# Théorème d'Hurewicz

En topologie algébrique, le cas le plus simple du théorème d'Hurewicz – attribué à Witold Hurewicz – est une description du premier groupe d'homologie singulière d'un espace topologique connexe par arcs à l'aide de son groupe fondamental.

## Degré 1
### Énoncé

Le groupe fondamental, en un point x, d'un espace X, est défini comme l'ensemble des classes d'homotopie de lacets de X en x, muni de la loi de concaténation des lacets. Il est noté π$_1$(X, x). Si X est connexe par arcs et si y est un autre point de X, les groupes π$_1$(X, x) et π$_1$(X, y) sont isomorphes : des isomorphismes peuvent être construits en utilisant un chemin de x à y. Cependant, de tels isomorphismes sont uniquement définis à conjugaison près.
Si G est un groupe, on note [G, G] le sous-groupe distingué de G engendré par les commutateurs de G, appelé groupe dérivé. Le groupe G$^{ab}$ := G/[G, G] s'appelle l'abélianisé de G. Plus grand quotient abélien de G, il est caractérisé par la propriété universelle suivante :
Un automorphisme intérieur de G préserve les commutateurs, et induit par passage au quotient l'identité sur l'abélianisé G$^{ab}$.
Pour tout entier naturel q, on note H$_q$(X, ℤ) le q-ième groupe d'homologie singulière de X à coefficients entiers. En notant (X$_k$) la famille des composantes connexes par arcs de X, H$_q$(X, ℤ) est la somme directe des H$_q$(X$_k$, ℤ), ce qui permet de ramener l'étude de H$_1$(X, ℤ) au cas où X est connexe par arcs. Le théorème d'Hurewicz affirme dans ce cas l'existence d'un isomorphisme naturel de π$_1$(X, x)$^{ab}$ sur H$_1$(X, ℤ) :
Théorème — Soit X un espace topologique connexe par arcs. Un lacet f : [0,1] → X est, en tant que 1-chaîne, un cycle. Le morphisme de groupes Φ$_X$ : π$_1$(X, x) → H$_1$(X, ℤ) induit un isomorphisme appelé isomorphisme d'Hurewicz :
$\Phi _{X}:\pi _{1}(X,x)^{ab}{\overset {\sim }{\rightarrow }}H_{1}(X,\mathbb {Z} )$
De plus, pour toute application continue g : X → Y, les morphismes de groupes induits g$_✻$ : π$_1$(X, x) → π$_1$(Y, g(x)) et g$_✻$ : H$_1$(X, ℤ) → H$_1$(Y, ℤ) vérifient :
$g_{*}\circ \Phi _{X}=\Phi _{Y}\circ g_{*}$
Autrement dit, H$_1$(X, ℤ) est naturellement l'abélianisé de π$_1$(X, x). Plus exactement, on dispose de deux foncteurs covariants de la catégorie des espaces topologiques connexes par arcs dans la catégorie des groupes abéliens, à savoir :
* Le foncteur H$_1$ qui à un « objet » X associe H$_1$(X, ℤ) ;
* La foncteur π$_1$$^{ab}$ qui à un « objet » X associe π$_1$(X, x)$^{ab}$ où le point de base x est choisi arbitraire.
Le théorème d'Hurewicz donne l'existence d'un isomorphisme de foncteurs Φ de π$_1$$^{ab}$ sur H$_1$.

### Exemples

Le théorème d'Hurewicz permet de calculer le premier groupe d'homologie connaissant le groupe fondamental :
| Espace topologique | Description | Groupe fondamental | H$_1$(∙, ℤ) |
| Espace contractile | Se rétracte par déformation sur un point | Groupe trivial | 0 |
| S$^1$ | Le cercle unité | Le groupe additif ℤ des entiers relatifs | ℤ |
| P$_n$(ℝ) | L'espace projectif réel de dimension n | ℤ$_2$ = ℤ/2ℤ | ℤ$_2$ |
| T$^n$ | Le tore de dimension n | Le produit direct ℤ$^n$ | ℤ$^n$ |
| S$^1$ ∨ S$^1$ | Le bouquet de deux cercles (en) | Le groupe libre F$_2$ | ℤ$^2$ |
| Σ$_g$ | La surface compacte orientée de genre g | Le groupe présenté par 〈a$_1$, … , a$_g$, b$_1$, … , b$_g$|[a$_1$, b$_1$] … [a$_g$, b$_g$] = 1〉 | ℤ$^{2g}$ |
Pour tout espace X connexe par arcs, H$_1$(X, ℤ) est trivial si et seulement si π$_1$(X) est parfait. C'est bien sûr le cas si X est simplement connexe mais aussi, par exemple, si X est une sphère d'homologie de dimension > 1.

