# Plus petit commun multiple

En mathématiques, et plus précisément en arithmétique, le plus petit commun multiple – en abrégé PPCM – (peut s'appeler aussi PPMC, soit « plus petit multiple commun ») de deux entiers non nuls a et b est le plus petit entier strictement positif qui soit multiple de ces deux nombres. On le note a ∨ b ou PPCM(a, b), ou parfois simplement [a, b].
Plus généralement, le PPCM se définit pour un nombre quelconque d'éléments : le PPCM de n entiers non nuls est le plus petit entier strictement positif multiple simultanément de ces n entiers.
On peut également définir le PPCM de a et b comme un multiple commun de a et de b qui divise tous les autres. Cette seconde définition se généralise à un anneau commutatif quelconque, mais on perd en général l'existence et l'unicité ; on parle alors d'un PPCM de deux éléments. L'existence est assurée dans les anneaux factoriels.

## PPCM de nombres entiers
### Définition et existence

La définition historique du PPCM a été établie par Euclide pour deux entiers naturels non nuls : PPCM (a, b) est le plus petit entier naturel non nul qui soit multiple de a et de b , où a et b sont des entiers naturels non nuls.
Cette définition a été élargie depuis au cas où l'un des entiers est nul par la définition : PPCM (a, 0) = 0. Puis au cas de tous les entiers, par la définition : PPCM(a, b) = PPCM (|a|, |b|) avec |a|=a si a>0 et |a|=-a sinon.
La définition moderne du PPCM est donc la suivante, pour a et b entiers relatifs :
* si a ou b est nul, PPCM(a, b) = 0 ;
* si a et b sont non nuls, l'ensemble des entiers strictement positifs qui sont multiples à la fois de a et de b est non vide, car il contient |ab|. Il possède donc un plus petit élément, et c'est cet entier (strictement positif) que l'on appelle le PPCM de a et b :
$\operatorname {PPCM} (a,b)=\min \left(\left\{m\in \mathbb {N} ^{*}\mid a|m~{\rm {et}}~b|m\right\}\right)$
Cette définition peut être étendue à un nombre quelconques d'entiers, avec, par exemple pour trois entiers a, b, c :
$\operatorname {PPCM} (a,b,c)=\min \left(\left\{m\in \mathbb {N} ^{*}\mid a|m~{\rm {,}}~b|m{\rm {,}}~c|m\right\}\right)$
Tous les raisonnements et toutes les propriétés du PPCM d'entiers relatifs sont donc ceux du PPCM d'entiers naturels : dans la suite de ce chapitre, les nombres a, b, c, etc. seront donc supposés être des entiers positifs ou nuls.

### Propriétés

Soient a, b, c trois entiers naturels.
* $\operatorname {PPCM} (a,a)=a$
* $\operatorname {PPCM} (a,b)=\operatorname {PPCM} (b,a)$
* les multiples communs à a et b sont les multiples de $\operatorname {PPCM} (a,b)$; en particulier : $\operatorname {PPCM} (a,b)=a\iff b\mid a$
* $\operatorname {PPCM} (ac,bc)=c\operatorname {PPCM} (a,b)$
* $(b-a)\operatorname {PPCM} (a,b)=b\operatorname {PPCM} (a,b-a)$ pour $b\geqslant a$
* $\operatorname {PPCM} (a,b,c)=\operatorname {PPCM} (\operatorname {PPCM} (a,b),c)=\operatorname {PPCM} (a,\operatorname {PPCM} (b,c))$, propriété qui peut être étendue à un nombre arbitraire d'éléments et qui montre qu'on peut calculer le PPCM de plusieurs nombres progressivement à partir du PPCM de deux nombres

### Relations entre PPCM et PGCD

Le PPCM et le plus grand commun diviseur (PGCD) de nombres entiers sont reliés par plusieurs formules, notamment :
* $\operatorname {PPCM} (a,b)\times \operatorname {PGCD} (a,b)=ab$
* $\operatorname {PGCD} (a,\operatorname {PPCM} (a,b))=\operatorname {PPCM} (a,\operatorname {PGCD} (a,b))=a$
* $\operatorname {PGCD} (a,\operatorname {PPCM} (b,c))=\operatorname {PPCM} (\operatorname {PGCD} (a,b),\operatorname {PGCD} (a,c))$
* $\operatorname {PPCM} (a,\operatorname {PGCD} (b,c))=\operatorname {PGCD} (\operatorname {PPCM} (a,b),\operatorname {PPCM} (a,c))$
* $\operatorname {PGCD} (\operatorname {PPCM} (a,b),\operatorname {PPCM} (b,c),\operatorname {PPCM} (a,c))=\operatorname {PPCM} (\operatorname {PGCD} (a,b),\operatorname {PGCD} (b,c),\operatorname {PGCD} (a,c))$.

