# Estatika

Estatika oreka estatikoan dauden sistema fisikoetako kargak (indarrak eta momentuak) aztertzeaz arduratzen den mekanika klasikoko adar bat da. Sistema bat oreka estatikoan egongo da baldin eta sistemako azpisistemen posizio erlatiboak denboran zehar aldatzen ez badira. Hau horrela izango da indar guztien baturaren erresultantea eta momentu guztien baturaren erresultantea zero direnean. Estatika aztertzerakoan, sistemaren azelerazioa nulua izan beharko da (a=0), sistema atsedenaldi/geldialdi egoeran egonez edo honen masa zentroa abiadura konstantean mugituz.
Newtonen bigarren legea sistema batean aplikatzerakoan honakoa lortzen da:
    ${\textbf {F}}=m{\textbf {a}}$
Non F sistemaren gainean aplikaturiko indarren batura bektoriala den, m sistema horren masa den eta a sistemaren azelerazioa. Ekuazioan lodiz agertzen diren magnitudeak, F eta a, magnitudea eta norantza ezberdinak dituzten bektoreak dira. Oreka estatikoan dagoen sistemaren azelerazioa zero delaren hipotesiarekin honakoa lortzen da:
    ${\textbf {F}}=0$
Sisteman aurkitzen diren kanpo indarren eta erreakzio indarren erresultanteak indar ezezaguna ezagutzea ahalbidetzen du. Sistemaren azelerazioa zero delako hipotesia sisteman agertzen diren momentuen erresultantean aplikatuz:
    ${\textbf {M}}=I\alpha =0$
Non M sisteman agertzen diren momentu guztien batuketa den, I sistemaren masaren inertzia-momentua den eta α = 0 sistemaren azelerazio angeluarra. Sisteman aurkitzen diren momentuen erresultanteak indar edo/eta momentu ezezaguna ezagutzea ahalbidetzen du. Indarren erresultantea berdin zero izateari orekaren lehenengo baldintza deitzen zaio, eta momentuen erresultantea berdin zero izateari orekaren bigarren baldintza. Sistemaren erreakzio ezezagunak ezagutzeko orekaren baldintza horiek ez badira nahikoak, sistema hiperestatikoa dela esaten da, eta hau ebazteko habeen deformazioen ekuazioekin ere lan egin beharko da.

## Orekaren azterketa

Sistema isostatiko bat aztertzeko eta ebazteko nahikoa da estatikaren oreka baldintzak aplikatzea:
* Sisteman agertzen diren kanpo indar eta erreakzio indarren erresultantea nulua da.
* Sistemaren edozein punturekiko momentuen erresultantea nulua da.
Bi baldintzak aljebra bektorialaren bidez ekuazio sistema batean bihurtzen dira, oreka baldintzaren ebazpena baimentzen duena erreakzio ezezagunak kalkulatuz. Ekuazio sistemak izan zezaketen konplexutasuna zela eta, arazo isostatiko hauen ebazpenerako badira geometriaz baliatzen diren metodo grafiko batzuk, antzinatik eratorritakoak. Gaur egun gehien hedatu eta zabaldu den metodoa ordenagailu bidezko kalkulu ebazpena da.
Sistema hiperestatiko bat aztertzeko ez dira nahikoak estatikako oreka baldintzak, sistema honen erreakzio kopurua orekako ekuazio kopurua baino handiagoa baita, ekuazio sistema modu horretan ebazteko ezinezkoa izanez. Gorputz hiperestatikoak ebazteko oreka baldintzen ekuazioez aparte bateragarritasun ekuazioak beharko dira, hau da, gorputzaren gaineko indarren ondoriozko deformazioen ekuazioak. Bateragarritasun ekuazioak materialen erresistentzia eta elastikotasun (fisika)aren adarraren bitartez lortutako deformazio eta tentsioak erabiliz osatuko dira, solido deformagarrien mekanikako metodoekin eskuratutakoak, solidoen deformatzeko joera eta hauen barneko efektuak aztertzen dituen solido zurrunaren mekanikaren hedapen bat dena.

## Oinarrizko kontzeptuak

Estatikan murgiltzeko oinarrizko terminologia bat ezagutzea funtsezkoa izango da. Batez ere menperatu beharko diren kontzeptuak solido zurruna, inertzi momentua eta askatasun graduak dira.

