# Méthodes de quadrature de Gauss

Dans le domaine mathématique de l'analyse numérique, les méthodes de quadrature sont des approximations de la valeur numérique d'une intégrale. En général, on remplace le calcul de l'intégrale par une somme pondérée prise en un certain nombre de points du domaine d'intégration (voir calcul numérique d'une intégrale pour plus d'informations). La méthode de quadrature de Gauss, du nom de Carl Friedrich Gauss, est une méthode de quadrature exacte pour un polynôme de degré 2n – 1 avec n points pris sur le domaine d'intégration.
Les formules de Gauss jouent un rôle déterminant dans la méthode des éléments finis.

## Principe général

On souhaite évaluer numériquement l'intégrale
    $I=\int _{a}^{b}f(x)\varpi (x)\,\mathrm {d} x.$
Le domaine d'intégration (a, b) couvre plusieurs cas :
* intervalles bornés : comme [a, b], [a, b[, etc.
* demi-droite réelle : [a, +∞[, ] -∞, b],
* la droite réelle tout entière : ℝ.
Les méthodes sont de la forme
    $I=\int _{a}^{b}f(x)\varpi (x)\,\mathrm {d} x\approx \sum _{i=1}^{n}\omega _{i}f(x_{i})$
où $\varpi :(a,b)\to \mathbb {R} _{+}$ est une fonction de pondération continue strictement positive, qui peut assurer l'intégrabilité de f. Les $\omega _{i}$ sont appelés les coefficients de quadrature (ou poids). Les points x$_i$ sont appelés les nœuds de la quadrature.

### Théorème fondamental

Pour n donné :
* Les n nœuds x$_i$ sont réels, distincts, uniques et sont les racines du polynôme unitaire de degré n, orthogonal au sous-espace des polynômes de degré n-1 pour le produit scalaire $\left\langle h,g\right\rangle =\int _{a}^{b}h(x)g(x)\varpi (x)\,\mathrm {d} x$.
* Pour tout i, $\omega _{i}$ est égal à $\int _{a}^{b}l_{i}(x)\varpi (x)\,\mathrm {d} x$, où l$_i$ est le polynôme interpolateur de Lagrange de degré n – 1, prenant la valeur 1 en x$_i$, et 0 en les x$_k$ pour k différent de i.
* Pour les polynômes de degré inférieur ou égal à 2n – 1, il y a égalité entre $\int _{a}^{b}f(x)\varpi (x)\,\mathrm {d} x$ et $\sum _{i=1}^{n}\omega _{i}f(x_{i})$.
On se borne à montrer que, si la formule de la quadrature de Gauss est valide, alors les nœuds et les poids sont fixés de manière unique, aux valeurs annoncées. Supposons donc que nous avons des nœuds x$_i$ et des poids $\omega _{i},i=1,\cdots ,n$ tels que
    Pour tout polynôme P de degré inférieur ou égal à 2n-1,
    $\int _{a}^{b}P(x)\varpi (x)\,\mathrm {d} x\;=\;\left\langle P,1\right\rangle \;=\;\sum _{i=1}^{n}\omega _{i}P(x_{i})$.
Posons alors $P_{n}=\Pi _{i=1}^{n}(x-x_{i})$. Il vient
    $\forall 0\leq k<n,\;\left\langle P_{n},x^{k}\right\rangle =\left\langle x^{k}P_{n},1\right\rangle =\sum _{i=1}^{n}\omega _{i}x_{i}^{k}P_{n}(x_{i})=0$. Ainsi P$_n$ est orthogonal à tout polynôme de degré inférieur au sien. Il est par conséquent le seul polynôme unitaire de la direction orthogonale aux polynômes de degré $i=1,\cdots ,n-1$, dans l'espace vectoriel des polynômes de degré $1,\cdots ,n$. L'article sur les polynômes orthogonaux montre alors que P$_n$ a n racines distinctes, ce sont les x$_i$.
L'égalité $\int _{a}^{b}f(x)\varpi (x)\,\mathrm {d} x=\sum _{i=1}^{n}\omega _{i}f(x_{i})$ appliquée aux l$_i$ donne les valeurs des $\omega _{i}$ annoncées.
Le domaine d'intégration et la fonction de pondération déterminent le type de la quadrature de Gauss. Le tableau suivant résume les situations les plus communes.
Une fois le type de quadrature choisi, la formule à n points s'écrit :
    $I(f)=\sum _{i=1}^{n}\omega _{i}f(x_{i}).$
On définit l'erreur comme $E(f)=|I-I(f)|$. Le degré d'exactitude d'une formule de quadrature est le degré le plus élevé de la famille des polynômes annulant E(f). On a le résultat suivant : une formule à n points admet un degré d'exactitude de 2n – 1.