### Preuve

Le théorème d'Hurewicz énonce l'existence d'un morphisme de groupes et sa bijectivité. L'injectivité demande plus de travail que sa surjectivité. La bijectivité sera ici établie en donnant la construction explicite d'un inverse. On note Δ$_0$ le point, Δ$_1$ = [0, 1] le 1-simplexe standard, et Δ$_2$ le 2-simplexe standard où les points sont repérés en coordonnées barycentriques par (s, t, u) avec s + t + u = 1.

#### Existence du morphisme d'Hurewicz

Un lacet f de X en un point x est une application continue f : [0,1] → X telle que f(0) = f(1) = x. Une telle application peut être vue comme un 1-simplexe de X ; par définition, son bord est f(1) – f(0) = 0. Donc f est un 1-cycle. Une homotopie entre deux lacets f et g donne un 2-simplexe dont le bord est g – f. De ce fait, le 1-cycle f ne dépend, modulo les 1-bords, que de la classe d'homotopie du lacet f. On dispose donc d'une application naturelle :
$\Phi _{X}:\pi _{1}(X,x)\to H_{1}(X,\mathbb {Z} ).$
Cette application est un morphisme de groupes : pour deux lacets f et g de X en x, f∗g est un 1-cycle. L'élément (f∗g) – g – f de C$_1$(X, ℤ) est le bord du 2-simplexe h défini par :
$h(s,t,u)={\begin{cases}f(1+t-s)&{\hbox{ si }}t\leq s,\\g(t-s)&{\hbox{ si }}t>s.\end{cases}}$
Comme H$_1$(X, ℤ) est abélien, ce morphisme se factorise à travers l'abélianisé pour donner le morphisme d'Hurewicz :
$\Phi _{X}:\pi _{1}(X,x)^{ab}\rightarrow H_{1}(X,\mathbb {Z} )$

