# Einsteinen tentsore

Geometria diferentzialaren alorrean, Einsteinen tentsorea barietate sasiriemanndarraren kurbadura definitzeko erabiltzen den bi heineko tentsorea da. Izena Albert Einstein fisikariarengandik datorkio, eta aztarna alderantzizkatutako Ricciren tentsorea ere deitzen zaio. Erlatibitate orokorrean espazio-denboraren kurbadura adierazteko erabiltzen da; zehazki, Einsteinen eremu-ekuazioetan, espazio-denboraren kurbadura lokala espazio-denbora horretako energia eta momentuarekin erlazionatzeko.
Einsteinen tentsorearen definizio matematikoa:
$\mathbf {G_{\mu \nu }} =\mathbf {R_{\mu \nu }} -{\frac {1}{2}}\mathbf {g_{\mu \nu }} R$
* $\mathbf {G_{\mu \nu }}$: Einsteinen tentsorea
* $R^{\mu \nu }$: Ricciren tentsorea
* $R$ : Kurbadura-eskalarra edo Ricciren eskalarra
* $g^{\mu \nu }$ : Tentsore metrikoa

## Historia

Newtonen Grabitazio Unibertsalaren Legeak ia berrehun urtez egon ziren zalantzapean jarri gabe. Newtonen formulaziotik mende batera, behaketa astronomiko garrantzitsu batzuk agertu ziren, teoria eta behaketen artean azaldu ezin zirenak. Newtonen ereduan grabitatea objektu masiboen arteko indar erakarle baten emaitza izan zen. Indar horren izaera ezezagunak Newton bera ere kezkatzen bazuen ere, oinarrizko teoria oso arrakastatsua izan zen planeten dinamika deskribatzeko. Anomalia horietako bat Merkurioren orbiten higidura izan zen.
Albert Einstein espazio-denboraren kurbaduraren jatorri fisikoa aztertzen aritu zen. 1913an, Marcell Grossgam matematikariarekin elkarlanean jardun ondoren, naturaren legeak orokorrean modu kobariantean adierazten zituen grabitazio teoria eraiki zuen. Teoria honi Entwurf izena jarri zioten.
Einstein, ordea, ez zen gustora geratu egindako lanarekin; 1913ko abuztuaren 16an Lorentzi idatzitako eskutitzean aitortu zion Entwurf teoriak "ugly dark spot" bat zuela. Arazoa zen, azken teoria honen oinarrizko ekuazioak (eremu grabitatorioaren ekuazioak), ez zirela osotasunean kobarianteak. Izan ere, ekuazio hauen limite Newtondarrean Newtonen Grabitazio legea berreskuratzeko konplikazio matematikoak eduki zituztenez, eremu grabitatorioen ekuazioen adierazpenetik Ricciren tentsoreak kentzea erabaki zuten.
Hau da bere hasierako hipotesi okerra:
$R_{\mu \nu }=T_{\mu \nu }$
Hipotesi honen bidez Merkurioren perihelioaren prezesioa ondo finkatuta geratzen zen. Einsteinek uste zuen lortu zuela hainbeste urteetan ezezagunak ziren dinamika batzuk definitzea, baina bizkor konturatu zen ez zela teoria oso sendoa. Izan ere, energia-momentu lokalaren kontserbazioa ez zen betetzen unibertsoaren dentsitatea konstantea ez bazen. Beste hitz batzuetan, unibertsoa osatzen zuen objetu orok dentsitate berdina izan behar zuela, eta jakina, hori ez da erreala.
Gaur egun badakigu akats bat izan zela, adierazpen zuzena Ricciren tentsoreen bidezkoa baita. Buruhaustez beteriko hiru urteren ondoren, 1915eko azaroan Einsteinen eremu-ekuazio arrakastatsuak aurkeztu zituen Berlingo Königlich-Preußische Akademie der Wissenschaften-en (Zientzien Prusiar Akademia). Ekuazio hauek idazteko Einsteinen tentsorea deiturikoa definitu zuen.
Hala ere, teoria guztien atzean beti dago norbait lehenago aurkitu zuela esango duena. Nahiz eta Einsteinek eremu ekuazioak aurkitu, David Hilbert matematikari alemaniarrak artikulu batean argitaratu zituen Einsteinen artikulua baino lehen. Horrek Einsteinen aurkako plagio salaketak ekarri zituen, baina ez Hilberten aldetik. Ondorioz, Einsteinen ekuazioak moduan ezagutzen ditugun ekuazio horiek "Einstein-Hilberten eremu ekuazioak" moduan esan behar direla esaten da. Hala ere, Hilbertek ez zuen bere lehentasuna eskatu, eta batzuk esan zuten Einsteinek aurkeztu zituela ekuazio zuzenak, Hilbertek bere lana zuzendu aurretik. Horrek iradokitzen du Einsteinek garatu zituela lehenengo eremu-ekuazio zuzenak, nahiz eta Hilbertek, agian, geroago beregain iritsi.

