# Estruktura kausal

Fisika matematikoan, barietate lorentzdar baten estruktura kausalak hainbat punturen arteko kausazko erlazioak deskribatzen ditu.

## Sarrera

Fisika modernoan (bereziki erlatibitate orokorrean ) espazio-denbora barietate lorentzdar baten bidez deskribatzen da. Barietateko puntuen arteko kausazko erlazioak interpreta daitezke deskribatuz espazio-denborako zein gertaerek eragin dezaketen besteen gainean.
Geometria lorentzdarreko adibide arrunt bat Minkowskiren espazio-denbora da. Bertako puntuen arteko kausazko erlazioak partikularki sinpleak dira, kasu honetako espazio-denbora laua da eta.
Hala ere, barietate lorentzdar arbitrario baten egitura kausala zaildu egin daiteke kurbaduragatik. Kasu hauetan estruktura kausalak puntuen arteko kurba diferentziagarrien bidez ezartzen dira, kurben abiaduren (bektore ukitzaileen) baldintza batzuenpean. Baldintza horien bidez defini daitezke erlazio kausalak.

### Bektore ukitzaileak

$\,(M,g)$ barietate lorentzdar baten kasurako, non g M barietatearen puntu oroko metrika den. Puntu bakoitzeko espazio tangenteak definizioz Minkowskiren espazioko estruktura berbera izango du. Ondorioz, nuluak ez diren bektore ukitzaileak hiru multzo disjuntutan sailka daitezke. X bektore ukitzailea izanik, honen sailkapena:
* denbora motakoa baldin $\,g(X,X)<0$
* nulua edo argi motakoa baldin$\,g(X,X)=0$
* espazio motakoa baldin$\,g(X,X)>0$
$(-,+,+,+,\cdots )$ metrika erabiltzen da kasu honetan. Hemendik aurrera, bektore ukitzailea ez-espaziala dela esango dugu nulua edo denbora motakoa bada.
Barietate lorentzdar kanonikoa Minkowskiren espazio-denbora da, non $M=\mathbb {R} ^{4}$ eta g Minkowskiren metrika laua diren. Izatez, eredu honen fisika da aurreko atalean ikusi ditugun bektore tangenteen izenen jatorria. Espazio-denbora honetako kausazko erlazioak nahiko sinpleak dira, aurrerago aipatu bezala espazio tangentea ere $\mathbb {R} ^{4}$ delako eta ondorioz bektore tangenteak espazioko puntu gisa identifika ditzakegulako. $X=(t,r)$ lau dimentsiodun bektorea $g(X,X)=c^{2}t^{2}-\|r\|^{2}$ -ren zeinuaren arabera sailkatzen da ($r\in \mathbb {R} ^{3}$ 3-dimentsioko espazioaren koordenatu kartesiarrak izanik eta c argiaren abiadura). Metrikaren aldaezintasuna dela eta, bektoreen espazioko sailkapenak berdinak izango dira Lorentzen transformaziopeko erreferentzia sistema guztientzat, ez ordea Poincaré-ren transformazio orokor baten bidezkoetan, jatorria lekuz alda daiteke eta.

### Denbora-orientagarritasuna

Minkowskiren identikoa den estruktura honek, gertaera baten inguruko erlazio kausalak ikustaraztea ahalbidetzen du. Izatez, puntu bakoitzean iragana eta etorkizuna desberdindu daitezke argi konoa bi baliokidetasun-erlaziotan banatuz, etorkizunera zuzendutakoa eta iraganera zuzendutakoa.
$X$ eta $Y$ puntu bateko espazio motako bektore tangenteak izanik, $X$ eta $Y$ baliokideak $(X\sim Y)$ dira, hau da, baliokidetasun-klase berekoak, baldin eta $g(X,Y)<0$ bada. Horrelako sailkapenak, puntuetan egindako denbora-geziaren aukeraketaren araberakoak izaten dira. Denbora-geziaren kontzeptuak denborak aurrera egiten duen norabidea definitzen du, baina ez da derrigorrez espazio-denbora osoan zehar hedatzen. M barietate lorentzdar bat denboran orientagarria dela esaten da puntu orotan baliokidetasun-klasea modu jarraituan zehaztu ahal bada. Baliokidea dena, aldagai bat denboran orientagarria da baldin eta soilik baldin denbora motako eremu bektorial jarraitu bat, puntu bakar batean ere anulatzen ez dena, baldin badauka.
Hau da espazio-denbora batek bete behar duen baldintza minimoa gertaeren arteko estruktura kausalaz hitz egin nahi baldin badugu. Izan ere, espazio-denbora ez bada denboran orientagarria, orokorki ezingo dugu esan behatzaile baten ibilbideak denboran aurrera edo atzera egiten duen.

