# Geometria

Geometria (grezieraz γεωμετρία, geo = lurra, metria = neurtu) gorputzen tamaina, forma eta posizio erlatibo eta espazioaren propietateez arduratzen den matematikaren ataletako bat da. Geometria zientziarik zaharrenetariko bat da. Hasiera batean luzera, azalera eta bolumenaren inguruan kezkatzen zen, baina K.a. III. mendetik aurrera Euklidesek axioma ezberdinak proposatu zituenetik mendetan zehar estandar hauetan oinarritu da. Astronomiak eman zuen hurrengo milurteko eta erdian buruhauste geometriko nagusia.
Rene Descartesek koordenatuak sartu zituenetik, aljebraren garapenarekin batera, geometria beste garai batean sartu zen. Gainazal kurboak geometria analitikoa erabiliz deskribatu ahal ziren, adibidez, funtzio eta ekuazioak erabiliz. Honek paper garrantzitsua jokatu zuen kalkuluaren sorreran XVII. mendean. Are eta gehiago, perspektibaren teoriak argi utzi zuen geometria badela gorputzen eta formen propietate metrikoak baino zerbait gehiago. Geometriaren gaiak oraindik aberatsago egin ziren hainbat gorputz geometrikoren berezko egitura ikertuz, eta alor honetan Euler eta Gaussek eginiko lanek topologia eta geometria diferentziala sorrarazi zituzten.
XIX. mendean geometria ez-euklidearra aurkitu zenean espazioren kontzeptuak aldaketa izugarria jasan zuen. Gaur egungo geometriak tolesak eta lokarriak ere aintzat hartzen ditu, euklidear espazioa baino abstraktuagoak diren objektuak, eta eskala txikietan baina geometria klasikoaren itxura duten objektuak ere ikertzen ditu. Gaur egungo geometriak harreman handia du fisikarekin, batez ere geometria Riemanniarra eta erlatibitate orokorraren artean. Fisikaren teoriarik berrienetako bat ere, korden teoria, oso geometrikoa da azken finean.
Geometria irudi bidez adierazgarria izateak matematikaren beste atalak baino ulergarriagoa egiten du, batez ere aljebra edo zenbakien teoriarekin alderatuta. Hala ere, hizkera geometrikoa normalean ohituak gauden esparruetatik at ere mugitzen da, adibidez geometria fraktalean eta batez ere geometria aljebraikoan.

## Geometriaren historia

Ezagutzen diren geometriari buruzko lehenengo izkribuak antzinako Mesopotamiatik datoz. Antzinako Egipto eta Indo Haranean ere geometria lantzen zen K.a. 3. milurtekoan. Hasierako geometria aurkikuntza enpiriko pila baten batura zen eta luzera, angelu, azalera eta bolumenak kalkulatzeko erabiltzen zen. Geometriaren garapena eraikuntza, esplorazioa eta astronomiarekin loturik agertzen zen gehienetan. Ezagutzen den geometria testurik zaharrena Egiptoar matematikatik datozen Rhindeko Matematika Papiroa eta Moskuko papiroa, Babiloniako taula kuneiformeak eta Indiako Shulba Sutras testuak dira. Txinan aipagarriak dira Mozi, Zhang Heng eta Matematika-artearen bederatzi kapituluak idatzi zituen Liu Hui.
Euklidesen Geometriako Elementuak (K.a. 300) geometriaren sortze-testuetatik garrantzitsuenetariko bat da. Liburu horretan geometria axioma ideal batzuen barnean kokatzen zen eta horregatik da ezaguna euklidear geometria izenaz. Tratatu hau ez da, hala ere, Antzinako Greziako matematikariek geometriaren inguruan zekiten guztiaren bilduma, baizik eta sarrera bat, besterik ez. Euklidesek berak beste zortzi liburu sakonago idatzi zituen. Gainera, beste iturri batzuek diotenaren arabera, berea ez zen izan geometriaren alorreko lehenengo oinarrizko liburua.
Erdi Aroan matematikari musulmanek geometriaren garapena ekarri zuten, batez ere geometria aljebraikoa eta aljebra geometrikoa. Al-Mahanik (853. urtean jaio) lehenengo aldiz proposatu zituen irtenbide geometrikoak arazo aljebraikoentzat. Thabit ibn Qurrak (836-901) aritmetikako operazioak ebatzi zituen kantitate geometrikoen ratioetara eta lehenengo lanak egin zituen geometria analitikoaren esparruan. Omar Khayyamek (1048-1131) irtenbide geometrikoa aurkitu zien ekuazio kubikoei eta paraleloen postulatuaren gainean eginiko lanak ekarpen handia egin zion geroagoko geometria ez-euklidearrari.
XVII. mendean geometriaren esparruan bi garapen handi egon ziren. Lehenengoa, eta garrantzitsuena, geometria analitikoaren sorrera izan zen, hau da ekuazio eta koordenatu sistema batekin ebatzi zitekeen geometria. Rene Descartes (1596-1650) eta Pierre de Fermat (1601-1665) izan ziren alor hauen garatzaileak eta honekin batera fisikan erabiltzen den kalkuluaren garapena etorri zen. Bigarren garapen handiena Gerard Desarguesek (1591-1661) eginiko geometria proiektiboaren azterketa izan zen. Geometria mota honek ez du neurketa erabiltzen, puntuen arteko lerrokatzea nolakoa den aztertzen du.
XIX. mendean bi garapen handi egon ziren eta geometriaren lehenagoko logika osoa hankaz gora jarri zuten. Lehenengoa Geometria ez-euklidearraren garapena izan zen, Lobachevsky, Bolyai eta Gaussen esku. Bigarrena simetriaren formulazioa, Erlangen Programako Felix Kleinen esku. Garai honetako bi geometra garrantzitsu Bernhard Riemann eta Henri Poincare izan ziren. Lehenengoa analisi matematikoaren bitartez Riemannen gainazalak aztertu zituen eta bigarrenak topologia aljebraikoa garatu zuen.
Aldaketa hauen guztien ondorioz geometriak aztertzen zuen espazio kontzeptua oso aberatsa eta ñabarra bilakatu zen. Geometria tradizionala gaur egun espazio homogeneoaren geometriatzat hartzen da, hau da, hainbeste simetria dute espazioak ezen puntu batetik bestera begiratuta berdinak diruditen.

