# Groupe orthogonal

En mathématiques, le groupe orthogonal réel de degré n, noté O(n), est le groupe des transformations géométriques d'un espace euclidien de dimension n qui préservent les distances (isométries) et le point origine de l'espace. Formellement, on introduit le groupe orthogonal d'une forme quadratique q sur E, espace vectoriel sur un corps commutatif K, comme le sous-groupe du groupe linéaire GL(E) constitué des automorphismes f de E qui laissent q invariante : q(f(x)) = q(x) pour tout vecteur x de E. La loi de composition de ce groupe est la composition des applications.
Dans cet article, K désigne un corps commutatif et E un espace vectoriel de dimension finie non nulle n sur K et q désigne une forme quadratique non dégénérée sur E.

## Généralités

L'ensemble des éléments f du groupe linéaire GL(E) de E tels que q(f(x)) = q(x) pour tout vecteur x de E est un groupe pour la composition des applications. On l'appelle groupe orthogonal de q et on le note O(q) ou O(E, q) ; ses éléments sont les applications orthogonales (pour q),
Exemple. Un cas important est celui de la forme quadratique suivante (en supposant que la caractéristique de K est différente de 2) : E = K$^n$, et q est la forme quadratique canonique :
    $q(x_{1},\ldots ,x_{n})=\sum _{k=1}^{n}x_{k}^{2}.$
Le groupe orthogonal correspondant est noté O(n,K), ou O$_n$(K). Il est appelé groupe orthogonal standard de degré n sur K. Il s'identifie canoniquement au groupe des matrices orthogonales n×n (une matrice est dite orthogonale si sa transposée est son inverse). La loi interne de ce groupe est la multiplication matricielle. C'est un sous-groupe du groupe linéaire GL(n,K).
Le déterminant de tout élément de O(q) est égal à 1 ou à –1.
Si la caractéristique de K est différente de 2, l'ensemble O(q) ∩ SL(E) des éléments de O(q) dont le déterminant est 1 est un sous-groupe de O(q), que l'on appelle groupe spécial orthogonal de q et on le note SO(q) ou SO(E, q). Dans le cas de l'exemple vu plus haut, on le note aussi SO(n, K) ou SO$_n$(K). Donc SO(n, K) est le groupe des matrices orthogonales d'ordre n dont le déterminant est 1. SO(q) est un sous-groupe d'indice 2 de O(q), et donc SO(n, K) est un sous-groupe d'indice 2 de O(n, K).
En caractéristique 2, le déterminant de tout élément de O(q) est 1, et la définition du groupe spécial orthogonal est alors tout autre.
Les O(q) et, si la caractéristique de K est différente de 2, les SO(q) sont des groupes algébriques : si K est un corps infini, il est un fermé de GL(E) pour la topologie de Zariski. Dans le cas du groupe O(n, K), il suffit d'observer que c'est l'ensemble des zéros de l'application polynomiale M ↦ $^t$MM – I$_n$ de M$_n$(K) (espace des matrices carrées) dans lui-même.

