# Groupe de Klein

En mathématiques, le groupe de Klein est, à isomorphisme près, l'un des deux groupes à quatre éléments, l'autre étant le groupe cyclique $C_{4}$ ; c'est le plus petit groupe non cyclique. Il porte le nom du mathématicien allemand Felix Klein, qui en 1884 le désignait par « Vierergruppe » (groupe de quatre) dans son « cours sur l'icosaèdre et la résolution des équations du cinquième degré ».

## Définition

Le groupe de Klein est entièrement défini par le fait que les trois éléments différents de l'élément neutre e ont un ordre égal à 2 (ils sont involutifs), et que le produit de deux distincts d'entre eux est égal au troisième. Ses éléments étant notés $e,a,b,c$ et sa loi étant notée multiplicativement, sa table s'écrit :
| $\cdot$ | e | a | b | c |
| e | e | a | b | c |
| a | a | e | c | b |
| b | b | c | e | a |
| c | c | b | a | e |
On rencontre les notations : $\{e,a,b,c\}=K_{4},V,{\text{ou }}V_{4}$ ($V$ est l'initiale de Vierergruppe).

## Propriétés

* La table étant symétrique, la loi est commutative : $K_{4}$ est un groupe abélien.
* La diagonale de e montre que tout élément est son propre symétrique, ce qui équivaut à l'involutivité.
* $K_{4}$ n'est pas un groupe simple, ayant pour sous-groupes distingués $\{e,a\},\{e,b\},\{e,c\}$.
* $K_{4}$ est engendré par deux de ses éléments d'ordre 2, par exemple a et b, les relations minimales étant $a^{2}=e,b^{2}=e,ab=ba$.
* Par conséquent tout sous-groupe engendré par deux éléments d'ordre deux qui commutent est isomorphe au groupe de Klein.

