# Nombre complexe

En mathématiques, l'ensemble des nombres complexes est actuellement défini comme une extension de l'ensemble des nombres réels, contenant en particulier un nombre imaginaire noté i$^,$ tel que i$^2$ = −1. Le carré de (−i) est aussi égal à −1 : (−i)$^2$ = −1. Tout nombre complexe peut s'écrire sous la forme x + i y où x et y sont des nombres réels.
Les nombres complexes ont été progressivement introduits au XVIe siècle par l’école mathématique italienne (Jérôme Cardan, Raphaël Bombelli, Tartaglia) afin d'exprimer les solutions des équations du troisième degré en toute généralité par les formules de Cardan, en utilisant notamment des « nombres » de carré négatif.
On peut munir l'ensemble des nombres complexes d'une addition et d'une multiplication qui en font un corps commutatif contenant le corps des nombres réels. Il est appelé corps des nombres complexes et se note ℂ. La notion de valeur absolue définie sur l'ensemble des nombres réels peut être étendue à l'ensemble des nombres complexes et prend alors le nom de module. Mais on ne peut pas munir l'ensemble des nombres complexes d'une relation d'ordre qui en ferait un corps totalement ordonné, c'est-à-dire qu'il n'est pas possible de comparer deux complexes en respectant les règles opératoires valables pour les nombres réels.
Ce n'est qu'à partir du XIXe siècle, sous l'impulsion de l'abbé Buée et de Jean-Robert Argand (plan d'Argand), puis avec les travaux de Gauss et de Cauchy, que se développe l'aspect géométrique des nombres complexes. On les associe à des vecteurs ou des points du plan. Les transformations du plan s'expriment alors sous forme de transformations complexes.
En algèbre, le théorème fondamental de l’algèbre énonce qu'un polynôme complexe non constant possède toujours au moins une racine complexe. Le corps des nombres complexes est dit algébriquement clos. On peut ainsi identifier le degré d'un polynôme complexe non nul au nombre de ses racines comptées avec leur ordre de multiplicité.
En analyse, l'exponentielle complexe permet de simplifier l'étude des séries de Fourier, puis de définir la transformée de Fourier. La branche de l'analyse complexe concerne l'étude des fonctions dérivables au sens complexe, appelées fonctions holomorphes.
En physique, les nombres complexes sont utilisés pour décrire le comportement d'oscillateurs électriques ou les phénomènes ondulatoires en électromagnétisme. Ils sont aussi essentiels dans la formulation mathématique de la mécanique quantique.

## Présentation informelle

En guise de présentation informelle, on s'appuie sur la représentation géométrique des nombres complexes, comme expliquée dans le chapitre 5 de À la découverte des lois de l'univers : La prodigieuse histoire des mathématiques et de la physique de Roger Penrose.

### Passage d'une dimension à deux dimensions

Un nombre réel est un nombre que l'on peut représenter comme un point sur un axe à une dimension. On trouve le zéro, les nombres entiers naturels comme le zéro, 1, 2, 3..., les nombres relatifs négatifs comme -1, -2, -3,..., les nombres rationnels comme 2/3, 4/9, -8/11, etc., et d'autres nombres réels comme ${\sqrt {2}}$ (racine de 2). Vu que l'espace est en une dimension (c'est une ligne), un tel nombre réel se représente par une seule coordonnée : le nombre lui-même.
La notion de nombre complexe étend la notion de nombre pour représenter un point dans le plan. Un tel point se représente par deux coordonnées : une abscisse x et une ordonnée y. Les nombres x et y sont des nombres réels. Ce point dans le plan représente alors un nombre complexe. Un nombre réel x est représenté par un point d'abscisse x et d'ordonnée nulle. Bref, l'axe à une dimension des nombres réels est l'axe des abscisses dans le plan.

### Le nombre i

Additionner 1 et 2 donne 3. En additionnant deux nombres réels on obtient toujours un nombre réel. On reste sur l'axe des abscisses. Afin de sortir de cet axe, on a besoin d'au moins d'un nombre qui sort de cet axe : par exemple, le nombre qui correspond au point d'abscisse 0 et d'ordonnée 1. On note ce nombre i.

### Notation x + yi

Le nombre réel 2 peut s'écrire 2×1. C'est-à-dire que l'on vient doubler la longueur du vecteur correspondant à la flèche partant de l'origine finissant au point correspondant à 1. On obtient un point qui est sur l'axe des abscisses. De la même façon, on peut allonger/rétrécir le vecteur correspondant à i. Par exemple 3×i est le point d’abscisse nulle et d'ordonnée 3. On obtient un point qui est sur l'axe des ordonnées. En faisant une addition, on peut obtenir n'importe quel point du plan. Par exemple, 2,5+3i est le point d’abscisse 2,5 et d'ordonnée 3 ; -3-4i est le point d'abscisse -3 et d'ordonnée -4.

### Addition

L'addition d'un nombre complexe z et d'un autre nombre complexe w s'obtient, en prenant le point pour z, et en le translatant par le vecteur correspondant à la flèche partant de l'origine et finissant au point w.

### Multiplication

Considérons 2+3i. Multiplier par 2 ce nombre consiste à doubler le vecteur partant de l'origine finissant au point d’abscisse 2 et d'ordonnée 3. On obtient le nombre complexe 4+6i. Bref, multiplier par un nombre réel revient à allonger/rétrécir/changer de sens le vecteur associé au point. Multiplier par un nombre complexe est plus subtil. Cela revient non seulement à allonger/rétrécir le vecteur mais aussi à le pivoter. Plus précisément, pour chaque nombre complexe (i.e. un point du plan), on considère l'angle entre l'axe des abscisses et le vecteur correspondant à la flèche partant de l'origine finissant en ce point. L'exemple ci-dessous considère deux nombres complexes. L'un est obtenu en avançant d'une distance de 2 avec un angle de 30°, et l'autre en avançant de 3 avec un angle de 20°. Le produit de ces deux nombres est le point obtenu en avançant de 6 (2 fois 3) avec un angle de 50° (20° + 30°).

