# Théorème de Pascal

En géométrie projective, le théorème de Pascal est un théorème concernant un hexagone inscrit dans une conique.

## Théorème de Pascal (direct et réciproque), version projective

Étant donné un hexagone d'un plan projectif sur un corps commutatif quelconque, il y a équivalence entre les deux propositions suivantes :
   * l'hexagone est inscrit dans une conique ;
   * les points d'intersection des trois paires de côtés opposés sont alignés (la droite joignant ces points est parfois appelée droite de Pascal).
Les "côtés" de l'hexagone sont les droites joignant deux points consécutifs de l'hexagone.
Si deux côtés opposés sont confondus, leur intersection est une droite. Le théorème s'interprète alors par exemple en écrivant la seconde condition sous la forme :
   Il existe une droite contenant trois points appartenant aux intersections respectives des paires de côtés opposés.
Cependant cette disposition ne peut exister dans le cas d'une conique propre puisque l'intersection d'une telle conique et d'une droite comporte au plus deux points.
On note M$_1$, M$_2$, M$_3$, M$_4$, M$_5$ et M$_6$ désignant les six sommets de l'hexagone, les paires de côtés opposés sont {M$_1$M$_2$, M$_4$M$_5$}, {M$_2$M$_3$, M$_5$M$_6$}, {M$_3$M$_4$, M$_6$M$_1$}. On désigne les intersections respectivement A, B et C.

### Sens direct

Il résulte des propriétés des homographies sur une conique que le birapport du faisceau de droites SM$_2$, SM$_4$, SM$_5$, SM$_6$ est indépendant du point S pris sur la conique. Par suite on a l'égalité des birapports de droites concourantes :
    [M$_1$M$_2$, M$_1$M$_4$, M$_1$M$_5$, M$_1$M$_6$] = [M$_3$M$_2$, M$_3$M$_4$, M$_3$M$_5$, M$_3$M$_6$].
En considérant respectivement les intersections de ces deux faisceaux par les droites M$_4$M$_5$ et M$_5$M$_6$, on en déduit l'égalité des birapports de points alignés :
    [A, M$_4$, M$_5$, P] = [B, Q, M$_5$, M$_6$], (1)
les droites M$_4$Q et PM$_6$ se coupent en C. La projection de sommet C de la droite M$_4$M$_5$ sur M$_5$M$_6$ transforme M$_4$ en Q, P en M$_6$ et laisse M$_5$ invariant. Cette projection transforme A en un point B' de la droite M$_5$M$_6$ tel que
    [A, M$_4$, M$_5$, P] = [B', Q, M$_5$, M$_6$] (2)
puisque cette projection est une application projective et conserve donc les birapports. Les 2 égalités (1) et (2) entraînent
    [B, Q, M$_5$, M$_6$] = [B', Q, M$_5$, M$_6$] et donc B = B'. Ainsi B est l'image de A dans cette projection de sommet C, ce qui montre bien l'alignement de A, B, C.

### Sens réciproque

Par hypothèse, on a une projection de sommet C de la droite M$_4$M$_5$ sur M$_5$M$_6$ qui transforme M$_4$ en Q, P en M$_6$, laisse M$_5$ invariant et transforme A en B. Il en résulte l'égalité des birapports :
    [A, M, M$_5$, P] = [B, Q, M$_5$, M$_6$]
et par suite celle des birapports de faisceaux :
    [M$_1$M$_2$, M$_1$M$_{14}$, M$_1$M$_5$, M$_1$M$_6$] = [M$_3$M_2, \ M$_3$M$_4$, M$_3$M$_5$, M$_3$M$_6$].
Là encore, les propriétés des homographies sur une conique montrent que les six points M$_1$, M$_2$, M$_3$, M$_4$, M$_5$ et M$_6$ appartiennent à une même conique.

### Théorème de Pappus-Pascal

Le théorème de Pappus est un cas particulier du théorème (direct) de Pascal, lorsque la conique est dégénérée en deux droites distinctes D et D'. De plus, pour obtenir un résultat non trivial (vérification immédiate), on suppose que les deux sommets de chaque côté appartiennent à des droites D, D' distinctes.
On peut remarquer en reprenant la démonstration dans ce cas que les résultats généraux d'homographie sur une conique ne sont pas réellement utilisés. Les théorèmes invoqués sont plus simplement ceux concernant les divisions de points alignés et les faisceaux de droites.

