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# Identités logarithmiques

Cet article dresse une liste d'identités utiles lorsqu'on travaille avec les logarithmes.
Ces identités sont toutes valables à condition que les réels utilisés ($a$, $b$, $c$ et $d$) soient strictement positifs. En outre, les bases des logarithmes doivent être différentes de 1.

## Valeurs particulières

Pour toute base $a$, on a :
* $\log _{a}1=0$.
* $\log _{a}a=1$.

## Logarithme d'un produit, d'un quotient, d'une exponentiation

Par définition des logarithmes, on a :
* $\log _{c}(ab)=\log _{c}a+\log _{c}b$.
* $\log _{c}\left({\frac {a}{b}}\right)=\log _{c}a-\log _{c}b$.
* $\forall x\in \mathbb {R} \quad \log _{c}(a^{x})=x\log _{c}a$.
Ces trois identités permettent d'utiliser des tables de logarithme et des règles à calcul ; connaissant le logarithme de deux nombres, il est possible de les multiplier et diviser rapidement, ou aussi bien calculer des puissances ou des racines de ceux-ci.

## Logarithme d'une somme

En partant des égalités $a+b=a\left(1+{\frac {b}{a}}\right)=a\,b\,\left({\frac {a+b}{ab}}\right)$, et en utilisant les propriétés du logarithme d'un produit, on aboutit aux résultats ci-dessous. Ces formules permettent dans certains cas de calculer numériquement $\log(a+b)$ en fonction de $\log(a)$ et $\log(b)$ en évitant des dépassements des limites numériques.
* $\log _{c}(a+b)=\log _{c}a+\log _{c}b-\log _{c}\left({\frac {ab}{a+b}}\right)$
* $\log _{c}(a+b)=\log _{c}a+\log _{c}\left(1+{\frac {b}{a}}\right)$

## Réciprocité

* $a^{\log _{a}b}=b$.
* $\forall x\in \mathbb {R}$, $\log _{a}(a^{x})=x$.
Les formules précédentes sont utilisées pour résoudre des équations dont les inconnues sont en exposant.

## Changement de base

Relation de type Chasles :
    $\log _{a}c=\log _{a}b\times \log _{b}c$
Et en particulier (pour c = a), $\log _{a}b={\frac {1}{\log _{b}a}}$.
Cette identité est utile pour calculer des logarithmes avec des machines à calculer, car la plupart de ces dernières ne proposent que les logarithmes décimaux (de base 10) et naturels (de base e).
On en déduit :
    ${\frac {\log _{c}b}{\log _{c}a}}={\frac {\log _{c}d\times \log _{d}b}{\log _{c}d\times \log _{d}a}}={\frac {\log _{d}b}{\log _{d}a}}$.

## Limites

    $\lim _{x\to 0^{+}}\log _{a}x=-\infty$ pour $a>1$
    $\lim _{x\to 0^{+}}\log _{a}x=+\infty$ pour $a<1$
    $\lim _{x\to +\infty }\log _{a}x=+\infty$ pour $a>1$
    $\lim _{x\to +\infty }\log _{a}x=-\infty$ pour $a<1$
    $\lim _{x\to 0^{+}}x^{b}\log _{a}x=0$
    $\lim _{x\to +\infty }{\frac {\log _{a}x}{x^{b}}}=0$
La dernière limite est souvent interprétée comme « en l'infini le logarithme croît plus lentement que toute puissance (strictement positive) de la variable ».

## Dérivée

    $\forall x>0\quad \log '_{a}(x)={\frac {1}{x\ln a}}$
donc dans le cas particulier de la base e :
    $\ln 'x={\frac {1}{x}}$.

## Primitive

    $\int _{x_{0}}^{x}\log _{a}t\;\mathrm {d} t=\left[t\left(\log _{a}t-{\frac {1}{\ln a}}\right)\right]_{x_{0}}^{x}$
donc dans le cas particulier de la base e :
    $\int _{x_{0}}^{x}\ln t\;\mathrm {d} t=\left[t\left(\ln t-1\right)\right]_{x_{0}}^{x}$.
# Mangavé

Mangavé est une localité du Cameroun située dans l'arrondissement de Petté, le département du Diamaré et la région de l’Extrême-Nord. Elle fait partie du canton de Petté rural.

