# Équations de Maxwell

Les équations de Maxwell, aussi appelées équations de Maxwell-Lorentz, du nom du physicien écossais James Clerk Maxwell, sont des lois fondamentales de la physique. Elles constituent, avec l'expression de la force électromagnétique de Hendrik Lorentz, les postulats de base de l'électromagnétisme.
Ces équations traduisent sous forme locale différents théorèmes (Gauss, Ampère, Faraday) qui régissaient l'électromagnétisme avant que Maxwell ne les réunisse sous forme d'équations intégrales. Elles donnent ainsi un cadre mathématique précis au concept fondamental de champ introduit en physique par Michael Faraday dans les années 1830.
Ces équations montrent notamment qu'en régime stationnaire, les champs électrique et magnétique sont indépendants l'un de l'autre, alors qu'ils ne le sont pas en régime variable. Dans le cas le plus général, il faut donc parler du champ électromagnétique, la dichotomie électrique-magnétique étant une vue de l'esprit. Elles mettent aussi en évidence les équations d'ondes qui gèrent la propagation des ondes électromagnétiques.
Dans sa forme moderne, le champ électromagnétique est représenté par un objet mathématique unique, le tenseur électromagnétique, dont certaines composantes s'identifient à celles du champ électrique et d'autres à celles du champ magnétique.

## Principes généraux

Les équations de Maxwell font intervenir les grandeurs suivantes :
* le champ électrique, noté ${\vec {E}}$ ;
* le champ (d'induction) magnétique, noté ${\vec {B}}$ ;
* la densité (volumique) de charge électrique, notée $\rho$ ;
* la densité (volumique) de courant électrique, notée ${\vec {j}}$ ;
* deux constantes dimensionnées dont l'introduction est nécessaire pour assurer l'homogénéité des équations, à savoir :
** la permittivité (diélectrique) du vide, notée $\varepsilon _{0}$$^,$ ;
** la perméabilité (magnétique) du vide, notée $\mu _{0}$$^,$.
Dans leur forme traditionnelle, les équations de Maxwell sont un ensemble de quatre équations aux dérivées partielles du premier ordre et couplées :
* l'équation de Maxwell-Gauss$^,$ ${\vec {\nabla }}\cdot {\vec {E}}={\frac {\rho }{\varepsilon _{0}}}\quad \mathrm {aussi\;not{\acute {e}}e} \quad \operatorname {div} {\vec {E}}={\frac {\rho }{\varepsilon _{0}}}$reliée au théorème de Gauss en électrostatique, décrit comment un champ électrique est engendré par des charges électriques : le champ électrique est orienté des charges positives vers les charges négatives. Plus précisément, cette loi relie le flux électrique à travers n'importe quelle surface de Gauss fermée avec la charge électrique contenue dans le volume délimité par cette surface ;
* l'équation de Maxwell-Thomson$\oint _{\Sigma }{\vec {B}}\cdot \mathrm {d} {\vec {S}}=0$reliée au théorème de Gauss en magnétostatique, énonce qu'il n'existe aucune « charge magnétique » (ou monopôle magnétique) analogue à une charge électrique. Au contraire, le champ magnétique est engendré par une configuration nommée dipôle, qui n'a pas de charge magnétique mais regroupe une charge positive et une charge négative reliées entre elles et inséparables. À titre d'exemple, cela permet de montrer que le flux magnétique total à travers n'importe quelle surface fermée est nul, ou que le champ magnétique est un champ solénoïdal ;
* l'équation de Maxwell-Faraday$^,$${\vec {\nabla }}\wedge {\vec {E}}=-{\frac {\partial {\vec {B}}}{\partial t}}\quad \mathrm {aussi\;not{\acute {e}}e} \quad \operatorname {\overrightarrow {rot}} {\vec {E}}=-{\frac {\partial {\vec {B}}}{\partial t}}$reliée à la loi d'induction de Faraday, décrit comment la variation d'un champ magnétique peut créer (induire) un champ électrique. Ce courant induit est utilisé dans de nombreux générateurs électriques : un aimant en rotation crée un champ magnétique en mouvement, qui engendre un champ électrique dans un fil conducteur à proximité ;
* l'équation de Maxwell-Ampère$^,$ ${\vec {\nabla }}\wedge {\vec {B}}=\mu _{0}{\vec {\jmath }}+\mu _{0}\varepsilon _{0}{\frac {\partial {\vec {E}}}{\partial t}}\quad \mathrm {aussi\;not{\acute {e}}e} \quad \operatorname {\overrightarrow {rot}} {\vec {B}}=\mu _{0}{\vec {\jmath }}+\mu _{0}\varepsilon _{0}{\frac {\partial {\vec {E}}}{\partial t}}$reliée au théorème d'Ampère en régime variable, énonce que les champs magnétiques peuvent être engendrés de deux manières : par les courants électriques (c'est le théorème d'Ampère) et par la variation d'un champ électrique (c'est l'apport de Maxwell sur cette loi).
Cette « correction » de Maxwell du théorème d'Ampère est particulièrement importante : elle signifie que la variation d'un champ magnétique crée un champ électrique, et que la variation d'un champ électrique crée un champ magnétique. Par conséquent, ces équations permettent la circulation d'ondes électromagnétiques autoentretenues, ou « rayonnement électromagnétique ».
La vitesse de propagation calculée pour les ondes électromagnétiques, qui pourrait être prédite par des expériences sur les charges et les courants, est exactement la vitesse de la lumière. En effet, la lumière est une forme de rayonnement électromagnétique (tout comme les rayons X, les ondes radio, etc.). Maxwell avait compris la relation entre le rayonnement électromagnétique et la lumière en 1864, unifiant ainsi deux domaines jusqu'ici disjoints : celui de l'électromagnétisme et celui de l'optique.

