# Vecteur de Poynting

En physique, le vecteur de Poynting est la densité de flux liée à la propagation de l'onde électromagnétique. Sa direction est la direction de propagation. On le note ${\vec {\Pi }}$, ${\vec {S}}$, ${\vec {R}}$ ou ${\vec {N}}$.
Le flux du vecteur de Poynting à travers une surface (fermée ou non) est égal à la puissance véhiculée par l'onde à travers cette surface. Le module de ce vecteur est donc une puissance par unité de surface, c'est-à-dire une densité de flux d'énergie ; il est homogène à un éclairement énergétique$^,$ et à une exitance énergétique$^,$ ; et, dans le Système international (SI) d'unités, il s'exprime en watts par mètre carré$^,$.

## Histoire

L'éponyme du vecteur de Poynting est le physicien anglais John Henry Poynting (1852-1914) qui l'a introduit en 1884$^,$$^,$. Oliver Heaviside (1850-1925) l'a découvert quelques mois plus tard et de manière indépendante$^,$$^,$.

## Définition

Le Vocabulaire électrotechnique international (VEI) définit le vecteur de Poynting ${\vec {\Pi }}$ comme le produit vectoriel du champ électrique ${\vec {E}}$ par l'excitation magnétique ${\vec {H}}$ du champ électromagnétique en un point donné :
    ${\vec {\Pi }}={\vec {E}}\wedge {\vec {H}}$.
L'expression ci-dessus est connue comme la forme d'Abraham$^,$.
Dans le vide, l'excitation magnétique ${\vec {H}}$ est en tout point égal au quotient du champ magnétique ${\vec {B}}$ par la constante magnétique $\mu _{0}$ :
    ${\vec {H}}={\frac {\vec {B}}{\mu _{0}}}$,
de sorte que, dans le vide, la définition précédente du vecteur de Poynting est équivalente à :
    ${\vec {\Pi }}={\vec {E}}\wedge {\frac {\vec {B}}{\mu _{0}}}$.
Par définition du produit vectoriel, le vecteur de Poynting est un vecteur axial, orthogonal aux deux vecteurs ${\vec {E}}$ et ${\vec {H}}$, tel que les trois vecteurs ${\vec {E}}$, ${\vec {H}}$ et ${\vec {\Pi }}$ forment un trièdre direct ou un trièdre rétrograde selon l'orientation de l'espace ; et la norme du vecteur de Poynting est égale au produit des normes des deux vecteurs et du sinus de leur angle :
    $\|{\vec {\Pi }}\|=\|{\vec {E}}\|\cdot \|{\vec {H}}\|\cdot \sin \vartheta$.

## Expression générale du vecteur de Poynting

Soient ${\vec {E}}$ et ${\vec {B}}$ le champ électrique et le champ magnétique. La conservation de l'énergie électromagnétique à travers une surface s'exprime, dans sa forme locale (souvent appelée théorème de Poynting), comme une équation de conservation :
    ${\frac {\partial e(t)}{\partial t}}+{\vec {\nabla }}\cdot {\vec {\Pi }}(t)=s(t)$
avec $t$ le temps, $e$ la densité volumique d'énergie du champ électromagnétique, ${\vec {\Pi }}$ le flux d'énergie surfacique sortant, et $s$ le terme source : la densité volumique d'énergie gagnée $s>0$ ou perdue.
À partir des équations de Maxwell dans le vide, on tire l'expression du vecteur de Poynting dans le vide :
    ${\vec {\Pi }}(t)={\frac {{\vec {E}}(t)\wedge {\vec {B}}(t)}{\mu _{0}}}$
où μ$_0$ est la perméabilité du vide.
Dans un matériau linéaire, de perméabilité magnétique μ et dans lequel on peut négliger la dispersion et les pertes, il convient de prendre en compte l'excitation magnétique ${\vec {H}}(t)$ définie par la relation ${\vec {B}}(t)=\mu \,{\vec {H}}(t)$. On obtient alors une expression plus générale du vecteur de Poynting :
    ${\vec {\Pi }}(t)={\vec {E}}(t)\wedge {\vec {H}}(t)$.
Dans un milieu linéaire dispersif avec pertes, on conserve l'expression du vecteur de Poynting ${\vec {\Pi }}={\vec {E}}\wedge {\vec {H}}$, mais le théorème de Poynting ne s'exprime plus avec $e$ et comporte des termes supplémentaires de dissipation.

## Moyenne temporelle en notation complexe

Dans le cas d'une onde électromagnétique plane progressive harmonique, on a
       ${\vec {E}}={\vec {E}}_{0}\cos {(\omega t-\varphi )}$
et
       ${\vec {B}}={\vec {B}}_{0}\cos {(\omega t-\psi )}$
On peut donc associer des grandeurs complexes aux champs ${\vec {E}}$ et ${\vec {B}}$ en posant (avec $i$ le nombre complexe tel que $i^{2}=-1$) :
       ${\underline {\vec {E}}}={\underline {\vec {E}}}_{0}\,\mathrm {e} ^{i\omega t}={\vec {E}}_{0}\,\mathrm {e} ^{-i\varphi }\,\mathrm {e} ^{i\omega t}$
et
       ${\underline {\vec {B}}}={\underline {\vec {B}}}_{0}\mathrm {e} ^{i\omega t}={\vec {B}}_{0}\,\mathrm {e} ^{-i\psi }\,\mathrm {e} ^{i\omega t}$.
La moyenne temporelle du vecteur de Poynting vaut alors :
       $\langle {\vec {\Pi }}\rangle ={\frac {1}{2\,\mu _{0}}}\;{\text{Re}}\left({\underline {\vec {E}}}\wedge {\underline {\vec {B}}}^{\star }\right)$
où ${\underline {\vec {B}}}^{\star }$ désigne le conjugué de ${\underline {\vec {B}}}$