### Kurbak

$M$-ko bide lau jarraitu bat $\mu :\Sigma \to M$ non $\Sigma$ tarte ez-endakatu bat (puntu bat baino gehiago konektatzen dituen bilduma) den R-n. Bide leun bat μ deribagarria da behar bezain bestetan (normalean $C^{\infty }$ ), eta bide erregularrek deribatu ez-nuluak dauzkate.
$M$-ko kurba bat bide baten irudia da edo, hobeto esanda, birparametrizazioaren bidez erlazionatutako bide-irudien baliokidetasun-klase bat da, hau da, homeomorfismoak edo difeomorfismoak $\Sigma$-en. Bestalde, $M$ denbora orientagarria denean kurba orientatua dagoela esaten da parametro aldaketa funtzio monotonoa baldin bada.
Horrela, kurba erregular lauak hauen bektore tangenteen izaeraren arabera sailka ditzakegu:
* Kronologikoak edo denbora motakoak, bektore tangentea kurbako puntu orotan denbora motakoa baldin bada. (Mundu lerroa)
* Nulua edo argi motakoa ,bektore tangentea kurbako puntu orotan nulua baldin bada.
* Espazio motakoa, bektore tangentea espazio-motakoa baldin bada kurbako puntu orotan.
* Kausala, bektore tangentea denbora motakoa edota argi motakoa baldin bada kurbako puntu guztietan.
$\Sigma$ -en propietateek ziurtatzen dute kurba itxi kausalak ez direla automatikoki espazio-denbora guztietan onartuak.
Aldagaia denboran orientagarria baldin bada, espazio motakoak ez diren kurbak denborarekiko duten orientazioaren arabera sailkatu daitezke:
M-ko kurba kronologiko, nulu edo kausal bat:
* Etorkizunera zuzendua da kurbako puntu guztien bektore tangenteak etorkizunera zuzenduak badira.
* Iraganera zuzendua da kurbako puntu guztien bektore tangenteak iraganera zuzenduak badira.
Sailkapen berri honetan kurba kausalak bakarrik sartzen dira. Izan ere, hauei soilik ezarri ahal zaie denborarekiko orientagarritasuna. Horrela,
* Denbora motako kurba itxia, denbora motakoa eta kurba osoan zehar etorkizunera (edo iraganera) zuzendua den kurba itxia da.
* Kurba itxi nulua, nulua eta kurba osoan zehar etorkizunera (edo iraganera) zuzendua den kurba itxia da.

### Kausazko harremanak

$M$ aldagaiko $x$ eta $y$ puntuen arteko erlazio kausalak sailka ditzakegu:.
* $x$-k $y$ kronologikoki aurre hartzen du ($\,x\ll y$), baldin eta $x$-tik $y$-ra doan etorkizunera zuzendutako kurba kronologiko (denbora motakoa) bat existitzen bada.
* $x$ $y$-ren hertsiki kausalki aurretikoa da ($x<y$) baldin eta x-tik y-ra doan etorkizunera zuzendutako kurba kausal (espazio motakoa ez dena) bat existitzen bada.
* $x$ kausalki aurre hartzen du $y$ ( $x\prec y$ edo $x\leq y$ ) baldin eta $x$ $y$-ren hertsiki kausalki aurretikoa bada edo $x=y$.
* $x$ $y$ -ren horizontea da( $x\to y$ edo $x\nearrow y$ ) baldin eta $x=y$ edo etorkizunera zuzendutako kurba nulu bat badadago $x$-tik to $y$-radoana.
Bestalde, aldagaiko $x$ puntu bat izanik:
* $x$-ren etorkizun kronologikoa, $x$-rekin etorkizunera zuzendutako denbora kurba baten bidez lotzen diren $y$ puntuen bilduma:
    $\,I^{+}(x)=\{y\in M|x\ll y\}$
* $x$-ren iragan kronologikoa, $x$-rekin iraganera zuzendutako denbora kurba baten bidez lotzen diren $y$ puntuen bilduma:
    $\,I^{-}(x)=\{y\in M|y\ll x\}$
Era berean definitzen dugu
* $x$-ren etorkizun kausala (etorkizun absolutua). $M$-ko $y$ puntuen multzoa non $x$ puntuak kausalki aurre hartzen dituen y puntu guztiak:
    $\,J^{+}(x)=\{y\in M|x\prec y\}$
* $x$-ren iragan kausala, $M$-ko $y$ puntuen multzoa zeintzuek $x$ kausalki aurre hartzen duten:
    $\,J^{-}(x)=\{y\in M|y\prec x\}$
* $x$-ren etorkizuneko kono nulua, $M$-ko $y$ puntu guztien bilduma non $x\to y$.
* $x$-ren iraganeko kono nulua, $M$-ko $y$ puntu guztien bilduma non $y\to x$.
* $x$-ren argi konoa, etorkizuneko eta iraganeko kono nuluen bildura.
Laburbilduz, Minkowskiren espazio-denboran esan dezakegu $\,I^{+}(x)$ puntuen bilduma etorkizuneko argi konoaren barnea dela eta $\,J^{+}(x)$ puntuen bilduma etorkizuneko argi konoa osotasunean (konoaren gainazala barne). Era berean jarduten da iraganeko argi konoarekin $\left(I^{-}(x)~~{\text{eta}}~~J^{-}(x)\right)$.
Horrela, bilduma guzti hauek ,$\,I^{+}(x),I^{-}(x),J^{+}(x),J^{-}(x)$ $M$ , barietateko $x$ guztietarako definituak, $M$-ren estruktura kausala definitzen dute.
$M$-ko azpimultzoekin ere egin dezakegu lan. Demagun $S$ azpimultzo bat dugula:
    $I^{\pm }(S)=\bigcup _{x\in S}I^{\pm }(x)$
    $J^{\pm }(S)=\bigcup _{x\in S}J^{\pm }(x)$