## Théorème de Pascal, version euclidienne

Théorème de Pascal — Étant donné un hexagone inscrit dans un cercle, les points d'intersections des côtés opposés sont alignés.
On veut prouver l'alignement de $M,N,P$ ; on utilisera donc le théorème de Ménélaüs. Un triangle envisageable pour ce théorème est obtenu avec les droites $(BC),(DE),(FA)$ qui donnent les points $I,J,K$ (un autre celui construit avec $(AB),(CD),(EF)$). Les côtés non utilisés de l'hexagone fournissent des points alignés avec $M,N,P$, d'où des utilisations possibles de Menelaüs qui traduisent en fait la façon dont la figure est construite. Il suffit alors d'utiliser le fait que tous ces points sont sur un même cercle, ce qui justifie l'utilisation de la puissance d'un point.
On veut donc calculer $\Pi ={\frac {\overline {MI}}{\overline {MJ}}}\,{\frac {\overline {PJ}}{\overline {PK}}}\,{\frac {\overline {NK}}{\overline {NI}}}$.
En utilisant le théorème de Ménélaüs dans le triangle $IJK$ et le fait que $M,A,B$ soient alignés, on tire ${\frac {\overline {MI}}{\overline {MJ}}}\,{\frac {\overline {BJ}}{\overline {BK}}}\,{\frac {\overline {AK}}{\overline {AI}}}=1$
d'où ${\frac {\overline {MI}}{\overline {MJ}}}={\frac {\overline {BK}}{\overline {BJ}}}\,{\frac {\overline {AI}}{\overline {AK}}}.$ On a également des relations similaires en écrivant que $N,D,C$ et $P,E,F$ sont alignés. Tout ceci donne
    $\Pi =\left({\frac {\overline {BK}}{\overline {BJ}}}\,{\frac {\overline {AI}}{\overline {AK}}}\right)\left({\frac {\overline {EJ}}{\overline {EI}}}\,{\frac {\overline {FI}}{\overline {FK}}}\right)\left({\frac {\overline {CK}}{\overline {CJ}}}\,{\frac {\overline {DJ}}{\overline {DI}}}\right).$
En utilisant la puissance de $I,J,K$ par rapport au cercle, on tire ${\overline {BK}}\,{\overline {CK}}={\overline {AK}}\,{\overline {FK}}$, ${\overline {AI}}\,{\overline {FI}}={\overline {EI}}\,{\overline {DI}}$ et finalement ${\overline {EJ}}\,{\overline {DJ}}={\overline {BJ}}\,{\overline {CJ}}$ si bien que $\Pi =1$.
La droite que forme cet alignement est appelée « droite de Pascal ». La figure obtenue par la construction est appelée « hexagramme de Pascal ».
    Nota bene : tout dépend du système d'axiomes choisis, mais les points d'intersection de deux droites existent toujours si on adopte les axiomes de la géométrie projective qui ignore le parallélisme.
En prenant la polaire de cet énoncé par rapport au cercle lui-même, on obtient l'énoncé dit « dual » du précédent
| Énoncé initial | Énoncé « polarisé » |
| six points | six tangentes |
| point d'intersection | droite joignant |
| côté opposé | sommet opposé |
| aligné | concourante |
Théorème de Brianchon — Étant donné un hexagone circonscrit à un cercle, les diagonales sont concourantes.
Ci-dessous le dessin dual du précédent. Les points ont été remplacés par les tangentes correspondantes ; le point de concours est le pôle de la droite précédente, ce qui est mis en évidence avec la tangente au cercle issue du projeté sur la droite du centre du cercle (en pointillé).
Prenant maintenant la polaire de ces deux énoncés par rapport à un cercle quelconque, on en déduit que ces deux énoncés restent valables sur une conique quelconque au lieu d'un cercle.
La réciproque de ce théorème est vraie également : si les trois points A, B, C d'intersection des côtés opposés de l'hexagone sont alignés alors l'hexagone est inscrit dans une conique. Ce résultat est aussi connu comme le théorème de Braikenridge–Maclaurin.

## Démonstration élémentaire du théorème de Pascal dans un cas très particulier

Nous allons montrer que si deux paires de côtés opposés d'un hexagone inscrit dans un cercle sont parallèles, alors le troisième aussi, en utilisant le théorème de l'angle inscrit. Par transformation projective, ceci permet d'obtenir le théorème de Pascal direct dans sa généralité.
Hypothèse : $A,B,C,D,E,F$ sont trois points distincts d'un cercle vérifiant $(AB)\parallel (DE),(BC)\parallel (EF)$.
Conclusion : $(CD)\parallel (FA)$.
Démonstration : Nous montrons les égalités successives d'angles orientés de droites :
$\theta ={\widehat {(AB,AF)}}{\overset {1}{=}}{\widehat {(CB,CF)}}{\overset {2}{=}}{\widehat {(FE,FC)}}{\overset {3}{=}}{\widehat {(DE,DC)}}{\overset {4}{=}}{\widehat {(AB,DC)}}$.
L'égalité 1 provient du théorème de l'angle inscrit, la 2 vient de ce que $(BC)\parallel (EF)$, la 3 vient du théorème de l'angle inscrit, et la 4 de ce que $(AB)\parallel (DE)$. On en déduit bien que $(AF)\parallel (DC)$.

