# Srinivasa Aiyangar Ramanujan

Srinivāsa Aiyangār Rāmānujan, tamileraz : ஸ்ரீனிவாஸ ஐயங்கார் ராமானுஜன், (Erode, 1887ko abenduaren 22a - Kumbakonam, 1920ko apirilaren 26a) indiar matematikari oso enigmatiko bat izan zen. Zenbaki-teoriaren alorrean eragin handiko lana egin zuen. Ramanujan jakinduria handiko matematikaria izan zen, baina ezagutza gehiena irakaslerik gabe lortu zuenez gero, zenbait gaitan ezjakina zen, eta beste batzuei buruz inork baino gehiago zekien. Familia apalekoa izanik, zazpi urte zituela beka bati esker eskola publikora joan ahal izan zen. Bere eskolako ikaskideei formula matematikoak eta π zenbakiaren zifrak errezitatzen zizkien.
Hamabi urterekin trigonometria ongi bazekien, eta hamabostekin frogarik gabeko 6.000 teorema zituen liburu bat maileguz utzi zioten. Hori zen matematikaren gainean zeukan oinarrizko prestakuntza. 1903 eta 1907 urteetan unibertsitateko azterketetan huts egin zuen, jolas matematikotan baino ez baitzen aritzen.
1912. urtean, lortutako emaitzak hiru matematikari ospetsuri komunikatzera bultzatu zioten. Horietako bik ez zioten erantzun, baina Cambridgeko Godfrey Harold Hardy-k bai. Hardy eskutitza botatzeko zorian egon zen, baina eskutitza jaso zuen gau hartan, bere lagun John Edensor Littlewood-ekin eseri zen eta Ramanujanen 120 formulak eta teoremak deszifratzen saiatu ziren. Ordu batzuk geroago, jenio baten lanaren aurrean zirela uste zuten. Hardyk bere balioztapen-eskala bazuen: 100, Ramanujan jenio matematikoak; 80, David Hilbert-ek; 30, Littlewoodek; eta 25, berak. Ramanujanen hainbat formulak Hardy gainditu zuten, baina idatzi zuen... nahitaezko da egia izatea, bestela, inork ez zuen izango irudimen nahikorik asmatzeko. 1914an, Hardyk gonbidatua, Ramanujan Ingalaterrara joan zen, eta elkarrekin hasi ziren lanean. 1918an, Ramanujan onartu zuten Londoneko Royal Society-n eta Trinity College-n, ohore hori lortzen zuen lehenengo Indiarra izanez. Osasunez oso ahula, bi urte geroago hil zen.
Hardyk Ramanujani buruz hauxe idatzi zuen:
| « | "Bere ezagutze mugak oso sakonak eta harrigarriak ziren. Ekuazio modularrak eta teoremak ebazteko gai zen... aurretik inoiz ikusi ez den modu batean, frakzio jarraituak ongi daki... munduko beste edozein matematikari baino hobeto; bera bakarrik aurkitu du zeta funtzioaren ekuazio funtzionala eta zenbakien teoria analitikoaren baldintza garrantzitsuenak. Baina, ez zuen inoiz ezer entzun funtzio bitan periodikoari buruz edo Cauchy-ren teoremari buruz eta aldagai konplexuko funtzioari buruz ideia lausoa besterik ez zuen..." | » |
Ramanujanen lan nagusiak haren koadernoetan daude, nomenklatura eta notazio berezian berak idatzita, frogarik gabe; eta horrek deszifratze eta eraikitze lan zaila eragin du, oraindik bukatu gabea. π zenbakiak liluratuta, algoritmo indartsu batzuk garatu zituen hura kalkulatzeko.
Ramanujan lan egin zuen, batez ere, zenbakien teoria analitikoan eta famatu egin zen hainbat formula batukariengatik; esaterako, π gisako konstanteei eta logaritmo naturalen oinarriari dagozkionak, hala nola, zenbaki lehenei eta Godfrey Harold Hardy-rekin batera lortutako parte osoko funtzioari ere.