## Aspects historiques
### L'apport de Maxwell

Vers 1865, Maxwell a réalisé une synthèse harmonieuse des diverses lois expérimentales découvertes par ses prédécesseurs (lois de l'électrostatique, du magnétisme, de l'induction…). Mais cette synthèse n'a été possible que parce que Maxwell a su dépasser les travaux de ses devanciers, en introduisant dans une équation un « chaînon manquant », appelé le courant de déplacement, dont la présence assure la cohérence de l'édifice unifié.
Maxwell a d'abord publié en 1865 sa théorie sous la forme de vingt équations à vingt inconnues, écrites à l'aide de quaternions. En 1873, dans l'ouvrage en deux volumes A Treatise on Electricity and Magnetism, Maxwell a déjà réécrit sa théorie sous la forme de huit équations. Ce n'est que plus tard, en 1884, qu'Oliver Heaviside réécrivit ces équations sous la forme des quatre équations vectorielles et scalaires aux dérivées partielles que l'on connaît maintenant.

### Mathématiques modernes

Aujourd'hui, les quatre équations (vectorielles) de Maxwell se réduisent à seulement deux équations tensorielles, ou même à une seule équation multivectorielle en algèbre géométrique.

### Les héritiers de Maxwell

La synthèse de Maxwell a permis ultérieurement les deux plus grandes avancées de la physique moderne :
* la théorie de la relativité restreinte (via le problème du référentiel de l'hypothétique éther). En effet, les équations de Maxwell permettent de prédire l'existence d'une onde électromagnétique, c'est-à-dire que la modification d'un des paramètres (densité de charge, intensité du courant…) a des répercussions à distance avec un certain retard. Or, la vitesse de ces ondes, c, calculée avec les équations de Maxwell, est égale à la vitesse de la lumière mesurée expérimentalement. Cela a permis de conclure que la lumière était une onde électromagnétique. Le fait que c soit la même dans toutes les directions et indépendante du référentiel, conclusion que l'on tire de ces équations, est un des fondements de la théorie de la relativité restreinte. Si l'on change de référentiel, le changement de coordonnées classique ne s'applique pas aux équations de Maxwell, il faut utiliser une autre transformation : la transformation de Lorentz. Einstein dans son article fondateur de la relativité restreinte (1905), en considérant la constance de la vitesse de la lumière quel que soit le référentiel galiléen, déduit les transformations de Lorentz par des considérations purement physiques. Il montre que la force magnétique qui agit sur un électron n'est qu'un effet relativiste de la force électrique qui agit sur l'électron vu depuis le référentiel au repos avec lui.
* la physique quantique. L'étude de la lumière et des ondes électromagnétiques, avec notamment les travaux de Max Planck sur le corps noir et d'Heinrich Hertz sur l'effet photoélectrique, donna naissance à la théorie quantique en 1900.

## Théorie de Maxwell-Lorentz dans le vide

On présente ci-dessous la théorie microscopique fondamentale qui donne les équations de Maxwell-Lorentz dans le vide en présence de sources, qui peuvent être des charges ponctuelles et/ou leurs courants électriques microscopiques associés si ces charges sont en mouvement dans le référentiel d'étude.
La théorie macroscopique nécessitant l'introduction des champs D et H (et les équations de Maxwell associées) est discutée en détail dans Électrodynamique des milieux continus.
On note :
* $\rho ({\vec {x}},t)$ la densité volumique de charge électrique au point ${\vec {x}}$ à l'instant $t$ (en $C/m^{3}$ dans le SI) ;
* ${\vec {\jmath }}({\vec {x}},t)=\sigma {\vec {E}}({\vec {x}},t)$ le vecteur densité de courant (en $A/m^{2}$ dans le SI) ;
* ${\vec {E}}({\vec {x}},t)$ le vecteur champ électrique (en $V/m$ dans le SI) ;
* ${\vec {B}}({\vec {x}},t)$ le champ magnétique (en $T$ dans le SI) ;
* $\varepsilon _{0}$ la permittivité diélectrique du vide (en $F/m$ dans le SI) ;
* $\mu _{0}$ la perméabilité magnétique du vide (en $H/m$ dans le SI).

### Équation de Maxwell-Gauss
#### L'équation locale de Maxwell

Dans cette équation, on utilisera l'opérateur nabla, noté : ${\vec {\nabla }}$, dont on peut écrire l'expression en coordonnées cartésiennes avec ${\vec {\nabla }}={\vec {e}}_{x}{\frac {\partial }{\partial x}}+{\vec {e}}_{y}{\frac {\partial }{\partial y}}+{\vec {e}}_{z}{\frac {\partial }{\partial z}}.$Cette équation locale donne la divergence du champ électrique en fonction de la densité de la charge électrique :${\vec {\nabla }}\cdot {\vec {E}}={\frac {\rho }{\varepsilon _{0}}}\quad \mathrm {aussi\;not{\acute {e}}e} \quad \operatorname {div} {\vec {E}}={\frac {\rho }{\varepsilon _{0}}}.$Cette équation correspond à un «terme de source» : la densité de charge électrique $\rho$ est une source du champ électrique. Par exemple, pour une charge ponctuelle $q$ fixée à l'origine $O$, la loi de Coulomb donnant le champ électrostatique en un point $M$ de l'espace, point repéré par le vecteur position ${\overrightarrow {OM}}={\vec {r}}=r\,{\vec {u}}_{r}$ où ${\vec {u}}_{r}$ est le vecteur unitaire radial, et qui s'écrit :${\vec {E}}(M)={\frac {q}{4\pi \varepsilon _{0}r^{2}}}{\vec {u}}_{r}.$Ce champ électrostatique vérifie l'équation de Maxwell-Gauss pour la source statique, soit$\rho ({\vec {r}},t)=q\delta ^{3}({\vec {r}}),$où $\delta ^{3}({\vec {r}})$ est la distribution de Dirac dans l'espace à trois dimensions.