## Kontzeptu nagusiak

Honakoak dira geometriaren kontzeptu nagusiak:

### Axiomak

Euklidesek geometriaren ikuspegi abstraktua hartu zuen bere Elementuetan, inoiz idatzi den libururik garrantzitsuenetako bat. Euklidesek zenbait axioma edo postulatu sartu zituen, puntuen, zuzenen eta planoen propietate primarioak edo nabariak adierazten zituztenak. Jarraian, arrazoiketa matematikoaren bidez beste propietate batzuk zorrozki deduzitu zituen. Euklidesen geometriak zorroztasuna zuen ezaugarri, geometria axiomatikoa edo sintetikoa deitu izan zaiona. XIX. mendearen hasieran, Nikolai Ivanovitx Lobatxevskik (1792-1856), János Bolyaik (1802-1860), Carl Friedrich Gaussek (1777-1855) eta beste batzuek euklidiarrak ez ziren geometriak aurkitu zituztenean, berriro piztu zen diziplina horrekiko interesa, eta XX. mendean, David Hilbertek (1862-1943) arrazonamendu axiomatikoa erabili zuen geometriari oinarri modernoa emateko.

### Objektuak
#### Puntuak

Puntuak geometria eraikitzeko funtsezko objektutzat hartzen dira. Izan behar dituzten propietateen arabera defini daitezke, hala nola Euklidesen definizioan "parterik ez duena" bezala, edo geometria sintetikoan. Geometria klasikoan, puntuek ez dute ez luzera, ez zabalera, ez altuerarik. Matematika modernoetan, espazio izeneko multzo baten elementu gisa definitu ohi dira, eta multzo hori axiomatikoki definituta dago.
Definizio moderno horiekin, forma geometriko oro puntu-multzo gisa definitzen da; ez da gauza bera gertatzen geometria sintetikoan, non zuzen bat beste funtsezko objektu bat den, igarotzen den puntuen multzotzat hartzen ez dena.
Hala ere, geometria modernoetan puntuak ez dira objektu primitiboak, eta badira ere punturik gabeko geometriak. Zaharrenetako bat Whiteheaden punturik gabeko geometria da, Alfred North Whiteheadek 1919-1920an formulatua.

#### Lerroak

Euklidesek lerro bat "zabalerarik gabeko luzera" bezala deskribatu zuen, "bere baitako puntuekiko era berean aurkitzen dena". Matematika modernoetan, geometria ugari dagoenez, zuzenaren kontzeptua geometria deskribatzeko moduari estuki lotuta dago. Adibidez, geometria analitikoan, planoko zuzen bat ekuazio lineal jakin bat asetzen duten koordenatuak dituzten puntuen multzo gisa definitu ohi da, baina ingurune abstraktuago batean, intzidentzia-geometrian adibidez, zuzen bat objektu independente bat izan daiteke, haren gainean dauden puntu-multzoaz bestelakoa. Geometria diferentzialean, geodesika lerroaren nozioa espazio kurbatuetara orokortzea da.

#### Planoak

Geometria euklidiarrean, plano bat bi dimentsioko azalera laua da, infinituki hedatzen dena; beste geometria mota batzuen definizioak honen orokortzeak dira. Planoak geometriaren alor askotan erabiltzen dira. Adibidez, planoak gainazal topologiko gisa azter daitezke, distantziei edo angeluei erreferentzia egin gabe; antzeko espazio gisa azter daitezke, non kolinealtasuna eta erlazioak azter daitezkeen, baina ez distantziak; plano konplexu gisa azter daitezke, analisi konplexuko teknikak erabiliz; eta abar.

#### Angeluak

Euklidesek angelua elkarrekiko inklinazio gisa definitzen du, plano horretan dauden edozein bi zuzenean artean ez badira elkarrekiko paralelo. Termino modernoetan, angelua bi izpiz osatutako irudia da, angeluaren aldeak deituak, azken puntu komun bat partekatzen dutenak, angeluaren erpina deritzona.
Geometria euklidiarrean, angeluak poligonoak eta triangeluak aztertzeko erabiltzen dira, eta, gainera, berezko ezaugarriak dituzte aztertzeko modukoak. Triangelu baten angeluak edo zirkunferentzia unitario baten angeluak aztertzea da trigonometriaren oinarria.
Geometria diferentzialean eta kalkuluan, kurba lauen edo kurben edo gainazal espazialen arteko angeluak deribatuaren bidez kalkula daitezke.
* Angelu zuzena
* Angelu zorrotza
* Angelu laua
* Angelu kamutsa
* Angelu osoa
* Angelu ganbila edo sarkorra
* Angelu ahurra edo irtenkorra

#### Kurbak

Kurba objektu dimentsiobakarra da, zuzena izan daitekeena (lerro bat bezala) edo ez; bi dimentsioko espazioko kurbei kurba lauak esaten zaie, eta hiru dimentsioko espaziokoei, berriz, espazio-kurbak.
Topologian, kurba bat zenbaki errealetatik beste espazio baterako tarte bateko funtzio baten bidez definitzen da. Geometria aljebraikoak kurba aljebraikoak aztertzen ditu, lehen dimentsioko aldaera aljebraiko gisa definitzen direnak.

#### Gainazalak

Gainazala objektu bidimentsionala da, esfera edo paraboloide bat bezala. Geometria diferentzialean eta topologian, gainazalak "partxe" (edo auzo-partxe) bidimentsionalen bidez deskribatzen dira, eta difeomorfismoen edo homeomorfismoen bidez mihiztatzen dira, hurrenez hurren. Geometria aljebraikoan, azalerak ekuazio polinomikoen bidez deskribatzen dira.

#### Barietateak

barietate bat topologia-espazio bat da, puntu bakoitzetik hurbil dagoen espazio euklidearraren antzekoa. Zehatzago, n-dimentsio-barietate bat, edo n n-barietate laburtzeko, topologia-espazio bat da, non puntu bakoitzak auzotasun bat baitu, n n-dimentsioko espazio euklidianoaren azpimultzo ireki bati homeomorfoa dena. Dimentsio bakarreko kolektoreek lineak eta zirkuluak dituzte, baina ez lemniskatak. Bi dimentsioko barietateei ere azalera esaten zaie. Hona hemen adibide batzuk: planoa, esfera eta toroidea, Kleinen botila eta benetako plano proiektiboa.

### Luzera, azalera eta bolumena

Luzerak, azalerak eta bolumenak objektu baten tamaina edo hedadura deskribatzen dute, dimentsio batean, bi dimentsiotan eta hiru dimentsiotan, hurrenez hurren.
Geometria euklidiarrean eta geometria analitikoan, segmentu zuzen baten luzera Pitagorasen teoremaren bidez kalkula daiteke sarri.
Azalera eta bolumena luzerarekiko independenteak diren funtsezko magnitude gisa defini daitezke, edo plano edo hiru dimentsioko espazio bateko luzeren arabera deskribatu eta kalkula daitezke. Matematikariek formula esplizitu asko aurkitu dituzte azalerarako eta hainbat objektu geometrikoren bolumenerako. Kalkuluan, area eta bolumena integralekin defini daitezke, hala nola Riemannen integrala edo Lebesgueren integrala.