## Biografia

Srinivasa Aiyangar Ramanujan 1887an Madrasetik gertu jaiotako matematikari indiarra izan zen, Indiak Ingalaterrarekiko independentzia lortzeko borrokan ziharduenean. Eskolaz aldatu zen behin baino gehiagotan, eta puntu batean Madrasen (Chennai, gaur egun), India hegoaldean, egon zen. Ez zitzaion gustatzen hara joatea, eta ahal zuen neurrian joatea saihesten zuen, harik eta familiak egunero polizia bat kontratatu zuen arte joaten zela ziurtatzeko. Hasiera batean ez zituen emaitzarik onenak lortu, baina hau aldatu egin zen Kangayanera aldatu zenean, non barrutiko onena zen, eta gero goi mailako bigarren hezkuntzan sartu zen, non, lehen aldiz, matematika formalarekin topo egin zuen.
11 urte zituenetik matematikarekiko interes handia agertzen hasi zen, unibertsitateko ikasleengandik ikasiz eta liburu aurreratuen gaiak menderatuz. Eskolan emaitza akademiko bikainak lortzeaz gain, oso teorema interesgarriak aurkitu eta berraurkitu zituen, horien artean, Eulerren formula; eta 16 urterekin, Carren Synopsis of Pure Mathematics izeneko liburu batek asmamena piztu zuen Ramanujanen. Liburu honek ia demostraziorik gabeko 6.000 teorema baino gehiago zituen, Ramanujanek berreraiki zituenak. Harrezkero, matematikako hainbat gai landu zituen bere kabuz, eta Government Arts Collegerako beka bat lortu zuen, hurrengo urtean matematikarekin zuen obsesio handiagatik galdu zuena; ia ezinezkoa zirudien berarentzat beste zerbaitetan aritzea. Beste saiakera batzuk egin zituen unibertsitate-ikasketak egiteko, baina gauzak ez ziren bere alde eman, eta unibertsitatea utzi eta matematikan modu independentean aritu zen, muturreko pobrezian eroriz.
1909an ezkondu zen 10 urteko Srimathi Janakirekin, unibertsitateko ikasleen tutore bihurtu zen eta etxeetan tinbre joka ibiltzen zen lan bila, Ramaswami Aiyer ezagutu zuen arte, Indiako Matematika Elkartearen (SMI) sortzaileetako bat, eta berari bidali zizkion koadernoak. Ramanujanen jakinduria aitortu zuen, eta bere ezagun batzuei gomendatu zien. Hala, bere aurkezpen-gutuna Ramachandra Raok, Indiako Matematika Elkartearen idazkariak, eman zuen. Ez zuen Ramanujanen talentuan sinesten, eta uste zuen lana ez zela berea, baina harekin hitz egin ondoren konbentzitu egin zen eta laguntza finantzarioa eman zion ikerketarekin jarraitzeko. Horren zati bat Indiako Matematika Elkarteko egunkarian argitaratu zen. Rao txundituta geratu zen, besteak beste, serie dibergenteekin egindako lanaz hitz egiten entzun zuenean. Orain arte, gai hori ez zegoen inongo liburu edo artikulu akademikotan.
1912 inguruan, Raoren laguntzarekin, lana lortu zuen Madraseko portuan, Narayana Iyer kontabilitate-buruaren agindupean. Hark ere haurtzaroa pobrezian bizi izan zuen, matematikan maisutasuna zuen eta berarekin geratu zen ikasten aritu ondoren, eta Indiako Matematika Elkarteko egunkarian artikulu pare bat argitaratu zituen Ramanujanen emaitza batzuekin. C. L. T. Griffith ingelesak, Madras-eko Ingeniaritza Eskolako irakasleak, Ramanujanen matematikarako habilezia ikusi zuenean, Micaiah John Muller Hill-i, Londresko University Collegeko matematika irakasleari, idatzi zion bere emaitzak Bernoulliren zenbakiei buruz bidaliz. Honek erantzun zuen ez zituela lanaren zati batzuk ulertzen, eta urrats asko ez zeudela behar bezala justifikatuta, hau da, gaztearen heziketa matematiko faltagatik. Serie infinituei buruzko liburu bat gomendatu zuen eta bere artikuluak argitara zitezen aholkatu zion. Portuko intelektualek asko estimatzen zuten pertsona bihurtu zenez, Ramanujanek lortu zuen Britainiar Inperioko Meteorologia Behatokietako Zuzendari Nagusiak Madraseko Unibertsitatearekin esku hartzea 2 urterako beka bat emateko, eta berriz ere matematikako ikasketa independenteak egin zituen.
