# Théorème de Kutta-Jukowski

Le théorème de Kutta-Jukowski, théorème fondamental d'aérodynamique, est le fruit de la recherche au début du XXe siècle de deux aérodynamiciens, Martin Wilhelm Kutta, allemand, et Nikolaï Joukovski, russe. En introduisant la notion de circulation, il permet d'échapper au paradoxe de D'Alembert selon lequel est nulle la force s'exerçant sur un corps quelconque en mouvement à vitesse constante sur une trajectoire rectiligne dans l'écoulement incompressible d'un fluide parfait.
Il concerne la portance d'un corps cylindrique et s'applique principalement aux profils d'aile dans lesquels la circulation est déterminée par la condition de Kutta. Il intervient également dans l'effet Magnus où la circulation est créée par la rotation d'un cylindre à section circulaire (rotors Flettner).

## Expression du théorème

Le théorème est généralement utilisé pour calculer la portance $L$ par unité d'envergure d'un cylindre d'envergure supposée infinie. La formule fait intervenir la vitesse relative du fluide $V$, la masse volumique du fluide $\rho$ et la circulation $\Gamma$ :
    $L=\rho V\Gamma .~$
La circulation se calcule comme l'intégrale curviligne de la vitesse du fluide le long d'une courbe fermée entourant la section :
    $\Gamma =\oint _{C}\mathbf {V} \cdot \mathrm {d} \mathbf {l} .$
Elle peut s'interpréter comme l'effet d'un tourbillon d'axe situé dans la section.

## Argument heuristique

Ce résultat se démontre rigoureusement mais il peut être approché par le raisonnement simplifié qui suit. Si l'incidence de l'écoulement par rapport au profil d'aile de corde $c$ est telle que la vitesse soit $V$ sur l'intrados et $V+\Delta V$ sur l'extrados, la circulation peut se calculer comme
    $\Gamma =(V+\Delta V)c-Vc=\Delta Vc.~$
La différence de pression $\Delta p$ entre les deux côtés se déduit du théorème de Bernoulli :
    ${\frac {1}{2}}\rho V^{2}+p+\Delta p={\frac {1}{2}}\rho (V+\Delta V)^{2}+p.$
En négligeant le second ordre,
    $\Delta p=\rho V\Delta V,~$
ce qui conduit à la formule annoncée.