### Solido zurruna

Solido zurruna honen gainean aplikaturiko indarren ondorioz deformaziorik jasaten ez duen gorputz teorikoa da. Errealitatean solido zurruna ez da existitzen gorputz guztiek zurruntasun konkretu bat dutelako, bere materialaren eta geometriaren (azaleraren) araberakoa izango dena, gorputzetan aplikaturiko kargen (indar eta momentuen) ondorioz deformazioak ageriz. Arazo praktiko askotan, berriz, deformazio hauek mesprezagarriak dira oso txikiak direlako, egitura solido zurrun bat balitz kalkulatuz emaitza onargarriak lortzen direlako. Dinamikan ere erabili daiteke hipotesi hau gorputzetan.

### Solido deformagarria

Arazo praktiko askotan, adibidez, egitura hiperestatikoen kasuan, arazoaren azterketa eta ebazpen aproposa egiteko egitura solido deformagarritzat hartu beharko da, solido zurruna izan beharrean. Era horretan bateragarritasun ekuazioak aplikatu ahalko dira. Solido deformagarriaren estatika aztertzerakoan hurrengo ekuazioa oinarrizkoa izango da:
    $F=K\cdot \delta$
Non F sistemaren kanpo indarren eta erreakzio indarren bektore erresultantea den, K materialaren eta geometriaren araberako egituraren zurruntasuna (ikusi zurruntasun matrize) eta $\delta$ deformazioaren gezia den (bektore moduan).

### Indarra

Indarra gorputz baten geldialdia edo higidura perturbatu dezakeen magnitude fisikoa da, gorputz horrek duen abiadura bektorearen modulua edo/eta norabidea aldatuz, eta beraz, azelerazioa emanez. Mekanika klasikoan izan diren indar garrantzitsuenetariko bi grabitate indarra eta marruskadura indara dira, azken honek marruskadura estatikoa barneratzen duena. F izaten da bere ikurra testu gehienetan. Indarrak bektoreak dira, bakoitza bere aplikazio puntu, norabide, norantza eta moduluarekin, eta mekanikoki modelatzerakoan gezi moduan irudikatzen dira, hurrengoko zehaztapenen arabera:
* Indarraren modulua geziaren luzerarekin.
* Aplikazio puntua geziaren puntaren edo oinaren kokapenarekin.
* Bere norabide edo akzio lerroarekin, normalean irudikatzen ez dena. Geziaren oin eta punta zeharkatzen duen lerroa da.
* Norantza irudikatutako geziaren berezko norantzarekin.
Batzuetan akzio lerroa eta aplikazio puntua laburbil daitezke. Solido zurrunaren estatikan indar ezberdinen bektoreak bakoitzaren akzio lerrotik desplaza daitezke, beti ere hauen aplikazio puntua solido zurrunaren barnean kokatuta badago. Indarra, beraz, bektore lineal aldakorra edo bektore labainkorra da (transmisibilitate teorema).
Indarrak mekanismotik garatzen dira hurrengoko sailkapen eta irizpideen arabera:
* Aplikazio edo distribuzioaren arabera:
** Habe batean aplikaturiko karga ezberdinak Karga puntualak edo indar puntualak indar hori gorputzaren puntu bakar batean kontzentraturik dagoela esan nahi du. Mmomentu bat gorputzaren puntu bakar batean kontzentraturik dagoenean ere karga puntuala da. Hau idealizazio bat da, teorian eman daitezkeen kasuak baina errealitatean existitzen ez direnak. Karga errealek gorputzaren azalera edo bolumen konkretu batean zehar eragiten dute beti. Adibide ohiko bat grabitate indarra da, gorputzaren bolumen osotik hedatuta dagoena baina gorputzaren masa zentroan aurkitzen den indar puntual moduan irudikatzen dena. Kasu honetan indarraren unitatea Nazioarteko Unitate Sistemaren arabera $[N]$ Newton da.
** Indar banatuak, askotan q ikurrarekin izendatuak. Egituraren lerro batean zehar uniformeki edo geometrikoki banatutako indarrak izan daitezke (errealitatera gertura daitekeen idealizazio bat da), unitatea kasu honetan Nazioarteko Unitate Sistemaren arabera $[N/m]$ Newton zati metro dira. Azalera baten zehar banatuta badago indar hori, adibidez haizeak eraikin baten hormetan eragiten duen indar banatuaren kasuan edo biltegi batek biltegiratzen duen fluidoaren ondorioz honen hormetan sumatzen duen konpresio indarraren kasuan, unitatea NUSren arabera $[N/m^{2}]$ Newton zati metro karratu dira. Bolumen baten zehar banatuta egotekotan (gorputz baten pisua) unitatea NUSren arabera $[N/m^{3}]$ Newton zati metro kubiko dira.
* Aplikazio lekuaren arabera:
** Indar aplikatuak sistemaren gainean aplikazio puntu batean edota lerro/azalera/bolumen batean banaturik aplikatu direnak dira.
** Erreakzio indarrak edo lotura indarrak agertuko dira bi solidoen arteko loturan, hauen artean transmititzen dituztelako sistema mekanikoan aplikatu diren kargak. Estatikaren azterketa egiterakoan solido bakoitza bere aldetik isolatu eta banandurik aztertuko da.
** Esfortzuak edo barne indarrak: gorputzaren gainean aplikaturiko indarrak gorputzaren barnetik transmititzen dira modu honetan. Hauen azterketa egiteko gorputza birtualki moztu behar da, esfortzu axiala edo normala edo horizontala (orokorrean N ikurrarekin ordezkatua), esfortzu ebakitzailea edo bertikala (orokorrean V ikurrarekin ordezkatua), momentu makurtzailea ($M_{x}$ edo $M_{y}$) eta momentu bihurtzailea $M_{T}$ aztertutako gorputza tridimentsionala bada.

