# Théorie des corps élancés

La théorie de Munk (Munk theory) ou théorie des corps élancés (slender bodies theory) est un modèle visant à expliquer le comportement aérodynamique d’un corps élancé en incidence dans des fluides non visqueux. Plutôt que de se concentrer sur la trajectoire des particules du fluide, cette théorie modélise les échanges de quantité de mouvement entre le corps élancé et le fluide traversé.
Émise en 1921 par Max M. Munk dans un rapport historique du National Advisory Committee for Aeronautics, la théorie de Munk conduira à d'importants progrès, notamment dans le calcul de la stabilité aérodynamique des fusées et des missiles en déplacement dans l'atmosphère$^,$.
Pour démontrer sa théorie, Munk se base sur l'observation que les dirigeables, alors largement utilisés, doivent déplacer une masse d’air considérable pour se frayer un passage à travers l’atmosphère. En s'appuyant sur la deuxième loi de Newton, il estime les forces impliquées dans ce déplacement massif d'air, permettant ainsi de modéliser les efforts aérodynamiques en jeu.

## Principes et hypothèses

Munk, en s’en tenant à l’observation des échanges de quantité de mouvement entre les dirigeables et l’air environnant, a dégagé une méthode de calcul, simple, des efforts de l’air déplacé en réaction à ce déplacement, appliquée aux dirigeables.

### Notion de corps élancé

Munk définit un corps élancé comme présentant une pente locale faible par rapport à son axe géométrique — ce qui signifie que les variations de son diamètre par rapport à sa longueur sont faibles. Sa surface extérieure présente ainsi un angle faible par rapport au vent relatif (vitesse relative du fluide en amont du corps à incidence nulle). Une autre définition d’un corps élancé consiste à dire que l’évolution de sa section frontale est suffisamment progressive le long de son grand axe, de sorte qu’il ne provoque ni sous-vitesse ni survitesse significative de l’écoulement à sa surface.
Munk divise ensuite l’air environnant ce corps élancé en tranches normales à son axe, en supposant que l’air est non visqueux.
Une fois cette hypothèse posée, Munk s'intéresse à ce qui se passe dans l’air d’une de ces tranches élémentaires lorsque le corps se déplace d’une longueur élémentaire dx correspondant à son épaisseur. Il considère que les mouvements d’air dus à l’avancée du corps se produisent uniquement à l’intérieur de cette tranche d’air, c'est-à-dire sous forme d’un écoulement bidimensionnel (2D) dans cette tranche. Cela suppose implicitement que le flux d'air généré par chaque tranche n'affecte pas les autres tranches, ce qui est valable si le corps est suffisamment élancé et si ses sections ne varient pas brusquement$^,$$^,$.
À l'issue de ces réflexions, Munk a calculé que l’effort normal élémentaire suscité par l’incidence sur la tranche du corps dessinée ci-dessus est :
    $dF_{N}=q\,\mathrm {d} S\,\sin(2\alpha )$
libellé où q est la pression dynamique de l’écoulement, dS est la variation de section du corps élancé sur l’épaisseur de la tranche, et α l’incidence.
Pour les petites incidences (inférieures à 10°), le sinus peut évidemment être pris comme égal à l'angle en radians, ce qui donne :
    $dF_{N}=2\;q\;\mathrm {d} S\;\alpha .$