## Groupes orthogonaux réels et complexes
### Groupes orthogonaux euclidiens

Dans cette section on suppose que K est le corps ℝ des nombres réels.
Si q est définie positive, alors O(q) et SO(q) sont isomorphes à O(n, ℝ) et SO(n, ℝ). On les note O(n) et SO(n).
Géométriquement, O(n) est le groupe des isométries euclidiennes de ℝ$^n$ qui préservent l'origine (ou, ce qui est équivalent, appartiennent à GL(n, ℝ)), SO(n) son sous-groupe des éléments qui préservent l'orientation (isométries directes).
SO(2) est isomorphe (en tant que groupe de Lie, voir plus loin) au cercle S$^1$, formé des nombres complexes de module 1, muni de la multiplication. Cet isomorphisme lie le nombre complexe e$^{it}$ = cos t + i sin t à la matrice orthogonale
${\begin{pmatrix}\cos t&-\sin t\\\sin t&\cos t\end{pmatrix}}.$
Le groupe SO(3) est souvent appelé groupe des rotations (vectorielles) dans l'espace (tridimensionnel).
Les groupes O(n) et SO(n) sont des sous-groupes fermés du groupe de Lie GL(n, ℝ) (par exemple : O(n) est fermé dans GL(n, ℝ) — et même dans M$_n$(ℝ) ≅ ℝ$^{n2}$ — car c'est l'image réciproque du singleton {I$_n$} par l'application continue M ↦ $^t$MM). Ce sont donc des groupes de Lie réels. Leurs dimensions sont égales à n(n – 1)/2.
Ce sont même des groupes de Lie compacts car ils sont non seulement fermés dans M$_n$(ℝ) mais bornés (la norme d'opérateur de toute isométrie est égale à 1). O(n) est d'ailleurs un sous-groupe compact maximal de GL(n, ℝ). C'est même le seul à isomorphisme près, puisque tout sous-groupe compact de GL(n, ℝ) est conjugué d'un sous-groupe de O(n).
Le groupe O(n) a deux composantes connexes car sa composante neutre (en) est SO(n).
L'algèbre de Lie associée aux groupes de Lie O(n) et SO(n) est formée des matrices carrées d'ordre n qui sont antisymétriques. Elle est généralement notée ${\mathfrak {o}}\!$ (n) ou ${\mathfrak {so}}\,\!$(n).
En termes de topologie algébrique, pour n > 2, le groupe fondamental de SO(n) est d'ordre 2 et son revêtement universel est Spin(n). Pour n = 2, le groupe fondamental est Z et le revêtement universel est ℝ.

### Groupes orthogonaux complexes

Si K est le corps C des nombres complexes, alors O(q) et SO(q) sont isomorphes à O(n, C) et SO(n, C).
De manière analogue aux groupes orthogonaux euclidiens (en remplaçant R par C), O(n, C) et SO(n, C) sont des sous-groupes fermés du groupe de Lie GL(n, C) et sont donc des groupes de Lie complexes. Leurs dimensions (sur C) sont égales à n(n – 1)/2.
Si n ≥ 2, les groupes topologiques O(n, C) et SO(n, C) ne sont pas compacts, mais O(n) et SO(n) sont des sous-groupes compacts maximaux de ces groupes.
La composante neutre de O(n, C) est SO(n, C).
L'algèbre de Lie associée aux groupes de Lie O(n, C) et SO(n, C) est formée des matrices complexes carrées d'ordre n qui sont antisymétriques. Elle est généralement notée ${\mathfrak {o}}\!$ (n, C) ou ${\mathfrak {so}}\,\!$(n, C).
Pour n > 2, le groupe fondamental de SO(n, C) est d'ordre 2 et son revêtement universel est le groupe spinoriel complexe Spin(n, C). Pour n = 2, le groupe fondamental est Z et le revêtement universel est C.

### Groupes orthogonaux réels et complexes, intrinsèquement

On suppose que K est le corps R des nombres réels ou le corps C des nombres complexes.
O(q) et SO(q) sont des sous-groupes fermés du groupe de Lie GL(E) (ils sont même fermés dans End$_K$(E) ≅ K$^{n2}$) et sont donc des groupes de Lie sur K. Les dimensions de O(q) et SO(q) sur K sont égales à n(n – 1)/2.
Si K = C, ou si K = R et si q est définie positive ou négative, alors O(q) et SO(q) s'identifient à O(n, K) et SO(n, K). Si K = R et si q est indéfinie (en), alors la composante neutre SO$_0$(q) de SO(q) est d'indice 2 dans SO(q) donc d'indice 4 dans O(q) (O(q)/SO$_0$(q) est isomorphe au groupe de Klein Z/2Z × Z/2Z).
L'algèbre de Lie associée aux groupes de Lie O(q) et SO(q), notée ${\mathfrak {o}}\!$(q) ou ${\mathfrak {so}}\!$(q), est canoniquement isomorphe à la sous-K-algèbre de Lie de ${\mathfrak {g}}l\!$(E) constituée des endomorphismes f de E tels que φ(f(x), y) + φ(x, f(x)) = 0, où φ désigne la forme bilinéaire symétrique associée à q.
Le groupe spinoriel Spin(q) est un sous-K-groupe de Lie du groupe des inversibles de Cl $^0$(q). De plus, Spin(q) est un 2-revêtement de SO(q) si K = C, et de la composante neutre SO$_0$(q) de SO(q) si K = R. L'algèbre de Lie de Spin(q) s'identifie canoniquement à ${\mathfrak {o}}\!$(q).