# Al-Khwarizmi

Muḥammad ibn Mūsā al-Khwārizmī (arabieraz: محمد بن موسی الخوارزمی‎; Khwarezm, 780 ing. - Bagdad 850 ing.), Al-Khwarizmi izenaz ezaguna, matematikari, astronomo eta geografo persiarra izan zen, Al-Mamun abbastar kalifaren Bagdadeko gortean lan egin zuena. Bere garaiko matematikaririk handiena izan zen. Aljebraren eta zenbaki-sistema hamartarraren sortzailetzat jotzen da. Bagdadeko Jakituriaren Etxeko Liburutegiko buru ere izan zen, 820 inguruan.
Bere obra, Al-Kitab al-Jabr wa-l-Muqabala (Erredukzio- eta orekatze-bidezko kalkuluari buruzko laburpena), ekuazio linealen eta koadratiko edo bigarren mailako lehenengo ebazpen sistematikoa aurkeztu zuen. Aljebra arloan izan zuen lorpen nagusietako bat izan zen bigarren mailako ekuazioak nola ebatz zitezkeen frogatzea karratuak osatzeko metodoarekin, geometrikoki justifikatuz. Trigonometria arloan ere lan egin zuen, sinu eta kosinu taulak sortuz, eta tangenteei buruzko lehenengoa.
Aljebra diziplina independente gisa tratatu zuen lehena izan zen, eta «erredukzio» eta «oreka» metodoak barneratu zituen. Aljebraren aita eta sortzailetzat jotzen da. Izan ere, latinizatutako bere izenak matematikako hainbat terminori eman zien izena, hala nola algoritmo eta algoritmia (algoritmoak garatzen dituen diziplina),​ baita «guarismo» terminoa (digitu esan nahi du) eta portugesezko «algarismo» ere, esanahi bera duena.
Geografo eta astronomo gisa ere nabarmendu zen, Ptolomeoren Geografia lana berrikusiz, eta hainbat hiri eta herritako longitude eta latitudeak zerrendatzea lortuz. Astrolabioari, eguzki-erlojuari eta egutegiari buruzko zenbait lan ere idatzi zituen, eta zenbait taula astronomiko sortu zituen.
Haren ondarea bizirik jarraitu zuen, XII. mendean, Algoritmi de número indorum lanaren latinezko itzulpenek, Fibonacci matematikari italiarraren lanarekin batera, arabiar zenbakiak Mendebaldean ezagutarazten eta erromatar zenbakikuntza arabiar sistemaz aldatzen lagundu baitzuten; horrek egungo zenbakikuntza sortzea ekarri zuen..​​
Gainera, haren obra nagusia matematikako tratatu nagusitzat erabili zen Europako unibertsitateetan XVI. mendera arte. Tratatua Robert de Chesterrek itzuli zuen 1145ean.

## Bizitza

Gutxi ezagutzen da haren bizitzari buruz. Bagdaden bizi izan zen al-Mamun eta al-Mutasim kalifen garaian, arabiar zientziaren lehenengo urrezko aroan. 815 aldera, al-Mamunek «Bait al-Hikma» (Jakintzaren Etxea) sortu zuen Bagdaden, batzuek Alexandriako Liburutegiarekin parekatu duten ikerketa- eta itzultze-erakundea. Bertan, arabierara itzuli ziren greziar eta indiar lan zientifiko eta filosofikoak. Giro zientifiko eta kultura-aniztasun horretan egin zuen lan Al-Khwarizmik.
Oinarrizko matematikazko liburu bat argitaratu zuen, Al-Kitab al-Jabr wa-l-Muqabala (Erredukzio- eta orekatze-bidezko kalkuluari buruzko laburpen-liburua): bertan, ekuazio ebazpenerako legeak, geometria oinarriak, eta herentzia kontuetan diru banaketari dagozkion arazoen konponbideak biltzen dira. Babiloniarren, hebrearren, greziarren eta indiarren matematika tradizioak bateratu zituen. XII. mendean latinera itzuli zen liburu hori, eta berebiziko eragina izan zuen Europako matematikaren garapenean; liburu horren izenburutik dator, hain zuzen, Aljebra izena bera.