### Momentua

Momentua gorputza biratu nahi duen magnitude fisikoa da. Mekanika klasikoan bi momentu ezberdintzen dira: Gorputzaren puntu batekiko kargek eragiten duten momentua eta indar pareak eragiten duen momentua, erreferentzia punturik hartu gabe. $M_{A}$ momentua F indar batek arbitrarioki hartutako A puntuarekiko sortzen duen momentua da. Bere balioa A puntutik F indarraren akzio lerroarekiko elkartzuta den a distantziarekin eta F indarraren balioarekin lor daiteke, hauek biak biderkatuz:
    $M_{A}=F\cdot a$
Lortutako $M_{A}$ momentuaren norabidea a distantzia eta F indarrak osatzen duten planoarekiko perpendikularra izango da eta norabidea torloju batek edukiko lukeen higiduraren bidez zehaztuko da.
Indar pare bat aurkako norantza, paraleloak, magnitude berdina eta a distantziara dauden bi indarrez osaturiko sistema da. Indar pare batek ezin du gorputz bat mugitu indar puntual batek mugituko lukeen bezala, hauek gorputza biratu egin nahiko dute. Indar pare baten momentua bi indarretako baten F balioa eta bi indarren artean dagoen a distantzia biderkatuz lortzen da:
    $M=F\cdot a$
Indar pareak eragiten duen momentuak ez du erreferentzia punturik eta indar parea aplikatuta dagoen gorputz osoan eragiten du. Solido zurrunen azterketa estatikoan indar parea honek sortzen duen momentuarengatik ordezkatu daiteke, baina kasu bakarra da, indar puntual bat ezin daiteke honek sortzen duen momentuarengatik ordezkatu.

#### Varignonen teorema

Pierre Varignonek bere Nouvelle mécanicque obran enuntziatu zuen teoremak honakoa esaten du: puntu berdin batean aplikatuta dauden indarrek bigarren puntu batekiko sortzen dituzten momentuen batuketa eta indar guzti hauen ordezkariak bigarren puntuarekiko sortzen duen momentua berdinak dira. Beste modu batera esanda, indar bat zenbait norabide ezberdinetan banatzen bada, indar guzti horiek sortzen dituzten momentuen batuketa eta hasierako indar bakarrak sortzen duen momentua berdinak dira.

### Gorputz zurrun baten askatasun graduak

Gorputz baten askatasun gradua mugitzeko duen aukera da. Mugitu daitekeen solidoaren posizioa edozein aldiunetan zehazteko beharrezkoa diren parametroak dira. Solido zurrun bat plano bakarrean mugitu ahalko balu bi dimentsiotatik desplazatu (translazioa) ahalko litzateke eta biratu, beraz hiru askatasun gradu edukiko lituzke. Hiru dimentsiotan mugi daitekeen solido zurrunak sei askatasun gradu ditu: desplazamenduak eta biraketak dimentsio bakoitzean, hau da, hiru translazio eta hiru biraketa. Aztertzen hari den sistema laua dela kontsideratzeko horren gain aplikatuta dauden indarrek plano berean egon beharko dute eta sisteman aplikatutako momentuek plano horri elkartzutak izan beharko dute. Solido deformagarrien estatika aztertzean, gorputz horiek deformazio nodulu bakoitzeko askatasun gradu bat dute, gorputz deformagarriaren askatasun gradu kopurua infinitu izanez.

