# Somme des n premiers cubes

La somme des n premiers cubes est égale au carré de la somme des $n$ premiers entiers :
    $1^{3}+2^{3}+3^{3}+\cdots +n^{3}=\left(1+2+3+\cdots +n\right)^{2}$.
Soit, en utilisant la notation plus compacte des sommes et en rappelant la somme d'une série arithmétique :
    $\sum _{k=1}^{n}k^{3}=\left(\sum _{k=1}^{n}k\right)^{2}=\left({\frac {n(n+1)}{2}}\right)^{2}$.
Cette identité est parfois appelée théorème de Nicomaque. Elle est un cas particulier de la formule de Faulhaber.

## Historique

De nombreux mathématiciens historiques ont étudié et démontré cette égalité facile à prouver par récurrence. Stroeker estime que « chaque personne étudiant la théorie des nombres a dû être émerveillée par ce fait miraculeux ». Pengelley et Bressoud retrouvent cette égalité non seulement dans l’œuvre de Nicomaque (vivant vers l'an 100 dans l'actuelle Jordanie), mais aussi chez Aryabhata en Inde au Ve siècle, chez Al-Karaji vers l'an 1000 en Perse, chez Alcabitius en Arabie, chez le Français Gersonide (1288-1344) et chez Nilakantha Somayaji (vers 1500 en Inde), ce dernier fournissant une démonstration visuelle (cf. ci-dessous).
Nicomaque, à la fin du chapitre 20 de son Introduction à l'arithmétique (en), souligne que si l'on écrit une liste de nombres impairs, le premier est le cube de 1, la somme des deux suivants est le cube de 2, la somme des trois suivants est le cube de 3, et ainsi de suite. Il ne va pas plus loin que cela, mais ces remarques contiennent en germe la démonstration de Wheatstone ci-dessous.

## Démonstrations

Plusieurs démonstrations permettent de prouver cette propriété et, en utilisant différentes techniques, de comprendre la provenance de cette relation entre des cubes et un carré.

### Preuve par récurrence

Les égalités à prouver sont des exemples d'utilisation du raisonnement par récurrence au lycée.
On constate que cette propriété est vraie pour $n=1$ ; puis on définit $S_{n}=\sum _{i=1}^{n}i^{3}$ et on suppose que $S_{n}=\left(\sum _{i=1}^{n}i\right)^{2}$. On sait que $\sum _{i=1}^{n}i={\frac {n(n+1)}{2}}$. Donc : $S_{n}=\left({\frac {n(n+1)}{2}}\right)^{2}$. Démontrer la propriété est donc équivalent à démontrer que : $S_{n+1}=\left({\frac {(n+1)(n+2)}{2}}\right)^{2}$. Or : $S_{n+1}=S_{n}+(n+1)^{3}=(n+1)^{2}({\frac {n^{2}}{4}}+n+1)=(n+1)^{2}({\frac {n^{2}+4n+4}{4}})=\left({\frac {(n+1)(n+2)}{2}}\right)^{2}$, et la propriété est démontrée.

### Preuve visuelle

Géométriquement (voir la figure ci-dessus constituant une preuve sans mots), l'identité correspond à calculer l'aire du carré multicolore de deux manières différentes : son côté est de longueur ${\frac {n(n+1)}{2}}$, et l'aire de chaque partie colorée (en "L") est égale à la différence entre l'aire d'un carré de côté ${\frac {k(k+1)}{2}}$ et celle d'un carré de côté ${\frac {k(k-1)}{2}}$, donc à $k^{3}$.

### Preuve par somme télescopique

Une preuve algébrique directe est la suivante. On s'intéresse à l'incrément entre deux termes successifs :
$\left(\sum _{k=1}^{n}k\right)^{2}-\left(\sum _{k=1}^{n-1}k\right)^{2}=\left({\frac {n(n+1)}{2}}\right)^{2}-\left({\frac {(n-1)n}{2}}\right)^{2}=n^{2}{\frac {(n+1)^{2}-(n-1)^{2}}{4}}=n^{2}{\frac {4n}{4}}=n^{3}$.
Ce qui permet de retrouver le théorème de Nicomaque par somme télescopique :
$\left(\sum _{i=1}^{n}i\right)^{2}=\sum _{k=1}^{n}\left[\left(\sum _{i=1}^{k}i\right)^{2}-\left(\sum _{i=1}^{k-1}i\right)^{2}\right]=\sum _{k=1}^{n}k^{3}.$

### Preuve de Wheatstone

Une autre démonstration est fournie par Charles Wheatstone. Il développe chaque cube en une somme de nombres impairs consécutifs, selon une propriété remarquée par d'Adhémar et Cauchy, et déjà par Nicomaque ; puis il utilise utilise le fait que la somme des $N=(n^{2}+n)/2$ premiers nombres impairs est égale à $N^{2}$:
    ${\begin{aligned}1+2^{3}+3^{3}+4^{3}+\cdots +n^{3}&=1+[3+5]+[7+9+11]+[13+15+17+19]+\cdots +\underbrace {[\left(n^{2}-n+1\right)+\cdots +\left(n^{2}+n-1\right)]} _{n^{3}}\\&=\underbrace {\underbrace {\underbrace {\underbrace {1} _{1^{2}}+3} _{2^{2}}+5} _{3^{2}}+\cdots +\left(n^{2}+n-1\right)} _{\left({\frac {n(n+1)}{2}}\right)^{2}}\\&=(1+2+\cdots +n)^{2}.\end{aligned}}$

## Valeurs

Les valeurs de $\left({\frac {n(n+1)}{2}}\right)^{2}$ pour les premiers entiers naturels sont : 0, 1, 9, 36, 100, 225, 441, 784, 1296, 2025, etc. (suite A000537 de l'OEIS).