### Pourquoi i$^2$ = −1 ?

Le nombre i$^2$ vaut i×i : on multiplie i par i. Le nombre i correspond au point d’abscisse nulle et d'ordonnée 1. On remarque un angle de 90° entre l'axe des abscisses et le vecteur correspondant au nombre i (c'est l'angle entre l'axe des abscisses et des ordonnées). Faire la multiplication de i par i revient à additionner les angles : 90° + 90° = 180°. On se trouve donc dans l'autre sens sur l'axe des abscisses et on obtient le point d’abscisse −1 et d'ordonnée 0, qui n'est autre que la représentation du nombre −1.

## Motivation

La méthode de Cardan fournit une solution des équations du troisième degré, à condition de pouvoir résoudre une équation auxiliaire du second degré. Or cela est impossible lorsque son discriminant est négatif, alors qu’on sait que l’équation initiale admet des solutions. Cardan lui-même s’est enhardi à introduire dans ce cas des nombres « imaginaires » de carré négatif, constatant qu’alors sa méthode fonctionnait et produisait bien les solutions de l’équation initiale. Il est clair que si l’on admet l’existence de i tel que i$^2$ = –1, on doit aussi introduire tous les « nombres » de la forme a + b i (où a et b sont des nombres ordinaires). Il aura fallu deux siècles pour que les mathématiciens se convainquent que ces nombres « absurdes », loin d’amener à des résultats contradictoires, étaient au contraire d’une grande utilité dans de nombreux domaines fort éloignés des questions algébriques qui leur avaient donné naissance.

## Présentation

Les nombres complexes, notés habituellement z, peuvent être présentés sous plusieurs formes, algébriques, polaires, ou géométriques.

### Forme algébrique

Un nombre complexe z se présente en général sous forme algébrique comme une somme a + ib, où a et b sont des nombres réels quelconques et où i (l’unité imaginaire) est un nombre particulier tel que i$^2$ = –1. Le réel a est appelé partie réelle de z et se note Re(z) ou ℜ(z), le réel b est sa partie imaginaire et se note Im(z) ou ℑ(z). Deux nombres complexes sont égaux si et seulement s'ils ont la même partie réelle et la même partie imaginaire.
Un nombre complexe z est dit imaginaire pur ou totalement imaginaire si sa partie réelle est nulle, dans ce cas il s'écrit sous la forme z =ib. Un nombre complexe dont la partie imaginaire est nulle est dit réel. Le nombre réel 0 est le seul qui soit à la fois réel et imaginaire pur. Bien sûr, la plupart des nombres complexes ne sont ni réels ni imaginaires purs. Dans les textes anciens, de tels nombres, avant de s'appeler « complexes », s'appelaient « imaginaires », ce qui explique l'habitude persistante d'appeler « imaginaires purs » ceux ne comportant pas de partie réelle.

### Forme polaire

Pour tout couple de réels (a , b) différent du couple (0,0), il existe un réel positif r et une famille d'angles θ déterminés à un multiple de 2π près tels que a = r cos(θ) et b = r sin(θ). Tout nombre complexe non nul peut donc s'écrire sous une forme trigonométrique : z = r (cos(θ) + i sin(θ)) avec r > 0.
Le réel positif r est appelé le module du complexe z et est noté |z|.
Le réel θ est appelé un argument du complexe z et est noté arg(z).
On écrit parfois ce même complexe sous les formes suivantes :
* z = re$^{iθ}$, forme exponentielle utilisant la formule d'Euler
* z = (r, θ) = r$_∠$θ, forme polaire
* z = r (cosθ + i sinθ) = r cis(θ) (ce qui définit la notation cis)
Le module du complexe z est la racine carrée de la somme des carrés des parties réelles et imaginaires :$|z|={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}$
Pour calculer un argument θ à partir de la forme algébrique a + ib, on peut utiliser les fonctions arccos, arcsin ou arctan :
$\theta ={\begin{cases}\arccos \left({\tfrac {a}{r}}\right)&{\text{si }}b\geq 0\\-\arccos \left({\tfrac {a}{r}}\right)&{\text{si }}b<0,\end{cases}}\quad \theta ={\begin{cases}\arcsin \left({\tfrac {b}{r}}\right)&{\text{si }}a\geq 0\\\pi -\arcsin \left({\tfrac {b}{r}}\right)&{\text{si }}a<0\end{cases}}\quad {\text{et}}\quad \theta ={\begin{cases}\arctan \left({\tfrac {b}{a}}\right)&{\text{si }}a>0\\\arctan \left({\tfrac {b}{a}}\right)+\pi &{\text{si }}a<0\\\mathrm {sgn} (b){\tfrac {\pi }{2}}&{\text{si }}a=0.\end{cases}}$
Par exemple, les réels strictement positifs ont un argument multiple de 2π, les réels strictement négatifs ont pour argument un multiple impair de π.
Les imaginaires purs non nuls ont un argument congru à π/2 ou –π/2 modulo 2π, selon le signe de leur partie imaginaire.

### Forme géométrique

Dans un plan complexe ${\mathcal {P}}$ muni d'un repère orthonormé $(O;{\vec {u}},{\vec {v}})$, l'image d'un nombre complexe z = a + ib est le point M de coordonnées (a, b), son image vectorielle est le vecteur ${\overrightarrow {OM}}$. Le nombre z est appelé affixe$^,$ du point M ou du vecteur ${\overrightarrow {OM}}$ (dans ce contexte, affixe est féminin : une affixe).
Le module |z| est alors la longueur du segment [OM] : c'est la distance de l'origine O du repère au point M.
Si z est différent de 0, son image est distincte de l'origine O du repère. On appelle argument de z n'importe quelle mesure θ en radians de l'angle $\left({\vec {u}},{\overrightarrow {OM}}\right)$, bien définie à un multiple de 2π près.
Puisque tous les plans complexes sont canoniquement isomorphes, on parle du plan complexe sans préciser davantage.
Une extension de cette représentation graphique des nombres complexes est la coloration de régions. Celle-ci permet la représentation dans le plan complexe d'une fonction complexe f(z). La valeur d'une telle fonction étant elle-même un nombre complexe, nécessiterait une représentation à 4 dimensions. La coloration de régions utilise des moyens infographiques pour associer l'argument à la couleur et le module à la luminosité.

