# Potentiel de Buckingham

Le potentiel de Buckingham est un potentiel interatomique pour un milieu gazeux proposé par Richard Buckingham en 1938. Ce potentiel a été par la suite décliné sous forme du potentiel Buckingham-Corner et du potentiel de Buckingham modifié encore appelé potentiel 6-exp.

## Potentiel de Buckingham

Il est défini par le potentiel d'interaction suivant$^,$ :
       $E=b\mathrm {e} ^{-ar}-{\frac {c}{r^{6}}}-{\frac {d}{r^{8}}}$
où r est la distance entre les atomes ou molécules. Le terme exponentiel correspond à la partie répulsive du potentiel. Les termes en r$^{—6}$ et r$^{—8}$ correspondent respectivement aux effets dipolaires et quadrupolaires induits, plus précisément aux effets dipôle induit/dipôle induit et dipôle induit/quadrupôle induit.
Ce potentiel est peu physique car attractif à courte distance car la partie répulsive est inférieure ou égale à b. Il n'a pas été utilisé pour un calcul d'intégrales de collision destiné à obtenir des propriétés de transport.

## Potentiel de Buckingham-Corner

Cette variante du potentiel a été étudiée avec J. Corner. La partie interne du potentiel a été amendée pour pallier la déficience du potentiel original :
       $E=\left\{{\begin{array}{ll}b\mathrm {e} ^{-\alpha {\frac {r}{r_{m}}}}-\left({\frac {c}{r^{6}}}+{\frac {d}{r^{8}}}\right)\mathrm {e} ^{-4\left({\frac {r_{m}}{r}}-1\right)^{3}}&\ {\textrm {si}}\ r\leq r_{m}\\b\mathrm {e} ^{-\alpha {\frac {r}{r_{m}}}}-{\frac {c}{r^{6}}}-{\frac {d}{r^{8}}}&\ {\textrm {si}}\ r\geq r_{m}\end{array}}\right.$
avec :
       ${\begin{array}{rcl}b&=&\left[-\epsilon +(1+\beta ){\frac {c}{r_{m}^{6}}}\right]\mathrm {e} ^{\alpha }\\c&=&{\frac {\epsilon \alpha r_{m}^{6}}{\alpha (1+\beta )-6-8\beta }}\\d&=&\beta cr_{m}^{2}\end{array}}$
r$_m$ correspond à l'énergie minimale, ε la valeur du potentiel en ce point, α ≈ 13,5 règle le terme répulsif et β = d r$_m$$^{—8}$ / c r$_m$$^{—6}$ donne le quotient des contributions des termes multipolaires.
Cette expression permet de calculer l'équation d'état du viriel mais reste trop compliquée pour le calcul d'intégrales de collisions.

## Potentiel de Buckingham modifié

Une expression plus simple et plus facilement utilisable, aussi appelée potentiel 6-exp, s'écrit :
       $E=\left\{{\begin{array}{ll}\infty &\ {\textrm {si}}\ r\leq r_{\max }\\{\dfrac {\varepsilon }{1-{\frac {6}{\alpha }}}}\left[{\dfrac {6}{\alpha }}\mathrm {e} ^{\alpha \left(1-{\frac {r}{r_{m}}}\right)}-\left({\dfrac {r}{r_{m}}}\right)^{6}\right]&\ {\textrm {si}}\ r\geq r_{\max }\end{array}}\right.$
où r$_{max}$ est donné par l'équation transcendante (voir courbe ci-contre):
       $\gamma ^{7}\mathrm {e} ^{\alpha \left(1-\gamma \right)}=1\,,\quad \gamma ={\frac {r_{\max }}{r_{m}}}$
Il s'agit donc d'un potentiel comportant trois paramètres libres ε, r$_m$, α. Il apporte donc un degré de liberté de réglage par rapport au potentiel de Lennard-Jones avec lequel il a de fortes similitudes. Il ne comporte pas de terme en r$^{—8}$ mais ce terme peut cependant être représenté moyennant une faible variation de α. La partie répulsive est du type sphères élastiques infiniment dures.
Ce potentiel a été utilisé pour le calcul des équations d'état et celui d'intégrales de collision.