### Exploitations pratiques de ce résultat

Lorsque la section du corps reste constante (comme la partie cylindrique médiane d’un dirigeable ou le fuselage de fusée), la force normale de toutes les tranches concernées est nulle. Cette nullité de la portance des parties cylindriques d’un corps semble paradoxale ; par exemple sur l'image ci-contre, il n’est pas naturel de penser que le fuselage cylindrique, bien que placé en incidence par rapport au vent, ne développe pas de portance.
Pourtant ce constat est assez bien vérifié par les mesures en soufflerie, même si les parties cylindriques des fuselages produisent quand-même, aux petits angles d’incidence, une faible portance normale linéaire$^,$ (voir plus bas à ce sujet la section déroulante "La vraie valeur du $C_{n\alpha }$ des parties cylindriques" ainsi que les articles Stabilité aérodynamique de la fusée et Rapport des Barrowman).
Une deuxième remarque importante est que lorsque l’accroissement $dS$ de la section élémentaire du corps élancé est positif, la force normale élémentaire est aussi positive (ce qui correspond à une force vers le haut sur les images ci-contre où les corps ont une incidence vers le haut). Dans le cas inverse (accroissement dS négatif) la force normale élémentaire est négative (ce qui est très contre-intuitif).
L’intégration des efforts normaux élémentaires au long d’une ogive de fusée, par exemple, résulte donc en une force normale positive (image ci-dessus). Ce qui implique que lorsqu'une fusée prend de l’incidence, la force normale qui naît sur l’ogive crée un moment d’instabilité par rapport au centre des masses de la fusée (si celui-ci est situé, comme généralement, très en arrière de l'ogive).
De même, la partie avant d'un dirigeable (son ogive) développe pour une incidence positive (vers le haut) une force normale positive (vers le haut).
Par contre, la partie arrière d'un dirigeable, du fait que ses sections normales décroissent, développe une portance négative (une déportance). Cette déportance de la partie arrière du dirigeable, en combinaison avec la portance de la partie avant, va créer un moment déstabilisateur (parfois nommé moment de Munk), moment qui va tendre à augmenter l'incidence du dirigeable (c.-à-d. que si une perturbation atmosphérique place le dirigeable en légère incidence, cette incidence ne va faire que croître jusqu'à placer le dirigeable en travers du vent de sa vitesse). Sur l'image ci-contre, la portance des tranches normales d'un corps à double pointes est représentée par la courbe bleue d'après la théorie des corps élancés. En rouge à marques carrées est la courbe des portances des tranches normales réellement mesurées. Les deux vecteurs bleus représentent la portance de l'avant-corps et la déportance de l'arrière-corps tirées de ces mesures (par intégration). On note que cette dernière déportance mesurée est nettement plus faible que la déportance prédite par la théorie des corps élancés. Appliquée à un corps élancé se terminant par une pointe arrière, la théorie des corps élancés promet en effet une déportance de l'arrière-corps de même module que la portance d'avant-corps. Ces deux forces se composent alors pour créer :
* d'une part une résultante nulle (le corps ne développe donc théoriquement aucune portance lorsqu'il est placé en incidence) ;
* d'autre part le fameux moment de déstabilisation déjà évoqué (ou moment de Munk). Le centre de portance aérodynamique d'un tel corps élancé à pointe arrière se trouve projeté à l'infini avant. Nous verrons plus loin que, d'après les mesures en soufflerie, ce centre de portance, ne se trouve pas à l'infini avant mais quand-même très en avant des corps (dans l'image ci-contre, portance de l'avant-corps et déportance de l'arrière-corps sont composés graphiquement pour dessiner le Centre de portance aérodynamique mesuré du corps). La même composition de ces forces résulte également en une portance (ce qui est vérifié par la portance que développent les dirigeables lorsqu'ils prennent de l'incidence).
Les résultats de la théorie des corps élancés furent très tôt utilisés pour des corps plus véloces que les dirigeables : les fusées (voir l’article Rapport des Barrowman). Dans l’un de ses textes, H. Julian Allen (qui allait étendre la théorie des corps élancés de Munk aux grandes incidences et aux fluides visqueux) précise d’ailleurs à ce sujet, citant Tsien : « les antiques théories potentielles donnant la répartition de la portance sur les dirigeables sont encore applicables à de tels corps même dans un flux supersonique, pourvu que ces corps soient élancés et à faible incidence. »
Ainsi qu'il a été dit plus haut, lorsqu'un élément d'un corps montre une évolution négative de ses sections (accroissement $dS$ négatif lorsque l'on va vers l'arrière), comme par exemple un cône de rétreint (c.-à-d. un cône dont la pointe est en arrière), cet élément placé en incidence va développer un $C_{n\alpha }$ négatif. Ce comportement du cône de rétreint est très contre intuitif dans la mesure où l'on perçoit ce cône comme se mettant en travers du vent et donc comme un élément stabilisateur (comme un genre d'empennage). Or (schéma ci-contre) le cône de rétreint placé en incidence génère bien, non pas une portance, mais une déportance (cette déportance se conjuguant, par exemple, avec la portance de l'ogive pour créer un fort moment déstabilisateur, appelé moment de Munk).

