# Poissonen banaketa

Probabilitate teorian eta estatistikan, Poissonen banaketa, banaketa binomialaren moduan erabiltzean zenbaki txikien legea ere deitua, denbora aldi bateko gertaera diskretuen kopuruari buruzko probabilitate banaketa da, denboran zehaztutako aldi edo epe bateko batez besteko gertaera kopurua konstantea eta aurretik izandako gertaerekin independentea izanik. Adibidez, Poissonen banaketa webgune batek minutuko jasotzen duen bisita kopuruen probabilitateak kalkulatzeko erabil daiteke, minutuko webguneak jasotzen duen batez besteko bisita kopurua zehazten bada eta bisitak elkarrekiko independenteak badira. Fidagarritasunaren ingeniaritzan ere maiz erabiltzen da, denboran zehar akats, errore, istripu eta matxuren maiztasuna aztertzeko. Denboraz gainera, espazioan izan beharreko gertaera edo ale kopuruari buruzko banaketa gisa ere erabiltzen da, arestiko baldintzen pean betiere; suspentsioko mikroorganismoen kopurua aztertzeko adibidez. Siméon Denis Poisson frantziar matematikariak garatu zuen banaketa binomialaren limite moduan 1837 urtean, saiakuntza luze batean probabilitate txikiko gertaera kopurua emateko, baina XIX. mendearen bukaerara arte ez zen problema praktikoetarako aplikatu.

## Definizioa

Poisson banaketak euskarri jarraitu bateko tarte batean, denbora-tartea edo espazio-gunea gehienetan, zoriz gertatzen diren gertaera puntualen probabilitateak kalkulatzen ditu, baldintza hauek betetzen badira betiere:
* gertaerak independentziaz gertatzen dira,
* egonkortasuna, hots, gertaerak denbora-tarte jakin batean suertatzeko probabilitateak tartearen luzeari buruz proportzionalak dira;
* ordena, gertaerak denboran ordenaturik gertatzen dira, hots, une batean gertaera gauzatu ala ez soilik gerta daiteke.
Poissonen banaketaren probabilitate funtzioa, luzera jakin bateko tarte bakoitzeko batez besteko gertaera kopurua adierazten duen $\scriptstyle \lambda \,$ (lambda) letra grekoaz adierazten den parametro bakar baten dagoena, hau da:
       $P[X=x]={\frac {e^{-\lambda }\lambda ^{x}}{x!}}\ \ \ ;\ \ \ x=0,\ 1,\ 2,\ldots$
Zorizko aldagai batek $\lambda \,$ parametroko Poissonen banaketari jarraitzen diola honela adierazten da labur:
       $X\sim P(\lambda )\,$

## Lambda parametroa eta probabilitateen kalkulua

$\scriptstyle \lambda \,$ parametroak aldi jakin batean batezbestez zenbat gertaera suertatzen diren adierazten duenez, probabilitateak kalkulatzerakoan aldi horretako luzerari egokitu beharreko parametroa da kasu bakoitzean.

### Adibidea

Denda bateko kaxa batetik orduko 12 bezero inguratzen badira ordainketa egiteko. Zenbat da 10 minututan 2 bezero edo gutxiago inguratzeko probabilitatea?
Lehenik $\scriptstyle \lambda \,$ parametroa 10 minutuko epera egokitu behar da: $\scriptstyle \lambda ={\frac {12}{60}}\times 10=2$.
       $P[X\leq 3]=P[X=0]+P[X=1]+P[X=2]+P[X=3]={\frac {e^{-2}2^{0}}{0!}}+{\frac {e^{-2}2^{1}}{1!}}+{\frac {e^{-2}2^{2}}{2!}}+{\frac {e^{-2}2^{3}}{3!}}=0.857$