#### Le théorème de Gauss

Le théorème de Gauss est la forme intégrale de l'équation de Maxwell-Gauss. Il affirme que le flux du champ électrique permanent à travers une surface de Gauss fermée $\Sigma$, orientée selon la normale sortante, est égale au rapport de la charge $Q_{\text{int}}$ contenue dans le volume $V$ délimité par la surface $\Sigma$ et de la permittivité du vide :$\oint _{\Sigma }{\vec {E}}\cdot \mathrm {d} {\vec {S}}={\frac {1}{\varepsilon _{0}}}\int _{V}\rho \mathrm {d} \tau ={\frac {Q_{\mathrm {int} }}{\varepsilon _{0}}}.$On remarquera que l'équation de Maxwell-Gauss se retrouve facilement en appliquant le théorème d'Ostrogradski au théorème de Gauss et en prenant un volume infinitésimal.

### Équation de Maxwell-Thomson

Cette équation est aussi appelée équation de Maxwell-flux ; elle exprime que le flux du champ magnétique à travers une surface $(\Sigma )$ fermée est toujours nul :$\oint _{\Sigma }{\vec {B}}\cdot \mathrm {d} {\vec {S}}=0.$Cette équation est la forme intégrale de l'équation locale de Maxwell, et on passe de l'une à l'autre en appliquant le théorème d'Ostrogradski.

#### L'équation locale de Maxwell

Cette équation locale est au champ magnétique ce que l'équation de Maxwell-Gauss est au champ électrique, à savoir une équation avec « terme de source », ici identiquement nul :${\vec {\nabla }}\cdot {\vec {B}}=0\quad \mathrm {aussi\;not{\acute {e}}e} \quad \operatorname {div} {\vec {B}}=0.$Elle traduit le fait expérimental suivant : il n'existe pas de monopôle magnétique. Un monopôle magnétique serait une source ponctuelle de champ magnétique, analogue de la charge électrique ponctuelle pour le champ électrique. Or, l'objet de base source d'un champ magnétique est l'aimant, qui se comporte comme un dipôle magnétique : un aimant possède en effet un pôle nord et un pôle sud. L'expérience fondamentale consistant à tenter de couper un aimant en deux donne naissance à deux aimants, et non un pôle nord et un pôle sud séparément.

#### Introduction du potentiel-vecteur

L'analyse vectorielle montre que la divergence d'un rotationnel est toujours identiquement nulle pour tout champ quelconque ${\vec {F}}$, c'est-à-dire ∇$^→$⋅(∇$^→$∧F$^→$)=0{\textstyle {\vec {\nabla }}\cdot ({\vec {\nabla }}\wedge {\vec {F}})=0}. Réciproquement, tout champ de vecteurs dont la divergence est identiquement nulle peut localement être exprimé sous la forme d'un rotationnel. L'équation locale de conservation du flux magnétique permet donc de définir au moins localement un potentiel-vecteur ${\vec {A}}$ tel que :${\vec {B}}={\vec {\nabla }}\wedge {\vec {A}}.$Le problème important de l'unicité du potentiel-vecteur est discuté dans l'article Invariance de jauge de la théorie.

### Équation de Maxwell-Faraday

Cette équation locale traduit le phénomène fondamental d'induction électromagnétique découvert par Faraday.

#### L'équation locale

Elle donne le rotationnel du champ électrique en fonction de la dérivée temporelle du champ magnétique : ${\vec {\nabla }}\wedge {\vec {E}}=-{\frac {\partial {\vec {B}}}{\partial t}}\quad \mathrm {aussi\;not{\acute {e}}e} \quad \operatorname {\overrightarrow {rot}} {\vec {E}}=-{\frac {\partial {\vec {B}}}{\partial t}}.$Cette équation indique que la variation du champ magnétique crée un champ électrique.

#### Forme intégrale : loi de Faraday

La forme intégrale de l'équation locale est donnée, d'après le théorème de Stokes, par : $\oint _{C}{\vec {E}}\cdot \mathrm {d} {\vec {\ell }}=-{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\left(\int _{S}{\vec {B}}\cdot \mathrm {d} {\vec {S}}\right).$Il s'agit de la loi de Faraday, qui s'écrit aussi : $e=-{\frac {\mathrm {d} \Phi }{\mathrm {d} t}}$où :
* e=∮$_C$E$^→$⋅dℓ$^→${\textstyle \displaystyle e=\oint _{C}{\vec {E}}\cdot \mathrm {d} {\vec {\ell }}} est la force électromotrice d'induction dans un circuit électrique de contour C;
* Φ=∫$_S$B$^→$⋅dS$^→${\textstyle \displaystyle \Phi =\int _{S}{\vec {B}}\cdot \mathrm {d} {\vec {S}}} est le flux du champ magnétique à travers la surface S délimitée par le contour C.

#### Introduction du potentiel électrique

L'analyse vectorielle montre que le rotationnel d'un gradient est toujours identiquement nul. Pour un champ scalaire quelconque $F$:${\vec {\nabla }}\wedge ({\vec {\nabla }}F)={\vec {0}}.$L'équation de Maxwell-Faraday couplée à l'existence locale d'un potentiel-vecteur ${\vec {A}}$ permettent de définir (au moins localement) le potentiel électrique $V$ (scalaire) tel que :${\vec {E}}=-{\vec {\nabla }}V-{\frac {\partial {\vec {A}}}{\partial t}}.$Le problème important de l'unicité du potentiel électrique est discuté dans Invariance de jauge de la théorie.

