# Reissner eta Nordströmen metrika

Fisika eta astronomian, Reissner eta Nordström-en metrika Einstein-Maxwell-en eremu ekuazioen soluzio estatikoa da. M masa estatiko, q karga eta simetría esferikodun zulo beltz batek sortzen duen grabitazio-eremu baten kasuan. Soluzio hau Kerr eta Newman-en metrikaren kasu partikularra da non masa biratzen ari den.
1916an eta 1921ean Hans Reissner, Hermann Weyl, Gunnar Nordström eta George Barker Jeffery-k deskubritu zuten era independentean.

## Metrika

Metrika lortzeko Einstein-Maxwellen eremu ekuazioen soluzio estatiko, asintotikoki lau eta esferikoki simetrikoa bilatzen da. Einsteinen ekuazioak ondorengoak dira;
$G^{\mu \nu }=8\pi G\cdot T^{\mu \nu },$
non $T^{\mu \nu }$ energia-momentu tentsorea den. Karga gabeko eremu batean honela definitzen dena;
$T^{\mu \nu }={\frac {1}{\mu _{0}}}\left[F^{\mu \alpha }F^{\nu }_{\alpha }-{\frac {1}{4}}\eta ^{\mu \nu }F_{\alpha \beta }F^{\alpha \beta }\right]\,,$
Tentsore honen heina zero denez Ricciren eskalarra nulua izango da eta ondorioz Einsteinen ekuazioen baliokidearekin lan egin dezakegu;
$R^{\mu \nu }=8\pi G\cdot T^{\mu \nu }.$
Gainera, $F_{\mu \upsilon }$ Maxwell-en tentsoreak karga gabeko Maxwell-en ekuazioak bete behar ditu
$\nabla _{\mu }F^{\mu \alpha }=0,$
$\partial _{[\mu }F_{\nu \rho ]}.$
Simetria esferikoa betetzen dela onartu denez (t,r,θ,Φ) koordinatu sistema erabili daiteke eta estatikotasuna kontuan hartuz hurrengoa da metrika;
$ds^{2}=-A(r)c^{2}dt^{2}+B(r)dr^{2}+r^{2}d\Omega ^{2},$
non $d\Omega ^{2}=d\theta ^{2}+sin^{2}\theta d\varphi ^{2}$ angelu solidoaren infinitesimala den.
$F_{\mu \nu }=E(r){\begin{bmatrix}0&-1&0&0\\1&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&0\end{bmatrix}},$
Maxwellen lehen ekuazio identikoki betetzen da eta bigarren ekuazioa aplikatuz
$E=K{\frac {\sqrt {AB}}{r^{2}}}.$
Asintotikoki laua izatea eskatzen denez infinituan $A,\ B\rightarrow 1,$ eta $E={\frac {K}{r^{2}}}.$ q kargako partikula baten eremu Coulomb-dar klasikoa berreskuratu nahi izanez gero $K=q$ aukeratu behar da.
Azken emaitza Einsteinen ekuazioetan ordezkatuz, $A''$ ezabatu ondoren, geratzen diren baldintzen artean $AB'+A'B=(AB)''=0$ dago. Ondorioz $AB=konst$ eta infinituan $AB\rightarrow 1$. Beraz, r guztietarako,
$B={\frac {1}{A}}.$
Baldintza hauekin hurrengo aukeraketa egin dezakegu:
$A=1-{\frac {\tilde {K}}{r}}+{\frac {Gq^{2}}{c^{4}r^{2}}}.$
$ds^{2}=-\left(1-{\frac {r_{S}}{r}}+{\frac {r_{q}^{2}}{r^{2}}}\right)c^{2}dt^{2}+\left(1-{\frac {r_{S}}{r}}+{\frac {r_{q}^{2}}{r^{2}}}\right)^{-1}dr^{2}+r^{2}d\Omega ^{2},$
non $r_{S}={\tilde {K}}={\frac {8\pi G}{c^{2}}}$ Schwarzschilden erradioa eta $r_{q}^{2}\equiv {\frac {Gq^{2}}{c^{4}}}$ diren, $q$ gorputzaren karga elektriko osoa izanik. Q karga (edota $r_{q}$) desagertzen den limitean Schwarzschilden metrika berreskuratzen da. Gainera, Newtonen grabitateren teoria klasikoa berruskuratu dezakegu $r_{s}/r\rightarrow 0$ limitean. $r_{s}/r\rightarrow 0$ eta $r_{q}/r\rightarrow 0$ limitean erlatibitate bereziko Minkowskiren metrika berreskuratzen dugu.
Masa r koordenatuaren funtzioan aldatzen da. Masa efektiboa M infinituko masa baino txikiagoa da. Izan ere, eremu elektrikoak masa dauka baliokidetasunaren printzipioaren arabera.
$M(r)=M-Q^{2}/2r$

