# Croix de Malte (mécanisme)

La croix de Malte est un dispositif mécanique permettant de transformer un mouvement de rotation continue en une rotation saccadée. Le dispositif mécanique consiste en une came entraînée par un « suiveur », permettant l'indexation.

## Historique

L'inventeur Jules Carpentier en France, qui travaillait avec les frères Lumière, et Oskar Messter, l'un des pionniers du cinéma allemand, ont fait breveter des appareils à croix de Malte dès 1896. Mais c'est la croix de Malte à quatre branches de Pierre-Victor Continsouza qui fut ensuite la plus largement utilisée dans les appareils de projection cinématographique.

## Étymologie

Le mecanisme doit son nom à sa ressemblance frappante avec la croix de Malte (✠, symbole de l'ordre de Saint-Jean de Jérusalem) nonobstant ses flancs concaves.
Dans les cultures anglo-saxonnes, à sensibilité généralement pragmatique et précis, le qualificatif maltais l'emporte: en anglais, Maltese cross, et en allemand, Malteserkreuzgetriebe — tandis que dans les pays d'influence latine, ce mécanisme prend le nom de la ville de Genève, haut lieu de developpements mécaniques: en anglais, Geneva drive, et en espagnol.

## Utilisations

Il est notamment utilisé pour le cinéma argentique (non-numérique) dans les projecteurs et, rarement, dans des caméras, pour l'avance de la pellicule : la pellicule doit s'arrêter à chaque image devant l'obturateur (prise de vue) ou devant la lampe (projection).
On retrouve ce mécanisme dans les compteurs mécaniques (kilométrage automobile, consommation d'eau ou gaz, etc.) où il garantit l'alignement des chiffres et leur basculement à chaque retenue. Il est également utilisé dans des machines mettant en œuvre un transfert de produit avec la nécessité d'un temps d'attente au moment de l'introduction de celui-ci (ce que le système bielle-manivelle ne permet pas). Par exemple, on le retrouve à la base de mouvements utilisés sur des machines de conditionnement : les produits sont introduits dans un magasin d'alimentation suivant une quantité prédéfinie (phase d'arrêt), puis sont enveloppés pendant le mouvement de transfert (phase en mouvement).

## Fonctionnement

Le fonctionnement du mécanisme à croix de Malte est le suivant : un cylindre, appelé manivelle ou roue menante, tourne de manière continue, avec une vitesse régulière, et porte un doigt. Le doigt pénètre dans une rainure de la croix de Malte (la roue menée), provoquant sa rotation de 1/n tour, où n est le nombre de rainures de la croix (n = 4 sur la figure ci-contre, 6 dans l'animation ci-dessus).
Puis, le doigt sort de la rainure, le cylindre moteur continue sa course tandis que la croix de Malte reste immobile. Le cylindre central, partiellement évidé, est complémentaire de l'arrondi de la croix de Malte ; ceci sert à stabiliser la position du dispositif lorsque le doigt n'est pas engagé dans une rainure.
Le nombre de rainures peut prendre des valeurs paires ou impaires, généralement entre 4 et 10.

## Variantes

* Croix de Malte interne.
* Fonctionnement d'une croix de Malte interne.
* Croix de Malte sphérique.
Il existe deux variantes : la croix de Malte interne, et la croix de Malte sphérique, « en tulipe » (système à axes concourants).
Dans le cas de la croix de Malte interne, l'axe moteur (portant la roue menante) est montée sur un arbre en porte-à-faux (en cantilever, il n'est tenu que d'un côté). L'arbre est donc plus sensible à la flexion, ce qui peut poser un problème si la charge est importante.
Par ailleurs, le temps d'entraînement est supérieur à une demi-période : il faut plus d'un demi-tour de roue menante pour faire tourner la roue menée d'un incrément. La durée d'entraînement (temps moteur) est donc supérieure à la durée de repos, contrairement à une croix de Malte externe. Par conséquent, l'accélération maximale est plus faible, mais présente toujours des discontinuités en début et fin de mouvement.
Dans le cas de la croix de Malte sphérique, l'arbre doit également être en porte-à-faux. Le temps d'entraînement est d'une demi-période ; la durée d'entraînement est égale à la durée de repos.

