# Xcas

Xcas (se prononce /ikskas/) est un logiciel libre et open source de calcul formel pour
* Microsoft Windows
* Apple macOS
* Linux et Unix
* FreeBSD
* Android
* en ligne
Xcas est une interface de Giac, une bibliothèque C++ de calcul formel libre (licence GPL). Giac dispose d'un mode de compatibilité avec les logiciels comme Maple, Matlab, WolframAlpha , Python, Mathematica, MuPAD, Yacas, Qcas, WordMat (pour Microsoft Word), CPMP-Tools, ExpressionsinBar (64 bit app pour macOS), les calculatrices TI CE, TI-89, TI-92, Voyage 200 et TI-Nspire. On peut donc utiliser Giac/Xcas aussi bien comme un logiciel gratuit compatible avec Maple, pour développer des algorithmes de calcul formel, ou l'utiliser dans un autre logiciel…
Xcas pour Firefox est une version de Xcas utilisable sans installation depuis un navigateur Web.
Xcas est intégré au complément CmathOOoCAS qui permet d'effectuer du calcul formel dans le tableur Calc et dans le traitement de textes Writer de la suite bureautique OpenOffice.org. Il est développé par Bernard Parisse et l'université Joseph-Fourier de Grenoble.
Giac/Xcas est la partie calcul formel du logiciel GeoGebra.
Giac/Xcas est porté sur certaines calculatrices sous le nom de KhiCAS:
* Casio Graph 35+eii et Casio Graph 90
* HP Prime (dont Giac est le moteur de calcul)
* NumWorks où il est utilisable en tant qu'application externe (pas en mode examen).
* TI-Nspire CX et CX II (à condition d'être compatible avec le jailbreak Ndless) - il est utilisable en mode examen sur les TI Nspire CX, mais pas sur les CX II.
* TI-83 Premium CE / TI-84 Plus CE (sous forme d'app tierce non-officielle)

## Capacités

Voici un bref aperçu de ce que Xcas est capable de faire :
* calcul formel ;
* géométrie dans le plan ;
* géométrie dans l'espace ;
* tableur ;
* statistiques ;
* graphiques ;
* programmation.

## Quelques exemples
### Simulation de la chute d'un objet

On utilise les fonctions préprogrammées suivantes :
* int qui renvoie la primitive d'une fonction.
* unapply qui permet d'évaluer une expression selon un paramètre.
* solve qui permet de résoudre une équation.
* plot qui permet de créer et afficher un graphique.
* string qui permet de transformer un objet (exemple : nombre entier) en une chaine de caractères.
* diff Différenciation de la fonction.
* split((x+1)*(y-2),[x,y]) = [x+1,y-2] Séparation des variables.
* desolve résoudre l'équation différentielle (voir l'illustration).
* factor Polynôme d'affacturage.
* nPr calculer les permutations.
* nCr calculer des combinaisons.
* sqrt racine carrée.
* cross([1,2,3],[4,3,2]) = [-5,10,-5] calculer le produit croisé de deux vecteurs
* mean([3,4,2]) = 3 calculer la moyenne
* stddev([3,4,2]) = sqrt(2/3) calculer l'écart type
* variance([3,4,2]) = 2/3 calculer la variance
* det([1,2],[3,4]) = -2 calculer le déterminant d'une matrice
* extrema(-2*cos(x)-cos(x)^2,x) = [0],[pi] calculer les extrema locaux d'une fonction
* line(x=1) = la ligne verticale x=1 tracez une ligne verticale dans le système de coordonnées
Trouver plus de commandes ici : http://www-fourier.ujf-grenoble.fr/~parisse/giac/cascmd_en.pdf

#### Premier modèle : Une chute sans frottement
##### Première méthode : fonction qui retourne un nombre (la vitesse à l'impact)

On sait que la gravité terrestre nous fournit une accélération de 9,81 m s$^{−2}$, donc il suffit de l'intégrer deux fois pour avoir la position.
À la ligne 6, on remplit L avec deux solutions : une négative et une positive. On ne prendra que la solution positive, qui se trouve être la deuxième (on utilisera l'indice 1, c'est-à-dire L[1] (L'indice 0 étant la première solution)).
Code utilisé :
On a donc ici l'appel de la fonction :
Qui renvoie :
Qui est bien sûr la vitesse (en m s$^{−1}$) que l'objet atteint au niveau du sol après une chute sans frottement d'une hauteur de 9 m.

##### Deuxième méthode : fonction qui retourne une phrase et un graphique

On garde la même structure que la fonction vitesse_chute_1_1, mais on ajoute une phrase et un graphique. On met un moins devant la vitesse et la position, car l'objet tombe vers le bas, qui est considéré négatif (l'altitude étant positive vers le haut).
Code utilisé :
On a donc l'appel de la fonction :
Qui renvoie :
Ainsi qu'un graphique :

#### Deuxième modèle : Une chute dans l'air avec frottement du type proportionnel (à la vitesse) : ${\overrightarrow {F_{f}}}=-k{\overrightarrow {v}}$

Cette fois ci, on prend en compte la force de frottement ${\overrightarrow {F_{f}}}=-k{\overrightarrow {v}}$ : les fonctions donnant la vitesse et la position ont été calculées manuellement, grâce au principe fondamental de la dynamique.
On trouve les fonctions (du temps) suivantes :
* $v_{x}(t)=\tau g(e^{-{\frac {t}{\tau }}}-1)$
** Avec ${\begin{cases}\tau ={\frac {m}{k}}\\v(0)=0\end{cases}}$
* $x(t)=\tau ^{2}g(1-e^{-{\frac {t}{\tau }}})-\tau gt$
** Avec ${\begin{cases}\tau ={\frac {m}{k}}\\x(0)=0\end{cases}}$
NB : On prend $k=12.4$ en supposant que $m=70$ et que la vitesse terminale (vitesse maximale lors de la chute) de cette masses est de 200 km h$^{−1}$.
De plus, on ne met pas de moins devant la vitesse et la position, car le signe a déjà été pris en compte dans la réalisation des formules.
Code utilisé :
On a donc l'appel de la fonction :
Qui renvoie :
(Qui est juste présent pour vérifier que la fonction a été lue jusqu'au bout.)
Ainsi qu'un graphique :

#### Superposition des deux modèles

On constate que les deux graphiques (avec et sans frottement) sont effectivement différents ; l'accélération n'est pas constante dans le cas du frottement : la vitesse (rouge) tend à se stabiliser (pour devenir horizontale).