# Cercles de Malfatti

En géométrie, les cercles de Malfatti sont une configuration de trois cercles tracés à l'intérieur d'un triangle, de sorte que chaque cercle soit tangent aux deux autres et à deux côtés du triangle. Elle porte le nom de Gian Francesco Malfatti, qui a posé en 1803 un problème différent : déterminer la disposition de trois disques disjoints inclus dans un triangle telle que la somme de leurs aires soit maximale (ou que l'aire de la surface restante soit minimale). Celui-ci pensait que la réponse était dans la configuration décrite ci-dessus, ce qui s'est révélé faux, même dans le cas d'un triangle équilatéral. Mais il a effectué les premières études sur le problème de la construction des cercles qui portent maintenant son nom, en fournissant en particulier une formule pour leurs rayons.
L'expression "problème de Malfatti" est utilisée à la fois pour le problème de la construction des cercles de Malfatti et pour le problème de la recherche de trois disques d'aire maximale. C'est ce dernier qui est traité dans l'article intitulé problème de Malfatti.
Une construction géométrique des cercles de Malfatti a été proposée par Jakob Steiner en 1826, et de nombreux mathématiciens ont depuis étudié le problème.

## Historique

Le problème de la construction de trois cercles tangents les uns aux autres dans un triangle avait déjà été posé avant les travaux de Malfatti par le mathématicien japonais du XVIIIe siècle Ajima Naonobu, dans une collection non publiée de ses œuvres réalisée un an après sa mort par son élève Kusaka Makoto$^,$. Encore plus tôt, le même problème avait été considéré par Gilio di Cecco da Montepulciano dans un manuscrit de 1384 conservé à la Bibliothèque municipale de Sienne en Italie. Jacques Bernoulli a étudié en 1744 le cas particulier du triangle isocèle.
Depuis les travaux de Malfatti, il y a eu une quantité importante de travaux sur les méthodes de construction de ses trois cercles ; Richard K. Guy écrit que la littérature sur le problème est « abondante, largement dispersée et pas toujours consciente d'elle-même ». Notamment, Jakob Steiner a présenté une construction géométrique utilisant les tangentes communes à des cercles ; d'autres auteurs ont depuis affirmé que la présentation de Steiner manquait de preuve, laquelle a ensuite été fournie par Andrew Hart, mais Guy signale que la preuve est en fait éparpillée dans deux articles de Steiner publiés à cette époque. Des solutions basées sur des formulations algébriques du problème ont été données par Ludolph Lehmus en 1819, Catalan en 1846, C. Adams en 1849, J. Derousseau en 1895, et Andreas Pampuch en 1904. Le problème et ses généralisations ont fait l'objet de nombreuses autres publications mathématiques du XIXe siècle, et son histoire et ses mathématiques ont fait l'objet d'études continues depuis lors. Il a également été un sujet fréquent dans les livres de géométrie (par exemple dans la Géométrie de Rouché et Comberousse, 7e édition, 1er volume, p. 311 à 314).

## La construction de Jacob Steiner

Bien qu'une grande partie des premiers travaux sur les cercles de Malfatti utilisaient la géométrie analytique, Steiner a proposé en 1826 la construction de géométrie pure, effectuable à la règle et au compas, suivante.
Un cercle tangent à deux côtés d'un triangle, comme le sont les cercles de Malfatti, doit être centré sur l'une des bissectrices internes du triangle (en vert sur la figure). Ces bissectrices divisent le triangle en trois triangles plus petits, et la construction par Steiner des cercles de Malfatti commence par celle des cercles inscrits dans ces triangles (représentés en pointillés sur la figure). Sauf cas particulier, ces cercles sont disjoints, et chaque paire de cercles possède deux tangentes communes passant entre les deux cercles : l'une est une bissectrice du triangle et l'autre est représentée par une ligne pointillée rouge dans la figure. Avec les notations de la figure, les trois cercles de Malfatti sont les cercles inscrits dans les trois quadrilatères abyx, aczx et bczy. En cas de symétrie, deux des cercles en pointillés peuvent être tangents en un point d'une bissectrice, qui est alors l'unique tangente commune située entre les cercles mais établissant toujours les quadrilatères de construction des cercles de Malfatti.
Les trois tangentes communes x, y et z coupent les côtés du triangle au point de tangence avec le troisième cercle inscrit, et peuvent également être obtenues comme symétriques des bissectrices du triangle par rapport aux droites reliant deux centres de ces cercles inscrits.

## Construction des cercles de Malfatti à partir du cercle inscrit
### Notations

On note :
* a, b et c les trois longueurs des côtés opposés aux sommets A,B,C du triangle, $p=(a+b+c)/2$ le demi-périmètre
* ${\widehat {A}},{\widehat {B}},{\widehat {C}}$ les angles
* S l'aire, $r={\frac {S}{p}}$ le rayon du cercle inscrit , $r_{A}={\frac {S}{p-a}},r_{B}={\frac {S}{p-b}},r_{C}={\frac {S}{p-c}}$ les rayons des cercles exinscrits
* $d_{A},d_{B},d_{C}$ les trois distances du centre du cercle inscrit aux sommets A,B,C respectivement ($d_{A}^{2}={\frac {p-a}{p}}bc$).
* $r'_{A},r'_{B},r'_{C}$ les rayons des cercles de Malfatti inscrits dans les secteurs de sommets A,B,C respectivement.
On remarquera que le cercle de Malfatti inscrit dans le secteur de sommet A se construit comme image du cercle inscrit par l’homothétie de centre A et de rapport ${\frac {r'_{A}}{r}}$, et de même pour les autres par permutation.