### Cas particulier pour un intervalle fermé

Le domaine d'intégration [a, b] peut être changé (au moyen d'un changement de variable) en [–1, 1] avant d'appliquer les méthodes de quadrature de Gauss. Le changement se déroule ainsi :
    $\int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} x={\frac {b-a}{2}}\int _{-1}^{1}f\left({\frac {b-a}{2}}x+{\frac {a+b}{2}}\right)\,\mathrm {d} x.$
L'approximation de la valeur de l'intégrale devient :
    ${\frac {b-a}{2}}\sum _{i=1}^{n}\omega _{i}f\left({\frac {b-a}{2}}x_{i}+{\frac {a+b}{2}}\right)~.$
où les x$_i$ sont ici relatifs à l'intervalle [–1, 1].

## Méthodes courantes
### Méthode de Gauss-Legendre

Pour le problème d'intégration le plus classique, on utilise la méthode de Gauss-Legendre. Il s'agit d'intégrer la fonction f sur le segment [–1, 1]. Les n nœuds sont les racines du n-ième polynôme de Legendre, P$_n$(x), et les coefficients sont donnés par l'une ou l'autre égalité :
    $\omega _{i}={\frac {-2}{(n+1)P'_{n}(x_{i})P_{n+1}(x_{i})}}={\frac {2}{(1-x_{i}^{2})P'_{n}(x_{i})^{2}}}.$
En reprenant les notations du "principe géréral" on a $l_{i}={\frac {\prod _{k\neq i}(X-x_{k})}{\prod _{k\neq i}(x_{i}-x_{k})}}={\frac {1}{P'_{n}(x_{i})}}{\frac {P_{n}(x)}{x-x_{i}}}$
Le polynôme $l_{i}$ étant de degré n – 1, on trouve après une intégration par parties
    $\langle l'_{i}|P_{n}\rangle =0=\left[P_{n}(x)l_{i}(x)\right]_{-1}^{1}-\int _{-1}^{1}l_{i}(x)P'_{n}(x)\,dx$
Le polynôme $l_{i}\,P'_{n}$ étant de degré 2n – 2 la formule d'interpolation donne un résultat exact
    $\int _{-1}^{1}l_{i}(x)P'_{n}(x)\,dx=\sum _{k=1}^{n}w_{k}l_{i}(x_{k})P'_{n}(x_{k})=w_{i}P'_{n}(x_{i})$
et en reportant ceci dans l'égalité précédente, on trouve
    $l_{i}(1)P_{n}(1)-l_{i}(-1)P_{n}(-1)-w_{i}P'_{n}(x_{i})=0$
soit ${\frac {P_{n}(1)^{2}}{(1-x_{i})P'_{n}(x_{i})}}-{\frac {P_{n}(-1)^{2}}{(-1-x_{i})P'_{n}(x_{i})}}=w_{i}P'_{n}(x_{i})={\frac {-2}{(x_{i}^{2}-1)P'_{n}(x_{i})}}$
d'où la seconde égalité. La première étant immédiate d'après la relation de récurrence entre $P_{n+1}$ et $P_{n}$
On peut aussi remarquer que la somme des coefficients est égale à 2. Le tableau suivant donne l'ensemble des informations pour réaliser le calcul approché de I pour les formules à un, deux et trois points.
| Nombre de points, n | Poids $(\omega _{i})$ | Points $(x_{i})$ | Polynôme de Legendre |
| 1 | 2 | 0 | x |
| 2 | 1, 1 | –√1/3, √1/3 | (3x$^2$ – 1)/2 |
| 3 | 5/9, 8/9, 5/9 | –√3/5, 0, √3/5 | (5x$^3$ – 3x)/2 |