### Bestelako teoriak

Hainbat saio egin dira erlatibitate orokorraren akatsak aurkitzeko. Horietatik ezagunenak Brans – Dicke teoria (eskalar-tentsore teoria bezala ere ezaguna) eta Rosen teoria bimetrikoa dira. Bi teoriek erlatibitate orokorraren eremu-ekuazioetarako aldaketak proposatu zituzten. Rosenen jatorrizko teoria ezeztatua izan da pulsar binarioen behaketa batzuen ondorioz.
Gainera, erlatibitate orokorra mekanika kuantikoarekin bateraezina da; materiaren partikula-uhin dualtasunak eta mekanika kuantikoak deskribatzen dituen teoria fisikoek, ez dute grabitatearen erakarpenik deskribatzen eskala mikroskopikoan.Fisika komunitatean espekulazio handia dago erlatibitate orokorrean eta mekanika kuantikoan behar liratekeen eraldaketei buruz, elkarren artean bat egiteko.
Erlatibitate orokorra eta mekanika kuantikoa elkartzen dituen teoria hipotetikoari grabitate kuantikoa deitu ohi zaio. Baina oraindik teoria huts bat da.

## Jatorria

Korrespondentzia printzipioetatik abiatuz, Einsteinen tentsoreak eduki behar dituen propietateak ondorioztatu daitezke.

### Korrespondentzia printzipioak

* Eremu grabitatorioa estatikoa eta ahula bada eta abiadurak ez-erlatibistak, Newtonen grabitazio unibertsalaren legea berreskuratu beharda. (Grabitazio newtondarraren orokorpena da erlatibitate orokorra.)
* Eremu grabitatoriorik ezean, abiadura guztietan, erlatibitate berezia berreskuratu behar da. (Erlatibitate bereziaren orokorpena da erlatibitate orokorra.)
Grabitazioa estatikoa eta ahula bada eta abiadurak txikiak, hurbilketa ona izango da Newtonen teorian $\Phi$ potentzial grabitatorioak betetzen duen ekuazioa:
$\nabla ^{2}\Phi =4\pi G\rho$ non $G$ grabitazio unibertsalaren konstantea eta $\rho$ masa dentsitatea diren.
Eremu grabitatorioa ahula denean, metrika Mikowskiren metrikaren antzekoa da:
$g_{\mu \nu }=\eta _{\mu \nu }+h_{\mu \nu }$ non $|h_{\mu \nu }|<<1$ eremu grabitatorioak eragindako perturbazio txikia den.
Orduan, eremu grabitatorio estatiko ahuletan:
$g_{00}=\eta _{00}+h_{\mu \nu }\approx -1-{\frac {2\Phi }{c^{2}}}$
(Grabitazio iturritik aldentzean $\Phi \longrightarrow 0$ eta $g_{00}\longrightarrow \eta _{00}=-1$; Mikowskiren metrika berreskuratzen da)
Erlatibitatean energiaren zati bat masa da. Hortaz, masaren dentsitateaz gain, energiarena ere hartu beharko da kontuan. Baina energia eta momentu lineala ez dira independenteak, elkarrekin transformatzen baitira Lorentzen transformazioetan. Beraz, masaren eta momentu linealaren dentsitateak eta korronteak kontsideratu behar dira. Horregatik, Newtonen ekuazioan, masa dentsitatea energia-momentu tentsorearekin ordezkatzea da egokiena. Grabitazioaren jatorria $\rho$ dentsitate txikia duen eta $v$ abiadura txikian doan hauts-hodei bat dela onartzen badugu, energia-momentu tentsorean $v/c$ eta $\rho v/c$ ordenako gaiak arbuila ditzakegu. Ondorioz, hurbilketa ez-erlatibistan hurrengo eran erlazionatzen dira hauts-hodeiaren energia-momentu tentsorea eta masa dentsitatea:
$T_{00}=\rho u_{0}u_{0}\approx \rho c^{2}$
Newtonen ekuazioko $\Phi$ eta $\rho$ tentsore gaiekin ordezkatuz:
$\nabla ^{2}g_{00}\approx -{\frac {8\pi G}{c^{4}}}T_{00}$
Kobariantzia orokorraren printzipioaren arabera, eremuaren ekuazioak tentsorialak dira eta Newtonen ekuazioa berreskuratu behar da grabitaziorik ez dagoenean. Ondorioz, espazio-denboraren kurbadura materiarekin erlazionatzeko
$K_{\mu \nu }={\frac {8\pi G}{c^{4}}}T_{\mu \nu }$
egiturako ekuazioren bat espero dugu (aurreko ekuazioaren orokorpena). Jakina, $K_{\mu \nu }$ tentsore kobariante egokia izan behar da. Hasteko, energia-momentuaren tentsorearen propietateak eduki behar ditu: simetrikoa eta dibergentziarik gabekoa. Gainera, gehienez bigarren ordenako metrikaren deribatu partzialak agertzea espero dugu, eta ez ordena altuagokoak.
Einsteinen tentsoreari dagokionez, derrigorrean:
$\mathbf {G_{\mu \nu }} =\alpha K_{\mu \nu }$
Eta limite Newtondarra berreskuratzeko $\alpha =1$ izan behar da.

