# ISO 31-11

ISO 31-11 ISO 31 nazioarteko estandarraren parte bat zen, zeinean «matematikako zeinuak eta sinboloak definitzen diren, zientzia fisikoetan eta teknologian erabil daitezen». Geroago, 2009an, ISO 80000-2 nazioarteko estandarrak ordeztu zuen ISO 31-11 araua.

## Logika matematikoa

| Zeinua | Adibidea | Izena | Esanahia eta ahozko irakurbidea | Oharrak |
| ∧ | p ∧ q | konjunkzio-zeinua | p eta q | |
| ∨ | p ∨ q | disjunkzio-zeinua | p edo q (edo biak) | |
| ¬ | ¬ p | ukazio-zeinua | p-ren ukazioa ez p | |
| ⇒ | p ⇒ q | inplikazio-zeinua | baldin p, orduan q p izateak q izatea dakar | Honela ere idatz daiteke: q ⇐ p. Batzuetan → erabiltzen da. |
| ∀ | ∀x∈A p(x)(∀x∈A) p(x) | kuantifikatzaile unibertsala | edozein x A-ren barnekoa izanik, p(x) proposizioa egiazkoa da | "∈A" hori ezabatu egin daiteke, A-ren esanahia argia bada testuinguruz. |
| ∃ | ∃x∈A p(x)(∃x∈A) p(x) | kuantifikatzaile existentziala | existitzen da A-ren barnekoa den x balio bat p(x) proposizioa egiazkoa egiten duena | "∈A" hori ezabatu egin daiteke, A-ren esanahia argia bada testuinguruz. ∃! erabiltzen da, x bakarra dagoenean p(x) egiazkoa egiten duena. |

