# Banaketa binomial

Probabilitate teorian, banaketa binomiala bai edo ez motako emaitzak (arrakasta edo porrota ere esaten da) izan ditzakeen segida batean, Bernoulli prozesu batean hain zuzen, suertatzen diren baiezko edo arrakastazko emaitzen kopuruaren probabilitate banaketa da. Adibidez, dado bat 8 aldiz botatzerakoan 2 zenbakia atera den aldi kopuruari, jaiotako 200 umeetatik mutiko kopuruari nahiz 20 piezetan pieza akastunen kopuruari buruzko probabilitateak kalkulatzean banaketa binomiala erabiltzen da. Banakuntza binomiala erabiltzeko ezinbesteko baldintza saiakuntza ezberdinen arteko independentzia da, saiakuntza guztietan bai izateko probabilitatea konstantea izatearekin batera. Banakuntza binomialak bi parametro ditu; izan ere, probabilitateak kalkulatzeko aski dira n saiakuntza kopurua eta p aldi bakoitzean arrakasta suertatzeko probabilitatea. Hain zuzen, B(n,p) adierazten da labur banaketa binomiala. Aplikazioei dagokienean, zorizko laginketa itzuleradunean probabilitateak kalkulatzeko oinarria da. Halaber, banaketa binomiala froga binomiala burutzeko erabiltzen da.

## Definizioa eta ezaugarriak
### Probabilitate-funtzioa

Banakuntza binomiala, labur $\scriptstyle B(n,p)$ adierazten dena, probabilitate funtzio honi jarraiki banatzen den probabilitate banaketa da, n saiakuntzako Bernoulli prozesu batean, x arrakasta izateko probabilitatea ematen duena, p saiakuntza bakoitzean arrakasta izateko probabilitatea eta $\scriptstyle {n \choose x}$ koefiziente binomiala izanik::
       $P(X=x;n,p)={n \choose x}p^{x}q^{n-x}={\frac {n!}{k!(n-k)!}}p^{x}(1-p)^{n-x}\ \ ;\ \ x=0,1,2,\ldots ,n$
Adibidez, dado baten 4 jaurtiketetan suertatzen diren 2 zenbakien kopurua $\scriptstyle B(n=4,p=1/6)$ banatzen da. 4 jaurtiketa horietan 2 zenbakia hiru aldiz agertzeko probabilitatea honela kalkulatzen da, aldi bakoitzean 2 zenbakia suertatzeko probabilittea 1/6=0.166 izanik:
       $P(X=3;4,1/6)={\frac {4!}{3!1!}}{\Bigg{\frac {1}{6}}{\Bigg )}^{3}{\Bigg{\frac {5}{6}}{\Bigg )}^{1}=0.0154$
Horrela, 4 aldietatik hirutan 2 suertatzea nahiko zaila dela ondoriozta daiteke, 4 jaurtiketako segida guztietatik %1.54tan soilik gertatuko baita.
Banakuntza binomialaren formula jakin gabe ere aise kalkula daiteke eskatutako probabilitatea eta gainera, horrela eginez formularen jatorria atzeman daiteke:
${\begin{array}{rcl}P(X=3;4,1/6)&=&P[(2\cap 2\cap 2\cap {\overline {2}})\cup (2\cap 2\cap {\overline {2}})\cap 2)\cup (2\cap {\overline {2}})\cap 2\cap 2)\cup ({\overline {2}}\cap 2\cap 2\cap 2)]\\&=&{\Big{\frac {1}{6}}\times {\frac {1}{6}}\times {\frac {1}{6}}\times {\frac {5}{6}}{\Big )}+{\Big{\frac {1}{6}}\times {\frac {1}{6}}\times {\frac {5}{6}}\times {\frac {1}{6}}{\Big )}+{\Big{\frac {1}{6}}\times {\frac {5}{6}}\times {\frac {1}{6}}\times {\frac {1}{6}}{\Big )}+{\Big{\frac {5}{6}}\times {\frac {1}{6}}\times {\frac {1}{6}}\times {\frac {1}{6}}{\Big )}\\&=&4\times {\Big{\frac {1}{6}}\times {\frac {1}{6}}\times {\frac {1}{6}}\times {\frac {5}{6}}{\Big )}={\frac {4!}{3!1!}}{\Big{\frac {1}{6}}{\Big )}^{3}{\Big{\frac {5}{6}}{\Big )}^{1}=0.0154\end{array}}$