## Formalismo matematikoa

Ikus artikulu nagusia : Ricciren tentsorea, Riemannen tentsorea
Lehenik eta behin ezinbestekoa da tentsorea definitzea. Tentsore bat aukeratzen den marko edo erreferentzia sistemarekiko independentea den konposatu matematiko bat da. Orokorrean matrize baten bidez adierazten dira, eta adibide garbiak dira eskalarrak,bektoreak edo matrizeak; orden nulua eskalarrek, orden batekoa bektoreek eta matrizeek bigarren ordena dute.
Einsteinen tentsorea bigarren ordenako tentsorea da, eta ekuazioa lortzeko eta ulertzeko Riemannen eta Ricciren tentsoreak erabili behar dira. Honela definitzen da Einsteinen tentsorea:
$\mathbf {G_{\mu \nu }} =\mathbf {R_{\mu \nu }} -{\frac {1}{2}}\mathbf {g_{\mu \nu }} R$
$R^{\mu \nu }$ Ricciren tentsorea da, $R$ kurbadura-eskalarra edo Ricciren eskalarra, eta $g^{\mu \nu }$ tentsore metrikoa. Ondorioz, Einsteinen matrizeek tentsore hauen propietateak izango dituzte.
Ricciren tentsorea Riemannen kurbadura tentsoreen kontrakzio bat da, eta honela definitzen da.
$R_{\mu \nu }=R_{\mu \lambda \nu }^{\lambda }$
Aldi berean, kurbadura-eskalarra Ricciren tentsorearen kontrakzioa da:
$R=g^{\mu \nu }R_{\mu \nu }=R_{\mu }^{\mu }$
Ricciren tentsorearen deribatu kobarianteak eta kurbadura eskalarrak erlazio berezi bat betetzen dute:
$(R_{\sigma }^{\nu }-{\frac {1}{2}}R\delta _{\sigma }^{\nu })_{;\nu }=0$
Eta horregatik dira Ricciren tentsoreak egokiak Einsteinen tentsorea adierazteko (parentesi artekoa Einsteinen tentsorea da).
Ricciren tentsoreek indizeen arteko simetria hau dute: $R_{\mu \nu }=R_{\nu \mu }$
Eta ondorioz, Einsteinen matrizeek propietate hau izango dute:
$G_{\mu \nu }=G_{\nu \mu }$
Baldintza honek tentsoreen osagaien kopurua murrizten digu; izan ere, bi indize ditugu, indize bakoitzak lau osagai izanik (bat denborarena eta beste hirurak espazioarena) eta tentsoreek 16 osagai izatea ahalbidetzen du. Simetria honek, aldiz, 10 osagaietan uzten du tentsorea.
Badago Einsteinen tentsorea adierazteko beste modu bat: energia-momentu tentsorearen bidez. Horretarako bi heineko tentsore orokorrena hartzen da, betiere metrikaren deribatu altuenak bigarrenak dituena, eta hauek bakarrik modu linealean dituena:
$K_{\mu \nu }=\alpha R_{\mu \nu }+\beta Rg_{\mu \nu }+\Lambda g_{\mu \nu }$
Kasu honetan $\Lambda$=0 hartuko dugu; bestela, ez da desagertzen azken gaia grabitaziorik gabeko espazio-denbora mikowskiarrean, eta korrespondentzia printzipioaren aurka doa. Energia-momentu tentsorearekin lotuta dagoenez bere propietateak jarraituko ditu. Horietako garrantzitsuena, deribatu kobariantearena.
$T_{;\nu }^{\mu \nu }=0$
Gure tentsoreari hau aplikatuz honetara heltzen gara:
$({\frac {1}{2}}\alpha +\beta )R_{;\nu }g^{\mu \nu }=0$
Ondorioz, gure konstanteen balioak finka genitzake: $\beta ={\frac {-\alpha }{2}}$
Eta gure ekuazioa honela geratuko litzateke:
$K_{\mu \nu }=\alpha G_{\mu \nu }=\kappa T_{\mu \nu }$ non $\kappa ={\frac {8\pi G}{c^{4}}}$ den.
$\alpha$=1 moduan hartuko dugu (limite newtondarra ), eta Einsteinen tentsorearen eta energia-momentuaren tentsorearen arteko erlazio bat lortuko dugu:
$G_{\mu \nu }=\kappa T_{\mu \nu }$
Azken adierazpen honetan dauden ekuazioak Einsteinen eremu-ekuazioak izenez ezagutzen dira.

