# Aritmetika

Aritmetika (αριθμός=zenbaki grezierako hitzetik eratorria) matematikako adar zahar eta elementalena da. Eguneroko bizitzan, aritmetika zenbakiekin egiten ditugun zenbait eragiketa (batuketa, kenketa, biderketa, zatiketa) bere barnean hartzen dituen matematikaren atala da. Edonork edozertarako erabil dezake aritmetika: eguneroko kontaketak, baina baita zientziako kalkulu aurreratuenak ere, aritmetikaz burutzen dira.
Matematikako beste arlo batzuetan bezala, nola hala Aljebra edo Geometria, aritmetikaren zentzua aldatuz joan da zientzien garapen zabal eta dibertsifikatuarekin batera. Jatorrian, aritmetika modu formalean garatu zen Antzinako Grezian, zorroztasun matematiko finez, frogen bidez eta Natura-zientzietako jakintza-arloetara zabaltzearekin. Gaur egun, oinarrizko aritmetikari buruzkoa izan daiteke oinarrizko matematikaren irakaskuntzara bideratua, baita Kalkulu Aritmetiko eta eragiketak biltzen dituen multzora ere, zehazki, aplikatutako oinarrizko lau eragiketari, dela zenbakietara (zenbaki arruntak, zenbaki osoak, zenbaki zatikatuak eta zenbaki hamartarrak, etab.) edo entitate matematiko abstraktuagoetara (matrizeak, operadoreak, etab.), baita goi-aritmetika deritzonera ere, Zenbakien Teoria izenez ezagutzen dena.

## Oinarrizko eragiketak

Aritmetikaren oinarrizko lau eragiketak hurrenak dira:
* Batuketa
* Kenketa
* Zatiketa
* Biderketa
Proposatutako definizioaren ildotik, «aritmetika» substantiboa, «matematika» izena ematen zaio eskola irakaskuntzako lehen graduetan. Oinarrizko lehen arlo horren bereizketa, aljebra sartzen denean hasten da nabaritzen, bertan «hizkiak», letrak, «aldagaiak» eta balio ezezagunak agertzen direlako, bai eta propietate aljebraikoen definizioak ere, esate baterako, oinarrizko aljebrarenak diren kommutatibitatea, elkarkidetza edo distribuzioa.
Oro har, zenbakizko zenbaketak, oinarrizko eragiketez gain, honako hauek ere hartzen ditu: kongruentziak kalkulatzea, faktorizazioa, berreketak eta erroen erauzketak. Ildo horretan, aritmetika terminoa, zenbaki osoen gainean egiten diren eragiketak izendatzeko erabiltzeaz gain, mota horretakoak ez diren beste zenbait entitateetan egiten diren eragiketak izendatzeko ere erabiltzen da. Aritmetika terminoa adjektibotzat ere erabiltzen da, progresio aritmetiko batean, adibidez.
Aritmetika berreketa-sistemetarako oinarria izan zen. Berreketa a$^n$ itxura duen adierazpen orori deitzen zaio, bertan, a oinarria da eta n berretzailea. Haren definizioa aldatu egin daiteke, berreketa barneko duen zenbaki-multzoaren arabera. Zenbaki oso handiak modu praktiko eta sinple batean adierazteko dagoen biderik onenetarikoa da.
Zenbakiak sinplifikatzeko helburuarekin, aritmetikak zenbait sinbolo eta adierazpen berri sortu zituen, ezagunenak erro kubikoak eta karratuak dira. Horiek zenbaki bat irakurtzeko era errazago bat eskaintzen dute, irakurketa-zenbaki zailak adierazteko bikainak dira, batez ere matematikako problemak ebazterako unean.
Oinarrizko eragiketez gain, aritmetikak egunero erabiltzen ditugun kontzeptuak sortu ditu, zatikiak eta ehunekoak, adibidez. Zatikiek aukera ematen digute zerbait zati txikiagotan zatitzeko zenbaki zehatzik lortzen ez dugunean, eta ehunekoek proportzioak edo aldaketak ulertzen laguntzen digute, eta hori oso erabilgarria da eguneroko bizitzan, finantzetan edo zientzian.
Denborarekin, aritmetika funtsezkoa izan da kalkulu konplexuagoak erraz egin ahal izateko. Potentziei, erroei eta zatikiei esker, Ingeniaritza, informatika edo medikuntza gisako arloetan arazoak konpon ditzakegu zenbaki handiak edo konplexuak sinplifikatu behar direnean. Laburbilduz, aritmetika ez da batuketa edo kenketa bakarrik, bizitzako egoera askotan zenbakiak ulertzeko eta erabiltzeko funtsezko oinarria da.

