# Tentsore

Tentsore bat matematika eta fisikan hainbat osagai dituen entitate aljebraiko bat da. Hautatutako koordenatu sistemarekiko independentea den objektu matematikoa da, hortaz, aldaezina erreferentzia sistema aldaketetan.
Tentsoreak garrantzia handikoak dira fisikan, mekanikan (tentsioa, elastikotasuna,fluidoen mekanikan, besteak beste), elektrodinamikan (tentsore elektromagnetikoa...), edo erlatibitate orokorrean (energia-momentu tentsorea, kurbadura-tentsorea, etab.) problemak formulatzeko oinarri matematikoa ematen dutelako.
Tentsoreak koordenatu-sistema jakin batean dituzten osagaien bidez deskriba daitezke. Osagai hauek indizeen bidez izendatzen dira. Tentsorearen osagai guztiak zehazteko behar diren indize kopuruak tentsorearen-ordena zehaztuko du: tentsore eskalar batek 0 ordena izango du; bektore batek 1 ordena izango du; matrize batek 2 ordena izango du etab.
Hala ere, tentsoreen osagaiek arau zehatz batzuk jarraitu behar dituzte, aldaezintasuna bermatzeko. Arau hau aurrerago azalduko da eta honakoa da:
$T^{\mu _{1}'\mu _{2}'\ldots \mu _{n}'}_{\nu _{1}'\nu _{2}'\ldots \nu _{l}'}={\left(R^{-1}\right)}^{\mu _{1}'}_{\mu _{1}}{\left(R^{-1}\right)}^{\mu _{2}'}_{\mu _{2}}\ldots {\left(R^{-1}\right)}^{\mu _{n}'}_{\mu _{n}}R^{\nu _{1}}_{\nu _{1}'}\ldots R^{\nu _{l}}_{\nu _{l}'}T^{\mu _{1}\mu _{2}\ldots \mu _{n}}_{\nu _{1}\nu _{2}\ldots \nu _{l}}.$
Hortaz, osagaietan deskriba daiteken oro ez da tentsorea, adibidez, Levi-Civita ikurra:
$\epsilon _{ijk}=\left\{{\begin{matrix}+1&(i,j,k)=(1,2,3),(2,3,1){\mbox{ edo }}(3,1,2){\mbox{ bada}}\\-1&(i,j,k)=(3,2,1),(1,3,2){\mbox{ edo }}(2,1,3){\mbox{ bada}}\\0&{\mbox{bestela}}\end{matrix}}\right.$
Definizio hori berdina da edozein kordenatu-sistemetan, hortaz, osagaiak ez dira aldatzen eta are gutxiago eraldaketa-araua jarraituz aldatzen. Horregatik, Levi-civita ikurra ez da tentsorea.

