# Équation de Emden-Chandrasekhar

En astrophysique l'équation de Emden-Chandrasekhar est une forme non linéaire de l'équation de Poisson décrivant la distribution de masse volumique d'une sphère de gaz isotherme soumise à sa propre force gravitationnelle. Elle est ainsi nommée d'après Robert Emden (1907) et Subrahmanyan Chandrasekhar$^,$.
L'équation s'écrit :
    ${\frac {1}{\xi ^{2}}}{\frac {d}{d\xi }}\left(\xi ^{2}{\frac {d\psi }{d\xi }}\right)=e^{-\psi }$
où $\xi$ est le rayon adimensionné et $\psi$ est un coefficient lié à la masse volumique de la sphère de gaz par $\rho =\rho _{c}e^{-\psi }$, où $\rho _{c}$ est la valeur centrale. L'équation n'a pas de solution analytique connue. Si l'on utilise un fluide polytropique au lieu d'un fluide isotherme on obtient l'équation de Lane-Emden. L'hypothèse isotherme est généralement utilisée pour décrire le coeur d'une étoile. L'équation est résolue avec les conditions initiales suivantes :
    $\psi =0\quad {\text{et}}\quad {\frac {d\psi }{d\xi }}=0\quad {\text{en}}\quad \xi =0$
L'équation apparaît également dans d'autres branches de la physique, par exemple dans la théorie de Frank-Kamenetskii en géométrie sphérique. La version relativiste de ce modèle isotherme à symétrie sphérique a été étudiée par Chandrasekhar en 1972.

## Dérivation

Pour une étoile gazeuse isotherme, la pression $p$ est due à la pression cinétique et à la pression de rayonnement
    $p=\rho {\frac {k_{B}}{WH}}T+{\frac {4\sigma }{3c}}T^{4}$
où
* $\rho$ est la masse volumique,
* $k_{B}$ est la constante de Boltzmann,
* $W$ est la masse molaire moyenne,
* $H$ est la masse du proton,
* $T$ est la température de l'étoile,
* $\sigma$ est la constante de Stefan-Boltzmann,
* $c$ est la vitesse de la lumière.
L'équation d'équilibre de l'étoile nécessite un équilibre entre la force de pression et la force gravitationnelle :
    ${\frac {1}{r^{2}}}{\frac {d}{dr}}\left({\frac {r^{2}}{\rho }}{\frac {dp}{dr}}\right)=-4\pi G\rho$
où $r$ est le rayon mesuré à partir du centre et $G$ est la constante gravitationnelle. L'équation est réécrite de la façon suivante :
    ${\frac {k_{B}T}{WH}}{\frac {1}{r^{2}}}{\frac {d}{dr}}\left(r^{2}{\frac {d\ln \rho }{dr}}\right)=-4\pi G\rho$
On utilise les transformations suivantes :
    $\psi =\ln {\frac {\rho _{c}}{\rho }},\quad \xi =r\left({\frac {4\pi G\rho _{c}WH}{k_{B}T}}\right)^{1/2}$
où $\rho _{c}$ est la densité centrale de l'étoile.
    ${\frac {1}{\xi ^{2}}}{\frac {d}{d\xi }}\left(\xi ^{2}{\frac {d\psi }{d\xi }}\right)=e^{-\psi }$
Il n'y a pas de solution analytique connue mais on peut trouver une solution approchée pour $\xi \ll 1$ sous forme de développement :
    $\psi ={\frac {\xi ^{2}}{6}}-{\frac {\xi ^{4}}{120}}+{\frac {\xi ^{6}}{1890}}+\cdots$

## Autres formes de l'équation

* On peut se ramener à une équation du premier ordre grâce à une transformation due à Edward Arthur Milne :
       $u={\frac {\xi e^{-\psi }}{d\psi /d\xi }},\quad v=\xi {\frac {d\psi }{d\xi }}$
    Ce qui conduit à :
       ${\frac {u}{v}}{\frac {dv}{du}}=-{\frac {u-1}{u+v-3}}$
* Une autre méthode utilise une fonction singulière donnée par $x=1/\xi$. Elle transforme l'équation en :
       $x^{4}{\frac {d^{2}\psi }{dx^{2}}}=e^{-\psi }$
Cette équation possède une solution singulière donnée par :
       $e^{-\psi _{s}}=2x^{2}\quad \Rightarrow \quad -\psi _{s}=2\ln x+\ln 2$
    Cela suggère l'introduction d'une nouvelle fonction $z=-\psi -2\ln x$ obéissant à :
       ${\frac {d^{2}z}{dt^{2}}}-{\frac {dz}{dt}}+e^{z}-2=0\quad {\text{où}}\quad t=\ln x$
    Cette équation peut être réduite au premier ordre en introduisant une nouvelle fonction :
       $y={\frac {dz}{dt}}=\xi {\frac {d\psi }{d\xi }}-2$
    On a alors pour cette dernière :
       $y{\frac {dy}{dz}}-y+e^{z}-2=0$

## Propriétés de la solution

* Si $\psi (\xi )$ est une solution de l'équation d'Emden–Chandrasekhar, alors $\psi (A\xi )-2\ln A$, où $A$ est une constante arbitraire, est aussi une solution de l'équation.
* Les solutions de l'équation qui sont finies à l'origine ont nécessairement $d\psi /d\xi =0$ à $\xi =0$.

## Limites du modèle

L'hypothèse d'une sphère isotherme représente mal une étoile : la masse volumique obtenue diminue trop lentement à partir du centre pour donner une surface bien définie et une masse finie. On utilise parfois pour $\xi \gg 1$ l'approximation suivante :
    ${\frac {\rho }{\rho _{c}}}=e^{-\psi }={\frac {2}{\xi ^{2}}}\left[1+{\frac {A}{\xi ^{1/2}}}\cos \left({\frac {\sqrt {7}}{2}}\ln \xi +\delta \right)+O(\xi ^{-1})\right]$
où $A$ et $\delta$ sont des constantes qui sont obtenues à partir d'une solution numérique.