# Partikula kutxan harrapatuta

Partikula kutxan harrapatutako ereduak (edo potentzial infinituko kutxak), mekanika kuantikoan, zeharkatu ezinezko mugen artean mugimenduan aurkitzen den partikula bat deskribatzen du. Sistema klasikoa eta kuantikoaren arteko ezberdintasunak adierazteko adibide hipotetiko bezala erabiltzen da. Sistema klasikoan, partikula kutxa luze baten barruan sartzean, hau edozein lekutik libre mugitu daiteke leku batean edo bestean egoteko probabilitate gehiago egon gabe. Kutxa estutzen dugunean (nanometro gutxi batzuetako eskalan) efektu kuantikoek garrantzia hartzen dute. Partikulak energia maila positibo jakin batzuk soilik har ditzake. Aldi berean, partikularen energia ezin da nulua izan, ezin baitu erabat geldirik egon. Gainera, bere energia mailaren arabera probabilitate handiagoa dago leku batzuetan aurkitzeko besteetan baino. Horrez gain, partikula ezin da posizio zehatz batean detektatu baizik eta nodo espazialean.
Mekanika kuantikoan analitikoki ebatzi daitekeen problema bakarrenetakoa da kutxan harrapatuta aurkitzen den partikularena, hurbilketarik egin gabe. Hau dela eta, partikula baten propietate behagarriak (adibidez, energia edo posizioa) partikularen masaren eta kutxaren zabaleraren menpekoak dira eta adierazpen matematiko sinple batzuen bidez ebatzi daitezke. Bere sinpletasuna dela eta, ez da beharrezkoa matematikaren inguruan ezagutza sakonik izatea eredu hau ulertzeko. Oinarrizko fisika ikasketetan lantzen den mekanika kuantikako lehen ereduetako bat da eta konplexuagoak diren ereduak ulertzeko beharrezkoa.

## Problemaren planteamendua

Problema hau hainbat dimentsio ezberdinetan plantea daiteke. Sinpleena dimentsio bakarrekoa izanik eta erabilgarriena hiru dimentsioetakoa. Dimentsio batean, gure partikula x ardatzaren menpe aurkitzen da, hasiera eta bukaera paretek mugatzen dutelarik. Hiru dimentsioetan aldiz, partikula x, y eta z ardatzen menpe izango dugu.
Fisikaren ikuspuntutik kutxaren barnean dagoen partikulak ez du inongo indarrik jasaten, hau da, bere energia potentziala konstantea da eta ondorengo eragiketetan zerotzat hartuko dugu. Kutxaren paretetan eta hauetatik kanpo pontentzialak infiniturantz jotzen du, zeharkaezin bihurtuz. Hau dela eta Schrödinger-en ekuazioaz balia gaitezke soluzio bat aurkitzeko.
Eredu hau mekanika klasikoaren ikuspuntutik landuko bagenu lortutako emaitzak zentzuzkoak eta intuitiboak lirateke. Aldiz, mekanika kuantikoan Schrödinger-en ekuazioa aplikatuz lorturiko emaitzak ez dira intuitiboak. Izan ere, mekanika kuantikoan partikulak energia maila espezifiko batzuk soilik izan ditzazke, hau da, energia kuantizatuta dago eta ez da posible energia zero izatea. Gainera, partikula kutxa barnean aurkitzeko probabilitateak ez dira uniformeak (zenbait posiziotan aurkitzeko probabilitateak altuak diren bitartean beste zenbait posiziotan ezinezkoa da partikula bertan aurkitzea). Nahiz eta, printzipio hauek esperimentu ugariren bitartez baieztatuak izan ez dira munduarekiko dugun ikuspegiarekiko logikoak.

## Dimentsio bakarreko soluzioa

Partikula kutxa batean ereduaren formarik sinpleena dimentsio bakarreko sistema da. Hemen, partikula soilik aurrera eta atzera mugitu daiteke horma zeharkaezinez mugatutako lerro zuzen batean. Dimentsio bakarreko kutxaren hormak energia potentzial infinitua duten espazioko eremuak bezala imagina daitezke. Kutxa barruko zonaldeak aldiz, konstantea edo zero den energia potentziala dauka. Horrek esan nahi du partikularen gainean ez duela indarrik eragiten eta aske higitu daitekeela kutxa barruan. Hala ere, indar infinituki handi aldaratzaileak eragiten diote partikulari hormetako bat ukitzen badu, ihes egitea ekidinez. Eredu honetan energia potentziala horrela idazten da:
$V(x)={\begin{cases}0,&x_{c}-L/2<x<x_{c}+L/2\\\infty ,&{\text{bestela }}\end{cases}}$
non L kutxaren luzera, x$_c$ kutxaren erdiko puntua eta x partikularen kutxako posizioa diren. Kasu sinpleak kutxa zentratua (x$_c$=0) eta desplazatutako kutxa (x$_c$=L/2) dira.

