# Nombre carré centré

Un nombre carré centré C est un nombre figuré centré qui peut être représenté par C points dans un carré avec un point placé au centre et les autres points disposés en couches carrées concentriques de 4 points, 8 points, 12 points, etc. Ainsi, le n-ième carré centré comporte n points sur chaque rayon et sur chaque côté:
    C$_{4,1}$ = 1       C$_{4,2}$ = 1 + 4 = 5       C$_{4,3}$ = 5 + 8 = 13       C$_{4,4}$ = 13 + 12 = 25
Pour tout entier n ≥ 2, le n-ième nombre carré centré est aussi la somme du n-ième et du (n – 1)-ième nombres carrés.

## Relation de récurrence et premières formules explicites

Pour tout entier n ≥ 1, le n-ième carré centré a un point central et n – 1 couches carrées. Pour tout entier n ≥ 2, la dernière couche du n-ième carré centré comporte 4(n – 1) points ; c'est le gnomon faisant passer du (n – 1)-ième carré centré au n-ième :
    $\forall \ n\geqslant 2,\ C_{4,n}=C_{4,n-1}+4(n-1).$
Pour tout entier n ≥ 1, le n-ième nombre carré centré égale donc 1 plus 4 fois la somme des entiers de 0 à n – 1 :
    $\forall \ n\geqslant 1,\ C_{4,n}=1+4\sum _{i=0}^{n-1}i=1+2n(n-1)=2n^{2}-2n+1.\qquad \qquad$(S), (D)

## Exemple

Le quatrième nombre carré centré est :
    ${\begin{aligned}C_{4,4}&={\color {red}1}+{\color {Yellow}4}+{\color {Green}8}+{\color {blue}12}\\&={\color {red}1}+4\left({\color {Yellow}1}+{\color {Green}2}+{\color {blue}3}\right)\\&={\color {red}1}+4\!\times \!6\\&=25.\end{aligned}}$

## Liste de nombres carrés centrés

Les dix plus petits nombres carrés centrés sont :
    1, 5, 13, 25, 41, 61, 85, 113, 145, 181 (voir la suite A001844 de l'OEIS).

## Relations avec les nombres triangulaires

* D'après son expression (S) ou (D) plus haut, le n-ième nombre carré centré est égal à 1 plus 4 fois le (n – 1)-ième nombre triangulaire T$_{n–1}$ = n(n – 1)/2 (en comptant 0 comme le 0-ième nombre triangulaire) :
       $\forall \ n\geqslant 1,\ C_{4,n}=1+4T_{n-1}.\qquad \qquad$(T)
    Cette égalité peut se représenter par :
* De l'expression (D) plus haut ou (T) ci-dessus, on tire :
       $\forall \ n\geqslant 2,\ C_{4,n}=T_{n-2}+2T_{n-1}+T_{n}\ ;$
    pour tout entier n ≥ 2, le n-ième nombre carré centré est la somme pondérée des trois nombres triangulaires consécutifs T$_{n–2}$, T$_{n–1}$, T$_n$, affectés des coefficients 1, 2, 1.
    Le cas C$_{4,2}$ = T$_0$ + 2T$_1$ + T$_2$ = 0 + 2×1 + 3 = 5 est trivial ; représentations suivantes :

## Relations avec les nombres carrés

* De l'expression (D) plus haut, on tire :
       $\forall \ n\geqslant 1,\ C_{4,n}=n^{2}+(n-1)^{2}\ ;$
    pour tout entier n ≥ 1, le n-ième nombre carré centré est la somme du n-ième et du (n – 1)-ième carrés parfaits (en comptant 0 comme le 0-ième carré parfait).
    Exemple d'illustration :$C_{4,3}={\color {Green}3^{2}}+{\color {YellowOrange}2^{2}}=13$
* Si n est impair, on peut donc écrire :
       $C_{4,n}=n^{2}+4\left({\frac {n-1}{2}}\right)^{2}=n^{2}+4{\big1+3+\cdots +(n-2){\big )}.$
    Exemple d'illustration :$C_{4,5}={\color {red}5^{2}}+4\!\times \!{\color {blue}2^{2}}={\color {red}5^{2}}+4({\color {blue}1+3})=41$
* De même, si n est pair :
       $C_{4,n}=(n-1)^{2}+4\left({\frac {n}{2}}\right)^{2}=(n-1)^{2}+4{\big1+3+\cdots +(n-1){\big )}.$
    Exemple :
       $C_{4,6}={\color {red}5^{2}}+4\!\times \!{\color {blue}3^{2}}={\color {red}5^{2}}+4({\color {blue}1+3+5})=61.$
* De l'expression (D) plus haut, on tire aussi :
       $\forall \ n\geqslant 1,\ C_{4,n}={{(2n-1)^{2}+1} \over 2}$ (trinôme du second degré sous forme canonique).
    Donc un entier C est carré centré si et seulement si 2C – 1 est un carré parfait impair.
    La dernière égalité est représentée ci-dessous pour n = 1, 2, 3, et 4 ; la n-ième figure est formée en considérant un carré de 2n – 1 points par 2n – 1 points, et en sélectionnant la moitié des points : à partir du coin supérieur gauche, jusqu'au point central inclus.
       ${\color {LimeGreen}1^{2}}+{\color {YellowOrange}0^{2}}={\tfrac {1^{2}+1}{2}}=1$ ${\color {LimeGreen}2^{2}}+{\color {YellowOrange}1^{2}}={\tfrac {3^{2}+1}{2}}=5$ ${\color {LimeGreen}3^{2}}+{\color {YellowOrange}2^{2}}={\tfrac {5^{2}+1}{2}}=13$ ${\color {LimeGreen}4^{2}}+{\color {YellowOrange}3^{2}}={\tfrac {7^{2}+1}{2}}=25$

