# Khi-karratuaren proba

Estatistikan, doikuntzaren egokitasunerako khi-karratuaren proba datu multzo baten probabilitate eredu batekiko doikuntzaren egokitasunari buruz erabakitzen duen proba estatistiko bat da, khi-karratu estatistikoan oinarritzen dena. Probak balio edo balio-tarte bakoitzeko maiztasun enpiriko eta teorikoen arteko aldea hartzen du oinarrittzat, khi-karratu estatistikoaren bitartez, erabakia hartzeko: aldea txikia bada, hipotesi nulua onartu eta eredua datuetara doitasunez egokitzen dela erabaki behar da; aldea handia bada, berriz, probabilitate ereduaren berezko aldakortasunarengantik gertatu ez eta ereduaren egokitzapenaren doitasun ezari dagozkiola erabakitzen da. Khi-karratu estatistikoak kalkulatrzen duen aldearen adierazgarritasuna khi-karratu banaketaren bitartez aztertzen da, hipotesi nulupean estatistikoa banaketa horri jarraiki banatzen baita.
Proba probabilitate eredu jarraitu zein diskretuetarako erabil daiteke. Eredu jarraituetan datuak tartetan biltzen dira maiztasunak eratzeko.

## Adibideak
### Probabilitate berdintasunerako proba bat

Jogurt berri baterako lau aukera eman zaie dastatzeko 60 bezero potentzialeko talde bati eta lauetatik zein nahiago duten galdetu zaie. A, B, C eta D aukerak nahiago izan dituztenak 20, 14, 12 eta 14 dira, hurrenik hurren. Lau aukerak berdintsuak edo probabilitate berekoak direla baiezta al daiteke %10eko adierazgarritasun-maila batez?
          Aukerak Maiztasun enpirikoak: O$_i$ Probabilitatea: p$_i$ Maiztasun teorikoak: E$_i$ (O$_i$-E$_i$)$^2$/E$_i$ A 20 0.25 0.25×60=15 1.666 B 14 0.25 0.25×60=15 0.066 C 12 0.25 0.25×60=15 0.600 D 14 0.25 0.25×60=15 0.066 Totalak 50 1 50 2.398
    $\mathrm {X} ^{2}=\sum _{i}{\frac {(O_{i}-E_{i})^{2}}{E_{i}}}=1.666+0.066+0.600+0.066=2.398$
Estatistikoaren emaitza $\chi _{4-1}^{2}=\chi _{3}^{2}\,$ da, khi-karratu banaketa bateko 90. pertzentilarekin alderatu behar da, gainetik %10eko probabilitatea (adierazgarritasun maila) utziz, askatasun-maila kopurua 4-1 (4 jogurt edo datu-klase - 1) izanik:
       $\chi _{4-1,0.1}^{2}=6.251$
$2.398<6.251\,$ betetzen denez, khi-karratu estatistikoak maiztasun enpiriko eta teorikoen artean duen aldea, probabilitate berdintasuna ezartzen duen hipotesi nulupean, ez da aski handia eta beraz probabilitate berdintasuna onartu egiten da: lau jogurt aukerak neurri berean nahiago direla erabaki behar da.

