# Triangle d'or (géométrie)

Un triangle d'or (aigu) ou triangle sublime est un triangle isocèle dans lequel le rapport de la longueur du côté double à la longueur du côté-base est le nombre d'or $\varphi$ :
    ${a \over b}=\varphi ={{1+{\sqrt {5}}} \over 2}\approx 1,618~034$ (voir 1ère figure).
Certains auteurs nomment également « triangles d'or » les triangles où ce rapport vaut ${1 \over \varphi }$ (voir § "Tableau récapitulatif" pour les différentes appellations).

## Angles du triangle d'or

Dans la 2e figure, BXC est un triangle d'or puisque le rapport de la longueur du côté BC à la longueur du côté BX est le nombre d'or $\varphi$ :
* L'angle BCX au sommet C a pour mesure :
    $\theta =2\arcsin {\bigl{\tfrac {b}{2a}}{\bigr )}=2\arcsin {\bigl{\tfrac {1}{2\varphi }}{\bigr )}=2\arcsin {\Bigl{\tfrac {{\sqrt {5}}-1}{4}}{\Bigr )}={\pi \over 5}~rad=36^{\circ }.$
* Comme la somme des mesures des angles du triangle BXC fait $\pi ~rad$, les angles de base CBX et CXB valent chacun :
    $\beta ={{\pi -{\pi \over 5}} \over 2}={2\pi \over 5}~rad=72^{\circ }$ (ou encore $\beta =\arccos {\Bigl{\tfrac {{\sqrt {5}}-1}{4}}{\Bigr )}={2\pi \over 5}~rad=72^{\circ }$).
* Le triangle d'or est un triangle aigu puisque tous ses angles sont inférieurs à l'angle droit.
* Le triangle d'or est le seul triangle dont les mesures des angles sont dans des rapports 2, 2, 1 (72°, 72°, 36°).

## Occurrences

* Les branches du pentagramme régulier sont des triangles d'or (voir 3ème figure).
* Dans le décagone régulier, lorsque l'on relie les sommets adjacents au centre, on obtient des triangles d'or.
* Les pavages de Penrose font intervenir des triangles d'or.

## Gnomon d'or

Un gnomon d'or ou triangle d'argent ou, pour certains auteurs, triangle d'or obtus est un triangle isocèle obtus dans lequel le rapport de la longueur du côté double à la longueur du côté-base est l'inverse du nombre d'or, soit ${1 \over \varphi }$ :
    ${a' \over b'}={1 \over \varphi }={{{\sqrt {5}}-1} \over 2}\approx 0,618~034.$

### Angles du gnomon d'or

Dans la 2e figure, les longueurs AX et CX valant $a'=a=\varphi ~$ et la longueur AC valant $b'=\varphi ^{2}$, AXC est un gnomon d'or.
* L'angle AXC au sommet X a pour mesure :
    $\theta '=2\arcsin {\Bigl{\tfrac {b'}{2a'}}{\Bigr )}=2\arcsin {\Bigl{\tfrac {\varphi ^{2}}{2\varphi }}{\Bigr )}=2\arcsin {\Bigl{\varphi \over 2}{\Bigr )}=2\arcsin {\Bigl{\tfrac {1+{\sqrt {5}}}{4}}{\Bigr )}={3\pi \over 5}~rad=108^{\circ }$
    (ou encore $\theta '=\arccos {\Bigl{{1-{\sqrt {5}}} \over 4}{\Bigr )}={3\pi \over 5}~rad=108^{\circ }$).
* Comme la somme des mesures des angles du triangle AXC fait $\pi ~rad$, les angles de base CAX et ACX valent chacun :
    $\beta '=\theta ={\pi -{3\pi \over 5} \over 2}={\pi \over 5}~rad=36^{\circ }$ (ou encore $\beta '=\theta =\arccos {\Bigl{{1+{\sqrt {5}}} \over 4}{\Bigr )}={\pi \over 5}~rad=36^{\circ }$).
* Le gnomon d'or est un triangle obtus puisqu'il possède un angle obtus et deux angles aigus.
* Le gnomon d'or est le seul triangle dont les mesures des angles sont dans des rapports 1, 1, 3 (36°, 36°, 108°).

## Construction en cure-dents ou à l'aide d'un pentagone articulé

Si on dispose cinq cure-dents identiques de sorte que, comme dans la figure ci-contre, A, I, B soient alignés ainsi que A, J, C, l'angle en A vaut $\alpha =\pi /5$ et on obtient trois triangle d'or ABC, BCJ, CBI, et quatre triangles d'argent JAB, IAC, KBC, KIJ. Cette construction peut aussi être obtenue par un pentagone articulé à barres de même longueur AICBJ.

## Tableau récapitulatif

| Définitions de cet article | Définitions alternatives | $a \over b$ | Angle au sommet | Angles égaux de base |
| Triangle d'or Triangle sublime | Triangle d'or aigu | $\varphi$ | 36° | 72° |
| Gnomon d'or Triangle d'argent | Triangle d'or obtus | $1 \over \varphi$ | 108° | 36° |

## Triangle d'or et gnomon d'or associés
### Découpages

La figure ci-contre montre que :
* En coupant un de ses angles de base en 2 angles égaux, on peut découper un triangle d'or en un triangle d'or et un gnomon d'or.
* En coupant son angle au sommet en 2 angles du simple au double, on peut découper un gnomon d'or en un gnomon d'or et un triangle d'or.

### Pavages

* On peut paver un pentagone régulier avec deux gnomons d'or et un triangle d'or (voir figure ci-contre).
* Ces triangles isocèles peuvent être utilisés pour produire les pavages de Penrose.

## Spirale logarithmique

Le triangle d'or peut être utilisé pour placer certains points d'une spirale logarithmique. En procédant à la bissection d'un angle à la base d'un triangle d'or, on obtient un nouveau point, qui à son tour forme un nouveau triangle d'or. En répétant ce procédé, on obtient des points qui permettent de tracer à main levée une spirale logarithmique (voir dernière figure).