# Super nombre d'or

En mathématiques, le super nombre d'or (ou proportion super dorée, supergolden ratio en anglais) est une proportion géométrique proche de 85/58 . Sa valeur exacte est la solution réelle de l'équation $x^{3}=x^{2}+1$.
L'appellation super nombre d'or résulte de l'analogie avec le nombre d'or, solution positive de l'équation $x^{2}=x+1$.

## Définition

Le super nombre d'or peut se définir comme le rapport a/b entre deux quantités strictement positives a et b vérifiant $\left({\frac {a}{b}}\right)^{2}={\frac {a}{b}}+{\frac {b}{a}}$ avec ${\frac {a}{b}}=\psi$.
Ceci s'écrit $\psi ^{2}=\psi +{\frac {1}{\psi }}$, ou $\psi ^{3}=\psi ^{2}+1$.
La notation choisie pour ce nombre est la même que celle du nombre plastique vérifiant, lui : $\psi ^{3}=\psi +1$.
Le super nombre d'or est donc le nombre algébrique de degré 3 unique racine réelle du polynôme $X^{3}-X^{2}-1$.
Son développement décimal est $1,465\,571\,231\,876\,768...$ suite A092526 de l'OEIS.
Le polynôme minimal de son inverse est $X^{3}+X-1$ ce qui permet, via la formule de Cardan, d'obtenir la valeur exacte :
    $1/\psi ={\sqrt[{3}]{w_{1}}}+{\sqrt[{3}]{w_{2}}}$ où $w_{1,2}=\left(1\pm {\frac {1}{3}}{\sqrt {\frac {31}{3}}}\right)/2$.
On a aussi les expressions :
    $\psi ={\frac {1}{3}}+{\frac {2}{3}}\cos \left({\frac {1}{3}}\arccos {\frac {29}{2}}\right)$ et $1/\psi ={\frac {2}{\sqrt {3}}}\sinh \left({\frac {1}{3}}\operatorname {arsinh} \left({\frac {3{\sqrt {3}}}{2}}\right)\right).$
⁠$1/\psi$ est le point fixe super stable de la fonction $x\mapsto {\frac {2x^{3}+1}{3x^{2}+1}}=x-{\frac {x^{3}+x-1}{3x^{2}+1}}$ (méthode de Newton).
L'itération $x\gets {\sqrt[{3}]{1+x^{2}}}$ aboutit au radical imbriqué :
    $\psi ={\sqrt[{3}]{1+{\sqrt[{3/2}]{1+{\sqrt[{3/2}]{1+\cdots }}}}}}$.
D'après les relations entre coefficients et racines, les deux autres racines de $X^{3}-X^{2}-1$ sont $r,{\overline {r}}$ vérifiant $r+{\overline {r}}=1-\psi =-{\frac {1}{\psi ^{2}}},r{\overline {r}}=1/\psi$ ; elles sont donc de module ${\frac {1}{\sqrt {\psi }}}<1$. Par l'équation caractéristique $r^{2}+r/\psi ^{2}+1/\psi =0$, on obtient $r=\left(-1+i{\sqrt {4\psi ^{2}+3}}\right)/2\psi ^{2}$.

## Propriétés

Le super nombre d'or $\psi$ possède plusieurs propriétés similaires à celles du nombre d'or $\varphi$. Il s'exprime par exemple comme somme de série géométrique.
    $\psi =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{\psi ^{3n}}}$ et $\,\psi ^{2}=2\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{\psi ^{7n}}},$
formules similaires à celle concernant le nombre d'or :
    $\varphi =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{\varphi ^{2n}}}$ .
De plus, $1+\varphi ^{-1}+\varphi ^{-2}=2$, alors que $\sum _{n=0}^{7}\psi ^{-n}=3.$
Pour tout entier $n$ on a :
    ${\begin{aligned}\psi ^{n}&=\psi ^{n-1}+\psi ^{n-3}\\&=\psi ^{n-2}+\psi ^{n-3}+\psi ^{n-4}\\&=\psi ^{n-2}+2\psi ^{n-4}+\psi ^{n-6}.\end{aligned}}$
Le nombre$\;\theta =\operatorname {arcsec}(2\psi ^{4})\;$ vérifie $\;\tan \theta -4\sin \theta =3{\sqrt {3}}$.
Voici les développements en fraction continue simple de quelques puissances entières de $\psi$ :
    $\psi ^{-1}=[0;1,2,6,1,3,5,4,22,...]\approx 0,6823$ ( 13/19 )
    $\ \psi ^{0}=[1]$
    $\ \psi ^{1}=[1;2,6,1,3,5,4,22,1,...]\approx 1,4656$ ( 22/15 ) ,  A369346.
    $\ \psi ^{2}=[2;6,1,3,5,4,22,1,1,...]\approx 2,1479$ ( 15/7 ) :
    $\ \psi ^{3}=[3;6,1,3,5,4,22,1,1,...]\approx 3,1479$ ( 22/7 )
    $\ \psi ^{4}=[4;1,1,1,1,2,2,1,2,2,...]\approx 4,6135$ ( 60/13 )
    $\ \psi ^{5}=[6;1,3,5,4,22,1,1,4,...]\approx 6,7614$ ( 115/17 )
Remarquons que le développement de $\psi ^{2}$commence par une permutation des six premiers entiers naturels ; le terme suivant est égal à leur somme + 1.
Le super nombre d'or est le quatrième nombre de Pisot. Puisque le module $1/{\sqrt {\psi }}$ de ses conjugués algébriques est strictement inférieur à 1, les puissances de ⁠$\psi$ génèrent des nombres presque entiers. Par exemple: $\psi ^{11}=67,000222765...\approx 67+1/4489$.

