# Théorème des unités de Dirichlet

En théorie algébrique des nombres, le théorème des unités de Dirichlet détermine, pour un corps de nombres K – c'est-à-dire pour une extension finie du corps ℚ des nombres rationnels –, la structure du « groupe des unités » (ou : groupe des inversibles) de l'anneau de ses entiers algébriques. Il établit que ce groupe est isomorphe au produit d'un groupe cyclique fini et d'un groupe abélien libre de rang r$_1$ + r$_2$ – 1, où r$_1$ désigne le nombre de morphismes de K dans ℝ et r$_2$ le nombre de paires de morphismes conjugués de K dans ℂ à valeurs non toutes réelles.

## Définitions et théorème

* Un corps de nombres est une extension finie de ℚ, c'est-à-dire un sous-corps de ℂ qui, en tant qu'espace vectoriel sur ℚ, est de dimension finie. Si K est un tel corps, de dimension n sur ℚ, le nombre de morphismes de corps (ou plongements) de K dans ℂ est égal à n (cf. l'article « Extension séparable »). Or la composée de l'automorphisme de conjugaison et d'un plongement est encore un plongement. On a donc n = r$_1$ + 2r$_2$, où r$_1$ désigne le nombre des plongements à valeurs réelles et r$_2$ celui des paires de plongements conjugués à valeurs non toutes réelles.
* Un nombre complexe est dit entier algébrique s'il est racine d'un polynôme unitaire à coefficients dans l'anneau ℤ des entiers relatifs.
* Un groupe abélien libre de rang r est un groupe isomorphe à ℤ$^r$.
Le théorème des unités de Dirichlet s'exprime de la manière suivante :
   Le groupe des unités de l'anneau des entiers d'un corps de nombres K est isomorphe au produit du groupe (cyclique fini d'ordre pair) des racines de l'unité de K et d'un groupe abélien libre de rang r$_1$ + r$_2$ – 1 où r$_1$ désigne le nombre de plongements de K dans ℝ et r$_2$ le nombre de paires de plongements non réels de K dans ℂ.

## Exemples

Considérons la fermeture intégrale d'un corps quadratique, c'est-à-dire l'anneau des entiers algébriques d'une extension quadratique de ℚ. (Une démonstration directe du théorème dans ce cas particulier est donnée dans l'article détaillé.) On a donc ici : r$_1$ + 2r$_2$ = 2.
Si cet anneau est inclus dans le corps des réels, r$_2$ est nul donc r$_1$ est égal à 2. Le groupe est isomorphe à {1, –1}×ℤ. Cette situation est par exemple celle des entiers du corps quadratique ℚ(√5). L'équation de Pell-Fermat se résout à l'aide de la détermination du groupe des unités de l'anneau des entiers d'un corps quadratique réel.
Sinon, r$_2$ est égal à 1 et r$_1$ est nul. Le groupe est cyclique fini ; il est en général réduit à {1, –1}, sauf pour les entiers de Gauss et ceux d'Eisenstein. Ces deux anneaux d'entiers quadratiques sont les seules fermetures intégrales d'un corps de nombres à posséder un groupe des unités d'ordre fini strictement supérieur à 2.
Pour tout corps de nombres autre que ℚ lui-même et les corps quadratiques imaginaires, le groupe des unités de l'anneau des entiers est infini puisque le rang r$_1$ + r$_2$ – 1 est supérieur ou égal à 1. Ce rang est égal à 1 si et seulement si le corps est soit quadratique réel, soit cubique (en) complexe, soit quartique totalement imaginaire (en). Dans ces trois cas, tout générateur du facteur abélien libre ℤ est appelé une unité fondamentale (en).

