# Euklidesen Elementuak

Elementuak (antzinako grezieraz: Στοιχεῖα, /stoicheia/) matematika eta geometria tratatu bat da, hamahiru liburuz osatua, Kristo aurreko 300 urte inguruan, Alexandrian, Euklides greziar matematikariak idatzia.
Elementuak historian testu-liburuetako gehien jendarteratuenetariko batentzat hartua da eta bigarrena argitalpen kopuruetan Bibliaren ostean (1000 baino gehiago). Mende askotan zehar, quadrivium-a unibertsitateko ikasleen programaren barruan zegoen, eta testu hori ezagutzea eskatzen zen. Gaur egun ere, zenbait hezitzailek erabiltzen dute geometriaren oinarrizko hastapenerako.
| « | Niretzat misterioa ez da Hirutasun Santua, baizik eta Euklidesen matematikak naturako hainbat esparru argitu eta ulertzeko balio izatea. Euklidesen liburua orain dela bi mila urte dago idatzirik, baina balio izaten jarraitzen du. Egia da XIX. mendearen amaie-ran beste geometria batzuk sortu zirela, bai-na Euklidesenak betiko balio du, eta ez soilik matematikarako. Horri buruzko esplikaziorik ez daukat, enigma bat da. | » |
| —Jose Ramon Etxebarria |||
K.a. 306. urtearen inguruan Ptolomeo I.a zen Egiptoko agintaria. Horrek Museoa zeritzon eskola edo institutu moduko bat sortu zuen eta bertan aritu zen Euklides matematika irakasten.
Ptolomeok geometriarako sarrera erraz bat idazteko eskatu zion Euklidesi. Lan horren emaitza izan zen sekulako matematika lanik ospetsuena eta eraginik handiena izan duena: Elementuak.
Euklidesek, gainera, beste hainbat arlotako lanak ere idatzi zituen, optika, astronomia, musika, eta abarrei buruzkoak. Elementuak lana ez da ezaupide geometrikoen bilduma bat, ordena logikoan emandako oinarrizko matematikaren funtsezko gauzen azalpena baizik.
Hamahiru liburuk osatzen dute: lehendabiziko seiak oinarrizko geometria lauari buruzkoak dira; hurrengo hirurak, zenbakien teoriari buruzkoak; hamargarrena, neurtezinei buruzkoa eta eta azken hirurak solidoen geometriari buruzkoak.