## Tentsore baten ordena

* 0 ordenako tentsorea: Eskalar bat da, zenbaki bat, hain zuzen ere (adibidez, tenperatura, energia). Adibidea:
$T=5^{\circ }C$
* 1 ordenako tentsorea: Bektore bat da, magnitudea eta norabidea dituen objektu matematikoa da (adibidez, azelerazioa, indarra). Halako tentsoreek $T^{i}$ osagaiak dituzte, non $i$ indizeak osagai bakoitza izendatzen duen. Adibidea:
$A=(A^{1},A^{2},A^{3})=(0,1,0)m/s^{2}$
* 2 ordenako tentsorea: Matrize baten bidez adierazten da, aplikazio linealak (${T^{i}}_{j}$) edo forma bilinealak ($T_{ij}$) edo orokorrean bektoreen arteko erlazioak deskribatzen ditu (adibidez, solido batean tentsioak edo inertzia tentsorea). Halako tentsoreek $T^{ij}$ osagaiak dituzte, non, oro har (konbentzioz), lehenego indizea ("$i$") matrize baten errenkadak eta bigarrenak ("$j$") zutabeak diren. Bi norabideen arteko erlazioak kodetzen ditu. Adibidea:
${\bar {\bar {I}}}=I^{ij}={\begin{pmatrix}I^{xx}&I^{xy}&I^{xz}\\I^{yx}&I^{yy}&I^{yz}\\I^{zx}&I^{zy}&I^{zz}\\\end{pmatrix}}m^{2}kg$
kontuan hartu orokorrean $i$ eta $j$ zenbaki oso bezala uler ditzakegun arren, batzuetan, fisikan norabideen izenak ere har ditzaketela, $x$, $y$ eta $z$ kasu.
* Ordena handiagoko tentsorea: Orokorrean, ordenak elementu guztiak "aurkitzeko" behar diren indize kopurua adierazten du. Hiru ordenako tentsoreak matrize multzo bat litzateke, kubo bat hain zuzen ere, osagai bat aurkitzeko hiru indize beharko dituena. 4 ordenakoa "tetrakuboa" litzateke, kubo multzoa, hain zuzen ere, eta abar. Adibidea: ${R^{\alpha }}_{\beta \gamma \rho }$ Riemannen kurbadura-tentsorea.Levi-Civita ikurra, kubo batean adierazia. Tentsore bat ez den arren, 3. ordeneko tentsore baten irudia egiteko balio du.
Orokorrean bi indize mota ditugu: goi- eta azpi-indizeak. Horrelako zenbat dauzkagun ordenean ere zehaztu ohi da. Ordena (n,l) duen tentsore batek $T^{\mu _{1}'\mu _{2}'\ldots \mu _{n}'}_{\nu _{1}'\nu _{2}'\ldots \nu _{l}'}$ osagaiak ditu, hots, n goi-indize (kontrabariante) eta l azpi-indize (kobariante). Indizeen kokalekua garrantzitsua da, tentsoreak kordenatu aldaketetan eraldatze-arau ezberdina baitu indizearen kokalekuaren arabera. Hortaz, orokorrean osagai bat izendatzeko ezin da besterik gabe azpi-indize bat edo goi indize bat idatzi, ezta azpi-indize bat goi-indize bihurtu ere edota alderantiz, horik esanahia baitute.

## Tentsore idazkera
### Einsteinen batura hitzarmena (Baturaren hitzarmena)

Tentsoreen idazkeran Einstein-en batura hitzarmena erabili ohi da. Hitzarmen honen arabera, gai bateko indize bat errepikatuta agertzen denean, indize horrek har ditzakeen balio guztietarako gai horren batuketa egin behar dela esan nahi du.
Adibidez,$A_{i}B^{i}$ adierazpenean, $i$ balio posible guztien batura egin behar dela ulertzen da. Adibidez, $i$ indizeak 1,2,3 balioak izan baditzazke $i\in \{1,2,3\}$, orduan:
    $A_{i}B^{i}=\sum _{i=1}^{3}A_{i}B^{i}=A_{1}B^{1}+A_{2}B^{2}+A_{3}B^{3}.$
Oharra: Batzen diren indizeak zein batzen ez direnak dituzten adierazpenetan, adibidez, $T^{ij}S_{j}$, batzen diren indizeei "mutuak/fiktizioak" deritze eta batzen ez direnei "askeak". Hala, mutuei izena alda dakieke $\left(a_{i}b^{i}=a_{j}b^{j}\right)$ , ez ordea, askeei $a^{i}\neq {a^{j}}$.

### Ohiko eragiketak indize idazkeran

Lehenik eta behin, ohartu indize idazkeran idatzitako oro ez dela tentsorea (Adibidez, aurretik aipatutako Levi-Civita ikurra ez da tensorea, ezta Christoffel-en ikurrak ere.). Matrize guztiak ez dira tentsoreak, osagaiek ez baituzte kordenatu- aldaketa arauak betetzen. Atal honetan ohikoak diren matrize edo bektoreen eragiketen laburpen bat egingo da indize idazkeran.