## Horizonteak

Izan bedi hurrengo koefizientea;
$A=1-{\frac {2m}{r}}+{\frac {q^{2}}{r^{2}}}={\frac {Q}{r^{2}}}$
non
${\frac {Q}{r^{2}}}=r^{2}-2mr+q^{2}.$
Q kuadratikoaren diskriminantea $\Delta =m^{2}-q^{2}$ da.

### $m^{2}-q^{2}<0$

Kuadratikoak ez du soluzio errealik eta ondorioz positiboa da r-ren balio guztietarako. Honek esan nahi du ez dagoela gertaeren mugarik. Ondorioz, singularitate bakarra $r=0$ jatorrian dago eta biluzia dela esaten da. Emaitza hau ez da harritzekoa, izan ere, hemen dago kokatuta eremua sortzen duen q karga. Singularitate biluziek arazoak sortzen dituzte kausalitatearekin, hori dela eta, normalean Penrose-n zentsura kosmikoaren hipotesian oinarrituz ez da soluzio fisiko bezela onartzen.
$d\theta =d\varphi =0$ planoa aztertuz, honela idazten da geodesiko nulu baten ekuazioa:
$ds^{2}=0\rightarrow c{\frac {dt}{dr}}=\pm A^{-1},$
$ct=\pm [r-{\frac {2r_{q}^{2}-r_{s}^{2}}{\sqrt {4r_{q}^{2}-r_{s}^{2}}}}arctan{\frac {2r-r_{s}}{\sqrt {4r_{q}^{2}-r_{s}^{2}}}}+{\frac {r_{s}}{2}}ln{\frac {r^{2}A}{r_{s}^{2}}}]+K$

### $m^{2}-q^{2}>0$

Geodesiko nulu erradiala hurrengo eran idazten da;
$r_{\pm }=m\pm {\sqrt {(m^{2}-q^{2})}}$
$c{\frac {dt}{dr}}=\pm A^{-1}=\pm {\frac {r^{2}}{(r-r_{+})(r-r_{-})}},$
$ct=\pm [r+{\frac {r_{+}^{2}}{r_{+}-r_{-}}}ln|{\frac {r}{r_{+}}}-1|-{\frac {r_{-}^{2}}{r_{+}-r_{-}}}ln|{\frac {r}{r_{-}}}-1|]$
Ondorioz, hurrengo moduan idazten da metrika Eddington Finkelsteinen koordenatueatan;
$ds^{2}=-Ac^{2}dt'^{2}+2(1-A)dt'dr+(2-A)dr^{2}+r^{2}d\Omega ^{2}$
* I eremua, $r_{+}<r<\infty :$ $r=r_{+}$gertaera-horizontea da eta ondorioz ezin da zeharkatu.
* II eremua, $r_{-}<r<r_{+}:$ eskualde honetan dauden partikula eta fotoiek $r=r_{-}$ gainazala zeharka dezakete.
* III eremua, $0<r<r_{-}:$ eremu hau ez da zertan $r=0$ singularitatera iritsi behar.

