# Théorème des accroissements finis

En analyse, le théorème des accroissements finis (en abrégé : TAF) est à la fois une généralisation et un corollaire du théorème de Rolle. Pour toute fonction dérivable d'une variable réelle, son taux d'accroissement entre deux valeurs est réalisable comme pente d'une des tangentes à son graphe.

## Fonction d'une variable réelle à valeurs réelles
### Énoncé

   Pour toute fonction réelle d'une variable réelle f : [a, b] → ℝ (a et b réels tels que a < b), supposée continue sur l'intervalle fermé [a, b] et dérivable sur l'intervalle ouvert ]a, b[, il existe un réel c dans ]a, b[ vérifiant :
   ${\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}=f'(c).$
Graphiquement, le théorème des accroissements finis indique que, pour toute droite sécante en deux points à une courbe différentiable, il existe, entre ces deux points, une tangente parallèle à la sécante.
On peut illustrer ainsi le théorème : « Si un véhicule parcourt une distance à la vitesse moyenne de 60 km/h, alors son compteur (censé indiquer avec une précision infinie la vitesse instantanée) a indiqué au moins une fois la vitesse précise de 60 km/h. »
La solution c n'est pas unique en général. Plus précisément, pour une fonction dérivable sur un intervalle I, la solution c est unique pour tous a < b dans I si et seulement si f est strictement convexe ou strictement concave sur I.
Deux conséquences directes du théorème des accroissements finis sont :
* le lien entre monotonie et signe de la dérivée ;
* le théorème « limite de la dérivée » (si une fonction f, continue en a, est dérivable sauf peut-être en a, mais si sa dérivée a une limite finie au point a, alors f est en fait de classe C$^1$ en a).

## Théorème des accroissements finis généralisé

Ce théorème s'applique dans le cas de deux fonctions continues sur [a,b] et dérivables sur ]a, b[. Il assure qu'il existe un réel c de l'intervalle ]a, b[ tel que
$(f(b)-f(a))g'(c)=(g(b)-g(a))f'(c).$
Géométriquement, il signifie que toute courbe représentative d'une fonction différentiable de ℝ dans ℝ$^2$, t ↦ (f(t), g(t)), possède une tangente parallèle à l'une quelconque de ses cordes.
Dans le cas où g ' ne s'annule pas sur ]a, b[, l'égalité peut s'écrire :
${\frac {f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}}={\frac {f'(c)}{g'(c)}}.$
Sous cette forme, le théorème est appelé théorème de la moyenne de Cauchy. Il peut être utilisé pour démontrer la règle de L'Hôpital.

### Remarque

    Si a = –∞ ou b = +∞ et si f et g sont dérivables sur ]a, b[ et possèdent en a et b des limites finies, notées f(a), f(b), g(a) et g(b), on obtient par la même méthode (en remplaçant le théorème de Rolle par une généralisation adaptée) une conclusion identique.

## Généralisation aux courbes paramétrées dans l'espace

Pour tout triplet de fonctions $f,g,h$ réelles continues sur $[a,b]$ et dérivables sur $]a,b[$, il existe $c\in \left]a,b\right[$ tel que le déterminant $\left\vert {\begin{array}{ccc}f'(c)&f(a)&f(b)\\g'(c)&g(a)&g(b)\\h'(c)&h(a)&h(b)\end{array}}\right\vert$ soit nul.
Si l'on pose $M(t)=(f(t),g(t),h(t))$, $A=M(a)$, $B=M(b)$ et $C=M(c)$, le théorème énonce l'existence pour les courbes paramétrées joignant $A$ à $B$ d'une tangente (en un certain $C$), parallèle au plan $(OAB)$, le déterminant nul indiquant la colinéarité des vecteurs ${\overrightarrow {OA}}$, ${\overrightarrow {OB}}$ et ${\overrightarrow {OM}}'(c)$.
Le point $O$ pouvant être choisi arbitrairement, il énonce en fait l'existence d'une corde $[CD]$ parallèle à un plan donné passant par $A$ et $B$. Par contre, comme on le voit ci-contre, la généralisation qui consisterait à dire qu'il existe une tangente parallèle à $[AB]$ est fausse.
Notons que ce théorème contient le TAF généralisé, qui contient le TAF, lui-même contenant le théorème de Rolle.
Il suffit d'appliquer le théorème de Rolle à la fonction $\varphi$ définie par $\varphi \left(x\right)=\left\vert {\begin{array}{ccc}f(x)&f(a)&f(b)\\g(x)&g(a)&g(b)\\h(x)&h(a)&h(b)\end{array}}\right\vert$ qui vérifie $\varphi (a)=\varphi (b)(=0)$, ainsi que $\varphi '\left(x\right)=\left\vert {\begin{array}{ccc}f'(x)&f(a)&f(b)\\g'(x)&g(a)&g(b)\\h'(x)&h(a)&h(b)\end{array}}\right\vert$.

