# Fraction continue

* ${\sqrt {2}}=1+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{2+\,\cdots }}}}}}$
* Exemple de développement infini en fraction continue.
En mathématiques, une fraction continue ou fraction continue simple ou plus rarement fraction continuée est une expression de la forme :
$a_{0}+{\cfrac {1}{a_{1}+{\cfrac {1}{a_{2}+{\cfrac {1}{a_{3}+\dots }}}}}}$
comportant un nombre fini ou infini d'étages.
On montre qu'on peut « représenter » — en un sens qui sera précisé — tout nombre réel sous forme d'une fraction continue, finie ou infinie, dans laquelle a$_0$ est un entier relatif et les autres a$_j$ sont des entiers strictement positifs.
Comme dans la notation décimale usuelle, où chaque réel est approché par des nombres décimaux de plus en plus précisément au fur et à mesure de la donnée des décimales successives, de même chaque réel est approché par des fractions étagées de la forme ci-dessus de plus en plus précisément au fur et à mesure qu'on rajoute des étages. En outre, s'il faut une infinité de décimales pour décrire exactement un nombre non décimal, il faut un développement infini en fraction continue pour décrire exactement un nombre irrationnel.
Les fractions continues sont utiles en approximation diophantienne, notamment parce qu'elles fournissent, en un certain sens, les « meilleures » approximations des réels par des rationnels. Cette propriété est à l'origine d'algorithmes pour l'approximation de racines carrées, mais aussi de démonstrations d'irrationalité voire de transcendance pour certains nombres comme π ou e. La périodicité des fractions continues des racines carrées d'entiers strictement supérieurs à 1 et sans facteur carré a des conséquences utiles pour l'étude de l'équation de Pell-Fermat.
Déjà usitées chez les mathématiciens indiens au Moyen Âge, les fractions continues sont étudiées en Europe dès le XVIIe siècle. Elles sont maintenant généralisées à d'autres expressions, appliquées aux approximations de séries entières appelées approximant de Padé, ou encore adaptées aux applications linéaires.

## Tour d'horizon

La notion de fraction continue est vaste et se retrouve dans de nombreuses branches des mathématiques. Les concepts associés peuvent être relativement simples comme l'algorithme d'Euclide, ou beaucoup plus subtils comme celui de fonction méromorphe.
Il est possible, dans un premier temps, de voir une fraction continue comme une suite d'entiers qui « représente » un réel. Cette situation est un peu la même que celle du système décimal qui représente π par la suite d'entiers 3, 1, 4, 1, 5, 9… Sous forme de fraction continue, la suite est 3, 7, 15, 1, 292, 1, 1… Un premier champ d'étude consiste à étudier la relation entre la suite 3, 7, 15, 1, 292, 1, 1… et celle des nombres rationnels que propose la fraction continue, en l'occurrence 3, 22/7, 333/106, etc., il permet de savoir comment passer de la première suite à la deuxième, comment la deuxième converge et répond à d'autres questions de cette nature. Tel est essentiellement l'objet de cet article.
Les fractions continues ont une relation particulière avec les racines carrées ou plus généralement les nombres, dits irrationnels quadratiques, de la forme $a+b{\sqrt {d}}$ où $a$ et $b$ sont des nombres rationnels, $b$ non nul, et $d>1$ un entier sans facteur carré. Les fractions continues associées sont périodiques, à partir d'un certain rang, c'est-à-dire que la suite des entiers formant la fraction continue se répète à partir d'un certain rang et jusqu'à l'infini. Cette situation est à l'image des représentations décimales infinies de nombres rationnels. Ces fractions continues permettent de résoudre un célèbre problème d'arithmétique appelé équation de Pell-Fermat. Cette question fait l'objet de l'article « Fraction continue d'un irrationnel quadratique ».
À l'image du système décimal, la fraction continue offre des nombres rationnels de plus en plus approchés de leur cible. Ces approximations sont bien meilleures que celles décimales. La deuxième approximation décimale de π, égale à 31/10 possède un dénominateur relativement proche de celui de la deuxième approximation de la fraction continue 22/7, en revanche 22/7 est plus de 30 fois plus précis que 31/10. Ce type d'approche d'un nombre réel par un nombre rationnel est appelé approximation diophantienne. Les fractions continues y jouent un grand rôle. Elles ont permis de construire les premiers nombres transcendants connus : les nombres de Liouville ou de montrer que le nombre e est irrationnel. À condition de généraliser la définition d'une fraction continue, il devient possible de montrer que π est aussi irrationnel — cette approche est traitée dans l'article « Fraction continue et approximation diophantienne ». (En fait, e et π sont même transcendants, d'après le théorème d'Hermite-Lindemann.)
Une fraction continue ne concerne pas uniquement les nombres mais aussi les fonctions. On généralise encore plus les fractions continues en remplaçant les coefficients par des polynômes. Une motivation provient de l'analyse complexe, qui a pour objet l'étude des fonctions de la variable complexe à valeurs complexes, dérivables en tant que telles. L'approche classique consiste à les définir comme séries entières donc comme limites de polynômes. Une spécificité fréquente de ce type de fonction est de posséder des pôles. Si, au lieu d'approcher la fonction par des polynômes, on utilise des quotients, on construit une suite d'approximants de Padé qui ne possède pas nécessairement cette faiblesse.
D'autres propriétés ont été étudiées. À la différence du système décimal, un entier apparaissant dans une fraction continue n'est en général pas borné par 9, il peut devenir arbitrairement grand. Alexandre Khintchine s'est intéressé à la moyenne, au sens de limite des moyennes géométriques de tous ces dénominateurs. Pour presque tous les nombres, cette moyenne est la même (le mot « presque » possède ici le sens technique de la théorie de la mesure) ; cette moyenne est appelée constante de Khintchine.
Il est aussi possible de construire des développements en fractions en plaçant les barres de fraction sur le numérateur et non en dessous : on obtient un développement en série de Engel :
$x_{0}={\frac {1}{a_{0}}}+{\frac {1}{a_{0}a_{1}}}+{\frac {1}{a_{0}a_{1}a_{2}}}+\cdots +{\frac {1}{a_{0}a_{1}\ldots a_{n}}}+\cdots ={\cfrac {1+{\cfrac {1+{\cfrac {1+\cdots }{a_{2}}}}{a_{1}}}}{a_{0}}}.$

