# Dadoetako probabilitateak

Dadoa zorizko zenbakiak edo ikurrak sortzeko gailu bat da, poliedro tankerakoa eta zenbaki guztiek probabilitate eta maiztasun berdinez suerta daitezen prestatua. Dadorik ohikoenak sei alde ditu, 1etik 6ra bitarteko zenbakiak dituena. Jokoetan erabiltzen dira batez ere. Matematikan eta zehatzago probabilitateen kalkuluan, dadoetako probabilitateak gai jakingarria dira, probabilitateari buruzko ebazkizun interesgarriak asmatu eta ebatzi egiten direlako horiei esker. Aldi berean, probabilitatearen irakaskuntzan oso baliagarriak dira, probabilitate-eredu sinple eta ulergarri bat eskaintzen dutelako. Jokoetan ere dadoetako probabilitateek jokatzeko estrategia egokienak planteatzea ahalbidetzen dute.

## Zenbaki zehatzak suertatzeko probabilitateak

P(X=1)=1/6 P(X=2)=1/6 P(X=3)=1/6 P(X=4)=1/6 P(X=5)=1/6 P(X=6)=1/6
Ongi egina dagoen dado batean, alde guztiek suertatzeko probabilitate berdina dute. Horrela, 6 alde dituen dado batean, balio bakoitzaren probabilitatea 1/6 da. Honek gutxi gorabehera 6 aldietatik batean 4 zenbakia suertatuko dela esan nahi du eta 600 aldietatik gutxi gorabehera 100 aldietan 4 zenbakia aterako dela. Batzuetan, ez da bilatzen zenbaki bakar baten probabilitatea, zenbaki-multzo bateko zenbaki bat suertatzeko probabilitatea baizik. Orduan, zenbaki horietako probabilitateak batu egiten dira. Adibidez, zenbakia bikoitia izateko probabilitatea kalkulatzeko (2, 4, edo 6 ateratzekoa, alegia), 2, 4 eta 6 zenbakien probabilitateak kalkulatu beharko dira: P(bikoitia)=1/6+1/6+1/6=3/6=1/2.

### Zenbaki bat jaurtiketa jakin batean suertatzeko probabilitatea

Joko askotan zenbaki jakin bat atera arte jaurtiki behar da dadoa ekintza bat burutu ahal izateko. Adibidez, zenbat dira 6 zenbakia aterat arte, jaurtiketa bat, bi, hiru, ... behar izateko probabilitateak?
       $P(jaurtiketak=1)=P(6)=1/6=0.166\,$
       $P(jaurtiketak=2)=P(ez\ 6\ ETA\ 6)=5/6\times 1/6=0.138\,$
       $P(jaurtiketak=3)=P(ez\ 6\ ETA\ ez\ 6\ ETA\ 6)=5/6\times 5/6\times 1/6=0.115\,$
       $P(jaurtiketak=4)=P(ez\ 6\ ETA\ ez\ 6\ ETA\ ez\ 6\ ETA\ 6)=5/6\times 5/6\times 5/6\times 1/6=0.096\,$
       $\cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots$
Ikusten denez, lehenengo 6 balioa lehenengo, bigarren, hirugarren, ... aldian lortzeko probabilitatea gero eta txikiagoa da. Batez bestez 6 zenbaki lortzeko bota behar den aldi kopurua honela kalkulatzen da:
       $E[X]=\sum xp(x)=1\times 0.166+2\times 0.138\times +3\times 0.115+\cdots ={\frac {5/6}{1/6}}=5$
Nabarmendu behar da dadoa bi aldiz, adibidez, jaurtiki ondoren, hirugarren jaurtiketan 6 suertatzeko probabilitatea 1/6 dela betiere, dadoen jaurtiketan independentzia dagoelako. Dadoa botatzen hasi aurretik, ordea, 6 zenbakia hirugarren jaurtiketan suertatzeko probabilitatea 0.115 da.