## Obra
### Aljebra
#### Erredukzio- eta orekatze-bidezko kalkuluari buruzko laburpena

Bere aljebra tratatua (arabieraz: حساب الجبر و المقابلة‎, Hisab al-jabr wa-l-muqabala) ―Erredukzio- eta orekatze-bidezko kalkuluari buruzko laburpen-liburua―), obra guztiz didaktikoa da, eta haren helburua da orduko Islamiar Inperioko eguneroko bizitzako arazoak konpontzera bideratutako aljebra bat irakastea. Friedrich Rosenek Al-Khwarizmiren hitzak itzuli zituen bere liburuaren helburuak deskribatuz, eta horrek erakusten du jakintsuak irakatsi nahi zuena:
| « | ...aritmetikan erraza eta erabilgarriena dena, hau da, ari garenean gizakiek etengabe eskatzen dutenaz: herentzia; ondare; banaketa; epaiketa eta merkataritzan, eta besteekin dituzten harreman guztietan edo lur-neurketaz, kanalen indusketaz, kalkulu geometrikoez eta mota askotako beste objektu batzuez. | » |
Gerardo Cremonakoak latinera itzulia, Toledon (Espainia), Europako unibertsitateetan XVI. mendera arte erabili zen testuliburutzat, eta tratatu hori izan zen ezagutzen den lehenengoa ekuazioak ebazteari buruzko azterketa sakona egiten duena.
Zenbaki arruntak aurkeztu ondoren, Al-Khwarizmik gai nagusiari heltzen dio liburuaren lehen zatian: ekuazioen ebazpena. Haren ekuazioak linealak edo bigarren mailakoak dira, eta «unitate», «erro» eta «karratuz» osatuta daude; harentzat, adibidez, unitate bat zenbaki bat zen, erro bat $x$, eta karratu bat $x^{2}$. Nahiz eta ondorengo adibideetan gure egunotako notazio aljebraiko arrunta erabiliko dugun irakurleari nozioak ulertzen laguntzeko, nabarmentzekoa da Al-Khwarizmik ez zuela inolako sinbolorik erabiltzen, hitzak baizik.
Lehenik, ekuazio bat sei forma arruntetako batera laburtzen du:
* Karratuak erradikalen berdinak dira.
* Karratuak, zenbakien berdinak.
* Erroak zenbakien berdinak.
* Karratuak eta erroak zenbakien berdinak, esaterako, $x^{2}+10x=39$
* Karratuak eta zenbakiak erroen berdinak, esaterako, $x^{2}+21=10x$
* Erroak eta zenbakiak karratuen berdinak, esaterako, $3x+4=x^{2}$
Erredukzioa egiteko «al-jabr» eragiketak (osaera edo ekuaziotik termino negatiboak kentzeko prozesua) erabiltzen dira eta «al-muqabala» (oreka edo ekuazioaren bi aldeetatik datozenean potentzia bereko gai positiboak murrizteko prozesua). Gero, «Al-Khwarizmi»k, ebazpen-metodo aljebraikoak eta geometrikoak erabiliz, sei ekuazio-motak nola ebatzi erakusten du. Adibidez, $x^{2}+10x=39$ ekuazioa ebazteko idazten du:
| « | ...karratu bat eta hamar erro 39 unitate dira. Beraz, horrelako ekuazioetan, galdera hau egiten da, gutxi gorabehera: zein da bere erro diren hamarrekin konbinatuta 39 emango duen karratua. Ekuazio mota hori ebazteko modua da aipatutako erroen erdia hartzea. Orain, aurrean dugun arazoaren erroak hamar dira. Beraz, har ditzagun 5, zeina zenbaki beragatik biderkatuta 25 ematen duen, eta, kopuru hori, 39ri gehituko zaio 64 emanez. Horren erro karratua atera ondoren, 8 dena, erroaren erdia kentzen dugu, 5, non emaitza 3 izango den. Beraz, hiru zenbakiak karratu horren erro bat adierazten du. | » |
| —Aljebra |||
Karratuaren osaeraren froga geometrikoa jarraitzen du, hemen azalduko ez duguna. Esango dugu, hala ere, Al-Khwarizmik erabiltzen dituen proba geometrikoak eztabaidagai direla adituen artean. Kontua, erantzunik gabe dagoena, Euklidesen lana ezagutzen ote zuen da. Gogoan izan behar da, Al-Khwarizmiren gaztaroan eta Harun al-Raxiden erregealdian, Al-Hajajek Elementuak itzuli zituela arabierara, eta Al-Khwarizmiren Jakituriaren Etxeko kideetako bat zela. Horrek Toomerren jarrera bermatuko luke. Raxidek dio: «Al-Khwarizmiren trataera, ziurrenik, Elementuaken ezagutza berrian inspiratua izan zen». Gandz-ek, berriz, Elementuak erabat ezezagunak zitzaizkiola dio. Nahiz eta ez den segurua Euklidesen obra ezagutu zuen ala ez, esan daiteke beste geometria-lan batzuek eragin ziotela; ikus Parshallen trataera, II. mendearen erdialdeko Mishnat ha Middot testu hebrearrarekin dituen antzekotasun metodologikoei buruz.
Hisab al-jabr wa-l-muqabalak jarraitzen du aritmetikaren legeak bere objektu aljebraikoetara nola hedatzen diren aztertzen. Adibidez, $(a+bx)(c+dx)$ eta antzeko adierazpenak nola biderkatu erakusten du. Raxidek (op. cit.) haren bereizmen forma guztiz originalak aurkitzen ditu, baina Crossleyk ez ditu hain esanguratsuak ikusten. Gandzek uste du aljebraren aitatasuna Al-Khwarizmiri Diofantori baino askoz gehiago eslei dakiokeela.
Hurrengo zatia aplikazioak eta adibideak dira. Irudi geometrikoen area (adibidez, zirkulua) eta solidoen bolumena (adibidez, esfera, konoa eta piramidea) aurkitzeko arauak deskribatzen ditu. Sail horrek, egia esan, askoz kidetasun handiagoa du hebrear eta indiar testuekin edozein greziar obrarekin baino. Liburuaren azken zatia, herentziaren arau islamiko konplexuez arduratzen da, baina ezer gutxi eskatzen du, ekuazio linealak ebazteaz harago, aurretik azaldutako aljebraz.