#### Biderketa eskalarra

Matrize idazkeran biderketa eskalarra honela idatziko litzateke:
    ${\vec {A}}\cdot {\vec {B}}={\begin{pmatrix}A^{1}&A^{2}&A^{3}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}B^{1}\\B^{2}\\B^{3}\end{pmatrix}}=A_{1}B^{1}+A_{2}B^{2}+A_{3}B^{3},$
eta indize idazkeran idatzi dugula ikusi dugu, $A_{i}B^{i}$ moduan alegia,
    ${\begin{pmatrix}A^{1}&A^{2}&A^{3}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}B^{1}\\B^{2}\\B^{3}\end{pmatrix}}=A_{i}B^{i}.$
Orokorrean, biderkaketa eskalarra, metrika baten bitartez ere uler dezakegu.
${\vec {A}}\cdot {\vec {B}}={\vec {A}}\mathbb {I} {\vec {B}}={\begin{pmatrix}A^{1}&A^{2}&A^{3}\end{pmatrix}}\underbrace {\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\\\end{pmatrix}} _{\mathbb {I} }{\begin{pmatrix}B^{1}\\B^{2}\\B^{3}\end{pmatrix}}=A_{1}B^{1}+A_{2}B^{2}+A_{3}B^{3},$
Kasu honetan metrika, identitate matrizea da, baina beste koordenatu batzuetan beste adierazpen bat izan dezake, orokorrean metrika $g$-rekin izendatuko dugu. Hala, indize idazkeran:
${\vec {A}}\cdot {\vec {B}}=g_{ij}A^{i}B^{j}$
Hala, adierazitako, bi tentsorez osatutako biderkaketa eskalarrak, beti eskalar bat itzuliko du, tentsorea dena.
Euklidear espazioko metrikan, oinarri ortonormalean, identitate matrizea berreskuratzen dugu, hortaz $g_{ij}=\delta _{ij}$, non $\delta _{ij}$ Kroneckerren delta den.
${\vec {A}}\cdot {\vec {B}}=\delta _{ij}A^{i}B^{j}=A_{i}B^{i}$

#### Iraulketa

Matrize baten iraulketa, matrize idazkeran $A^{T}$ da:
    $A={\begin{pmatrix}A^{11}&A^{12}\\A^{21}&A^{22}\end{pmatrix}}\longrightarrow A^{T}={\begin{pmatrix}A^{11}&A^{21}\\A^{12}&A^{22}\end{pmatrix}}.$
Indize idazkeran, hau honela adierazten da:
    $\left({A^{T}}\right)_{ij}=A_{ji}.$
Beraz, indizeak ez dira trukagarriak tentsore idazkeran, haien kokaleku erlatiboa aldatzea eragiketa bat egitea baita.
Orokorrean, $A$ tentsorea bada, $A^{T}$tentsorea ere bada.

