# Christoffelen ikurrak

Matematikan eta fisikan, Christoffelen ikurrak konexio metriko bat deskribatzen duten zenbaki-sorta bat dira. Zehazki, tentsore metrikotik eratorritako Levi-Civita konexioaren adierazpenak dira koordenatu espazialetan. Christoffelen ikurrak kalkulu praktiko ugari egiteko erabili ohi dira. Esate baterako, Riemannen kurbadura-tentsorea Christoffelen ikurren eta beren lehenengo deribatu partzialen funtzioan idatz daiteke. Gainera, koordenatu-sistemak eta tentsore metrikoak simetriaren bat daukatenean, gai asko nuluak dira. Bestalde, Levi-Civita konexioaren notazio formala (indizerik gabekoa) dotorea da, eta teoremak laburki idaztea ahalbidetzen badu ere, kalkulu praktikoak egiteko ia erabilezina da.
Christoffelen ikurrek Elwin Bruno Christoffelen omenez jaso zuten haien izena.

## Oharra

Artikuluan zehar emandako definizioak zuzenak dira Riemannen barietateen eta barietate sasirriemanndarren kasuan, hots, erlatibitate orokorrean agertzen diren horien kasuan; goiko eta beheko indizeak arretaz bereiztea ezinbestekoa da, eta Einsteinen batuketa-hitzarmena erabiliko da. Halaber, esplizituki kontrakoa esaten ez bada, formulok edozein zeinu-hitzarmenetarako balio dute. Azkenik, $f$ eremu eskalar, bektorial edo tentsorial baten $x^{\nu }$-rekiko deribatu arrunta adierazteko hurrengo notazioa erabiliko da:
$f_{,\nu }={\frac {\partial f}{\partial x^{\nu }}}$

## Definizioa
### Lehen motako Christoffelen ikurrak

Lehen motako Christoffelen ikurren definizioa honako hau da:
$\Gamma _{\rho \mu \nu }={\frac {1}{2}}(g_{\rho \mu ,\nu }+g_{\rho \nu ,\mu }-g_{\mu \nu ,\rho })$

### Bigarren motako Christoffelen ikurrak

Bigarren motako Christoffelen ikurrak, konexio-koefiziente edo konexio izenaz ere ezagunak, honela definitzen dira:
$\Gamma _{\mu \nu }^{\lambda }={\frac {1}{2}}g^{\lambda \rho }(g_{\rho \mu ,\nu }+g_{\rho \nu ,\mu }-g_{\mu \nu ,\rho })$

### Bi moten arteko lotura

Lehen motako eta bigarren motako Christoffelen ikurrak metrikaren bidez lotuta daude; hau da, batak besteetatik lor daitezke.
$\Gamma _{\rho \mu \nu }=g_{\rho \alpha }\Gamma _{\mu \nu }^{\alpha }$
$\Gamma _{\mu \nu }^{\lambda }=g^{\lambda \rho }\Gamma _{\rho \mu \nu }$

## Transformazio-legea

Aldagai-aldaketa batekiko, honela transformatzen da konexioa:
$\Gamma _{\mu ^{\prime }\nu ^{\prime }}^{\lambda ^{\prime }}={\frac {\partial x^{\lambda ^{\prime }}}{\partial x^{\alpha }}}{\frac {\partial x^{\beta }}{\partial x^{\mu ^{\prime }}}}{\frac {\partial x^{\gamma }}{\partial x^{\nu ^{\prime }}}}\Gamma _{\beta \gamma }^{\alpha }-{\frac {\partial ^{2}x^{\lambda ^{\prime }}}{\partial x^{\alpha }\partial x^{\beta }}}{\frac {\partial x^{\alpha }}{\partial x^{\mu ^{\prime }}}}{\frac {\partial x^{\beta }}{\partial x^{\nu ^{\prime }}}}$
Garrantzitsua da ohartzea konexioa, orokorrean, ez dela tentsore baten gisa transformatzen, aurreko adierazpenean argiro ikus daitekeen bezala.