## Traza

Erlatibitate orokorrean traza erabiltzen da, baina aljebran aztarna izenez ere ezagutzen da. Matrize karratu baten traza bere diagonal nagusiko elementuen batura da.
Einsteinen tentsorearen traza lortzeko, metrika tentsoreakin egingo dugu kontrakzioa, n dimentsiotan. Hau da:
$g^{\mu \nu }G_{\mu \nu }=g^{\mu \nu }R_{\mu \nu }-{\frac {1}{2}}g^{\mu \nu }g_{\mu \nu }$
Definizioak kontuan hartuz, Riemannen eskalarra ekuazioaren eskuma aldeko lehenengo zatia da. Ezkerreko aldean, formatu berdina du. Bestetik metrika tentsoreen arteko biderkadura dimentsioaren arabera geratuko da.
$G=R-{\frac {1}{2}}nR={\frac {2-n}{2}}R$
Formula honetatik atera dezakegun ondorio garbiena n=4 denekoa da. Izan ere, lau dimentsiotan $G=-R$ da, hau da, Einsteinen tentsorearen traza lau dimentsiotan Ricciren tentsorearen aurkakoa da. Hori dela eta, Einsteinen tentsoreari "aztarna alderantzizkatuko Ricciren tentsorea" deritzogu.

## Aplikazioak
### Einsteinen eremu-ekuazioak

Ikus artikulu nagusia : Einsteinen eremu-ekuazioak.
Einsteinen eremu-ekuazioek espazio-denboraren geometria materiaren distribuzioarekin lotzen dute. Honela adierazten dira:
$G_{\mu \nu }+\Lambda g_{\mu \nu }=\kappa T_{\mu \nu }$
Ikusten den bezala, aurrerago genuen ekuazioaren antzekoa da, konstante kosmologiko izenez ezagutzen den koefizientea aldatzen da bakarrik. Kontua da Einsteinen tentsorea definitzeko unean baztertu zela $\Lambda$, baina Einsteinek ondorioztatu zuen konstante kosmologikoa beharrezkoa eta egokia zela zabaltzen edo kontraitzen ez den unibertso batean. Bi arazo nagusi izan zituen:
* Azaldu daitezkeen egoera geldikorren soluzioak ez dira egonkorrak
* Unibertsoaren zabalkuntza dago, Edwin Hubblek ondorioztatu zuen moduan.
Hala ere, urte batzuen burura, behaketa astronomiko batzuk frogatu zuten unibertsoa azeleratzen dagoela. Azelerazio positibo hori adierazteko modu bakarra konstante kosmologiko positiboa kontuan hartu behar da.
Konstante kosmologikoa baztergarria da galaxia edo galaxia baino txikiagoko eskaletan.

## Berezitasuna

Einsteinen tentsorea metrikaren dibergentziarik gabekoa da, eta soilik metrikaren lehenengo eta bigarren ordenako deribatu partzialak ditu. 1971an David Lovelock-ek lau dimentsioko barietate diferentziagarrian baldintza hauek betetzen dituen tentsore bakarra Einsteinen tentsorea dela frogatu zuen.
Einsteinen eremu-ekuazioek hiru oinarrizko baldintza betetzen dituzte:
* Newton-Poissonen ekuazio grabitazionalaren orokorpen bat izatea, eta limite Newtondarrean berau berreskuratzea
* Edozein koordenatu sistemetan aplikagarria izatea
* Edozein metrikatarako energia-momentuaren kontserbazio kobariante lokala bermatzea
Badaude hiru baldintza hauek betetzen dituzten beste ekuazio alternatibo batzuk, esaterako, Einstein-Cartan teorian deskribatzen direnak. Azken teoria hau erlatibitate orokorretik bereizten da espazio-denboraren kurbaduran tortsio ez nuluko baldintza ezartzean.