## Démonstration

Les n = r$_1$ + 2r$_2$ plongements de K dans ℂ sont notés σ$_1$, … , σ$_n$, les r$_1$ premiers désignant les plongements réels et les {σ$_{r1+k}$, σ$_{r1+r2+k}$} (pour k de 1 à r$_2$) désignant les paires de plongements conjugués.
La norme relative d'un élément α de K est le rationnel produit de ses éléments conjugués :
${\mathcal {N}}_{K/\mathbb {Q} }(\alpha )=\sigma _{1}(\alpha )\ldots \sigma _{n}(\alpha )=\sigma _{1}(\alpha )\ldots \sigma _{r_{1}}(\alpha )|\sigma _{r_{1}+1}(\alpha )|^{2}\ldots |\sigma _{r_{1}+r_{2}}(\alpha )|^{2}.$
Si α appartient à l'anneau O$_K$ des entiers algébriques de K alors ce rationnel est un entier, et α appartient au groupe E(K) des unités de O$_K$ si et seulement si cet entier vaut ±1.
Ceci motive la définition du morphisme de groupes suivant :
${\begin{matrix}L:&E(K)&\rightarrow &\mathbb {R} ^{r_{1}+r_{2}}\\&\alpha &\mapsto &{\big\log |\sigma _{1}(\alpha )|,\cdots ,\log |\sigma _{r_{1}}(\alpha )|,2\log |\sigma _{r_{1}+1}(\alpha )|,\ldots ,2\log |\sigma _{r_{1}+r_{2}}(\alpha )|{\big )},\end{matrix}}$
où ln désigne la fonction logarithme et |x| désigne la valeur absolue de x ou son module, selon que x est réel ou complexe.
Quelques observations relativement élémentaires permettent de démontrer une grande partie de l'énoncé :
* Par construction, l'image de L est incluse dans l'hyperplan de ℝ$^{r1+r2}$ d'équation ∑x$_k$=0 ;
* Un lemme sur les éléments conjugués permet d'affirmer que pour tout réel M, il n'existe dans O$_K$ – et a fortiori dans E(K) – qu'un nombre fini d'éléments dont tous les conjugués sont de module inférieur ou égal à M.
** L'image de L est par conséquent un sous-groupe discret de cet hyperplan, donc un groupe abélien libre de rang inférieur ou égal à r$_1$ + r$_2$ – 1.
** De ce lemme, on déduit également que le noyau de L est un sous-groupe fini du groupe multiplicatif de ℂ, donc cyclique et constitué de racines de l'unité. Réciproquement, toute racine de l'unité de K appartient clairement à ce noyau.
** Enfin, –1 est un élément d'ordre 2 du noyau, donc ce groupe fini est d'ordre pair.
On obtient ainsi déjà :
$E(K)\simeq C\times \mathbb {Z} ^{r}{\text{ avec }}C{\text{ cyclique fini et }}r\leq r_{1}+r_{2}-1,$
où C est le groupe des racines de l'unité de K.
Mais l'essentiel de la preuve du théorème est de montrer que r est aussi supérieur ou égal à r$_1$ + r$_2$ – 1. On utilise pour cela le théorème de Minkowski et les propriétés du groupe des classes d'idéaux.
C'est le cas particulier d'un corps quadratique réel : K = ℚ(√d) avec d > 0 et O$_K$ = ℤ[ω]. Le morphisme L de E(K) dans ℝ$^2$ est ici l'application qui à α associe (ln(|α|), ln(|α$_c$|)). Son noyau C est le sous-groupe {–1, 1}.
      * Il existe un nombre réel B, et une infinité d'éléments de O$_K$ dont la norme en valeur absolue est plus petite que B.
L'argument utilisé est géométrique, il correspond à l'usage du théorème de Minkowski sur un réseau, ici de ℝ$^2$. Un réseau de ℝ$^2$ est un sous-groupe discret. Graphiquement, il correspond à un quadrillage constitué par les 4 sommets nu + mv où u et v sont deux vecteurs libres de ℝ$^2$ et n et m des éléments de ℤ. Le volume fondamental V du réseau est égal à la surface du parallélogramme constitué par les quatre points 0, u, v, u + v. Le théorème de Minkowski indique qu'un rectangle centré en (0, 0) et de surface strictement supérieure à 4 fois celle du volume fondamental contient au moins un point du réseau différent du point nul.
