# Filtration de Moy-Prasad

En mathématiques, la filtration de Moy-Prasad est un ensemble de filtrations d'un groupe réductif p-adique donné et de son algèbre de Lie, définie par Allen Moy et Gopal Prasad. La famille est paramétrée par l'immeuble de Bruhat-Tits ; chaque point de l'immeuble donne une filtration différente. Autrement dit, puisque le terme initial de chaque filtration en un point du bâtiment est le sous-groupe parahorique en ce point, la filtration de Moy-Prasad peut être considérée comme une filtration d'un sous-groupe parahorique d'un groupe réductif.
La principale application de la filtration de Moy-Prasad est la théorie des représentations des groupes p-adiques. On définit grâce à la filtration la profondeur, un nombre rationnel, d'une représentation. Les représentations de la profondeur r peuvent être comprises en étudiant les r-ième sous-groupes de Moy-Prasad. Ces informations conduisent ensuite à une meilleure compréhension de la structure globale des représentations, et par conséquent de la théorie des nombres via le programme de Langlands.
Pour une exposition détaillée des filtrations de Moy-Prasad et des points semi-stables associés, voir le chapitre 13 du livre Bruhat-Tits theory: a new approach de Tasho Kaletha et Gopal Prasad.

## Historique

Dans leurs travaux fondateurs sur la théorie des immeubles, François Bruhat et Jacques Tits ont défini des sous-groupes associés aux fonctions concaves du système de racines. Ces sous-groupes sont un cas particulier des sous-groupes de Moy-Prasad, définis lorsque le groupe est scindé. Moy et Prasad ont alors généralisé la construction de Bruhat-Tits aux groupes quasi-scindés, en particulier aux tores, et d'utiliser ces sous-groupes pour étudier la théorie des représentations du groupe ambiant.

## Exemples

L'algèbre de Lie de $\mathbb {Q} _{p}^{\times }$ est $\mathbb {Q} _{p}$, et ses sous-algèbres de Moy-Prasad sont les idéaux non nuls de $\mathbb {Z} _{p}$ :

### Groupe multiplicatif

Un autre exemple de groupe réductif p-adique est le groupe général linéaire ${\text{GL}}_{n}(\mathbb {Q} _{p})$ ; cet exemple généralise le précédent car ${\text{GL}}_{1}(\mathbb {Q} _{p})=\mathbb {Q} _{p}^{\times }$. Comme ${\text{GL}}_{n}(\mathbb {Q} _{p})$ est non-abélien (pour $n\geq 2$ ), il comporte une infinité de sous-groupes parahoriques. Un sous-groupe parahorique particulier est ${\text{GL}}_{n}(\mathbb {Z} _{p})$. Les sous-groupes de Moy-Prasad de ${\text{GL}}_{n}(\mathbb {Z} _{p})$ sont les sous-groupes d'éléments congrus à l'identité modulo certaines puissances de $p$. Plus précisément, lorsque $r$ est un entier positif que nous définissons$(\mathbb {Z} _{p}^{\times })_{r}=1+(p\,\mathbb {Z} _{p})^{r}=\{u\in \mathbb {Z} _{p}^{\times }:u\equiv 1{\bmod {p^{r}}}\}.$Les exemples suivants utilisent les nombres p-adiques $\mathbb {Q} _{p}$ et les entiers p-adiques $\mathbb {Z} _{p}$. Un lecteur peu familier avec ces anneaux pourra plutôt remplacer $\mathbb {Q} _{p}$ par les nombres rationnels $\mathbb {Q}$ et $\mathbb {Z} _{p}$ par les entiers $\mathbb {Z}$ sans perdre l'idée principale.$(\mathbb {Z} _{p})_{r}=(p\,\mathbb {Z} _{p})^{r}=\{p^{r}a:a\in \mathbb {Z} _{p}\}.$Plus généralement, si $r$ est un nombre réel positif, on se ramène au cas entier :$(\mathbb {Z} _{p}^{\times })_{r}:=(\mathbb {Z} _{p}^{\times })_{\lfloor r\rfloor },\qquad (\mathbb {Z} _{p})_{r}:=(\mathbb {Z} _{p})_{\lfloor r\rfloor }$Cet exemple illustre le phénomène général selon lequel, bien que la filtration de Moy-Prasad soit indexée par les réels positifs, la filtration s'altère uniquement sur un sous-ensemble discret et périodique (ci dessus, les entiers naturels).