## Inégalité des accroissements finis

L'inégalité des accroissements finis (IAF) :
   Soit f : [a, b] → ℝ (avec a et b réels tels que a < b). Si :
   * f est continue sur l'intervalle fermé [a, b] ;
   * f est dérivable sur l'intervalle ouvert ]a, b[ ;
   * M est un réel tel que, pour tout élément x de ]a, b[, |f'(x)| ≤ M ;
   alors $\left|{{f(b)-f(a)} \over {b-a}}\right|\leq M$,
propriété que l'on peut illustrer par : « Si la vitesse instantanée d'un véhicule ne peut pas dépasser 120 km/h, alors sa vitesse moyenne non plus. »
Sous les mêmes hypothèses, f est donc M-lipschitzienne (car sa restriction à tout sous-intervalle de [a, b] vérifie encore les hypothèses). Remarquons que d'après le théorème des valeurs extrêmes, ces hypothèses sont vérifiées pour toute fonction f de classe C$^1$ sur [a, b], avec $M=\sup _{x\in \left[a,b\right]}\left|f'(x)\right|$.
Il existe de même une « inégalité des accroissements finis généralisée » :
   Soient f et g : [a, b] → ℝ continues sur [a,b] et dérivables sur ]a, b[, avec g' de signe constant. Si J est un intervalle de ℝ tel que, pour tout x de ]a, b[, f'(x) ∈ g'(x)J alors, f(b) – f(a) ∈ (g(b) – g(a))J.
On peut même démontrer directement, sans le théorème des accroissements finis, que cette conclusion reste vraie si la dérivabilité de f et g (et les hypothèses sur f'(x) et g'(x)) ne sont vérifiées que sur le complémentaire d'un ensemble dénombrable$^,$$^,$.

### Théorème des accroissements finis et intégration

* Une version intégrale du TAF est le théorème de la moyenne : Pour toute fonction u à valeurs réelles, continue sur un segment [a, b] avec a < b, il existe un réel c de ]a, b[ tel que$u(c)={\frac {1}{b-a}}\int _{a}^{b}u(x)~\mathrm {d} x.$
* L'analogue intégral du théorème des accroissements finis généralisé est un théorème de la moyenne généralisé : Pour toutes fonctions u et v à valeurs réelles, continues sur un segment [a, b] avec a < b, v gardant un signe constant sur [a, b], il existe un réel c de $]a,b[$ tel que$u(c)\int _{a}^{b}v(x)~\mathrm {d} x=\int _{a}^{b}u(x)v(x)~\mathrm {d} x.$