## Kalkulu tresnak=

Zenbakizko kontuak eta zenbaketa errazteko tresnak milaka urtetan erabili dira, adibidez, behatzekin kontatzea, eskuko behatzekin banakako korrespondentzia bat ezarriz. Kontatzeko lehen objektua «kontaketa makila bat» izan zen ziurrenik. Ondorengo erregistroak, Ilgora emankorrean, objektuen kontuak irudikatzen dituzten kalkuluak sartzen dira (buztinezko esferak, konoak, etab.), aleak izan daitezkeenak. Hagaxkadun zenbakikuntza beste adibide bat da.
* Kalkulu mentala
* Behatzekin kontaketa
* Kontaketa makila
* Txinako zenbakikuntza hagaxkekin
* Maien zenbakikuntza
* Taula babiloniarra
* Inken abakoa
* Kalkulu erregela
* Abakoa
* Batzeko makina
* Kalkulagailua

## Historia

Aritmetika izena oinarrizko eragiketekin —lau erregelekin— lotzen da askotan. Baina, jada Euklidesen Elementuak liburuan, zenbakien eragiketa arruntak baino askoz gehiago aurki daiteke, hala nola zenbaki lehenen inguruko emaitzak, zenbaki perfektuak, eta abar. Diofantok (K.o. III. mendea) koefiziente osoak dituzten zenbait ekuazio aztertu zituen soluzio osoak bilatuz, eta hori izan zen Fermaten lanen abiapuntua XVII. mendean. Fermat, Euler eta Gauss izan ziren goi-mailako aritmetikari estatus berezia eman ziotenak. Zenbaki osoen propietateak aztertzen dituen matematikaren arloa izendatzeko aritmetika izena guztiz baztertu ez bada ere, gehienetan, zenbaki-teoria izenaz ezagutzen da. Helburutzat zenbaki-multzorik oinarrizkoenaren propietateak dituen arren, teknikek ezinbestean irten behar dute hain multzo txikitik, eta zenbaki errealak edo konplexuak eta horien arteko funtzioak erabiltzen dituzten metodoak baliatu behar dira sarritan. Metodoen pisua aljebraikoa edo analitikoa izan, zenbaki-teoriari dagokion adjektiboa jar dakioke (zenbaki-teoria aljebraikoa, zenbaki-teoria analitikoa).

### Jatorria

Aritmetikaren hastapenak matematikaren beraren eta, oro har, zientziaren hastapenetaraino irits daiteke. Erregistrorik zaharrenak Harri Arokoak dira: hezurrak, makilak, harri landuak eta koskaz zizelkatuak, zenbaketarako, zenbakien irudikapenerako eta egutegietarako, ziurrenik.

