# Extension des morphismes et des places dans les anneaux intègres et les corps

En mathématiques, et plus précisément en algèbre commutative, une question fondamentale concerne la possibilité d'étendre les morphismes d'anneaux. Plus précisément, si A et B sont deux anneaux intègres, et si A' est un anneau contenant A, le problème se pose d'étendre un morphisme φ de A dans B en un morphisme de A' dans une extension B' de B, ou tout au moins en une place de A' dans B' ∪ { ∞ }. Un certain nombre de théorèmes fournissent une réponse complète à cette question.

## Extension des morphismes dans les extensions transcendantes

Considérons un anneau intègre A, et K son corps des fractions. Si S est un ensemble algébriquement libre sur K, A[S] s'identifie à l'anneau des polynômes à plusieurs variables, indexées par les éléments de S.
Pour un tel polynôme P et un morphisme φ de A dans un corps F, on définit P$^φ$ comme étant le polynôme de F[S] obtenu en appliquant φ aux coefficients de P. L'assertion suivante est un cas particulier de la propriété universelle des anneaux de polynômes :
   L'application qui, à un élément P de A[S], fait correspondre l'élément P$^φ$ dans F[S], étend le morphisme φ à l'anneau A[S]. Elle est de plus injective ou bijective, selon que φ est injectif ou bijectif.
Évidemment, cette extension n'est pas la seule : on peut la composer à droite avec un automorphisme de A[S] pour produire une autre extension ; par exemple, si σ est une permutation des éléments de S et si ψ est l'application qui, à un polynôme P(X$_s$, X$_{s'}$, ...) associe le polynôme P(X$_{σ(s)}$, X$_{σ(s')}$, ... ), alors ψ est un automorphisme de A[S], et φψ est une extension de φ.