## Population

En 1975, la localité comptait 204 habitants, dont 195 Peuls et 9 Toupouri.
Lors du recensement de 2005, on y a dénombré 567 personnes.
# José Carlos Avellar

José Carlos Avellar, né le 15 décembre 1936 à Rio de Janeiro et mort le 18 mars 2016 au même endroit, est un critique de cinéma, gestionnaire culturel et essayiste brésilien.

## Biographie

Tour à tour commissaire d’exposition, enseignant, photographe, journaliste, il a été, pendant une quarantaine d’années, un inestimable passeur entre le Brésil et l’Europe.
Pendant la dictature militaire (1964-1985), Avellar, au cœur de l’effervescence intellectuelle, trouve un deuxième port d’attache à la cinémathèque du Musée d’art moderne de Rio, qu’il dirige de 1991 à 1992. Loin de se cantonner au rôle de commentateur éclairé mais distant, il s’implique dans la gestion et la promotion de la culture.
Avellar a travaillé pendant plus de vingt ans en tant que critique de cinéma pour le Jornal do Brasil. Avellar était aussi critique pour Escrever Cinéma et a enseigné le cinéma à l'Université de Guadalajara au Mexique. Il a publié six livres sur la théorie du cinéma, et est co-auteur de dizaines d'études sur le cinéma brésilien et d'Amérique latine - y compris « Le Cinéma brésilien » (Centre Pompidou, Paris) et « Hojas de Cine » (Universidad Autonoma Metropolitana, Mexique).

## Mort

Souffrant d'un lymphome, hospitalisé depuis le 9 février, il meurt à 79 ans$^,$.
# Hestholmen (Alver)

Hestholmen est une île norvégienne dans le comté de Hordaland. Elle fait partie du territoire de l'ancienne commune de Meland, aujourd'hui rattachée à Alver (en).

## Géographie

Rocheuse et couverte d'arbres, elle s'étend sur environ 169 m de longueur pour une largeur approximative de 71 m.
# Le Dernier Couple qui court

Le Dernier Couple qui court (Sista paret ut) est un film suédois réalisé par Alf Sjöberg, sorti en 1956.

## Fiche technique

* Titre original : Sista paret ut
* Titre français : Le Dernier Couple qui court
* Réalisation : Alf Sjöberg
* Scénario : Ingmar Bergman
* Production : Allan Ekelund
* Musique : Bengt Hallberg, Erik Nordgren, Charles Redland et Julius Jacobsen
* Photographie : Martin Bodin
* Montage : Oscar Rosander
* Décors : Harald Garmland
* Format : Noir et blanc - Mono
* Genre : Drame
* Durée : 103 minutes
* Date de sortie : 1956

## Distribution

* Eva Dahlbeck : Susanna Dahlin
* Harriet Andersson : Anita
* Bibi Andersson : Kerstin
* Björn Bjelfvenstam : Bo Dahlin
* Jarl Kulle : D$^r$ Farell
* Hugo Björne : Professeur Jacobi
* Kristina Adolphson, Mona Malm (non créditées) : des étudiantes
# Le Monde en gros (série télévisée)

Le Monde en gros est une émission de télévision humoristique canadienne en treize épisodes de 22 minutes diffusée à partir du 18 juin 2012 à la Télévision de Radio-Canada. Elle est la suite de l'émission à succès Les Pieds dans la marge, récompensée par de nombreux Prix Gémeaux, mais destinée à un public plus âgé. Les trois animateurs, Mathieu Pichette, Jean-Sébastien Busque et Félix Tanguay font le tour du monde afin de donner un aperçu en gros du monde.