## Ezaugarriak

Poissonen banaketaren itxaropena eta bariantza hauek dira hurrenez hurren:
       $\mu =E[X]=\lambda \ \ \ ;\ \ \ \sigma ^{2}=var[X]=\lambda \,$
Batezbesteko eta bariantza berdinak diren probabilitate-banaketa bakanetakoa da. Ohartarazi behar da sakabanatze absolutua, hots, bariantza, $\scriptstyle \lambda$ parametroarekin batera gehitzen bada ere, sakabanatze erlatiboa (desbideratzea zati itxaropena) orduan eta txikiagoa dela parametroa handitu ahala: $\scriptstyle \sigma /\mu =1/{\sqrt {\lambda }}$. Itxaropenaren eta bariantzaren balioak Poisson banaketak banaketa binomialarekin duen erlazio zuzenetik, horren limite moduan n infiniturantz eta p zerorantz doazelarik, erator daitezke: B(n,p) banaketa esponentzialaren itxaropena np da eta $\scriptstyle \lambda =np$ definitzen denez, Poissonen banaketaren itxaropena $\scriptstyle \lambda$ da. Era berean, banaketa binomialaren bariantza npq denez, non $\scriptstyle p\to 0$ eta, ondorioz, $\scriptstyle q\to 1$ betetzen den, bariantza $\scriptstyle npq=\lambda q=\lambda$ betetzen dela esan daiteke. Frogapen analitikoak jarraian zehazten dira, non zenbaitetan funtzio esponentzialaren Taylor seriea erabiltzen den:
       ${\begin{aligned}E[X]&=\sum _{x=0}^{\infty }x{\frac {e^{-\lambda }\lambda ^{x}}{x!}}\\&=\sum _{x=1}^{\infty }x{\frac {e^{-\lambda }\lambda ^{x}}{x!}}\\&=\sum _{x=1}^{\infty }{\frac {e^{-\lambda }\lambda ^{x}}{(x-1)!}}\\&=\lambda e^{-\lambda }\sum _{x=1}^{\infty }{\frac {\lambda ^{x-1}}{(x-1)!}}\\&=\lambda e^{-\lambda }e^{\lambda }\\&=\lambda \\\end{aligned}}$
Funtzio esponentziala bera eta horren Taylor seriea deribatzen badira:
       $e^{x}=\sum _{x=0}^{\infty }k{\frac {x^{k-1}}{k!}}$
Bi aldeak $\scriptstyle xe^{-x}$ adierazpenarekin bidertuz:
       $x=\sum _{x=0}^{\infty }k{\frac {e^{-x}x^{k}}{k!}}$
Poissonen banaketaren itxaropenaren definizioara itzuliz, beraz:
       $E[X]=\sum _{x=0}^{\infty }x{\frac {e^{-\lambda }\lambda ^{x}}{x!}}=\lambda$
Bariantzaren formulatik abiaturik,
       $\sigma ^{2}=E[X^{2}]-E[X]^{2}$
       ${\begin{aligned}E[X^{2}]&=\sum _{x=0}^{\infty }x^{2}{\frac {e^{-\lambda }\lambda ^{x}}{x!}}\\&=0+\sum _{x=1}^{\infty }x^{2}{\frac {e^{-\lambda }\lambda ^{x}}{x!}}\\&=\sum _{y=0}^{\infty }(y+1)^{2}{\frac {e^{-\lambda }\lambda ^{y+1}}{(y+1)!}}\ \ \ \ (x=y+1\ eginez)\\&=\sum _{y=0}^{\infty }(y+1)^{2}{\frac {e^{-\lambda }\lambda \lambda ^{y}}{(y+1)\cdot y!}}\\&=\lambda \sum _{y=0}^{\infty }(y+1){\frac {e^{-\lambda }\lambda ^{y}}{y!}}\\&=\lambda \sum _{y=0}^{\infty }(y+1)p_{Y}(y)\\&=\lambda {\Big\sum _{y=0}^{\infty }yp_{Y}(y)+\sum _{y=0}^{\infty }p_{Y}(y){\Big )}\\&=\lambda (\lambda +1)\\&=\lambda ^{2}+\lambda \\\end{aligned}}$
Beraz,
       $\sigma ^{2}=E[X^{2}]-E[X]^{2}=(\lambda ^{2}+\lambda )-\lambda ^{2}=\lambda$

