# Identité de Legendre

L'identité de Legendre ou relation de Legendre peut être exprimée sous deux formes :
* comme une relation entre des intégrales elliptiques complètes : $KE'+EK'-KK'={\tfrac {\pi }{2}}$ ;
* comme une relation entre les périodes et quasi-périodes de fonctions elliptiques.
Les deux formes sont équivalentes dans la mesure où les périodes et quasi-périodes peuvent être exprimées en termes d'intégrales elliptiques complètes. Cette identité a été introduite (pour les intégrales elliptiques complètes) par le mathématicien français Adrien-Marie Legendre en 1811 et 1825.

## Définition

L'identité de Legendre est, pour $k\in \left]0;1\right[$ :
    $KE'+EK'-KK'={\frac {\pi }{2}}$.
Sous une forme légèrement modifiée, l'identité de Legendre pour le même ensemble de définition de $k$ peut également être formulée en termes de "contreparties tangentielles de modules elliptiques" :
    $\left(1+k\right)K\left(k\right)E\left({\frac {1-k}{1+k}}\right)+{\frac {2}{1+k}}E\left(k\right)K\left({\frac {1-k}{1+k}}\right)-2K\left(k\right)K\left({\frac {1-k}{1+k}}\right)={\frac {\pi }{2}}$
Par exemple, la première formule et la deuxième formule donne respectivement :
    ${\begin{aligned}&K\left({\frac {3}{5}}\right)E\left({\frac {4}{5}}\right)+\;\;\;E\left({\frac {3}{5}}\right)K\left({\frac {4}{5}}\right)-\;\;K\left({\frac {3}{5}}\right)K\left({\frac {4}{5}}\right)={\frac {\pi }{2}}\\{\frac {4}{3}}&K\left({\frac {1}{3}}\right)E\left({\frac {1}{2}}\right)+{\frac {3}{2}}E\left({\frac {1}{3}}\right)K\left({\frac {1}{2}}\right)-2K\left({\frac {1}{3}}\right)K\left({\frac {1}{2}}\right)={\frac {\pi }{2}}\end{aligned}}$

## Histoire

Le mathématicien Adrien-Marie Legendre a noté cette relation dans son ouvrage Exercices de calcul intégral sur divers ordres de "transcendantes et sur les quadratures de 1811. Dans cet ouvrage, il établit la forme normale dite de Legendre. Il y introduit également la répartition des intégrales elliptiques en trois catégories, à savoir la première, la deuxième et la troisième espèce. A cette époque, Legendre était membre de l'Académie des sciences de Paris. Dans un autre ouvrage, Traité des fonctions elliptiques et des intégrales eulériennes de 1825, il dérive son identité de manière encore plus détaillée. Dans cet ouvrage, il a principalement analysé les théorèmes d'addition des fonctions elliptiques.

## Intégrales elliptiques

La première forme d'identité de Legendre exprime le fait que le Wronskien des intégrales elliptiques complètes (considérées comme solutions d'une équation différentielle) est une constante.

