# Développement en série de Engel

En mathématiques, le développement en série de Engel d'un nombre réel strictement positif $x$, moins connu que son développement en fraction continue mais étroitement lié, est son expression sous la forme :
    $x={\frac {1}{a_{1}}}+{\frac {1}{a_{1}a_{2}}}+{\frac {1}{a_{1}a_{2}a_{3}}}+\dotsb$
où les $a_{n}$ forment une suite croissante d'entiers naturels non nuls. Il y a existence et unicité de la suite $(a_{n})_{n\geqslant 1}$pour tout $x$ strictement positif.
Son appellation honore Friedrich Engel, qui l'a étudié en 1913 ; on l'utilise en théorie des nombres et en théorie des probabilités.
Un développement similaire est le développement en série de Pierce, dans lequel les termes sont de signes alternés$^,$.

## Écriture condensée

On utilisera dans cet article la notation ${\frac {1}{a_{1}}}+{\frac {1}{a_{1}a_{2}}}+{\frac {1}{a_{1}a_{2}a_{3}}}+\dotsb =\left]a_{1},a_{2},a_{3},\dots \right[$.
De plus, lorsque x appartient à $\left]n,n+1\right[$, on a toujours $a_{1}=a_{2}=\dots =a_{n}=1$. On écrira donc plus simplement un réel $x$ non entier de cet intervalle sous la forme $x=n+]a_{n+1},a_{n+2},..[$ où $n=\left\lfloor x\right\rfloor$ est la partie entière de $x$ ; on a alors $a_{n+1}\geqslant 2$.
Par exemple, le nombre π, situé entre 3 et 4, s'écrit $\pi =\left]1,1,1,8,8,17,19,300,\dots \right[$$=3+\left]8,8,17,19,300,\dots \right[$.

## Premiers exemples

* Un développement par une suite constante correspond à une série géométrique : $\left]a,a,a,\dots \right[=\sum _{n=1}^{\infty }{1 \over a^{n}}={\frac {1}{a-1}}$ (pour tout entier $a\geqslant 2$).
* Celui du nombre e correspond au développement obtenu à partir de la série entière de l'exponentielle : $\mathrm {e} =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!}}$ ; donc $\mathrm {e} =2+\left]2,3,4,\dots \right[$.
* Plus généralement, ${\sqrt[{n}]{\mathrm {e} }}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{n^{k}k!}}=1+\left]n,2n,3n,\dots \right[$.
* Le nombre $\sum _{p{\text{ premier}}}{1 \over p\#}={1 \over 2}+{1 \over {2\times 3}}+{1 \over {2\times 3\times 5}}+\ldots =0{,}70523\ldots$, somme des inverses des primorielles, est le nombre pour lequel la suite $(a_{n})_{n\geqslant 1}$ est la suite croissante de nombres premiers.

## Expression des sommes partielles

La somme partielle $S_{N}={\frac {1}{a_{1}}}+{\frac {1}{a_{1}a_{2}}}+\dots +{\frac {1}{a_{1}a_{2}\dots a_{N}}}$ peut s'écrire après factorisations sous les formes équivalentes suivantes :
${\frac {1}{a_{1}}}{\biggl1+{\frac {1}{a_{2}}}{\biggl1+\dots +{\frac {1}{a_{N-1}}}{\biggl1+{\frac {1}{a_{N}}}{\biggl )}{\biggl )}{\biggl )}={\frac {\displaystyle 1+{\frac {\displaystyle 1+\cdots {\frac {\displaystyle 1+{\frac {1}{a_{N}}}}{\displaystyle \cdots }}}{\displaystyle a_{2}}}}{\displaystyle a_{1}}}$, fraction continue ascendante,
à comparer avec le développement en fraction continue descendante classique : $a_{0}+{\cfrac {1}{a_{1}+{\cfrac {1}{a_{2}+\dots +{\cfrac {1}{a_{N}}}}}}}$ ;
cette expression montre que $S_{N}$ peut se calculer à partir de $a_{1},\dots ,a_{N}$ avec $N$ divisions et $N$ additions (les additions consistant juste à ajouter 1).
Le nombre $x=\lim _{N\to \infty }S_{N}$ s'écrit alors ${\frac {\displaystyle 1+{\frac {\displaystyle 1+{\frac {\displaystyle 1+\cdots }{\displaystyle a_{3}}}}{\displaystyle a_{2}}}}{\displaystyle a_{1}}}$.