### Alborapena

Poissonen banaketa beti du alborapen positiboa:
       $\gamma _{1}=\lambda ^{-1/2}$
Alborapen positiboa honela esplika daiteke: ezker aldetik, banaketak 0 du mugatzat, gertaera kopurua ezin baita negatiboa izan; eskuin aldetik, berriz, gertaera kopurua infinitua izan daiteke. Hala eta guztiz ere, $\scriptstyle \lambda$ gehitzean, alborapena gero eta txikiagoa da eta Poissonen banaketa simetrikoa izateko joera hartzen du, limitean banaketa normalarekin bat etorriz.

### Kurtosia

Kurtosiak banaketaren zorroztasuna edo probabilitatearen banaketa zentroaren eta muturren artean neurtzen du, horretarako banaketa normala erreferentziatzat hartuz. Poissonen banaketaren kurtosi-soberakina, banaketa normalarekin alderatuz, hau da:
       $\gamma _{2}=\lambda ^{-1}$
Horrela, kurtosi soberakina beti positiboa denez, banaketa normala beti da banaketa normala baino zorrotzagoa, baina $\scriptstyle \lambda$ handitzen den heinean, 0 baliora gerturatzen da. Hain zuzen ere, $\scriptstyle \lambda$ parametroa oso handia denean Poissonen banaketa banaketa normalera hurbiltzen da.

