# Orbitographie

En astronautique, l'orbitographie désigne la détermination des éléments orbitaux d'un satellite artificiel.
Deux problèmes célèbres d'orbitographie sont :
* le problème de Gauss qui consiste à déterminer l'orbite, puis le mouvement d'un corps, connaissant 3 positions successives, $P_{1}$, $P_{2}$ et $P_{3}$. C'est en retrouvant Cérès en 1801, à partir de données parcellaires recueillies en janvier 1801, que Gauss se fait connaître. Ce problème a donc été baptisé en son honneur.
* le problème de Lambert qui consiste à déterminer le mouvement d'un corps connaissant deux ensembles successifs de positions et dates, {$P_{1}$,$t_{1}$} et {$P_{2}$,$t_{2}$}.

## Problème de Gauss

Il peut aujourd'hui être traité avec les vecteurs, inventés par Gibbs vers 1890.
En désignant par $O$ le point d'où sont faites les observations, les 3 vecteurs ${\overrightarrow {OP_{1}}}$, ${\overrightarrow {OP_{2}}}$ et ${\overrightarrow {OP_{3}}}$ définissent le plan de la trajectoire. Leur surabondance permet d'affiner cette définition par la méthode des moindres carrés. On peut alors définir le vecteur unitaire perpendiculaire à ce plan, ${\vec {k}}$ . Soit à trouver la direction du périgée, vecteur unitaire ${\vec {i}}$ ; la direction orthogonale ${\vec {j}}$ = ${\vec {k}}\times {\vec {i}}$ complète le trièdre.

### Théorème 1 de Gibbs

Le vecteur de Gauss-Gibbs, ${\vec {G}}$, défini par trois vecteurs de position, ${\vec {r_{1}}},{\vec {r_{2}}},{\vec {r_{3}}}$, pointe vers la direction ${\vec {j}}$ (semi-petit axe) et peut donc s'écrire $\|{\vec {G}}\|\,{\vec {j}}$.
       ${\begin{aligned}{\vec {G}}&={\overrightarrow {OP_{1}}}(r_{2}-r_{3})+{\overrightarrow {OP_{2}}}(r_{3}-r_{1})+{\overrightarrow {OP_{3}}}(r_{1}-r_{2})\\&={\overrightarrow {r_{1}}}(r_{2}-r_{3})+{\overrightarrow {r_{2}}}(r_{3}-r_{1})+{\overrightarrow {r_{3}}}(r_{1}-r_{2})\\&=\|{\vec {G}}\|\,{\vec {j}}\\\end{aligned}}$.
Soient la demi-ellipse et sur elle, $P_{0}$ le périgée, $H$ le point de l'ellipse tel que ${\overrightarrow {OH}}\parallel {\vec {j}}$, $B$ le point du petit axe, et $A$ l'apogée : on peut pour vérification, calculer les 4 vecteurs de Gibbs correspondant à 3 parmi 4 de ces positions. Cela permet d'acquérir de "l'intuition".
Le théorème de Gibbs permet donc d'accéder à l'angle $\theta _{1}$ =(${\overrightarrow {OP_{0}}}$,${\overrightarrow {OP_{1}}}$), ainsi que les deux autres. Soient 3 équations type $p=r_{1}+e\cdot r_{1}\cdot \cos(\theta _{1})$ , qui permettent, par moindres carrés de trouver $p$ et $e$ ; ce qui achève la détermination de l'orbite. Il faut évidemment au moins une date pour finir le problème du mouvement.
Remarque : l'intuition de Gauss était que:
       $e={\frac {\|G\|}{2\cdot AireTriangle(P1P2P3)}}={\frac {\|G\|}{\left\|{\overrightarrow {P_{1}P_{2}}}\times {\overrightarrow {P_{1}P_{3}}}\right\|}}$.
Le théorème 2 de Gibbs permet de confirmer cette solution.
Seul le cas de 3 points se succédant sur une demi-ellipse est traité ; si le décalage temporel dépasse la demi-période, il convient de prendre en compte la disposition des points.

