# Nombre de Heegner

En théorie des nombres, un nombre de Heegner est un entier positif n sans facteur carré tel que l'anneau des entiers du corps quadratique imaginaire ℚ[i√n] est principal (ou encore : factoriel, ce qui ici est équivalent car l'anneau est de Dedekind).
Le théorème de Stark-Heegner indique qu'il y a exactement neuf nombres de Heegner :
Ce résultat fut conjecturé par Gauss et démontré, à quelques erreurs près, par Kurt Heegner en 1952. Alan Baker et Harold Stark ont indépendamment démontré la conjecture en 1966, et Stark a comblé la preuve de Heegner.
La détermination de ces nombres est un cas particulier du problème du nombre de classes, et ils sous-tendent plusieurs résultats arithmétiques frappants. Par exemple, pour certains nombres de Heegner d, le nombre $\mathrm {e} ^{\pi {\sqrt {d}}}$ est presque entier.

## Polynôme d'Euler générateur de nombres premiers

Le polynôme d'Euler$n^{2}+n+41,$
qui donne des nombres premiers pour n = 0, ..., 39, est lié au nombre de Heegner 163 = 4×41 − 1.
Rabinowitsch (en) a montré que$n^{2}+n+p$donne des nombres premiers pour $n=0,\dots ,p-2$ si et seulement si son discriminant $1-4p$ est l'opposé d'un nombre de Heegner.
(Remarquons que $(p-1)^{2}+(p-1)+p=p^{2}$, de sorte que $p-2$ est maximal.)
Les nombres de Heegner 1, 2, et 3 n'étant pas de la forme 4p − 1 avec p ≥ 2, les nombres de Heegner qui fonctionnent sont donc 7, 11, 19, 43, 67, 163, ce qui correspond aux coefficients p = 2, 3, 5, 11, 17, 41 ; ces derniers ont été nommés nombres chanceux d'Euler par François Le Lionnais.

## Presque entiers et constante de Ramanujan

La constante de Ramanujan est le nombre e$^{π√163}$, qui est à la fois transcendant (comme e$^{πγ}$ pour tout nombre algébrique non nul γ, d'après le théorème de Gelfond-Schneider) et presque entier :$\mathrm {e} ^{\pi {\sqrt {163}}}=262\,537\,412\,640\,768\,743{,}999\,999\,999\,999\,25\ldots \approx 640\,320^{3}+744.$Ce nombre a été découvert en 1859 par le mathématicien Charles Hermite. Cette coïncidence est due à la multiplication complexe et au q-développement du j-invariant.

### Détail

Cela s'explique, en bref, par le fait que $j\left({\frac {1+{\sqrt {-d}}}{2}}\right)$ est entier lorsque d est de Heegner, et$\mathrm {e} ^{\pi {\sqrt {d}}}\approx -j\left({\frac {1+{\sqrt {-d}}}{2}}\right)+744$par q-développement.
Si $\tau$ est un irrationnel quadratique, alors le j-invariant est un entier algébrique de degré égal au nombre de classes de $\mathbb {Q} (\tau )$. Ainsi, si l'extension quadratique imaginaire $\mathbb {Q} (\tau )=\mathbb {Q} \left({\frac {1+{\sqrt {-d}}}{2}}\right)$ a un nombre de classes égal à 1 (donc si d est un nombre de Heegner), alors le j-invariant est entier.
Le q-développement de j, son développement en série de Fourier en $q=\mathrm {e} ^{2\pi \mathrm {i} \tau }$ s'écrit :$j(\tau )={\frac {1}{q}}+744+196\,884q+\cdots .$Les coefficients $c_{n}$ croissent asymptotiquement comme$\ln c_{n}=4\pi {\sqrt {n}}+O\left(\ln n\right),$et les termes suivants croissent moins vite que $200\,000^{n}$. Donc pour $\textstyle q\ll {\frac {1}{200\,000}}$, j est bien approximé par ses deux premiers termes. Posons $\tau ={\frac {1+{\sqrt {-163}}}{2}}$ d'où$q=-\mathrm {e} ^{-\pi {\sqrt {163}}}\quad {\text{donc}}\quad {\frac {1}{q}}=-\mathrm {e} ^{\pi {\sqrt {163}}}.$Or$j\left({\frac {1+{\sqrt {-163}}}{2}}\right)=-640\,320^{3}$donc$-640\,320^{3}\approx -\mathrm {e} ^{\pi {\sqrt {163}}}+744,$c'est-à-dire$\mathrm {e} ^{\pi {\sqrt {163}}}\approx 640\,320^{3}+744.$Le terme d'erreur est donné par${\frac {-196\,884}{\mathrm {e} ^{\pi {\sqrt {163}}}}}\approx {\frac {-196\,884}{640\,320^{3}+744}}\approx -0{,}000\,000\,000\,000\,75,$ce qui explique pourquoi $\mathrm {e} ^{\pi {\sqrt {163}}}$ est très proche d'un entier.