## Hommages

Certains cinéastes ont rendu hommage à ce mécanisme, fondamental pour la prise de vue et la projection sur pellicule :
* Wim Wenders, dans L'Ami américain (1977) : un enfant, le fils de Jonathan et Marianne Zimmermann, joue avec une croix de Malte en bois ; et dans Au fil du temps (1976) « le cinéma n'existerait pas sans cette invention » d'après Bruno Winter personnage principal, réparateur de projecteurs.
* Martin Scorsese dans Hugo Cabret (2011) : lorsque Georges Méliès fabrique se caméra (à 1h32), on le voit mettre en place en place une croix de Malte.
La croix de Malte était le logo de la marque de projecteurs Cinemeccanica (it). Le logo actuel ainsi que le logo de sa marque CineCloud sont une croix de Malte stylisée (voir le logo sur la page officielle).

## Étude mécanique
### Contraintes géométriques

Le point critique du fonctionnement est le moment où le doigt entre dans la rainure. Cela impose une relation entre le rayon de la manivelle R$_1$, c'est-à-dire la distance entre le centre du doigt et le centre de la roue menante qui le supporte, et l'entraxe E, c'est-à-dire la distance entre le centre de la roue menante et le centre de la croix de Malte. Pour qu'il n'y ait pas de choc, le vecteur vitesse doit être dans l'axe de la rainure.
On appelle α la moitié de l'angle de rotation de la roue menée par tour de roue menante
    $\alpha ={\frac {\pi }{n}}$ en radians
soit α = π/4 = 45° pour quatre rainures, et α = π/6 = 30° pour six rainures. On a alors les relations suivantes entre l'entraxe E, le rayon de la roue menante R$_1$ et le rayon de la roue menée R$_2$ :
    $\mathrm {R} _{1}=\mathrm {E} \sin \alpha$
    $\mathrm {R} _{2}=\mathrm {E} \cos \alpha$
Entre 0 et π/4 (0 et 90°), la fonction sinus est croissante et la fonction cosinus est décroissante en α. On en déduit que pour un entraxe donne, plus on a de rainures (plus n est grand), plus α est petit donc plus R$_1$ est petit et plus R$_2$ est grand.
Représentons le système au moment où le doigt pénètre dans la rainure. Nous plaçons la droite reliant les centres des roues à l'horizontale. La rainure fait donc un angle α avec l'horizontale Le vecteur vitesse est perpendiculaire à la trajectoire ; comme le doigt décrit un cercle, la droite portant le vecteur vitesse est donc tangente au cercle, c'est-à-dire perpendiculaire au rayon en ce point. Nous avons donc un triangle rectangle d'hypoténuse E, dont l'un des angles vaut π/n et dont le côté opposé à l'angle a pour longueur R$_1$. Nous avons donc :
    $\mathrm {R} _{1}=\mathrm {E} \sin \alpha$
Le rayon du cercle circonscrit à la croix de Malte est par ailleurs la longueur du côté adjacent du triangle rectangle, soit
    $\mathrm {R} _{2}={\frac {\mathrm {R} _{1}}{\tan \alpha }}=\mathrm {E} \cos \alpha .$
Par ailleurs, la largeur nominale de la rainure doit être égale au diamètre nominal 2r du doigt : plus petite, le doigt ne pourrait pas entrer, trop grande, il y aurait un choc. Dans la pratique, il existe un jeu : la rainure doit être légèrement plus large que le doigt pour permettre le mouvement. On peut utiliser un ajustement dit « glissant sans jeu », ou plus précisément « guidage précis », noté H7/g6, pour limiter les chocs, mas celui-ci coûte cher à réaliser.
L'extrémité des branches doit avoir une largeur non nulle. Il faut de fait imposer une largeur minimale e$_1$, qui dépend de la résistance souhaitée. Cela impose un rayon maximum pour le cylindre immobilisateur. Par ailleurs, le contact doit être effectif, il y a donc un rayon minimum, soit :
    $\mathrm {R} _{1}\left({\frac {1}{\sin \alpha }}+{\frac {1}{\tan \alpha }}\right)<\mathrm {R} _{3}<\mathrm {R} _{1}-r-e_{1}$
la dimension e$_1$ étant l'épaisseur que l'on désire garder en bout de branche pour avoir une résistance suffisante.
On a en cote nominale (en supposant un jeu nul) :
    $\mathrm {R} _{1}=\mathrm {R} _{3}+r+e_{1}$
soit
    $\mathrm {R} _{3}=\mathrm {R} _{1}-r-e_{1}$
Du fait du jeu nécessaire, il faut en fait
    $\mathrm {R} _{3}<\mathrm {R} _{1}-r-e_{1}$
la différence (R$_1$ - r - e$_1$) - R$_3$ étant le jeu.
Le contact doit être effectif, on a donc également nécessairement :
    $\mathrm {R} _{3}>\mathrm {E} -\mathrm {R} _{2}$
soit
    $\mathrm {R} _{3}>\mathrm {R} _{1}\left({\frac {1}{\sin \alpha }}+{\frac {1}{\tan \alpha }}\right)=\mathrm {R} _{1}{\frac {1+\cos \alpha }{\sin \alpha }}$.
La longueur minimale de la rainure L s'obtient en considérant la position pour laquelle le doigt est le plus engagé. On a alors, en orientant les longueurs vers la gauche :
    $\mathrm {L} _{\min }=\mathrm {R} _{1}-\mathrm {E} +\mathrm {R} _{2}=\mathrm {R} _{1}\left(1-{\frac {1}{\sin \alpha }}+{\frac {1}{\tan \alpha }}\right)=\mathrm {R} _{1}{\frac {\cos \alpha +\sin \alpha -1}{\sin \alpha }}.$
La longueur maximale est celle laissant suffisamment de matière pour que la croix de Malte résiste aux contraintes. Si l'on appelle r$_a$ le rayon de l'arbre de la croix de Malte et e$_2$ l'épaisseur minimale de matière que l'on veut, alors on a :
    $\mathrm {L} _{\max }=\mathrm {R} _{2}-r_{a}-e_{2}={\frac {\mathrm {R} _{1}}{\tan \alpha }}-r_{a}-e_{2}.$