## Synopsis

Parmi les pays que le trio franco-ontarien a visitées, on peut nommer le Danemark, les États-Unis, le Mexique et Cuba, ainsi que les villes de Londres et d'Amsterdam.
L'émission est dotée d'un site web interactif, où les utilisateurs abonnés ont pu soumettre des photos et des vidéos se rapportant au thème de l'émission de la semaine et de voter pour leurs préférées, dans la section des meilleurs vendeurs. Les photos et vidéos gagnantes ont été envoyées dans l'espace, par l'intermédiaire d'un code binaire. Un webépisode est disponible sur le site web à cet effet.

## Épisodes

* Le monde n'a plus le temps
* L'amour, toujours l'amour
* C'est l'argent qui mène le monde
* Le monde change trop vite
* Contrôler le monde
* Le monde ne sait plus quoi inventer
* Tout le monde a quelque chose à dire
* C'est le sexe qui mène le monde
* Changer le monde
* La fin du monde
* Le monde est petit
* Le monde est un sport dangereux
* Tout le monde veut être heureux

## Prix et nominations

L'émission est nommée dans la catégorie Série humoristique à la télévision au Gala Les Olivier 2013.
# Le Monde du silence (livre, 1957)

Le second livre de Jacques-Yves Cousteau et Frédéric Dumas intitulé Le Monde du silence, publié en 1957 chez Hachette, fut l'adaptation romancée du film homonyme de 1955 Le Monde du Silence. Le livre de 1957 est illustré par Robert Conjat et fait partie de la Bibliothèque verte. Il diffère ainsi du premier livre homonyme publié quatre ans auparavant, qui pour sa part relate les activités antérieures de l'équipe de Jacques-Yves Cousteau, dans la Marine nationale, avant l'acquisition de la Calypso.
# Le Monde du silence

Le Monde du silence est le titre de plusieurs œuvres de Jacques-Yves Cousteau :
* Le Monde du silence, un livre coécrit avec Frédéric Dumas et James Dugan, paru en 1953 ;
* Le Monde du silence, un film coréalisé avec Louis Malle, sorti en 1956 ;
* Le Monde du silence, livre du film, coécrit avec Frédéric Dumas et paru en 1957.
Par métonymie « Le Monde du silence » a fini par désigner en français le monde sous-marin : cette expression apparaît dans le livre de 1953 à la fin du chap. 8, p. 152.

## Note

* ↑ Jacques-Yves Cousteau et Frédéric Dumas, Le Monde du Silence, Éditions de Paris, 1953 et 1956 : ayant plongé l'été 1945 avec ses fils Jean-Michel et Philippe (alors respectivement 8 et 6 ans) à Portissol, à Sanary, il dut leur expliquer que « la mer est un monde silencieux et que les petits garçons doivent se taire dès qu'ils entrent dans l'eau » s'ils ne veulent pas se noyer.
# Monastère de Sonada

Le Monastère de Sonada ou Samdrup Thargyay Ling, est le siège de la lignée Shangpa Kagyu en Inde.
En 1965, Kalou Rinpoché décida de s'installer au nord-est de l'Inde, aux environs de Darjeeling.
A Sonada, se trouvait un terrain avec un petit monastère appartenant à Yondzing Trijang Rinpoché, l'un des deux tuteurs du 14e Dalaï Lama. Appelé auprès de ce dernier, Trijang Rinpoché dut quitter Sonada en 1966, et remit son monastère sous la responsabilité de Kalou Rinpoché qui l'agrandit et le dota de centres de retraites de trois ans. Il y accueillit non seulement des moines tibétains comme Bokar Rinpoché qui y fit une retraite longue et devint son héritier spirituel, mais aussi nombre de moines et de nonnes occidentaux de toutes obédiences qui accoururent dès les années 70.
Sonada est le siège de la lignée Shangpa Kagyupa. La jeune incarnation (Yangsi) de Kalou Rinpoché, née en 1990, a été intronisée à Sonada le 25 février 1993, en présence de Taï Sitou Rinpoché, de Gyaltsab Rinpoché, de Bérou Khyentsé Rinpoché et de Bokar Rinpoché avec qui l'enfant poursuivit son instruction après la mort de son père en 1999.
# Mont Burdet

Le mont Burdet est une montagne du massif du Jura culminant à 1 043 m d'altitude, située dans le Nord du département de l'Ain, en Auvergne-Rhône-Alpes.

