# Ovale de Descartes

* Exemple d'ovale complet et ses trois foyers
* l'ovale intérieur a pour équation (au choix)
* 4F$_1$M +2 F$_2$M = 5F$_1$F$_2$
* 5F$_1$M + 2F$_3$M = 4F$_1$F$_3$
* -5F$_2$M + 4 F$_3$M = 2F$_2$F$_3$
* l'ovale extérieur a pour équation (au choix)
* 4F$_1$M – 2F$_2$M = 5F$_1$F$_2$
* 5F$_1$M – 2F$_3$M = 4F$_1$F$_3$
* 5F$_2$M – 4 F$_3$M = 2F$_2$F$_3$
En géométrie plane, un(e) ovale de Descartes est l'ensemble des points M vérifiant une équation de la forme bF$_1$M + aF$_2$M = cF$_1$F$_2$, où a, b et c sont trois réels non nuls et F$_1$, F$_2$ deux points donnés appelés foyers.
Pour chaque ovale non dégénéré, de foyers F$_1$ et F$_2$, il existe un troisième foyer F$_3$ et de nouveaux paramètres qui font de la courbe un ovale de foyers F$_1$, F$_3$. C'est la raison pour laquelle on parle des trois foyers d'un ovale.
L'ensemble des points M tels que |bF$_1$M ± aF$_2$M| = |cF$_1$F$_2$| est appelé ovale complet et regroupe deux courbes du type précédent. Un ovale complet est un cas particulier de courbe quartique.
Le nom « ovale de Descartes » fait référence au mathématicien René Descartes qui fut le premier à les étudier dans des problèmes de réfraction.

## Origine

René Descartes fait allusion à ces courbes dans sa Dioptrique mais les étudie plus profondément dans sa Géométrie. Il ne les présente pas directement par leur équation bifocale mais à l'aide d'une construction. Sa motivation est d'ordre pratique : il s'agit de rechercher des courbes de stigmatisme parfait. C'est-à-dire des courbes séparant deux milieux d'indices différents telles que tous les rayons issus d'un point particulier du premier milieu, convergent par réfraction sur un point particulier du second milieu.
Les ovales intérieurs ont cette particularité: si l'ovale d'équation bF$_1$M + aF$_2$M = cF$_1$F$_2$ où 0 < a < c < b sépare un milieu intérieur d'indice b d'un milieu extérieur d'indice a alors les rayons issus de F$_2$ et rencontrant l'ovale vont se réfracter en F$_1$.
Descartes mobilise, dans cette étude, sa nouvelle connaissance de la loi de réfraction ainsi que ses techniques de tracé de tangentes à des courbes. Il conclut par la présentation de lunettes permettant à l'aide de la combinaison de deux ovales d'assurer un stigmatisme absolu.
Il propose également un moyen mécanique de construction de telles ovales pour des coefficients b et a entiers naturels lorsque c = (a+b)/2, avec une méthode s'apparentant à la méthode du jardinier.
La courbe est également étudiée par Isaac Newton, Adolphe Quételet qui étudie les deux branches de la courbe et en donne l'équation polaire, par Michel Chasles. Arthur Cayley, Hieronymus Georg Zeuthen et Hammond en développent des méthodes mécaniques de construction.

## Cas particuliers

On considère la courbe d'équation bipolaire bF$_1$M + aF$_2$M = cF$_1$F$_2$. On peut, sans perte de généralité, supposer a + b > 0. Si c < min(a,b), la courbe est vide.
Lorsque 0 < a = b < c, l'ensemble des points M est une ellipse, le troisième foyer est envoyé à l'infini. On considère en général qu'il s'agit d'un ovale dégénéré.
Lorsque a + b = 0, l'ensemble des points M est une demi-hyperbole. Le troisième foyer est envoyé à l'infini. Il s'agit aussi d'un cas dégénéré.
Lorsque a = ±c, le troisième foyer est confondu avec F$_1$ et l'ovale complet est un limaçon de Pascal.

## Équations de l'ovale complet

L'équation |bMF$_1$ ± aMF$_2$| = |cF$_1$F$_2$| peut encore s'écrire sous la forme quartique suivante : $\left(b^{2}MF_{1}^{2}-a^{2}MF_{2}^{2}+c^{2}F_{1}F_{2}^{2}\right)^{2}=4b^{2}c^{2}F_{1}F_{2}^{2}\times MF_{1}^{2}$