### $m^{2}-q^{2}=0$

Aurreko kasuaren limite bat da non gertaeren horizontea degeneratua den, $r=r_{+}=r_{-}=r_{s}/2$ gertaeren-horizontean izan ezik, r koordenatua espazio motakoa da. $r=r_{+}$ puntua Schwartzilden $r=2m$ kasuaren antzekoa da. Geodesika nulu erradialen ekuazioa honako hau da;
$ct=\pm [r+{\frac {rr_{s}}{r_{s}-2r}}+r_{s}ln\left\vert 1-{\frac {2r}{r_{s}}}\right\vert ]+K$
eta metrika Eddington Finkelsteinen koordenatueatan;
$ds^{2}=-Ac^{2}dt'^{2}+2(1-A)dt'dr+(2-A)dr^{2}+r^{2}d\Omega ^{2}$

## Denboraren zabalkuntza grabitazionala

Denboraren zabalkuntza grabitazionala hurrengo moduan adierazten da gorputzaren inguruan;
$\gamma ={\sqrt {|g^{tt}|}}={\sqrt {\frac {r^{2}}{Q^{2}+(r-2M)r}}},$
ihes abiadura lokalarekin hurrengo eran erlazionatzen dena;
$v_{\rm {esc}}={\frac {\sqrt {\gamma ^{2}-1}}{\gamma }}.$

## Christoffel-en ikurrak

Christofellen ikurrak
$\Gamma _{jk}^{i}=\sum _{s=0}^{3}\ {\frac {g^{is}}{2}}\left({\frac {\partial g_{js}}{\partial x^{k}}}+{\frac {\partial g_{sk}}{\partial x^{j}}}-{\frac {\partial g_{jk}}{\partial x^{s}}}\right)\qquad \{0,\ 1,\ 2,\ 3\}\to \{t,\ r,\ \theta ,\ \varphi \}$
hurrengo adierazpenak dakarzkite
${\begin{aligned}\Gamma _{tr}^{t}&={\frac {Mr-Q^{2}}{r(Q^{2}+r^{2}-2Mr)}}\\[6pt]\Gamma _{tt}^{r}&={\frac {(Mr-Q^{2})\left(r^{2}-2Mr+Q^{2}\right)}{r^{5}}}\\[6pt]\Gamma _{rr}^{r}&={\frac {Q^{2}-Mr}{Q^{2}r-2Mr^{2}+r^{3}}}\\[6pt]\Gamma _{\theta \theta }^{r}&=-{\frac {r^{2}-2Mr+Q^{2}}{r}}\\[6pt]\Gamma _{\varphi \varphi }^{r}&=-{\frac {\sin ^{2}\theta \left(r^{2}-2Mr+Q^{2}\right)}{r}}\\[6pt]\Gamma _{\theta r}^{\theta }&={\frac {1}{r}}\\[6pt]\Gamma _{\varphi \varphi }^{\theta }&=-\sin \theta \cos \theta \\[6pt]\Gamma _{\varphi r}^{\varphi }&={\frac {1}{r}}\\[6pt]\Gamma _{\varphi \theta }^{\varphi }&=\cot \theta \end{aligned}}$
Ikur hauen bidez proba partikula baten geodesikoa lor daiteke.