## Zenbaki bat n aldiz botata x aldiz ateratzeko probabilitatea

* Adibidez, dado bat 12 aldiz botatzen bada, zenbatekoa da 6 zenbakia 4 aldiz ateratzeko probabilitatea?
* Banakuntza binomiala erabiltzen da horrelako probabilitateak kalkulatzeko, jakinda aldi bakoitzean 6 eta ez 6 gerta daitezkeela eta jaurtiketa ezberdinetako emaitzen artean erabateko independentzia dagoela:
* $P[X=4]={\Bigg{\frac {1}{6}}{\Bigg )}^{4}\times {\Bigg{\frac {5}{6}}{\Bigg )}^{8}\times {\frac {12!}{4!8!}}=0.0887428$
* Beste probabilitateak modu berean kalkulatzen dira. Alboko irudian ikus daitekeenez, 6 zenbakia 7 aldi edo gehiago ateratzeko probabilitateak oso txikiak dira.
* Dado bat n aldiz jaurtikitzen bada, 6 zenbakia batez bestez aterako den aldi kopurua honela kalkulatzen da:
* $E[X]=n\times {\frac {1}{6}}$
* Adibidez, dado bat 12 aldiz botatzen bada, 6 zenbakia 12 × (1/6) = 2 aldiz aterako da batez bestez. Batez bestekoak ez du, ordea, zertan balio osoa izanik: adibidez, dadoa 15 aldiz botatzen bada, batez bestez 15 aldietan 15 × (1/6) = 2.5 aldiz aterako da 6.
Moda probabilitate handienez gertatzen den balioa da. Dado bat n aldiz botatzen bada, 6 zenbakia ateratzeko probabilitate handiena duen aldi kopurua edo moda honela kalkulatzen da:
       $n\times {\frac {1}{6}}-{\frac {5}{6}}\leq Mo\leq n\times {\frac {1}{6}}+{\frac {1}{6}}$
Adibidez, dadoa 12 aldiz botatzen bada,
       $12\times {\frac {1}{6}}-{\frac {5}{6}}\leq Mo\leq 12\times {\frac {1}{6}}+{\frac {1}{6}}\rightarrow 1.16\leq Mo\leq 2.16\rightarrow Mo=2$
Probabilitate handieneko balioa 1.16-2.16 tarteko balio osoa da, 2 alegia. Beraz, 12 jaurtiketetan 6 atera daitekeen aldi guztietatik, 2 aldiz aterako dela apustu egin beharko litzateke, horixe baita probabilitate handieneko balioa, nahiz eta bera gertatzeko probabilitatea handia ez den (%8.8 hain zuzen).

## Dado anitzetako puntuazioa
### Bi dado

Bi dado (edo dado bat bi aldiz) jaurtitzen bada, zenbatekoa da puntuazio bakoitzaren probabilitatea?
Lehendabizi, emaitza posible guztiak eta dagokien puntuazioa zehaztu behar dira. Bi dado jaurtitzen direnean, emaitza posibleak 6×6=36 dira. 36 kasu hauetako bakoitzean zenbateko puntuazio lortzen den kalkulatu eta puntuazio bakoitzaren maiztasuna eman ondoren, 36 kasu posible guztien kopuruarekin zatituz (Laplaceren erregela erabiliz, alegia) puntuazio bakoitzaren probabilitatea lortzen da. Ohartu behar da ordena ezberdina duten emaitzak ezberdintzat jo behar direla, Laplaceren erregelak (kasu kopurua/36, kasu honetan)eskatzen duen probabilitate berdintasuna ziurtatzeko: (1,1) eta edozein ordenatan (1,2) ez lirateke bestela probabilitate berekoak izango da, (1,2) bi kasuetan gertatzen baita, (1,2) eta (2,1) kasuetan hain zuzen, eta (1,1) kasu bakar batean.
       $P[X=2]=1/36=0.027\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ P[X=8]\ =5/36=0.138\,$
       $P[X=3]=2/36=0.055\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ P[X=9]\ =4/36=0.111\,$
       $P[X=4]=3/36=0.083\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ P[X=10]=3/36=0.083\,$
       $P[X=5]=4/36=0.111\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ P[X=11]=2/36=0.055\,$
       $P[X=6]=5/36=0.138\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ P[X=12]=1/36=0.027\,$
       $P[X=7]=6/36=0.166\,$
Ikusten denez, ateratzeko aukera handienak dituen puntuazioa 7 da, eta beste alde batetik 2 eta 12, 3 eta 11, ... ateratzeko probabilitateak berdinak dira, hau da, puntuazioaren banaketa erabat simetrikoa da.
Bi dado botata, berdintasunezko joko bat asmatu behar bada, jokalari batek 2, 3, 4, 5, 6 eta 10 zenbakiak eta besteak 7, 8, 9, 11 eta 12 ateratzen direnean irabaziko dutela ezar daiteke, horrela 36 aukeretatik 18natan irabaziz biak.

