# Représentation induite d'un groupe fini

En mathématiques une représentation induite est une représentation d'un groupe canoniquement associée à une représentation de l'un de ses sous-groupes. L'induction est adjointe à gauche de la restriction (en). Cette propriété intervient dans la formule de réciprocité de Frobenius.
Cet article traite le cas des groupes finis.

## Définitions et exemples

Dans tout l'article, G désigne un groupe fini, H un sous-groupe de G et θ une représentation de H dans un espace vectoriel de dimension finie W sur un corps K. G/H désigne l'ensemble des classes à gauche modulo H.

### Définitions

* La représentation induite par une représentation θ du sous-groupe H de G est la représentation de G, notée ρ = Ind$^G$ $_H$ θ, ou simplement Ind(θ) s'il n'y a pas de risque d'ambiguïté, telle que :
** θ est une sous-représentation de la restriction Res$^G$ $_H$(ρ) de ρ à H ;
** pour toute représentation σ de G, le morphisme naturel suivant est un isomorphisme entre espaces des morphismes de représentations :$\hom _{G}(\mathrm {Ind} _{H}^{G}\theta ,\sigma ){\overset {\sim }{\to }}\hom _{H}(\theta ,\mathrm {Res} _{H}^{G}\sigma )$.
Son unicité (à isomorphisme près) est garantie par cette propriété universelle d'adjonction, et son existence est assurée par la construction ci-dessous.
* Si ψ désigne le caractère de θ, celui de ρ dépend uniquement de ψ. Il est donc appelé caractère induit par ψ et noté Ind(ψ) ou encore Ind$^G$ $_H$ (ψ) si un risque d'ambiguïté existe.

### Construction

Soit W le K[H]-module sous-jacent à la représentation θ de H, et soit ρ la représentation de G associée au K[G]-module
$V=K[G]\otimes _{K[H]}W.$
Alors ρ = Ind$^G$ $_H$ θ, puisque :
* W = K[H]⊗$_{K[H]}$W est bien un sous-K[H]-module de V ;
* pour tout K[G]-module E, on a un isomorphisme naturel :$\hom _{K[G]}(V,E){\overset {\sim }{\to }}\hom _{K[H]}(W,E)$qui peut se « déduire de la formule Hom(A,Hom(B,C))=Hom(A⊗B,C) » (Serre, p. II - 7) ou se détailler de façon plus élémentaire (Serre, p. II - 6) en vérifiant la bijectivité de l'application linéaire qui, à tout G-morphisme f de V dans E, associe le H-morphisme restriction de f à W.

### Exemples

* Si H = G, alors Ind$^G$ $_H$ θ = θ.
* Si θ est la représentation triviale de H, alors Ind$^G$ $_H$ θ est la représentation par permutations associée à l'action naturelle de G sur G/H.
* Si θ est la représentation régulière de H, alors Ind$^G$ $_H$ θ est la représentation régulière de G.

## Propriétés
### Premières propriétés

* Une représentation (V,ρ) de G est équivalente à Ind$^G$ $_H$ θ si et seulement si :
** W est un sous-K[H]-module de V ;
** V = ⊕$_{c∊G/H}$ cW, où la notation cW signifie : ρ$_s$(W) pour n'importe quel élément s de la classe à gauche c. (Un tel ρ$_s$(W) ne dépend pas du choix de s dans c puisque si tH = c =sH alors t est de la forme sh pour un certain élément h de H, si bien que ρ$_t$(W) = ρ$_s$(ρ$_h$(W)) = ρ$_s$(W).)
* Soient G le groupe symétrique S$_3$, engendré par un 3-cycle c et une transposition t, H le sous-groupe alterné A$_3$ = {1, c, c$^2$}, W = ℂe$_1$ et θ la représentation de H sur W définie par θ$_c$(e$_1$) = je$_1$. Alors G/H = {H, tH} et Ind$^G$ $_H$ θ est la représentation ρ de G sur V = ℂe$_1$⊕ℂe$_2$ définie par : ρ$_t$(e$_1$) = e$_2$ et ρ$_c$(e$_1$) = je$_1$. On montre facilement que ρ est irréductible (par exemple en vérifiant que son caractère est de norme 1). C'est donc la représentation irréductible complexe de S$_3$ de degré 2.
* Soient G le groupe des quaternions Q = {±1, ±i, ±j, ±k}, engendré par i et j, H le sous-groupe {1, i, –1, –i}, W = ℂe$_1$ et θ la représentation de H sur W définie par θ$_i$(e$_1$) = ie$_1$. Alors G/H = {H, jH} et Ind$^G$ $_H$ θ est la représentation ρ de G sur V = ℂe$_1$⊕ℂe$_2$ définie par : ρ$_j$(e$_1$) = e$_2$ et ρ$_i$(e$_1$) = ie$_1$. On vérifie facilement, comme précédemment, que ρ est irréductible. C'est donc la représentation irréductible complexe de Q de degré 2.
* Pour toute sous-représentation θ' de θ, Ind$^G$ $_H$ (θ') est une sous-représentation de Ind$^G$ $_H$ (θ).
* Pour toutes représentations θ$_1$ et θ$_2$ de H, on a : Ind$^G$ $_H$ (θ$_1$⊕θ$_2$) = (Ind$^G$ $_H$ θ$_1$)⊕(Ind$^G$ $_H$ θ$_2$).
* Une représentation (V,ρ) de G est équivalente à Ind$^G$ $_H$ θ si et seulement si W est un sous-K[H]-module de V et V = ⊕$_{c∊G/H}$ cW (Serre, p. II - 5).
La représentation (V, ρ) définie dans la construction vérifie bien ces propriétés : il suffit pour cela de remarquer que K[G] est un K[H]-module libre (à droite), de base une transversale à gauche de H dans G. Réciproquement, « l'unicité est immédiate », c'est-à-dire que deux représentations de G vérifiant ces propriétés sont clairement isomorphes.
* Pour toute sous-représentation θ' de θ, Ind$^G$ $_H$ (θ') est une sous-représentation de Ind$^G$ $_H$ (θ).
Si W' est un sous-K[H]-module de W alors K[G]⊗$_{K[H]}$W' est un sous-K[G]-module de K[G]⊗$_{K[H]}$W.
* Pour toutes représentations θ$_1$ et θ$_2$ de H, on a : Ind$^G$ $_H$ (θ$_1$⊕θ$_2$) = (Ind$^G$ $_H$ θ$_1$)⊕(Ind$^G$ $_H$ θ$_2$).
Pour tous K[H]-modules W$_1$ et W$_2$, K[G]⊗$_{K[H]}$(W$_1$⊕W$_2$) = (K[G]⊗$_{K[H]}$W$_1$)⊕(K[G]⊗$_{K[H]}$W$_2$).