## Opérations et relations
### Addition
#### Forme algébrique

Dans l'ensemble des nombres complexes, on définit l'addition de la manière suivante, en sommant les parties réelles d'une part, et les parties imaginaires d'autre part : $(a+{\rm {i}}b)+(c+{\rm {i}}d)=(a+c)+{\rm {i}}(b+d)~;$ Cette opération est associative, commutative, possède un élément neutre (le complexe nul) et tout complexe possède un opposé : opp(a + ib) = –a +i (–b) L'ensemble des nombres complexes muni de l'addition forme donc un groupe commutatif.

#### Interprétation géométrique

Si M et M' sont les points d'affixes z et z', l'image M" de la somme z + z' est définie par la relation ${\overrightarrow {OM''}}={\overrightarrow {OM}}+{\overrightarrow {OM'}}.$ Pour tout complexe z$_0$, la transformation qui, au point M d'affixe z, associe le point M' d'affixe z' = z + z$_0$ est une translation de vecteur u d'affixe z$_0$.

### Multiplication
#### Forme algébrique

Dans l'ensemble des nombres complexes, on définit la multiplication de la manière suivante : $(a+{\rm {i}}b)(c+{\rm {i}}d)=(ac-bd)+{\rm {i}}(ad+bc).$ Cette opération est associative, commutative, distributive pour l'addition et possède un élément neutre 1. Puisque r × i = i × r, un complexe est noté indifféremment a + ib ou a + bi
Ces propriétés permettent d'obtenir l'égalité suivante : $(a+{\rm {i}}b)(a-{\rm {i}}b)=a^{2}+b^{2}.$ Puisque la somme a$^2$ + b$^2$ de deux carrés de nombres réels est un nombre réel strictement positif (sauf si a = b = 0), il existe un inverse à tout nombre complexe non nul avec l'égalité : ${\frac {1}{a+{\rm {i}}b}}={\frac {a-{\rm {i}}b}{a^{2}+b^{2}}}.$
L'ensemble des nombres complexes munis de l'addition et de la multiplication est donc un corps commutatif. De plus, l'ensemble des nombres complexes muni de l'addition et de la multiplication par un réel est un espace vectoriel sur ℝ de dimension 2

#### Forme polaire

Cette écriture est adaptée au calcul du produit de deux nombres complexes du fait des formules d'addition :
* $\cos(\alpha +\beta )=\cos \alpha \cos \beta -\sin \alpha \sin \beta$
* $\sin(\alpha +\beta )=\sin \alpha \cos \beta +\cos \alpha \sin \beta$
Ces identités, appliquées à la forme trigonométrique des nombres complexes, permettent d'énoncer les règles suivantes :
* le produit de deux nombres complexes non nuls a pour module le produit des modules et pour argument la somme des arguments ;
* le quotient de deux nombres complexes non nuls a pour module le quotient des modules et pour argument la différence des arguments.
La forme exponentielle met en évidence ces propriétés
* $\left(r{\rm {e}}^{{\rm {i}}\theta }\right)\left(r'{\rm {e}}^{{\rm {i}}\theta '}\right)=(rr'){\rm {e}}^{{\rm {i}}(\theta +\theta ')},$
* $\left(r{\rm {e}}^{{\rm {i}}\theta }\right)^{-1}={\tfrac {1}{r}}{\rm {e}}^{-{\rm {i}}\theta }.$
La forme polaire est également bien adaptée pour calculer la puissance d'un nombre complexe par la formule de Moivre :
* $z^{n}=[r(\cos \theta +{\rm {i}}\sin \theta )]^{n}=r^{n}(\cos n\theta +{\rm {i}}\sin n\theta ).$

#### Interprétation géométrique

Si M est le point d'affixe z et si λ est un réel, l'image M' du produit λz est définie par la relation ${\overrightarrow {OM'}}=\lambda {\overrightarrow {OM}}.$
L'action du nombre réel λ par multiplication scalaire s'interprète géométriquement comme une homothétie de centre O et de rapport λ sur le plan complexe.
Si M est le point d'affixe z et si z$_0$ est un complexe de module 1 et d'argument θ, l'image M' du produit z$_0$z est définie par les relations
* $OM'=OM\,$
* $\left({\overrightarrow {OM}},{\overrightarrow {OM'}}\right)=\theta$.
L'action d'un nombre complexe de module 1 par multiplication s'interprète géométriquement comme une rotation de centre l'origine et d'angle l'argument.
Par composition d'une homothétie et d'une rotation, l'action d'un nombre complexe z non nul par multiplication s'interprète géométriquement comme une similitude directe de centre l'origine, de rapport |z| et d'angle arg(z).
L'image de l'inverse 1/z de z est l'image de M par l'inversion par rapport au cercle unité, composée avec la symétrie par rapport à l'axe des abscisses.

### Conjugaison

Le complexe conjugué du nombre complexe z = a + ib est a − ib. Il est noté z ou z*. Le conjugué d'un complexe a donc même partie réelle que le complexe de départ mais une partie imaginaire opposée. Le complexe conjugué d'un complexe non nul a même module que le complexe de départ mais un argument opposé.
Le conjugué d'une somme, d'une différence, d'un produit ou d'un quotient est respectivement la somme, la différence, le produit ou le quotient des conjugués. Le conjugué du conjugué d'un complexe est le complexe de départ. L'application de conjugaison est donc un automorphisme involutif.
Si M est le point d'affixe z, l'image du complexe z est le symétrique de M par rapport à l'axe des abscisses.
Partie réelle, partie imaginaire et module d'un complexe peuvent se définir à l'aide du complexe et de son conjugué :
* $\operatorname {Re} \,(z)={\tfrac {1}{2}}(z+{\bar {z}}),\,$
* $\operatorname {Im} \,(z)={\tfrac {1}{2\mathrm {i} }}(z-{\bar {z}}).\,$
* $|z|={\sqrt {z{\bar {z}}}}$

