# Nombre carré triangulaire

En mathématiques, un nombre triangulaire carré est un nombre triangulaire qui est de plus carré. Il y a une infinité de tels nombres.
Ils s'écrivent sous la forme
$N_{k}={\frac {\left(\left(1+{\sqrt {2}}\right)^{2k}-\left(1-{\sqrt {2}}\right)^{2k}\right)^{2}}{32}}={\frac {\left(\left(3+2{\sqrt {2}}\right)^{k}-\left(3-2{\sqrt {2}}\right)^{k}\right)^{2}}{32}},\quad k\in \mathbb {N} ^{*}.$
Par exemple, $N_{2}=36=6^{2}={\frac {8\times 9}{2}}$.
La suite $(N_{k})$ est répertoriée comme suite A001110 de l'OEIS, et si l'on pose $N_{k}={\frac {t_{k}(t_{k}+1)}{2}}=s_{k}^{2}$, les suites $(t_{k})$ et $(s_{k})$ sont respectivement répertoriées comme suite A001108 de l'OEIS et comme suite A001109 de l'OEIS.

## Démonstration

Le problème se ramène à la résolution d'une équation diophantienne de la manière suivante$^,$$^,$.
Tout nombre triangulaire est de la forme t(t + 1)/2. On recherche donc les entiers t et s tels que t(t + 1)/2 = s$^2$, c'est-à-dire, en posant x = 2t + 1 et y = 2s, les solutions de l'équation de Pell-Fermat
$x^{2}-2y^{2}=1.$
Les solutions sont données par
$x_{k}+y_{k}{\sqrt {2}}=(1+{\sqrt {2}})^{2k},$
soit
$x_{k}={\frac {(1+{\sqrt {2}})^{2k}+(1-{\sqrt {2}})^{2k}}{2}}\quad {\rm {et}}\quad y_{k}={\frac {(1+{\sqrt {2}})^{2k}-(1-{\sqrt {2}})^{2k}}{2{\sqrt {2}}}}.$
On trouve donc
$t_{k}={\frac {(1+{\sqrt {2}})^{2k}+(1-{\sqrt {2}})^{2k}-2}{4}}\quad {\rm {et}}\quad s_{k}={\frac {(1+{\sqrt {2}})^{2k}-(1-{\sqrt {2}})^{2k}}{4{\sqrt {2}}}},$
d'où la valeur annoncée pour N$_k$ = s$_k$$^2$.

## Valeurs numériques

| k | N$_k$ | s$_k$ | t$_k$ | t$_k$/s$_k$ |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| 2 | 36 | 6 | 8 | 1,3… |
| 3 | 1 225 | 35 | 49 | 1,4 |
| 4 | 41 616 | 204 | 288 | 1,411… |
| 5 | 1 413 721 | 1 189 | 1 681 | 1,413… |
| 6 | 48 024 900 | 6 930 | 9 800 | 1,4141… |
| 7 | 1 631 432 881 | 40 391 | 57 121 | 1,41420… |
| 8 | 55 420 693 056 | 235 416 | 332 928 | 1,414211… |
| 9 | 1 882 672 131 025 | 1 372 105 | 1 940 449 | 1,4142132… |

## Propriétés

* Lorsque $k$ tend vers l'infini, le rapport
${\frac {t_{k}}{s_{k}}}={\frac {x_{k}-1}{y_{k}}}\sim {\frac {x_{k}}{y_{k}}}$
tend vers la racine carrée de deux et
${N_{k+1} \over {N_{k}}}={s_{k+1}^{2} \over s_{k}^{2}}\to (1+{\sqrt {2}})^{4}.$
* Les suites $(t_{k}+1/2)$ et $(s_{k})$ vérifient la relation de récurrence linéaire double : $u_{k+2}=6u_{k+1}-u_{k}$.

## Équations diophantiennes apparentées
### Nombres triangulaires égaux au double d'un nombre triangulaire

L'équation diophantienne s'écrit : (2) ${\frac {p(p+1)}{2}}=q(q+1)$.
En posant ${\begin{cases}p=2s-t-1\\q=t-s\end{cases}}$, on retombe sur l'équation (1) ${\frac {t(t+1)}{2}}=s^{2}$.
Les solutions de (2) sont donc données par ${\begin{cases}p_{k}=2s_{k}-t_{k}-1={\frac {({\sqrt {2}}+1)^{2k-1}-({\sqrt {2}}-1)^{2k-1}-2}{4}}\\q_{k}=t_{k}-s_{k}={\frac {({\sqrt {2}}+1)^{2k-1}+({\sqrt {2}}-1)^{2k-1}-2{\sqrt {2}}}{4{\sqrt {2}}}}\end{cases}}$.
La suite $(p_{k})$ débute par : 0, 3, 20, 119, 696, 4059, 23660, 137903, 803760, 4684659 ; suite A001652 de l'OEIS.
La suite $(q_{k})$ débute par : 0, 2, 14, 84, 492, 2870, 16730, 97512, 568344, 3312554 ; suite A053141 de l'OEIS.
L'équation (2) possède une jolie interprétation concrète : il s'agit de déterminer dans quels cas une formation triangulaire d'oiseaux migrateurs peut se séparer en deux formations triangulaires identiques.

### Nombres carrés centrés qui sont aussi des carrés

Il s'agit de l'équation (3) $(n-1)^{2}+n^{2}=m^{2}$. Comme $m$ est forcément impair, on peut poser $m=2q+1$ et l'équation (3) s'écrit alors $n(n-1)=2q(q+1)$, ce qui redonne l'équation (2) en posant $n=p+1$.
Les solutions de (3) sont donc données par ${\begin{cases}n_{k}=p_{k}+1={\frac {({\sqrt {2}}+1)^{2k-1}-({\sqrt {2}}-1)^{2k-1}+2}{4}}\\m_{k}=2q_{k}+1={\frac {({\sqrt {2}}+1)^{2k-1}+({\sqrt {2}}-1)^{2k-1}}{2{\sqrt {2}}}}\end{cases}}$.
La suite $(m_{k})$ débute par : 1, 5, 29, 169, 985, 5741, 33461, 195025, 1136689, 6625109 ; suite A001653 de l'OEIS.
Remarquons que résoudre l'équation (3) revient à rechercher les triplets pythagoriciens dont les deux premiers termes sont consécutifs.