## Repères chronologiques

L'usage des fractions continues est ancien. Aryabhata (476-550), un mathématicien indien les utilise pour résoudre des équations diophantiennes ainsi que pour approximer précisément des nombres irrationnels. Brahmagupta (598-668) étudie plus en profondeur l'équation maintenant dite de Pell-Fermat, en utilisant une identité remarquable. Il cherche à résoudre l'équation x$^2$ – 61y$^2$ = 1 et trouve la plus petite solution : x = 1 766 319 049 et y = 226 153 980.
Au XIIe siècle, la méthode est enrichie par Bhāskara II. Un algorithme, la méthode chakravala, analogue à celui des fractions continues, permet de résoudre le cas général. La différence la plus marquante avec la méthode européenne ultérieure est qu'il autorise les nombres négatifs dans la fraction, permettant une convergence plus rapide.
L'apparition en Europe est plus tardive et italienne. Raphaël Bombelli (1526-1572) fait usage d'un ancêtre des fractions continues pour le calcul d'approximations de la racine carrée de 13. Pietro Cataldi (1548-1626) comprend que la méthode de Bombelli s'applique pour toutes les racines carrées, il l'utilise pour la valeur 18 et écrit un petit opuscule à ce sujet. Il remarque que les approximations obtenues sont alternativement supérieures et inférieures à la racine carrée cherchée.
Un progrès décisif a lieu en Angleterre. Le 3 janvier 1657, Pierre de Fermat défie les mathématiciens européens avec plusieurs questions dont l'équation déjà résolue par Brahmagupta. La réaction des anglais, piqués au vif, est rapide. William Brouncker (1620-1684) trouve la relation entre l'équation et la fraction continue, ainsi qu'une méthode algorithmique équivalente à celle des indiens pour le calcul de la solution. Il produit la première fraction continue généralisée, pour le nombre 4/π. Ces résultats sont publiés par John Wallis qui en profite pour démontrer les relations de récurrence utilisées par Brouncker et Bhāskara II. Il donne le nom de fraction continue dans la phrase : « Nempe si unitati adjungatur fractio, quae denominatorem habeat continue fractum ». À cette époque, Christian Huygens (1629-1695) utilise les approximations rationnelles données par le développement en fractions continues pour déterminer le nombre de dents des engrenages d'un automate planétaire.
Quelques questions théoriques sont résolues au siècle suivant. L'usage montre que l'algorithme des fractions continues permet de résoudre l'équation de Pell-Fermat en utilisant le fait que la fraction est périodique à partir d'un certain rang. Leonhard Euler (1707-1783) montre que si un nombre possède une fraction continue périodique, alors il est solution d'une équation du second degré à coefficients entiers. La réciproque, plus subtile, est l'œuvre de Joseph-Louis Lagrange (1736-1813). Durant ce siècle, Jean-Henri Lambert (1728-1777) trouve une nouvelle utilité aux fractions continues. Il les utilise pour montrer l'irrationalité de π.
Cet usage devient fréquent au XIXe siècle. Évariste Galois (1811-1832) trouve la condition nécessaire et suffisante pour qu'une fraction continue soit immédiatement périodique. Joseph Liouville utilise le développement en fraction continue pour exhiber des nombres transcendants : les nombres de Liouville. En 1873, Charles Hermite prouve la transcendance de e. Un sous-produit de sa preuve est une nouvelle démonstration de l'expression de la fraction continue simple de e trouvée par Euler. À la fin du siècle, Henri Padé (1863-1953) développe la théorie des approximants qui portent maintenant son nom et qui sont des fractions continues de polynômes. Cette technique est utilisée par Henri Poincaré (1854-1912) pour démontrer la stabilité du système solaire. Georg Cantor (1845-1918) prouve à l'aide des fractions continues que les points d'un segment et ceux situés à l'intérieur d'un carré sont en bijection. Les fonctions de cette nature sont étudiées dans le cadre de la théorie du chaos ; elles sont discontinues sur chaque point rationnel de l'intervalle [0, 1].