### Étude cinématique

On suppose que la roue menante (manivelle) tourne avec une vitesse angulaire ω constante (mouvement de rotation uniforme). La figure ci-contre représente le mécanisme en cours de fonctionnement. Si l'on note comme précédemment
* n le nombre de rainures que comporte la croix de Malte (roue menée) ;
* α = 2π/n l'angle entre deux rainures
et que l'on introduit le rapport
    $k={\frac {\mathrm {E} }{\mathrm {R} _{1}}}={\frac {1}{\sin \alpha }}$
alors on relève que :
* la vitesse angulaire maximale de la roue menée vaut $\omega _{0}={\frac {\omega }{k-1}}$ ;
* l'accélération angulaire maximale vaut, selon le nombre de rainures :
** n = 4 : α$_0$ ≃ 3,82 × ω$^2$,
** n = 6 : α$_0$ ≃ 0,375 × ω$^2$,
** n = 8 : α$_0$ ≃ 0,268 × ω$^2$ ;
* l'accélération angulaire initiale et finale ne sont pas nulles, ce qui signifie que la roue menée subit des à-coups angulaires infinis (diracs), dans la pratique limités par l'élasticité et les frottements du système.
Ces pics d'à-coup ne posent pas de problème tant que l'on reste dans des vitesses et des inerties faibles. Ils deviennent par contre rédhibitoires pour des systèmes à haute cadence et à forte charges.
On appelle angle d'entrée, et on note θ$_e$, l'angle que fait le rayon passant par le doigt avec l'axe des x, et qui caractérise l'orientation de la roue menante. On appelle angle de sortie, et on note θ$_s$, l'angle que fait l'axe d'une rainure par rapport à l'axe des x, et qui caractérise l'orientation de la roue menée.
Étude de l’intermittence
L'angle d'entrée θ$_e$ évolue de manière uniforme
    ${\dot {\theta }}_{\mathrm {e} }=\omega$
la vitesse angulaire ω est négative sur le dessin. L'équation horaire de l'angle d'entrée s'écrit donc
    $\theta _{\mathrm {e} }=\omega t+\varphi$
où φ est l'angle à t = 0, choisi arbitrairement. Pour la représentation graphique, nous choisissons φ de sorte que le doigt entre dans la rainure à t = 0, soit
    $\varphi ={\frac {\pi }{2}}-\alpha$.
La durée d'entraînement τ correspond à une rotation de la roue menante d'un angle φ à l'angle symétrique -φ, soit
    $\omega \tau =(-\varphi )-\varphi =-2\varphi =2\alpha -\pi .$
soit
    $\tau ={\frac {2\alpha -\pi }{\omega }}.$
La période totale vaut T = -2π/ω, donc la phase d'entraînement est une fraction de la période totale valant
    ${\frac {\tau }{T}}={\frac {-(2\alpha -\pi )}{2\pi }}={\frac {1}{2}}-{\frac {1}{n}}.$
Par la suite, pour des raisons de simplicité, nous déterminons θ$_s$ en fonction de θ$_e$ plutôt que de t.
