# Boltzmannen entropia-legea

Mekanika estatistikoan, Boltzmannen ekuazioa (baita ere Boltzmann-Planck ekuazioaz ezagutua) probabilitate ekuazio bat da non gas baten entropia $S$ ( $S_{B}$) erlazionatzen duen, gasaren makroegorak dituen mikroegoera erreal kopuruarekin $W$.
$S=k_{B}\ln W$ (1)
$k_{B}=1,38065\cdot 10^{-23}J/K$ (edo $k$) Boltzmannen konstantea da.
Era laburrrean, Boltzmannen formulak entropia eta atomo edo molekulak sistema termodinamiko konkretu batean antolatzeko eren kantitatearen arteko erlazioa erakusten du.

## Historia

Ekuazioa jatorriz Ludwig Boltzmannek formulatu zuen 1872 eta 1875 bitartean, baina 1900.urtean Max Planck-ek bere gaur egungo formara eraman zuen. Planck aipatuz “entropiaren eta probabilitatearen arteko lotura logaritmikoa lehen aldiz ezarri zuen L. Boltzmannek bere gasen teoria zinetikoan”.
‘Mikroegoera’ bat materia-gorputz bat osatzen duten partikulen arabera zehaztutako egoera da edo barruko energia eta presioa bezalako aldagaietan makroegoera gisa zehaztu den erradiazioa. Makroegoera bat esperimentalki beha daiteke, gutxienez luzapen finitu batekin espazio-denboran. Mikroegoera bat-batekoa izan daiteke, edo berehalako mikroegoeren denbora-progresio batek osatutako ibilbidea izan daiteke. Praktika esperimentalean, horrelako fenomenoak ez dira ia ikusten. Kontu hau berehalako mikroegoerei dagokie.
Hasiera batean, $W$-ren balioa egoera makroskopiko bateko Wahrscheinlichkeit (probabilitaterako alemaniar hitza) -rekiko proportzionala izatea zuen helburu, mikroegoera posibleen probabilitate-banaketarako. "Formen" bilduma (beha ezin daitekeen partikula mikroskopiko bakarra), non sistema baten egoera termodinamikoa (makroskopiko behagarria) posizio eta momentu desberdinak esleituz egin baitaiteke molekula bakoitzari.
Aldiuneko hainbat mikroegoera aplikatzen zaizkio makroegoera jakin bati. Boltzmannek mikroegoera horien bildumak hartu zituen kontuan. Makroegoera jakin batentzat, monode izeneko nolabaiteko aldiuneko mikroegoera posible guztien bildumara deitu zuen, eta horretarako gaur egun erabiltzen da Gibbs multzoaren terminoa. Banakako partikulen aldiuneko mikroegoeren kasuan, Boltzmannek ergode izendatu zuen bilduma. Ondoren, Gibbs-ek multzo mikrokanoniko deitu zion, eta termino hori asko erabiltzen da gaur egun, agian Bohr interesatuagoa zegoelako Gibbsen idatzietan Boltzmannenean baino.
Horrela interpretatuta, Boltzmann-en formula entropia termodinamikorako formularik oinarrizkoena da. Boltzmann-en paradigma N partikula berdinen gas ideala izan zen, non $N_{i}$, $i$. baldintza mikroskopikoan (maila) daude kokapen eta bulkada egoeran. Kasu honetan, sistemaren mikroegoera bakoitzaren probabilitatea berbera da, beraz, Boltzmann-en baliokidea zen makroegoera bati lotutako mikroegoera-kopurua kalkulatzeko. Historian zehar $W$ gaizki interpretatua izan zen mikroegoera kopuruaren esanahiarekin, eta normalean horixe esan nahi du gaur egun. W permutazioetarako formula erabiliz konta daiteke
$W={\frac {N!}{\prod _{i}N_{i}!}}$ (2)
non $i$ egoera molekular posible guztietan hedatzen den eta “$!$” ikurrak faktoriala adierazten duen.
Baldintza berberetan dauden partikulak, berdinak direnean, bereiztezinak direnez "zuzenketa" bat egiten da izendatzailean. $W$-ri batzuetan, "probabilitate termodinamikoa" deritzo, bat zenbakia baino handiagoa den zenbaki osoa delarik, aldiz, probabilitate matematikoak, zero eta bat arteko zenbakiak dira beti.