#### Metrika eta neurketa

Luzeraren edo distantziaren kontzeptua orokortu egin daiteke, metrikaren ideia sortuz. Adibidez, metrika euklidearrak puntuen arteko distantzia neurtzen du plano euklideoan, eta metrika hiperbolikoak, berriz, distantzia plano hiperbolikoan. Metriken beste adibide garrantzitsu batzuk erlatibitate bereziaren Lorentzen metrika eta erlatibitate orokorraren erdi-riemanndar metrika dira.
Beste norabide batean, luzeraren, azaleraren eta bolumenaren kontzeptuak zabaldu egiten dira neurketaren teoriarekin. Teoria horrek multzoei tamaina edo neurri bat esleitzeko metodoak aztertzen ditu, non neurriek arearen eta bolumen klasikoaren antzeko arauak jarraitzen dituzten.

### Kongruentzia eta antzekotasuna

Kongruentzia eta antzekotasuna bi formek antzeko ezaugarriak noiz dituzten deskribatzen duten kontzeptuak dira. Geometria euklidearrean, antzekotasuna forma bera duten objektuak deskribatzeko erabiltzen da, eta kongruentzia, berriz, tamainan zein forman berdinak diren objektuak deskribatzeko. Hilbertek, geometriarako oinarri zorrotzagoa sortzeko lanean, kongruentzia termino mugagabe gisa tratatu zuen, eta haren propietateak axiomen bidez definitzen dira.
Kongruentzia eta antzekotasuna transformazioen geometrian orokortzen dira, transformazio mota desberdinak kontserbatzen dituzten objektu geometrikoen propietateak aztertzen baititu.

### Erregela eta konpasa

Geometra klasikoek arreta berezia jartzen zuten beste moduren batean deskribatutako objektu geometrikoen eraikuntzan. Klasikoki, eraikuntza geometriko gehienetan erabiltzen diren tresna bakarrak konpasa eta erregela dira. Gainera, eraikuntza bakoitza urrats kopuru mugatu batean osatu behar zen. Hala ere, arazo batzuk konpontzea zaila edo ezinezkoa izan zen bitarteko horiekin bakarrik, eta neusiak, parabolak eta beste kurba batzuk edo gailu mekanikoak erabiltzen zituzten eraikuntza burutsuak aurkitu ziren.

### Dimentsioak

Geometria tradizionalak dimentsio kontzeptua garatzen du. Dimentsio 1 (lerro bat), 2 (plano bat) eta 3 (espazio tridimentsional gisa sortutako gure giro-mundua) onartzen dituen bitartean, matematikariek eta fisikariek ia bi mende daramatzate dimentsio handiagoak erabiltzen. Goiko dimentsioen erabilera matematikoaren adibide bat sistema fisiko baten konfigurazio-espazioa da, sistemaren askatasun-mailen pareko dimentsioa duena. Adibidez, torloju baten konfigurazioa bost koordenaturen bidez deskriba daiteke.
Topologia orokorrean, dimentsioaren kontzeptua zenbaki naturaletatik dimentsio infinitura (Hilberten espazioak, adibidez) eta zenbaki erreal positiboetara (geometria fraktalean) hedatu da. Geometria aljebraikoan, barietate aljebraiko baten dimentsioak itxuraz ezberdinak diren hainbat definizio jaso ditu, guztiak kasu arruntenetan baliokideak direnak.

### Simetria

Simetria forma geometriko, sistema, ekuazio eta beste objektu material edo abstraktu batzuen ezaugarri berezi bat da, transformazio, mugimendu eta aldaketetan oinarritzen dena.
Operazio matematikoan oinarritzen bagara, objektu bat simetrikoa da operazioa aplikatu ondoren objektuak eta bere itxurak aldaketarik gabe jarraitzen dutenean.
Operazio multzo baten ondorioz objektu batetik beste bat sortzen bada bi objektu horiek simetrikoak izango dira. Geometrian, bi dimentsioko simetriaren motako garrantzitsuenak espazio euklidearretan oinarritzen dira: translazioak, birak eta islapenak; baita higitzen direnak ere. Izaki bizidunetan simetria ere ager daiteke.

## Geometria garaikidea
### Geometria euklidearra

Geometria euklidearra zentzu klasikoan ezagutzen den geometria da. Mundu fisikoaren espazioa modelatzeko, arlo zientifiko askotan erabiltzen da, hala nola mekanikan, astronomian, kristalografian eta arlo tekniko askotan, hala nola ingeniaritzan, arkitekturan, geodesian, aerodinamikan eta nabigazioan. Herrialde gehienetako derrigorrezko hezkuntza-curriculumak euklidear kontzeptuak aztertzen ditu, hala nola puntuak, zuzenak, planoak, angeluak, triangeluak, kongruentzia, antzekotasuna, irudi solidoak, zirkuluak eta geometria analitikoa.

### Geometria diferentziala

Geometria diferentzialak kalkulu-teknikak eta aljebra lineala erabiltzen ditu geometria-problemak aztertzeko. Fisikan, ekonometrian eta bioinformatikan ditu aplikazioak, besteak beste.
Bereziki, geometria diferentziala garrantzitsua da fisika matematikorako, Albert Einsteinen erlatibitate orokorrak unibertsoa kurbatua dela dioen postulazioaren ondorioz. Geometria diferentziala intrintsekoa izan daiteke (horrek esan nahi du kontuan hartzen dituen espazioak barietate leunak direla, eta horien egitura geometrikoa Riemannen metrika batek zuzentzen duela, puntu bakoitzetik gertu distantziak nola neurtzen diren zehazten duena) edo kanpokoa (aztertutako objektua ingurumen-espazio euklideo planoren baten zati denean).

