# Serie konbergente

Serie konbergentea bere gaien batura partzialen segidak limite finitua duen seriea da; kasu horretan, serieak batura finitua du, batura partzialen segidaren limitea hain zuzen.

## Definizio formala

Kontuan hartutako serieak zenbakizkoak (termino erreal edo konplexuekin) edo bektorialak (eratutako espazio bektorialean balioekin) dira. Termino orokorraren serieak $a_{n}$ bat egiten du batuketa partzialen segidak bat egiten duenean.
$a_{n}=\sum _{k=0}^{n}a_{k}$
Kasu honetan, seriearen batura batura partzialen segidaren limitea da.
$\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}=\lim _{n\to \infty }a_{n}$
Serie baten konbergentzia edo ez konbergentzia izaera ez da aldatzen seriearen termino-kopuru finitu bat aldatzen bada.

## Adibideak

Konbergenteak dira sekuentzien serieak:
* Zenbaki oso bakoitietako elkarrekikoak, zeinuak tartekatuta dituztenak $\left({\frac {1}{1}},-{\frac {1}{3}},{\frac {1}{5}},-{\frac {1}{7}},{\frac {1}{9}},-{\frac {1}{11}},...\right)$. Leibnizen serie bezala ezagutzen dira:
${\frac {1}{1}}-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{9}}-{\frac {1}{11}}...={\frac {\Pi }{4}}$
* Zenbaki triangeluarren elkarrekikoak:
${\frac {1}{1}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{6}}+{\frac {1}{10}}+{\frac {1}{15}}+{\frac {1}{21}}+...=2$
* Hurrengo faktorialetako elkarrekikoak (n!):
${\frac {1}{1}}+{\frac {1}{1}}+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{6}}+{\frac {1}{24}}+{\frac {1}{120}}+...=e$
* Ondoz ondoko karratu perfektuen elkarrekikoak (ikus Basileako problema):
${\frac {1}{1}}+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{9}}+{\frac {1}{16}}+{\frac {1}{25}}+{\frac {1}{36}}+...={\frac {\Pi ^{2}}{6}}$
* 2ren potentzien elkarrekikoak:
${\frac {1}{1}}+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{16}}+{\frac {1}{32}}+...=2$
* 2ren berreturen elkarrekikoak, zeinu txandakatuekin:
${\frac {1}{1}}-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}-{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{16}}-{\frac {1}{32}}+...={\frac {2}{3}}$
* Fibonacciren zenbakien elkarrekikoak (ikus Fibonacciren alderantzizkoen konstantea):
${\frac {1}{1}}+{\frac {1}{1}}+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}+{\frac {1}{8}}+...=\psi$
* Zeinu txandakatuak dituzten zenbaki naturalen elkarrekikoak ${\biggl{\frac {1}{1}},-{\frac {1}{2}},{\frac {1}{3}},-{\frac {1}{4}},{\frac {1}{5}},-{\frac {1}{6}},{\frac {1}{7}},...{\biggr )}$:
$\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k+1}}{k}}=\ln 2$
Dibergenteak dira sekuentzien serieak:
* Zenbaki naturalen elkarrekikoak, serie harmonikoa bezala ezagutua dena $\left(1,{\frac {1}{2}},{\frac {1}{3}},{\frac {1}{4}},{\frac {1}{5}},{\frac {1}{6}},{\frac {1}{7}},...\right)$:
$1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{5}}+{\frac {1}{6}}+{\frac {1}{7}}+...\rightarrow \infty$
* Zenbaki lehenen elkarrekikoak $\left({\frac {1}{2}},{\frac {1}{3}},{\frac {1}{5}},{\frac {1}{7}},{\frac {1}{11}},{\frac {1}{13}},...\right)$:
${\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}+{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{11}}+{\frac {1}{13}}+...\rightarrow \infty$

## Konbergentzia absolutua

$\sum a_{n}$ seriea absolutuki konbergentea dela diogu baldin eta termino orokorraren seriea $\lVert a_{n}\rVert$ konbergentea bada. Kasu honetan $\sum a_{n}$ serieak bat egiten du.
Erabateko konbergentzia oso interesgarria da Banachen espazio batean balioak dituzten serieak aztertzeko (horixe da zenbaki-serieen kasua), non nahikoa baita serieak erabateko konbergentzia izatea bat egiten duela frogatzeko. Teknika horri esker, kasu askotan, termino positiboen serieetan soilik egin daiteke azterketa; horretarako, metodo ugari daude.

## Gai positiboko serieen konbergentziarako-irizpideak

Konparazio irizpidea: izan bitez $\sum a_{n}$ eta $\sum b_{n}$ gai positiboko serieak, $\sum a_{n}<<\sum b_{n}$ izanik. Orduan:
* $\sum b_{n}$ konbergentea bada, $\sum a_{n}$ ere konbergentea da.
* $\sum a_{n}$ dibergentea bada, $\sum b_{n}$ ere dibergentea da.
Limitearen irizpidea: izan bitez $\sum a_{n}$ eta $\sum b_{n}$ gai positiboko serieak, $b_{n}\neq 0$ izanik $n\in N$ guztietarako. Izan bedi $\lim _{n\to \infty }{\frac {a_{n}}{b_{n}}}=\lambda$.
* $\lambda \neq 0,+\infty$ denean, $\sum a_{n}$ konbergentea da baldin eta soilik baldin $\sum b_{n}$ konbergentea bada.
* $\lambda =0$ denean, $\sum b_{n}$ konbergentea bada, $\sum a_{n}$ ere konbergentea da.
* $\lambda =+\infty$ denean, $\sum b_{n}$ dibergentea bada, $\sum a_{n}$ ere dibergentea da.
D'Alamberten irizpidea: izan bedi $\sum a_{k}$ seriea gai positiboko seriea eta demagun $\lim _{k\to \infty }{\frac {a_{k+1}}{a_{k}}}=l$ limitea existitu egiten dela. Orduan:
* l < 1 bada, orduan $\sum a_{k}$ konbergentea da.
* l > 1 bada, orduan $\sum a_{k}$ dibergentea da.
Raaberen irizpidea: izan bedi $\sum a_{k}$ gai positiboko seriea, zeinetarako $\lim _{k\to \infty }{\frac {a_{k+1}}{a_{k}}}=1$ den, eta izan bedi $\lim _{k\to \infty }1-{\frac {a_{k+1}}{a_{k}}}=l$. Orduan:
* l >1 edo l = $\infty$ bada, orduan $\sum a_{k}$ konbergentea da.
* l <1 bada, orduan $\sum a_{k}$ dibergentea da.
Cauchyren irizpidea edo erroaren irizpidea: izan bedi $\sum a_{k}$ gai positiboko seriea eta demagun $\lim _{k\to \infty }{\sqrt[{k}]{a_{k}}}=l$ limitea existitzen dela. Orduan:
* l < 1 bada, orduan $\sum a_{k}$ konbergentea da.
* l >1 bada, orduan $\sum a_{k}$ dibergentea da.
Integralaren irizpidea: Izan bedi f funtzio positiboa eta beherakorra [1, +$\infty$) tartean. Izan bedi $a_{k}=f(k)$, $k\in \mathrm {N}$ guztietarako. Orduan $\sum a_{k}$ konbergentea da baldin eta soilik baldin $\lim _{k\to \infty }\int _{1}^{k}f(x)dx$ existitzen bada eta finitua bada.

## Erreferentziak

* ↑ Elhuyar Zientzia eta Teknologiaren Hiztegi Entziklopedikoa. Serie konbergente. .

## Kanpo estekak

* Datuak: Q1211057
* Multimedia: Convergent series / Q1211057