### Antzinaroa

Babiloniarrek, K.a. 1800. urte inguruan, oinarrizko aritmetikaren ia alderdi guztiak ondo ezagutzen zituztela erakusten duten ebidentziak daude, buztin egosizko taulatxoen gainean, geometria- eta astronomia-arazoei buruz egindako idazkera kuneiformeen transkripzioei esker. Emaitza aritmetikoak sortzeko erabiltzen diren metodoei buruz baino ezin da espekulatu, adibidez, Plimpton 322 buztinezko taulatxoan erakusten dena, hiruko pitagorikoen zerrenda dirudiena baina zerrenda nola sortu zen erakutsi gabe.
Antzinako testuak Shulba-sutrasek (K.a.800 eta K.a. 200 inguru datatuak.) Indiako garai vedikoko ezagutza matematikoak biltzen dituzte; suzko aldareak eraikitzearekin zerikusia duten datu geometrikoak dituzte, eta zirkuluaren koadraturaren arazoa hartzen dute barne.
Mesopotamiako beste zibilizazio batzuk, nola hala siriarrak eta feniziarrak, antzeko garapen matematikoa lortu zuten, eta merkataritzarako zein ekuazio aljebraikoak ebazteko erabili zuten.
Egiptoko zenbakikuntza-sistema, frakzio unitarioetan oinarritua, kontu aritmetiko aurreratuak egiteko aukera ematen zuen, papiroetan erakusten den gisa, hala nola Moskuko Papiroan edo Ahmesen Papiroan (K.a. 1650. urtearen ingurukoa, nahiz eta antzinako testu baten kopia izan. K.a. 1850 ingurukoa) batuketak, kenketak, biderketak eta zatiketak erakusten dituena zatikien sistema bat erabiliz, baita esfera baten bolumena edo piramide hautsi baten bolumena zehazteko arazoak ere. Ahmesen papiroa da Egiptoko egutegiko 365 egunak aipatzen dituen lehen egiptoar testua, baita ezagutzen den lehen eguzki-egutegia ere.

### Aritmetika formala Antzinako Grezian

Antzinako Grezian, aritmetika zenbakien propietateen ikerketatzat hartzen zen, eta ez zuen kalkulu praktikorik barne hartzen; operazio-metodoak aparteko zientziatzat hartzen ziren. Berezitasun hori, Erdi Aroan jaso zuten europarrek, eta, Pizkundera arte, ez ziren hasi zenbakien teoria eta kalkulu-metodoak aritmetikotzat hartzen.
Greziar matematikak alde handia egiten du zenbakiaren eta magnitudearen edo neurgarritasunaren kontzeptuen artean. Antzinako greziarrentzat, zenbaki esan nahi zuen gaur egun zenbaki arruntez ezagutzen dena, gainera, «zenbakia» eta «magnitude geometrikoa» bereizten zuen. Euklidesen Elementuakeko 7–9 liburuek aritmetika zentzu horretan bakarrik jorratzen dute.
Nikomako Gerasakoa (K.o. 60 - 120 inguru), Aritmetikaren Hastapenak liburuan, zenbakietara eta haien funtsezko harremanetara bideratutako Pitagorasen eta Platonen filosofia laburbiltzen du. Nikomakok lehen aldiz egiten du musika, astronomia, geometria eta aritmetikaren arteko alde esplizitua, eta azken horri zentzu «modernoagoa» ematen dio, hau da, zenbaki osoei eta haien funtsezko propietateei egiten die aipu.​ Quadriviumak (lau bide) eskola pitagorikotik zetorren matematikarekin lotutako lau diziplina zientifiko horiek biltzen zituen.
Diofanto Alexandriakoa (K.o. III. mendea), Arithmeticaren egilea da, ekuazio aljebraikoei buruzko zenbait liburu, non, lehen aldiz, zatikiak zenbaki gisa ezagutzen diren eta sinboloak eta aldagaiak erabiltzen diren notazio matematikoaren zatitzat; Pierre de Fermatek berraurkitu zuen XVII. mendean. Gaur egun ekuazio diofantoarrak deiturikoek aurrerapen handia ekarri zuten zenbakien teorian.

