# Polynôme de Schur

En mathématiques, les polynômes de Schur, nommés ainsi d'après le mathématicien Issai Schur, sont des polynômes symétriques particuliers, indexés par les partitions d'entiers, et qui généralisent les polynômes symétriques élémentaires et les polynômes symétriques homogènes complets. En théorie des représentations, ce sont les caractères des représentations polynomiales irréductibles du groupe général linéaire. Les polynômes de Schur forment une base de l'espace de tous les polynômes symétriques. Un produit de polynômes de Schur peut être écrit comme combinaison linéaire de polynômes de Schur à coefficients entiers naturels ; les valeurs de ces coefficients sont données par la règle de Littlewood-Richardson.
Il existe aussi des polynômes de Schur gauches qui sont associés à des couples de partitions et qui ont des propriétés similaires aux polynômes de Schur.

## Définition

Les polynômes de Schur sont indexés par les partitions d'entiers ou plus exactement, par les suites finies décroissantes d'entiers naturels. Étant donné un tel n-uplet λ = (λ$_1$, λ$_2$, … , λ$_n$), où les λ$_j$ sont entiers et λ$_1$ ≥ λ$_2$ ≥ … ≥ λ$_n$ ≥ 0 (cette suite finie pouvant être vue comme une « partition » de l'entier d = ∑λ$_j$ mais en un sens élargi puisque les derniers λ$_j$ sont autorisés à être nuls), le polynôme suivant est alternant (en), c'est-à-dire qu'il est transformé en son opposé par une transposition des variables :
    $a_{\lambda }(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})=\det {\begin{pmatrix}x_{1}^{\lambda _{1}}&x_{2}^{\lambda _{1}}&\dots &x_{n}^{\lambda _{1}}\\x_{1}^{\lambda _{2}}&x_{2}^{\lambda _{2}}&\dots &x_{n}^{\lambda _{2}}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\x_{1}^{\lambda _{n}}&x_{2}^{\lambda _{n}}&\dots &x_{n}^{\lambda _{n}}\end{pmatrix}}.$
Il est donc divisible par le déterminant de Vandermonde, qui correspond au n-uplet δ = (n – 1, n – 2, … ,0) :
    $a_{\delta }(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})=\det {\begin{pmatrix}x_{1}^{n-1}&x_{2}^{n-1}&\dots &x_{n}^{n-1}\\x_{1}^{n-2}&x_{2}^{n-2}&\dots &x_{n}^{n-2}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\1&1&\dots &1\end{pmatrix}}=\prod _{1\leq j<k\leq n}(x_{j}-x_{k}).$
Le polynôme de Schur associé à λ est par définition le polynôme quotient :
$s_{\lambda }={\frac {a_{\lambda +\delta }}{a_{\delta }}},$
où les n-uplets λ et δ sont additionnés terme à terme. Il est symétrique, comme quotient de deux polynômes alternants.
Les polynômes de Schur de degré d en n variables forment une base de l'espace des polynômes symétriques homogènes de degré d en n variables.

