# Inégalité arithmético-géométrique

En mathématiques, l'inégalité arithmético-géométrique (IAG) établit un lien entre la moyenne arithmétique et la moyenne géométrique. C'est un résultat classique lié à la convexité.

## Énoncé

La moyenne géométrique de $n$ réels strictement positifs $x_{1},\,\dots ,\,x_{n}$ est inférieure à leur moyenne arithmétique :
${\sqrt[{n}]{x_{1}\dots x_{n}}}\leqslant {\frac {x_{1}+\dots +x_{n}}{n}}$
avec égalité (si et) seulement si $x_{1}=x_{2}=\dots =x_{n}$.

## Démonstrations

Les deux réels ${\frac {x_{1}+\dots +x_{n}}{n}}$ (moyenne arithmétique) et ${\sqrt[{n}]{x_{1}\dots x_{n}}}=(x_{1}\dots x_{n})^{1/n}$ (moyenne géométrique) étant strictement positifs, l'inégalité à démontrer équivaut (par croissance stricte du logarithme naturel) à
    $\ln \left((x_{1}\dots x_{n})^{1/n}\right)\leqslant \ln {\frac {x_{1}+\dots +x_{n}}{n}},$
ou encore (d'après l'équation fonctionnelle du logarithme) à
    ${\frac {\ln x_{1}+\cdots +\ln x_{n}}{n}}\leqslant \ln {\frac {x_{1}+\cdots +x_{n}}{n}}.$
Cette dernière inégalité n'est autre que l'inégalité de Jensen pour des isobarycentres, appliquée à la fonction logarithme, qui est concave.
Le cas d'égalité provient du fait que cette concavité est stricte.
L'inégalité arithmético-géométrique peut également être démontrée comme corollaire de l'inégalité de Muirhead, appliquée aux suites (1,0, … , 0) et (1/n, … , 1/n).
On peut également utiliser les multiplicateurs de Lagrange en étudiant les maximums de la fonction $(x_{1},\ldots ,x_{n})\mapsto x_{1}\,x_{2}\,\cdots \,x_{n}$ sur l'ensemble $\{(x_{1},\ldots ,x_{n})\in (\mathbb {R} _{+})^{n}:x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n}=1\}$.

### Preuve de Pólya

George Pólya prouve l'inégalité arithmético-géométrique en utilisant l'inégalité :
    $\forall x\in \mathbb {R} \quad \exp x\geqslant 1+x.$
On considère ensuite a$_1$, a$_2$, ..., a$_n$ des nombres réels strictement positifs. On pose ensuite :
    $A={\frac {1}{n}}\sum _{k=1}^{n}a_{k},\ G=\left(\prod _{k=1}^{n}a_{k}\right)^{\frac {1}{n}}.$
On utilise l'inégalité ci-dessus pour les nombres a$_k$/A, ce qui donne :
    ${\frac {a_{k}}{A}}\leqslant \exp \left({\frac {a_{k}}{A}}-1\right)$
dont le produit donne :
    ${\frac {\prod _{k=1}^{n}a_{k}}{A^{n}}}\leqslant \exp \left({\frac {1}{A}}\sum _{k=1}^{n}a_{k}-n\right)$
soit
    ${\frac {G^{n}}{A^{n}}}\leqslant \exp \left(n-n\right)=1,$
ce qui permet de conclure. On remarque alors qu'on atteint l'égalité s'il y a égalité dans chacune des inégalités précédentes, donc si les a$_i$ sont tous égaux (à A).

### Preuve d'Aizer

Horst Aizer donne cette preuve : soit f une fonction réelle continue telle qu'il existe x$_0$ vérifiant
    $\forall x>x_{0},\ f(x)>f(x_{0})\ \mathrm {et} \ \forall x<x_{0},\ f(x)<f(x_{0}).$
On a alors :
    $\int _{x_{0}}^{x}f(t)\,\mathrm {d} t\geqslant \int _{x_{0}}^{x}f(x_{0})\,\mathrm {d} t=(x-x_{0})f(x_{0}).$
On applique ce résultat à f(t) = –1/t :
    $\int _{x_{0}}^{x}{\frac {\mathrm {d} t}{t}}\leqslant {\frac {x-x_{0}}{x_{0}}}.$
On en déduit
    ${\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}\int _{x_{0}}^{a_{i}}{\frac {\mathrm {d} t}{t}}\leqslant {\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}{\frac {a_{i}-x_{0}}{x_{0}}}.$
soit
    $\ln {\frac {\prod _{i=1}^{n}a_{i}^{\frac {1}{n}}}{x_{0}}}\leqslant {\frac {1}{nx_{0}}}\sum _{i=1}^{n}a_{i}-1$
donc ln(G/x$_0$) ≤ $^A$⁄$_{x0}$ – 1. Considérer x$_0$ = A ou G permet de conclure.

### Preuve de Schlömilch

Oskar Schlömilch donne une preuve élémentaire. On considère l'identité :
    $(1-z)^{2}(1+2z+3z^{2}+...+nz^{n-1})=1-(n+1)z^{n}+nz^{n+1}.$
qu'on peut obtenir en dérivant l'expression 1 – z$^{n+1}$/1 – z de deux façons différentes. Le membre de gauche est positif pour z positif. On a donc, pour z positif :
    $1+nz^{n+1}\geqslant (n+1)z^{n}$
avec égalité en z = 1. La substitution $z^{n+1}=x/y$ donne
    $nx+y\geqslant (n+1)(x^{n}y)^{\frac {1}{n+1}}$
avec égalité si et seulement si x = y. On retrouve alors une inégalité arithmético-géométrique pondérée. On finit par récurrence sur n pour conclure.