### Équation de Maxwell-Ampère
#### L'équation locale de Maxwell

Cette équation est héritée du théorème d'Ampère. Sous forme locale, elle s'écrit en termes du vecteur densité de courant ${\vec {\jmath }}$ :${\vec {\nabla }}\wedge {\vec {B}}=\mu _{0}{\vec {\jmath }}+\mu _{0}\varepsilon _{0}{\frac {\partial {\vec {E}}}{\partial t}}\quad \mathrm {aussi\;not{\acute {e}}e} \quad \operatorname {\overrightarrow {rot}} {\vec {B}}=\mu _{0}{\vec {\jmath }}+\mu _{0}\varepsilon _{0}{\frac {\partial {\vec {E}}}{\partial t}}$

#### Introduction du courant de déplacement

L'équation précédente peut se réécrire ${\vec {\nabla }}\wedge {\vec {B}}=\mu _{0}\left({\vec {\jmath }}+{\vec {\jmath }}_{D}\right),$en introduisant le courant de déplacement de Maxwell ${\vec {\jmath }}_{D}=\varepsilon _{0}{\frac {\partial {\vec {E}}}{\partial t}}.$La forme intégrale lie la circulation du champ magnétique sur un contour $C$ fermé, et les courants qui traversent une surface $S$ s'appuyant sur ce contour. C'est une conséquence directe du théorème de Stokes :$\oint _{C}{\overrightarrow {B}}\cdot {\mathrm {d} {\vec {\ell }}}=\mu _{0}\int _{S}{\vec {\jmath }}\cdot {\mathrm {d} {\vec {S}}}+\varepsilon _{0}\mu _{0}\int _{S}{\frac {\partial {\vec {E}}}{\partial t}}\cdot {\mathrm {d} {\vec {S}}}.$

### Équation de conservation de la charge

Prenons la divergence de l'équation de Maxwell-Ampère :${\vec {\nabla }}\cdot {\vec {\nabla }}\wedge {\vec {B}}=0=\mu _{0}{\vec {\nabla }}\cdot {\vec {\jmath }}+\varepsilon _{0}\mu _{0}{\vec {\nabla }}\cdot \left({\frac {\partial {\vec {E}}}{\partial t}}\right).$Les dérivées spatiales et temporelles étant indépendantes, le théorème de Schwarz assure que l'on peut permuter l'opérateur nabla et la dérivée partielle temporelle. Puis en utilisant l'équation de Maxwell-Gauss, il vient : ${\vec {\nabla }}\cdot \left({\frac {\partial {\vec {E}}}{\partial t}}\right)={\frac {\partial ~}{\partial t}}\left({\vec {\nabla }}\cdot {\vec {E}}\right)={\frac {1}{\varepsilon _{0}}}{\frac {\partial \rho }{\partial t}}.$On obtient finalement l'équation locale de conservation de la charge électrique : ${\vec {\nabla }}\cdot {\vec {j}}+{\frac {\partial \rho }{\partial t}}=0\quad \mathrm {aussi\;not{\acute {e}}e} \quad \operatorname {div} {\vec {j}}+{\frac {\partial \rho }{\partial t}}=0.$La présence du terme de courant de déplacement, introduit par Maxwell, est essentielle à l'obtention de cette équation.

### Caractère ondulatoire des champs électriques

Prenons le rotationnel de l'équation de Maxwell-Faraday, compte tenu de Maxwell-Gauss et de Maxwell-Ampère :
${\vec {\nabla }}\wedge ({\vec {\nabla }}\wedge {\vec {E}})={\vec {\nabla }}\left({\vec {\nabla }}\cdot {\vec {E}}\right)-\operatorname {\Delta } {\vec {E}}={\vec {\nabla }}\wedge \left(-{\frac {\partial {\vec {B}}}{\partial t}}\right)$,
soit, en utilisant le fait que les dérivées spatiales et temporelle sont indépendantes
${\vec {\nabla }}\left({\frac {\rho }{\varepsilon _{0}}}\right)-\operatorname {\Delta } {\vec {E}}=-\mu _{0}\varepsilon _{0}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}{\vec {E}}-\mu _{0}{\frac {\partial {\vec {j}}}{\partial t}}$,
ou, en réorganisant :
$-\operatorname {\Delta } {\vec {E}}+\mu _{0}\varepsilon _{0}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}{\vec {E}}=-{\vec {\nabla }}\left({\frac {\rho }{\varepsilon _{0}}}\right)-\mu _{0}{\frac {\partial {\vec {j}}}{\partial t}}$.
Ceci montre que le champ électrique suit l'équation des ondes.
En prenant le rotationnel de l'équation de Maxwell-Ampère, compte tenu de Maxwell-Thomson et de Maxwell-Faraday, on retrouve le résultat équivalent :
$-\operatorname {\Delta } {\vec {B}}+\mu _{0}\varepsilon _{0}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}{\vec {B}}={\vec {\nabla }}\wedge (\mu _{0}{\vec {\jmath }})$.
Ceci montre que le champ magnétique suit également l'équation des ondes.
La vitesse de propagation de l'onde électro-magnétique $c$ est donnée par :
$c^{2}={\frac {1}{\mu _{0}\varepsilon _{0}}}$.