### Propietateak

* $x$ puntu bat $\,I^{-}(y)$-n dago baldin eta soilik baldin $y$ puntua $\,I^{+}(x)$ -n badago.
* $x\prec y\implies I^{-}(x)\subset I^{-}(y)$
* $x\prec y\implies I^{+}(y)\subset I^{+}(x)$
* $I^{+}[S]=I^{+}[I^{+}[S]]\subset J^{+}[S]=J^{+}[J^{+}[S]]$
* $I^{-}[S]=I^{-}[I^{-}[S]]\subset J^{-}[S]=J^{-}[J^{-}[S]]$
* Horiizontea geodesiko nuluen kongruentziek sortzen dute.
Propietate topologikoak :
* $I^{\pm }(x)$ $M$-ko $x$ puntu guztietarako irekita dago.
* $I^{\pm }[S]$, $S\subset M$ azpimultzo guztietarako irekita dago .
* $I^{\pm }[S]=I^{\pm }[{\overline {S}}]$, $S\subset M$ azpimultzo guztietarako . Non ${\overline {S}}$, $S$ azpimultzo baten itxidura den .
* $I^{\pm }[S]\subset {\overline {J^{\pm }[S]}}$

## Espazio-denborako estruktura kausala

Espazio-denborako erlazio kausalak Minkowskiren espazio-denborakoen identikoak dira. Hala ere, nahiz eta denboran orientagarriak izan, badaude espazio-denbora berezi batzuk non denbora kurba itxiak aurki ditzakegun:
* Denbora kurba itxi (CTC) bat, $\lambda (t)$ kurba ez-tribial bat da gertaera berean hasi eta amaitzen dena, $\lambda (0)=\lambda (1)$, eta $\lambda (t)=p$ kurba konstantea ez dena.
Horrelako espazio-denborek ez dute garrantzi fisiko handirik ezaguna den materiaren baldintzapean. Hori dela eta, badirudi logikoa dela halako kurbarik ez duten espazio-denborekin lan egitea. Hala ere, nahiz eta espazio-denborek mota honetako kurbarik ez izan, posiblea da horien antzekoren bat izatetik hurbil egotea, kurba “ia itxiak” zeintzuk hasierako puntutik hurbil igarotzen diren. Horrela, eremu grabitazionalaren perturbazio txiki batek kurba “ia itxi” hauek kurba itxi bihur ditzake.
* Espazio-denbora bat indartsuki kausala dela esaten da, edozein $G$ gertaera baten inguruan existitzen badira inguruneak non ez dagoen kurba kausalik hauek behin baino gehiagotan zeharkatzen dituztenik.
Horrelako espazio-denborek ez dute inolako denbora kurba “ia itxirik”. Hala ere, ezin da deskartatu perturbazioen bidez kurba itxiak sor daitezkeenik. Edonolako kurba itxiak saiestu ditzakeen kausalitatea lortu ahal izateko bestelako definizio bat bilatu beharko dugu.
* $(M,g)$ espazio-denbora egonkorki kausala da, denbora motako $t$ eremu bektorial jarraia existitzen bada, ez-nulua puntu guztietan, non $(M,g')$ espazio-denborak, $g'_{\mu \nu }=g_{\mu \nu }-t_{\mu }t_{\nu }$, kurba itxirik ez duen.
$t$ eremu bektorialaren bidez $g'$ metrika lorentzdar onargarria izango da. Gainera, honen argi konoa hertsiki handiagoa izango da. Bestalde, $g$-rekiko edozein denbora bektore edo betore nulu, $g'$-rekiko denbora bektorea edo bektore nulua izango da (aurkakoa ez da zertan eta egia izan behar). Bestelako definizio baliokide bat:
* Espazio-denbora egonkorki kausala da baldin eta soilik baldin existitzen bada $t$ funtzio bat non honen gradientea $\nabla t$ iraganera zuzendutako eremu bektoriala den.