## Approche intuitive
### De l'algorithme d'Euclide aux fractions continues

On commence par rappeler le déroulement de l'algorithme dû à Euclide de recherche du PGCD, en analysant l'exemple des deux nombres entiers 15 625 et 6 842. On procède à une suite de divisions euclidiennes avec reste :
${\begin{matrix}15\;625&=&2\times &6\;842&+&1\;941,&\\6\;842&=&3\times &1\;941&+&1\;019,&\\1\;941&=&1\times &1\;019&+&922,&\\1\;019&=&1\times &922&+&97,&\\922&=&9\times &97&+&49,&\\97&=&1\times &49&+&48,&\\49&=&1\times &48&+&1.&\end{matrix}}$
Une autre manière d'interpréter cet algorithme consiste à approcher par étapes le quotient 15 625 / 6 842. La partie entière de ce quotient est 2, ce qui permet d'écrire :
${\frac {15\;625}{6\;842}}=2+{\frac {1\;941}{6\;842}}.$
Que peut-on dire de la fraction 1 941 /6 842, à part qu'elle est plus petite que 1 ? Elle est comprise entre 1/4 et 1/3, son inverse, 6 842 / 1 941, possède comme partie entière : 3 ; et plus précisément, si l'on utilise les résultats de la deuxième division euclidienne :
${\frac {1\;941}{6\;842}}={\cfrac {1}{3+{\cfrac {1\;019}{1\;941}}}}.$
Ainsi de proche en proche :
${\cfrac {15\;625}{6\;842}}=2+{\cfrac {1}{3+{\frac {1\;019}{1\;941}}}}=2+{\cfrac {1}{3+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {922}{1\;019}}}}}}=\dots =2+{\cfrac {1}{3+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{9+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{48}}}}}}}}}}}}}}$
qui est bien une fraction continue. On utilise parfois la notation suivante, plus commode :
${\frac {15\;625}{6\;842}}=[2,3,1,1,9,1,1,48].$
On peut comparer 15 625 / 6 842 à ses réduites obtenues en tronquant successivement le nombre d'étages de la fraction continue. Le tableau suivant donne les troncatures en notation fractionnelle puis décimale, et la différence entre la réduite et le nombre 15 625 / 6 842.
Réduites successives de 15 625 / 6 842 et évolution de l'erreur :
| Fraction | Développement décimal | Erreur |
| 2 | 2 | –0,28... |
| 7/3 = 2 + 1/3 | 2,333... | +0,049... |
| 9/4 = 2 + 1/(3 + 1/1) | 2,25 | –0,033... |
| 16/7 | 2,285 7... | +0,002 0... |
| 153/67 | 2,283 58... | –0,000 10... |
| 169/74 | 2,283 783... | +0,000 094... |
| 322/141 | 2,283 687 9... | –0,000 001 0... |
| 15 625/6 842 | 2,283 688 979 83... | 0 |
La suite des erreurs est décroissante en valeur absolue et de signes alternés.