## Suite de Narayana

La suite de Narayana est une suite récurrente issue d'un problème posé par le mathématicien indien du XIVe siècle Narayana Pandita, problème demandant de calculer le nombre de vaches et de veaux au bout de 20 ans, dans un troupeau où chaque vache donne naissance à un veau chaque année à partir de l'âge de trois ans, en débutant par une vache la première année.
Il s'agit donc d'une généralisation de la suite de Fibonacci avec changement du délai de gestation.
La suite de Narayana joue un rôle important dans le codage des données, la cryptographie et la combinatoire. Par exemple, Le nombre de compositions de l'entier $n$ en sommants égaux à 1 ou 3 est égal au $n$-ième nombre de Narayana.
La suite de Narayana est définie par la relation de récurrence linéaire du troisième ordre :
    $N_{n}=N_{n-1}+N_{n-3}$ pour $n\geqslant 3$ ,
avec les valeurs initiales :
    $N_{0}=N_{1}=N_{2}=1$ .
Les premiers termes en sont 1, 1, 1, 2, 3, 4, 6, 9, 13, 19, 28, 41, 60, 88,... . Elle est répertoriée comme suite A000930 de l'OEIS. Le rapport limite entre deux termes consécutifs est le super nombre d'or.
Les 11 premiers indices $n$ pour lesquels $N_{n}$ est premier sont $n$ = 3, 4, 8, 9, 11, 16, 21, 25, 81, 6241, 25747, suite A170954 de l'OEIS. Le dernier nombre comporte 4274 chiffres décimaux.
La suite peut être étendue aux indices négatifs en utilisant la relation :
    $N_{n}=N_{n+3}-N_{n+2}$ .
La fonction génératrice de la suite de Narayana est donnée par :
    ${\frac {1}{1-x-x^{3}}}=\sum _{n=0}^{\infty }N_{n}x^{n}$ pour $x<1/\psi$.
Les termes de la suite de Narayana sont reliés aux coefficients binomiaux par l'expression :
    $N_{n}=\sum _{k=0}^{\lfloor n/3\rfloor }{n-2k \choose k}$ .
L' équation caractéristique de la récurrence est $x^{3}-x^{2}-1=0$ dont les solutions sont $\psi ,r,{\overline {r}}$ . La suite de Narayana s'obtient par la formule de Binet :
    $N_{n-2}=a\psi ^{n}+br^{n}+c{\overline {r}}^{n}$, avec $a$ réel, et $b,c$ complexes conjugués solutions de $31x^{3}+x-1=0$ .
Comme $\left\vert br^{n}+c{\overline {r}}^{n}\right\vert <1/{\sqrt {\psi ^{n}}}$ , le nombre $N_{n}$ est l'entier le plus proche de $a\,\psi ^{n+2}$, pour $n\geqslant 0$, avec $a=\psi /(\psi ^{2}+3)=$ 0,2846930799 75318 50274 74714....
Les nombres de Narayana sont obtenus par les puissances entières n > 3 de la matrice compagnon de l'équation caractéristique, de valeurs propres $\psi ,r,{\overline {r}}$ : $Q={\begin{pmatrix}1&0&1\\1&0&0\\0&1&0\end{pmatrix}}$ ; on a en effet :
    $Q^{n}={\begin{pmatrix}N_{n}&N_{n-2}&N_{n-1}\\N_{n-1}&N_{n-3}&N_{n-2}\\N_{n-2}&N_{n-4}&N_{n-3}\end{pmatrix}}$.
La trace de $Q^{n}$ est égale à $A_{n}=\psi ^{n}+r^{n}+{\overline {r}}^{n}$ , donnant une suite vérifiant la même relation de récurrence que la suite de Narayana, et liée à celle-ci par la relation $A_{n}=N_{n}+2N_{n-3}$ .
Les premiers termes en sont 3, 1, 1, 4, 5, 6, 10, 15, 21, 31, 46, 67, 98, 144,... suite A001609 de l'OEIS ; $A_{n}=\left\lfloor \psi ^{n}\right\rceil$ où $\left\lfloor x\right\rceil$ est l'entier le plus proche de $x$, à partir de $n=6$.
Cette suite associée au super nombre d'or est à la suite de Naranaya ce qu'est la suite de Perrin à la suite de Padovan, qui sont, elles, associées au nombre plastique.
Cette suite sans nom particulier possède la propriété de Fermat : si $p$ est premier, $A_{p}\equiv A_{1}{\bmod {p}}$ (conséquence de la propriété :$\operatorname {Trace} (A^{p})\equiv \operatorname {Trace} (A)$ valable pour toute matrice à coefficients entiers).
La réciproque est fausse, mais le petit nombre de nombres pseudo-premiers impairs $n$ vérifiant $\,n\mid (A_{n}-1)$ rend cette suite intéressante. Les 8 nombres composés impairs inférieurs à $10^{8}$ passant le test sont $n$ = 1155, 552599, 2722611, 4822081, 10479787, 10620331, 16910355, 66342673.