## Modèles du groupe de Klein

* 1) Comme tout groupe, $K_{4}$ est isomorphe à un sous-groupe du groupe symétrique d'indice le nombre de ses éléments, ici $S_{4}$. On peut prendre pour les trois éléments d'ordre 2 les trois produits de deux transpositions disjointes $s_{1}=(1,2)\circ (3,4),\,s_{2}=(1,3)\circ (2,4),\,s_{3}=(1,4)\circ (2,3)$. Le groupe $\{id,s_{1},s_{2},s_{3}\}$ est alors un sous-groupe distingué de $S_{4}$. Et ces permutations étant paires, c'est un sous-groupe distingué du groupe alterné $A_{4}$ ($n=4$ est le seul cas où $A_{n}$ n'est pas simple).
* 2) On peut aussi prendre, comme éléments d'ordre 2, deux transpositions disjointes et leur produit, par exemple $t_{1}=(1,2),t_{2}=(3,4),s=(1,2)\circ (3,4)$. Le groupe $\{id,t_{1},t_{2},s\}$ n'est cependant pas distingué dans $S_{4}$. Ce groupe est le groupe d'automorphismes du graphe ci-contre (par exemple).
* 3) $K_{4}$ est isomorphe à $C_{2}\times C_{2}=(C_{2})^{2}$ , produit direct du groupe cyclique d'ordre 2 par lui-même.
** 3.a) Prenant comme modèle de $C_{2}$ le groupe additif ${\mathbb {Z}}/{2{\mathbb {Z}}}=\{{\overline {0}},{\overline {1}}\}$, on obtient la table additive :
| + | (0,0) | (1,0) | (0,1) | (1,1) |
| (0,0) | (0,0) | (1,0) | (0,1) | (1,1) |
| (1,0) | (1,0) | (0,0) | (1,1) | (0,1) |
| (0,1) | (0,1) | (1,1) | (0,0) | (1,0) |
| (1,1) | (1,1) | (0,1) | (1,0) | (0,0) |
La multiplication dans ${\mathbb {Z}}/{2{\mathbb {Z}}}$ se transmet à $({\mathbb {Z}}/{2{\mathbb {Z}}})^{2}$et lui confère une structure d'anneau commutatif d'élément unité $({\overline {1}},{\overline {1}})$. Les deux autres éléments non nuls sont de carré unité et de produit nul (l'anneau n'est donc pas intègre).
* 3.b) Prenant comme modèle de $C_{2}$ le groupe multiplicatif $\{1,-1\}$, on obtient le groupe multiplicatif de table :
| $\times$ | (1,1) | (-1,1) | (1,-1) | (-1,-1) |
| (1,1) | (1,1) | (-1,1) | (1,-1) | (-1,-1) |
| (-1,1) | (-1,1) | (1,1) | (-1,-1) | (1,-1) |
| (1,-1) | (1,-1) | (-1,-1) | (1,1) | (-1,1) |
| (-1,-1) | (-1,-1) | (1,-1) | (-1,1) | (1,1) |
* 3.c) Ce dernier est directement isomorphe au groupe multiplicatif des matrices carrées diagonales d'ordre 2 formées de 1 et -1 : $\left\{{\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}-1&0\\0&1\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}-1&0\\0&-1\end{pmatrix}}\right\}$.
* 4) Le groupe diédral $D_{2n}$ étant isomorphe à $C_{n}\times C_{2}$, le groupe de Klein est isomorphe à $D_{4}$.
* 5) Le groupe de Klein est isomorphe à plusieurs sous-groupes du groupe à huit éléments $(C_{2})^{3}$ ; en effet tous les sous-groupes engendrés par deux éléments non neutres distincts de $(C_{2})^{3}$ sont des groupes de Klein. Par exemple, prenant ${\mathbb {Z}}/{2{\mathbb {Z}}}$ comme modèle de $C_{2}$ :
* 5.a) $\{({\overline {0}},{\overline {0}},{\overline {0}}),({\overline {1}},{\overline {1}},{\overline {0}}),({\overline {1}},{\overline {0}},{\overline {1}}),({\overline {0}},{\overline {1}},{\overline {1}})\}$, dont l'équivalent multiplicatif matriciel est
* 5.b) $\left\{{\text{diag}}(1,1,1),{\text{diag}}(-1,-1,1),{\text{diag}}(-1,1,-1),{\text{diag}}(1,-1,-1)\right\}$.
* 5.c) ou encore $\{({\overline {0}},{\overline {0}},{\overline {0}}),({\overline {1}},{\overline {1}},{\overline {1}}),({\overline {1}},{\overline {1}},{\overline {0}}),({\overline {0}},{\overline {0}},{\overline {1}})\}$, dont l'équivalent multiplicatif matriciel est
* 5.d) $\left\{{\text{diag}}(1,1,1),{\text{diag}}(-1,-1,-1),{\text{diag}}(-1,-1,1),{\text{diag}}(1,1,-1)\right\}$
* 5.e) ou encore $\{({\overline {0}},{\overline {0}},{\overline {0}}),({\overline {0}},{\overline {0}},{\overline {1}}),({\overline {0}},{\overline {1}},{\overline {0}}),({\overline {0}},{\overline {1}},{\overline {1}})\}$, dont l'équivalent multiplicatif matriciel est
* 5.f) $\left\{{\text{diag}}(1,1,1),{\text{diag}}(1,1,-1),{\text{diag}}(1,-1,1),{\text{diag}}(1,-1,-1)\right\}$
* 6) Le groupe de Klein est isomorphe au groupe $({\mathbb {Z}}/{8{\mathbb {Z}}})^{*}$ des éléments inversibles de l'anneau ${\mathbb {Z}}/{8{\mathbb {Z}}}$, d'éléments ${\overline {1}},{\overline {3}},{\overline {5}}=-{\overline {3}},{\overline {7}}=-{\overline {1}}$, ainsi qu'à $({\mathbb {Z}}/{12{\mathbb {Z}}})^{*}$ d'éléments ${\overline {1}},{\overline {5}},{\overline {7}}=-{\overline {5}},{\overline {11}}=-{\overline {1}}$. Dans les deux autres cas ($n=5,10$) où $({\mathbb {Z}}/{n{\mathbb {Z}}})^{*}$ possède quatre éléments, il est cyclique.
