# Métrique de Vaidya

En relativité générale, la métrique de Vaidya est une solution de l'équation d'Einstein. Elle décrit un objet à symétrie sphérique qui émet (resp. absorbe) de la poussière, de sorte que sa masse décroît (resp. s'accroît) au cours du temps. Elle représente la plus simple généralisation dynamique (c.-à-d. non statique) de la métrique de Schwarzschild. Son éponyme est le physicien et mathématicien indien Prahalad Chunnilal Vaidya (en) (1918-2010) que l'a présentée en 1951.
L'espace-temps de Vaidya a quatre dimensions. Il n'est pas vide mais est empli de poussière isotrope.
La métrique s'écrit, dans le cas d'une émission$^,$$^,$ :
    $\mathrm {d} s^{2}=-\left[1-{\frac {2Gm(u)}{c^{2}r}}\right]c^{2}\mathrm {d} u^{2}-2c\mathrm {d} u\mathrm {d} r+r^{2}\mathrm {d} \Omega ^{2}$
et, dans le cas d'une absorption$^,$$^,$ :
    $\mathrm {d} s^{2}=-\left[1-{\frac {2Gm(v)}{c^{2}r}}\right]c^{2}\mathrm {d} v^{2}+2c\mathrm {d} v\mathrm {d} r+r^{2}\mathrm {d} \Omega ^{2}$,
où :
* $c$ est la vitesse de la lumière dans le vide ;
* $G$ est la constante gravitationnelle ;
* $\mathrm {d} \Omega ^{2}$ est la métrique d'une sphère unité$^,$ : $\mathrm {d} \Omega ^{2}=\mathrm {d} \theta ^{2}\sin ^{2}\theta \mathrm {d} \phi ^{2}$ ;
* $\theta$ est la colatitude : $\theta \in (0,\pi )$ ;
* $\phi$ est la longitude : $\phi \in (0,2\pi )$ ;
* $r$ est le rayon aréolaire$^,$ : $A=2\pi r^{2}$, avec$^,$ $r\in (0,+\infty )$ ;
* $m(u)$ (resp. $m(v)$) est une fonction arbitraire de la coordonnée $u$ (resp. $v$) ;
* $u$ et $v$ sont deux coordonnées de genre lumière avec $u\in \mathbb {R}$ et $v\in \mathbb {R}$ ;
* $cu$ et $cv$ sont deux coordonnées de genre temps, à savoir :
** $cu$ est le temps retardé$^,$ ;
** $cv$ est le temps avancé$^,$.
Les deux expressions de la métrique peuvent être réunies comme suit :
    $\mathrm {d} s^{2}=\left[1-{\frac {2Gm(z)}{c^{2}r}}\right]c^{2}\mathrm {d} z^{2}+2c\mathrm {d} z\mathrm {d} r-r^{2}\mathrm {d} \Omega ^{2}$,
avec $z={\begin{cases}u,&{\text{dans le cas d'une émission}}\\-v,&{\text{dans le cas d'une absorption}}.\end{cases}}$
Avec $m={\text{cste}}$, la métrique de Vaidya se réduit à celle de Schwarzschild :
    $\mathrm {d} s^{2}=-{\frac {R_{\mathrm {S} }}{r}}c^{2}\mathrm {d} u\mathrm {d} v+r^{2}\mathrm {d} \Omega ^{2}$,
où :
* $R_{\mathrm {S} }={\frac {2Gm}{c^{2}}}$ est le rayon de Schwarzschild ;
* $r$ est défini par la relation : $r+R_{\mathrm {S} }\ln \left({\frac {r}{R_{\mathrm {S} }}}-1\right)={\frac {1}{2}}\left(v-u\right)$.

## Poussière isotrope

La poussière isotrope est un fluide$^,$ :
* sans pression$^,$ : $p=0$ ;
* dont la densité d'énergie est : $\rho =\pm {\frac {\dot {m}}{4\pi r^{2}}}$, avec$^,$ $\pm {\dot {m}}={\begin{cases}-\displaystyle {\frac {\mathrm {d} m}{\mathrm {d} u}},&{\text{dans le cas d'une émission}}\\+\displaystyle {\frac {\mathrm {d} m}{\mathrm {d} v}},&{\text{dans le cas d'une absorption ;}}\end{cases}}$
* dont la quadrivitesse est $l^{\alpha }$, avec$^,$ $l_{\alpha }={\begin{cases}-\partial _{\alpha }u,&{\text{dans le cas d'une émission}}\\-\partial _{\alpha }v,&{\text{dans le cas d'une absorption.}}\end{cases}}$

## Utilisations

La métrique de Vaidya connaît un certain nombre d'applications astrophysiques et théoriques. Par exemple, elle est utilisée pour décrire l'émission de rayonnements par des objets astrophysiques$^,$. Elle est aussi prise en compte dans les études sur l'effondrement gravitationnel$^,$$^,$ à symétrique sphérique, la formation et l'évolution des horizons des trous noirs ainsi que la formation de singularités nues$^,$ ou encore les modes quasi-normaux des trous noirs. Elle est utilisée comme modèle-jouet de l'évaporation des trous noirs$^,$ par rayonnement de Hawking. Elle est encore utilisée en théorie des cordes et en holographie.

## Histoire

La métrique de Vaidya est ainsi désignée à la suite de Richard W. Lindquist, Robert A. Schwartz et Charles W. Misner (1932-2023)$^,$$^,$. Son éponyme est le physicien et mathématicien indien Prahalad Chunnilal Vaidya (1918-2010). Il l'a présentée pour la première fois en 1943$^,$ comme solution de l'équation d'Einstein sans constante cosmologique $(\Lambda =0)$ pour l'extérieur d'une étoile rayonnant un champ pouvant s'interpréter, à la limite newtonienne, comme la luminosité de l'étoile.
Pour Éric Gourgoulhon, la métrique de Vaidya sortante a été en fait dérivée pour la première fois par Henri Mineur (1899-1954) en 1933$^,$ comme solution de l'équation d'Einstein pour le « champ de gravitation » extérieur d'un « corps central » à symétrie sphérique dont la masse varie en raison du rayonnement d'un « flux énergétique lumineuse ».
En 1943$^,$$^,$ et 1951$^,$$^,$, Vaidya présente la métrique pour l'extérieur d'une étoile à symétrie sphérique et rayonnante.