### Démonstration
#### Identité de Legendre dans le cas lemniscatique

Dans le cas lemniscatique, on a $k={\tfrac {\sqrt {2}}{2}}$. Les intégrales elliptiques de première espèce traitent des longueurs d'arc paramétré en coordonnées polaires des lemniscates de Bernoulli et les intégrales elliptiques de deuxième espèce traitent les longueurs d'arc d'une ellipse avec ${\sqrt {2}}$ comme rapport des demi-axes associé. L'identité de Legendre pour le cas lemniscatique peut être prouvée comme suit. On a :
    ${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} y}}F\left[\arccos(xy),{\tfrac {\sqrt {2}}{2}}\right]=-{\frac {{\sqrt {2}}\,x}{\sqrt {1-x^{4}y^{4}}}}$
    ${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} y}}E\left[\arccos(xy),{\tfrac {\sqrt {2}}{2}}\right]=-{\frac {x\left(1+x^{2}y^{2}\right)}{{\sqrt {2}}{\sqrt {1-x^{4}y^{4}}}}}$
    ${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}{\tfrac {{\sqrt {1-x^{4}}}\,y^{2}}{\sqrt {1-x^{4}y^{4}}}}={\frac {-2\,x^{3}y^{2}\left(1-x^{4}y^{4}\right)+2x^{3}y^{6}\left(1-x^{4}\right)}{\sqrt {\left(1-x^{4}\right)\left(1-x^{4}y^{4}\right)^{3}}}}={\frac {-2\,x^{3}y^{2}\left(1-y^{4}\right)}{\sqrt {\left(1-x^{4}\right)\left(1-x^{4}y^{4}\right)^{3}}}}\Rightarrow {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\operatorname {artanh} {\frac {{\sqrt {1-x^{4}}}\,y^{2}}{\sqrt {1-x^{4}y^{4}}}}={\frac {-2\,x^{3}y^{2}}{\sqrt {\left(1-x^{4}\right)\left(1-x^{4}y^{4}\right)}}}$
On a ces quatre identités :
    ${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} y}}\left[K\left({\tfrac {\sqrt {2}}{2}}\right)-F\left[\arccos(xy),{\tfrac {\sqrt {2}}{2}}\right]\right]={\frac {{\sqrt {2}}\,x}{\sqrt {1-x^{4}y^{4}}}}$
    ${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} y}}\left[2E\left({\tfrac {\sqrt {2}}{2}}\right)-K\left({\tfrac {\sqrt {2}}{2}}\right)-2E\left[\arccos(xy),{\tfrac {\sqrt {2}}{2}}\right]+F\left[\arccos(xy),{\tfrac {\sqrt {2}}{2}}\right]\right]={\frac {{\sqrt {2}}\,x^{3}y^{2}}{\sqrt {1-x^{4}y^{4}}}}$
    ${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\left[{\frac {y^{2}+1}{y^{2}}}\left[\operatorname {artanh} \left(y^{2}\right)-\operatorname {artanh} {\tfrac {{\sqrt {1-x^{4}}}\,y^{2}}{\sqrt {1-x^{4}y^{4}}}}\right]\right]={\frac {2\,x^{3}(y^{2}+1)}{\sqrt {(1-x^{4})(1-x^{4}y^{4})}}}$
    ${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} y}}\left[2\arctan y-{\frac {1-y^{2}}{y}}\,\operatorname {artanh} \left(y^{2}\right)\right]={\frac {y^{2}+1}{y^{2}}}\operatorname {artanh} \left(y^{2}\right)$
On a alors :
    ${\frac {\sqrt {2}}{\sqrt {1-x^{4}}}}\left\{\left[2E\left({\tfrac {\sqrt {2}}{2}}\right)-K\left({\tfrac {\sqrt {2}}{2}}\right)-2E\left(\arccos x,{\tfrac {\sqrt {2}}{2}}\right)+F\left(\arccos x,{\tfrac {\sqrt {2}}{2}}\right)\right]+x^{2}\left[K\left({\tfrac {\sqrt {2}}{2}}\right)-F\left(\arccos x,{\tfrac {\sqrt {2}}{2}}\right)\right]\right\}=\int _{0}^{1}{\frac {2\,x^{3}\!\left(y^{2}+1\right)\mathrm {d} y}{\sqrt {\left(1-x^{4}\right)\left(1-x^{4}\,y^{4}\right)}}}$
En intégrant par rapport à $x$ de 0 à $x$, on a :
    $\left[K\left({\tfrac {\sqrt {2}}{2}}\right)-F\left(\arccos x,{\tfrac {\sqrt {2}}{2}}\right)\right]\left[2E\left({\tfrac {\sqrt {2}}{2}}\right)-K\left({\tfrac {\sqrt {2}}{2}}\right)-2E\left(\arccos x,{\tfrac {\sqrt {2}}{2}}\right)+F\left(\arccos x,{\tfrac {\sqrt {2}}{2}}\right)\right]=\int _{0}^{1}{\frac {y^{2}+1}{y^{2}}}\left[\operatorname {artanh} \left(y^{2}\right)-\operatorname {artanh} {\tfrac {{\sqrt {1-x^{4}}}\,y^{2}}{\sqrt {1-x^{4}y^{4}}}}\right]\mathrm {d} y$
Selon la règle de L'Hôpital, on a :
    $\lim _{y\rightarrow 0}{\frac {1-y^{2}}{y}}\operatorname {artanh} \left(y^{2}\right)=0$
    $\lim _{y\rightarrow 1}{\frac {1-y^{2}}{y}}\operatorname {artanh} \left(y^{2}\right)=0$
Si la valeur $x=1$ est insérée dans la dernière identité intégrale mentionnée, alors l'identité suivante apparaît :
    $K\left({\tfrac {\sqrt {2}}{2}}\right)\left[2\,E\left({\tfrac {\sqrt {2}}{2}}\right)-K\left({\tfrac {\sqrt {2}}{2}}\right)\right]=\int _{0}^{1}{\frac {y^{2}+1}{y^{2}}}\operatorname {artanh} \left(y^{2}\right)\,\mathrm {d} y=\left[2\arctan y-{\frac {1-y^{2}}{y}}\,\operatorname {artanh} \left(y^{2}\right)\right]_{y=0}^{y=1}=2\arctan 1={\frac {\pi }{2}}$
C’est ainsi qu’émerge cet extrait de l’identité de Legendre :
    $2E\left({\tfrac {\sqrt {2}}{2}}\right)K\left({\tfrac {\sqrt {2}}{2}}\right)-K^{2}\left({\tfrac {\sqrt {2}}{2}}\right)={\frac {\pi }{2}}$

