# Constante de Catalan

En mathématiques, la constante de Catalan, portant le nom du mathématicien Eugène Charles Catalan, est le nombre défini par : $K=\beta (2)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n+1)^{2}}}\approx 0{,}915~965~594$ où $\beta$ est la fonction bêta de Dirichlet.
Ses décimales sont répertoriées par la suite A006752 de l'OEIS.
On ne sait pas si la constante $K$ est rationnelle ou irrationnelle.

## Autres expressions

La constante $K$ de Catalan est aussi égale à :

### Expressions intégrales

* $I_{1}=\int _{0}^{1}{\arctan u \over u}\,\mathrm {d} u=\mathrm {Ti} _{2}(1)$, où Ti$_2$ désigne la fonction arc tangente intégral
* $I_{2}={1 \over 2}\int _{0}^{\pi /2}{\frac {u}{\sin u}}\mathrm {d} u$
* $I_{3}=-\int _{0}^{1}{\ln u \over 1+u^{2}}\,\mathrm {d} u=\int _{1}^{+\infty }{\ln u \over 1+u^{2}}\,\mathrm {d} u$
* $I_{4}=-\int _{0}^{\pi /4}{\ln(\tan u)\,\mathrm {d} u}=\int _{0}^{\pi /4}{\ln(\cot u)\,\mathrm {d} u}{\overset {u\leftrightarrow 2u}{=}}{\frac {1}{4}}\int _{0}^{\pi /2}\ln \left({\frac {1+\cos u}{1-\cos u}}\right)\,\mathrm {d} u$
* $I_{5}=\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}{\frac {\mathrm {d} x\mathrm {d} y}{1+x^{2}y^{2}}}$
* $I_{6}=\int _{0}^{1/{\sqrt {2}}}{\arcsin u \over {u(1-u^{2})}}\mathrm {d} u$
* $I_{7}=\int _{0}^{\ln(1+{\sqrt {2}})}\arccos {(\operatorname {sh} u)}\,\mathrm {d} u{\overset {\operatorname {sh} u\leftrightarrow u}{=}}\int _{0}^{1}{\frac {\arccos u}{\sqrt {1+u^{2}}}}\,\mathrm {d} u$
* $I_{8}=\int _{0}^{\pi /2}\operatorname {argsh} {(\sin u)}\,\mathrm {d} u{\overset {\sin u\leftrightarrow u}{=}}\int _{0}^{1}{\frac {\operatorname {argsh} u}{\sqrt {1-u^{2}}}}\,\mathrm {d} u$
* $I_{9}={1 \over 2}\int _{0}^{\pi /2}\operatorname {argth} {(\sin u)}\,\mathrm {d} u{\overset {\sin u\leftrightarrow u}{=}}{1 \over 2}\int _{0}^{1}{\frac {\operatorname {argth} u}{\sqrt {1-u^{2}}}}\,\mathrm {d} u$
* $I_{10}=\int _{0}^{+\infty }\arctan(e^{-u})\,\mathrm {d} u$
* $I_{11}={\frac {1}{2}}\int _{0}^{+\infty }{\frac {u}{\operatorname {ch} u}}\,\mathrm {d} u$
* $I_{12}={1 \over 2}\int _{0}^{1}F(k)\,\mathrm {d} k\quad$ où $\quad F(k)=\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}{\frac {\,\mathrm {d} \varphi }{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\varphi }}}$ est l'intégrale elliptique complète de première espèce
* $I_{13}=-{1 \over 2}+\int _{0}^{1}E(k)\,\mathrm {d} k\quad$ où $\quad E(k)=\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\varphi }}\,\mathrm {d} \varphi$ est l'intégrale elliptique complète de deuxième espèce
* $I_{14}={1 \over 4}\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}{\frac {\mathrm {d} x\mathrm {d} y}{(x+y){\sqrt {(1-x)(1-y)}}}}$
* $I_{15}=\int _{1/{\sqrt {2}}}^{1}{\frac {\operatorname {argth} u}{u{\sqrt {2u^{2}-1}}}}\,\mathrm {d} u{\overset {u\leftrightarrow \cos u}{=}}\int _{0}^{\pi /4}{\frac {\tan u\operatorname {argth} (\cos u)}{\sqrt {\cos 2u}}}\,\mathrm {d} u$
