# Indice de coïncidence

L'indice de coïncidence est une technique de cryptanalyse inventée par William F. Friedman en 1920 (publiée dans The Index of Coincidence and its Applications in Cryptography) et améliorée par son collaborateur Solomon Kullback.
L'indice permet de savoir si un texte a été chiffré avec un chiffre mono-alphabétique ou un chiffre poly-alphabétique en étudiant la probabilité de répétition des lettres du message chiffré. Il donne également une indication sur la longueur de la clé probable.
L'indice se calcule avec la formule suivante : $IC=\sum _{q=A}^{q=Z}{\frac {n_{q}(n_{q}-1)}{n(n-1)}}$ avec n le nombre de lettres total du message, $n_{A}$ le nombre de A, $n_{B}$ le nombre de B, etc.
En français, l'indice de coïncidence vaut environ 0,0746. Dans le cas de lettres uniformément distribuées (contenu aléatoire sans biais), l'indice se monte à 0,0385. L'indice ne varie pas si une substitution monoalphabétique des lettres a été opérée au préalable. C’est-à-dire que si l'on remplace par exemple 'a' par 'z' et 'z' par 'a', l'indice ne changera pas.

## Indice de coïncidence pour les chiffrements polyalphabétiques

Dans le cas où plusieurs alphabets seraient utilisés mais que le nombre d'alphabets est inconnu, l'indice de coïncidence peut être un précieux allié pour déterminer ce nombre. On utilise alors la formule suivante :
$IC={\frac {n-m}{m(n-1)}}\cdot IC_{langue}+{\frac {n(m-1)}{(n-1)m}}\cdot 0,0385$ avec n le nombre total de lettres dans le message, m le nombre d'alphabets, IC$_{langue}$ l'indice pour la langue analysée et 0.0385 est un terme correspondant à un contenu uniformément distribué. En variant m, on peut comparer l'indice obtenu via cette formule avec l'indice réel provenant de la formule classique.

## Raisonnement mathématique

Soit un alphabet de 26 lettres, un texte de longueur infinie et un tirage au sort aléatoire, sans biais. La probabilité d'obtenir une lettre donnée est de 1/26. Obtenir deux lettres identiques a une probabilité égale à (1/26)$^2$. La probabilité d'obtenir une paire de deux lettres identiques est de l'ordre de : 26*(1/26)$^2$ = (1/26) = 0,0385 (La première lettre est tirée au hasard, la seconde a une probabilité de 1/26 d'être identique). C'est l'indice de coïncidence pour un message avec des lettres uniformément distribuées.
Introduisons maintenant un biais dans la distribution et raisonnons sur un texte de longueur finie. Nous avons un texte de 100 lettres et le nombre d'unités pour chaque lettre n'est pas identique. Disons que nous avons 20 lettres « A », 5 lettres « B », 7 lettres « C », etc., et un seul « Z ». Dans ce cas, la chance de trouver une paire quelconque de lettres identiques est : (20/100)*(19/99) + (5/100)*(4/99) + (7/100)*(6/99) + ... + (1/100)*(0/99). Nous avons alors une approximation de l'indice de coïncidence pour un langage qui suit cette distribution.

## Autres langues

On peut aussi obtenir une estimation de la langue utilisée dans un texte en regardant son indice de coïncidence, la distribution des lettres n'étant pas la même entre les langues. Les indices peuvent légèrement varier selon les sources et les textes considérés pour l'analyse. Friedman donne par exemple un indice de 0,0778 pour le français.
| Langue | Indice |
| Russe | 0,0529 |
| Serbe | 0,0643 |
| Suédois | 0,0644 |
| Anglais | 0,0667 |
| Esperanto | 0,0690 |
| Grec | 0,0691 |
| Norvégien | 0,0694 |
| Danois | 0,0707 |
| Finnois | 0,0737 |
| Italien | 0,0738 |
| Portugais | 0,0745 |
| Arabe | 0,0758 |
| Allemand | 0,0762 |
| Hébreu | 0,0768 |
| Espagnol | 0,0770 |
| Japonais | 0,0772 |
| Français | 0,0778 |
| Néerlandais | 0,0798 |
| Malaysien | 0,0852 |

## Exemple d'utilisation

L'indice est très utile lors de la vérification automatique d'un déchiffrement, en particulier lors d'une recherche exhaustive de toutes les clés. Les clés incorrectes fournissent un indice très proche de l'indice de données aléatoires uniformément distribuées. Une clé donnant un indice plus élevé a donc des chances d'être la bonne. Pour un chiffrement tel celui effectué par la machine Enigma, cette utilisation est intéressante (bien qu'anachronique) car le pupitre de connexions d'Enigma effectue un chiffrement mono-alphabétique. Cela signifie que l'indice de coïncidence n'est pas affecté par la configuration du pupitre de connexions, et par conséquent l'espace de recherche des clés est réduit aux configurations possibles des rotors.
Un tel procédé peut en théorie être utilisé sur tous les types de chiffrement lors d'une attaque automatisée, bien que cette méthode soit hors de portée des ordinateurs actuels pour les systèmes de chiffrement modernes.