# Maxwellen ekuazioak

Elektromagnetismoan, Maxwellen ekuazioak James Clerk Maxwell fisikari britainiarrak aurkezturiko ekuazio sorta bat da, zeinetan, eremu elektriko, eremu magnetiko, karga elektriko eta korronte elektrikoaren arteko erlazioak zehazten diren. Gaur egungo elektromagnetismoaren oinarria dira ekuazio hauek eta elektromagnetismoaren teoria gehiena bertatik ondoriozta daiteke.
Nahiz eta Maxwell bera ez zen izan ekuazio indibidualen sortzailea, bera izan zen ekuaziook era koherente batean batu eta lotu zituen lehena. Garrantzitsuago dena, Ampère-ren legean beste osagai bat sartu zuen, Maxwellen desplazamendu korrontea deituko zitzaiona geroago. Lege honen Maxwellen bertsio hobetuak uhin elektromagnetikoen uhin ekuazioa ondorioztatzeko behar den ekuazio sorta lortzeko bidea zabaltzen du.
Nahiz eta Maxwellen ekuazioak erlatibitate berezia baino lehenagoak diren, Coulomb-en legea eta erlatibitate berezia erabiliz ondoriozta daitezke, karga elektrikoa aldatzen ez dela kontsideratuz.
Hori dela eta, honek grabitazioarekin izan dezakeen paralelotasuna azter daiteke, arrazonamendu berdina aplikatu baitaiteke Newton-en grabitazio unibertsalaren legearekin, era honetan, grabitaziorako Maxwellen ekuazio baliokide batzuk gara daitezke.

## Maxwellen ekuazioen historia

Maxwellen ekuazioak, Maxwellen 1861kako artikuluan (Indar-lerro fisikoei buruz) leku desberdinetan topa daitezkeen lau ekuaziok osaturiko sorta da. Gauza desberdinak adierazten dituztelarik: (i) nola karga elektrikoek sortzen dituzten eremu elektrikoak (Gaussen legea), (ii) monopolo magnetikoen existentziaren uko esperimentala, (iii) nola korronte elektrikoek eta eremu elektriko aldakorrek eremu magnetikoak sortzen dituzten (Ampére-Maxwell legea) eta (iv) nola eremu magnetiko aldakorrek eremu elektrikoak sortzen dituzten (Faraday-ren indukzio legea)
Maxwellek Ampèreren legeari eginiko aldaketaz gain, ekuazio hauetariko bat ere ez dira originalak. Dena dela, Maxwellek ber-deribazio bakarra egin zien hidrodinamiko eta mekanikoki Faraday-ren indar-lerroen eredua kontuan hartuz.
1884. urtean, Oliver Heaviside fisikari britainiarrak lau ekuazio hauek aukeratu eta Willard Gibbsekin batera, notazio bektorial moderno batean ipini zituen. Hori dela eta, zientzialari batzuek defendatzen dute Maxwellen ekuazioak izatez gaur egun Heavisideren ekuazioak direla.
Auzi hau are nahasgarriagoa da, 'Maxwellen ekuazioak' terminoa beste ekuazio sorta bat deskribatzeko erabiltzen baita, (A)-tik (H)-ra zenbatuta daudenak Maxwellen 1865eko Eremu elektromagnetikoari buruzko teoria dinamikoa izeneko artikuluan. Hori dela eta, beharrezkoa da jakitea zein ekuazio sortaz ari garen bakoitzean: edo zortzi ekuazio originaletaz edo Heavisidek aldaturiko lauretaz.
Bi ekuazio sorta hauek fisikoki baliokideak dira guztiz nahiz eta Gaussen legea izan bi sortetan agertzen den ekuazio bakarra. Hasierako zortzietako (D) ekuazioan agertzen den Lorentz-en indarra, Heavisiden bertsioan agertzen den Faradayren indukzio legearen soluzioa da eta Ampère-Maxwell legea hasierako zortzi ekuazioetatik biren arteko konbinazioa da.

## Heavisideren bertsio modernoaren laburpena

Letra lodiz dauden sinboloak bektoreak dira eta letra etzanez daudenak kantitate eskalarrak