### Module

Le module d'un nombre complexe s'interprète, dans le plan complexe comme la distance séparant l'image de ce complexe de l'origine du repère. Si M et M ' sont les points d'affixes z et z', |z' – z| est la distance M'M.
Le seul nombre complexe de module nul est le réel nul. Puisque le module du produit ou du quotient de deux complexes non nuls est respectivement le produit ou le quotient de leurs modules, l'application
    ${\begin{matrix}\mathbb {C} ^{*}&\to &\mathbb {R} _{+}^{*}\\z&\mapsto &|z|\end{matrix}}$
est un morphisme de groupes multiplicatifs.
L'interprétation du module comme une distance conduit à l'inégalité triangulaire suivante : $|z+z'|\leq |z|+|z'|$ L'application module est une valeur absolue car elle est strictement positive en dehors de 0, sous-additive et multiplicative.

### Relation d'ordre

Dans un corps totalement ordonné, tout carré est positif et l'opposé d'un nombre positif non nul est négatif. Ces deux propriétés sont en contradiction avec le fait que dans le corps des nombres complexes 1 et son opposé –1 sont tous deux des carrés (de 1 et de i) mais ne peuvent pas être tous deux positifs. Il n'est donc pas possible de munir le corps des complexes d'une relation d'ordre total compatible avec les deux opérations.
On peut cependant munir le corps des complexes d'un ordre partiel compatible avec la somme et le produit en posant :a + ib < a' + i b' si et seulement si a < a' et b = b'.On peut également munir l'ensemble des complexes, considéré comme un espace vectoriel sur ℝ, d'une relation d'ordre total, compatible avec l'addition, ainsi qu’avec la multiplication par des réels positifs, grâce à l'ordre lexicographique :a + ib < a' + ib' si et seulement si a < a' ou a = a' et b < b'.

### Racine

La forme polaire d'un complexe permet de mettre en évidence le fait qu'un nombre complexe non nul possède exactement n racines nièmes, de même module égal à $^n$√r et d'argument θ + 2kπ/n.
Pour tout entier naturel n, l'ensemble des racines nièmes de l'unité U$_n$ est un groupe multiplicatif isomorphe au groupe additif ℤ/nℤ des congruences modulo n.
On peut démontrer que tout polynôme à coefficients complexes possède au moins une racine complexe. C'est le théorème fondamental de l'algèbre. Cette propriété fait du corps des complexes un corps algébriquement clos. Un polynôme à coefficients complexes est donc entièrement factorisable en produit de polynômes de degré 1 et possède donc un nombre de racines (comptées avec leur ordre de multiplicité) égal au degré du polynôme.

### Exponentiation et logarithme

La formule d'Euler cosθ + i sinθ = e$^{iθ}$ qui se démontre à l'aide de limite de suites, ou d'équation différentielle permet de justifier la notation exponentielle des nombres complexes.
La fonction exponentielle se prolonge en une fonction de la variable complexe de la manière suivante :$\exp(a+{\rm {i}}b)=\exp {a}\times (\cos b+{\rm {i}}\sin b),$en conservant les propriétés algébriques de l'exponentielle. L'exponentielle complexe est un morphisme du groupe additif (ℂ,+) dans le groupe multiplicatif (ℂ*,×), ℂ* ensemble des nombres complexes non nuls.
Cependant la fonction logarithme ne peut pas se prolonger en une fonction complexe en gardant ses propriétés. Dans l'histoire des nombres complexes, cette découverte a fait l'objet de nombreux échanges de lettres entre mathématiciens tels Jean Bernoulli, Gottfried Wilhelm Leibniz et Leonhard Euler. On peut le définir de manière multivaluée en posant$\ln z{=}\ln |z|+{\rm {i}}\arg(z),$formule dans laquelle arg(z) est défini à un multiple de 2π près.

### Structures

L'ensemble des nombres complexes est un corps commutatif algébriquement clos non totalement ordonnable.
En fait, le corps des complexes est la clôture algébrique du corps des réels, c'est-à-dire le plus petit corps qui contienne le corps des réels et qui soit algébriquement clos. Du point de vue de la théorie de Galois, on peut considérer les automorphismes du corps des complexes : l'identité et la conjugaison sont ses seuls automorphismes continus (on peut remplacer l'hypothèse « continu » par, au choix, « mesurable » ou « tel que l'image de tout réel est un réel »). En supposant l'axiome du choix on peut construire des automorphismes « exotiques » de ce corps : voir Automorphismes de corps non continus de ℂ.
C'est également un espace vectoriel sur ℝ totalement ordonné par l'ordre lexicographique.

## Construction

Il existe plusieurs manières courantes de construire le corps des nombres complexes à partir de l'ensemble des nombres réels et de ses opérations arithmétiques élémentaires. Outre que les objets ainsi définis sont tous isomorphes, les constructions présentées ci-après mettent en lumière trois caractéristiques importantes :
* Le corps des réels est clairement identifié comme un sous-ensemble du corps des complexes et les opérations d'addition et de multiplication sont préservées dans la nouvelle structure. Le nombre réel 1 reste neutre pour la multiplication.
* Il existe un nombre complexe i canoniquement choisi dont le carré vaut –1 (son opposé vérifie aussi cette propriété, et le choix fait dans chacune des constructions présentées est donc en fait arbitraire, mais cela n'a pas d'importance en pratique).
* Deux paramètres réels sont nécessaires et suffisants pour décrire tous les nombres complexes, ce qui souligne la structure d'espace vectoriel réel de dimension 2 avec une base canonique.

