# Nombre polytopique

En arithmétique géométrique, un nombre polytopique, ou nombre hyperpolyédrique, est un nombre figuré comptant des points disposés régulièrement dans un polytope, ou hyperpolyèdre.

## Cas des trois familles de polytopes réguliers en toutes dimensions

Pour un polytope de dimension $k$ possédant, pour $0\leqslant i\leqslant k$, $N_{i}$ cellules de dimension $i$ qui sont toutes des polytopes équivalents ($N_{0}=S,N_{1}=A$) le nombre de points ajoutés à l'étape $n$ est
$P(n)-P(n-1)=\sum _{i=0}^{k}(N_{i}-D_{i})P_{n,i}^{*}=S-1+(A-D_{1})(n-2)+\cdots +(N_{k}-D_{k})P_{n,k}^{*}$
où $D_{i}$ est le nombre, constant, de cellules de dimension $i$ aboutissant à un sommet, et $P_{n,i}^{*}$ le nombre polytopique d'ordre $n$ associé aux cellules de dimension $i$, auquel on retranche le nombre de points situés sur leur frontière.

### Nombres simpliciaux ou hypertétraédriques

Ce sont des nombres figurés comptant des points répartis dans un simplexe, polytope généralisant le triangle et le tétraèdre. Le $n$-ième nombre $k$-simplicial ou hypertétraédrique de dimension $k$ est le nombre de points d'un $k$-simplexe dont les arêtes comportent $n$ points. On l'obtient comme somme des nombres $(k-1)$-simpliciaux d'indices 1 à $n$,
$\forall n\in \mathbb {N} ^{*}\quad S_{k}(n)=S_{k-1}(1)+S_{k-1}(2)+\cdots +S_{k-1}(n)$
Partant de $S_{1}(n)=n={\binom {n}{1}}$, on obtient par récurrence, grâce à la formule d'itération de Pascal, de le calculer par récurrence :
$\forall n\in \mathbb {N} ^{*}\quad S_{k}(n)={\binom {n+k-1}{k}}={{n(n+1)\cdots (n+k-1)} \over {k!}}={\frac {n^{\overline {k}}}{k!}}$
où $k!$ est la factorielle de $k$, ${n \choose k}=C_{n}^{k}$ est un coefficient binomial, et $n^{\overline {k}}$ une factorielle croissante.
Les nombres $k$-simpliciaux constituent donc la $(k+1)$-ième colonne du triangle de Pascal. Par exemple, pour les dimensions de 1 à 6, ce sont :
* $S_{1}(n)=n$ (nombres linéaires)
* $S_{2}(n)={\frac {n(n+1)}{2}}$ , nombres triangulaires, suite A000217 de l'OEIS
* $S_{3}(n)={\frac {n(n+1)(n+2)}{6}}$ , nombres tétraédriques, suite A000292 de l'OEIS
* $S_{4}(n)={\frac {n(n+1)(n+2)(n+3)}{24}}$ , nombres pentatopiques, suite A000332 de l'OEIS
* $S_{5}(n)={\frac {n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)}{120}}$, suite A000389 de l'OEIS
* $S_{6}(n)={\frac {n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)(n+5)}{720}}$, suite A000579 de l'OEIS.

### Nombres hypercubiques

Ce sont des nombres figurés comptant des points répartis dans un hypercube, polytope généralisant le carré et le cube. Le $n$-ième nombre $k$- hypercubique ou hypercubique de dimension $k$ est le nombre de points répartis dans un hypercube de dimension $k$ dont les arêtes comportent $n$ points. Il est égal à la puissance parfaite $C_{k}(n)=n^{k}$.

### Nombres hyperoctaédriques

Ce sont des nombres figurés comptant des points répartis dans un hyperoctaèdre, polytope généralisant le carré et l'octaèdre. Le $n$-ième nombre $k$- hyperoctaédrique ou hyperoctaédrique de dimension $k$ est le nombre de points d'un hyperoctaèdre dont les arêtes comportent $n$ points. Il est égal à $O_{k}(n)=\sum _{i=0}^{k-1}{\binom {k-1}{i}}{\binom {n+i}{k}}$$^,$.
Par exemple, pour les dimensions de 1 à 6, ce sont :
* $O_{1}(n)=n$ (nombres linéaires)
* $O_{2}(n)={\binom {n}{2}}+{\binom {n+1}{2}}=n^{2}$ , nombres carrés : 1, 4, 9, 16, 25, ..., suite A000290 de l'OEIS
* $O_{3}(n)={\binom {n}{3}}+2{\binom {n+1}{3}}+{\binom {n+2}{3}}={n(2n^{2}+1) \over 3}$ , nombres octaédriques : 1, 6, 19, 44, 85, ..., suite A005900 de l'OEIS
* $O_{4}(n)={\binom {n}{4}}+3{\binom {n+1}{4}}+3{\binom {n+2}{4}}+{\binom {n+3}{4}}={n^{2}(n^{2}+2) \over 3}$, nombres 4-hyperoctaédriques : 1, 8, 33, 96, 225, ..., suite A014820 de l'OEIS
* $O_{5}(n)={\frac {n(2n^{4}+10n^{2}+3)}{15}}$, nombres 5-hyperoctaédriques : 1, 10, 51, 180, 501, ..., suite A069038 de l'OEIS
* $O_{6}(n)={\frac {n^{2}(2n^{4}+20n^{2}+23)}{45}}$, nombres 6-hyperoctaédriques : 1, 12, 73, 304, 985, ..., suite A069039 de l'OEIS.
La suite double $(O_{k}(n))$ est répertoriée, avec inversion de $k$ et $n$, comme suite A142978 de l'OEIS.
Elle peut être définie par récurrence par :${\begin{cases}O_{k}(1)=1,O_{1}(n)=n,&\\O_{k}(n)=O_{k}(n-1)+O_{k-1}(n-1)+O_{k-1}(n),&{\text{pour }}2\leqslant k\leqslant n\end{cases}}$.
Ceci permet de construire facilement le triangle de ces nombres, les suites $(O_{k}(n))_{n}$ se lisant dans les diagonales descendantes :
Le triangle de Delannoy a la même définition, sauf que les deux bordures sont remplies de 1.
Il existe de plus une formule de symétrie : $kO_{k}(n)=nO_{n}(k)$.

## Cas des cinq polytopes réguliers exotiques
### En dimension quatre

Pour les nombres hyperdodécaédriques ou hécatonicosachoriques, les nombres hypericosaédriques ou hexacosichoriques et les nombres hypergranatoédriques ou icositétrachoriques :