## Extension des morphismes d'anneaux intégralement clos

Supposons que A est un anneau intégralement clos, et que A' est un anneau entier sur A. On se donne à nouveau un morphisme φ de A dans un anneau intègre B.
   Théorème :
   * Le morphisme φ possède une extension ͠φ en un morphisme de A' à valeurs dans un anneau d'entiers B' sur B. De plus, B' peut être supposé inclus dans une clôture algébrique donnée Ω du corps des fractions de B.
   * Si φ est injectif, toutes ses extensions à A' sont injectives.
   Corollaire : Soit A un anneau intègre, K son corps des fractions, et L une extension algébrique de K. Si φ est un morphisme injectif de A dans un corps K', alors φ s'étend un morphisme injectif du corps L dans une extension algébrique de K'.
1. Si A' est de type fini sur A, on peut démontrer ce résultat par induction. Mais comme cela n'est pas supposé, on doit utiliser un argument de type transfini, comme la récurrence transfinie ou le lemme de Zorn.
Ordonnons l'ensemble E des couples (M, ͠φ), où M est un sous-anneau de A' contenant A, et ͠φ est une extension de φ à M dans une extension entière de B incluse dans Ω, par l'ordre partiel suivant :
Toute partie S de E totalement ordonnée admet un majorant dans E, qui n'est autre que l'anneau égal à l'union des corps composant les éléments de S, combiné à l'unique morphisme qui coïncide avec chacun des morphismes composant les éléments de S. En conséquence, le lemme de Zorn implique que E contient un élément maximal. Notons le (M, ͠φ), et notons M' l'image de M par ͠φ (M' est une extension entière de B incluse dans Ω par construction). Il s'agit de montrer que M est égal à A'.
Si tel n'était pas le cas, il existerait un élément entier x dans A' n'appartenant pas à M. Soit P le polynôme minimal (unitaire) de x sur le corps des fractions K de A. On va d'abord montrer que les coefficients de P appartiennent a A. Puisque x est entier sur A, il existe un polynôme unitaire Q ∈ A[X] qui annihile x, et qui est donc divisible par P dans K. Désignons par x, x', x"... les racines de P ; ainsi
Puisque ces racines sont aussi racines de Q, elles sont toutes entières sur A. Par conséquent, les coefficients de P, égaux, au signe près, aux fonctions symétriques élémentaires de x, x', x"... , sont aussi entiers sur A (voyez l'article Élément entier ou Théorème fondamental des fonctions symétriques, Exemple 1).
Mais ils appartiennent à K, et A est intégralement clos, donc ils appartiennent en fait à A, ce qui démontre l'assertion proposée.
Maintenant, soit P$^φ$ l'image de P par φ, obtenue en appliquant φ aux coefficients de P. En vertu du théorème d'extension des morphismes dans les extensions transcendantes (voir supra), on voit qu'un polynôme Q divise P si et seulement si Q$^φ$ divise P$^φ$. Soit y ∈ Ω une racine de P$^φ$ dans une extension algébrique du corps des fractions de M'. Puisque P$^φ$ est, comme P, unitaire, y est entier sur M'. On peut étendre ͠φ en un morphisme de M(x) dans M' (y), en définissant ͠φ(T(x)) = T$^φ$(y), pour tout polynôme T à coefficients dans M. Cette extension est bien définie car si T(x) = T' (x), alors P divise T - T', donc P$^φ$ divise T$^φ$ - T'$^φ$, et cela implique T$^φ$(y) = T' $^φ$ (y). Le fait que cette extension de ͠φ à M(x) est bien un morphisme suit directement du fait que ͠φ s'étend en un morphisme de M(X) dans M' (X), par simple substitution.
L'existence de cette extension de ͠φ à un anneau M(x) d'entiers sur A, dans M' (y), lui aussi composé d'entiers sur B, contredit la maximalité de (M, ͠φ). Par conséquent M = L.
2. Supposons que φ est injectif et que ͠φ est une extension de φ à A', à valeurs dans une extension entière de B. Si x ∈ A' et x ≠ 0, notons P le polynôme minimal de x sur le corps des fractions de A. On a vu que les coefficients de P appartiennent à A. Puisque P est irréductible et P(x) = 0, P$^{͠φ}$ est irréductible et P$^{͠φ}$(͠φ(x)) = 0. Donc le polynôme minimal de ͠φ(x) est P$^{͠φ}$ = P$^φ$, et il s'ensuit que ͠φ(x) ≠ 0 (sans quoi le coefficient constant de P serait égal à 0). Donc ͠φ est injectif.
Démonstration du corollaire :
D'abord, on peut vérifier mentalement que φ s'étend en un morphisme injectif de K dans K' par la formule
D'autre part, puisque L est un corps, L est trivialement un anneau d'entiers sur K. D'après le théorème précédent, on en conclut que φ admet une extension injective à L, à valeurs dans une extension algébrique de K'.

## Extension par localisation

Un instrument important pour l'étude des extensions de morphismes est la localisation d'un anneau en un idéal premier.
Si A est un anneau intègre et 𝔭 est un idéal premier de A, alors la localisation de A en 𝔭, notée A$_𝔭$, est le sous anneau formé par les éléments a/b du corps des fractions de A, où a et b appartiennent à A et b n'appartient pas à 𝔭. On démontre aisément que A$_𝔭$ est un anneau local, c'est-à-dire qu'il possède un unique idéal maximal : c'est l'idéal formé par les fractions du type a/b, où a appartient à 𝔭.
On a le théorème d'extension suivant.
   Soit A un anneau intègre, et φ un morphisme de A à valeurs dans un anneau intègre B. On note 𝔭 = φ$^{-1}$(0). Alors 𝔭 est un idéal premier de A, et φ s'étend en un morphisme de A$_𝔭$ à valeurs dans B.
Le fait que 𝔭 soit un idéal premier de A peut se vérifier mentalement. On définit l'extension ͠φ de φ à A$_𝔭$ par φ(a/b) = φ(a)/φ(b) ce qui est licite puisque b n'appartient pas à 𝔭. ͠φ est bien définie car a/b = c/d si et seulement si ad = bc, d'où φ(a) φ(d) = φ(b) φ(c). En utilisant les lois d'addition et de produit des fractions, on vérifie que ͠φ est bien un morphisme d'anneaux.

