# Fonction zêta multiple

En mathématiques, les fonctions zêta multiples sont des généralisations de la fonction zêta de Riemann, définie par
    $\zeta (s_{1},\ldots ,s_{k})=\sum _{n_{1}>n_{2}>\cdots >n_{k}>0}\ {\frac {1}{n_{1}^{s_{1}}\cdots n_{k}^{s_{k}}}}=\sum _{n_{1}>n_{2}>\cdots >n_{k}>0}\ \prod _{i=1}^{k}{\frac {1}{n_{i}^{s_{i}}}},\!$
et converge lorsque Re(s$_1$) + . . . + Re(s$_i$) > i pour tout i–1 < k. Comme la fonction zêta de Riemann, les fonctions zêta multiples peuvent être prolongée analytiquement en des fonctions méromorphes (voir, par exemple, Zhao (1999)). Lorsque s$_1$..., s$_k$ sont des entiers positifs (avec s$_1$ > 1) ces sommes sont souvent appelées valeurs zêta multiples (VZM) ou sommes d'Euler.
Dans la définition ci-dessus, k est nommé la « profondeur » d'une VZM, et n = s$_1$ + ... + s$_k$ est le « poids ».

## Définition

Les fonctions zêta multiples apparaissent comme des cas particuliers des fonctions polylogarithmes multiples
Li$_{s1, …, sd}$(μ$_1$, …, μ$_d$)=∑$_{k1>⋯>kd>0}$ μ$_1$$^{k1}$⋯μ$_d$$^{kd}$/k$_1$$^{s1}$⋯k$_d$$^{sd}$ {\textstyle \mathrm {Li} _{s_{1}, \ldots , s_{d}}(\mu _{1}, \ldots , \mu _{d})=\sum \limits _{k_{1}>\cdots >k_{d}>0}{\frac {\mu _{1}^{k_{1}}\cdots \mu _{d}^{k_{d}}}{k_{1}^{s_{1}}\cdots k_{d}^{s_{d}}}}}
qui sont des généralisations des fonctions polylogarithmes. Quand les $\mu _{i}$ sont les n$^{ièmes}$ racines de l'unité et les $s_{i}$ sont tous des entiers positifs, les valeurs du polylogarithme multiple sont appelées valeurs zêta multiples colorées de niveau n.
$\zeta (s_{1},\ldots ,s_{d};\varepsilon _{1},\ldots ,\varepsilon _{d})=\sum \limits _{k_{1}>\cdots >k_{d}>0}{\frac {\varepsilon _{1}^{k_{1}}\cdots \varepsilon ^{k_{d}}}{k_{1}^{s_{1}}\cdots k_{d}^{s_{d}}}}$
Pour n=2, les sommes d'Euler s'écrivent
$\int _{0}^{x}f_{1}(t)\cdots f_{d}(t)\mathrm {d} t=\int _{0}^{x}f_{1}(t_{1})\left(\int _{0}^{t_{1}}f_{2}(t_{2})\left(\int _{0}^{t_{2}}\cdots \left(\int _{0}^{t_{d}}f_{d}(t_{d})\mathrm {d} t_{d}\right)\right)\mathrm {d} t_{2}\right)\mathrm {d} t_{1}$
où $\varepsilon _{i}=\pm 1$ . Parfois, il est indiqué une barre sur $s_{i}$ correspondant à un $\varepsilon _{i}$ égal à $-1$, donc par exemple $\zeta ({\overline {a}},b)=\zeta (a,b;-1,1)$ .