### Mot de Naranaya

La matrice $Q$ ⁠peut être interprétée comme matrice d'incidence d'un L-système de Lindenmayer sur l'alphabet $\{a,b,c\}$ avec la règle de substitution ⁠:
    ${\begin{cases}a\;\mapsto \;ab\\b\;\mapsto \;c\\c\;\mapsto \;a\end{cases}}$
et l'initiateur $w_{0}=b$. La suite de mots produits en itérant cette substitution a la propriété que le nombre de c, de b et de a est égal aux nombres de Narayana successifs. Les longueurs de ces mots sont $l(w_{n})=N_{n}.$
On peut associer à ce processus de réécriture de chaîne un ensemble compact composé de tuiles auto-similaires appelé fractale de Rauzy. Il visualise les informations combinatoires contenues dans une suite de trois lettres à générations multiples.

## Super rectangle d'or

Un super rectangle d'or est un rectangle dont les longueurs des côtés sont dans le rapport $\psi$.
Par rapport au rectangle d'or, le super rectangle d'or présente un degré d'auto-similarité supplémentaire.
Un rectangle de largeur 1 et de longueur $\psi$ a pour longueur de diagonale ${\sqrt {\psi ^{3}}}$ (car $1+\psi ^{2}=\psi ^{3}$ ). Les triangles formés par la diagonale ont des hauteurs égales à $1/{\sqrt {\psi }}\,;$ chaque pied de ces hauteurs divise la diagonale dans le rapport $\psi ^{2}$.
Sur le côté gauche, découpez un carré de côté 1 et marquez l'intersection avec la diagonale descendante. Le rectangle restant a maintenant un rapport hauteur/largeur égal à $\psi ^{2}:1$ (car $\psi -1=\psi ^{-2}$ ). Divisez le rectangle original en quatre parties par une deuxième coupe horizontale passant par le point d'intersection$^,$. Le rectangle sous la diagonale a un rapport hauteur/largeur $\psi ^{3}$. Les trois autres sont tous des super rectangles d'or, avec un quatrième entre les pieds des hauteurs. Le rectangle parent et les quatre copies mises à l'échelle ont des tailles linéaires dans les rapports $\psi ^{3}:\psi ^{2}:\psi :\psi ^{2}-1:1,$ les aires des rectangles opposés à la diagonale sont toutes deux égales à $1/\psi ^{3}$.
⁠Dans le super rectangle d'or au-dessus de la diagonale, le processus est répété à une échelle de $1:\psi ^{2}$.

### Super spirale d'or

Une super spirale d'or est une spirale logarithmique dont la distance au centre augmente d'un facteur $\psi$ à chaque quart de tour. Elle a pour équation polaire $r(\theta )=a\exp(k\theta ),$ avec un rayon initial $a$ et un paramètre $k={\frac {2\ln(\psi )}{\pi }}.$ Si on la trace dans un super rectangle d'or, la super spirale d'or a son pôle au pied de la hauteur d'un triangle sur la diagonale et passe par les sommets de rectangles de rapport hauteur/largeur $\psi$ qui sont alignés orthogonalement et mis à l'échelle successivement d'un facteur $1/\psi$.