### Développement en fraction continue d'un rationnel

Soit r = p/q un nombre rationnel (avec p et q entiers et q > 0). On cherche pour r un développement fini en fraction continue, c'est-à-dire une écriture de r sous la forme [a$_0$, … , a$_n$] avec n entier naturel, a$_0$ entier relatif et a$_1$, … , a$_n$ entiers > 0. On applique pour cela l'algorithme d'Euclide :
On pose p$_0$ = p, p$_1$ = q, et l'on construit les entiers a$_0$ et p$_2$ par division euclidienne :
$p_{0}=a_{0}p_{1}+p_{2},\quad a_{0}\in \mathbb {Z} ,0\leq p_{2}<p_{1}.$
Puis, tant que p$_j$ n'est pas nul, on définit les entiers a$_{j–1}$ et p$_{j+1}$ par :
$p_{j-1}=a_{j-1}p_{j}+p_{j+1},$
avec a$_{j–1}$ entier au moins égal à 1 (pour j > 1) et 0 ≤ p$_{j+1}$ < p$_j$. L'algorithme d'Euclide s'arrête. On note n le plus grand entier pour lequel p$_{n+1}$ n'est pas nul. On sait donc que p$_n$/p$_{n+1}$ est égal à l'entier a$_n$. On a alors :
${\frac {p_{0}}{p_{1}}}=[a_{0},a_{1},\dots ,a_{n}].$
En effet :
$p_{0}/p_{1}=[a_{0},p_{1}/p_{2}]=[a_{0},a_{1},p_{2}/p_{3}]=\dots =[a_{0},a_{1},\dots ,a_{n}],$
ou encore :
$p_{n}/p_{n+1}=[a_{n}]{\text{ et pour }}j=n-1,n-2,\ldots ,0~:\quad p_{j}/p_{j+1}=[a_{j},p_{j+1}/p_{j+2}]=[a_{j},a_{j+1},\dots ,a_{n}].$
Représentation géométrique —
L'algorithme d'Euclide permet de calculer une fraction continue dans le cas des nombres rationnels. Cet algorithme admet dans ce cadre une interprétation géométrique. Soit r = p/q un nombre rationnel, on considère un rectangle de longueur p et de largeur q, et on le pave par des carrés de côté q.
Si r est un entier, le pavage comporte exactement r carrés. Sinon, soit a$_0$ le nombre de carrés insérés dans le rectangle, ou encore, le premier terme de la fraction continue. Il reste une bande non pavée de dimension q × b$_1$ avec b$_1$ égal à p – a$_0$q ; on pave cette bande avec des carrés de dimension maximale, c'est-à-dire de côté b$_1$. Le nombre de carrés est égal au deuxième terme a$_1$ de la fraction continue. En réitérant la méthode, on obtient l'intégralité des coefficients a$_p$.
Dans l'image ci-contre, on pave le rectangle 30 × 13 par deux carrés de côtés 13. Il reste une bande de longueur 13 et de largeur 4. En termes de fraction continue, on obtient l'égalité :
${\frac {30}{13}}=2+{\frac {4}{13}}={\color {Red}2}+{\cfrac {1}{\left({\cfrac {13}{4}}\right)}}$
Ensuite, on remarque qu'il est possible de remplir la bande restante de 3 carrés de côté 4 et il reste une bande de longueur 4 et de largeur 1, ce qui permet de terminer le calcul de la fraction continue :
$13=3\times 4+1\;\Rightarrow \;{\frac {30}{13}}={\color {Red}2}+{\cfrac {1}{\left({\cfrac {3\times 4+1}{4}}\right)}}={\color {Red}2}+{\cfrac {1}{{\color {Red}3}+{\cfrac {1}{\color {Red}4}}}}=[2,3,4]$
La même construction permet de trouver le rationnel dont on connait le développement en fraction continue. Dans l'image de gauche on peut retrouver le rationnel dont le développement est [1, 1, 2, 3]. Le dernier coefficient est égal à 3, on trouve donc 3 petits carrés de côté 1, qui donnent la taille du carré suivant (3). L'avant dernier coefficient 2 indique qu'il existe deux carrés moyens de côté 3. Ces deux côtés et le petit carré donnent la taille du carré plus grand (7). Le coefficient associé est égal à 1, il n'en existe donc qu'un unique de cette nature. Le carré plus grand (7) et le carré moyen (3) donnent le côté du dernier carré (10). Les deux derniers carrés donnent la longueur totale du rectangle (17). La fraction recherchée est égale à 17/10.
Le processus s'arrête car p et q sont commensurables c'est-à-dire qu'il existe une longueur l et deux entiers a et b tels que p = la et q = lb.
Considérons maintenant un rectangle de longueur L et de largeur l. Si le quotient L/l n'est pas rationnel, c'est-à-dire si les longueurs L et l sont incommensurables, le processus ne s'arrête pas.
$\varphi =[1,1,1,\cdots ]$
La suite des numérateurs et celle des dénominateurs sont de Fibonacci.
On a donc montré que pour tout rationnel r, l'algorithme d'Euclide fournit un développement fini en fraction continue de r (réciproquement, tout nombre qui possède un développement fini en fraction continue est évidemment rationnel). Le développement [a$_0$, … , a$_n$] obtenu ainsi a la particularité que si n est non nul, alors a$_n$ > 1. On en déduit un second développement : r = [a$_0$, … , a$_n$ – 1, 1]. Ce sont les deux seuls$^,$.
Quand on adjoint, au calcul des a$_j$ de ce développement, le calcul des numérateurs h$_j$ et dénominateurs k$_j$ des différentes réduites :
${\frac {h_{0}}{k_{0}}}=[a_{0}]={\frac {a_{0}}{1}},\quad {\frac {h_{1}}{k_{1}}}=[a_{0},a_{1}]=a_{0}+{\frac {1}{a_{1}}}={\frac {a_{0}a_{1}+1}{a_{1}}},\quad \ldots$
cet algorithme d'Euclide devient l'algorithme d'Euclide étendu. Plus précisément, la suite des couples d'entiers (u$_i$, v$_i$), fournie par l'algorithme étendu appliqué à (p, q), coïncide avec la suite des (k$_j$, h$_j$), aux signes près et à un décalage près des indices : k$_j$ = (–1)$^j$u$_{j+2}$ et h$_j$ = (–1)$^{j+1}$v$_{j+2}$. Pour tout j, les entiers k$_j$ et h$_j$ sont donc premiers entre eux et p$_{j+1}$ = (–1)$^j$(qh$_{j–1}$ – pk$_{j–1}$). En particulier : la dernière réduite, h$_n$/k$_n$, est la fraction p/q mise sous forme irréductible et l'avant-dernière correspond à la solution particulière de l'identité de Bézout fournie par l'algorithme d'Euclide étendu : PGCD(p, q) = p$_{n+1}$ = (–1)$^n$(qh$_{n–1}$ – pk$_{n–1}$).
D'après le § « L'algorithme » de l'article sur l'algorithme d'Euclide étendu, les (u$_i$, v$_i$) sont définis par la relation de récurrence
$u_{i+1}=-a_{i-1}u_{i}+u_{i-1},\quad v_{i+1}=-a_{i-1}v_{i}+v_{i-1}$
et l'initialisation
$u_{0}=1,\quad u_{1}=0,\quad v_{0}=0,\quad v_{1}=1.$
D'après le § « Réduites d'une fraction continue » ci-dessous, les (k$_j$, h$_j$) suivent la relation de récurrence
$k_{j}=a_{j}k_{j-1}+k_{j-2},\quad h_{j}=a_{j}h_{j-1}+h_{j-2},$
même en leur affectant les valeurs supplémentaires
$k_{-2}=1,\quad k_{-1}=0,\quad h_{-2}=0,\quad h_{-1}=1.$
Le lien annoncé entre ces deux suites de couples d'entiers s'en déduit, par une récurrence d'ordre 2.