## Erreferentziak

* ↑ Albert, Einstein,. (1913). Entwurf einer verallgemeinerten Relativitätstheorie und einer Theorie der Gravitation, teil 1 und 2. Teubner PMC 1154065224. (Noiz kontsultatua: 2021-04-28).
* ↑ Maltese, Giulio. (1991). «The Rejection of the Ricci Tensor in Einstein's First Tensorial Theory of Gravitation» Archive for History of Exact Sciences 41 (4): 363–381. ISSN 0003-9519. (Noiz kontsultatua: 2021-04-28).
* ↑ (Ingelesez) Norton, John. (1984-01-01). «How Einstein Found His Field Equations: 1912-1915» Historical Studies in the Physical Sciences 14 (2): 253–316. doi:10.2307/27757535. ISSN 0073-2672. (Noiz kontsultatua: 2021-04-28).
* ↑ Pais, Abraham. (2005). "Subtle is the Lord-- " : the science and the life of Albert Einstein. Oxford University Press ISBN 978-0-19-152402-8. PMC 646798828. (Noiz kontsultatua: 2021-05-02).
* ↑ Corry, L.. (1997-11-14). «Belated Decision in the Hilbert-Einstein Priority Dispute» Science 278 (5341): 1270–1273. doi:10.1126/science.278.5341.1270. (Noiz kontsultatua: 2021-05-02).
* 1 2 3 Aguirregabiria, Juan Mari. (2017). Grabitazioa eta Kosmologia. EHU-UPV, 98 or. ISBN 978-84-9860-710-9..
* ↑ Tiandho, Yuant. (2016-02-08). «Weber’s gravitational force as static weak field approximation» AIP Conference Proceedings 1708 (1): 070012. doi:10.1063/1.4941185. ISSN 0094-243X. (Noiz kontsultatua: 2021-04-27).
* 1 2 Ray, D'Inverno,. (2008). Introducing Einstein's relativity. Clarendon Press ISBN 978-0-19-859686-8. PMC 763909668. (Noiz kontsultatua: 2021-04-27).
* ↑ Hobson, M. P.; Efstathiou, G. P.; Lasenby, A. N.. (2006). General Relativity: An Introduction for Physicists. Cambridge University Press doi:10.1017/cbo9780511790904. ISBN 978-0-521-82951-9. (Noiz kontsultatua: 2021-04-28).
* ↑ Choquet-Bruhat, Yvonne. (2015). Introduction to general relativity, black holes, and cosmology. (First edition. argitaraldia) ISBN 978-0-19-164452-8. PMC 898028522. (Noiz kontsultatua: 2021-04-26).
* ↑ Grøn, Øyvind. (2007). Einstein's general theory of relativity : with modern applications in cosmology. Springer ISBN 978-0-387-69200-5. PMC 187016136. (Noiz kontsultatua: 2021-04-26).
* ↑ Turner, Michael S.. (2002-10-01). «Making sense of the new cosmology» International Journal of Modern Physics A 17 (supp01): 180–196. doi:10.1142/S0217751X02013113. ISSN 0217-751X. (Noiz kontsultatua: 2021-04-27).
* ↑ Lovelock, David. (1971-03-01). «The Einstein Tensor and Its Generalizations» Journal of Mathematical Physics 12 (3): 498–501. doi:10.1063/1.1665613. ISSN 0022-2488. (Noiz kontsultatua: 2021-04-27).
* ↑ Neville, Donald E.. (1980-02-15). «Gravity theories with propagating torsion» Physical Review D 21 (4): 867–873. doi:10.1103/PhysRevD.21.867. (Noiz kontsultatua: 2021-04-27).

## Ikus, gainera

* Erlatibitate orokorra
* Ricciren kurbadura tentsorea
* Riemmann kurbadura tentsorea
* Einsteinen eremu-ekuazioak
* Grabitazio-uhin
* Espazio-denbora
* Espazio-denboraren kurbadura
* Metrika
* Deribatu kobariantea
* Zulo beltz
* Schwarzschilden metrika
* Soluzio zehatzak erlatibitate orokorrean
* Energia-momentuaren tentsorea
* Christoffelen ikurrak
* FRLW
* Geodisikoak
* Zulo beltzen gertaera-horizontea
* Gorriranzko lerrakuntza
* Eremu ahula

## Kanpo estekak

* Datuak: Q550929