#### Geometria ez-euklidearra

Geometria euklidearra ez zen aztertutako geometriaren forma historiko bakarra izan. Geometria esferikoa astronomo, astrologo eta nabigatzaileek erabili zuten luzaroan.
Immanuel Kantek zioenez, geometria absolutu bat baino ez dagoela, adimenaren barne-ahalmen baten bidez a priori egiazkotzat ezagutzen dena: geometria euklidearra a priori sintetikoa zen. Hasiera batean, Saccheri bezalako pentsalariek zalantzan jarri zuten ikuspuntu hau, azkenean Bolyai, Lobatxevski eta Gaussen lanetan geometria ez-euklidearraren aurkikuntza iraultzaileak (bere teoria inoiz argitaratu ez zuena) kendu zuena. Euklidear espazio arrunta geometria garatzeko aukera bat besterik ez dela frogatu zuten. Geometriaren gaiari buruzko ikuspegi zabala eman zuen Riemannek 1867an Über die Hypothesen, welche der Geometrie zu Grunde liegen (Geometriaren oinarri diren hipotesiei buruz) izeneko inaugurazio-hitzaldian, hil ondoren bakarrik argitaratua. Riemannen espazioaren ideia berria erabakigarria izan zen Albert Einsteinen erlatibitatearen teoria orokorrerako. Riemannen geometria, luzeraren nozioa definitzen den espazio oso orokortzat hartzen duena, geometria modernoaren zutabeetako bat da.

### Topologia

Topologia funtzio jarraituen propietateez arduratzen den eremua da, eta geometria euklidearraren orokortzetzat har daiteke. Praktikan, topologia espazioen eskala handiko propietateez arduratzen da, hala nola konexutasunaz eta trinkotasunaz.
Topologiaren arloa, XX. mendean garapen masiboa izan zuena, zentzu teknikoan eraldaketa geometria mota bat da, non eraldaketak homeomorfismoak diren. Hori askotan adierazi izan da "topologia gomazko xaflen geometria da" esaldiarekin. Topologiaren azpieremuen artean topologia geometrikoa, topologia diferentziala, topologia aljebraikoa eta topologia orokorra daude.

### Geometria aljebraikoa

Geometria aljebraikoaren eremua koordenatuen geometria kartesiarretik garatu zen. Hazkunde-aldiak izan zituen, geometria proiektiboaren, geometria birrazionalaren, barietate aljebraikoen eta aljebra kommutatiboaren sorkuntza eta azterketarekin batera, besteak beste. 1950eko hamarkadaren amaieratik 1970eko hamarkadaren erdialdera arte, garapen fundazional garrantzitsua izan zuen, hein handi batean Jean-Pierre Serre eta Alexander Grothendiecken lanen ondorioz. Horrek eskemak sartzea eta metodo topologikoak gehiago azpimarratzea ekarri zuen, kohomologia-teoria batzuk barne. Milurteko Sariaren zazpi problementako bat, Hodgeren aierua, geometria aljebraikoaren eremua da. Fermaten azken teoremaren Wilesen probak geometria aljebraikoaren metodo aurreratuak erabiltzen ditu zenbakien teoriaren antzinako problema bat ebazteko.
Oro har, geometria aljebraikoak geometria aztertzen du aljebra kommutatiboaren kontzeptuak erabiliz, hala nola, aldagai anitzeko polinomioak. Arlo askotan ditu aplikazioak, hala nola kriptografian eta korden teorian.

### Geometria konplexua

Geometria konplexuak egitura geometriko modelatuen edo plano konplexutik eratorrien izaera aztertzen du. Geometria konplexua geometria diferentzialaren, geometria aljebraikoaren eta aldagai konplexu batzuen analisiaren elkargunean dago, eta korden teorian eta simetria espekularrean aplikazioak aurkitu ditu.
Geometria konplexua azterketa-eremu independente gisa agertu zen lehen aldiz, Bernhard Riemannek Riemannen gainazalen azterketan egindako lanetatik abiatuta. XX. mendearen hasieran, geometria aljebraikoaren eskola italiarrak Riemannen ildoan lan egin zuen. Geometria konplexuaren trataera garaikidea Jean-Pierre Serreren lanekin hasi zen. Azken horrek sorten kontzeptua sartu zuen gaian eta geometria konplexuaren eta geometria aljebraikoaren arteko erlazioak argitu zituen. Geometria konplexuaren aztergai nagusiak barietate konplexuak, barietate aljebraiko konplexuak eta barietate analitiko konplexuak dira, baita holomorfo bektorialak eta espazio horien gaineko sorta koherenteak ere. Geometria konplexuan aztertutako espazioen adibide bereziak Riemannen gainazalak eta Calabi-Yauren barietateak dira, eta espazio horiek korden teorian erabiltzen dira. Zehazki, korden unibertso-orriak Riemann-en gainazalen bidez modelatzen dira, eta superkorden teoriak aurreikusten du 10 dimentsioko espazio-denboran 6 dimentsio gehigarriak Calabi-Yau-ren kolektoreen bidez modelatu daitezkeela.

### Geometria diskretua

Geometria diskretua geometria konbexuarekin estua duen materia da. Objektu geometriko sinpleen posizio erlatiboaren gaiez arduratzen da nagusiki, hala nola, puntuak, lerroak eta zirkuluak. Adibide batzuk esferen paketatzeen azterketa, triangulazioak, Kneser-Poulsenen aierua, etab. dira. Metodo eta printzipio asko partekatzen ditu konbinatoriarekin.

### Geometria konputazionala

Geometria konputazionala algoritmoez eta objektu geometrikoak manipulatzeko aplikazioez arduratzen da. Historikoki problema garrantzitsuak planteatu izan dira, hala nola bidaiariaren problema, zuhaitz estaltzaile minimoa, ezkutuko lerroak kentzearena edo programazio linealarena.
Geometriaren arlo gaztea bada ere, aplikazio asko ditu ikusmen arfizialean, irudiak prozesatzeko, ordenagailuz lagundutako diseinurako, irudigintza medikoetarako, etab.

### Talde-geometriaren teoria

Talde-geometriaren teoria eskala handiko teknika geometrikoak erabiltzen ditu finituki sortutako taldeak aztertzeko. Oso lotuta dago dimentsio txikiko topologiarekin, hala nola Grigori Perelmanen Geometrizazioaren aieruaren frogapenean, Poincaréren aieruaren froga barne hartzen zuena, Milurteko Sariaren Problemetako bat.
Taldeen teoria geometrikoa askotan Cayleyren grafoaren ingurukoa da, hau da, talde baten irudikapen geometrikoaren ingurukoa. Beste gai garrantzitsu batzuk kuasi-isometriak, Gromoven talde hiperbolikoak eta angelu zuzeneko Artin taldeak dira.

