# Jour julien

Le jour julien est un système de datation consistant à compter le nombre de jours et fraction de jour écoulés depuis une date conventionnelle fixée au 1er janvier de l'an 4713 av. J.-C. (= -4712) à 12 heures temps universel.
La période julienne de Scaliger$^,$ est une ère fictive de 2 914 695 jours$^,$ que Joseph Juste Scaliger (1540-1609) a proposée$^,$ en 1583. Elle débute le lundi, 1er janvier de l'an 4713 av. J.-C. à 12 h TU. Elle s'achèvera le lundi, 1er janvier 3268 du calendrier julien — soit le lundi, 23 janvier 3268 du calendrier grégorien — à 12 h TU$^,$. Elle ne fait intervenir aucune autre division du temps que les jours, c'est-à-dire qu'elle exclut les semaines et les mois.
Le terme de « jour julien » est également employé par le Centre national d'études spatiales (CNES) français et la NASA américaine pour dater divers événements. Le nombre de jours écoulés est décompté depuis le 1er janvier 1950 à 0 h pour le CNES et depuis le 24 mai 1968 à 0 h pour la NASA.
La datation en jours juliens rend particulièrement simples les calculs sur les dates puisqu'elle est indépendante de cycles calendaires complexes (durée inégale des mois, mois intercalaires, jours supplémentaires, années bissextiles, etc.).
Les jours juliens sont utilisés en particulier pour dater les événements astronomiques. Ils servent à établir commodément les correspondances entre calendriers. Ils sont également mis en œuvre, souvent sous une forme modifiée, dans les systèmes de dates internes des logiciels informatiques.

## Jours juliens et calendrier julien

Joseph Juste Scaliger publia ses conclusions en 1583 dans son ouvrage Opus novum de emendatione temporum (« Travail sur l'amélioration [de la mesure] du temps »). Bien que de nombreuses références prétendent que le terme julienne de la période julienne se réfère au père de Scaliger, Julius César Scaliger, il est bien précisé dans l’introduction du Livre V de son œuvre que « Iulianam vocauimus: quia ad annum Iulianum dumtaxat accomodata est », qu’on peut traduire par « Nous l’avons appelée julienne tout simplement parce qu’elle s’accommode à l’année julienne », l'épithète julienne se référant au Julius de Jules César (Cæsar de la gens Julia), César qui introduisit son calendrier julien en notre an 46 avant Jésus-Christ, sur la base du travail de l'astronome Sosigène d'Alexandrie.
Le qualificatif julien est source d'ambiguïtés : les datations en jours juliens et les dates du calendrier julien n'ont aucun rapport et ne doivent pas être confondues. On parle dans le premier cas de jours juliens (abrégés JJ en français) ; de date julienne ou de date du calendrier julien dans le second cas. Les abréviations anglaises sont ambigües et doivent être interprétées selon le contexte : l'abréviation JD est parfois utilisée pour « Julian Date » (date du calendrier julien) et parfois pour Julian Day (« Jour julien »).

## Règles d'utilisation
### Numérotation des années

Les correspondances entre jours juliens et calendriers exigent que l'on emploie la chronologie astronomique :
* en chronologie usuelle, l'an 0 n'existe pas ; l'année précédant l'an 1 ap. J.-C. est l'an 1 av. J.-C. On a ainsi la succession chronologique :
       … ; 3 av. J.-C. ; 2 av. J.-C. ; 1 av. J.-C. ; 1 apr. J.-C. ; 2 apr. J.-C. ; 3 apr. J.-C. ;…
* en chronologie astronomique, l'année précédant l'an 1 est l'an 0. On a donc la succession chronologique :
       … ; -2 ; -1 ; 0 ; 1 ; 2 ; 3 ; etc.
Seule la chronologie astronomique permet des calculs simples sur les dates : c'est cette numérotation des années qui doit être utilisée dans les calculs en jours juliens. C'est la raison pour laquelle la date origine des jours juliens est définie comme le 1er janvier -4712 (chronologie astronomique). En chronologie usuelle, il s'agit du 1er janvier 4713 av. J.-C.

### Fractions de jours
#### Origine horaire

Scaliger a fixé l'origine à 12 heures du 1er janvier 4713 av. J.-C.. Cette origine à 12 h a posé de nombreux problèmes aux chronologistes accoutumés à utiliser l'origine du jour à 0 heure. Plusieurs variantes du jour julien fixent l'origine à 0 heure.
Dans le système des jours juliens, un instant du jour, en heure, minute, seconde, fraction de seconde, est exprimé en fraction de jour. On ajoute donc, si besoin, au jour julien correspondant à une date donnée, la fraction de jour correspondant à l'instant du jour considéré.

