# Intégrale de Dirichlet

L'intégrale de Dirichlet est l'intégrale de la fonction sinus cardinal sur la demi-droite des réels positifs
$\int _{0}^{+\infty }{\frac {\sin x}{x}}\,{\textrm {d}}x={\frac {\pi }{2}}$
Il s'agit d'une intégrale impropre semi-convergente, c'est-à-dire qu'elle n'est pas absolument convergente ($\int _{0}^{+\infty }{\frac {|\sin x|}{x}}\,{\textrm {d}}x=+\infty$) mais $\lim _{a\to +\infty }\int _{0}^{a}{\frac {\sin x}{x}}~{\rm {d}}x$ existe et est finie.

## Étude de la convergence

On considère la fonction
${\begin{matrix}f\colon &\mathbb {R} _{+}^{*}&\rightarrow &\mathbb {R} \\&x&\mapsto &{\frac {\sin x}{x}}.\end{matrix}}$
En 0, sa limite à droite vaut 1, donc f est prolongeable en une application continue sur [0, +∞[, si bien qu'elle est intégrable sur [0, a] pour tout a > 0. Mais elle n'est pas intégrable en +∞, c'est-à-dire que
$\lim _{a\to +\infty }\int _{0}^{a}|f(x)|~{\rm {d}}x=+\infty$
Cependant,
$\lim _{a\to +\infty }\int _{0}^{a}f(x)~{\rm {d}}x\quad {\rm {existe~:}}$
* Dirichlet, dans son article historique de 1829 sur les séries de Fourier, mentionne en passant une preuve fondée sur le critère de convergence des séries alternées :
    « On sait que $\int _{0}^{\infty }{\frac {\sin \gamma }{\gamma }}~{\rm {d}}\gamma$ a une valeur finie et égale à π/2. Cette intégrale peut être partagée en une infinité d'autres, prises la première depuis γ = 0 jusqu'à γ = π, la seconde depuis γ = π jusqu'à γ = 2π, et ainsi de suite. Ces nouvelles intégrales sont alternativement positives et négatives, chacune d'elles a une valeur numérique inférieure à celle de la précédente […]. » ;
* dans le même esprit, la règle d'Abel pour les intégrales — ou une simple intégration par parties — fournit une preuve de convergence$^,$ ;
* les méthodes ci-dessous de calcul de l'intégrale fournissent encore d'autres preuves de son existence.

## Calcul de l'intégrale
### Avec des suites

La méthode consiste à poser
$J_{n}=\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}{\frac {\sin {\big(2n+1)x{\big )}}{\sin x}}~{\rm {d}}x,\quad K_{n}=\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}{\frac {\sin {\big(2n+1)x{\big )}}{x}}~{\rm {d}}x$
et à montrer que la différence de ces deux suites tend vers 0, que la première est constante, égale à π/2, et que la deuxième tend vers l'intégrale de Dirichlet$^,$.