## Propriétés de congruence

* Tous les nombres carrés centrés sont impairs ; et en base 10, le chiffre des unités du n-ième nombre carré centré suit le motif 1-5-3-5-1.
* Tous les nombres carrés centrés et leurs diviseurs sont congrus à 1 modulo 4. (En effet : pour tout facteur premier p de 2n$^2$ – 2n + 1, p est impair, et modulo p, puisque (n – 1)$^2$ est congru à –n$^2$, –1 est un résidu quadratique ; donc modulo 4, p est congru à 1.) Ils se terminent donc par le chiffre 1 ou 5 en bases 6, 8, et 12.

## Égalités entre nombres carrés centrés et d'autres nombres figurés
### Avec les nombres triangulaires

1 est le seul nombre à la fois carré centré et triangulaire. En effet, pour tout entier n ≥ 2,
       $T_{2(n-1)}<\ C_{4,n}<\ T_{2(n-1)+1}.$

### Avec les nombres carrés

La recherche des solutions de l'équation diophantienne ${\color {lightgray}C_{4,n}=}\ (n-1)^{2}+n^{2}=m^{2}$ revient à la recherche des triplets pythagoriciens $(n-1,n,m),$ c.-à-d. ceux dont les deux plus petits termes sont consécutifs.
Les cinq plus petits nombres à la fois carrés centrés et carrés parfaits sont alors :
    C$_{4,1}$ = 0$^2$ + 1$^2$ = 1 = 1$^2$ ; C$_{4,4}$ = 3$^2$ + 4$^2$ = 25 = 5$^2$ ; C$_{4,21}$ = 20$^2$ + 21$^2$ = 841 = 29$^2$ ;
    C$_{4,120}$ = 119$^2$ + 120$^2$ = 28 561 = 169$^2$ ; C$_{4,697}$ = 696$^2$ + 697$^2$ = 970 225 = 985$^2$.
Pour les suivants, voir$^,$$^,$$^,$ :
    C$_{4,A046090}$ =  A001652$^2$ +  A046090$^2$ =  A008844 =  A001653$^2$.
(Pour la suite des nombres carrés, voir  A000290.)
On obtient la solution générale en mettant l'équation (n − 1)$^2$ + n$^2$ = m$^2$ sous la forme :
    (2n – 1)$^2$ – 2m$^2$ = –1,
et en utilisant les solutions de l'équation de Pell-Fermat :
    $x^{2}-2y^{2}=-1.$

## Nombres carrés centrés premiers

Les dix plus petits nombres à la fois carrés centrés et premiers sont :
    C$_{4,2}$ = 5 = p$_3$ ; C$_{4,3}$ = 13 = p$_6$ ; C$_{4,5}$ = 41 = p$_{13}$ ; C$_{4,6}$ = 61 = p$_{18}$ ; C$_{4,8}$ = 113 = p$_{30}$ ;
    C$_{4,10}$ = 181 = p$_{42}$ ; C$_{4,13}$ = 313 = p$_{65}$ ; C$_{4,15}$ = 421 = p$_{82}$ ; C$_{4,18}$ = 613 = p$_{112}$ ; C$_{4,20}$ = 761 = p$_{135}$.
Pour les suivants, voir$^,$$^,$ :
    C$_{4,A027861+1}$ =  A027862 = p$_{A091277}$.
(Pour la suite des nombres premiers, voir  A000040.)