### Groupe linéaire général

où ${\text{M}}_{n}(\mathbb {Z} _{p})$ est l'algèbre des matrices n × n à coefficients dans $\mathbb {Z} _{p}$. L'algèbre de Lie de ${\text{GL}}_{n}(\mathbb {Q} _{p})$ est ${\text{M}}_{n}(\mathbb {Q} _{p})$, et ses sous-algèbres de Moy-Prasad sont les espaces de matrices égales à la matrice nulle modulo certaines puissances de $p$ ; quand $r$ est un entier positif que nous définissons${\text{GL}}_{n}(\mathbb {Z} _{p})_{r}=1+(p\,{\text{M}}_{n}(\mathbb {Z} _{p}))^{r}=\{u\in {\text{M}}_{n}(\mathbb {Z} _{p}):u\equiv 1{\bmod {p^{r}}}\}.$Dans cet exemple, la filtration de Moy-Prasad sont communément notés ${\text{GL}}_{n}(\mathbb {Q} _{p})_{x,r}$ au lieu de ${\text{GL}}_{n}(\mathbb {Z} _{p})_{r}$, où $x$ est un point de la construction de ${\text{GL}}_{n}(\mathbb {Q} _{p})$ dont le sous-groupe parahorique correspondant est ${\text{GL}}_{n}(\mathbb {Z} _{p}).$${\text{M}}_{n}(\mathbb {Z} _{p})_{r}=(p\,{\text{M}}_{n}(\mathbb {Z} _{p}))^{r}=\{u\in {\text{M}}_{n}(\mathbb {Z} _{p}):u\equiv 0{\bmod {p^{r}}}\}.$Enfin, comme précédemment, si $r$ est un nombre réel positif, on pose :${\text{GL}}_{n}(\mathbb {Z} _{p})_{r}:={\text{GL}}_{n}(\mathbb {Z} _{p})_{\lfloor r\rfloor },\qquad {\text{M}}_{n}(\mathbb {Z} _{p})_{r}:={\text{M}}_{n}(\mathbb {Z} _{p})_{\lfloor r\rfloor }$Soit $G$ un $k$-groupe réductif, $r\geq 0$, et $x$ un point de l'immeuble de Bruhat-Tits de $G$. Le $r$-ième sous-groupe de Moy-Prasad de $G(k)$ en $x$ est noté $G(k)_{x,r}$. De même, la $r$-ème sous-algèbre de Moy-Prasad Lie de ${\mathfrak {g}}$ en $x$ est noté ${\mathfrak {g}}_{x,r}$ ; c'est un ${\mathcal {O}}_{k}$-module libre, et même un réseau. (En fait, l'algèbre de Lie ${\mathfrak {g}}_{x,r}$ peut également être définie lorsque $r<0$, bien que le groupe $G(k)_{x,r}$ ne puisse pas l'être.)

