# Unicursale

En mathématiques, plus précisément en géométrie, une courbe plane est dite unicursale, ou rationnelle, si elle admet un paramétrage tel que ses coordonnées $x$ et $y$ sont toutes les deux des fractions rationnelles du paramètre.

## Exemples
### Droite

Une droite est unicursale puisqu'elle admet une représentation paramétrique de la forme
    $\left\{{\begin{array}{l}x=x_{0}+at\\[3pt]y=y_{0}+bt\end{array}}\right.$
où $\left(x_{0},y_{0}\right)$ sont les coordonnées d'un point de la droite, et ${\vec {n}}{\binom {a}{b}}$ un vecteur directeur de la droite.

### Cercle

Un cercle est unicursal. Dans le cas du cercle de centre l'origine du repère et de rayon 1, on a la représentation paramétrique suivante :
    $\left\{{\begin{array}{l}x={\dfrac {1-t^{2}}{1+t^{2}}}\\[3pt]y={\dfrac {2t}{1+t^{2}}}\end{array}}\right.$
En réalité, l'image de $\mathbb {R}$ par cette fonction n'est pas le cercle entier puisqu'il manque le point de coordonnées $\left(-1;0\right)$. Mais on admet que ce point est l'image de $\infty$ par la représentation paramétrique. Ceci est un exemple de compactifié d'Alexandrov de $\mathbb {R}$.

### Coniques

Les coniques non dégénérées aussi sont unicursales ; voici par exemple la paramétrisation rationnelle d'une hyperbole équilatère :
    $\left\{{\begin{array}{l}x={\dfrac {1+t^{2}}{1-t^{2}}}\\[3pt]y={\dfrac {2t}{1-t^{2}}}\end{array}}\right.$

### Cubiques
#### Caractérisation

Théorème — Une courbe cubique est unicursale si et seulement si elle admet un point double, c'est-à-dire si et seulement si elle est nodale ou cuspidale.
En particulier, une courbe elliptique n’est pas unicursale.

#### Exemples
##### Cubiques nodales

Le folium de Descartes a pour représentation paramétrique
    $\left\{{\begin{array}{l}x={\dfrac {3t}{1+t^{3}}}\\[3pt]y={\dfrac {3t^{2}}{1+t^{3}}}.\end{array}}\right.$
Le point double est l'origine $(0,0)$ du repère, obtenue pour $t=0$ et pour $t=\pm \infty$.
De façon générale, les strophoïdes sont unicursales.

##### Cubiques cuspidales

La parabole semi-cubique admet pour représentation paramétrique
    $\left\{{\begin{array}{l}x=t^{2}\\[3pt]y=t^{3}.\end{array}}\right.$
Elle est même mieux que rationnelle, puisque $x$ et $y$ sont même des polynômes en $t$.

### Quartiques

Un exemple de quartique unicursale est la lemniscate de Bernoulli dont une équation paramétrique est
    $\left\{{\begin{array}{l}x={\dfrac {2t}{1+t^{4}}}\\[3pt]y={\dfrac {2t^{3}}{1+t^{4}}}.\end{array}}\right.$

## Algébricité
### Proposition

Par élimination de $t$ entre $x$ et $y$, toute courbe unicursale est algébrique.

### Réciproque

Une courbe algébrique n'est pas nécessairement unicursale. Elle l'est si et seulement si son genre est 0.

#### Exemple

On peut montrer que la courbe affine plane d'équation $(x^{2}-1)^{2}-2y^{3}-3y^{2}$ est de genre 0. Elle est donc unicursale et admet un paramétrage rationnel, par exemple :
    ${\begin{cases}x&=t(2t^{2}-3)\\y&=2t^{4}-4t^{2}+{\frac {1}{2}}\end{cases}}$
avec $t={\frac {xy}{x^{2}-y-1}}$.

#### Contre-exemples

Coniques : Une conique dégénérée n'est pas unicursale, par exemple la « courbe » d'équation $x^{2}=1$ n'a pas de représentation paramétrique rationnelle (une fonction de $t$ qui ne prend que les valeurs 1 et –1 ne peut être rationnelle). Cependant, cette conique dégénérée est constituée de deux composantes, les deux droites d'équation $x=1$ et $x=-1$ qui sont chacune unicursale.
Cubiques : Les cubiques sans point double ne sont pas unicursales. En effet, leur genre vaut 1. Par contre, une cubique ayant un point double est de genre 0.

## Applications
### Points à coordonnées rationnelles

Si $t\in \mathbb {Q}$ (par exemple si $t$ est un entier), les coordonnées $x(t)$ et $y(t)$ sont elles-mêmes rationnelles. On peut donc utiliser la représentation paramétrique d'une courbe unicursale pour obtenir des points à coordonnées rationnelles de celle-ci.
Exemple : La recherche de points à coordonnées rationnelles sur le cercle unité (voir supra) est liée à celle des nombres pythagoriciens : avec $t=5$, on a
    $\left\{{\begin{array}{l}x={\dfrac {1-5^{2}}{1+5^{2}}}={\dfrac {1-25}{1+25}}=-{\dfrac {24}{26}}=-{\dfrac {12}{13}}\\[4pt]y={\dfrac {2\times 5}{1+5^{2}}}={\dfrac {10}{1+25}}={\dfrac {5}{13}}\end{array}}\right.$
où l'on reconnaît le triplet $(5,12,13)$.

### Nomogrammes

Clark a utilisé les représentations paramétriques rationnelles du cercle et du folium pour créer des nomogrammes de multiplication (cercle doublement coté avec une droite cotée, folium triplement coté).