### Aritmetika

Ez da Arabierazko jatorrizko tratatua kontserbatzen, baina bai iturri gisa balio duten latinezko lau itzulpen.
Bere idatzien artean daude: kitab al-hisab al-hindi testua (Indiako kalkuluaren liburua), eta, agian, oinarrizko testu bat, kitab al-jam wa'l-tafriq al-hisab al-hindi (Batuketa eta kenketa Indiako aritmetikan). Testu horietan, hauts-ohol batean egin zitezkeen zenbaki hamartarren (zenbaki indiar eta arabiar) algoritmoak deskribatzen ziren. Kalkuluak egiteko, arabieraz takht (latinez: tabula) izeneko hauts edo hareazko geruza mehe batez estalitako ohol bat erabiltzen zen, zeinean irudiak arkatz batekin idatzi eta erraz ezabatu eta ordeztu zitezkeen. Al-Khwarizmiren algoritmoak ia hiru mendez erabili ziren, lumaz eta paperarekin egin zitezkeen Al-Uqlidisi-ren algoritmoak ordezkatu zituen arte.
Bere aritmetikaz, jatorriz gutxieneko segurtasun batez Kitab al-Jamaa wa al-Tafriq bi Hisab al-Hind (arabieraz: كتاب الجامع و التفريق بحساب الهند‎) izenburuz, Batuketaren eta kenketaren liburua, kalkulu indiarraren arabera, XII. mendeko latinezko bertsioa, Algoritmi de número indorum, eta beste bat, Líber algoarismi izenekoa, 1133an, Juan Hispalensek itzulia, Toledoko Itzulpengintza Eskolan. Zoritxarrez, jakina da obra jatorrizko testutik nahikoa aldentzen dela. Lan horretan xehetasunez deskribatzen dira zenbaki indio-arabiarrak, 10 oinarriko zenbaki-sistema indiarra eta harekin kalkuluak egiteko metodoak. Jakina da, halaber, erro karratuak aurkitzeko metodo bat zegoela arabierazko bertsioan, baina ez da latinezko bertsioan agertzen. Ziur aski, lehena izan zen zeroa adierazle posizional gisa erabiltzen. Funtsezkoa izan zen zenbakikuntza-sistema hori mundu arabiarrean, Al-Andalusen eta, ondoren, Europan. André Allardek obra galdu horretan oinarritutako XII. mendeko latinezko tratatu batzuk eztabaidan jartzen ditu.
Itzulpenen bidez Europara iritsi zen XII. mendeko zientzia arabiarraren olatuaren parte gisa, testu horiek iraultzaileak izan ziren Europan. Al-Khwarizmiren latinizatutako izena, «algorismus», kalkuluetarako erabilitako metodoaren izen bihurtu zen, eta «algoritmo» termino modernoan dirau bizirik. Europan erabilitako abakoan oinarritutako aurreko metodoa ordezkatzen joan zen, pixkanaka.
Al-Khwarizmiren metodoen egokitzapenak ematen dituzten latinezko lau testu atera dira bizirik, nahiz eta haietako bat bera ere ez dela hitzez hitzeko itzulpena uste den:
* Dixit Algorizmi (1857an Algoritmi de número indorum izenburuarekin argitaratua)
* Liber alchoarismi de practica arismetice
* Liber ysagogarum alchorismi
* Liber pulveris
Dixit Algorizmi (honela esan zuen Al-Khwarizmik) Cambridgeko Unibertsitateko liburutegiko eskuizkribu baten hasierako esaldia da. Normalean, 1857ko Algoritmi de Numero Indorum izenburutik aipatzen da. Adelardo de Bathi egozten zaio, zeinak taula astronomikoak ere itzuli baitzituen 1126. urtean. Agian, Al-Khwarizmiren beraren idazkietatik gertuen dagoena da.
Al-Khwarizmik aritmetikari buruz egindako lana izan zen zenbaki arabiarrak mendebaldeko munduan sartzearen arduraduna, indiar matematiketan garatutako zenbaki-sistema hindu-arabiarrean oinarritutakoak. «Algoritmo» terminoa algoritmotik eratortzen da, Al-Khwarizmik zenbaki indio-arabiarrekin aritmetika egiteko garatutako teknikatik. «Algoritmoa» zein «algorismoa» Al-Khwarizmi izenaren forma latinizatuetatik eratorriak dira, Algoritmi eta Algorismi, hurrenez hurren.

## Zenbaketa-sistema arabiarra

Indiarren eta arabiarren zenbaketa sistemari buruzko beste lan baten latinezko itzulpena besterik ez da gorde gaur arte: Algoritmi de numero Indorum (“Al-Khwarizmirena, indiarren zenbaketari buruz”). Izenburu horretatik sortua da algoritmo hitza.
Leonardo Pisano matematikari italiar handiaren (Fibonacci izenez ezagunagoa) legatu handiena izan zen antzinako zenbaki erromatarren sistema baztertzen eta zenbaki indio-arabiarrez aldatzen laguntzea Europari. Beti ere Al-Khwarizmik 300 urte lehenago idatzitako liburuetan oinarrituta. Ekarpen hori 1202an argitaratutako "Liber Abaci" liburuan agertzen da.