## Définitions équivalentes

Pour une partition $\lambda$ donnée, le polynôme de Schur $s_{\lambda }$ s'écrit aussi comme une somme de monômes, sous la forme :
    $s_{\lambda }(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})=\sum _{T}x^{T}=\sum _{T}x_{1}^{t_{1}}\cdots x_{n}^{t_{n}}$
où la sommation porte sur les tableaux de Young semi-standard $T$ de forme $\lambda$ ; les exposants $t_{1},\ldots ,t_{n}$ donnent le poids de $T$ : en d'autres termes, chaque $t_{i}$ compte les occurrences du nombre $i$ dans $T$. Par exemple, le monôme associé au tableau est $x_{1}x_{3}x_{4}^{3}x_{5}x_{6}x_{7}$.
L'expression comme somme de poids de tableaux de Young est parfois prise comme définition, par exemple dans Sagan 2001.
Les relations avec d'autres bases s'expriment souvent explicitement. Une des bases considérées est celle des fonctions symétriques monomiales $m_{\mu }$. Étant donné une partition $\mu =(\mu _{1},\mu _{2},\ldots ,\mu _{n})$, le polynôme $m_{\mu }$ est par définition :
    $m_{\mu }=\sum x_{i_{1}}^{\mu _{1}}x_{i_{2}}^{\mu _{2}}\cdots x_{i_{n}}^{\mu _{n}}$
où la sommation est sur toutes les permutations $(i_{1},i_{2},\ldots ,i_{n})$ des entiers de 1 à $n$. Par exemple, pour $\mu =(2,1,0)$, on obtient :
$m_{(2,1,0)}=x_{1}^{2}x_{2}+x_{1}^{2}x_{3}+x_{1}x_{2}^{2}+x_{1}x_{3}^{2}+x_{2}^{2}x_{3}+x_{2}x_{3}^{2}$.
Les polynômes de Schur sont des combinaisons linéaires de polynômes symétriques monomiaux à coefficients entiers naturels notés $K_{\lambda \mu }$ et appelés les nombres de Kostka. Le nombre de Kostka $K_{\lambda \mu }$ (qui dépend de deux partitions $\lambda$ et $\mu$) est égal par définition au nombre de tableaux de Young semi-standard de forme $\lambda$ et de poids $\mu$.
L'expression des polynômes de Schur comme combinaison de polynômes symétriques monomiaux est :
    $s_{\lambda }=\sum _{\mu }K_{\lambda \mu }m_{\mu }.\$
Les polynômes symétriques homogènes complets
    $h_{k}(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})=\sum _{1\leq i_{1}\leq i_{2}\leq \cdots \leq i_{k}\leq n}x_{i_{1}}x_{i_{2}}\cdots x_{i_{k}},$
c'est-à-dire la somme de tous les monômes de degré $k$, en fournissent un autre exemple. Deux formules faisant intervenir des déterminants sont les formules de Jacobi-Trudi. La première exprime les polynômes de Schur comme un déterminant en termes de polynômes symétriques homogènes complets :
    $s_{\lambda }=\det _{i,j}h_{\lambda _{i}+j-i}.$
Pour la partition $(d)$ de $d$ en une seule part, on a simplement
    $s_{(d)}=h_{d}$.
La dernière relation se comprend facilement. En effet, si la partition comprend un seul terme, les tableaux de Young associés n'ont qu'une seule ligne à $n$ cellules, remplies par des entiers qui sont croissants au sens large. Chaque tableau correspond à un terme du polynôme symétrique homogène complet $h_{d}$.
La deuxième formule exprime les polynômes de Schur comme un déterminant en termes de polynômes symétriques élémentaires. On note $e_{k}(x_{1},\ldots ,x_{n})$ le polynôme symétrique élémentaire qui est la somme des produits distincts de $k$ variables distinctes parmi les $n$. On a :
    $s_{\lambda }=\det _{i,j}e_{\lambda '_{i}+j-i}$,
où $\lambda '$ est la partition duale de $\lambda$. Pour la partition $(1)^{d}$ dont toutes les parts valent 1, on obtient
    $s_{(1)^{d}}=e_{d}$.
Là également, la dernière formule se comprend bien. Les tableaux de Young sont formés d'une seule colonne de $n$ cellules, et les entiers qui y figurent sont strictement croissants. Chaque tableau fournit donc un monôme du polynôme symétrique élémentaire $e_{d}$.
Ces formules sont appelées les « identités déterminantales ». Un autre formule de ce type est la formule de Giambelli (en), qui exprime le polynôme de Schur d'une partition en termes de partitions en équerre contenues dans le diagramme de Young correspondant. Dans la notation de Frobenius, la partition est notée
    $(a_{1},...a_{r}|b_{1},...b_{r})$
où, pour chaque élément diagonal, en position $(i,i)$, l'entier $a_{i}$ est le nombre de cellules à droite et sur la même ligne, et $b_{i}$ est le nombre de cellules en dessous et dans la même colonne (respectivement la longueur du « bras » et de la « jambe »).
L'identité de Giambelli exprime la partition comme le déterminant
    $s_{(a_{1},...a_{r}|b_{1},...b_{r})}=\det(s_{(a_{i}|b_{j})})$.
Enfin, l'évaluation du polynôme de Schur $s_{\lambda }$ en (1,1,...,1) donne le nombre de tableaux de Young semi-standard de forme $\lambda$ avec entrées dans $\{1,2,\ldots ,n\}$. On peut montrer, en utilisant par exemple la formule des caractères de Weyl, que
    $s_{\lambda }(1,1,\dots ,1)=\prod _{1\leq i<j\leq n}{\frac {\lambda _{i}-\lambda _{j}+j-i}{j-i}}.$