### Hiru dado

Hiru jaurtitzen denean, emaitza posible guztiak 6×6×6=216 dira. Zerrenda honela osa daiteke (×3 ikurrak hirukotea hiru ordena ezberdinetan gerta daitekeela adierazten du: adibidez, (2,1,1)×3 = (2,1,1), (1,2,1), (1,1,2); (3,2,1)×6, (3,2,1) elementuak 3!=6 eratara ordena baitaitezke permutazioen formula erabiliz):
Hiru dadoetako puntuazioak :
* Hiru dadoetako puntuazioak
* Puntuazioa
* Kasuak
* Probabilitatea
* 3
* (1,1,1)×1
* 1/216=0.004
* 4
* (2,1,1)×3
* 3/216=0.013
* 5
* (3,1,1)×3, (2,2,1)×3
* 6/216=0.027
* 6
* (3,2,1)×6, (4,1,1)×3, (2,2,2)×1
* 10/216=0.046
* 7
* (4,2,1)×6, (3,2,2)×3, (5,1,1)×3, (3,3,1)×3
* 15/216=0.069
* 8
* (5,2,1)×6, (4,3,1)×6, (6,1,1)×3, (4,2,2)×3, (3,3,2)×3
* 21/216=0.097
* 9
* (1,2,6)×6, (1,3,5)×6, (2,3,4)×6, (1,4,4)×3, (2,2,5)×3, (3,3,3)×1
* 25/216=0.115
* 10
* (6,3,1)×6, (5,3,2)×6, (5,4,1)×6, (4,3,3)×3, (6,2,2)×3, (4,4,2)×3
* 27/216=0.125
* 11
* (6,3,2)×6, (5,4,2)×6, (6,4,1)×6, (5,3,3)×3, (5,5,1)×3, (4,4,3)×3
* 27/216=0.125
* 12
* (6,5,1)×6, (6,4,2)×6, (5,3,4)×6, (6,3,3)×3, (5,5,2)×3, (4,4,4)×1
* 25/216=0.115
* 13
* (6,5,2)×6, (6,4,3)×6, (5,4,4)×3, (5,5,3)×3, (6,6,1)×3
* 21/216=0.097
* 14
* (6,5,3)×6, (6,6,2)×3, (4,4,6)×3, (5,5,4)×3
* 15/216=0.069
* 15
* (4,5,6)×6, (3,3,3)×3, (5,5,5)×1
* 10/216=0.046
* 16
* (5,5,6)×3, (4,6,6)×3
* 6/216=0.027
* 17
* (5,6,6)×3
* 3/216=0.013
* 18
* (6,6,6)×1
* 1/216=0.004