#### Démonstration

On appelle vecteur excentricité le vecteur ${\vec {e}}={\frac {\vec {CO}}{a}}$, $C$ étant le centre de l'ellipse. Ce vecteur est donc ${\vec {e}}=e{\vec {i}}$.
On rappelle que c'est un invariant (SO4) du problème de Kepler :
       ${\vec {e}}={\frac {{\vec {v}}\times {\vec {L_{0}}}}{GMm}}-{\frac {\vec {r}}{r}}={\frac {{\vec {v}}\times {\vec {h}}}{\mu }}-{\frac {\vec {r}}{r}}$,
       ($L_{0}$ étant le moment cinétique. ${\vec {h}}={\frac {\vec {L_{0}}}{m}},\mu =GM$.)
et en particulier, comme vu plus haut : $p-r={\vec {e}}\cdot {\vec {r}}$.
Calculer ${\vec {G}}\cdot {\vec {e}}$ : il vient $(p-r_{1})(r_{2}-r_{3})+(p-r_{2})(r_{3}-r_{1})+(p-r_{3})(r_{1}-r_{2})=0$. Donc, ${\vec {G}}$ et ${\vec {j}}$ sont dans la même direction (demi-petit axe), an peut donc s'écrire : ${\vec {G}}=\|{\vec {G}}\|\,{\vec {j}}$.

### Théorème 2 de Gibbs

Soit le vecteur d'aire défini par les trois vecteurs de position :
       ${\vec {A}}$ = ${\vec {r_{1}}}\times {\vec {r_{2}}}+{\vec {r_{2}}}\times {\vec {r_{3}}}+{\vec {r_{3}}}\times {\vec {r_{1}}}=\|{\vec {A}}\|\,{\vec {k}}$ ;
alors
       ${\begin{aligned}{\vec {A}}\times {\vec {e}}={\vec {G}}\end{aligned}}$
       e = ${\frac {\|{\vec {G}}\|}{\|{\vec {A}}\|}}$.

#### Démonstration

Puisque les produits croisés avec ${\vec {e}}$, en considérant que ${\vec {e}}\cdot {\vec {r}}=p-r$, nous avons:
       ${\begin{aligned}({\vec {r_{1}}}\times {\vec {r_{2}}})\times {\vec {e}}&=p({\vec {r_{2}}}-{\vec {r_{1}}})+r_{2}{\vec {r_{1}}}-r_{1}{\vec {r_{2}}}\\({\vec {r_{2}}}\times {\vec {r_{3}}})\times {\vec {e}}&=p({\vec {r_{3}}}-{\vec {r_{2}}})+r_{3}{\vec {r_{2}}}-r_{2}{\vec {r_{3}}}\\({\vec {r_{3}}}\times {\vec {r_{1}}})\times {\vec {e}}&=p({\vec {r_{1}}}-{\vec {r_{3}}})+r_{1}{\vec {r_{3}}}-r_{3}{\vec {r_{1}}}\\\end{aligned}}$.
Par conséquent,
       ${\begin{aligned}{\vec {A}}\times {\vec {e}}&=(r_{2}-r_{3}){\vec {r_{1}}}+(r_{3}-r_{1}){\vec {r_{2}}}+(r_{1}-r_{2}){\vec {r_{3}}}\\&={\vec {G}}\end{aligned}}$
Les vecteurs ${\vec {r_{1}}}\times {\vec {r_{2}}},{\vec {r_{2}}}\times {\vec {r_{3}}},{\vec {r_{3}}}\times {\vec {r_{1}}}$ et leur somme ${\vec {A}}$ sont perpendiculaires au plan orbital. Donc
       ${\vec {A}}\times {\vec {e}}=\|{\vec {A}}\|\|{\vec {e}}\|\sin(90^{\circ })\,{\vec {j}}=\|{\vec {A}}\|\,\,e\,{\vec {j}}$
       $e={\frac {\|{\vec {A}}\times {\vec {e}}\|}{\|{\vec {A}}\|}}={\frac {\|G\|}{\|{\vec {A}}\|}}$

### Théorème 3 de Gibbs

Soit enfin le vecteur-volume des aires pondérées :
       ${\vec {V}}=({\vec {r_{1}}}\times {\vec {r_{2}}})\cdot r_{3}+({\vec {r_{2}}}\times {\vec {r_{3}}})\cdot r_{1}+({\vec {r_{3}}}\times {\vec {r_{1}}})\cdot r_{2}=\|{\vec {V}}\|\,{\vec {k}}$.
Ensuite, le semi-latus rectum, $p$, de l'orbite peut être dérivé des vecteurs ${\vec {V}}$ et ${\vec {A}}$ définis précédemment,
       $p={\frac {\vec {V}}{\vec {A}}}={\frac {\|{\vec {V}}\|}{\|{\vec {A}}\|}}$.
De plus, le moment cinétique spécifique, $h$, du corps en orbite sera lié aux deux vecteurs par :
       $h={\sqrt {\frac {\mu \|{\vec {V}}\|}{\|{\vec {A}}\|}}}$.