## Invariance de jauge de la théorie

L'analyse vectorielle montre que la divergence d'un rotationnel est toujours identiquement nulle :
${\vec {\nabla }}\cdot \,{\vec {\nabla }}\wedge {\vec {A}}=0$
L'équation locale de conservation du flux magnétique permet donc de définir au moins localement un potentiel-vecteur ${\vec {A}}$ tel que :
${\vec {B}}={\vec {\nabla }}\wedge {\vec {A}}$
L'analyse vectorielle nous dit également que
${\overrightarrow {\operatorname {rot} }}\,{\overrightarrow {\operatorname {grad} }}={\vec {0}}$
Alors le potentiel-vecteur n'est pas défini de manière unique puisque la transformation suivante, avec $f$ une fonction quelconque
${\vec {A}}\rightarrow {\vec {A}}+{\vec {\nabla }}f$
ne modifie pas la valeur du champ ${\vec {B}}$. Ceci est un exemple de transformation de jauge. Il faut donc imposer des conditions supplémentaires pour définir ${\vec {A}}$ de façon non-ambiguë. On appelle cela des conditions de jauge, par exemple la condition de jauge de Coulomb ou plus généralement la condition de jauge de Lorenz (voir ci-dessous).
On peut remarquer qu'en physique classique, le potentiel-vecteur semble n'être qu'un outil mathématique commode pour analyser les solutions des équations de Maxwell, mais ne semble pas être une grandeur physique directement mesurable. En 1959, dans le cadre de la physique quantique, Yakir Aharonov et David Bohm ont démontré que le potentiel-vecteur avait un effet observable en mécanique quantique : c'est l'effet Aharonov-Bohm.
L'équation de Maxwell-Faraday couplée à l'existence locale d'un potentiel-vecteur ${\vec {A}}$ permettent de définir (au moins localement) le potentiel électrique $V$ (scalaire) tel que :
${\displaystyle {\vec {E}}=-{\vec {\nabla }}V-{\frac {\partial {\vec {A}}}{\partial t}}}$
Le potentiel $V$ lui non plus n'est pas défini de façon unique mais la transformation de jauge associée et liée à celle de ${\vec {A}}$ est la suivante (on rappelle celle de ${\vec {A}}$ par souci de clarté) et l'on a
$\left\{{\begin{matrix}V&\rightarrow &V-\partial _{t}f\\{\vec {A}}&\rightarrow &{\vec {A}}+{\vec {\nabla }}f\end{matrix}}\right.$
Ces deux équations donnent l'invariance de jauge complète des équations de Maxwell.

### Condition de jauge de Lorenz

On pose la condition de jauge de Lorenz (qui couple les deux potentiels) :
${\vec {\nabla }}\cdot {\vec {A}}+\varepsilon _{0}\mu _{0}{\frac {\partial V}{\partial t}}=0$
Prenons l'équation de Maxwell-Ampère, compte tenu de la condition de jauge de Lorenz et de l'expression de ${\vec {E}}$ en fonction des potentiels $V$ et ${\vec {A}}$ :
${\vec {\nabla }}\wedge ({\vec {\nabla }}\wedge {\vec {A}})={\vec {\nabla }}\left({\vec {\nabla }}\cdot {\vec {A}}\right)-\operatorname {\Delta } {\vec {A}}={\vec {\nabla }}\left(-\varepsilon _{0}\mu _{0}{\frac {\partial V}{\partial t}}\right)-\operatorname {\Delta } {\vec {A}}$
$={\vec {\nabla }}\wedge {\vec {B}}=\mu _{0}{\vec {\jmath }}+\mu _{0}\varepsilon _{0}{\frac {\partial {\vec {E}}}{\partial t}}=\mu _{0}{\vec {\jmath }}-\mu _{0}\varepsilon _{0}{\frac {\partial }{\partial t}}\left({\vec {\nabla }}V+{\frac {\partial {\vec {A}}}{\partial t}}\right)$.
On obtient l'équation de propagation du potentiel-vecteur :
${\displaystyle {\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}{\vec {A}}}{\partial t^{2}}}-\operatorname {\Delta } {\vec {A}}=\mu _{0}{\vec {\jmath }}}$
en utilisant $\mu _{0}\varepsilon _{0}c^{2}=1$. Idem pour le potentiel scalaire :
${\vec {\nabla }}\cdot {\vec {E}}={\frac {\rho }{\varepsilon _{0}}}={\vec {\nabla }}\cdot \left(-{\vec {\nabla }}V-{\frac {\partial {\vec {A}}}{\partial t}}\right)={\vec {\nabla }}\cdot (-{\vec {\nabla }}V)-{\frac {\partial }{\partial t}}({\vec {\nabla }}\cdot {\vec {A}})$
soit
${\displaystyle {\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}V}{\partial t^{2}}}-\operatorname {\Delta } V={\frac {\rho }{\varepsilon _{0}}}}$
On remarque que la jauge de Lorenz permet de découpler les équations de propagation des champs $V$ et ${\vec {A}}$ : elles ne dépendent respectivement que des sources $\rho$ et ${\vec {\jmath }}$. C'est pourquoi la jauge de Lorenz est souvent utilisée pour l'étude de phénomènes ondulatoires.

## Solutions des équations du champ électromagnétique
### Résolution à partir des charges ponctuelles

Les expressions des champs électriques et magnétiques peuvent être obtenues en intégrant sur tout l'espace les équations de Liénard-Wiechert ou celles de Heaviside-Feynman.