## Ekuazioak, $x$ aldagaia, eta ebazpenerako legeak

Erredukzio- eta orekatze-bidezko kalkuluari buruzko liburuak bigarren gradura arteko ekuazio polinomikoen erro positiboen ebazpenaren kontakizun sakona eman zuen. Hortaz, Al-Khwarizmi lehena izan zen aljebra modu elementalean irakasten eta aplikatzen.
Batzuetan zaila da orduko arabierazko hitzak geure hizkuntzara itzultzea, egileek eman nahi zioten zentzua gal baitezakete. Baina badirudi al-jabr hitzak laburketa, lehengoratzea, osatzea edo antzeko zerbait esan nahi duela, eta ekuazio bateko erredukzioaz, edo ekuazioan gai bat alde batetik kendu eta beste aldera pasatzeaz diharduela.
Al-Khwarizmiren aljebrak lagundu zuen herentzia bat nola banatu beharko zen asmatzen, lur sailen azalera kalkulatzen eta komertzioan ere bai. Adibidez, problema honetan:
    "Ahmed hil eta herentzian 80 txanpon utzi ditu. Lagun bati laurden bat utzi dio; alargunari, zortziren bat; gainerakoa bere hiru seme-alabentzat da. Zenbat dagokio bakoitzari?
Al-Khwarizmiri esker, zenbakiak bakarrik ez, ezezagun bat duen aldagai bat ere sartuz ekuazio bat planteatzen da. Herentziaren adibidean honako ekuazio hau planteatzen da:
    $80={\frac {80}{8}}+{\frac {80}{4}}+3x$
Aljebran $x$ deritzoguna, balio ezezagun bat adierazten duen $x$ aldagaia, ekuazioaren parte da. Eta ekuazioa beteko duen $x$-ren balioa kalkulatzeko zein urrats eman behar ziren azaltzen zen liburuan.
Liburuaren izenburuko muqabala hitzak oreka esan nahi dezake. Ekuazio bateko gai berdinak ezabatzeko urratsez ari da, adibideko lehenengo urratsean (alde bietan zortzirekin biderkatzea), 4.ean (Alde bietan 240rekin batu) eta 6. urratsetan bezala (alde bietan 24rekin zatitu)
Ekuazioko ezezagunaren kalkulua erredukzio- eta orekatze-bidez :
| Urratsa | Ekuazioa | Zer egin? |
| 1 | $80={\frac {80}{8}}+{\frac {80}{4}}+3x$ | Alde bietan zortzirekin biderkatzea |
| 2 | $8*80=8*({\frac {80}{8}}+{\frac {80}{4}}+3x)$ | Kalkulatzea |
| 3 | $640=80+160+24x$ | Kalkulatzea |
| 4 | $640=240+24x$ | Alde bietan 240 kendu |
| | $640-240=(240+24x)-240$ | Kalkulatzea |
| 5 | $400=24x$ | Alde biak trukatu |
| 6 | $24x=400$ | Alde bietan 24rekin zatitu |
| 7 | ${\frac {24x}{24}}={\frac {400}{24}}$ | Kalkulatzea |
| 8 | $x={\frac {400}{24}}$ | Sinplifikatzea |
| 9 | $x={\frac {50}{3}}=16,66$ | Hori da soluzioa. Hiru seme-alabetako bakoitzak 16 txanpon eta bi heren bat jasoko ditu. |

### Astronomia

Astronomiari buruz arabieraz idatzitako Sindhind zij tratatuaren bi bertsioak ere galdu dira. Lan hori Indiako astronomia-lanetan oinarritzen da, geroagoko astronomia-eskuliburu islamiarretan ez bezala, haiek Ptolomeoren Almagestoren eredu planetario greziarrak erabili baitzituzten. Tratatuaren oinarri den testu indiarra da Indiako misio diplomatiko batek Bagdadeko gorteari 770 inguruan oparitutako testuetako bat. X. mendean, Al-Maijritik bertsio laburrenaren berrikuspen kritikoa egin zuen, zeina Adelardo de Bath-ek latinera itzuli zuen; badago latinezko itzulpen bat ere, bertsiorik luzeenarena, eta bi itzulpenok gure garaira iritsi dira. Obran landuriko gai nagusiak egutegiak dira; Eguzkiaren, Ilargiaren eta planeten benetako posizioen kalkulua; sinuen eta tangenteen taulak; astronomia esferikoa; taula astrologikoak; izar-paralaxien eta eklipseen kalkuluak; eta Ilargiaren ikuspena. Rozenfel'd-ek al-Khwarizmiri egotzitako trigonometria esferikoari buruzko eskuizkribu bat aztertu du.