### Posizioaren uhin-funtzioa

Mekanika kuantikoan, uhin-funtzioak partikularen jokabidearen deskribapen oinarrizkoena ematen du, ezaugarri neurgarri guztiak (posizioa, momentua eta energia adibidez) uhin funtziotik lor daitezke. $\psi (x,t)$ uhin funtzioa Schrödinger-en ekuazioa ebatziz lor daiteke hurrengo sistemarako:
$i\hbar {\partial \over \partial t}\psi (x,t)=-{\hbar ^{2} \over 2m}{\partial ^{2} \over \partial x^{2}}{\psi (x,t)}+V(x,t)\psi (x,t)$
non $\hbar$ erreduzitutako Planck-en konstantea, $m$ partikularen masa, $i$ unitate irudikaria eta $t$ denbora diren.
Kutxa barruan, partikularen gainean ez du indarrik eragiten, ondorioz, kutxaren barruan dagoen uhin-funtzioaren zatiak denboran eta espazioan partikula aske bat bezala oszilatzen du:
$\psi (x,t)=[Asin(kx)+Bcos(kx)]e^{-iwt}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (1)$ ,
non $A$ eta $B$ zenbaki konplexuak diren. Espazioko eta denborako oszilazioen maiztasuna $k$ uhin-zenbakia eta $w$ maiztasun angeluarraren arabera zehazten dira hurrenez hurren. Bi hauek energia totalaren adierazpenarekin loturik daude:
$E=\hbar w={\hbar ^{2}k^{2} \over 2m}$,
non partikula askearen kasuan dispertsio-erlazio bezela ezagutzen den adierazpen hau. Orain kontuan hartu behar da partikula potentzial batean dagoenez (goian deskribaturiko V potentziala) guztiz askea ez denez, goian emandako energiaren adierazpena ez dela ${p^{2} \over 2m}$, non $p$ partikularen momentua den, eta ondorioz $k$ uhin-zenbakiak benetan partikularen energia-egoerak deskribatzen ditu, ez momentu-egoerak (ondorioz partikularen momentu lineala ez da $p=\hbar k$). Zentzu honetan, nahiko arriskutsua da $k$-ri uhin zenbakia deitzea, izan ere, ez dago momentuari lotuta "uhin-zenbakia" normalki dagoen bezala. $k$-ri uhin zenbakia deitzeko arrazoia da uhin-funtzioak kutxa barruan dituen maximoen kopurua adierazten duela. Desakordio hau argiago ikus daiteke behean, energiaren espektroa diskretua dela jakitean (energiaren balio diskretuak soilik dira onartuak) baina momentuaren espektroa jarraitua denean (momentua jarraituki alda daiteke) eta partikularki, $E={p^{2} \over 2m}$ adierazpena partikularen energia eta momentuarentzat ez da betetzen. Lehen esan bezala, adierazpen hau ez betetzearen arrazoia partikula askea ez dela da, $V$ potentziala baitago, eta partikularen energia $E=T+V$ da, non $T$ partikularen energia zinetikoa eta $V$ partikularen energia potentziala den.
Uhin funtzioaren tamaina (edo anplitudea) erlazionatuta dago partikula hor aurkitzeko probabilitatearekin, adierazpen honen arabera: $P(x,t)=\left\vert \psi (x,t)\right\vert ^{2}$. Hori dela eta, uhin funtzioa nulua izan behar da kutxatik kanpo. Halaber, uhin-funtzioaren anplitudeak ezin du "salto" gogorrik egin puntu batetik bestera. Bi baldintza hauek horrelako itxura duten uhin-funtzioak soilik betetzen dituzte:
$\psi (x,t)={\begin{cases}Asin(k_{n}(x-x_{c}+L/2))e^{-iw_{n}t},&x_{c}-L/2<x<x_{c}+L/2\\0,&{\text{bestela }}\end{cases}}$
non
$k_{n}={n\pi \over L}$,
eta
$E_{n}=\hbar w_{n}={\pi ^{2}\hbar ^{2} \over 2mL^{2}}n^{2}$,
diren. n zenbaki osoa eta positiboa da. 0=1,2,3,4.... Desplazatutako kutxaren erreferentzia-sisteman (x$_c$=L/2) soluzioa partikularki sinplea da. Soluziorik sinpleenek, $k_{n}=0$ edo $A=0$, uhin-funtzio tribiala sortzen dute $\psi (x)=0$, sisteman inon existitzen ez den partikula bat deskribatzen duena. Hemen ikus daiteke soilik energia eta $k$ uhin-zenbakien balio diskretuen multzo bat dela onargarria partikularako. Orokorrean, uhin-funtzioaren deribatua ere jarraitua izan behar da, baina kasu honetan baldintza hori ezin da inposatu kutxaren bi muturretan potentziala infinitua delako. Jakina, potentzial infinitua duen sistema limiteko sistema abstrakto ez-fisiko bezala ikus daiteke Baldintza hori kontuan ez hartzean, uhin-funtzioa ez da diferentziagarria kutxaren hormetan.
Amaitzeko, $A$ konstante ezezaguna uhin-funtzioa normalizatuz finkatu daiteke, horrela sistema osoan partikula aurkitzeko probabilitate dentsitatea 1 izango baita. Lorturiko emaitza hauxe da:
$\left\vert A\right\vert ={\sqrt {2 \over L}}$
Beraz, $A$, modulua ${\sqrt {2/L}}$ duen edozein zenbaki konplexu izan daiteke, $A$-ren balio ezberdin hauek egoera fisiko berdina deskribatzen dute, beraz $A={\sqrt {2 \over L}}$ aukera daiteke sinplifikatzeko.
Esperotako autobalioak, adibidez, kutxako partikularen energia $E_{n}$ berdina izan behar da posizioa edozein delarik ere, baina $\psi (x,t)$ x-ren arabera aldatzen da. Konturatu $(x_{c}-L/2)$ magnitudek uhin-funtzioaren fasearen desplazamendua adierazten duela. Fasearen desplazamendu honek ez du eraginik Schrödinger-en ekuazioa ebaztean, eta ondorioz ez du eraginik autobalioengan. Koordenatuen jatorria kutxaren zentroan jarriz, espazioko zatia horrela berridatz daiteke:
$\psi _{n}(x)={\begin{cases}{\sqrt {2 \over L}}sin(k_{n}x),&{\text{n bikoitia denean}}\\{\sqrt {2 \over L}}cos(k_{n}x),&{\text{n bakoitia denean}}\end{cases}}$