## Deribatu kobariantea

Christoffelen ikurrak deribatu kobariantearen definizioan agertzen dira. Honela definitzen dira eremu eskalar, bektorial eta tentsorialen deribatu kobarianteak:
$\Phi _{;\mu }=\Phi _{,\mu }$
$u_{\;\;;\nu }^{\mu }=u_{\;\;,\nu }^{\mu }+\Gamma _{\rho \nu }^{\mu }u^{\rho }$
$u_{\mu ;\nu }=u_{\mu ,\nu }-\Gamma _{\mu \nu }^{\rho }u_{\rho }$
$T_{\;\;\mu ;\nu }^{\lambda }=T_{\;\;\mu ,\nu }^{\lambda }+\Gamma _{\rho \nu }^{\lambda }T_{\;\mu }^{\rho }-\Gamma _{\mu \nu }^{\rho }T_{\;\rho }^{\lambda }$
$T_{...\mu ...;\nu }^{...\lambda ...}=T_{...\mu ...,\nu }^{...\lambda ...}+\Gamma _{\rho \nu }^{\lambda }T_{...\mu ...}^{...\rho ...}+...-\Gamma _{\mu \nu }^{\rho }T_{...\rho ...}^{...\lambda ...}-...$
Metrika kobarianteki konstantea da:
$g_{\mu \nu ;\rho }=0$
$g_{\;\;\;;\rho }^{\mu \nu }=0$
Izan ere, Christoffelen ikurrak metrikaren propietate horretatik lor daitezke.
Deribatu arrunta eta deribatu kobariantea antzekoak dira hainbat zentzutan. Alabaina, salbuespen garrantzitsu bat dago: oro har, ordena desberdinetan egindako deribatu kobariante gurutzatuak ez dira berdinak. Hauxe da bektore kobariante baten kasuko kendura:
$v_{\mu ;\nu \rho }-v_{\mu ;\rho \nu }=(\Gamma _{\mu \rho ,\nu }^{\lambda }-\Gamma _{\mu \nu ,\rho }^{\lambda }+\Gamma _{\sigma \nu }^{\lambda }\Gamma _{\mu \rho }^{\sigma }-\Gamma _{\sigma \rho }^{\lambda }\Gamma _{\mu \nu }^{\sigma })v_{\lambda }$

## Riemannen kurbadura-tentsorea

Aurreko ataleko emaitza kontuan hartuz, honela definitzen da Riemannen kurbadura-tentsorea:
$R_{\;\mu \nu \rho }^{\lambda }=\Gamma _{\mu \rho ,\nu }^{\lambda }-\Gamma _{\mu \nu ,\rho }^{\lambda }+\Gamma _{\sigma \nu }^{\lambda }\Gamma _{\mu \rho }^{\sigma }-\Gamma _{\sigma \rho }^{\lambda }\Gamma _{\mu \nu }^{\sigma }$
Metrikaz baliatuz, kurbadura-tentsore kobariantea lortzen da:
$R_{\mu \nu \rho \sigma }=g_{\mu \lambda }R_{\;\nu \rho \sigma }^{\lambda }={\frac {1}{2}}(g_{\mu \sigma ,\nu \rho }-g_{\nu \sigma ,\mu \rho }+g_{\nu \rho ,\mu \sigma }-g_{\mu \rho ,\nu \sigma })+\Gamma _{\lambda \mu \sigma }\Gamma _{\nu \rho }^{\lambda }-\Gamma _{\lambda \mu \rho }\Gamma _{\nu \sigma }^{\lambda }$
Tentsore honen simetriak honako hauek dira:
$R_{\mu \nu \rho \sigma }=-R_{\mu \nu \sigma \rho }$
$R_{\mu \nu \rho \sigma }=-R_{\nu \mu \sigma \rho }$
$R_{\mu \nu \rho \sigma }=R_{\rho \sigma \mu \nu }=R_{\nu \mu \sigma \rho }$
$R_{\mu \nu \rho \sigma }+R_{\mu \sigma \nu \rho }+R_{\mu \rho \sigma \nu }=0$
Hortaz, Riemannen kurbadura-tentsorearen 256 osagaien artean gehienez 20 dira aljebraikoki independenteak.
Bianchiren identitateak adierazpen tentsorial honek ematen ditu:
$R_{\mu \nu \rho \sigma ;\lambda }+R_{\mu \nu \lambda \rho ;\sigma }+R_{\mu \nu \sigma \lambda ;\rho }=0$
Badirudi lotura diferentzial hauek, Bianchik 1902an aurkitu baino lehenago, Vossek 1880an eta Riccik 1889an ezagutzen zituztela.