### Développement en fraction continue du nombre π

Une remarque permet de généraliser la méthode précédente à un réel quelconque. Pour l'illustrer, appliquons-la sur le nombre π. La première étape, dans le cas d'un rationnel, était le calcul du quotient de la division euclidienne du numérateur par le dénominateur, ce qui n'a plus de sens pour un réel, en revanche le résultat était égal à la partie entière du rationnel, or la partie entière d'un réel a un sens. La partie fractionnaire, nécessairement plus petite que 1, était inversée, ce qui est encore possible ici. On obtient :
$\pi =3+{\cfrac {1}{\left({\cfrac {1}{\pi -3}}\right)}}\approx 3+{\frac {1}{7,062\;513\;305\;931}}$
Comme π – 3 est plus petit que 1 (c'est une partie fractionnaire) son inverse est plus grand que 1, et n'est pas entier puisque π est irrationnel. On peut donc lui appliquer la même démarche :
${\frac {1}{\pi -3}}\approx 7+0,062\;513\;305\;931\approx 7+{\frac {1}{15,996\;594\;41}}\quad {\text{et}}\quad \pi \approx 3+{\cfrac {1}{7+{\cfrac {1}{15,996\;594\;41}}}}.$
La nouvelle valeur, approximativement égale à 15,997, est encore un irrationnel strictement supérieur à 1, d'où la possibilité d'une nouvelle étape, puis d'une nouvelle :
$\pi \approx 3+{\cfrac {1}{7+{\cfrac {1}{15+{\cfrac {1}{1+0,003\;417}}}}}}\approx 3+{\cfrac {1}{7+{\cfrac {1}{15+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{292+0,6}}}}}}}}.$
Puisque que π est irrationnel, le processus ne s'arrête jamais (en imaginant que le calcul est réalisé avec une infinité de décimales). On obtient comme suite de fractions 3 puis 22/7 ≈ 3,1428 puis 333/106 ≈ 3,14150 puis 355/113 ≈ 3,1415929 et enfin 103 993 / 33 102, proche de π avec une précision meilleure que le milliardième. Une fois encore, la suite des erreurs est décroissante en valeur absolue et de signes alternés.

## Approche théorique
### Notations et terminologie

* Nous appellerons fraction continue ou fraction continue simple toute suite non vide (a$_p$) dont le premier terme a$_0$ est un entier relatif et tous les termes suivants sont des entiers strictement positifs.
* L'ensemble de ses indices est soit de la forme {0, 1, … , n} pour un certain entier naturel n s'il s'agit d'une suite finie, soit égal à ℕ pour une suite infinie.
* Sa réduite d'indice p est le rationnel [a$_0$, a$_1$, … , a$_p$], défini par$[a_{0}]=a_{0},\quad [a_{0},a_{1}]=a_{0}+{\frac {1}{a_{1}}},\quad \dots [a_{0},\dots ,a_{p}]=a_{0}+{\frac {1}{[a_{1},\dots ,a_{p}]}}.$

