# Théorème des zéros de Hilbert

Le théorème des zéros de Hilbert, parfois appelé Nullstellensatz (signifiant "théorème des zéros" en allemand ou plus littéralement "théorème du lieu des zéros"), est un théorème d'algèbre commutative qui est à la base du lien entre les idéaux et les variétés algébriques. Il a été démontré par le mathématicien allemand David Hilbert.

## Énoncés

Une algèbre de type fini sur K est un anneau quotient d'un anneau de polynômes K[X$_1$,…,X$_n$] par un idéal. Sa structure de K-algèbre est induite par celle de K[X$_1$,…,X$_n$]. Il existe plusieurs formulations du théorème des zéros de Hilbert.
Théorème 1 (Lemme de Zariski). Soient K un corps et A une K-algèbre de type fini. Alors tout quotient de A par un idéal maximal est une extension finie de K.
De façon équivalente : si A est un corps, alors c'est une extension finie de K.
Procédons par récurrence sur le nombre de générateurs de la K-algèbre A, supposée être un corps. Il faut montrer que ces générateurs sont algébriques sur K. S'il n'y a pas de générateur, il n'y a rien à démontrer. Supposons le résultat vrai pour toute K-algèbre engendrée par n générateurs qui soit également un corps et donnons-nous une K-algèbre A engendrée par n + 1 éléments $x_{0},x_{1},...,x_{n}$ qui soit un corps.
* A est engendrée par $x_{1},...,x_{n}$ sur $K(x_{0})$, corps des fractions de $K[x_{0}]$ inclus dans le corps A. Par hypothèse de récurrence, les $x_{i},i>0$, sont annulés par des polynômes unitaires $P_{i}$ à coefficients dans $K(x_{0})$ et il reste à voir que $x_{0}$ est algébrique sur K.
* Notant $f\in K[x_{0}]$ le produit de tous les dénominateurs intervenant dans les coefficients des $P_{i}$, les $x_{i}$ sont entiers sur le localisé $K[x_{0}]_{f}$, donc A est entier sur $K[x_{0}]_{f}$.
* Si $x_{0}$ était transcendant sur K, alors $K[x_{0}]_{f}$ serait intégralement clos donc, d'après le point précédent, égal à $K(x_{0})$, ce qui est absurde. Finalement, $x_{0}$ est bien algébrique sur K.
Ce théorème a plusieurs conséquences immédiates.
On note Spm A le spectre maximal d'un anneau A, c.-à-d. l'ensemble des idéaux maximaux de A.
Théorème 2 (Nullstellensatz faible). Supposons que $K$ est algébriquement clos. Alors la fonction
${\begin{array}{lcll}\phi :&K^{n}&\to &\operatorname {Spm} K[X_{1},\dots ,X_{n}]\\&(a_{1},\dots ,a_{n})&\mapsto &(X_{1}-a_{1},\dots ,X_{n}-a_{n})\end{array}}$
est une bijection, où $(X_{1}-a_{1},\dots ,X_{n}-a_{n})$ désigne l'idéal engendré par les $X_{i}-a_{i}$.
Autrement dit, un point de $K^{n}$ s'identifie avec un idéal maximal de polynômes à $n$ indéterminées sur $K$ quand $K$ est algébriquement clos.
Soit $M\in \operatorname {Spm} K[X_{1},\dots ,X_{n}]$ un idéal maximal. D'après le théorème 1, K[X$_1$,…,X$_n$]/M est une extension finie de K ; il est donc égal à K car un corps algébriquement clos n'a que lui-même comme extension finie. Pour tout $i=1,2,\dots ,n$, on note $a_{i}\in K$ la classe de $X_{i}$ dans le quotient. Alors $X_{i}-a_{i}$ appartient à $M$. Donc $M$ contient l'idéal $(X_{1}-a_{1},\dots ,X_{n}-a_{n})$. Comme celui-ci est maximal, on a l'égalité. L'unicité de $(a_{1},\dots ,a_{n})$ résulte du fait que si $(b_{1},\dots ,b_{n})$ est un autre n-uplet vérifiant la même propriété, alors $a_{i}-b_{i}=(X_{i}-b_{i})-(X_{i}-a_{i})$ appartient à $M$, et est donc nul car sinon ce serait un scalaire inversible dans $M$.
Théorème 3 (Existence des zéros). Si K est un corps algébriquement clos, alors pour tout idéal propre $I$ de K[X$_1$,…,X$_n$], il existe un point de K$^n$ racine de tout élément de $I$.
Ce résultat n'est pas vrai si K n'est pas algébriquement clos. L'idéal M des multiples de X$^2$ + 1 est maximal dans ℝ[X] puisque le quotient de ℝ[X] par M est un corps isomorphe à ℂ, pourtant le polynôme n'admet pas de racine dans ℝ.
Soit $I$ un tel idéal. Il est contenu dans un idéal maximal $M$. Il suit du théorème 2 que $M=(X_{1}-a_{1},\dots ,X_{n}-a_{n})$ et donc $(a_{1},\ldots ,a_{n})$ est une racine commune des éléments de $I$.
Théorème 4. Soit $I$ un idéal d'une algèbre de type fini A sur K. Alors le radical √I de $I$ est égal à l'intersection des idéaux maximaux de A contenant $I$.
Quitte à remplacer $A$ par $A/I$, on peut supposer que $I=0$. L'inclusion du nilradical dans l'intersection des maximaux est immédiate. Il reste à montrer l'inclusion inverse. Soit $f$ appartenant à l'intersection des maximaux de $A$. Si $f$ n'est pas nilpotent, on peut considérer la partie multiplicative $S$ de $A$ constituée des puissances entières strictement positives de $f$. La localisation $A_{f}=S^{-1}A$ est encore une algèbre de type fini sur K car elle est isomorphe à $A[T]/(Tf-1)$. Soient $M'$ un idéal maximal de $A_{f}$ et $M$ son image réciproque dans $A$ par l'homomorphisme canonique de localisation $A\to A_{f}$. Alors $A/M\to A_{f}/M'$ est injectif. Par le théorème 1, $A_{f}/M'$ est une extension finie de K, donc entier sur $A/M$. C'est alors un exercice facile de voir que $A/M$ est un corps, et donc $M$ est maximal. Par sa construction, $M$ ne contient pas $f$ (celui-ci étant inversible dans $A_{f}$, $M'$ serait égal à l'idéal unité sinon). Ce qui aboutit à une contradiction puisque $f$ est supposé appartenir à tous les idéaux maximaux de $A$.
Si $P$ est un polynôme appartenant à K[X$_1$,…,X$_n$], les zéros de $P$ dans K$^n$ sont les points $(a_{1},\ldots ,a_{n})\in K^{n}$ tels que $P(a_{1},\ldots ,a_{n})=0$.
Corollaire (Nullstellensatz fort). Supposons K algébriquement clos. Soient $I$ un idéal de K[X$_1$,…,X$_n$] et $Z(I)$ l'ensemble des zéros communs des polynômes de $I$. Si $f$ est un polynôme dans K[X$_1$,…,X$_n$] qui s'annule sur $Z(I)$, alors une puissance de $f$ appartient à $I$.
Pour tout idéal maximal $M=(X_{1}-a_{1},\dots ,X_{n}-a_{n})$ contenant $I$, $(a_{1},\dots ,a_{n})$ est un point de $Z(I)$, donc annule $f$. Il suit que $f$ appartient à $M$. Par le théorème 4, $f$ appartient au radical de $I$, donc une puissance de $f$ appartient à $I$.
Le théorème 2 sur la structure des idéaux maximaux est faux sur un corps non algébriquement clos (même en une variable). Cependant, la propriété plus faible suivante subsiste :
* Tout idéal maximal $M$ de K[X$_1$,…,X$_n$] (K non nécessairement clos) est engendré par $n$ polynômes.
Par la théorie de la dimension de Krull, on sait qu'aucun idéal maximal de K[X$_1$,…,X$_n$] ne peut être engendré par strictement moins que $n$ éléments.