### Caractère

* Le caractère χ de la représentation (V,ρ) = Ind$^G$ $_H$ θ s'exprime en fonction du caractère ψ de (W, θ) par la formule suivante, dans laquelle C désigne une transversale à gauche de H dans G, et h l'ordre de H :$\forall t\in G\quad \chi (t)=\sum _{c\in C \atop c^{-1}tc\in H}\psi (c^{-1}tc)={\frac {1}{h}}\sum _{s\in G \atop s^{-1}ts\in H}\psi (s^{-1}ts).$
L'élément ρ$_t$ définit un automorphisme de V qui permute les ρ$_c$W, donc sa trace χ(t) = Tr(ρ$_t$) est la somme des traces des restrictions de cet automorphisme aux ρ$_c$W qu'il laisse invariants, ce qui équivaut pour c à la relation c$^{−1}$tc ∊ H. D'où :
$\chi (t)=\sum _{c\in C \atop c^{-1}tc\in H}\mathrm {Tr} ((\rho _{t})_{|\rho _{c}W}).$
Or si c$^{−1}$tc ∊ H, on a :
$\forall w\in W\quad \rho _{c^{-1}}\circ \rho _{t}\circ \rho _{c}(w)=\theta _{c^{-1}tc}(w)\quad {\text{donc}}\quad \mathrm {Tr} ((\rho _{t})_{|\rho _{c}W})=\mathrm {Tr} (\theta _{c^{-1}tc})=\psi (c^{-1}tc),$
ce qui démontre la première formule.
Pour la deuxième (qui n'a de sens que si h est inversible dans K) il suffit de remarquer que pour tout s ∊ cH, s$^{−1}$ts est conjugué de c$^{−1}$tc par un élément de H, et d'utiliser que ψ est centrale.
On étend cette formule aux fonctions centrales par la définition suivante :
* Soient f une fonction centrale sur H à valeurs dans K et C une transversale à gauche de H dans G, alors la fonction Ind$^G$ $_H$ (f ) est définie par :$\forall t\in G\quad \mathrm {Ind} _{H}^{G}f(t)=\sum _{c\in C \atop c^{-1}tc\in H}f(c^{-1}tc).$

### Réciprocité de Frobenius

On suppose que la caractéristique de K ne divise pas l'ordre de G. La formule de réciprocité de Frobenius s'exprime alors par :
* Pour tout caractère ψ d'une représentation de H et tout caractère χ d'une représentation de G, les deux scalaires suivants sont égaux :
$\langle \mathrm {Ind} _{H}^{G}\;\psi \mid \chi \rangle _{G}=\langle \psi \mid \mathrm {Res} _{H}^{G}\;\chi \rangle _{H}.$
Cette formule est une conséquence de la propriété d'adjonction qui définit la représentation induite. Elle s'étend linéairement aux fonctions centrales.

## Critère d'irréductibilité de Mackey

On suppose que la caractéristique de K est nulle et que le polynôme Xe – 1, où e désigne l'exposant de G, est scindé sur K. Ainsi, les caractères irréductibles de G forment une base orthonormale des fonctions centrales à valeurs dans K et toute représentation est entièrement déterminée (à équivalence près) par son caractère. On peut prendre par exemple pour K le corps des nombres complexes.
Une double application de la formule de réciprocité de Frobenius décrite ci-dessus permet, sous ces hypothèses, de démontrer le cas particulier suivant du critère d'irréductibilité de Mackey. Deux définitions sont nécessaires pour l'exprimer. Pour tout élément s de G, H$_s$ désigne ici l'intersection de H avec son conjugué par s et θ$^s$ désigne la représentation sur W de ce sous-groupe H$_s$ = sHs$^{−1}$ ∩ H définie par :
$\forall u\in H_{s}\quad \theta ^{s}(u)=\theta (s^{-1}us).$
Le critère s'énonce de la manière suivante :
* La représentation Ind(θ) est irréductible si et seulement si θ est irréductible et pour tout s ∉ H, la restriction de θ à H$_s$ est disjointe de θ$^s$.
On en déduit le corollaire suivant :
* Si H est normal dans G, Ind(θ) est irréductible si et seulement si θ est irréductible et n'est isomorphe à aucune des θ$^s$, pour s ∉ H.