# Logarithme népérien

Le logarithme népérien, ou logarithme naturel, ou encore jusqu'au XXe siècle logarithme hyperbolique, transforme, comme les autres fonctions logarithmes, les produits en sommes. L'utilisation de telles fonctions permet de faciliter les calculs comprenant de nombreuses multiplications, divisions et élévations à des puissances rationnelles. Il est souvent noté ln.
Le logarithme naturel ou népérien est dit de base e car ln(e) = 1.
Le logarithme népérien d'un nombre x peut également être défini comme la puissance à laquelle il faut élever e pour obtenir x. La fonction logarithme népérien est donc la bijection réciproque de la fonction exponentielle. C'est également la primitive définie sur les réels strictement positifs et qui s'annule en 1 de la fonction inverse x ↦ 1/x.
Cette fonction fut notée l. ou l, dès le début du XVIIIe siècle, et jusque dans la première moitié du XIXe siècle, puis log. ou log dès la fin du XVIIIe siècle, puis Log pour la différencier de la fonction log (logarithme de base quelconque, ou plus particulièrement logarithme décimal), ou encore logh (« logarithme hyperbolique »), avant que ne tente de s'imposer la notation préconisée par les normes AFNOR de 1961 et ISO 80000-2 : la notation ln. Avec un succès cependant très relatif : la notation log est encore aujourd'hui utilisée dans plusieurs branches des mathématiques, et tout particulièrement en théorie des nombres, ainsi que dans plusieurs langages de programmation, comme C, C++, SAS, R, MATLAB, Mathematica, Fortran, et BASIC.

## Historique

Ce logarithme est appelé népérien, en hommage au mathématicien écossais John Napier qui établit les premières tables logarithmiques (lesquelles ne sont en fait pas des tables de logarithmes népériens). On date en général l'origine des logarithmes népériens en 1647, lorsque Grégoire de Saint-Vincent travaille sur la quadrature de l'hyperbole et démontre que la fonction obtenue vérifie la propriété d'additivité des fonctions logarithmes. Saint-Vincent ne voit cependant pas de lien avec les logarithmes de Napier, et c'est son disciple Alphonse Antoine de Sarasa qui l'expliquera en 1649. Le logarithme népérien s'est tout d'abord appelé « logarithme hyperbolique », en référence à l'aire sous l'hyperbole qu'il représente. L’appellation « logarithme naturel », due à Pietro Mengoli en 1659, est reprise en 1668 dans une note de Nicolaus Mercator sur la série qui porte son nom. Cette série, exploitée par Newton en 1671, permet de calculer assez simplement les valeurs du logarithme de Grégoire de Saint-Vincent. Le calcul des autres logarithmes apparaît alors bien compliqué et, naturellement, celui de Grégoire de Saint-Vincent devient alors le logarithme le plus naturel.

## La fonction logarithme naturel comme primitive de la fonction inverse

La fonction x ↦ 1/x est continue sur ]0, +∞[. Elle admet donc des primitives dont une seule s'annule en 1. Cette primitive est appelée logarithme naturel et est donc définie par :
$\forall x\in \mathbb {R} _{+}^{*}\quad \ln(x)=\int _{1}^{x}{\frac {1}{t}}~\mathrm {d} t.$

## Étude de la fonction

* La fonction logarithme naturel est définie et dérivable (donc continue) sur ]0, +∞[ et pour tout réel x strictement positif,$(\ln )'(x)={\frac {1}{x}}.$
* Puisque cette dérivée est strictement positive, le logarithme naturel est strictement croissant.
* Puisque cette dérivée est strictement décroissante, le logarithme naturel est strictement concave.
* Les limites de la fonction aux bornes de son intervalle de définition sont :$\lim \limits _{x\to 0^{+}}\ln(x)=-\infty \qquad {\text{et}}\qquad \lim \limits _{x\to +\infty }\ln(x)=+\infty .$C'est donc une bijection de ]0, +∞[ sur ℝ.
* Son nombre dérivé au point 1 (qui donne la pente de la tangente au graphe au point de coordonnées (1, 0)) est :$\lim \limits _{h\to 0}{\frac {\ln(1+h)}{h}}=1.$

