# Théorème de Kato-Rellich

Le théorème de Kato-Rellich est un théorème mathématique en analyse fonctionnelle. Il est nommé d'après le mathématicien japonais Tosio Kato et le mathématicien allemand Franz Rellich.

## Notation et terminologie

Soit $H$ un espace de Hilbert complexe avec produit scalaire noté $\langle \cdot ,\cdot \rangle$ et norme associée $\Vert \cdot \Vert :={\sqrt {\langle \cdot ,\cdot \rangle }}$ . On utiliste la terminologie suivante :
* Un opérateur linéaire dense est une application linéaire $A\colon {\mathcal {D}}(A)\to H$ où ${\mathcal {D}}(A)\subset H$ est un sous-espace linéaire dense de $H$. Ces opérateurs peuvent être bornés ou non.
* Un opérateur linéaire dense $A\colon {\mathcal {D}}(A)\to H$ est symétrique si $\langle Ax,y\rangle =\langle x,Ay\rangle$ pour tout $x,\,y\in {\mathcal {D}}(A)$.
* L'opérateur adjoint d'un opérateur linéaire dense $A\colon {\mathcal {D}}(A)\to H$ est défini comme suit. On définit l'espace ${\mathcal {D}}(A^{\ast })\subset H$ comme l'ensemble des éléments $x\in {\mathcal {D}}(A)$, pour lesquels la fonctionnelle linéaire $L_{x}:{\mathcal {D}}(A)\to H$, donnée par $L_{x}(y):=\langle x,Ay\rangle$ pour $y\in {\mathcal {D}}(A)$ est une fonction continue. Comme le domaine de définition ${\mathcal {D}}(A)$ est dense, cette fonctionnelle se prolonge à $H$. Il en résulte, par le théorèmme de Fréchet-Riesz qu'il existe un élément unique $z\in H$ avec $L_{x}(y)=\langle z,y\rangle$. On pose $A^{\ast }x:=z$ et on obtient insi un opérateur $A^{\ast }:{\mathcal {D}}(A^{\ast })\to H$ avec la propriété $\langle A^{\ast }x,y\rangle =\langle x,Ay\rangle$ pour tout $x\in {\mathcal {D}}(A^{\ast })$ et pour tout $y\in {\mathcal {D}}(A)$.
* Un opérateur linéaire dense $A:{\mathcal {D}}(A)\to H$ est auto-adjoint si et $A$ est symétrique et ${\mathcal {D}}(A^{\ast })={\mathcal {D}}(A)$.

## Formulation du théorème

Le thèorème utilise la notion d'opérateur relativement borné qui est défini comme suit :
Soient $A:{\mathcal {D}}(A)\to H$ et $B:{\mathcal {D}}(B)\to H$ deux opérateurs linéaires denses. On dit que $B$ est relativement limité par rapport à $A$ ou plus simplement que $B$ est $A$-limité si ${\mathcal {D}}(A)\subset {\mathcal {D}}(B)$ et s'il existe deux nombres réels positifs $a$ et $b$ tels que l’ inégalité suivante est satisfaite pour tous $x\in {\mathcal {D}}(A)$ :
    $\Vert Bx\Vert \leq a\Vert Ax\Vert +b\Vert x\Vert$
Le plus petit $a$, pour lequel un nombre $b$ existe qui satisfait l’inégalité ci-dessus s’applique pour tout $x\in {\mathcal {D}}(A)$, est appelée la limite relative de $B$ par rapport à $A$ .
Théorème de Kato-Rellich — Soient $A:{\mathcal {D}}(A)\to H$ un opérateur auto-adjoint et $B:{\mathcal {D}}(B)\to H$ un opérateur symétrique. Si l'opérateur $B$ relativement limité par rapport à $A$ avec une limite relative $<1$, alors l'opérateur $A+B:{\mathcal {D}}(A)\to H$est auto-adjoint.

## Preuve du théorème

L'opérateur $A+B:{\mathcal {D}}(A)\to H$ est évidemment bien défini parce que ${\mathcal {D}}(A)\subset {\mathcal {D}}(B)$. De plus, il est symétrique par hypothèse. Or un opérateur symétrique $T:{\mathcal {D}}(T)\to H$ est auto-adjoint si et seulement s'il existe un $\mu >0$ pour lequel $\mathrm {Im} (T\pm i\mu )=H$, où $\mathrm {Im} (T)$ désigne l'image de $T$. Il suffit donc de montrer qu'il existe un $\mu >0$ pour lequel on a $\mathrm {Im} (A+B\pm i\mu )=H$.
Soit $\mu \in \mathbb {R}$. L'idée de la preuve du théorème de Kato-Rellich est d'exprimer l'opérateur $A+B+i\mu$ sous la forme
    $A+B+i\mu =(1+B(A+i\mu )^{-1})(A+i\mu )$ .
Ceci est possible en raison de l'hypothèse que $A\colon {\mathcal {D}}(A)\to H$ est auto-adjoint et donc que $(A+i\mu )^{-1}$ existe. Comme de plus $\mathrm {Im} (A+i\mu )=H$, il suffit de montrer que $(1+B(A+i\mu )^{-1})$ possède un opérateur inverse borné.
Par hypothèse, on a, pour tout $x\in H$, l'inégalité
    $\Vert B(A+i\mu )^{-1}x\Vert \leq a\Vert A(A+i\mu )^{-1}x\Vert +b\Vert (A+i\mu )^{-1}x\Vert$ .
De plus, pour tout $y\in {\mathcal {D}}(A)$, on a l'égalité $\Vert (A+i\mu )y\Vert ^{2}=\Vert Ay\Vert ^{2}+\mu ^{2}\Vert y\Vert ^{2}$ et donc, pour $y=(A+i\mu )^{-1}x$,
    $\Vert A(A+i\mu )^{-1}x\Vert \leq \Vert x\Vert$ et $\Vert (A+i\mu )^{-1}x\Vert \leq {\frac {1}{\vert \mu \vert }}\Vert x\Vert$ .
En combinant ces inégalités, on a pour tout $x\in H$ l'inégalité
    $\Vert B(A+i\mu )^{-1}x\Vert \leq {\bigga+{\frac {b}{\vert \mu \vert }}{\bigg )}\Vert x\Vert$ .
Comme $a<1$, on peut choisir, $\mu$ suffisamment grand pour que ${\bigga+{\frac {b}{\vert \mu \vert }}{\bigg )}<1$, ce qui donne l'inégalité
    $\Vert B(A+i\mu )^{-1}x\Vert <1$
pour tout $x\in H$. Il s'ensuit que $(1+B(A+i\mu )^{-1})$ est inversible avec un opérateur inverse borné. Ceci prouve que $\mathrm {Im} (A+B+i\mu )=H$.

## Applications

Le théorème de Kato-Rellich est utilisé, par exemple, en mécanique quantique :
Soient $V=V_{1}+V_{2}$ avec $V_{1}\in L^{2}(\mathbb {R} ^{3})$ et $V_{2}\in L^{\infty }(\mathbb {R} ^{3})$ . Alors on peut montrer, en utilisant le théorème de Kato-Rellich, que l'opérateur hamiltonien $H:=-\Delta +V$ est auto-adjoint à l'opérateur laplacien $\Delta$ si l'on prend comme domaine de définition de $H^{2}(\mathbb {R} ^{3})$ l'espace de Sobolev.