## Poissonen banaketaren eratorpena banaketa binomialetik: gertaera arraroen legea

Poisson banaketa banaketa binomialaren limitea da, non n saiakuntza kopurua infiniturantz eta p arrakasta koprua zerorantz doazen. Binomialaren limite moduan erabiltzen denean, Poissonen banaketari gertaera arraroen legea deritzo. Hain zuzen, aldi jakin batean gertaera kopuru bat gertatzeko probabilitatea kalkulatzeko, aldia hainbat aldi infinitesimaletan zatitu daiteke, non horietako bakoitzean gertaera bakar bat suertatu edo ez gerta daitekeen, eta aldi infinitesimal bakoitzean gertaera suertatzeko probabilitatea zehaztu. Horrela, aldian x gertaera kopuru jakin bat suertatzeko probabilitatea n aldi infinitesimaletatik x aldietan gertaera gauzatzeko probabilitatea banaketa binomialaren bitartez kalkula daiteke, non n infiniturantz doan eta p zerorantz. Banakuntza binomialaren itxaropena, batez besteko gertaera kopurua alegia, np da eta eratorpena egiteko $\scriptstyle \lambda \,$ balio konstanterako joera duela suposatzen da (hain zuzen, $\scriptstyle \lambda \,$ parametroak aldiko gertaera kopuruaren batezbestekoa adierazten du Poissonen banaketan). Probabilitatea era horretan kalkulatuz, limitean banaketa binomialaren probabilitate funtziotik Poissonen banaketaren probabilitate funtziora heltzen da.
       Teorema
       $n\rightarrow \infty \ ;p\rightarrow 0\ ;np\rightarrow \lambda$ betetzen diren kasuan:
       ${\frac {n!}{k!(n-k)!}}p^{x}(1-p)^{n-x}\rightarrow {\frac {e^{-\lambda }\lambda ^{x}}{x!}}$
       Frogapena
       ${\begin{aligned}{\frac {n!}{k!(n-k)!}}p^{x}(1-p)^{n-x}&={\frac {n!}{k!(n-k)!}}{\Bigg{\frac {\lambda }{n}}{\Bigg )}^{x}{\Bigg1-{\frac {\lambda }{n}}{\Bigg )}^{n-x}\\&={\frac {n!}{k!(n-k)!}}{\Bigg{\frac {\lambda }{n}}{\Bigg )}^{x}{\Bigg1-{\frac {\lambda }{n}}{\Bigg )}^{n-x}\\&={\frac {n!}{k!(n-k)!}}{\Bigg{\frac {\lambda }{n}}{\Bigg )}^{x}{\Bigg1-{\frac {\lambda }{n}}{\Bigg )}^{n}{\Bigg1-{\frac {\lambda }{n}}{\Bigg )}^{-x}\\&={\frac {n(n-1)\cdots [n-(x+1)]}{x!}}{\frac {\lambda ^{x}}{n^{x}}}{\Bigg1-{\frac {\lambda }{n}}{\Bigg )}^{n}{\Bigg1-{\frac {\lambda }{n}}{\Bigg )}^{-x}\\&={\frac {n(n-1)\cdots [n-(x+1)]}{n^{x}}}{\frac {\lambda ^{x}}{x!}}{\Bigg1-{\frac {\lambda }{n}}{\Bigg )}^{n}{\Bigg1-{\frac {\lambda }{n}}{\Bigg )}^{-x}\\&={\frac {n}{n}}{\frac {n-1}{n}}\cdots {\frac {n-(x+1)}{n}}{\frac {\lambda ^{x}}{x!}}{\Bigg1-{\frac {\lambda }{n}}{\Bigg )}^{n}{\Bigg1-{\frac {\lambda }{n}}{\Bigg )}^{-x}\\&=1{\Bigg1-{\frac {1}{n}}{\Bigg )}\cdots {\Bigg1-{\frac {x+1}{n}}{\Bigg )}{\frac {\lambda ^{x}}{x!}}{\Bigg1-{\frac {\lambda }{n}}{\Bigg )}^{n}{\Bigg1-{\frac {\lambda }{n}}{\Bigg )}^{-x}\\\end{aligned}}$
Aurreko adierazpen aljebraikoa atal batzuetan banatu eta bakoitzean limitea kalkulatuko da jarraian, bigarren atalean e zenbakiaren definizioa eta propietateak baliatuz:
       $\lim _{n\to \infty }{\Bigg1-{\frac {1}{n}}{\Bigg )}\cdots {\Bigg1-{\frac {x+1}{n}}{\Bigg )}=1$
       $\lim _{n\to \infty }{\Bigg1-{\frac {\lambda }{n}}{\Bigg )}^{n}=e^{-\lambda }$
       $\lim _{n\to \infty }(1-{\frac {\lambda }{n}}{\Bigg )}^{-x}=1$
Beraz, emaitzak bilduz, non $\scriptstyle \lambda =np$:
       $\lim _{\stackrel {n\to \infty }{p\to 0}}{\frac {n!}{k!(n-k)!}}p^{x}(1-p)^{n-x}={\frac {e^{-\lambda }\lambda ^{x}}{x!}}$

## Aplikazioak

Euskarri jarraitu batean (denbora edo espazioa) zoriz gertatzen diren gertaerak modelizatzeko erabiltzen da, hala nola aldi jakin batean ilara batera inguratzen den bezero kopurua, dei kopurua, trafikoaren intentsitatea, istripu kopurua eta akats kopuruak aztertzeko. Ilara-teorian, sarrerak eta irteerak modelizatzeko ohiko eredua da. Sismologian epe jakin batera izango diren intentsitate jakineko lurrikara erabiltzen da eta biologian ADN zati bateko mutazioen kopurua aztertzeko, besteak beste.