## Géographie
### Situation

Le mont Burdet est situé en limite du territoire des communes de Charix et d'Apremont.

### Géologie

Le mont Burdet est un crêt situé à la bordure est de la combe axiale de l'anticlinal des monts d'Ain – Apremont, dont la bordure orientale est caractérisée par un chevauchement vers l'est qui représente la limite entre le Jura interne (à l'est) et le Jura externe (à l'ouest), auquel le mont Burdet appartient. La partie supérieure du mont Burdet est constituée de calcaires graveleux, à oncolithes et à débris datant du Kimméridgien inférieur. La base du flanc oriental est constituée de calcaires du Kimméridgien supérieur et du Tithonien qui sont localement recouverts par des éléments morainiques würmiens ; l'accident tectonique délimitant le Jura interne et le Jura externe affleure sur ce flanc. Le flanc occidental est constitué de calcaires pseudolithographiques de l'Oxfordien et d'éboulis récents qui recouvrent une faille qui mettent en contact les calcaires oxfordiens à l'est avec la dalle nacrée du Callovien de la combe axiale.
# Mont Burel

Le mont Burel est un sommet d'origine volcanique culminant à 1 227 m d'altitude dans le département français de la Haute-Loire.

## Géographie
### Situation

Le mont Burel est situé dans le massif du Devès au sein du Massif central, dans la commune de Landos.

### Géologie

La montagne est le produit de deux événements volcaniques successifs : initialement un maar, suivi de la formation d'un cône volcanique qui l'a recouvert.
# Mont Béas

Le mont Béas, également appelé La Pique, est un sommet des Pyrénées françaises situé dans le département de l'Ariège en région Occitanie. Il culmine à 1 903 m d'altitude.

## Géographie
### Topographie

Le sommet domine de près de 1 200 m la commune d'Aulus-les-Bains, nichée en contrebas au sud-ouest. Il est situé dans le périmètre du parc naturel régional des Pyrénées ariégeoises dans la région du Couserans.

### Géologie

La roche est essentiellement calcaire et comporte de nombreux lapiaz. Son sous-sol abrite plusieurs gouffres dont le dernier fut exploré en 2011 jusqu'à une profondeur de 620 m après plus de 130 explorations menées par des spéléologues ariégeois (début des explorations en 2002). Ce réseau souterrain, appelé réseau de La Pique, est voisin du gouffre Georges (724 m de profondeur). C'est le troisième gouffre en termes de profondeur pour l'Ariège (que l'on calcule à partir du point d'entrée).

### Climat
## Voies d'accès

La voie d'accès principale à ce sommet est issue du déversoir de l'étang de Lers (1 264 m). Une piste pastorale part vers le nord et vers 1 310 m, un sentier file à gauche et enjambe le ruisseau de la Terrière à 1 368 m. En poursuivant ce sentier, on accède rapidement au col Dret (1 454 m). Ensuite, le cheminement suit la crête, parfois aérienne, en direction du sud, jusqu'au sommet. La descente peut s'effectuer en poursuivant la crête sud, en contournant le pic de Lanote. Le sentier aboutit alors sur la route D8 issue du col d'Agnes que l'on descend jusqu'à l'étang de Lers.
# Mononobe no Okoshi

