# Konbinazio (konbinatoria)

Konbinatorian, konbinazioak n elementuko multzo batetik k elementu aukeratzeko erak dira, era bakoitzean elementuen ordena kontuan hartu gabe. Konbinazio arruntak eta errepikatuzko konbinazioak bereizten dira, aukeratutako elementuak errepika daitezkeen.

## Konbinazio arruntak

Konbinazio arrunta n elementu ezberdineko multzo batetik k elementu aukeratzeko era bakoitza da, ordena kontuan hartu gabe eta elementurik errepikatu gabe. n eta k zenbakiak osoak eta ez negatiboak izan behar dira. Gainera $n\geq k$ betetzen da, ezin baitira aukeratu daude n elementuak baino gehiago.
Adibidez {A,B,C,D,E,F} multzoa harturik, 6 elementu dituena, 2 elementu aukeratu behar dira. Konbinazio arrunten kopurua 15 da:
| A,C | A,D | A,E | A,F |
| B,C | B,D | B,E | B,F |
| | C,D | C,E | C,F |
| | | D,E | D,F |
| | | | E,F |
Konbinazio arrunten kopurua adierazteko $C(n,k)\,$, $n\,C\,k\,$, $C_{k}^{n}\,$ notazioak erabil daitezke. Honela kalkulatzen da horien kopurua (ikus koefiziente binomiala eta faktoriala):
       $C(n,k)={n \choose k}={\frac {n!}{k!(n-k)!}}$.
Honela bada, aurreko adibidea harturik C(6,2)=6!/(2!4!)=6*5/2=15 eta beraz, zerrendan ikus daitekeen bezala, 15 dira 2 elementu 6 elementuko multzo batetik aukeratzeko erak.

### Frogapena

n elementuko multzo batetik k elementu, modu ordenatuan eta elementurik errepikatu gabe, osatzeko era kopurua (ikus aldakuntza (konbinatoria)) honela kalkulatzen da:
* lehen elementua n eratara aukera daiteke;
* bigarren elementua n-1 eratara aukera daiteke, aurreko elementua ezin baita aukeratu;
* azken elementua n-(k-1) eratara aukera daiteke
* beraz, k elementuak (n)r=n×(n-1)×(n-2)×...×(n-(k-1)) eratara aukera daitezke.
(n)$_r$ kopuruan aukeratutako elementuen ordena hartzen da kontuan (adibidez, 123 eta 321 ez dira bat bera balira bezala kontatzen). k elementuko aukeraketa bakoitzak, beraz, n! permutazio izango ditu n$_{(r)}$ kopuruan . Beraz, ordena kontuan hartu gabe k elementuen aukeraketa, konbinazio arrunten kopurua alegia, hau izango da: n$_{(r)}$/k!. Hots,
    ${\begin{aligned}C(n,k)=&{\frac {(n)_{k}}{k!}}={\frac {n\times (n-1)\times \ldots \times (n-(k-1))}{k!}}\\=&{\frac {n\times (n-1)\times \ldots \times (n-(k-1))\times (n-k)\times (n-(k+1))\times \ldots 1}{k!\times (n-k)\times (n-(k+1))\times \ldots 1}}\\=&{\frac {n!}{k!(n-k)!}}\end{aligned}}$

