# Phase-shift keying

Le phase-shift keying (ou PSK, soit « modulation par changement de phase ») désigne une famille de formes de modulations numériques qui ont toutes pour principe de véhiculer de l'information binaire via la phase d'un signal de référence (porteuse), et exclusivement par ce biais.
Comme pour toute technique de modulation numérique, la phase en question ne peut prendre qu'un nombre fini de valeurs. Chacune de ces valeurs représente un unique nombre binaire, dont la taille (et donc la quantité d'information transmise) dépend du nombre de valeurs possibles pour la phase. Généralement, pour une modulation PSK donnée, les nombres binaires représentés sont tous de même taille.
Les formes de PSK les plus utilisées sont la BPSK (Bi ou 2-PSK : deux valeurs de phase possibles), la QPSK (Quad ou 4-PSK : quatre valeurs de phase possibles) et la DPSK (Differential-PSK : où l'information est contenue non pas dans une valeur absolue de phase, mais dans le déphasage entre deux signaux successifs, de même que dans la variante DQPSK qui intègre/combine les 2).

## Définitions

Pour déterminer les erreurs de manière mathématique, voici les définitions utiles pour la suite :
* $E_{b}$ = énergie par bit
* $E_{s}$ = énergie-par-symbole = $kE_{b}$ avec k bits par symbole
* $T_{b}$ = durée d'un bit (inverse du débit binaire)
* $T_{s}$ = durée d'un symbole
* $N_{0}/2$ = densité spectrale de bruit (W/Hz)
* $P_{b}$ = probabilité d'une erreur de bit
* $P_{s}$ = probabilité d'une erreur de symbole
    $Q(x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{x}^{\infty }e^{-{\frac {1}{2}}t^{2}}\,dt={\frac {1}{2}}\operatorname {erfc} \left({\frac {x}{\sqrt {2}}}\right),\ x\geq 0$.

## Binary phase-shift keying (BPSK)

BPSK est la forme la plus simple du PSK. Elle utilise deux phases qui sont séparées de 180° ; on l'appelle également 2-PSK. Cette modulation est la plus robuste de toutes les PSK car il faut une grande déformation du signal pour que le démodulateur se trompe sur le symbole reçu. Cependant on ne peut moduler qu'un seul bit par symbole (voir le schéma), ce qui est un inconvénient pour les applications qui nécessitent un débit binaire élevé.
Le taux d'erreur binaire du BPSK peut être calculé ainsi :
    $P_{b}=Q\left({\sqrt {\frac {2E_{b}}{N_{0}}}}\right)$
Comme il y a un bit par symbole, cela correspond également au taux d'erreur de symbole.

### Applications

Les données binaires sont souvent convoluées avec les signaux suivants :
    $s_{1}(t)={\sqrt {\frac {2E_{b}}{T_{b}}}}\cos(2\pi f_{c}t)$ pour le "1"
    $s_{0}(t)={\sqrt {\frac {2E_{b}}{T_{b}}}}\cos(2\pi f_{c}t+\pi )=-{\sqrt {\frac {2E_{b}}{T_{b}}}}\cos(2\pi f_{c}t)$ pour le "0"
où $f_{c}$ est la fréquence de la porteuse.
Donc le signal peut être représenté par une unique fonction de base :
    $\phi (t)={\sqrt {\frac {2}{T_{b}}}}\cos(2\pi f_{c}t)$
où 1 est représenté par ${\sqrt {E_{b}}}\phi (t)$ et 0 est représenté par $-{\sqrt {E_{b}}}\phi (t)$. Ceci est bien sûr arbitraire.
Une utilisation de cette fonction de base est montrée au moyen du diagramme temporel du signal à moduler en section 3.2 et 3.3. Dans ce diagramme, l'onde de forme du haut correspond à la composante cosinus de la modulation PSK, c'est-à-dire encore, au signal que le modulateur BPSK produirait. Le train de bits sortant est représenté au-dessus de l'onde de forme (le schéma tout entier correspond à la modulation QPSK)