## Multzoak

| Zeinua | Adibidea | Esanahia eta ahozko irakurbidea | Oharrak |
| ∈ | x ∈ A | x elementua A multzoaren barnekoa da; x elementua A multzokoa da; x barne A | |
| ∉ | x ∉ A | x elementua ez da A multzoaren barnekoa x ez-barne A | Ukazioa adierazten duen barra bertikala izan daiteke. |
| ∋ | A ∋ x | A multzoak x elementua dauka bere barnean | x ∈ A adierazpenak bezalako esanahia |
| ∌ | A ∌ x | A multzoak ez dauka x elementua bere barnean | x ∉ A adierazpenak bezalako esanahia |
| { } | {x$_1$, x$_2$, ..., x$_n$} | bere barnean x$_1$, x$_2$, ..., x$_n$ elementuak dauzkan multzoa | Honela ere idatz daiteke: {x$_i$ ∣ i ∈ I}, non I sinboloak indizeen multzo bat adierazten duen. |
| { ∣ } | {x ∈ A ∣ p(x)} | A multzokoak izanik p(x) proposizioa egiazkoa egiten duten elementuen multzoa | Adibidea: {x ∈ ℝ ∣ x > 5} Testuinguruan argi badago, ∈A sinboloa ezabatu egin daiteke. |
| card | card(A) | zenbat elementu dauden A multzoan; A multzoaren kardinala | |
| ∖ | A ∖ B | A eta B multzoen arteko kendura; A minus B | A multzokoak bai, baina B multzokoak ez diren elementuak A ∖ B = { x ∣ x ∈ A ∧ x ∉ B } Ez da erabili behar A − B idazkera. |
| ∅ | | multzo hutsa, elementurik ez daukana | |
| ℕ | | zenbaki naturalen multzoa; zenbaki oso positiboak eta zero zenbakia daude bertan | ℕ = {0, 1, 2, 3, ...} Zero kontuan hartzen ez bada, asterisko bat gehitzen: ℕ$^*$ = {1, 2, 3, ...} ℕ$_k$ = {0, 1, 2, 3, ..., k − 1} |
| ℤ | | zenbaki osoen multzoa | ℤ = {..., −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, ...} ℤ$^*$ = ℤ ∖ {0} = {..., −3, −2, −1, 1, 2, 3, ...} |
| ℚ | | zenbaki arrazionalen multzoa | ℚ$^*$ = ℚ ∖ {0} |
| ℝ | | zenbaki errealen multzoa | ℝ$^*$ = ℝ ∖ {0} |
| ℂ | | zenbaki konplexuen multzoa | ℂ$^*$ = ℂ ∖ {0} |
| [,] | [a,b] | ℝ multzoko tarte itxia, a elementutik b elementura doana, biak barnean hartuta | [a,b] = {x ∈ ℝ ∣ a ≤ x ≤ b} |
| ],] (,] | ]a,b] (a,b] | ezkerretik irekitako tartea ℝ multzoan, a kanpoan eta b barnean | ]a,b] = {x ∈ ℝ ∣ a < x ≤ b} |
| [,[ [,) | [a,b[ [a,b) | eskuinetik irekitako tartea ℝ multzoan, a barruan eta b kanpoan | [a,b[ = {x ∈ ℝ ∣ a ≤ x < b} |
| ],[ (,) | ]a,b[ (a,b) | open interval in ℝ from a (excluded) to b(excluded) tarte irekia ℝ multzoan, a eta b kanpoan | ]a,b[ = {x ∈ ℝ ∣ a < x < b} |
| ⊆ | B ⊆ A | B multzoa A multzoaren barnean dago; B multzoa A-ren azpimultzoa da | B multzoaren elementu guztiak A-ren barnean daude; ⊂ sinboloa ere erabiltzen da |
| ⊂ | B ⊂ A | B multzo osoa dago "garbiki" A-ren "barnean"; B multzoa A-ren azpimultzoa da | B-ren elementu guztiak daude A-ren barnean, baina B ez da A-ren berdina. Baldin ⊂ sinboloa erabiltzen bada "barnean" dagoela esateko, orduan ⊊ erabili behar da, "garbiki barruan" dagoela adierazteko. |
| ⊈ | C ⊈ A | C multzoa ez dago A multzoaren barneean; C ez da A-ren azpimultzoa | ⊄ sinboloa ere erabiltzen da. |
| ⊇ | A ⊇ B | A multzoak bere barnean dauka B multzoa (azpimultzo gisa) | A multzoak B-ren elementu guztiak dauzka bere barnean; ⊃ sinboloa ere erabiltzen da. B ⊆ A eta A ⊇ B idazkerak baliokideak dira. |
| ⊃ | A ⊃ B. | A bere barnean dauka B multzoa "garbiki". | A multzoak B-ren elementu guztiak dauzka bere barnean, baina A eta B ez dira berdinak. Baldin ⊃ "barnean" adierazteko erabiltzen bada, orduan, ⊋ "garbiki barnean" adierazteko erabiltzen da. |
| ⊉ | A ⊉ C | A multzoak ez dauka bere barnean C multzoa (hau ez da haren azpimultzoa) | Halaber erabiltzen da ⊅ sinboloa: A ⊉ C eta C ⊈ A adierazpenek gauza bera esan nahi dute. |
| ∪ | A ∪ B | A eta B multzoen bildura | A edo B multzoetako baten barnean dauden elementuen multzoa, edo aldi berean A-ren eta B-ren barnean A ∪ B = { x ∣ x ∈ A ∨ x ∈ B } |
| ∪ | $\bigcup _{i=1}^{n}A_{i}$ | multzo sorta baten bildura | $\bigcup _{i=1}^{n}A_{i}=A_{1}\cup A_{2}\cup \ldots \cup A_{n}$ horrek esan nahi du gutxienez $A_{1},...,A_{n}$ sortako multzoren baten barnean dauden elementuak hartzen dituela bldurak |
| ∩ | A ∩ B | A eta B multzoen ebakidura | Aldi berean A eta B multzoen dauden elementuen multzoa. A ∩ B = { x ∣ x ∈ A ∧ x ∈ B } |
| ⋂ | $\bigcap _{i=1}^{n}A_{i}$ | multzo sorta baten ebakidura | , $\bigcap _{i=1}^{n}A_{i}=A_{1}\cap A_{2}\cap \ldots \cap A_{n}$horrek esan nahi du $A_{1},...,A_{n}$ sortako multzo guztien barnean dauden elementuak biltzen dituela ebakidurak. |
| ∁ | ∁$_A$B | A-ren barneko B azpimultzoaren multzo osagarria | A multzokoak izanik B azpimultzokoak ez diren elementuen multzoa. Batzuetan, testuinguruan argi badago, ez da idazten A sinboloa. ∁$_A$B = A ∖ B eran ere idazten da |
| (,) | (a, b) | a, b bikote ordenatua; a, b bikotea | (a, b) = (c, d) izango da, balbin eta soilik baldin a = c eta b = d badira; ⟨a, b⟩ eran ere idazten da. |
| (,…,) | (a$_1$, a$_2$, …, a$_n$) | n-kote ordenatua | ⟨a$_1$, a$_2$, …, a$_n$⟩ eran ere idazten da. |
| × | A × B | A eta B multzoen arteko biderketa kartesiarra | (a, b) bikote ordenatuen multzoa, non a ∈ A eta b ∈ B diren. A × B = { (a, b) ∣ a ∈ A ∧ b ∈ B } A × A × ⋯ × A adierazteko A$^n$ idatzi ohi da, non n horrek elkarrekin biderkatu beharreko faktoreen kopurua adierazten duen. |
| Δ | Δ$_A$ | (a, a) ∈ A × A erako bikoteen multzoa, non a delakoa A × A multzoko diagonala den. | Δ$_A$ = { (a, a) ∣ a ∈ A } id$_A$ eran ere adierazten da. |

