# Parenthèses de Lagrange

Les parenthèses de Lagrange sont certaines expressions étroitement liées aux parenthèses de Poisson qui ont été introduites par Joseph Louis Lagrange en 1808-1810 pour les besoins de la formulation mathématique de la mécanique classique, mais contrairement aux parenthèses de Poisson, elles sont tombées en désuétude.

## Définition

Supposons que (q$_1$, ..., q$_n$, p$_1$, ..., p$_n$) soit un système de coordonnées canoniques sur un espace de phase. Si chacune d'entre elles est exprimée comme une fonction de deux variables, u et v, alors le support de Lagrange de u et v est défini par la formule suivante
    $[u,v]_{p,q}=\sum _{i=1}^{n}\left({\frac {\partial q_{i}}{\partial u}}{\frac {\partial p_{i}}{\partial v}}-{\frac {\partial p_{i}}{\partial u}}{\frac {\partial q_{i}}{\partial v}}\right).$

## Propriétés

* Les crochets de Lagrange ne dépendent pas du système de coordonnées canoniques ( q, p ). Si ( Q, P ) = ( Q $_1$, ..., Q $_n$, P $_1$, ..., P $_n$ ) est un autre système de coordonnées canoniques, de sorte que $Q=Q(q,p),P=P(q,p)$ est une transformation canonique, alors le crochet de Lagrange est un invariant de la transformation, dans le sens où $[u,v]_{q,p}=[u,v]_{Q,P}$ Par conséquent, les indices indiquant les coordonnées canoniques sont souvent omis.
* Si Ω est la forme symplectique sur l'espace des phases de dimension 2n W et u $_1$,... , u $_{2n}$ forme un système de coordonnées sur W, la forme symplectique peut s'écrire comme $\Omega ={\frac {1}{2}}\Omega _{ij}du^{i}\wedge du^{j}$ où la matrice $\Omega _{ij}=[u_{i},u_{j}]_{p,q},\quad 1\leq i,j\leq 2n$ représente les composantes de Ω, vues comme un tenseur, dans les coordonnées u . Cette matrice est l'inverse de la matrice formée par les crochets de Poisson $\left(\Omega ^{-1}\right)_{ij}=\{u_{i},u_{j}\},\quad 1\leq i,j\leq 2n$ des coordonnées u.
* En corollaire des propriétés précédentes, les coordonnées ( Q $_1$, ..., Q $_n$, P $_1$, ..., P $_n$ ) sur un espace des phases sont canoniques si et seulement si les crochets de Lagrange entre elles ont la forme $[Q_{i},Q_{j}]_{p,q}=0,\quad [P_{i},P_{j}]_{p,q}=0,\quad [Q_{i},P_{j}]_{p,q}=-[P_{j},Q_{i}]_{p,q}=\delta _{ij}.$

## Matrice de Lagrange dans les transformations canoniques

Considérez la transformation canonique suivante : $\eta ={\begin{bmatrix}q_{1}\\\vdots \\q_{N}\\p_{1}\\\vdots \\p_{N}\\\end{bmatrix}}\quad \rightarrow \quad \varepsilon ={\begin{bmatrix}Q_{1}\\\vdots \\Q_{N}\\P_{1}\\\vdots \\P_{N}\\\end{bmatrix}}$
Définition M:=∂(Q, P)/∂(q, p) {\textstyle M:={\frac {\partial (\mathbf {Q} , \mathbf {P} )}{\partial (\mathbf {q} , \mathbf {p} )}}}, la matrice de Lagrange est définie comme L(η)=M$^T$JM{\textstyle {\mathcal {L}}(\eta )=M^{T}JM}, où $J$ est la matrice symplectique sous les mêmes conventions utilisées pour ordonner l'ensemble des coordonnées. Il résulte de la définition que :
${\mathcal {L}}_{ij}(\eta )=[M^{T}JM]_{ij}=\sum _{k=1}^{N}\left({\frac {\partial \varepsilon _{k}}{\partial \eta _{i}}}{\frac {\partial \varepsilon _{N+k}}{\partial \eta _{j}}}-{\frac {\partial \varepsilon _{N+k}}{\partial \eta _{i}}}{\frac {\partial \varepsilon _{k}}{\partial \eta _{j}}}\right)=\sum _{k=1}^{N}\left({\frac {\partial Q_{k}}{\partial \eta _{i}}}{\frac {\partial P_{k}}{\partial \eta _{j}}}-{\frac {\partial P_{k}}{\partial \eta _{i}}}{\frac {\partial Q_{k}}{\partial \eta _{j}}}\right)=[\eta _{i},\eta _{j}]_{\varepsilon }$
La matrice de Lagrange satisfait les propriétés connues suivantes : ${\begin{aligned}{\mathcal {L}}^{T}&=-{\mathcal {L}}\\|{\mathcal {L}}|&={|M|^{2}}\\{\mathcal {L}}^{-1}(\eta )&=-M^{-1}J(M^{-1})^{T}=-{\mathcal {P}}(\eta )\\\end{aligned}}$ où le P(η){\textstyle {\mathcal {P}}(\eta )} est connue sous le nom de matrice de Poisson et dont les éléments correspondent à des crochets de Poisson. La dernière identité peut également être énoncée comme suit : $\sum _{k=1}^{2N}\{\eta _{i},\eta _{k}\}[\eta _{k},\eta _{j}]=-\delta _{ij}$ Notez que la sommation ici implique des coordonnées généralisées ainsi qu’une impulsion généralisée.
L'invariance du support de Lagrange peut être exprimée comme : [η$_i$, η$_j$]$_ε$=[η$_i$, η$_j$]$_η$=J$_{ij}${\textstyle [\eta _{i}, \eta _{j}]_{\varepsilon }=[\eta _{i}, \eta _{j}]_{\eta }=J_{ij}}, ce qui conduit directement à la condition symplectique: M$^T$JM=J{\textstyle M^{T}JM=J}.