## Quadrature phase-shift keying (QPSK)

Souvent connue sous le nom de 4-PSK ou QPSK, cette modulation utilise un diagramme de constellation à quatre points, à équidistance autour d'un cercle. Avec quatre phases, QPSK peut coder deux bits par symbole, cf. schéma code de Gray. Cela permet de multiplier le débit binaire par deux comparé à un système BPSK tout en maintenant la bande passante du signal, ou de maintenir le débit en réduisant la bande passante utilisée par deux.
Bien que le QPSK puisse être vu comme une modulation en quadrature, il est aussi simple de le considérer comme deux modulations indépendantes. Avec cette interprétation, les bits pairs (ou impairs) sont utilisés pour moduler la composante In-Phase(I), tandis que les bits impairs (ou pairs) sont utilisés pour la Quadrature-phase (Q). BPSK est utilisé sur les deux porteuses et peuvent être démodulées indépendamment.
La probabilité d'une erreur de bit en QPSK est la même qu'en BPSK :
    $P_{b}=Q\left({\sqrt {\frac {2E_{b}}{N_{0}}}}\right)$.
Cependant, avec deux bits par symbole, le taux d'erreur par symbole augmente :
| $\,\!P_{s}$ | $=1-\left(1-P_{b}\right)^{2}$ |
| | $=2Q\left({\sqrt {\frac {E_{s}}{N_{0}}}}\right)-\left[Q\left({\sqrt {\frac {E_{s}}{N_{0}}}}\right)\right]^{2}$. |
Si le rapport signal sur bruit est élevé (comme c'est le cas en pratique pour des systèmes QPSK), la probabilité d'erreur symbole peut être approximée par :
    $P_{s}\approx 2Q\left({\sqrt {\frac {E_{s}}{N_{0}}}}\right)=erfc\left({\sqrt {\frac {E_{s}}{2N_{0}}}}\right)=erfc\left({\sqrt {\frac {E_{b}}{N_{0}}}}\right)$
Comme avec BPSK il y a un problème d'ambigüité sur la phase pour le receveur et l'encodage différentiel de QPSK est souvent utilisé en pratique.

### Implémentation

L'implémentation de QPSK est plus générale et d'un ordre PSK plus élevé que BPSK. L'écriture des symboles liés au diagramme de constellation en termes de composantes sinus et cosinus est représentée par :
    $s_{i}(t)={\sqrt {\frac {2E_{s}}{T_{s}}}}\cos \left(2\pi f_{c}t+(2i-1){\frac {\pi }{4}}\right),i=1,2,3,4$.
Avec, donc, les quatre valeurs de phases suivantes : $\pi /4$, $3\pi /4$, $5\pi /4$ and $7\pi /4$.
Les deux composantes du signal sont données par les fonctions de base suivantes :
    $\phi _{1}(t)={\sqrt {\frac {2}{T_{s}}}}\cos(2\pi f_{c}t)$
    $\phi _{2}(t)={\sqrt {\frac {2}{T_{s}}}}\sin(2\pi f_{c}t)$
La fonction de base $\phi _{1}(t)$ donne la composante I ou In-phase et $\phi _{2}(t)$ la composante Q ou Quadrature permettant ainsi de représenter les états de phase du signal par quatre points dans le diagramme de constellation (voir ci-dessus).
    $\left(\pm {\sqrt {E_{s}/2}},\pm {\sqrt {E_{s}/2}}\right)$.
Le facteur $1/2$ indique que la puissance totale est également répartie entre les deux porteuses.
En comparant ces expressions avec celles de BPSK, on remarque que QPSK peut s'interpréter comme deux signaux BPSK indépendants. QPSK peut être implémenté de différentes façons. Le schéma ci-dessous représente la structure et les composantes principales de la transmission d'un signal modulé par QPSK. Les deux symboles correspondant chacun à un état de phase dans le diagramme de constellation BPSK (voir section 2) ne relève pas d'un scindage du débit binaire par porteuse comme montré dans le schéma ci-dessous.

### Signaux QPSK dans le domaine temporel

Le signal à moduler représenté sur la figure ci-dessous est donné pour un train de bits aléatoire réparti sur l'intervalle de données Data. Les deux ondes porteuses situées dans la partie supérieure du schéma correspondent respectivement à la composante cosinus (I ou In-phase) et la composante sinus (Q ou Quadrature). Les bits impairs sont assignés à la composante In-phase et les bits pairs à la composante Quadrature (le premier bit est forcé à 1). La résultante de la somme des deux composantes I et Q donne le signal représenté en bas de la figure. Les sauts de phase sur chaque composante peuvent être considérés comme des changements de phase PSK survenant au démarrage d'une période binaire. La forme d'onde du haut prise isolément correspond à la description de BPSK donnée en section 2.
Ici, le mot binaire véhiculé par l'onde de forme est : 1 1 0 0 0 1 1 0. Par rapport à ce mot binaire, on a :
* Bits impairs (en gras et soulignés) correspondant à la composante I ou In-phase : 1 1 0 0 0 1 1 0
* Bits pairs (en gras et soulignés) correspondant à la composante Q ou Quadrature : 1 1 0 0 0 1 1 0