#### Généralisation pour le cas global non lemniscatique

Puisqu'on sait ici que :
Dérivée de E et K par rapport à $k$ :
| ${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} k}}K(k)={\frac {E(k)-k'^{2}K(k)}{k\,k'^{2}}}$ | ${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} k}}K'\left(k\right)={\frac {k^{2}K'\left(k\right)-E'\left(k\right)}{k\,k'^{2}}}$ |
| ${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} k}}E(k)={\frac {E(k)-K(k)}{k}}$ | ${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} k}}E'\left(k\right)={\frac {k\left[K'\left(k\right)-E'\left(k\right)\right]}{k'^{2}}}$ |
on a :
    ${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} k}}K(k)E'\left(k\right)={\frac {1}{k\,k'^{2}}}\left[E(k)E'\left(k\right)-K(k)E'\left(k\right)+k^{2}K(k)K'\left(k\right)\right]$
    ${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} k}}E(k)K'\left(k\right)={\frac {1}{k\,k'^{2}}}\left[-E(k)E'\left(k\right)+E(k)K'\left(k\right)-(1-k^{2})K(k)K'\left(k\right)\right]$
    ${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} k}}K(k)K'\left(k\right)={\frac {1}{k\,k'^{2}}}\left[E(k)K'\left(k\right)-K(k)E'\left(k\right)-(1-2k^{2})K(k)K'\left(k\right)\right]$
En additionnant les deux premières égalités et en soustrayant la troisième, on a :
    ${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} k}}\left[K(k)E'\left(k\right)+E(k)K'\left(k\right)-K(k)K'\left(k\right)\right]=0$
Or, on vient de voir que, pour $k={\tfrac {\sqrt {2}}{2}}$, on a :
    $2E\left({\tfrac {\sqrt {2}}{2}}\right)K\left({\tfrac {\sqrt {2}}{2}}\right)-K^{2}\left({\tfrac {\sqrt {2}}{2}}\right)={\tfrac {\pi }{2}}$
Donc, on a :
    $K(k)E'\left(k\right)+E(k)K'\left(k\right)-K(k)K'\left(k\right)={\tfrac {\pi }{2}}$
soit :
    $KE'+EK'-KK'={\tfrac {\pi }{2}}$