* $I_{16}=\int _{0}^{1/{\sqrt {2}}}{\frac {\operatorname {argth} u}{{(1-u^{2})}{\sqrt {1-2u^{2}}}}}\,\mathrm {d} u{\overset {u\leftrightarrow \sin u}{=}}\int _{0}^{\pi /4}{\frac {\operatorname {argth} (\sin u)}{\cos u{\sqrt {\cos 2u}}}}\,\mathrm {d} u$
On passe de $I_{1}$ à $K$ en développant $\arctan$ en série entière ;
on passe de $I_{1}$à $I_{2}$ en posant $u=\tan {v \over 2}$;
on passe de $I_{1}$ à $I_{3}$ en intégrant par parties (dériver $\arctan$ et intégrer $u\mapsto 1/u$) et le passage entre les deux expressions se fait en changeant $u$ en $1/u$ ;
on passe de $I_{3}$ à $I_{4}$ en posant $u=\tan v$;
on passe de $I_{5}$ à $I_{1}$ en posant $x={u \over y}$;
on passe de $I_{6}$ à $I_{2}$ en posant $u=\sin {v \over 2}$;
on passe de $I_{7}$ à $I_{8}$ en intégrant par parties ;
démonstration de $I_{8}=I_{1}$ :
$\operatorname {argsh} x=\int _{0}^{x}{\frac {\mathrm {d} u}{\sqrt {1+u^{2}}}}\,{\overset {u=tx}{=}}\int _{0}^{1}{\frac {x\,\mathrm {d} t}{\sqrt {1+t^{2}x^{2}}}}\,$ donc $I_{8}=\int _{0}^{\pi /2}\int _{0}^{1}{\frac {\sin u}{\sqrt {1+t^{2}\sin ^{2}u}}}\,\mathrm {d} t\,\mathrm {d} u=\int _{0}^{1}\int _{0}^{\pi /2}{\frac {\sin u\,\mathrm {d} u}{\sqrt {1+t^{2}\sin ^{2}u}}}\,\mathrm {d} t$
or $\int _{0}^{\pi /2}{\frac {\sin u}{\sqrt {1+t^{2}\sin ^{2}u}}}\,\mathrm {d} u{\overset {v=\cos u}{=}}\int _{0}^{1}{\frac {\mathrm {d} v}{\sqrt {1+t^{2}-t^{2}v^{2}}}}={1 \over t}\arcsin {t \over {\sqrt {1+t^{2}}}}={\arctan {t} \over t}$ donc $I_{8}=I_{1}$ ;
variante : posons $f(x)=\int _{0}^{\pi /2}\operatorname {argsh} {(x\sin u)}\,\mathrm {d} u$ ; alors $f'(x)=\int _{0}^{\pi /2}{\frac {\sin u}{\sqrt {1+x^{2}\sin ^{2}u}}}\,\mathrm {d} u={\arctan x \over x}$ comme ci-dessus, donc $I_{8}=f(1)=\int _{0}^{1}f'(x)dx=\int _{0}^{1}{\frac {\arctan(x)}{x}}\mathrm {d} x=I_{1}$;
démonstration de $I_{4}$ = $I_{9}$
$\int _{0}^{\pi /4}{\ln(\cot(u))\,\mathrm {d} u}={1 \over 2}\int _{0}^{\pi /2}{\ln(\cot(2u))\,\mathrm {d} u}={1 \over 2}\int _{0}^{\pi /2}{\ln {\sqrt {{1+\cos u} \over {1-\cos u}}}\,\mathrm {d} u}={1 \over 2}\int _{0}^{\pi /2}{\operatorname {argth} \cos u\,\mathrm {d} u}={1 \over 2}\int _{0}^{\pi /2}{\operatorname {argth} \sin u\,\mathrm {d} u}$
on passe de $I_{10}$ à $I_{2}$ en posant $e^{-u}=\tan {v \over 2}$;
on passe de $I_{11}$ à $I_{3}$ en posant $u=\ln v$;
on passe de $I_{12}$ et $I_{13}$ à $I_{2}$ en intervertissant les signes d'intégration;
passage de $I_{14}$ à $I_{15}$ :
$\int _{0}^{1}{\frac {\mathrm {d} x}{(x+y){\sqrt {(1-x)(1-y)}}}}=\left[{\frac {-2\operatorname {argth} {\sqrt {1-x \over {1+y}}}}{\sqrt {1-y^{2}}}}\right]_{0}^{1}={\frac {2\operatorname {argth} {\sqrt {1 \over {1+y}}}}{\sqrt {1-y^{2}}}}$
donc $I_{14}={1 \over 4}\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}{\frac {\mathrm {d} x\mathrm {d} y}{(x+y){\sqrt {(1-x)(1-y)}}}}=\int _{0}^{1}{\frac {\operatorname {argth} {\sqrt {1 \over {1+y}}}}{2{\sqrt {1-y^{2}}}}}\mathrm {d} y{\overset {u=1/{\sqrt {1+y}}}{=}}\int _{1/{\sqrt {2}}}^{1}{\frac {\operatorname {argth} u}{u{\sqrt {2u^{2}-1}}}}\,\mathrm {d} u=I_{15}$
pour $I_{14}$ et $I_{16}$, voir la référence Bradley ci-dessous, pages 23 et 11.

