# Poligono erregular

Geometrian, poligono bat erregularra da, aldeberdina (alde guztiak luzera berekoak dira) eta angeluberdina (angelu guztiak neurri berekoak dira) bada.
Poligono erregularrak bi motatakoak izan daitezke: ganbilak eta ahurrak (izar itxurakoak azken horiek, izar-poligono izenekoak).
Hiru eta lau aldeko poligono erregularrak triangelu aldeberdina eta karratua dira, hurrenez hurren; alde gehiagoko poligono erregularrak izendatzeko, erregular terminoa gehitzen da (pentagono erregularra, hexagono erregularra...).

## Poligono erregularren elementuak

* Aldea (L): poligonoa osatzen duten zuzenkietako bakoitza
* Erpina (V): poligono baten bi aldek elkar ebakitzen duten puntua
* Zentroa (C): erpinetatik distantziakidea den puntua
* Erradioa (r): poligonoaren zentroa eta erpin bat lotzen dituen zuzenkia
* Apotema (a): aldearekiko elkarzuta den eta poligonoaren zentroraino doan zuzenkia
* Diagonala (d): ondoz ondokoak ez diren bi erpin lotzen dituen zuzenkia
* Perimetroa (P): alde guztien luzeren batura

## Poligono erregularren propietateak

* n aldeko poligono erregularrak n ordenako biraketa-simetria du.
* Erpin guztiak zirkunferentzia berean daude (zirkunferentzia zirkunskribatua); hau da, erpinak ziklokideak dira. Beraz, poligono erregularrak ziklikoak dira.
* Aurreko bi propietateetatik, eta kontuan hartuta aldeak berdinak direla, ondoriozta daiteke poligono erregular guztiek zirkunferentzia inskribatu bat daukatela, alde guztien erdiguneak barnetik ukitzen dituena. Hortaz, poligono erregularrak poligono ukitzaileak dira.
* Poligono erregularretan, angelu zentralak eta kanpo-angeluak berdinak dira.

## Poligono erregularren angeluak
### Angelu zentrala

* Poligono erregular baten angelu zentralak ($\alpha \,$) kongruenteak dira, eta haien neurria honela kalkula daiteke, poligonoaren alde kopuruaren (n) arabera:
    $\alpha ={\frac {360^{\circ }}{n}}\;$ (gradu hirurogeitarretan)
    $\alpha ={\frac {2\pi }{n}}\;$ (radianetan)

### Barne-angelua

* Poligono erregular baten barne-angelua ($\beta \,$) honela kalkula daiteke:
    $\beta =180^{\circ }\cdot {\frac {(n-2)}{n}}\;$ (gradu hirurogeitarretan)
    $\beta =\pi \cdot {\frac {(n-2)}{n}}\;$ (radianetan)
* Poligono erregular baten barne-angeluen batura ($\sum \beta \;$), beraz:
    $\sum \beta =180^{\circ }\cdot {(n-2)}\;$ (gradu hirurogeitarretan)
    $\sum \beta =\pi \cdot {(n-2)}\;$ (radianetan)

### Kanpo-angelua

* Poligono erregular baten kanpo-angelua ($\gamma \;$) honela kalkula daiteke:
    $\gamma ={\frac {360^{\circ }}{n}}\;$ (gradu hirurogeitarretan)
    $\gamma ={\frac {2\pi }{n}}\;$ (radianetan)
* Poligono erregular baten kanpo-angeluen batura ($\sum \gamma \,$), beraz:
    $\sum \gamma =360^{\circ }\;$ (gradu hirurogeitarretan)
    $\sum \gamma =2\pi \;$ (radianetan)

## Poligono erregular batzuk

* Triangelu aldeberdina (triangelu erregularra) (3)
* Karratua (lauki erregularra) (4)
* Pentagono erregularra (5)
* Hexagono erregularra (6)
* Heptagono erregularra (7)
* Oktogono erregularra (8)
* Eneagono erregularra (9)
* Dekagono erregularra (10)
* Endekagono erregularra (11)
* Dodekagono erregularra (12)
* Tridekagono erregularra (13)
* Tetradekagono erregularra (14)
Oharra: Poligono erregularrak zenbat eta alde gehiago izan, orduan eta zirkunferentzia baten antz handiagoa izango du.

