# Construction des octonions basée sur le corps à 8 éléments

Cet article de mathématiques décrit une construction de l'algèbre des octonions utilisant le corps à huit éléments.
Cette construction de l'algèbre est une alternative à celle de Cayley-Dickson appliquée aux quaternions, permettant une vérification moins ardue et plus élégante des propriétés de la base canonique des octonions. Pour justifier l'affirmation qu'on obtient bien ainsi la même algèbre (à isomorphisme près), la preuve de cet isomorphisme est donnée à la fin (cf. corollaire 2 ).

## Définition de l'algèbre

On part d'un espace vectoriel V de dimension 8 sur $\mathbb {R}$ dont on indexe une base par les éléments du corps fini à 8 éléments F$_8$. La base en question sera donc notée (e$_x$) où x parcourt ce corps. On fait de V une algèbre (non nécessairement associative ni commutative) sur $\mathbb {R}$ en définissant le produit de deux éléments de base par la formule suivante, où x et y sont des éléments quelconques de F$_8$ :
    (*) $e_{x}e_{y}=(-1)^{h(x,y)}e_{x+y}$ où h(x,y) = Tr(x$^6$y)
Ici, Tr désigne la fonction Trace Tr$_{F8/F2}$ de F$_8$ sur le corps fini F$_2$ (ou Z/2Z). C'est l'application de F$_8$ dans F$_2$ définie par :
    Tr(x) = x + x$^2$ + x$^4$
En effet, F$_8$ étant une exension galoisienne finie sur F$_2$, Tr(x) est la somme des s(x) où s parcourt le groupe de Galois de F$_8$ sur F$_2$. Ce groupe est engendré par l'automorphisme de Frobenius $x\to x^{2}$, et les éléments de G sont les automorphismes $x\to x$, $x\to x^{2}$ et $x\to x^{4}$.

## Premières conséquences

Compte tenu du fait que x$^7$ = 1 pour tout x non nul dans F$_8$ (car le groupe des éléments non nuls de F$_8$ est d'ordre 7), on a :
    $h(x,y)=\mathrm {Tr} (x^{6}y)=x^{6}y+x^{12}y^{2}+x^{24}y^{4}=x^{6}y+x^{5}y^{2}+x^{3}y^{4}$
La fonction Tr est une forme linéaire non nulle sur F$_8$ considéré comme espace vectoriel de dimension 3 sur F$_2$. Son noyau H est donc de dimension 2 et contient trois éléments non nuls w qui vérifient donc w + w$^2$ + w$^4$ = 0, d'où 1 + w + w$^3$ = 0, c'est-à-dire w$^3$ = w + 1 (on est en caractéristique 2). On vérifie qu'un tel w engendre le groupe multiplicatif F$_8$*. Ainsi F$_8$ = F$_2$[w] et (1, w, w$^2$) est une base de F$_8$ sur F$_2$. Dans cette base, Tr vérifie Tr(1) = 1, Tr(w) = 0, Tr(w$^2$) = 0, d'où :
    H = F$_2$w + F$_2$w$^2$ = {0, w, w$^2$, w + w$^2$}
où w + w$^2$ = w$^4$. Les éléments de trace 1 sont ceux de :
    F$_8$\H = 1 + H = {1, 1 + w, 1 + w$^2$, 1 + w + w$^2$} = {1, w$^3$, w$^6$, w$^5$}
puisque 1 + w$^2$ = (w + w$^3$)/w = 1/w = w$^6$ et 1 + w + w$^2$ = (w$^3$ - 1)/(w - 1) = w/w$^3$ = w$^{-2}$ = w$^5$.

## Symétries des éléments de base

De la définition du produit (*) résulte une symétrie circulaire des éléments de la base choisie de V autres que 1, comparable à celle des quaternions i,j,k. Comme x$^6$y = y/x si x est non nul, on a h(zx,zy) = h(x,y) pour x, y, z dans F$_8$ tels que z soit non nul. Par suite, pour z dans F$_8$*, l'endomorphisme u$_z$ de V tel que u$_z$(e$_x$) = e$_{zx}$ pour x dans F$_8$ est un automorphisme d'algèbre de V. Si on pose $i_{m}=e_{w^{m}}$ pour $0\leq m\leq 6$, alors u$_w$ transforme i$_m$ en i$_{m+1}$ pour m<6, i$_6$ en i$_0$ et e$_0$ en lui-même.
L'automorphisme de Frobenius $t:x\to x^{2}$ de F$_8$ fournit un autre automorphisme d'algèbre de V puisque Tr(t(x)) = Tr(x): celui-ci transforme e$_x$ en e$_{t(x)}$ et est d'ordre 3.