### Momentuaren uhin-funtzioa

Uhin-funtzioaren momentua, uhin-funtzio berberaren posizioaren Fourierren transformatuaren proportzionala da. $k={p/\hbar }$ izanik, (ohartu, uhin-funtzioaren momentua deskribatzen duen k paramentroa ez dela lehenago deskribatutako balio propioen energiarekin erlazionatutako $k_{n}$), uhin-funtzioaren momentua honako hau da:
$\phi _{n}(p,t)={1 \over {\sqrt {2\hbar \pi }}}\int \limits _{-\infty }^{\infty }\psi _{n}(x,t)e^{-ipx/\hbar }dx={\sqrt {L \over \pi \hbar }}\left({n\pi \over n\pi +kL}\right)sinc(1/2(n\pi -kL))e^{-ikx}e^{i(n-1)\pi /2}e^{-iw_{n}t}$
sinc sine sinc funtzioaren kardinala izanik $sinc(x)=sin(x)/x$. Zentratutako kutxarako ($x_{c}$=0), soluzioa erreala eta bereziki sinplea da, fase faktorea unitatera erreduzitzen baita. (p-ren funtzio bikoiti bezala idatzia izan daiteke).
Uhin pakete honetarako, espektroaren momentua jarraia dela ikus daiteke, eta ondoriozta daiteke $k_{n}$ uhin-zenbakiak deskribaturiko energiaren egoerarako, momentuak, neurtua denean, $p=\pm \hbar k$ ez diren beste balio batzuk lor ditzakeela.
Horregatik, energia $E_{n}={\hbar ^{2}k_{n}^{2} \over 2m}$ denez n-garren autoegoerarako, $E={p^{2} \over 2m}$ erlazioa ez da zorrozki betetzen neurturiko p momenturako; energiaren $\psi _{n}$ autoegoera ez da momentuaren autoegoera, eta izatez, bi momentuen autoegoeren gainezarmena ere ez, bat tentatua izan baitaiteke imaginatzera (1) ekuaziotik haratago.