## Poligono erregularraren azalera

Poligono erregular baten azalera kalkulatzeko, ezagunak ditugun elementuen arabera, hainbat formula daude:

### Azalera: perimetroaren eta apotemaren arabera

    $A={\frac {P\cdot a}{2}}$
* Froga
* Poligonoaren aldea L triangeluaren oinarria da, eta a apotema triangeluaren garaiera; beraz, triangeluaren azalera, $A_{h}$, hau da:
* $A_{h}={\frac {L\cdot a}{2}}\;$
* n aldeko poligonoak n triangelu ditu, eta guztizko azalera hau da:
* $A={\frac {L\cdot a}{2}}\cdot n={\frac {L\cdot n\cdot a}{2}}\;$
* L aldearen luzera bider n (alde kopurua) perimetroa denez gero, formula hau dugu:
* $A={\frac {P\cdot a}{2}}\;$

### Azalera: alde kopuruaren eta apotemaren arabera

    $A=a^{2}\cdot n\cdot \tan \left({\frac {\pi }{n}}\right)\$
* Froga
* Hau jakinda:
* $A={\frac {L\cdot n\cdot a}{2}}\$
* eta $\delta ={\frac {\pi }{n}}\$ kontuan hartuta, angelu zentralaren erdia baita (radianetan).
* trigonometriako formulak erabiliz, hau ondoriozta daiteke:
* $L=2\cdot a\cdot \tan \left({\frac {\pi }{n}}\right)$
* Aldea azalerarako formulan ordezkatuta:
* $A={\frac {(2\cdot a\cdot \tan \left({\frac {\pi }{n}}\right))\cdot n\cdot a}{2}}\$
* Azkenik:
* $A=a^{2}\cdot n\cdot \tan \left({\frac {\pi }{n}}\right)\$

### Azalera: alde kopuruaren eta erradioaren arabera

    $A={\frac {nr^{2}\sin({\frac {2\pi }{n}})}{2}}\;$
* Froga
* Trigonometriako formulak erabiliz, hau ondoriozta daiteke:
* $L=2r\sin({\delta })\;$
* $a=r\cos({\delta })\;$
* non angelu zentrala hau den:
* $\alpha =2\delta ={\frac {2\pi }{n}}\;$
* Poligonoaren azalera hau denez:
* $A={\frac {L\cdot n\cdot a}{2}}\;$
* eta lehen kalkulatutako aldea eta apotemaren balioak ordezkatuz, hau dugu:
* $A={\frac {2r\sin({\delta })\cdot n\cdot r\cos({\delta })}{2}}\;$
* Ordenatuta:
* $A={\frac {nr^{2}\cdot 2\sin({\delta })\cos({\delta })}{2}}\;$
* Trigonometrian, ezaguna da berdintza hau:
* $2\sin({\delta })\cos({\delta })=\sin({2\delta })\;$
* Emaitza hau da:
* $A={\frac {nr^{2}\sin({\alpha })}{2}}\;$
* Edo beste era honetan:
* $A={\frac {nr^{2}\sin({\frac {2\pi }{n}})}{2}}\;$