### Erdi Aroa eta Europar Pizkundea

Greziarren aurrerapen matematiko handiena K.a. 300 eta K.o. 200 urteen artean eman zen. Horren ondoren, aurrerapenek eskualde islamiarretan jarraitu zuten aurrera. Matematika Iran, Siria eta Indian loratu zen bereziki. Nahiz eta aurkikuntzak ez izan Greziako zientziak egindakoak bezain garrantzitsuak, bai, ordea, asko lagundu zuten beren jatorrizko lanak zaintzen. XI. mendetik aurrera, Adelardo de Bath eta aurrerago Fibonacci, matematika islamiar hori eta horren grezierazko itzulpenak Europara ekartzen dituzte berriro.
Antzinaroan eta Erdi Aroan ikasketa formalak antolatzen ziren zazpi arte liberaletatik, aritmetika ikasketa eskolastiko eta unibertsitarioen parte zen.​ 1202an, Fibonacci, Liber Abaci bere tratatuan, zenbaki-sistema hamartarra sartzen du zenbaki arabiarrekin. Eragiketa aritmetikoak, oinarrizkoenak ere, ordura arte erromatar zenbakiekin eginak, oso konplikatuak ziren; kontabilitatean zuten garrantzi praktikoaren ondorioz, teknika aritmetiko berriak berehala zabaldu ziren Europan. Fibonacci idaztera iritsi zen: ezen «metodo berri horrekin alderatuta, gainerako guztiak okerrak zirela».

### Kolonaurreko zibilizazioak

Beste zibilizazio mesoamerikar batzuk bezala, maiek oinarri hogei (oinarri aritmetikoa 20) zuen zenbakitze-sistema erabiltzen zuten denbora neurtzeko eta distantzia luzeko merkataritzan parte hartzeko. Maia aurreklasikoek zeroaren kontzeptua modu independentean garatu zuten K.a. 36. urte inguruan.​ Zenbaki-sistema bazuten ere, maien eta azteken zientzia denboraren joan-etorria iragartzera, egutegiak egin eta gertaera astronomikoak iragartzea bideratuta zegoen. Andeetako kulturak, idazteko sistemarik ez zutenak, badirudi kalkulu aritmetikoa gehiago garatu dutela. Inskripzio batzuek zehaztasun handiz finkatzen dute eguzki-urte erreala 365 egunetan. Zeroa erabili zuten lehen zibilizazioak izan ziren; hala ere, berezitasun batzuk zirela eta, ezin izan zuten eragiketarik egin.
Inkak, helburu ekonomiko eta komertzialetarako kalkuluak egiteko gaitasunagatik nabarmendu ziren batez ere. kipuak eta yupanak izan ziren inken administrazioak izan zuen garrantziaren seinale. Horrek, inkei, aritmetika erraz baina eraginkor bat eman zien kontularitza-helburuetarako; sistema hamartar batean oinarrituta, zeroa ezagutu zuten eta batuketa, kenketa, biderketa eta zatiketa menperatu zuten.

### Aritmetika Txinan

Txinako matematika goiztiarra eta haren garapena, munduko beste eremuetan gertatu zenarekin alderatuta, oso desberdina izan zen. Desberdintasun erraldoi horrek, bertako matematika era independentean garatu zela pentsatzera eraman ditu matematikariak. Gaur egun gordeta dagoen matematikari buruzko testurik zaharrena Chou Pei Suan Ching (euskaraz: Gnomonen Aritmetika Klasikoa eta Zeruko Bidezidor Biribilak) izeneko liburu bat da, K.a. 300. urte ingurukoa.
Herrialde hartako matematika goiztiarraren ezaugarri nabari bat kokapen bidezko sistema hamartarraren erabilera da, hagaxken bidezko zenbatzea izenez ere ezaguna, indoarabiar zenbatze sistema baino zenbait mende lehenago erabilia. Hagaxken bidezko zenbatzeak zenbaki nahiko handiak irudikatzea ahalbidetzen du, eta txinatar abakoan kalkuluak egitea ere asko erraztu dezake. «Suan pan»a asmatu zen urtea zehazterakoan, zalantzak sortzen dira, haatik, teknika hori aipatzen duten idatzirik zaharrenak K.a. 190. urtekoak dira. Idatzi horien adibide gisa jar dezakegu Xue Yueren Formen arteari buruzko ohar gehigarriak liburua.
Matematika-artearen bederatzi kapituluak liburuak nekazaritza, merkataritza, geometria eta ingeniaritzari buruzko problema matematikoak ditu, triangelu angeluzuzenak baliatuz eginiko lanak eta π zenbakiaren hurbilketak edukitzeaz gain. Zu Chongzhi Txinako matematikariak π zenbakiaren zazpi zenbaki hamartar kalkulatu zituen.

