# Aljebra multilineal

Aljebra multilineala Matematikan aljebra linealeko metodoak orokortzen dituen azterketa-eremua da. Aztergaiak espazio bektorialen produktu tentsorialak eta espazioen arteko transformazio multilinealak dira.

## Notazioa

Aljebra multilinealak indize anitzeko notazioaren erabilera intentsiboa egiten du. Horrelako notazio baten bidez, konbinazio linealak bi indize edo gehiago errepikatuz adierazten dira.
* Oinarrizko kasuan (1 mailako tensore, kontrabariantea), Einsteinen baturaren konbentzioa erabiliz: $\scriptstyle X=X^{s}e_{s}\,$ Horrek adierazten du X objektua konbinazio lineala dela:
   $\scriptstyle \sum _{s=1}^{n}X^{s}e_{s}=X^{1}e_{1}+X^{2}e_{2}+\cdots +X^{n}e_{n}$
    $\scriptstyle e_{s}\,$ oinarrizko bektoreen gainean, eta X-ren osagaiak deituriko $\scriptstyle X^{s}\,$balioen gainean, non $n$ hemen baita X "bizi" den espazioaren dimentsioa (aljebraikoa). Konbentzioz, 1-kontratensore deitzen zaie.
* 1. mailan ere 1. tensorea dago, hau da, funtzio linealak aukeratutako espaziotik eskalarren gorputzera. $\scriptstyle i^{s}$ funtzio linealen konbinazio lineal gisa idazten dira, $\scriptstyle i^{s}(e_{\sigma })={\delta ^{s}}_{\sigma }$betetzen duten $\scriptstyle V\to \mathbb {K}$ transformazio lineal gisa, non (klasikoki bezala) Kronecker-en delta erabiltzen ari den. Hala, edozein $\scriptstyle f\colon V\to \mathbb {K}$ kobektore honela idazten da:$\scriptstyle f=f_{s}e^{s}\,$ Notazioa hori honela laburtu daitekeela: $\scriptstyle f=f_{1}e^{1}+\cdots +f_{n}e^{n}\,$
* Bigarren mailako tentsoreak:
** Kontrabarianteko bi heineko tentsore bat da hau:$\scriptstyle B=B^{st}e_{s}\otimes e_{t}$
** Kobarianteko bi heineko tensorea da. $\scriptstyle C=C_{st}e^{s}\otimes i^{t}$
** Eta bi heineko tensore misto bat da hau: $\scriptstyle D={D^{s}}_{T}e_{s}\otimes e_{t}$ Horrek bi-indezedun konbinazio lineal bat adierazten du.
    Adibidez:
   $\scriptstyle B=B^{11}e_{1}\otimes e_{1}+B^{12}e_{1}\otimes e_{2}+B^{21}e_{2}\otimes e_{1}+B^{22}e_{2}\otimes e_{2}$
    espazioaren dimentsioa bi bada.
* Aurrekoa orokortuz, $\scriptstyle {A^{i_{1}i_{2}...i_{p}}}_{j_{1}j_{2}...j_{q}}$ idazten da A tensore misto baten osagaiak irudikatzeko , p-kontrabariante eta q-kobariantea baita. Baina
   $\scriptstyle A={A^{i_{1}i_{2}...i_{p}}}_{j_{1}j_{2}...j_{q}}e_{I_{1}}\otimes \cdots \otimes e_{i_{p}}\otimes i^{j_{1}}\otimes \cdots \otimes i^{j_{q}}$
    indexatutako konbinazio lineal bat adierazten du.
Hori guztia kontuan hartzeko, kontuan hartu behar izan da bektore-espazioa n dimentsio finitua duela.