### Azalera: aldearen arabera

    $A=n\cdot {\cfrac {L^{2}}{4}}\cdot \tan \left({\cfrac {\pi }{2}}{\cfrac {(n-2)}{n}}\right)$
* Froga
* Poligonoaren azalera hau denez:
* $A=n\cdot {\frac {L\cdot a}{2}}\;$
* Erabil dezagun $\varphi$ sinboloa "L" aldearen eta "r" erradioaren arteko angelua izendatzeko:
* $\varphi ={\frac {\pi -\alpha }{2}}\ ={\frac {\pi -{\frac {2\pi }{n}}}{2}}\ ={\frac {\pi }{2}}{\frac {(n-2)}{n}}\;$
* Definizioz, tangentearen balioa hau da (apotemaren eta aldearen arabera):
* $\tan \varphi ={\frac {a}{\frac {L}{2}}}={\frac {2a}{L}}$
* Apotema askatuz gero, hau dugu:
* $a={\frac {L\cdot \tan \varphi }{2}}$
* Adierazpen hori azaleraren formulara eramanda:
* $\left.{\begin{array}{l}A=n\cdot {\cfrac {L\cdot a}{2}}\\\\a={\cfrac {L\cdot \tan \varphi }{2}}\\\\\varphi ={\cfrac {\pi }{2}}{\cfrac {(n-2)}{n}}\end{array}}\right\$

## Laburpen-taula

Oharra: alde kopuru oso handia duen poligonoaren kasuan, barne-angeluek lauak izatera joko dute, aldea nulua izatera eta azalera π zenbakiaren baliorantz.
| Alde, angelu eta erpin kopurua | Poligonoa | Barne-angelua | Aldea | Azalera | Animazioa: eraikitze grafikoa erregela eta konpasa erabiliz |
| 3 | Triangelu aldeberdina | 60° | √3≅1,732 | 3/4·√3≅1,299 | Eraikitze zehatza |
| 4 | Karratua | 90° | √2≅1,414 | 2 | Eraikitze zehatza |
| 5 | Pentagonoa | 108° | ≅1,176 | ≅2,378 | Eraikitze zehatza |
| 6 | Hexagonoa | 120° | 1 | 3/2·√3≅2598 | Eraikitze zehatza |
| 7 | Heptagonoa | ≅128,57° | ≅0,868 | ≅2,736 | Gutxi gorabeherako eraikitzea |
| 8 | Oktogonoa | 135° | ≅0,765 | 2·√2≅2,828 | Eraikitze zehatza |
| 9 | Eneagonoa | 140° | ≅0,684 | ≅2,893 | Gutxi gorabeherako eraikitzea |
| 10 | Dekagonoa | 144° | ≅0,618 | ≅2,939 | Eraikitze zehatza |
| 11 | Endekagonoa | ≅147,27° | ≅0,563 | ≅2,974 | Gutxi gorabeherako eraikitzea |
| 12 | Dodekagonoa | 150° | ≅0,518 | 3 | Eraikitze zehatza |
| 13 | Tridekagonoa | ≅152,31° | ≅0,479 | ≅3,021 | Gutxi gorabeherako eraikitzea |
| 14 | Tetradekagonoa | ≅154,29° | ≅0,445 | ≅3,037 | Gutxi gorabeherako eraikitzea |
| 15 | Pentadekagonoa | 156° | ≅0,416 | ≅3,051 | Eraikitze zehatza |
| 16 | Hexadekagonoa | 157,5° | ≅0,390 | ≅3,061 | Eraikitze zehatza |
| 17 | Heptadekagonoa | ≅158,82° | ≅0,367 | ≅3,071 | Eraikitze zehatza 34-gonoa, 51-gonoa 85-gonoa, 255-gonoa |
| 18 | Oktodekagonoa | 160° | ≅0,347 | ≅3,078 | Gutxi gorabeherako eraikitzea |
| 19 | Eneadekagonoa | ≅161,05° | ≅0,329 | ≅3,085 | Gutxi gorabeherako eraikitzea |
| 20 | Ikosagonoa | 162° | ≅0,313 | ≅3,090 | Eraikitze zehatza |
| 257 | 257-gonoa | ≅178,6° | ≅0,024 | ≅3,141 | Eraikitze zehatza |
| 65.537 | 65.537-gonoa | ≅179,9945° | ≅0,000096 | ≅3,1416 | Eraikitze partziala |

## Erreferentziak eta oharrak

* 1 2 3 Zirkunferentzia zirkunskribatuaren erradioak 1 balio duenean.

## Kanpo estekak

* Datuak: Q714886
* Multimedia: Regular polygons / Q714886