## Propriétés algébriques

Le logarithme naturel vérifie la même équation fonctionnelle que toute fonction logarithme. C'est une fonction continue vérifiant, pour tous réels x et y strictement positifs,
$\ln(xy)=\ln(x)+\ln(y).$
En effet, pour y > 0 fixé, la fonction x ↦ ln(xy) (définie sur ]0, +∞ a la même dérivée que le logarithme naturel, donc en diffère d'une constante réelle k : ln(xy) = ln(x) + k, avec k = ln(y) puisque ln(1y) = ln(1) + k = k.
De cette propriété algébrique, on déduit les suivantes, pour tous réels a et b strictement positifs :
* $\ln \left({\frac {a}{b}}\right)=\ln(a)-\ln(b)$
* $\forall r\in \mathbb {Q} \quad \ln(a^{r})=r\ln(a).$
Puis par continuité
* $\forall x\in \mathbb {R} \quad \ln(a^{x})=x\ln(a).$
Le fait que toutes les fonctions logarithmes soient proportionnelles entre elles permet d'obtenir, pour tout réel a strictement positif, le logarithme de base a en fonction du logarithme népérien :
$\log _{a}(x)={\frac {\ln(x)}{\ln(a)}}.$

## La fonction logarithme naturel comme réciproque de la fonction exponentielle

L'étude de la fonction logarithme naturel a montré que c'est une bijection de ]0, +∞[ dans ℝ. Sa bijection réciproque, de ℝ dans ]0, +∞[, coïncide avec la fonction exponentielle, puisqu'elle est sa propre dérivée et prend la valeur 1 en 0. Ceci fournit une définition possible de la fonction exponentielle à partir du logarithme. Inversement, on aurait pu définir le logarithme comme la bijection réciproque de l'exponentielle et vérifier alors sa caractérisation ci-dessus.
Soient f : ]0, +∞[ → ℝ et g : ℝ → ]0, +∞[ deux bijections, réciproques l'une de l'autre. On a bien sûr : f(1)=0 si et seulement si g(0)=1. Montrons, grâce au théorème sur la dérivée d'une bijection réciproque, que f est une primitive de x↦1/x si et seulement si g est sa propre dérivée.
Si f est dérivable et si pour tout réel x > 0, f ' (x) = 1/x, alors g est dérivable et
$\forall y\in \mathbb {R} \qquad g'(y)={\frac {1}{f'(g(y))}}=g(y).$
Réciproquement, si g est dérivable et si pour tout réel y, g ' (y) = g(y), alors f est dérivable et
$\forall x\in ]0,+\infty [\qquad f'(x)={\frac {1}{g'(f(x))}}={\frac {1}{g(f(x))}}={\frac {1}{x}}.$
Autrement dit :
$\forall x\in \mathbb {R} _{+}^{\star }\quad {\rm {e}}^{\ln(x)}=x\qquad {\text{et}}\qquad \forall y\in \mathbb {R} \quad \ln({\rm {e}}^{y})=y,$
ce qui se résume en :
$\forall x\in \mathbb {R} _{+}^{*},~\forall y\in \mathbb {R} \quad y=\ln(x)\Leftrightarrow x={\rm {e}}^{y}$
et permet de résoudre des équations dans lesquelles l'inconnue apparaît en exposant.
Cette relation permet d'exprimer toutes les autres fonctions exponentielles de base un réel a strictement positif par (pour tout réel x) :
$a^{x}={\rm {e}}^{x\ln(a)}.$
Cette définition coïncide évidemment avec celle de a$^r$ pour r rationnel.

## Développement en série

La fonction $\ln(x)$ n'admet pas de développement en série de Taylor, ni même de Laurent autour de $0$.
C'est Nicolaus Mercator qui a été le premier à proposer le développement en série entière de $\ln(1+x)$; le rayon de convergence de ce développement est 1. On a donc la série de Taylor :
    ${\begin{aligned}\forall x\in \left]-1,1\right[\quad \ln(1+x)&=-\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-x)^{n}}{n}}\\&=x-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{3}}-\cdots \\&=x\left({\frac {1}{1}}-x\left({\frac {1}{2}}-x\left({\frac {1}{3}}-x\left({\frac {1}{4}}-x\left({\frac {1}{5}}-\cdots \right)\right)\right)\right)\right).\end{aligned}}$
(Voir aussi Fonction hypergéométrique#Cas particuliers.)
D'après la formule de Taylor-Lagrange ou le théorème de convergence radiale d'Abel, ce développement est encore valide pour x = 1. On obtient ainsi la somme de la série harmonique alternée.
D'autre part, notons que Leonhard Euler a hardiment appliqué ce développement à x = –1. Sans se soucier de la convergence, il montre que la série harmonique est le logarithme naturel de 1/1 – 1, c'est-à-dire de l'infini. Aujourd'hui on formalise cette remarque d'Euler par : « la série harmonique tronquée en N est proche du logarithme de N lorsque N est grand » ; plus précisément, les différences entre somme partielle de la série harmonique et logarithme naturel convergent vers la constante d'Euler-Mascheroni.
Pour obtenir une meilleure vitesse de convergence, on peut en déduire :
    ${\begin{aligned}\forall x\in \left]-1,1\right[\quad \ln \left({\frac {1+x}{1-x}}\right)&=2x\left({\frac {1}{1}}+{\frac {1}{3}}x^{2}+{\frac {1}{5}}x^{4}+{\frac {1}{7}}x^{6}+{\frac {1}{9}}x^{8}+\cdots \right)\\&=2x\left({\frac {1}{1}}+x^{2}\left({\frac {1}{3}}+x^{2}\left({\frac {1}{5}}+x^{2}\left({\frac {1}{7}}+x^{2}\left({\frac {1}{9}}+\cdots \right)\right)\right)\right)\right),\end{aligned}}$
qui se réécrit :
    $\forall y\in \left]0,+\infty \right[\quad \ln(y)=2\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{2k+1}}\left({\frac {y-1}{y+1}}\right)^{2k+1}.$