#### Démonstration

Les 3 vecteurs de position sont coplanaires. Ils peuvent donc s'écrire :
       ${\begin{aligned}{\vec {r_{1}}}\times {\vec {r_{2}}}&=a_{12}\,{\vec {k}}\Rightarrow a_{12}={\vec {r_{1}}}\times {\vec {r_{2}}}\cdot {\vec {k}}\\{\vec {r_{2}}}\times {\vec {r_{3}}}&=a_{23}\,{\vec {k}}\Rightarrow a_{23}={\vec {r_{2}}}\times {\vec {r_{3}}}\cdot {\vec {k}}\\{\vec {r_{3}}}\times {\vec {r_{1}}}&=a_{31}\,{\vec {k}}\Rightarrow a_{31}={\vec {r_{3}}}\times {\vec {r_{1}}}\cdot {\vec {k}}\\\end{aligned}}$
où ${\vec {k}}$ est le vecteur unitaire perpendiculaire au plan orbital
       ${\vec {k}}={\frac {{\vec {r_{1}}}\times {\vec {r_{2}}}}{\|{\vec {r_{1}}}\times {\vec {r_{2}}}\|}}={\frac {{\vec {r_{2}}}\times {\vec {r_{3}}}}{\|{\vec {r_{2}}}\times {\vec {r_{3}}}\|}}={\frac {{\vec {r_{3}}}\times {\vec {r_{1}}}}{\|{\vec {r_{3}}}\times {\vec {r_{1}}}\|}}$.
On suppose en outre qu'il a la même direction que le vecteur moment cinétique.
Les trois vecteurs étant indépendants, il existe des coefficients $(\lambda _{1},\lambda _{2},\lambda _{3})$ tels que leur combinaison linéaire soit un vecteur nul.
       $\lambda _{1}\,{\vec {r_{1}}}+\lambda _{2}\,{\vec {r_{2}}}+\lambda _{3}\,{\vec {r_{3}}}={\vec {0}}$.
En prenant le produit scalaire de cette équation avec ${\vec {e}}$, et en considérant ${\vec {e}}\cdot {\vec {r}}=p-r$, nous avons:
       $p\,\,(\lambda _{1}+\lambda _{2}+\lambda _{3})=\lambda _{1}\,r_{1}+\lambda _{2}\,r_{2}+\lambda _{3}\,r_{3}$, et
       $p={\frac {\lambda _{1}\,r_{1}+\lambda _{2}\,r_{2}+\lambda _{3}\,r_{3}}{\lambda _{1}+\lambda _{2}+\lambda _{3}}}$.
Si les produits croisés de l'équation ci-dessus avec ${\vec {r_{1}}},{\vec {r_{2}}},{\vec {r_{3}}}$ sont pris, respectivement. Nous avons:
       $\lambda _{1}\,{\vec {r_{1}}}\times {\vec {r_{1}}}+\lambda _{2}\,{\vec {r_{2}}}\times {\vec {r_{1}}}+\lambda _{3}\,{\vec {r_{3}}}\times {\vec {r_{1}}}={\vec {0}}$
       $\lambda _{1}\,{\vec {r_{1}}}\times {\vec {r_{2}}}+\lambda _{2}\,{\vec {r_{2}}}\times {\vec {r_{2}}}+\lambda _{3}\,{\vec {r_{3}}}\times {\vec {r_{2}}}={\vec {0}}$
       $\lambda _{1}\,{\vec {r_{1}}}\times {\vec {r_{3}}}+\lambda _{2}\,{\vec {r_{2}}}\times {\vec {r_{3}}}+\lambda _{3}\,{\vec {r_{3}}}\times {\vec {r_{3}}}={\vec {0}}$,
et
       ${\begin{aligned}-\lambda _{2}\,a_{12}+\lambda _{3}\,a_{31}&=0\\+\lambda _{1}\,a_{12}-\lambda _{3}\,a_{23}&=0\\-\lambda _{1}\,a_{31}+\lambda _{2}\,a_{23}&=0\end{aligned}}$.
Ainsi, (avec une constante arbitraire k)
       ${\begin{aligned}\lambda _{1}\ =k\cdot a_{23}=k\cdot {\vec {r_{2}}}\times {\vec {r_{3}}}\cdot {\vec {u_{3}}}\\\lambda _{2}\ =k\cdot a_{31}=k\cdot {\vec {r_{3}}}\times {\vec {r_{1}}}\cdot {\vec {u_{3}}}\\\lambda _{3}\ =k\cdot a_{12}=k\cdot {\vec {r_{1}}}\times {\vec {r_{2}}}\cdot {\vec {u_{3}}}\end{aligned}}$.
Par conséquent,
       ${\begin{aligned}p&={\frac {\lambda _{1}\,r_{1}+\lambda _{2}\,r_{2}+\lambda _{3}\,r_{3}}{\lambda _{1}+\lambda _{2}+\lambda _{3}}}\\&={\frac {({\vec {r_{2}}}\times {\vec {r_{3}}})\,r_{1}+({\vec {r_{3}}}\times {\vec {r_{1}}})\,r_{2}+({\vec {r_{1}}}\times {\vec {r_{2}}})\,r_{3}}{({\vec {r_{2}}}\times {\vec {r_{3}}})+({\vec {r_{3}}}\times {\vec {r_{1}}})+({\vec {r_{1}}}\times {\vec {r_{2}}})}}\\&={\frac {\vec {V}}{\vec {A}}}={\frac {\vec {\|V\|}}{\vec {\|A\|}}}\end{aligned}}$
De plus, à partir des lois du mouvement de Newton et de l'équation de la trajectoire orbitale, on sait que :
       $p={\frac {h^{2}}{\mu }}$
Par conséquent, grâce au pontage de $p$, la relation entre $h$ et [${\vec {A}},{\vec {V}}$] peut être facilement dérivée:
       ${\begin{aligned}p&={\frac {\vec {V}}{\vec {A}}}={\frac {\|{\vec {V}}\|}{\|{\vec {A}}\|}}={\frac {h^{2}}{\mu }}\\\Rightarrow h&={\sqrt {\frac {\mu \|{\vec {V}}\|}{\|{\vec {A}}\|}}}\end{aligned}}$
Et on voit que les vecteurs auxiliaires, [${\vec {A}},{\vec {V}}$], définis par les trois vecteurs de position observés, relient magiquement la propriété géométrique de l'orbite, $p$, au paramètre dynamique du mouvement, $h$.