### Geografia

Geografiari dagokionez, Kitab Surat al-Ard (arabieraz: كتاب صورةلأرض‎, Lurraren itxuraren edo Lurraren irudiaren liburua) izeneko lan batean, Afrika eta ekialdearen Ptolomeoren aurreko lanak berrikusi eta zuzendu zituen. 2402 tokiren latitude eta longitudeak zerrendatu zituen, eta hiriak, mendiak, itsasoak, uharteak, eskualde geografikoak eta ibaiak kokatu zituen, garai hartan ezaguna zen munduaren mapa baten oinarrirako. Ptolomeorenak baino zehatzagoak diren mapak ditu. Argi dago Al-Khwarizmirentzat ezagunagoak ziren tokietan, islamismoaren eskualdeetan, Afrikan eta Ekialde Urrunean, adibidez, lana askoz zehatzagoa dela Ptolomeorena baino, baina badirudi Ptolomeoren datuak erabili zituela Europarako. Esan ohi da mapa horietan hirurogeita hamar geografo aritu zirela bere aginduetara lanean.
Kitab Surat-al-Arden kopia bakarra dago bizirik, Estrasburgoko Unibertsitateko Liburutegian gordeta. Madrilgo Espainiako Liburutegi Nazionalean latinera itzulitako kopia bat dago.
Arabierazko kopiak eta latinezko itzulpenek ez badute munduko mapa barne hartzen ere, Hubert Daunichtek munduko mapa bat berregin ahal izan zuen bere koordenatu-zerrenda erabiliz.
Al-Khwarizmik zuzendu egin zuen Ptolomeok Mediterraneo itsasoaren gainazalari buruz egindako gainestimazioa ​​(Kanariar Uharteetatik Mediterraneoko ekialdeko kostetara); Ptolomeok estimazio bat egin zuen: Mediterraneo itsasoak 63 gradu luze zen; Al-Khwarizmik, berriz, estimaziorik zuzenena egin zuen, itsasoak 50 gradu inguru luze zela. Ptolomeo ere haserretu zuen, esanez, Ozeano Atlantikoa eta Indiako ozeanoa bi ur-gorputz ireki zirela, ez itsasoak. Al-Khwarizmik Mundu Zaharreko Greenwicheko meridianoa ere Mediterraneoaren ekialdeko ertzean ezarri zuen, Alexandriatik 10-13 gradura. (Ptolomeok Bagdadetik 70 gradura kokatu zuen meridianoa). Erdi Aroko geografo musulman gehienek Al-Khwarizmiren Greenwicheko meridianoa erabiltzen jarraitu zuten.
Al-Khwarizmik erabilitako toponimo gehienak bat datoz Ptolomeorenekin, Enrique Martelorenekin (1440-1496) eta Behaimenekin. Kostaldeko forma orokorra berdina da Taprobane eta Kattigara artean. Ptolomeoren mapan ez dagoen Herensugearen isatseko kostalde atlantikoa oso xehetasun gutxirekin marrazten da Al-Khwarizmi-ren mapan, baina argia eta zehatzagoa da Marteloren mapakoa eta Behaimen bertsiokoa baino.

## Beste lan batzuk

Astronomiako taula batzuk ere bildu zituen, Brahma-siddhanta sanskritozko obran oinarritua batez ere. Taula horietan agertzen dira lehenbiziko sinu kalkuluak arabiarren matematikan.

