# Endomorfismo
## Definizioa:

Endomorfismo bat eremu eta koeremu bera dituen aplikazio lineal bat da. V espazio bektorial baten endomorfismo taldea ($End(V)$), V-tik V-ra doazen aplikazio linealek osatzen dute:
$f\in End(V)\Leftrightarrow \forall v\in V:(\exists f(v)\Rightarrow f(v)\in V)$

## Propietateak:

* Definizioz, alderantzizko funtzioa duten V-ko endomorfismoek, $GL(V)$ multzoa osatzen dute: $GL(V)=\{f\in End(v):\exists g\in End(V):f\circ g(v)=g\circ f(v)=v,\forall v\in V\}$
* $f\in End(V)$ alderanzgarria da baldin eta soilik baldin bere matrize elkartua ($\beta -tik$ $\beta -ra$) alderanzgarria bada
* Hartu V K gorputzaren gainean dagoela definituta. $\lambda \in K$, $f$-ren balio propioa da baldin eta soilik baldin $\exists v\neq 0\in V:f(v)=\lambda v$

## Matrize elkartuak:

Edozein aplikazio linealek matrize elkartuak dauzka bere baitan, eremuko oinarri bat eta koeremuko bat erlazionatzen dituena. Endomorfismoen kasuan, $\beta \longrightarrow \beta$ motako elkartutako matrizeak erabili daitezke funtzioa definitzeko. Honek bisualki asko lagundu dezake. Adibidez, gure funtzioari lotutako matrizea identitate matrizea bada, badakigu funtzioa konstantea dela. Lehen aipatutako propietatean sakonduz, $GL(V)$-ko funtzioei elkartutako matrizeek $GLn(V)$ taldea osatzen dute, hau da, V espazioaren dimentsioa duten matrize alderanzgarrien taldea.

## Balio propioak edo autobalioak:

V K gorputzaren gainean definituta egonik, $\lambda \in K$, $f$-ren balio propioa da baldin eta soilik baldin $\exists v\neq 0\in V:f(v)=\lambda v$.
Adibidez: $f\in End(R^{3}):f(x,y,z)=(2x,x+y-z,2z)$: Ohartu $f(1,0,1)=(2,0,2)=2(1,0,1)$ delataz.
Gainera, $f(0,1,0)=(0,1,0)=1(0,1,0)$, beraz $\lambda =2$ eta $\lambda =1$ funtzioaren balio propiak dira, eta $(1,0,1),(0,1,0)$ haiei lotutako bektoreak, hurrenez hurren.

## Balio propioei lotutako azpiespazio bektorialak:

Hau jakinda, azpiespazio ezberdinak defini ditzakegu, $\lambda$ balioari dagokion f-ren azpiespazio propioak deritzonak:
$V(\lambda )=\{v\in V:f(v)=\lambda v\}$.
Ohartu gure eremu eta koeremua V direnez, $V(\lambda )\leq V,$ edozein balio propiorako. Hain zuzen: (1 = V gaineko funtzio konstantea)
$V(\lambda )=\{v\in V:f(v)=\lambda v\}=\{v\in V:f(v)-\lambda v=0\}=\{v\in V:(f-\lambda 1)(v)=0\}=ker(f-\lambda 1)$ eta
$(f-\lambda 1)$ V-ren gaineko endomorfismo bat denez, $V(\lambda )\leq V$.
Hartzen badugu $A={\underset {\beta }{M}}(f)$ (beta bidezko f-ri elkartutako matrizea), eta $dim(V)=n$:
${\underset {\beta }{M}}(f-\lambda 1)={\underset {\beta }{M}}(f)-{\underset {\beta }{M}}(\lambda 1)={\underset {\beta }{M}}(f)-\lambda {\underset {\beta }{M}}(1)=A-\lambda In$.
Hemendik erraz lortu dezakegun edozein azpiespazio propioren dimentsioa:
$dim(V(\lambda ))=dim(ker(f-\lambda 1))=n-dim(Im(f-\lambda 1))=n-rg(A-\lambda In)$

## Polinomio karakteristikoa:

Matrize ororekin polinomio karakteristikoa izena duen polinomio bat dago lotuta. Polinomio hori sortzeko arrazonamendu bat dago:
Lehenik, konturatu behar gara edozein $\lambda$ izanik gure $A={\underset {\beta }{M}}(f)$ matrizearen balio propioa dela baldin eta soilik baldin hau betetzen bada:
$\exists X\in {\underset {nx1}{M}}(K):AX=\lambda X\Leftrightarrow 0=\lambda X-AX=(\lambda In-A)X:X\neq 0\Leftrightarrow BX=0:B=\lambda InX$ sistemak soluzio ez nulurik badu $\Leftrightarrow detB=0\Leftrightarrow det(\lambda In-A)=0$,
Orduan, expresio horri polinomio karakteristikoa deituko diogu. ${\underset {A}{\mathrm {X} }}(x)=det(xIn-A)$ eta $\lambda$ polinomio horren erroa bada, orduan A-ren balio propioa da, eta ondorioz endomorfismoarena ere.

## Erreferentziak

* ↑ APLICACIONES LINEALES (4/7) ENDOMORFISMO. (Noiz kontsultatua: 2023-01-07).
* ↑ Oinarri (aljebra). 2023-01-03 (Noiz kontsultatua: 2023-01-07).
* ↑ (Gaztelaniaz) «matriz unidad o identidad» Diccionario de Matemáticas | Superprof (Noiz kontsultatua: 2023-01-07).
* ↑ (Ingelesez) General linear group. 2022-12-10 (Noiz kontsultatua: 2023-01-07).
* ↑ Espazio bektorialen propietateak.

## Kanpo estekak

* Datuak: Q1340800