# Hiru kuboen batura

Potentzien batuketaren matematikan, hiru kuboen gehiketaren problema, problema irekia da (oraindik ez da emaitza orokorrik lortu), non edozein zenbaki arrunta hiru zenbaki osoen kuboen batura gisa adieraz daitekeen. Batuketa honetarako zenbaki positiboak zein negatiboak baimentzen dira. Teorema honen proposamena hurrengoa da: Aurkitzea 'k' deitutako edozein zenbaki arrunt bat ($\mathbb {N}$) zenbat modutan jar daitekeen hiru zenbaki positiboen kuboen batura gisa: ($x^{3}+y^{3}+z^{3}=k$).
Problema matematiko hau Diofantoren ekuaziorekin erlazionatuta dago. Arazo honen emaitza guztiak zenbaki osoak izan behar ziren. Hauen adibide garrantzitsuenatariko bat Fermaten azken teorema da. Honek soluzio osoak lortzean datza hurrengo ekuaziorako: $x^{n}+y^{n}=z^{n}$ , non n zenbaki arrunta den ($n\in \mathbb {N}$).
Momentuz, 0-tik 1000 bitarteko zenbakiak aztertu eta hainbat emaitzak lortu dituzte. Hala ere, 0-100 tartea dago solilik osorik aurkituta momentuz, gutxienez emaitza batekin. Hala ere, badaude zenbaki batzuk, baldintza zehatz bat betetzen dutenak, zeinek ez daukate soluziorik: 4 edo 5 modulu 9 direnak, hau da, zenbaki horiek 9-rekin zatitzean bere hondarra 4 edo 5 dutenek. Zenbaki hauek dira 13, 22, 40 eta 95 besteak beste.
Zenbaki horiek hiru kuboen gehiketa bezala jartzeko ezintasuna zenbaki kuboen 'propietate' batengatik gertatzen da: Zenbaki oso bat 9-rekin zatituz gero, hondarra 0, 1 edo -1 bat izango da, beti (Ikusi aurrerago frogapena). Haien arteko maximoa hartuz, 1, eta 3 aldiz gehitzen bere kuboa, gehienez 3 ematen du (1 + 1 + 1 = 3) eta minimoa hartuz (-1), eta gehitzen, 9-tik asten, gehienez 6-ra ailegatzen gara, ( 9 -1 -1 -1 = 6), beraz, geratzen da tarte bat, [4, 5], zeinarekiko inoiz ez da erantzun bat egongo (Frogapena ulertzeko ikusi aritmetika modularra).