## Aipamenak

* Al-Khwarizmi-ren eskultura Khiva hirian (Uzbekistan).Algoritmo izena Al-Khwarizmi matematikariaren ohorez hartu zuen komunitate zientifikoak. Informatikan funtsezko kontzeptua da algoritmoa, problema bat ebazteko eman behar diren urratsen deskribapen formala dena. Gero algoritmoa programa bihurtuko da, programazio-lengoaia baten bidez ordenagailu batek egikari dezakeen programa bihurtuko da gero. Matematikan eta hizkuntzalaritzan ere erabiltzen da algoritmo hitza, ongi definitutako instrukzio sekuentzia finitu bat da, ordenagailuz martxan jar daitekeena, normalean problema bat urratsez urrats ebazteko edo konputazio bat kalkulatzeko. Algoritmoak beti dira zehatzak, ez dira anbiguoak, eta jarraibide gisa erabiltzen dira kalkuluak egiteko, datuak prozesatzeko, datuak prozesatzeko, arrazoitze automatizaturako eta beste zeregin batzuetarako.
* Bere omenez eskultura handi bat dago Khiva hirian (Uzbekistan).
* Bere omenez 1983an seilu bat argitaratu zuen Sobiet Batasunak.

## Erreferentziak

* Artikulu honen edukiaren zati bat Lur hiztegi entziklopedikotik edo Lur entziklopedia tematikotik txertatu zen 2018/6/23 egunean. Egile-eskubideen jabeak, Eusko Jaurlaritzak, hiztegi horiek CC-BY 3.0 lizentziarekin argitaratu ditu, Open Data Euskadi webgunean.
* ↑ Euskaltzaindia. (2016-09-30). (PDF) 181. araua: Erdi Aroko pertsona-izenak. Iruñea, 12 or..
* ↑ (Toomer 1990)
* ↑ Oaks, Jeffrey A. Was al-Khwarizmi an applied algebraist?. Universidad de Indianápolis.
* ↑ (Gaztelaniaz) Conocimiento, Ventana al. (2019-03-04). Al-Juarismi, puente matemático entre civilizaciones. .
* ↑ (Gaztelaniaz) Peña, Ricardo. (2021-03-27). Al Juarismi, el sabio que dio nombre al algoritmo. .
* 1 2 Abbas, Youssef Ahmed. Al-jabr: atividades para vivenciar a introdução à álgebra. Universidade de Sao Paulo, Agencia USP de Gestao da Informacao Academica (AGUIA).
* ↑ Algorísmia | Facultat d'Informàtica de Barcelona. .
* ↑ (Gaztelaniaz) guarismo - sinónimos y antónimos - WordReference.com. .
* ↑ Wayback Machine. 2006-11-07.
* ↑ (Gaztelaniaz) ALGARISMO - Definición y sinónimos de algarismo en el diccionario portugués. .
* ↑ (Gaztelaniaz) «El sabio que introdujo los números árabes a Occidente y nos salvó de tener que multiplicar CXXIII por XI» BBC News Mundo.
* ↑ (Gaztelaniaz) Islámica, Fundación de Cultura. (2014-08-06). Al-Jwarizmi y los algoritmos. .
* ↑ Struik, Dirk J. (Dirk Jan). (1967). A concise history of mathematics. New York: Dover Publications ISBN 978-0-486-60255-4..
* 1 2 Al Khwarizmi, 'Abu Ja'far Muhammad ibn Musa [1831]: The algebra of Mohammed ben Musa (traducción, edición y notas de Friedrich Rosen). Hildesheim (Alemania): G. Olms Verlag; 1986.
* ↑ Toomer, Gerald J. (1970): «Al-jwarizmi», artículo en inglés publicado en su Dictionary of scientific biography. Nueva York: Charles Scribner’s Sons; 1970.
* ↑ Rashed, op. cit.
* ↑ Gandz (1932)
* ↑ Parshall (1988)
* ↑ Crossley (1980)
* ↑ Gandz (1936)
* ↑ Moreno Castillo, Ricardo. (2010). Al-Jwarizmi. El algebrista de Bagdad, pág.21. Nivola libros y ediciones S. L. ISBN 978-84-92493-58-6..
* 1 2 Burnett 2017, 39 orr. .