#### Matrizeen arteko biderketa

Izan bitez $m\times n$ dimentsioko $A$ matrize bat eta $n\times p$ dimentsioko $B$ matrize bat.
$C=AB$ matrizearen $c_{ij}$ sarrera honela kalkulatzen da:
    $c_{ij}=\sum _{k=1}^{n}a_{ik}b_{kj}.$
Honela:
* $a_{ik}$ $A$ matrizearen $i$ errenkada eta $k$ zutabean dagoen elemetua da.
* ${b_{kj}}$ $B$ matrizearen $k$ errenkada eta $j$ zutabean dagoen elementua.
* Batura $k$ indizean egiten da, eta honek 1etik $n$-ra bitarteko balioak hartzen ditu.
C matrizearen sarrera bakoitza A matrizearen errenkada bakoitzeko osagai guztien eta B matrizearen zutabe bakoitzeko osagai biderketaren bidez lortzen da. Errenkada eta zutabeak $c_{ij}$ sarrerako indizeek adierazten dute, non $i$ lehenengo matrizearen errenkada eta $j$ bigarrenaren zutabea diren.
Adibidez, 2x2 matrizeen kasuan:
    $A={\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{pmatrix}},\quad B={\begin{pmatrix}b_{11}&b_{12}\\b_{21}&b_{22}\end{pmatrix}}.$
Lehen sarrera $c_{11}=a_{11}b_{11}+a_{12}b_{21}=a_{1k}b_{k1}$ izango litzateke. Azken hau Einstein batura hitzarmena erabiliz.
Beraz,
    $C={\begin{pmatrix}a_{1k}b_{k1}&a_{1k}b_{k2}\\a_{2k}b_{k1}&a_{2k}b_{k2}\end{pmatrix}},$
eta tentsore idazkeran:
    $c_{ij}=a_{ik}b_{kj}.$
Hemen $k$ indizea batzen ari da, Einsteinen hitzarmenagatik. Beraz, espresioa baliokidea da.
Azkenik, tentsore idazkeran gai ezberinen posizioa aldatu dezakegula kontuan izatea garrantzitsua da: $a_{ik}b_{kj}=b_{kj}a_{ik}$, izan ere, $a_{ik}$ eta $b_{kj}$ errealak edo konplexuak diren zenbakiak dira, eta hauen biderketa trukagarria da. Badirudi hori matrize idazkeran gertatzen denarekin $AB\neq BA$ kontraesanean dagoela. Ezberdintza hori ordea, indizeen posizioan datza; hauek baitira ez trukakorrak, izan ere, $a_{ik}b_{kj}\neq a_{ik}b_{jk}$ edo $a_{ik}b_{kj}\neq b_{jk}a_{ik}$ edo $a_{ik}b_{kj}\neq b_{ik}a_{kj}$. Lehen berdintasunak $AB=A(B^{T})$ dio, bigarrenak $AB=(A^{T})B$ eta hirugarrenak $AB=BA$ esango luke, eta orokorrean ez dira betetzen.
Orokorrean, A eta B tentsoreak badira, $C=AB$ tentsorea izango da baldin eta goi- eta behe- indizeen arteko biderkaketa bada.

### Eragiketa nabariak
#### Kontrakzioa

Tentsoreen kontrakzioa tentsore baten ordena murrizten duen eragiketa bat da. Zehazki, (n, m) motako tentsore bat (n - 1, m - 1) motako tentsore batera murrizten du. Hortaz, kontrakzioaren ondorioz, tentsore baten ordena bi unitatetan gutxitzen da. Eragiketa hau bi indize ezberdin berdintzean datza, hau da, goi-indize bat eta azpi-indize bat berdintzean datza. Ondorioz, Einsteinen batura hitzarmena kontuan hartuz, termino guztien batura egin behar da, bi indize ezberdinak dituzten osagaiak baztertuz. Beraz, tentsoreen kontrakzioa matrize baten aztarnaren kasu orokortu bat da, aztarna (1,1) ordenako tentsoreen kasu partikularra baita.
Adibidez, demagun (2, 2) motako tentsore bat dugula, ${T^{ab}}_{cd}$, lau indize dituelarik: bi goi-indize eta bi azpi-indize. Tentsore honen kontrakzio bat adibidez, a = c egitean izango dugu. Horrek honakoa esan nahi du:
${T^{b}}_{d}={T^{ab}}_{ad}$.
Hala, tentsore berri bat lortzen dugu, bi indize gutxiagorekin.