### Détermination du Vecteur Vitesse

On peut ensuite calculer le vecteur vitesse en chacun des 3 points via le vecteur-excentricité. L'astuce consiste à prendre le produit croisé de ${\vec {k}}$ et ${\vec {k}}$, de sorte que l'expression du vecteur vitesse ${\vec {v}}$ puisse être révélée. Les étapes pour calculer le vecteur vitesse sont listées comme suit:
       ${\begin{aligned}{\vec {e}}&={\frac {{\vec {v}}\times {\vec {h}}}{\mu }}-{\frac {\vec {r}}{r}}\\{\vec {k}}\times {\vec {e}}&={\frac {{\vec {k}}\times ({\vec {v}}\times {\vec {h}})}{\mu }}-{\vec {k}}\times {\frac {\vec {r}}{r}}\\&={\frac {({\vec {k}}\cdot {\vec {h}}){\vec {v}}-({\vec {k}}\cdot {\vec {v}}){\vec {h}}}{\mu }}-{\vec {k}}\times {\frac {\vec {r}}{r}}\\{\vec {k}}\times e{\vec {i}}&={\frac {({\vec {k}}\cdot h{\vec {k}}){\vec {v}}}{\mu }}-{\vec {k}}\times {\frac {\vec {r}}{r}}\\e{\vec {j}}&={\frac {h{\vec {v}}}{\mu }}-{\vec {k}}\times {\frac {\vec {r}}{r}}\\\end{aligned}}$.
En conséquence, nous avons l'équation suivante pour le vecteur de vitesse, en termes de paramètre gravitationnel et de vecteur de position:
       ${\vec {v}}={\frac {\mu }{h}}(e{\vec {j}}+{\vec {k}}\times {\frac {\vec {r}}{r}})$
($\mu$ est le paramètre gravitationnel standard).
Selon les théorèmes précédents, nous avons,
       $e={\frac {\|{\vec {G}}\|}{\|{\vec {A}}\|}}$,
et
       $h={\sqrt {\frac {\mu \|{\vec {V}}\|}{\|{\vec {A}}\|}}}$
Par conséquent,
       ${\begin{aligned}{\vec {v}}&={\sqrt {\frac {\mu \|{\vec {A}}\|}{\|{\vec {V}}\|}}}({\frac {\|{\vec {G}}\|}{\|{\vec {A}}\|}}{\vec {j}}+{\vec {k}}\times {\frac {\vec {r}}{r}})\\&={\sqrt {\frac {\mu \|{\vec {A}}\|}{\|{\vec {V}}\|}}}({\frac {\vec {G}}{\|{\vec {A}}\|}}+{\frac {\vec {A}}{\|{\vec {A}}\|}}\times {\frac {\vec {r}}{r}})\\&={\sqrt {\frac {\mu }{\|{\vec {V}}\|\,\|{\vec {A}}\|}}}\,\,({\vec {G}}+{\vec {A}}\times {\frac {\vec {r}}{r}})\\\end{aligned}}$.