## Formules autour de pi

Les frères Chudnosky trouvent en 1987 que${\frac {1}{\pi }}={\frac {12}{640\,320^{\frac {3}{2}}}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(6k)!(163\cdot 3\,344\,418k+13\,591\,409)}{(3k)!(k!)^{3}(-640\,320)^{3k}}},$en utilisant le fait que$j\left({\frac {1+{\sqrt {-163}}}{2}}\right)=-640\,320^{3}.$D'autres séries similaires existent, cf. Série de Ramanujan-Sato (en).

## Autres nombres de Heegner

Pour les quatre nombres de Heegner les plus grands, on obtient les approximations suivantes,${\begin{aligned}\mathrm {e} ^{\pi {\sqrt {19}}}&\approx 12^{3}\left(3^{2}-1\right)^{3}{\color {white}00}+744-0{,}22={\color {white}000\,0}96^{3}+744-0{,}22\\\mathrm {e} ^{\pi {\sqrt {43}}}&\approx 12^{3}\left(9^{2}-1\right)^{3}{\color {white}00}+744-0{,}000\,22={\color {white}000\,}960^{3}+744-0{,}000\,22\\\mathrm {e} ^{\pi {\sqrt {67}}}&\approx 12^{3}\left(21^{2}-1\right)^{3}{\color {white}0}+744-0{,}000\,0013={\color {white}00}5\,280^{3}+744-0{,}000\,0013\\\mathrm {e} ^{\pi {\sqrt {163}}}&\approx 12^{3}\left(231^{2}-1\right)^{3}+744-0{,}000\,000\,000\,000\,75=640\,320^{3}+744-0{,}000\,000\,000\,000\,75\end{aligned}}$où le carré provient de certaines séries d'Eisenstein. Pour les nombres de Heegner $d<19$, les nombres obtenus ne sont pas proches d'entiers. Les j-invariants sont fortement factorisables :${\begin{aligned}j\left({\frac {1+{\sqrt {-19}}}{2}}\right)&={\color {white}000\,0}96^{3}=\left(2^{5}\cdot 3\right)^{3}\\j\left({\frac {1+{\sqrt {-43}}}{2}}\right)&={\color {white}000\,}960^{3}=\left(2^{6}\cdot 3\cdot 5\right)^{3}\\j\left({\frac {1+{\sqrt {-67}}}{2}}\right)&={\color {white}00}5\,280^{3}=\left(2^{5}\cdot 3\cdot 5\cdot 11\right)^{3}\\j\left({\frac {1+{\sqrt {-163}}}{2}}\right)&=640\,320^{3}=\left(2^{6}\cdot 3\cdot 5\cdot 23\cdot 29\right)^{3}.\end{aligned}}$Ces nombres transcendants, en plus d'être proche d'entiers (c'est-à-dire proches d'entiers algébriques de degré 1), sont aussi approximés par des nombres algébriques de degré 3,${\begin{aligned}\mathrm {e} ^{\pi {\sqrt {19}}}&\approx x^{24}-24{,}000\,31;&x^{3}-2x-2&=0\\\mathrm {e} ^{\pi {\sqrt {43}}}&\approx x^{24}-24{,}000\,000\,31;&x^{3}-2x^{2}-2&=0\\\mathrm {e} ^{\pi {\sqrt {67}}}&\approx x^{24}-24{,}000\,000\,0019;&x^{3}-2x^{2}-2x-2&=0\\\mathrm {e} ^{\pi {\sqrt {163}}}&\approx x^{24}-24{,}000\,000\,000\,000\,0011;&\quad x^{3}-6x^{2}+4x-2&=0\end{aligned}}$Les racines des polynômes de droite peuvent être explicités en fonction de la fonction êta de Dedekind η(τ), une forme modulaire impliquant une racine 24-ième, cause de l'exposant 24 ci-dessus. De même par des nombres algébriques de degré 4,${\begin{aligned}\mathrm {e} ^{\pi {\sqrt {19}}}&\approx 3^{5}\left(3-{\sqrt {2\left(1-{\tfrac {96}{24}}+1{\sqrt {3\cdot 19}}\right)}}\right)^{-2}-12{,}000\,06\dots \\\mathrm {e} ^{\pi {\sqrt {43}}}&\approx 3^{5}\left(9-{\sqrt {2\left(1-{\tfrac {960}{24}}+7{\sqrt {3\cdot 43}}\right)}}\right)^{-2}-12{,}000\,000\,061\dots \\\mathrm {e} ^{\pi {\sqrt {67}}}&\approx 3^{5}\left(21-{\sqrt {2\left(1-{\tfrac {5\,280}{24}}+31{\sqrt {3\cdot 67}}\right)}}\right)^{-2}-12{,}000\,000\,000\,36\dots \\\mathrm {e} ^{\pi {\sqrt {163}}}&\approx 3^{5}\left(231-{\sqrt {2\left(1-{\tfrac {640\,320}{24}}+2\,413{\sqrt {3\cdot 163}}\right)}}\right)^{-2}-12{,}000\,000\,000\,000\,000\,21\dots \end{aligned}}$Si $x$ désigne les expressions entre parenthèses (e.g. $x=3-{\sqrt {2\left(1-{\tfrac {96}{24}}+1{\sqrt {3\cdot 19}}\right)}}$), les équations quartiques sont respectivement satisfaites:${\begin{aligned}x^{4}-{\color {white}00}4\cdot 3x^{3}+{\color {white}000\,0}{\tfrac {2}{3}}(96+3)x^{2}-{\color {white}000\,000}{\tfrac {2}{3}}\cdot 3(96-6)x-3&=0\\x^{4}-{\color {white}00}4\cdot 9x^{3}+{\color {white}000\,}{\tfrac {2}{3}}(960+3)x^{2}-{\color {white}000\,00}{\tfrac {2}{3}}\cdot 9(960-6)x-3&=0\\x^{4}-{\color {white}0}4\cdot 21x^{3}+{\color {white}00}{\tfrac {2}{3}}(5\,280+3)x^{2}-{\color {white}000}{\tfrac {2}{3}}\cdot 21(5\,280-6)x-3&=0\\x^{4}-4\cdot 231x^{3}+{\tfrac {2}{3}}(640\,320+3)x^{2}-{\tfrac {2}{3}}\cdot 231(640\,320-6)x-3&=0\\\end{aligned}}$Notons à nouveau l'apparition des entiers $n=3,9,21,231$.
De même, par des nombres algébriques de degré 6,${\begin{aligned}\mathrm {e} ^{\pi {\sqrt {19}}}&\approx \left(5x\right)^{3}-6{,}000\,010\dots \\\mathrm {e} ^{\pi {\sqrt {43}}}&\approx \left(5x\right)^{3}-6{,}000\,000\,010\dots \\\mathrm {e} ^{\pi {\sqrt {67}}}&\approx \left(5x\right)^{3}-6{,}000\,000\,000\,061\dots \\\mathrm {e} ^{\pi {\sqrt {163}}}&\approx \left(5x\right)^{3}-6{,}000\,000\,000\,000\,000\,034\dots \end{aligned}}$où les x sont respectivement donnés par${\begin{aligned}5x^{6}-{\color {white}000\,0}96x^{5}-10x^{3}+1&=0\\5x^{6}-{\color {white}000\,}960x^{5}-10x^{3}+1&=0\\5x^{6}-{\color {white}00}5\,280x^{5}-10x^{3}+1&=0\\5x^{6}-640\,320x^{5}-10x^{3}+1&=0\end{aligned}}$avec une nouvelle apparition des j-invariants.
Ces approximations algébriques peuvent être exprimées explicitement en fonction de la fonction êta de Dedekind. Par exemple, si $\tau ={\frac {1+{\sqrt {-163}}}{2}}$, alors,${\begin{aligned}\mathrm {e} ^{\pi {\sqrt {163}}}&=\left({\frac {\mathrm {e} ^{\frac {\pi i}{24}}\eta (\tau )}{\eta (2\tau )}}\right)^{24}-24{,}000\,000\,000\,000\,001\,05\dots \\\mathrm {e} ^{\pi {\sqrt {163}}}&=\left({\frac {\mathrm {e} ^{\frac {\pi i}{12}}\eta (\tau )}{\eta (3\tau )}}\right)^{12}-12{,}000\,000\,000\,000\,000\,21\dots \\\mathrm {e} ^{\pi {\sqrt {163}}}&=\left({\frac {\mathrm {e} ^{\frac {\pi i}{6}}\eta (\tau )}{\eta (5\tau )}}\right)^{6}-6{,}000\,000\,000\,000\,000\,034\dots \end{aligned}}$où les expressions mises à la puissance sont exactement celles écrites plus haut.