Mononobe no Okoshi (物部尾輿) est un ministre japonais de la période Kofun et chef du clan Mononobe.
Selon le Nihongi, au cours du règne de l'empereur Ankan, un collier appartenant à Mononobe est volé par la fille de Kikoyu Ihoki (un des collègues muraji de Mononobe). Kikoyu fait amende honorable à l'empereur et Mononobe, craignant d'être impliqué d'une quelconque façon, fait don à la couronne impériale de deux villages sous sa juridiction.
Mononobe et son homologue Ōtomo no Kanamura sont fortement opposés à l'introduction du bouddhisme au Japon et luttent farouchement contre cette religion. Lorsque le roi Seong de Baekje envoie en cadeaux des sutras et des statues bouddhistes à l'empereur Kimmei en 552, l'empereur est confronté à un dilemme politique. Pour éviter soit d'offenser le roi Seong soit de sanctionner officiellement le bouddhisme, il confie ces cadeaux à la garde de Soga no Iname, chef du clan Soga et partisan de la nouvelle religion. Mononobe est un adversaire politique de Soga no Iname et pétitionne avec succès l'empereur pour imposer une décision contre la foi bouddhiste. Il fait alors incendier le temple du clan Soga et détruire et la statuaire bouddhiste.
Mononobe est également responsable de la perte de faveur de son collègue Otomo no Kanamura lorsque tous deux s'opposent relativement à une action militaire contre le royaume coréen de Silla. Alors qu'Otomo adopte une politique agressive à l'égard du royaume voisin, Mononobe est en mesure de persuader l'empereur Kimmei que Baekje, allié du Japon, serait un État tampon efficace et qu'il n'y a pas lieu de poursuivre la guerre avec Silla. En raison de ses arguments, l'empereur déchoit Otomo du pouvoir$^,$.
# Monooculricinuleus

Monooculricinuleus, unique représentant de la famille des Monooculricinulidae, est un genre éteint de ricinules.

## Distribution

Les espèces de ce genre ont été découvertes dans de l'ambre de Birmanie. Elles datent du Crétacé.

## Liste des espèces

Selon The World Spider Catalog (version 18.5, 2018) :
* † Monooculricinuleus incisus Wunderlich, 2017
* † Monooculricinuleus semiglobosus Wunderlich, 2017

## Publication originale

* (en) Wunderlich, 2017 : New extinct taxa of the arachnid order Ricinulei, based on new fossils preserved in mid Cretaceous Burmese amber. Beiträge zur Araneologie, vol. 10, p. 48–71.
# Monorail de Gold Coast

Le monorail de Gold Coast était un réseau de monorail qui desservait le centre commercial de Broadbeach dans la conurbation de Gold Coast, en Australie. Il comportait une unique ligne, longue de 1,3 kilomètre. Mis en service en 1989, il a cessé son activité le 29 janvier 2017.

## Réseau

La ligne comportait trois stations :
* Grand Mercure Hotel,
* Oasis Shopping Centre,
* Jupiter Casino.
# Le Rapport de Brodeck

Le Rapport de Brodeck est un roman de Philippe Claudel paru en 2007. Il reçoit la même année le prix Goncourt des lycéens.

## Résumé

Le personnage principal, Brodeck, revient dans son village après avoir été déporté dans un camp. Les thèmes du crime, de la lâcheté, de la mauvaise conscience et de la xénophobie sont abordés.
Le Rapport de Brodeck est une sorte de parabole, de fable. L’action se déroule dans un village de montagne, possiblement situé près de la frontière allemande. Le narrateur, Brodeck, est chargé de rédiger un rapport sur la mort d'un étranger, der Anderer (« l’autre »), qui séjournait dans le village. Son exécution par tous les hommes du village, excepté Brodeck, est appelée l’Ereigniës (un terme de dialecte choisi par Brodeck « et qui signifie à peu près "la chose qui s'est passée" » (p 13)). L’Anderer, par son comportement et ses dessins, est un miroir de ce qu’ils sont vraiment, au-delà des apparences et des statuts sociaux. Il leur renvoie leur lâcheté et leurs trahisons, leurs compromissions avec l'occupant de la guerre passée et cela, ils ne peuvent pas l'accepter.
Brodeck lui-même a, pendant la guerre, été déporté dans un camp de concentration. Les gens du village l’ont eux-mêmes désigné pour « acheter leur tranquillité » avec l’occupant. Pour avoir voulu défendre trois jeunes filles que les notables du village voulaient livrer à l’occupant, Emélia, la femme de Brodeck est violée une nuit et perd la raison.
Le récit que fait Brodeck, par petites touches, de sa déportation, suit le canevas des récits des déportés, même violence, même mépris de la vie et des déportés, même retour au pays plus mort que vif devant les habitants médusés et gênés.