## Frogapena

Zenbaki guztiak 9k + r bezala jar daitezke, non r zenbaki arrunta den, eta 0 <= r < 9
Beraz, 9k, 9k + 1, ..., 9k + 8 ber hiru egitean, berriro ere 9k + m bezala jarri ahal izango dugu, baina kasu honetan, frogatu behar dugu m beti 0, 1 edo -1 izango dela
* 9k kasua
$(9k)^{3}=9^{3}\cdot k^{3}=9(9^{2}\cdot k^{3})+0$
Beraz, hondarra 0 izango da
* 9k + 1 kasua
$(9k+1)^{3}=(9k)^{3}+3\cdot (9k)^{2}+3\cdot 9k+1=9((9^{2}\cdot k^{3})+3\cdot 9k^{2}+3k)+1$
Hondarra 1 izango da
* 9k + 2 kasua
$(9k+2)^{3}=(9k)^{3}+3\cdot 2\cdot (9k)^{2}+3\cdot 2^{2}\cdot 9k+8(9-1)=9((9^{2}\cdot k^{3})+3\cdot 2\cdot 9k^{2}+3\cdot 4\cdot k+1)-1$
Bigarren paussuan, konturatu behar gara 8, 9 - 1 bezala jar daitekeela, eta beraz, hondarra -1 izango dela
* 9k + 3 kasua
$(9k+3)^{3}=(9k)^{3}+3\cdot 3\cdot (9k)^{2}+3\cdot 3^{2}\cdot 9k+27=9((9^{2}\cdot k^{3})+3\cdot 3\cdot 9k^{2}+3\cdot 3^{2}\cdot k+3)+0$
27, 9 * 3 denez, barrura sar daiteke, eta hondarra berriro 0 da
Prozesua beste guztiekin errepikatuz, ikusten da hurrengoa:
* 9k + 4 kasua$(9k+4)^{3}=9(9^{2}k^{3}+9\cdot 3\cdot 4\cdot k^{2}+9\cdot 3\cdot 4^{2}\cdot k)+64=9(9^{2}k^{3}+9\cdot 3\cdot 4\cdot k^{2}+9\cdot 3\cdot 4^{2}\cdot k)+7\cdot 9+1=9(9^{2}k^{3}+9\cdot 3\cdot 4\cdot k^{2}+9\cdot 3\cdot 4^{2}\cdot k+7)+1$Hondarra 1 izango da
* 9k + 5 kasua$(9k+5)^{3}=9(9^{2}k^{3}+9\cdot 3\cdot 5\cdot k^{2}+9\cdot 3\cdot 5^{2}\cdot k)+125=9(9^{2}k^{3}+9\cdot 3\cdot 5\cdot k^{2}+9\cdot 3\cdot 5^{2}\cdot k)+14\cdot 9-1=9(9^{2}k^{3}+9\cdot 3\cdot 5\cdot k^{2}+9\cdot 3\cdot 5^{2}\cdot k+14)-1$Hondarra -1 izango da
* 9k + 6 kasua$(9k+6)^{3}=9(9^{2}k^{3}+9\cdot 3\cdot 6\cdot k^{2}+9\cdot 3\cdot 6^{2}\cdot k)+216=9(9^{2}k^{3}+9\cdot 3\cdot 6\cdot k^{2}+9\cdot 3\cdot 6^{2}\cdot k)+9\cdot 24=9(9^{2}k^{3}+9\cdot 3\cdot 6\cdot k^{2}+9\cdot 3\cdot 6^{2}\cdot k+24)+0$Hondarra 0 izango da
* 9k + 7 kasua$(9k+7)^{3}=9(9^{2}k^{3}+9\cdot 3\cdot 7\cdot k^{2}+9\cdot 3\cdot 7^{2}\cdot k)+343=9(9^{2}k^{3}+9\cdot 3\cdot 7\cdot k^{2}+9\cdot 3\cdot 7^{2}\cdot k)+9\cdot 38+1=9(9^{2}k^{3}+9\cdot 3\cdot 7\cdot k^{2}+9\cdot 3\cdot 7^{2}\cdot k+38)+1$Hondarra 1 izango da
* 9k + 8 kasua$(9k+8)^{3}=9(9^{2}k^{3}+9\cdot 3\cdot 8\cdot k^{2}+9\cdot 3\cdot 8^{2}\cdot k)+512=9(9^{2}k^{3}+9\cdot 3\cdot 8\cdot k^{2}+9\cdot 3\cdot 8^{2}\cdot k)+9\cdot 57-1=9(9^{2}k^{3}+9\cdot 3\cdot 8\cdot k^{2}+9\cdot 3\cdot 8^{2}\cdot k+57)-1$Hondarra -1 izango da
Ikusten da hondarra beti 0, 1 edo -1 izango dela