## Propriétés

Bien que la filtration de Moy-Prasad soit couramment utilisée pour étudier la théorie des représentations des groupes p-adiques, on peut construire des sous-groupes de Moy-Prasad sur n'importe quel corps hensélien de valuation discrète $k$, et pas seulement sur un corps local non archimédien. Dans cette section et les suivantes, nous supposerons donc que le corps de base $k$ est hensélien de valuation discrète et ${\mathcal {O}}_{k}$ son anneau d'entiers. Néanmoins, le lecteur est invité à supposer, par souci de simplicité, que $k=\mathbb {Q} _{p}$, de sorte que ${\mathcal {O}}_{k}=\mathbb {Z} _{p}$.
Une propriété fondamentale de la filtration de Moy-Prasad est qu'elle est décroissante : si $r\leq s$ alors ${\mathfrak {g}}_{x,r}\supseteq {\mathfrak {g}}_{x,s}$ et $G(k)_{x,r}\supseteq G(k)_{x,s}$. On définit :
Sous certaines hypothèses techniques sur $G$, une propriété importante supplémentaire est satisfaite. Par la propriété du sous-groupe du commutateur, le quotient $G(k)_{x,r:s}$ est abélien si $r\leq s\leq 2r$. Dans ce cas il existe un isomorphisme canonique ${\mathfrak {g}}_{x,r:s}\cong G(k)_{x,r:s}$, appelé isomorphisme Moy-Prasad . L'hypothèse technique nécessaire pour que l'isomorphisme Moy-Prasad existe est que $G$ être apprivoisé, c'est-à-dire que $G$ se divise sur une extension docilement ramifiée du champ de base $k$. Si cette hypothèse est violée alors ${\mathfrak {g}}_{x,r:s}$ et $G(k)_{x,r:s}$ ne sont pas nécessairement isomorphes.$G(k)_{x,r+}:=\bigcup _{s>r}G(k)_{x,s},\qquad {\mathfrak {g}}_{x,r+}:=\bigcup _{s>r}{\mathfrak {g}}_{x,s}.$Cette convention n'est qu'un raccourci de notation car pour tout $r$, il existe $\varepsilon >0$ tel que ${\mathfrak {g}}_{x,r+}={\mathfrak {g}}_{x,r+\varepsilon }$ et $G(k)_{x,r+}=G(k)_{x,r+\varepsilon }$.
La filtration de Moy-Prasad satisfait aux propriétés supplémentaires suivantes.
* Un saut dans la filtration de Moy-Prasad est défini par un indice $r$ tel que $G(k)_{x,r+}\neq G(k)_{x,r}$. L'ensemble des sauts est discret et dénombrable.
* Si $r\leq s$, alors $G(k)_{x,s}$ est un sous-groupe normal de $G(k)_{x,r}$ et ${\mathfrak {g}}_{x,s}$ est un idéal de ${\mathfrak {g}}_{x,r}$. On note parfois le groupe quotient $G(k)_{x,r:s}:=G(k)_{x,r}/G(k)_{x,s}$ et l'algèbre quotient ${\mathfrak {g}}_{x,r:s}:={\mathfrak {g}}_{x,r}/{\mathfrak {g}}_{x,s}$.
* Le quotient $G(k)_{x,0:0+}$ est un groupe réductif sur le corps résiduel de ${\mathcal {O}}_{k}$, à savoir le quotient réductif maximal de la fibre spécial du ${\mathcal {O}}_{k}$-groupe donné par le parahorique $G(k)_{x,0}$. En particulier, si $k$ est un corps local non-archimédien (e.g. $\mathbb {Q} _{p}$) alors ce quotient est un groupe fini de type Lie.
* $[G(k)_{x,r},G(k)_{x,s}]\subseteq G(k)_{x,r+s}$ et $[{\mathfrak {g}}_{x,r},{\mathfrak {g}}_{x,s}]\subseteq {\mathfrak {g}}_{x,r+s}$; ici le premier crochet est le commutateur et le second le crochet de Lie.
* Pour tout automorphisme $\theta$ de $G$ on a $\theta (G(k)_{x,r})=G(k)_{\theta (x),r}$ et ${\text{d}}\theta ({\mathfrak {g}}_{x,r})={\mathfrak {g}}_{\theta (x),r}$, où ${\text{d}}\theta$ est la dérivée de $\theta$.
* Pour tout uniformisante $\varpi$ de $k$ on a $\varpi {\mathfrak {g}}_{x,r}={\mathfrak {g}}_{x,r+1}$.
Sous certaines hypothèses techniques sur $G$, une propriété importante supplémentaire est satisfaite. Le quotient $G(k)_{x,r:s}$ est abélien si $r\leq s\leq 2r$. Dans ce cas il existe un isomorphisme canonique ${\mathfrak {g}}_{x,r:s}\cong G(k)_{x,r:s}$, dit isomorphisme Moy-Prasad. L'hypothèse technique nécessaire pour que l'isomorphisme de Moy-Prasad existe est que $G$ soit modéré, c'est-à-dire que $G$ se scinde sur une extension modérément ramifiée du corps de base $k$. Sans cette hypothèse, ${\mathfrak {g}}_{x,r:s}$ et $G(k)_{x,r:s}$ ne sont pas nécessairement isomorphes.