#### Biderkaketa tentsoriala

Biderkaketa tentsoriala, bi tentsoren arteko eragiketa bat da, ordena handiagoko tentsore berri bat sortzen duena. Tentsore berriaren ordena, hasierako ordenaren batuketatik lortzen da. Bi matrize m × n eta p × q neurrikoak badira, haien biderkaketa tensorialak (m × p) × (n × q) neurria izango du.
Orokorrean, osagai idazkeran honela idatz daiteke:
${{{(S\otimes T)^{i_{1}\ldots i_{l}}}_{j_{1}\ldots j_{k}}}^{i_{l+1}\ldots i_{l+n}}}_{j_{k+1}\ldots j_{k+m}}={S^{i_{1}\ldots i_{l}}}_{j_{1}\ldots j_{k}}{T^{i_{l+1}\ldots i_{l+n}}}_{j_{k+1}\ldots j_{k+m}}.$
Adibidez, demagun $2\times 2$ dimentsioko bi tentsore ditugula:
$A={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}},\quad B={\begin{pmatrix}e&f\\g&h\end{pmatrix}}$.
Biderkaketa tensoriala $A\otimes B$ honela kalkulatzen da, 4 ordenako, tentsore bat emanez ($2\times 2\times 2\times 2$ matrize bat)
$A\otimes B={\begin{pmatrix}a\cdot B&b\cdot B\\c\cdot B&d\cdot B\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}{\begin{pmatrix}a\cdot e&a\cdot f\\a\cdot g&a\cdot h\end{pmatrix}}&{\begin{pmatrix}b\cdot e&b\cdot f\\b\cdot g&b\cdot h\end{pmatrix}}\\{\begin{pmatrix}c\cdot e&c\cdot f\\c\cdot g&c\cdot h\end{pmatrix}}&{\begin{pmatrix}d\cdot e&d\cdot f\\d\cdot g&d\cdot h\end{pmatrix}}\end{pmatrix}}$.
Emaitza ''4 × 4'' matrize gisa ere adieraz daiteke:
$A\otimes B={\begin{pmatrix}a\cdot e&a\cdot f&b\cdot e&b\cdot f\\a\cdot g&a\cdot h&b\cdot g&b\cdot h\\c\cdot e&c\cdot f&d\cdot e&d\cdot f\\c\cdot g&c\cdot h&d\cdot g&d\cdot h\end{pmatrix}}$.
Hala eta guztiz ere, ez da ahaztu behar (m × p) × (n × q) ordenakoa dela, eta hortaz, 4. ordeneko tentsoreen eraldaketa araua jarraitu beharko duela, eta ez (m · p) × (n · q) -rena, hots, 2 ordenako batena.

#### Indizeak igotzea eta jeistea

Indize bat jaisteko, hots, indize kontrabariante bat indize-kobariante bihurtzeko, metrika tentsorea erabiltzen da:
Hala, ${T^{i_{1}i_{2}\cdots i_{m}\cdots i_{n}}}_{j_{1}j_{2}\cdots j_{l}}$ osagaiak dituen tentsore baten kasuan, $i_{m}$ indizea jaisteko formula honakoa da:
${{{T^{i_{1}i_{2}\cdots i_{m-1}}}_{i_{m}}}^{i_{m+1}\cdots i_{n}}}_{j_{1}j_{2}\cdots j_{l}}=g_{i_{m}k_{m}}{T^{i_{1}i_{2}\cdots k_{m}\cdots i_{n}}}_{j_{1}j_{2}\cdots j_{l}}.$
non, espazioaren metrika tentsorea den.
${{{T^{i_{1}i_{2}\cdots i_{m-1}}}_{i_{m}}}^{i_{m+1}\cdots i_{n}}}_{j_{1}j_{2}\cdots j_{l}}$ osagaiez osaturiko tentsorea, $i_{m}$ indizean kobarianteki transformatzen dela froga daiteke betiere ${T^{i_{1}i_{2}\cdots i_{m}\cdots i_{n}}}_{j_{1}j_{2}\cdots j_{l}}$osagaiak tentsore batenak badira.
Alderantziz, indize bat igotzeko, (indize kobariantetik kontrabariantera pasatzeko) metrika tentsorearen alderantzizkoa ($g^{ij}$ ) erabiltzen da.
$g_{ik}g^{kj}=\delta _{i}^{j}$.
Konturatu hau identitatea ematen duen matrize biderkaketa baten baliokidea dela, hau da, $g^{ij}$ tentsorea $g_{ij}$ tentsorearen alderantzizkoa dela esatearen baliokidea da.
Hortaz,
${{{T^{i_{1}i_{2}\cdots i_{n}}}_{j_{1}j_{2}\cdots j_{m-1}}}^{j_{m}}}_{j_{m+1}\cdots j_{l}}=g^{j_{m}k_{m}}{T^{i_{1}i_{2}\cdots i_{n}}}_{j_{1}j_{2}\cdots k_{m}\cdots j_{l}}$.