## Historia

1955ean, informatikariek softwarea programatu eta ordenagailuak kalkuluak egiten hasi ziren, [0, 1000]-zenbakien arteko emaitzak ateratzeko. Ia zenbaki guztietarako emaitzak lortu zituzten, zenbaki hauetarako izan ezik:
33, 42, 52, 74, 114, 156, 165, 195, 290, 318, 366, 390, 420, 452, 530, 534, 564, 579, 588, 606, 609, 627, 633, 732, 735, 758, 767, 786, 789,
795, 830, 834, 861, 894, 903, 906, 912, 921, 933, 948, 964, 975.
Ordenagailuek probatzen jarraitu zuten, baina emaitza berriak abiadura azkarrekin lortzeari uzti zioten, konputazionalki oso garestia zelako zenbaki oso altuekin lan egitea.
2000. urtean 100 billioi baino txikiagoko zenbaki guztien konbinazioak frogatu ziren, eta 2015-ean 1.000 billioi zenbakiraino heldu zen.
2001-eko uztailaren 29an, D. J. Bernstein zenbaki hauen emaitzak lortu zituen:
24, 195, 250, 290, 312, 452, 480, 530, 534, 556, 588, 606, 609, 735, 744, 767, 768, 786, 808, 830, 834, 861, 903, 912, 964.
Beranduago, 30-rako emaitza atera zuten:
$-283\ 059\ 965^{3}-2\ 218\ 888\ 517^{3}+2\ 220\ 422\ 932^{3}$
2003-ko abenduaren 10an lau unibertsitateko ikasle talde batek 52-rako irtenbidea aurkitu zuen:
$60\ 702\ 901\ 317^{3}+23\ 961\ 292\ 454^{3}+(-61\ 922\ 712\ 865)^{3}$
Geroago, 2002 eta 2007 bitartean beste zenbaki batzuen emaitza lortu zen:
* $68\ 844\ 645\ 625^{3}+2\ 232\ 194\ 323^{3}+(-68\ 845\ 427\ 846)^{3}=156$
* $47\ 835\ 963\ 799^{3}+20\ 549\ 442\ 727^{3}+(-49\ 068\ 024\ 704)^{3}=318$
* $241\ 832\ 223\ 257^{3}+167\ 734\ 571\ 306^{3}+(-266\ 193\ 616\ 507)^{3}=366$
* $8\ 859\ 060\ 149\ 051^{3}+(-2\ 680\ 209\ 928\ 162)^{3}+(-8\ 776\ 520\ 527\ 687)^{3}=420$
* $53\ 872\ 419\ 107^{3}+(-1\ 300\ 749\ 634)^{3}+(-53\ 872\ 166\ 335)^{3}=564$
* $662\ 325\ 744\ 409^{3}+109\ 962\ 567\ 936^{3}+(-663\ 334\ 553\ 003)^{3}=758$
* $18\ 918\ 117\ 957\ 926^{3}+4\ 836\ 228\ 687\ 485^{3}+(-19\ 022\ 888\ 796\ 058)^{3}=789$
* $19\ 868\ 127\ 639\ 556^{3}+2\ 322\ 626\ 411\ 251^{3}+(-19\ 878\ 702\ 430\ 997)^{3}=894$
* $998\ 246\ 159^{3}+(-165\ 963\ 535)^{3}+(-996\ 714\ 691)^{3}=933$
* $323\ 019\ 573\ 172^{3}+63\ 657\ 228\ 055^{3}+(-323\ 841\ 549\ 995)^{3}=948$
Beraz, bakarrik 14 zenbakirako emaitzak falta ziren:
33, 42, 74, 114, 165, 390, 579, 627, 633, 732, 795, 906, 921, 975
Timothy Browning-ek problema Numberphile Youtube kanalean ipini ondoren 2016-an, bilaketa hauek zabaldu zuen, max (| x |, | y |, | z |) <$10^{15}$ arte, 74-ren kasua ebazten. Gainera, Bristoleko Unibertsitateko matematikari batek, Andrew Booker, metodo errazago bat bilatzen hasi zen, ordenagailuak kalkulu gutxiago egiteko. Metodo hau bilaketa selektiboan datza, zenbaki batzuk berehala baztertzeko eta kalkulu ez-beharrezkoak kentzeko. Haren bilaketa algoritmoa, momentu horretan egiten ari zena (zenbakiz zenbakiz kalkulatzea) baino 20 aldiz azkarragoa zen. Gainera, Diofantoren ekuazioen emaitza guztietarako balio zuen. Horri esker, k = 33-rako erantzuna aurkitu zen 2019-an.
Geroago, MIT-ko informatika banatuaren aditu batekin, Andrew Sutherland, algoritmoa aldatu zuten milioika ordenagailuetan exekutatzeko. Ordenagailu hauek 'Charity engine' sarea osatzen dute. Azkenean, 2019-ko irailan, 42-ko emaitza lortu zuten. Honek [0, 100]-ko tartearen emaitzik gabe geratzen zen azken zenbakia izan zen.
Booker-ek eta Sutherland-ek 3-ren hirugarren irudikapena ere aurkitu zuten Charity Engine-en beste 4 milioi ordu konputatu erabiliz.
Urte bereko hilabete berean, 906-ko emaitza lortu zuten. Beraz, 1.000 arte ebatzi gabeko kasu bakarrak 114, 390, 627, 633, 732, 921 eta 975 dira.
Hala ere, hau ez da teoremaren frogapena, baizik eta urrats bat matematikariei informazioa emateko haien lana errazteko, azkenean erantzun orokor bat lor daitezen. Hau horrela izan arren, 1992-an, Roger Heath-Brown-ek 'k' zenbaki arrunt guztiak hiru kuboen batura bezala infinitu modutan jar zezakeeola konjeturatu zuen, 4 edo 5 modulu 9 izan ezik.
Orain arte, 0, 1, 2, eta zenbaki lehenen kuborentzako baino ez da aurkitu emaitza posible guztiak infinituak direnentz. Adibidez, 3-rentzako oso zaila izan zen 2. emaitza lortzea. Lehenengoa oso erraza izan zen, bistaz ikusten dena: $1^{3}+1^{3}+1^{3}$. Bigarrena, aldiz, 2019-ko irailean agertu zen, eta askoz konplexuagoa da:
$569\ 936\ 821\ 221\ 962\ 380\ 720^{3}$$+$$(-569\ 936\ 821\ 113\ 563\ 493\ 509^{3})$ $+$ $(-472\ 715\ 493\ 453\ 327\ 032^{3}$$)$
Izan ere, zenbaki arruntak goi-bornatuak ez direnez, oso posiblea da konjetura hori egia izatea, baina emaitzak hain alderatuta daudenez elkarrekiko, oso zaila izango da beste emaitzak lortzea, baldin eta egiatan badaude.