#### Construction de l'inverse

Comme X est connexe par arcs, pour y un point de X, introduisons un chemin λ$_y$ d'origine x et d'extrémité y (l'axiome du choix est ici utilisé). Pour tout 1-simplexe f de X, on définit :
$\psi _{\lambda }(f)=\lambda _{f(0)}*f*\lambda _{f(1)}^{-1}\in \pi _{1}(X,x).$
Le lacet ψ$_λ$(f) dépend du choix des chemins λ$_y$ ; il en va de même de sa classe dans l'abélianisé du groupe fondamental. L'application ψ$_λ$ induit une application ℤ-linéaire :
$\Psi _{\lambda }:C_{1}(X,\mathbb {Z} )\to \pi _{1}(X,x)^{ab}.$
Des arguments techniques (détaillés ci-dessous) montrent les résultats remarquables suivants :
* Le noyau de Ψ$_λ$ contient les 1-bords (bords de 2-simplexes).
* Malgré la dépendance déjà soulignée en les choix des chemins utilisés, l'application Ψ$_λ$ en restriction aux 1-cycles en est indépendante.
De ce fait, Ψ$_λ$ induit par restriction et passage au quotient un morphisme Ψ indépendant de λ :
$\Psi :H_{1}(X,\mathbb {Z} )\to \pi _{1}(X,x)^{ab}.$
Ce morphisme Ψ a été construit pour être l'inverse du morphisme d'Hurewicz Φ = Φ$_X$ :
* Pour un élément α de π$_1$(X, x)$^{ab}$, représenté par un lacet f de X en x, l'image Φ$_X$(f) est représentée par f, vu comme un 1-cycle. Par définition, ΨΦ(α) est la classe de λ$_x$∗f∗λ$_x$$^{−1}$, conjugué de f. Donc dans l'abélianisé, leurs classes sont égales : ΨΦ(α) = α.
* Pour tout 1-simplexe f, λ$_{f(0)}$∗f∗λ$_{f(1)}$$^{−1}$ est égal à f modulo un 1-bord (voir l'argument ci-dessous). Par suite, si σ est un 1-cycle, Φ∘Ψ$_λ$(σ) est égal à σ modulo une somme de 1-bords. Autrement dit, Φ∘Ψ vaut l'identité sur H$_1$(X, ℤ).
Soit h : Δ$_2$ → X un 2-simplexe. Son bord ∂h est la somme alternée f$_0$ – f$_1$ + f$_2$ de ses trois faces, définies par :
$f_{0}(s)=h(0,s,1-s),\quad f_{1}(s)=h(s,0,1-s)\quad {\text{et}}\quad f_{2}(s)=h(s,1-s,0).$
Or, un calcul donne :
${\begin{aligned}\Psi _{\lambda }(\partial h)&=\left[\lambda _{f_{0}(0)}*f_{0}*\lambda _{f_{0}(1)}^{-1}\right]-\left[\lambda _{f_{1}(0)}*f_{1}*\lambda _{f_{1}(1)}^{-1}\right]+\left[\lambda _{f_{2}(0)}*f_{2}*\lambda _{f_{2}(1)}^{-1}\right]\\&=\left[\lambda _{f_{0}(0)}*f_{0}*\lambda _{f_{0}(1)}^{-1}\right]+\left[\lambda _{f_{2}(0)}*f_{2}*\lambda _{f_{2}(1)}^{-1}\right]+\left[\lambda _{f_{1}(1)}*f_{1}^{-1}*\lambda _{f_{1}(0)}^{-1}\right]\\&=\left[\lambda _{f_{0}(0)}*f_{0}*f_{2}*f_{1}^{-1}*\lambda _{f_{0}(1)}^{-1}\right],\end{aligned}}$
où l'on a utilisé
$f_{0}(1)=f_{2}(0),\quad f_{2}(1)=f_{1}(1)\quad {\text{et}}\quad f_{1}(0)=f_{0}(1).$
Comme f$_0$∗f$_2$∗f$_1$$^{−1}$ borde h, ce lacet est contractile, et représente donc l'élément unité de π$_1$(X, f$_0$(0)). Or, c ↦ λ$_{f0(0)}$∗c∗λ$_{f0(1)}$$^{−1}$ définit un morphisme de groupes π$_1$(X, f$_0$(0)) → π$_1$(X, x) et le calcul ci-dessus montre qu'il envoie la classe de f$_0$∗f$_2$∗f$_1$$^{−1}$ sur Ψ$_λ$(∂h). Par suite :
$\Psi _{\lambda }(\partial h)=0\in \pi _{1}(X,x)^{ab}$
donc Ψ est bien défini.
Soit μ un autre choix de chemins d'origine x. Si
$\sigma =\sum _{i=1}^{k}n_{i}f_{i}$
est un 1-cycle de X (avec n$_i$ = ±1), alors :
${\begin{aligned}\Psi _{\mu }\left[\sum _{i=1}^{k}n_{i}f_{i}\right]&=\sum _{i=1}^{k}n_{i}\left[\mu _{f_{i}(0)}*f_{i}*\mu _{f_{i}(1)}^{-1}\right]\\&=\sum _{i=1}^{k}n_{i}\left(\left[\mu _{f_{i}(0)}*\lambda _{f_{i}(0)}^{-1}\right]+\left[\lambda _{f_{i}(0)}*f_{i}*\lambda _{f_{i}(1)}^{-1}\right]+\left[\lambda _{f_{i}(1)}*\mu _{f_{i}(1)}^{-1}\right]\right)\\&=\sum _{i=1}^{k}n_{i}\left[\mu _{f_{i}(0)}*\lambda _{f_{i}(0)}^{-1}\right]-\sum _{i=1}^{k}n_{i}\left[\mu _{f_{i}(1)}*\lambda _{f_{i}(1)}^{-1}\right]+\Psi _{\lambda }\left[\sum _{i=1}^{k}n_{i}f\right]\\&=\Psi _{\lambda }\left[\sum _{i=1}^{k}n_{i}f\right].\end{aligned}}$
C'est seulement dans la dernière égalité où le fait que σ est un 1-cycle a été utilisé pour annuler les termes : en tenant compte des signes, pour tout y, il y a autant d'indices i tels que f$_i$(0) = y que d'indices i tels que f$_i$(1) = y.

## Degrés > 1

L'énoncé général du théorème d'Hurewicz classique, pour n > 1, est le suivant (il existe aussi une version relative (en)) :
Théorème — Soit X un espace tel que π$_i$(X) = 0 pour i < n ; on a alors H$_i$(X) = 0 pour 0 < i < n, et π$_n$(X) est isomorphe à H$_n$(X).
(L'abélianisation de π$_n$ est superflue, puisque les groupes d'homotopie en degrés > 1 sont abéliens.)