### Preuve matricielle

Fergus Gaines donne une preuve reposant sur une inégalité de Schur qui stipule que, pour une matrice carrée M de valeurs propres λ$_1$, λ$_2$, ... , λ$_n$ :
    $\sum _{k=1}^{n}|\lambda _{k}|^{2}\leq \sum _{i,j=1}^{n}|a_{i,j}|^{2},$
avec égalité si et seulement si M est normale.
Appliquée à la matrice
    $M={\begin{pmatrix}0&{\sqrt {a_{1}}}&0&\ldots &0\\0&0&{\sqrt {a_{2}}}&\ldots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\ddots &\vdots \\0&0&0&\ldots &{\sqrt {a_{n-1}}}\\{\sqrt {a_{n}}}&0&0&\ldots &0\end{pmatrix}}$
et en remarquant que M$^n$ = √a$_1$…a$_n$ I$_n$, les valeurs propres de M sont $\lambda _{k}={\rm {e}}^{\frac {2{\rm {i}}k\pi }{n}}\left(a_{1}a_{2}...a_{n}\right)^{\frac {1}{2n}}.$ L'inégalité de Schur donne directement l'inégalité arithmético-géométrique, avec égalité si et seulement si diag(a$_1$, a$_2$, … , a$_n$) = diag(a$_n$, a$_1$, … , a$_{n–1}$), c'est-à-dire lorsque les a$_i$ sont tous égaux.

## Généralisations
### Pondération

L'inégalité arithmético-géométrique se généralise aux moyennes pondérées arithmétique et géométrique :
   Si $x_{1},\ldots ,x_{n}\geqslant 0$ et $\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n}>0$ alors, en notant $\alpha =\alpha _{1}+\ldots +\alpha _{n}$ :
   ${\sqrt[{\alpha }]{x_{1}^{\alpha _{1}}\ldots x_{n}^{\alpha _{n}}}}\leqslant {\frac {\alpha _{1}x_{1}+\ldots +\alpha _{n}x_{n}}{\alpha }},$
   avec égalité si et seulement si tous les $x_{k}$ sont égaux.
En effet, en supposant sans perte de généralité qu'aucun $x_{k}$ n'est nul et en notant $t_{k}:=\alpha _{k}/\alpha$ (strictement positifs et de somme $1$), l'inégalité équivaut (voir supra) à
    $t_{1}\ln x_{1}+\dots +t_{n}\ln x_{n}\leqslant \ln(t_{1}x_{1}+\dots +t_{n}x_{n})$,
qui n'est autre que l'inégalité de Jensen générale pour la fonction (concave) logarithme, et le cas d'égalité provient de la stricte concavité.

### Inégalité de Maclaurin

On peut également généraliser l'inégalité arithmético-géométrique en remarquant que la moyenne arithmétique correspond à la première fonction symétrique élémentaire, et la moyenne géométrique à la dernière. L'inégalité arithmético-géométrique se réécrit :
    ${\sqrt[{n}]{\frac {\sigma _{n}}{\displaystyle {\binom {n}{n}}}}}\leqslant {\sqrt[{1}]{\frac {\sigma _{1}}{\displaystyle {\binom {n}{1}}}}}$
Et on peut généraliser :
    ${\sqrt[{n}]{\frac {\sigma _{n}}{\displaystyle {\binom {n}{n}}}}}\leqslant {\sqrt[{n-1}]{\frac {\sigma _{n-1}}{\displaystyle {\binom {n}{n-1}}}}}\leqslant \dots \leqslant {\sqrt[{1}]{\frac {\sigma _{1}}{\displaystyle {\binom {n}{1}}}}}$
soit
    ${\sqrt[{n}]{x_{1}\dots x_{n}}}\leqslant {\sqrt[{n-1}]{\frac {x_{1}\dots x_{n-1}+\dots +x_{2}\dots x_{n}}{n}}}\leqslant \dots \leqslant {\sqrt {\frac {x_{1}x_{2}+\dots +x_{n-1}x_{n}}{\displaystyle {\binom {n}{2}}}}}\leqslant {\frac {x_{1}+\dots +x_{n}}{n}}$
Ce sont les inégalités de Maclaurin.

## Majoration de l'écart

Il existe une majoration de l'écart entre les deux moyennes:
    $0\leqslant {\frac {x_{1}+\dots +x_{n}}{n}}-{\sqrt[{n}]{x_{1}\dots x_{n}}}\leqslant {\frac {1}{n}}\sum _{1\leqslant i<j\leqslant n}\left({\sqrt {x_{i}}}-{\sqrt {x_{j}}}\right)^{2}$ ,
qui est une égalité pour $n=2$ : ${\frac {x+y}{2}}-{\sqrt {xy}}={\frac {1}{2}}({\sqrt {x}}-{\sqrt {y}})^{2}$.
Cette inégalité est une conséquence de l'inégalité de convexité de Vasile Cîrtoaje:
    $(n-2)\sum _{i=1}^{n}f(a_{i})+nf\left({\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}a_{i}\right)\geqslant 2\sum _{1\leqslant i<j\leqslant n}f\left({\frac {a_{i}+a_{j}}{2}}\right)$
pour une fonction $f$ convexe, en prenant $f=\exp$ et $a_{i}=\ln x_{i}$.