## Kasu txikiak

0-rako erantzun bakarrak tribialak dira, Leonhard Euler frogatutakoak. Kasu honetan, zenbaki bat bestearen zeinu kontrakoa dauka:
$a^{3}+(-a)^{3}+0^{3}=0,\forall a\in \mathbb {Z}$
1 eta 2-rako infinitu emaitza familiak daude:
$(9b^{4})^{3}+(3b-9b^{4})^{3}+(1-9b^{3})^{3}=1,\forall b\in \mathbb {Z}$ (Errepresentazio hau 1936-an izan zen aurkituta K. Mahle-rengatik)
$(1+6c^{3})^{3}+(1-6c^{3})^{3}+(-6c^{2})^{3}=2,\forall c\in \mathbb {Z}$ (Errepresentazioa A.S. Verebrusov-ek aurkitu zuen 1908-an, eta L.J. Mordell-ek aipatua)
Hauek eskala daitezke bi aldiz kuboak diren edozein kuboren edo edozein zenbakiren irudikapenak lortzeko.
Wikipediako sarrera hau idatzi zen momentura arte dauden beste 2-ko errepresentazioak hauek dira:
$1\ 214\ 928^{3}+3\ 480\ 205^{3}+(-3\ 528\ 875)^{3}=2,$
$37\ 404\ 275\ 617^{3}+(-25\ 282\ 289\ 375)^{3}+(-33\ 071\ 554\ 596)^{3}=2,$
$3\ 737\ 830\ 626\ 090^{3}+1\ 490\ 220\ 318\ 001^{3}+(-3\ 815\ 176\ 160\ 999)^{3}=2$
3-ren irudikapenaren kasuan, Louis J. Mordell-ek 1953-an idatzi zuen hurrengoa: "Ez dakit ezer", kasu handiei erreferentzia eginez. Horrekin batera, 3-rentzako emaitz bat eman zuen:
$1^{3}+1^{3}+1^{3}=4^{3}+4^{3}-5^{3}=3$
Izan ere, kasu honetan hiru zenbaki kubikoetako bakoitza 9 moduloaren berdina da.

