# Lemme de van der Corput

Il existe en analyse de nombreux lemmes du mathématicien néerlandais Johannes van der Corput (1890 - 1975). Nous en présentons ici deux.

## En analyse complexe

Ce lemme est un résultat mathématique qui donne des informations sur le comportement asymptotique d'intégrales oscillantes (en) du type
$\int _{a}^{b}\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \lambda \phi (x)}\,\mathrm {d} x$
quand le paramètre réel $\lambda >0$ tend vers l'infini. Il affirme que ce type d'intégrale à paramètre tend vers zéro avec un certain taux de décroissance minimal, relatif à la phase $\phi$.

### Énoncé du théorème

Théorème — Soit $\phi \in {\mathcal {C}}^{\infty }{\big[a,b]{\big )}$ une fonction à valeurs réelles. On suppose que :
* $\left|\phi '\right|\geqslant 1$ sur l'intervalle $[a,b]$ et $\phi '$ monotone, ou
* il existe un entier $k\geqslant 2$ tel que $\left|\phi ^{(k)}\right|\geqslant 1$ sur $[a,b]$.
Alors il existe une constante $c_{k}>0$ indépendante de $\phi$ et de $\lambda$ telle que
$\left|\int _{a}^{b}\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \lambda \phi (x)}\,\mathrm {d} x\right|\leqslant c_{k}\,\lambda ^{-1/k}\;.$
On peut remarquer que l'hypothèse $\phi \in {\mathcal {C}}^{\infty }{\big[a,b]{\big )}$ est superflue ; en effet, il est suffisant que $\phi$ soit de classe ${\mathcal {C}}^{k+1}{\big[a,b]{\big )}$ pour que le théorème reste vrai.

### Principe

Bien que différents dans leur forme, le lemme de van der Corput et la méthode de la phase stationnaire reposent sur la même observation : les points stationnaires de la phase $\phi$ (c'est-à-dire $\phi ^{(k)}(c)=0$ ) influencent la décroissance de l'intégrale.
Pour comprendre cela intuitivement, on regarde la partie réelle de l'intégrale, à savoir
$\int _{a}^{b}\cos \left(\lambda \phi (x)\right)\,\mathrm {d} x\,.$
Cette quantité mesure l'aire située entre la courbe définie par la fonction $x\longmapsto \cos \left(\lambda \phi (x)\right)$ et l'axe des abscisses. Il est clair que cette fonction, qui représente une onde, oscille de plus en plus rapidement quand le paramètre $\lambda >0$ tend vers l'infini. Si l'on suppose que la dérivée de la phase ne s'annule pas, on peut dire naïvement que les oscillations de l'onde $x\longmapsto \cos \left(\lambda \phi (x)\right)$ se comportent « de la même manière » à mesure que $\lambda$ devient grand. Il en résulte que l'aire positive et l'aire négative ont tendance à s'annuler mutuellement, ce qui fournit la décroissance.
Supposons à présent qu'il existe un point stationnaire de la phase, à savoir $\phi ^{(k)}(c)=0$. Alors dans un voisinage du point $c$, l'onde n'oscille que très peu, la courbe est en un sens plus « plate » dans cette zone. Il suit que les oscillations se compensent moins rapidement dans ce voisinage quand le paramètre $\lambda$ tend vers l'infini, ce qui a pour effet de ralentir la décroissance. Et le phénomène est d'autant plus marqué quand l'ordre du point stationnaire est élevé.

