# Levenshtein distantzia

Levenshtein distantzia, hitzen arteko distantzia edo edizio-distantzia zenbaki bat da hitz batetik abiatuta beste hitz bat lortzeko egin behar diren gutxieneko eragiketen kopurua dena, informazioaren teorian eta informatikan oso erabilia da. Eragiketa horietako bakoitza hiru mota hauetako bat izan behar da: karaktere bat txertatzea, ezabatzea edo ordezkatzea. Distantzia honek Vladimir Levenshtein zientzialari errusiarraren omenez jaso zuen izen hori, 1965ean asmatu zuen distantzia neurtzeko neurri hori. Bi karaktere-kateen arteko antzekotasuna erabili behar duten programetan erabilgarria da, zuzentzaile ortografikoekin esate baterako.
Adibidez, "eman" eta "emongo" hitzen arteko distantzia 3 da, gutxienez oinarrizko hiru edizio behar baitira batetik abiatuta bestea lortzeko.
* eman → emon ('a'-ren ordez 'o' jarrita)
* emon → emong ('g' bat gehitzea bukaeran)
* emong → emongo ('o' bat gehitzea bukaeran)
Hamming-en distantziaren orokortze gisa ikusi ohi da, luzera bereko kateetarako erabiltzen dena eta eragiketa moduan 'ordezkatzea' soilik hartzen duena. Levenshteinen distantziaren beste orokortze batzuk badira, esate baterako, Damerau-Levenshtein distantzia, bi karaktereen arteko trukea eragiketa bakar gisa hartzen duena.
'Distantzia' ona denez, propietate hauek betetzen ditu (formalki frogatzea zaila den arren):
Dist (A, B) == Dist (B, A)
Dist (A, B) + Dist (B, C)> = Dist (A, C)

## Algoritmoa

$a$ eta $b$ karaktere-kateren arteko Levenshtein distantzia, ${\displaystyle \operatorname {lev} _{a,b}}$ matrizearen ${\displaystyle \operatorname {lev} _{a,b}(|a|,|b|)}$ terminoarekin kalkulatzen da, non $\mid a\mid$eta $\mid b\mid$ karaktere-kateen luzera diren. Matrizearen osagaiak honela kalkulatzen direla:
    $\qquad \operatorname {lev} _{a,b}(i,j)={\begin{cases}\max(i,j)&{\text{ baldin}}\min(i,j)=0,\\\min {\begin{cases}\operatorname {lev} _{a,b}(i-1,j)+1\\\operatorname {lev} _{a,b}(i,j-1)+1\\\operatorname {lev} _{a,b}(i-1,j-1)+1_{(a_{i}\neq b_{j})}\end{cases}}&{\text{ bestela.}}\end{cases}}$
    non:
   * $a_{i}=b_{j}$ denean $1_{(a_{i}\neq b_{j})}=0$, eta bestela $1_{(a_{i}\neq b_{j})}=0$
   * ${\displaystyle \operatorname {lev} _{a,b}(i,j)}$ zenbakiak distantzia neurtzen du $a$ kateko lehen i karaktere eta $b$ kateko lehen j karaktereen artean.
   * Formulako minimoan hiru aukera daude:
   ** lehen aukerak karaktere baten ezabaketa gertatu dela kontuan hartzen du ($a$-tik $b$-ra),
   ** bigarrenak txertaketa bat gertatu dela suposatzen du,
   ** eta hirugarrenak aztertzen du $a$ eta $b$ kateetako $i$ eta $j$ posizioetan sinbolo berdinak azaltzen diren.
   *** $a_{i}=b_{j}$ denean $1_{(a_{i}\neq b_{j})}=0$, eta bestela $1_{(a_{i}\neq b_{j})}=0$
    Bi adibide:
| | | e | m | a | n |
| | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
| e | 1 | 0 | 1 | 2 | 3 |
| m | 2 | 1 | 0 | 1 | 2 |
| o | 3 | 2 | 1 | 1 | 2 |
| n | 4 | 3 | 2 | 2 | 1 |
| g | 5 | 4 | 3 | 3 | 2 |
| o | 6 | 5 | 4 | 4 | 3 |
| | | S | a | t | u | r | d | a | y |
| | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
| S | 1 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
| u | 2 | 1 | 1 | 2 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| n | 3 | 2 | 2 | 2 | 3 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| d | 4 | 3 | 3 | 3 | 3 | 4 | 3 | 4 | 5 |
| a | 5 | 4 | 3 | 4 | 4 | 4 | 4 | 3 | 4 |
| y | 6 | 5 | 4 | 4 | 5 | 5 | 5 | 4 | 3 |