### Avec le théorème des résidus

En remarquant que x ↦ (sin x)/x est la partie imaginaire de x ↦ e$^{ix}$/x et en considérant la fonction complexe F : z ↦ e$^{iz}$/z, le théorème des résidus appliqué aux intégrales du quatrième type, permettant de calculer une valeur principale de Cauchy — ou plus simplement ici : le théorème intégral de Cauchy —, donne le résultat voulu.
Plus précisément, F admet un unique pôle, en 0. Considérons le contour défini comme suit : pour deux réels R > ε >0, on choisit les demi-cercles ${\mathcal {C}}_{R}$ et ${\mathcal {C}}_{\varepsilon }$ de centre O, de rayons R et ε, situés dans le demi-plan supérieur et on les relie par deux segments I et J. Cette courbe délimite un domaine borné du plan ne contenant pas l'origine.
Le théorème de Cauchy donne alors
$0=\int _{{\mathcal {C}}_{R}}{\frac {{\rm {e}}^{{\rm {i}}z}}{z}}~{\rm {d}}z+\int _{U\cup J}{\frac {{\rm {e}}^{{\rm {i}}z}}{z}}~{\rm {d}}z+\int _{{\mathcal {C}}_{\varepsilon }}{\frac {{\rm {e}}^{{\rm {i}}z}}{z}}~{\rm {d}}z=\int _{{\mathcal {C}}_{R}}{\frac {{\rm {e}}^{{\rm {i}}z}}{z}}~{\rm {d}}z+2{\rm {i}}\int _{\varepsilon }^{R}{\frac {\sin x}{x}}~{\rm {d}}x+\int _{{\mathcal {C}}_{\varepsilon }}{\frac {{\rm {e}}^{{\rm {i}}z}}{z}}~{\rm {d}}z$
d'où, en faisant tendre R vers +∞ et ε vers 0 :
$0=0+2{\rm {i}}\int _{0}^{+\infty }{\frac {\sin x}{x}}~{\rm {d}}x-{\rm {i}}\pi ,$
ce qui permet de conclure :
$\int _{0}^{+\infty }{\frac {\sin x}{x}}~{\rm {d}}x={\frac {\pi }{2}}.$
Le demi-cercle ${\mathcal {C}}_{R}$ se paramètre par θ ↦ Re$^{iθ}$, pour θ variant de 0 à π. Or $\forall \theta \in ]0,\pi [,\quad |\exp({\rm {i}}R{\rm {e}}^{{\rm {i}}\theta })|=|\exp(-R\sin \theta +{\rm {i}}R\cos \theta )|=\exp(-R\sin \theta )\quad {\xrightarrow[{R\to +\infty }]}\quad 0.$
En appliquant par exemple le théorème de convergence dominée, il vient alors $\int _{{\mathcal {C}}_{R}}{\frac {{\rm {e}}^{{\rm {i}}z}}{z}}~{\rm {d}}z={\rm {i}}\int _{0}^{\pi }\exp({\rm {i}}R{\rm {e}}^{{\rm {i}}\theta })~{\rm {d}}\theta \ \ {\xrightarrow[{R\to +\infty }]}\ {\rm {i}}\int _{0}^{\pi }0~{\rm {d}}\theta =0.$
De même, le demi-cercle ${\mathcal {C}}_{\varepsilon }$ se paramètre par θ ↦ εe$^{iθ}$, pour θ variant de π à 0. On a alors $\int _{{\mathcal {C}}_{\varepsilon }}{\frac {{\rm {e}}^{{\rm {i}}z}}{z}}~{\rm {d}}z={\rm {i}}\int _{\pi }^{0}\exp({\rm {i}}\varepsilon {\rm {e}}^{{\rm {i}}\theta })~{\rm {d}}\theta \ \ {\xrightarrow[{\varepsilon \to 0}]}\ {\rm {i}}\int _{\pi }^{0}\exp(0)~{\rm {d}}\theta =-{\rm {i}}\pi .$
On peut aller un peu plus vite en considérant la fonction z ↦ (e$^{iz}$ – 1)/z qui se prolonge en une fonction entière. On intègre alors sur le contour constitué du demi-cercle ${\mathcal {C}}_{R}$ et de l'intervalle [–R, R]. Par le théorème intégral de Cauchy,
$0=\int _{{\mathcal {C}}_{R}}{\frac {{\rm {e}}^{{\rm {i}}z}-1}{z}}~{\rm {d}}z+\int _{-R}^{R}{\frac {{\rm {e}}^{{\rm {i}}x}-1}{x}}~{\rm {d}}x=\int _{{\mathcal {C}}_{R}}{\frac {{\rm {e}}^{{\rm {i}}z}}{z}}~{\rm {d}}z-\int _{{\mathcal {C}}_{R}}{\frac {{\rm {d}}z}{z}}+2{\rm {i}}\int _{0}^{R}{\frac {\sin x}{x}}~{\rm {d}}x=\int _{{\mathcal {C}}_{R}}{\frac {{\rm {e}}^{{\rm {i}}z}}{z}}~{\rm {d}}z-{\rm {i}}\pi +2{\rm {i}}\int _{0}^{R}{\frac {\sin x}{x}}~{\rm {d}}x$
d'où, en faisant tendre R vers +∞ :
$0=0-{\rm {i}}\pi +2{\rm {i}}\int _{0}^{+\infty }{\frac {\sin x}{x}}~{\rm {d}}x$
et l'on conclut comme précédemment.