## Energia mailak

Baimendutako uhin-zenbaki bakoitzari dagozkion energiak horrela idaz daitezke
$E_{n}={\hbar ^{2}\pi ^{2} \over 2mL^{2}}n^{2}={h^{2} \over 8mL^{2}}n^{2}$.
Energia mailak $n^{2}$-rekin handitzen dira, hori dela eta, energia maila altuen arteko tarteak handiagoak dira energia maila baxuenenak baino. Energia mailarik baxuena (bere 0-puntuko energia) 1 egoeran aurkitzen da, adierazpen honen arabera
$E_{1}={\hbar ^{2}\pi ^{2} \over 2mL^{2}}$.
Partikulak, ondorioz, beti energia positiboa dauka. Hau mekanika klasikoaren aurkakoa da, non partikulak energia nulua izan dezakeen geldirik egonez. Hau ziurgabetasun printzipioaren bidez azaldu daiteke, zeinek esaten duen momentuaren eta posizioaren ziurgabetasunak mugatuta daudela honako adierazpenaren bidez
$\Delta {x}\Delta {p}\geq {\hbar \over 2}$
Erakutsi daiteke posizioaren ziurgabetasuna kutxaren zabaleraren proportzionala dela. Beraz, momentuaren ziurgabetasuna gutxi gorabehera kutxaren zabaleraren alderantziz proportzionala da. Partikularen energia zinetikoa $E={p^{2} \over 2m}$ da, eta beraz partikularen energia zinetiko minimoa partikularen masaren eta kutxaren zabaleraren karratuaren alderantziz proportzionala da, aurreko kalkuluekin kualitatiboki ados egonik.

## Dimentsio altuagoko kutxak
### Horma hipererrektangeluarrak

Partikula bat bi dimentsioko kutxa batean harrapatuta badago, $x$ eta $y$ noranzkoetan aske mugi daiteke $L_{x}$ eta Ly $L_{y}$distantzia batzuetaz banandutako hormen artean, hurrenez hurren. Jatorrian zentratutako kutxan, kutxaren luzeera adieraziz idatz genezake uhin funtzioa, $\psi _{n}(x,t,L)$ moduan. Dimentsio bakarreko ekuazioa ereduz hartuta, ikusi egin daiteke jatorrian zentratutako kutxa baten uhin funtzioaren eta energiaren adierazpenak ondokoak direla:
$\psi _{n_{x},n_{y}}=\psi _{n_{x}}(x,t,L_{x})\psi _{n_{y}}(y,t,L_{y})$
$E_{n_{x},n_{y}}={\hbar ^{2}k_{n_{x},n_{y}}^{2} \over 2m}$
non bi dimentsioko uhin-bektorea honela dagoen emanda:
$\mathbf {k_{n_{x},n_{y}}} =k_{n_{x}}{\hat {\mathbf {x} }}+k_{n_{y}}{\hat {\mathbf {y} }}={n_{x}\pi \over L_{x}}{\hat {\mathbf {x} }}+{n_{y}\pi \over L_{y}}{\hat {\mathbf {y} }}$
Hiru dimentsioko kutxan, ebazpenak hauek dira:
$\psi _{n_{x},n_{y},n_{z}}=\psi _{n_{x}}(x,t,L_{x})\psi _{n_{y}}(y,t,L_{y})\psi _{n_{z}}(z,t,L_{z})$
$E_{n_{x},n_{y},n_{z}}={\hbar ^{2}k_{n_{x},n_{y},n_{z}}^{2} \over 2m}$
non hiru dimentsioko uhin bektorea honela dagoen emanda:
$\mathbf {k_{n_{x},n_{y},n_{z}}} =k_{n_{x}}{\hat {\mathbf {x} }}+k_{n_{y}}{\hat {\mathbf {y} }}+k_{n_{z}}{\hat {\mathbf {z} }}={n_{x}\pi \over L_{x}}{\hat {\mathbf {x} }}+{n_{y}\pi \over L_{y}}{\hat {\mathbf {y} }}+{n_{z}\pi \over L_{z}}{\hat {\mathbf {z} }}$
Orokorrean, n dimentsioko kutxan, ebazpenak hauek dira:
$\psi =\prod _{i=1}\psi _{n}(x_{i},t,L_{i})$
n-dimentsioko momentu uhin funtzioak $\phi _{n}(x,t,L_{x})$ adierazpenaz adieraz litezke, eta ondorioz momentuaren uhin funtzioa n dimentsioko kutxa zentratuan honakoa da:
$\phi =\prod _{i=1}\phi _{n}(k_{i},t,L_{i})$
Aurreko adierazpena aztertuz, bi luzera edo gehiago berdinak direnean (adibidez $L_{x}=L_{y}$ ) uhin funtzio bat baino gehiago energia maila berdinari dagokiola ikus daiteke. Adibidez, $n_{x}=2$ eta $n_{y}=1$ egoerak daukan uhin funtzioak eta $n_{x}=1$ eta $n_{y}=2$ egoerak daukanak energia bera dute. Egoera desberdinek energia bera dutenean, energia hori endekatua dela esaten da, edo energia horren endakapena bi dela. Endekapena sistemaren simetriatik dator. Goiko kasuan osinaren bi luzerak berdinak dira, beraz sistema simetrikoa da 90º biraketarekiko.