## Axiomak

Estatikaren azterketa zenbait axiomatan oinarritzen da, hau da, gorputz teoriko baten barruan onartzen diren proposizioak, frogatu gabekoak baina gorputz errealekin edukitako esperientziekin sendoak, beste egia batzuk ondorioztatzeko hasiera puntutzat balio dutenak. Newtondar axiomekin alderatuz, estatikako axiomak ez datoz bat beraien orden edo kopuruaren arabera. Hemen adierazten diren axiomak mekanika eta estatika osoan aplika daitezke, hau da, solido zurrunaren eta solido deformagarriaren estatikan, baina beste axioma batzuk gorputza guztiz zurruneko mekanikan soilik aplika daitezke:
* Oreka axioma: Pierre Varignon bere Nouvelle mécanique (1725) obra nagusian honakoa proposatu zuen: Gorputz zurrun baten gainean diharduten bi indar orekan suertatuko dira baldin eta bi indarrak magnitude (modulu) berekoak badira, akzio lerro berean kokatuta badaude eta beraien norazkoak bata bestearekiko aurkakoak badira.
    Solido deformagarrietan axioma hau bakarrik beteko da bi indarrak puntu berdinean aplikatuta badaude. Horrela ez balitz eta bi indarrak bakarrik akzio lerro berdinean baleude, gorputza konprimituko edo trakzionatuko lukete. Bai solido zurrunean nola solido deformagarrian bi indarrak akzio lerro ezberdinetan badaude gorputza biratuko dute honen grabitate zentroa translaziorik izan gabe, hau indar pare izenarekin ezagutuz.
* Indarren paralelogramoaren axioma: Indarren paralelogramoa Indarren paralelogramo metodoaren arabera edozein egituraren puntu amankomun batean aplikaturiko indarrak hauen indar erresultantearengatik ordezka daitezke, indar horiek sortzen duten paralelogramoaren diagonala izanik. Noski, paralelogramo hori indar kopurua bikoa denean sortuko da, bi indar baino gehiagok eragiten dutenean hauek sortzen duten geometria ez da paralelogramo bat izango, baina printzipio bera aplikatzen da. Indar horiek akzio lerro berean kokatuta ere aplika daiteke axioma hau. Indarra bektore bat denez, puntu berean aplikatutako indarrak batu daitezke aljebrako bektore gehiketarekin, eta honen erresultantea geometrikoki aurki daiteke indar bakoitzaren bektoreak bata bestearengan irudikatuz.
* Interakzio axioma edo akzio-erreakzio printzipioa: Newton-en hirugarren legea da: gorputz batean eragiten duen indar bakoitzeko, gorputz honek indar hori sorrarazi duen gorputzean indar berdin (modulu eta akzio lerro berdinak) baina aurkako noranzkodun bat egingo du. Axioma honek matematikoki momentu linealaren kontserbazioaren legea jarraitzen du, baina azken honek ez du garrantzi handirik estatikan. Axioma hau solido zurrun eta deformagarrietan aplika daiteke, baita gorputzaren barne indarretan ere.
* Translazio axioma edo transmisibilitate teorema: Gorputz deformagarri batean indarren translazioa aplikatzerakoan efektu ezberdinak sortzen dira, beraz, transmisibilitate teorema ezin daiteke beti aplikatu. Solido zurrunaren estatikan solidoan aplikatuta dauden indar ezberdinak beren akzio lerroetatik desplaza daitezke solido horretan duten efektua (azelerazioa) aldatu gabe, betiere hauen aplikazio puntua solido zurrunaren barnean kokatuta badago. Horregatik indarra bektore lineal aldakorra edo bektore labainkorra da. Ondorioz, akzio lerro berean eta noranzko berarekin, orekan eta azelerazioan efektu bera sortzen du gorputza aurretik tiraka edo atzetik bultzaka dagoen indarrak. Solido deformagarriaren kasuan berriz ezin da axioma hau aplikatu, akzio lerro beretik zehar desplazatzen den indarrak gorputz deformagarrian efektu oso ezberdinak eragin ditzake, honen barne indarrak edo ebaketa indarrak ere aldatuz. Horregatik gorputz hauetan lehenengo ebaketa birtuala egin behar da barne indarrak aztertzeko eta soilik honen ondoren transladatu ahalko dira indar batzuk. Bestetik, indar bat honen akzio lerroarekiko paralelo den beste akzio lerro batera mugitu nahian, puntu berri honekiko hasieran sortzen zuen momentua ere desplazatu beharko da.
* Solido zurrun baten gaineko indar sistema baten efektua ez da aldatuko honi orekan dagoen indar sistema bat eransten edo kentzen bazaio.
* Zurruntasunaren printzipioak indar sistema baten efektuen gainean aurkitzen den gorputz deformagarriaren oreka kontserbatzen dela dio, gorputz hau solidifikatu (zurruna) gisa kontsideratuz. Ingeniaritzako azterketa eta kalkuluetan asko aplikatzen da, oreka estatikoaren baldintzak aplikatzerakoan edozein gorputz edo egitura deformagarria zurruna balitz solido zurrunaren estatikako prozedurak aplikatzea baimentzen duelako.