## Higidura ekuazioak

Simetria esferikoa dela eta, beti hautatu daiteke koordinatu sistema proba-partikula plano batean aurkitzeko moduan. Hori dela eta, θ erabiliko dugu φ-ren ordez. Dimentsio gabeko unitate naturaletan $G=M=c=K=1$ q kargako partikula baten higidura
${\ddot {x}}^{i}=-\sum _{j=0}^{3}\ \sum _{k=0}^{3}\ \Gamma _{jk}^{i}\ {{\dot {x}}^{j}}\ {{\dot {x}}^{k}}+q\ {F^{ik}}\ {{\dot {x}}_{k}}$
da eta ondorioz,
${\ddot {t}}={\frac {\ 2(Q^{2}-Mr)}{r(r^{2}-2Mr+Q^{2})}}{\dot {r}}{\dot {t}}+{\frac {qQ}{(r^{2}-2mr+Q^{2})}}\ {\dot {r}}$
${\ddot {r}}={\frac {(r^{2}-2Mr+Q^{2})(Q^{2}-Mr)\ {\dot {t}}^{2}}{r^{5}}}+{\frac {(Mr-Q^{2}){\dot {r}}^{2}}{r(r^{2}-2Mr+Q^{2})}}+{\frac {(r^{2}-2Mr+Q^{2})\ {\dot {\theta }}^{2}}{r}}+{\frac {qQ(r^{2}-2mr+Q^{2})}{r^{4}}}\ {\dot {t}}$
${\ddot {\theta }}=-{\frac {2\ {\dot {\theta }}\ {\dot {r}}}{r}}.$
Kontuan hartu deribatu guztiak denbora propioarekiko direla, ${\dot {a}}={\frac {da}{d\tau }}.$
Higidura konstanteak $S(t,{\dot {t}},r,{\dot {r}},\theta ,{\dot {\theta }},\varphi ,{\dot {\varphi }})$-rekin lortzen dira, hurrengo ekuazio diferentzialaren soluzioa dena,
${\dot {t}}{\dfrac {\partial S}{\partial t}}+{\dot {r}}{\frac {\partial S}{\partial r}}+{\dot {\theta }}{\frac {\partial S}{\partial \theta }}+{\ddot {t}}{\frac {\partial S}{\partial {\dot {t}}}}+{\ddot {r}}{\frac {\partial S}{\partial {\dot {r}}}}+{\ddot {\theta }}{\frac {\partial S}{\partial {\dot {\theta }}}}=0$
Lehenago aipatutako bigarren deribatuak ordezkatu ondoren metrika bera ekuazio diferentzialaren soluzioa da,
$S_{1}=1=\left(1-{\frac {r_{s}}{r}}+{\frac {r_{\rm {Q}}^{2}}{r^{2}}}\right)c^{2}\,{\dot {t}}^{2}-\left(1-{\frac {r_{s}}{r}}+{\frac {r_{Q}^{2}}{r^{2}}}\right)^{-1}\,{\dot {r}}^{2}-r^{2}\,{\dot {\theta }}^{2}.$
${\frac {\partial S}{\partial r}}-{\frac {2}{r}}{\dot {\theta }}{\frac {\partial S}{\partial {\dot {\theta }}}}=0$
Ekuazio banangarriak momentua angeluar erlatibista ematen digu,
$S_{2}=L=r^{2}{\dot {\theta }}.$
Hirugarren konstantea energia espezifikoa (energia geldiuneko masaran unitateko) da
${\frac {\partial S}{\partial r}}-{\frac {2(Mr-Q^{2})}{r(r^{2}-2Mr+Q^{2})}}{\dot {t}}{\frac {\partial S}{\partial {\dot {t}}}}=0$
$S_{3}=E={\frac {{\dot {t}}(r^{2}-2Mr+Q^{2})}{r^{2}}}+{\frac {qQ}{r}}.$
$S_{2}$ eta $S_{3}$, $S_{1}$-en ordezkatuz ekuazio erradiala lortzen da,
$c\int d\,\tau =\int {\frac {r^{2}\,dr}{\sqrt {r^{4}(E-1)+2Mr^{3}-(Q^{2}+L^{2})r^{2}+2ML^{2}r-Q^{2}L^{2}}}}.$
Berriro ere $S_{2}$-rekin biderkatuz eta integratuz
$c\int Lr^{2}\,d\theta =\int {\frac {L\,dr}{\sqrt {r^{4}(E-1)+2Mr^{3}-(Q^{2}+L^{2})r^{2}+2ML^{2}r-Q^{2}L^{2}}}}.$
Proba partikularen eta infinituan kokatuta dagoen behatzailearen arteko denboraren dilatazioa
$\gamma ={\frac {q\ Q\ r^{3}+E\ r^{4}}{r^{2}\ (r^{2}-2r+Q^{2})}}$
da.
$v^{i}$ 3-abiadura lokalaren osagai kontrabarianteak eta ${\dot {x}}^{i}$lehen deribatuak ${\dot {x}}^{i}={\frac {v^{i}}{\sqrt {(1-v^{2})\ |g_{ii}|}}}$-ren bidez erlazionatzen dira eta honela ezartzen dira hasierako baldintzak;
${\dot {r}}={\frac {v_{\parallel }{\sqrt {r^{2}-2M+Q^{2}}}}{r{\sqrt {(1-v^{2})}}}}$
${\dot {\theta }}={\frac {v_{\perp }}{r{\sqrt {(1-v^{2})}}}}.$
Proba-partikularen energia orbital espezifikoa
$E={\frac {\sqrt {Q^{2}-2rM+r^{2}}}{r{\sqrt {1-v^{2}}}}}+{\frac {qQ}{r}}$
eta momentu angeluar erlatibo espezifikoa
$L={\frac {v_{\perp }\ r}{\sqrt {1-v^{2}}}}$
higiduraran konstatnte mantentzen diren kantitateak dira. $v_{\parallel }$ eta $v_{\perp }$abiadura lokalaren osagai erradial eta tangentziala dira, hurrenez hurren, beraz, abiadura lokala
$v={\sqrt {v_{\perp }^{2}+v_{\parallel }^{2}}}={\sqrt {\frac {(E^{2}-1)r^{2}-Q^{2}-r^{2}+2rM}{E^{2}r^{2}}}}$
izango da,