### Développements en série

Cette constante peut aussi être définie par la fonction de Clausen : $K=\operatorname {Cl} _{2}\left({\frac {\pi }{2}}\right)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\sin(n{\frac {\pi }{2}})}{n^{2}}}$, ce qui nous donne les formules suivantes :
* $K=-\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\ln {\biggl2\sin {u \over 2}{\biggr )}\,\mathrm {d} u$,
* $K={\frac {\pi }{2}}\left(1-\ln \left({\frac {\pi }{2}}\right)+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\zeta (2n)}{n(2n+1)}}\left({\frac {1}{4}}\right)^{2n}\right)$,
* $K={\frac {\pi }{2}}\left(3-\ln \left({\frac {15\pi }{32}}\right)-4\ln \left({\frac {5}{3}}\right)+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\zeta (2n)-1}{n(2n+1)}}\left({\frac {1}{4}}\right)^{2n}\right)$.
Puisque $K$ est l'image de 2 par la fonction bêta, nous avons un lien avec le polylogarithme : $\operatorname {Li} _{2}(\mathrm {i} )=-{\frac {\pi ^{2}}{48}}+\mathrm {i} K$, d'où : $K=\Im (\operatorname {Li} _{2}(\mathrm {i} ))$.

## Utilisation

K apparaît en combinatoire, ainsi que dans les valeurs de la fonction polygamma de deuxième ordre, aussi appelée la fonction trigamma : $\psi _{1}\left({\frac {1}{4}}\right)=\pi ^{2}+8K$, $\psi _{1}\left({\frac {3}{4}}\right)=\pi ^{2}-8K$.
Simon Plouffe donne une famille infinie d'identités entre la fonction trigamma, $\pi ^{2}$ et la constante de Catalan.
K apparaît aussi dans la loi sécante hyperbolique.

## Séries convergeant rapidement

Les deux formules suivantes convergent rapidement vers K et sont donc appropriées pour le calcul numérique :
| $K=\,$ | $3\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{2^{4n}}}\left(-{\frac {1}{2(8n+2)^{2}}}+{\frac {1}{2^{2}(8n+3)^{2}}}-{\frac {1}{2^{3}(8n+5)^{2}}}+{\frac {1}{2^{3}(8n+6)^{2}}}-{\frac {1}{2^{4}(8n+7)^{2}}}+{\frac {1}{2(8n+1)^{2}}}\right)-$ |
| | $2\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{2^{12n}}}\left({\frac {1}{2^{4}(8n+2)^{2}}}+{\frac {1}{2^{6}(8n+3)^{2}}}-{\frac {1}{2^{9}(8n+5)^{2}}}-{\frac {1}{2^{10}(8n+6)^{2}}}-{\frac {1}{2^{12}(8n+7)^{2}}}+{\frac {1}{2^{3}(8n+1)^{2}}}\right)$ |
et $K={\frac {\pi }{8}}\ln \left({\sqrt {3}}+2\right)+{\frac {3}{8}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(n!)^{2}}{(2n)!(2n+1)^{2}}}$.
Les calculs théoriques pour cette série ont été donnés par Broadhurst.

## Décimales connues

Le nombre de chiffres connus de la constante de Catalan a augmenté radicalement pendant les dernières décennies. Ceci est dû à l'augmentation des performances des ordinateurs et aux améliorations algorithmiques.
Nombres de chiffres connus de la constante de Catalan :
| Date | Décimales | Calculé par |
| 2009 | 31 026 000 000 | R. Shan et A. J. Yee |
| Octobre 2006 | 5 000 000 000 | Shigeru Kondo |
| 2002 | 201 000 000 | Xavier Gourdon et Pascal Sebah |
| 2001 | 100 000 500 | Xavier Gourdon et Pascal Sebah |
| 4 janvier 1998 | 12 500 000 | Xavier Gourdon |
| 1997 | 3 379 957 | Patrick Demichel |
| 1996 | 1 500 000 | Thomas Papanikolaou |
| 29 septembre 1996 | 300 000 | Thomas Papanikolaou |
| 14 août 1996 | 100 000 | Greg J. Fee et Simon Plouffe |
| 1996 | 50 000 | Greg J. Fee |
| 1990 | 20 000 | Greg J. Fee |
| 1913 | 32 | James W. L. Glaisher |
| 1877 | 20 | James W. L. Glaisher |