# Fonction additive (arithmétique)

En théorie des nombres, une fonction additive $f$ est une fonction arithmétique (donc définie sur l'ensemble des entiers strictement positifs à valeurs dans l'ensemble des nombres complexes $\mathbb {C}$) telle que :
$a$
$b>0$
$f(ab)=f(a)+f(b)$
(en particulier, $f(1)=0$).
On dit que $f$ est (une fonction additive) réelle si elle est uniquement à valeurs dans l'ensemble des nombres réels $\mathbb {R}$.
Une fonction arithmétique $f$ est dite complètement additive lorsque :
$a$
$b>0$
$f(ab)=f(a)+f(b)$
même si $a$ et $b$ ne sont pas premiers entre eux.
En dehors de la théorie des nombres, le terme additive est habituellement utilisé pour toutes les fonctions vérifiant :
$a$
$b$
$f$
$f(a+b)=f(a)+f(b)$
Cet article ne concerne que les fonctions additives de la théorie des nombres.
Toute fonction complètement additive est additive, mais la réciproque est fausse.

## Exemples de fonctions complètement additives
### Deux exemples élémentaires

* la restriction de la fonction logarithme à $\mathbb {N} ^{*}$.
* la valuation p-adique, pour tout nombre premier $p$.

### La fonction Ω

La fonction $\Omega$ associe à un entier naturel non nul $n$, le nombre avec répétition (i.e. en comptant de multiples fois les facteurs multiples) des facteurs premiers de $n$ :
${\text{si }}n=\prod _{i=1}^{m}p_{i}^{\gamma _{i}},{\text{ alors }}\Omega (n)=\sum _{i=1}^{m}\gamma _{i}.$
Par exemple (suite A001222 de l'OEIS) :
       $\Omega (4)=2$ ;
       $\Omega (24)=\Omega (2^{3}\times 3^{1})=3+1=4$ ;
       $\Omega (27)=3$ ;
       $\Omega (144)=\Omega (2^{4}\times 3^{2})=\Omega (2^{4})+\Omega (3^{2})=4+2=6$;
       $\Omega (2000)=\Omega (2^{4}\times 5^{3})=\Omega (2^{4})+\Omega (5^{3})=4+3=7$ ;
       ${\ce {\Omega(2001)=3}}$ ;
       ${\ce {\Omega(2002)=4}}$ ;
       ${\ce {\Omega(2003)=1}}$ ;
       $\Omega (54\ 032\ 858\ 972\ 279)=\Omega (11\times 1993^{2}\times 1236661)=4$ ;
       $\Omega (54\ 032\ 858\ 972\ 302)=\Omega (2\times 7^{2}\times 149\times 2081\times 1\ 778\ 171)=6$ ;
       $\Omega (20\ 802\ 650\ 704\ 327\ 415)=\Omega (5\times 7\times 11^{2}\times 1993^{2}\times 1236661)=7$.

### La fonction a$_0$

La fonction $a_{0}$ (parfois appelée par les anglo-saxons sopfr) associe à un entier naturel non nul $n$ la somme avec répétition des facteurs premiers de $n$ :
${\text{si }}n=\prod _{i=1}^{m}p_{i}^{\gamma _{i}},{\text{ alors }}a_{0}(n)=\sum _{i=1}^{m}\gamma _{i}p_{i}.$
Par exemple (suite A001414 de l'OEIS) :
       $a_{0}(4)=4$ ;
       $a_{0}(20)=a_{0}(2^{2}\times 5)=2+2+5=9$ ;
       $a_{0}(27)=9$ ;
       $a_{0}(144)=a_{0}(2^{4}\times 3^{2})=a_{0}(2^{4})+a_{0}(3^{2})=8+6=14$ ;
       $a_{0}(2000)=a_{0}(2^{4}\times 5^{3})=a_{0}(2^{4})+a_{0}(5^{3})=8+15=23$ ;
       $a_{0}(2001)=55$ ;
       $a_{0}(2002)=33$ ;
       $a_{0}(2003)=2003$ ;
       $a_{0}(54\ 032\ 858\ 972\ 279)=1\ 240\ 658$ ;
       $a_{0}(54\ 032\ 858\ 972\ 302)=1\ 780\ 417$ ;
       $a_{0}(20\ 802\ 650\ 704\ 327\ 415)=1\ 240\ 681$.

## Exemples de fonctions qui sont seulement additives

   * la fonction $\omega$, qui associe à un entier naturel $n$ le nombre total de nombres premiers distincts qui divisent $n$ (elle est donc majorée par $\Omega$). Par exemple (suite A001221 de l'OEIS) :
       $\omega (4)=1$ ;
       $\omega (27)=1$ ;
       $\omega (144)=\omega (2^{4}\times 3^{2})=\omega (2^{4})+\omega (3^{2})=1+1=2$ ;
       $\omega (2000)=\omega (2^{4}\times 5^{3})=\omega (2^{4})+\omega (5^{3})=1+1=2$ ;
       $\omega (2001)=3$ ;
       $\omega (2002)=4$ ;
       $\omega (2003)=1$ ;
       $\omega (54\ 032\ 858\ 972\ 279)=3$ ;
       $\omega (54\ 032\ 858\ 972\ 302)=5$ ;
       $\omega (20\ 802\ 650\ 704\ 327\ 415)=5$.
   * la fonction $a_{1}$ (parfois appelée par les anglo-saxons sopf) qui à un entier $n$ associe la somme de ses diviseurs premiers distincts (elle est de même majorée par $a_{0}$). Par exemple (suite A008472 de l'OEIS) :
       $a_{1}(4)=2$ ;
       $a_{1}(20)=2+5=7$ ;
       $a_{1}(27)=3$ ;
       $a_{1}(144)=a_{1}(2^{4}\times 3^{2})=a_{1}(2^{4})+a_{1}(3^{2})=2+3=5$ ;
       $a_{1}(2000)=a_{1}(2^{4}\times 5^{3})=a_{1}(2^{4})+a_{1}(5^{3})=2+5=7$ ;
       $a_{1}(2001)=55$ ;
       $a_{1}(2002)=33$ ;
       $a_{1}(2003)=2003$ ;
       $a_{1}(54\ 032\ 858\ 972\ 279)=1\ 238\ 665$ ;
       $a_{1}(54\ 032\ 858\ 972\ 302)=1\ 780\ 410$ ;
       $a_{1}(20\ 802\ 650\ 704\ 327\ 415)=1\ 238\ 677$.

## Fonctions multiplicatives

À partir de n'importe quelle fonction additive $f$, il est facile de créer une fonction multiplicative $g$ en définissant par exemple $g$ par :
$\forall n\in \mathbb {N} ^{*}\quad g(n)=2^{f(n)}.$