## Extension disjonctive

   Soit A un anneau intègre, et K son corps des fractions. On suppose que φ est un morphisme de A dans un corps F. Que x soit un élément algébrique ou transcendant sur K, φ s'étend toujours en un morphisme de A[x] ou de A[1/x], à valeurs dans une extension algébrique de F.
Si x est transcendant sur K, alors φ s'étend de façon immédiate à A[x], en posant par exemple φ(x) = 0. On suppose donc que x est algébrique sur K.
En notant 𝔭 le noyau de φ, φ s'étend en un morphisme de A$_𝔭$ dans F (section Extension par localisation). On peut donc supposer sans perte de généralité que A est un anneau local, d'idéal maximal 𝔭, égal au noyau de φ. En particulier, l'anneau K = A/𝔭 est un corps, isomorphe à φ(A) par le premier théorème d'isomorphisme. Sous cet isomorphisme, l'application φ s'identifie au morphisme d'inclusion x $\mapsto$ x + 𝔭. L'idée de la démonstration consiste à trouver un idéal maximal m de A[x] ou A[1/x] contenant 𝔭, de sorte que l'application x $\mapsto$ x + m étende ledit morphisme d'inclusion (et donc l'application φ) au corps A[x]/m ou A[1/x]/m.
On va d'abord prouver que l'un au moins des deux idéaux A[x]𝔭 ou A[1/x]𝔭 est différent de A[x] ou A[1/x]. Si tel n'était le cas, il existerait des entiers positifs m et n, et des éléments a$_i$ et b$_j$ de 𝔭 tels que
On peut supposer que m et n sont minimaux, parmi tous les entiers qui satisfont cette propriété. Vu que φ(1-a$_0$) = φ(1) = 1, l'élément 1 - a$_0$ de A n'appartient pas à 𝔭, donc est une unité dans A (A est local en 𝔭). Concernant la première équation dans (*), faisons passer a$_0$ dans le membre de gauche, et divisons les deux membres par 1 - a$_0$ dans A. On obtient une relation de la forme
Le même argument appliqué à l'autre équation fournit une relation de la forme
Supposons par exemple que m ≥ n, l'autre cas se traitant de manière similaire. On peut multiplier cette dernière équation par c$_m$x$^m$ et obtenir une équation de la forme
En substituant dans la première équation de (*), on obtient alors une relation de la forme
en contradiction avec la minimalité de m. Ainsi, l'un au moins des deux idéaux A[x]𝔭 ou A[1/x]𝔭 est strictement contenu dans A[x] ou A[1/x] resp. En échangeant éventuellement x et 1/x, on peut supposer que A[x]𝔭 ⊊ A[x].
Le théorème de Krull assure que A[x]𝔭 est contenu dans un idéal maximal propre m de A[x]. En particulier, L = A[x]/m est un corps, et l'application x + 𝔭 $\mapsto$ x + m est un morphisme injectif de K = A/𝔭 dans L, qui identifie le corps K à un sous corps de L. On voit donc que l'application ͠φ : x $\mapsto$ x + m étend l'application x $\mapsto$ x + 𝔭, laquelle s'identifie à φ.
Enfin, L = K[ ͠φ(x)], puisque ͠φ(x) = x + m, donc K[ ͠φ(x)] est un corps. Il s'ensuit que ͠φ(x) est algébrique sur K, et donc sur F. Ainsi, ͠φ est a valeurs dans une extension algébrique de F.