### Eredu diskretu baten egokitasuna

100 egunetan zehar egunero gertatzen den matxura kopurua jaso da (datu gordinak 0, 0, ..., 1, ... izango lirateke):
          Matxura kopurua 0 1 2 3 >3 Egun kopurua 21 19 15 20 25
Eguneko matxura kopurua Poissonen banaketari jarraiki gertatzen dela esan al daiteke, adierazgarritasun maila %10 izanik?
Poissonen banaketak ezartzen dituen probabilitateak kuantifikatzeko $\lambda \,$ parametroa zenbatetsi behar da lehenbizi. Ohiko zenbateslea batezbesteko aritmetikoa da (3 baino handiagoak diren datuen balio adierazgarri gisa 5 balioa hartu da, jatorrizko daturik ezean):
       ${\hat {\lambda }}={\overline {x}}={\frac {0\times 21+1\times 19+2\times 15+3\times 20+5\times 25}{100}}=2.34\ matxura\ eguneko$
Parametroaren zenbatespen honekin, ereduaren probabilitate zehatzak eman daitezke. Poissonen banaketaren probabilitate funtzioa erabiliz:
       $P[X=x]={\frac {e^{-2.34}\times 2.34^{x}}{x!}}$
Probabilitateak kalkulaturik, khi-karratu estatistikoa kalkulatzeari ekiten zaio:
          Matxura kopuruak Maiztasun enpirikoak: O$_i$ Probabilitatea: p$_i$ Maiztasun teorikoak: E$_i$ (O$_i$-E$_i$)$^2$/E$_i$ 0 21 0.096 0.096×100=9.6 13.537 1 19 0.225 0.225×100=22.5 0.544 2 15 0.264 0.264×100=26.4 4.922 3 20 0.205 0.205×100=20.5 0.012 >3 25 0.208 0.208×100=20.8 0.848 Totalak 25 1 25 19.863
    $\mathrm {X} ^{2}=\sum _{i}{\frac {(O_{i}-E_{i})^{2}}{E_{i}}}=13.537+0.544+4.922+0.012+0.848=19.863$
Kasu honetan, ereduaren parametro bat datuetatik zenbatetsi denez, erreferentzia gisa hartu beharreko khi-karratu banaketak 5-1-1 (5 klase - 1 zenbatespen - 1) askatasun-maila ditu, zenbatespenaren balioaren erabilerak askatasun-maila bat gutxiago uzten baitu: $\chi _{5-1-1,0.1}^{2}=6.251$
$19.863>6.251$ betetzen denez, hipotesi nuluak baieztatzen duen Poissonen eredua baztertu behar da eta beraz, datuetarako bestelako probabilitate-eredu bat zehaztu behar da.

### Eredu jarrai baten egokitasuna

Eredua jarraia denean, datuak tartetan bildu behar dira.
Ikasle talde bati matematika-test bat proposatu zaie. Izandako puntuazioak hauek dira:
          Puntuazioa 0-20 20-40 40-60 60-80 80-100 Ikasleak 2 14 34 38 12
%10eko adierazgarritasun mailaz datuetara banaketa normala doi egokitzen den erabaki behar da.
Banakuntza normalaren probabilitateak kalkulatzeko, batezbestekoa eta desbidazio estandarra zenbatetsi behar dira:
       ${\hat {\mu }}={\overline {x}}=58.8\ ;\ {\hat {s}}={\sqrt {\frac {\sum _{i}(x_{i}-{\overline {x}})^{2}}{n-1}}}=18.92$
Datuek konfirmatu beharreko eredu normal zenbatetsia hau da: $N(58.8,18.92)\,$. Eredu honetatik probabilitateak zehaztuko dira.
          Puntuazioak Maiztasun enpirikoak: O$_i$ Probabilitatea: p$_i$ Maiztasun teorikoak: E$_i$ (O$_i$-E$_i$)$^2$/E$_i$ 0-20 2 0.02 0.02×100=2 0 20-40 14 0.14 0.14×100=14 0 40-60 34 0.37 0.37×100=37 0.243 60-80 38 0.34 0.34×100=34 0.470 80-100 12 0.13 0.13×100=13 0.077 Totalak 100 1 100 0.79
    $\mathrm {X} ^{2}=\sum _{i}{\frac {(O_{i}-E_{i})^{2}}{E_{i}}}=0+0+0.243+0.470+0.077=0.79$
Balio hau 5-2-1=2 askatasun maila dituen khi-karratu banaketaren 90. pertzentilarekin alderatu behar da, zenbatespenek bi askatasun-maila kentzen dituztelako: $\chi _{2,0.1}^{2}=4.60$. Estatistikoaren balioa txikiagoa denez, hipotesi nulua onartu eta beraz, eredu normala egokitzat jotzen da.

## Kanpo estekak

* Datuak: Q1071004