# Flux neutronique

Un flux neutronique désigne une densité volumique de neutrons ayant la même vitesse, multipliée par cette vitesse : Φ = n • v . Il caractérise l'interactivité de la population des neutrons en déplacement avec les atomes du milieu. Une population de densité n / 2 se déplaçant à la vitesse v aura la même interactivité avec les atomes du milieu qu'une population de densité n allant à la vitesse v / 2. Il se mesure en m$^{−2}$ s$^{−1}$. L'unité pratique est le neutron par centimètre carré et par seconde, n cm$^{−2}$ s$^{−1}$.
La probabilité d'interaction d'un neutron varie en fonction de sa vitesse, c'est-à-dire de son énergie. Par exemple, un neutron lent a beaucoup plus de chance de provoquer une réaction de fission nucléaire qu'un neutron rapide. C'est la raison pour laquelle, en neutronique, on s'intéresse à des populations de neutrons ayant la même vitesse c'est-à-dire la même énergie. La probabilité d'interaction des neutrons de vitesse donnée avec les noyaux du milieu est caractérisée par la section efficace.

## Ordre de grandeur de flux neutroniques
### Généralités

Un assemblage juste critique présente un flux neutronique faible, de l'ordre de 10$^6$ à 10$^8$ n cm$^{−2}$ s$^{−1}$. Ces flux correspondent à une puissance de l'ordre de quelques watts, qui peut être dissipée par convection naturelle.
Des réacteurs de recherche « froids » à haut flux, de type piscine, ont un flux neutronique de l'ordre de 10$^{13}$ n cm$^{−2}$ s$^{−1}$, comparable à celui d'un réacteur de puissance.
Le flux neutronique dans un réacteur est de l'ordre de 10$^{15}$ n cm$^{−2}$ s$^{−1}$ en neutrons rapides, et de l'ordre de 10$^{14}$ n cm$^{−2}$ s$^{−1}$ en neutrons thermiques.
Le « gaz » de neutrons formé dans un réacteur a une concentration inférieure de plusieurs ordres à celle des molécules d'un gaz aux conditions normales ; rapport supérieur à 3 × 10$^{12}$.
La connaissance de la forme et de la valeur du flux de neutrons dans un réacteur est importante car c'est le moyen de connaître la forme et la valeur de la puissance thermique générée localement par les fissions qui est une des grandeurs critiques du dimensionnement du réacteur :
taux de réaction local en (fissions par centimètre cube et par seconde) = (concentration locale des noyaux fissiles en (noyaux par centimètre cube) × section efficace microscopique de fission en centimètres carrés) × (flux neutronique en (neutrons par centimètre carré et par seconde) e

### Équation de la diffusion

Le flux est solution de l'équation différentielle de la diffusion :
$\mathbf {VARIATION} ~=~\mathbf {PRODUCTION} ~-~\mathbf {FUITES} ~-~\mathbf {ABSORPTIONS}$
${\partial n \over \partial t}=S+D\times \Delta \Phi -\Sigma _{a}\times \Phi$
Avec :
* n, concentration des neutrons, en neutrons par centimètre cube ;
* v, vitesse des neutrons, en centimètres par seconde ;
* t, temps ;
* S, source locale, en neutrons par centimètre cube par seconde ;
* D, coefficient de diffusion du milieu, en centimètres ;
* Φ = n ⋅ v, flux neutronique, en neutrons par centimètre carré par seconde ;
* $\Delta \Phi ~=~{\mathsf {\text{Opérateur laplacien du flux}}}~=~{\partial ^{2}\Phi \over \partial x^{2}}+{\partial ^{2}\Phi \over \partial y^{2}}+{\partial ^{2}\Phi \over \partial z^{2}}$
* Σ$_a$ = section efficace macroscopique d'absorption, en cm$^{−1}$.
En régime stable, ${\partial n \over \partial t}=0$.
Suivant différentes géométries :
* En milieu limité par deux faces parallèles de surface infinie (réacteur plaque),
    ${\partial n \over \partial t}=S+D\times {\partial ^{2}\Phi \over \partial x^{2}}-\Sigma _{a}\times \Phi$
* En géométrie cylindrique de longueur infinie (réacteur cylindrique - coordonnées polaires),
    ${\partial n \over \partial t}=S+D\times \left({\partial ^{2}\Phi \over \partial r^{2}}+{1 \over r}\times {\partial \Phi \over \partial r}\right)-\Sigma _{a}\times \Phi$
* En géométrie sphérique,
    ${\partial n \over \partial t}=S+D\times \left({\partial ^{2}\Phi \over \partial r^{2}}+{2 \over r}\times {\partial \Phi \over \partial r}\right)-\Sigma _{a}\times \Phi$
Dans un réacteur, en régime permanent, le terme source S est celui des fissions, d'où $S=k_{\infty }\times \Sigma _{a}\times \Phi$
    $\Delta \Phi +(k_{\infty }-1)\times {\Sigma _{a} \over D}\times \Phi =0$
On pose :
    $L^{2}={D \over \Sigma _{a}}=({\mathsf {Longueur~de~diffusion}})^{2}$
* et, tenant compte de ce que $k_{\infty }>1$
    $B_{m}^{2}={k_{\infty }-1 \over L^{2}}$ = laplacien matière ;
d'où la formulation simplifiée de l'équation de la diffusion :
* $\Delta \Phi +B_{m}^{2}\times \Phi =0$
* avec :
* $L^{2}={D \over \Sigma _{a}}$
* $B_{m}^{2}={k_{\infty }-1 \over L^{2}}$

