# Tenseur de Levi-Civita

Dans un espace euclidien orienté de dimension $N$, le tenseur de Levi-Civita – ou tenseur dualiseur – est le tenseur dont les coordonnées dans une base orthonormale directe sont données par le symbole de Levi-Civita d'ordre N. En effet, le symbole de Levi-Civita d'ordre N $\epsilon _{i_{1}\ldots i_{N}}$ ou $\epsilon ^{i_{1}\ldots i_{N}}$ (aussi appelé pseudo-tenseur unité complètement antisymétrique) n'est pas un tenseur. Par exemple, ses composantes devraient être multipliées par $2^{N}$ lorsque le système de coordonnées est réduit d'un facteur 2.

## Tenseur dualiseur
### Définition

Dans un espace euclidien orienté il existe une forme volume canonique, notée ici $\eta$, définie comme l'unique forme volume telle que $\eta (B)=1$ pour une (et donc pour toute) base orthonormale directe $B$.
Le tenseur $\eta$ est aussi appelé tenseur de Levi-Civita ou encore tenseur dualiseur.

### Coordonnées covariantes et contravariantes

Dans une base $B$ quelconque, on note $(g_{ij})$ la matrice du tenseur métrique et $(g^{ij})$ sa matrice inverse. Le déterminant $g=\det \nolimits _{B}(g_{ij})$ peut s'exprimer à l'aide du symbole de Levi-Civita.
$g_{i_{1}j_{1}}\ldots g_{i_{N}j_{N}}\epsilon ^{j_{1}\ldots j_{N}}=g\epsilon _{i_{1}\ldots i_{N}}$
Les coordonnées covariantes et contravariantes du tenseur de Levi-Civita vérifient les relations
$\eta _{i_{1}\ldots i_{N}}=g_{i_{1}j_{1}}\ldots g_{i_{N}j_{N}}\eta ^{j_{1}\ldots j_{N}}$
et
$\eta ^{i_{1}\ldots i_{N}}=g^{i_{1}j_{1}}\ldots g^{i_{N}j_{N}}\eta _{j_{1}\ldots j_{N}}$
On en déduit, dans une base directe quelconque, les relations
$\eta _{i_{1}\ldots i_{N}}={\sqrt {g}}\epsilon _{i_{1}\ldots i_{N}}$
et
$\eta ^{i_{1}\ldots i_{N}}={\frac {1}{\sqrt {g}}}\epsilon ^{i_{1}\ldots i_{N}}$
Puisque $g=1$ dans une base orthonormale, on retrouve ce qui est dit en introduction.
Dans une base rétrograde (ou indirecte), l'expression des coordonnées à l'aide du symbole de Levi-Civita est légèrement modifiée : il faut remplacer ${\sqrt {g}}$ par $-{\sqrt {g}}$. En introduisant le symbole $(-1)^{B}=\eta (B)/\left|\eta (B)\right|$ égal à 1 si la base est directe et -1 si la base est indirecte on a dans le cas général
$\eta _{i_{1}\ldots i_{N}}=(-1)^{B}{\sqrt {g}}\epsilon _{i_{1}\ldots i_{N}}$
et
$\eta ^{i_{1}\ldots i_{N}}=(-1)^{B}{\frac {1}{\sqrt {g}}}\epsilon ^{i_{1}\ldots i_{N}}$

### Cas des espaces pseudo-euclidiens

Dans un espace pseudo-euclidien le déterminant du tenseur métrique n'est pas nécessairement positif. Par exemple dans le cas de l'espace de Minkowski (l'espace-temps quadridimensionnel de la relativité restreinte), le déterminant du tenseur métrique est négatif.
Les relations précédentes peuvent s'écrire, dans une base quelconque, sous une forme valable quel que soit le signe de $g$
$\eta _{i_{1}\ldots i_{N}}=(-1)^{B}{\sqrt {|g|}}\epsilon _{i_{1}\ldots i_{N}}$
et
$\eta ^{i_{1}\ldots i_{N}}=(-1)^{B}{\frac {\sqrt {|g|}}{g}}\epsilon ^{i_{1}\ldots i_{N}}$
Par la suite on utilisera le symbole $*$ à la place de la lettre grecque $\eta$.

## Propriétés du tenseur dualiseur
### Produit de tenseurs dualiseurs

Les formules suivantes découlent directement des formules obtenues avec le symbole de Levi-Civita d'ordre N. Le symbole $\delta _{j}^{i}$ est le symbole de Kronecker, représentant le tenseur unité. On se place dans le cas euclidien.