### $\pi /4$–QPSK

Cette dernière variante de QPSK utilise deux constellations identiques superposées et décalées par rotation l'une par rapport à l'autre de 45° (d'où le nom de $\pi /4$). Généralement, les bits pairs sont utilisés pour sélectionner les points d'une constellation et les bits impairs, les points de l'autre constellation. Dans ce cas, le décalage de phase est au maximum de 180° pour la phase qui correspond à l'un des points et de 135° pour la phase correspondant à l'autre point correspondant. La fluctuation d'amplitude est alors comprise entre OQPSK et QPSK non compensé.
Une des propriétés que possède ce type de modulation est que le signal modulé est représenté dans le plan complexe car il n'y aucune possibilité pour celui-ci de passer par l'origine. Ainsi, la plage de fluctuation du signal est réduite dynamiquement. Cette propriété est très intéressante pour l'ingénierie des signaux de communication.
D'autre part, $\pi /4$–QPSK se prête facilement à la démodulation et est utilisé, par exemple, dans les systèmes de multiplexage TDMA pour téléphone mobile.
Le signal à moduler représenté sur la figure ci-dessous est donné pour un train de bits aléatoire réparti sur l'intervalle de données Data. La présentation du diagramme temporel est pratiquement la même que pour le QPSK à quatre points vu en section 3.2. Les symboles qui se succèdent sont issus du diagramme des deux constellations ci-contre. Ainsi, le premier symbole (1 1) est pris dans la constellation des points bleus et le second symbole (0 0) est tiré de la constellation des points verts. Notez que l'ordre de grandeur des deux ondes de forme change lorsqu'elles basculent entre les constellations pendant que l'amplitude totale du signal reste constante. Les décalages de phase sont entre celles des deux diagrammes temporels.

## PSK d'ordre supérieur

Il est possible de construire un diagramme de constellation PSK avec un nombre quelconque de phases. Mais, en pratique, 8-PSK est l'ordre le plus élevé dans l'élaboration d'un tel diagramme. En effet, avec plus de huit phases, la modulation PSK génère un taux d'erreur trop important. Il est nécessaire, pour aller au-delà de huit phases, d'utiliser un type de modulation plus complexe comme QAM (quadrature amplitude modulation). Même si un nombre quelconque de phases peut être employé, le fait que la constellation traite des données binaires signifie que le nombre de symboles est toujours obtenu à partir d'une puissance de 2 (ce qui représente un nombre égal de bits par symbole).
Pour $M$-PSK, il n'y a pas d'expression mathématique simple pour calculer le taux d'erreur si $M>4$. En effet, la seule expression générale permettant de représenter ce taux est :
    $P_{s}=1-\int _{\frac {\pi }{M}}^{\frac {\pi }{M}}p_{\Theta _{r}}\left(\Theta _{r}\right)d\Theta _{r}$
où
    $p_{\Theta _{r}}\left(\Theta _{r}\right)={\frac {1}{2\pi }}e^{-2\gamma _{s}\sin ^{2}\Theta _{r}}\int _{0}^{\infty }Ve^{-\left(V-{\sqrt {4\gamma _{s}}}\cos \Theta {r}\right)^{2}/2}$,
    $V={\sqrt {r_{1}^{2}+r_{2}^{2}}}$,
    $\Theta _{r}=\tan ^{-1}\left(r_{2}/r_{1}\right)$,
    $\gamma _{s}={\frac {E_{s}}{N_{0}}}$ et
    $r_{1}\simN\left({\sqrt {E_{s}}},N_{0}/2\right)$ et $r_{2}\simN\left(0,N_{0}/2\right)$ sont des variables aléatoires conjointes de Gauss.
L'expression mathématique de $P_{s}$ peut être approximée pour M et $E_{b}/N_{0}$ très élevés par :
    $P_{s}\approx 2Q\left({\sqrt {2\gamma _{s}}}\sin {\frac {\pi }{M}}\right)$.
La probabilité liée au taux d'erreur binaire pour $M$-PSK peut être déterminée dans la mesure où l'on connaît la cartographie binaire du signal. Toutefois, lorsque le code de Gray est utilisé, l'erreur probabiliste générée par le passage d'un symbole à l'autre est égale à une erreur binaire. Dans ce cas, on a l'approximation :
    $P_{b}\approx {\frac {1}{k}}P_{s}$.
Le graphique de gauche compare le taux d'erreur binaire entre BPSK, QPSK (identique à BPSK), 8-PSK et 16-PSK. On constate sur celui-ci que les modulations d'ordre supérieur présentent un taux d'erreur plus important. En revanche, ce taux est constaté pour un train de données plus élevé.
Les limites sur taux d'erreur provenant de différents types de modulations numériques peuvent être précisées par application de l'inégalité de Boole au diagramme de constellation du signal.