# Propriété de la borne supérieure

En mathématiques, un ensemble ordonné est dit posséder la propriété de la borne supérieure si tous ses sous-ensembles non vides et majorés possèdent une borne supérieure. De même, un ensemble ordonné possède la propriété de la borne inférieure si tous ses sous-ensembles non vides et minorés possèdent une borne inférieure. Il s'avère que ces deux propriétés sont équivalentes.
On dit aussi parfois qu'un ensemble possédant la propriété de la borne supérieure est Dedekind complet.

## Définition

Soit $(E,\leq )$ un ensemble ordonné (partiellement ou totalement). Cet ensemble possède la propriété de la borne supérieure (resp. inférieure) si pour tout sous-ensemble non vide $A\subset E$ qui possède un majorant (resp. minorant) alors $A$ possède une borne supérieure (resp. inférieure).

## Propriétés

* Un ensemble ordonné possède la propriété de la borne supérieure si et seulement si il possède la propriété de la borne inférieure.
Donnons nous un ensemble ordonné $(E,\leq )$ vérifiant la propriété de la borne supérieure (pbs) et montrons qu'il satisfait la propriété de la borne inférieure (pbi).
Soit $A$ un sous-ensemble non vide et minoré de $E$. Notons $B$ l'ensemble des minorants de $A$. Cet ensemble est non vide (car par hypothèse $A$ possède au moins un minorant) et majoré (car les éléments de $A$, qui est non vide, sont tous des majorants de $B$) donc possède une borne supérieure notée $a$. On vérifie ensuite que $a$ est une borne inférieure de $A$. En effet, tout élément de $A$ est un majorant de $B$, donc par définition de la borne supérieure, $a$ est un minorant de $A$. En outre, si $x\in E$ est un minorant de $A$, alors $x\in B$ et donc, par définition de la borne supérieure, $x\leq a$.
Réciproquement, si $(E,\leq )$ est un ensemble ordonné vérifiant la pbi, alors $(E,\geq )$ vérifie la pbs, donc $(E,\geq )$ vérifie la pbi par ce qui précède et enfin, $(E,\leq )$ possède la pbs.
* Si $(E,\leq )$ est un ensemble totalement ordonné et Dedekind complet, alors les intervalles de $E$ (c'est-à-dire les sous-ensembles $I\subset E$ vérifiant $\forall x,y\in I,\,x<z<y\Rightarrow z\in I$) sont exactement les ensembles de la forme $\left]a,b\right[,\,\left[a,b\right[,\,\left]a,b\right],\,\left[a,b\right],\,\left]\leftarrow ,b\right],\,\left]\leftarrow ,b\right[,\,\left[a,\rightarrow \right[,\,\left]a,\rightarrow \right[,\,E$ où par exemple $\left]a,b\right[:=\{x\in E\,|\,a<x<b\}$ et $\left[a,\rightarrow \right[:=\{x\in E\,|\,x\geq a\}$.

## Exemples

* Un treillis complet est Dedekind complet puisque chaque sous-ensemble (vide ou non, majoré ou non, minoré ou non) possède une borne inférieure et supérieure.
* L'ensemble des nombres réels $\mathbb {R}$ est Dedekind complet.
Nous allons le démontrer en utilisant la construction de $\mathbb {R}$ par les coupures de Dedekind.
Soit $X$ une partie non vide et majorée de $\mathbb {R}$. Posons
$B:=\bigcup _{A\in X}A$
et montrons que $B$ est la borne supérieure de $X$. Montrons d'abord que $B$ est bien une coupure de Dedekind.
* $B$ est clairement non vide car pour tout $A\in X$, $A$ est non vide (par définition d'une coupure de Dedekind).
* $B$ est différent de $\mathbb {Q}$. En effet, comme $X$ est majoré et que $\mathbb {R}$ est archimédien, il existe $n\in \mathbb {N}$ tel que $\forall a\in A\in X,a<n$. Ainsi $n$ n'appartient pas à $B$, car sinon il existerait $A\in X$ tel que $n\in A$ et alors, par définition d'une coupure de Dedekind, il existerait $a'\in A$ tel que $n<a'$.
* Si $b\in B,\,r\in \mathbb {Q} ,\,r<b$, alors il existe $A\in X$ tel que $b\in A$ et donc $r\in A\subset B$.
* Si $b\in B$, alors il existe $A\in X$ tel que $b\in A$ et donc il existe $a\in A\subset B$ tel que $b<a$.
Montrons maintenant que $B$ est la borne supérieure de $X$.
* $B$ est un majorant de $X$ car pour tout $A\in X$, $A\subset B$.
* $B$ est le plus petit des majorants de $X$. En effet, si $C$ est un majorant de $X$, alors pour tout $A\in X$, $A\subset C$ donc $B\subset C$.
* L'ensemble des nombres rationnels $\mathbb {Q}$ n'est pas Dedekind complet.
Il suffit de montrer qu'on peut trouver dans ℚ une partie A, non vide et majorée, qui ne possède pas de borne supérieure.
Pour cela, considérons le sous-ensemble $A=\{x\in \mathbb {Q} \;\vert \;x^{2}\leq 2\}$. A est clairement majoré, par 2 par exemple. Soit b un majorant rationnel de A, et exhibons un nouveau majorant rationnel c < b, ce qui montrera que A ne possède pas de plus petit majorant rationnel.
Remarquons d'abord que 1 appartient à A donc b ≥ 1 > 0, et considérons le rationnel $c={\tfrac {b}{2}}+{\tfrac {1}{b}}>0$ (construit en s'inspirant de la méthode de Héron). Comme $c^{2}-2=\left({\tfrac {b^{2}+2}{2b}}\right)^{2}$ qui est positif donc on a c$^2$ ≥ 2, dont on déduit :
* d'une part, que c est un majorant de A ;
* d'autre part, que ${\tfrac {2}{c}}\in A$, si bien que $b\geq {\tfrac {2}{c}}$, ce qui (d'après la définition de c) se réécrit : b$^2$ ≥ 2. Comme ℚ ne contient pas de racine carrée de deux, on a même b$^2$ > 2, ce qui (à nouveau d'après la définition de c) se traduit par : c < b.