### PPCM et facteurs premiers

D'après le théorème fondamental de l'arithmétique, tout entier n naturel non nul s'écrit de manière unique à l'ordre près des facteurs comme un produit fini de nombres premiers. Donc si $a$ et $b$ sont deux entiers, et $p_{1},p_{2}$, …, $p_{k}$ sont les nombres premiers, rangés en ordre croissant, qui divisent $a$ ou $b$, la décomposition de $a$ en produit de facteurs premiers est de la forme $a=p_{1}^{v_{p_{1}}(a)}\times p_{2}^{v_{p_{2}}(a)}\times$…..$\times p_{k}^{v_{p_{k}}(a)}$ = $\prod _{i=1}^{k}{p_{i}}^{v_{p_{i}}(a)}$. De même, celle de $b$ est de la forme $b=\prod _{i=1}^{k}{p_{i}}^{v_{p_{i}}(b)}$. Alors: $\mathrm {PPCM} (a,b)=\prod _{i=1}^{k}{p_{i}}^{\max(v_{p_{i}}(a),v_{p_{i}}(b))}$.
Cette propriété permet de calculer le PPCM de toute famille d'entiers, et de démontrer que tout multiple commun aux éléments de cette famille est un multiple de leur PPCM.

## Calcul du PPCM de nombres entiers
### À l'aide du PGCD

Dès que l'un des deux entiers a ou b est non nul, leur PPCM peut être calculé en utilisant leur plus grand commun diviseur (PGCD) :
$\operatorname {PPCM} (a,b)={\dfrac {|ab|}{\operatorname {PGCD} (a,b)}}$
Ainsi, l'algorithme d'Euclide pour le calcul du PGCD permet de calculer aussi le PPCM. A titre d'exemple, calculons PGCD(60, 168) avec l'algorithme d'Euclide : 168 = 60 × 2 + 48 60 = 48 × 1 + 12 48 = 12 × 4 + 0.
Donc PGCD(60, 168) = 12 et PPCM(60, 168) = (60×168)/12 = 840.

### À l'aide de la décomposition en facteurs premiers

La décomposition en facteurs premiers du PPCM de n entiers strictement positifs contient tous les nombres premiers qui apparaissent dans au moins une des décompositions en facteurs premiers de ces n entiers, chacun affecté du plus grand exposant qui apparait dans celles-ci.
On obtient donc une méthode de calcul du PPCM en décomposant chaque nombre en produit de nombres premiers.
Exemple : prenons les nombres 60 et 168 et décomposons les en produits de facteurs premiers. On a :
* 60 = 2×2×3×5 = 2$^2$×3×5 ;
* 168 = 2×2×2×3×7 = 2$^3$×3×7.
Pour le nombre premier 2, le plus grand exposant est 3. Pour les nombres premiers 3, 5 et 7, le plus grand exposant est 1. On a ainsi PPCM(60, 168) = 2$^3$×3×5×7 = 840

## Généralisation à certains anneaux

Le concept de PPCM peut être étendu à d'autres ensembles mathématiques que celui des entiers relatifs, et notamment à certains anneaux comme les anneaux à PGCD : l'unicité et même l'existence du PPCM de deux éléments n'y sont pas garanties, mais le PPCM peut y être défini.
Dans les anneaux factoriels, qui sont des anneaux à PGCD dotés de propriétés supplémentaires, l'existence du PGCD et du PPCM de deux éléments est garantie, et leur unicité également, aux éléments inversibles près. On peut alors décomposer tout élément $a$ non nul d'un tel anneau sous la forme : $a\sim \prod _{p}{p}^{v_{p}(a)}$, qui est la généralisation de la décomposition en produits de facteurs premiers d'entiers.
Et le PGCD et le PPCM de $a$ et de $b$ sont définis comme :
$\mathrm {PGCD} (a,b)\sim \prod _{p}{p}^{\min(v_{p}(a),v_{p}(b))}$
$\mathrm {PPCM} (a,b)\sim \prod _{p}{p}^{\max(v_{p}(a),v_{p}(b))}$
On a alors les relations suivantes :
${\rm {PGCD}}(a,b)\times {\rm {PPCM}}(a,b)\sim ab$
${\rm {PPCM}}(ac,bc)\sim c\times {\rm {PPCM}}(a,b)$