## Réciproque du théorème de Pascal

Le théorème de Brianchon admet une réciproque qui permet de définir les coniques d'une façon purement formelle en géométrie projective formelle. On en propose ici une totalement analytique.
On se donne six points $A,B,C,A',B',C'$. On prend comme repère $A,B,C$. Une conique passant par $A,B,C$ admet une équation de la forme
    $(1)\qquad aX(X-1)+2bXY+cY(Y-1)=0.$
On note $\alpha ,\alpha '$ les coordonnées de $A'$ (etc).
Le point $M=(AB)\cap (B'C')$ a pour ordonnée ${\frac {\beta \gamma '-\gamma \beta '}{\beta -\gamma }}$ ; le point $N=(AC)\cap (A'B')$ a pour abscisse ${\frac {\alpha \beta '-\alpha '\beta }{\beta '-\alpha '}}$.
Au lieu de calculer les coordonnées de $(CC')\cap (BA')$ et de vérifier l'alignement, on vérifie que les trois droites $(MN)$, $(CC')$, et $(BA')$ sont concourantes.
L'équation de $(CC')$ s'obtient par $\quad (\gamma -1)Y=\gamma '(X-1)$ et celle de la droite $(BA')$ avec $\,\quad \alpha Y=(\alpha '-1)X+\alpha$. On obtient l'équation de $(MN)$ par résolution de
    $\quad {\begin{vmatrix}{\frac {\alpha \beta '-\alpha '\beta }{\beta '-\alpha '}}&0&X\\0&{\frac {\beta \gamma '-\gamma \beta '}{\beta -\gamma }}&Y\\1&1&1\end{vmatrix}}=0={\begin{vmatrix}\alpha \beta '-\alpha '\beta &0&X\\0&\beta \gamma '-\gamma \beta '&Y\\\beta '-\alpha '&\beta -\gamma &1\end{vmatrix}}$
Le concours des droites se traduit par la nullité du déterminant
    $D_{1}={\begin{vmatrix}-\gamma '&1-\alpha '&(\beta '-\alpha ')(\beta \gamma '-\gamma \beta ')\\\gamma -1&\alpha &-(\beta -\gamma )(\alpha \beta '-\alpha '\beta )\\\gamma '&-\alpha &(\beta \gamma '-\gamma \beta )'(\alpha \beta '-\alpha '\beta )\end{vmatrix}}$
Maintenant, le fait que les points $A',B',C'$ soient sur la conique d'équation (1) se traduit par un système de trois équations (une par point) d'inconnues $a,b,c$ et qui admet une solution non triviale. Ceci se traduit par la nullité du déterminant
    $D_{2}={\begin{vmatrix}\alpha (\alpha -1)&\alpha \alpha '&\alpha '(\alpha '-1)\\\beta (\beta -1)&\beta \beta '&\beta '(\beta '-1)\\\gamma (\gamma -1)&\gamma \gamma '&\gamma '(\gamma '-1)\end{vmatrix}}$
Ces deux déterminants sont égaux. Le calcul des déterminants peut se faire classiquement par la méthode de Sarrus, mais on peut aussi observer que dans $D_{2}$, le terme $\alpha \alpha '$ (etc) n'apparaît que dans la deuxième colonne son facteur valant
    ${\begin{vmatrix}\beta (\beta -1)&\beta '(\beta '-1)\\\gamma (\gamma -1)&\gamma '(\gamma '-1)\end{vmatrix}}$
On calcule ce facteur dans $D_{1}$ en utilisant la deuxième colonne :
* $\quad (\gamma -1)\beta '(\beta \gamma '-\gamma \beta ')+\gamma '\beta '(\beta -\gamma )$ pour la première ligne ;
* $\quad \gamma '(\beta \gamma '-\gamma \beta ')\beta +\gamma '(\beta \gamma '-\gamma \beta ')$ pour la deuxième ;
* $\quad \gamma '\beta (\beta -\gamma )+(\gamma -1)(\beta \gamma '-\gamma '\beta )$ pour la troisième.
La somme donne la même expression que dans $D_{2}$.
En échangeant $\alpha '$ et $\gamma$, $\beta ,\beta '$ et $\alpha ,\gamma '$ les déterminants ne changent pas ce qui permet d'affirmer l'égalité des coefficients de $\gamma \gamma '$.
Reste celui de $\beta \beta '$, qui vaut
    $\gamma '{\begin{vmatrix}\gamma -1&\alpha \\\gamma '&-\alpha \end{vmatrix}}+\alpha {\begin{vmatrix}\gamma '&1-\alpha '\\\gamma '&-\alpha \end{vmatrix}}+(\alpha \gamma '+\alpha '\gamma ){\begin{vmatrix}-\gamma '&1-\alpha '\\\gamma -1&-\alpha \end{vmatrix}};$
soit finalement le même que dans $D_{1}$.

## Le développement du théorème

Après Pascal, on continue à expliquer et développer ce théorème, ce qui prouve sa pertinence en géométrie projective. Le mathématicien suisse Jakob Steiner (1796-1863) étudie la figure qui s'obtient par la formation d'hexagones de toutes les formes possibles à partir de six points fixes dans une conique, et observe soixante droites de Pascal. Plus tard, en 1828, le même Steiner découvre que les soixante droites de Pascal coïncident, par groupes de trois, en vingt points, appelés points de Steiner.
En 1830, le mathématicien et physicien allemand Julius Plücker démontre que les points de Steiner sont alignés, quatre par quatre, sur quinze droites appelées droites de Plücker.
Enfin, le théorème est généralisé en 1847 par le mathématicien et astronome allemand August Ferdinand Möbius, connu pour l'invention du ruban de Möbius.