### Itxaropen matematikoa

B(n,p) banaketa binomialaren itxaropen matematikoa edo batezbestekoa hau da:
       $E[X]=np$
Adibidez, dado baten 60 jaurtiketetan suertatzen diren 1 puntuazioen kopurua $\scriptstyle B(n=60,p=1/6)$ banatzen da, eta ondorioz 1 puntuazioen batez besteko kopurua np=60×(1/6)=10 da.
       ${\begin{array}{rcl}E[X]&=&\sum _{x=0}^{n}xp(x)\\&=&0{n \choose 0}q^{n}+1{n \choose 1}pq^{n-1}+2{n \choose 2}p^{2}q^{n-1}+3{n \choose 3}p^{3}q^{n-2}+\ldots +(n-1){n \choose n-1}p^{n-1}q^{1}+n{n \choose n}p^{n}\\&=&{\frac {n!}{1!(n-1)!}}pq^{n-1}+{\frac {2\cdot n!}{2!(n-1)!}}p^{2}q^{n-1}+{\frac {3\cdot n!}{3!(n-3)!}}p^{3}q^{n-3}+\ldots +{\frac {(n-1)\cdot n!}{(n-1)!1!}}p^{n-1}q^{1}+np^{n}\\&=&np{\Bigg{\frac {(n-1)!}{1!(n-1)!}}q^{n-1}+{\frac {(n-1)!}{1!(n-2)!}}pq^{n-2}+{\frac {(n-1)!}{2!(n-3)!}}pq^{n-3}+\ldots +{\frac {(n-1)!}{(n-2)!1!}}p^{n-2}q+p^{n-1}{\Bigg )}\\&=&np{\Biggq^{n-1}+(n-1)pq^{n-2}+{\frac {(n-1)(n-2)}{2}}p^{2}q^{n-3}+\ldots +(n-1)p^{n-2}q+p^{n-1}{\Bigg )}\\&=&np(p+q)^{n-1}\ \ \ ;\ \ \textstyle {Newtonen\ binomioaz}\\&=&np\ \ \ ;\ \ \textstyle {p+q=1\ betetzen\ baita.}\end{array}}$
$\scriptstyle Y\sim B(n,p)$
$\scriptstyle X_{i}\sim b(p)$
       ${\begin{array}{rcl}E[Y]&=&E[X_{1}]+E[X_{2}]+\ldots +E[X_{n}]\\&=&p+p+\ldots +p\\&=&np\\\end{array}}$

### Bariantza

B(n,p) banaketa binomialaren bariantza hau da:
       $var[X]=npq$
$\scriptstyle Y\sim B(n,p)$
$\scriptstyle X_{i}\sim B(n,p)$
       ${\begin{array}{rcl}var[Y]&=&var[X_{1}]+var[X_{2}]+\ldots +var[X_{n}]\\&=&pq+pq+\ldots +pq\\&=&npq\\\end{array}}$
Alde batetik,
       $\sigma ^{2}=E[X^{2}]-E[X]^{2}=E[X(X-1)]+E[X]-E[X]^{2}$
$\scriptstyle E[X(X-1)]$ garatuko da orain:
       ${\begin{array}{rcl}E[X(X-1)]&=&\sum _{i=0}^{n}x(x-1)p(x)\\&=&\sum _{x=0}^{n}x(x-1){\frac {n!}{x!(n-x)!}}p^{x}(1-p)^{n-x}\\&=&\sum _{x=0}^{n}x(x-1){\frac {n!}{(x-2)!(n-x)!}}p^{x}(1-p)^{n-x}\\&=&\sum _{x=2}^{n}{\frac {n!}{(x-2)!(n-x)!}}p^{x}(1-p)^{n-x}\\&=&n(n-1)p^{2}\sum _{x=2}^{n}{\frac {(n-2)!}{(x-2)!(n-x)!}}p^{x-2}(1-p)^{n-x}\ \ \ (y=x-2;\ m=n-2)\\&=&n(n-1)p^{2}\sum _{y=0}^{m}{\frac {m!}{y!(m-y)!}}p^{y}(1-p)^{m-y}\\&=&n(n-1)p^{2}(p+(1-p))^{m}\\&=&n(n-1)p^{2}\\\end{array}}$
Bariantzara itzuliz eta itaropena np dela kontuan hartuz:
       $\sigma ^{2}=E[X(X-1)]+E[X]-E[X]^{2}=n(n-1)p^{2}+np-(np)^{2}=np-np^{2}=np(1-p)=npq$

