# Konjuntzio logiko

Arrazonamendu formalean, bi proposizioen arteko konjuntzio logikoa lokailu logiko bat da, zeinen egia balioa egiazkoa izango da bi proposizioak egiazkoak badira eta faltsua beste kasu guztietan.
“A eta B” egiazkoa izango da, A egiazkoa bada eta B egiazkoa bada bakarrik.
* Hizkuntza naturalean, “eta” hitza erabiltzen da euskaraz konjuntzio logiko bat adierazteko.
* Multzo teorian kontzeptu baliokidea ebaketa edo ebakidura da ($\cap$).
* Aljebra Boolearrean, konjuntzioa bi aldagaien arteko eragile bitar gisa erdiko puntuaren (·) sinboloarekin adireazten da.
* Elektronikan, AND ate logikoa erabiltzen da konjuntzio logikoa ezartzeko.

## Notazioa

Eta adierazteko gehien erabiltzen diren ikurrak hurrengoak dira: matematika eta logikan, ∧ edo × ; elektronikan, ⋅ ; eta programazio lengoaietan, &, &&, edo and.

## Definizioa

Faltsuak F eta egiazkoak E diren elementuez osatutako multzo unibertsal bat, U,:
$U=\{F,E\}$
eta $(U,\land )$ bezala irudikatuko dugun barne ergiketa bitara ∧ konjuntzioa, emanda ,
${\begin{array}{rccl}\land :&\;U\times U&\to &U\\&(a,b)&\to &c=a\land b\end{array}}$
(a,b) U x Uko bikote ordenatu bakoitzari Uko c bat bakarra esleituko zaio, c, a eta b ren arteko konjuntzio logikoaren emaitza izango da.
$\forall (a,b)\in U\times U\,:\quad \exists !c\in U\;/\quad c=a\land b$
Konjuntzio logikoaren egia taula:
| INPUT | INPUT | OUTPUT |
| $A$ | $B$ | $A\land B$ |
| E | E | E |
| E | F | F |
| F | E | F |
| F | F | F |

## Erabilera
### Hizkuntza formala

Hizkuntza formal bateko adierazpenek, egiazkoak edo faltsuak izan daitezkeen proposizioak irudikatzen badituzte, konjuntzio logikoa egiazkoa izango da bi adierazpenak egiazkoak badira bakarrik.

### Aljebra boolearra

B={0,1} multzoa emanik, · honela definituko da:
0 · 0 = 0, 0 · 1 = 0, 1 · 0 = 0, 1 · 1 = 1

### Sare neuronalak
## Propietateak

Konjuntzio logikoak honako propietate hauek ditu:
* Elkartze propietatea:
$\forall a,b,c\in U:\;(a\land b)\land c=a\land (b\land c)$
| $~A$ | $~~~\land ~~~$ | $(B\land C)$ | $\Leftrightarrow$ | | $(A\land B)$ | $~~~\land ~~~$ | $~C$ |
| | $~~~\land ~~~$ | | $\Leftrightarrow$ | $\Leftrightarrow$ | | $~~~\land ~~~$ | |
* Trukatze propietatea:
$\forall a,b\in U:\;a\land b=b\land a$
| $A\land B$ | $\Leftrightarrow$ | $B\land A$ |
| | $\Leftrightarrow$ | |
* Banatze propietatea:
$\forall a,b,c\in U:\;a\land (b\lor c)=(a\land b)\lor (a\land c)$
| $~A$ | $\land$ | $(B\lor C)$ | $\Leftrightarrow$ | | $(A\land B)$ | $\lor$ | $(A\land C)$ |
| | $\land$ | | $\Leftrightarrow$ | $\Leftrightarrow$ | | $\lor$ | |
* Elementu neutroaren existentzia:
$\forall a\in U:\;a\land V=a$
* Alderantzizkoa
$\forall a\in U;\;\exists \lnot {a}\in U:\;a\land \lnot {a}=F$
* Konjuntzioa ondorioz disjuntzioa
$\forall a,b\in U:\;a\land b\rightarrow a\lor b$

# Eragiketak bit-ekin

Konjuntzioa oso erabilia da bit-ekin eragiketak egiteko. Adibidez:
* Zero eta zero:
    $0\land 0=0\quad \longleftrightarrow \quad {\begin{array}{cc}&0\\\land &0\\\hline &0\\\end{array}}$
* Zero eta bat:
    $0\land 1=0\quad \longleftrightarrow \quad {\begin{array}{cc}&0\\\land &1\\\hline &0\\\end{array}}$
* Bat eta zero:
    $1\land 0=0\quad \longleftrightarrow \quad {\begin{array}{cc}&1\\\land &0\\\hline &0\\\end{array}}$
* Bat eta bat:
    $1\land 1=1\quad \longleftrightarrow \quad {\begin{array}{cc}&1\\\land &1\\\hline &1\\\end{array}}$
* Lau bitetan:
    $1010\land 1100=1000\quad \longleftrightarrow \quad {\begin{array}{ccccc}&1&0&1&0\\\land &1&1&0&0\\\hline &1&0&0&0\\\end{array}}$

## Erreferentziak

* ↑ Richard., Johnsonbaugh,. (2005). Matemáticas discretas. (6{487} ed. argitaraldia) Pearson Educación ISBN 9702606373..

## Bibliografia

* Winfried Karl Grassmann, Jean-Paul Tremblay (1995), Logic and Discrete Mathematics: A Computer Science Perspective, Prentice Hall, ISBN 8131714381

## Kanpo estekak

* Datuak: Q191081
* Multimedia: Logical conjunction / Q191081