### Solutions mathématiques des équations de Maxwell dans le vide.

Résolvons les équations de Maxwell dans l'espace éventuellement limité par des conditions qui gardent la linéarité.
Représentons des solutions par des lettres $Q,R,\dots$ (ensembles des 6-vecteurs formés des six composantes du champ en tout point de coordonnées $x,y,z,t$). Comme dans le vide les équations sont linéaires, $\alphaQ+\betaR+\cdots$, où $\alpha ,\beta ,\dots$ sont des constantes réelles, est aussi une solution. En conséquence, l'ensemble des solutions des équations de Maxwell est un espace vectoriel réel.
Conformément à la définition introduite en acoustique, un mode est une direction de cet espace. Un système complet de solutions constitue une base dans cet espace nommé tantôt espace des solutions, tantôt espace des modes. Une solution particulière dans un mode est obtenue en multipliant un champ de ce mode posé comme champ d'amplitude unité, par une constante réelle, l'amplitude.
Avec un système d'unités convenable, l'énergie (à un moment donné) $W(Q)$ d'une solution $Q$ est l'intégrale étendue à tout l'espace, du carré de la norme du vecteur $Q$ par rapport au produit scalaire usuel. Il faut faire attention au fait que l'énergie ne dépend pas linéairement de $Q$. L'énergie de la somme de plusieurs solutions n'est donc pas, a priori, la somme des énergies des différentes solutions prises séparément. Néanmoins, le procédé de Gram-Schmidt permet d'obtenir, à partir d'un système complet de solutions, un système complet de solutions orthogonales, ou encore système complet de modes orthogonaux. Dans de tels systèmes, les énergies sont indépendantes, c'est-à-dire que l'énergie d'une solution est égale à la somme des énergies de ses différentes composantes dans le système.
Planck a posé que l'énergie dans un mode monochromatique de fréquence $\nu$ se propageant dans un corps noir à la température $T$ est $w={\frac {h\nu }{\exp(h\nu /kT)-1}}+K$. La valeur erronée de $K$ donnée par Planck a été corrigée par Nernst en 1916 ; la valeur $K={\frac {h\nu }{2}}$ est facilement retrouvée car la thermodynamique impose que $w$ tende vers $kT$ lorsque $T$ tend vers l'infini. Cette formule définit la température d'un mode. Cependant l'interprétation de cette formule est physiquement délicate car la définition d'une fréquence pure suppose une expérience de durée infinie.

### Introduction des charges électriques

On sait calculer les champs émis par des charges, par exemple le champ émis par un dipôle électrostatique oscillant. Pour se ramener au problème précédent, on utilise l'« astuce de Schwarzschild et Fokker ». Le champ émis par une source est nommé « champ retardé » $Q^{R}$. Dépouillé de la source, ce champ n'est pas solution des équations de Maxwell. Pour obtenir une solution identique dans le futur, il faut lui ajouter un « champ avancé » $Q^{A}$. Par cette définition, $Q^{A}+Q^{R}$ est solution des équations de Maxwell. Ainsi, en substituant le champ avancé à la source, on est ramené au problème linéaire d'un champ dans le vide et on peut définir des modes.

### Solutions générales et causales des équations de Maxwell

Les solutions générales et causales des équations de Maxwell sont données par les équations de Jefimenko.
Les équations de Jefimenko donnent le champ électrique et le champ magnétique dus à une distribution de charges électriques et de courant électrique dans l'espace. Elles prennent en compte le retard dû à la propagation (temps retardé) des champs en raison de la limite finie de la vitesse de la lumière et des effets relativistes. Elles peuvent donc être utilisées pour des charges et des courants en déplacement. Elles sont les solutions générales des équations de Maxwell pour n'importe quelle distribution arbitraire de charges et de courants.
Ces équations sont la généralisation, dépendant du temps (électrodynamique), de la loi de Coulomb et de la loi de Biot-Savart, qui étaient à l'origine vraies uniquement pour les champs en électrostatique et en magnétostatique ainsi que pour les courants continus.
Une des caractéristiques essentielles des équations de Jefimenko se voit dans la partie droite ou apparaît le temps retardé ce qui reflète la causalité de ces équations. En d'autres mots, la partie gauche des équations sont en réalité causées par la partie droite, contrairement aux équations différentielles de Maxwell où les deux côtés ont lieu en même temps.

### Quantification en électrodynamique classique

Un système physique possède, en général, des minimums d'énergie relatifs. En régime non évolutif (stationnaire), le système, excité par un champ électromagnétique de l'ordre de $h/2$ dans chaque mode qu'il est susceptible d'émettre (donc d'absorber), reste au voisinage d'un minimum d'énergie ; pour chaque mode monochromatique, son excitation l'amène à rayonner un champ en quadrature avec le champ incident, ce qui ne produit aucun échange d'énergie permanent, mais introduit un retard, la réfraction. Pour un champ plus intense, en particulier en raison d'une fluctuation favorable du champ, le système peut franchir un col de son diagramme d'énergie et absorber une énergie $h$ cette absorption peut conduire à un niveau peu stable d'où le système peut évoluer rapidement vers d'autres niveaux, en une cascade plus ou moins radiative qui l'amène à un état stationnaire, stable.
Dans une théorie classique, aucun paradoxe ne peut être admis, en particulier le paradoxe d'Einstein, Podolsky et Rosen n'existe pas : supposons qu'un atome perde une énergie de résonance $h$, par exemple par le rayonnement d'un dipôle. Le mode d'émission de ce dipôle n'est pas orthogonal aux modes d'émission (donc d'absorption) d'autres atomes dont l'amplitude peut être accrue ; 0, 1, 2, … atomes peuvent alors absorber $h$, même si, en moyenne, un seul atome est excité ; les champs résiduels jouent le rôle d'un bain thermodynamique.

### Quelques erreurs habituelles

Il a été écrit que l'électron d'un atome d'hydrogène suivant une orbite de Bohr émet un champ, donc rayonne de l'énergie et devrait tomber sur le noyau. L'électron émet bien un champ, mais d'énergie très faible en raison de l'interférence du champ émis avec le champ résiduel ; cette énergie tombe à zéro si l'orbite est légèrement corrigée, de sorte que l'énergie de l'état stationnaire subit le décalage de Lamb.
L'étude de l'amorçage d'un laser semble indiquer que le champ du point zéro induit une émission deux fois plus intense qu'un champ d'intensité plus grande. Pour tenir compte de ce résultat, on peut introduire une « radiation de réaction », ad hoc. La véritable explication est très simple : un atome est excité par un champ dans le mode qu'il peut émettre, dit sphérique ; au démarrage du laser, il existe dans ce mode une amplitude correspondant à $h/2$ ; le laser fonctionne sur un mode d'onde plane dont il faut prendre la composante sphérique pour exciter l'atome, ce qui divise l'énergie par deux.
Il n'existe pas de système électromagnétique isolé ; oublier que le champ minimum est le champ du point zéro conduit à des erreurs lorsqu'on détecte des champs faibles.