## Extension des morphismes de corps

Considérons deux corps K$_1$ et K$_2$, et un morphisme φ de K$_1$ dans K$_2$. Dans ces conditions, le morphisme φ est nécessairement injectif, car si x ∈ K$_1$ est différent de 0, alors φ(x$\cdot$1/x) = φ(1) = 1, donc φ(x) ≠ 0.
Si, à la place de considérer un morphisme de K$_1$ dans K$_2$, on considérait un morphisme de K$_1$ dans un anneau intègre B, alors en remarquant que l'image de φ(K$_1$) dans B est à un corps, le théorème suivant ne s'en trouverait pas altéré.
   Théorème : Soit K un corps, et L une extension algébrique de K.
   * Tout morphisme φ de K dans un corps K' s'étend en un morphisme de L dans une extension algébrique donnée de K' ;
   * Si la dimension de L sur K est finie, alors le nombre de telles extensions est au plus égal à [L : K] ; il est exactement égal à [L : K] si et seulement si L/K est séparable.
1. Vu qu'un corps commutatif est aussi un anneau intègre intégralement clos, la démonstration de cette assertion a déjà été faite dans la section Extension des morphisme d'anneaux intégralement clos. En fait, cette démonstration se simplifie même un peu, car le fait que les coefficients de P appartiennent à K est ici acquis d'emblée.
2. Cette assertion est démontrée dans l'article Extension séparable.

## Extension des morphismes et des places par les places
### Places
#### Définitions et remarques

Si K est un corps, une place de K est une application φ de K dans K' ∪ { ∞ }, où K' est un corps, vérifiant les propriétés suivantes :
* φ(x + y) = φ(x) + φ(y) ;
* φ(x y) = φ(x) φ(y) , pour tout (x,y) différent de (0,∞) ou (∞,0) ;
* Il existe a et b dans K tels que φ(a) ≠ ∞ et φ(b) = ∞.
Le symbole ∞ est astreint à vérifier :
* ∞ + x = x + ∞ = ∞ ;
* ∞ $\cdot$ x = x $\cdot$ ∞ = ∞ $\cdot$ ∞ = ∞ pour tout x dans K$^*$ ;
* ∞ + ∞, ∞ $\cdot$ 0 et 0 $\cdot$ ∞ ne sont pas définis.
Dit un peu plus naïvement, une place est un "morphisme" qui est autorisé à (et doit) prendre des valeurs infinies. Les places s'imposent d'elles-mêmes dans le cadre des extensions transcendantes d'un corps K. Supposons par exemple que X soit un élément transcendant sur K. Si a est un élément de K, la substitution X ↦ a définit un morphisme d'anneaux entre K[X] et K. Malheureusement, on ne peut définir un tel morphisme de substitution dans le corps K(X) des fractions rationnelles sur K, car un tel morphisme ne serait pas défini pour une fraction dont le dénominateur serait un multiple du polynôme minimal de a sur K. Par contre, la substitution de a à la place de X définit bien une place de K(X) dans K. Les places apparaissent donc comme un substitut des morphismes, là où une telle définition est impossible. Cet instrument, équivalent aux valuations dans les corps, s'avère particulièrement utile et puissant dans le cadre de l'arithmétique des corps, un domaine défini relativement récemment, sous l'impulsion de Michael Fried et Moshe Jarden.

#### Conséquence des axiomes

Si φ est une place d'un corps K, alors
* φ(0) = 0 ;
* φ(1) = 1 ;
* φ(x) = 0 si et seulement si φ(1/x) = ∞ ;
* l'ensemble 𝒪$_φ$ des éléments tels que φ(x) ≠ ∞, dits éléments finis en φ, est un anneau de valuation. Son unique idéal maximal est l'ensemble 𝔭 des éléments x ∈ 𝒪$_φ$ tels que φ(x) = 0.
Les trois premières assertions sont triviales. L'ensemble 𝒪$_φ$ est évidemment un anneau, et si x ∈ 𝒪$_φ$, alors x ou 1/x sont finis (par la troisième conséquence). Donc 𝒪$_φ$ est bien un anneau de valuation. L'ensemble 𝔭 tel qu'il est défini est évidemment un idéal de 𝒪$_φ$. S'il n'était maximal, il existerait x dans un idéal propre 𝔭' de 𝒪$_φ$ contenant 𝔭, tel que φ(x) ≠ 0. Mais alors 1/x appartiendrait à 𝒪$_φ$, donc aussi 1 = x $\cdot$ 1/x, et p' serait égal à 𝒪$_φ$ tout entier, une contradiction.
L'anneau 𝒪$_φ$ mentionné dans la quatrième conséquence est souvent dénommé anneau de valuation de φ. Il vérifie :
* l'image de 𝒪$_φ$ par φ est un anneau B ;
* la restriction de φ à 𝒪$_φ$ est un morphisme d'anneaux entre 𝒪$_φ$ et B ;
* l'anneau 𝒪$_φ$ est intégralement clos.
Les deux premières propriétés sont immédiates. Pour voir que 𝒪$_φ$ est intégralement clos, considérons un élément x dans K n'appartenant pas à 𝒪$_φ$, et supposons que x est racine d'un polynôme unitaire P à coefficient dans 𝒪$_φ$, disons X$^n$ + a$_{n-1}$ X$^{n-1}$ +... + a$_0$. Puisque φ(x) = ∞, φ(1/x) = 0. Mais en divisant P par X$^n$ on trouve que a$_0$ 1/x$^n$ +... + a$_{n-1}$1/x + 1 = 0. En appliquant φ aux deux membres de cette équation, on aboutit à la contradiction : φ(1) = 0. Donc x ne peut être racine d'un polynôme unitaire à coefficients dans 𝒪$_φ$.