### L'apport de l'expérience

Imaginons un cône de rétreint articulé autour d'un axe passant par sa pointe. Plaçons-le en incidence comme sur le schéma ci-contre. Cette situation de départ posée, la question est : comment va se comporter le cône ? Il y a deux façons contraires de raisonner :
* Raisonnement intuitif :
    Le cône s'est mis en travers du vent. En conséquence, il va être entraîné par le vent et augmenter son incidence.
* Raisonnement éclairé par la théorie des corps élancés :
    Nous savons qu'en application de la théorie des corps élancés, ce cône va développer une déportance (c'est la force bleue symbolisée sur le schéma). Cette force tend à ramener le cône à sa position neutre (sans incidence). Ce raisonnement est très contre intuitif.
Conditions de l'expérience : l'image ci-contre à gauche montre le dispositif expérimental installé dans le flux d'air d'une soufflerie artisanale. Il faut noter que la grande section du cône est recouverte par une calotte sphérique dont le centre est situé sur l'axe de rotation du cône : ainsi l'effet du jeu des pressions sur la calotte sphérique ne participe pas à la rotation.
Verdict de l'expérience : au vu de la vidéo ci-contre, on remarque bien que chaque mise en incidence du cône est suivie d'un retour au neutre. Le phénomène auquel on est confronté, cependant, c'est que tous ces retours au neutre sont plus forts qu'il serait nécessaire ; ce qui fait que le cône, après un certain nombre d'oscillations, fini par attendre les limites de l'expérience (il finit par percuter de part et d'autre les butées qui ont été préalablement installées, à 25° de chaque côté de l'axe). On peut donc dire qu'il existe une stabilité statique du cône de rétreint (une tendance instantanée à revenir au neutre), mais que la trop grande force des retours au neutre le met en situation d'instabilité dynamique.
Par chance, il est facile d’annihiler cette trop grande force des retours au neutre : on peut amortir visqueusement la rotation du cône en faisant tourner l'axe de celui-ci dans de la graisse de vaseline : L'énergie trop forte des retours au neutre est alors diminuée : le mouvement est amorti. On observe alors que le cône de rétreint se maintient face au vent de la soufflerie, malgré les turbulences de cette soufflerie (vidéo ci-contre).

## Causes de l'instabilité dynamique

Il est facile de comprendre que sur chaque point du cône, la combinaison des vitesses (vitesse de l'écoulement d'air et vitesse géométrique propre du point du cône lors de son retour au neutre) rend les efforts aérodynamiques des retours au neutre plus forts qu'il ne faudrait et en tout cas plus fort que les efforts aérodynamiques qui naîtraient autour du cône immobilisé en rotation (autrement dit, le retour au neutre du cône, qui se fait, rappelons-le contre le vent, augmente la force du vent, donc les efforts de retour au neutre)$^,$.
Inversement, les efforts aérodynamiques de retour au neutre d'une ogive, du fait de la même combinaison des vitesses (vitesse de l'écoulement et vitesse propre des points de l'ogive) sont toujours amortis. Il en est de même pour les retours au neutre suscités par les ailerons d'empennage, qui sont eux aussi amortis par le même phénomène de combinaison des vitesses. Cela s'observe à l'amortissement des oscillations d'une fusée lors de son vol, ou même à l'amortissement des oscillations d'une simple girouette.