## Formulation covariante

NB Cette partie suit les conventions de signe classiques de MTW
Cette partie adopte également la convention de sommation d'Einstein.

### Géométrie de l'espace-temps de Minkowski

L'espace-temps de Minkowski (1908) est une variété différentielle M plate munie d'une métrique lorentzienne.
Soit un système de coordonnées quelconque $x^{\mu }$ autour d'un évènement (point) $P$ de l'espace-temps, et soient $\mathbf {e} _{\mu }(x)$ une base locale de $T_{x}M$, espace tangent à la variété au point $x\in M$. Un vecteur tangent $\mathbf {w} \in T_{x}M$ s'écrit alors comme la combinaison linéaire :
* $\mathbf {w} =w^{\mu }\mathbf {e} _{\mu }$.
Les $w^{\mu }$ sont appelée les composantes contravariantes du vecteur $\mathbf {w}$. Le tenseur métrique $\mathbf {\eta }$ est la forme bilinéaire symétrique :
${\displaystyle \mathbf {\eta } =\eta _{\mu \nu }\mathrm {d} x^{\mu }\otimes \mathrm {d} x^{\nu }}$
Dans une base orthonormée d'un référentiel inertiel, ses composantes covariantes $\eta _{\mu \nu }$ sont :
${\displaystyle \eta _{\mu \nu }=\mathrm {diag} (-,+,+,+)}$
Ses composantes contravariantes $\eta ^{\mu \nu }$ vérifient :
* $\eta _{\mu \alpha }\eta ^{\alpha \nu }=\delta _{\mu }^{\nu }$.
On obtient explicitement :
* $\eta ^{\mu \nu }=\mathrm {diag} (-,+,+,+)$.
On utilisera ci-dessous les conventions usuelles suivantes :
* un indice grec varie de 0 à 3. Il est associé à une grandeur dans l'espace-temps ;
* un indice latin varie de 1 à 3. Il est associé aux composantes spatiales d'une grandeur dans l'espace-temps.
Par exemple, les composantes contravariantes du 4-vecteur position s'écrivent dans un système de coordonnées orthonormales :
* $x^{\mu }=(x^{0},x^{i})=(x^{0},x^{1},x^{2},x^{3})=(ct,x,y,z)$.
Le tenseur métrique définit pour chaque point $x\in M$ de l'espace-temps un pseudo-produit scalaire (pseudo au sens où l'hypothèse de positivité est retirée) dans l'espace $T_{x}M$ euclidien tangent à M au point $x$. Si $\mathbf {u}$ et $\mathbf {v}$ sont deux vecteurs de $T_{x}M$, leur produit scalaire s'écrit :
* $\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} =\mathbf {\eta } (\mathbf {u} ,\mathbf {v} )=\eta _{\mu \nu }u^{\mu }v^{\nu }$.
En particulier, en prenant deux vecteurs de base, on obtient les composantes :
* $\eta _{\mu \nu }=\mathbf {\eta } (\mathbf {e} _{\mu },\mathbf {e} _{\nu })=\mathbf {e} _{\mu }\cdot \mathbf {e} _{\nu }$.
$w^{\mu }$ désignant les composantes contravariantes du vecteur w, on peut définir de même ses composantes covariantes par :
* $w_{\mu }=\mathbf {w} \cdot \mathbf {e} _{\mu }$.
Par exemple, les composantes covariantes du 4-vecteur position s'écrivent dans un système de coordonnées orthonormales :
* $x_{\mu }=(x_{0},x_{i})=(x_{0},x_{1},x_{2},x_{3})=(-ct,x,y,z)$.

### Quadrigradient

On introduit l'opérateur différentiel quadrigradient pour généraliser l'opérateur nabla.
Ses composantes covariantes s'écrivent :
* $\partial _{\mu }={\begin{pmatrix}\partial _{0}\partial _{i}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}{\frac {1}{c}}{\frac {\partial }{\partial t}};{\vec {\nabla }}\end{pmatrix}}$.
Ses composantes contravariantes s'écrivent :
* $\partial ^{\mu }={\begin{pmatrix}\partial ^{0}\partial ^{i}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-{\frac {1}{c}}{\frac {\partial }{\partial t}};{\vec {\nabla }}\end{pmatrix}}$.
L'opérateur invariant d'Alembertien s'écrit par exemple :
* $\Box =\partial ^{\mu }\partial _{\mu }=\partial _{\mu }\partial ^{\mu }=-{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}+{\vec {\nabla }}^{2}$.

### Quadripotentiel

On introduit le quadrivecteur potentiel électromagnétique par ses composantes contravariantes :
* $A^{\mu }=\left(A^{0}~;~A^{i}\right)_{i=1,2,3}={\begin{pmatrix}{\frac {V}{c}}~;~{\overrightarrow {A}}\end{pmatrix}}$
où $V$ est le scalaire potentiel électrique, et ${\overrightarrow {A}}$ le potentiel-vecteur magnétique. Ses composantes covariantes s'écrivent :
* $A_{\mu }={\begin{pmatrix}A_{0}~;~A_{i}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-{\frac {V}{c}}~;~{\overrightarrow {A}}\end{pmatrix}}$.
Les lois de transformation de jauge écrites précédemment sont donc résumées dans cette notation sous la forme
$A^{\mu }\rightarrow A^{\mu }+\partial ^{\mu }f$
La condition de jauge de Lorenz s'écrit par exemple de façon covariante :
* $\partial _{\mu }A^{\mu }={\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial V}{\partial t}}+{\vec {\nabla }}\cdot {\overrightarrow {A}}=0$.

