# Isomorphisme musical

En mathématiques, plus précisément en géométrie différentielle, l'isomorphisme musical (ou isomorphisme canonique ) est un isomorphisme entre le fibré tangent $\mathrm {T} M$ et le fibré cotangent $\mathrm {T} ^{*}M$ d'une variété pseudo-riemannienne induite par son tenseur métrique. Il existe des isomorphismes similaires sur les variétés symplectiques. Le terme musical fait référence à l'utilisation des symboles $\flat$ (bémol) et $\sharp$ (dièse)$^,$.
En notation covariante et contravariante, il est également connu sous le nom d'indice d'élévation et d'abaissement.

## Discussion

Soit (M, g) une variété pseudo-riemannienne. Supposons que {e$_i$} soit un repère tangent mobile (voir aussi repère lisse) pour le fibré tangent TM avec, comme repère dual (voir aussi base duale ), le co- repère mobile (un repère tangent mobile pour le fibré cotangent $\mathrm {T} ^{*}M$ . Voir aussi coframe ) {e$^i$}.
Ensuite, localement, nous pouvons exprimer la métrique pseudo-riemannienne (qui est un champ tensoriel 2 -covariant symétrique et non dégénéré) sous la forme g = g$_{ij}$e$^i$ ⊗ e$^j$ (où nous employons la convention de sommation d'Einstein).
Étant donné un champ vectoriel X = X$^i$e$_i$, nous définissons son bémol :
    $X^{\flat }:=g_{ij}X^{i}\,\mathbf {e} ^{j}=X_{j}\,\mathbf {e} ^{j}.$
C'est ce qu'on appelle « abaisser un indice ». En utilisant la notation traditionnelle entre crochets en losange pour le produit scalaire défini par g, nous obtenons la relation (un peu plus « transparente ») :
    $X^{\flat }(Y)=\langle X,Y\rangle$
pour tous les champs vectoriels X et Y .
De même, étant donné un champ de covecteurs ω = ω$_i$e$^i$, on définit son « dièse » :
    $\omega ^{\sharp }:=g^{ij}\omega _{i}\mathbf {e} _{j}=\omega ^{j}\mathbf {e} _{j},$
où g$^{ij}$ sont les composantes du tenseur métrique inverse (données par les entrées de la matrice inverse de g$_{ij}$ ). Prendre le dièse d'un champ de covecteurs s'appelle " élever un indice ". Dans la notation du produit interne, cela se lit
    ${\bigl \langle }\omega ^{\sharp },Y{\bigr \rangle }=\omega (Y),$
pour tout champ de covecteurs ω et tout champ de vecteurs Y.
Par cette construction, on a deux isomorphismes mutuellement inverses
    $\flat :{\rm {T}}M\to {\rm {T}}^{*}M,\qquad \sharp :{\rm {T}}^{*}M\to {\rm {T}}M.$
Ce sont des isomorphismes de fibrés vectoriels et, par conséquent, nous avons, pour chaque p dans M, des isomorphismes d'espace vectoriel mutuellement inverses entre T$_p$M et T$^∗$ $_p$M.

### Extension aux produits tenseurs

Les isomorphismes musicaux peuvent également être étendus aux faisceaux
    $\bigotimes ^{k}{\rm {T}}M,\qquad \bigotimes ^{k}{\rm {T}}^{*}M.$
L'indice qui doit être augmenté ou abaissé doit être indiqué. Par exemple, considérons le (0,2)-champ tenseur X = X$_{ij}$e$^i$ ⊗ e$^j$. En élevant le deuxième indice, nous obtenons le (1, 1) -champ tenseur.
    $X^{\sharp }=g^{jk}X_{ij}\,{\rm {e}}^{i}\otimes {\rm {e}}_{k}.$

### Extension aux vecteurs-k et formes-k

Dans le contexte de l'algèbre extérieure, une extension des opérateurs musicaux peut être définie sur ⋀V et son dual ⋀$^*$ V, qui avec un abus mineur de notation, peut être noté identique, et sont à nouveau des inverses mutuels :
    $\flat :{\bigwedge }V\to {\bigwedge }^{*}V,\qquad \sharp :{\bigwedge }^{*}V\to {\bigwedge }V,$
Défini par
    $(X\wedge \ldots \wedge Z)^{\flat }=X^{\flat }\wedge \ldots \wedge Z^{\flat },\qquad (\alpha \wedge \ldots \wedge \gamma )^{\sharp }=\alpha ^{\sharp }\wedge \ldots \wedge \gamma ^{\sharp }.$
Dans cette extension, dans laquelle un bémol fait correspondre les p-vecteurs aux p-covecteurs et un dièse fait correspondre les p-covecteurs aux p-vecteurs, tous les indices d'un tenseur totalement antisymétrique sont simultanément élevés ou abaissés, donc aucun indice n'a besoin d'être indiqué :
    $Y^{\sharp }=(Y_{i\dots k}\mathbf {e} ^{i}\otimes \dots \otimes \mathbf {e} ^{k})^{\sharp }=g^{ir}\dots g^{kt}\,Y_{i\dots k}\,\mathbf {e} _{r}\otimes \dots \otimes \mathbf {e} _{t}.$

## Trace d'un tenseur à travers un tenseur métrique

Étant donné un champ tensoriel de type (0, 2) X = X$_{ij}$e$^i$ ⊗ e$^j$, on définit la trace de X à travers le tenseur métrique g par
    $\operatorname {tr} _{g}(X):=\operatorname {tr} (X^{\sharp })=\operatorname {tr} (g^{jk}X_{ij}\,{\bf {e}}^{i}\otimes {\bf {e}}_{k})=g^{ji}X_{ij}=g^{ij}X_{ij}.$
Remarquons que la définition de trace est indépendante du choix de l'indice à relever, puisque le tenseur métrique est symétrique.