### Zenbaki jakinak ateratzeko probabilitatea

Adibidez, zenbatekoa da 4 dado botata 1-2-3-4 zenbakiak ateratzeko probabilitatea? 1-2-3-4 segida ordena zenbaitetan agertu eta ordena hauek probabilitate berekoak izanik, segida baten probabilitatea bider ordena posible edo permutazioen kopurua egiten da:
       $P[1\ ETA\ 2\ ETA\ 3\ ETA\ 4]={\Bigg{\frac {1}{6}}{\Bigg )}\times {\Bigg{\frac {1}{6}}{\Bigg )}\times {\Bigg{\frac {1}{6}}{\Bigg )}\times {\Bigg{\frac {1}{6}}{\Bigg )}\times 4!={\frac {24}{1296}}$
Zenbatekoa da 1-1-2-2 zenbakiak ateratzeko probabilitatea? Kasu honetan, zenbakien errepikapena dagoenez errepikatuzko permutazioak erabiltzen dira:
       $P[1\ ETA\ 1\ ETA\ 2\ ETA\ 2]={\Bigg{\frac {1}{6}}{\Bigg )}\times {\Bigg{\frac {1}{6}}{\Bigg )}\times {\Bigg{\frac {1}{6}}{\Bigg )}\times {\Bigg{\frac {1}{6}}{\Bigg )}\times {\frac {4!}{2!2!}}={\frac {6}{1296}}$
Zenbatekoa da 1-1-1-1 zenbakiak ateratzeko probabilitatea?
       $P[1\ ETA\ 1\ ETA\ 1\ ETA\ 1]={\Bigg{\frac {1}{6}}{\Bigg )}\times {\Bigg{\frac {1}{6}}{\Bigg )}\times {\Bigg{\frac {1}{6}}{\Bigg )}\times {\Bigg{\frac {1}{6}}{\Bigg )}={\frac {1}{1296}}$
Ondorio gisa, probabilitate handiagoa da zenbakiak ezberdinak izateko denak berdinak izateko baino, ezberdinak ateratzeko modu ezberdin asko daude, ordena ezberdinetan. Zenbaki guztiak berdinak izateko probabilitatea, berriz, txikiagoa da, zenbaki guztiak berdinak modu bakar batean atera daitezkeelako.

### Zenbaki berdinak eta zenbaki ezberdinak

Dado anitz batera (eta dado bakar bat aldi anitzetan zehar) botata, zenbaki guztiak berdinak eta ezberdinak izateko probabilitatea kalkula daiteke. Adibidez, hiru dado botatzen badira, zenbaki guztiak ezberdinak izateko probabilitatea honela kalkula daiteke, probabilitate sinpleak erabiliz edo aldakuntza arrunt eta errepikatuzkoen formula erabiliz:
| $P[ezberdinak]={\frac {6}{6}}\times {\frac {5}{6}}\times {\frac {4}{6}}={\frac {\frac {6!}{(6-3)!}}{6^{3}}}=0.5555\,$ Zenbaki guztiak berdinak izateko probabilitatea honela kalkulatzen da, aukeran 6 zenbaki daudela kontuan hartuz: $P[berdinak]={\frac {1}{6}}\times {\frac {1}{6}}\times {\frac {1}{6}}\times 6={\frac {6}{6^{3}}}=0.0277\,$ | Dadoak P(ezberdinak) P(berdinak) 2 0.8611 0.1389 3 0.5555 0.0277 4 0.2777 0.0004 5 0.0926 0.0007 6 0.0154 0.0001 7 0 (ezinezkoa) 0.00002 8 0 (ezinezkoa) 0.000003 |