#### Cas du réacteur cylindrique

Note Dans le cas typique du réacteur cylindrique (de hauteur H et de rayon R), en régime permanent (z = altitude de puis le plan médian du cœur ; r = distance à l'axe du cœur; λ = distance d'extrapolation) :
    ${\partial ^{2}\Phi \over \partial r^{2}}+{1 \over r}\times {\partial \Phi \over \partial r}+{\partial ^{2}\Phi \over \partial z^{2}}+B_{m}^{2}\times \Phi =0$
* Dans le sens axial, la solution est celle d'un cosinus :
    $\Phi (z)=\Phi _{o}\times \cos {\left(\pi \times {z \over H+2\times \lambda }\right)}$
* Dans le sens radial, la solution est celle d'une fonction de Bessel d'ordre zéro :
    $\Phi (r)=\Phi _{o}\times J_{o}\left(2{,}404\,91\times {r \over R+\lambda }\right)$
2,404 91 est la valeur du 1er zéro de la fonction de Bessel.
* Laplacien géométrique $B_{g}^{2}=\left({\pi \over H+2\times \lambda }\right)^{2}+\left({2{,}404\,91 \over R+\lambda }\right)^{2}$

#### Autres géométries simples

Les valeurs du laplacien géométrique dans d'autres géométries simples sont les suivantes :
* Sphère de rayon R : $B_{g}^{2}=\left({\pi \over R+\lambda }\right)^{2}$
* Plaque d'épaisseur a : $B_{g}^{2}=\left({\pi \over a+2\times \lambda }\right)^{2}$
* Parallélépipède de longueur des arêtes a, b, c :
    $B_{g}^{2}=\left({\pi \over a+2\times \lambda }\right)^{2}+\left({\pi \over b+2\times \lambda }\right)^{2}+\left({\pi \over c+2\times \lambda }\right)^{2}$
* Cylindre infini de rayon R : $B_{g}^{2}=\left({2{,}404\,91 \over R+\lambda }\right)^{2}$

### Exemple de calcul du flux dans un REP
#### Calcul du flux thermique

Caractéristiques du cœur (proches de celles d'un REP 900 MWe) et données générales :
* Puissance thermique du cœur : 2 768 MW,
* Masse d’uranium : 72 367 kg,
* Enrichissement moyen en uranium 235 : 2,433 %,
* Section efficace microscopique de fission de l’uranium 235 par un neutron thermique = 579,5 barns = 5,795 × 10$^{-22}$ cm$^2$,
* Volume du cœur : 26,571 m$^3$ = 26,571 × 10$^6$ cm$^3$,
* Hauteur combustible : 3,66 m,
* 157 assemblages carrés au pas de 215,036 mm,
* Température moyenne de l'eau primaire dans le cœur : 304,5 °C,
* 1 fission dégage 193 MeV d’énergie récupérable, 193 × 10$^6$ • (1,60218 × 10$^{-19}$) = 3,09220 × 10$^{-11}$ J / fission,
* Facteur de fissions rapides = 1,07,
* Neutrons de fission = 2,47 neutrons par fission.
D'où la valeur du flux neutronique thermique moyen = Φ$_m$ = 3,2 × 10$^{13}$ n cm$^{−2}$ s$^{−1}$
En effet, nous pouvons calculer différentes grandeurs grâce aux données pour aboutir au flux.
Les taux de réaction :
D'où nous déduisons les productions de neutrons :
Section efficace macroscopique de fission thermique :
D'où finalement le flux neutronique thermique, en rappelant que :

