# Espace fonctionnel

En mathématiques, un espace fonctionnel est un ensemble d'applications d'une certaine forme d'un ensemble $X$ vers un ensemble $Y.$
Il est appelé « espace » car, selon les cas, il peut être un espace topologique, un espace vectoriel, ou les deux.

## Notations

L'ensemble des applications de $X$ dans $Y$ est noté $Y^{X}$ ou ${\mathcal {F}}(X,Y)$. Pour la première écriture, on veillera à ne pas se méprendre dans l'ordre des ensembles. Un bon moyen de le retenir est en l'associant avec ce résultat classique de dénombrement : il y a, si $X$ et $Y$ sont finis, $\mathrm {Card} (Y)^{\mathrm {Card} (X)}$ applications de $X$ dans $Y$.

## Domaines d'applications

Les espaces fonctionnels apparaissent dans différents domaines des mathématiques :
* en théorie des ensembles, l'ensemble des parties d'un ensemble $E$ peut être identifié à $\{0,1\}^{E}$. En effet, se donner une partie $A$ de $E$, cela revient à « faire l'appel », à construire une fonction qui à $x\in E$ associe $1$ si $x\in A$ et $0$ sinon (mathématiquement on construit la fonction caractéristique de $A$ dans $E$) ;
* en algèbre linéaire, l'ensemble des applications linéaires d'un espace vectoriel $E$ vers un autre $F$ sur un même corps commutatif est lui-même un espace vectoriel ;
* en analyse fonctionnelle, on a la même construction avec les applications linéaires continues, sur des espaces vectoriels topologiques, typiquement : des espaces de fonctions à valeurs réelles ou complexes, munis d'une certaine topologie ; les exemples les plus connus sont les espaces hilbertiens et les espaces de Banach ;
* en analyse fonctionnelle, l'ensemble des applications de l'ensemble des entiers naturels dans un ensemble quelconque $X$ est appelé espace de suites. Il est formé de l'ensemble des suites d'éléments de $X$ ;
* en topologie, on peut essayer de construire une topologie sur l'espace des fonctions continues d'un espace topologique X dans un autre Y, dont l'utilité dépend de la nature des espaces. Une topologie couramment employée est la topologie compacte-ouverte. Un autre topologie possible est la topologie produit sur l'espace des fonctions (pas nécessairement continues) $Y^{X}$. Dans ce contexte, cette topologie est aussi désignée sous le nom de topologie de la convergence simple ;
* en topologie algébrique, l'étude de la théorie de l'homotopie repose essentiellement sur l'étude des invariants discrets des espaces de fonctions ;
* en théorie des processus stochastiques, le problème technique de base est comment construire une mesure de probabilité sur un espace de fonctions constitué de chemins de processus (fonctions du temps) ;
* en théorie des catégories, un espace fonctionnel est appelé un objet exponentiel. Il apparaît d'une part comme le bifoncteur Hom ; mais en tant que foncteur (simple), du type [X, -], il apparaît comme foncteur adjoint à un foncteur de type (-×X) sur des objets ;
* en lambda-calcul et en programmation fonctionnelle, des types d'espaces de fonctions sont employés pour exprimer l'idée de fonction d'ordre supérieur ;
* en théorie des domaines, l'idée fondamentale est de trouver des constructions à partir d'ordres partiels qui peuvent modéliser le lambda-calcul, en créant une catégorie cartésienne fermée.

## Analyse fonctionnelle
### Espaces généraux

* un espace localement convexe est un espace vectoriel topologique sur R dont la topologie est définie par une famille de semi-normes (ou de façon équivalente possédant des bases de voisinages convexes) ;
* un espace de Fréchet est un espace localement convexe séparé dont la topologie est définie par une famille dénombrable de semi-normes (ou de façon équivalente : métrisable) et complet (pour n'importe laquelle des distances qui définissent sa topologie) ;
* un espace de Banach est un espace vectoriel normé complet ;
* un espace de Hilbert est un espace de Banach dont la norme est associée à un produit scalaire.

### Espaces particuliers

* espace de Schwartz des fonctions de classe $C^{\infty }$ à décroissance rapide et son dual topologique, l'espace des distributions tempérées ;
* espaces Lp ;
* espaces de Lorentz, espaces d'interpolation des espaces $L^{p}$ ;
* ${\mathcal {K}}(\mathbb {R} )$ espace des fonctions continues à support compact muni de la norme de la convergence uniforme ;
* ${\mathcal {B}}(\mathbb {R} )$ espace des fonctions continues bornées ;
* ${\mathcal {C}}_{0}(\mathbb {R} )$ espace des fonctions continues qui tendent vers zéro à l'infini ;
* ${\mathcal {C}}^{\infty }(\mathbb {R} )$ espace des fonctions classe $C^{\infty }$ ;
* ${\mathcal {C}}_{c}^{\infty }$ espace des fonctions C∞ à support compact, muni des normes uniformes de la fonction et de ses dérivées ;
* ${\mathcal {D}}(\mathbb {R} )$ espace des fonctions $C^{\infty }$ à support compact, muni cette fois d'une certaine topologie limite inductive ;
* ${\mathcal {O}}_{U}$ espace des fonctions holomorphes ;
* $W^{k,p}\,$ espaces de Sobolev ;
* espaces de Besov ;
* applications affines par morceaux ;
* espace des fonctions continues muni de la topologie compacte-ouverte ;
* espace des fonctions muni de la topologie de la convergence simple ;
* espaces de Hardy ;
* espaces de Hölder.