# Coordonnées de Kruskal-Szekeres

Les coordonnées de Kruskal-Szekeres ($v,u,\theta ,\phi$) sont un système de coordonnées d'espace-temps. Elles permettent d'obtenir l'extension de Kruskal-Szekeres qui est l'extension analytique maximale de la métrique de Schwarzschild. L'espace-temps ainsi étendu se décompose en quatre régions (I, II, III et IV) : les régions I et II sont respectivement l'extérieur et l'intérieur d'un trou noir ; les régions III et IV, respectivement l'extérieur et l'intérieur d'un trou blanc.
L'extension de Kruskal-Szekeres décrit un trou noir éternel.
Les éponymes des coordonnées et de l'extension sont le mathématicien et physicien américain Martin D. Kruskal (1925-2006) et le mathématicien hungaro-australien György (George) Szekeres (1911-2005) qui les ont tous deux proposées en 1960 afin de décrire la géométrie d'un trou noir de Schwarzschild$^,$$^,$.
En coordonnées de Kruskal-Szekeres, la métrique de Schwarzschild s'écrit :
    $ds^{2}={\frac {32G^{3}M^{3}}{rc^{6}}}\operatorname {exp} \left(-{\frac {rc^{2}}{2GM}}\right)\left(dv^{2}-du^{2}\right)-r^{2}\left(d\theta ^{2}+\sin ^{2}\theta \,d\phi ^{2}\right)$,
où :
    $G$ est la constante gravitationnelle ;
    $c$ est la vitesse de la lumière ;
    $M$ est la masse du corps attractif, de symétrie sphérique, situé à l'origine spatiale du système de coordonnées ;
    $u$ et $v$ sont deux coordonnées spatio-temporelles remplaçant la distance radiale $r$ et la colatitude $\theta$ (voir « Coordonnées u et v ») ;
    $r$ est devenu une fonction de $u$ et $v$.
Avec $R_{\mathrm {S} }=2GM/c^{2}$ (cf. rayon de Schwarzschild), $\operatorname {exp} \left(x\right)=e^{x}$ (cf. fonction exponentielle) et $d\Omega ^{2}=d\theta ^{2}+\sin ^{2}\theta \,d\phi ^{2}$ (cf. angle solide), elle s'écrit :
    $ds^{2}={\frac {4R_{\mathrm {S} }^{3}}{r}}\,e^{-{\frac {r}{R_{\mathrm {S} }}}}\left(dv^{2}-du^{2}\right)-r^{2}d\Omega ^{2}$.
En unités géométriques ($c=G=1$), elle s'écrit :
    $ds^{2}={\frac {32M^{3}}{r}}\,e^{-{\frac {r}{2M}}}\left(dv^{2}-du^{2}\right)-r^{2}d\Omega ^{2}$.

## Historique

En décembre 1915, Karl Schwarzschild décrit la première solution exacte des équations d'Einstein, qui fait apparaitre une singularité inattendue, le rayon de Schwarzschild, dont la nature reste longtemps mal comprise.
En 1924, Arthur Eddington ébauche le premier système de coordonnées non singulier à ce fameux rayon. En 1938, Georges Lemaître élabore une métrique synchrone (métrique de Lemaître) ; David Finkelstein en découvre une autre, non-synchrone, en 1958, et nommée aujourd'hui métrique d'Eddington-Finkelstein. Synge démontrera que cette dernière métrique ne recouvre qu'une partie de la géométrie de l'espace-temps de Schwarzschild, tout comme celle de Lemaître : ces métriques ne permettent pas d'envisager tous les cas dynamiques d'un corps dans l'environnement d'un trou noir de Schwarzschild. Elles ont toutefois montré que ce rayon n'est pas une singularité réelle, physique, mais seulement pour la métrique choisie par Schwarzschild.
En 1960, Martin Kruskal et George Szekeres construisent une nouvelle métrique permettant d'étudier tous les types de mouvements d'un corps à l'extérieur et sous le rayon de Schwarzschild.