### Couples de réels

On peut définir un nombre complexe comme un couple (a, b) de nombres réels. Sur l'ensemble ℝ$^2$ des couples de réels on définit une addition et une multiplication.
Cette construction est essentiellement la « théorie des couples algébriques » due au mathématicien William Rowan Hamilton qui l'ayant conçue vers 1826, l'expose devant l'Académie Royale d'Irlande en 1833, et la publie en 1835. Carl Friedrich Gauss arrive à des résultats voisins en 1831 qu'il publie en 1837. Hamilton se préoccupait de justifier l'« existence » des nombres complexes. Ce qui est présenté ci-dessous comme de simples définitions, justifiées implicitement par les règles de calcul sur les nombres complexes mais indépendantes d'une existence préalable de ceux-ci, est le fruit d'une longue analyse chez Hamilton.
L'addition est celle des composantes terme à terme :
    $(a,b)+(c,d)=\left(a+c,b+d\right)$.
La multiplication est définie par :
    $(a,b)\times (c,d)=\left(ac-bd,ad+bc\right)$.
On vérifie alors que ℝ$^2$ muni de ces deux lois, avec (0, 0) comme neutre additif et (1, 0) comme neutre multiplicatif, est un corps ; en particulier, l'inverse d'un élément (a, b) ≠ (0, 0) est (a/(a$^2$ + b$^2$), –b/(a$^2$ + b$^2$)), et (0, 1)×(0, 1) = (–1, 0).
L'ensemble des réels s'identifie alors à la droite ℝ×{0} et l'élément i est le couple (0, 1).
L'ensemble ℝ$^2$ peut être muni de sa structure canonique de plan vectoriel euclidien. Un nombre complexe est alors un vecteur du plan ℝ$^2$. La somme complexe est la somme vectorielle. La base canonique est constituée de deux vecteurs correspondant pour le premier (1, 0) au nombre complexe 1 et pour le second au nombre complexe i.
On peut introduire enfin le module d'un nombre complexe qui correspond à la norme euclidienne du vecteur associé et l'argument qui est une mesure de l'angle formé par le vecteur associé avec le premier vecteur de base.
Cette définition présente l'avantage de la simplicité, puisqu'elle exige peu de prérequis mathématiques. Elle est en outre adaptée à la représentation géométrique des nombres complexes.

### Matrice de similitude

Il est intéressant de définir un nombre complexe non nul comme une matrice de similitude directe $\left({\begin{matrix}a&-b\\b&a\\\end{matrix}}\right)$ à coefficients réels, car les opérations matricielles induisent précisément la structure algébrique voulue. En outre, le module et l'argument deviennent respectivement le rapport et une mesure de l'angle de la similitude.
Il faut cependant vérifier que l'ensemble de ces matrices, complété par la matrice nulle, est stable par produit :
    ${\begin{pmatrix}a&-b\\b&a\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}c&-d\\d&c\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}ac-bd&-ad-bc\\ad+bc&ac-bd\end{pmatrix}},$
ce qui justifie au passage la commutativité du produit et assure l'isomorphisme entre cette structure et celle définie précédemment.
L'ensemble des réels s'identifie alors à l'ensemble des matrices diagonales de la forme
    $\left({\begin{matrix}a&0\\0&a\\\end{matrix}}\right)$,
l'unité étant représentée par la matrice identité. L'élément $\scriptstyle i$ désigne classiquement la matrice $\left({\begin{matrix}0&-1\\1&0\\\end{matrix}}\right)$.
Le déterminant correspond au carré du module, ce qui entraîne que tous les éléments non nuls sont inversibles et la méthode des cofacteurs démontre la stabilité par inverse.
Ce point de vue fournit une construction naturelle qui peut être adaptée pour obtenir l'algèbre réelle des quaternions. Il donne en outre une interprétation géométrique de la multiplication des nombres complexes comme composition de similitudes du plan. La conjugaison est enfin représentée par la transposition des matrices.

### Classe d'équivalence de polynômes

Un nombre complexe peut enfin être vu comme un polynôme réel d'indéterminée i, où le carré i$^2$ est identifié avec le polynôme constant de valeur –1, donc avec les identifications i$^3$ = –i, i$^4$ = 1…
Formellement, cela revient à assimiler l'ensemble des nombres complexes à l'anneau quotient ℝ[X]/(X$^2$ + 1), dans lequel deux polynômes appartiennent à la même classe d'équivalence si et seulement s'ils ont le même reste de division euclidienne par X$^2$ + 1. Cette construction justifie l'écriture d'un nombre complexe sous la forme a + ib, le polynôme bX + a pouvant s'obtenir comme le reste de la division euclidienne d'un polynôme par X$^2$ + 1.
Le caractère irréductible du polynôme X$^2$ + 1 assure directement la structure de corps. Les réels sont représentés par les polynômes constants et le degré 2 du polynôme diviseur est la dimension de l'ensemble comme espace vectoriel réel.
Cette conception correspond à l'invention des nombres complexes, i ayant été introduit comme l'une des racines de l'équation X$^2$ + 1 = 0. Elle est loin de la géométrie et nécessite un seul générateur algébrique et une seule relation. Le formalisme, plus récent, du quotient d'un anneau euclidien, ici l'anneau des polynômes réels à une indéterminée, par un de ses idéaux premiers est à la base de la construction des extensions algébriques de corps.

## Développements en mathématiques
### Analyse complexe

Les nombres complexes ont initialement été conçus pour répondre à un problème algébrique. Cependant, étendre les définitions de l'analyse au champ des nombres complexes s'avère tout aussi fécond. Par exemple la définition usuelle de la dérivée : $\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {f(z+h)-f(z)}{h}}$ (avec usage de la multiplication et de la soustraction complexes) permet d'obtenir une nouvelle notion de fonction dérivable, de variable complexe à valeurs complexes appelée fonction holomorphe. Cette notion s'avère plus restrictive que son pendant réel, notamment, toute fonction holomorphe voit sa dérivée être holomorphe, et même, toute fonction holomorphe est analytique, c'est-à-dire admet un développement en série entière en chacun des points de son domaine d'holomorphie.
En théorie de l'intégration, en utilisant la notion d'intégrale le long d'un chemin, on obtient le théorème intégral de Cauchy, qui assure que l'intégrale d'une fonction holomorphe, sur un domaine vérifiant certaines propriétés topologiques, le long d'un chemin fermé, est nulle. Cette propriété cruciale permet d'obtenir la notion de primitive d'une fonction holomorphe, toujours sur un domaine adapté. Certaines de ces conditions topologiques peuvent être abandonnées, grâce à la notion de point singulier, aboutissant au théorème des résidus.