## Zuzenketa kuantikoak

Grabitazio kuantikoaren zenbait alderditan, Reissner-Nordströmen metrikak zuzenketa kuantikoak behar ditu. Honen adibide da, Barvinsky eta Vilkovisky-k eremuen teorien hubilketa. Bigarren ordeneko kurbaduran, Einstein-Hilberten akzio klasikoa termino lokal eta ez-lokalekin batzen da:
    $\Gamma =\int d^{4}x\,{\sqrt {-g}}\,{\bigg{\frac {R}{16\pi G_{N}}}+c_{1}(\mu )R^{2}+c_{2}(\mu )R_{\mu \nu }R^{\mu \nu }+c_{3}(\mu )R_{\mu \nu \rho \sigma }R^{\mu \nu \rho \sigma }{\bigg )}-\int d^{4}x{\sqrt {-g}}{\bigg\alpha R\ln \left({\frac {\Box }{\mu ^{2}}}\right)R+\beta R_{\mu \nu }\ln \left({\frac {\Box }{\mu ^{2}}}\right)R^{\mu \nu }+\gamma R_{\mu \nu \rho \sigma }\ln \left({\frac {\Box }{\mu ^{2}}}\right)R^{\mu \nu \rho \sigma }{\bigg ]},$
non $\mu$ energia eskala den. Alde batetik, $c_{1},c_{2}$ eta $c_{3}$ koefizienteen balio zehatza ezezaguna da, izan ere, grabitazio kuantikoaren teoria ultra-morearen naturan oinarritzen dira. Bestalde, $\alpha ,\beta$ eta $\gamma$ koefizienteak kalkulagarriak dira. $\ln \left(\Box /\mu ^{2}\right)$ operadorea integral baten bidez adierazi daiteke
    $\ln \left({\frac {\Box }{\mu ^{2}}}\right)=\int _{0}^{+\infty }ds\,\left({\frac {1}{\mu ^{2}+s}}-{\frac {1}{\Box +s}}\right).$
Akzioaren termino berriek soluzio klasikoaren aldaketa bat dakarkate. Kuantukoki zuzendutako Reissner–Nordström metrika, ${\mathcal {O}}(G^{2})$ ordeneraino, Campos Delgado-k aurkeztu zuen:
    $ds^{2}=-f(r)dt^{2}+{\frac {1}{g(r)}}dr^{2}+r^{2}d\theta ^{2}+r^{2}\sin ^{2}\theta d\phi ^{2},$
non
    $f(r)=1-{\frac {2GM}{r}}+{\frac {GQ^{2}}{r^{2}}}-{\frac {32\pi G^{2}Q^{2}}{r^{4}}}{\biggc_{2}+4c_{3}+2\left(\beta +4\gamma \right)\left(\ln \left(\mu r\right)+\gamma _{E}-{\frac {3}{2}}\right){\bigg ]},$
    $g(r)=1-{\frac {2GM}{r}}+{\frac {GQ^{2}}{r^{2}}}-{\frac {64\pi G^{2}Q^{2}}{r^{4}}}{\Bigc_{2}+4c_{3}+2\left(\beta +4\gamma \right)\left(\ln \left(\mu r\right)+\gamma _{E}-2\right){\Big ]}.$