### Forma konplikatuagoko hormak

Forma arbitrarioko paretak dituen kutxa batean harrapatutako partikula mekaniko-kuantiko baten uhin funtzioa Helmholtzen ekuaziotik dator, mugalde baldintzak uhin funtzioa paretetan nulua dela izanik. Sistema hauek kaos kuantikoan aztertzen dira.

## Aplikazioak

Bere matematika sinpleagatik, partikula kutxan eredua beste eredu konplexuago batzuen soluzio gerturatuak bilatzeko erabiltzen da. Eredu horietan, partikula potentzial elektriko baxuko eremu estu batean harrapaturik dago, non mugek potentzial altua dute. Kutxa kuantikoaren sistema hauek garrantzitsuak dira optoelektronikan, eta beste zenbait gailuetan erabiliak izan dira adibidez, kutxa kuantikoko laserra, kutxa kuantikoko infragorri fotodetektagailua. Baita ere, metal finitu bateko elektroi libren gerturaketarako.

## Ondorioak

Uhin-funtzioak jarraia izan behar duenez eta gure mugetan zero balioa hartzen duenez energiak kuantizatua egon behar du, hau da, ezin du edozein energia balio izan. Hau izanik mekanika kuantikoa eta tradizionala bereizten dituen ezaugarri nagusietako bat da. Bestalde, aipatu bezala, energia ezin da zero izan kasu honetan. Honek esan nahi du partikula ezin dela geldirik egon, izan ere, potentziala nulua izanik, energia guztia zinetikoa delako.

## Erreferentziak

* 1 2 3 4 5 Davies, p.4
* ↑ Edozein potentzial konstante V$_0$ egon daiteke kutxa barruan. Honek soilik energia mailak V$_0$-z aldatzen ditu.
* ↑ Davies, p.1
* 1 2 Bransden and Joachain, p. 157
* 1 2 Davies, p.5
* ↑ Bransden eta Joachain, p.158
* 1 2 3 Bransden eta Joachain, p. 159
* ↑ Davies, p. 15

## Bibliografia

* Bransden, B. H.; Joachain, C. J. (2000). Quantum mechanics (2nd ed.). Essex: Pearson Education. ISBN 978-0-582-35691-7.
* Davies, John H. (2006). The Physics of Low-Dimensional Semiconductors: An Introduction (6th reprint ed.). Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-48491-6
* Griffiths, David J. (2004). Introduction to Quantum Mechanics (2nd ed.). Prentice Hall. ISBN 978-0-13-111892-8

## Ikus, gainera

* Partikula aske

## Kanpo estekak

* Scienceworld (Potentzial infinituko kutxa)
* 1-D quantum mechanics java applet Partikula kutxan eta dimentsio bakarreko beste hainbat kasuren simulazioa.
* Datuak: Q909221
* Multimedia: 1D infinite square wells / Q909221