#### Conversion d'un instant en fraction de Jour julien et conversion réciproque

Les algorithmes suivants permettent de convertir en fraction de Jour julien un instant donné, en heures minutes et secondes et réciproquement.
Dans les formules qui suivent, le temps est décompté, en heures minutes, secondes, selon la méthode contemporaine, dans le système de 24 heures à partir de 0 h. Noter que la fraction F peut-être négative (pour les heures antérieures à 12 h) : ceci résulte du fait que les Jours juliens, dans leur définition originale, commencent à 12 h.

#### Conversion des heures, minutes, secondes en fraction de jour

La formule suivante permet de convertir l'heure (h), minute (m), seconde et fraction de seconde (s) d'un instant donné en fraction de Jour julien F :
    $F={\frac {h-12}{24}}+{\frac {m}{1440}}+{\frac {s}{86400}}$
(Ajouter F au nombre de Jours juliens obtenus à partir de la date (mois, jour année). Pour les divers calendriers, le nombre de Jours juliens d'une date donnée peut être calculé à l'aide des algorithmes proposés au chapitre Algorithmes de passage des jours juliens aux calendriers grégorien, julien, hégirien et hébraïque ci-après. La fraction F est négative si l'instant considéré est compris entre 0 h et 12 h.)

#### Conversion d'une fraction de jour en heures, minutes, secondes

L'algorithme suivant permet de convertir une fraction de jour F en heure (h), minute (m), seconde et fraction de seconde (s) d'un instant donné :
* Notation : TRONQ(X) : entier à gauche du séparateur décimal de X.
    $h=\operatorname {TRONQ} (24F)$
    $m=\operatorname {TRONQ} \left(1440\left(F-\left({\frac {h}{24}}\right)\right)\right)$
    $s=86400\ \left(F-\left({\frac {h}{24}}\right)-\left({\frac {m}{1440}}\right)\right)$

## Historique

Pour les besoins de ses travaux de chronologie et d'astronomie, l'érudit Joseph Juste Scaliger créa un système plus simple que le calendrier courant. Il imagina un système où les jours seraient dénombrés depuis une date origine conventionnelle. Il publia ses conclusions en 1583 dans son ouvrage Opus de Emendatione Temporum (Travail sur l'amélioration [de la mesure] du temps).
Scaliger détermina la date origine afin qu'elle fût suffisamment ancienne pour couvrir la totalité de l'histoire humaine connue de son temps et qu'elle fût compatible avec l'époque de la Création telle qu'on l'imaginait à son époque. De plus, il voulait que cette origine fût un lundi 1er janvier, que ce soit une année bissextile et qu'elle soit à l'origine à la fois
* d'un cycle métonique de 19 ans (qui intervient dans le calcul de la date de Pâques),
* d'un cycle de l'indiction romaine de 15 ans (utilisée dans les datations ecclésiastiques),
* d'un cycle de 4 ans pour les années bissextiles et, finalement,
* d'un cycle hebdomadaire de 7 jours.
Le plus petit commun multiple de ces nombres donne la durée du cycle total (ou « ère scaligérienne ») qui est de 19 × 15 × 4 × 7 = 7 980 années de 365,25 jours.
De toutes ces contraintes résulte la date du 1er janvier 4713 av. J.-C. (date courante) ; soit le 1er janvier -4712 (date astronomique).

## Variantes des jours juliens

Pour les usages courants, un inconvénient des jours juliens est que le nombre de jours écoulés depuis la date origine est grand. Par exemple, aujourd'hui est le 7 février 2025 et il est 15:02 UTC (soit 16:02 CEST). Le jour julien entier est 2 460 714 et le jour julien fractionnaire (y compris heure, minute, seconde et fraction de seconde) est 2 460 714,1266204. De plus l'origine des jours est fixée à 12 h, ce qui est malcommode pour les pratiques chronologiques actuelles.
Pour des usages divers, on a donc défini des variantes du jour julien.