## Tentsorearen Definizioa

Tentsoreak definitzeko hainbat ikuspegi daude, hizkuntza desberdina eta abstrakzio maila ezberdinak erabililtzen dituztenak, baina denek nolabait honakoan bat egiten dute:
Tentsorea koordenatu aldaketa bat egitean aldaezin mantentzen den objektu matematikoa da.

### Esangura fisikoa

Adibidea: Azelerazio jakin batekin mugitzen den objetu bat
Azelerazioa tentsore baten adibide sinplea da, bi erreferentzia-sistema inertzialek bat egingo baitute objektuak azelerazio bera duela adieraztean. Hala ere, erreferentzia-sistema ezberdinetako A eta B behatzaileak ez dira ados jarriko bektore horren osagaiekin.
Tentsorea, hautatutako koordenatu sistemarekiko independientea den objetu matematikoa da, hau da, edozein erreferentzia sistema ezberdinetako bi behatzaileek bat egiten duten objetu geometriko horri deritzo tentsore. Nahiz eta osagaiak aldatu daitezkeen, tentsoreak entitate fisiko edo geometriko bera irudikatzen jarraitzen du.
Oharra: Tentsore mota gehiago ere badirela kontuan hartu beharra dugu, hala nola tenperatura (eskalar bat), inertzia (matrizeak) etab. Tentsorearen definizioa bektorearen definiziotik haratago doa.

### Tentsorearen intuizio geometrikoa

Bektore espazio bateko tentsorea osagaietan deskribatzen denean, beti bektore espazio horretako oinarri batekin, hau da, erreferentzia-sistema konkretu batekin batera egin behar da. Hortaz, B behatzailearen erreferentzia-sistema A sistemarekiko biraturik dagoela definituko dugu, aurrekoaren antzera.
Bi sistemen arteko biraketa-matrizea $A\xrightarrow B$ honakoa da:
    $R={\begin{pmatrix}\cos \theta &\sin \theta \\-\sin \theta &\cos \theta \end{pmatrix}}.$
Beste modu batera esanda, B erreferentzia-sistema "prima" sistema bada, sistema hauen oinarriak honakoa beteko dute
    ${\hat {e}}'={\begin{pmatrix}{\hat {i}}'\\{\hat {j}}'\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\cos \theta &\sin \theta \\-\sin \theta &\cos \theta \end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}{\hat {i}}\\{\hat {j}}\end{pmatrix}}.$
Tentsoreen idazkeran (beraz, Einsteinen batura hitzarmena erabilita) honakoa da
    ${\hat {e}}'_{\alpha }=R_{\alpha }^{\beta }{\hat {e}}_{\beta }.$
Oharra: bektore batek bi oinarri ezberdinetan osagai berdinak edukiko balitu, biak bektore ezberdinetaz hitz egiten ariko lirateke.
Beraz, bi erreferentzia-sistema ezberdinek objektu geometriko berean bat egiteko, objektu horren osagaiak oso modu zehatzean aldatu behar dira, koordenatu-sistemaren oinarriaren biraketa desegiteko moduan, hain zuzen ere. Bestela, ez genuke objektu fisiko edo geometriko bera izango, hau da, tentsorea.
Osagaiak sistema biraketaren aurka biratu behar dira, objetu berdina izan dadin
    ${\vec {v}}'=R^{-1}{\vec {v}}.$
Tentsore-idazkeran hau honela adierazten da:
    $v'^{\alpha }={{R^{-1}}^{\alpha }}_{\beta }v^{\beta }.$
Bektorearen osagaiak, goi-indizea dutenak, kontrabariante izenez ere ezagutzen dira, haien biraketa-matrizea sistemaren oinarriarenaren aurkakoa baita.

