# Opérateur pseudo-différentiel

En analyse mathématique, un opérateur pseudo-différentiel est une extension du concept familier d'opérateur différentiel, permettant notamment l'inclusion d'ordres de dérivation non entiers. Ces opérateurs pseudo-différentiels sont abondamment utilisés dans la théorie des équations aux dérivées partielles et en théorie quantique des champs.

## Rappels et notations

On reprend ci-dessous les notations introduites dans l'article opérateur différentiel.

### Opérateur différentiel

Rappelons qu'un opérateur différentiel linéaire d'ordre $m$ s'écrit :
${\mathfrak {D}}=\sum _{|\alpha |=0}^{m}a_{\alpha }(x)D^{\alpha }$
où les $a_{\alpha }(x)$, appelées coefficients de l'opérateur ${\mathfrak {D}}$, sont des fonctions des $n$ variables d'espace $x^{k},k=1,\dots ,n$.

### Introduction de la transformée de Fourier
#### Définition

On définit ici la transformée de Fourier de la fonction $f$ de $n$ variables par :
${\hat {f}}(\xi )=\int \mathrm {e} ^{-\mathrm {i} \xi \cdot x}f(x)\;\mathrm {d} x$
La formule de transformation inverse s'écrit alors :
$f(x)={\frac {1}{(2\pi )^{n}}}\int \mathrm {e} ^{+\mathrm {i} \xi \cdot x}{\hat {f}}(\xi )\;\mathrm {d} \xi$

#### Application aux opérateurs différentiels

Le symbole de l'opérateur différentiel ${\mathfrak {D}}$ d'ordre $m$ est la fonction $\sigma (x,\xi )$ des $2n$ variables $(x,\xi )$ polynomiale en $\xi$ :
$\sigma (x,\xi )=\sum _{|\alpha |=0}^{m}a_{\alpha }(x)\xi ^{\alpha }$
L'opérateur différentiel ${\mathfrak {D}}$ linéaire d'ordre $m$ vérifie alors la relation :
$({\mathfrak {D}}f)(x)=\int {\frac {\mathrm {d} \xi }{(2\pi )^{n}}}\mathrm {e} ^{+\mathrm {i} \xi \cdot x}\sigma (x,\xi ){\hat {f}}(\xi )$
On constate que cette formule pourrait en fait permettre de définir l'opérateur ${\mathfrak {D}}$ à partir de son symbole $\sigma (x,\xi )$. Nous allons mettre cette idée à profit dans le paragraphe suivant.

## Introduction : opérateur pseudo-différentiel à coefficients constants
### Opérateur différentiel à coefficients constants

Si les coefficients $a_{\alpha }$ de l'opérateur différentiel ${\mathfrak {D}}$ d'ordre $m$ sont indépendants des $n$ variables d'espace $x^{k}$, son symbole est seulement une fonction $\sigma (\xi )$ des $n$ variables $\xi$ polynomiale en $\xi$ :
$\sigma (\xi )=\sum _{|\alpha |=0}^{m}a_{\alpha }\xi ^{\alpha }$
de telle sorte que :
$({\mathfrak {D}}f)(x)=\int {\frac {\mathrm {d} \xi }{(2\pi )^{n}}}\mathrm {e} ^{+\mathrm {i} \xi x}\sigma (\xi ){\hat {f}}(\xi )$
soit encore, en utilisant la transformation de Fourier inverse :
$({\widehat {{\mathfrak {D}}f}})(\xi )=\sigma (\xi ){\hat {f}}(\xi )$

### Définition : opérateur pseudo-différentiel à coefficients constants

Soit une fonction $p$ des $n$ variables $\xi$. On associe à cette fonction un opérateur pseudo-différentiel $P_{D}$ à coefficients constants, dont l'action sur une fonction $f$ est définie par l'intégrale suivante :
$(P_{D}f)(x)=\int {\frac {\mathrm {d} \xi }{(2\pi )^{n}}}\mathrm {e} ^{+\mathrm {i} \xi \cdot x}p(\xi ){\hat {f}}(\xi )$
Pour que l'intégrale ait un sens, il faut que le symbole $p(\xi )$ présente quelques « bonnes » propriétés :
* la fonction $p(\xi )$ doit être lisse ;
* la fonction $p(\xi )$ doit avoir une croissance tempérée lorsque $|\xi |\to \infty$, cette croissance tempérée devant de plus s'améliorer par dérivation. Par analogie avec le cas d'un opérateur différentiel d'ordre $m$, où cette croissance est polynomiale, on est amené à demander ici qu'il existe un nombre $m$ tel que :
$\forall \alpha \quad \left|\partial _{\xi }^{\alpha }p(\xi )\right|\leq C_{\alpha }\left(1+|\xi |\right)^{m-|\alpha |}$
où les $C_{\alpha }$ sont des constantes, qui peuvent dépendre de $\alpha$.

### Calcul symbolique exact

Soient $P_{1}$ et $P_{2}$ deux opérateurs pseudo-différentiels à coefficients constants, définis respectivement par les symboles $p_{1}(\xi )$ et $p_{2}(\xi )$. Alors, l'opérateur $P=P_{1}P_{2}$ est encore un opérateur pseudo-différentiel à coefficients constants, dont le symbole est le produit $p_{1}(\xi )p_{2}(\xi )$.