### Jour julien astronomique (AJD) ou jour julien des éphémérides (JDE)

Le jour julien astronomique (abréviation anglaise : AJD), appelé aussi Jour julien des éphémérides (abréviation anglaise : JDE) précise les conditions d'application du jour julien défini par Scaliger : l'origine des temps est fixée au 1er janvier 4713 av. J.-C. à 12 heures au méridien de Greenwich.
La date et l'heure d'observation d'un phénomène astronomique est indépendante du lieu, de la date et de l'heure locale d'observation terrestre ou non terrestre (dans le cas de mesures spatiales). Elle est rapportée à la date du méridien de Greenwich et l'heure est spécifiée en temps TU.

### Jour julien modifié (MJD)

Variante du jour julien astronomique destinée à simplifier les calculs. La formule reliant les jours juliens modifiés et les jours juliens astronomiques est la simple translation :
    MJD = AJD - 2 400 000,5
Cette formule a pour effet de déplacer la date origine au 17 novembre 1858 à 0 heure.

### Jour lilien

Variante du jour julien qui utilise comme date origine le 15 octobre 1582 à 0 h, date de début du calendrier grégorien.

### Jour julien tronqué (TJD)

Les jours juliens tronqués sont définis de la façon suivante :
    TJD = AJD - 2 440 000,5 = MJD - 40 000
Les jours juliens tronqués sont utilisés par la NASA ; ils commencent le 24 mai 1968 à 0 heure, initialement conçus pour limiter ce nombre de jours à 4 chiffres.

### Jour julien à 0 h

La définition initiale des jours juliens fixe l'origine du jour à 12 h, ce qui est compliqué pour les pratiques chronologiques actuelles. Pour rendre les calculs plus simples et plus explicites, de nombreux auteurs déplacent l'origine du jour à 0 h. La relation entre ces deux mesures est la suivante :
    Jour julien à 0 h = Jour julien + 0,5

## Algorithmes de passage des jours juliens aux calendriers grégorien, julien, hégirien et hébraïque

    Dans toute cette section, on utilise les jours juliens à 0 h. On utilise la chronologie astronomique (l'année précédant l'an 1 est l'an 0).

### Utilisation des jours juliens dans les correspondances calendaires

Les jours juliens fournissent un moyen pratique pour passer d'un calendrier à un autre. Par exemple pour passer d'une date du calendrier hégirien (islamique) à la date correspondante dans le calendrier hébraïque :
* convertir la date donnée du calendrier hégirien en jours juliens ;
* convertir ces jours juliens en date du calendrier hébraïque.

### Calendrier grégorien

En matière de chronologie, le calendrier grégorien n'est jamais rétropolé. C'est-à-dire que les dates antérieures au 15 octobre 1582 sont toujours exprimées en dates du calendrier julien et du calendrier julien proleptique.
Cet algorithme est valide pour toutes les dates du calendrier grégorien (c'est-à-dire égales ou postérieures au 15 octobre 1582), et donne la valeur du JJ à 12 heures.
    Notation : ENT(X) : entier immédiatement inférieur ou égal à X. Par exemple ENT(2,3) = 2 ; ENT(3,6) = 3 ; ENT(-5,2) = -6 ; ENT(-7,8) = -8
Soit A l'année (≥ 1582), M le numéro du mois (de 1 à 12) et Q le quantième dans le mois (comportant, au besoin, des décimales).
* Si M > 2, laisser A et M inchangés ;
* Si M = 1 ou 2, remplacer A par A - 1 et M par M + 12 ;
* Calculer $\scriptstyle S=\operatorname {ENT} ({\frac {A}{100}})$
* Calculer $\scriptstyle B=2-S+\operatorname {ENT} ({\frac {S}{4}})$
* Le jour julien JJ est donné par l'expression :
       $\scriptstyle JJ=\operatorname {ENT} (365,25A)+\operatorname {ENT} (30,6001(M+1))+Q+B+1720994,5$
Nota :Dans les calculs précédents, la constante 30,6001 ne doit pas être remplacée par 30,6, faute de quoi les résultats risquent d'être inexacts.
Cette méthode n'est valide que pour les jours juliens positifs. En pratique, elle n'a de sens que pour JJ ≥ 2 299 161 (jour julien correspondant au 15 octobre 1582, date d'instauration du calendrier grégorien). En deçà, cet algorithme calcule la date du calendrier julien.
    Notation : ENT(X) : entier immédiatement inférieur ou égal à X. Par exemple ENT(2,3) = 2 ; ENT(3,6) = 3 ; ENT(-5,2) = -6 ; ENT(-7,8) = -8
Soit JJ le jour julien à convertir. Si nécessaire, transformer JJ en jour julien à 0 h.
* Soit Z la partie entière de JJ et F la partie fractionnaire ;
* Si Z < 2 299 161 ou pour calculer vers le calendrier julien astronomique, prendre S = Z ;
* Si Z ≥ 2 299 161 ou pour calculer vers le calendrier grégorien astronomique, prendre :
** $\scriptstyle \alpha =\operatorname {ENT} ({\frac {Z-1867216,25}{36524,25}})$
** $\scriptstyle S=Z+1+\alpha -\operatorname {ENT} ({\frac {\alpha }{4}})$
* Calculer ensuite :
    $\scriptstyle B=S+1524~$
    $\scriptstyle C=\operatorname {ENT} ({\frac {B-122,1}{365,25}})$
    $\scriptstyle D=\operatorname {ENT} (365,25C)~$
    $\scriptstyle E=\operatorname {ENT} ({\frac {B-D}{30,6001}})$
* Le quantième (et fraction de jour) Q est donné par :
    $\scriptstyle Q=B-D-\operatorname {ENT} (30,6001E)+F~$
* Le numéro du mois M est :
** $\scriptstyle M=E-1{\text{ si }}E<14~$
** $\scriptstyle M=E-13{\text{ si }}E=14{\text{ ou }}15~$
* L'année A vaut :
** $\scriptstyle A=C-4716{\text{ si }}M>2~$
** $\scriptstyle A=C-4715{\text{ si }}M=1{\text{ ou }}2~$
Remarque : l'algorithme de conversion du jour julien vers le calendrier grégorien donné ici permet notamment de convertir un jour julien négatif.