## Nombre de classes égal à 2

Les trois nombres 88, 148, 232, pour lesquels le corps quadratique $\mathbb {Q} \left[{\sqrt {-d}}\right]$ a un nombre de classes égal à 2, ne sont pas des nombres de Heegner mais partagent certaines propriétés dont les approximations par des entiers. Par exemple${\begin{aligned}\mathrm {e} ^{\pi {\sqrt {88}}}+8\,744&\approx {\color {white}00\,00}2\,508\,952^{2}-0{,}077\dots \\\mathrm {e} ^{\pi {\sqrt {148}}}+8\,744&\approx {\color {white}00\,}199\,148\,648^{2}-0{,}000\,97\dots \\\mathrm {e} ^{\pi {\sqrt {232}}}+8\,744&\approx 24\,591\,257\,752^{2}-0{,}000\,0078\dots \\\end{aligned}}$et${\begin{aligned}\mathrm {e} ^{\pi {\sqrt {22}}}-24&\approx {\color {white}00}\left(6+4{\sqrt {2}}\right)^{6}+0{,}000\,11\dots \\\mathrm {e} ^{\pi {\sqrt {37}}}+24&\approx \left(12+2{\sqrt {37}}\right)^{6}-0{,}000\,0014\dots \\\mathrm {e} ^{\pi {\sqrt {58}}}-24&\approx \left(27+5{\sqrt {29}}\right)^{6}-0{,}000\,000\,0011\dots .\\\end{aligned}}$

## Premiers consécutifs

Soit p un nombre premier impair. Il semblerait que la suite (à valeurs dans $[2,p-1]$) des $k^{2}{\bmod {p}}$ pour $k=2,3,\dots ,{\frac {p-1}{2}}$ (par symétrie, il suffit de considérer ceux-là car $\left(p-k\right)^{2}\equiv k^{2}{\bmod {p}}$) donne une succession de nombres composés suivie d'une succession de nombres premiers, si et seulement si p est un nombre de Heegner.