# GMRES

En mathématique, la généralisation de la méthode de minimisation du résidu (en anglais : Generalized minimal residual ou GMRES) est une méthode itérative pour déterminer une solution numérique d'un système d'équations linéaires. La méthode donne une approximation de la solution par un vecteur appartenant à un sous-espace de Krylov avec un résidu minimal. Pour déterminer ce vecteur, on utilise la méthode itérative d'Arnoldi.
La méthode GMRES fut développée par Yousef Saad et Martin H. Schultz en 1986.

## Principe de la méthode

On cherche à résoudre le système d'équations linéaires suivant :
    $Ax=b.\,$
La matrice A est supposée inversible et de taille (m x m). De plus, on suppose que b est normé, i.e., $\|b\|=1$ (dans cet article, $\|\cdot \|$ représente la norme euclidienne).
Le n-ième espace de Krylov pour ce problème est défini ainsi :
    $\mathbb {K} _{n}=\operatorname {Vect} \,\{b,Ab,A^{2}b,\dotsc ,A^{n-1}b\}$
où Vect signifie le sous-espace vectoriel engendré par les vecteurs.
La méthode GMRES donne une approximation de la solution exacte du système de départ par un vecteur $x_{n}\in \mathbb {K} _{n}$ qui minimise la norme du résidu : $\|Ax_{n}-b\|$.
Pour garantir le caractère linéairement indépendant des vecteurs b, Ab, ..., A$^{n–1}$b, on utilise la méthode d'Arnoldi pour trouver des vecteurs orthonormaux
    $q_{1},q_{2},\dotsc ,q_{n}$
qui constituent une base de $\mathbb {K} _{n}$. Ainsi, le vecteur $x_{n}\in \mathbb {K} _{n}$ peut s'écrire x$_n$ = Q$_n$ y$_n$ avec $y_{n}\in \mathbb {R} ^{n}$, et Q$_n$ une matrice de taille (m x n) formée des q$_1$, ..., q$_n$.
La méthode d'Arnoldi produit aussi une matrice de Hessenberg supérieure ${\tilde {H}}_{n}$ de taille (n+1) x n avec
    $AQ_{n}=Q_{n+1}{\tilde {H}}_{n}.$
Comme Q$_n$ est orthogonale, on a
    $\|Ax_{n}-b\|=\|{\tilde {H}}_{n}y_{n}-\beta e_{1}\|,$
où
    $e_{1}=(1,0,0,\dotsc ,0)$
est le premier vecteur de la base canonique de $\mathbb {R} ^{n+1}$, et
    $\beta =\|b-Ax_{0}\|\,,$
avec x$_0$ vecteur d'initialisation (pour simplifier, on peut prendre zéro). Ainsi, x$_n$ peut être trouvé en minimisant la norme du résidu
    $r_{n}={\tilde {H}}_{n}y_{n}-\beta e_{1}.$
On reconnait un problème linéaire de moindres carrés de taille n.
L'algorithme se résume donc en :
* effectuer une étape de l'algorithme d'Arnoldi ;
* trouver y$_n$ qui minimise |r$_n$| ;
* calculer x$_n$ = Q$_n$ y$_n$ ;
* recommencer tant que le résidu est plus grand qu'une quantité choisie arbitrairement au début de l'algorithme (on appelle cette quantité tolérance).

## Coûts

À chaque itération, un produit matrice-vecteur A q$_n$ doit être effectué. Cela génère un coût en calcul de 2m$^2$ opérations pour les matrices non creuses de taille m, mais le coût peut être ramené à O(m) pour les matrices creuses. En plus du produit matrice-vecteur, O(n m) opérations doivent être effectuées à la n-ième itération.

## Extensions de la méthode

Comme d'autres méthodes itératives, GMRES est souvent combiné avec des méthodes de préconditionnement pour accroître la vitesse de convergence.
Le coût des itérations croît en O(n$^2$), où n est le numéro de l'itération. De ce fait, la méthode est parfois relancée après un nombre k d'itérations, avec x$_k$ comme vecteur initial. Cette méthode est appelée GMRES(k).