## Lien avec l'approche énergétique de la propagation d'un faisceau

La moyenne temporelle du flux de Poynting est reliée à la luminance $L(\Omega )$ d'un faisceau se propageant dans la direction $\Omega _{0}={\frac {\vec {\Pi }}{||{\vec {\Pi }}||}}$. Cette luminance est donnée par :
       $L(\Omega )=\langle {\vec {\Pi }}\rangle \delta (\Omega -\Omega _{0})$
où $\delta$ est la distribution de Dirac.
On vérifie que le premier moment de $L(\Omega )$ qui représente la densité de flux ${\vec {f}}$ retrouve le flux de Poynting :
       ${\vec {f}}=\int _{S^{2}}\Omega L(\Omega )\mathrm {d} \Omega =\langle {\vec {\Pi }}\rangle$

## Puissance électromagnétique traversant une surface

Une conséquence du théorème de Poynting est que la puissance électromagnétique traversant une surface S est donnée par le flux du vecteur de Poynting à travers cette surface.
       ${\mathcal {P}}_{S}=\iint _{S}{\vec {\Pi }}\cdot \mathrm {d} {\vec {S}}$

## Équation de l'énergie d'un champ électromagnétique

Soit $U_{em}$ l'énergie du champ électromagnétique :
    $U_{em}=\iiint _{V}W_{em}\mathrm {d} \tau$
avec W densité volumique d'énergie (quantité d'énergie par unité de volume)
On définit la quantité d'énergie quittant un volume $V$ pendant un temps $\mathrm {d} t$ :
    $-{\frac {\mathrm {d} U_{em}}{\mathrm {d} t}}=-{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\iiint _{V}W_{em}\mathrm {d} \tau =-\iiint _{V}{\frac {\partial W_{em}}{\partial t}}\mathrm {d} \tau$
Soit ${\vec {P}}$, vecteur flux d'énergie du champ. D'après le théorème de Green-Ostrogradski (Théorème de flux-divergence), on peut dire que le flux sortant du volume V est :
    $\iint _{\Sigma }{\vec {P}}\cdot {\vec {n}}\ \mathrm {d} \sigma$
avec ${\vec {n}}$ un vecteur unitaire normal à la surface $\Sigma$ du volume V, orienté de l'intérieur vers l'extérieur.
On peut expliciter la perte d'énergie du volume de la manière suivante :
* pertes dues aux « frottements » des charges mobiles (voir loi Ohm locale, effet Joule) ;
* pertes dues au rayonnement électromagnétique sortant du volume.
On peut donc dire que :
    $-\iiint _{V}{\frac {\partial W_{em}}{\partial t}}\mathrm {d} \tau =\iiint _{V}{\vec {\nabla }}\cdot {\vec {P}}\mathrm {d} \tau$ + travail fourni par le champ à la matière
On calcule ce travail :
    ${\vec {F}}_{\rm {{\acute {e}}lectrique}}=q({\vec {E}}+{\vec {v}}\wedge {\vec {B}})$.
Pour une particule :
    $\mathrm {d} {\vec {W}}={\vec {F}}\cdot \mathrm {d} {\vec {r}}=q{\vec {E}}\cdot \mathrm {d} {\vec {r}}$ (on observe facilement que la force magnétique ne travaille pas).
On calcule maintenant la puissance fournie par le champ. La puissance reçue par une particule est :
    ${\vec {F}}\cdot {\vec {v}}=q\,{\vec {E}}\cdot {\vec {v}}$
La densité particulaire est notée $N$, en conséquence :
    ${\frac {\partial W_{Electrique}}{\partial t}}=Nq{\vec {E}}\cdot {\vec {v}}$ or $Nq{\vec {v}}={\vec {j}}$
donc ${\frac {\partial W_{Electrique}}{\partial t}}={\vec {j}}\cdot {\vec {E}}$
Cette perte de puissance est égale à la perte d'énergie du champ par unité de temps et de volume donc on écrit finalement :
    $-\iiint _{V}{\frac {\partial W_{em}}{\partial t}}d\tau =\iiint _{V}{\vec {\nabla }}\cdot {\vec {P}}\mathrm {d} \tau +\iiint _{V}{\vec {j}}\cdot {\vec {E}}\mathrm {d} \tau$
Donc finalement on a :
    $-{\frac {\partial W_{em}}{\partial t}}={\vec {\nabla }}\cdot {\vec {P}}+{\vec {j}}\cdot {\vec {E}}$
qui correspond à l'équation de l'énergie du champ électromagnétique.