## Coordonnées spatio-temporelles

Convention : la signature de la métrique est (– + + +).

### Coordonnées u et v

Kruskal et Szekeres utilisent des coordonnées sans dimension, $u$ pour la coordonnée radiale et $v$ pour la coordonnée temporelle, définies dans le but d'éliminer le terme $(1-\textstyle {\frac {R_{s}}{r}})$ dans la nouvelle métrique. Elles reconstruisent $r(u,v),t(u,v)$ par des fonctions transcendantes.
Les variables $u$ et $v$ sont définies par :
* $u^{2}-v^{2}=(\textstyle {\frac {r}{R_{s}}}-1)e^{\textstyle {\frac {r}{R_{s}}}}$
* $\textstyle {\frac {u+v}{u-v}}=e^{\textstyle {\frac {ct}{R_{s}}}}$
Les coordonnées $u$ et $v$ de Kruskal-Szekeres sont reliées aux coordonnées $r$ et $t$ de Schwarzschild par$^,$ :
    $u={\begin{cases}\left({\sqrt {{\frac {r}{2M}}-1}}\right)e^{\frac {r}{4M}}\operatorname {ch} \left({\frac {t}{4M}}\right),&{\text{si }}r>2M\\\left({\sqrt {{\frac {r}{2M}}-1}}\right)e^{\frac {r}{4M}}\operatorname {sh} \left({\frac {t}{4M}}\right),&{\text{si }}r<2M\end{cases}}$
et par$^,$ :
    $v={\begin{cases}\left({\sqrt {1-{\frac {r}{2M}}}}\right)e^{\frac {r}{4M}}\operatorname {sh} \left({\frac {t}{4M}}\right),&{\text{si }}r>2M\\\left({\sqrt {1-{\frac {r}{2M}}}}\right)e^{\frac {r}{4M}}\operatorname {ch} \left({\frac {t}{4M}}\right),&{\text{si }}r<2M\end{cases}}$.
On distingue deux cas pour le temps :
* si $r(u,v)>R_{s}$ alors $\tanh {\frac {ct}{2R_{s}}}={\frac {v}{u}}$ ;
* si $r(u,v)<R_{s}$ alors $\tanh {\frac {ct}{2R_{s}}}={\frac {u}{v}}$.
On obtient la métrique diagonale :
$ds^{2}={\frac {4.R_{s}^{3}}{r}}e^{-\textstyle {\frac {r}{R_{s}}}}(du^{2}-dv^{2})+r^{2}(d\theta ^{2}+sin^{2}\theta d\phi ^{2})$
qui est définie pour tout $r(u,v)>0$. Le temps t est par contre infini au rayon de Schwarzschild ($u=\pm v$).

#### Remarque

Les coordonnées de Kruskal-Szekeres sont parfois notées $\left(U,V,\theta ,\varphi \right)$.
En unités géométriques $\left(c=G=1\right)$, $U$ et $V$ sont définies comme suit$^,$$^,$ :
    ${\begin{cases}U=-\mathrm {e} ^{-\kappa u}=-\mathrm {e} ^{-{\frac {u}{4m}}}\\V=\mathrm {e} ^{\kappa v}=\mathrm {e} ^{\frac {v}{4m}}\end{cases}}$,
où :
    $\kappa ={\frac {1}{4m}}$ est la gravité de surface,
et $u$ et v sont deux coordonnées de genre lumière, à savoir :
* $u$ est le temps retardé défini comme$^,$$^,$ : $u=t-r_{\star }$,
* $v$ est le temps avancé défini comme$^,$ : $v=t+r_{\star }$,
où :
* $t$ est la coordonnée de Schwarzschild ;
* $r_{\star }$ est la coordonnée de la tortue$^,$$^,$, définie par$^,$$^,$ :
       $r_{\star }=r+2m\ln \left({\frac {r}{2m}}-1\right)$,
    où :
   * $r$ est la coordonnée de Schwarzschild ;
   * $\ln$ est le logarithme naturel.
Avec les coordonnées $\left(U,V\right)$, la métrique de Schwarzschild s'écrit :
    $\mathrm {d} s^{2}=-{\frac {32m^{3}}{r}}\;\mathrm {e} ^{-{\frac {r}{2m}}}\mathrm {d} U\mathrm {d} V+\mathrm {d} \Omega ^{2}$.

