# Équations de Hamilton-Jacobi

En mécanique hamiltonienne, les équations de Hamilton-Jacobi sont des équations associées à une transformation du hamiltonien dans l'espace des phases, et qui permettent de simplifier la résolution des équations du mouvement.

## Transformations canoniques

Une transformation canonique est une transformation $({\vec {q}},{\vec {p}})\rightarrow ({\vec {Q}},{\vec {P}})~,~H({\vec {q}},{\vec {p}})\rightarrow K({\vec {Q}},{\vec {P}})$ de l'espace des phases qui conserve les équations canoniques : ${\dot {\vec {q}}}={\frac {\partial H}{\partial {\vec {p}}}}~~\rightarrow ~~{\dot {\vec {Q}}}={\frac {\partial K}{\partial {\vec {P}}}}\,;\,{\dot {\vec {p}}}=-{\frac {\partial H}{\partial {\vec {q}}}}~~\rightarrow ~~{\dot {\vec {P}}}=-{\frac {\partial K}{\partial {\vec {Q}}}}$.
(On note ${\frac {\partial }{\partial {\vec {x}}}}={\vec {\nabla }}_{\vec {x}}=\sum _{i=1}^{N}{\frac {\partial }{\partial x_{i}}}{\vec {e}}_{i}$ où ${\vec {x}}=\sum _{i=1}^{N}x_{i}{\vec {e}}_{i}$.)
On peut montrer qu'une transformation est canonique si et seulement si elle préserve les crochets de Poisson fondamentaux :
$\{Q_{\alpha },P_{\beta }\}=\delta _{\alpha \beta }$
$\{Q_{\alpha },Q_{\beta }\}=0$
$\{P_{\alpha },P_{\beta }\}=0$

## Fonctions génératrices

L'action peut s'écrire en fonction des variables de l'espace des phases :
$S[{\vec {q}},{\vec {p}}]=\int \mathrm {d} t~L({\vec {q}},{\dot {\vec {q}}},t)=\int dt~({\vec {p}}\cdot {\dot {\vec {q}}}-H({\vec {q}},{\vec {p}},t))=\int \mathrm {d} t~f({\dot {\vec {q}}},{\vec {q}},{\vec {p}},t).$
Or les équations canoniques vérifiées par $H({\vec {q}},{\vec {p}})$ impliquent que $f$ vérifie les équations d'Euler-Lagrange :
${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\left({\frac {\partial f}{\partial {\dot {\vec {q}}}}}\right)-{\frac {\partial f}{\partial {\vec {q}}}}={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\left({\vec {p}}\right)+{\frac {\partial H}{\partial {\vec {q}}}}={\dot {\vec {p}}}-{\dot {\vec {p}}}={\vec {0}};$
${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\left({\frac {\partial f}{\partial {\dot {\vec {p}}}}}\right)-{\frac {\partial f}{\partial {\vec {p}}}}={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\left({\vec {0}}\right)-\left({\dot {\vec {q}}}-{\frac {\partial H}{\partial {\vec {p}}}}\right)=-{\dot {\vec {q}}}+{\dot {\vec {q}}}={\vec {0}}.$
On a donc stationnarité de l'action si et seulement si $H({\vec {q}},{\vec {p}})$ vérifie les équations canoniques, et de même pour $K({\vec {Q}},{\vec {P}})$. On en déduit que si H et K vérifient leurs équations canoniques, on a stationnarité des actions correspondantes, soit :
$\delta \left(\int \mathrm {d} t~({\vec {p}}\cdot {\dot {\vec {q}}}-H)\right)=0\,,\,\delta \left(\int \mathrm {d} t~({\vec {P}}\cdot {\dot {\vec {Q}}}-K)\right)=0$
d'où la condition dite d'invariance :
$({\vec {p}}\cdot {\dot {\vec {q}}}-H)-({\vec {P}}\cdot {\dot {\vec {Q}}}-K)={\frac {\mathrm {d} F}{\mathrm {d} t}}({\vec {q}},{\vec {p}},{\vec {Q}},{\vec {P}},t).$
Une telle fonction F est appelée fonction génératrice de la transformation $({\vec {q}},{\vec {p}})\rightarrow ({\vec {Q}},{\vec {P}})~,~H({\vec {q}},{\vec {p}})\rightarrow K({\vec {Q}},{\vec {P}})$.