### Réduites d'une fraction continue

Soit (a$_p$) une fraction continue. On lui associe deux suites d'entiers (h$_p$) et (k$_p$), définies par récurrence par :
${\begin{aligned}h_{-2}=0,\quad &h_{-1}=1,\quad &h_{p}=a_{p}h_{p-1}+h_{p-2}\\k_{-2}=1,\quad &k_{-1}=0,\quad &k_{p}=a_{p}k_{p-1}+k_{p-2}.\end{aligned}}$
Alors, pour tout indice p de la fraction continue :
${\begin{matrix}[a_{0},a_{1},\ldots ,a_{p}]={\frac {h_{p}}{k_{p}}}&\quad &(1)\\a_{p}=-{\frac {h_{p}k_{p-2}-h_{p-2}k_{p}}{h_{p}k_{p-1}-h_{p-1}k_{p}}}&&(2)\\h_{p-1}k_{p}-h_{p}k_{p-1}=(-1)^{p}.&&(3)\end{matrix}}$
La propriété (3) montre, par application du théorème de Bézout, que les entiers h$_p$ et k$_p$ sont premiers entre eux.
Ces trois propriétés se démontrent directement mais sont aussi des cas particuliers de celles des fractions continues généralisées, démontrées dans l'article correspondant. On y donne également une interprétation matricielle de la définition des h$_p$ et k$_p$, dont résulte immédiatement, par transposition, une propriété duale de (1) :
$[a_{p},a_{p-1},\ldots ,a_{0}]={\frac {h_{p}}{h_{p-1}}}{\text{ (si }}a_{0}>0{\text et }}[a_{p},a_{p-1},\ldots ,a_{1}]={\frac {k_{p}}{k_{p-1}}}{\text{ (si }}p>0{\text.}}$

### Fraction continue d'un réel
#### Algorithme

Dans l'algorithme d'Euclide développé précédemment, l'entier a$_j$ est le quotient de p$_j$ dans la division euclidienne par p$_{j+1}$. C'est donc la partie entière du réel x$_j$ égal à p$_j$/p$_{j+1}$. La partie fractionnaire x$_j$ – a$_j$ de x$_j$ est p$_{j+2}$/p$_{j+1}$, inverse du réel x$_{j+1}$.
On peut alors définir un développement en fraction continue pour tout réel x. Le symbole ⌊s⌋ désigne la partie entière du nombre s. On pose :
$x_{0}=x,$
ainsi que la définition récurrente : tant que x$_j$ n'est pas entier,
$a_{j}=\lfloor x_{j}\rfloor ,\quad x_{j}=a_{j}+{\frac {1}{x_{j+1}}}.$
Si x est rationnel, comme on l'a vu plus haut, il existe un n tel que x$_n$ soit entier : on pose a$_n$ = x$_n$, l'algorithme s'arrête, et les deux suites (a$_j$) et (x$_j$) sont finies. Si x est irrationnel, l'algorithme ne s'arrête jamais et les deux suites sont infinies.
* La suite (a$_p$) est appelée la fraction continue du réel x.
* Le réel x$_p$ (strictement supérieur à 1 si p > 0) est appelé le quotient complet de x d'indice p.
* Sa partie entière a$_p$ est le quotient incomplet de x d'indice p.
On peut formaliser de manière plus informatique cet algorithme :
* Donnée : un nombre x réel.
* Initialisation : on assigne la valeur x à la variable X. La suite a est vide.
* Boucle : On assigne à la variable A la partie entière de X, on concatène cette valeur à la suite a. Si X est entier, l'algorithme s'arrête. Si X n'est pas entier, on assigne à X la valeur de 1 /(X – A) et on recommence au début de la boucle.
Soit, en Python
Ou encore, on peut exprimer le même algorithme récursivement :
* si x est entier, son développement est (x) ;
* sinon, soit a$_0$ sa partie entière ; le développement de x est : a$_0$, suivi du développement de 1/(x – a$_0$).
Si x est irrationnel, deux notations sont fréquemment utilisées dans ce contexte :
$x=a_{0}+{\cfrac {1}{a_{1}+{\cfrac {1}{a_{2}+{\cfrac {1}{\cdots }}}}}}=[a_{0},a_{1},a_{2},\cdots ].$
Elles seront légitimées plus loin : on verra entre autres que la suite des réduites converge vers x.

#### Quotients complets d'un réel

Soient x un réel, (a$_p$) sa fraction continue, (h$_p$) et (k$_p$) les suites des numérateurs et dénominateurs des réduites associées à cette fraction continue, et (x$_p$) la suite des quotients complets de x.
Pour tout indice p, on dispose de l'égalité :
$x=[a_{0},a_{1},\dots ,a_{p-1},x_{p}].$
Or la démonstration des propriétés (1) et (2) ci-dessus des réduites d'une fraction continue reste valide si l'entier a$_p$ est remplacé par le réel x$_p$. On obtient donc, respectivement :
${\begin{matrix}x={\frac {x_{p}h_{p-1}+h_{p-2}}{x_{p}k_{p-1}+k_{p-2}}}&\quad &(1')\\x_{p}=-{\frac {xk_{p-2}-h_{p-2}}{xk_{p-1}-h_{p-1}}}.&&(2')\end{matrix}}$
La propriété (2’) :
* permet de calculer l'entier a$_p$ (partie entière de x$_p$) en utilisant x comme seul réel, sans utiliser la suite de réels (x$_j$), qui peut accumuler à chaque étape des imprécisions si l'algorithme est utilisé sur l'outil informatique et conduire ainsi à des valeurs erronées à partir d'un certain rang ;
* montre que la suite des réels |k$_p$x – h$_p$| est strictement décroissante.

