1}t^{p}f(t)~\mathrm {d} t=0,$alors f est nulle presque partout (donc partout si elle est continue).
* Si X est un espace métrique compact (donc séparable) alors l'algèbre de Banach C(X) est séparable. Il suffit en effet de choisir dans X une partie Y dénombrable dense, de définir sur X, pour tout élément y de Y, une fonction f$_y$ par f$_y$(x) = d(x, y), et de prendre pour A la sous-ℝ-algèbre unifère de C(X) engendrée par ces f$_y$ : puisque A est dense dans C(X) d'après le théorème, la sous-ℚ-algèbre unifère engendrée par ces mêmes f$_y$ (dénombrable et dense dans A) est dense dans C(X).
* Si f est une fonction continue sur [a;b] alors f admet une primitive sur ce segment. Cette preuve fournit l'existence d'une primitive sans faire intervenir une notion d'intégrale.
Certains résultats valables pour des fonctions continues peuvent être ramenés au cas de fonctions indéfiniment dérivables en utilisant le théorème de Stone-Weierstrass. C'est ainsi qu'on obtient une démonstration du théorème du point fixe de Brouwer en utilisant le théorème de Stokes.

### Théorème de Stone-Weierstrass, version treillis

Soit X un espace compact. Un sous-ensemble L de C(X) est appelé un treillis de C(X) si pour deux éléments quelconques f, g de L, les fonctions max(f,g) et min(f,g) appartiennent aussi à L. La version treillis du théorème de Stone-Weierstrass affirme que :
Théorème — Si X est un espace compact avec au moins deux points et si L est un treillis de C(X) tel que, pour tous points distincts x et y de X et tous réels a et b, L contient une fonction f vérifiant f(x) = a et f(y) = b, alors L est dense dans C(X).
Cette version plus générale résulte immédiatement du lemme suivant.
Lemme 3 — Soit L un treillis de C(X). Pour qu'une fonction g de C(X) appartienne à l'adhérence de L, (il faut et) il suffit que pour tous x, y ∈ X et tout ε > 0, il existe une fonction f ∈ L telle que
$|f(x)-g(x)|<\varepsilon {\text{ et }}|f(y)-g(y)|<\varepsilon .$
Soient ε > 0 et g ∈ C(X) vérifiant cette condition. On va construire une fonction f ∈ L qui approxime g uniformément à ε près.
* On fixe d'abord un élément z ∈ X. Soit x ∈ X. Par hypothèse, il existe une fonction f$_{z,x}$ ∈ L telle que$f_{z,x}(z)>g(z)-\varepsilon {\text{ et }}f_{z,x}(x)<g(x)+\varepsilon .$On pose alors$V_{z,x}=\{y\in X\mid f_{z,x}(y)<g(y)+\varepsilon \}$qui contient x et qui est un ouvert, par continuité de f$_{z,x}$ et g. La famille (V$_{z,x}$)$_{x∈X}$ est un recouvrement ouvert de X, et par compacité on peut en extraire un recouvrement fini (V$_{z,x}$)$_{x∈Az}$. On peut alors poser$h_{z}=\min _{x\in A_{z}}f_{z,x}$qui appartient au treillis L. Remarquons que la fonction h$_z$ vérifie$h_{z}(z)>g(z)-\varepsilon {\text{ et }}\forall y\in X,h_{z}(y)<g(y)+\varepsilon .$
* On regarde maintenant la famille (h$_z$)$_{z∈X}$. On pose$U_{z}=\{y\in X\mid h_{z}(y)>g(y)-\varepsilon \}$qui contient z et qui est ouvert, pour les mêmes raisons que les V$_{z,x}$. La famille (U$_z$)$_{z∈X}$ recouvre X, et par compacité on extrait un sous recouvrement fini (U$_z$)$_{z∈B}$ On pose$f=\max _{z\in B}h_{z}$qui appartient à L.
La fonction f vérifie alors
$\forall x\in X,\quad g(x)-\varepsilon <f(x)<g(x)+\varepsilon$
comme attendu.