### Geometria konbexua

Geometria konbexuak euklidear espazioko forma konbexuak eta horien analogorik abstraktuenak ikertzen ditu, sarritan analisi errealeko eta matematika diskretuko teknikak erabiliz. Lotura estua du analisi konbexuarekin, optimizazioarekin eta analisi funtzionalarekin, eta aplikazio garrantzitsuak ditu zenbakien teorian.
Geometria konbexua Antzinarokoa da. Arkimedesek eman zuen konbexutasunaren lehen definizio zehatza. Problema isoperimetrikoa, geometria ganbilaren kontzeptu errepikakorra, greziarrek ere aztertu zuten, horien artean Zenodorok. Arkimedesek, Platonek, Euklidesek eta, geroago, Keplerrek eta Coxeterrek politopo konbexuak eta haien propietateak aztertu zituzten. XIX. mendetik aurrera, matematikariek matematika konbexuaren beste arlo batzuk aztertu dituzte, hala nola politopo handienak, gorputz konbexuen bolumena eta azalera, Gaussen kurbadura, algoritmoak, teselatzeak eta saretak.

## Aplikazioak

Gemoetriak hainbat aplikazio aurkitu ditu eremu askotan. Horietako batzuk aipatzen dira hemen.

### Artea

Matematika eta artea era askotara daude lotuta. Adibidez, perspektibaren teoriak erakutsi zuen geometria ez dela figuren propietate metrikoetara mugatzen: perspektiba geometria proiektiboaren jatorria da.
Artistek denbora asko daramate diseinuan proportzio kontzeptuak erabiltzen. Vitruviok giza irudiarentzako proportzio idealen teoria konplexu bat garatu zuen. Kontzeptu horiek erabili eta egokitu dituzte artistek, Michelangelotik hasi eta komikietako marrazkilari modernoetaraino.
Urrezko proportzioa artean paper eztabaidagarria izan duen proportzio berezia da. Sarritan esaten da estetikoki atseginagoa den luzera-proportzioa dela, eta sarritan baieztatzen da artelan ospetsuetan txertatuta dagoela, nahiz eta adibide fidagarri eta zalantzarik gabekoenak nahita egin zituzten legenda horretaz jabetzen ziren artistek.
Teselatuak artean erabili izan dira historian zehar. Arte islamiarrak maiz jotzen du haietara, M. C. Escherren arteak bezala. Escherrek geometria hiperbolikoa ere erabili zuen.
Cezannek proposatu zuen irudi guztiak esferatik, konotik eta zilindrotik eraiki daitezkeela. Gaur egungo artearen teorian hori erabiltzen jarraitzen da, nahiz eta formen zerrenda zehatza autore batetik bestera aldatzen den.

### Arkitektura

Geometriak aplikazio asko ditu arkitekturan. Izan ere, geometria diseinu arkitektonikoaren oinarria dela esan izan da. Geometriak arkitekturari egiten dizkion aplikazioek barne hartzen dute geometria proiektiboa erabiltzea ikuspegi behartua sortzeko, kupulak eta antzeko objektuak eraikitzeko sekzio konikoak erabiltzea, teselazioak erabiltzea eta simetria erabiltzea.

### Fisika

Astronomiaren eremua, batez ere izarren eta planeten zeru-esferako posizioen kartografiari eta zeruko gorputzen mugimenduen arteko erlazioaren deskribapenari dagokienez, problema geometrikoen iturri garrantzitsua izan da historian zehar.
Geometria riemanndarra eta geometria pseudo-riemanndarra erlatibitate orokorrean erabiltzen dira. Korden teoriak geometriaren hainbat aldaera erabiltzen ditu, informazioaren teoria kuantikoak bezala.

### Matematikaren beste adar batzuk

Geometriak eragin handia izan zuen kalkuluan. Adibidez, René Descartesek koordenatuak sartzeak eta aljebra aldi berean garatzeak etapa berri bat markatu zuten geometriarentzat, kurba lauak bezalako irudi geometrikoak analitikoki irudika zitezkeelako funtzio eta ekuazio moduan. Horrek berebiziko garrantzia izan zuen XVII. mendeko kalkulu infinitesimalaren agerpenean. Geometria analitikoak aurre-kalkuluko eta kalkuluko ikasketa-planen zutabeetako bat izaten jarraitzen du.
Beste aplikazio-eremu garrantzitsu bat zenbakien teoria da. Antzinako Grezian, pitagorikoek zenbakiek geometrian zuten papera aztertu zuten. Hala ere, luzera neurtezinen aurkikuntzak kontraesanean jarri zituen haien iritzi filosofikoak. XIX. mendetik aurrera, geometria zenbakien teoriaren problemak ebazteko erabili izan da, adibidez, zenbakien geometriaren bidez edo, oraintsuago, eskemen teoriaren bidez, Fermaten Azken Teoremaren Wilesen frogapenean erabilia.

## Ariketak

* Geometria
* Konoa zer den ulertzeko bideoa.
* Kono enborra zer den ulertzeko bideoa.
* Zilindroak zer den ulertzeko bideoa.
* Talesen teoremak antzekotasunak lantzeko ariketa.
* Piramidea zer den ulertzeko bideoa.
* Esfera zer den ulertzeko bideoa.
* Prisma zer den ulertzeko bideoa.
* Ardatz kartesiarren koordenatuak irudikatzen.