### Encadrement et convergence

La différence de deux réduites successives d'une fraction continue infinie s'écrit ${\frac {h_{p+1}}{k_{p+1}}}-{\frac {h_{p}}{k_{p}}}={\frac {(-1)^{p}}{k_{p}k_{p+1}}}$ (voir supra), ce qui constitue le point de départ du théorème ci-dessous.
Théorème —
* La suite $(h_{n}/k_{n})$ des réduites d'une fraction continue infinie $\left(a_{n}\right)$ converge et sa limite $\ell$ vérifie : $\forall p\in \mathbb {N} \quad {\frac {1}{k_{p}(k_{p+1}+k_{p})}}<\left|\ell -{\frac {h_{p}}{k_{p}}}\right|<{\frac {1}{k_{p}k_{p+1}}}$.
* L'application $\left(a_{n}\right)\mapsto \ell$ est une bijection de l'ensemble des fractions continues infinies dans l'ensemble des irrationnels ; la bijection réciproque associe à chaque irrationnel sa fraction continue.

### Distribution des coefficients

La loi de Gauss-Kuzmin donne la probabilité pour que le nombre k apparaisse dans la suite des coefficients.
    $p(k):=\mathbb {P} (X=k)=-\log _{2}\left(1-{\frac {1}{(1+k)^{2}}}\right)~.$
Plus le nombre est grand, plus la probabilité est asymptotiquement faible. Cette loi n'est valable que statistiquement, si on prend un nombre au hasard, pas forcément pour un nombre donné. Par exemple, pour les irrationnels quadratiques possédant un cycle, ou les rationnels, la loi est manifestement fausse. Mais ces nombres exceptionnels forment un ensemble maigre parmi tous les réels, et ne changent donc pas statistiquement la loi générale.
Par exemple, le nombre 292, qui apparait tôt dans la fraction continue de π, n'avait qu'une chance sur 59596 (environ) d'apparaitre, si on considère π comme un nombre aléatoire.

## Développements en fraction continue remarquables

* Développements périodiques (nombres quadratiques) :
** √2 = $[1,2,2,2,\dots ]=[1,{\overline {2}}]$ ;
** √3 = $[1,1,2,1,2,\dots ]=[1,{\overline {1,2}}]$ ;
** nombre d'or $\varphi =[1,1,1,1,1,1,1,\dots ]$, suite A000012 de l'OEIS ;
** nombre métallique d'indice n $\varphi _{n}=[n,n,n,n,n,\dots ]$.
* ${\sqrt {2}}+{\sqrt {3}}=[3,6,1,5,7,1,1,4,1,38,43,\dots ]$, suite A089078 de l'OEIS.
* Constante délienne ${\sqrt[{3}]{2}}=[1,3,1,5,1,1,4,1,1,8,1,\cdots ]$, suite A002945 de l'OEIS.
* e = $[2,1,2,1,1,4,1,1,6,1,1,8,\dots ]$, suite A003417 de l'OEIS ; $a_{3m-1}=2m,a_{0}=2,{\text{ sinon }}a_{n}=1$ (voir infra).
* π = $[3,7,15,1,292,1,1,1,2,1,3,1,\dots ]$, suite A001203 de l'OEIS.
* Constante d'Euler $\gamma =[0,1,1,2,1,2,1,4,3,13,5,\cdots ]$, suite A002852 de l'OEIS
* $[1,2,3,4,5,6,\dots ]={\frac {\sum _{n\geqslant 0}{\frac {1}{n!^{2}}}}{\sum _{n\geqslant 0}{\frac {n}{n!^{2}}}}}=1{,}43312742\dots$ ; décimales données par la suite A060997 de l'OEIS.
* $[2,3,5,7,11,13,17,19,\dots ]=2{,}3130367364\dots$, suite des nombres premiers ; décimales données par la suite A064442 de l'OEIS.
La liste des développements en fraction continue publiés dans l'OEIS se trouve ici.