## Erreferentziak

* ↑ Reissner, H.. (1916-01-01). «Über die Eigengravitation des elektrischen Feldes nach der Einsteinschen Theorie» Annalen der Physik 355: 106–120. doi:10.1002/andp.19163550905. ISSN 0003-3804. (Noiz kontsultatua: 2022-04-18).
* ↑ Weyl, Hermann. (1917-01-01). «Zur Gravitationstheorie» Annalen der Physik 359: 117–145. doi:10.1002/andp.19173591804. ISSN 0003-3804. (Noiz kontsultatua: 2022-04-18).
* ↑ Nordström, G.. (1918-01-01). «On the Energy of the Gravitation field in Einstein's Theory» Koninklijke Nederlandse Akademie van Wetenschappen Proceedings Series B Physical Sciences 20: 1238–1245. (Noiz kontsultatua: 2022-04-18).
* ↑ Jeffery, G. B.. (1921-05-01). «The Field of an Electron on Einstein's Theory of Gravitation» Proceedings of the Royal Society of London Series A 99: 123–134. doi:10.1098/rspa.1921.0028. ISSN 0080-4630. (Noiz kontsultatua: 2022-04-18).
* ↑ (Ingelesez) «Surprise: the Big Bang isn't the beginning of the universe anymore» Big Think (Noiz kontsultatua: 2022-04-18).
* 1 2 3 (Ingelesez) d'Inverno, Ray A.. (1998). Introducing Einstein's relativity. Oxford University Press Inc., 239-240 or. ISBN 019859653..
* 1 2 3 4 Aguirregabiria, Juan M.. (2017). Grabitazioa eta Kosmologia. Euskal Herriko Unibertsitatea (UPV/EHU), 141-146 or. ISBN 9788498607109..
* ↑ (Ingelesez) «(PDF) Reissner-Nordström metric» ResearchGate (Noiz kontsultatua: 2022-04-22).
* ↑ (Ingelesez) «Charged Black Holes: The Reissner-Nordström Geometry» jila.colorado.edu (Noiz kontsultatua: 2022-04-27).
* ↑ (Ingelesez) Carter, Brandon. (1968-10-25). «Global Structure of the Kerr Family of Gravitational Fields» Physical Review 174 (5): 1559–1571. doi:10.1103/PhysRev.174.1559. ISSN 0031-899X. (Noiz kontsultatua: 2022-04-19).
* ↑ Hubeny, Veronika E.. (1999-02-11). «Overcharging a Black Hole and Cosmic Censorship» Physical Review D 59 (6): 064013. doi:10.1103/PhysRevD.59.064013. ISSN 0556-2821. (Noiz kontsultatua: 2022-04-19).
* ↑ Hod, Shahar. (2008-03-26). «Weak Cosmic Censorship: As Strong as Ever» Physical Review Letters 100 (12): 121101. doi:10.1103/PhysRevLett.100.121101. ISSN 0031-9007. (Noiz kontsultatua: 2022-04-19).
* ↑ Chesler, Paul M.; Narayan, Ramesh; Curiel, Erik. (2019-11-29). «Singularities in Reissner-Nordstr\"om black holes» arXiv:1902.08323 [gr-qc] (Noiz kontsultatua: 2022-04-19).
* ↑ (Ingelesez) Nordebo, Jonatan. The Reissner-Nordström metric. .