### Poissonen banaketa, zorizkotasun-eredu

Poissonen banaketak zoriz eta elkarrekiko independentziaz gauzatzen diren gertaera segidetarako erabiltzen denez, banaketa binomialean bezalaxe, gertaerak zoriz banatzen diren frogatzeko erabil daiteke, jasotako gertaera kopuruak Poissonen banaketak ezartzen dituen maiztasunekin alderatuz. Aplikazio horren adibide klasikoa II. Mundu Gerran Londresen eroritako bonba hegalariei buruzko datuen azterketa da. Bonba hegalari horiek jomugara heltzeko ahalmena zuten ala zoriz erortzen ziren egiaztatu nahi zuten agintariek. Horretarako, bonba dentsitate homogeneoa zuen gune bat aukeratu zuten Londres hegoaldean eta laukitan banatu zuten; ondoren, lauki bakoitzean jasotako bonba erorketak jaso ziren. Guztira, 537 bonba erori ziren 576 laukiko azaleran. Beraz, batezbestez eta $\scriptstyle \lambda$ parametroaren zenbatesle moduan 537/576=0.9322 balioa hartu zen. Parametroaren balio horrekin, lauki bakoitzean 0, 1, 2, ... bonba erortzeko probabilitateak eta horiei dagokien maiztasun teorikoak kalkulatu ziren Poissonen banaketa erabiliz. Maiztasun teorikoak maiztasun enpirikoekin alderatuz, alde nabarmenik ez dagoela hauteman eta beraz, bonba hegalariak jomugara heltzeko ahalmenik ez zutela eta zoriz erortzen zirela erabaki zen:
                   Bonbak lauki bakoitzeko 0 1 2 3 4 5 edo gehiago Guztira Lauki kopurua (maiztasun enpirikoak) 229 211 93 35 7 1 576 Probabilitateak ($\scriptstyle \lambda =0.9322$) 0.3936 0.3670 0.1710 0.0531 0.0123 0.0027 1 Maiztasun teorikoak (576×probabilitateak) 226.74 211.39 98.54 30.62 7.14 1.57 576

### Sismologian

Lurrikarei buruzko ziurgabetasuna, denboran nahiz espazioan zehar, modelizatzeko eredu ohikoa da Poissonen banaketa da, bereziki denbora eta espazio zabaletan. Toki eta denbora jakin eta zehatzetan, ordea, dependentzia dago eta ziurgabetasuna epistemikoa nabarmen murriz daiteke tokiko geologia eta iraganean izandako lurrikarak aztertuz, jakina baita lurrikara handi baten ondoren lurrikara txikiagoak izaten direla eta beste lurrikara handi baten probabilitatea murriztu egiten dela. Kasu horietarako, Poissonen banaketan oinarritutako eredu ez-homogeneoak eratzen dira, dependentzia kontuan hartzen dutenak.

### Irudi-prozesaketa

Argi iturri batetik espazio unitate batean jasotzen den fotoi kopurua (astronomian izar batengandik kamara batean pixel bakoitzeko jasotzen den fotoi kopurua, adibidez) aldakorra da, iturria uniformea izanda ere, eta Poissonen banaketaren araberakoa dela ezar daiteke. Irudien prozesaketa digitalean, jasotzen den seinalean, fotoi kopuruan alegia, bi osagai bereizi ohi dira: seinalea bera eta zarata, fotoi kopuruaren aldakortasunaz, hots, desbideratze estandarraz neurtzen dena. Fotoi kopurua Poissonen banaketaren araberakoa bada, aise bazter daiteke zarata: Poissonen banaketaren batezbestekoa, hots, sentsore-unitate bakoitzeko batez besteko fotoi-kopurua, $\scriptstyle \lambda$ da, eta desbideratze estandarraren bitartez neurtzen zarata, ondorioz, $\scriptstyle {\sqrt {\lambda }}$. Zarataren neurri horrekin erraz garbitu daiteke jasotzen den irudia.