### Kasu orokorra

Ekuaziook NUS unitate sisteman daude idatziak
| Name | Era diferentziala | Era integrala |
| Gaussen legea: | $\nabla \cdot \mathbf {D} =\rho$ | $\;\iint _{S}\!\!\!\!\!\!\!\!\!\bigcirc \;\;\;\mathbf {D} \cdot \mathrm {d} \mathbf {A} =q=\iiint _{V}\rho \,\mathrm {d} V$ |
| Gaussen legea magnetismorako (monopolo magnetikorik ez dagoenaren frogapena): | $\nabla \cdot \mathbf {B} =0$ | $\;\iint _{S}\!\!\!\!\!\!\!\!\!\bigcirc \;\;\;\mathbf {B} \cdot \mathrm {d} \mathbf {A} =0$ |
| Faraday-ren indukzio legea: | $\nabla \times \mathbf {E} =-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}$ | $\oint _{C}\mathbf {E} \cdot \mathrm {d} \mathbf {l} =-\iint _{S}{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}\cdot \mathrm {d} \mathbf {A}$ |
| Ampère-Maxwell legea: | $\nabla \times \mathbf {H} =\mathbf {J} +{\frac {\partial \mathbf {D} }{\partial t}}$ | $\oint _{C}\mathbf {H} \cdot \mathrm {d} \mathbf {l} =\iint _{S}\mathbf {J} \cdot \mathrm {d} \mathbf {A} +\iint _{S}{\frac {\partial \mathbf {D} }{\partial t}}\cdot \mathrm {d} \mathbf {A}$ |
Hurrengo taulan, sinbolo bakoitzaren esanahia eta beraren NUS sistemako unitateak azaltzen dira:
| Sinboloa | Esanahia | NUS unitatea |
| $\mathbf {E}$ | Eremu elektrikoa | volt metroko edo beste era batean, newton coulombeko |
| $\mu$ | Ingurunearen permeabilitate magnetikoa | henry (unitatea) metroko, edo newton anpere karratuko |
| $i_{N}$ | Lerro anperear batek inguratzen duen korronte elektriko netoa | anpere |
| $q$ | Gainazal gaussiar batek inguratzen duen karga elektriko netoa | coulomb |
| $\mathbf {H}$ | Eremu magnetikoaren intentsitatea | anpere metroko |
| $\mathbf {D}$ | Desplazamendu elektrikoa | coulomb metro karratuko |
| $\mathbf {B}$ | Eremu magnetikoa edo indukzio magnetikoa | tesla |
| $\ \rho \$ | Karga elektriko askearen dentsitatea, polarizazioko kargak sartuta ez daudelarik | coulomb metro kubikoko |
| $\mathbf {J}$ | Korronte dentsitate askea, polarizazio edo magnetizazio korronteak sartuta ez daudelarik | Anpere metro karratuko |
| $\mathrm {d} \mathbf {A}$ | A azaleradun ganaizalaren bektore diferentzial eta normala txikia den balioa duelarik. Norabidea S gainazalarekiko perpendikularra delarik. | metro karratua |
| $\mathrm {d} V\$ | S gainazalak inguraturikoV bolumeneko elementu diferentziala | metro kubiko |
| $\mathrm {d} \mathbf {l}$ | S gainazala inguratzen duen C ibilbide itxiarekiko uneoro tangentziala den bektore diferentziala | metro |
| $\nabla \cdot$ | Dibergentzia eragilea | metroko |
| $\nabla \times$ | Errotazionalaren eragilea | metroko |
Elektromagnetismo osoaren teoria osatzeko, beste ekuazio bat batu beharrean gaude, Heavisidek osaturiko lau ekuazio horietara. Partikula kargatu batek eremu elektriko eta magnetiko batengatik jasatzen duen indarra Lorentz-en indarraren ekuazioak ematen digu:
    $\mathbf {F} =q(\mathbf {E} +\mathbf {v} \times \mathbf {B} ),$
non $q\$ partikularen karga den eta $\mathbf {v} \$ partikularen abiadura.
Ekuazio gehigarri hau koordenatu kartesiarretan agertu zen Maxwellen zortzi ekuazio originaletan, (D) izanik.
Maxwellen ekuazioak eremuen ikuspuntu makroskopikotik dira normalean baliagarriak, zeinak ikuspuntu mikroskopikotik asko aldatzen diren atomo indibidualen eskalan (zeinetan efektu kuantikoak ere kontuan izan behar diren). Hurbilketa makroskopiko batzuen bidez defini daitezke material baten permitibitate eta permeabilitatea moduko magnitudeak. Eskala mikroskopikoan, Maxwellen ekuazioak efektu kuantikoak arbuiatuz, hutsean daudenak bakarrik dira baliagarri; baina karga atomiko guztiak jarri behar dira, ezinezko problema bihurtuz.

