# Annulation anomale

${\begin{array}{l}\;\;\;{\dfrac {d}{dx}}{\dfrac {1}{x}}\\={\dfrac {d}{d}}{\dfrac {1}{x^{2}}}\\={\dfrac {d\!\!\!\backslash }{d\!\!\!\backslash }}{\dfrac {1}{x^{2}}}\\=-{\dfrac {1}{x^{2}}}\end{array}}$
Une annulation anomale ou accidentelle est un type particulier de procédure arithmétique erronée qui donne une réponse numériquement correcte. Une tentative est faite pour simplifier une fraction en annulant des chiffres individuels du numérateur et du dénominateur. Il ne s'agit pas d'une opération légitime et elle ne donne généralement pas de réponse correcte, mais dans certains cas rares, le résultat est numériquement le même que si une procédure correcte avait été appliquée. Les cas triviaux d’annulation des zéros de fin ou lorsque tous les chiffres sont égaux sont ignorés.
Voici des exemples d'annulation anomale qui produisent néanmoins un résultat correct (ceux-ci et leurs inverses sont tous des cas en base 10 où la fraction est différente de 1 et avec deux chiffres) :
* ${\frac {19}{95}}={\frac {1\!\!{\not 9}}{\not 95}}={\frac {1}{5}}$
* ${\frac {16}{64}}={\frac {1\!\!{\not 6}}{\not 64}}={\frac {1}{4}}$
* ${\frac {26}{65}}={\frac {2\!\!{\not 6}}{\not 65}}={\frac {2}{5}}$
* ${\frac {49}{98}}={\frac {4\!\!{\not 9}}{\not 98}}={\frac {4}{8}}={\frac {1}{2}}.$
L'article de Boas analyse les cas à deux chiffres dans des bases autres que la base 10, par exemple,32/13 =2/1 et son inverse sont les seules solutions en base 4 à deux chiffres.
Un exemple d'annulation anomale avec plus de deux chiffres est165/462 =15/42, et un exemple avec un nombre différent de chiffres est 98/392 =8/32 .

## Propriétés élémentaires

Lorsque la base est première, il n’existe pas de solutions à deux chiffres. Cela peut être prouvé par contradiction : supposons qu’une solution existe. Sans perte de généralité, nous pouvons dire que cette solution est
    ${\frac {a||b}{c||a}}={\frac {b}{c}},\ {\rm {base}}\ p,$
où la double ligne verticale indique la concaténation des chiffres. Ainsi, nous avons
    ${\frac {ap+b}{cp+a}}={\frac {b}{c}}\implies (a-b)cp=b(a-c)$
Mais $p>a,b,a-c$, car ce sont des chiffres en base $p$ ; encore $p$ divise $b(a-c)$, ce qui signifie que $a=c$. Donc le côté droit est nul, ce qui signifie que le côté gauche doit également être nul, c'est-à-dire, $a=b$, une contradiction avec la définition du problème. (Si $a=b$, le calcul devient ${\frac {a||a}{c||a}}={\frac {a}{c}}\implies {\frac {a||a}{a||a}}={\frac {a}{a}}=1$, qui est l’un des cas triviaux exclus.)
Une autre propriété est que le nombre de solutions dans une base $n$ est impair si et seulement si $n$ est un carré pair. Cela peut être prouvé de la même manière que ci-dessus : supposons que nous ayons une solution
    ${\frac {a||b}{c||a}}={\frac {b}{c}}$
Alors, en faisant la même manipulation, on obtient
    ${\frac {an+b}{cn+a}}={\frac {b}{c}}\implies (a-b)cn=b(a-c)$
Supposons que $a>b,c$. Alors notez que $a,b,c\to a,a-c,a-b$ est également une solution à l'équation. Cela crée presque une involution de l’ensemble des solutions vers lui-même. Mais nous pouvons également remplacer pour obtenir $(a-b)^{2}n=b^{2}$, qui n'a de solutions que lorsque $n$ est un carré. Posons $n=k^{2}$. En prenant des racines carrées et en réorganisant on obtient $ak=(k+1)b$. Étant donné que le plus grand diviseur commun de $k,(k+1)$ est un, nous savons que $a=(k+1)x,b=kx$. En notant que $a,b<k^{2}$, cela a précisément les solutions $x=1,2,3,\ldots ,k-1$ : c'est-à-dire qu'il a un nombre impair de solutions lorsque $n=k^{2}$ est un carré pair. La réciproque de l’affirmation peut être prouvé en notant que ces solutions satisfont toutes aux exigences initiales.