### Dynamique holomorphe

La dynamique holomorphe à une variable consiste en l'étude du comportement des itérés d'une fonction holomorphe f définie sur une surface de Riemann. On distingue deux types de points sur ces surfaces : ceux où la famille des itérés est normale, en ces points la dynamique est assez simple (bassins d'attractions de cycles de points périodiques), dont l'ensemble est appelé ensemble de Fatou de f, puis ceux où le comportement est chaotique et dont l'ensemble est appelé ensemble de Julia de f.
Les propriétés de ces itérés sont particulièrement bien connues dans le cadre de la sphère de Riemann : classification complète des composantes connexes de l'ensemble de Fatou selon les propriétés de f, propriétés de l'ensemble de Julia, étude des familles paramétrées (en) de polynômes…
On étudie aussi la dynamique holomorphe à plusieurs variables, par exemple dans les espaces projectifs complexes où apparaissent de nouvelles difficultés par rapport à une variable telles que la présence d'ensembles de points où f n'est pas définie.

### Équations différentielles dans le champ complexe

L'étude des équations différentielles holomorphes a les mêmes résultats de base que celle des équations sur des fonctions de variable réelle, et notamment le théorème de Cauchy-Lipschitz, qui donne l'existence et l'unicité d'une solution à un problème de Cauchy ; ou les résultats d'algèbre linéaire sur les espaces de solutions des équations différentielles linéaires.
Cependant, l'étude des équations aux points singuliers est nettement plus féconde que les simples études de raccord du cas réel : la topologie du plan complexe au voisinage d'un point singulier fait qu'il y a une infinité de manières de l'approcher, et l'étude des raccords des solutions obtenues avec toutes les méthodes d'approche amène à la notion de monodromie. Cette notion est ensuite utilisée dans un cadre plus général : la théorie de Galois différentielle.

### Nombres hypercomplexes

Le corps $\mathbb {C}$ des nombres complexes peut-être vu comme un sous-corps ou une sous-algèbre d’un corps ou d’une algèbre plus grande, dont les éléments sont alors qualifiés d’hypercomplexes. Par exemple $\mathbb {H}$, le corps non commutatif des quaternions, ou $\mathbb {O}$, l’algèbre à division, ni commutative ni associative, des octonions.

### En topologie

* En identifiant l'espace vectoriel ℝ$^{2n}$ avec l'espace vectoriel ℂ$^n$, la multiplication par i définit une application sans point fixe sur les sphères de dimension impaire.
* L'adjonction d'un « point à l'infini » au plan complexe définit la sphère de Riemann homéomorphe à la sphère usuelle S$^2$, qui peut être vue comme le premier espace projectif complexe.
La projection de la sphère S$^3$, vue comme sphère unité de l'espace ℂ$^2$, sur la sphère de Riemann par quotient de l'action du cercle unité S$^1$ constitue alors la fibration de Hopf.
* Les espaces projectifs complexes de dimension paire engendrent rationnellement l'anneau de cobordisme orienté.

## Emploi en physique et ingénierie
### Phénomènes périodiques et analyse de Fourier

La forme trigonométrique a permis de simplifier la modélisation et l’écriture de nombreux phénomènes, par exemple les phénomènes ondulatoires notamment à propos des ondes électromagnétiques, ou en électronique et plus précisément dans le domaine de l'analyse électronique des circuits contenant des auto-inductances (selfs ou bobines) notées L, des capacités notées C et des résistances notées R (exemples : R + jLω ou R – j/(Cω)). On peut tracer alors le diagramme de Fresnel, et ce quelle que soit l'expression.
En fait, on se sert du fait que ℂ contient ℝ pour simplifier les écritures. En effet, si l’on doit écrire qu’un paramètre vaut r cos(θ), il faut deux réels, r et θ. Mais avec des complexes, il suffit d’un seul nombre, ce qui est bien plus simple.

#### Électromagnétisme

En électromagnétisme toujours, mais dans un contexte différent, on peut écrire le champ électromagnétique comme une combinaison complexe du champ électrique et du champ magnétique. Pur artifice de calcul, on peut associer l'un ou l'autre de ces champs à la partie « imaginaire » du champ complexe obtenu : cela simplifie grandement les opérations.
Un autre exemple en électromagnétisme est le courant alternatif : puisque le voltage d'un tel circuit oscille, il peut être représenté comme un nombre complexe via la formule d'Euler :
    $V=V_{0}{\rm {e}}^{{\rm {i}}\omega t}=V_{0}\left(\cos \omega t+{\rm {i}}\sin \omega t\right),$
Afin d'obtenir une quantité mesurable, on prend la partie réelle :
    $\mathrm {Re} (V)=\mathrm {Re} \left[V_{0}{\rm {e}}^{{\rm {i}}\omega t}\right]=V_{0}\cos \omega t.$

#### Analyse de Fourier

On emploie également les complexes pour l'analyse de Fourier, très utilisée dans de nombreux domaines, comme le traitement du signal. L'idée sous-jacente à l'introduction des séries de Fourier est de pouvoir obtenir une fonction admettant T pour période, par exemple continue, comme somme de fonctions sinusoïdales :
    $f(x)=\sum _{n=-\infty }^{+\infty }c_{n}(f){\rm {e}}^{{\rm {i}}2\pi {\frac {n}{T}}x}$
avec les coefficients c$_n$(f), appelés coefficients de Fourier de f, définis par la formule :
    $c_{n}(f)={\frac {1}{T}}\int _{-T/2}^{T/2}f(t){\rm {e}}^{-{\rm {i}}2\pi {\frac {n}{T}}t}\mathrm {d} t.$