## Exemple

L'exemple qui suit illustre ces définitions. On considère le cas $n=3,d=4$. Les partitions de l'entier $d=4$ en au plus $n=3$ parts sont $(2,1,1),(2,2),(3,1),(4)$. On a
    $s_{(2,1,1)}(x_{1},x_{2},x_{3})={\frac {1}{\Delta }}\;\det {\begin{pmatrix}x_{1}^{4}&x_{2}^{4}&x_{3}^{4}\\x_{1}^{2}&x_{2}^{2}&x_{3}^{2}\\x_{1}&x_{2}&x_{3}\end{pmatrix}}=x_{1}\,x_{2}\,x_{3}\,(x_{1}+x_{2}+x_{3})$
    $s_{(2,2,0)}(x_{1},x_{2},x_{3})={\frac {1}{\Delta }}\;\det {\begin{pmatrix}x_{1}^{4}&x_{2}^{4}&x_{3}^{4}\\x_{1}^{3}&x_{2}^{3}&x_{3}^{3}\\1&1&1\end{pmatrix}}=x_{1}^{2}\,x_{2}^{2}+x_{1}^{2}\,x_{3}^{2}+x_{2}^{2}\,x_{3}^{2}+x_{1}^{2}\,x_{2}\,x_{3}+x_{1}\,x_{2}^{2}\,x_{3}+x_{1}\,x_{2}\,x_{3}^{2}$
et ainsi de suite. La deuxième des formules de Jacobi-Trudi donne les expressions :
* $s_{(2,1,1)}=e_{1}\,e_{3}$
* $s_{(2,2,0)}=e_{2}^{2}-e_{1}\,e_{3}$
* $s_{(3,1,0)}=e_{1}^{2}\,e_{2}-e_{2}^{2}-e_{1}\,e_{3}+e_{4}$
* $s_{(4,0,0)}=e_{1}^{4}-3\,e_{1}^{2}\,e_{2}+2\,e_{1}\,e_{3}+e_{2}^{2}-e_{4}.$
Tout polynôme symétrique homogène de degré 4 en trois variables s'exprime de façon unique comme combinaison linéaire de ces quatre polynômes de Schur. Considérons par exemple le polynôme :
    $\phi (x_{1},x_{2},x_{3})=x_{1}^{4}+x_{2}^{4}+x_{3}^{4}$
C'est bien un polynôme symétrique homogène de degré 4 en trois variables. On trouve :
    $\phi =s_{(2,1,1)}-s_{(3,1,0)}+s_{(4,0,0)}.\,\!$

## Relation avec la théorie des représentations

Les polynômes de Schur interviennent dans la théorie des représentations des groupes symétriques, du groupe général linéaire, et des groupes unitaires. La formule des caractères de Weyl implique que les polynômes de Schur sont les caractères de représentations irréductibles de degré fini des groupes généraux linéaires, et ceci permet de généraliser les travaux de Schur à d'autres groupes de Lie compacts et semi-simples.
Plusieurs expressions sont des conséquences de cette relation. La plus importante est le développement de la fonction de Schur $s_{\lambda }$ en termes de sommes de Newton $p_{k}=\sum _{i}x_{i}^{k}$. Si l'on note $\chi _{\rho }^{\lambda }$ le caractère du groupe symétrique indexé par la partition $\lambda$ évalué en des éléments dont le type de cycle est noté par la partition $\rho$, alors
    $s_{\lambda }=\sum _{\rho =(1^{r_{1}},2^{r_{2}},3^{r_{3}},\dots )}\chi _{\rho }^{\lambda }\prod _{k}{\frac {p_{k}^{r_{k}}}{r_{k}!k^{r_{k}}}},$
où $\rho =(1^{r_{1}},2^{r_{2}},3^{r_{3}},\dots )$ signifie que la partition $\rho$ a $r_{k}$ parts de longueur $k$.

## Fonctions de Schur gauches

Une fonction de Schur gauche $s_{\lambda /\mu }$ dépend de deux partitions $\lambda$ et $\mu$. Elle peut être définie par la propriété :
    $\langle s_{\lambda /\mu },s_{\nu }\rangle =\langle s_{\lambda },s_{\mu }s_{\nu }\rangle .$
Comme pour les polynômes de Schur ordinaires, il y a diverses façons de les calculer. Les identités de Jacobi-Trudi correspondantes sont :
    $s_{\lambda /\mu }=(h_{\lambda _{i}-\mu _{j}-i+j}),1\leq i,j\leq l(\lambda )$,
    $s_{\lambda '/\mu '}=(e_{\lambda _{i}-\mu _{j}-i+j}),1\leq i,j\leq l(\lambda )$.
Il y a aussi une interprétation combinatoire des polynômes de Schur gauches, à savoir comme somme sur tous les tableaux de Young semi-standard de forme $\lambda /\mu$ :
    $s_{\lambda /\mu }=\sum x^{T}$
où la sommation porte cette fois-ci sur les tableaux semi-standard de forme $\lambda /\mu$.