### Aritmetika Indian, zeroa eta kokapen-notazioa

Indiar matematika I. mendetik VIII. mendera bitartean iritsi zen bere heldutasunera, kokapen-notazioaren asmakizun transzendentala baliatuz eta zeroa zifra baliogabe gisa erabiliz. Mendebaldean bezala, oinarri hamar zuen zenbaki-sistema erabili zuten (hamar digiturekin). Egiptoarrek, greziarrek eta erromatarrek, sistema hamartar bat erabiltzen zuten arren, hori ez zen kokapen-notaziozkoa, eta zero zenbakia ere ez zuen; azken hori askoz beranduago heldu zitzaien mendebaldeko matematikariei, arabiarrak Erdi Aroko Iberiar penintsulan eta Italian sartu zirenean eskuratu baitzuten.
Zenbatze-sistema hamartarra Süryasiddhantan agertzen da, VI. mendekoa dela dirudien ohar txiki batean. Hinduen lan matematikoak, oro har, astronomiaren arloan oinarritu ziren, esaterako, Aryabhata (476. urte inguruan jaioa) eta Brahmaguptaren (598. urte inguruan jaioa) kasuan. 1150ean, Bhaskarak aritmetika tratatu bat idatzi zuen, eta, bertan, erro karratuak kalkulatzeko prozedura azaltzen zuen. Lehen eta bigarren mailako ekuazioen teoria bat da, eta ez dago, greziarrek egiten zuten moduan, era geometrikoan planteatuta, baizik eta «aljebraiko» gisa izenda daitekeen modu batean.
VII. mendean, Severo Sebhokt siriar apezpikuak, miresmenez, aipatu berri dugun era-matematikoari erreferentzia egiten dio; izan ere, metodoari buruz idatzi zuen azalpenean, argi utzi zuen jatorrizkoa haratago zihoala. «Zerodun kokapen-notazioak» leiho praktiko eta teoriko berri asko ireki zizkion matematikari, haren garapenaren bizkortasuna areagotuz. Gaur egun arruntzat ditugun kalkulu-algoritmoetara, ziurrenik, ez ginen sekula iritsiko zenbaki arabiarrak eta kokapen-notazio hamartarra inoiz asmatu izan ez balira.

### Aritmetika arabiarra

Indiako matematika, kokapen-notazioaren garapen goiztiarrarekin eta zeroaren erabilerarekin, garrantzi handia izan zuten geroko aurrerapen matematikoan. Herentzia hori arabiarrek jaso zuten, batez ere Al-Khwarizmiren lanekin eta grezieraz idatzitako testuen arabierarako lehen itzulpenekin, al-Hajaj-ek egindako Euklidesen Elementuak barne. Jakintzaren Etxean (Bayt al-Hikma, Bagdaden ezarritako ikerketa eta itzulpen erakundea), zientzialari eta matematikariek Euklides, Diofanto, Menelao, Arkimedes, Ptolomeo eta Apolonioren lanak itzuli zituzten, zientzia greziarreko beste klasiko batzuen artean. aurrerapen garrantzitsuenetako bat ematen da Abu Yafar Mohamed ibn Musa al-Khwarizmi-ren lanekin: aljebra,​ greziarren kontzeptu geometrizistatik aldentze iraultzailea irudikatzen zuena eta objektuak beste era batera tratatzeko aukera ematen zuena, hala nola zenbaki arrazionalak, irrazionalak edo magnitude geometrikoak, eta aplikazio sistematikoa aritmetikatik aljebrara. Abu Bekr ibn Muhammad ibn al-Husayn al-Karaji, 953an jaioa, aljebra eragiketa geometrikoetatik erabat askatzen lehena izango da ziurrenik eta gaur egungo aljebraren bihotza osatzen duten eragiketa aritmetikoekin ordezkatu. Al-Samawal (1130ean jaioa) algebraren topiko berriari deskribapen zehatza ematen lehena izan zen, idatzi zuenean hura arduratzen zela: «...tresna aritmetiko guztiak erabiliz ezezagunen gainean eragiteko, aritmetikoak ezagunaren gainean jarduten duen bezala». Thabit ibn Qurra (836an jaioa), ekarpen ugari egin zituen matematikaren alor ugaritan, zenbakien teoriari, bereziki.
X. mendearen inguruan, hiru sistema aritmetiko mota erabiltzen ziren aldi berean: Aritmetika behatzekin zenbatzearen bidez, zenbakizkoak hitzez osoki idatzirik (merkataritza-komunitateak erabiltzen zuen metodoa zen); hirurogeitarra (arabiar alfabetoko letren bidez adierazitako zenbakiekin, matematika babilonitarretik zetorren eta islamiar matematikariek astronomia lanerako erabili zuten batez ere); eta hirugarren sistema izan zen Indiako zenbatzaileen eta kokapen-balio hamartarra zuten zatikien aritmetika.