### Extension par les places

Le théorème suivant est essentiel en arithmétique des corps.
   Théorème (Chevalley) : Soit A un anneau intègre, K son corps des fractions, et L une extension quelconque de K.
   * Tout homomorphisme non injectif de A dans un corps algébriquement clos Ω s'étend en une place de L dans Ω ∪ { ∞ } ;
   * Toute place de K dans Ω ∪ { ∞ } s'étend en une place de L dans Ω ∪ { ∞ }.
1. Ordonnons l'ensemble E des couples (B, ͠φ), où B est un sous-anneau de K contenant A, et ͠φ est une extension de φ à B dans Ω, par l'ordre partiel suivant :
Toute partie S de E totalement ordonnée admet un majorant dans E, qui n'est autre que l'anneau égal à l'union des anneaux composant les éléments de S, combiné à l'unique morphisme qui coïncide avec chacun des morphismes composant les éléments de S. En conséquence, le lemme de zorn implique que E contient un élément maximal. Notons le (B, ͠φ) (l'image de ͠φ est contenue dans Ω par construction). Par le théorème d'extension disjonctive, pour tout x appartenant à L, l'un au moins des deux éléments x ou 1/x appartient à B, sans quoi le couple (B, ͠φ) ne serait pas maximal. Par conséquent B est un anneau de valuation, dont le corps des fractions est L. Si l'idéal Ker( ͠φ) n'était maximal dans B, il serait contenu dans un idéal maximal I de B, et l'injection canonique x $\mapsto$ x + I de B dans B/I s'identifierait à une extension propre de ͠φ, encore une contradiction avec la maximalité du couple (B, ͠φ). Ainsi, Ker(͠φ) est l'unique idéal maximal de B, et on en tire facilement que si x est dans B et vérifie ͠φ(x) ≠ 0, alors 1/x l'est aussi et vérifie ͠φ(1/x) = 1/ ͠φ(x). Il ne reste donc qu'à définir ͠φ sur L - B, c'est-à-dire sur l'ensemble des éléments x de L tels que ͠φ(1/x) = 0. Pour un tel élément x, on pose ͠φ(x) = ∞. Notons qu'il existe au moins un tel x car le morphisme φ est supposé non injectif. On vérifie sans peine que l'application ͠φ, définie de cette manière, satisfait aux axiomes de définition des places.
2. La restriction de φ à son anneau de valuation 𝒪$_φ$, ensemble des éléments sur lesquels la place φ est finie, est évidemment un homomorphisme de 𝒪$_φ$ dans Ω. D'après le n$^o$ 1, il s'étend en une place ͠φ de L dans Ω. Mais pour tout x dans K, φ(x) ≠ ∞ implique évidemment ͠φ(x) ≠ ∞, et φ(x) = ∞ implique φ(1/x) = 0, d'où ͠φ(1/x) = 0, et donc ͠φ(x) = ∞. Ainsi ͠φ(x) = ∞ si et seulement si φ(x) = ∞. ͠φ étend donc la place φ tout entière et pas seulement sa restriction à O$_φ$ .