### Mécanique des fluides dans le plan

En mécanique des fluides (hydro/aérodynamique), on fait apparaître des potentiels et des vitesses complexes. En effet, pour un écoulement à deux dimensions, on peut décomposer la vitesse du fluide en V$_x$ et V$_y$. Or, on montre que :
$V_{x}={\frac {\partial \phi }{\partial x}}={\frac {\partial \psi }{\partial y}}$
$V_{y}={\frac {\partial \phi }{\partial y}}=-{\frac {\partial \psi }{\partial x}}$
Satisfaire à ces conditions (conditions de Cauchy-Riemann) équivaut à dire qu'il existe une fonction analytique telle que
$f(z)=\phi +{\rm {i}}\psi$ où $z=x+{\rm {i}}y$
Ceci permet encore d’écrire :
${\frac {{\rm {d}}f}{{\rm {d}}z}}={\frac {\partial \phi }{\partial x}}+{\rm {i}}{\frac {\partial \psi }{\partial x}}=V_{x}-{\rm {i}}V_{y}$
On appelle f(z) le potentiel complexe, et sa dérivée par rapport à z, la vitesse complexe. Grâce à cette fonction, on obtient directement le module de la vitesse, et sa direction (en prenant la forme trigonométrique). Surtout, on peut modéliser simplement un écoulement autour d'un obstacle, d'une manière simple et compacte. La fonction ψ doit être constante le long du profil de cet obstacle, ce qui permet une résolution simple de f, grâce à des résultats simples d’analyse complexe.

### Fonction de structure

Toujours dans l'analyse des phénomènes vibratoires, les propriétés des nombres complexes permettent non seulement de simplifier les calculs, mais aussi de déterminer des caractéristiques physiques d'un système oscillant, voire des propriétés fondamentales comme la causalité. Une fonction de structure est une certaine fonction complexe $F(\nu )$ où $\nu$ est la fréquence complexifiée, la partie réelle étant la fréquence au sens usuel et la partie imaginaire représentant un facteur d'amortissement du phénomène oscillant.
Les valeurs complexes de $\nu$ où $F(\nu )$ diverge et tend vers l'infini sont nommés les pôles de $F$. Il s'avère qu'un pôle qui est d'un point de vue mathématique une singularité, possède un sens physique et représente une fréquence de résonance du système. De plus, l'étude de l'analyticité (en analyse complexe, il s'agit de l'holomorphicité) de la fonction de structure permet de connaitre des relations de causalité et savoir si un phénomène dépend d'excitations extérieures ou intrinsèques.
Il est possible également de définir une autre fonction de structure complexe $G(t)$, où t est un temps complexe. L'analyticité de $G(t)$ permet cette fois-ci d’analyser les propriétés de stabilité d'un système physique et les conditions de retour à un état d'équilibre.
L'efficience et le pouvoir prédictif physique des fonctions de structure fait dire à Marc Lachièze-Rey que l'usage des nombres complexes dépasse le simple artifice de calcul et donne aux nombres complexes un degré de "réalité" physique comparable à celui des nombres réels.

### Mécanique quantique

Les nombres complexes sont omniprésents et indispensables à la mécanique quantique. Celle-ci est décrite dans des espaces vectoriels de Hilbert aux scalaires complexes, et dont les vecteurs représentent des états quantiques. Leur évolution est régie par l'équation de Schrödinger qui fait également intervenir des nombres complexes. Une grandeur physique est représentée par une observable qui est une application linéaire d'un espace de Hilbert dans lui-même.
La projection du vecteur représentant l'état quantique sur un des vecteurs propres de cette observable donne une réalisation possible d'un état physique (une position donnée, une énergie donnée, etc.), et on quitte le domaine des nombres complexes en calculant la probabilité de réalisation de cet état physique, donnée par le module complexe au carré du vecteur projeté.
La fonction de structure complexe (voir ci-dessus) joue également un grand rôle en physique quantique, car par dualité onde corpuscule tout phénomène quantique se réduit à des phénomènes vibratoires ou oscillants. Ici, c'est l'énergie d'un système qui est complexifiée avec la fréquence, via la relation de Planck-Einstein $E=h\nu$. Les pôles des fonctions de structure quantiques correspondent également à des phénomènes physiques essentiels comme l'apparition de nouvelles particules élémentaires lors de collisions, et l'analyticité permet également d'exprimer une forme de causalité sous-jacente aux phénomènes quantiques.
Selon Roger Penrose, les propriétés mathématiques fondamentales des nombres complexes sous-tendent la physique du principe de superposition et de l'équation de Schrödinger et les conditions de quantification d'un champ physique dans la théorie quantique des champs, ce qui lui fait apparaître les nombres complexes comme étant un des fondements de la physique, avec les principes de symétrie. De son point de vue, la théorie quantique ne va pas assez loin dans le rôle fondamental donné aux nombres complexes car la théorie n'est totalement holomorphe qu'avec des conditions arbitraires d'hermiticité des opérateurs quantiques, et d'orthogonalité des résultats de mesure. Penrose va tenter de construire une théorie de gravité quantique entièrement fondée sur les propriétés des nombres complexes et entièrement holomorphe : la théorie des twisteurs.
En janvier 2021, Miguel Navascués et ses collègues de l'Institut d'optique quantique et d'information quantique de Vienne montrent par un raisonnement théorique que les nombres complexes sont indispensables à la mécanique quantique, pas seulement des outils commodes comme pour la représentation des phénomènes périodiques, par exemple. Ils proposent aussi un test expérimental permettant d'exclure les théories quantiques à valeurs réelles. Deux groupes de recherche mènent ensuite l'expérience et confirment cette prédiction théorique$^,$$^,$$^,$.

