# Formules de Binet

En physique, en mécanique classique, les formules de Binet sont des expressions de la vitesse et de l'accélération d'un corps soumis à une force centrale telle que la gravitation ou un champ électrostatique. Elles ont été introduites par Laurent Binet.
Elles permettent d'exprimer, en coordonnées polaires, la position d'un mobile en fonction de l'inverse du rayon vecteur et de ses dérivées par rapport à l'angle formé par celui-ci. En effet, l'expression en fonction du temps est beaucoup plus difficile à établir. En particulier, les formules de Binet permettent de démontrer que, dans un champ de force centrale en ${\frac {K}{r^{2}}}$, les trajectoires sont des coniques.

## Formules de Binet

On considère tout d'abord le cas attractif. En posant $\ \ u:={\frac {1}{r}}\ \$, en notant $\ \ {\dot {x}}:={\frac {dx}{dt}}\ \$, $\ \ x':={\frac {dx}{d\theta }}\ \$ , et en exprimant $C=r^{2}{\dot {\theta }}={\frac {L_{O}}{m}}\;$ la constante des aires, d'après la seconde loi de Kepler, on peut montrer que :
    ${\vec {v}}=-Cu'\;{\vec {e_{r}}}+Cu\;{\vec {e_{\theta }}}$ ;
    ${\vec {a}}=-C^{2}u^{2}\left(u''+u\right)\;{\vec {e_{r}}}$.
L'accélération est donc radiale comme la force à laquelle est soumise le corps. Dans le cas répulsif, les composantes selon e$_r$ seraient positives, le corps étudié s'éloignerait du centre de force.
On a ${\vec {v}}={\dot {(r{\vec {e_{r}}})}}={\dot {r}}{\vec {e_{r}}}+r{\dot {\vec {e_{r}}}}={\dot {\left({\frac {1}{u}}\right)}}{\vec {e_{r}}}+{\frac {1}{u}}{\dot {\theta }}{\vec {e_{\theta }}}=-{\frac {\dot {u}}{u^{2}}}{\vec {e_{r}}}+{\frac {\dot {\theta }}{u}}{\vec {e_{\theta }}}$
Or ${\dot {u}}={\frac {du}{dt}}={\frac {du}{d\theta }}{\frac {d\theta }{dt}}=u'{\dot {\theta }}$ et $C={\frac {L_{O}}{m}}=r^{2}{\dot {\theta }}={\frac {\dot {\theta }}{u^{2}}}$
Donc ${\vec {v}}=-{\frac {u'}{u^{2}}}{\dot {\theta }}{\vec {e_{r}}}+Cu{\vec {e_{\theta }}}=-Cu'\;{\vec {e_{r}}}+Cu\;{\vec {e_{\theta }}}\;$
De même on dérive ${\vec {v}}$ pour obtenir ${\vec {a}}$.
${\vec {a}}=C\left(-{\dot {u'\;{\vec {e_{r}}}}}+{\dot {u{\vec {e_{\theta }}}}}\right)=C\left(-{\dot {u'}}{\vec {e_{r}}}-u'{\dot {\theta }}{\vec {e_{\theta }}}+{\dot {u}}{\vec {e_{\theta }}}-u{\dot {\theta }}{\vec {e_{r}}}\right)=C\left(-{\dot {\theta }}u''{\vec {e_{r}}}-u{\dot {\theta }}{\vec {e_{r}}}\right)$ $=-C^{2}u^{2}\left(u''+u\right)\;{\vec {e_{r}}}$

## Trajectoires coniques

On considère ici le cas attractif, le cas répulsif donnant exactement le même résultat. En utilisant la seconde loi de Newton, on a :
    $m{\vec {a}}={\frac {-K}{r^{2}}}\;{\vec {e_{r}}}=-u^{2}K\;{\vec {e_{r}}}$.
En insérant l'expression de l'accélération et en remplaçant ${\frac {1}{r}}$ par $u$, puis enfin en projetant selon ${\vec {e_{r}}}$, on a :
    $mC^{2}\left(u''+u\right)=K$, soit encore :
    $u''+u={\frac {K}{mC^{2}}}$.
Cette équation différentielle s'intègre facilement : c'est un oscillateur harmonique. On obtient :
    $u(\theta )=A\cos(\theta +\phi )+B$, avec $B={\frac {K}{mC^{2}}}$
En revenant à l'expression de r, on a :
    $r(\theta )={\frac {1}{B+A\cos(\theta +\phi )}}$.
En exprimant le paramètre $p={\frac {mC^{2}}{K}}$ et l'excentricité $e=pA$ on obtient :
    $r(\theta )={\frac {p}{1+e\cos(\theta +\phi )}}$.
C'est bien l'expression d'une conique en coordonnées polaires, dont la nature exacte - parabole, hyperbole ou ellipse - dépend des conditions initiales.