#### Deuxième formule

Les transformations de Landen indiquent :
    $\left.{\begin{aligned}K\left(k\right)&={\frac {2}{1+k'^{2}}}K\left({\frac {1-k'^{2}}{1+k'^{2}}}\right)\\E\left(k\right)&=\left(1+k'^{2}\right)E\left({\frac {1-k'^{2}}{1+k'^{2}}}\right)-{\frac {2k'^{2}}{1+k'^{2}}}K\left({\frac {1-k'^{2}}{1+k'^{2}}}\right)\end{aligned}}\right\$
L'égalité $KE'+EK'-KK'={\tfrac {\pi }{2}}$ se réécrit :
    $(1+k)K(k)E\left({\frac {1-k}{1+k}}\right)-{\frac {2k}{1+k}}K(k)K\left({\frac {1-k}{1+k}}\right)+{\frac {2}{1+k}}E(k)K\left({\frac {1-k}{1+k}}\right)-{\frac {2}{1+k}}K(k)K\left({\frac {1-k}{1+k}}\right)={\tfrac {\pi }{2}}$
puis :
    $(1+k)K(k)E\left({\frac {1-k}{1+k}}\right)+{\frac {2}{1+k}}E(k)K\left({\frac {1-k}{1+k}}\right)-2K(k)K\left({\frac {1-k}{1+k}}\right)={\tfrac {\pi }{2}}$

### Application
#### Série pour l'inverse de π

Ces séries de Maclaurin sont valables pour toutes les valeurs réelles k < 1 :
    $K(k)={\frac {\pi }{2}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{16^{k}}}{\binom {2k}{k}}^{2}k^{2k}$
    $E(k)={\frac {\pi }{2}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{16^{k}(1-2k)}}{\binom {2k}{k}}^{2}k^{2k}$
On a alors cette paire de formules :
    $K\left({\frac {\sqrt {2}}{2}}\right)={\frac {\pi }{2}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{32^{k}}}{\binom {2k}{k}}^{2}$
    $E\left({\frac {\sqrt {2}}{2}}\right)={\frac {\pi }{2}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{32^{k}(1-2k)}}{\binom {2k}{k}}^{2}$
Ces deux formules peuvent être substituées dans cette formule :
    $2E\left({\frac {\sqrt {2}}{2}}\right)K\left({\frac {\sqrt {2}}{2}}\right)-K^{2}\left({\frac {\sqrt {2}}{2}}\right)={\frac {\pi }{2}}$
On peut alors synthétiser le développement en série suivant :
    ${\biggl\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{32^{k}}}{\binom {2k}{k}}^{2}{\biggr ]}{\biggl\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1+2k}{32^{k}(1-2k)}}{\binom {2k}{k}}^{2}{\biggr ]}={\frac {2}{\pi }}$
La vitesse de convergence pour cette formule de série se comporte linéairement par rapport aux décimales :
| Limite supérieure de l'indice | Valeur de la somme | Décimales |
| 0 | 1 | 1 |
| 1 | 45/64 | 0,70312500 |
| 2 | 43065/65536 | 0,65711975 |
| 3 | 2701125/4194304 | 0,64399838 |
| 4 | 43945661025/68719476736 | 0,63949353 |
| 5 | 2805051005757/4398046511104 | 0,63779475 |
Les résultats ont été arrondis. On a :
    ${\frac {2}{\pi }}\approx 0{,}636\,619\,772\,367\,581\,343$

#### Dérivation du "nom elliptique"

Dans l'article intégrales elliptiques, on explique qu'on peut établir à l'aide de l'identité de Legendre :
    $\int _{0}^{x}\left[{\frac {\pi ^{2}}{8k\,k'^{2}K(k)^{2}}}-{\frac {1}{2k}}\right]\mathrm {d} k={\frac {1}{4}}\ln {\frac {16}{x^{2}}}-{\frac {\pi \,K'(x)}{4\,K(x)}}$

## Fonctions elliptiques

La relation de Legendre avec les fonctions elliptiques est :
    $\omega _{2}\eta _{1}-\omega _{1}\eta _{2}=2\mathrm {i} \pi$
où $\omega _{1}$ et $\omega _{2}$ sont les périodes de la fonction elliptique de Weierstrass, $\eta _{1}$ et $\eta _{2}$ sont les quasi-périodes de la fonction zêta de Weierstrass. Certains auteurs les normalisent différemment par des facteurs de 2, auquel cas le membre de droite de la relation de Legendre est $\mathrm {i} \pi$ ou $\mathrm {i} \pi /2$. Cette relation peut être testée en intégrant la fonction zêta de Weierstrass sur la limite d'une région fondamentale et en appliquant le théorème des résidus de Cauchy.