Étude des relations angulaires
L'angle d'entrée est relié à l'angle de sortie par le fait que les deux triangles rectangles ont le même côté opposé h :
    $h=\mathrm {R} _{1}\sin \theta _{e}=\mathrm {R} _{3}\tan \theta _{s}.$
On a donc
    $\tan \theta _{\mathrm {s} }={\frac {h}{\mathrm {R} _{3}}}={\frac {h}{\mathrm {E} -\mathrm {R} _{1}\cos \theta _{\mathrm {e} }}}={\frac {h}{\mathrm {R} _{1}}}\times {\frac {1}{\mathrm {E} /\mathrm {R} _{1}-\cos \theta _{\mathrm {e} }}}$
soit
    $\tan \theta _{\mathrm {s} }={\frac {\sin \theta _{\mathrm {e} }}{k-\cos \theta _{\mathrm {e} }}}$
    $\theta _{\mathrm {s} }=\operatorname {arctan} \left({\frac {\sin \theta _{\mathrm {e} }}{k-\cos \theta _{\mathrm {e} }}}\right)$
Lois de mouvement
En préliminaire, calculons les dérivées suivantes :
    ${\frac {\mathrm {d} \cos \theta _{\mathrm {e} }}{\mathrm {d} t}}={\frac {\mathrm {d} \cos(\omega t)}{\mathrm {d} t}}=-\omega \sin(\omega t)=-\omega \sin \theta _{\mathrm {e} }$
et de la même manière
    ${\frac {\mathrm {d} \sin \theta _{\mathrm {e} }}{\mathrm {d} t}}=\omega \cos \theta _{\mathrm {e} }$
On obtient la vitesse angulaire de la roue menée par dérivation. Reprenons l'expression de tan θ$_s$. Si l'on dérive le membre de gauche, on a
    ${\frac {\mathrm {d} \tan \theta _{\mathrm {s} }}{\mathrm {d} t}}={\dot {\theta }}_{\mathrm {s} }\left(1+\tan ^{2}\theta _{\mathrm {s} }\right)={\dot {\theta }}_{\mathrm {s} }\left(1+{\frac {\sin ^{2}\theta _{\mathrm {e} }}{(k-\cos \theta _{\mathrm {e} })^{2}}}\right)$
soit
    ${\frac {\mathrm {d} \tan \theta _{\mathrm {s} }}{\mathrm {d} t}}={\dot {\theta }}_{\mathrm {s} }\left({\frac {k^{2}-2\cos \theta _{\mathrm {e} }+1}{(k-\cos \theta _{\mathrm {e} })^{2}}}\right)$
et en dérivant le membre de droite :
    ${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\left({\frac {\sin \theta _{\mathrm {e} }}{k-\cos \theta _{\mathrm {e} }}}\right)={\frac {\omega \cos \theta _{\mathrm {e} }(k-\cos \theta _{\mathrm {e} })-\omega \sin ^{2}\theta _{\mathrm {e} }}{(k-\cos \theta _{\mathrm {e} })^{2}}}={\frac {\omega }{(k-\cos \theta _{\mathrm {e} })^{2}}}(k\cos \theta _{\mathrm {e} }-1)$
En écrivant l'égalité des deux membres, on obtient
    ${\dot {\theta }}_{\mathrm {s} }={\frac {\omega (k\cos \theta _{\mathrm {e} }-1)}{k^{2}-2k\cos \theta _{\mathrm {e} }+1}}$
En dérivant, on détermine l'accélération angulaire :
    ${\ddot {\theta }}_{\mathrm {s} }={\frac {\omega ^{2}(k^{2}-1)\sin \theta _{\mathrm {e} }}{(k^{2}-2k\cos \theta _{\mathrm {e} }+1)^{2}}}$.