#### Forme du flux

Le flux neutronique est plus élevé au centre du cœur qu'en périphérie. Dans un cœur cylindrique homogène, la forme du flux est celle d'un cosinus tronqué aux frontières du cœur dans le sens axial et d'une fonction de Bessel tronquée aux frontières du cœur dans le sens radial.
L'eau entourant le cœur a un effet réflecteur qui fait que le flux thermique n'est pas nul aux frontières du cœur. Le cosinus ou la fonction de Bessel donnant la forme du flux dans le cœur s'annulent à une distance de 8,27 cm de la frontière du cœur appelée distance d'extrapolation ou économie de réflecteur (notée λ).
* Cœur de forme cylindrique à axe vertical
* H = hauteur du cœur = 366,0 cm
* R = rayon équivalent du cœur = 152,0 cm
* C = côté équivalent du cœur = 269,4 cm
* λ = économie de réflecteur = Distance d'extrapolation = 8,27 cm
* z = altitude depuis le centre du cœur
* r = rayon depuis l'axe du cœur (coordonnée polaire)
* Φ$_o$ = flux neutronique au centre du cœur
* Φ$_m$ = flux neutronique moyen
* $\Phi (r,z)=\Phi _{o}*J_{o}(2,40491*{r \over R+\lambda })*\cos {(\pi *{z \over H+2*\lambda })}$
* Φ$_o$ = Φ$_m$ • Facteur radial • Facteur axial
Facteur total = Facteur axial • Facteur radial = 1,506 • 1,555 = 2,344
Le flux est nettement plus élevé au centre du cœur qu'en périphérie. Dans le cas d'un réacteur parallélépipédique si on néglige les effets de bord (λ = 0), le facteur total vaut (π / 2)$^3$ soit 3,8758. En outre, le calcul simple présenté qui suppose un cœur homogène fait abstraction des effets locaux qui déforment le flux, tels que les « lames d'eau » entre assemblages combustibles qui occasionnent une augmentation locale du flux thermique.
Forme axiale du flux :
* Flux moyen suivant l'axe vertical = Φ$_m$
    $\Phi _{m}={1 \over H}*\int _{-H/2}^{+H/2}\Phi (z)dz~=~\Phi _{o}*{1 \over H}*\int _{-H/2}^{+H/2}\cos {(\pi *{z \over H+2*\lambda })}\,\mathrm {d} z$
    $\Phi _{m}=\Phi _{o}*{1 \over H}*\left({H+2*\lambda \over \pi }\right)*\left[\sin {({\pi \over 2}*{+H \over H+2*\lambda })}-\sin {({\pi \over 2}*{-H \over H+2*\lambda })}\right]$
    $\Phi _{m}=\Phi _{o}*{2 \over \pi }*\left({H+2*\lambda \over H}\right)*\sin {({\pi \over 2}*{H \over H+2*\lambda })}~=~\Phi _{o}*0,6638$
* Φ$_m$ = Φ$_o$ • 0,6638
* Facteur axial = Flux au centre du cœur / Flux moyen suivant l'axe vertical = 1 / 0,66384 = 1,50639.
* Flux au sommet et au bas du cœur : $\Phi _{o}*{2 \over \pi }*\left({H+2*\lambda \over H}\right)*\cos {({\pi \over 2}*{H \over H+2*\lambda })}~=~\Phi _{o}*0,06782~=~\Phi _{m}*0,1022$.
Forme radiale du flux :
* Le flux moyen suivant un axe radial est obtenu par intégration de la fonction de Bessel J$_o$ entre 0 et R / (R + λ))= 2,281, d'où Φ$_m$ = Φ$_o$ • 0,6426.
* Facteur radial = (Flux au centre du cœur / Flux moyen suivant un axe radial) = 1/0,6426 = 1,556.
* Flux à la frontière périphérique du cœur = $\Phi _{o}*J_{o}(2,40491*{R \over R+\lambda })=\Phi _{o}*J_{o}(2,40491*{152 \over 152+8,27})=0,0660$. La valeur du flux à la frontière du cœur dans le sens radial est très voisine de celle dans le sens axial.
* Remarque : pour appréhender la forme radiale du flux, de façon simpliste, en s'affranchissant du calcul de la fonction de Bessel, il peut être commode de confondre le cœur cylindrique avec un parallélépipède de section carrée. S'il n'y aucune direction particulière préférentielle venant de la forme réelle du cœur, le carré est orienté dans la direction qu'on considère.
** Côté équivalent du cœur = C = 269,4 cm.
** Flux moyen suivant un des axes du carré :
** :$\Phi _{m}=\Phi _{o}*{2 \over \pi }*\left({C+2*\lambda \over C}\right)*\sin {({\pi \over 2}*{C \over C+2*\lambda })}~=~\Phi _{o}*0,6729$.
** Flux à la frontière périphérique du cœur : $\cos {({\pi \over 2}*{C \over C+2*\lambda })}=0,09067$.
** Le flux moyen est calculé correctement, en revanche le flux à la frontière du cœur est surestimé par la méthode simpliste.

