# Icosidodécaèdre

Le solide d'Archimède de vingt faces triangulaires et douze faces pentagonales s’appelle un icosidodécaèdre. Le mot “icosidodécaèdre” commence par “icos”, qui signifie “vingt”, soit le nombre de faces du solide de Platon de douze sommets, qui est le dual du “dodécaèdre” de Platon, dont les douze faces sont pentagonales.

## Description

Cette image‑ci montre l’icosidodécaèdre de face et de dessus, avec deux faces triangulaires horizontales. De dessus le contour est un dodécagone, qui entoure dix triangles et six pentagones. Une moitié des faces est donc visible de dessus : seize faces.
Les soixante arêtes d’un icosidodécaèdre sont les côtés de six décagones réguliers de même taille, convexes et concentriques. Le centre de leurs six cercles circonscrits est le centre de symétrie de chaque décagone, donc le centre de symétrie de l’icosidodécaèdre, centre de sa sphère circonscrite, tangente aux arêtes des deux solides de Platon, dont il est l’intersection. À gauche, chacun des décagones réguliers équatoriaux a sa couleur propre. Les deux projections orthogonales qui se correspondent déforment chaque décagone, alors que dans la toute première image, la première projection de l’icosidodécaèdre respecte la forme du décagone décoré de pois clairs : celui du contour, dans un plan parallèle aux deux faces opposées décorées de pois clairs elles aussi.
Symétriques l’une de l’autre par rapport au centre du solide, deux faces pentagonales opposées ont les mêmes contours bigarrés. Leurs côtés sont parallèles à ceux du décagone, dont la couleur est absente des deux contours. N’importe quelle projection respecte un parallélisme ou une symétrie centrale. Par exemple, dans trois plans parallèles équidistants, deux pentagones opposés et leur décagone parallèle sont trois polygones réguliers, qui se projettent de face sur deux segments bicolores du contour octogonal, et un segment parallèle passant par le centre de la vue.
La vue de dessus ne déforme pas la face supérieure : un triangle équilatéral horizontal, représenté par un segment horizontal dans la vue de face, vue qui respecte la mesure des angles dièdres sur le contour du solide. Par exemple le sommet du contour octogonal, en haut à droite, représente une arête horizontale en bleu terne, commune à un triangle et un pentagone, comme toute autre arête. N’importe quelle arête est celle d’un dièdre partout de même mesure, propriété ainsi énoncée en abrégé : les arêtes sont uniformes. En effet, donner à une autre face triangulaire la même orientation, dans un plan horizontal, aboutirait au tracé du même angle tout en haut du contour octogonal, à droite.
Commun à deux triangles et deux pentagones, chaque sommet est l’extrêmité commune de quatre arêtes, qui forment partout la “même figure”, autrement dit trente figures isométriques. L’icosidodécaèdre est un polyèdre quasi régulier.

## Constructions mathématiques

On obtient ce polyèdre entre autres en tronquant un des deux solides de Platon de trente arêtes (l'icosaèdre ou le dodécaèdre) à chaque sommet, par une section qui passe par les milieux de toutes les arêtes issues du sommet tronqué. Ses soixante arêtes égales sont les côtés de six décagones réguliers convexes concentriques : six sections équatoriales du solide tronqué ou du solide initial.