### Coordonnées T et X

Les coordonnées de Kruskal-Szekeres sont parfois notées $\left(T,X,\theta ,\varphi \right)$ avec $T$ et $X$ définies comme suit$^,$ :
    ${\begin{cases}T={\frac {U+V}{2}}\\X={\frac {V-U}{2}}\end{cases}}$.
La métrique de Schwarzschild s'écrit alors :
    $\mathrm {d} s^{2}={\frac {32m^{3}}{r}}\;\mathrm {e} ^{-{\frac {r}{2m}}}\left(-\mathrm {d} T^{2}+\mathrm {d} X^{2}\right)+\mathrm {d} \Omega ^{2}$.
Les coordonnées $\left(t,r\right)$ de Schwarzschild sont reliées aux coordonnées $\left(T,X\right)$ de Kruskal-Szekeres par :
    $\left({\frac {r}{2m}}-1\right)\mathrm {e} ^{-{\frac {r}{2m}}}=X^{2}-T^{2}$
    ${\frac {t}{2m}}=\ln \left({\frac {T+X}{X-T}}\right)$.

## Propriétés

Les propriétés des coordonnées de Kruskal-Szekeres sont les suivantes :
* La métrique à l'horizon des évènements est non-singulière ;
* $v$ reste de genre temps et $u$ de genre espace sur tout l'espace-temps ;
* Les lignes d'univers de photons en mouvement radial satisfont $\mathrm {d} v=\pm \mathrm {d} u$ ;
* À l'intérieur de l'horizon, ${\frac {R_{\mathrm {S} }-r}{r}}\mathrm {d} t^{2}-{\frac {r}{R_{\mathrm {S} }-r}}\mathrm {d} r^{2}=C\left(u,v\right)\left(\mathrm {d} u^{2}-\mathrm {d} v^{2}\right)$, où le facteur de proportionnalité $C\left(u,v\right)$ est défini positif et ne diverge que pour $r=0$.
Avec les coordonnées de Kruskal-Szekeres, la singularité en $r=0$ de la métrique de Schwarzschild est située en $v^{2}-u^{2}=1$.
${\begin{cases}u={\sqrt {v^{2}-1}}\\u=-{\sqrt {v^{2}-1}}\end{cases}}$
Les droites $r=Cste$ en coordonnées de Schwarzschild sont les hyperboles $u^{2}-v^{2}=Cste$ en coordonnées de Kruskal. Leurs asymptotes sont les bissectrices $u=v$ et $u=-v$. Les droites $t=Cste$ en coordonnées de Schwarzschild sont les droites $v/u=Cste$ passant par l'origine en coordonnées de Kruskal. Les singularités sont représentées par les frontières des zones hyperboliques grises sur le dessin ci-contre.
Les géodésiques de type lumière sont les lignes orientées à 45°. Il est facile de vérifier que pour $ds=0$ , on a $du^{2}=dv^{2}$.
La métrique de Schwarzschild différencie deux régions de l'espace-temps délimitées par l'horizon des événements. La région $r>2M$ est segmentée en deux avec la métrique de Kruskal-Szekeres.
$r>R_{s}$
$u^{2}>v^{2}$
${\begin{cases}u>|v|\\u<-|v|\end{cases}}$
La totalité de la géométrie de Schwarzschild est donc représentée par quatre régions différentes en coordonnées de Kruskal.