### Avec une transformée de Laplace

On utilise la formule suivante des transformée de Laplace : si ${\mathcal {L}}(f)=F$, alors ${\mathcal {L}}\left[{\frac {f(x)}{x}}\right]=\int _{p}^{+\infty }F(u)\mathrm {d} u$.
Ainsi, en utilisant $f=\sin$, d'où $F(p)={\frac {1}{p^{2}+1}}$.
En revenant à la définition de la transformation de Laplace, la propriété admise donne alors
    $\int _{0}^{+\infty }\operatorname {e} ^{-px}{\frac {\sin x}{x}}\mathrm {d} x=\int _{p}^{+\infty }{\frac {\mathrm {d} u}{u^{2}+1}}=\left[\arctan u\right]_{p}^{+\infty }={\frac {\pi }{2}}-\arctan p$.
En passant à la limite quand $p\to 0$, on obtient $\int _{0}^{+\infty }{\frac {\sin x}{x}}\mathrm {d} x={\frac {\pi }{2}}$.

### Avec la « technique de Feynman »

On considère l'intégrale paramétrique $I(y)=\int _{0}^{+\infty }{\frac {\sin x}{x}}\mathrm {e} ^{-xy}\mathrm {d} x$ ; on remarque déjà que l'intégrale de Dirichlet correspond à I(0).
Cette fonction est dérivable et la dérivée vaut :
    ${\begin{aligned}I'(y)&=\int _{0}^{+\infty }{\frac {\partial }{\partial y}}\left({\frac {\sin x}{x}}\mathrm {e} ^{-xy}\right)\mathrm {d} x=\int _{0}^{+\infty }{\frac {\sin x}{x}}(-x)\mathrm {e} ^{-xy}\mathrm {d} x=-\int _{0}^{+\infty }\sin(x)\mathrm {e} ^{-xy}\mathrm {d} x\\&=-\Im m\left(\int _{0}^{+\infty }\mathrm {e} ^{\mathrm {i} x}\mathrm {e} ^{-xy}\mathrm {d} x\right)=-\Im m\left(\int _{0}^{+\infty }\mathrm {e} ^{(\mathrm {i} -y)x}\mathrm {d} x\right)\\&=-\Im m\left[{\frac {1}{\mathrm {i} -y}}\mathrm {e} ^{(\mathrm {i} -y)x}\right]_{x=0}^{+\infty }=\Im m\left[{\frac {\mathrm {i} +y}{1+y^{2}}}\mathrm {e} ^{(\mathrm {i} -y)x}\right]_{x=0}^{+\infty }=-{\frac {1}{1+y^{2}}}.\end{aligned}}$
Ainsi, $I(y)=-\arctan(y)+c$, et faire tendre y vers l'infini permet d'établir que c = π/2. On en déduit que I(0) = π/2.

## Non convergence absolue de l'intégrale

La convergence de $\int _{0}^{+\infty }{\frac {|\sin x|}{x}}\,{\textrm {d}}x$ équivaut à celle de la série de terme général positif $u_{k}=\int _{k\pi }^{(k+1)\pi }{\frac {|\sin x|}{x}}\,{\textrm {d}}x$ ; or d'après la preuve sans mot figurée ci-contre, $u_{k}\geqslant {\frac {\pi }{2}}{\frac {1}{k\pi +\pi /2}}={\frac {1}{2k+1}}$, d'où la divergence de la série donc de l'intégrale.