## Algorithme de calcul utilisant la méthode de Halley

Pour calculer avec précision, le logarithme népérien d'un réel x, l'approche de la série de Taylor n'est pas efficace car la convergence est lente. Surtout si x est proche de 1, une bonne alternative est d'utiliser la méthode de Halley ou la méthode de Newton pour inverser la fonction exponentielle, car la série définissant la fonction exponentielle converge plus rapidement. Pour trouver la valeur de y à donner $\exp(y)-x=0$ en utilisant la méthode de Halley, ou de manière équivalente pour exprimer $\exp(y/2)-x\exp(-y/2)=0$ en utilisant la méthode de Newton, l'itération se simplifie en $y_{n+1}=y_{n}+2\cdot {\frac {x-\exp(y_{n})}{x+\exp(y_{n})}}$ qui a une convergence cubique vers $\ln(x)$ .

## Propriétés complémentaires
### Étude des limites

Les limites suivantes permettent de déterminer les croissances comparées du logarithme naturel et d'une fonction puissance quelconque :
$\mathrm {pour~tout~r{\acute {e}}el~} \alpha >0,\qquad \lim \limits _{x\to 0^{+}}x^{\alpha }\ln(x)=0\qquad {\text{et}}\qquad \lim \limits _{x\to +\infty }{\frac {\ln(x)}{x^{\alpha }}}=0.$

### Dérivée logarithmique

Pour toute fonction réelle dérivable u, la fonction composée ln∘|u| (définie en tout point où u ne s'annule pas) est dérivable, de dérivée
$\left(\ln \circ |u|\right)'={\frac {u'}{u}}.$
Cette dérivée s'appelle la dérivée logarithmique de la fonction u. Elle représente une variation instantanée relative. C'est donc une mesure utile tant en économie qu'en calcul d'erreur. Elle permet d'autre part un calcul plus simple de la dérivée de fonctions données sous forme de produits, quotients ou puissances.

### Primitive

En appliquant la formule d'intégration par parties au produit des fonctions $\ln$ et $x\mapsto 1$, on obtient :
    $\forall x>0\quad \int _{1}^{x}\ln {(t)}\ \mathrm {d} t=x\ln {(x)}-x+1$.
D'après le théorème fondamental de l'analyse, les primitives de $\ln$ sont donc les fonctions de la forme
    $x\mapsto x\ln {(x)}-x+k,\quad k\in \mathbb {R}$,
la plus simple étant la fonction $x\mapsto x\ln {(x)}-x$.

## La fonction logarithme naturel comme fonction de la variable complexe

La question de savoir s'il est possible de prolonger le logarithme naturel (c'est-à-dire de le définir sur un ensemble plus grand que ]0, +∞ s'est posée dès la seconde moitié du XVIIe siècle avec les développements en série des fonctions. Le problème est qu'il n'existe aucune fonction univoque continue sur ℂ*, possédant la propriété algébrique des fonctions logarithmes et coïncidant sur ]0, +∞[ avec la fonction logarithme népérien réelle.
On peut cependant définir le logarithme d'un nombre négatif en posant, pour tout réel a strictement positif, ln(–a) = ln(a) + iπ, mais la fonction ainsi définie n'a pas les propriétés algébriques de la fonction logarithme népérien réelle. On peut la rencontrer lorsqu'on travaille avec une calculatrice traitant les nombres complexes : si l'on étudie la fonction x ↦ |ln(x)|, la calculatrice peut être amenée à définir cette fonction sur ℝ* en interprétant la valeur absolue comme un module :
    $\left|\ln(-a)\right|={\sqrt {\ln ^{2}(a)+\pi ^{2}}}$ pour a réel strictement positif.

## Humour

Le logarithme népérien est à la base d'une blague mathématique en vogue chez les lycéens :
- Exponentielle et logarithme vont au restaurant : qui paye ?
- Exponentielle, parce que logarithme ne paie rien (mais il ne perd rien pour attendre !)$^,$.