### Moda

Moda, probabilitate handieneko balio moduan definitzen dena, (n+1)p balioa baino txikiagoa edo berdina den zenbaki oso handiena da. (n+1)p balioa zenbaki osoa bada, probabilitate bereko m eta m-1 bi balioak dira probabilitate handienekoak.

## Erlazioak beste banakuntzekin

* Bernoulliren banaketa banaketa binomial bat besterik ez da, n=1 izanik:
       $b(p):=B{\big1,p{\big )}$
* B(n,p) banaketa binomiala p parametroko n Bernoulliren banakuntzen batura da:
       $B(n,p):=\underbrace {b(p)+b(p)+\ldots +b(p)} _{n}$
* Banakuntza binomiala batukortasunez egonkorra da, p parametroa konstantea bada; hots, p parametroko banaketa binomial bi edo gehiagoren batura p banaketa binomial bati jarraiki banatzen da:
       $X\sim B{\bigm,p{\big )};\ Y\sim B(n,p)\rightarrow X+Y\sim B(m+n,p)$
* De Moivre-Laplace teoremaren arabera, n parametroa aski handia bada (n>30 ezarri ohi da), banaketa binomiala oso alboratua ez bada (horretarako, np eta n(1-p) balioak 5 baino handiagoak izatea ezarri ohi da) eta behar bezalako jarraitasun zuzenketa egiten bada, banaketa normala erabil daiteke probabilitate binomialen hurbilketarako:
       $B(n,p)_{n\rightarrow \infty }\approx N{\big\mu =np,\ \sigma ={\sqrt {np(1-p)}}{\big )}$
* Banakuntza binomiala Poissonen banaketara hurbiltzen da, n saiakuntza kopurua infiniturantz doanean, np biderkadura konstante mantentzen bada. Zehatzago, B(n,p) banaketa bateko hurbilketa gisa λ=np parametroko Poissonen banaketa erabil daiteke, n aski handia eta p aski txikia bada:
       $B(n,p)_{(n\rightarrow \infty ,\ p\rightarrow 0,\ np\rightarrow \lambda )}\approx P(\lambda =np)$
    n ≥ 20 eta p ≤ 0.05 balioetarako zehaztasun onargarriko hurbilketatzat jo ohi da.

## Oharrak

* ↑ Ohartarazi behar da arrakasta edo porrot izendapenek ez dutela zerikusirik praktikan gertakizun bat aldeko edo aurkako izatearekin. Adibidez, pieza segida batean akastun kopurua zenbatzen da, arraskata eta ondorioz p probabilitatea duen emaitza akastuna da, pieza akastuna kaltegarria izaten den arren.
* ↑ Ez edo porrota suertatzeko probabilitatea q=1-p ere adierazi ohi da.

## Kanpo estekak

* (Ingelesez) Banakuntza binomialaren probabilitateetarako online kalkulagailua.
* Prozesu binomialak, Gizapedian.
* Datuak: Q185547
* Multimedia: Binomial distributions / Q185547