### Représentation géométrique de fractions continues remarquables

Les fractions continues sont principalement considérées comme un objet arithmétique des mathématiques. Il est pourtant relativement aisé d'en faire une simple expression géométrique si l'on représente une fraction y/x par un rectangle de hauteur y et de largeur x. Alors la pente de sa diagonale est y/x. Une fraction continue s'exprime alors comme un assemblage de rectangles.
Avec cette méthode géométrique particulièrement simple il est aisé de retrouver l'approximation ${\sqrt {3}}\approx {\frac {265}{153}}$ telle qu'elle fut exprimée par Archimède, au IIIe siècle de notre ère, dans son traité De la mesure du Cercle. De la même façon, la construction géométrique par une série de carrés alternés donne les nombres de la suite de Fibonacci avec une pente de valeur $\varphi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}$

## Usage des fractions continues

Les usages des fractions continues sont nombreux. On trouvera par exemple dans Fraction continue et approximation diophantienne les démonstrations de l'irrationalité de e ou de π, dans Fraction continue d'un irrationnel quadratique un exemple de résolution d'équation de Pell-Fermat ou dans Approximant de Padé un prolongement analytique de la série entière de la fonction tangente. L'usage donné ici ne nécessite pour sa compréhension que les propriétés décrites dans cet article.

### Automate planétaire

Christian Huygens souhaite construire, à l'aide d'un mécanisme de type horlogerie, un automate représentant le mouvement des planètes autour du soleil : « Ayant trouuè et fait executer depuis peu une machine automate qui represente les mouvements des Planetes dont la construction est d'une facon particuliere et assez simple a raison de son effect, au reste d'une grande utlitè a ceux qui estudient ou observent le cours des astres. » La difficulté à laquelle il est confronté est liée au rapport de la durée d'une année terrestre et de celle de Saturne. En un an, la Terre tourne de 359° 45′ 40″ 30‴ et Saturne de 12° 13′ 34″ 18‴. Le rapport est égal à 77 708 431/2 640 858. Combien faut-il de dents sur les deux engrenages supportant respectivement la Terre et Saturne ?
Huygens sait que les fractions continues offrent le meilleur compromis, ce qu'il exprime ainsi : « Or, lorsqu'on néglige à partir d'une fraction quelconque les derniers termes de la série et celles qui la suivent, et qu'on réduit les autres plus le nombre entier à un commun dénominateur, le rapport de ce dernier au numérateur sera voisin de celui du plus petit nombre donné au plus grand ; et la différence sera si faible qu'il serait impossible d'obtenir un meilleur accord avec des nombres plus petits. »
Un calcul en fraction continue montre que :
${\frac {77\,708\,431}{2\,640\,858}}=[29,2,2,1,5,1,4,1,1,2,1,6,1,10,2,2,3]$
On obtient la suite de fractions : 29/1, 59/2, 147/5, 206/7, 1 177/40 ... Les deux premières solutions ne sont guère précises, dans le premier cas, à la fin d'une rotation de Saturne, la position de la terre est fausse à près d'un demi-tour, dans l'autre cas l'erreur dépasse 4°. La cinquième est techniquement difficile, elle demande la fabrication d'une roue à plus de 1 000 dents ou plusieurs roues. La quatrième offre une précision proche de 3/1 000. C'est celle que choisit Huygens.
Si la terre fait cent tours complets, sur l'automate planétaire Saturne en fait 700/206, soit trois tours et un angle de 143° 18′. Dans la réalité, Saturne a tourné de 143° 26′. Soit une erreur de 8 minutes d'angle, largement inférieure aux imprécisions mécaniques de l'horloge. Un calcul analogue montre que la fraction 147/5 donne, dans le même contexte, une erreur supérieure à un degré, pour une mise en œuvre d'une difficulté technique comparable.

## Fraction continue généralisée

Un calcul, dans la partie introductive de l'article, montre comment déterminer la fraction continue de π. Néanmoins, chaque étape est plus pénible car elle demande une précision sur la valeur initiale de plus en plus grande. Les séries entières, convergeant vers π, offrent bien une solution théorique pour le calcul de chaque coefficient de la fraction continue, mais il est calculatoirement trop inextricable pour être utilisable. Pour cette raison, il est plus simple d'obtenir une expression en fraction continue généralisée, en autorisant des numérateurs non nécessairement égaux à 1. La première fraction de ce type fut produite par Brouncker :
${\frac {\pi }{4}}=0+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1^{2}}{2+{\cfrac {3^{2}}{2+{\cfrac {5^{2}}{2+\dots }}}}}}}}.$
Une démonstration de cette égalité figure dans l'article « Formule de fraction continue d'Euler », par évaluation au point 1 d'une fraction continue généralisée de la fonction Arctangente. Ainsi, une fraction continue ne s'applique pas uniquement aux nombres, mais aussi à certaines fonctions.

### Développement en fraction continue du nombre e

De même, Euler a développé la fonction exponentielle en une fraction continue de fonctions d'une forme appropriée : ${\rm {e}}^{1/s}=[1,s-1,1,1,3s-1,1,1,5s-1,1,1,7s-1,\ldots ],$ de manière à obtenir la fraction continue de e :
${\rm {e}}=[2,1,2,1,1,4,1,1,6,1,1,8,1,1,10,1,\ldots ].$