* ↑ Avari, Burjor. (2013). Islamic Civilization in South Asia: A history of Muslim power and presence in the Indian subcontinent. Routledge, 31–32 or. ISBN 978-0-415-58061-8..
* ↑ Van Brummelen, Glen. (2017). «Arithmetic» in Thomas F. Glick Routledge Revivals: Medieval Science, Technology and Medicine (2006): An Encyclopedia. Taylor & Francis, 46 or. ISBN 978-1-351-67617-5..
* ↑ En torno a la traducción, Valentín García Yerba, Gredos, ISBN 84-249-0895-3, Pág. 315
* ↑ Traducida al inglés en Corssley y Henry (1990).
* ↑ Allard (1991)
* ↑ Thomas F. Glick, ed. «Al-Khwarizmi» Routledge Revivals: Medieval Science, Technology and Medicine (2006): An Encyclopedia. Taylor & Francis ISBN 978-1-351-67617-5..
* ↑ Van Brummelen, Glen. (2017). «Arithmetic» in Thomas F. Glick Routledge Revivals: Medieval Science, Technology and Medicine (2006): An Encyclopedia. Taylor & Francis, 46–47 or. ISBN 978-1-351-67617-5..
* ↑ «Algoritmi de numero indorum» Trattati d’aritmética. Rome: Tipografia delle Scienze Fisiche e Matematiche, 1– or..
* 1 2 Crossley, John N.; Henry, Alan S.. (1990). «Thus Spake al-Khwārizmī: A Translation of the Text of Cambridge University Library Ms. Ii.vi.5» Historia Mathematica 17 (2): 103–131. doi:10.1016/0315-0860(90)90048-I..
* ↑ Descrita en detalle en Van Dalen-en xehetasunez deskribatua (1996).
* ↑ Sokolovskaya (1985).
* ↑ Rozenfel'd (1990)
* ↑ Ruska, Julius «Zur ältesten arabischen Algebra und Rechenkunst». Sitzungsberichte der Heidelberger Akademie der Wissenschaften, Philosophisch-historische Klasse, 1917, pàg. 1–125.
* ↑ Berggren, J. Lennart. Episodes the Mathematics of Medieval Islam. Nova York: Springer Science+Business Media, 1986. ISBN 0-387-96318-9.
* ↑ Edward S. Kennedy, Mathematical Geography, p. 188, in (Rashed & Morelon 1996, pàg. 185–201)
* ↑ Una de las correcciones que Al-Khwarizmi va a realizar a la obra de Ptolemeo es la reducción de la latitud de la Mediterraneo de 62° a 52° cuando en realidad es 42°. El árabe opta por mantener el meridiano cero de Ptolemeo, el de las islas Canarias.
* ↑ Covington, Richard: Saudi aramco world, mayo-junio de 2007, págs. 17-21. Consultado en 2008.
* ↑ Diaz de Ilarraza Sanchez, Arantza; Sarasola Gabiola, Kepa. (1999). Oinarrizko programazioa: Ariketa bilduma. UEU ISBN 978-84-8438-002-3. (Noiz kontsultatua: 2020-06-05).
* ↑ Gabiola, Kepa Sarasola. (1984-06-06). Programatzeko algoritmoak. Ariketa bilduma. UEU ISBN 978-84-398-1971-4. (Noiz kontsultatua: 2020-06-05).

## Oharrak

* ↑ Zenbait adituk al-ḥisāb al-hindī izenburua «zenbaki hinduekin kalkulatzea» gisa itzultzen dute, baina Hindī, arabieraz, indiarra esan nahi du hindua baino. A. S. Saidan-ek dio «indiar erara» egindako aritmetika gisa ulertu behar dela, hindu-arabiar zenbakiekin, «indiar aritmetika» besterik gabe. Matematikari arabiarrek beren berrikuntzak sartu zituzten beren testuetan. Saidan, A. S.. «The Earliest Extant Arabic Arithmetic: Kitab al-Fusul fi al Hisab al-Hindi of Abu al-Hasan, Ahmad ibn Ibrahim al-Uqlidisi» Isis (The University of Chicago Press) 574: 475–490. doi:10.1086/350163..

## Ikus, gainera

* Algoritmo
* Informatika
* Aljebra

## Kanpo estekak

* Datuak: Q9038
* Multimedia: Muhammad ibn Musa al-Khwarizmi / Q9038