# Landauren problemak

Landauren problemak zenbaki lehenei buruzko lau oinarrizko problema ezagun dira. Edmund Landauk, 1912an Matematikarien Nazioarteko 5. Kongresuan "zientziaren gaur egungo egoeran gain hartu ezinezko"tzat jo zituen.
Honakoak dira lau problema horiek:
* Goldbachen aierua: Honek dioenez, 2 baino handiagoak diren zenbaki bikoiti guztiak bi zenbaki lehenen arteko batuketa dira.
* Zenbaki lehen bikien aierua: Honek, p+2 eginez gero, beste zenbaki lehen bat emango duen infinitu p zenbaki lehen daudela dio.
* Legendreren aierua: Honek, karratu perfektuak diren bi zenbakiren artean behintzat zenbaki lehen bat badagoela dio.
* P-1 eginez gero karratu perfektu bat emango duen infinitu zenbaki lehen daudela dioen aierua. Edo, beste modu batera esanda, n$^2$+1 motako infinitu zenbaki lehen daudela.
Egundaino, bakar bat ere ez da argitu.

## Aurrerapena
### Goldbachen aierua

Vinogradoven teoremak Goldbachen aieru ahula n behar bezain handia denean frogatzen du. Deshoulliersek, Te Rielek, Zinovievek eta Effingerrek konjetura ahula modu baldintzatuan frogatu zuten Riemannen hipotesi orokorraren bidez. Konjetura ahula (10$^{20}$, e$^{3100}$) tartetik kanpoko n ororentzat betetzen dela ezagutzen da.
Chenen teoremak behar bezain handiak diren n guztientzat 2n = p+q dela frogatzen du, non p zenbaki lehena eta q lehena edo erdilehena den. Montgomeryk eta Vaughanek bi zenbaki lehenen arteko batuketa bezala adierazi ezin diren zenbaki bikoitien salbuespeneko taldeak zero dentsitatea zutela frogatu zuten.

### Zenbaki lehen bikien aierua

Daniel Goldston]ek, János Pintzek eta Cem Yildirimek jarraikako bi zenbaki lehenen arteko diferentzia jarraikako bi zenbaki lehenen arteko bataz besteko diferentzia baino askoz txikiagoa izan daitekeela frogatu zuten.
    $\liminf {\frac {p_{n+1}-p_{n}}{{\sqrt {\log p_{n}}}(\log \log p_{n})^{2}}}<\infty .$
Aurretik, modu baldintzatuan zenbaki lehen bikien aieruaren bertsio ahulago bat frogatu zuten Elliot-Halberstamen aierupean, non $\pi (p+20)-\pi (p)\geq 1$ betearazten duten infinitu zenbaki lehen dauden. $\pi (x)$ zenbaki lehenen funtzio enumeratiboa da. Zenbaki lehen bikien aieruak espresioko 20a 2gatik aldatzen du.
Chenek p+2 zenbaki lehena edo erdilehena izatea betearazten duten infinitu p zenbaki lehen daudela frogatu zuen (beranduago Chenen zenbaki lehenak bezala ezagutzera eman zirenak).

### Legendreren aierua

Nahikoa da p zenbaki lehen bakoitzarentzat hurrengo zenbaki lehenarekin duen diferentzia $2{\sqrt {p}}$ baino txikiagoa dela ikustea. Jarraikako zenbaki lehenen arteko gehienezko diferentzien taula batek aierua 10$^{18}$raino egiaztatzen dela frogatzen du. 10$^{18}$tik gertuko kontradibide batek, zenbaki lehen bat eta hurrengoaren arteko diferentzia bataz besteko diferentzia baino 50 milioi aldiz handiagoa izatea eskatuko luke.
Albert Inghamen emaitza batek behar bezain handia den n bakoitzarentzat n$^3$ eta (n + 1)$^3$en artean zenbaki lehen bat dagoela erakusten du.

### n$^2$+1 motako zenbaki lehenak

Friedlander-Iwaniecen teoremak x$^2$ + y$^4$ motako infinitu zenbaki lehen daudela erakusten du. Iwaniecek gehienez ere bi faktore lehenekin n$^2$+1 motako infinitu zenbaki lehen daudela ere adierazi zuen.

## Kanpo estekak

* Datuak: Q2293126