### Réciproque partielle

Puisque le théorème des accroissements finis garantit que (pour une fonction $f$ vérifiant les hypothèses) tout taux d'accroissement est un nombre dérivé, une question naturelle est : réciproquement, tout nombre dérivé est-il un taux d'accroissement ?
La réponse est : non. Par exemple (cf. figure ci-contre), pour la fonction $\sin :\mathbb {R} \to \mathbb {R}$, le nombre dérivé $\sin '\left(0\right)=\cos \left(0\right)=1$ n'est pas un taux d'accroissement. Mais la pathologie de ce cas ($1$ est ici la valeur maximum de $f'$) est la seule obstruction.
Le théorème des accroissements finis possède en effet la réciproque partielle suivante (réciproque « faible ») :
   Pour toute fonction $f$ dérivable sur un intervalle, toute valeur non extrémale de $f'$ est un taux d'accroissement de $f$.
Autrement dit : toute tangente au graphe de $f$ dont la pente $f'(c)$ n'est ni maximum, ni minimum, possède une parallèle sécante au graphe en deux points. Le TAF permet en outre d'affirmer que si la valeur $f'(c)$ n'est atteinte qu'au point $c$, alors les deux extrémités de la corde sont de part et d'autre du point de tangence (réciproque « forte »).
La « réciproque faible » ci-dessus se déduit du lemme suivant, qui (joint au TAF lui-même) permet aussi de démontrer que toute fonction dérivée vérifie la propriété des valeurs intermédiaires :
    Pour toute fonction $f$ dérivable sur un intervalle, tout réel strictement compris entre deux nombres dérivés de $f$ est un taux d'accroissement de $f$.
La « réciproque forte » se localise facilement : pour toute fonction $f$ dérivable sur un intervalle, si $\lambda =f'(c)$ n'est pas un extremum local de $f'$ et si, au voisinage de $c$, la valeur $\lambda$ n'est atteinte par $f'$ qu'en $c$, alors $\lambda$ est encore un taux d'accroissement de $f$ entre deux points $x$ et $y$ tels que $x<c<y$. (Pour la nécessité de la seconde hypothèse, cf. figure ci-contre.)
Pour le théorème des accroissements finis généralisés, on démontre de même des réciproques analogues.

## Fonction d'une variable vectorielle à valeurs réelles

Soient $\Omega$ un ouvert d'un espace vectoriel normé E (par exemple E = ℝ$^n$, ce qui inclut le cas E = ℂ identifié à ℝ$^2$), $x$ un point de $\Omega$ et $h$ un vecteur non nul de E tel que $[x,x+h]\subset \Omega$, et $f:\Omega \to \mathbb {R}$ une fonction continue sur $[x,x+h]$ et différentiable suivant le vecteur h sur $]x,x+h[$. Alors il existe $\xi \inx,x+h$ tel que
    $f(x+h)-f(x)=D_{h}f(\xi ),$
par simple application du théorème des accroissements finis à la fonction composée $[0,1]\to \mathbb {R} ,\;t\mapsto f(x+th)$.

## Fonction à valeurs vectorielles

Pour une telle fonction, il n'existe pas d'analogue du théorème (avec égalité) des accroissements finis, ni même de son cas particulier qu'est le théorème de Rolle (cf. § Remarques de l'article sur ce théorème).
À défaut, lorsque l'espace d'arrivée de f est ℝ$^n$, on peut appliquer le théorème des accroissements finis à chacune des composantes réelles f$_k$ de la fonction f = (f$_1$, … , f$_n$), mais les c$_k$ que l'on construit ainsi (ou les ξ$_k$ comme ci-dessus si la variable est vectorielle) n'ont aucune raison d'être égaux.
On peut cependant établir une inégalité des accroissements finis dans ce cadre.

### Inégalité des accroissements finis

   Soient a < b deux réels, E un espace localement convexe et deux fonctions
   $f:[a,b]\to E\quad {\text{et}}\quad g:[a,b]\to \mathbb {R}$
   supposées continues sur [a, b] et dérivables sur ]a, b[.
   Si g' est de signe constant alors, pour tout sous-ensemble convexe fermé A de E tel que
   $\forall t\in ]a,b[\quad f'(t)\in g'(t)A,$
   on a :
   $f(b)-f(a)\in (g(b)-g(a))A.$
Lorsque g' est non seulement de signe constant mais à valeurs non nulles, la conclusion se reformule en :
${\frac {f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}}\in {\overline {\text{Co}}}\left(\left\{{\frac {f'(t)}{g'(t)}},~t\in ]a,b[\right\}\right),$
où « Co » désigne l'enveloppe convexe fermée.
En particulier si g(t) = t, on obtient : f(b) – f(a) ∈ (b – a)Co({f'(t), t ∈ [a, b]}).
Remarques.
* Ce théorème est d'autant plus surprenant qu’il n'existe pas de théorème de Rolle vectoriel, ou, ce qui revient au même, il n’y a pas d'égalité des accroissements finis mais seulement une inégalité, comme en témoigne la fonction définie par f(t) = e$^{it}$ qui satisfait f(0) = f(2π) alors que sa dérivée ne s'annule pas sur [0, 2π].
* Il en découle qu’une fonction dérivable dont la dérivée est nulle ne peut être que constante.
* Il se déduit directement de son homologue pour les fonctions à valeurs réelles, en utilisant le théorème de Hahn-Banach ou sa version géométrique qu'est le théorème d'Eidelheit.
* Sa conclusion reste valide, avec une démonstration identique, sous des hypothèses plus faibles :
** il suffit que f'(t) et g'(t) existent (et vérifient les propriétés indiquées) pour t appartenant au complémentaire d'un ensemble dénombrable ;
** pour f, la continuité et la différentiabilité peuvent être prises au sens faible.