## Fonction principale de Hamilton, équation de Hamilton-Jacobi

On note N le nombre de degrés de liberté du système, $({\vec {q}},{\vec {p}},{\vec {Q}},{\vec {P}})$ représentent 4N variables, qui sont reliées entre elles par les 2N relations de la transformation $({\vec {q}},{\vec {p}})\rightarrow ({\vec {Q}},{\vec {P}})$. On a donc 2N variables indépendantes, et donc plusieurs choix pour les variables de la fonction génératrice. Si on choisit d'utiliser les variables $({\vec {q}},{\vec {P}})$, on a une fonction génératrice $S({\vec {q}},{\vec {P}})$ que l'on appelle fonction principale de Hamilton. Pour avoir effectivement une fonction de $({\vec {q}},{\vec {P}})$, il faut appliquer une transformation de Legendre à $F$ : $S({\vec {q}},{\vec {P}})=F+{\vec {Q}}\cdot {\vec {P}}$.
On a alors ${\frac {\mathrm {d} S}{\mathrm {d} t}}={\frac {\mathrm {d} F}{\mathrm {d} t}}+{\dot {\vec {Q}}}\cdot {\vec {P}}+{\vec {Q}}\cdot {\dot {\vec {P}}}={\frac {\partial S}{\partial {\vec {q}}}}\cdot {\dot {\vec {q}}}+{\frac {\partial S}{\partial {\vec {P}}}}\cdot {\dot {\vec {P}}}+{\frac {\partial S}{\partial t}}$
et la condition d'invariance devient
$\left({\vec {p}}-{\frac {\partial S}{\partial {\vec {q}}}}\right)\cdot {\dot {\vec {q}}}+\left({\vec {Q}}-{\frac {\partial S}{\partial {\vec {P}}}}\right)\cdot {\dot {\vec {P}}}+\left(-H+K-{\frac {\partial S}{\partial t}}\right)=0.$
On a choisi $({\vec {q}},{\vec {P}})$ comme variables indépendantes, on peut donc identifier et l'on obtient :
${\vec {p}}-{\frac {\partial S}{\partial {\vec {q}}}}={\vec {0}}$ ;
${\vec {Q}}-{\frac {\partial S}{\partial {\vec {P}}}}={\vec {0}}$ ;
$-H+K-{\frac {\partial S}{\partial t}}=0$.
Les deux premières équations permettent de déterminer la transformation $({\vec {q}},{\vec {p}})\rightarrow ({\vec {Q}},{\vec {P}})$ à partir de la donnée de la fonction $S({\vec {q}},{\vec {P}})$, et en combinant la première et la dernière équation, on a l'équation de Hamilton-Jacobi :
$H\left({\vec {q}},{\frac {\partial S}{\partial {\vec {q}}}},t\right)+{\frac {\partial S}{\partial t}}=K$

## Application

Le but d'une telle transformation est de simplifier la résolution des équations du mouvement. Par exemple, en imposant $K=0$, on a simplement ${\dot {\vec {Q}}}={\vec {0}}$ et ${\dot {\vec {P}}}={\vec {0}}$, soit ${\vec {Q}}$ et ${\vec {P}}$ constants. Il reste alors à déterminer $({\vec {Q}}({\vec {q}},{\vec {p}}),{\vec {P}}({\vec {q}},{\vec {p}}))$ pour obtenir la solution $({\vec {q}}(t),{\vec {p}}(t))$, or la transformation est entièrement déterminée par la donnée de la fonction génératrice, qui est solution de l'équation aux dérivées partielles
$H({\vec {q}},{\frac {\partial S}{\partial {\vec {q}}}},t)+{\frac {\partial S}{\partial t}}=0.$

### Remarque

    Dans ce cas, la condition d'invariance devient ${\vec {p}}\cdot {\dot {\vec {q}}}-H={\frac {\mathrm {d} S}{\mathrm {d} t}}~~\Rightarrow ~~S=\int L~\mathrm {d} t$. La fonction génératrice $S$ est alors simplement l'action du système.
Cette équation n'est pas a priori plus simple à résoudre que les équations de départ (en particulier s'il s'agit d'un Hamiltonien classique $H({\vec {q}},{\vec {p}},t)={\frac {{\vec {p}}^{2}}{2m}}+V({\vec {q}},{\vec {p}},t)$, on a alors des termes non linéaires). Cependant, si l'Hamiltonien ne dépend pas explicitement du temps, il est conservé (d'après le théorème de Noether), on a donc directement :
${\frac {\partial S}{\partial t}}=-H({\vec {q}},{\frac {\partial S}{\partial {\vec {q}}}})=-E=constante$
d'où
$S=S_{0}({\vec {q}},{\vec {p}})-Et$
et l'équation à résoudre est simplifiée :
$H({\vec {q}},{\frac {\partial S_{0}}{\partial {\vec {q}}}})-E=0.$