## Solidoen arteko loturak

Egitura baten osagaiak ingurunearekin lotuta dauden moduak egitura osoaren funtzioa baldintzatzen du. Sistema mekaniko hori ez dago espazioan aske, honen osagaiak hainbat modutan lotuta daude, azken hauen arabera egitura bat osatuz edo mekanismo bat osatuz. Mekanismo batek dinamika azterketa bat beharko du, eta egitura batek estatikako azterketa bat, honen osagaien loturek solidoaren mugimenduak mugatzen dituztelako, konkretuki egituran kargak aplikatzerakoan lotura hauen bidez solidoaren edozein mugimendu galarazten da. Orokorrean aplikatutako karga hauek ezagunak dira, eta hauen ondorioz loturetan sortzen diren erreakzio indarrak ezezagunak dira. Erreakzio indarrak sistema mekanikoa lurrean finkatuta dagoenean lurreko elementu finkoetan agertzen diren indarrak dira, sisteman aplikaturiko indarrak horraino transmititzen direlako. Lotura indarrek Newton-en hirugarren legea, akzio-erreakzio printzipioa, jarraitzen dute. Horregatik solidoak isolatu eta banan banan aztertu behar dira lotura horien indarrak kalkulatzeko, jakinda bi osagaien arteko lotura indarrak akzio lerro eta magnitude berekoak direla, baina kontrako noranzkodunak, eta ondorioz bi osagaiak berriro elkartzean haien artean lotura indarrak deuseztatzen direla.
Lotura motaren arabera honek karga ezberdinak transmititu ahalko ditu. Loturaren askatasun graduen arabera loturak aske uzten eta murrizten dituen mugimenduen arabera sailka daitezke eta agertzen diren momentu eta indarrak azter daitezke. Adibidez, gela bateko ate normal bat plano horizontalean ezin da mugitu baina ardatz bertikalarekiko bira dezake, beraz, ateari indar bertikal bat aplikatzen bazaio ateak hormara lotzen duen euskarrian erreakzio indar bat agertuko da, aplikatutako indar hori euskarriraino transmititu delako, eta oreka mantentzeko euskarriaren erreakzio indarrak indar bertikal hori baliogabetuko du. Baina ateari indar horizontal bat aplikatzen bazaio, euskarriarekiko ardatz bertikalean momentu bat sortuz, ateak bira egingo du eta ez da oreka estatikoa emango, euskarri horrek ez duelako ardatz bertikalaren momentua transmititzen, biraketa baimenduz.
Sistema mekaniko lauetan ohiko loturak honakoak dira:
* Arrabola: norabide horizontalean desplazamendua baimentzen du eta errotazioa aske uzten du. Ardatz bertikalean mugimendua murrizten duenez erreakzio indar bertikal bat agertuko da. Hiru dimentsiotan plano batean desplazamendua baimentzen du, planoarekiko elkartzut den norabidean mugimendua murrizten du, indarrak hortik transmitituz eta erreakzio indar bat agertuz. Motaren arabera biraketa bat, bi edo hirurak baimen ditzake.
* Giltzadura: Translazio bertikal eta horizontalak galarazten ditu, baina errotazioa baimentzen du. Indarrak bi norabidetan transmititzen dituenez erreakzio indar bertikal bat eta horizontal bat agertuko dira. Hiru dimentsiotan hiru erreakzio indar eta motaren arabera zero momentu, bat edo bi ager daitezke.
* Landapena: Translazio eta errotazioak galarazten ditu, karga guztiak transmitituz. Ondorioz, momentu bat eta erreakzio indar bi agertuko dira, elartzut diren norabide bakoitzeko bana. Hiru dimentsiotan hiru erreakzio indar eta hiru momentu agertuko dira.
* Irristagailua: Norabide bakar batean translazioa baimentzen du, horrekiko perpendikularra den norabidean galaraziz, eta errotazioa ere galarazten du. Ondorioz, momentu bat eta erreakzio indar bat agertuko dira.
Zubi bat, adibide bezala, honen ertzetan lurrari orokorrean giltzadurekin eta arrabolekin lotuta dago, zubiaren luzera aldatu daitekeelako tenperatura aldaketen ondorioz, norabide horizontalean (luzeran eta zabaleran) mugituz lotura horiek erresistentzia nabarmenik egin gabe.
Hurrengoko irudietan ohiko loturen adierazpen grafikoa aurkezten da:

## Ebaketa printzipioa

Estatikaren azterketan garrantzitsua izango da kontuan izatea aurreko ataletan aipatu den zerbait: indarrak gorputzean aplikatzerakoan honen barrutik transmitituko dira barne indar edo barne esfortzu moduan, azken adierazpena aproposagoa izanda indarrak eta momentuak biltzen dituelako. Hauek kalkulatzeko erabiltzen den metodoa ebaketaren printzipioa da, gorputza birtualki moztean oinarritzen dena indar horiek bistaratuz. Gorputza birtualki mozten duen sekzioak solidoaren bi zati ezberdin uzten ditu. Zati bakoitzean agertzen diren barne esfortzuak akzio-erreakzio axioma (Newtonen hirugarren legea) betetzen dute eta orekan egongo dira. Zati batean mugimendua (translazio edo/eta biraketa) galarazten duen loturaren bat egotekotan honen erreakzio indarrengatik ordezkatuko da, barne esfortzuetan eragina dutelako. Solidoaren ardatzarekiko elkartzuta den planoa izango da ebaketa sekzioa eta agerian geratzen den azalera laua zeharkako ebaketa bezala ezagutzen da. Ebaketa hau solidoan zehar edozein puntutan egin daiteke, baina arazoaren arabera estrategikoki egingo dira ebaketak nahi diren barne esfortzuak kalkulatzeko.
Solido lau baten barne esfortzuak, adibidez habe batena edo elementu uniaxial batena, hurrengoko adierazpenekin izendatzen ohi dira. Ardatz ortogonaleko sistema batean, non X ardatza habe edo elementu uniaxialaren ardatzarekin bat egiten duen eta $\scriptstyle \Sigma$ zeharkako sekzio uniformea duen, barne esfortzuak hurrengoko zeharkako sekzio baten tentsio ekuazioen ordezkariak izango dira:
* Esfortzu normal edo indar axialak (N$_x$) piezaren ardatz longitudinalaren norabidea du, zeharkako sekzioari elkartzuta.
    $N_{x}=\int _{\Sigma }\sigma _{x}\ dA$
* Esfortzu ebakitzailea (V, T edo Q. Y ardatzarekiko V$_y$ eta Z ardatzarekiko V$_z$) piezaren ardatzaren norabide elkartzutean kokatzen da, zeharkako sekzioan.
    $V_{y}=\int _{\Sigma }\tau _{xy}\ dA,\qquad V_{z}=\int _{\Sigma }\tau _{xz}\ dA$
* Momentu makurtzailea (Z ardatzarekiko M$_z$, Y ardatzarekiko M$_y$) zeharkako planoari elkartzut kokatzen da.
    $M_{y}=\int _{\Sigma }z\sigma _{x}\ dA,\qquad M_{z}=\int _{\Sigma }y\sigma _{x}\ dA$
* Momentu bihurtzailea edo tortsorea (M$_x$ edo M$_T$) zeharkako planoari paralelo kokatzen da. Hiru dimentsiotako sistemetan ager daiteke.
    $M_{x}=\int _{\Sigma }(\tau _{xz}y-\tau _{xy}z)\ dA$
Esfortzu bakoitza tentsio ezberdin bati lotzen zaio:
* Tentsio normala: trakzio edo konpresio indarrek σ tentsio normalak eragiten dituzte. Momentu makurtzaileak trakzio eta konpresioko tentsio normalak sortzen ditu, Navierren legearen arabera.
* Tentsio ebakitzailea: esfortzu ebakitzaileak eta bihurdura momentuak τ tentsio ebakitzaileak eragiten dituzte.

