# Entropie différentielle

L'entropie différentielle est un concept de la théorie de l'information qui étend le concept de l'entropie de Shannon aux lois de probabilités continues.

## Définitions

Pour une variable aléatoire X avec une distribution de probabilité f et définie sur un ensemble $\mathbb {X}$, on définit l'entropie différentielle h(x) par :
    $h(X)=-\int _{\mathbb {X} }f(x)\ln f(x)\,\mathrm {d} x.$
Pour un couple de variables aléatoires (X , Y) de loi jointe f(x,y), alors l'entropie différentielle conditionnelle de X sachant Y vaut :
    $h(X|Y)=-\int _{\mathbb {X} }\int _{\mathbb {Y} }f(x,y)\ln f(x|y)\,\mathrm {d} x\mathrm {d} y.$

## Propriétés

* On a :
    $\forall (a,c)\in \mathbb {R} ^{*}\times \mathbb {R} ,h(aX+c)=h(X)+\ln(|a|)$
* L'entropie différentielle d'une loi continue peut être négative, contrairement à celle d'une loi discrète.
* Majoration : Soit X une variable aléatoire continue de variance Var(X). Alors on a
    $h(X)\leqslant {\frac {1}{2}}\ln(2\pi \mathrm {e} \mathrm {Var} (X)),$
avec égalité si et seulement si X suit une loi normale.

## Entropie différentielle pour plusieurs distributions

Dans le tableau qui suit, Γ(x)=∫$_0$$^∞$e$^{−t}$t$^{x−1}$dt{\textstyle \Gamma (x)=\int _{0}^{\infty }{\rm {e}}^{-t}t^{x-1}{\rm {d}}t} est la fonction gamma, ψ(x)=d/dx ln⁡Γ(x)=Γ$^′$(x)/Γ(x) {\textstyle \psi (x)={\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}x}}\ln \Gamma (x)={\frac {\Gamma '(x)}{\Gamma (x)}}} est la fonction digamma, B(p, q)=Γ(p)Γ(q)/(Γ(p+q)) {\textstyle \mathrm {B} (p, q)={\frac {\Gamma (p)\Gamma (q)}{\Gamma (p+q)}}} est la fonction bêta, et γ est la constante d'Euler-Mascheroni.
Table d'entropies différentielles de lois usuelles. :
| Distribution | Fonction de distribution de probabilités | Entropie |
| Loi uniforme continue | $f(x)={\frac {1}{b-a}}1\!\!1_{[a,b]}$ | $\ln(b-a)\,$ |
| Loi normale | $f(x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi \sigma ^{2}}}}\exp \left(-{\frac {(x-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right)$ | $\ln \left(\sigma {\sqrt {2\pi \,{\rm {e}}}}\right)$ |
| Loi exponentielle | $f(x)=\lambda \exp \left(-\lambda x\right)$ | $1-\ln \lambda \,$ |
| Loi de Cauchy | $f(x)={\frac {\lambda }{\pi }}{\frac {1}{\lambda ^{2}+x^{2}}}$ | $\ln(4\pi \lambda )\,$ |
| Loi du χ² | $f(x)={\frac {1}{2^{n/2}\sigma ^{n}\Gamma (n/2)}}x^{{\frac {n}{2}}-1}\exp \left(-{\frac {x}{2\sigma ^{2}}}\right)$ | $\ln 2\sigma ^{2}\Gamma \left({\frac {n}{2}}\right)-\left(1-{\frac {n}{2}}\right)\psi \left({\frac {n}{2}}\right)+{\frac {n}{2}}$ |
| Distribution Gamma | $f(x)={\frac {x^{\alpha -1}\exp(-{\frac {x}{\beta }})}{\beta ^{\alpha }\Gamma (\alpha )}}$ | $\ln(\beta \Gamma (\alpha ))+(1-\alpha )\psi (\alpha )+\alpha \,$ |
| Loi logistique | $f(x)={\frac {{\rm {e}}^{-x}}{(1+{\rm {e}}^{-x})^{2}}}$ | $2\,$ |
| Statistique de Maxwell-Boltzmann | $f(x)=4\pi ^{-{\frac {1}{2}}}\beta ^{\frac {3}{2}}x^{2}\exp(-\beta x^{2})$ | ${\frac {1}{2}}\ln {\frac {\pi }{\beta }}+\gamma -{\frac {1}{2}}$ |
| Distribution de Pareto | $f(x)={\frac {ak^{a}}{x^{a+1}}}$ | $\ln {\frac {k}{a}}+1+{\frac {1}{a}}$ |
| Loi de Student | $f(x)={\frac {(1+x^{2}/n)^{-{\frac {n+1}{2}}}}{{\sqrt {n}}\mathrm {B} ({\frac {1}{2}},{\frac {n}{2}})}}$ | ${\frac {n+1}{2}}\psi \left({\frac {n+1}{2}}\right)-\psi \left({\frac {n}{2}}\right)+\ln {\sqrt {n}}\,\mathrm {B} \left({\frac {1}{2}},{\frac {n}{2}}\right)$ |
| Distribution de Weibull | $f(x)={\frac {c}{\alpha }}x^{c-1}\exp \left(-{\frac {x^{c}}{\alpha }}\right)$ | ${\frac {(c-1)\gamma }{c}}+\ln {\frac {\alpha ^{1/c}}{c}}+1$ |
| Loi normale multidimensionnelle | $f_{X}(x_{1},\dots ,x_{N})=$ ${\frac {1}{(2\pi )^{N/2}\left|\Sigma \right|^{1/2}}}\exp \left(-{\frac {1}{2}}(x-\mu )^{\top }\Sigma ^{-1}(x-\mu )\right)$ | ${\frac {1}{2}}\ln \left[(2\pi {\rm {e}})^{N}|\Sigma |\right]$ |