## Orokortzea

Boltzmann-en formula sistema baten mikroegoeretara aplikatzen da, non mikroegora posible bakoitzak probabilitate bera duen.
Termodinamikan ordea, garrantzitsua da unibertsoa banantzea interesekoak diren sistemetan, gehi bere ingurukoa; eta gero, mikroskopikoki zehaztutako Boltzmann-en entropia erlazionatu daiteke sistemaren entropiarekin termodinamika klasikoan. Halako sistema termodinamiko baten mikroegoerek ez dute propabilitate bera. Adibidez, energia altuko mikroegoerak probabilitate txikiagoa dute energia txikiko mikroegoerekin alderatuz sistema termodinamiko batean non tenperatura zehaztuta dagoen kontaktua baimenduz bainu bero batekin. Kasu hauetarako, hau da, sistema termodinamiko baten mikroegoerek probabilitate desberdina izan dezaketenean, orokortze egokiena, Gibbs-en entropiaren izenpean, urrenekoa da:
$S_{G}=-k_{B}\sum p_{i}\ln p_{i}$ (3)
Adierazpen honek baimentzen digu (1) ekuaziora bueltatzea $p_{i}$ probabilitate guztiak berdinak direnean.
Boltzmann-ek lehen aldiz erabili zuen ln formula 1866-an. Berak fase espazio baten dentsitatez interpretatu zuen —probabilitatea aipatu gabe— hala ere, adierazpenak probabilitate neurketa baten definizio axiomatikoa asetzen duenez, atzerabegirako bat eginez, probabilitate moduan interpretatu daiteke. Nolanahi ere, Gibbs-ek probabilitatearen adierazpen esplizitua eman zuen 1878an.
Boltzmannek berak erabili zuen adierazpen baliokide bat bere geroagoko lanean eta ekuazio orokorragotzat onartu zuen. Hau da, (1) ekuazioa (3) ekuazioaren korolarioa da —eta ez alderantziz. (1) ekuazioa baliagarria den egoera bakoitzean, (3) ekuazioa ere baliagarria da —eta ez alderantziz.

## Boltzamann-ek entropia estatistikoaren beharra baztertzen du

Entropia partikula bakoitzaren propabilitate osoa beste partikulenarekiko guztiz independentea eta berdina balitz moduan kalkulatzean bada; hau da, partikulen arteko elkarrekintzarik ez balego bezala eta bakoitzak haren probabilitatea edukirik, Boltzmanenn entropia deritzo modu berean. Hau, gas idealen kasuan zuzena da guztiz; hala nola, molekula berdinen arteko ia eragin-trukerik ez dago. Hala ere, ez da hurbilketa ona izango beste edozein sistemarako.
Boltzmannen entropia lortzeko sistema termodinamiko baten partikulak estatistikoki independenteak balira bezala hartu behar dira. Sistemaren probabilitatearen banaketa faktorizatu egiten da $N$ gai berdinen biderkaduran; partikula bakoitzeko gai bana. Azkenik, batuketa partikula bakarreko 6 dimentsioko fase-espazio baten gainean adierazten da. Hortaz, Gibbsen entropia sinplifikatzen da Boltzmanen entropian.
$S_{G}=-Nk_{B}\sum _{i}p_{i}\ln p_{i}$ (4)
Ludwig Boltzmann 1872. urtean emandako entropia estatistikoaren funtzioan ikusten da. Gas idealen kasuan, dagokion entropia termodinamikoaren berdina izango da.
Aitzitik, gas ideala egoera aproposean ez den beste edozein sistema batean formula hau aplikatzen badugu, oso errore handiak lortuko dira. Beraz, kasu honetan, Gibbsen entropiak adierazten duena jarraitu beharra dago eta sistemak osotasun baten moduan kontuan hartu.

## Erreferentziak

* ↑ Ikusi: Boltzmannen hilobiaren argazkia Zentralfriedhofen, Vienan, entropiaren formularekin.
* ↑ (Ingelesez) Weisstein, Eric W.. «Boltzmann Equation -- from Eric Weisstein's World of Physics» scienceworld.wolfram.com (Noiz kontsultatua: 2021-05-04).
* ↑ Perrot, Pierre. (1998). A to Z of thermodynamics. Oxford University Press ISBN 0-19-856556-9. PMC 38073404. (Noiz kontsultatua: 2021-05-04).
* ↑ Ludwig Boltzmann (1866). «Über die Mechanische Bedeutung des Zweiten Hauptsatzes der Wärmetheorie». Wiener Berichte 53: 195-220
* ↑ Ludwig Boltzmann (1896). Vorlesungen über Gastheorie, vol. I. J.A. Barth, Leipzig

## Kanpo estekak

* Datuak: Q375553