## Denetariko zeinu eta sinboloak

HEMENDIK ITZULTZEKO DAGO (aste honetan egingo dut)
| Zeinua | Adibidea | Esanahia edo hitzezko irakurbidea | Oharrak |
| ≝ | a ≝ b | a definizioz da b-ren berdina; a definizioz berdin b | := idazkera ere erabiltzen da. |
| = | a = b | a berdin b | ≡ ere idatz daiteke berdintza jakin bat identitatea dela azpimarratzeko. |
| ≠ | a ≠ b | a ezberdin b | $a\not \equiv b$ ere idatz daiteke a eta b identikoki berdinak ez direla azpimarratzeko. |
| ≙ | a ≙ b | a dagokio b-ri | 1:10$^6$ eskalako mapa batean: 1 cm ≙ 10 km. |
| ≈ | a ≈ b | a eta b gutxi gorabehera berdinak dira; a gutxi gorabehera b | Bestalde, ≃ sinboloa "asintotikoki berdina" adierazteko erabiltzen da. |
| ∼ ∝ | a ∼ b a ∝ b | a balioa b-ren proportzionala da; a proportzional b | |
| < | a < b | a txikiago b | |
| > | a > b | a handiago b | |
| ≤ | a ≤ b | a txikiago edo berdin b | ≦ sinboloa ere erabiltzen da. |
| ≥ | a ≥ b | a handiago edo berdin b | ≧ sinboloa ere erabiltzen da. |
| ≪ | a ≪ b | a askoz txikiago b | |
| ≫ | a ≫ b | a askoz handiago b | |
| ∞ | | infinitu | |
| $$ $$ $\{\}$ $\langle \rangle$ | $(a+b)c$ $[a+b]c$ $\{a+b\}c$ $\langle {a+b}\rangle c$ | parentesiak parentesi karratuak kortxeteak kortxete angeludunak | Oinarrizko aljebran habiaratzeko erabiltzen den $$, $$, $\{\}$ eta $\langle \rangle$ sekuentzia ez dago estandarizaturik. Bestalde, zenbait arlotan $,,\{\}{\text{ eta }}\langle \rangle$sinboloek erabilera bereziak dituzte |
| $\parallel$ | AB $\parallel$ CD | AB eta CD lerroak elkarren paraleloak dira; AB paralelo CD | |
| $\perp$ | AB $\perp$CD | AB eta CD lerroak elkarren perpendikularrak dira; AB perpendikular CD | |

## Eragiketak

| Zeinua | Adibidea | Esanahia edo hitzezko irakurbidea | Oharrak |
| + | a + b | a gehi b | |
| − | a − b | a ken b | |
| ± | a ± b | a gehi edo ken b | |
| ∓ | a ∓ b | a ken edo gehi b | −(a ± b) = −a ∓ b |

## Funtzioak

| Adibidea | Esanahia edo hitzezko irakurbidea | Oharrak |
| $f:D\rightarrow C$ | f funtzioak D barrutia dauka eta C da haren irudi-multzoa | Horrela definitzen dira esplizituki funtzio baten barrutia eta irudi-multzoa |
| $f({S})$ | $\left\{f\left(x\right)\mid x\in S\right\}$ | f-ren barrutiko S azpimultzoaren irudi izan daitezkeen irteera posible guztien multzoa. |