## Errepikatuzko konbinazioak

Errepikatuzko konbinazioa, multikonbinazioa ere deitua, n elementu ezberdineko multzo batetik k elementu aukeratzeko era bakoitza da, ordena kontuan hartu gabe eta elementuak errepika daitezkeela. Adibidez, 1-2-3 elementuen binakako errepikatuzko konbinazioak hauek dira, 6 guztira: 11-12-13-22-23-33
n elementuko multzo batetik k-nakako errepikatuzko konbinazioen kopurua honela izendatu eta kalkulatzen da, koefiziente binomial baten bitartez:
    $Cr(n,k)=C(n+k-1,k)={n+k-1 \choose k}={\frac {(n+k-1)!}{k!\cdot (n-1)!}}$.
Arestiko adibidea hartuz, errepikatuzko konbinazioen kopurua honela kalkulatzen da:
    $Cr(n=3,k=2)={3+2-1 \choose 2}={\frac {(3+2-1)!}{2!\cdot (3-1)!}}=6$.
Frogapen intuitibo moduan, (1,2,3,4) multzoa hartu eta 3 elementuren errepikatuzko konbinazioak osatuko dira eta errepikatuzko konbinazio bakoitzari, (n-1) "0" eta k "X" elementu berdinen errepikatuzko permutazio bat dagokio, modu honetan:
Bihurketa hau honela interpretatzen da: lehenengo 0 ikurraren ezkerrera dagoen X ikur kopurua permutazioan 1 elementuen kopurua da errepikatuzko konbinazioan, bigarren 0 ikurraren ezkerrera dagoen X ikur kopurua permutazioan 2 elementuen kopurua da errepikatuzko konbinazioan, ... Azken 0 ikurra jartzea ez da beharrezkoa: 4 elementuen kopurua konbinazioan hirugarren 0 ikurraren eskuinera dagoen X ikur kopurua izango da. Horrela 4 elementuen 3-nakako errepikatuzko konbinazioak 4-1 "0" eta 3 "X" elementuen errepikatuzko permutazioak izango dira:
    $Cr(n,k)={\frac {(n+k-1)!}{k!\cdot (n-1)!}}$.

## Konbinazioei buruzko identitate jakingarriak

    Identitatea Azalpena ${n \choose 1}=n$ n elementuko multzo batetik elementu bat n eratara aukera daiteke, multzoan dauden elementuetako bakoitza aukeratuz hain zuzen. ${n \choose 0}=1$ n elementuko multzo batetik 0 elementu era bakar batean aukera daiteke, inongo elementurik aukeratu gabe hain zuzen. ${n \choose k}={n \choose n-k}$ n elementuko multzo batetik k elementu aukeratzen badira, n-k elementu aukeratu gabe geratzen dira. Beraz, k elementu aukeratzeko erak, n-k elementu ez aukeratzeko erak dira. ${n \choose k}={n-1 \choose k}+{n-1 \choose k-1}$ Pascalen identitatea: n elementuko multzo batetik k elementuren aukeraketa bi eratara egin daiteke, x elementu jakin bati buruz: x elementua aukeratuz nahiz x elementua aukeratu gabe. x elementua aukeratuz, beste k-1 elementuak beste n-1 elementuen artean aukera daitezke; x elementua aukeratu gabe, berriz, beste n-1 elementuetatik k aukeratu behar dira. ${m+n \choose k}=\sum _{i=0}^{k}{m \choose i}{n \choose k-i}$ Vandermonderen identitatea: m+n elementuko multzo batetik k elementuren aukeraketa k eratara egin daiteke: m elementutik 0 elementu eta n elementutik k elementu hartuz, m elementutik 1 elementu eta n elementutik k-1 elementu hartuz, m elementutik 2 elementu eta n elementutik k-2 elementu hartuz, ..., m elementutik k-1 elementu eta n elementutik 1 elementu hartuz eta azkenik m elementutik k elementu eta n elementutik 0 elementu hartuz. $\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}=2^{n}$ Adierazpenean agertzen den konbinazioen batura n elementuko multzo bateko azpimultzo guztien kopurua da. Hain zuzen, multzo bat bertatik k=0, 1, 2, ..., n elementu erauziz zatitu daiteke. $n{n-1 \choose k-1}=k{n \choose k}$ Adibidez, n pertsona aukeran daudelarik, k kideko talde batean, burua ere aukeratu behar bada, talde kopurua bi era hauetako batean eman daiteke: lehenik burua (n aukera) eta gainerako k-1 kideak aukeratzeko n-1 pertsona daude aukeran edota lehenik talde osoa osaturik (n elementutik k kide), gero horietan burua aukeratzeko k taldekide daude aukeran.

## Ikus, gainera

* Aldakuntza (konbinatoria)

## Erreferentziak

* ↑ (Ingelesez) Cameron, Peter J.. Notes on Combinatorics. , 9 or..

## Kanpo estekak

* Datuak: Q202805
* Multimedia: Combinations (combinatorics) / Q202805