## Ricciren kurbadura-tentsorea

Riemannen kurbadura-tentsorearen antisimetria dela eta, $R_{\;\lambda \mu \nu }^{\lambda }=0$ da. Haatik, Ricciren kurbadura-tentsorea,
$R_{\mu \nu }=R_{\mu \lambda \nu }^{\lambda }$
eran definitzen dena, ez da, oro har, nulua. Hori bai, simetrikoa da:
$R_{\mu \nu }=R_{\nu \mu }$
Aurreko ataleko kurbadura-tentsorearen definiziotik adierazpen hau lor daiteke:
$R_{\mu \nu }=\Gamma _{\mu \nu ,\rho }^{\rho }-\Gamma _{\mu \rho ,\nu }^{\rho }+\Gamma _{\mu \nu }^{\rho }\Gamma _{\rho \sigma }^{\sigma }-\Gamma _{\mu \sigma }^{\rho }\Gamma _{\nu \rho }^{\sigma }$
Ricciren tentsoretik abiatuz, Ricciren eskalarra edo kurbadura-eskalarra ere defini daiteke:
$R=g^{\mu \nu }R_{\mu \nu }=R_{\;\mu }^{\mu }=R_{\mu }^{\;\mu }$

## Einsteinen tentsorea

Einsteinen tentsorea, alderantzizko aztarnadun Ricciren tentsore izenaz ere ezaguna, honela definitzen da:
$G^{\mu \nu }=R^{\mu \nu }-{\frac {1}{2}}Rg^{\mu \nu }$
Edo era kobariantean idatzita:
$G_{\mu \nu }=R_{\mu \nu }-{\frac {1}{2}}Rg_{\mu \nu }$
Erraz ikus daiteke Einsteinen tentsorea simetrikoa,
$G_{\mu \nu }=G_{\nu \mu }$,
eta kobarianteki kontserbatua dela
$G_{\;\;\;;\nu }^{\mu \nu }=0$
Tentsore honen aztarna, $G$, hasierako definizioan kontrakzioa eginez lor daiteke, $g^{\mu \nu }$ tentsore metrikoa baliatuz. Signatura arbitrarioko $n$ dimentsiotan:
$g^{\mu \nu }G_{\mu \nu }=g^{\mu \nu }R_{\mu \nu }-{\frac {1}{2}}g^{\mu \nu }g_{\mu \nu }R$
$G=R-{\frac {1}{2}}(nR)={\frac {2-n}{2}}R$
Hortaz, $n=4$ dimentsioko kasu berezian, $G=-R$ da. Hau da, kasu horretan, Einsteinen tentsorearen aztarna Ricciren tentsorearena da zeinu negatibo batekin. Horregatik Einsteinen tentsoreari alderantzizko aztarnadun Ricciren tentsore ere esaten zaio. Gainera, $n=4$ kasua da interesgarriena erlatibitate orokorrean. Izan ere, testuinguru horretan, tentsorea simetrikoa eta kobarianteki kontserbatua izatea da Einsteinen tentsorea eraikitzeko motibazio nagusia. Horren zergatia arrazoi fisikoetan datza: Einsteinen ekuazioak lortzeko tentsore bat eraiki nahi dugu, zeina energia-momentuaren tentsorearekin berdinduko baitugu, horixe izango baita grabitazioaren iturria. Halaber, eremu estatiko ahularen hurbilketan, grabitazioaren lege newtondarra berreskuratzen da. Honela agertzen da Einsteinen tentsorea Einsteinen ekuazioetan:
$G_{\mu \nu }=\kappa T_{\mu \nu }$
$\kappa ={\frac {8\pi G}{c^{4}}}$
Ekuazio horiek Einsteinek lortu zituen 1915ean.
Geometria diferentzialean, Einsteinen tentsorea barietate sasirriemanndar baten kurbadura adierazteko erabiltzen da.