On choisit B strictement supérieur à V et on construit une suite de points correspondant à des éléments α$_n$ de ℤ[ω], dont la norme est en valeur absolue toujours plus petite que B, et une suite de rectangles. La largeur du rectangle diminue chaque fois suffisamment pour être certain que les points précédents de la suite d'éléments de ℤ[ω] ne puissent faire partie du nouveau rectangle. La hauteur du rectangle augmente suffisamment pour que le théorème de Minkowski nous assure de l'existence d'un point de ℤ[ω] dans le nouveau rectangle.
Soit φ, l'application de K dans ℝ$^2$, qui à un élément α associe (α, α$_c$). L'image de O$_K$ par φ est le réseau de ℝ$^2$ engendré par les vecteurs u = (1, 1) et v = (ω, ω$_c$) car (1, ω) forme une base du ℤ-module O$_K$.
On considère la suite de rectangles R$_n$ centrés en 0 de largeur 2t$_n$ et de hauteur 2B/t$_n$. Leurs surfaces sont toujours égales à 4B et ils contiennent nécessairement un point de l'image de ℤ[ω] d'après le théorème de Minkowski. Un point β de O$_K$ dont l'image par φ est dans le rectangle R$_n$, possède une valeur absolue inférieure à t$_n$ et un conjugué de valeur absolue inférieure à B/t$_n$. Sa norme est en conséquence bien bornée par B.
Définissons par récurrence les suites (t$_n$), correspondant à la demi-longueur des rectangles et α$_n$ la suite des points de O$_K$ dont l'image est dans R$_n$. On pose t$_0$ = 1 et α$_0$ un point non nul de ℤ[ω] et dont l'image est dans R$_0$. Supposons les deux suites définies à l'ordre n. Soit t$_{n+1}$ un réel strictement positif et strictement inférieur à la valeur absolue de α$_n$. Le rectangle R$_{n+1}$ ne contient aucune image des α$_j$ si j est inférieur ou égal à n car sa longueur est strictement plus petite que la valeur absolue du plus petit des α$_j$, qui forme une suite décroissante en valeur absolue. En revanche, sa surface, égale à 4B > 4V garantit, d'après le théorème de Minkowski, l'existence d'un point α$_{n+1}$ non nul dont l'image est à l'intérieur du rectangle R$_{n+1}$. La suite (α$_n$) est bien une suite infinie de points distincts dont la valeur absolue de la norme est strictement inférieure à B.
      * Il existe deux indices i et j distincts et une unité ε de ℤ[ω] tels que α$_i$ = ε.α$_j$ :
Autrement dit, en notant J$_i$ l'idéal principal engendré α$_i$ : il existe deux indices i et j distincts tels J$_i$=J$_j$. Soit N>0 un entier tel que la suite des valeurs absolues des normes des α$_i$ prenne la valeur N pour une infinité d'indices i (un tel entier existe puisque cette suite est bornée). Tous les J$_i$ correspondants sont des sous-groupes additifs de ℤ[ω] qui contiennent Nℤ[ω]. Il n'y en a donc qu'un nombre fini, puisqu'ils correspondent bijectivement à des sous-groupes du groupe quotient ℤ[ω]/Nℤ[ω], qui est fini (de cardinal N$^2$). D'où la conclusion.
      * Il existe une unité différente de ±1.