* 7) Géométriquement, en dimension deux, le groupe de Klein est isomorphe au groupe des isométries laissant globalement invariant un rectangle ou un losange (non carrés), éventuellement réduits à un segment. Les quatre éléments sont alors l'identité id, les deux réflexions $s_{x},s_{y}$ selon les médianes, et la symétrie centrale $s_{O}$ de centre le centre du polygone, d'où la table :
| $\circ$ | id | $s_{x}$ | $s_{y}$ | $s_{O}$ |
| id | id | $s_{x}$ | $s_{y}$ | $s_{O}$ |
| $s_{x}$ | $s_{x}$ | id | $s_{O}$ | $s_{y}$ |
| $s_{y}$ | $s_{y}$ | $s_{O}$ | id | $s_{x}$ |
| $s_{O}$ | $s_{O}$ | $s_{y}$ | $s_{x}$ | id |
Si la figure est un carré, il y a en plus les deux réflexions selon les diagonales et les rotations d'angles $\pm 90^{\circ }$, soit 8 éléments qui forment alors le groupe diédral $D_{8}$ d'ordre 8.
Passant aux matrices des transformations précédentes, on obtient la représentation matricielle multiplicative vue en 3) c).
* 9) En dimension trois, le groupe de Klein est isomorphe au groupe des isométries directes laissant globalement invariant un parallélépipède rectangle non cubique. C'est pourquoi on l'appelle parfois le groupe (du retournement) du matelas. Les trois éléments involutifs sont les retournements autour des trois axes de symétrie du parallélépipède. Étant notés $s_{x},s_{y},s_{z}$, on obtient la table :
| $\circ$ | id | $s_{x}$ | $s_{y}$ | $s_{z}$ |
| id | id | $s_{x}$ | $s_{y}$ | $s_{z}$ |
| $s_{x}$ | $s_{x}$ | id | $s_{z}$ | $s_{y}$ |
| $s_{y}$ | $s_{y}$ | $s_{z}$ | id | $s_{x}$ |
| $s_{z}$ | $s_{z}$ | $s_{y}$ | $s_{x}$ | id |
Dans la figure ci-contre, les trois retournements sont nommés d'après leur formulation aéronautique : roulis, tangage, lacet.
Passant aux matrices des transformations précédentes, on obtient la représentation matricielle multiplicative vue en 5.b)
* 10) En dimension trois, le groupe engendré par les trois réflexions par rapport à trois plans orthogonaux deux à deux $xOy,xOz,yOz$ forme le groupe à huit éléments $\{id,s_{xy},s_{xz},s_{yz},s_{x},s_{y},s_{z},s_{O}\}$ où $s_{x},s_{y},s_{z}$ sont les trois retournements vus ci-dessus et $s_{O}$ la symétrie centrale de centre O. Ce groupe est isomorphe à $(C_{2})^{3}$ de sorte que deux éléments distincts de l'identité engendrent un groupe de Klein. Par exemple $s_{x},s_{y}$ engendrent le groupe vu en 9) , $s_{xy},s_{xz}$ engendrent $\{id,s_{xy},s_{xz},s_{x}\}$ dont l'équivalent matriciel est 5.f), et $s_{O},s_{z}$ engendrent $\{id,s_{O},s_{z},s_{xy}\}$ dont l'équivalent matriciel est 5.d). Il y a ainsi sept sous-groupe de $(C_{2})^{3}$ isomorphes au groupe de Klein.
* 11) Plus généralement, les sous-groupes de Klein de $(C_{2})^{n}$ correspondent aux sous-espaces vectoriels de dimension deux du $({\mathbb {Z}}/{2{\mathbb {Z}}})$- espace vectoriel $({\mathbb {Z}}/{2{\mathbb {Z}}})^{n}$; leur nombre est donc le coefficient binomial de Gauss ${n \choose 2}_{2}={\frac {(2^{n}-1)(2^{n}-2)}{6}}$.
* 12) Le groupe de Klein est aussi isomorphe à l'ensemble des parties d'un ensemble à deux éléments $\{a,b\}$, muni de la différence symétrique. Ce qui donne la table :
| $\Delta$ | $\varnothing$ | $\{a\}$ | $\{b\}$ | $\{a,b\}$ |
| $\varnothing$ | $\varnothing$ | $\{a\}$ | $\{b\}$ | $\{a,b\}$ |
| $\{a\}$ | $\{a\}$ | $\varnothing$ | $\{a,b\}$ | $\{b\}$ |
| $\{b\}$ | $\{b\}$ | $\{a,b\}$ | $\varnothing$ | $\{a\}$ |
| $\{a,b\}$ | $\{a,b\}$ | $\{b\}$ | $\{a\}$ | $\varnothing$ |
La loi "intersection" confère alors à $(P(\{a,b\}),\Delta ,\cap )$ la structure d'anneau commutatif d'élément unité $\{a,b\}$, anneau isomorphe à l'anneau vu en 3) a).
* 13) Le polynôme $P=1+X+X^{2}$ étant irréductible sur le corps à deux éléments $F_{2}$, le quotient $F_{2}(X)/P$ est un corps qui se trouve avoir 4 éléments ${\overline {0}},{\overline {1}},{\overline {X}}=\varphi ,\varphi ^{2}={\overline {1}}+\varphi$ et dont la partie additive est le groupe de Klein. Ici, les deux éléments non nuls différents de l'élément unité sont inverses l'un de l'autre. On a les tables :
| + | 0 | 1 | φ | φ² |
| 0 | 0 | 1 | φ | φ² |
| 1 | 1 | 0 | φ² | φ |
| φ | φ | φ² | 0 | 1 |
| φ² | φ² | φ | 1 | 0 |
| $\times$ | 0 | 1 | φ | φ² |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 1 | 0 | 1 | φ | φ² |
| φ | 0 | φ | φ² | 1 |
| φ² | 0 | φ² | 1 | φ |

## Application en ethnologie

Dans Les Structures élémentaires de la parenté, l’ethnologue Claude Lévi-Strauss, aidé du mathématicien André Weil, dégage le concept de structure élémentaire de parenté en utilisant la notion de groupe de Klein. Dans La Structure des mythes, Lévi-Strauss réutilisera les groupes de Klein pour établir la formule canonique du mythe.