### Quadricourant

On introduit le quadricourant électromagnétique par ses composantes contravariantes :
* $j^{\mu }={\begin{pmatrix}j^{0}j^{i}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\rho c,{\vec {\jmath }}\end{pmatrix}}$
où $\rho$ est le scalaire densité électrique de charge, et ${\vec {\jmath }}$ le vecteur densité de courant. Ses composantes covariantes s'écrivent :
* $j_{\mu }={\begin{pmatrix}j_{0}j_{i}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-\rho c,{\vec {\jmath }}\end{pmatrix}}$.

### Tenseur de Maxwell

Le tenseur électromagnétique est le tenseur antisymétrique de rang deux défini à partir du quadripotentiel par :
* $F_{\alpha \beta }=\partial _{\alpha }A_{\beta }-\partial _{\beta }A_{\alpha }=-F_{\beta \alpha }$.
Ses composantes covariantes s'écrivent explicitement :
* $F_{\alpha \beta }={\begin{pmatrix}0&\displaystyle -{\frac {E_{x}}{c}}&\displaystyle -{\frac {E_{y}}{c}}&\displaystyle -{\frac {E_{z}}{c}}\\\displaystyle {\frac {E_{x}}{c}}&0&B_{z}&-B_{y}\\\displaystyle {\frac {E_{y}}{c}}&-B_{z}&0&B_{x}\\\displaystyle {\frac {E_{z}}{c}}&B_{y}&-B_{x}&0\\\end{pmatrix}}$.
On obtient ses composantes contravariantes en écrivant :
* $F^{\alpha \beta }=\eta ^{\alpha \mu }\eta ^{\beta \nu }F_{\mu \nu }$.
La métrique étant diagonale dans un référentiel inertiel, on obtient alors les formules suivantes, sans sommation sur les indices répétés :
* $F^{00}=\eta ^{00}\eta ^{00}F_{00}=+F_{00}=0$
* $F^{0i}=\eta ^{00}\eta ^{ii}F_{0i}=-F_{0i}$
* $F^{ij}=\eta ^{ii}\eta ^{jj}F_{ij}=+F_{ij}$
soit explicitement :
* $F^{\alpha \beta }=\eta ^{\alpha \mu }\eta ^{\beta \nu }F_{\mu \nu }={\begin{pmatrix}0&\displaystyle {\frac {E_{x}}{c}}&\displaystyle {\frac {E_{y}}{c}}&\displaystyle {\frac {E_{z}}{c}}\\\displaystyle -{\frac {E_{x}}{c}}&0&B_{z}&-B_{y}\\\displaystyle -{\frac {E_{y}}{c}}&-B_{z}&0&B_{x}\\\displaystyle -{\frac {E_{z}}{c}}&B_{y}&-B_{x}&0\\\end{pmatrix}}$.

### Équations de Maxwell sous forme covariante

Les équations de Maxwell se mettent sous forme relativiste covariante.
* Les deux équations de Maxwell sans termes de sources s'écrivent :
${\displaystyle \partial _{\alpha }F_{\beta \gamma }+\partial _{\beta }F_{\gamma \alpha }+\partial _{\gamma }F_{\alpha \beta }=0}$
* Les deux équations de Maxwell avec termes de sources s'écrivent :
${\displaystyle \partial _{\alpha }F^{\alpha \beta }=-\mu _{0}j^{\beta }}$
Puisque le tenseur de Maxwell est antisymétrique, cette dernière relation entraîne en particulier que le quadricourant est conservé :
* $\partial _{\beta }\left(\partial _{\alpha }F^{\alpha \beta }\right)=0=-\mu _{0}\partial _{\beta }j^{\beta }\quad \Longrightarrow \quad \partial _{\beta }j^{\beta }=0$.

### Équation de propagation pour le quadripotentiel en jauge de Lorenz

En écrivant explicitement le tenseur de Maxwell en termes du quadripotentiel dans l'équation covariante avec terme de sources, on obtient pour le membre de gauche :
* $\partial _{\alpha }F^{\alpha \beta }=\partial _{\alpha }\left(\partial ^{\alpha }A^{\beta }-\partial ^{\beta }A^{\alpha }\right)=\Box A^{\beta }-\partial ^{\beta }\left(\partial _{\alpha }A^{\alpha }\right)$.
Dans la jauge de Lorenz $\partial _{\alpha }A^{\alpha }=0$, le second terme disparaît, et l'équation de Maxwell avec terme de sources se réduit à une équation de propagation pour le quadripotentiel :
${\displaystyle \Box A^{\mu }(x)=-\mu _{0}j^{\mu }(x)}$
La solution de cette équation s'écrit de façon simple si l'on connaît une fonction de Green de l'équation de propagation, c'est-à-dire une fonction G(x) solution de l'équation aux dérivées partielles :
* $\Box G(x)=\delta (x)$
où $\delta (x)$ est la distribution de Dirac. On obtient alors le quadripotentiel sous la forme d'un produit de convolution :
${\displaystyle A^{\mu }(x)=-\mu _{0}\left(G\star j^{\mu }\right)(x)=-\mu _{0}\int G(x-y)j^{\mu }(y)\mathrm {d} y}$

### Exemple : les potentiels retardés

En électrodynamique classique, on utilise le plus souvent la fonction de Green retardée qui satisfait à l'hypothèse de causalité :
* $G(x)=G({\vec {x}},t)=0\quad {\mbox{ lorsque }}t<0$.