### Barne esfortzuen diagramak

Solido bat ebakiz gero barneko esfortzuen balioak oreka estatikoaren ekuazioekin lor daitezke, ebaketako zati batean solido askeko diagrama planteatuz. Egoera lauan hiru barne esfortzu daudenez, aplikatutako indarren eta lotura indarren menpe orekaren hiru ekuazioak kalkula daitezke:
       $\sum F_{x}=0\rightarrow N_{x}\qquad \sum F_{y}=0\rightarrow V_{y}\qquad \sum M_{c}=0\rightarrow M_{z}$
Non c zeharkako ebaketaren zentroaren eta hasieraren izendapena den. Esfortzuen balioak, orokorrean, ez dira konstante mantentzen solidoan zehar. Ebaketa beste puntu batean eginez balio ezberdinak lor daitezke. Balio aldaketa hauen ondorioz barne esfortzuen diagramak marrazten dira, piezan zehar indar axial, ebakitzaile eta momentu makurtzailearen (egoera lauan) balioak nola aldatzen diren adieraziz: jauzi edo/eta era jarraian.
Barne indarren analisi egoki bat egiteko, pieza gehienetan zehar tarte ezberdinetan ebaki beharko da, agertzen diren aplikatutako eta erreakzio indarren eta kargen arabera. Karga puntual bat edota karga banatu bat agertzen den bakoitzean diagrametako bat gutxienez aldatuko da. Diagramaren aldaketek barne esfortzuen kalkulurako erabiltzen diren oreka ekuazioetan eragina dute. Ondorioz, analisi hau tarteka egingo da, tarte hauen luzera karga puntualen artean eta karga banatuen artean dagoen distantziaren araberakoa izanik. Tarte bakoitzean lortuko diren barne esfortzuen balioak tarte horretarako bakarrik izango dira baliagarriak.
Sistemaren puntu batean aplikatuta dagoen karga puntual batek diagrametako batean ez jarraitasun bat sortzen du, hau da, jauzi bat. Pieza honen ardatzaren norabide berean agertzen den indar puntualak indar axialen diagramak jauzi bat sortuko du. Ez jarraitasun horren magnitudea aplikatutako indarraren balioa da, hain zuzen. Zeinu hitzarmena (konbenioa) sisteman bertan erabiltzen den ardatz nagusien araberakoa izango da. Normalean erabiltzen den sistema ardatz kartesiarrak dira, eta hauen arabera karga puntuala ezkerretik eskumaranzko norantza badu diagraman jauzia beheranzkoa izango da.
Ardatza zeharkatzen duen indar puntualak indar ebakitzaileen diagraman jauzi bat sortuko du, honen magnitudea aplikatutako indarraren balioarekin bat etorriz. Normalean erabilitako zeinu hitzarmenaren arabera, karga puntuala beheranzko norantza badu diagraman jauzia beheranzkoa izango da.
Puntu batean aplikatutako momentu puntual batek momentu makurtzaileen diagraman ez jarraitasun bat sortuko du puntu berdinean, eta jauziaren magnitudea aplikatutako momentuaren balio bera izango du. Erabilitako zeinu hitzarmenaz baliatuz, [Erloju|erlojuaren]] orratzen kontrako noranzkoan aplikatutako momentu batek beheranzko salto bat eragingo du.
Diagrametan, karga puntualik aplikatuta ez duen piezaren atalak ez du inolako ez jarraitasunik agertuko honen puntuetan zehar. Bestetik, piezaren ardatzean zehar karga banatu bat behintzat aplikatuta badago, diagrametan funtzio matematikoen erlazio bat agertuko da: karga banatuaren funtzioa indar ebakitzailearen deribatua da kontrako zeinuarekin, eta indar ebakitzailearen funtzioa momentu makurtzailearen deribatua da:
    ${\frac {dV_{y}}{dx}}=-q\ \left[{\frac {N}{m}}\right]\qquad {\frac {dM_{z}}{dx}}=V_{y}$

## Hidrostatika

Estatikaren azterketa solido zurrun eta deformagarrietan aplikatzeaz gain fluidoen estatika ere barneratzen du, kasu honetan jariakin ezberdinak atsedenaldi/geldialdi egoeran duten jokabidea ikertuz. Hidrostatikaren ikerketaren oinarri diren teorema nagusiak Pascalen printzipioa eta Arkimedesen printzipioa dira. Oreka egoeran aurkitzen den edozein jariakinaren ezaugarri nagusi bat da sakontasun edo altuera bereko partikulen gainean aplikatzen den indarra berdina dela. Sakontasun jakin batean aurkitzen den presioa kalkulatzeko hurrengoko ekuazioa erabiltzen da:
    $p=\rho gh+p_{\mathrm {atm} }$
non p sakonera jakin bateko presio hidrostatikoa den (Pa), ρ jariakinaren dentsitatea den (kg/m$^3$), g grabitatearen azelerazioa den (m/s$^2$), h grabitatearen norabidearekiko paralelo den altuera edo sakonera den (m) eta p$_{atm}$ Presio atmosferikoa den.
Hidrostatikaren kontzeptua, hidraulikan aplikazio garrantzitsuenetariko bat dena, 1647. urtean adierazi zen lehenengoz Blaise Pascal filosofo, matematikari eta fisikari frantziarraren eskutik. Arkimedesek, Al-Birunik, Al-Khazinik eta Galileo Galileik berezko garrantzia izan zuten ere hidrostatikaren garapenean, besteak bete.