## Emaitzak konputazionalak

Ordenagailuak emaitz asko kalkulatu zituzten. Orain dauden lengoiaekin, zenbaki batzuetarako emaitz anitz kalkula dezakegu, adibidez, 8-rako edo 64-rako, bakarrik [-100,100] arteko zenbakiak erabiltzen.
Hainbat lengoiatan egin daiteke, hala nola, Python eta C (kodea optimizatu gabe dago):
(Kode honetan ez dira 1 ezta 2 zenbietarako emaitzak kalkulatzen, infinituak baitira, beraz, 3-tik hasten da kalkulatzen)

### C
## Interes komuna

Hiru kuboren arazoen batuketak azken urteetan Brady Haranek ezagutzera eman zuen, Numberphile YouTube kanalaren sortzaileak, "33-ren arazo ebaztezina" (The Uncracked Problem with 33), 2015eko bideoarekin hasita, Timothy Browning-ekin egindako elkarrizketa batekin. Handik sei hilabetera, "74 ebaztu da" bideoa atera zen Huismanekin 74-rako irtenbidea eztabaidatzen.
2019an, Numberphilek erlazionatutako hiru bideo argitaratu zituen, "42 da 33 berria", "42ren misterioa konpondu da" eta "3 3 kuboren batura gisa" ("42 is the new 33", "The mystery of 42 is solved", and "3 as the sum of 3 cubes").
Bookerrek eta Sutherland-ek 42rako irtenbideari buruz egindako iragarkiek nazioarteko prentsa estaldura jaso zuten: New Scientist, Scientific American, Popular Mechanics, The Register, Die Zeit, Der Tagesspiegel, Helsingin Sanomat, Der Spiegel, New Zealand Herald, Indian Express, Der Standard, Las Provincias, Nettavisen, Digi24, and BBC World Service