## Travail manuel

Imaginons que ci‑dessus, les deux patrons de la première image, avec des plis tous saillants, aient en commun les seize faces étiquetées d’une lettre ou d’un chiffre, et supposons que le triangle j reste dans le plan du dessin. Alors derrière ce plan du triangle j, les patrons se transforment l’un en solide d’Archimède, l’autre en solide de Johnson. Le décagone et la face 0 sont alors dans deux plans parallèles, et l’icosidodécaèdre contient sa moitié, qui était au départ entourée d’un pointillé. Une moitié appelée “rotonde décagonale”, dans le répertoire de solides de Norman Johnson.
La rotonde exhibe nettement une section équatoriale régulière, contenant dix arêtes de l’icosidodécaèdre. Par contre, la rotonde fait disparaître la symétrie centrale du solide d’Archimède. La disposition circulaire des chiffres et des lettres ci‑dessus évoque une propriété, commune au solide en entier et à la rotonde initialement en pointillé : la transformation en lui‑même du polyèdre ou de sa moitié, par une ou plusieurs rotations successives d’un cinquième de tour, dans un sens ou dans l’autre, autour de l’axe commun du décagone et de la face 0.
Imprimer et découper un premier patron de l’icosidodécaèdre, faire de ses segments intérieurs des plis, commencer à joindre avec du ruban adhésif des segments de son contour, et enfin, quand il faudrait fermer complètement la chose mollement flexible qu’est devenu ce patron, devoir admettre qu’appuyer sur un morceau d’adhésif de plus est impraticable, et abandonner ce projet irréfléchi.
Dans la seconde image ci‑dessus, la pièce d’un seul tenant disperse les côtés des demi‑décagones à peu près autant que le précédent patron en pointillé. Par exemple, les cinq arêtes coplanaires bleu terne de la rotonde font dix segments du pourtour du patron, dont l’un est isolé en bas à droite. Le long du bord intérieur du socle décagonal, un arc est tracé. Dans cette région pourraient venir se fixer deux pattes, qui prolongeraient le triangle jaune vif et le pentagone bleu vert, tout en haut du patron à gauche. Ces deux pattes, une fois pliées sous le socle, pourraient remonter un peu vers l’intérieur du dôme, et venir se coincer soit dans deux trous, pratiqués à cet effet dans la couronne, soit dans deux formes concaves qui leur seraient adaptées, sur le bord intérieur de l’évidement.
Ci‑dessus décoré de pois, le décagone a quatre sommets qui se nomment A, E, L et N. Ainsi nommés, ils se retrouvent sur les pièces décagonales détachées, dont les six centres de symétrie se confondront dans la structure assemblée, en son centre de symétrie dans l’espace. Les bords extérieurs des pièces imbriquées seront alors les soixante arêtes de l’icosidodécaèdre, dessiné en perspective dans l’évidement de la pièce 0. Dessins et découpages précèderont l’assemblage, bien sûr. En attendant de géniales découpeuses programmables dans les écoles, envisagées quand la planète Mars aura perdu tout attrait, répéter des tracés de polygones réguliers sera beaucoup moins fastidieux grâce au langage SVG. Mieux vaut débuter en SVG en dessinant les trois carrés imbriqués des arêtes d’un octaèdre régulier, dans une première phase, et dans une deuxième phase les quatre sections hexagonales régulières d’un cuboctaèdre, avant de coder les six pièces ici présentes, en phase 3.
En attendant, sur du bristol quadrillé, tracer trois carrés évidés et leurs douze encoches est à la portée d’un enfant de dix ou douze ans. Mais que ce soit en phase 1, 2 ou 3, une seule coupure au cutter ne suffit pas à réaliser une encoche, qui doit accueillir sans forcer l’épaisseur d’une autre pièce. Chaque encoche est donc découpée soit au jugé, en entourant largement un trait d’épaisseur ordinaire, soit en suivant au cutter le bord d’un trait épais, obtenu en tirant au crayon ou au stylo‑bille des traits parallèles tout proches. En SVG, l’épaisseur d’un trait est la valeur numérique à votre goût, d’un attribut CSS stroke-width, qui spécifie la largeur du bord d’une forme géométrique ou d’un élément de texte, tel que le numéro 1 de l’une des six pièces décagonales, par exemple.
Nous obtiendrons d’autres polyèdres remarquables, en prolongeant chaque polygone à imbriquer par un autre polygone, séparé du polygone régulier de base par un pli. La section régulière de base, carrée, hexagonale ou décagonale, sera visible grâce à des prolongements évidés. Les plis auront en même temps un intérêt mécanique, ils rigidifient la maquette. Par exemple, nos six pièces décagonales peuvent se prolonger par des triangles isocèles, dont les angles égaux mesurent 36° ou 60°, selon le solide de Platon désiré : dodécaèdre ou icosaèdre. En tronquant de tels prolongements, nous inventerons les pièces d’un solide tronqué, par exemple les six pièces d’un ballon de foot.

## Coordonnées et symétries

Un icosidodécaèdre possède une symétrie icosaédrique, et sa première stellation est le composé d'un dodécaèdre et de son dual, l'icosaèdre, avec les sommets de l'icosaèdre localisés aux milieux des arêtes du dodécaèdre.
Avec R rayon de la sphère circonscrite et a longueur de l'arête , on a la relation :
    ${\frac {a}{R}}=\varphi -1$
Des coordonnées commodes pour les 30 sommets d'un icosidodécaèdre sont les permutations circulaires de
    $\left(0,0,\pm \varphi \right)$
    $\left(\pm {\tfrac {1}{2}},\pm {\tfrac {\varphi }{2}},\pm {\tfrac {(1+\varphi )}{2}}\right)$
où $\varphi ={\tfrac {1+{\sqrt {5}}}{2}}$ est le nombre d'or. En utilisant $\varphi ^{2}=\varphi +1$, on vérifie que ces sommets sont sur une sphère centrée à l'origine.

## Polyèdres reliés

Son polyèdre dual est le triacontaèdre rhombique. Un icosidodécaèdre peut être divisé le long de plusieurs plans pour former des rotondes décagonales, qui figurent parmi les solides de Johnson.
Dans la nomenclature standard utilisée pour les solides de Johnson, un icosidodécaèdre serait appelé une gyrobirotonde décagonale . En effet, on obtient un icosidodécaèdre en accolant deux « rotondes » décagonales par leur base, telle que leur face supérieure (les deux pentagones opposés) soient orientées différemment (c'est pourquoi l'on ajoute « gyro- »).
L'icosidodécaèdre est un dodécaèdre tronqué et aussi un icosaèdre tronqué, lorsque les troncatures des sommets du dodécaèdre et de l'icosaèdre sont maximales (rectifications).