## Confrontation de la théorie avec les mesures expérimentales

Bien que le raisonnement de Munk fasse appel à beaucoup d’hypothèses simplificatrices, les mesures en soufflerie donnent des résultats tout à fait en accord avec la théorie des corps élancés (surtout pour les avant-corps).
Ainsi, l'image ci-contre compare la distribution des forces normales mesurée sur un modèle de dirigeable à 10° d'incidence (en vert clair) avec la distribution déterminée par la Théorie des corps élancés (en rouge). Pour la partie avant du dirigeable, l'accord est assez bon (sauf au point d'arrêt).
De sorte que les calculs de stabilité aérodynamique des fusées sont toujours basés sur ladite théorie (et même, pour les fusées d'amateurs, dans sa version la plus simple). Deux exemples parlants, à ce sujet, sont la force normale développée par une ogive de fusée et le point d’application de cette force normale : les fuséistes amateurs considèrent la force normale développée par l’ogive comme valant toujours $2\;q\;\alpha \;S_{og}$ (si $q$ est la pression dynamique de l'écoulement, $\alpha$ l'incidence de la fusée en radians et $S_{og}$ la section maximale de l'ogive. Ce qui signifie que le coefficient de force normale $C_{n}$ de l'ogive est $2$ (en référence à la section maximale de l'ogive et par radian), ceci pour des ogives de toutes les formes, y compris l'ogive plate (ou l'absence d'ogive qui donne une tête plate à la fusée) (voir plus bas).
De même, le point d'application de la force normale développée par une ogive est remarquablement bien déterminé par la théorie des corps élancés (la position de cette force normale est donnée dans l'image ci-contre).
D'une façon générale, la position relative de la force normale développée par l'ogive (position nommée XCPA) est donnée par l'équation :
    ${\frac {XCPA_{og}}{L_{og}}}=1-{\frac {Vol_{og}}{L_{og}S_{og}}}$
    $Vol_{og}$, $S_{og}$ et $L_{og}$ étant le volume, la section maximale et la longueur de l'ogive (cette équation n'est pas donnée dans le rapport des Barrowman mais dans un rapport suivant de James S. Barrowman seul$^,$).
En ce qui concerne les arrière-corps, les prédictions de la théorie des corps élancés se montrent moins précises (on l'observe sur la première image de cette section où la déportance arrière est, en ordre de grandeur, la moitié de la portance avant alors que la Théorie des corps élancés la prédit égale à la portance avant). La raison en est que cette théorie ne prend pas en compte l’épaisseur de la couche Limite sur la partie arrière des corps profilés (couche limite qui devient très importante, en comparaison avec son épaisseur sur la partie avant). De sorte que le moment de déstabilisation d'un corps profilé est plus faible que prédit par la théorie.
Une façon d'estimer la déstabilisation d'un corps profilé en incidence est de s'intéresser à son Centre de portance aérodynamique (nommé CPA sur l'image ci-contre à droite et Centre de portance sur l'image ci-contre à gauche) $^,$ : on observe alors que ce CPA est toujours très en avant des corps profilés à faible incidence, parfois même à plus d'une longueur de corps en avant de leur pointe avant (voir à ce sujet l'article Corps de moindre traînée).
L'image de gauche, d'après Hoerner, donne un panorama des Centres de portance (ou CPA) de divers types de corps profilés courants.

### Cas particuliers de corps non élancés

L'ogive plate (l'absence d'ogive) ou l'ogive hémisphérique ne sont en rien des corps élancés. Si ces deux ogives très particulières peuvent être considérées comme développant, en ordre de grandeur, un coefficient de force normale d'environ 2 (par radian et en référence à leur section maximale, soit la section de la partie cylindrique qui les suit) (image ci-contre à gauche), le point d'application de cette force normale ne peut être donné par la théorie de Munk. Pour l'ogive hémisphérique, la logique, comme les données expérimentales recueillies en soufflerie (marques bleu clair sur l'image ci-contre à droite), indiquent que le point d'application de la portance de l'ogive hémisphérique se place en son centre géométrique (donc au centre de sa section maximale)$^,$.
Quant à l'ogive en tête plate, les mesures en soufflerie placent le point d'application de sa portance notablement en arrière d'elle-même. En tant que disque présenté à l’écoulement, en effet, la tête plate a ceci de particulier qu’elle ne présente aucune surface orientée de façon à transformer une sur- ou sous-pression en force normale. En elle-même, elle ne peut donc développer aucune portance normale. Par contre, toujours pour les faibles incidences, la partie cylindrique du fuselage qui la suit est l’objet d’une forte portance normale$^,$ (ce qui donne un C$_{nα}$ de l’ordre de 2,5 par radian, en référence à la section du fuselage cylindrique)$^,$$^,$. Plus curieusement encore, le point d’application de cette portance normale peut être en arrière de la tête plate de 0,5 à 2,5 diamètres de fuselage.
Comme il a été précisé plus haut, selon les enseignements de la Théorie des corps élancés, les parties cylindriques d'un corps placé à faible incidence ne développent aucune portance. Les fuséistes amateurs se satisfont de cette nullité théorique en s'appuyant sur les hypothèses suivantes :
* Cette portance est faible (par rapport à celle de l'ogive, par exemple).
* S'il y a une portance du fuselage cylindrique d'une fusée, cette portance est répartie (en général) de part et d'autre du Centre des Masses de la fusée, ce qui fait qu'elle n'a pas d'action sur la stabilité de l'engin.
Cependant, les mesures en soufflerie font état d'une certaine portance de ces parties cylindriques ; c'est ce que l'on voit sur le graphe ci-contre où la pente générale des courbes ne peut être attribuée qu'à l'augmentation de l'élancement L/D des parties cylindriques de corps ogivo-cylindriques.
S. F. Hoerner écrit dans son ouvrage Lift : « Dans une combinaison ogive plus cylindre, l'arrière-corps [c.-à-d. le cylindre] ne devrait théoriquement pas produire de portance, en particulier à de petits angles d'attaque. Il existe cependant des preuves cohérentes selon lesquelles ces corps ont des gradients de portance linéaire plus grands que ceux indiqués par [la théorie de Munk]. Une explication peut être trouvée dans la croissance de la couche limite ( [son épaisseur de] déplacement) […]. » Et Hoerner ajoute, en renvoyant, entre autres, vers sa fig. 15 qui montre une partie cylindrique longue de 5 diamètres : « Cet incrément de portance est de l’ordre de 10% de la portance de l’ogive. »
Le même Hoerner, en s’appuyant sur un nombre assez limité de marques expérimentales, donne alors la courbe du gradient de portance linéaire de corps ogivo-cylindriques selon leur élancement total. En linéarisant cette courbe entre les élancements totaux 3 et 14 on obtient un C$_{nα}$ (ou gradient de portance linéaire de la partie cylindrique du fuselage) de 0,038 par diamètre de longueur (en référence à la section du fuselage et par radian).
Sur le graphe de Darling ci-contre, la droite rouge a une pente de 0,047 par diamètre : cette pente est bien dans le même ordre de grandeur que la linéarisation (0,038) de la courbe d'Hoerner.