## Structure intégrale et identités

Il a été remarqué par Kontsevich qu'il est possible d'exprimer une valeur zêta multiple colorée comme certaines intégrales multivariables. Ce résultat est souvent énoncé avec l'utilisation d'une convention pour les intégrales itérées, laquelle est: $\int _{0}^{x}f_{1}(t)\cdots f_{d}(t)\mathrm {d} t=\int _{0}^{x}f_{1}(t_{1})\left(\int _{0}^{t_{1}}f_{2}(t_{2})\left(\int _{0}^{t_{2}}\cdots \left(\int _{0}^{t_{d}}f_{d}(t_{d})\mathrm {d} t_{d}\right)\right)\mathrm {d} t_{2}\right)\mathrm {d} t_{1}$
En utilisant cette convention, le résultat peut être énoncé comme suit :
   $\mathrm {Li} _{s_{1},\ldots ,s_{d}}(\mu _{1},\ldots ,\mu _{d})=\int _{0}^{1}\left({\frac {\mathrm {d} t}{t}}\right)^{s_{1}-1}{\frac {dt}{a_{1}-t}}\cdots \left({\frac {\mathrm {d} t}{t}}\right)^{s_{d}-1}{\frac {\mathrm {d} t}{a_{d}-t}}$
où $a_{j}=\prod \limits _{i=1}^{j}\mu _{i}^{-1}$ pour $j=1,2,\ldots ,d$ .
Ce résultat est très utile en raison d'un résultat bien connu concernant les produits d'intégrales itérées, à savoir que
(∫$_0$$^x$f$_1$(t)dt⋯f$_n$(t)dt)(∫$_0$$^x$f$_{n+1}$(t)dt⋯f$_m$(t)dt)=∑$_{σ∈Shn, m}$∫$_0$$^x$f$_{σ(1)}$(t)⋯f$_{σ(m)}$(t){\textstyle \left(\int _{0}^{x}f_{1}(t)dt\cdots f_{n}(t)\mathrm {d} t\right)\left(\int _{0}^{x}f_{n+1}(t)\mathrm {d} t\cdots f_{m}(t)\mathrm {d} t\right)=\sum \limits _{\sigma \in {\mathfrak {Sh}}_{n, m}}\int _{0}^{x}f_{\sigma (1)}(t)\cdots f_{\sigma (m)}(t)} où ${\mathfrak {Sh}}_{n,m}=\{\sigma \in S_{m}\mid \sigma (1)<\cdots <\sigma (n),\sigma (n+1)<\cdots <\sigma (m)\}$ et $S_{m}$ est le groupe de permutation sur $m$ symboles.
Pour l'utiliser dans le contexte de plusieurs valeurs zêta, soit $X=\{a,b\}$, $X^{*}$ le monoïde libre engendré par $X$ et ${\mathfrak {A}}$ le $\mathbb {Q}$-espace vectoriel libre engendré par $X^{*}$. ${\mathfrak {A}}$ peut être muni du produit de mélange, donnant une algèbre. Alors la fonction zêta multiple peut être considérée comme une fonction d'évaluation, où nous identifions $a={\frac {dt}{t}}$, $b={\frac {dt}{1-t}}$, par $\zeta (\mathbf {w} )=\int _{0}^{1}\mathbf {w}$ pour tout $\mathbf {w} \in X^{*}$,$\zeta (a^{s_{1}-1}b\cdots a^{s_{d}-1}b)=\zeta (s_{1},\ldots ,s_{d})$.
Alors, l'identité intégrale sur les produits donne
   $\zeta (w)\zeta (v)=\zeta (w{\text{ ⧢ }}v)$.