## Théorème de Bézout

Une forme particulière du théorème des zéros est le théorème d'existence des zéros (th. 3 ci-dessus) qui, par contraposée, peut se reformuler ainsi :
* Soit K un corps algébriquement clos, soient $f_{0},\dots ,f_{m}\in K[X_{1},\dots ,X_{n}]$ des polynômes sans zéros communs. Alors il existe $g_{0},\dots ,g_{m}\in K[X_{1},\dots ,X_{n}]$ vérifiant l'identité de Bézout
$f_{0}g_{0}+\dots +f_{m}g_{m}=1.$
L'astuce de Rabinowitsch (en) montre que ce cas particulier du Nullstellensatz fort implique le cas général. En effet si, dans K[X$_1$,…,X$_n$], $I$ est l'idéal engendré par $f_{1},\dots ,f_{m}$ et $f$ est un polynôme qui s'annule sur $Z(I)$, on considère l'idéal de K[X$_0$,X$_1$,…,X$_n$] engendré par $f_{1},\dots ,f_{m}$ et par le polynôme $1-fX_{0}$. Cet idéal n'a pas de zéros communs dans K$^{n+1}$. Donc il existe $g_{0},\dots ,g_{m}\in K[X_{0},\dots ,X_{n}]$ tels que l'on ait
$(1-fX_{0})g_{0}+f_{1}g_{1}+\ldots +f_{m}g_{m}=1.$
En remplaçant dans cette identité $X_{0}$ par $1/f$, et en multipliant les deux côtés par une puissance convenable $N$ de $f$, on voit que cette puissance de $f$ appartient à $I$. De plus, on peut majorer $N$ par le maximum des degrés totaux de $g_{1},\dots ,g_{m}$.