On note que cette accélération s'annule pour θ$_e$ = 0, donc la vitesse est maximale en ce point, est
    $\omega _{0}={\frac {\omega (k-1)}{k^{2}-2k+1}}={\frac {\omega }{k-1}}$.
À l'origine, on a θ$_e$ = φ et donc
    ${\ddot {\theta }}_{\mathrm {s} }(0)={\frac {\omega ^{2}(k^{2}-1)\sin \varphi }{(k^{2}-2k\cos \varphi +1)^{2}}}={\frac {\omega ^{2}(k^{2}-1)\cos \alpha }{(k^{2}-2k\sin \alpha +1)^{2}}}={\frac {\omega ^{2}(k^{2}-1)\cos \alpha }{(k^{2}-1)^{2}}}\neq 0$
on a donc un à-coup infini à l'origine. Par symétrie, on a un à-coup infini à la fin du mouvement.
En dérivant l'accélération, on obtient l'à-coup en cours de mouvement :
    ${\begin{aligned}{\frac {\mathrm {d} ^{3}\theta _{\mathrm {s} }}{\mathrm {d} t^{3}}}\ &={\frac {\omega ^{3}(k^{2}-1)}{(k^{2}-2k\cos \theta _{\mathrm {e} }+1)^{2}}}\left(\cos \theta _{\mathrm {e} }-{\frac {4k\sin ^{2}\theta _{\mathrm {e} }}{k^{2}-2k\cos \theta _{\mathrm {e} }+1}}\right)\\&={\frac {\omega ^{3}(k^{2}-1)}{(k^{2}-2k\cos \theta _{\mathrm {e} }+1)^{3}}}(-2k\cos ^{2}\theta _{\mathrm {e} }+(k^{2}+1)\cos \theta _{\mathrm {e} }-4k\sin ^{2}\theta _{\mathrm {e} })\\&={\frac {\omega ^{3}(k^{2}-1)}{(k^{2}-2k\cos \theta _{\mathrm {e} }+1)^{3}}}(2k\cos ^{2}\theta _{\mathrm {e} }+(k^{2}+1)\cos \theta _{\mathrm {e} }-4k)\end{aligned}}$
L'accélération est maximale lorsque l'à-coup s'annule, ce qui revient à résoudre :
    $2k\cos ^{2}\theta _{\mathrm {e} }+(k^{2}+1)\cos \theta _{\mathrm {e} }-4k=0$
soit, en posant x = cos θ$_e$
    $2kx^{2}+(k^{2}+1)x-4k=0{\text{ ; }}\sin \alpha \leqslant |x|\leqslant 1$
qui est une équation du second degré de discriminant strictement positif
    $\Delta =(k^{2}+1)^{2}+32k^{2}=k^{4}+34k^{2}+1>0$
L'équation admet donc deux solutions réelles
    $x_{1,2}={\frac {-(k^{2}+1)\pm {\sqrt {\Delta }}}{4k}}$
On obtient, pour quelques valeurs de n :
| n | k | x$_1$ | x$_2$ | θ$_e$ | Acc. max. |
| 4 | √2 | 0,980 | 1,33 | -0,200 rad (-11,5°) | 3,82 × ω$^2$ |
| 6 | 2 | 0,921 | 1,17 | -0,400 rad (-22,9°) | 0,675 × ω$^2$ |
| 8 | 2,61 | 0,851 | 1,04 | -0,552 rad (-31,6 °) | 0,268 × ω$^2$ |
Application numérique
Considérons un projecteur de cinéma muni d'une croix de Malte à quatre rainures. Nous avons donc :
* une fréquence de rotation de la roue menante N = 24 Hz (24 images par seconde), soit ω = 2πN ≃ 151 rad/s ;
* un rapport valant k = 1/sin(π/4) = √2 ≃ 1,41 ;
et donc
* ω$_0$ ≃ 364 rad/s ; N$_0$ = 57,9 tr/s ;
* α$_0$ ≃ 8,69 × 10$^4$ rad/s$^2$.