## Propriétés fondamentales de la multiplication des éléments de base

1) e$_0$ est élément unité de V.
2) Pour tout x dans F$_8$*, e$_x$$^2$ = - e$_0$
3) Pour x, y dans F$_8$, e$_y$ e$_x$ = +/- e$_x$ e$_y$ où le signe moins est à prendre si et seulement si x et y sont linéairement indépendants dans l'espace vectoriel F$_8$ sur le corps F$_2$.
4) Pour x, y, z dans F$_8$, (e$_x$ e$_y$) e$_z$ = +/- e$_x$ (e$_y$ e$_z$) où le signe moins est à prendre si et seulement si x, y et z sont linéairement indépendants dans l'espace vectoriel F$_8$ sur F$_2$.
1) résulte de x$^6$y = 0 si x = 0 ou y = 0, d'où h(x,y) = 0 dans ce cas.
2) En effet, si x est non nul, x$^6$x = x$^7$ = 1, d'où h(x,x) = Tr(1) = 1.
3) En effet, d'une part si x et y sont linéairement dépendants, alors x = 0 ou y = 0 ou x = y, d'où le résultat dans ce cas. Sinon x et y sont non nuls, et z = y/x est différent de 1, d'où :
    ${\begin{aligned}h(x,y)+h(y,x)+1&=\mathrm {Tr} (z)+\mathrm {Tr} (1/z)+\mathrm {Tr} (1)\\&=(z+z^{2}+z^{4})+(z^{6}+z^{5}+z^{3})+1={\frac {1-z^{7}}{1-z}}=0\end{aligned}}$
puisque z$^7$ = 1. D'où h(y,x) = h(x,y) + 1 ce qui démontre ce cas.
4) En effet, si on calcule les deux produits avec la formule (*), on trouve qu'il suffit de prouver que : :$h(x,y)+h(x+y,z)=T(x,y,z)+h(x,y+z)+h(y,z)$ où T : (F$_8$)$^3$ -> F$_2$ est définie par T(x,y,z) = 1 si x, y et z sont linéairement indépendants, et T(x,y,z) = 0 sinon, ce qui signifie que T(x,y,z) n'est rien d'autre que le déterminant de x, y, z par rapport à une base quelconque de F$_8$ sur le corps F$_2$. Il s'agit donc de prouver que $A:(x,y,z)\to h(x,y)+h(x+y,z)+h(y,z)+h(x,y+z)$ est trilinéaire, alternée et vérifie A(1,w,w$^2$) = 1. Or, par définition de h, A(x,y,z) = Tr(a) où :
    ${\begin{aligned}a&=x^{6}y+(x+y)^{6}z+y^{6}z+x^{6}(y+z)=(x^{6}+y^{6}+(x+y)^{6})z\\&=(x^{4}y^{2}+x^{2}y^{4})z=x^{4}y^{2}z+x^{2}y^{4}z\end{aligned}}$
d'où la multilinéarité puisque les automorphismes $t:x\to x^{2}$ et $t^{2}:x\to x^{4}$ sont F$_2$-linéaires. Puis la formule évidente Tr(u$^2$) = Tr(u) montre que A(y,z,x) = A(x,y,z) et comme A(x,x,y) = Tr(0) = 0, on a A(y,x,x) = A(x,y,x) = A(x,x,y) = 0 et A est alternée. Enfin A(1,w,w$^2$) = Tr(w$^4$ + w$^6$) = Tr(w + 1) = 1.

## Conséquences
### Corollaire 1

Si x et y sont deux éléments de F$_8$ linéairement indépendants sur F$_2$, et S le sous-espace vectoriel de F$_8$ qu'ils engendrent, alors $\{e_{z},z\in S\}$ est une base d'une sous-algèbre W de V isomorphe à l’algèbre des quaternions $\mathbb {H}$ sur $\mathbb {R}$. En outre, par transport de structure (en), e$_0$ est son propre conjugué et celui de e$_z$ pour z non nul dans S est - e$_z$.
En effet, il est clair que W est bien une sous-algèbre contenant e$_0$ = 1, associative selon la propriété 4). Posons u = e$_x$ , v = e$_y$ , w = uv = (-1)$^{h(x,y)}$ e$_{x+y}$ . Comme u$^2$ = v$^2$ = -1 et vu = -uv, la base (1,u,v,w) de W admet la même table de multiplication que la base (1,i,j,k) de $\mathbb {H}$. La dernière assertion est alors évidente.

### Corollaire 2

V est isomorphe à l'algèbre des octonions 𝕆.
En effet, soit (x,y,z) une base de F$_8$ sur le corps F$_2$ et définissons W et S comme dans le corollaire 1. Posons $j=e_{z}$. L'application :
    $(q,q')\in W\times W\to q+q'j\in V$
est évidemment un isomorphisme d'espaces vectoriels sur $\mathbb {R}$. Les éléments de V peuvent ainsi être mis en correspondance avec un couple de quaternion. Il suffit alors de prouver que le produit dans V correspond au produit des octonions comme couple de quaternions et vérifier que :
    $q(q'j)=(q'q)j$,
    $(qj)q'=(q\,{\overline {q'}})j$,
    $(qj)(q'j)=-{\overline {q'}}q$ pour tout $q,q'$ dans W.
Par bilinéarité, on peut se restreindre au cas où $q=e_{r}$ et $q'=e_{s}$, avec r et s dans S. Pour cela, on note que $jq'={\overline {q'}}j$ d'après la propriété 3). Si r et s sont linéairement indépendants sur F$_2$, alors il en est de même de r, s, z , et de r + z, s, z. Donc, en utilisant la propriété 4) :
    $q(q'j)=-(qq')j=(q'q)j$,
    $(qj)q'=-q(jq')=-q({\overline {q'}}j)=(q{\overline {q'}})j$,
    $(qj)(q'j)=-((qj)q')j=-((q{\overline {q'}})j)j=-(q{\overline {q'}})(jj)=q{\overline {q'}}=-{\overline {q'}}q$.
On applique le même type de raisonnement si r et s sont linéairement dépendants.