# Koaternioi

* Zenbakiak matematikan
* Zenbaki multzoak
* $\mathbb {N} \subset \mathbb {Z} \subset \mathbb {Q} \subset \mathbb {R} \subset \mathbb {C}$
* Zenbaki arruntak $\mathbb {N}$
* Zenbaki osoak $\mathbb {Z}$
* Zenbaki arrazionalak $\mathbb {Q}$
* Zenbaki irrazionalak
* Zenbaki errealak $\mathbb {R}$
* Zenbaki konplexuak $\mathbb {C}$
* Zenbaki aljebraikoak
* Zenbaki transzendenteak
* Konplexuen hedadurak
* Koaternioiak $\mathbb {H}$
* Oktonioiak $\mathbb {O}$
* Zenbaki hiperkonplexuak
* Bestelakoak
* Zenbaki kardinalak
* Zenbaki ordinalak
* Zenbaki lehenak
* π = 3.141592654…
* e = 2.718281828…
* i unitate irudikaria
* ∞ infinitua
* Φ = 1,6180339887...
* Zenbaki-sistemak
* Zenbaki-sistema hamartarra
* Zenbaki-sistema bitarra
* Zenbaki-sistema hamaseitarra
* Zenbaki-sistema zortzitarra
Koaternioiak zenbaki konplexuen hedadura dira. Koaternioien multzoak, $\mathbf {H}$ multzoak, lau dimentsioetako bektore espazioa osatzen du, multzo hau $\mathbf {R} ^{4}$ multzoarekin identifika daiteke, alegia, errealen gaineko 4 dimentsioetako bektore espazioa osatzen dute. Bi elementuren arteko batuketaren definizioa $\mathbf {R} ^{4}$ espazioko elementuen batuketaren bera da. Koaternioi bati zenbaki erreal bat biderkatzeko ere $\mathbf {R} ^{4}$ espazioko elementuei eskalarra biderkatzea bezala definitzen da. Bi koaternioi biderkatzeko, ordea, bektore espazioko oinarria behar dugu, oinarriko lau bektoreak behar dira, lau elementu horiek 1, i, j, eta k izenez ezagutzen dira normalean. Eta oinarri hori erabiliz parekatzen dira koaternioien multzoa eta $\mathbf {R} ^{4}$, hau da, edozein koaternioi a1 + bi + cj + dk konbinazio linealaren bidez adieraz daiteke, non a, b, c eta d zenbaki errealak diren eta 1, i, j eta k oinarrizko koaternioiak diren. Oinarri horretako lehen elementua, 1 elementua, elementu neutroa da eta edozein elementuri 1 elementua biderkatzean elementua ez da aldatzen.
Koaternioien oinarriko beste elementuen arteko biderketek baldintza hauek betetzen dituzte:
$\mathbf {ii=jj=kk=ijk=-1}$.
Baldintza hauetatik beste batzuk ondoriozta daitezke, esate baterako, ijk=-1 ekuazioari bi aldeetan k biderkatuz ijkk =-1k lortuko genuke, baina kk =-1 denez, -ij =-k bezala adieraz genezake, edo beste era batera, ij = k.
Laburbilduta, biderketa-taula hau betetzen dute:
| | 1 | i | j | k |
| 1 | 1 | i | j | k |
| i | i | -1 | k | -j |
| j | j | -k | -1 | i |
| k | k | j | -i | -1 |
Aipatzekoa da biderketa ez dela trukakorra. Banakortasun legeari esker bi koaternioiren arteko biderketa oinarrizko koaternioien arteko biderketen bidez adieraz daiteke. Biderketaren hedapenak honako espresioa ematen digu:
(a$_1$ + b$_1$i + c$_1$j + d$_1$k ).(a$_2$ + b$_2$i + c$_2$j + d$_2$k) =
a$_1$ a$_2$ + a$_1$ b$_2$i + a$_1$c$_2$j + a$_1$ d$_2$k + b$_1$a$_2$i + b$_1$b$_2$ii + b$_1$c$_2$ij + b$_1$d$_2$ik + c$_1$a$_2$j + c$_1$b$_2$ji + c$_1$c$_2$jj + c$_1$d$_2$jk + d$_1$a$_2$k + d$_1$b$_2$ki + d$_1$c$_2$kj + d$_1$d$_2$kk
Oinarriko elementuen biderketak aplikatuz,
a$_1$ a$_2$ - b$_1$b$_2$ - c$_1$c$_2$ - d$_1$d$_2$ + a$_1$ b$_2$i + b$_1$a$_2$i + c$_1$d$_2$i - d$_1$c$_2$i + a$_1$c$_2$j + c$_1$a$_2$j - b$_1$d$_2$j + d$_1$b$_2$j + a$_1$ d$_2$k + d$_1$a$_2$k + b$_1$c$_2$k - c$_1$b$_2$k
azkenik, elkartze-legeari esker, biderketari dagokion koaternioia honako konbinazio linealak adierazten du:
(a$_1$ a$_2$ - (b$_1$b$_2$ + c$_1$c$_2$ + d$_1$d$_2$)) 1 + (a$_1$ b$_2$ + b$_1$a$_2$ + c$_1$d$_2$ - d$_1$c$_2$) i + (a$_1$c$_2$ + c$_1$a$_2$ - b$_1$d$_2$ + d$_1$b$_2$) j + (a$_1$ d$_2$ + d$_1$a$_2$ + b$_1$c$_2$ - c$_1$b$_2$) k
Hainbatetan koaternioiak adierazteko eskalar bat eta bektore bat erabiltzen dira, alegia,
$q=(r,\ {\vec {v}}),\ q\in \mathbf {H} ,\ r\in \mathbf {R} ,\ {\vec {v}}\in \mathbf {R} ^{3}$
Adierazpide horrekin batuketa eta biderketa honela adieraz daitezke:
$(r_{1},\ {\vec {v}}_{1})+(r_{2},\ {\vec {v}}_{2})=(r_{1}+r_{2},\ {\vec {v}}_{1}+{\vec {v}}_{2})$
eta
$(r_{1},\ {\vec {v}}_{1})(r_{2},\ {\vec {v}}_{2})=(r_{1}r_{2}-{\vec {v}}_{1}\cdot {\vec {v}}_{2},r_{1}{\vec {v}}_{2}+r_{2}{\vec {v}}_{1}+{\vec {v}}_{1}\times {\vec {v}}_{2})$
non "·" biderketa eskalarra den eta and "×" bektore biderketa den.
q koaternioiaren norma honela definitzen da:
    $\mathbf {|q|={\sqrt {a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}}}}$
Koaternioien biderketak elkartze-legea eta banatze-legea betetzen ditu, baina ez trukatze-legea. Koaternioiek, batuketarekin eta biderketarekin, osatzen duten egitura aljebraikoa zatiketa duen eraztuna da.

## Kanpo estekak

* Datuak: Q173853
* Multimedia: Quaternions / Q173853
Zenbakien sailkapena :
Multzo zenbakigarriaZenbaki arruntak • Zenbaki osoak • Zenbaki arrazionalak • Zenbaki eraikigarriak • Zenbaki aljebraikoak • Periodoak • Konputagarriak • Gaussiar osoakAljebra zatiketakZenbaki errealak • Zenbaki konplexuak • Koaternioiak • OktonioiakBesteakZenbaki kardinalak • Zenbaki irrazionalak • Zenbaki lausoak • Zenbaki hipererrealak • Zenbaki surrealak • Zenbaki transzendenteak • Zenbaki ordinalak • Zenbaki supernaturalak • Zenbaki supererrealakZenbaki ezagunak1 • 2 • 3 • 5 • 7 • Pi • Urrezko zenbakia • EGaiarekin lotuta dauden artikuluakMatematika • Matematikaren historia • Fibonacciren zenbakiak • Matematikarien zerrenda :