### Calendrier julien

En matière de chronologie, par convention, les dates antérieures au 15 octobre 1582 sont toujours exprimées dans le calendrier julien ou dans le calendrier julien proleptique. Le calendrier julien a été instauré en l'année -46. Pour les dates antérieures à -46, on utilise le calendrier julien proleptique, c'est-à-dire le calendrier julien rétropolé à partir de cette date.
Cet algorithme est valide pour les dates du calendrier julien et julien proleptique (c'est-à-dire pour les dates égales ou postérieures au 1er janvier -4712), et donne la valeur du JJ à 12 heures.
    Notation : ENT(X) : entier immédiatement inférieur ou égal à X. Par exemple ENT(2,3) = 2 ; ENT(3,6) = 3 ; ENT(-5,2) = -6 ; ENT(-7,8) = -8
Soit A l'année (A ≥ -4712), M le numéro du mois (de 1 à 12) et Q le quantième dans le mois (avec, au besoin, une partie fractionnaire). Les jours juliens JJ correspondants résultent de l'algorithme suivant :
* Si M > 2, laisser A et M inchangés ;
* Si M = 1 ou 2, remplacer A par A - 1 et M par M + 12 ;
* Le jour julien JJ est donné par l'expression :
       $\scriptstyle JJ=\operatorname {ENT} ({\frac {1461A+6884472}{4}})+\operatorname {ENT} ({\frac {153M-457}{5}})+Q-1$
Cet algorithme est valide pour toutes les valeurs positives des jours juliens.
    Notation : ENT(X) : entier immédiatement inférieur ou égal à X.. Par exemple ENT(2,3) = 2 ; ENT(3,6) = 3 ; ENT(-5,2) = -6 ; ENT(-7,8) = -8
À partir d'une date en jours juliens JJ, on obtient l'année A, le mois M et le quantième Q (éventuellement pourvu d'une partie fractionnaire) selon l'algorithme suivant :
* Calculer $\scriptstyle A=\operatorname {ENT} ({\frac {4JJ-6884469}{1461}})$
* Calculer $\scriptstyle R_{2}=JJ-\operatorname {ENT} ({\frac {1461A+6884472}{4}})$
* Calculer $\scriptstyle M=\operatorname {ENT} ({\frac {5R_{2}+461}{153}})$
* Calculer $\scriptstyle R_{1}=R_{2}-\operatorname {ENT} ({\frac {153M-457}{5}})$
* Calculer $\scriptstyle Q=R_{1}+1~$
* Si M = 13 ou 14 : prendre A = A + 1 et M = M - 12
* Si M < 13, A et M sont inchangés.