## Exemples
### Cas de deux paramètres

Dans le cas particulier de seulement deux paramètres on a (avec s >1 et n,m entier) :
    $\zeta (s,t)=\sum _{n>m\geq 1}\ {\frac {1}{n^{s}m^{t}}}=\sum _{n=2}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}}\sum _{m=1}^{n-1}{\frac {1}{m^{t}}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{(n+1)^{s}}}\sum _{m=1}^{n}{\frac {1}{m^{t}}}$
    $\zeta (s,t)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {H_{n,t}}{(n+1)^{s}}}$ où $H_{n,t}$ sont les nombres harmoniques généralisés.
Les fonctions zêta multiples sont connues pour satisfaire ce que l'on appelle la dualité VZM, dont le cas le plus simple est la fameuse identité d'Euler :
    $\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {H_{n}}{(n+1)^{2}}}=\zeta (2,1)=\zeta (3)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{3}}},\!$
où H$_n$ sont les nombres harmoniques.
Plus généralement, pour s > 0 pair, t > impair, et s+t=2N+1 (en prenant si nécessaire ζ (0) = 0):
    $\zeta (s,t)=\zeta (s)\zeta (t)+{\tfrac {1}{2}}\left[{\tbinom {s+t}{s}}-1\right]\zeta (s+t)-\sum _{r=1}^{N-1}\left[{\tbinom {2r}{s-1}}+{\tbinom {2r}{t-1}}\right]\zeta (2r+1)\zeta (s+t-1-2r)$
| s | t | valeur approximative | formules explicites | OEIS |
| 2 | 2 | 0,811742425283353643637002772406 | ${\tfrac {3}{4}}\zeta (4)$ | A197110 |
| 3 | 2 | 0,228810397603353759768746148942 | $3\zeta (2)\zeta (3)-{\tfrac {11}{2}}\zeta (5)$ | A258983 |
| 4 | 2 | 0,088483382454368714294327839086 | $\left(\zeta (3)\right)^{2}-{\tfrac {4}{3}}\zeta (6)$ | A258984 |
| 5 | 2 | 0,038575124342753255505925464373 | $5\zeta (2)\zeta (5)+2\zeta (3)\zeta (4)-11\zeta (7)$ | A258985 |
| 6 | 2 | 0,017819740416835988 | | A258947 |
| 2 | 3 | 0,711566197550572432096973806086 | ${\tfrac {9}{2}}\zeta (5)-2\zeta (2)\zeta (3)$ | A258986 |
| 3 | 3 | 0,213798868224592547099583574508 | ${\tfrac {1}{2}}\left(\left(\zeta (3)\right)^{2}-\zeta (6)\right)$ | A258987 |
| 4 | 3 | 0,085159822534833651406806018872 | $17\zeta (7)-10\zeta (2)\zeta (5)$ | A258988 |
| 5 | 3 | 0,037707672984847544011304782294 | $5\zeta (3)\zeta (5)-{\tfrac {147}{24}}\zeta (8)-{\tfrac {5}{2}}\zeta (6,2)$ | A258982 |
| 2 | 4 | 0,674523914033968140491560608257 | ${\tfrac {25}{12}}\zeta (6)-\left(\zeta (3)\right)^{2}$ | A258989 |
| 3 | 4 | 0,207505014615732095907807605495 | $10\zeta (2)\zeta (5)+\zeta (3)\zeta (4)-18\zeta (7)$ | A258990 |
| 4 | 4 | 0,083673113016495361614890436542 | ${\tfrac {1}{2}}\left(\left(\zeta (4)\right)^{2}-\zeta (8)\right)$ | A258991 |
Notez que si $s+t=2p+2$ ces VZM ne peuvent pas être écrites en fonction de $\zeta (a)$ seulement.

### Cas de trois paramètres

Dans le cas particulier de seulement trois paramètres on a (avec a>1 et n,j,i entier) :
    $\zeta (a,b,c)=\sum _{n>j>i\geq 1}\ {\frac {1}{n^{a}j^{b}i^{c}}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{(n+2)^{a}}}\sum _{j=1}^{n}{\frac {1}{(j+1)^{b}}}\sum _{i=1}^{j}{\frac {1}{(i)^{c}}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{(n+2)^{a}}}\sum _{j=1}^{n}{\frac {H_{i,c}}{(j+1)^{b}}}$

## Formule de réflexion d'Euler

Les VZM ci-dessus satisfont la formule de réflexion d'Euler :
    $\zeta (a,b)+\zeta (b,a)=\zeta (a)\zeta (b)-\zeta (a+b)$ pour $a,b>1$
En utilisant les relations de mélange, il est facile de prouver que :
    $\zeta (a,b,c)+\zeta (a,c,b)+\zeta (b,a,c)+\zeta (b,c,a)+\zeta (c,a,b)+\zeta (c,b,a)=\zeta (a)\zeta (b)\zeta (c)+2\zeta (a+b+c)-\zeta (a)\zeta (b+c)-\zeta (b)\zeta (a+c)-\zeta (c)\zeta (a+b)$ pour $a,b,c>1$

