# Irudi (matematika)

Matematikan, funtzio baten irudia funtzioaren eremua elementu batek kodominioan hartzen duen balioa da. Halaber, irudi-multzoa, helburu-multzoa edo ibiltartea dominioko elementu batzuek (edo guztiek) hartzen duten balioen multzoa da.
Formalki honela adierazten da:
    $Im_{f}:=\left\{y\in Y\;|\;\exists x\in X,\;f(x)=y\right\}$
Irudi-multzoa kodominioaren azpimultzo bat da, beste alde batetik.

## Definizioa

"Irudi" hitza hiru modutan erabiltzen da. Definizio horietan, $f:X\longrightarrow Y$ funtzio bat da $X$ multzotik $Y$ multzora doana.

### Elementu baten irudia

Baldin eta $x$ $X$-ren elementua bada, orduan $x$-ren irudia $f$-n, $f(x)$ deitua, $x$ ordezkatzean $f$-k hartzen duen balioa da. $f(x)$ $x$-rako $f$-ren irteera gisa ezagutzen da.
$y$ emanda, $f$ funtzioak "$y$-ren balioa hartzen duela" esaten da baldin eta existiten bada $x$ bat funtzioaren eremuan non $f(x)=y$ den. Era berean, $S$ multzo bat emanda, $f$-k "$S$-ren balioa hartzen duela" esaten da baldin eta existiten bada $x$ bat funtzioaren eremuan non $f(x)\in S$. Aldiz, "$f$-k $S$-ren balio guztiak hartzen dituela" esaten da edozein $x$ $f$-ren eremuan $f(x)\in S$ bada.

### Azpimultzo baten irudia

$A\subseteq X$ azpimultzoaren irudia $f$-n, $f(A)$ deitua, $Y$-ren azpimultzoa da multzoak osatzeko notazioa erabiliz definitu daitekeena:
$f(A)=\{f(x):x\in A\}$
Nahasteko arriskurik ez dagoenean, $f[A]$ honela idazten da: $f(A)$. Konbentzio hori komuna da; aurreikusitako esanahia testuingurutik ondorioztatu behar da. Horren ondorioz, $f[\cdot ]$ funtzio bat da zeinen eremua $X$-ren potentzia-multzoa den eta koeremua $Y$-ren potentzia-multzoa.

### Funtzio baten irudia

Funtzio baten irudia bere domeinu osoaren irudia da, funtzioaren heina ere deitua. Erabilera hori saihestu egin behar da, "hein" hitza ere $f$-ren koeremua adierazteko erabiltzen baita.

### Erlazio bitarretara orokortzea

$R$ erlazio bitar arbitrarioa bada $X\times Y$-n, orduan $\{y\in Y:xRy\ non\ x\in X\}$ multzoari $R$-ren irudia (edo heina) deitzen zaio. Era berean, $\{x\in X:xRy\ non\ y\in Y\}$ multzoari $R$-ren eremua deritzo.

## Aurreirudia

$f$ $X$-tik $Y$-ra doan funtzioa izanda, $B\subseteq Y$ multzoaren aurreirudia, $f^{-1}[B]$ deitua, $f^{-1}[B]=\{x\in X:f(x)\in B\}$ definitutako $X$-ren azpimultzoa da.
Beste notazio batzuetan $f^{-1}(B)$ eta $f^{-}(B)$ erabiltzen dira. Multzo baten aurreirudia $f^{-1}[\{B\}]$ edo $f^{-1}[B]$ da.
Adibidez, $f(x)=x^{2}$ funtziorako, $\{4\}$-ren aurreirudia $\{-2,2\}$ izango litzateke. Ez da nahasi behar $f^{-1}$ notazioa erabiltzean aurreirudia alderantzizko funtzioarekin, nahiz eta bat etorri injekzioetarako ohikoa denarekin non $B$-ren aurreirudia $f$-n, $B$-ren irudia den $f^{-1}$-n.