### Évolution de la théorie des corps élancés

S'appuyant sur les travaux d'autres chercheurs, H. Julian Allen (bientôt accompagné de Edward W. Perkins) a mis en forme une extension aux fluides visqueux (ou réels) de la Théorie des corps élancés de Munk. Dans cette extension, on considère que chaque tranche normale du corps développe, en plus de la force normale dégagée par la Théorie de Munk, une force normale tourbillonnaire naissant du $C_{x}$ traversier appliqué à cette tranche (cette tranche étant donc assimilée à une tranche de cylindre de même élancement que le corps, au premier régime dans les cas les plus simples (image de droite), la vitesse de cette même tranche étant $V\sin(\alpha )$ si $V$ est la vitesse de l'écoulement et $\alpha$ l'incidence du corps. De fait, les observations d'écoulements sur les corps élancés (image de gauche) dévoilent l'existence de deux nappes tourbillonnaires, ces tourbillons étant relâchés périodiquement dans le sillage desdits corps.
Dans le cas simple d'une fusée ogivo-cylindrique en subsonique, par exemple, le $C_{n}$ total peut alors être approché par la formule :
    $C_{n}=\sin(2\alpha )+1,2\;\eta \;{\frac {S_{p}}{S_{og}}}\sin ^{2}(\alpha )$
    Dans ce libellé, le premier terme après le signe égal est bien sûr celui déterminé par la théorie des corps élancés ;
    $\alpha$ est l'angle d'incidence (en radians);
    $\eta$ le coefficient donné par la courbe de Goldstein ou celle du NACA RM A50L07, l'élancement du cylindre étant pris comme celui de la fusée$^,$ ;
    $S_{p}$ est la surface projetée du corps sur un plan parallèle à son grand axe ;
    et $S_{og}$ est la surface maximale de l'ogive qui sert ici de référence au $C_{n}$.
    Le coefficient $1,2$ apparaissant dans ce libellé est le $C_{x}$ traversier du cylindre infini en régime sous-critique (ou Premier régime). Il peut être adopté tant que le Nombre de Reynolds diamétral et le Mach transverse, tous deux basés sur la même vitesse transverse $V\sin(\alpha )$, sont inférieurs à respectivement 180 000 et Mach 0,3 ou 0,4 (selon la précision requise). C'est cette plage de $C_{x}=1,2$ (en fonction du Reynolds et du Mach) que l'on voit sur le graphe 1.
* Graphe 1
L'extension d'Allen et Perkins permet de prédire, avec prudence, le comportement, pour toutes les incidences possibles, de corps de révolution ou même de sections non circulaires.
Aux vitesses supersoniques et pour les élancements supérieurs à 6, l'effet de l'élancement du corps peut être négligé, c.-à-d. qu'on peut prendre $\eta =1$ (mais le $C_{x}$ traversier du cylindre infini est très variable avec le Mach et bien supérieur à $1,2$.)