## Erreferentziak

* ↑ Boyer, Carl Benjamin. 1991. Euclid of Alexandria.
* ↑ Tabak, John. (2004). Geometry : the language of space and form. Facts On File ISBN 0-8160-4953-X. PMC 52819880. (Noiz kontsultatua: 2023-02-19).
* ↑ Kline, Morris. (1990). Mathematical thought from ancient to modern times. v. 3. Oxford University Press ISBN 978-0-19-977048-9. PMC 726764443. (Noiz kontsultatua: 2023-02-19).
* 1 2 (Ingelesez) Schmidt, W.; Houang, R.; Cogan, Leland S.. (2002). «A Coherent Curriculum: The Case of Mathematics.» The American Educator (Noiz kontsultatua: 2023-02-19).
* ↑ Using history to teach mathematics : an international perspective. Mathematical Association of America 2000 ISBN 0-88385-163-6. PMC 44652174. (Noiz kontsultatua: 2023-02-20).
* ↑ Berlinski, David. (2013). The king of infinite space : Euclid and his Elements. Basic Books ISBN 978-0-465-03863-3. PMC 827207366. (Noiz kontsultatua: 2023-02-20).
* ↑ Hartshorne, Robin. (2000). Geometry : Euclid and beyond. Springer ISBN 978-0-387-22676-7. PMC 70763922. (Noiz kontsultatua: 2023-02-20).
* ↑ Herbst, Pat. (2017). The learning and teaching of geometry in secondary schools : a modeling perspective. ISBN 978-1-315-26759-3. PMC 976434307. (Noiz kontsultatua: 2023-02-20).
* ↑ Gordon, Basil. (1979). A Simple Non-Euclidean Geometry and Its Physical Basis : an Elementary Account of Galilean Geometry and the Galilean Principle of Relativity. Springer New York ISBN 978-1-4612-6135-3. PMC 840280669. (Noiz kontsultatua: 2023-02-20).
* ↑ Holme, Audun. (2010). Geometry : our cultural heritage. (2nd ed. argitaraldia) Springer ISBN 978-3-642-14441-7. PMC 676701072. (Noiz kontsultatua: 2023-02-20).
* 1 2 3 4 Euclid. (2002). Euclid's Elements : all thirteen books complete in one volume : the Thomas L. Heath translation. Green Lion Press ISBN 1-888009-18-7. PMC 50274369. (Noiz kontsultatua: 2023-02-20).
* ↑ Clark, Bowman L.. (1985-01). «Individuals and points.» Notre Dame Journal of Formal Logic 26 (1): 61–75. doi:10.1305/ndjfl/1093870761. ISSN 0029-4527. (Noiz kontsultatua: 2023-02-20).
* ↑ Casey, John. (1885). A treatise on the analytical geometry of the point, line, circle, and conic sections, containing an account of its most recent extensions, with numerous examples. Dublin, Hodges, Figgis, & Co., Ltd; London, Longmans, Green, & Co. (Noiz kontsultatua: 2023-02-20).
* ↑ Handbook of incidence geometry : buildings and foundations. Elsevier 1995 ISBN 978-0-444-88355-1. PMC 162589397. (Noiz kontsultatua: 2023-02-20).
* ↑ Munkres, James R.. (2000). Topology. (2nd ed. argitaraldia) Prentice Hall, Inc ISBN 0-13-181629-2. PMC 42683260. (Noiz kontsultatua: 2023-02-20).
* ↑ Szmielew, Wanda. (1983). From affine to Euclidean geometry : an axiomatic approach. D. Riedel ISBN 90-277-1243-3. PMC 8907394. (Noiz kontsultatua: 2023-02-20).
* ↑ Ahlfors, Lars V.. (1979). Complex analysis : an introduction to the theory of analytic functions of one complex variable. (3d ed. argitaraldia) McGraw-Hill ISBN 0-07-000657-1. PMC 4036464. (Noiz kontsultatua: 2023-02-20).
* ↑ «Angle - Encyclopedia of Mathematics» encyclopediaofmath.org (Noiz kontsultatua: 2023-02-20).
* ↑ Gelʹfand, I. M.. (2001). Trigonometry. Birkhäuser ISBN 0-8176-3914-4. PMC 41355833. (Noiz kontsultatua: 2023-02-20).
* ↑ Stewart, James. (2012). Calculus : early transcendentals. (7th ed. argitaraldia) Brooks/Cole, Cengage Learning ISBN 0-538-49790-4. PMC 704439548. (Noiz kontsultatua: 2023-02-20).
* ↑ Jost, Jürgen. (2005). Riemannian geometry and geometric analysis. (4th ed. argitaraldia) Springer ISBN 978-3-540-28891-6. PMC 209870686. (Noiz kontsultatua: 2023-02-20).
* ↑ Carmo, Manfredo Perdigão do. (1976). Differential geometry of curves and surfaces. Prentice-Hall ISBN 0-13-212589-7. PMC 1529515. (Noiz kontsultatua: 2023-02-21).
* ↑ Mumford, David. (1999). The red book of varieties and schemes : includes the Michigan Lectures (1974) on curves and their Jacobians. (2nd expanded ed. argitaraldia) Springer ISBN 3-540-63293-X. PMC 42002571. (Noiz kontsultatua: 2023-02-21).
* ↑ Treese, Steven A.. (2018). History and measurement of the base and derived units. ISBN 978-3-319-77577-7. PMC 1036766223. (Noiz kontsultatua: 2023-03-01).
* ↑ Cannon, James W.. (2017). Two-dimensional spaces. ISBN 978-1-4704-3714-5. PMC 988749483. (Noiz kontsultatua: 2023-03-01).
* ↑ Strang, Gilbert. (1991). Calculus. Wellesley-Cambridge Press ISBN 0-9614088-2-0. PMC 22510764. (Noiz kontsultatua: 2023-03-01).
* ↑ Bear, H. S.. (2002). A primer of Lebesgue integration. (2nd ed. argitaraldia) Academic Press ISBN 978-0-12-083971-1. PMC 162129511. (Noiz kontsultatua: 2023-03-01).
* ↑ Burago, Dmitri. (2001). A course in metric geometry. American Mathematical Society ISBN 0-8218-2129-6. PMC 45873761. (Noiz kontsultatua: 2023-03-01).
* 1 2 Wald, Robert M.. (1984). General relativity. ISBN 0-226-87032-4. PMC 10018614. (Noiz kontsultatua: 2023-03-01).
* 1 2 Tao, Terence. (2011). An introduction to measure theory. American Mathematical Society ISBN 978-0-8218-6919-2. PMC 726150205. (Noiz kontsultatua: 2023-03-01).
* ↑ Blacklock, Mark. (2018). The emergence of the fourth dimension : higher spatial thinking in the fin de siècle. (First edition. argitaraldia) ISBN 978-0-19-107198-0. PMC 1030303245. (Noiz kontsultatua: 2023-03-01).
* ↑ Temam, Roger. (1997). Infinite-dimensional dynamical systems in mechanics and physics. (Second edition. argitaraldia) ISBN 978-1-4612-0645-3. PMC 883391979. (Noiz kontsultatua: 2023-03-01).
