# Théorème de l'image ouverte

En mathématiques, et plus précisément en analyse complexe, le théorème de l'image ouverte affirme que les fonctions holomorphes non constantes sont ouvertes.

## Énoncé

Soit U un ouvert connexe du plan complexe C et f : U → C une fonction holomorphe non constante ; alors f est une application ouverte, c'est-à-dire qu'elle envoie les sous-ensembles ouverts de U vers des ouverts de C.

## Démonstration

Nous voulons montrer que tout point de f(U) est intérieur, autrement dit est contenu dans un disque inclus dans f(U). Soit w$_0$ = f(z$_0$) un point arbitraire de f(U) (avec z$_0$ dans U). U étant ouvert, il existe d > 0 tel que B, le disque fermé de centre z$_0$ et de rayon d, soit inclus dans U. f étant non constante sur U et U étant connexe, f est non constante sur B. La fonction g(z) = f(z) – w$_0$ est analytique non constante, et admet z$_0$ comme racine ; d'après le principe des zéros isolés, nous pouvons donc choisir d pour que g n'ait pas d'autres racines dans B. Soit alors e le minimum de |g(z)| pour z sur le cercle frontière de B, et soit D le disque de centre w$_0$ et de rayon e. D'après le théorème de Rouché, la fonction g(z) = f(z) – w$_0$ a le même nombre de racines (comptées avec multiplicités) dans B que f(z) – w pour tout w à une distance strictement inférieure à e de w$_0$. Ainsi, pour chaque w dans D, il existe au moins un z$_1$ dans B tel que f(z$_1$) = w. Le disque D est donc contenu dans f(B), sous-ensemble de f(U) ; w$_0$ est donc un point intérieur de f(U).
Il est également possible de démontrer ce théorème sans théorie de l'intégration, à partir du théorème du point fixe de Brouwer, ou plus simplement encore à partir du théorème du point fixe de Banach/Picard.

## Remarques

Ce théorème est un exemple des importantes différences entre les applications holomorphes et les fonctions R-différentiables de C vers C : la fonction de variable complexe z ↦ z z est R-différentiable et de classe C$^∞$, mais n'est clairement pas ouverte. Elle n'est même pas ouverte comme application de C dans R puisque son image est l'intervalle fermé [0, +∞[. De même, il n'y a pas d'équivalent pour les fonctions de variable réelle.

## Généralisation à plusieurs variables

Le théorème de l'image ouverte reste valable pour les fonctions holomorphes à plusieurs variables : on remplace simplement dans l'énoncé U par un ouvert connexe de C$^n$. La preuve consiste à se ramener au cas d'une variable en traçant la droite (complexe) passant par deux points ayant des valeurs différentes par f.

## Applications

* Le théorème fondamental de l'algèbre se déduit directement du théorème de l'application ouverte : d'après le théorème de l'application ouverte, l'image $P(\mathbb {C} )$ de tout polynôme $P$ non constant est un ouvert de $\mathbb {C}$ ; il ne reste plus qu'à montrer que $P(\mathbb {C} )$ est un fermé de $\mathbb {C}$, et la connexité de $\mathbb {C}$ permettra de conclure que $P(\mathbb {C} )=\mathbb {C}$, et donc que $0\in P(\mathbb {C} )$.
* Le principe du maximum des fonctions holomorphes peut se déduire aisément du théorème de l'application ouverte. En effet, si f : U → C est une application holomorphe non constante sur un ouvert connexe U de C$^n$, alors pour tout point z$_0$ de U, l'image par f de tout voisinage ouvert de z$_0$ est un voisinage ouvert W de f(z$_0$) dans C. De par la topologie de C, |f(z$_0$)| n'est pas un maximum de l'ensemble des |w| pour w parcourant W. Donc |f(z$_0$)| n'est pas un maximum local. Le même raisonnement tient pour Re(f(z)) à la place de |f(z)|.