1913an, Narayanaren laguntzarekin, Ramanujanek bere formula eta teoremetako 120 zituen gutun bat bidali zien Cambridgeko Unibertsitateko hiru irakasleri, eta horien artean Godfrey Harold Hardy zegoen, bera izan baitzen hura aztertzea erabaki zuen bakarra, eta John Edensor Littlewood bere laguntzailearekin egin zuen. Azkar konturatu ziren mirari bat aurkitu zutela, eta idatzi zuten beren formuletako batzuk beste matematikari batzuek argitaratuak zituztela, beste batzuk berak frogatu ahal izan zituela zailtasunez, eta beste batzuk garaituak izan zirela, baina hain harrigarriak zirenez, egiazkoak izan behar zuten, inork ezin baitzuen imajinaziorik izan haiek asmatzeko. Oso modu positiboan erantzun zuten eta teorema batzuen frogapena eskatu zuten, batez ere zenbaki lehenen banaketari buruzkoa. Erantzuna jaso zutenean, bigarren Newton bat aurkitu zutela uste zuten, edo, Littlewooden arabera, gutxienez Jacobi bat.
Hardyk eta Littlewoodek ahaleginak egin zituzten Ramanujan beraiekin Cambridgen lan egitera ekartzeko eta bere trebetasun ikaragarria mendebaldeko ezagutzarekin aberasteko, bazirudien isolatuta zegoela. Narayanaren laguntzarekin errealitate bihurtzea lortu zuten 1914an, bere familia Indian ekonomikoki mantentzeko aukera emanez eta bere ikerketan lan eginez diruagatik kezkatu gabe. Ramanujanen azkartasunaz konbentzituta ez bazeuden ere, bere koadernoa hasierako gutuneko 120 formulak baino askoz gehiago ikusi ondoren konbentzitu ziren, eta nahiz eta batzuk okerrak izan eta beste batzuk argitaratuak izan, ezin uka zitekeen lana harrigarria zela. Matematika modu sekuentzialean irakasten saiatu ziren, ez baitzuen Carren liburua argitaratu ondoren emandako garapen matematikoaren berri, baina matematika ulertzeko zuen modua guztiz intuitiboa eta tradizionalarekiko desberdina zen; horregatik, bere frogapenetako bat jarraitzea oso zaila izan zitekeen, eta ez zuten arrakasta handirik izan.
1914an, Littlewood lehen mundu gerran parte hartzera joan zen, Hardy Ramanujanekin bakarrik utziz. Egunero ikusten ziren eta lan asko argitaratu zituzten elkarrekin, horien artean 1915ean "Highly Composite Numbers" izeneko artikulua, zeinaren bidez Cambridgeko Unibertsitateko graduatu titulua eman zioten eta funtzio horren hazkundea aztertzeko modu berri bat proposatzen zuen σ(n) = n-ren zatitzaile kopurua. London Mathematical Societyko kide izendatu zuten 1917an, eta Royal Societyko eta Trinity Collegeko Fellow 1918an.
Oro har, oso osasun txarra izan zuen bere bizitzan, baztanga hartu zuen 2 urte zituela, eta hilabete batzuk igaro ondoren, mediku batek doako ebakuntza egiteko eskaintza egin zion, ez baitzuen dirurik, eta ebakuntza berak arazoak eragin zizkion aurrerago. Hesteetako infekzio bat hartu zuen Indian, eta, mundu-gerran Ingalaterran barazki-faltak eta bere begetarianismoak eragindako bitamina-urritasunaz gain, tuberkulosi sendaezina zuen. Bere azken urte gehienak ospitalean eman zituen, baina etengabe matematika egiten zuen Hardyren konpainian. 1919an Madrasera itzuli zen klima lehorrago baten bila, Ingalaterrako klimak bere tuberkulosia baino ez baitzuen okertzen. Ahalik eta tratamendu medikorik onena eman zioten, eta etxe on bat, bere gainerako egunak igarotzeko, 1920ko apirilean hil zen arte.
Ramanujanek aurkikuntza eta ekarpen garrantzitsuak egin zituen matematikaren hainbat arlotan, batez ere zenbakien teorian. Nahiz eta formula batzuk okerrak izan, beste batzuk oso baliagarriak eta garrantzitsuak izan ziren zenbait arazori aurre egiteko ikuspegi desberdinak garatzeko, eta haien aurkikuntzetako batzuek zientziaren beste arlo batzuetan dituzte aplikazioak, fisikan adibidez. Delignek 1974an berretsi zuen aieru bat egin zuen, Weilen usteak frogatzean. Beraz, azken horrek Fields domina irabazi zuen, eta Madras-eko unibertsitateko matematika sailak Ramanujan Institute for Advanced Study in Mathematics izena du orain, bere omenez. Istorio inspiratzailea, dudarik gabe.