* ↑ Recent advances in real algebraic geometry and quadratic forms : proceedings of the RAGSQUAD year, Berkeley, 1990-1991. American Mathematical Society 1994 ISBN 0-8218-5154-3. PMC 28711046. (Noiz kontsultatua: 2023-03-01).
* ↑ (Gaztelaniaz) Alej; MaculetCurs, ro; Finanzas, o actualmente el Grado de Maestro en Educación Primaria en la Universidad Autónoma de Madrid Técnico Superior en Administración y; Quiromasajista; naturaleza, Masajista Deportivo y Músico Forma parte del equipo de desarrollo de contenidos de Smartick Curioso por; Pasiones, Música Y. Ciencia Son Dos De Sus. (2018-09-17). «Simetría: qué es en matemáticas y ejercicios» Smartick (Noiz kontsultatua: 2022-11-12).
* ↑ Guillermo, Roa Zubia. (2004-11-01). «Simetria ez da beti lege» Zientzia.eus (Noiz kontsultatua: 2022-11-12).
* ↑ Butts, Robert E.. (2012). Constructivism and Science: Essays in Recent German Philosophy.. ISBN 978-94-009-0959-5. PMC 1251804504. (Noiz kontsultatua: 2023-03-02).
* ↑ Abbott, W.. (1971). Practical geometry and engineering graphics : a textbook for engineering and other students. (Eighth edition [i.e. seventh edition reprinted]. argitaraldia) ISBN 978-94-017-2742-6. PMC 883381934. (Noiz kontsultatua: 2023-03-02).
* ↑ Hersey, George L.. (2000). Architecture and geometry in the age of the Baroque. University of Chicago Press ISBN 0-226-32783-3. PMC 43851453. (Noiz kontsultatua: 2023-03-02).
* ↑ Vaníček, Petr. (1986). Geodesy : the concepts. (Second edition. argitaraldia) ISBN 978-1-4832-9079-9. PMC 896844033. (Noiz kontsultatua: 2023-03-02).
* ↑ Cummings, Russell M.. (2015). Applied computational aerodynamics : a modern engineering approach. ISBN 978-1-107-05374-8. PMC 881146298. (Noiz kontsultatua: 2023-03-02).
* ↑ Williams, Roy. (1998). Geometry of navigation. Horwood Pub ISBN 1-898563-46-2. PMC 39726856. (Noiz kontsultatua: 2023-03-02).
* ↑ Walschap, Gerard. (2015). Multivariable Calculus and Differential Geometry.. De Gruyter ISBN 3-11-036954-0. PMC 911847214. (Noiz kontsultatua: 2023-03-02).
* ↑ Flanders, Harley. (2012). Differential Forms with Applications to the Physical Sciences.. Dover Publications ISBN 1-306-35136-7. PMC 868270184. (Noiz kontsultatua: 2023-03-02).
* ↑ Applications of differential geometry to econometrics. Cambridge University Press 2000 ISBN 0-521-65116-6. PMC 42888096. (Noiz kontsultatua: 2023-03-02).
* ↑ He, Matthew. (2011). Mathematics of bioinformatics : theory, practice, and applications. Wiley ISBN 978-0-470-90463-3. PMC 704275488. (Noiz kontsultatua: 2023-03-02).
* ↑ Dirac, P. A. M.. (1996). General theory of relativity. ISBN 978-1-4008-8419-3. PMC 953733270. (Noiz kontsultatua: 2023-03-02).
* ↑ Ay, Nihat. (2017). Information geometry. ISBN 978-3-319-56478-4. PMC 1021273948. (Noiz kontsultatua: 2023-03-02).
* ↑ Rozenfelʹd, B. A.. (1988). A History of Non-Euclidean Geometry : Evolution of the Concept of a Geometric Space. Springer New York ISBN 978-1-4419-8680-1. PMC 840276634. (Noiz kontsultatua: 2023-03-02).
* ↑ Kline, Morris. (1990). Mathematical thought from ancient to modern times. v. 3. Oxford University Press ISBN 978-0-19-977048-9. PMC 726764443. (Noiz kontsultatua: 2023-03-02).
* ↑ (Ingelesez) Sommerville, Duncan M'Laren Young. (1919). The Elements of Non-Euclidean Geometry. Open Court (Noiz kontsultatua: 2023-03-02).
* ↑ «Ueber die Hypothesen, welche der Geometrie zu Grunde liegen.» web.archive.org 2016-03-18 (Noiz kontsultatua: 2023-03-02).
* ↑ Beyond geometry : classic papers from Riemann to Einstein. Dover Publications 2007 ISBN 0-486-45350-2. PMC 71275660. (Noiz kontsultatua: 2023-03-02).
* ↑ (Ingelesez) Beach, Frederick Converse; Rines, George Edwin. (1905). The Encyclopedia Americana: A Universal Reference Library Comprising the Arts and Sciences, Literature, History, Biography, Geography, Commerce, Etc., of the World. Scientific American Compiling Department (Noiz kontsultatua: 2023-03-04).
* ↑ Dieudonné, Jean. (1985). History of algebraic geometry : an outline of the history and development of algebraic geometry. Wadsworth Advanced Books & Software ISBN 0-534-03723-2. PMC 11045160. (Noiz kontsultatua: 2023-03-04).
* ↑ The Millennium prize problems. American Mathematical Society 2006 ISBN 0-8218-3679-X. PMC 70619255. (Noiz kontsultatua: 2023-03-04).
* ↑ Hartshorne, Robin. (2010). Algebraic geometry. ISBN 978-1-4757-3849-0. PMC 861706007. (Noiz kontsultatua: 2023-03-04).
* ↑ Algebraic geometry for coding theory and cryptography : IPAM, Los Angeles, CA, February 2016. Springer 2017 ISBN 978-3-319-63931-4. PMC 1012883090. (Noiz kontsultatua: 2023-03-04).
* ↑ Enumerative invariants in algebraic geometry and string theory : lectures given at the C.I.M.E. Summer School held in Cetraro, Italy, June 6-11, 2005. Springer 2008 ISBN 978-3-540-79814-9. PMC 288471885. (Noiz kontsultatua: 2023-03-04).
* ↑ Huybrechts, Daniel. (2005). Complex geometry : an introduction. Springer ISBN 3-540-21290-6. PMC 209857590. (Noiz kontsultatua: 2023-03-04).
* ↑ (Ingelesez) Differential Analysis on Complex Manifolds. doi:10.1007/978-0-387-73892-5. (Noiz kontsultatua: 2023-03-04).
* ↑ Mirror symmetry. American Mathematical Society 2003 ISBN 0-8218-2955-6. PMC 52374327. (Noiz kontsultatua: 2023-03-04).
* ↑ Forster, Otto. (1981). Lectures on Riemann Surfaces. Springer New York doi:10.1007/978-1-4612-5961-9. ISBN 978-1-4612-5963-3. (Noiz kontsultatua: 2023-03-04).
