# Théorème de Radon-Nikodym-Lebesgue

Le théorème de Radon-Nikodym-Lebesgue est un théorème d'analyse, une branche des mathématiques qui est constituée du calcul différentiel et intégral et des domaines associés.

## Définitions

Définitions — Soit ν une mesure positive sur $(X,{\mathcal {A}})$ et soient ρ, ρ des mesures positives ou complexes sur $(X,{\mathcal {A}})$.
* On dit que ρ est absolument continue par rapport à ν, et l'on note ρ ≪ ν, si pour tout $A\in {\mathcal {A}}$ tel que ν(A) = 0, on a également ρ(A) = 0.
* On dit que ρ est portée par $E\in {\mathcal {A}}$ (ou concentrée sur E) si pour tout $A\in {\mathcal {A}}$ on a ρ(A) = ρ(A ∩ E). (Cela équivaut à l'hypothèse : pour tout $A\in {\mathcal {A}},$ ρ(A\E) = 0.)
* On dit que ρ et ρ sont mutuellement singulières (ou étrangères), et l'on note ρ ⊥ ρ, s'il existe $E\in {\mathcal {A}}$ telle que ρ soit portée par E et ρ soit portée par E$^c$.

## Théorème de Radon-Nikodym-Lebesgue

Le théorème de Radon-Nikodym-Lebesgue est un résultat de théorie de la mesure, cependant une démonstration faisant intervenir les espaces de Hilbert a été donnée par le mathématicien John von Neumann au début du XXe siècle. Il s'énonce de la façon suivante :
Théorème de Radon-Nikodym-Lebesgue — Soient ν une mesure positive σ-finie sur $(X,{\mathcal {A}})$ et μ une mesure positive σ-finie (respectivement réelle, resp. complexe) sur $(X,{\mathcal {A}})$.
* Il existe un unique couple (μ$_1$, μ$_2$) de mesures positives σ-finies (resp. réelles, resp. complexes) tel que :
** $\mu =\mu _{1}+\mu _{2},$
** $\mu _{1}\ll \nu ,$
** $\mu _{2}\perp \nu .$
    Cette décomposition s'appelle la décomposition de Lebesgue (en) de μ par rapport à ν.
* Il existe une unique (à égalité ν-presque partout près) fonction h mesurable positive (resp. ν-intégrable réelle, resp. ν-intégrable complexe) telle que pour tout $A\in {\mathcal {A}}$ on ait :$\mu _{1}(A)=\int _{A}h~\mathrm {d} \nu =\int _{X}1_{A}h~\mathrm {d} \nu .$Cette fonction h s'appelle la dérivée de Radon-Nikodym de μ$_1$ par rapport à ν.

## Propriétés de la dérivée de Radon-Nikodym

La dérivée de Radon-Nikodym a les propriétés suivantes :
* Soient ν, μ et λ des mesures σ-finies sur le même espace mesurable. Si ν ≪ λ et μ ≪ λ (ν et μ sont toutes deux absolument continues par rapport à λ), alors
${\frac {d(\nu +\mu )}{d\lambda }}={\frac {d\nu }{d\lambda }}+{\frac {d\mu }{d\lambda }}\quad \lambda {\text{-presque partout}}.$
* Si ν ≪ μ ≪ λ, alors
${\frac {d\nu }{d\lambda }}={\frac {d\nu }{d\mu }}{\frac {d\mu }{d\lambda }}\quad \lambda {\text{-presque partout}}.$
* En particulier, si μ ≪ ν et ν ≪ μ, alors
${\frac {d\mu }{d\nu }}=\left({\frac {d\nu }{d\mu }}\right)^{-1}\quad \nu {\text{-presque partout}}.$
* Si μ ≪ λ et g est une fonction μ-intégrable, alors
$\int _{X}g\,d\mu =\int _{X}g{\frac {d\mu }{d\lambda }}\,d\lambda .$