### Corollaire

On en déduit immédiatement le corollaire suivant (qui se démontre aussi directement$^,$$^,$) :
   Soient a < b deux réels, E un espace vectoriel normé et deux fonctions
   $f:\left[a,b\right]\to E\quad {\text{et}}\quad g:[a,b]\to \mathbb {R}$
   supposées continues sur [a, b] et dérivables sur ]a, b[.
   Si
   $\forall t\in \left]a,b\right[\quad \|f'(t)\|\leq g'(t)$
   alors
   $\|f(b)-f(a)\|\leq g(b)-g(a).$
En particulier si, pour une certaine constante M (nécessairement positive ou nulle), on a
$\forall t\in \left]a,b\right[\quad \|f'(t)\|\leq M$
alors
$\|f(b)-f(a)\|\leq M(b-a).$

### Fonction d'une variable vectorielle à valeurs vectorielles

Le corollaire précédent permet de majorer l'accroissement d'une fonction différentiable si l'on connaît une majoration de sa différentielle. Plus précisément :
   Soient E et F deux espaces vectoriels normés réels, U un ouvert de E et f : U → F une application différentiable. Pour tout segment [a,b] inclus dans U, on a :
   $\|f(b)-f(a)\|_{F}\leq \left(\sup _{x\in [a,b]}\|f\,{'}(x)\|\right)\|b-a\|_{E}$
   où, pour tout point x de U, ║f ' (x)║ est la norme d'opérateur de la différentielle de f au point x.
Ce corollaire est une conséquence immédiate du précédent, appliqué à la fonction de la variable réelle $[0,1]\to F,\,t\mapsto f\left[(1-t)a+tb\right].$
Il n'a bien sûr d'intérêt que si le sup qu'il fait intervenir est fini, c'est-à-dire si la différentielle de f est bornée sur [a, b]. Cette condition est assurée en particulier si f est de classe C$^1$ sur U.
Il se généralise à tout ouvert U connexe et à toute fonction dont la différentielle est bornée par k. Si d$_U$(a, b) est la borne inférieure des longueurs des lignes polygonales joignant a à b et incluses dans U, on a
$\|f(b)-f(a)\|_{F}\leq kd_{U}(a,b).$

## Polynôme sur un corps réel clos

Soit $R$ un corps réel clos. Si $a<b\in R$, on note, tout comme dans $\mathbb {R}$, $]a,b[$ l'ensemble $\lbrace x\in R|a<x<b\rbrace$. Alors :
   Soit $P\in R[X]$ et $a<b\in R$. Il existe $c\in ]a,b[$ tel que :
   $P(b)-P(a)=(b-a)P'(c)$

## Application en cinématique

En cinématique, le vecteur vitesse d'un point d'un mobile est tangent à la trajectoire de ce point. À partir d'un enregistrement du mouvement (succession de positions relevées à intervalle de temps constant), on peut déterminer la direction du vecteur vitesse au point i en considérant la corde (M$_{i-1}$M$_{i+1}$).
En effet, sur un petit intervalle, la pente de la tangente varie peu, donc on estime que la valeur en M$_i$ vérifie le théorème des accroissements finis.