## Sommes symétriques en fonction de zêta

Soit $S(i_{1},i_{2},\cdots ,i_{k})=\sum _{n_{1}\geq n_{2}\geq \cdots n_{k}\geq 1}{\frac {1}{n_{1}^{i_{1}}n_{2}^{i_{2}}\cdots n_{k}^{i_{k}}}}$, et étant donné une partition $\Pi =\{P_{1},P_{2},\dots ,P_{l}\}$ de l'ensemble $\{1,2,\dots ,k\}$, posons $c(\Pi )=(\left|P_{1}\right|-1)!(\left|P_{2}\right|-1)!\cdots (\left|P_{l}\right|-1)!$. Enfin, étant donné un tel $\Pi$ et un k-uplet $i=\{i_{1},...,i_{k}\}$, on définit $\zeta (i,\Pi )=\prod _{s=1}^{l}\zeta (\sum _{j\in P_{s}}i_{j})$.
Les relations entre les $\zeta$ et $S$ sont données par: $S(i_{1},i_{2})=\zeta (i_{1},i_{2})+\zeta (i_{1}+i_{2})$et$S(i_{1},i_{2},i_{3})=\zeta (i_{1},i_{2},i_{3})+\zeta (i_{1}+i_{2},i_{3})+\zeta (i_{1},i_{2}+i_{3})+\zeta (i_{1}+i_{2}+i_{3})$
Théorème (Hoffman) — Pour tout réel $i_{1},\cdots ,i_{k}>1,$$\sum _{\sigma \in S_{k}}S(i_{\sigma (1)},\dots ,i_{\sigma (k)})=\sum _{{\text{partitions }}\Pi {\text{ de }}\{1,\dots ,k\}}c(\Pi )\zeta (i,\Pi )$.
Supposons, sans perte de généralités, que le $i_{j}$ soient tous distincts. Le membre de gauche peut s'écrire $\sum _{\sigma }\sum _{n_{1}\geq n_{2}\geq \cdots \geq n_{k}\geq 1}{\frac {1}{{n^{i_{1}}}_{\sigma (1)}{n^{i_{2}}}_{\sigma (2)}\cdots {n^{i_{k}}}_{\sigma (k)}}}$. Le groupe de symétrie agit sur le sur le k-uplet $n=(1,\cdots ,k)$ d'entiers positifs.
Soit $\Lambda$ l'ensemble des classes d'équivalence de la relation donnée par $i\sim j$ ssi $n_{i}=n_{j}$. Alors le stabilisateur de (n) est$\mathrm {Stab} _{(n)}=\{\sigma \in S_{k};\,\forall i,\,\sigma (i)\sim i\}$. Le terme ${\frac {1}{{n^{i_{1}}}_{\sigma (1)}{n^{i_{2}}}_{\sigma (2)}\cdots {n^{i_{k}}}_{\sigma (k)}}}$ apparait dans la somme $\sum _{\sigma \in S_{k}}S(i_{\sigma (1)},\dots ,i_{\sigma (k)})$ exactement $\left|\mathrm {Stab} _{(n)}\right|$ fois.
Dans le terme de droite, ce dernier apparait autant qu'il y a de partition $\Pi$ plus fine que $\Lambda$. Par conséquent, l'égalité du théorème suivra si pour tout k-tuple $n=\{n_{1},\cdots ,n_{k}\}$ et partition associée $\Lambda$ : $\left|\mathrm {Stab} _{(n)}\right|=\sum _{\Pi \succeq \Lambda }c(\Pi )$. Mais $c(\Pi )$ compte le nombre de permutations de type cyclique donné par $\Pi$, et tout élément de $\mathrm {Stab} _{(n)}$a un unique type cyclique donné par une partition plus fine que $\Lambda$.
Pour $k=3$, le théorème énonce :$\sum _{\sigma \in \sum _{3}}S(i_{\sigma (1)},i_{\sigma (2)},i_{\sigma (3)})=\zeta (i_{1})\zeta (i_{2})\zeta (i_{3})+\zeta (i_{1}+i_{2})\zeta (i_{3})+\zeta (i_{1})\zeta (i_{2}+i_{3})+\zeta (i_{1}+i_{3})\zeta (i_{2})+2\zeta (i_{1}+i_{2}+i_{3})$ pour $i_{1},i_{2},i_{3}>1$.
Pour énoncer l'analogue du théorème 1 pour $\zeta$, on définit la quantité suivante : pour $\Pi =\{P_{1},\cdots ,P_{l}\}$ ou $\{1,2\cdots ,k\}$, soit ${\tilde {c}}(\Pi )=(-1)^{k-l}c(\Pi )$.
Théorème (Hoffman) — Pour tout réel $i_{1},\cdots ,i_{k}>1$, $\sum _{\sigma \in S_{k}}\zeta (i_{\sigma (1)},\dots ,i_{\sigma (k)})=\sum _{{\text{partitions }}\Pi {\text{ de }}\{1,\dots ,k\}}{\tilde {c}}(\Pi )\zeta (i,\Pi )$.
Nous suivons le même raisonnement que dans la démonstration précédente. Le côté gauche est maintenant $\sum _{\sigma }\sum _{n_{1}>n_{2}>\cdots >n_{k}\geq 1}{\frac {1}{{n^{i_{1}}}_{\sigma (1)}{n^{i_{2}}}_{\sigma (2)}\cdots {n^{i_{k}}}_{\sigma (k)}}}$, et un terme ${\frac {1}{n_{1}^{i_{1}}n_{2}^{i_{2}}\cdots n_{k}^{i_{k}}}}$ apparait à gauche si et seulement si tous les $n_{i}$ sont distincts. Ainsi, il suffit de montrer $\sum _{\Pi \succeq \Lambda }{\tilde {c}}(\Pi )={\begin{cases}1,{\text{ si }}\left|\Lambda \right|=k\\0,{\text{ sinon}}.\end{cases}}$ (1)
Pour le prouver, remarquons d'abord que le signe de ${\tilde {c}}(\Pi )$ est positif si les permutations de type cyclique $\Pi$ sont paires, et négatif si elles sont impaires : ainsi, le membre de gauche de (1) est la somme signée du nombre de permutations paires et impaires dans le stabilisateur de (n). Mais un tel groupe a un nombre égal de permutations paires et impaires à moins qu'il ne soit trivial, c'est-à-dire à moins que la partition associée $\Lambda$ soit $\{\{1\},\{2\},\cdots ,\{k\}\}$.