## Irudiarentzako eta aurreirudiarentzako notazioa

Aurreko atalean erabilitako notazio tradizionalak nahasgarriak izan daitezke. Aukera bat irudiari eta aurreirudiari izen esplizituak ematea da, potentzia-multzoen arteko funtzio gisa:

### Geziaren notazioa

* $f^{\rightarrow }:P(X)\rightarrow P(Y)$, $f^{\rightarrow }=\{f(a)\mid a\in A\}$
* $f^{\leftarrow }:P(Y)\rightarrow P(X)$, $f^{\leftarrow }=\{a\in X\mid f(a)\in B\}$

### Izarren notazioa

* $f_{\star }:P(X)\rightarrow P(Y)$, $f^{\rightarrow }$-ren ordez
* $f^{\star }:P(Y)\rightarrow P(X)$, $f^{\leftarrow }$-ren ordez

### Beste terminologiak

* $f[A]$-ren ordez $f''A$ ere erabiltzen da.
* Zenbait testuk $f$-ren irudia $f$-ren heina deitzen dute, baina erabilera hori saihestu egin behar da, “hein” hitza ere erabili ohi baita $f$-ren koeremua adierazteko.

## Adibideak

1.$f:\{1,2,3\}\rightarrow \{a,b,c,d\}$ honek definituta: $f(x)={\begin{cases}a,&x{\text{=1 }}{\text{bada}}\\a,&x{\text{=2 }}{\text{bada}}\\c,&x{\text{=3 }}{\text{bada.}}\end{cases}}$
$\{2,3\}$ multzoaren irudia $f$-n $f(\{2,3\})=\{a,c\}$ da. $f$ funtzioaren irudia $\{a,c\}$ da. $a$-ren aurreirudia $f^{-1}(\{a\})=\{1,2\}$ da. $\{a,b\}$-ren aurreirudia ere $f^{-1}(\{a,b\})=\{1,2\}$ da eta $\{b,d\}$-ren aurreirudia multzo hutsa da $\{\ \}=\varnothing$.
2. $f:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ honek definituta: $f(x)=x^{2}$.
$\{-2,3\}$-ren irudia $f$-n $f^{-1}(\{-2,3\})=\{4,9\}$ da, eta $f$-ren irudia $\mathbb {R} ^{+}$ da (zenbaki erreal positibo guztien multzoa eta zero). $\{4,9\}$-ren aurreirudia $f$-n $f^{-1}(\{4,9\})=\{-3,-2,2,3\}$ da. $N=\{n\in \mathbb {R} :n<0\}$ multzoaren aurreirudia $f$-n multzo hutsa da, zenbaki negatiboek ez dutelako erro karraturik errealen multzoan.

## Propietateak
### Orokorrean

$f:X\longrightarrow Y$ edozein funtziorako eta $A\subseteq X$ eta $B\subseteq Y$ azpimultzo guztietarako, propietate hauek betetzen dira:
| Irudia | Aurreirudia |
| $f(X)\in Y$ | $f^{-1}(Y)=X$ |
| $f(f^{-1}(Y))=f(X)$ | $f(f^{-1}(X))=X$ |
| $f(f^{-1}(B))\subseteq B$ (berdin $f$ supraiektiboa bada) | $f(f^{-1}(A))\supseteq A$(berdin $f$ injektiboa bada) |
| $f(f^{-1}(B))=B\cap f(X)$ | $(f\mid _{A})^{-1}(B)=A\cap f^{-1}(B)$ |
| $f(f^{-1}(f(A)))=f(A)$ | $f^{-1}(f(f^{-1}(B)))=f^{-1}(B)$ |
| $f(A)=\emptyset$ baldin eta soilik baldin $A=\emptyset$ | $f^{-1}(B)=\emptyset$ baldin eta soilik baldin $B\subseteq Y\ \setminus f(X)$ |
| $f(A)\supseteq B$ baldin eta soilik baldin existitzen bada $C\subseteq A$ non $f(C)=B$ den | $f^{-1}(B)\supseteq A$ baldin eta soilik baldin $f(A)\supseteq B$ |
| $f(A)\supseteq f(X\backslash A)$ baldin eta soilik baldin $f(A)=f(X)$ | $f^{-1}(B)\supseteq f^{-1}(Y\backslash B)$ baldin eta soilik baldin $f^{-1}(B)=X$ |
| $f(X\backslash A)\supseteq f(X)\setminus f(A)$ | $f^{-1}(Y\backslash B)=X\setminus f^{-1}(B)$ |
| $f(A\ \cup f^{-1}(B))\subseteq f(A)\cup B$ | $f^{-1}(f(A)\cup B)\supseteq A\cup f^{-1}(B)$ |
| $f(A\ \cap f^{-1}(B))=f(A)\cap B$ | $f^{-1}(f(A)\cap B)\supseteq A\cap f^{-1}(B)$ |
Horrez gain:
* $f(A)\cap B=\emptyset$ baldin eta soilik baldin $A\cap f^{-1}(B)=\emptyset$