## Emaitzak [0,100]

Aurreko ataletan ikusi den bezala, zenbaki batzuk hainbat erantzun dituzte. Beste batzuk, berriz, ezin dira kalkulatu. Hemen 0-tik 100-era kalkulatu daitezkeen zenbaki guztien emaitzak agertuko dira (Zenbaki bat infinitu soluzio badauka, letra batekin adierazita egongo da 'ekuazioa').
| k | x | y | z |
| 0 | 0 | a | -a |
| 1 | $9b^{4}$ | $3b-9b^{4}$ | $1-9b^{3}$ |
| 1 | 1 | -1 | 1 |
| 1 | 0 | 0 | 1 |
| 2 | $1+6c^{3}$ | $1-6c^{3}$ | $-6c^{2}$ |
| 2 | 0 | 1 | 1 |
| 2 | 1.214.928 | 3.480.205 | −3.528.875 |
| 2 | 37.404.275.617 | -25.282.289.375 | -33.071.554.596 |
| 2 | 3.737.830.626.090 | 1.490.220.318.001 | -3.815.176.160.999 |
| 3 | 1 | 1 | 1 |
| 3 | 4 | 4 | -5 |
| 3 | 569.936.821.221.962.380.720 | - 569.936.821.113.563.493.509 | -472.715.493.453.327.032 |
| 6 | −1 | −1 | 2 |
| 7 | 0 | −1 | 2 |
| 8 | 9 $a^{3}$ | 15 $-a^{3}$ | −16 2 |
| 9 | 0 | 1 | 2 |
| 10 | 1 | 1 | 2 |
| 11 | −2 | −2 | 3 |
| 12 | 7 | 10 | −11 |
| 15 | −1 | 2 | 2 |
| 16 | −511 | −1609 | 1626 |
| 17 | 1 | 2 | 2 |
| 18 | −1 | −2 | 3 |
| 19 | 0 | −2 | 3 |
| 20 | 1 | −2 | 3 |
| 21 | −11 | −14 | 16 |
| 24 | −2.901.096.694 | −15.550.555.555 | 15.584.139.827 |
| 25 | −1 | −1 | 3 |
| 26 | 0 | −1 | 3 |
| 27 | −4 3 | −5 $a^{3}$ | 6 $-a^{3}$ |
| 28 | 0 | 1 | 3 |
| 29 | 1 | 1 | 3 |
| 30 | −283.059.965 | −2.218.888.517 | 2.220.422.932 |
| 33 | −2.736.111.468.807.040 | −8.778.405.442.862.239 | 8.866.128.975.287.528 |
| 34 | −1 -3 | 2 -4 | 3 5 |
| 35 | 0 | 2 | 3 |
| 36 | 1 | 2 | 3 |
| 37 | 0 | −3 | 4 |
| 38 | 1 | −3 | 4 |
| 39 | 117.367 | 134.476 | −159.380 |
| 42 | 12.602.123.297.335.631 | 80.435.758.145.817.515 | −80.538.738.812.075.974 |
| 43 | 2 | 2 | 3 |
| 44 | −5 | −7 | 8 |
| 45 | 2 | −3 | 4 |
| 46 | −2 | 3 | 3 |
| 47 | 6 | 7 | −8 |
| 48 | −23 | −26 | 31 |
| 51 | 602 | 659 | −796 |
| 52 | 23.961.292.454 | 60.702.901.317 | −61.922.712.865 |
| 53 | −1 | 3 | 3 |
| 54 | −7 | −11 | 12 |
| 55 | 1 | 3 | 3 |
| 56 | −11 | −21 | 22 |
| 57 | 1 | −2 | 4 |
| 60 | −1 | −4 | 5 |
| 61 | 0 | −4 | 5 |
| 62 | 2 | 3 | 3 |
| 63 | 0 | −1 | 4 |
| 64 | −3 4 | −5 $a^{3}$ | 6 $-a^{3}$ |
| 65 | 0 | 1 | 4 |
| 66 | 1 | 1 | 4 |
| 69 | 2 | −4 | 5 |
| 70 | 11 | 20 | −21 |
| 71 | −1 | 2 | 4 |
| 72 | 7 | 9 | −10 |
| 73 | 1 | 2 | 4 |
| 74 | 66.229.832.190.556 | 283.450.105.697.727 | −284.650.292.555.885 |
| 75 | 4.381.159 | 435.203.083 | −435.203.231 |
| 78 | 26 | 53 | −55 |
| 79 | -19 | -33 | 35 |
| 80 | 69.241 | 103.532 | -112.969 |
| 81 | 10 | 17 | -18 |
| 82 | -11 | -11 | 14 |
| 83 | -2 | 3 | 4 |
| 84 | -8.241.191 | -41.531.726 | 41.639.611 |
| 87 | -1972 | -4126 | 4271 |
| 88 | 3 | -4 | 5 |
| 89 | 6 | 6 | -7 |
| 90 | -1 | 3 | 4 |
| 91 | 0 | 3 | 4 |
| 92 | 1 | 3 | 4 |
| 93 | -5 | -5 | 7 |
| 96 | 10.853 | 13.139 | -15.250 |
| 97 | -1 | -3 | 5 |
| 98 | 0 | -3 | 5 |
| 99 | 2 | 3 | 4 |
| 100 | -6 | -3 | 7 |