## Segidak

Dado bat behin eta berriz botatzen denean, galdera jakingarriak plantea daitezke:
* Zenbatekoa da P:121212 segida Q:111111 segida baino lehenago agertzeko probabilitatea?
* Zenbatekoa da P: 123121 segida azaldu arte beharko den batez besteko jaurtiketa kopurua?
Galdera hauek erantzuteko jolas-matematikan aski ezaguna den John Horton Conway matematikariak asmatutako algoritmoa erabil daiteke. Honela garatzen da: P eta Q segidak elkarren ondoan jartzen dira eta ondoren, Q segida aldi bat eskuinera mugitzen da, Q segidako lehen balioa P segidako lehen balioarekin bat etorri arte; P eta Q errenkadetatik geratzen diren zatiak berdinak badira, 1 jartzen da errenkadaren bukaeran, bestela 0.
Honela, PQ=000000 zenbakia sortzen da zenbaki-sistema seitarrean (dadoak 6 emaitza posible dituelako): PQ=0×6$^0$=0.
Q P segida baino lehenago agertzeko momioa honela kalkulatzen da: ${\frac {PP-PQ}{QQ-QP}}\,$
Sistema seitarreko balioak sistema hamartarrera aldatuz:
* PP=1×6$^5$+1×6$^3$+1×6$^0$=7993
* QP=1×6$^0$=1
* QQ=1×6$^5$+1×6$^4$+1×6$^3$+1×6$^2$+1×6$^1$+1×6$^0$=9331.
Q segida agertzearen aldeko momioa hau da: (7993-0)/(9331-1)=0.8567 da.
Momioa probabilitatera aldatuz:
    ${\frac {p}{1-p}}=0.8567\rightarrow Prob(Q\ lehenago\ P\ baino)=0.4614\,$.
P segida azaldu arte batez bestez behar den aldi kopurua edo batez besteko itxaron denbora honela kalkulatzen da: $PP\times N\,$, non N oinarria den. Adibidez, 121212 segida azaldu arte batez bestez behar den jaurtiketa kopurua 7993×6=47958 da. 111111 azaldu arte behar den batez besteko aldi kopurua 9331×6=55986 da. 111111 segidan puntu kritiko gehiago daudelako behar dira jaurtiketa gehiago: 111 lorturik 2 ateratzen bada, hasieran bezala egongo da jokalaria; 121 lorturik 1 ateratzen bada, berriz, segidako lehenengo pausoa (1...) behintzat emana dago.

## Dadoen ausazkotasuna

Dado bat behin eta berriz botatzean, emaitzak benetan zorizkoa diren, zenbaki guztiak benetan probabilitate berekoak diren, azter daiteke. Horretarako gehien erabiltzen den hipotesi-froga khi-karratu froga estatistikoa da, emaitzetan lorturiko maiztasun enpirikoak ausazkotasun edo probabilitate berdintasunari dagozkion maiztasun teorikoekin alderatzen dituena. Adibidez, dado 600 aldiz bota ondoren lehenengo bi zutabeetan azaltzen diren maiztasun enpirikoak lortu dira:
Khi-karratu estatistikoa aldeen batuketa eginez kalkulatzen da:
       $\mathrm {X} ^{2}=\sum {\frac {(e-t)^{2}}{t}}=0.49+1.96+0.81+1+0.36+1.96=6.58\,$
Lortutako estatistiko hau aurrez finkaturiko adierazgarritasun-mailari dagokion balio kritiko batekin alderatzen da. Balio kritikoa 6-1=5 (dadoak 6 balio ezberdin dituelako) askatasun-maila dituen khi-karratu banaketan . Aurrez edo hipotesi nuluan dadoa ongi taxutua dagoela, benetan zorizkoa dela alegia, ezartzen da. Balio kritikoa estatistikoa baino txikiagoa bada, estatistikoa aski handia dela eta, beraz, ausazkotasuna baztertu behar dela erabaki behar da adierazgarritasun-maila horretarako. Balio kritikoa khi-karratu estatistikoaren balioa baino handiagoa bada, emaitzetan lortutako aldeak aski handiak izan ez eta dadoa ongi egina dagoela erabakitzen da, izandako aldeak halabehar edo kasualidadeari egotziz.
Adierazgarritasun-mailak hipotesi nulua, ausazkotasuna alegia, egia izanik, hipotesi nulua baztertu eta, beraz, dadoa gaizki taxutua dagoela erabakitzeko probabilitatea da. %10eko adierazgarritasun-maila baterako, $\chi _{0.90}^{2}=9.24\,$. Estatistikoaren balioa (6.58) txikiagoa da eta, beraz, dadoa ongi egina dagoela erabaki behar da, izandako desbideratzeak zoriari esleituz.