## Singularitateen estruktura kausala

Grabitatearen indarra oso altua denenan gerta liteke espazio-denborak era desberdinean funtzionatzea, singularitateak agertuz.

### Big Bang singularitateak

Big Bang-ean iraganeko denbora mugan agertzen dira berezitasunak. Izan ere, ikusten dugu nola geodesiko nuluak $t=0$ hiperespazioaren tangenteak direla hasieran, eta denbora igaro ahala haien angeluak handiagotuz doazela. Bestalde, singularitatea dela eta, argi konoak endakatuak bihurtzen dira espazio tangentean, nahiz eta topologia bera mantendu. Big Bang kasua aztertzeko askotan erabiltzen den FLRW eredua jarraituz froga daiteke estruktura kausala unibertsala dela. Eredu honetako espazio-denbora laua da, baina metrika tentsorea nahikotxo aldatzen da singularitateetara hurbiltzean. Espazio-denbora honetako metrika ondorengo eran adieraz dezakegu:
$ds^{2}=-dt^{2}+a^{2}(t)d\Sigma _{t}^{2}$
Metrika endakatua izango da eskala faktorea nulua denean.

### Zulo beltzen singularitateak

Kasu hauetan etorkizuneko denbora-mugetan agertuko dira berezitasunak.

#### Schwarzschild-en singularitateen estruktura kausala

Schwarzschild-en soluzioekin esferikoki simetrikoa, biraketa gabekoa eta kargarik ez duen den zulo beltz baten inguruko espazio-denbora defini daiteke. Unitate naturalak erabiliz $c=1$ eta $G=1$, Schwarzschilden koordenatuetan idatzitako metrika ondorengoa da:
$ds^{2}=-\left(1-{\dfrac {2m}{r}}\right)dt^{2}+\left(1-{\dfrac {2m}{r}}\right)^{-1}dr^{2}+r^{2}d\sigma ^{2}$
Non $d\sigma ^{2}=d\theta ^{2}+\sin ^{2}{\theta }d\phi ^{2}$. Unitate naturalak aplikatu gabe, $r_{s}={\dfrac {2GM}{c^{2}}}$, Schwarzschilden erradioa dugu. Metrika honetan agertzen diren singularitateak, hala nola gertaeren muga $r\rightarrow 2m$ $(r_{S}\equiv 2m)$ eta $r\rightarrow 0$, koordenatu aldaketa batzuen bitartez aztertu daitezke. Horrela, ekuazioa garatuz, ikusten dugu estruktura kausala Big Bangaren antzekoa izango dela koordenatu berriekin.
Eredu honetan argi motako geodesiko erradialen azterpena egin dezakegu:
$ds^{2}=-\left(1-{\dfrac {r_{S}}{r}}\right)dt^{2}+\left(1-{\dfrac {r_{S}}{r}}\right)^{-1}dr^{2}+r^{2}d\sigma ^{2}=0$
Ekuazioa garatuz, higidura-ekuazioa zuzenean integratu daiteke;
$r+r_{S}\ln {\left|{\dfrac {r}{r_{S}}}-1\right|}=\pm c(t-t_{0})$
Emaitza hau irudikatuz bi zonalde desberdindu daitezke, $(r<r_{S})$ eta $(r>r_{S})$:
* $r>r_{S}$ zonaldean fotoiak ez dira inoiz $r=r_{S}$ puntuan egongo, kanporantz badoaz ez direlako puntu horretan inoiz egon eta alderantziz, barrurantz badoaz ez direlako inoiz puntu horretara iritsiko. Horregatik, fotoiak ez dira alde kritikoan sartuko. Aldiz, singularitatetik aldendu ahala ikusten da nola eremu grabitatorioaren eragina desagertuz doala eta 1 maldako argi konoak berreskuratzen direla.
* $r<r_{S}$ zonaldean fotoiak singularitaterantz joango dira eta argi konoen orientazioa aldatu egingo da aurreko atalarekin alderatuz.