## Aplikazioak erlatibitate orokorrean
### Geodesikoen ekuazioa

Azpiatal honetan erlatibitate orokorrean hain esanguratsua den geodesikoen ekuazioa ondorioztatuko da. Demagun masadun partikula bat oztoporik gabe erortzen ari dela eremu grabitatorio batean. Erreferentzia-sistema inertzial lokalean abiadura konstantez higitzen da:
${\frac {d^{2}X^{\rho }}{d\tau ^{2}}}=0$
Beste edozein koordenatu-sistematan honela idazten da aurreko higidura-ekuazioa:
${\frac {d}{d\tau }}\left({\frac {\partial X^{\rho }}{\partial x^{\mu }}}{\frac {dx^{\mu }}{d\tau }}\right)={\frac {\partial X^{\rho }}{\partial x^{\mu }}}{\frac {d^{2}x^{\mu }}{d\tau ^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}X^{\rho }}{\partial x^{\mu }\partial x^{\nu }}}{\frac {dx^{\mu }}{d\tau }}{\frac {dx^{\nu }}{d\tau }}=0$
Emaitza hori alderantzizko $\partial x^{\lambda }/\partial X^{\rho }$ matrizearekin biderkatuz, erorketa askean dagoen partikularen higidura-ekuazioa lortzen da:
${\frac {d^{2}x^{\lambda }}{d\tau ^{2}}}+\Gamma _{\mu \nu }^{\lambda }{\frac {dx^{\mu }}{d\tau }}{\frac {dx^{\nu }}{d\tau }}=0$
Goiko ekuazioari geodesikoen ekuazio deritzo. Konexioa honela idazten da kasu honetan:
$\Gamma _{\mu \nu }^{\lambda }={\frac {\partial x^{\lambda }}{\partial X^{\rho }}}{\frac {\partial ^{2}X^{\rho }}{\partial x^{\mu }\partial x^{\nu }}}$
Masarik gabeko partikulen kasuan denbora propioa ezin erabil badaiteke ere, parametro afin bat defini daiteke ($\sigma =X^{0}$, adibidez) geodesiko nuluen ekuazioa lortzeko:
${\frac {d^{2}x^{\lambda }}{d\sigma ^{2}}}+\Gamma _{\mu \nu }^{\lambda }{\frac {dx^{\mu }}{d\sigma }}{\frac {dx^{\nu }}{d\sigma }}=0$
Badago geodesikoen ekuazioa aldakuntza-printzipio batetik abiatuz ere lortzea.