### Gravité et cosmologie quantique

Pour résoudre le problème de la singularité qui selon le modèle du Big Bang est à l'origine de l'univers, Stephen Hawking et James Hartle ont proposé une hypothèse d'un univers sans bords, où la singularité initiale serait absente. Cette hypothèse repose sur l'idée que le temps, près de l'origine, est un temps imaginaire $\tau =i.t$. Ce temps imaginaire permet de transformer la métrique lorentzienne usuelle de l'univers $dl^{2}=dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}-dt^{2}$ (métrique de l'espace de Minkowski) en métrique riemannienne définie positive, ou pseudo-euclidienne, $dl^{2}=dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}+d\tau ^{2}$.
Le pari de Hawking et Hartle est que ce temps imaginaire permet de décrire la fonction d'onde correcte de l'univers et sa véritable physique aux alentours du Big Bang, donnée par la somme des intégrales de chemin calculées dans cette métrique où elles sont convergentes (tandis qu'elles sont divergentes et inexploitables en métrique lorentzienne). Cette fonction d'onde décrit la région de l'espace-temps du Big Bang comme une superposition quantique d'espaces sans singularité semblables à une surface sphérique à 4 dimensions, où — comme la surface d'une sphère normale — la courbure est partout finie et varie continument, et où on peut évoluer sans rencontrer de « bords »$^,$.
Contrairement à la rotation de Wick qui n'est qu'une astuce de calcul, si l'hypothèse de Hartle-Hawking est correcte elle signifie que la nature physique du temps change à l'approche du Big Bang et devient une dimension semblable à une dimension d'espace.

## Historique

La première apparition d'une racine carrée de nombre négatif conçue comme une quantité impossible mais manipulable se trouve dans l’œuvre de Cardan en 1545. Mais c'est Raphaël Bombelli qui étudie ces quantités sophistiquées de manière rigoureuse en 1572 dans son Algebra, ce qui en fait, selon Flament, le créateur indiscutable des nombres complexes. C'est également Bombelli qui les utilise pour la résolution de l'équation de degré 3.
Les nombres complexes interviennent dans l’œuvre d'Albert Girard quand il tente de démontrer que toute équation de degré n possède n racines vers 1629. Ils sont appelés sophistiqués, impossibles ou inexplicables jusqu'à René Descartes qui les qualifie de quantités imaginaires en 1637. Ce qualificatif va leur rester jusqu'en 1831 où Gauss les appelle pour la première fois complexes.
Pour de nombreux mathématiciens du XVIIe siècle, écrire des quantités imaginaires, c'est s'autoriser l'utilisation des racines carrées de nombres négatifs, mais peu à peu se dégage une écriture normalisée sous la forme $a+b\,{\sqrt {-1}}$ . Les mathématiciens tentent d'appliquer à ces nouvelles quantités les fonctions qu'ils connaissaient pour les quantités réelles en utilisant un principe de permanence. Somme, produit, quotient ne posent pas de problème, mais la racine n-ième se révèle une fonction non univoque. Abraham de Moivre démontre en 1738 l'égalité :
${\Big\cos \theta +\mathrm {i} \sin \theta {\Big )}^{1/n}=\cos \left({\frac {\theta }{n}}+{\frac {2k\pi }{n}}\right)+\mathrm {i} \sin \left({\frac {\theta }{n}}+{\frac {2k\pi }{n}}\right).$
L'exponentielle ne pose pas de problème. Ainsi, dès 1748, Euler écrit sa formule
$\cos \theta +\mathrm {i} \sin \theta ={\rm {e}}^{\mathrm {i} \theta }.$
Mais la fonction logarithme complexe résiste longtemps à Jean Bernoulli et Gottfried Wilhelm Leibniz ; c'est Leonhard Euler qui les départage en 1749, en démontrant qu'elle prend une infinité de valeurs en un complexe donné.
C'est à Euler également que l'on doit la notation i pour √-1 en 1777. Mais c'est surtout Carl Friedrich Gauss qui en popularise l'usage. Le qualificatif d'« unité imaginaire » lui a été attribué par Gauss qui la qualifie ensuite d'« unité latérale », tandis que Jean-Robert Argand lui préfère le terme d'« unité moyenne » et William Rowan Hamilton celui d'« unité secondaire ».
L'association entre complexes et vecteurs ou points du plan est l’œuvre de nombreux mathématiciens dont Caspar Wessel, Argand et Gauss à la fin du XVIIIe siècle et dans la première moitié du XIXe siècle. L'interprétation d'un complexe comme couple de réels muni d'une multiplication spéciale est l’œuvre d'Hamilton en 1833. L'interprétation d'un complexe comme reste modulo X$^2$ + 1 d'un polynôme à coefficient réel est l’œuvre d'Augustin Louis Cauchy en 1847. C'est également à Cauchy que l'on doit le développement de la théorie des fonctions de la variable complexe.
L'utilisation en physique apparait dès le début du XIXe siècle dans l’œuvre d'Augustin Fresnel (1823) dans son mémoire sur les lois de réflexion. En électricité, Arthur Edwin Kennelly, dès 1893, montre comment on peut facilement généraliser la loi d'Ohm au courant alternatif grâce aux complexes.
Introduction du vocabulaire et des notations :
| Terme ou notation | Signification | Auteur | Date |
| ℞. m. 15 | Un nombre impossible dont le carré vaudrait −15 | Cardan | 1545 |
| « Imaginaire » | Toute quantité contenant la racine carrée d'un nombre négatif | Descartes | 1637 |
| i | ${\sqrt {-1}}$ | Euler | 1777 |
| Module | Le module du complexe a + ib est ${\sqrt {a^{2}+b^{2}}}$ | Argand | 1806 |
| $|z|$ | Module de z (ou valeur absolue de z) | Karl Weierstrass | |
| Conjugué | Le conjugué de a + ib est a – ib | Cauchy | 1821 |
| Nombre complexe | a + ib | Gauss | 1831 |
| Imaginaire pur | ib | Gauss | 1831 |
| « Norme » | Carré du module | Gauss | 1831 |
| Argument du complexe z | Angle entre le vecteur associé à 1 et celui associé à z | Cauchy | 1838 |
| Affixe | L'affixe du point A de coordonnées $(a,b)$ est le complexe a + ib | Cauchy | 1847 |

## Les complexes dans les œuvres de fiction

Dans le livre Les Désarrois de l'élève Törless par Robert Musil et dans le film réalisé par Volker Schlöndorff (1966), Törless exprime devant le conseil de discipline de l'école sa difficulté à saisir le concept.