### Calendrier hégirien

Les dates exprimées dans le calendrier hégirien (islamique) n'ont, en principe, de sens qu'à compter du 16 juillet 622, date de l'Hégire en calendrier julien.
    Notation : TRONQ(X) : entier à gauche du séparateur décimal de X. Par exemple TRONQ(2,3) = 2 ; TRONQ(3,6) = 3 ; TRONQ(-5,2) = -5 ; TRONQ(-7,8) = -7
Soit A, M et Q l'année, le mois et le quantième du calendrier hégirien.
La formule suivante donne le jour julien à 12 h JJ correspondant à A, M, Q :
$\scriptstyle JJ=\operatorname {TRONQ} ({\frac {10631A+58442583}{30}})+\operatorname {TRONQ} ({\frac {325M-320}{11}})+Q-1$
Cet algorithme n'a de sens que pour JJ ≥ 1 948 437, jour julien correspondant au premier jour de l'Hégire (16 juillet 622 dans le calendrier julien).
    Notation : TRONQ(X) : entier à gauche du séparateur décimal de X. Par exemple TRONQ(2,3) = 2 ; TRONQ(3,6) = 3 ; TRONQ(-5,2) = -5 ; TRONQ(-7,8) = -7
Soit JJ le jour julien donné. Le convertir au besoin en jour julien à 0 h. On obtient l'année A, le mois M et le quantième Q du calendrier mulsulman par le calcul suivant :
* Calculer $\scriptstyle A=\operatorname {TRONQ} ({\frac {30JJ-58442554}{10631}})$
* Calculer $\scriptstyle R_{2}=JJ-\operatorname {TRONQ} ({\frac {10631A+58442583}{30}})$
* Calculer $\scriptstyle M=\operatorname {TRONQ} ({\frac {11R_{2}+330}{325}})$
* Calculer $\scriptstyle R_{1}=R_{2}-\operatorname {TRONQ} ({\frac {325M-320}{11}})$
* Calculer $\scriptstyle Q=R_{1}+1~$