### Équations cartésiennes

Dans le cas d'un ovale non dégénéré, en prenant pour origine O le barycentre de F$_1$ et F$_2$ affectés des coefficient b$^2$ et –a$^2$ et pour ${\vec {i}}$ le vecteur tel que F$_1$ a pour abscisse α = a$^2$. Alors F$_2$ a pour abscisse β = b$^2$. En posant γ = c$^2$, l'équation de l'ovale devient : $(x^{2}+y^{2}-\sigma _{2})^{2}+8\sigma _{3}x-4\sigma _{1}\sigma _{3}=0$ où σ$_1$, σ$_2$ et σ$_3$ sont les fonctions symétriques des réels α, β et γ : $\sigma _{1}=\alpha +\beta +\gamma ,\quad \sigma _{2}=\alpha \beta +\beta \gamma +\gamma \alpha ,\quad \sigma _{3}=\alpha \beta \gamma$
Le caractère symétrique des rôles joués par les réels α, β et γ permet de dire que la même équation cartésienne sera obtenue pour l'ovale de foyers F$_1$ et F$_3$(γ, 0) et d'équation |cMF$_1$ ± aMF$_3$| = |bF$_1$F$_3$| ainsi que pour l'ovale de foyers F$_2$ et F$_3$ et d'équation |cMF$_2$ ± bMF$_3$| = |aF$_1$F$_3$|.
On peut aussi décider de prendre pour origine, le milieu du segment [F$_1$F$_2$] ou un des foyers pour obtenir des équations alternatives.

### Équation polaire

Dans le repère de centre F$_1$ et dont l'axe principal est orienté vers F$_2$, si l'on note d = F$_1$F$_2$, l'ovale complet d'équation |bMF$_1$ ± aMF$_2$| = |cF$_1$F$_2$| a pour équation polaire :
$(b^{2}-a^{2})\rho ^{2}-2\rho d(a^{2}\cos \theta +bc)+(c^{2}-a^{2})d^{2}=0$
Puisque le produit des deux racines de cette équation est indépendant de θ, l'ovale complet est invariant par inversion de centre F$_1$ et de rapport ${\frac {(c^{2}-a^{2})d^{2}}{(b^{2}-a^{2})}}$.

## Propriétés géométriques

On considère l'ovale d'équation |bF$_1$M ± aF$_2$M| = |cF$_1$F$_2$|.

### Troisième foyer

Si l'ovale n'est pas dégénéré, le troisième foyer F$_3$ est le barycentre des points F$_1$ et F$_2$ affectés des coefficient b$^2$ – c$^2$ et c$^2$ – a$^2$, et les deux autres équations de l'ovale sont |cF$_2$M ± bF$_3$M| = |aF$_2$F$_3$| et |aF$_3$M ± cF$_1$M| = |bF$_3$F$_2$|, voir à théorème de Stewart.

### Sommets

Les 4 sommets de l'ovale complet sont les barycentres des points F$_1$ et F$_2$ affectés des coefficients (b – c, a + c), (b – c, – a + c), (b + c, a – c), (b + c, – a – c).

### Tangente et normale

La normale à l'ovale d'équation bF$_1$M + aF$_2$M = cF$_1$F$_2$ au point M a pour vecteur directeur : $b{\frac {\overrightarrow {F_{1}M}}{F_{1}M}}+a{\frac {\overrightarrow {F_{2}M}}{F_{2}M}}$
Ainsi, si on appelle θ$_1$ l'angle que fait F$_1$M avec la normale et θ$_2$ l'angle que fait F$_2$M avec la normale, on a l'égalité : ${\frac {\sin \theta _{2}}{\sin \theta _{1}}}={\frac {b}{a}}$.
Pour 0< b < a, on retrouve là, la loi de Snell-Descartes. Si l'ovale sépare deux milieux, l'un d'indice b contenant F$_1$ et l'autre d'indice a contenant F$_2$ et si M est le premier point de rencontre de la demi-droite [F$_1$M) avec l'ovale, alors le rayon F$_1$M) se réfracte en MF$_2$

### Construction à l'aide de deux cercles

Michel Chasles propose une construction d'ovale complet à l'aide de deux cercles de centres F$_1$ et F$_2$ et d'un point C situé sur la droite (F$_1$F$_2$). On fait pivoter une droite autour de C de telle sorte qu'elle rencontre le premier cercle en deux points M$_1$ et N$_1$ et le second cercle en M$_2$ et N$_2$. Les points de rencontre des droites (F$_1$M$_1$) et (F$_1$N$_1$) avec les droites (F$_2$M$_2$) et (F$_2$N$_2$) dessinent alors un ovale complet quand la droite pivote autour de C.

### Projection d'une courbe gauche

Un ovale de Descartes est le projeté vertical dans un plan horizontal de l'intersection de deux cônes de révolution d'axes verticaux différents. Les foyers sont alors les projetés des sommets des deux cônes. Cette interprétation permet de retrouver de façon relativement simple certaines propriétés géométriques des ovales

### Caustique secondaire par réfraction

Si l'ovale complet a pour équation |bMF$_1$ ± aMF$_2$| = |cF$_1$F$_2$| et si les point O et P sont définis comme les barycentres de F$_1$ et F$_2$ affectés des coefficient b² et –a² pour O, et a et b pour P, l'ovale est alors la caustique secondaire par réfraction de rapport n = |a/c| du cercle (Γ) de centre O, passant par P, par rapport au foyer F$_1$. C'est donc l'enveloppe des cercles (Γ$_M$) de centres M situés sur (Γ) et de rayons F$_1$M/n.
Chaque cercle (Γ$_M$) est tangent à l'ovale en deux points T$_M$ et T'$_M$ toujours alignés avec le troisième foyer de l'ovale.