### Osagaien bidezko definizioa

Berreskuratu dezagun berriro tentsorearen definizioa:
Tentsore bat koordenatu-aldaketekiko aldaezina den objektu matematiko bat da.
Definizio matematikoa emateko hasi gaitezen oinarri eta ingurune bat definitzen:
Izan bitez ${\hat {e}}_{\alpha }$ espazio bektorial bateko oinarri bat eta ${{\hat {e}}'}_{\beta }$ aurrekoarekiko biraturik dagoen beste koordenatu sistema bateko oinarri bat. Era berean, izan bitez, tentsore baten osagaiak $v^{\alpha }$ eta $v^{\beta }$, hurrenez hurren aipatu ditugun bi sistemetan.
Orain, izan bedi hurrengo objektu matematikoa:
$\mathbf {V} :=v'^{\alpha }{\hat {e}}'_{\alpha }\equiv {v'}^{1}{\hat {e}}'_{1}+v'^{2}{\hat {e}}'_{2}+\cdots +v'^{n}{\hat {e}}'_{n}.$
Horretan, aurreko ekuazioak eta transformazioaren ekuazioak erabiliz, honako berdintasuna lortuko dugu:
$v'^{\alpha }{\hat {e}}'_{\alpha }=R^{-1}^{\alpha }_{\gamma }v^{\gamma }R_{\alpha }^{\beta }{\hat {e}}_{\beta }=R^{-1}^{\alpha }_{\gamma }R_{\alpha }^{\beta }v^{\gamma }{\hat {e}}_{\beta }=\delta _{\gamma }^{\beta }v^{\gamma }{\hat {e}}_{\beta }=v^{\alpha }{\hat {e}}_{\alpha }.$
Hala, hurrengoa ondorioztatzen dugu:
$\mathbf {V} =v'^{\alpha }{\hat {e}}'_{\alpha }=v^{\alpha }{\hat {e}}_{\alpha }.$
Orokorrean, ${\hat {e}}_{\alpha }$ espezio bektorialaren oinarria bada eta ${\hat {\theta }}_{\alpha }$ espazio dualaren oinarria bada tentsorea honela definitu dezakegu:
${\textbf {T}}:={T^{\mu _{1}\ldots \mu _{n}}}_{\nu _{1}\nu _{2}\ldots \nu _{l}}{\hat {e}}^{\nu _{1}}\ldots {\hat {e}}^{\nu _{l}}{\hat {\theta }}_{\mu _{1}}\ldots {\hat {\theta }}_{\mu _{n}}.$
Beraz, objektu hori (lodiz idatzia dagonea) koordenatu-aldaketekiko aldaezina den objektua da, hau da, tentsorea.
Oharra: Batzuetan ${T^{\mu _{1}\ldots \mu _{n}}}_{\nu _{1}\nu _{2}\ldots \nu _{l}}$ tentsore izenez ere deitzen zaio, baina hau akatsa edo zehaztasun faltaren ondorioa da. Izan ere, ${T^{\mu _{1}\ldots \mu _{n}}}_{\nu _{1}\nu _{2}\ldots \nu _{l}}$, ${\textbf {T}}$-tentsorearen osagaiak direla esan behar genuke.
Azkenik, osagaien transformazio-araua tentsorearen definiziotik abiatuta lor daiteke, hots, ekuazio honetatik. Honek tentsore ordena handiagoko kasuetara orokortzea ahalbidetzen du.
$T^{\mu _{1}'\mu _{2}'\ldots \mu _{n}'}_{\nu _{1}'\nu _{2}'\ldots \nu _{l}'}={\left(R^{-1}\right)}^{\mu _{1}'}_{\mu _{1}}{\left(R^{-1}\right)}^{\mu _{2}'}_{\mu _{2}}\ldots {\left(R^{-1}\right)}^{\mu _{n}'}_{\mu _{n}}R^{\nu _{1}}_{\nu _{1}'}\ldots R^{\nu _{l}}_{\nu _{l}'}T^{\mu _{1}\mu _{2}\ldots \mu _{n}}_{\nu _{1}\nu _{2}\ldots \nu _{l}}.$
Definizio zehatzagoa baduten arren, azpi- eta goi-indizeak, erreferentzi-sistema aldeketako biraketa matrizarekin batera aldatzen diren indizeak aurkako biraketarekin aldatzen direnetaz ezberdintzeko erabiltzen dira. Hau da, indize kobariante (azpi-indizeak) eta kontrabarianteen (goi-indizeak) arteko ezberdintasuna adierazten dute.
Askotan honela dio tentsorearen definizioak:
Tentsore bat koordenatu-aldaketa baten aurrean bere osagaiak tentsore bezala transformatzen dituen objektu matematiko bat da.
Definizio honek tautologikoa dirudi, baina askok tentsorearen transformazioa kanpo-definizio gisa hartzen dute, eta hori, hasiera batean esan dugun transformazioa da, hain zuzen ere.