## Les conjectures liées aux sommes d'Euler

Conjecture de la somme (Hoffman) — Pour tous entiers positifs k et n, $\sum _{i_{1}+\cdots +i_{k}=n,i_{1}>1}\zeta (i_{1},\cdots ,i_{k})=\zeta (n)$, où la somme est étendue sur des k-uplets $i_{1},\cdots ,i_{k}$ d'entiers positifs avec $i_{1}>1$.
Trois remarques concernant cette conjecture s'imposent.
* Premièrement, cela implique $\sum _{i_{1}+\cdots +i_{k}=n,i_{1}>1}S(i_{1},\cdots ,i_{k})={n-1 \choose k-1}\zeta (n)$.
* Deuxièmement, dans le cas $k=2$, cela s'écrit$\zeta (n-1,1)+\zeta (n-2,2)+\cdots +\zeta (2,n-2)=\zeta (n)$, ou encore $2S(n-1,1)=(n+1)\zeta (n)-\sum _{k=2}^{n-2}\zeta (k)\zeta (n-k).$
Cela a été prouvé par Euler et a été redécouvert plusieurs fois, notamment par Williams.
* Enfin, C. Moen a prouvé la conjecture dans le cas k=3 par des arguments longs mais élémentaires.
Pour la conjecture de la dualité, nous définissons d'abord une involution $\tau$ sur l'ensemble $\Im$ des suites finies d'entiers positifs dont le premier élément est supérieur à 1. Soit $\mathrm {T}$ l'ensemble des suites finies strictement croissantes d'entiers positifs, et soit $\Sigma :\Im \rightarrow \mathrm {T}$ la fonction qui envoie une suite de $\Im$ à la suite de ses sommes partielles.
On dira que les suites $(i_{1},\cdots ,i_{k})$ et $\tau (i_{1},\cdots ,i_{k})$ sont duales l'une de l'autre.
Conjecture de la somme (Hoffman) — Si $(h_{1},\cdots ,h_{n-k})$ est dual de $(i_{1},\cdots ,i_{k})$, alors $\zeta (h_{1},\cdots ,h_{n-k})=\zeta (i_{1},\cdots ,i_{k})$.
Cette conjecture peut être exprimée comme suit : la valeur zêta de Riemann d'un entier n ≥ 2 est égal à la somme de toutes les VZMs des partitions de profondeur k et de poids n, avec 1 ≤ k ≤n − 1. Dans la formule :
    $\sum _{\stackrel {s_{1}+\cdots +s_{k}=n}{s_{1}>1}}\zeta (s_{1},\ldots ,s_{k})=\zeta (n)$
Par exemple avec une profondeur k = 2 et un poids n = 7 :
    $\zeta (6,1)+\zeta (5,2)+\zeta (4,3)+\zeta (3,4)+\zeta (2,5)=\zeta (7)$

## Valeurs zêta de Mordell – Tornheim

La fonction zêta de Mordell–Tornheim, introduite par Matsumoto (2003) motivé par les articles Mordell (1958) et Tornheim (1950), est définie par
    $\zeta _{MT,r}(s_{1},\dots ,s_{r};s_{r+1})=\sum _{m_{1},\dots ,m_{r}>0}{\frac {1}{m_{1}^{s_{1}}\cdots m_{r}^{s_{r}}(m_{1}+\dots +m_{r})^{s_{r+1}}}}$
C'est un cas particulier de la fonction zeta de Shintani.