## Erreferentziak

* 1 2 EL PROBLEMA DE LOS 3 CUBOS: una solución de 60 años. (Noiz kontsultatua: 2021-10-24).
* ↑ Aritmetika modular. 2019-12-23 (Noiz kontsultatua: 2021-12-05).
* 1 2 3 4 5 «�S�́@����x^3�{y^3�{z^3» www.asahi-net.or.jp (Noiz kontsultatua: 2021-12-04).
* ↑ (Gaztelaniaz) Supremoaren axioma. .
* ↑ (Gaztelaniaz) nfalvarado. (2013-01-16). «Los naturales no son superiormente acotados» Sea epsilon... (Noiz kontsultatua: 2021-12-05).
* ↑ (Ingelesez) London Mathematical Society. 2021-06-30 (Noiz kontsultatua: 2021-10-24).
* ↑ (Ingelesez) Matematicheskii Sbornik. 2020-02-23 (Noiz kontsultatua: 2021-10-24).
* ↑ (Ingelesez) Louis J. Mordell. 2021-09-16 (Noiz kontsultatua: 2021-10-24).
* ↑ The Uncracked Problem with 33 - Numberphile. (Noiz kontsultatua: 2021-10-24).
* ↑ 42 is the new 33 - Numberphile. (Noiz kontsultatua: 2021-10-24).
* ↑ The Mystery of 42 is Solved - Numberphile. (Noiz kontsultatua: 2021-10-24).
* ↑ 3 as the sum of the 3 cubes - Numberphile. (Noiz kontsultatua: 2021-10-24).
* ↑ (Ingelesez) Lu, Donna. «Mathematicians crack elusive puzzle involving the number 42» New Scientist (Noiz kontsultatua: 2021-10-24).
* ↑ (Ingelesez) Delahaye, Jean-Paul. «For Math Fans: A Hitchhiker’s Guide to the Number 42» Scientific American (Noiz kontsultatua: 2021-10-24).
* ↑ (Ingelesez) Grossman, David. (2019-09-09). «After 65 Years, Supercomputers Finally Solve This Unsolvable Math Problem» Popular Mechanics (Noiz kontsultatua: 2021-10-24).
* ↑ (Ingelesez) Quach, Katyanna. «Finally! A solution to 42 – the Answer to the Ultimate Question of Life, The Universe, and Everything» www.theregister.com (Noiz kontsultatua: 2021-10-24).
* ↑ «ZEIT ONLINE | Lesen Sie zeit.de mit Werbung oder im PUR-Abo. Sie haben die Wahl.» www.zeit.de (Noiz kontsultatua: 2021-10-24).
* ↑ (Alemanez) «Das Matheproblem um die Zahl 42 ist geknackt» Der Tagesspiegel Online 2019-09-16 ISSN 1865-2263. (Noiz kontsultatua: 2021-10-24).
* ↑ (Finlandieraz) HS, Antti Kivimäki. (2019-09-18). «Matemaatikkojen vaikea laskelma tuotti vihdoin kaivatun luvun 42» Helsingin Sanomat (Noiz kontsultatua: 2021-10-24).
* ↑ (Alemanez) «Zahlentheorie: Matheproblem um die Zahl 42 geknackt» Der Spiegel 2019-09-16 ISSN 2195-1349. (Noiz kontsultatua: 2021-10-24).
* ↑ (Finlandieraz) HS, Antti Kivimäki. (2019-09-22). «Numeron 42 ratkaisseet matemaatikot yllättivät: Löysivät myös luvulle 3 kauan odotetun ratkaisun» Helsingin Sanomat (Noiz kontsultatua: 2021-10-24).
* ↑ (Ingelesez) «Explained: How a 65-year-old maths problem was solved» The Indian Express 2019-09-20 (Noiz kontsultatua: 2021-10-24).
* ↑ Txantiloi:De-AT «Endlich: Das Rätsel um die Zahl 42 ist gelöst» DER STANDARD (Noiz kontsultatua: 2021-10-24).
* ↑ (Gaztelaniaz) «Matemáticos resuelven el enigma del número 42 planteado hace 65 años» Las Provincias 2019-09-16 (Noiz kontsultatua: 2021-10-24).
* ↑ (Norvegieraz [bokmål]) Wærstad, Lars. (2019-09-10). «Supermaskin har løst over 60 år gammel tallgåte» Nettavisen (Noiz kontsultatua: 2021-10-24).
* ↑ (Errumanieraz) «A fost rezolvată problema care le-a dat bătăi de cap matematicienilor timp de 6 decenii. A fost nevoie de 1 milion de ore de procesare» www.digi24.ro (Noiz kontsultatua: 2021-10-24).
* ↑ (Gaztelaniaz) «Enigma de la suma de 3 cubos: matemáticos encuentran la solución final después de 65 años» BBC News Mundo (Noiz kontsultatua: 2021-10-24).

## Kanpo estekak

* Hiru kuboen arazoa, Eduardo Saenz de Cabezón, UPV valentziako irakaslea eta Derivando-ren kanalaren egile.
* Diofantine equations
* Solutions of n = x$^3$ + y$^3$ + z$^3$ for 0 ≤ n ≤ 99, Hisanori Mishima
* Sums of three cubes, Mathpages
* threecubes, Daniel J. Bernstein
* How to search the solutions of n=x$^3$+y$^3$+z$^3$, Hisanori Mishima
* Historia pixka bat, Hisanori Mishima. (Japoniarraz dago)
* Datuak: Q62035896
* Multimedia: Sums of three cubes / Q62035896