### Preuve

Nous allons faire la preuve par récurrence. Pour cela supposons que les hypothèses du premier cas soient satisfaites. Puisque $\phi '$ ne s'annule pas sur $[a,b]$, nous avons
$\int _{a}^{b}\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \lambda \phi (x)}\,\mathrm {d} x=(\mathrm {i} \lambda )^{-1}\int _{a}^{b}{\frac {1}{\phi '(x)}}\,{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\left[\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \lambda \phi (x)}\right]\,\mathrm {d} x=(\mathrm {i} \lambda )^{-1}\left[{\frac {\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \lambda \phi (x)}}{\phi '(x)}}\right]_{a}^{b}-\,(\mathrm {i} \lambda )^{-1}\int _{a}^{b}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\left[{\frac {1}{\phi '(x)}}\right]\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \lambda \phi (x)}\,\mathrm {d} x.$
Puisque $\phi '\geqslant 1$ par hypothèse, nous avons
$\left|(\mathrm {i} \lambda )^{-1}\left[{\frac {\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \lambda \phi (x)}}{\phi '(x)}}\right]_{a}^{b}\right|=\left|(\mathrm {i} \lambda )^{-1}\left({\frac {\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \lambda \phi (b)}}{\phi '(b)}}-{\frac {\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \lambda \phi (a)}}{\phi '(a)}}\right)\right|\leqslant {\frac {2}{\lambda }}.$
Ensuite, $\phi '$ étant supposée monotone, sa dérivée possède alors un signe constant. Il vient
$\left|(\mathrm {i} \lambda )^{-1}\int _{a}^{b}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\left[{\frac {1}{\phi '(x)}}\right]\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \lambda \phi (x)}\,\mathrm {d} x\right|\leqslant \lambda ^{-1}\int _{a}^{b}\left|{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\left[{\frac {1}{\phi '(x)}}\right]\right|\,\mathrm {d} x=\lambda ^{-1}\left|\left[{\frac {1}{\phi '(x)}}\right]_{a}^{b}\right|\leqslant {\frac {1}{\lambda }}.$
Ceci termine le cas $k=1$.
On procède à présent par récurrence: on suppose que le cas $k\geqslant 1$ est connu et on suppose $\left|\phi ^{(k+1)}\right|\geqslant 1$ sur $[a,b]$. Désignons par $c\in [a,b]$ le point où la fonction $\left|\phi ^{(k)}\right|$ atteint son minimum. Distinguons deux cas:
* Si $\phi ^{(k)}(c)\neq 0$ alors on peut supposer sans perdre de généralité que $\left|\phi ^{(k)}\right|\geqslant 1$. Alors par récurrence
$\left|\int _{a}^{b}\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \lambda \phi (x)}\,\mathrm {d} x\right|\leqslant c_{k}\,\lambda ^{-{\frac {1}{k}}}\leqslant c_{k}\,\lambda ^{-{\frac {1}{k+1}}},$
pour tout $\lambda \geqslant 1$.
* Si $\phi ^{(k)}(c)=0$ alors on découpe l'intégrale comme suit :
$\int _{a}^{b}\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \lambda \phi (x)}\,\mathrm {d} x=\int _{a}^{c-\delta }\ldots \,+\int _{c-\delta }^{c+\delta }\ldots \,+\int _{c+\delta }^{b}\ldots ,$
où $\delta >0$ est un réel fixé suffisamment petit. On traite à présent chaque intégrale.
Pour tout $x\in [c+\delta ,b]$, nous avons
$\left|\phi ^{(k)}(x)\right|=\left|\phi ^{(k)}(x)-\phi ^{(k)}(c)\right|=\left|\int _{c}^{x}\phi ^{(k+1)}(y)\,\mathrm {d} y\right|=\int _{c}^{x}\left|\phi ^{(k+1)}(y)\right|\,\mathrm {d} y\geqslant (x-c)\geqslant \delta .$
L'hypothèse de récurrence implique ainsi
$\left|\int _{c+\delta }^{b}\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \lambda \phi (x)}\,\mathrm {d} x\right|\leqslant c_{k}\,(\delta \lambda )^{-{\frac {1}{k}}}\;;$
un travail tout à fait similaire fournit
$\left|\int _{a}^{c-\delta }\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \lambda \phi (x)}\,\mathrm {d} x\right|\leqslant c_{k}\,(\delta \lambda )^{-{\frac {1}{k}}}.$
La dernière intégrale se majore brutalement :
$\left|\int _{c-\delta }^{c+\delta }\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \lambda \phi (x)}\,\mathrm {d} x\right|\leqslant 2\delta .$
Pour conclure, nous posons : $\delta :=\lambda ^{-{\frac {1}{k+1}}}$. Nous obtenons ainsi la majoration finale :
$\left|\int _{a}^{b}\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \lambda \phi (x)}\,\mathrm {d} x\right|\leqslant c_{k}\,\lambda ^{-{\frac {1}{k+1}}}+2\,\lambda ^{-{\frac {1}{k+1}}}+c_{k}\,\lambda ^{-{\frac {1}{k+1}}}=:c_{k+1}\,\lambda ^{-{\frac {1}{k+1}}}.$
Si $c=a$ ou $c=b$, il suffit de découper l'intégrale en deux parties et de refaire exactement le même travail.
Ceci termine la preuve.

## En théorie des nombres

Soient N ≥ 1 un entier (grand) et $f\in C^{2}([N,2N])$ telle qu'il existe un réel λ > 0 et des nombres 0 < c$_1$ < c$_2$ tels que c$_1$ λ ≤ f '' ≤ c$_2$ λ. Alors on a :
$\left|\sum _{n=N+1}^{2N}e^{2i\pi f(n)}\right|\ll N\lambda ^{1/2}+\lambda ^{-1/2}~.$

## Article connexe

* Une généralisation du lemme de van der Corput constitue le théorème ATS sur l'approximation d'une somme trigonométrique.