#### Exemple

On cherche à déterminer $\int _{-1}^{1}(x+1)^{2}\mathrm {d} x$. On cherche à intégrer un polynôme de degré 2, 2 points suffisent pour obtenir la valeur exacte.
    $\int _{-1}^{1}(x+1)^{2}\mathrm {d} x=1\left({\frac {1}{\sqrt {3}}}+1\right)^{2}+1\left(-{\frac {1}{\sqrt {3}}}+1\right)^{2}={\frac {8}{3}}.$
On peut facilement vérifier ce résultat car dans cet exemple, on connaît une primitive de (x + 1)$^2$ :
    $\int _{-1}^{1}(x+1)^{2}\mathrm {d} x=\left[{\frac {(x+1)^{3}}{3}}\right]_{-1}^{1}={\frac {8}{3}}.$
Cet exemple ne représente pas un cas pratique. En règle générale, on n'obtient jamais un résultat exact et bien entendu, on n'applique pas ces méthodes pour les fonctions dont on connaît une primitive.

### Méthode de Gauss-Tchebychev

Cette formule est associée au poids $\varpi (x)=(1-x^{2})^{-1/2}$ sur ]–1, 1[. Pour une formule à n points, les nœuds sont
    $x_{i}=\cos \left({\frac {(2i-1)\pi }{2n}}\right)$
et les coefficients :
    $w_{i}={\frac {\pi }{n}}.$

### Méthode de Gauss-Laguerre

Cette formule est associée au poids $\varpi (x)={\rm {e}}^{-x}$ sur ]0, +∞[. Les n nœuds sont les n racines du n-ième polynôme de Laguerre L$_n$, et les coefficients sont
    $w_{i}={\frac {1}{(n+1)L'_{n}(x_{i})L_{n+1}(x_{i})}}.$
Les coefficients et les nœuds ne peuvent être calculés analytiquement que pour n petit. Par exemple, pour n = 2 :
| n | $x_{i}\,$ | $w_{i}\,$ |
| 2 | $2\pm {\sqrt {2}}$ | ${\frac {2\mp {\sqrt {2}}}{4}}$ |
Maintenant, pour intégrer une fonction f sur ℝ$^+$, il faut remarquer que
    $\int _{0}^{+\infty }f(x)\,\mathrm {d} x=\int _{0}^{+\infty }{\frac {f(x)}{\varpi (x)}}\varpi (x)\,\mathrm {d} x.$
Il reste alors à appliquer la formule de quadrature à la fonction $g(x)=f(x)/\varpi (x).$

### Méthode de Gauss-Hermite

Sur ℝ, la formule de Gauss-Hermite est caractérisée par la pondération $\varpi (x)={\rm {e}}^{-x^{2}}$. Pour une formule à n points, les x$_i$ sont calculés comme les n racines du n-ième polynôme d'Hermite H$_n$ ; quant aux pondérations, elles sont obtenues à partir de
    $w_{i}={\frac {2^{n+1}n!{\sqrt {\pi }}}{[H_{n}'(x_{i})]^{2}}}.$
Concernant l'intégration de f sur ℝ, il suffit d'appliquer la formule de quadrature à la fonction $f(x){\rm {e}}^{x^{2}}.$

## Autres méthodes de quadrature de Gauss
### Méthodes de Gauss-Lobatto

Pour le cas des méthodes de quadrature de Gauss-Lobatto (en) sur l'intervalle [a, b], on impose parmi les r + 1 points de quadrature les deux extrémités de l'intervalle :
    $a=x_{1}<x_{2}<\cdots <x_{r+1}=b.$
Pour un ordre de quadrature r, les points intérieurs de quadrature deviennent alors les zéros du polynôme dérivé du r-1e polynôme orthogonal :
    $\forall i=2,\ldots ,r\ ,\ P_{r-1}'(x_{i})=0.$

### Méthodes de Gauss-Radau

Pour le cas des méthodes de quadrature de Gauss-Radau sur l'intervalle [a, b], on impose parmi les r+1 points de quadrature une des extrémités :
    $a=x_{1}<x_{2}<\cdots <x_{r+1}.$
Par symétrie, on peut également fixer b comme point.
Pour un ordre de quadrature r, les points intérieurs de quadrature deviennent alors les zéros du polynôme :
    ${\frac {P_{r-1}(x)+P_{r}(x)}{x-a}}.$

## Calcul des points et poids de quadrature

Pour obtenir les points et poids de quadrature pour un ordre élevé, on consultera avec profit l'ouvrage d'Abramowitz et Stegun.