## Démonstration formelle

On calcule tout d'abord la force linéique ${\vec {F}}$ (par unité de longueur). Par abus de langage, dans ce qui suit, on parlera simplement de force.
La force totale le long du bord du cylindre C de direction ${\vec {k}}$ est :
    ${\vec {F}}=-\oint _{C}p{\vec {n}}\,ds,$
où p est la pression e, s est l'abscisse curviligne le long du bord du cylindre, ${\vec {n}}\,$ est le vecteur unité normal au cylindre. Soit $\phi$ l'angle entre la normale ${\vec {n}}$ et la verticale ${\vec {j}}$. On définit donc :
    ${\vec {n}}=-\sin \phi {\vec {i}}+\cos \phi {\vec {j}}$
Le vecteur tangent au contour C est
    ${\vec {t}}=\cos \phi {\vec {i}}+\sin \phi {\vec {j}}$
Les composants de la force suivant x et y deviennent :
    $F_{x}=-\oint _{C}p\sin \phi \,ds\quad ,\qquad F_{y}=\oint _{C}p\cos \phi \,ds.$
Maintenant entre en compte l'astuce principale. Le plan $\mathbb {R} ^{2}$ est isomorphe au plan complexe $\mathbb {C}$. On peut donc remplacer le vecteur ${\vec {F}}$ par le nombre complexe $F=F_{x}+iF_{y}$. De même tout vecteur est remplacé par un nombre complexe. La force complexe devient donc :
    $F=F_{x}+iF_{y}=-\oint _{C}(-)p(-\sin \phi +i\cos \phi )\,ds.$
L'étape suivante consiste à considérer le complexe conjugué et effectuer quelques manipulations.
    ${\bar {F}}=-\oint _{C}p(\sin \phi +i\cos \phi )\,ds=-i\oint _{C}p(\cos \phi -i\sin \phi )\,ds=-i\oint _{C}pe^{-i\phi }\,ds.$
On exprime maintenant $ds{\vec {t}}=d{\vec {z}}=dx{\vec {i}}+dy{\vec {j}}$.
Dans le plan complexe, on a donc :
    $ds\ t=dz$
On a $t=e^{i\phi }$
Donc,
    $ds=e^{-i\phi }\ dz$.
Donc,
    $dz=e^{i\phi }\ ds$
Donc,
    $d{\bar {z}}=e^{-i\phi }ds$
Donc,
    $ds=e^{i\phi }d{\bar {z}}$.
On substitue et donc :
    ${\bar {F}}=-i\oint _{C}pe^{-i\phi }e^{i\phi }\,d{\bar {z}}=-i\oint _{C}p\,d{\bar {z}}.$
Finalement,
    $F=i\oint _{C}p\,dz$
On utilise le théorème de Bernoulli où $p_{\infty }$ est la pression à l'infini et $v\in \mathbb {C}$ est la vitesse :
    $p=p_{\infty }-{\frac {\rho |v|^{2}}{2}}.$
On remarque que $\oint _{C}dz=0$
Donc,
    $F=i\oint _{C}\left(p_{\infty }-{1 \over 2}\rho |v|^{2}\right)\,dz=0-{i \over 2}\rho \oint _{C}|v|^{2}dz$
Donc,
    ${\bar {F}}={i \over 2}\rho \oint _{C}|v|^{2}d{\bar {z}}$
On a : $dz=t\ ds$
Donc, $d{\bar {z}}={\bar {t}}\ ds={1 \over t}ds={1 \over t}{dz \over t}={1 \over t^{2}}dz$
On substitue dans ${\bar {F}}$ et donc :
    ${\bar {F}}={i \over 2}\rho \oint _{C}|v|^{2}{1 \over t^{2}}dz$
On définit : $w={\bar {v}}={|v| \over t}={|w| \over t}$
Donc, $|w|=wt$. On substitue.
    ${\bar {F}}={i \over 2}\rho \oint _{C}w^{2}t^{2}{1 \over t^{2}}dz$
Et donc,
    ${\bar {F}}={i \over 2}\rho \oint _{C}w^{2}dz$
Le fluide est incompressible (subsonique) et donc :
    ${\vec {\nabla }}{\vec {v}}=0$
Donc,
    ${\partial v_{x} \over \partial x}+{\partial v_{y} \over \partial y}=0$
Et donc en remplaçant v par w,
    ${\partial w_{x} \over \partial x}-{\partial w_{y} \over \partial y}=0$
Et donc, la fonction $z\to w(z)$ est holomorphe.
On peut donc représenter cette fonction par sa série de Laurent sous la forme :
    $w(z)=\sum _{n\in \mathbb {Z} }a_{n}{1 \over z^{n}}$
On note que le champ w est fini et donc $\forall n<0\quad a_{n}=0$
On a donc :
    $w(z)=\sum _{n\in \mathbb {N} }a_{n}{1 \over z^{n}}$
On calcule a$_1$ en utilisant le théorème des résidus.
    $a_{1}={\frac {1}{2\pi i}}\oint _{C}w\,dz.$
On a :
    $\oint _{C}w(z)\,dz=\oint _{C}(v_{x}-iv_{y})(dx+idy)=\oint _{C}(v_{x}\,dx+v_{y}\,dy)+i\oint _{C}(v_{x}\,dy-v_{y}\,dx)=\oint _{C}{\vec {v}}\cdot {\vec {t}}ds+i\oint _{C}(v_{x}\,dy-v_{y}\,dx).$
La première intégrale est la circulation $\Gamma$. Il ne reste plus qu'à montrer que la seconde intégrale est nulle. La fonction v est la dérivée d'un potentiel complexe $\psi$.
En effet, le vecteur vitesse ${\vec {v}}$ est orthogonal au vecteur normal ${\vec {n}}$ qui est parallèle à $(dy,-dx)$ et donc la seconde intégrale est nulle. Donc,
    $a_{1}={\Gamma \over 2i\pi }$
On a
    $w^{2}=a_{0}^{2}+2a_{0}a_{1}{1 \over z}+\ldots$
On utilise à nouveau le théorème des résidus.
    $2a_{0}a_{1}={1 \over 2i\pi }\oint _{C}w^{2}dz$
Donc,
    $\oint _{C}w^{2}dz=4i\pi a_{0}a_{1}$
Donc, ${\bar {F}}={i \over 2}\rho 4i\pi a_{0}a_{1}$
On a : $a_{0}=w_{\infty }$
Donc, ${\bar {F}}=\rho 2i^{2}\pi w_{\infty }{\Gamma \over 2i\pi }$
Donc, ${\bar {F}}=i\rho w_{\infty }\Gamma$
Et finalement : $F=-i\rho v_{\infty }\Gamma$
La formule de Kutta–Jukowski est la suivante :
    $F_{x}=\rho \Gamma v_{y\infty }\quad ,\qquad F_{y}=-\rho \Gamma v_{x\infty }.$

## Condition de Kutta

Cette condition, parfois appelée condition de Joukowski, détermine la circulation autour d'un profil d'aile et permet donc d'en déduire sa portance.
Quand un corps symétrique à forme lisse, comme un cylindre à section ovale, se déplace dans un fluide avec une incidence positive il y a deux points d'arrêt sur une section du corps, près du bord d'attaque sur l'intrados et du bord de fuite sur l'extrados. La circulation est nulle et il n'y a pas de portance.
Si un profil avec un bord de fuite aigu démarre avec une incidence positive, les deux points d'arrêt se trouvent au début dans les mêmes positions que précédemment. Quand l'air qui passe sous l'intrados atteint le bord de fuite il doit contourner celui-ci pour aller vers le point d'arrêt supérieur. À cause du rayon de courbure nul, la vitesse devrait être localement infinie. À défaut de vitesse infinie, il y a une vitesse importante qui crée sur l'extrados, près du bord de fuite, un tourbillon appelé tourbillon initiateur (starting vortex en anglais).
La circulation de ce tourbillon est équilibrée par celle du tourbillon attaché au profil. Lorsque la première croît, la seconde croît dans les mêmes proportions, ce qui déplace le tourbillon initiateur vers le bord de fuite où il quitte le profil avant d'être dissipé par viscosité. À ce stade, le positionnement du point d'arrêt au bord de fuite, qui constitue la condition de Kutta, a stabilisé l'écoulement.
La circulation restante autour du profil se traduit alors par des vitesses plus élevées (donc des pressions plus faibles selon le théorème de Bernoulli) sur l'extrados que sur l'intrados, donc par une portance calculable par le théorème de Kutta-Jukowski.
Cette portance est intimement liée au caractère anguleux du bord de fuite qui présente par ailleurs des inconvénients en termes de fabrication et de résistance.
Le schéma ci-après illustre, dans le cas d'un profil Joukowski, la création de la circulation, donc de la portance.