### Geodesikoen desbideratzea

Atal honetan geodesikoen desbideratzea aztertuko da. Kontsidera ditzagun irudiko bi esperimentuak. Ezkerrean hurbil dauden bi partikula erortzen ari dira Lurraren eremu grabitatorioaren eraginpean eta erdian grabitaterik gabe igogailu azeleratu batean daude bi partikula aske. Baliokidetasunaren printzipioaren arabera, bi egoera baliokideak dira gertaera batean, baina ez guztiz berdinak beste gertaeretan: erdiko esperimentuan partikulen ibilbideak paraleloak izango dira eta ezkerrekoan ia-ia paraleloak, baina denak doaz Lurraren zentrorantz: geodesikoak ez dira erabat paraleloak ezkerreko kasuan.
Kalkuluak egiten hasteko, kontsidera ditzagun irudiko ${\mathcal {C}}$ eta ${\mathcal {\bar {C}}}$ geodesiko hurbilak, $x^{\mu }(\sigma )$ eta ${\bar {x}}^{\mu }(\sigma )=x^{\mu }(\sigma )+\zeta ^{\mu }(\sigma )$ ekuazioek adierazitakoak. $\sigma$ geodesiko bakoitzaren denbora propioa edo parametro afina da: bi geodesikoetako parametro berdineko gertaeren arteko posizio erlatiboa neurtzen du $\zeta ^{\mu }(\sigma )$ bektore-eremu infinitesimalak. $\sigma$ parametroaren balio jakin batean, ${\mathcal {C}}$ geodesikoko $P$ gertaeran dago partikula bat eta ${\mathcal {\bar {C}}}$ kurbako $Q$ gertaeran bestea. Aukera dezagun $P$ gertaeraren inguruko sistema inertzial lokala. Bertan propietate hauexek betetzen dira:
$g_{\mu \nu }(x_{0})=\eta _{\mu \nu }$
$g_{\mu \nu ,\lambda }(x_{0})=0$
$\Gamma _{\mu \nu }^{\lambda }(x_{0})=0$
non $x_{0}^{\mu }$ kontsideratzen ari garen gertaera den eta zeinaren inguruan sistema inertzial lokala definitu dugun. Gauzak horrela, honako hauek dira bi geodesikoen ekuazioak $P$ eta $Q$ puntuetan:
$\left({\frac {d^{2}x^{\lambda }}{d\sigma ^{2}}}\right)_{P}=0$
$\left({\frac {d^{2}{\bar {x}}^{\lambda }}{d\sigma ^{2}}}+\Gamma _{\mu \nu }^{\lambda }{\frac {d{\bar {x}}^{\mu }}{d\sigma }}{\frac {d{\bar {x}}^{\nu }}{d\sigma }}\right)_{Q}=0$
Halaber,
$\Gamma _{\mu \nu }^{\lambda }|_{Q}\approx \Gamma _{\mu \nu }^{\lambda }|_{P}+\Gamma _{\mu \nu ,\rho }^{\lambda }\zeta ^{\rho }|_{P}=\Gamma _{\mu \nu ,\rho }^{\lambda }\zeta ^{\rho }|_{P}$
Geodesikoen bi ekuazioen arteko kendura honela berridazten da, hurbilketa berean, $P$ puntuan:
$\left({\frac {d^{2}\zeta ^{\lambda }}{d\sigma ^{2}}}+\Gamma _{\mu \nu ,\rho }^{\lambda }\zeta ^{\rho }{\frac {dx^{\mu }}{d\sigma }}{\frac {dx^{\nu }}{d\sigma }}\right)_{P}=0$
Puntu berean, honela kalkulatzen da $\zeta ^{\mu }$ bektorearen bigarren deribatu kobariantea:
${\frac {D^{2}\zeta ^{\lambda }}{d\sigma ^{2}}}{\bigg |}_{P}={\frac {d}{d\sigma }}\left({\frac {d\zeta ^{\lambda }}{d\sigma }}+\Gamma _{\nu \mu }^{\lambda }\zeta ^{\nu }{\frac {dx^{\mu }}{d\sigma }}\right){\bigg |}_{P}=\left({\frac {d^{2}\zeta ^{\lambda }}{d\sigma ^{2}}}+\Gamma _{\nu \mu ,\rho }^{\lambda }\zeta ^{\nu }{\frac {dx^{\mu }}{d\sigma }}{\frac {dx^{\rho }}{d\sigma }}\right)_{P}$
Azken bi emaitzak erabiliz:
$\left({\frac {D^{2}\zeta ^{\lambda }}{d\sigma ^{2}}}+(\Gamma _{\mu \rho ,\nu }^{\lambda }-\Gamma _{\nu \mu ,\rho }^{\lambda })\zeta ^{\nu }{\frac {dx^{\mu }}{d\sigma }}{\frac {dx^{\rho }}{d\sigma }}\right)_{P}=0$
Riemannen kurbadura-tentsorearen definizioa kontuan hartuz, honela berridatz daiteke aurreko ekuazioa:
${\frac {D^{2}\zeta ^{\lambda }}{d\sigma ^{2}}}+R_{\;\mu \nu \rho }^{\lambda }\zeta ^{\nu }{\frac {dx^{\mu }}{d\sigma }}{\frac {dx^{\rho }}{d\sigma }}=0$
Azken adierazpen hau tentsoriala den heinean, edozein koordenatutan eta edozein puntutan balio du: geodesikoen desbideratzearen ekuazioa da. Geodesikoen arteko azelerazio erlatibo hau teoria newtondarrean marea-indarren ondorio da; erlatibitatean, aldiz, geometria kurbatuaren ondorio. Gorputz bat erortzen ari bada, bere masa-zentroa denbora motako geodesiko batean barrena higituko da, baina kohesio-indarrak direla eta, beste puntuen higidura ez da askea izango, azeleratua baizik.
Kontsidera ditzagun erorketa askean, denbora motako geodesikoetan barrena, higitzen ari diren bi partikula hurbil. Lehenengo partikularen unibertso-lerroko $P$ gertaeran partikula geldi dagoeneko erreferentzia-sistema inertzial lokalean, $x^{0}=c\tau$ aukerarekin, $dx^{\mu }/d\tau =(c,0,0,0)$ da eta emaitza hau dugu:
${\frac {D^{2}\zeta ^{\mu }}{d\tau ^{2}}}=c^{2}R_{\;00\nu }^{\mu }\zeta ^{\nu }=c^{2}R_{\;00j}^{\mu }\zeta ^{j}$

