# Distance interréticulaire

Un cristal contient une infinité de plans dans lesquels les atomes (ou les nœuds du réseau) sont arrangés périodiquement : ce sont les plans réticulaires, définis par leurs indices de Miller (hkl). Pour h, k et l donnés, il existe une infinité de plans parallèles entre eux et regroupés en une famille de plans réticulaires. La distance interréticulaire d$_{hkl}$ est la plus courte distance entre deux plans de la famille {hkl}.
L'ensemble des distances interréticulaires d'un cristal est directement mesurable par diffraction (de rayons X par exemple) grâce à la loi de Bragg et permet d'identifier le cristal en question par comparaison avec les banques de données existantes (Voir l'article Powder diffraction file).

## Calcul de la distance interréticulaire

La distance interréticulaire d$_{hkl}$ est donnée par :
$d_{hkl}={\frac {1}{\|{\vec {H}}\|}}={\frac {1}{\sqrt {{\vec {H}}^{T}G_{r}{\vec {H}}}}}$
où :
* G$_r$ est le tenseur métrique du réseau réciproque ;
* ${\vec {H}}=h{\vec {a_{r}}}+k{\vec {b_{r}}}+l{\vec {c_{r}}}$ est le vecteur normal à un plan de la famille {hkl) ;
* ${\vec {a_{r}}}$, ${\vec {b_{r}}}$ et ${\vec {c_{r}}}$ sont les vecteurs de base du réseau réciproque ;
* ${\vec {H}}^{T}$ est la transposée du vecteur ${\vec {H}}$.
Dans le cas général triclinique, le tenseur métrique réciproque s'écrit :
$G_{r}={\begin{bmatrix}a_{r}^{2}&a_{r}b_{r}\cos {\gamma _{r}}&a_{r}c_{r}\cos {\beta _{r}}\\a_{r}b_{r}\cos {\gamma _{r}}&b_{r}^{2}&b_{r}c_{r}\cos {\alpha _{r}}\\a_{r}c_{r}\cos {\beta _{r}}&b_{r}c_{r}\cos {\alpha _{r}}&c_{r}^{2}\end{bmatrix}}\ =G^{-1}$
où $a$$_r$, $b$$_r$, $c$$_r$, $\alpha$$_r$, $\beta$$_r$ et $\gamma$$_r$ sont les paramètres de maille du réseau réciproque et G est le tenseur métrique du réseau direct. $\alpha$$_r$, $\beta$$_r$ et $\gamma$$_r$ sont les angles entre les directions portées par les vecteurs $b$$_r$ et $c$$_r$ ; $c$$_r$ et $a$$_r$ ; $a$$_r$ et $b$$_r$ respectivement.
On obtient ainsi :
$d_{hkl}={\frac {1}{\sqrt {h^{2}a_{r}^{2}+k^{2}b_{r}^{2}+l^{2}c_{r}^{2}+2hka_{r}b_{r}\cos {\gamma _{r}}+2hla_{r}c_{r}\cos {\beta _{r}}+2klb_{r}c_{r}\cos {\alpha _{r}}}}}$
exprimé en fonction des paramètres de maille du réseau réciproque, ou
$d_{hkl}={\sqrt {\frac {1-\cos ^{2}{\alpha }-\cos ^{2}{\beta }-\cos ^{2}{\gamma }+2\cos {\alpha }.\cos {\beta }.\cos {\gamma }}{{\frac {h^{2}}{a^{2}}}\sin ^{2}{\alpha }+{\frac {k^{2}}{b^{2}}}\sin ^{2}{\beta }+{\frac {l^{2}}{c^{2}}}\sin ^{2}{\gamma }-{\frac {2kl}{bc}}(\cos {\alpha }-\cos {\beta }.\cos {\gamma })-{\frac {2lh}{ca}}(\cos {\beta }-\cos {\gamma }.\cos {\alpha })-{\frac {2hk}{ab}}(\cos {\gamma }-\cos {\alpha }.\cos {\beta })}}}$
exprimé en fonction des paramètres de maille du réseau direct.
Dans le cas cubique, cette formule se réduit à :
$d_{hkl}={\frac {a}{\sqrt {h^{2}+k^{2}+l^{2}}}}$
Dans le cas tétragonal, cette formule se réduit à :
$d_{hkl}={\frac {a}{\sqrt {h^{2}+k^{2}+{\frac {a^{2}}{c^{2}}}l^{2}}}}$
Dans le cas hexagonal, cette formule se réduit à :
$d_{hkl}={\frac {1}{\sqrt {{\frac {4}{3}}{\frac {h^{2}+k^{2}+hk}{a^{2}}}+{\frac {l^{2}}{c^{2}}}}}}$

## Sources

* (en) X-Ray Diffraction by Polycrystalline Materials ; eds. Peiser HS, Rooksby HP, Wilson AJC ; The Institute of Physics, Chapman & Hall Ltd (1955), p. 42