## Erreferentziak

* 1 2 3 G.A. Ugutz, Estatika (PDF) 2000-2001
* 1 2 3 Dietmar Gross, Werner Hauger, Jörg Schröder, Wolfgang Wall: Technische Mechanik 1 – Statik. Springer, 11. Auflage, 2011, S. 9 f.
* ↑ Arnaboldi, EA. (1951). Cálculo de estructuras hiperestáticas por el método de las fuerzas. La Plata: CEI.
* ↑ Gallagher, RH; Rattinger, L; and Archer, JS. (1964). A Correlation Study of Methods of Matrix Structural Analysis. The MacMillan Co., New York.
* ↑ Bruno Assmann: Statik, 15. Edizioa, S. 14.
* ↑ Böge: Technische Mechanik, 31. Edizioa, S. 3.
* ↑ Dankert: Technische Mechanik, 7. Edizioa, S. 2.
* ↑ Wittenburg et. al. (Hrsg.): Das Ingenieurwissen - Technische Mechanik, Springer, 2014, S. 13.
* ↑ Gross, Hauger, Schröder, Wall: Technische Mechanik 1 - Statik, Springer, 11. Edizioa, 2011, S. 7 f.
* ↑ Mahnken: Lehrbuch der Technischen Mechanik - Statik, Springer, 2012, S. 15.
* ↑ Mahnken: Lehrbuch der Technischen Mechanik - Statik, Springer, 2012, S. 11.
* ↑ Rolf Mahnken: Lehrbuch der Technischen Mechanik – Statik. Springer, 2012, S. 22.
* 1 2 3 Alfred Böge, Wolfgang Böge: Technische Mechanik – Statik – Reibung – Dynamik – Festigkeitslehre – Fluidmechanik. 31. edizioa, 2015. urtea, Springer, (ISBN 978-3-658-09154-5), S. 4 f., DOI:10.1007/978-3-658-09155-2
* ↑ Jürgen Dankert, Helga Dankert: Technische Mechanik – Statik, Festigkeitslehre, Kinematik/Kinetik. Springer, 7. edizioa, 2013, S. 3.
* ↑ I. C. Jong, B. G. Rogers (1991). Engineering Mechanics: Statics
* ↑ Mechanics of Solids.. S.S. Bhavikatti. (page 19)
* ↑ Jürgen Dankert, Helga Dankert: Technische Mechanik – Statik, Festigkeitslehre, Kinematik/Kinetik. Springer, 7. edizioa, 2013, S. 4
* ↑ Rolf Mahnken: Lehrbuch der Technischen Mechanik – Statik. Springer, 2012, S. 38.
* ↑ Rolf Mahnken: Lehrbuch der Technischen Mechanik – Statik. Springer, 2012, S. 40.
* ↑ Starzhinski, V.M. Mecánica Teórica. Ed. MIR, Mosku, 1980
* ↑ (Polonieraz)Loturak (polonieraz) Azken aldiz berrikusita:2015-04-30 Artxibatuta
* ↑ (Polonieraz)Mechanika ogólna Wykład nr 3 Wyznaczanie reakcji. Belki przegubowe. (PDF) (polonieraz)
* ↑ Wilhelm Kulisch: Mechanical Engineering for Dummies. (Liburuaren aurreikuspena Google Books-en).
* ↑ Esfortzuen erlazioak (Shear Load and Bending Moment Diagrams) - Mehrdad Negahban and the University of Nebraska, 1996-2000 Emweb.unl.edu
* ↑ Beer, Ferdinand P.; E. Russell Johnston; John T. DeWolf (2004). Mechanics of Materials. McGraw-Hill. pp. 322–323. ISBN 0-07-298090-7.
* ↑ J.B. Calvert (2003) Hydrostatics (Denverreko Unibertsitatea).
* ↑ Mariam Rozhanskaya and I. S. Levinova (1996), "Statics", p. 642
* ↑ Bettini, Alessandro (2016). A Course in Classical Physics 2—Fluids and Thermodynamics. Springer. p. 8. ISBN 978-3-319-30685-8

## Ikus, gainera

* Dinamika
* Mekanika

## Kanpo estekak

* Datuak: Q169019
* Multimedia: Statics / Q169019