# Laplaceren ekuazioa

Kalkulu bektorialean, Laplace-ren ekuazioa mota eliptikoko bigarren mailako deribatu partzialetako ekuazioa da, Pierre-Simon Laplace fisikariaren eta matematikariaren omenez izendatua.
Mekanika newtondarraren beharrizanek sartuta, Laplaceren ekuazioa fisika teorikoko beste adar askotan agertzen da, hala nola astronomian, elektrostatikan, fluidoen mekanikan edo mekanika kuantikoan.

## Definizioa

Hiru dimentsiotan, bi aldiz deribagarria, eta $(x,y,z)$ aldagai errealetako $u$ funtzio erreal bat aurkitzean datza problema, non
koordenatu cartesiarretan,
    ${\partial ^{2}u \over \partial x^{2}}+{\partial ^{2}u \over \partial y^{2}}+{\partial ^{2}u \over \partial z^{2}}=0.$
$(\rho ,\varphi ,z)\,$ koordenatu zilindrikoetan,
    ${1 \over \rho }{\partial \over \partial \rho }\left(\rho {\partial u \over \partial \rho }\right)+{1 \over \rho ^{2}}{\partial ^{2}u \over \partial \varphi ^{2}}+{\partial ^{2}u \over \partial z^{2}}=0$
$(r,\theta ,\phi )\,$ koordenatu esferikoetan,
    ${1 \over r^{2}}{\partial \over \partial r}\left(r^{2}{\partial u \over \partial r}\right)+{1 \over r^{2}\sin \theta }{\partial \over \partial \theta }\left(\sin \theta {\partial u \over \partial \theta }\right)+{1 \over r^{2}\sin ^{2}\theta }{\partial ^{2}u \over \partial \varphi ^{2}}=0$
    baita.
    $\nabla ^{2}u=0\,$
non $\nabla ^{2}$ Laplace-ren eragilea edo "Laplacetarra" da.
Ekuazio hau deribatu partzialetan honela ere idatz daiteke:
    $\nabla \cdot \nabla u=0,$
non $\nabla \cdot$ dibergentzia den, eta $\nabla$ gradientea den.
Edo, batzuetan notazioa hau izan daiteke:
    $\Delta u=0,\,$
non $\Delta$ Laplace-ren eragilea ere baden.
Laplace-ren ekuazioaren soluzioei funtzio harmoniko deitzen zaie.
Berdintzaren eskuinaldean $f(x,y,z)$ funtzio bat zehazten bada, hau da, ekuazioa honela idazten bada:
    $\Delta u=f\,$
orduan "Poisson-en ekuazioa" duzu, beraz, Laplace-ren ekuazioa horren kasu partikularra da. Laplace-ren ekuazioa Helmholtz-en ekuazioaren kasu partikular bat ere bada.
Laplace-ren ekuazioa, baita Poisson-en ekuazioa ere, deribatu partzialetako ekuazio eliptikoren adibiderik errazenak dira.

## Laplaceren ekuazioa bi dimentsiotan

Laplaceren ekuazioa bi aldagai independentetan:
${\displaystyle \varphi _{xx}+\varphi _{yy}=0.\,}$
Denboraren mende ez dauden zenbait egoera fisiko modelatzen ditu Laplaceren ekuazioak. Bero-transferentziari buruzko Fourier-en legean tenperatura, edo Fick-en difusio-legean kontzentrazio kimikoa edo Ohm-en eroapen-legean potentzial elektrostatikoa adieraz ditzake.

