# Bertranden bozketa ebazkizuna

Bertranden bozketa ebazkizuna ebazkizun klasikoa da konbinatorian eta probabilitatean. Honela dio: bozketa bateko bi hautagaiek p eta q boto lortu badituzte hurrenez hurren, zenbatekoa da boto zenbaketan p boto lortu dituen hautagaia beti aurretik izateko P$_{p,q}$ probabilitatea?.
       $P_{p,q}={\frac {p-q}{p+q}}\ \ \ ;\ \ \ p\geq q$
Adibidez, hautagaiek 10 boto eta 6 boto lortu badituzte hurrenez hurren, 10 boto lortu dituenak beti aurretik izateko probabilitatea hau da:
       $P_{10,6}={\frac {10-6}{10+6}}=0.25$
Argi denez, probabilitatea 0 izango da, p<q denean.
Bertranden bozketa ebazkizuna lehen aldiz Joseph Bertrand matematikari frantsesak asmatu eta ebatzi zuen 1887. urtean.

## Ebazpena indukzio matematikoa erabiliz

p=q denean argi dago formula bete egiten dela, formulak erakutsi bezala, orduan p boto lortu dituena beti aurretik joateko probabilitatea 0 baita, gutxienez azken botoaren zenbaketa bukatzean, p=q izanik azkenean berdinketa denean alegia, p boto lortu dituena aurretik joango ez delako.
p>0, q=0 balioetarako ere argi dago formula bete egiten dela, orduan beti joango baita p boto lortu dituena aurretik eta ondorioz beti aurretik joateko probabilitatea 1 da, formulak erakutsi bezala.
p>q balioetarako formula indukzio matematikoa erabiliz froga daiteke. Horretarako kalkula bedi P$_{p,q}$ probabilitatea jakinda p boto lortu dituena beti aurretik joatea, besteak q boto lortu dituela, bi era hauetara hel daitekeela: azken botoa p boto lortu dituen hautagaiarena izanda (eta hori p/(p+q) probabilitateaz gertatzen da) eta, aldi berean, boto horren aurreko zenbaketan p-1 eta q botorekin, hurrenez hurren, p-1 boto lortu dituena beti aurretik joan izanda; edo azken botoa q boto lortu dituenarena izanda (eta hori q/(p+q) probabilitateaz gertatzen da) eta, aldi berean, boto horren aurreko zenbaketan p eta q-1 botorekin, hurrenez hurren, p boto lortu dituena beti aurretik joan izanda. Erabateko probabilitatearen teorema erabiliz eta biderketa bakoitzaren bigarren biderkagaian emandako formula egiazkotzat hartuz:
       ${\begin{aligned}P_{p,q}&={p \over (p+q)}P_{p-1,q}+{q \over (p+q)}P_{p,q-1}\\&={p \over (p+q)}{(p-1)-q \over (p+q-1)}+{q \over (p+q)}{p-(q-1) \over (p+q-1)}\\&={p-q \over p+q}\end{aligned}}.$
Hau da, formula p-1,q eta p,q-1 balioetarako betetzen bada, p,q balioetarako ere bete egiten da. Formula p>0, q=0 eta p=q; p,q>0 balioetarako betetzen denez (orduan, argi dauden P$_{p,q=0}$=(p-0)/(p+0)=1 eta P$_{p,q=p}$=(p-p)/(p+p)=0 betetzen baitira), beste p>q>0 guztietarako ere beteko da, p-1,q eta p,q-1 balioetatik p,q balioetarako jauzi edo indukzioa eginez (adibidez, P$_{p=1,q=1}$ eta P$_{p=1,q=0}$ probabilitateetatik P$_{p=2,q=1}$ probabilitatera egiten da jauzi).

## Kanpo estekak

* (Ingelesez) The Ballot Problem and the First Return to 0, non argibideak eta applet bat dauden.
* Datuak: Q2253746
* Multimedia: Bertrand's ballot theorem / Q2253746

## Erreferentziak

* ↑ (Ingelesez) RENAULT, Marc: André and the Ballot Problem-History and a Generalization. Shippensburg University.

## Bibliografia

* (Ingelesez) RENAULT, Marc, Lost (and found) in translation: André's actual method and its application to the generalized ballot problem. Amer. Math. Monthly 115 (2008), no. 4, 358-363.
* (Ingelesez) RENAULT, Marc, Lost in Translation: A Reflection on the Ballot Problem and André's Original Method, Mathfest, Shippensburg University. 2007-08-05.