## Goi aritmetika

Aritmetika terminoak zenbakien teoriari ere egiten dio erreferentzia, zeinak beren Zenbaki lehen, Zatitzaile eta ekuazioen emaitzak osoekin lotuak dauden zenbaki osoen propietateak garatzeko eta sakontzeko; bereziki, «aritmetikaren oinarrizko teorema» eta «funtzio aritmetikoak» esparru honen barruan garatzen dira, eta horixe da Jean-Pierre Serreren A Course in Arithmetic lanean islaturiko erabilera, edo Harold Davenportek «lehen mailako aritmetika» edo «goi aritmetika» esaldietan ematen diona.
* Aritmetika modularra zenbaki osoen kongruentziei buruzkoa da; zenbakien teoriaren barruan sartzen da horien azterketa.
* Aritmetika bitarra eta Booleren algebra, oso erabiliak informatikan, zenbaki-sistema bitar batean egindako kalkulu aritmetikoa eta ondoriozko algebra da. Leibnizek dokumentatua, XVII. mendean, Explication de l'Arithmétique Binaire artikuluan.
* Aritmetika ordinalak, multzoen teorian, batuketa, biderketa eta berreketaren kalkulu aritmetikoa deskribatzen du, zenbaki ordinalei aplikatutako eragiketekin.
* Peanoren aritmetika zenbaki arrunten eraikuntzarako axiomen multzoa da.
* Gödelen ez-osotasun teoremak, Gödelek 1930ean adieraziak, frogatzen dute zenbaki arruntak eta aritmetika adierazkortasun nahikoaz deskribatzeko gai den ezein teoria matematiko formala ez dela, aldi berean, sendoa eta osoa.

### Aritmetikaren oinarrizko teorema

Faktorizazio bakarraren teorema izenez ere ezaguna, zenbaki oso positibo oro faktore lehenen emaitza bakar gisa adieraz daitekeela baieztatzen du. Emaitza hori Euklidesek lortu zuen, eta, jatorriz, Euklidesen Lehen Teorema deitutakoaren korolario gisa aurkeztua.​ Frogapen formala ez zen eman Carl Friedrich Gaussek, 1801ean, Disquisitiones Arithmeticae argitaratu arte. Emaitza horren eta antzekoen orokortzeak eta sakontzeak bultzatzen dute zenbakien teoriaren garapena, geometria aljebraikoa edo taldeen teoria.