### Distantzia kalkulatzeko algoritmo iteratiboa

Algoritmoaren exekuzioan matrize bat kalkulatzen da. Hasieran lehenengo zutabea eta lehenengo errenkada jartzen dira. Ondoren errenkadaz errenkada joaten da zenbakiak ezkerretik eskuinera kalkulatzen. Kasu bakoitzean goian (${\displaystyle \operatorname {lev} _{a,b}(i-1,j)}$), ezkerrean (${\displaystyle \operatorname {lev} _{a,b}(i,j-1)}$) eta goi-ezkerrean (${\displaystyle \operatorname {lev} _{a,b}(i-1,j-1)}$) dauden zenbakiak aztertzen dira, baita zutabeko eta errenkadako letrak ere ($a_{i}$ eta $b_{j}$).
| | | e | m | a | n |
| | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
| e | 1 | | | | |
| m | 2 | | | | |
| o | 3 | | | | |
| n | 4 | | | | |
| g | 5 | | | | |
| o | 6 | | | | |
| | | e | m | a | n |
| | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
| e | 1 | 0 | | | |
| m | 2 | | | | |
| o | 3 | | | | |
| n | 4 | | | | |
| g | 5 | | | | |
| o | 6 | | | | |
| | | e | m | a | n |
| | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
| e | 1 | 0 | 1 | | |
| m | 2 | | | | |
| o | 3 | | | | |
| n | 4 | | | | |
| g | 5 | | | | |
| o | 6 | | | | |
| | | e | m | a | n |
| | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
| e | 1 | 0 | 1 | 2 | 3 |
| m | 2 | | | | |
| o | 3 | | | | |
| n | 4 | | | | |
| g | 5 | | | | |
| o | 6 | | | | |
| | | e | m | a | n |
| | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
| e | 1 | 0 | 1 | 2 | 3 |
| m | 2 | 1 | 0 | 1 | 2 |
| o | 3 | | | | |
| n | 4 | | | | |
| g | 5 | | | | |
| o | 6 | | | | |
| | | e | m | a | n |
| | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
| e | 1 | 0 | 1 | 2 | 3 |
| m | 2 | 1 | 0 | 1 | 2 |
| o | 3 | 2 | 1 | 1 | 2 |
| n | 4 | 3 | 2 | 2 | 1 |
| g | 5 | 4 | 3 | 3 | 2 |
| o | 6 | 5 | 4 | 4 | 3 |
Programazio dinamikoan erabili ohi diren behetik gorako algoritmoetako bat da. (n + 1) × ( m + 1) neurriko matrize bat erabiltzen du, non n eta m zenbakiak kateen luzerak diren. Jarraian erakusten den sasikodezko algoritmoa LevenshteinDistance funtzio bat definitzen du. Bi karaktere-kate hartzen ditu (str1 katea lenStr1 luzerakoa eta str2 katea lenStr2 luzerakoa), eta horien arteko Levenshtein distantzia kalkulatzen du.Hau da algoritmoa:
Iterazio bakoitzean mantentzen den inbariantea hau da: str1[1..i] hasierako segmentutik abiatuta str2[1..j] segmentua lortzeko d[i,j] eragiketa egin behar dira. Prozesua bukatzean, matrizeko behe-eskuinaldeko posizioan dagoen zenbakia hori izango da str1 eta str2kateen arteko distantzia.

## Inplementazioa

Jarraian, funtzioaren inplementazioa ikus daiteke hainbat programazio-lengoaiatan. Goi mailako lengoaia batzuetan nork berak definitu beharrik gabe erabil daiteke, hala nola php edo MySQLko erabiltzailearen funtzioak.

### Java

Klase estatiko gisa inplementatua.

### Python

Programa hau erabiltzen duen aplikazio batean zuzentzaile ortografiko bat sortu egin da.

### JavaScript (NodeJS)
## Aplikazioak

* ASJP proiektuak Levenshteinen distantzia erabiltzen du hitz zerrenda bat konparatzeko munduko hainbat hizkuntzatan, horien "antzekotasuna" edo "gertutasuna" neurtzeko. Distantzia kalkulatua erabil daiteke munduko hizkuntzen sailkapen filogenetiko tentagarria proposatzeko. .
* Damerau-Levenshtein distantzia zuzentzaile ortografikoek erabiltzen duten Levenshtein distantziaren orokortze bat da, non ondoz ondoko karaktereen arteko trukaketak ere kontuan hartzen diren (tekleatzen sortutako ohiko akats horren pisua jaisteko). Horrela, "eman" eta "eamn" arteko distantzia 1 da, "ma" karaktere-bikotea "am" bihurtu delako.

## Ikus, gainera

* Espazio metrikoa
* Multzokatze hierarkiko
* Zuzentzaile ortografiko

## Kanpo estekak

* Datuak: Q496939
* ↑ Etxeberria Uztarroz, Izaskun. (2016). Lengoaia eta Sistema Informatikoak SailaInformatika FakultateaAldaera linguistikoen normalizazioainferentzia fonologikoa etamorfologikoa erabiliz.. UPV/EHU, 221 or..
* ↑ Alegria, Iñaki; Perez de Viñaspre, Olatz; Sarasola, Kepa. (2016). Python programazio-lengoaia: oinarriak eta aplikazioak.. Udako Euskal Unibertsitatea ISBN 9788484385950. PMC 971786129. (Noiz kontsultatua: 2019-11-08).
* ↑ (Ingelesez) 262588213843476. «Levenshtein substring minimal distance, javascript implementation» Gist (Noiz kontsultatua: 2019-11-08).
* ↑ ASJP - World Language Tree