## Construction du développement

La suite $(a_{n})$ s'obtient par l'algorithme suivant, dû à Henry Briggs :
       $\left\{{\begin{matrix}{a_{1}=\left\lfloor {\frac {1}{x}}\right\rfloor +1}\\{x_{1}=a_{1}x-1}\end{matrix}}\right.,\left\{{\begin{matrix}{a_{2}=\left\lfloor {\frac {1}{x_{1}}}\right\rfloor +1}\\{x_{2}=a_{2}x_{1}-1}\end{matrix}}\right.,\qquad \dotso ,\left\{{\begin{matrix}{a_{n}=\left\lfloor {\frac {1}{x_{n-1}}}\right\rfloor +1}\\{x_{n}=a_{n}x_{n-1}-1}\end{matrix}}\right.,...$
De sorte que $x_{n}=\left]a_{n+1},a_{n+2},\dots \right[$.
On obtient par exemple :
    ${\sqrt {2}}=1+\left]3,5,5,16,18,78,112,\dots \right[$, voir la suite A028254 de l'OEIS.
La liste des développements de Engel publiés dans l'OEIS se trouve ici.
Théorème — Le réel x est rationnel si et seulement si la suite $(a_{n})_{n\geqslant 1}$ est constante à partir d'un certain rang.
Ceci permet de prouver l’irrationalité de nombres dont on connait un développement du type $\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{a_{1}\dots a_{n}}}$ comme e, ${\sqrt[{n}]{\mathrm {e} }}$, $\cosh 1$, $\sinh 1$, $\mathrm {e} ^{\sqrt {2}}$, $\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{2^{n^{2}}}}$, $\sum _{p{\text{ premier}}}{1 \over p\#}$.

## Variante différenciant les rationnels des irrationnels

* Le réel positif $x$ s'écrit aussi de manière unique sous la forme :
       $x={\frac {1}{b_{1}}}+{\frac {1}{b_{1}b_{2}}}+{\frac {1}{b_{1}b_{2}b_{3}}}+\dotsb +{\frac {1}{b_{1}b_{2}\dotsm b_{n}}}+\dotsb$,
    où les $b_{n}$ forment une suite finie ou infinie croissante (au sens large) d'entiers strictement positifs, mais où l'on s'interdit une suite infinie constante à partir d'un certain rang.
* De plus, ces entiers s'obtiennent en utilisant cette fois la fonction partie entière supérieure $\lceil .\rceil$ :
       $\left\{{\begin{matrix}{b_{1}=\left\lceil {\frac {1}{x}}\right\rceil }\\{u_{1}=b_{1}x-1}\end{matrix}}\right.,\left\{{\begin{matrix}{b_{2}=\left\lceil {\frac {1}{u_{1}}}\right\rceil }\\{u_{2}=b_{2}u_{1}-1}\end{matrix}}\right.,\qquad \dotso ,\qquad \left\{{\begin{matrix}{b_{n}=\left\lceil {\frac {1}{u_{n-1}}}\right\rceil }\\{u_{n}=b_{n}u_{n-1}-1}\end{matrix}}\right.\dots$
    en convenant que si un $u_{N}$ est nul, la suite d'entiers s'arrête à $b_{N}$.
* Le réel $x$ est alors irrationnel si et seulement si la suite des $b_{n}$ est infinie, et dans ce cas (par unicité) les deux constructions coïncident.
* Lorsque $x$ est rationnel, la suite finie $(b_{1},\dots ,b_{N})$ et la suite infinie stationnaire $(a_{1},a_{2},a_{3},...)$ coïncident jusqu'au rang $N-1$, et pour tout $n\geqslant N$, $a_{n}=b_{N}+1$.
Par exemple : ${355 \over 113}=3+\left]8,8,17,19,113\right[=3+\left]8,8,17,19,114,114,\dots \right[$ (à comparer avec le développement de π ci-dessus).
Notons que cet algorithme fournit, pour tout rationnel strictement compris entre 0 et 1, un développement en somme de fractions égyptiennes de dénominateurs distincts. Cette écriture avait été vue par Fibonacci dans son Liber abaci (1202).

## Formule de Stratemeyer

Cette formule donne le développement de Engel des nombres quadratiques de la forme : $a-{\sqrt {a^{2}-1}}$ où $a$ est un entier $\geqslant 1$ ;
la suite $(a_{n})$ étant définie par $a_{1}=a$ et $a_{n+1}=2a_{n}^{2}-1$, on a : $a-{\sqrt {a^{2}-1}}=\left]2a_{1},2a_{2},\dots \right[=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{2^{n}a_{1}\dots a_{n}}}$.
Par exemple, $2-{\sqrt {3}}=\left]4,14,194,37634,\dots \right[$, voir la suite A003010 de l'OEIS.