#### Flux thermique et flux rapide

La concentration moyenne du « gaz de neutrons thermiques » = 9,1878 × 10$^7$ neutrons par centimètre carré est très faible comparée par exemple à celle d'un gaz parfait sous les conditions normales de température et pression, soit 2,687 × 10$^{19}$ molécules par centimètre cube.

##### Domaine thermique

* Flux neutronique thermique moyen = 3,2 × 10$^{13}$ neutrons par centimètre carré par seconde.
* Énergie des neutrons du flux thermique = (Constante de Boltzmann) * (Température absolue du milieu) = 1,38065 × 10$^{-23}$ • (273,15 + 304,5) = 7,976 × 10$^{-21}$ J = 7,976 × 10$^{-21}$ / 1,602176565 × 10$^{-19}$ = 0,049 78 eV.
* Vitesse correspondante = Vitesse moyenne du spectre de Maxwell = 3 086 m/s.
* 0,04939 eV ≤ Énergie des neutrons thermiques < 100 eV.
* 3 090 m/s ≤ Vitesse des neutrons thermiques < 138 300 m/s.
* Vitesse moyenne thermique : 3 086 • 2 / π$^{0,5}$ = 3 482 m/s.
* Concentration des neutrons thermiques = Flux neutronique thermique moyen / Vitesse moyenne du domaine thermique = 3,2 × 10$^{13}$ / 348 200 = 9,2 × 10$^7$ neutrons par centimètre cube
Le flux rapide est environ deux fois plus élevé que le flux thermique. Toutefois, dans l'exemple présenté, la vitesse des neutrons du domaine rapide est plus de 5 000 fois plus élevée que celle du flux thermique. On peut donc voir que la concentration volumique des neutrons rapides est très inférieure à celle des neutrons thermiques.

##### Domaine rapide

* Calcul du flux rapide - 1re Méthode :
** Section efficace microscopique de fission de l'uranium 235 par un neutron rapide = 1,3 barn
** Section efficace microscopique de fission de l'uranium 238 par un neutron rapide = 0,5 barn
** Concentration des atomes d’uranium 235 = 1,6980 × 10$^{20}$ atomes par centimètre cube
** Concentration des atomes d’uranium 238 = (72 367 - 1 760,93) • 1 000 /238,0507826 • N$_A$ / 26,571 × 10$^6$ = 6,722 × 10$^{21}$ atomes par centimètre cube
** Section efficace macroscopique de fission rapide = 1,3 × 10$^{-24}$ • 1,6980 × 10$^{20}$ + 0,5 × 10$^{-24}$ • 6,722 × 10$^{21}$ = 0,003582 cm$^{−1}$
** Nombre de fissions rapides = Nombre de fissions totales - Nombre de fissions thermiques = 8,950 × 10$^{19}$ - 8,365 × 10$^{19}$ = 5,855 × 10$^{18}$ fissions/s
** Nombre de fissions rapides par centimètre cube et par seconde = 5,855 × 10$^{18}$ / 26,571 × 10$^6$ = 2,204 × 10$^{11}$ fissions par centimètre cube et par seconde
** Flux rapide = (Nombre de fissions rapides par centimètre cube et par seconde) / (Section efficace macroscopique de fission rapide) = 2,204 × 10$^{11}$ / 0,003582 = 6,152 × 10$^{13}$ neutrons par centimètre cube et par seconde
* 100 eV ≤ Énergie des neutrons < Énergie des neutrons de fission = 4,8 / 2,47 = 1,943 3 MeV
* Énergie moyenne du domaine rapide = 0,9717 MeV
* 138 300 m/s ≤ Vitesse rapide < 19 281 600 m/s
* Vitesse moyenne des neutrons du domaine rapide = 13 630 000 m/s (le flux rapide est alimenté par la source très importante que représente les neutrons rapides issus des fissions.)
* Concentration des neutrons rapides = Flux neutronique rapide moyen / Vitesse moyenne du domaine rapide = 6,152 × 10$^{13}$ / 1,363 × 10$^9$ = 45 100 neutrons par centimètre cube
* Calcul du flux rapide - Autre méthode :
** Source des neutrons de fission = 2,171 × 10$^{20}$ neutrons par seconde
** Section de la sphère équivalente du cœur = 10,765 m2
** Le flux rapide est alors égal à la source que divise la section de la sphère équivalente, soit donc:
*** Flux rapide = 2,171 × 10$^{20}$ / (10,765 * 10^6) = 1,986 * 10^15 n / cm2 /s
* Le calcul par la deuxième méthode est certainement le plus correct pour les raisons suivantes
** Pas d' évaluation du facteur de fission rapide lequel est forcément entaché d'erreur
** Le calcul de la source totale de neutrons de fission est correct
** La valeur de la section équivalente du cœur est en revanche contestable mais une erreur de plus de 20 % sur la bonne valeur n'est pas possible