## Funtzio esponentzial eta logaritmikoak

| Adibidea | Esanahia edo hitzezko irakurbidea | Oharrak |
| e | logaritmo naturalen oinarria | e = 2.718 28... |
| e$^x$ | x-ren e-oinarriko funtzio esponentziala; e esponentzial ixa; e ber ixa | |
| log$_a$x | x-ren logaritmoa a-oinarrian; logaritmo a-oinarrian ixa | |
| lb x | x-ren logaritmo bitarra; logaritmo bitar ixa | lb x = log$_2$x |
| ln x | x-ren logaritmo natural; logaritmo natural ixa | ln x = log$_e$x |
| lg x | x-ren logaritmo arrunta (10-oinarrian); logaritmo arrunt ixa | lg x = log$_{10}$x |

## Funtzio zirkular eta hiperbolikoak

| Adibidea | Esanahia edo hitzezko irakurbidea | Oharrak |
| π | zirkulu baten zirkunferentziaren luzeraren eta beraren diametroaren arteko zatidura edo arrazoia | π = 3.141 59... |

## Zenbaki konplexuak

| Adibidea | Esanahia edo hitzezko irakurbidea | Oharrak |
| i j | unitate irudikaria; i² = −1 | Elektroteknian j letra erabili ohi da. |
| Re z | z zenbaki konplexuaren parte erreala | z = x + iy, non x = Re z eta y = Im z diren |
| Im z | z zenbaki konplexuaren parte irudikaria | z = x + iy, non x = Re z eta y = Im z diren |
| ∣z∣ | z zenbaki konplexuaren balio absolutua; z-ren modulua | mod z idazkera ere erabiltzen da. |
| arg z | z-ren argumentua; z-ren fasea | z = re$^{iφ}$, non r = ∣z∣ eta φ = arg z diren. Re z = r cos φ Im z = r sin φ |
| z$^*$ | z-ren konjugatua (zenbaki konjugatua) | Batzuetan barra bat jartzen da gainean, z$^*$ erabili ordez |
| sgn z | z-ren zeinua | sgn z = z / ∣z∣ = exp(i arg z) for z ≠ 0, sgn 0 = 0 |

## Matrizeak

| Example | Esanahia edo hitzezko irakurbidea | Remarks |
| A | A matrizea | ... |

## Koordinatu-sistemak

| Koordinatuak | Posizio-bektorea eta beraren diferentzialak | Koordinatu-sistemaren izena | Oharrak |
| x, y, z | (x, y, z); (dx, dy, dz) | sistema kartesiarra | Halaber erabiltzen da (x$_1$, x$_2$, x$_3$) idazkera koordinatuentzat eta (e$_1$, e$_2$, e$_3$) bektore unitarioentzat. Notazio hau erra orokortzen da espazio n-dimentsinalez kasurako. Bestalde, (e$_x$, e$_y$, e$_z$) idazkerak eskuin-eskuko sistema adierazten du. Bektore unitarioak adierazteko, (i, j, k) idazkera ere erabiltzen da. |
| ρ, φ, z | (x, y, z) = (ρ cosφ, ρ sinφ, z) | sistema zilindrikoa | Kasu honetan, [e$_ρ$(φ), e$_φ$(φ), e$_z$] eskuin-eskuko sistema ortonormala da. Baldi z = 0 bada, orduan ρ eta φ koordinatu polarrak dira. |
| r, θ, φ | (x, y, z) = r [sinθ cosφ, sinθ sinφ, cosθ) | sistema esferikoa | [e$_r$(θ,φ), e$_θ$(θ,φ),e$_φ$(φ)] eskuin-eskuko sistema ortonormala da. |

## Bektoreak eta tentsoreak

| Adibidea | Esanahia edo hitzezko irakurbidea | Oharrak |
| a | a bektorea | Letrakera etzan eta lodia erabili ordez,bektoreak letraren gainean jarritako gezi batez ere adieraz daitezke: ${\vec {a}}$. Edozein bektore biderkatu egin daiteke eskalar batez; adibidez: ka. |

## Funtzio bereziak

| Adibidea | Esanahia edo hitzezko irakurbidea | Oharrak |
| J$_l$(x) | Besselen funtzio zilindrikoak (lehenengo motakoak) | ... |

## Kanpo estekak

* Datuak: Q3510991
* Jose Ramon Etxebarria: Zientzia eta teknikako euskara arautzeko gomendioak, Eusko Jaurlaritzaren Argitalpen Zerbitzu Nagusia, 2011.