#### Résultat d'ordre 2

$*^{k\;i_{2}\ldots i_{N}}*_{l\;i_{2}\ldots i_{N}}=\left(N-1\right)!\times \delta _{l}^{k}$
En effet, si k est différent de l il existe au moins deux indices égaux, soit dans le coefficient du premier tenseur, soit dans celui du second. Le coefficient correspondant est nul, ainsi que le produit. Si k est égal à l, les facteurs respectifs $(-1)^{B}{\sqrt {g}}$ et $(-1)^{B}{\frac {1}{\sqrt {g}}}$ apparaissant dans chacun des deux tenseurs se simplifient. Les symboles de Levi-Civita $\epsilon ^{k\;i_{2}\ldots i_{N}}$ et $\epsilon _{l\;i_{2}\ldots i_{N}}$ prennent la même valeur 1 ou -1 dans les deux coefficients et leur produit vaut 1. Enfin, pour chaque valeur commune de k = l, il y a $(N-1)!$ choix possibles des indices $i_{2},\dots ,i_{N}$.

#### Résultat d'ordre 4

$*^{km\;i_{3}\ldots i_{N}}*_{ln\;i_{3}\ldots i_{N}}=\left(N-2\right)!\times \left(\delta _{l}^{k}\delta _{n}^{m}-\delta _{n}^{k}\delta _{l}^{m}\right)$
La démonstration est comparable au cas précédent, les seuls cas où l'on obtient un résultat non nul étant celui où k = l et m= n, pour lequel les symboles de Levi-Civita apparaissant dans les deux tenseurs sont de même signe, et le cas où k = n et l = m, pour lequel les symboles sont de signes contraires, d'où le signe - devant $\delta _{n}^{k}\delta _{l}^{m}$. Pour une paire {k, l} d'éléments distincts donnés, il existe $(N-2)!$ choix possibles des indices $i_{3},\dots ,i_{N}$.

### Nullité de la dérivée covariante du tenseur dualiseur

La dérivée covariante du tenseur dualiseur est nulle :
$D_{j}\left(*^{i_{1}i_{2}\ldots i_{N}}\right)=0$
L'expression de la dérivée covariante à partir de la dérivée simple et des symboles de Christoffel donne
$D_{j}\left(*^{i_{1}i_{2}\ldots i_{N}}\right)=\partial _{j}\left(*^{i_{1}i_{2}\ldots i_{N}}\right)+\Gamma _{kj}^{i_{1}}*^{ki_{2}\ldots i_{N}}+\Gamma _{kj}^{i_{2}}*^{i_{1}k\ldots i_{N}}+\ldots +\Gamma _{kj}^{i_{N}}*^{i_{1}i_{2}\ldots k}$
Réécrivons premier terme sous la forme
$\partial _{j}\left({\frac {\epsilon ^{i_{1}i_{2}\ldots i_{N}}}{\sqrt {\det {g}}}}\right)$
Le symbole de Levi-Civita d'ordre N étant constant, ce terme devient
$\epsilon ^{i_{1}i_{2}\ldots i_{N}}\partial _{j}\left({\frac {1}{\sqrt {\det {g}}}}\right)$
Dans la liste des termes suivants, le premier se réduit à sa valeur pour laquelle $k=i_{1}$, le deuxième à sa valeur pour laquelle $k=i_{2}$, etc. La somme des N termes vaut donc $\Gamma _{kj}^{k}*^{i_{1}i_{2}\ldots i_{N}}$. Étant donné l'expression de la contraction du symbole de Christoffel
$\Gamma _{kj}^{k}=-\partial _{j}\left({\frac {1}{\sqrt {\det g}}}\right)$
on trouve
$D_{j}\left(*^{i_{1}i_{2}\ldots i_{N}}\right)=0$

## Définition de tenseurs duaux au sens de Hodge

Le produit du tenseur dualiseur avec un tenseur d'ordre $M$ dans un espace de dimension $N$ définit un tenseur d'ordre $N-M$, son dual au sens de Hodge.
$\left[*a\right]^{i_{1}i_{2}\ldots i_{N-M}}={\frac {1}{M!}}*^{i_{1}i_{2}\ldots i_{N}}a_{i_{N-M+1}\ldots i_{N}}$
Le produit met ici arbitrairement en jeu les $M$ derniers indices du tenseur dualiseur. On aurait aussi bien pu prendre les $M$ premiers indices. Les deux conventions différent d'un signe - dans certains cas.
Exemple, tenseurs duaux en dimension 3 :
Un vecteur $b^{k}$ possède un tenseur antisymétrique dual :
$\left[*b\right]_{ij}=*_{ijk}b^{k}$
Réciproquement, le dual d'un tenseur antisymétrique $a_{ij}$ est un vecteur :
$\left[*a\right]^{i}={\frac {1}{2}}\times *^{ijk}a_{jk}.$
Le dual du dual est le vecteur ou le tenseur antisymétrique lui-même. En effet, on a pour un vecteur :
$\left[**b\right]^{i}={\frac {1}{2}}*^{ijk}\left[*b\right]_{jk}={\frac {1}{2}}*^{ijk}*_{jkl}b^{l}=\delta _{l}^{i}b^{l}=b^{i}$
et pour un tenseur antisymétrique :
$\left[**a\right]_{ij}=*_{ijk}\left[*a\right]^{k}={\frac {1}{2}}*_{ijk}*^{klm}a_{lm}={\frac {1}{2}}\left(\delta _{ij}^{lm}-\delta _{ij}^{ml}\right)a_{lm}=a_{ij}$