### Teoremak eta aurkikuntzak

Hona hemen Ramanujanen aurkikuntza batzuk, eta XX mendearen hasieran Hardyrekin elkarlanean lortutako emaitzak:
* Zenbaki oso konposatuen propietatea
* Partizio-funtzioa eta haren asintotikoak
* Ramanujanen theta funtzioa
Aurrerapen eta aurkikuntza nabarmenak egin ditu arlo hauetan:
* Gamma funtzioak
* Forma modularrak
* Serie dibergenteak
* Serie hipergeometrikoak
* Zenbaki lehenen teoria

### Ramanujanen aierua eta haren garrantzia

"Ramanujanen aierua" deitzen diren adierazpen ugari dauden arren, badago bat, batez ere, ondorengo lanak eragin dituena. Ramanujanen aieru hori Tau funtzioaren koefizienteen dimentsioei buruzko baieztapen bat da, forma modularren teorian erpin tipikoa. Eta, azkenik, Weil-en aieruaren frogaren ondorioz, prozedura korapilatsu baten bidez, frogatu da.

## Formulak

Beste askoren artean, Ramanujanek formula hauek ekarri ditu:
    $1+{\frac {1}{1\cdot 3}}+{\frac {1}{1\cdot 3\cdot 5}}+{\frac {1}{1\cdot 3\cdot 5\cdot 7}}+{\frac {1}{1\cdot 3\cdot 5\cdot 7\cdot 9}}+\cdots +{1 \over 1+{1 \over 1+{2 \over 1+{3 \over 1+{4 \over 1+{5 \over 1+\cdots }}}}}}={\sqrt {\frac {e\cdot \pi }{2}}}$
Artelan matematiko mota bat da, non serie matematiko infinitu bat eta frakzio jarraitu bat elkartzen diren, bi konstante matematiko ospetsuen arteko erlazio bat emateko.
Beste bigarren formula bat 1910an aurkitu zuena da, geroago, 1985ean Jonathan-ek eta Peter Borwein-ek frogatu zutena:
    ${\frac {1}{\pi }}={\frac {2{\sqrt {2}}}{9801}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(4k)!(1103+26390k)}{(k!)^{4}396^{4k}}}$
Oso eraginkorra da, iterazio bakoitzean, 8 hamartar ematen duelako.

## Ramanujan zenbakia

Hardy-Ramanujan zenbakia zenbaki arrunt bat da, bi modu ezberdinetan bi kuboren batura gisa adieraz daitekeena. Hardyk anekdota hau azaltzen du:
| « | Gogoratzen dut behin bisitatzera joan nintzela, dagoeneko oso gaixoa zenean, Putneyen. Taxi bat hartu nuen, 1729 zenbakiduna, eta esan nion zenbaki hori interes gutxikoa zirudiela; eta nik espero nuen berak keinu destainari besterik ez zuela egingo. - "Ez" -erantzun zidan- zenbaki hori oso interesgarria da; bi kuboren batura gisa, bi modu ezberdinetan deskonposa daitekeen zenbakirik txikiena da. | » |
| G.H. Hardy ||
Izan ere, $9^{3}+10^{3}=1^{3}+12^{3}=1729$.
- Propietate hori daukaten beste zenbaki batzuk ere aurkitu zituen Bernard Frénicle de Bessy (1602-1675) matematikari frantsesak:
* $2^{3}+16^{3}=9^{3}+15^{3}=4104$
* $10^{3}+27^{3}=19^{3}+24^{3}=20683$
* $2^{3}+34^{3}=15^{3}+33^{3}=39312$
* $9^{3}+34^{3}=16^{3}+33^{3}=40033$
- Bi modu ezberdinetan bi laugarren potentzien batura gisa deskonposa daitekeen zenbakirik txikiena 635.318.657 da, eta Euler-ek (1707-1763) aurkitu zuen:
* $158^{4}+59^{4}=133^{4}+134^{4}=635318657$
N-garren Taxicab zenbakia, Ta(n) edo Taxicab(n) adierazita, n modu desberdinetan, eragigaien ordena aldaketak kontuan hartu gabe, bi kubo positibo ez nuluen batura gisa adieraz daitekeen zenbakirik txikienari deritzogu. Horrela, Ta(1) = 2 = 1³ + 1³, Ta(2) = 1729 y Ta(3) = 87539319. Taxicab-aren aldaera cabtaxi-a da (cabtaxi zenbakia zenbaki osorik txikiena da, n eratara (terminoen ordena, gutxi gorabehera) bi kubo positiboren, nuluren edo negatiboren batura bezala definitzen dena).

## Bibliografia

* López Pellicer, Manuel (2014). Ramanujan: Matemático genial desde la pobreza extrema. Real Academia de Ciencias Exactas, Físicas y Naturales. Vol. 107, No 1-2 (pp 43 - 54).
* Kanigel, Robert (1991). The Man Who Knew Infinity: a Life of the Genius Ramanujan. New York: Charles Scribner’s Sons.

## Ikus, gainera

* Hardy-Ramanujan zenbakia
* Zenbaki interesgarrien paradoxa
* Ramanujanen batura
* Ramanujanen batuketa
* Ramanujanen theta funtzioa
* Rogers-Ramanujan zatiki jarraitua
* Landau-Ramanujan konstantea
* Ramanujan-Soldner konstantea
* Ramanujan-Petersson aierua
* Ramanujan-Nagell ekuazioa

## Kanpo estekak

* (Ingelesez) O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F.. «Srinivasa Aiyangar Ramanujan» MacTutor History of Mathematics archive. St Andrews Unibertsitatea http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/Biographies/Ramanujan.html..
* (Gaztelaniaz) Vidas Contadas RNE irratian.
* Datuak: Q83163
* Multimedia: Srinivasa Ramanujan / Q83163