Soient i, j et ε comme ci-dessus. Comme α$_i$ et α$_j$ sont de valeurs absolues différentes, on en déduit que ε, égal au quotient α$_i$/α$_j$, ne peut être égal à ±1. On a ainsi montré l'existence d'une unité différente de ±1.
Soient :
* ${\begin{matrix}\Sigma :&K&\longrightarrow &\mathbb {R} ^{r_{1}}\times \mathbb {C} ^{r_{2}}\simeq \mathbb {R} ^{n}&\\&\alpha &\mapsto &\Sigma (\alpha )&={\big\sigma _{1}(\alpha ),\cdots ,\sigma _{r_{1}+r_{2}}(\alpha ){\big )};\end{matrix}}$
* V le volume fondamental du réseau Σ(O$_K$) ;
* des réels c$_j$ suffisamment grands pour que le convexe$X=\{(x_{1},\ldots ,x_{r_{1}+r_{2}})\in \mathbb {R} ^{r_{1}}\times \mathbb {C} ^{r_{2}}~|~\forall j,|x_{j}|<c_{j}\}$soit de volume strictement supérieur à 2$^n$V ;
* $c=c_{1}\ldots c_{r_{1}}c_{r_{1}+1}^{2}\ldots c_{r_{1}+r_{2}}^{2};$
* a$_1$O$_K$, … , a$_N$O$_K$ les idéaux principaux dont norme est majorée en valeur absolue par c (l'étude du groupe des classes d'idéaux montre qu'ils sont en nombre fini) ;
* y$_1$, … , y$_{r1+r2}$ les réels définis par$\forall j\geq 2,~y_{j}={\frac {c_{j}}{\min(|\sigma _{j}(a_{1})|,\ldots ,|\sigma _{j}(a_{N})|)}}\quad {\text{et}}\quad y_{1}\ldots y_{r_{1}}y_{r_{1}+1}^{2}\ldots y_{r_{1}+r_{2}}^{2}=1.$
Alors :
* d'après le théorème de Minkowski, il existe dans O$_K$ un élément a non nul tel que $\scriptstyle \forall j,~|\sigma _{j}(a)y_{j}|<c_{j}$ ;
* on en déduit que $\scriptstyle |{\mathcal {N}}_{K/\mathbb {Q} }(a)|<c$. L'élément a est donc de la forme a$_k$u$_1$ pour un certain k ≤ N et une certaine unité u$_1$ ;
* par définition de y$_2$, … , y$_{r1+r2}$ on a alors : $\scriptstyle \forall j>1,~|\sigma _{j}(u_{1})|<1$.
On construit de même, pour tout i de 2 à r$_1$ + r$_2$ – 1, une unité u$_i$ telle que $\scriptstyle \forall j\neq i,~|\sigma _{j}(u_{i})|<1$. Ainsi, pour chaque i de 1 à r$_1$ + r$_2$ – 1, la somme des r$_1$ + r$_2$ composantes du vecteur L(u$_i$) est nulle et toutes sont strictement négatives sauf la i-ième. Il en résulte que la matrice carrée de taille r$_1$ + r$_2$ – 1 obtenue en disposant ces vecteurs en lignes et en supprimant la dernière colonne est à diagonale strictement dominante, donc inversible, si bien que (L(u$_1$), … , L(u$_{r1+r2–1}$)) est libre.

## Prolongements

La rareté des unités est mesurée par le volume fondamental de l'image de L (dans l'hyperplan de ℝ$^{r+1}$ d'équation ∑x$_k$=0). Ce volume est égal à R√r+1, où R est le régulateur de K, défini comme la valeur absolue du déterminant de n'importe quelle matrice carrée de taille r obtenue en disposant en lignes les r vecteurs d'une base de Im(L) et en supprimant une colonne.
Par ailleurs, le calcul de bases pour la partie libre du groupe des unités est effectif, mais se heurte en pratique à la complexité des calculs dès que le degré r$_1$ + 2r$_2$ de l'extension K augmente (les problèmes surviennent généralement avant le degré 100).
Le théorème admet des généralisations dans plusieurs axes : étude du groupe des S-unités, pour S un ensemble d'idéaux premiers, c'est-à-dire, grossièrement parlant, des éléments dont les composantes suivant tous les facteurs sont inversibles, sauf un certain nombre prescrit ; ou bien des caractères pour l'action d'un groupe de Galois sur ces groupes d'unités.