## Dadoak partxisean

Partxisa dadoak txandaka botatzen diren joko bat da. Jokoaren amaiera batzuetan jokalariak ez du inongo erabakirik hartu behar eta irabazteko duen probabilitatea zoriaren mende dago guztiz. Adibidez, bi dado bota behar direla orain bota behar duen jokalariari 6 gelaxka geratzen bazaizkio helmugarako eta besteari 4, lehenengo jokalariak txanda honetan irabazteko probabilitatea 26/36=0.722 da (bi dado botata, 6 edo gehiago lortzen badu), bigarren jokalariak irabazteko probabilitatea (10/36)×(33/36)=0.254 da (lehenengo jokalariak ez irabazi eta bigarren jokalariak 4 edo gehiago ateratzea) eta hurrengo txandara pasa behar izateko probabilitatea 1-0.722-0.254=0.0238 da (lehenengo jokalariak edo bigarrenak irabaztearen osagarria). Honako taula honetan lehenengo eta bigarren jokalariei helmugara iristeko gelaxkak zenbat diren,
* lehenengo jokalariak irabazteko probabilitatea
eta
* bigarren jokalariak irabazteko probabilitatea
agertzen dira. Ohartzekoa da, lehen jokalariaren fitxaren kokapen bakoitzeko nola jaisten doan bigarren jokalariak irabazteko probabilitatea bere fitxa urrundu ahala.
          Lehen jokalaria↓ Bigarren jokalaria→ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 3 0.9722 0.9722 0.9722 0.9722 0.9722 0.9722 0.9722 0.9722 0.9722 0.9722 0.9722 0.0278 0.0270 0.0254 0.0231 0.0200 0.0162 0.0115 0.0077 0.0046 0.0023 0.0007 4 0.9166 0.9166 0.9166 0.9166 0.9166 0.9166 0.9166 0.9166 0.9166 0.9166 0.9166 0.083 0.081 0.076 0.069 0.060 0.048 0.034 0.023 0.013 0.006 0.002 5 0.833 0.833 0.833 0.833 0.833 0.833 0.833 0.833 0.833 0.833 0.833 0.166 0.162 0.152 0.138 0.120 0.097 0.069 0.046 0.027 0.013 0.004 6 0.722 0.722 0.722 0.722 0.722 0.722 0.722 0.722 0.722 0.722 0.722 0.277 0.270 0.254 0.231 0.200 0.162 0.115 0.077 0.046 0.023 0.007 7 0.583 0.583 0.583 0.583 0.583 0.583 0.583 0.583 0.583 0.583 0.583 0.417 0.405 0.382 0.347 0.301 0.243 0.173 0.115 0.069 0.034 0.011 8 0.416 0.416 0.416 0.416 0.416 0.416 0.416 0.416 0.416 0.416 0.416 0.584 0.567 0.534 0.486 0.421 0.340 0.243 0.162 0.097 0.048 0.016 9 0.277 0.277 0.277 0.277 0.277 0.277 0.277 0.277 0.277 0.277 0.277 0.722 0.702 0.662 0.602 0.521 0.421 0.301 0.200 0.120 0.060 0.020 10 0.166 0.166 0.166 0.166 0.166 0.166 0.166 0.166 0.166 0.166 0.166 0.833 0.810 0.764 0.695 0.602 0.486 0.347 0.231 0.139 0.069 0.023 11 0.083 0.083 0.083 0.083 0.083 0.083 0.083 0.083 0.083 0.083 0.083 0.917 0.891 0.840 0.764 0.662 0.534 0.382 0.254 0.152 0.076 0.025 12 0.027 0.027 0.027 0.027 0.027 0.027 0.027 0.027 0.027 0.027 0.027 0.973 0.945 0.891 0.810 0.702 0.567 0.404 0.269 0.161 0.080 0.026

## Erreferentziak

* ↑ Kanpo lotura honetan dado batetik 25 dado arteko puntuazio totalen probabilitate banaketak agertzen dira: (Ingelesez) Probabilities for the Sum of 1 to 25 Dice, The Wizard of Odds webgunean, 2010-06-08an kontsultatua.
* ↑ (Ingelesez) Li, Shuo-Yen Robert. (1980). «A martingale approach to the study of occurence of sequece patterns in repeated experiments» The Annals of Probability (6): 1171-1176..
* ↑ Simetriaz, 21, 56, 65 eta horrelakoetarako itxaron denborak ere berdinak izango dira.

## Ikus, gainera

* Méréko zaldunaren dado-ebazkizuna

## Kanpo estekak

* Datuak: Q12256057
* Multimedia: Dice probability / Q12256057