## Eremu-tentsoreak

Barietateetan, askotan koordenatu-oinarri bana aukeratzen da barietateko puntu guztietan existitzen den bektore-espazio tangente bakiotzerako. Hauek oso garrantzitsuak dira geometria diferentzialean eta fisikan. Eraldaketa-legea, orduan, koordenatu-funtzioen ( ${\overline {x}}^{i}=(x^{1},\ldots ,x^{n})$ ) deribatu partzialen bidez adieraz daiteke,${{\hat {T}}^{i'_{1}\dots i'_{p}}}_{j'_{1}\dots j'_{q}}\left({\bar {x}}^{1},\ldots ,{\bar {x}}^{n}\right)={\frac {\partial {\bar {x}}^{i'_{1}}}{\partial x^{i_{1}}}}\cdots {\frac {\partial {\bar {x}}^{i'_{p}}}{\partial x^{i_{p}}}}{\frac {\partial x^{j_{1}}}{\partial {\bar {x}}^{j'_{1}}}}\cdots {\frac {\partial x^{j_{q}}}{\partial {\bar {x}}^{j'_{q}}}}{T^{i_{1}\dots i_{p}}}_{j_{1}\dots j_{q}}\left(x^{1},\ldots ,x^{n}\right).$
Azken hau aurreko erregelaren orokorpena da.

## Tentsore dentsitateak

Tentsoreen orokorpen bat, tentsore dentsitateak dira. Horiek, honako erregela araua jarraitzen dute:
$T^{\mu _{1}'\mu _{2}'\ldots \mu _{n}'}_{\nu _{1}'\nu _{2}'\ldots \nu _{l}'}=|det(R)|^{-w}{\left(R^{-1}\right)}^{\mu _{1}'}_{\mu _{1}}{\left(R^{-1}\right)}^{\mu _{2}'}_{\mu _{2}}\ldots {\left(R^{-1}\right)}^{\mu _{n}'}_{\mu _{n}}R^{\nu _{1}}_{\nu _{1}'}\ldots R^{\nu _{l}}_{\nu _{l}'}T^{\mu _{1}\mu _{2}\ldots \mu _{n}}_{\nu _{1}\nu _{2}\ldots \nu _{l}},$
non $w$ pisua den, eta 0 denean aurreko definizioa berreskuratzen den.

## Kanpo estekak

* Datuak: Q188524
* Multimedia: Tensors / Q188524