### Calendrier hébraïque

Les dates exprimées dans le calendrier hébraïque n'ont, en principe, de sens qu'à compter de la Création du Monde, fixée au dimanche 6 octobre 3761 avant l'ère commune dans le calendrier julien proleptique, à 23:11:20 heure locale de Jérusalem (jour julien 347997.36832176 soit le 6 sept. -3760 du calendrier grégorien astronomique à 20:50:23 UTC).
Un jour du calendrier hébraïque ne commence pas à minuit, mais la veille au coucher du soleil, ou lorsque trois étoiles de taille moyenne sont visibles selon la circonstance religieuse. Par convention, une conversion peut être calculée à partir de 18h00, heure de Jérusalem (15:39 UTC).
    Notation : TRONQ(X) : entier à gauche du séparateur décimal de X. Par exemple TRONQ(2,3) = 2 ; TRONQ(3,6) = 3 ; TRONQ(-5,2) = -5 ; TRONQ(-7,8) = -7 RES(d/D) : reste de la division entière de d par D. Par exemple : RES(17/5) = 2 ; RES(365/12) = 5
Soit A, M et Q l'année, le mois et le quantième du calendrier hébraïque. L'algorithme suivant donne le jour julien à 0 h JJ correspondant.
    1. Calcul du moled de l'année A
    Le moled de l'année A, Moled$_A$, est donné, avant de l'ajuster à l'heure de Jérusalem, en jours juliens et fraction de jour julien par :
    $\scriptstyle Moled_{A}=347605+{\frac {3444371}{4924800}}+A(365+{\frac {24311}{98496}})+\operatorname {RES} ({\frac {12A+5}{19}})(1+{\frac {272953}{492480}})$
    2. Calcul de Roch Hachana pour l'année A, RH$_A$, en jours juliens
    Connaissant Moled$_A$, on prend E$_A$, partie entière de Moled$_A$ et F$_A$, partie fractionnaire de Moled$_A$.
** Calculer $\scriptstyle \alpha =\operatorname {RES} ({\frac {12A+5}{19}})$
** On détermine RH$_A$, date du nouvel an du calendrier hébraïque en jours juliens selon les règles suivantes :
    $\scriptstyle {\text{Si}}$$\scriptstyle \operatorname {RES} ({\frac {E_{A}}{7}})={\text{ 1, 3 ou 5 }}$$\scriptstyle {\text{alors}}$$\scriptstyle RH_{A}=E_{A}+2$ $\scriptstyle {\text{Si}}$$\scriptstyle \operatorname {RES} ({\frac {E_{A}}{7}})={\text{ 0 et }}\alpha \geqslant 7{\text{ et }}F_{A}\geqslant {\frac {311676}{492480}}$$\scriptstyle {\text{alors}}$$\scriptstyle RH_{A}=E_{A}+3$ $\scriptstyle {\text{Si}}$$\scriptstyle \operatorname {RES} ({\frac {E_{A}}{7}})={\text{ 6 et }}\alpha \geqslant 12{\text{ et }}F_{A}\geqslant {\frac {442111}{492480}}$$\scriptstyle {\text{alors}}$$\scriptstyle RH_{A}=E_{A}+2$ $\scriptstyle {\text{Sinon}}$$\scriptstyle RH_{A}=E_{A}+1$
    3. Calcul de la longueur de l'année A
    On obtient la longueur L de l'année hébraïque A en calculant :
    L = RH$_{A+1}$ - RH$_A$
    4. Calcul des jours juliens d'une date du calendrier hébraïque
** La valeur de L permet de valoriser les constantes utilisées dans la suite du calcul selon la table suivante :
    L353354355383384385 m$_0$473483 d88177608820760 r555457 Z324325325325325266 W11111111119
** Si M ≥ m$_0$, alors prendre : A’ = 0 et M’ = M
** Sinon, prendre, avec $\scriptstyle \alpha =\operatorname {TRONQ} ({\frac {12A+5}{19}})$
       $\scriptstyle A'=-1{\text{ et }}M'=M+\operatorname {TRONQ} (13+{\frac {6-\alpha }{19}})$
** Calculer JJ :
    $JJ=RH_{A}+LA'+d+\operatorname {TRONQ} ({\frac {ZM'+r-Zm_{0}}{W}})+Q-1$
Cet algorithme n'a de sens que pour JJ ≥ 347 997, jour julien correspondant à la date de la Création dans le calendrier hébraïque (6 octobre -3760 dans le calendrier julien proleptique).
    Notation : TRONQ(X) : entier à gauche du séparateur décimal de X. Par exemple TRONQ(2,3) = 2 ; TRONQ(3,6) = 3 ; TRONQ(-5,2) = -5 ; TRONQ(-7,8) = -7 RES(d/D) : reste de la division entière de d par D. Par exemple : RES(17/5) = 2 ; RES(365/12) = 5
Soit JJ le jour julien donné. Le convertir si nécessaire en jour julien à 0 h. L'année A, le mois M et le quantième Q du calendrier hébraïque résultent du calcul suivant :
    1. Calculs préliminaires
** J$_0$, nombre de jours écoulés depuis la Création :
       $\scriptstyle J_{0}=JJ-347997~$
** m, nombre moyen de mois depuis la Création :
       $\scriptstyle m=\operatorname {TRONQ} ({\frac {J_{0}}{29+{\frac {13753}{25920}}}})$
** A valeur préliminaire de l'année du calendrier hébraïque
       $\scriptstyle A=\operatorname {TRONQ} ({\frac {19m+252}{235}})$
    2. Jour julien RH$_A$ de Rosch Hachana pour l'année A
    2.1 Calculer le moled Moled$_A$ de l'année hébraïque A en jours juliens et fraction de jour julien, avant de l'ajuster à l'heure de Jérusalem
       $\scriptstyle Moled_{A}=347605+{\frac {3444371}{4924800}}+A(365+{\frac {24311}{98496}})+\operatorname {RES} ({\frac {12A+5}{19}})(1+{\frac {272953}{492480}})$
    2.2 Calcul du jour julien de Rosch Hachana pour l'année A
       Connaissant Moled$_A$, on prend E$_A$, partie entière de Moled$_A$ et F$_A$, partie fractionnaire de Moled$_A$.
*** Calculer $\scriptstyle \alpha =\operatorname {RES} ({\frac {12A+5}{19}})$
*** On détermine RH$_A$ pour l'année A en jours juliens selon les règles suivantes :
          $\scriptstyle {\text{Si}}$$\scriptstyle \operatorname {RES} ({\frac {E_{A}}{7}})={\text{ 1, 3 ou 5 }}$$\scriptstyle {\text{alors}}$$\scriptstyle RH_{A}=E_{A}+2$ $\scriptstyle {\text{Si}}$$\scriptstyle \operatorname {RES} ({\frac {E_{A}}{7}})={\text{ 0 et }}\alpha \geqslant 7{\text{ et }}F_{A}\geqslant {\frac {311676}{492480}}$$\scriptstyle {\text{alors}}$$\scriptstyle RH_{A}=E_{A}+3$ $\scriptstyle {\text{Si}}$$\scriptstyle \operatorname {RES} ({\frac {E_{A}}{7}})={\text{ 6 et }}\alpha \geqslant 12{\text{ et }}F_{A}\geqslant {\frac {442111}{492480}}$$\scriptstyle {\text{alors}}$$\scriptstyle RH_{A}=E_{A}+2$ $\scriptstyle {\text{Sinon}}$$\scriptstyle RH_{A}=E_{A}+1$
    4. Calcul définitif de l'année A du calendrier hébraïque
       Si RH$_A$ > JJ, prendre A = A - 1 et recalculer RH$_A$
       Sinon prendre A et conserver RH$_A$
    5. Constantes intermédiaires du calcul du mois et du quantième
    5.1 Calcul de la longueur L de l'année hébraïque A
       On obtient la longueur L de l'année hébraïque A en calculant :
       L = RH$_{A+1}$ - RH$_A$
    5.1 Constantes intermédiaires
*** Avec valeur de L, valoriser les constantes intermédiaires utilisées dans la suite du calcul selon la table suivante :
       L353354355383384385 m$_0$473483 d88177608820760 r555457 Z324325325325325266 W11111111119
    6. Calcul du mois M et du quantième Q du calendrier hébraïque
    6.1 Calculer :
       $\scriptstyle JH=JJ-RH_{A}$
       $\scriptstyle A_{1}=\operatorname {TRONQ} ({\frac {JH-d}{L}})$
       $\scriptstyle R_{2}=JH-\operatorname {TRONQ} (LA_{1}+d)$
       $\scriptstyle m_{1}=\operatorname {TRONQ} ({\frac {WR_{2}+W+Zm_{0}-r-1}{Z}})$
    6.2 Mois M du calendrier hébraïque
       Si A$_1$ = 0 alors
          $\scriptstyle M=m_{1}$
       Si A$_1$ = -1 alors
          $\scriptstyle M=m_{1}-\operatorname {TRONQ} (12+{\frac {L}{360}})$
    6.3 quantième Q du calendrier hébraïque
       $\scriptstyle Q=R_{2}-\operatorname {TRONQ} ({\frac {Zm_{1}+r-Zm_{0}}{W}})+1$