##### Neutrons issus des fissions

* Source répartie des neutrons de fission = 8,320 × 10$^{12}$ neutrons par centimètre cube et par seconde
* Énergie moyenne des neutrons de fission = 4,8 MeV / 2,47 = 1,943 MeV
* Vitesse moyenne des neutrons de fission = 19 282 000 m/s
* Les neutrons issus des fissions alimentent le flux rapide au début du ralentissement avec un débit et une vitesse initiale (isotrope) très élevés.

#### Flux dans le réflecteur
##### Flux rapide dans le réflecteur

La forme du flux rapide évolue au 1er ordre dans le réflecteur suivant une loi simple : $\Phi =\Phi _{1}*e^{-\mu _{1}*r}$. Cette loi se raccorde à la frontière du cœur à la forme cosinusoïdale du flux dans le cœur, ce qui permet de déterminer la valeur de la constante Φ$_1$.
La valeur de μ$_1$ dépend de la nature du réflecteur, elle est à rapprocher de l'épaisseur 1/10 d'atténuation du rayonnement neutron en radioprotection, elle est prise égale à 0,156 cm$^{−1}$ dans le cas de l'eau.

##### Flux thermique dans le réflecteur

La forme générale du flux thermique est la suivante : $\Phi =\Phi _{2}*e^{-\mu _{2}*r}-\Phi _{3}*e^{-\mu _{1}*r}$.
* Le premier terme correspond à l'atténuation du flux thermique dans le réflecteur.
* Le second terme représente l'apport au niveau thermique des neutrons rapides ralentis dans le réflecteur, d'où la valeur de Φ$_3$.
La valeur de μ$_2$ est prise égale à 0,09 cm$^{−1}$.
La fonction de raccorde à la frontière du cœur à la forme cosinusoïdale du flux thermique dans le cœur ce qui détermine la valeur de Φ$_2$
Le flux thermique présente une remontée dans le réflecteur et un maximum à une distance approximativement égale à ${\sqrt {\tau }}$ de la frontière du cœur. $\tau$ est l'aire de Fermi des neutrons thermiques, soit environ 41,01 cm$^2$ dans le cas des réacteurs à eau ordinaire ; ${\sqrt {\tau }}=6,4\ \mathrm {cm}$ ; cette valeur est à rapprocher de l'économie de réflecteur (distance d'extrapolation des flux thermique et rapide) égale à 8,27 cm. En résumé : le « passage à zéro » du flux rapide à 8,27 cm de la frontière du cœur induit un maximum de flux thermique à 6,4 cm.

## Autres grandeurs neutroniques
### Densité angulaire

$n({\vec {r}},E,{\vec {\Omega }},t)$ désigne un nombre de neutrons dans le volume $d^{3}{\vec {r}}$ autour de ${\vec {r}}$ d'énergie $E$ dont le vecteur vitesse pointe suivant l'angle solide ${\vec {\Omega }}$ à $d^{3}{\vec {\Omega }}$ près à l'instant $t$.

### Flux angulaire

$\psi ({\vec {r}},E,{\vec {\Omega }},t)=vn({\vec {r}},E,{\vec {\Omega }},t)$
Le flux angulaire mesure un nombre de particules par centimètre carré et par seconde. C'est la distribution angulaire du flux scalaire.

### Flux scalaire

$\phi ({\vec {r}},E,t)=\int _{4\pi }d{\vec {\Omega }}\psi ({\vec {r}},E,{\vec {\Omega }},t)$ Le flux scalaire est l'unité la plus couramment utilisée en neutronique. Le flux scalaire mesure un nombre de particules par centimètre carré et par seconde.