## Opérateur pseudo-différentiel : cas général
### Définition

Soit une fonction $p(x,\xi )$ des $2n$ variables $(x,\xi )$. On associe à cette fonction un opérateur pseudo-différentiel $P_{D}$, dont l'action sur une fonction $f$ est définie par l'intégrale suivante :
$(P_{D}f)(x)={\frac {1}{(2\pi )^{n}}}\int \mathrm {e} ^{+\mathrm {i} \xi \cdot x}p(x,\xi ){\hat {f}}(\xi )\;\mathrm {d} \xi$
Remarque : on note parfois cet opérateur pseudo-différentiel à partir de son symbole de la façon suivante : $P_{D}=p(x,D)$.
Il existe une autre définition, celle de Weyl :
$(Op(a)f)(t)=(2\pi )^{-n}\int _{\mathbb {R} ^{2n}}a\left({\frac {t+y}{2}},\xi \right)f(y)e^{i\xi \cdot (t-y)}dyd\xi .$

### Propriétés requises du symbole

Pour que l'intégrale ait un sens, il faut que le symbole $p(x,\xi )$ présente quelques « bonnes » propriétés, énoncées ci-dessous :
* la fonction $p(x,\xi )$ doit avoir une croissance tempérée lorsque $|\xi |\to \infty$, cette croissance tempérée devant de plus s'améliorer par dérivation. Par analogie avec le cas d'un opérateur différentiel d'ordre $m$, où cette croissance est polynomiale, on est amené à demander ici qu'il existe un nombre $m$ tel que $\forall \alpha \quad \left|\partial _{\xi }^{\alpha }p(x,\xi )\right|\leq C_{\alpha }\left(1+|\xi |\right)^{m-|\alpha |}$ où les $C_{\alpha }$ sont des constantes, qui peuvent dépendre de $\alpha$ ;
* la fonction $p(x,\xi )$ doit avoir une variation lente dans les variables d'espace $x$. On demande explicitement que $\forall \alpha ,\quad \left|\partial _{x}^{\alpha }p(x,\xi )\right|\leq C_{\alpha }\left(1+|\xi |\right)^{m}$.
Ces deux conditions peuvent être combinées en une seule, utilisée ci-dessous pour définir plus précisément la classe des symboles d'ordre $m$.

### Classe des symboles d'ordre m

Soit $\Omega \subset \mathbb {R} ^{n}$ un compact, et $p(x,\xi )$ une fonction lisse de ${\mathcal {C}}^{\infty }(\Omega \times \mathbb {R} ^{n})$. Soit $m$ un nombre réel quelconque. La classe $S^{m}(\Omega \times \mathbb {R} ^{n})$ des symboles d'ordre $m$ est définie par :
$S^{m}(\Omega \times \mathbb {R} ^{n})=\left\{p(x,\xi )\mid \left|\partial _{\xi }^{\alpha }\partial _{x}^{\beta }p(x,\xi )\right|\leq C_{\alpha ,\beta ,\Omega }\left(1+|\xi |\right)^{m-|\alpha |}\right\}$
pour tout $x\in \Omega$, $\xi \in \mathbb {R} ^{n}$, et pour tous les multi-indices $\alpha ,\beta$. Les $C_{\alpha ,\beta ,\Omega }$ sont des constantes, qui peuvent dépendre de $\alpha ,\beta$ et $\Omega$.
Remarque : lorsque la mention du compact $\Omega$ est indifférente, on note simplement : $S^{m}=S^{m}(\Omega \times \mathbb {R} ^{n})$.
On note souvent $\Psi ^{m}$ l'ensemble des opérateurs pseudo-différentiels à symbole dans $S^{m}$

## Propriété de pseudo-localité
### Support singulier d'une distribution

On appelle support singulier d'une distribution $u$ le complémentaire de l'ensemble des points au voisinage desquels $u$ est une fonction $C^{\infty }$.

### Calcul symbolique

Soient $p_{j},(j=1,2)$ des éléments de $S^{m_{j}}(\mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} ^{n})$. Alors l'opérateur $p_{1}(x,D)\circ p_{2}(x,D)$ est aussi un opérateur pseudo-différentiel, dont le symbole, qui appartient à $S^{m_{1}+m_{2}}$ est donné par une somme asymptotique dont le premier terme est $p_{1}(x,\xi )p_{2}(x,\xi )$

### Continuité dans les espaces de Sobolev

On note $H^{s}(\mathbb {R} ^{n})$ l'espace de Sobolev standard d'ordre $s$ sur $\mathbb {R} ^{n}$. Soient $s$ et $m$ deux nombres réels. Un opérateur pseudo-différentiel d'ordre $m$ sur $\mathbb {R} ^{n}$ (c.-à-d. un élément de $\Psi ^{m}$) est continu de $H^{s}(\mathbb {R} ^{n})$ dans $H^{s-m}(\mathbb {R} ^{n})$.

### Propriété de pseudo-localité

Soit $a\in S^{m}$ et soit $K$ le noyau de $a(x,D)$. Alors $K$ est $C^{\infty }$ pour $x\neq y$. En particulier, pour toute distribution tempérée $u$, supp sing $a(x,D)u\subset$ supp sing $u$.