### Funtzio analitikoak

Konplexuetako funtzio analitiko baten parte errealak eta irudikariak Laplaceren ekuazioa betetzen dute. Hau da, ${\displaystyle z=x+iy}$ bada eta ${\displaystyle f(z)=u(x,y)+iv(x,y)}$, orduan ${\displaystyle f(z)}$ analitikoa izateko baldintza Cauchy-Riemann-en ekuazioak betetzea da:
${\displaystyle u_{x}=v_{y},\quad v_{x}=-u_{y}}$ non ${\displaystyle u_{x}}$ $x$-rekiko $u$-ren lehen deribatu partziala den.
Orduan, ${\displaystyle u_{yy}=(-v_{x})_{y}=-(v_{y})_{x}=-(u_{x})_{x}}$.
Ondorioz, $u$-k Laplaceren ekuazioa betetzen du. Antzeko kalkulu batek frogatzen du ${\displaystyle v}$-k ere betetzen duela Laplaceren ekuazioa.
Alderantziz, funtzio harmoniko baten ondorioz, funtzio analitiko baten zati erreala da ${\displaystyle f(z)}$. Hori frogatzeko modu bat da:
${\displaystyle f(z)=\varphi (x,y)+i\psi (x,y)}$, orduan Cauchy-Riemann-en ekuazioak betetzen dira;
${\displaystyle \psi _{x}=-\varphi _{y},\quad \psi _{y}=\varphi _{x}}$.
Erlazio horrek ez du zehazten ${\displaystyle \psi }$, bere gehikuntzak soilik;
${\displaystyle d\psi =-\varphi _{y}\,dx+\varphi _{x}\,dy}$
Laplace-ren ekuazioak ${\displaystyle \varphi }$-rako adierazten du betetzen dela integragarritasun-baldintza ${\displaystyle \varphi }$-rako.
${\displaystyle \psi _{xy}=\psi _{yx}}$, eta, hala, ${\displaystyle \psi }$, lineako integral batekin defini daiteke.
Integragarritasun-baldintzak eta Stokes-en teoremak adierazten dute bi puntu lotzen dituen linearen integralaren balioa eta bidea independenteak direla. Laplaceren ekuaziotik ateratzen den emaitza-pareari funtzio harmoniko konjokatua esaten zaio. Hau lokalki baino ez da baliozkoa, edo baldin eta bidea berezitasun batekin inguratzen ez bada. Adibidez, $r$ eta ${\displaystyle \theta }$ koordenatu polarrak badira eta ${\displaystyle \varphi =\log r}$, orduan, dagokion funtzio analitikoa hurrengoa da:
${\displaystyle f(z)=\log z=\log r+i\theta }$
Hala ere, ${\displaystyle \varphi }$ angelua jatorririk gabeko eskualde batean baino ez da kokatzen.
Laplaceren ekuazioaren eta funtzio analitikoen arteko erlazio estuak ezartzen du Laplaceren ekuazioko edozein ebazpenak maila guztietan dituela deribatuak, eta potentzia-serieetan zabal daitekeela, berezitasunik ez duen zirkulu baten barruan gutxienez. Hori uhinaren ekuazioaren emaitzekin kontrastean dago, eskuarki erregulartasun txikiagoa baitu.
Potentzia-serieen eta Fourier-en serieen arteko lotura estua dago. Potentzia-serieetan $f$ funtzio bat hedatzen badugu $R$ erradioko zirkulu baten barruan, horrek esan nahi du
${\displaystyle f(z)=\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}z^{n}}$, behar bezala definitutako koefizienteekin, non benetako eta irudizko zatiak hauek diren:
${\displaystyle c_{n}=a_{n}+ib_{n}}$
Orduan, ${\displaystyle f(z)=\sum _{n=0}^{\infty }\left[a_{n}r^{n}\cos n\theta -b_{n}r^{n}\sin n\theta \right]+i\sum _{n=1}^{\infty }\left[a_{n}r^{n}\sin n\theta +b_{n}r^{n}\cos n\theta \right]}$

### Fluido-fluxua

Izan bitez ${\displaystyle u}$ eta ${\displaystyle v}$ kantitateak, hurrenez hurren, fluxu konprimaezin geldikorraren eta irrotazionalaren abiadura-eremuaren osagai horizontal eta bertikalak, bi dimentsiotan.
Fluxua konprimaezina izateko baldintza hau da: ${\displaystyle u_{x}+v_{y}=0}$.
Eta fluxua irrotazionala izateko baldintza hau da: ${\displaystyle \nabla \times \mathbf {V} =v_{x}-u_{y}=0}$
$\psi$-ren diferentziala ${\displaystyle d\psi =v\,dx-u\,dy}$ bezala definitzen badugu, orduan, konprimi-ezintasunaren baldintza da diferentzial horren integragarritasuna: ondoriozko funtzioari korronte-funtzio deritzo, konstantea baita fluxu-lerroetan zehar.
$\psi$-ren lehen deribatuak:
${\displaystyle \psi _{x}=v,\quad \psi _{y}=-u}$, eta irrotazionaltasunaren baldintzak ezartzen duenez, ${\displaystyle \psi }$-k betetzen du Laplaceren ekuazioa. ${\displaystyle \varphi }$ funtzio harmonikoak, ${\displaystyle \psi }$-ren konjokatua denak, abiadura-potentzial deritzo. Cauchy-Riemann-en ekuazioek hau ezartzen dute:
${\displaystyle \varphi _{x}=-u,\quad \varphi _{y}=-v}$.
Beraz, funtzio analitiko bakoitzari fluido konprimiezinen fluxu geldikor eta irrotazional bat dagokio planoan. Zati erreala abiadura-potentziala da, eta zati irudikaria korronte-funtzioa.

### Elektrostatika

Maxwellen ekuazioen arabera, bi dimentsioko eremu elektriko batek $(u,v)$, denborarekiko independentea denak, hau betetzen du:
${\displaystyle {\begin{cases}\nabla \times (u,v)=v_{x}-u_{y}=0\,\\\nabla \cdot (u,v)=\rho \,\end{cases}}}$
non $\rho$ kargaren dentsitatea den. Maxwellen lehen ekuazioa integragarritasun-baldintza da ${\displaystyle d\varphi =-u\,dx-v\,dy\,}$ diferentzialarentzat. Beraz, ${\displaystyle \varphi }$ potentzial elektrikoa honako hau asetzeko eraiki daiteke:
${\displaystyle \varphi _{x}=-u,\quad \varphi _{y}=-v\,}$
Maxwellen bigarren ekuazioak hau ezartzen du:
${\displaystyle \varphi _{xx}+\varphi _{yy}=-\rho \,}$, Poisson-en ekuazioa izenez ezagutua.
Garrantzitsua da ikustea Laplaceren ekuazioa hiru dimentsioko problemetan erabil daitekeela elektrostatikan eta fluido-fluxuan, bai eta bi dimentsiotan ere.

## Kanpo estekak

* Datuak: Q339444
* Multimedia: Laplace's equation / Q339444