# Locality sensitive hashing

Locality sensitive hashing (LSH) est une méthode de recherche approximative dans des espaces de grande dimension. C'est une solution au problème de la malédiction de la dimension qui apparait lors d'une recherche des plus proches voisins en grande dimension. L'idée principale est d'utiliser une famille de fonction de hachage choisies telles que des points proches dans l'espace d'origine aient une forte probabilité d'avoir la même valeur de hachage. La méthode a de nombreuses applications en vision artificielle, traitement automatique de la langue, bio-informatique…

## Définition

Une famille LSH ${\mathcal {F}}$ est définie pour un espace métrique ${\mathcal {M}}=(M,d)$, un seuil $R>0$ et un facteur d'approximation $c>1$ et deux valeurs de probabilité $P_{1}$ et $P_{2}$$^,$. En pratique, on a souvent ${\mathcal {M}}=\mathbb {R} ^{d}$.
${\mathcal {F}}$ est une famille de fonctions $h:M\to S$ satisfaisant les conditions suivantes pour deux points quelconques $p,q\in M$, et une fonction $h$ choisie aléatoirement parmi la famille ${\mathcal {F}}$ :
* si $d(p,q)\leq R$, alors $Pr_{h\in H}[h(p)=h(q)]\geq P_{1}$
* si $d(p,q)\geq cR$, alors $Pr_{h\in H}[h(p)=h(q)]\leq P_{2}$
Par construction, les fonctions de hachage doivent permettre aux points proches d'entrer fréquemment en collision (i.e. $h(p)=h(q)$). Inversement, les points éloignés ne doivent entrer que rarement en collision. Pour que la famille LSH soit intéressante, il faut donc $P_{2}<P_{1}$. La famille ${\mathcal {F}}$ est alors appelée $(R,cR,P_{1},P_{2})$-sensitive. La famille est d'autant plus intéressante si $P_{1}$ est très supérieure à $P_{2}$.
Une définition alternative s'appuie sur un univers $U$ possédant une fonction de similarité $\phi :U\times U\to [0,1]$. Une famille LSH est alors un ensemble de fonctions de hachage $H$ et une distribution de probabilité $D$ sur les fonctions, telle qu'une fonction $h\in H$ choisie selon $D$ satisfait la propriété $Pr_{h\in H}[h(a)=h(b)]=\phi (a,b)$ pour tout $a,b\in U$.

## Applications

LSH a été appliqué dans plusieurs domaines, en particulier pour la recherche d'image par le contenu, la comparaison de sequence d'ADN, la recherche par similarité de documents audios.

## Méthodes
### Échantillonnage par bit pour la distance de Hamming

L'échantillonnage de bit$^,$ est une méthode simple permettant de construire une famille LSH. Cette approche est adaptée à la distance de Hamming dans un espace binaire de dimension $d$ , i.e. quand un point de l'espace appartient à $\{0,1\}^{d}$. La famille ${\mathcal {F}}$ de fonctions de hachage est alors l'ensemble des projections sur une des $d$ coordonnées, i.e., ${\mathcal {F}}=\{h:\{0,1\}^{d}\to \{0,1\}\mid h(x)=x_{i},i=1...d\}$, où $x_{i}$ est la ie coordonnée de $x$. Une fonction aléatoire $h$ de ${\mathcal {F}}$ ne fait donc que sélectionner un bit au hasard dans le vecteur $x$ d'origine.
Cette famille possède les paramètres suivants :
* $P_{1}=1-R/d$
* $P_{2}=1-cR/d$.

## L'algorithme LSH pour la recherche de plus proches voisins

L'application principale de LSH est de fournir un algorithme efficace de recherche des plus proches voisins.
L'algorithme donne une méthode de construction d'une famille LSH ${\mathcal {G}}$ utilisable, c'est-à-dire telle que $P_{1}\gg P_{2}$, et ceci à partir d'une famille LSH ${\mathcal {F}}$ de départ. L'algorithme a deux paramètres principaux : le paramètre de largeur $k$ et le nombre de tables de hachage $L$.

### Pré-traitement

En pré-traitement, l'algorithme définit donc une nouvelle famille ${\mathcal {G}}$ de fonctions de hachage $g$, où chaque fonction $g$ est obtenue par concaténation de $k$ fonctions $h_{1},...,h_{k}$ de ${\mathcal {F}}$, i.e., $g(p)=[h_{1}(p),...,h_{k}(p)]$. En d'autres termes, une fonction de hachage aléatoire $g$ est obtenue par concaténation de $k$ fonctions de hachage choisies aléatoirement dans ${\mathcal {H}}$.
L'algorithme construit ensuite $L$ tables de hachage, correspondant chacune à une fonction de hachage $g$. La je table de hachage contient alors les points de ${\mathcal {M}}$ hachés par la fonction $g_{j}$. Seules les positions non-vides des tables de hachage sont conservées, en utilisant un hachage standard des valeurs de $g_{j}(p)$. Les tables de hachage résultats n'ont alors que $n$ entrées (non-vides), réduisant l'espace mémoire par table à $O(n)$ et donc $O(nL)$ pour la structure de donnée totale.

### Recherche d'un point requête $q$

Pour un point requête $q$, l'algorithme itère sur les $L$ fonctions de hachage $g$. Pour chaque $g$ considérée, on trouve les points hachés à la même position que le point requête $q$ dans la table correspondante. Le processus s'arrête dès qu'un point r est trouvé tel que $d(r,q)\leq cR$.
Étant donné les paramètres $k$ et $L$, l'algorithme a les garanties de performance suivantes :
* temps de pré-traitement : $O(nLkt)$, où $t$ est le temps d'évaluation d'une fonction $h\in F$ d'un point $p$;
* mémoire : $O(nL)$
* temps de requête : $O(L(kt+dnP_{2}^{k}))$;
* l'algorithme a une probabilité de trouver un point à une distance $cR$ de la requête $q$ (si un tel point existe) avec une probabilité $\Omega (\min\{1,LP_{1}^{k}\})$.