### Material linealetan

Material linealetan, $\mathbf {P}$ polarizazio dentsitatea (metro karratuko coulombetan emana) eta $\mathbf {M}$ magnetizazio dentsitatea (anpere metroko unitatetan emana) ondorengo adierazpenek ematen dizkigute:
    $\mathbf {P} =\chi _{e}\varepsilon _{0}\mathbf {E}$
    $\mathbf {M} =\chi _{m}\mathbf {H}$
eta $\mathbf {D}$ eta $\mathbf {B}$ eremuak $\mathbf {E}$ eta $\mathbf {H}$ eremuekin era honetan erlazionatuta daudelarik:
    $\mathbf {D} \ \ =\ \ \varepsilon _{0}\mathbf {E} +\mathbf {P} \ \ =\ \ (1+\chi _{e})\varepsilon _{0}\mathbf {E} \ \ =\ \ \varepsilon \mathbf {E}$
    $\mathbf {B} \ \ =\ \ \mu _{0}(\mathbf {H} +\mathbf {M} )\ \ =\ \ (1+\chi _{m})\mu _{0}\mathbf {H} \ \ =\ \ \mu \mathbf {H}$
non:
$\chi _{e}$ materialaren suszeptibilitate elektrikoa den,
$\chi _{m}$ materialaren suszeptibiliate magnetikoa den,
$\varepsilon$ materialaren permitibitate elektrikoa den eta
$\mu$ materialaren permeabilitate magnetikoa den.
(Dena dela, adierazpen hauek material ez-linealetara ere zabaldu daitezke, ε' eta μ eremuaren intentsitatearen araberakoak direla adieraziz)
Ingurune isotropiko eta ez-dispertsiboetan ε eta μ denborarekiko menpekotasunik ez duten eskalareak dira eta Maxwellen ekuazioak era honetan geratzen dira:
    $\nabla \cdot \varepsilon \mathbf {E} =\rho$
    $\nabla \cdot \mu \mathbf {H} =0$
    $\nabla \times \mathbf {E} =-\mu {\frac {\partial \mathbf {H} }{\partial t}}$
    $\nabla \times \mathbf {H} =\mathbf {J} +\varepsilon {\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}$
Ingurune uniforme (homogeneo) batean, ε eta μ posizioarenetik independente diren konstanteak dira eta espazioarekiko deribatuekiko trukakorrak dira.

### Hutsean, karga eta korronte gabe

Hutsa ingurune lineal, homogeneo, isotropiko eta dispertsio gabekoa da eta hutseko konstante proportzionalak hutsaren permitibitate elektriko (ε$_0$) eta hutsaren permeabilitate magnetikoek (μ$_0$) ematen dizkigute (efektu kuantikoak direla eta propietate ez-linear txikiak arbuiatuz).
    $\mathbf {D} =\varepsilon _{0}\mathbf {E}$
    $\mathbf {B} =\mu _{0}\mathbf {H}$
Hutsean, korronte edota karga elektrikorik ez dagoenez, hutseko Maxwellen ekuazioak era honetan geratzen zaizkigu:
    $\nabla \cdot \mathbf {E} =0$
    $\nabla \cdot \mathbf {H} =0$
    $\nabla \times \mathbf {E} =-\mu _{0}{\frac {\partial \mathbf {H} }{\partial t}}$
    $\nabla \times \mathbf {H} =\ \ \varepsilon _{0}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}$
Ekuazio hauek soluzio bat dute zeina uhin lau sinusoidal higikari batzuen ekuazioa den. Uhin hauetan eremu eremu elektriko eta magnetikoak elkarrengandik elkartzutak izango lirateke, baita uhinaren hedapen-abiadurarekiko ere. Eremu biak fasean egongo lirateke, abiadura honetan higitzen:
    $c={\frac {1}{\sqrt {\mu _{0}\varepsilon _{0}}}}$
Maxwellek aurkitu zuen c kantitate hau argiaren abiadura dela hutsean eta hori dela eta, argia erradiazio elektromagnetikoa dela. Gaur egun argiaren abiadura, permitibititate eta permeabilitatearen balio onartuak hutserako taula honetan daude laburtuak:
| Ikurra | Izena | Balio numerikoa | Neurtzeko NUS unitatea | Mota |
| $c\$ | Argiaren abiadura | $2.99792458\times 10^{8}$ | metro segundoko | definitua |
| $\ \varepsilon _{0}$ | Permitibitatea | $8.85419\times 10^{-12}$ | faraday metroko | ondorioztatua |
| $\ \mu _{0}\$ | Permeabilitatea | $4\pi \times 10^{-7}$ | henry metroko | definitua |

## Kanpo estekak

* Datuak: Q51501
* Multimedia: Maxwell's equations / Q51501
* ↑ L. D. Landau, E. M. Lifshitz, The Classical Theory of Fields
* ↑ https://web.archive.org/web/20080101005238/http://www.cse.secs.oakland.edu/haskell/SpecialRelativity.htm J H Field (2006) "Classical electromagnetism as a consequence of Coulomb's law, special relativity and Hamilton's principle and its relationship to quantum electrodynamics". Phys. Scr. 74 702-717