# Fraction de mélange

La fraction de mélange, généralement notée $Z$, est une quantité utilisée dans les études de combustion qui mesure la fraction massique normalisée dans un milieu issu du mélange d'un combustible et d'un oxydant. Dans certaines configurations elle constitue une variable permettant une description simple de la flamme.
Cette quantité est liée au rapport de mélange

## Définition

Soient $Y_{F}$ et $Y_{O}$ les fractions massiques relatives au combustible et à l'oxydant, respectivement.
Supposons une région de l'espace réactive représentant une flamme alimentée par$^,$$^,$$^,$$^,$ :
* un flux de combustible comportant la fraction massique de combustible $Y_{F,F}$ et, éventuellement, une fraction non-réactive $1-Y_{F,F}$,
* un flux d'oxydant avec une fraction massique d'oxydant $Y_{O,O}$ et, éventuellement, une fraction non-réactive $1-Y_{O,O}$.
Par exemple, si l'oxydant est l'air et le combustible est homogène, alors $Y_{O,O}\simeq 0,23$ et $Y_{F,F}=1$.
Soit $s$ la masse d'oxydant nécessaire pour brûler une unité de masse de combustible. Par exemple :
* pour le couple oxygène-hydrogène correspondant à la réaction $H_{2}+{\frac {1}{2}}O_{2}\to H_{2}O$ alors $s=8$,
* pour le couple oxygène-$\mathrm {C} _{m}\mathrm {H} _{n}$ (alcane) correspondant à la réaction $C_{m}H_{n}+\left(m+{\frac {n}{4}}\right)O_{2}\to mCO_{2}+{\frac {n}{2}}H_{2}O$ alors $s=32(m+n/4)/(12m+n)$.
En normalisant les fractions massiques par $y_{F}=Y_{F}/Y_{F,F}$ et $y_{O}=Y_{O}/Y_{O,O}$ on définit alors la fraction de mélange par :
    $Z={\frac {Sy_{F}-y_{O}+1}{S+1}}$
où
    $S={\frac {sY_{F,F}}{Y_{O,O}}}$
est le paramètre de stœchiométrie, également connu sous le nom de rapport de mélange global. À la limite côté combustible $y_{F}=1$ et $y_{O}=0$, donc $Z=1$. De même, à la limite côté d'oxydant $y_{F}=0$ et $y_{O}=1$ de sorte que $Z=0$. Partout ailleurs dans le domaine de mélange $0<Z<1$.
La fraction de mélange est un champ décrivant la composition du milieu $Z=Z(\mathbf {x} ,t)$, fonction des coordonnées spatiales $\mathbf {x}$ et du temps $t$. Il est nommé scalaire passif car il n'influence pas le milieu environnant, par opposition à la température par exemple. Il peut être utilisé comme variable indépendante dans des problèmes unidimensionnels (voir figure).
Dans le domaine des flammes de mélange de type système de réaction-diffusion on trouve des exemples où la solution approximative montre l'existence de surfaces planes ou de révolution où le combustible et l'oxygène se trouvent mélangés dans des proportions stœchiométriques. La courbe de niveau $Z(\mathbf {x} ,t)=Z_{s}$, où $Z_{s}$ est appelé la fraction de mélange stœchiométrique, est obtenue en $Y_{F}=Y_{O}=0$. D'où :
    $Z_{s}={\frac {1}{S+1}}$.

## Relation entre le rapport d'équivalence local et la fraction de mélange

On considère le problème de la combustion partiellement prémélangée. En l'absence de réaction chimique, ou en considérant le côté imbrûlé de la flamme, les fractions massiques de combustible et de comburant sont $y_{F,u}=Z$ et $y_{O,u}=1-Z$ (l'indice $u$ désigne le mélange imbrûlé). Cela permet de définir un rapport de mélange local :
    $\phi ={\frac {sY_{F,u}}{Y_{O,u}}}={\frac {Sy_{F,u}}{y_{O,u}}}$
La relation entre le rapport d'équivalence local et la fraction de mélange est donnée par :
    $\phi ={\frac {SZ}{1-Z}}\qquad \Rightarrow \qquad Z={\frac {\phi }{S+\phi }}$
La fraction de mélange stœchiométrique $Z_{s}$ définie précédemment est telle que le rapport d'équivalence local est $\phi =1$.

## Fraction de mélange de Liñán

Amable Liñán a introduit en 1991 une fraction de mélange modifiée utilisable dans les systèmes où le combustible et l'oxydant ont des nombres de Lewis différents$^,$. Si $Le_{F}$ et $Le_{O}$ sont respectivement le nombre de Lewis du combustible et de l'oxydant, alors la fraction de mélange de Liñán est définie par :
    ${\tilde {Z}}={\frac {{\tilde {S}}y_{F}-y_{O}+1}{{\tilde {S}}+1}}$
où
    ${\tilde {S}}={\frac {Le_{O}S}{Le_{F}}}$
La fraction de mélange stœchiométrique ${\tilde {Z}}_{s}$ est donnée par :
    ${\tilde {Z}}_{s}={\frac {1}{{\tilde {S}}+1}}$.