## Produktu tentsoriala

V eta W bi bektore-espazio baditugu, dagozkien oinarriekin, haien produktu tentsoriala definitzen da$\{b_{1},...,b_{n}\}$$\{c_{1},...,c_{m}\}$
    $\scriptstyle V\otimes W:=\langle \{b_{i}\otimes c_{j}\}\rangle$
hau da, sinbolo berriek sortutako espazio bektoriala
    $\scriptstyle \{b_{1}\otimes c_{1},b_{1}\otimes c_{2},...,b_{n}\otimes c_{m-1},b_{n}\otimes c_{m}\}$
Eta, beraz, $\scriptstyle V\otimes W$ espazioan bizi den (edo horren parte den) objektu bat, konbinazio lineal gisa adieraz daiteke.
    $\scriptstyle X=X^{11}b_{1}\otimes C_{1}+X^{12}b_{1}\otimes C_{2}+\cdots +X^{ij}b_{i}\otimes c_{j}+\cdots +X^{nm}b_{n}\otimes c_{m}$
eta honela laburtu daiteke
    $\scriptstyle X=X^{st}b_{s}\otimes c_{t}$ s edo t indize errepikatuak, behin gora eta behin behera —batutze-hitzarmenaren arabera—, banan-banan.
Definizio hori guztiz abstraktua da, baina algebraren ikuspuntutik ez dago inolako arazorik produktu tensorialaren aukera guztiak aztertzean. Espazio pila bat (eta garrantzi handikoa) sortzen da V bektore-espazioa eta $V^{*}$ bere espazio dual bat espazioak kontsideratzen direnean:
    $\scriptstyle V\otimes V\otimes V=V^{3\otimes }$
    $\scriptstyle V\otimes V^{*}={\rm {Hom}}(V)$
    $\scriptstyle V^{*}=\Lambda ^{1}(V)\,$
    $\scriptstyle V\wedge V$
    $\scriptstyle \Lambda ^{k}(V)\,$
Horiek guztiak egunero erabiltzen dira geometria diferentzialean, geometria aljebraikoan, aljebra konmutatiboan, erlatibitatean eta kuantikoan, QFT teorian, TQFT teorian eta beste batzuetan.

## Tensoreak eta formak

Bedi $V$ espazio bat $b_{i}$-ekin sortua. Sinboliza dezagun $\beta ^{\mu }$-rekin $\scriptstyle V^{*}$ oinarri duala, $\scriptstyle V^{*}\otimes V^{*}$ multiespazioko edozein elementu honela idazten da: $\scriptstyle B_{\mu \nu }\beta ^{\mu }\otimes \beta ^{\nu }$. Adierazpen hori funtzio bilineal gisa ikus daiteke
    ${\begin{array}{rcl}V\times V&{\stackrel {B_{\mu \nu }\beta ^{\mu }\otimes \beta ^{\nu }}{\longrightarrow }}&\mathbb {R} \\\scriptstyle (b_{i},b_{j})&\mapsto &B_{\mu \nu }\beta ^{\mu }\otimes \beta ^{\nu }(b_{i},b_{j})=B_{ij}\\\end{array}}$
jakinik$\scriptstyle \beta ^{\mu }\otimes \beta ^{\nu }(b_{i},b_{j})={\delta ^{\mu }}_{i}{\delta ^{\nu }}_{j}$ dela, non $\delta$ Kronecker-en delta.

## Garatutako kontzeptu batzuk (zerrenda guztiz osatu gabea)

* tensore
* espazio dual
* Bobektoreak
* geometria diferentziala
* tensore-kalkulua
* analisi bektoriala
* bektoreen kobariantza eta kontraxia
* tensore metrikoa
* deribatu kobariantea
* konexioa
* Riemann-en kurbadura-tensorea
* Christoffelen ikurrak
* kanpoko aljebra
* forma diferentziala
* kurbadura
* Stokesen teorema
* Levi-Civita ikurra
* Atala (matematika)
* Eremu bektoriala
* Eremu tensoriala
* Pullback

## Erreferentziak

* ↑ Ramírez Alzola, Txomin; Mª Asunción, García Sánchez. (2012). «Aljebra linealerako sarrera [2012/05 [eus»] OCW (UPV/EHU - OCW) (Noiz kontsultatua: 2022-12-24).
* ↑ «Aljebra lineala -- ZT Hiztegi Berria» zthiztegia.elhuyar.eus (Noiz kontsultatua: 2022-12-24).

## Bibliografia

* Grassmann, Hermann (2000) [1862]. Extension Theory [Die Ausdehnungslehre]. Translated by Kannenberg, Lloyd. American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-9049-3.
* Fleming, Wendell H. (1977). "Exterior algebra and differential calculus". Functions of several variables. Undergraduate Texts in Mathematics (2nd ed.). Springer. pp. 275–320. doi:10.1007/978-1-4684-9461-7_7. ISBN 978-1-4684-9461-7. OCLC 2401829.
* Ricci-Curbastro, Gregorio; Levi-Civita, Tullio (1900). "Méthodes de calcul différentiel absolu et leurs applications". Mathematische Annalen. 54 (1): 125–201. doi:10.1007/BF01454201. ISSN 1432-1807. S2CID 120009332.
* Shaw, Ronald (1983). Multilinear algebra and group representations. Linear Algebra and Group Representations. Vol. 2. Academic Press. ISBN 978-0-12-639202-9. OCLC 59106339.

## Ikus, gainera

* Aljebra lineal

## Kanpo estekak

* Datuak: Q1197190
* Multimedia: Multilinear algebra / Q1197190