# Équation de Sylvester

En mathématiques, dans le domaine de la théorie du contrôle, une équation de Sylvester est une équation matricielle de la forme :
    $AX+XB=C$.
Les matrices $A$, $B$ et $C$ sont données ; le problème est de déterminer les matrices $X$ qui satisfont cette équation. Les matrices sont supposées à coefficients complexes. Les matrices sont de tailles appropriées, par exemple elles sont toutes des matrices carrées de même taille, ou plus généralement, $A$ et $B$ sont des matrices carrées de taille $n$ et $m$ respectivement, et $X$ et $C$ sont à $n$ lignes et $m$ colonnes.
Une équation de Sylvester a une solution unique en $X$ si et seulement si $A$ et $-B$ n'ont pas de valeur propre commune. Plus généralement, l'équation $AX+XB=C$ a été considérée comme une équation d'opérateurs bornés dans un espace de Banach (éventuellement de dimension infinie). Dans ce cas, la condition d'unicité d'une solution en $X$ est quasiment la même : il existe une solution unique en $X$ exactement lorsque les spectres de $A$ et de $-B$ sont disjoints.

## Existence et unicité des solutions

En utilisant le produit de Kronecker et l'opérateur de vectorisation (en) $\operatorname {vec}$, on peut réécrire l'équation de Sylvester sous la forme
    $(I_{m}\otimes A+B^{T}\otimes I_{n})\operatorname {vec} X=\operatorname {vec} C,$
où $A$ est de taille $(n,n)$, $B$ est de taille $(m,m)$, $X$ de taille $(n,m)$ et $I_{k}$ est la matrice d'identité de taille $k$. Sous cette forme, l'équation peut être vue comme un système linéaire de taille $mn\times mn$.
Théorème — Étant données des matrices $A\in \mathbb {C} ^{n\times n}$ et $B\in \mathbb {C} ^{m\times m}$, l'équation de Sylvester :$AX+XB=C$ a une solution unique $X\in \mathbb {C} ^{n\times m}$ quelle que soit $C\in \mathbb {C} ^{n\times m}$ si et seulement si $A$ et $-B$ n'ont pas de valeur propre commune.
L'équation $AX+XB=C$ est un système linéaire en $mn$ inconnues et autant d'équations. Elle a donc une solution unique pour tout $C$ si et seulement si l'équation homogène $AX+XB=0$ n'admet que la solution triviale $0$ .
(i) Supposons que $A$ et $-B$ n'ont pas de valeur propre commune et soit $X$ une solution de l'équation homogène. Alors $AX=X(-B)$ et par récurrence $A^{k}X=X(-B)^{k}$ pour tout $k\geq 0$. Par conséquent, on a $p(A)X=Xp(-B)$ pour tout polynôme $p$. En particulier, soit $p$ le polynôme caractéristique de $A$ . Alors $p(A)=0$ par le théorème de Cayley-Hamilton ; le théorème spectral donne
    $\sigma (p(-B))=p(\sigma (-B))$,
où $\sigma (\cdot )$ désigne le spectre d'une matrice. Si $A$ et $-B$ n'ont pas de valeur propre commune, $p(\sigma (-B))$ ne contient pas zéro, et donc $p(-B)$ est non singulier. Ainsi $X=0$ comme annoncé. Cela prouve la partie directe du théorème.
(ii) Supposons maintenant que $A$ et $-B$ partagent une valeur propre $\lambda$ . Soit $u$ un vecteur propre droit associé pour $A$, et $v$ un vecteur propre gauche associé pour $-B$, et soit $X=u{v}^{*}$ . Alors $X\neq 0$, et $AX+XB=A(uv^{*})-(uv^{*})(-B)=\lambda uv^{*}-\lambda uv^{*}=0.$ Ainsi $X$ est une solution non triviale à l'équation homogène, montrant la réciproque du théorème.
La non-singularité de $p(-B)$ dans la partie (i) de la preuve ci-dessus peut également être démontrée par l' identité de Bézout pour des polynômes premiers entre eux. Soit en effet $q$ le polynôme caractéristique de $-B$ . Comme $A$ et $-B$ n'ont pas de valeur propre commune, $p$ et $q$ sont premiers entre eux. Il existe donc des polynômes $f$ et $g$ tel que $p(z)f(z)+q(z)g(z)\equiv 1$ . Par le théorème de Cayley-Hamilton, $q(-B)=0$ . Ainsi $p(-B)f(-B)=I$, ce qui implique que $p(-B)$ est non singulier.
Le théorème reste vrai pour les matrices réelles sous réserve de considérer leurs valeurs propres complexes. La preuve de la partie directe est toujours valable ; pour la réciproque, on note que $\mathrm {Re} (uv^{*})$ et $\mathrm {Im} (uv^{*})$ satisfont l'équation homogène $AX+XB=0$, et ils ne peuvent pas être nuls simultanément.

## La règle de suppression de Roth

Étant donné deux matrices carrées complexes $A$ et $B$ de taille $n$ et $m$, et une matrice $C$ de taille $(n,m)$, on peut se demander quand les deux matrices carrées suivantes
: ${\begin{bmatrix}A&C\\0&B\end{bmatrix}}\,$ et $\,{\begin{bmatrix}A&0\\0&B\end{bmatrix}}$
de taille $n+m$ sont semblables. La réponse est que ces deux matrices sont semblables exactement lorsqu'il existe une matrice $X$ telle que $AX-XB=C$, en d'autres termes, si $X$ est une solution d'une équation de Sylvester. Cette observation est appelée la règle de suppression de Roth.
On vérifie facilement une direction : Si $AX-XB=C$ alors
    ${\begin{bmatrix}I_{n}&X\\0&I_{m}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}A&C\\0&B\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}I_{n}&-X\\0&I_{m}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}A&0\\0&B\end{bmatrix}}.$
La règle de suppression de Roth ne se généralise pas aux opérateurs bornés de dimension infinie sur un espace de Banach.

## Résolutions numériques

Un algorithme classique de résolution numérique de l'équation de Sylvester est l'algorithme de Bartels-Stewart, qui consiste à transformer $A$ et $B$ en forme de Schur par un algorithme QR, puis en résolvant le système triangulaire résultant par substitution. Cet algorithme, dont le coût de calcul est en ${\mathcal {O}}(n^{3})$ opérations arithmétiques, est utilisé, entre autres, par le logiciel LAPACK et la fonction lyap dans GNU Octave. Elle est proche de la fonction sylvester dans cet ensemble$^,$. Dans certaines applications spécifiques de traitement d'image , la solution de l'équation de Sylvester dérivée a une forme close.