## Prix littéraires

* Prix Goncourt des lycéens 2007
* Prix des libraires du Québec 2008, dans la catégorie « Roman hors Québec »
* Prix des lecteurs Le Livre de poche 2009

## Adaptation

Manu Larcenet adapte le roman en bande dessinée aux éditions Dargaud. Le premier tome, L’Autre, paraît le 10 avril 2015, suivi du second, L’Indicible, le 17 juin 2016.
Le roman a aussi été adapté en pièce de théâtre par Valérie Zipper, de la compagnie du chien jaune.
# Le Manie

Le Manie est une frazione de la commune de Finale Ligure en Italie.

## Cyclisme

Le Manie est parfois lieu de passage pour la classique cycliste Milan-San Remo.
# Molly Luft

Molly Luft (de son vrai nom Edda Blanck-Kurtzer, née Blanck le 19 mars 1944 en Poméranie, morte le 24 novembre 2010 à Berlin) est une prostituée allemande. Connue pour sa forte corpulence et son maquillage criard, elle fut une figure de la culture trash de Berlin.

## Biographie

En 1967, elle se marie pour la première fois et a deux enfants. Elle commence à se prostituer en 1975. Un an plus tard, elle divorce et épouse un sergent de l'armée américaine en poste à Berlin.
Par son mari et sa complicité qu'elle avouera, Christine, sa fille de son premier mariage, subit des abus sexuels. Après que sa fille dénonce, elle est condamnée à une peine de prison avec sursis en 1983 et se sépare. Dans les années 1990, elle est connue du grand public pour ses apparitions dans des talk-shows de télévisions privées ; elle obtient l'animation d'une émission sur Offener Kanal Berlin. En 1999, elle joue dans le clip Michi Beck in Hell de Die Fantastischen Vier. Elle fait la une des tabloïds pour son attitude extravagante.
Son lupanar à Schöneberg est réputé pour ses prix bas. En 2004, elle ferme son établissement où sont venus 90 000 clients, le vend et ouvre un bar à Kreuzberg.
Après un grave cancer du côlon et une perte de poids de 125 kilos, elle ferme ce bar puis, après le décès de son mari en 2009, ouvre un petit bordel à Tiergarten qui n'existe que quelques mois. Elle vient vivre dans une maison de retraite.
Le 24 novembre 2010, elle meurt des suites de son cancer.

## Source de la traduction

* (de) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en allemand intitulé « Molly Luft » (voir la liste des auteurs).
# Mont aux Potences

Le Mont aux Potences ou Mont des Potences (en néerlandais : Galgenberg) est le nom d'une colline et d'un ancien quartier du centre-ville de Bruxelles, qui tire son nom de l'ancien emplacement de la potence utilisée pour pendre les criminels condamnés.
La colline, au sein du pentagone, est bordé à l'est par la petite ceinture, au sud par les Marolles dans la partie basse de la ville et au nord par le Sablon dans la partie haute de la ville. C'est le mont aux Potences qui forme la frontière entre les deux quartiers.
André Vésale a grandi dans la maison parentale de la « Hellestraetken » au début du XVIe siècle et a régulièrement vu les criminels pendus après l'exécution lorsqu'il était enfant. Cette maison se trouvait sur le site de Athénée Robert Catteau comme le rappelle une plaque sur celui-ci. À son retour à Bruxelles en 1544, il s'installe dans un hôtel particulier de la même rue. La rue était située à proximité immédiate de l'actuelle rue des Minimes. Certaines sources suggèrent que Vésale est allé au Mont aux potences pour s'approvisionner en cadavres pour ses expériences anatomiques.
La majeure partie du quartier a été démolie au XIXe siècle lors de la construction du Palais de justice de Bruxelles à son sommet.