### Vecteur Vitesse à partir de Trois Vecteurs Position

En résumé, le vecteur vitesse ${\vec {v}}$ peut être exprimé en fonction des vecteurs ${\vec {G}},{\vec {A}},{\vec {V}}$, définis par les trois vecteurs position observés, comme suit:
       ${\vec {v}}={\sqrt {\frac {\mu }{\|{\vec {V}}\|\,\|{\vec {A}}\|}}}\,\,({\vec {G}}+{\frac {{\vec {A}}\times {\vec {r}}}{r}})$.
Une preuve alternative pour ce formulaire est décrite ici. L'astuce consiste à utiliser la relation ${\vec {G}}={\vec {A}}\times {\vec {e}}$ et la relation entre ${\vec {e}}$ et $[{\vec {v}},{\vec {r}}]$ pour trouver la relation fonctionnelle entre $[{\vec {v}},{\vec {r}}]$ et $[{\vec {G}},{\vec {A}},{\vec {V}}]$.
       ${\begin{aligned}{\vec {e}}&={\frac {{\vec {v}}\times {\vec {h}}}{\mu }}-{\frac {\vec {r}}{r}}\\{\vec {A}}\times {\vec {e}}&={\frac {{\vec {A}}\times ({\vec {v}}\times {\vec {h}})}{\mu }}-{\vec {A}}\times {\frac {\vec {r}}{r}}\\&={\frac {({\vec {A}}\cdot {\vec {h}}){\vec {v}}-({\vec {A}}\cdot {\vec {v}}){\vec {h}}}{\mu }}-{\vec {A}}\times {\frac {\vec {r}}{r}}\\{\vec {G}}&={\frac {({\vec {A}}\cdot h{\vec {k}}){\vec {v}}}{\mu }}-{\vec {A}}\times {\frac {\vec {r}}{r}}\\{\vec {v}}&={\frac {\mu }{({\vec {A}}\cdot h{\vec {k}})}}({\vec {G}}+{\vec {A}}\times {\frac {\vec {r}}{r}})\\\end{aligned}}$.
Par conséquent, le vecteur vitesse peut également être exprimé par:
       ${\begin{aligned}{\vec {v}}&={\frac {\mu }{\|{\vec {A}}\|\cdot h}}({\vec {G}}+{\vec {A}}\times {\frac {\vec {r}}{r}})\\\end{aligned}}$.
Le théorème précédent montre que $h$ et $[{\vec {V}},{\vec {A}}]$ sont liés par:
       $h={\sqrt {\frac {\mu \|{\vec {V}}\|}{\|{\vec {A}}\|}}}$
Enfin, à travers les trois vecteurs auxiliaires ${\vec {G}},{\vec {A}},{\vec {V}}$, définis par les trois vecteurs position, le vecteur vitesse peut s'exprimer en fonction des vecteurs position:
       ${\begin{aligned}{\vec {v}}&={\frac {\mu }{\|{\vec {A}}\|\cdot h}}({\vec {G}}+{\vec {A}}\times {\frac {\vec {r}}{r}})\\&={\frac {\mu }{\|{\vec {A}}\|}}{\sqrt {\frac {\|{\vec {A}}\|}{\mu \|{\vec {V}}\|}}}({\vec {G}}+{\vec {A}}\times {\frac {\vec {r}}{r}})\\{\vec {v}}&={\sqrt {\frac {\mu }{\|{\vec {A}}\|\|V\|}}}({\vec {G}}+{\vec {A}}\times {\frac {\vec {r}}{r}}).\\\end{aligned}}$

## Problème de Lambert

Travail en 1760 : déterminer le mouvement connaissant deux évènements.
Plummer (An introductory treatise on dynamical astronomy , 1960, ed Dover) donne la solution analytique de ce problème. Pollard (Celestial Mechanics, 1966, ed Prentice-Hall) y fait référence. Guiziou propose l'élégante solution suivante : se ramener au problème de Gauss.
Plus précisément, soit $P_{1}$ et $P_{3}$ les 2 points. On définit le point $P_{2}$ par : ${\overrightarrow {OP_{2}}}=k({\overrightarrow {OP_{1}}}+{\overrightarrow {OP_{3}}})$, avec $k$ pour le moment indéterminé. On est ainsi ramené au problème de Gauss-Gibbs. Il n'y a qu'un seul $k$ qui donne une durée $t_{3}-t_{1}$ pour décrire l'arc d'ellipse de $P_{1}$ en $P_{3}$ : on résout numériquement l'équation $t_{3}-t_{1}=f(k)$ ce qui donne $k$ et achève le problème.