* ↑ Donaldson, S. K.. (2011). Riemann surfaces. ISBN 978-0-19-154584-9. PMC 861200296. (Noiz kontsultatua: 2023-03-04).
* ↑ Serre, Jean-Pierre. (1955). «Faisceaux Algebriques Coherents» Annals of Mathematics 61 (2): 197–278. doi:10.2307/1969915. ISSN 0003-486X. (Noiz kontsultatua: 2023-03-04).
* ↑ Serre, Jean-Pierre. (1956). «Géométrie algébrique et géométrie analytique» Annales de l'institut Fourier 6: 1–42. ISSN 0373-0956. (Noiz kontsultatua: 2023-03-04).
* ↑ Matoušek, Jiří. (2002). Lectures on discrete geometry. ISBN 978-1-4613-0039-7. PMC 883392121. (Noiz kontsultatua: 2023-03-04).
* ↑ Zong, Chuanming. (2006). The cube : a window to convex and discrete geometry. Cambridge University Press ISBN 0-511-14083-5. PMC 76813955. (Noiz kontsultatua: 2023-03-04).
* ↑ Gruber, Peter M.. (2007). Convex and discrete geometry. Springer ISBN 978-3-540-71133-9. PMC 185026999. (Noiz kontsultatua: 2023-03-04).
* ↑ Devadoss, Satyan L... (2013). Discrete and computational geometry. Princeton University Press ISBN 978-1-4008-3898-1. PMC 872377984. (Noiz kontsultatua: 2023-03-04).
* ↑ Bezdek, Karoly. (2010). Selected topics in discrete geometry. Springer ISBN 978-1-4419-0600-7. PMC 654380122. (Noiz kontsultatua: 2023-03-04).
* ↑ Preparata, Franco P.. (1985). Computational Geometry : an Introduction. Springer New York ISBN 978-1-4612-1098-6. PMC 840277993. (Noiz kontsultatua: 2023-03-04).
* ↑ Computational conformal geometry. International Press 2008 ISBN 978-1-57146-171-1. PMC 276910894. (Noiz kontsultatua: 2023-03-04).
* 1 2 Löh, Clara. (2017). Geometric group theory : an introduction. ISBN 978-3-319-72254-2. PMC 1017988852. (Noiz kontsultatua: 2023-03-04).
* ↑ Morgan, John, March 21-. (2014). The geometrization conjecture. ISBN 978-0-8218-5201-9. PMC 863100790. (Noiz kontsultatua: 2023-03-04).
* ↑ Wise, Daniel T.. (2012). From riches to raags : 3-manifolds, right-angled artin groups, and cubical geometry. ISBN 978-0-8218-8800-1. PMC 809845094. (Noiz kontsultatua: 2023-03-04).
* 1 2 Handbook of convex geometry. Volume A. 1993 ISBN 978-0-08-093439-6. PMC 898771638. (Noiz kontsultatua: 2023-03-04).
* ↑ Richter-Gebert, Jürgen. (2011). Perspectives on projective geometry : a guided tour through real and complex geometry. Springer ISBN 978-3-642-17286-1. PMC 710160825. (Noiz kontsultatua: 2023-03-04).
* ↑ Elam, Kimberly. (2001). Geometry of design : studies in proportion and composition. Princeton Architectural Press ISBN 1-56898-249-6. PMC 45799548. (Noiz kontsultatua: 2023-03-04).
* ↑ Guigar, Brad J.. (2005). The everything cartooning book : create unique and inspired cartoons for fun and profit. Adams Media ISBN 978-1-4405-2306-9. PMC 777400843. (Noiz kontsultatua: 2023-03-04).
* ↑ Livio, Mario. (2002). The golden ratio : the story of phi, the world's most astonishing number. (1st ed. argitaraldia) Broadway Books ISBN 978-0-307-48552-6. PMC 469158132. (Noiz kontsultatua: 2023-03-04).
* ↑ M.C. Escher's legacy : a centennial celebration : collection of articles coming from the M.C. Escher Centennial Conference, Rome, 1998. 2003 ISBN 3-540-42458-X. PMC 50676240. (Noiz kontsultatua: 2023-03-04).
* ↑ Capitolo, Robert. (2004). Drawing course 101. Sterling Pub. Co ISBN 1-4027-0383-X. PMC 56128632. (Noiz kontsultatua: 2023-03-04).
* ↑ Gelineau, R. Phyllis. (2012). Integrating the arts across the elementary school curriculum. (2nd ed. argitaraldia) Wadsworth ISBN 978-1-111-30126-2. PMC 651908826. (Noiz kontsultatua: 2023-03-04).
* ↑ Advances in Architectural Geometry 2010. 2016 ISBN 978-3-0356-0593-8. PMC 979817532. (Noiz kontsultatua: 2023-03-04).
* ↑ Architectural geometry. (1st ed. argitaraldia) Bentley Institute Press 2007 ISBN 1-934493-04-X. PMC 180177477. (Noiz kontsultatua: 2023-03-04).
* ↑ Moffett, Marian. (2003). A world history of architecture. Laurence King ISBN 1-85669-353-8. PMC 59304539. (Noiz kontsultatua: 2023-03-04).
* ↑ Hersey, George L.. (2000). Architecture and geometry in the age of the Baroque. University of Chicago Press ISBN 0-226-32783-3. PMC 43851453. (Noiz kontsultatua: 2023-03-04).
* ↑ Green, Robin M.. (1985). Spherical astronomy. Cambridge University Press ISBN 0-521-23988-5. PMC 11574787. (Noiz kontsultatua: 2023-03-04).
* ↑ Recent developments in pseudo-Riemannian geometry. European Mathematical Society 2008 ISBN 978-3-03719-051-7. PMC 234146298. (Noiz kontsultatua: 2023-03-04).
* ↑ Yau, Shing-Tung. (2010). The shape of inner space : string theory and the geometry of the universe's hidden dimensions. Basic Books ISBN 978-0-465-02266-3. PMC 701109877. (Noiz kontsultatua: 2023-03-04).
* ↑ Bengtsson, Ingemar. (2017). Geometry of Quantum States.. Cambridge University Press ISBN 978-1-139-20701-0. PMC 1004618272. (Noiz kontsultatua: 2023-03-04).
* ↑ Flanders, Harley. (1978). Calculus with analytic geometry. ISBN 978-1-4832-6240-6. PMC 892066720. (Noiz kontsultatua: 2023-03-04).
* ↑ Lozano-Robledo, Álvaro. (2019). Number theory and geometry : an introduction to arithmetic geometry. ISBN 978-1-4704-5016-8. PMC 1080247853. (Noiz kontsultatua: 2023-03-04).
* ↑ Sangalli, Arturo. (2009). Pythagoras' revenge : a mathematical mystery. Princeton University Press ISBN 978-0-691-04955-7. PMC 432996547. (Noiz kontsultatua: 2023-03-04).
* ↑ Modular forms and Fermat's last theorem. 1997 ISBN 978-1-4612-1974-3. PMC 889073244. (Noiz kontsultatua: 2023-03-04).

## Kanpo estekak

* Geometria, Lur Hiztegi Entziklopedikoan.
* Datuak: Q8087
* Multimedia: Geometry / Q8087