### Funtzio konposatuak

$f:X\longrightarrow Y$ eta $g:Y\longrightarrow Z$ funtzioetarako $A\subseteq X$ eta $C\subseteq Z$ azpimultzoekin, ondorengo propietateak betetzen dira:
* $(g\circ f)(A)=g(f(A))$
* $(g\circ f)^{-1}(C)=f^{-1}(g^{-1}(C))$
Zenbaki errealetan oinarritutako kontraadibideak $\mathbb {R}$, $f:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ honek definituta: $f(x)=x^{2}$, berdintasuna lege batzuetan betetzen ez dela erakusten dutenak: :
| Berdinak ez diren multzoak erakusten dituen irudia: $f(A\cap B)\subsetneq f(A)\cap f(B)$. $A=[-4,2]$ eta $B=[-2,4]$ multzoa urdinez agertzen dira $x$ ardatzaren azpian, haien ebakidura $A_{3}=[-2,2]$ berdez agertzen da. | $f(f^{-1}(B_{3}))\subsetneq B_{3}$ | $f^{-1}(f(A_{4}))\supsetneq A_{4}$ |

## Erreferentziak

* ↑ (Ingelesez) «5.4: Onto Functions and Images/Preimages of Sets» Mathematics LibreTexts 2019-11-05 (Noiz kontsultatua: 2021-12-04).
* ↑ Verfasser, Halmos, Paul R. 1916-2006. (1968). Naive Mengenlehre.. Vandenhoeck u. Ruprecht PMC 1072448936. (Noiz kontsultatua: 2021-12-04).
* ↑ (Ingelesez) Weisstein, Eric W.. «Image» mathworld.wolfram.com (Noiz kontsultatua: 2021-12-04).
* ↑ Dolecki, Szymon; Mynard, Frédéric. (2016-07). Convergence Foundations of Topology. doi:10.1142/9012. (Noiz kontsultatua: 2021-12-04).
* ↑ Blyth, T. S.. (2005). Lattices and ordered algebraic structures. Springer ISBN 978-1-84628-127-3. PMC 262677746. (Noiz kontsultatua: 2021-12-04).
* ↑ Rubin, Jean E.. (1967). Set theory for the mathematician. San Francisco, Holden-Day (Noiz kontsultatua: 2021-12-04).
* ↑ «Wayback Machine» web.archive.org 2018-02-07 (Noiz kontsultatua: 2021-12-04).
* 1 2 3 Halmos, Paul R.. (1960). Naive set theory. London : Van Nostrand ISBN 978-0-442-03064-3. (Noiz kontsultatua: 2021-12-04).
* 1 2 Kelley, John L.. (1955). General topology. Van Nostrand ISBN 0-387-90125-6. PMC 338047. (Noiz kontsultatua: 2021-12-04).

## Ikus, gainera

* Izate-eremua

## Kanpo estekak

* Datuak: Q860623