### Aritmetikaren axiomatizazioa

Multzoen teoria eta, bereziki, multzo infinituekin zerikusia duten hainbat paradoxa, baita kantitate infinitesimalaren noziotik eratorritako problemak ere, besteak beste, matematikaren «oinarrien krisia» deiturikora eraman zuten, XX. mendearen hasieran. Testuinguru horretan, David Hilbert eta beste matematikari laguntzaile batzuek Hilberten programa deiturikoa proposatu zuten oinarrien problemari erantzuteko. Programa horren helburua lan matematikoa paradoxetatik askatzea zen, matematikaren hainbat adar esplizituki formalizatuz eta axiomatizatuz. Aritmetikaren kasuan, Giuseppe Peanok dagoeneko proposatuak zituen aritmetikarako Peanoren axiomak deiturikoak. Axioma horiek, Peanok proposatutako moduan, ezin ziren lehen mailako sistema logiko batean formalizatu, nahiz eta hasieran ez pentsatu hori arazo bat izan zitekeenik; beraz, denbora batez, aritmetikaren eta multzoen teoriaren oinarriztapenean lan egin zen lehen mailako lengoaia formalak erabiliz; halere, Hilberten programak porrot nabarmena jasango zuen Kurt Gödelek frogatu zuenean aritmetikaren formalizazioa problematikoa zela Hilberten programaren estilorik garbienean lehen mailako sistema baten bidez.

### Gödelen ez-osatasunaren teorema

1931n, Kurt Gödelek bere bi ez-osotasun teorema ospetsuak frogatu zituen. Lehenengo teorema, lehen ordenako teoria gisa, aritmetikaren axiomatizazioari buruzkoa da, non axioma multzoa errekurtsiboa izango litzatekeen (hau da, pauso kopuru mugatu batean erabakitzeko algoritmo bat balego emandako proposizio bat axioma bat zen ala ez, formalizazioak axioma kopuru amaigabea eskatzen baitu, guztiak axioma eskema kopuru mugatu baten instantziak). Lehen teorema horrek frogatzen zuen teoria hori sendoa dela onartuz gero, orduan, nahitaez osatu gabea izan behar duela. Hau da, suposatuz teoria horrek ez duela inoiz kontraesanik sortzen (trinkotasuna), orduan, beti egongo litzateke halako proposizioa, non, ez bera, ez bere kontrakoa frogagarriak diren. Interpretazio hori onartuz, aurrekoa honela uler daiteke: «teoriaren barruan, badira baieztapen ziur ez-ondorioztagarriak». Gödelek teorema hori frogatu zuen, esplizituki, formula bat eraikiz, non, ez hura, ez haren ezeztapena frogagarriak ziren. Gödelen bigarren teorema are handinahiagoa da. Gödelek frogatu zuen aritmetika formalizatzen zuen hizkuntza formal baten barruko formula multzo bat gödeliza zitekeela, hau da, zenbaki osoen azpimultzo baten bidez adierazi, non multzoko proposizio bakoitzari zenbaki bakar bat baitzegokion eta multzoko zenbaki bakoitzari proposizio edo formula bat. Teorema horrek baieztatzen du aritmetikaren beraren sendotasuna frogaezina dela aritmetikaren barruan; izan ere, teorema frogagarrien multzoari lotutako Gödelen zenbaki multzoa ezin zen teoriaren barruan azpimultzo errekurtsibo gisa irudikatu.

### Bigarren mailako aritmetika

Ez-osotasun teoremek eragin suntsitzailea izan zuten Hilberten programan; beraz, aritmetika formalizatzeko orokortze sofistikatuagoak bilatu ziren. Hala ere, aritmetikarako lehen mailako lengoaia bat eraiki daiteke, trinkoa eta osoa, baina beste axioma kopuru amaigabe bat sartuz eta erantsitako multzoa errekurtsiboa izan gabe; horrek ez du interes praktikorik, zeren eta ezinezkoa bailitzateke axioma multzo hori modu esplizituan deskribatzea arrazoizko prozedura algoritmikoren baten bidez. Horregatik, bigarren mailako lengoaia formalen bidez, aritmetika formalizatzeko sistemak eraikitzen hasi ziren. Froga daiteke bigarren ordenako deituriko aritmetiko osoak, eredu bakarra onartzen duela, funtsean, Peanoren axiomek hain zorrozki formalizaturiko zenbaki arruntekin identifika daitekeena. Hala ere, teoriaren eredu-multzoaren hutsalkeria horrek ez du oso interesgarri egiten alderdi askotan; horregatik, bigarren mailako aritmetika-eredu logikoki ahulagoak bilatu dira hizkuntza formal murriztaileagoa erabiliz matematikaren zein atal formaliza daitezkeen jakiteko. Gaur egun, bigarren mailako lengoaia batzuk sortu dira aritmetikarako, eta horien azterketa garrantzitsua da alderantzizko matematikan, hau da, matematikaren zenbait arlo formalizatzea ahalbidetzen duen sistema logikoki murriztaileena zein den jakin nahi duen matematikan.