### Ilara-teoria

Ilara-teorian Poissonen banaketa oinarrizko eredua da sarrerak eta irteerak modelizatzeko. Hala ere, Poissonen banaketatik eredu konplexuagoak ere eratu dira ilara berezietara egokitzeko. Poissonen banaketan une bakoitzean sarrera (irteera) bat ala zero soilik gerta daitekeela zehatzen den bitartean, egoera batzuetan sarrerak eta irteerak multzoka gertatzen dira. Kasu horietarako Poissonen banaketa osatua erabiltzen da, non $\scriptstyle \lambda$ parametroaz gainera, une bakoitzean bakoitzean sartu edo atera egiten diren elementu kopuruaren $\scriptstyle p_{i}$ probabilitateak ere zehazten diren. Ilarak ahalmen mugatua duenean, sarreretarako Poissonen banaketa moztu egiten da, printzipioz infinituraino har ditzakeen balioetarako goi muga bat ezarriz. Poissonen banaketari buruz baliatzen diren beste aldaera batzuk $\scriptstyle \lambda$ parametroa bera zorizko aldagaitzat hartzea eta parametro aldakorreko Poissonen prozesua definitzea dira.

## Historia

Poissonen banaketa Siméon Denis Poisson frantziar matematikari eta fisikariak aurkitu zuen 1837 urtean, Recherches sur la Probabilité des Jugements en Matière Criminelle et en Matière Civile liburuan aurreko urteetan Sorbonan probabilitateari buruz emandako ikastaroen edukia biltzen duena, non bere izena eramango zuen banaketa segida luze batean oso probabilitate txikiko gertaerak zenbat aldiz agertzen diren aztertzen duen, banaketa binomialaren limite moduan alegia. 1898 urtera arte, ordea, ez zen formula horren aplikazioarik egingo, noiz Ladislaus Bortkiewicz ekonomialari eta estatistikariak Das Gesetz der kleinen Zahlen (euskaraz, Zenbaki txikien legea) argitaratu zuen. Liburu horretan, urtean zaldi-ostikoz hildako soldaduen kopuruak Poissonek emandako formulara doi egokitzen direla erakusten du.

## Oharrak

* ↑ Funtzio esponentzialaren Taylor seriea hau da: $\scriptstyle e^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{x^{n} \over n!}=1+x+{x^{2} \over 2!}+{x^{3} \over 3!}+{x^{4} \over 4!}+\cdots .$
* ↑ Maiztasun enpirikoak teorikoetatik neurri adierazgarrian aldentzen diren modu zorrotzagoan frogatzeko doikuntzaren egokitasunerako khi-karratu froga erabil daiteke.

## Erreferentziak

* ↑ (Gaztelaniaz) Lindgren, Georg. (2012). Stationary Stochastic Process: Theory and Applications. , 106 or..
* ↑ (Ingelesez) Poisson distribution, Statlect: The Digital Textbook, 2013-04-17an kontsultatua.
* ↑ (Ingelesez) Pinsky, Mark A.; Karlin, Samuel. (2011). An Introduction to Stochastic Modeling. Academic Press, 232-233 or..
* ↑ (Ingelesez) Clarke, R. D.. (1946). «An application of the Poisson distribution» Journal of the Institute of Actuaries (72).
* ↑ (Ingelesez) Time dependent seismic hazard, The Smithsonian/NASA Astrophysics Data System, 2013-04-10ean kontsultatua.
* ↑ (Ingelesez) Anagnos, Thalia; Kiremidjian, Anne S.. (1988). «A review of earthquake occurrence models for seismic hazard analysis» Probabilistic Engineering Mechanics.
* ↑ (Ingelesez) Photon noise], Scientific Volume Imaging, 2013-04-10ean kontsultatua.
* ↑ (Ingelesez) Medhi, Jyotiprasad. (2002). Stochastic Models in Queueing Theory. Academic Press, 29-31 or..

## Kanpo estekak

* (Ingelesez) Poissonen banaketarako kalkulagailua, stattrek.com.
* (Frantsesez) Recherches sur la Probabilité des Jugements en Matière Criminelle et en Matière Civile, Siméon Denis Poissonen liburua online, archive.org.
* (Alemanez) Das Gesetz der kleinen Zahlen, Ladislaus Bortkiewiczen liburua Poissonen banaketari buruz, archive.org.
* Datuak: Q205692
* Multimedia: Poisson distribution / Q205692