### Expressions des rayons

* en fonction des angles:$r'_{A}={\frac {(1+\tan {\frac {\widehat {B}}{4}})(1+\tan {\frac {\widehat {C}}{4}})}{2(1+\tan {\frac {\widehat {A}}{4}})}}r$et on obtient les autres par permutations,
* en fonction des longueurs :
$r'_{A}={\frac {p-r+d_{A}-d_{B}-d_{C}}{2(p-a)}}r={\frac {p-r+d_{A}-d_{B}-d_{C}}{2p}}r_{A}$
* en fonction des réels compris entre 0 et $\pi /2$ définis par $a=p\sin ^{2}\alpha ,b=p\sin ^{2}\beta ,c=p\sin ^{2}\gamma$ et $\sigma =(\alpha +\beta +\gamma )/2$ :
$r'_{A}=r_{A}\sin ^{2}(\sigma -\alpha )={\frac {p\sin ^{2}(\sigma -\alpha )}{p-a}}r$Par exemple, pour le triangle équilatéral, $r'_{A}=r'_{B}=r'_{C}={\frac {{\sqrt {3}}-1}{4}}a$.
On trouvera dans les formules similaires pour les 31 autres groupes de cercles Malfatti généralisés, où les contacts des cercles peuvent se faire sur les prolongements des côtés (et où les 9 points de contact cercle-côté ou cercle-cercle sont distincts).

## Problème diophantien

Des formules apparentées aux précédentes peuvent être utilisées pour trouver des exemples de triangles dont les longueurs des côtés, le rayon du cercle inscrit et les rayons de Malfatti sont tous entiers. Par exemple, le triangle de côtés de longueurs 28 392, 21 000 et 25 872 a un cercle inscrit de rayon 6 930 et pour rayons de Malfatti 3 969, 4 900 et 4 356. De même, le triangle de côtés de longueurs 152 460, 165 000 et 190 740 a un cercle inscrit de rayon 47 520 et pour rayons de Malfatti 27 225, 30 976 et 32 400.

## Points de Ajima-Malfatti

Étant donné un triangle ABC et ses trois cercles de Malfatti, soient D, E et F les points de tangence de deux des cercles, opposés aux sommets A, B et C respectivement. Les trois droites (AD), (BE) et (CF) concourent en un centre du triangle connu sous le nom de premier point de Ajima-Malfatti, honorant les contributions de Ajima et Malfatti. Le deuxième point de Ajima-Malfatti est le point de concours des trois droites reliant les points de tangence des cercles de Malfatti aux centres des cercles exinscrits du triangle (ces centres ont pour nombres de Kimberling X(179) et X(180) respectivement).
D'autres centres du triangle sont associés aux cercles de Malfatti : le point de Yff-Malfatti, formé de la même manière que le premier point de Ajima-Malfatti à partir de trois cercles mutuellement tangents qui sont tous tangents aux droites passant par les côtés du triangle donné, mais qui se trouvent partiellement à l'extérieur du triangle (nombre de Kimberling X(400)) et le centre radical des trois cercles de Malfatti (le point de concours des trois bitangentes utilisées dans la construction, de nombre de Kimberling X(483)).

## Cercles de Malfatti généralisés

Dans une résolution algébrique des équations donnant les cercles de Malfatti, on ne fait pas la distinction entre les tangences internes et externes entre les cercles et le triangle ; si le problème est généralisé pour permettre ces tangences, avec des points de contact simples (six points de contact cercle/côté, et trois points de contact cercle/cercle), un triangle donné possède 32 solutions différentes$^,$$^,$$^,$$^,$, et inversement un triplet de cercles mutuellement tangents est une solution pour huit triangles différents (voir ci-contre). Bottema attribue l'énumération de ces solutions à Pampuch, mais Cajori note que ce comptage du nombre de solutions était déjà donné dans une remarque de Steiner, lui-même faisant référence à une note publiée dans les Annales de Gergonne en 1810.
Voici, dans le cas du triangle équilatéral, ces 32 solutions, à symétries près ; Barisien ne retient que les 20 premières, présentant un axe de symétrie.
* 2 solutions à trois axes de symétrie (les rayons des cercles indiqués sont donnés pour un triangle de côté 1):
* 1. Rayons $({\sqrt {3}}-1)/4$
* 2. Rayons $({\sqrt {3}}+1)/4$
* 18 = 6 x 3 solutions à un axe de symétrie:
** 3, 4, 5. Rayons $(5{\sqrt {3}}+9)/12,(3-{\sqrt {3}})/4$
** 6, 7, 8. Rayons $(3{\sqrt {3}}+5)/12,({\sqrt {3}}-1)/4$
** 9, 10, 11. Rayons $(3-{\sqrt {3}})/4$
** 12, 13, 14. Rayons $(2-{\sqrt {3}})/6,({\sqrt {3}}+1)/4$
** 15, 16, 17. Rayons $(9-5{\sqrt {3}})/12,({\sqrt {3}}+3)/4$
** 18, 19, 20. Rayons $({\sqrt {3}}+3)/4$
* 12 = 2 x 6 solutions sans axe de symétrie:
* 21 à 26.
* 27 à 32.
Il existe aussi des solutions avec des points de contact multiples (Guy en mentionne 48) :
* Exemple avec 2 contacts triples (deux cercles et un côté), 3 contacts simples.
* Idem.
* Idem, avec deux cercles tangents intérieurement au troisième.
* Exemple avec 1 contact triple et 6 simples.