## Algorithme général de conversion du calendrier julien ou grégorien vers le jour julien

Cet algorithme permet de calculer le jour julien pour n'importe quelle date, y compris pour des dates antérieures au 1er janvier -4712 (dans ce cas le jour julien est négatif).
Cet algorithme est valide pour toutes les dates du calendrier julien (c'est-à-dire antérieures au 5 octobre 1582) ou grégorien (c'est-à-dire égales ou postérieures au 15 octobre 1582), et donne la valeur du JJ à 12 heures.
    Notation : TRONQ(X) : entier à gauche du séparateur décimal de X. Par exemple TRONQ(2,3) = 2 ; TRONQ(3,6) = 3 ; TRONQ(-5,2) = -5 ; TRONQ(-7,8) = -7 ABS(X) : valeur absolue de X. Par exemple : ABS(17,3) = 17,3 ; ABS(-5,8) = 5,8
Soit A l'année, M le numéro du mois (de 1 à 12) et Q le quantième dans le mois (comportant, au besoin, des décimales).
Calculer les valeurs suivantes :
* G = 1 si la date appartient au calendrier grégorien, zéro sinon;
* Si M < 9, S = -1, sinon, S = 1;
* $\scriptstyle B=ABS(M-9)$
* Calculer ensuite $\scriptstyle J1=\operatorname {TRONQ} (A+S*\operatorname {TRONQ} ({\frac {B}{7}})$
* $\scriptstyle J2=-\operatorname {TRONQ} ((\operatorname {TRONQ} ({\frac {J1}{100}})+1)*0.75)$
* Le jour julien JJ est donné par l'expression :
       $\scriptstyle JJ=-\operatorname {TRONQ} (7*(\operatorname {TRONQ} ((M+9)/12)+A)/4)+\operatorname {TRONQ} (275*M/9)+Q+G*(J2+2)+367*A+1721027$