## Aritmetikarekin lotutako idazkiak

* Ahmesen Papiroa; K.a. 2000tik 1800ra bitartean datatua.
* Matematika-artearen bederatzi kapituluak; Zhou dinastia.
* Euklidesen Elementuak, K.a 300. urtea. 1570. urteko edizioa.
* Arithmetika Diofantok idatzia 280. urtearen inguruan. 1621eko edizioa, grezieratik latinera itzulia.
* Al-Kitab al-Jabr wa-l-Muqabala, (حساب الجبر و المقابلة); Al-Khwarizmi, IX. mendea.
* Disquisitiones arithmeticae Carl Friedrich Gaussek idatzia 1798an. 1801ean argitaratutako lehen argitalpena

## Erreferentziak

* ↑ Euskaltzaindiaren Hiztegia, aritmetika, Euskaltzaindia
* ↑ Txantiloi:Cita DLE
* ↑ Sir Thomas L. Heath, A Manual of Greek Mathematics, Dover, 1963, p. 1.
* ↑ Davenport, Harold (1999). The Higher Arithmetic: An Introduction to the Theory of Numbers (7.ª edición). Cambridge, England: Cambridge University Press. ISBN 0-521-63446-6
* ↑ «What Is Arithmetic?» www.cut-the-knot.org (Noiz kontsultatua: 2019-01-26).
* ↑ (Ingelesez) Weisstein, Eric W.. «Arithmetic» mathworld.wolfram.com (Noiz kontsultatua: 2019-01-26).
* ↑ Robson, Eleanor. (2008). Mathematics in Ancient Iraq. ISBN 978-0-691-09182-2...
* ↑ Nicomachus Introduction to Arithmetic
* ↑ (Ingelesez) J J O'Connor and E F Robertson. «An overview of the history of mathematics» The MacTutor History of Mathematics archive..
* ↑ Sherman, Lynda and Weisstein, Eric W. "Arithmetic." From MathWorld--A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/Arithmetic.html
* ↑ EducaRed España. (2007). Los mayas. .
* ↑ Ifrah:1998 p. 740
* 1 2 3 Gupta, K.P.. (1991-02). «Changcheng and Ashwamèdha: Spheres of Dominance in China and India» China Report 27 (1): 1–14. doi:10.1177/000944559102700101. ISSN 0009-4455. (Noiz kontsultatua: 2019-01-26).
* ↑ al Khwarizmi, 1831
* ↑ Rashed, 1984.
* ↑ Weisstein, Eric W. Theorems.html «Euclid's Theorems». En Weisstein, Eric W, ed. MathWorld (en inglés). Wolfram Research.

## Bibliografia

* Collette, Jean-Paul. (1985). Madrid: Siglo XXI Editores S.A. ISBN 9788432305269..
* Ebbinghaus, Heinz-Dieter; Flum, Jörg; and Thomas, Wolfgang (1994); Mathematical Logic, Undergraduate Texts in Mathematics, Berlin, DE/New York, NY: Springer-Verlag, Second Edition, ISBN 978-0-387-94258-2.
* Páez Gutiérrez, Tomás David. (2009). Visión Libros ISBN 9788499835907..
* Wussing, Hans. (1998). Siglo XXI de España Editores.

## Ikus, gainera

* Matematika
* Matematikaren historia
* Matematikaren didaktika

## Kanpo estekak

* Datuak: Q11205
* Multimedia: Arithmetic / Q11205