# Coordonnées elliptiques

En géométrie, le système de coordonnées elliptiques est un système de coordonnées orthogonales à deux dimensions, dans lequel les lignes de coordonnées sont des ellipses et des hyperboles confocales. Les deux foyers $\mathrm {F} _{1}$ et $\mathrm {F} _{2}$ sont généralement considérés comme fixés à $-a$ et $+a$, respectivement, sur l'axe des $x$ du système de coordonnées cartésiennes.

## Définition

La notation la plus courante des coordonnées elliptiques $(\mu ,\nu )$ est :
    ${\begin{cases}x=a\;\cosh \mu \;\cos \nu \\y=a\;\sinh \mu \;\sin \nu \end{cases}}$
où $\mu$ est un nombre réel positif et $\nu \in [0,2\pi ].$
Sur le plan complexe, une relation équivalente est :
    $x+\mathrm {i} \,y=a\;\cosh(\mu +\mathrm {i} \,\nu )$.
Ces définitions correspondent aux ellipses et aux hyperboles. L'identité trigonométrique :
    ${\frac {x^{2}}{a^{2}\cosh ^{2}\mu }}+{\frac {y^{2}}{a^{2}\sinh ^{2}\mu }}=\cos ^{2}\nu +\sin ^{2}\nu =1$
montre que les courbes à $\mu ={\text{constante}}$ forment des ellipses, tandis que l'identité trigonométrique hyperbolique :
    ${\frac {x^{2}}{a^{2}\cos ^{2}\nu }}-{\frac {y^{2}}{a^{2}\sin ^{2}\nu }}=\cosh ^{2}\mu -\sinh ^{2}\mu =1$
montre que les courbes à $\nu ={\text{constante}}$ forment des hyperboles.

### Lien avec les coordonnées polaires

Si l'on pose $a=2r\,\mathrm {e} ^{-\mu }$ et qu'on fait tendre $\mu$ vers $+\infty$, $x$ et $y$ tendent vers $r\cos \nu$ et $r\sin \nu$ : les coordonnées elliptiques tendent vers les coordonnées polaires (de distance radiale $r$ et d'angle polaire $\nu$), les ellipses confocales deviennent des cercles concentriques et les hyperboles des droites passant par l'origine.

## Facteurs d'échelle

Dans un système de coordonnées orthogonales, les longueurs des vecteurs de base sont appelées facteurs d'échelle. Les facteurs d'échelle pour les coordonnées elliptiques $(\mu ,\nu )$ sont égaux à :
    $h_{\mu }=h_{\nu }=a\,{\sqrt {\sinh ^{2}\mu +\sin ^{2}\nu }}=a\,{\sqrt {\cosh ^{2}\mu -\cos ^{2}\nu }}$.
En utilisant les identités à double argument pour les fonctions hyperboliques et les fonctions trigonométriques, les facteurs d'échelle peuvent être exprimés de manière équivalente comme :
    $h_{\mu }=h_{\nu }=a\,{\sqrt {{\frac {1}{2}}(\cosh 2\mu -\cos 2\nu )}}$.
Par conséquent, un élément infinitésimal de surface est égal à :
    $\mathrm {d} A=h_{\mu }\,h_{\nu }\,\mathrm {d} \mu \,\mathrm {d} \nu =a^{2}\left(\sinh ^{2}\mu +\sin ^{2}\nu \right)\mathrm {d} \mu \,\mathrm {d} \nu =a^{2}\left(\cosh ^{2}\mu -\cos ^{2}\nu \right)\mathrm {d} \mu \,\mathrm {d} \nu ={\frac {a^{2}}{2}}\left(\cosh 2\mu -\cos 2\nu \right)\mathrm {d} \mu \,\mathrm {d} \nu$
et le laplacien s'écrit :
    $\nabla ^{2}\Phi ={\frac {1}{a^{2}\left(\sinh ^{2}\mu +\sin ^{2}\nu \right)}}\left({\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial \mu ^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial \nu ^{2}}}\right)={\frac {1}{a^{2}\left(\cosh ^{2}\mu -\cos ^{2}\nu \right)}}\left({\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial \mu ^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial \nu ^{2}}}\right)={\frac {2}{a^{2}\left(\cosh 2\mu -\cos 2\nu \right)}}\left({\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial \mu ^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial \nu ^{2}}}\right)$.
D'autres opérateurs différentiels tels que $\nabla \cdot \mathbf {F}$ et $\nabla \times \mathbf {F}$ peut être exprimé dans les coordonnées $(\mu ,\nu )$ en substituant les facteurs d'échelle dans les formules générales trouvées en coordonnées orthogonales.