#### Reissner-Nordström singularitateen estruktura kausala

Aurreko ataleko antzekotasuna duen zulo beltz bat kontsideratzen dugu, baina kasu honetan $q$ karga izanik, Reissner-Nordström-en metrika:
$ds^{2}=-\left(1-{\dfrac {2m}{r}}+{\dfrac {q^{2}}{r^{2}}}\right)dt^{2}+\left(1-{\dfrac {2m}{r}}+{\dfrac {q^{2}}{r^{2}}}\right)^{-1}dr^{2}+r^{2}d\sigma ^{2}$Kasu honetako singularitateak $r=0$ eta $\Delta :=r^{2}-2mr+q^{2}$(gertaeren muga) ekuazioaren zeroek emango dizkigute (kasu honetan ere unitate naturalekin gabiltza). Koordenatu aldaketen bidez ere singularitateak irudikatu ahalko dira.

## Erreferentziak

* ↑ Hawking&Israel. (1979). General Relativity, an Einstein Centenary Survey. Cambridge University Press, 255 or..
* ↑ Galloway, Gregory J. (2014). "Notes on Lorentzian causality". ESI-EMS-IAMP Summer School on Mathematical Relativity, 4 or..
* ↑ Penrose, R. (1972). Techniques of Differential Topology in Relativity. SIAM, 15 or. ISBN 0898710057..
* ↑ Papadopoulos, Kyriakos; Acharjee; Papadopoulos. (2018). [https://arxiv.org/pdf/1710.05177.pdf The Order on the Light Cone and its induced Topology. ] International Journal of Geometric Methods in Modern Physics.
* 1 2 Penrose, R. (1972). Techniques of Differential Topology in Relativity. SIAM, 12 or. ISBN 0898710057..
* ↑ Sard, R.D. (1970). Relativistic Mechanics - Special Relativity and Classical Particle Dynamics. New York: W. A. Benjamin, 78 or. ISBN 978-0805384918..
* ↑ Penrose, R. (1972). Techniques of Differential Topology in Relativity. SIAM, 13 or. ISBN 0898710057..
* 1 2 3 4 Stoica, Ovidiu Cristinel. (2015). Causal Structure and Spacetime Singularities. arXiv:1504.07110v1 [gr-qc] 27 Apr 2015.
* ↑ Aguirregabiria, J.M. (2017). Grabitazioa eta Kosmologia. Euskal Herriko Unibertsitatea, 128 or. ISBN 978-84-9860-710-9..
* ↑ Atal hau ondo ulertu ahal izateko ikus J.M Aguirregabiriaren liburuko 5.9 irudia.
* ↑ Ikus Stoica-ren artikuluko 4. irudia

## Bibliografia

* Hawking, S.W.; Ellis, G.F.R.. (1973). The Large Scale Structure of Space-Time. Cambridge University Press ISBN 0-521-20016-4..
* Hawking, S.W.; Israel, W.. (1979). General Relativity, an Einstein Centenary Survey. Cambridge University Press ISBN 0-521-22285-0..
* Penrose, R.. (1972). Techniques of Differential Topology in Relativity. SIAM ISBN 0898710057..
* R.D., Sard. (1970). Relativistic Mechanics - Special Relativity and Classical Particle Dynamics. W. A. Benjamin ISBN 978-0805384918..
* Aguirregabiria, J.M.. (2017). Grabitazioa eta Kosmologia. ISBN 978-84-9860-710-9..
* Stoica, Ovidiu Cristinel. (2015). Causal Structure and Spacetime Singularities. , arXiv:1504.07110v1 [gr-qc] 27 Apr 2015 or..
* Wald, Robert. (1984). General Relativity. The University of Chicago Press ISBN 0-226-87033-2..

## Ikus, gainera

* Triangulazio dinamiko kausala (CDT)
* Kausalitate-baldintzak
* Kausazko multzoak
* Denbora-itxurako kurba itxia
* Zentsura kosmikoaren hipotesia
* Malament–Hogarth espazio-denbora
* Penrose diagrama
* Penrose–Hawking singularitate teorema
* Espazio-denbora

## Kanpo estekak

* Datuak: Q2364925