### Limite newtondarra

Azpiatal honetan erlatibitate orokorraren eta grabitazio newtondarraren arteko lotura azalduko da; horretarako, Christoffelen ikurrekin lan egitea ezinbestekoa izango da. Demagun masa-banaketa bornatu batek sortutako eremu grabitatorio estatiko ahula eta haren eraginpean higitzen den partikula bat. Teoria newtondarrean $\Phi$ potentziala aukeratu ohi da infinituan zero izan dadin. Abiadura txikia denez, honela idazten da geodesikoen ekuazioa, teoria newtondarreko $t$ denbora eta $x^{i}$ koordenatuetan, $x^{0}=ct$ jartzen badugu:
$\left\vert {\frac {dx^{i}}{d\tau }}\right\vert \ll {\frac {dx^{0}}{d\tau }}\Longrightarrow {\frac {d^{2}x^{\lambda }}{d\tau ^{2}}}+\Gamma _{00}^{\lambda }{\frac {dx^{0}}{d\tau }}{\frac {dx^{0}}{d\tau }}={\frac {d^{2}x^{\lambda }}{d\tau ^{2}}}+c^{2}\Gamma _{00}^{\lambda }\left({\frac {dt}{d\tau }}\right)^{2}=0$
Eremua estatikoa denez, denborarekiko deribatuak nuluak dira:
$\Gamma _{00}^{\lambda }=-{\frac {1}{2}}g^{\lambda \rho }g_{00,\rho }=-{\frac {1}{2}}g^{\lambda i}g_{00,i}$
Eremua ahula bada, dagokion metrika eta Minkowskirena ez dira oso desberdinak izango, koordenatu egokietan,
$g_{\mu \nu }=\eta _{\mu \nu }+h_{\mu \nu },\;\;\;\left\vert h_{\mu \nu }\right\vert \ll 1$
eta $h$-rekiko koadratikoak diren gaiak arbuiatuz, hauxe dugu:
$\Gamma _{00}^{\lambda }=-{\frac {1}{2}}\eta ^{\lambda i}h_{00,i}\Longrightarrow {\begin{cases}\Gamma _{00}^{0}=0,\\\Gamma _{00}^{i}=-{\frac {1}{2}}\delta ^{ij}h_{00,j}\end{cases}}$
Hortaz, honela geratzen dira hasierako ekuazioak:
${\frac {d^{2}t}{d\tau ^{2}}}=0\iff {\frac {dt}{d\tau }}={\text{konstantea}}$
${\frac {d^{2}{\mathbf {x}}}{d\tau ^{2}}}={\frac {c^{2}}{2}}\left({\frac {dt}{d\tau }}\right)^{2}\nabla h_{00}\Longrightarrow {\frac {d^{2}{\mathbf {x}}}{d\tau ^{2}}}={\frac {c^{2}}{2}}\nabla h_{00}$
Mekanika newtondarrean honako hau da higidura-ekuazioa:
${\frac {d^{2}{\mathbf {x}}}{dt^{2}}}=-\nabla \Phi$
Ondorioz, $h_{00}=-2\Phi /c^{2}$. Azkenik, eremu grabitatorio estatiko ahuletan, potentzial grabitatorio newtondarraren eta erlatibistaren arteko erlazioa hauxe da:
$g_{00}\approx -\left(1+2{\frac {\Phi }{c^{2}}}\right)$
Eguzkiaren azalean $\Phi /c^{2}\approx -2.12\times 10^{-6}$ da eta Lurraren azalean $\Phi /c^{2}\approx -6.95\times 10^{-10}$: grabitazioak oso gutxi aldatzen du geometria, kasu horietan. Eremu grabitatorio bortitzak behar dira aldaketak handiak izateko, zulo beltz baten inguru hurbilean esate baterako.