## Densité d'une mesure

Définition —  Soit ν une mesure positive σ-finie sur $(X,{\mathcal {A}})$ et soit ρ une mesure positive σ-finie (resp. réelle, resp. complexe) sur $(X,{\mathcal {A}}).$ On dit que ρ possède une densité h par rapport à ν si h est une fonction mesurable positive (resp. ν-intégrable réelle, resp. ν-intégrable complexe), telle que pour tout $A\in {\mathcal {A}}$ on ait :
$\rho (A)=\int _{A}h~\mathrm {d} \nu =\int _{X}1_{A}\,h~\mathrm {d} \nu .$
On note
$h={\frac {\mathrm {d} \rho }{\mathrm {d} \nu }}.$
En conséquence du théorème de Radon-Nikodym, on a la propriété suivante :
Proposition — Soient ν une mesure positive σ-finie sur $(X,{\mathcal {A}})$ et μ une mesure positive σ-finie (resp. réelle, resp. complexe) sur $(X,{\mathcal {A}}).$ Il y a équivalence entre :
* $\mu \ll \nu ,$
* μ possède une densité par rapport à ν.
Si $\mu \ll \nu$ alors, clairement, $\mu =\mu +0$ est une décomposition de μ satisfaisant le théorème de Radon-Nikodym donc, en vertu de la dernière partie du théorème, μ possède une densité par rapport à ν. Réciproquement, notons h la densité de μ par rapport à ν. Si
$\nu (A)=\int _{X}1_{A}~\mathrm {d} \nu =0,$
alors $1_{A}$ est nul ν-presque partout. Il suit que $1_{A}\,h$ est nul ν-presque partout également, donc
$\mu (A)=\int _{X}1_{A}\,h~\mathrm {d} \nu =0.$
L'hypothèse de σ-finitude est importante : par rapport à la mesure de comptage, une mesure est toujours absolument continue mais celle de Lebesgue sur ℝ (par exemple) n'a pas de densité.

### Densité de probabilité d'un vecteur aléatoire

Rappel —
* On appelle densité de probabilité d'une variable aléatoire X à valeurs dans ℝ$^d$ une fonction f mesurable, telle que pour toute partie borélienne A ⊂ ℝ$^d$ :$\mathbb {P} (X\in A)=\int _{\mathbb {R} ^{d}}\ 1_{A}(u)\,f(u)~\mathrm {d} u=\int _{A}\ f(u)~\mathrm {d} u.$
* La loi de probabilité $\mathbb {P} _{X}$ d'une variable aléatoire $X$ à valeurs dans ℝ$^d$ est la mesure de probabilité définie, pour toute partie borélienne A ⊂ ℝ$^d$, par :$\mathbb {P} _{X}(A)=\mathbb {P} (X\in A).$
* Si d = 1, X est appelée une variable aléatoire réelle, ou encore v.a.r.
Au vu des définitions, le langage probabiliste diffère légèrement du langage de la théorie de la mesure. Il y a équivalence entre les trois assertions :
* Une variable aléatoire Z à valeur dans ℝ$^d$ possède une densité de probabilité.
* La mesure $\mathbb {P} _{Z}$ possède une densité par rapport à la mesure de Lebesgue sur ℝ$^d$.
* La mesure $\mathbb {P} _{Z}$ est absolument continue par rapport à la mesure de Lebesgue sur ℝ$^d$.
Le dernier point peut se réécrire, en langage probabiliste.
Critère — Une variable aléatoire Z à valeurs dans ℝ$^d$ possède une densité de probabilité si et seulement si, pour chaque borélien A de ℝ$^d$ dont la mesure de Lebesgue est nulle, on a :
    $\mathbb {P} \left(Z\in A\right)=0.$
Ce critère est rarement employé dans la pratique pour démontrer que Z possède une densité, mais il est en revanche utile pour démontrer que certaines probabilités sont nulles. Par exemple, si le vecteur aléatoire Z = (X, Y) possède une densité, alors :
* $\mathbb {P} \left(X=Y\right)=0,$
* $\mathbb {P} \left(X^{2}+Y^{2}=1\right)=0,$
car la mesure de Lebesgue (autrement dit, l'aire) de la première bissectrice (resp. du cercle unité) est nulle.
Plus généralement, la mesure de Lebesgue du graphe d'une fonction mesurable φ étant nulle, il suit que :
* $\mathbb {P} \left(Y=\varphi (X)\right)=0.$
De même, il y a de nombreux exemples où, du fait que l'ensemble $\left\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\mid \psi (x,y)=0\right\}$ est de mesure de Lebesgue nulle, on peut conclure que :
* $\mathbb {P} \left(\psi (X,Y)=0\right)=0.$
Le critère de Radon-Nikodym peut aussi être utilisé pour démontrer qu'un vecteur aléatoire ne possède pas de densité, par exemple si :
    $Z=\left(\cos \Theta ,\sin \Theta \right),$
où Θ désigne une variable aléatoire suivant la loi uniforme sur [0, 2π], alors Z ne possède pas de densité car :
    $\mathbb {P} \left(X^{2}+Y^{2}-1=0\right)=1.$
Remarque — Dans le cas d = 1, une variable aléatoire Z à valeurs dans ℝ possède une densité de probabilité si et seulement si sa fonction de répartition est localement absolument continue.

## Note et référence

* 1 2 3 Voir par exemple Walter Rudin, Analyse réelle et complexe [détail des éditions] pour de plus amples détails.
* ↑ (en) Yaiza Bermudez, Gaëtan Bisson, Iñaki Esnaola, and Samir M. Perlaza, « Proofs for Folklore Theorems on the Radon-Nikodym Derivative », 2025.