## Profondeur d'une représentation

La filtration de Moy-Prasad peut être utilisée pour définir un invariant numérique important d'une représentation lisse $(\pi ,V)$ de $G(k)$, la profondeur de la représentation : c'est le plus petit nombre $r$ tel qu'il existe $x$ dans l'immeuble de $G$, et un vecteur non nul de $V$ qui est fixé par $G(k)_{x,r+}$.
À la suite de l'article définissant leur filtration, Moy et Prasad ont prouvé un théorème de structure pour les représentations supercuspidales de profondeur nulle. Soit $x$ un point dans une face minimale de la construction de $G$ ; c'est-à-dire que le sous-groupe parahorique $G(k)_{x,0}$ est parahorique maximal. Le quotient $G(k)_{x,0:0+}$ est un groupe fini de type de Lie. Soit $\tau$ être l'induction à $G(k)_{x,0}$ d'une représentation cuspidale au sens de Harish-Chandra (voir aussi Théorie de Deligne-Lusztig) de ce quotient. Le groupe parahorique $G(k)_{x,0}$ est un sous-groupe normal d'indice fini du stabilisateur $G(k)_{x}$ de $x$ dans $G(k)$. Soit $\rho$ être une représentation irréductible de $G(k)_{x}$ dont la restriction à $G(k)_{x,0}$ contient $\tau$ comme sous-représentation. Alors l’induction compacte de $\rho$ à $G(k)$ est une représentation supercuspidale de profondeur nulle. De plus, chaque représentation supercuspidale de profondeur nulle est isomorphe à l’une de cette forme.
Dans le cas modéré, la correspondance de Langlands locale devrait préserver la profondeur, où la profondeur d'un paramètre L est définie en utilisant la filtration (en indice supérieur) sur le groupe de Weil.

## Construction

Même si nous avons défini $x$ comme étant dans l'immeuble étendu de $G$, il s'avère que le sous-groupe de Moy-Prasad $G(k)_{x,r}$ ne dépend que de l'image de $x$ dans l'immeuble réduit.
La description suivante de la construction fait suite à l'article de Yu sur les modèles lisses.

### Tores

Puisque les tores algébriques constituent une classe particulière de groupes réductifs, la théorie de la filtration de Moy-Prasad s'applique à eux. Il s’avère que la construction des sous-groupes de Moy-Prasad pour un groupe réductif général repose sur la construction de tores. Nous commençons donc par discuter du cas où $G=T$ est un tore. Puisque l'immeuble réduit d'un tore est un point, il n’y a qu'un seul choix pour $x$, et donc nous écrirons $T(k)_{r}:=T(k)_{x,r}$.
D'abord, considérons le cas particulier où $T$ est la restriction de Weil de $\mathbb {G} _{\text{m}}$ le long d'une extension finie séparable $\ell$ de $k$, de sorte que $T(k)=\ell ^{\times }$. Dans ce cas, nous définissons $T(k)_{r}$ comme l'ensemble des $a\in \ell ^{\times }$ tels que${\text{val}}_{k}(x-1)\geq r$, où ${\text{val}}_{k}:\ell \to \mathbb {R}$ est l’unique extension de la valorisation de $k$ à $\ell$.
Un tore est dit induit s’il est le produit direct d’un nombre fini de tores de la forme considérée au paragraphe précédent. Le $r$-ième sous-groupe de Moy-Prasad d’un tore induit est défini comme le produit du $r$-ième sous-groupe de Moy-Prasad de ces facteurs.
Deuxièmement, considérons le cas où $r=0$ mais $T$ est un tore arbitraire. Ici le sous-groupe de Moy-Prasad $T(k)_{0}$ est défini comme les points entiers du modèle de Néron de $T$. Cette définition coïncide avec celle donnée précédemment lorsque $T$ est un tore induit.
Il s’avère que tout tore peut être inclus dans un tore induit. Pour définir les sous-groupes de Moy-Prasad d'un tore général $T$, nous choisissons un plongement de $T$ dans un tore induit $S$ et poser $T(k)_{r}:=T(k)_{0}\cap S(k)_{r}$. Cette construction est indépendante du choix du tore induit et du plongement.