## Erreferentziak

* ↑ Spivak, Michael. (1999). A comprehensive introduction to differential geometry. (3rd ed. argitaraldia) Publish or Perish, Inc ISBN 0-914098-70-5. PMC 42962004. (Noiz kontsultatua: 2021-04-20).
* ↑ (Ingelesez) «Elwin Christoffel - Biography» Maths History (Noiz kontsultatua: 2021-04-30).
* ↑ (Alemanez) Christoffel, E. B.. (1869-01-01). Ueber die Transformation der homogenen Differentialausdrücke zweiten Grades.. , 46–70 or. doi:10.1515/crll.1869.70.46. ISSN 1435-5345. (Noiz kontsultatua: 2021-04-30).
* 1 2 3 4 5 6 7 8 Aguirregabiria, Juan M. (2020). Grabitazioa eta Kosmologia. UPV/EHU ISBN 978-84-9860-710-9..
* 1 2 D'Inverno, Ray. (1992). Introducing Einstein's relativity. ISBN 0-19-859686-3. PMC 24067309. (Noiz kontsultatua: 2021-04-21).
* 1 2 3 4 5 Weinberg, Steven. (1972). Gravitation and cosmology : principles and applications of the general theory of relativity. ISBN 0-471-92567-5. PMC 329615. (Noiz kontsultatua: 2021-04-17).
* ↑ Schutz, Bernard F.. (2009). A first course in general relativity. (Second edition. argitaraldia) ISBN 978-0-521-88705-2. PMC 244767823. (Noiz kontsultatua: 2021-04-30).
* ↑ (Ingelesez) Todorov, Ivan T. (2005). Einstein and Hilbert: The Creation of General Relativity. https://arxiv.org/physics/0504179.pdf.
* ↑ «Einstein, Albert - Die Feldgleichungen der Gravitation» echo.mpiwg-berlin.mpg.de (Noiz kontsultatua: 2021-05-01).
* ↑ (Ingelesez) Herman, Russell L. (2008). [http://people.uncw.edu/hermanr/GR/geodesic.pdf Derivation of the Geodesic Equation and Defining the Christoffel Symbols. ].
* ↑ «Lecture Notes on General Relativity - S. Carroll» ned.ipac.caltech.edu (Noiz kontsultatua: 2021-04-30).
* ↑ «Gravity near a massive body» www.pitt.edu (Noiz kontsultatua: 2021-04-30).
* ↑ «Lecture 20: Black Holes» sites.ualberta.ca (Noiz kontsultatua: 2021-04-30).
* ↑ «Physics 11 Lecture Notes - General Relativity & Black Holes» casswww.ucsd.edu (Noiz kontsultatua: 2021-04-30).

## Kanpo estekak

* Datuak: Q847816