* ↑ Leonard Susskind: The Theoretical Minimum: Geodesics and Gravity, (General Relativity Lecture 4, timestamp: 34m18s)
* ↑ Eva Hackmann, Hongxiao Xu: Charged particle motion in Kerr–Newmann space-times
* ↑ Smith, B. R.. (2009-12-01). «First-order partial differential equations in classical dynamics» American Journal of Physics 77 (12): 1147–1153. doi:10.1119/1.3223358. ISSN 0002-9505. (Noiz kontsultatua: 2022-04-21).
* ↑ Misner, Charles W.. (1973). Gravitation. ISBN 0-7167-0334-3. PMC 585119. (Noiz kontsultatua: 2022-04-21).
* ↑ (Ingelesez) Barvinsky, A. O.; Vilkovisky, G. A.. (1983-11-17). «The generalized Schwinger-DeWitt technique and the unique effective action in quantum gravity» Physics Letters B 131 (4): 313–318. doi:10.1016/0370-2693(83)90506-3. ISSN 0370-2693. (Noiz kontsultatua: 2022-04-21).
* ↑ (Ingelesez) Barvinsky, A. O.; Vilkovisky, G. A.. (1985-03-01). «The generalized Schwinger-Dewitt technique in gauge theories and quantum gravity» Physics Reports 119 (1): 1–74. doi:10.1016/0370-1573(85)90148-6. ISSN 0370-1573. (Noiz kontsultatua: 2022-04-21).
* ↑ (Ingelesez) Barvinsky, A. O.; Vilkovisky, G. A.. (1987-01-01). «Beyond the Schwinger-DeWitt technique: Converting loops into trees and in-in currents» Nuclear Physics B 282: 163–188. doi:10.1016/0550-3213(87)90681-X. ISSN 0550-3213. (Noiz kontsultatua: 2022-04-21).
* ↑ (Ingelesez) Barvinsky, A. O.; Vilkovisky, G. A.. (1990-03-26). «Covariant perturbation theory (II). Second order in the curvature. General algorithms» Nuclear Physics B 333 (2): 471–511. doi:10.1016/0550-3213(90)90047-H. ISSN 0550-3213. (Noiz kontsultatua: 2022-04-21).
* ↑ Donoghue, John F.; El-Menoufi, Basem Kamal. (2014-05-29). «Nonlocal quantum effects in cosmology: Quantum memory, nonlocal FLRW equations, and singularity avoidance» Physical Review D 89 (10): 104062. doi:10.1103/PhysRevD.89.104062. (Noiz kontsultatua: 2022-04-21).
* ↑ (Ingelesez) Campos Delgado, Ruben. (2022-03-29). «Quantum gravitational corrections to the entropy of a Reissner–Nordström black hole» The European Physical Journal C 82 (3): 272. doi:10.1140/epjc/s10052-022-10232-0. ISSN 1434-6052. (Noiz kontsultatua: 2022-04-21).

## Kanpo estekak

* Charged Black Holes: The Reissner-Nordström Geometry
* Reissner - Nordstrom Solution II, Cosmic Censorship conjecture
* Reissner-Nordstrom Metric Derivation | Solving The Maxwell-Einstein Equations
* Datuak: Q540664