### Groupes réductifs

Par souci de simplicité, nous décrirons d’abord la construction du sous-groupe de Moy-Prasad $G(k)_{x,r}$ dans le cas où $G$ est scindé. Ensuite, nous commenterons la définition générale.
Soit $T$ un tore scindé maximal de $G$ dont l'appartement contient $x$, et $\Phi$ le système racine de $G$ par rapport à $T$.
Pour chaque $\alpha \in \Phi$, soit $U_{\alpha }$ le sous-groupe de racines de $G$ par rapport à $\alpha$. En tant que groupe abstrait $U_{\alpha }$ est isomorphe à $\mathbb {G} _{\text{a}}$, de façon non-canonique. Le point $x$ détermine, pour chaque racine $\alpha$, une valuation additive $v_{\alpha ,x}:U_{\alpha }(k)\to \mathbb {R}$. Nous définissons $U_{\alpha }(k)_{x,r}:=\{u\in U_{\alpha }(k):v_{\alpha ,x}(u)\geq r\}$.
Enfin, le sous-groupe de Moy-Prasad $G(k)_{x,r}$ est défini comme le sous-groupe de $G(k)$ générés par les sous-groupes $U_{\alpha }(k)_{x,r}$ pour $\alpha \in \Phi$ et le sous-groupe $T(k)_{r}$.
Si $G$ n'est pas scindé, alors le sous-groupe de Moy-Prasad $G(k)_{x,r}$ est défini par une descendance non ramifiée du cas quasi-scindé, une astuce standard dans la théorie de Bruhat-Tits. Plus précisément, on généralise d’abord la définition des sous-groupes Moy-Prasad donnée ci-dessus au cas où $G$ n'est que quasi-divisé, à l'aide du système de racines relatif. À partir de là, le sous-groupe de Moy-Prasad peut être défini en passant à l'extension non ramifiée maximale $k^{\text{nr}}$ de $k$, un corps sur lequel tout groupe réductif, et en particulier $G$, est quasi-scindé. On descent à $k$ en prenant les points fixes de ce groupe de Moy-Prasad sous le groupe de Galois de $k^{\text{nr}}$ sur $k$.

### Algèbres de Lie

Soit ${\mathfrak {g}}$ l'algèbre de Lie de $G$. Dans une procédure similaire à celle des groupes réductifs, à savoir en définissant les filtrations de Moy-Prasad sur l'algèbre de Lie d'un tore et l'algèbre de Lie d'un groupe de racine, on peut définir les algèbres de Lie de Moy-Prasad ${\mathfrak {g}}_{x,r}$ de ${\mathfrak {g}}$ ; ce sont des ${\mathcal {O}}_{k}$-réseaux du $k$-espace vectoriel ${\mathfrak {g}}$. Quand $r\geq 0$, il se trouve que ${\mathfrak {g}}_{x,r}$ est juste l'algèbre de Lie du ${\mathcal {O}}_{k}$-schéma en groupe $G_{x,r}$.

### Ensemble d'indices

Nous avons défini la filtration de Moy-Prasad au point $x$ indicé par l'ensemble $\mathbb {R}$ de nombres réels. Il est courantt d'étendre légèrement l'ensemble d'indexation, à l'ensemble ${\widetilde {\mathbb {R} }}$ composé de $\mathbb {R}$ et symboles formels $r+$ avec $r\in \mathbb {R}$. L'élément $r+$ est considéré comme étant infinitésimalement plus grand que $r$, et la filtration est étendue à ce cas en définissant $G(k)_{x,r+}:=\bigcup _{s>r}G(k)_{x,s}$.