## Edukiak

   Postula bitez:
   * Lerro zuzen bat marraztea edozein puntutatik edozein puntutara.
   * Zuzen finitu bat etengabe luzatzea lerro zuzenean.
   * Zirkulu bat egitea edozein zentro eta distantzia hartuz.
   * Angelu zuzen guztiak elkarren berdinak izatea.
   * Zuzen batek bi zuzen ebakitzean alde bereko barne-angeluak bi angelu zuzen baino txikiagoak egiten baditu, bi zuzenek, mugagabeki luzaturik, elkarrekin topo egingo dute bi angelu zuzen baino txikiagoak diren angeluen aldean.
Elementuen lehenengo liburua testu osoarentzako oinarriak ezartzen ditu. Lehenengo eta behin 23 definizio ditu geometriaren oinarrizko kontzeptuak azaltzeko, hala nola lerroak, angeluak eta poligono erregularrak. Euklidesen, ondoren, 10 ideia ezartzen ditu (ikus alboko taula), bost postulatuekin (axiomak) eta bost nozio komunekin:
* Gauza beraren berdinak diren gauzak elkarren berdinak ere badira18 .
* Gauza berdinei gauza berdinak eransten bazaizkie, guztizkoak ere berdinak dira.
* Gauza berdinei gauza berdinak kentzen bazaizkie, hondarrak ere berdinak dira.
* Elkarrekin bat datozen gauzak elkarren berdinak dira.
* Osoa zatia baino handiagoa da.
Ideia hauek ondoren sortutako teoremen oinarri logikoa ezartzen dute, hau da, sistema axiomatiko bat sortzen du. Nozio komunek magnitudeen arteko alderaketa baino ez dute ukitzen. 1-4 postulatuak nahiko argiak badira ere, 5.a paraleloen postulatua da, oso desberdina eta nabarmena geometriaren historian
I. Liburuak beste 48 proposizio ditu, oinarrizko teoremak ukitzen dituztenen eta geometria laua eta triangeluen kongruentzia ukitzen dutenen artean zatituta (1-26); lerro paraleloak (27-34); triangelu eta paralelogramoen azalera (35-45) eta Pitagorasen teorema (46–48). Azken hauetan Pitagorasen teoremaren idatzizko demostrazio goiztiarrena da, Sialarosen arabera, nabarmen delikatua.
II. Liburuak geometria aljebraikoa ukitzen duela esaten da, baina 1970ko hamarkadaren ostean eztabaida handia egon da interpretazio horren inguruan; kritikariek diote ezaugarritze hori anakronikoa dela, aljebraren jaiotza mende batzuk beranduago gertatu zelako. Bigarren liburuak teorema aljebraikoak eskaintzen ditu, hainbat forma geometrikorekin batera. Laukizuzen eta laukien azaleran zentratzen da, eta kosinuen legearen aurrekari geometriko bat ere badu.
III. Liburua zirkuluetan zentratzen da, IV.ak poligono erregularrak azaltzen ditu, batez ere pentagonoak. V. Liburua sekziorik garrantzitsuenetakoa da, eta "proportzioaren teoria orokorra" deitzen dena aurkezten du. VI. Liburuak "arrazoien teoria" azaltzen du geometriaren testuinguruan. Lehenengo proportzioaren gainean eraikita dago, batez ere: "Altuera beraren azpian dauden triangeluak eta paralelogramoak beren oinarriak bezalakoak dira elkarrekiko.".
VII. liburutik aurrera, Benno Artmann matematikariak dio "Euklides berriro hasten da. Aurreko liburuetan aipatutako ezer ere ez da berriro ere erabiltzen". Zenbakien teoria 7-10 liburuen artean jorratzen da, lehenengo paritatea, zenbaki lehen eta beste kontzeptu aritmetiko batzuen 22 definiziorekin. VII. liburuak Euklidesen algoritmoa, zatitzaile komun handiena aurkitzeko metodo bat, azaltzen du. VIII. liburuak progresio geometrikoa eztabaidatzen du, IX. liburuak Euklidesen teorema izena duen proposizioa duen bitartean, zenbaki lehen infinituak daudela dioena. X. liburua da luzeena eta konplexuena, zenbaki irrazionalak eta magnitudeak aztertzen dituena.
Azken hiru liburua (XI-XIII), geometria solidoari buruz aritzen dira. 37 definizioko zerrenda bat sortuz, XI. liburuak hurrengo bien testuingurua ezartzen ditu. Bere oinarrian I. liburuaren antza badu ere, ez du ez axiomarik ez postulaturik sortzen.

## Euskaraz

Euskarazko bertsioa sortu zuen Patxi Angulo Martin irakasleak 2005. urtean Elhuyarren eskutik. Sarrera Agustin Arrietak idatzi zuen eta testuaren orrazketa J. R. Etxebarriaren esku geratu zen. Egileak hasierako atal berezi batean testuinguru historikoa eta matematikoa aurkezten ditu eta bukaeran erabilitako terminoak sailkatu zituen, eta lau hizkuntzatan eman.
* Euskarazko bertsioa
* Euklidesen Elementuak
* Euklidesen Elementuak

## Erreferentziak

* ↑ «JOSE RAMON ETXEBARRIA, INGENIARIA, IRAKASLEA ETA IDAZLEA “Pentsatzeko gaitasuna lortu duen materiamultzo bat gara”» eu.wikisource.org (Noiz kontsultatua: 2021-03-05).
* ↑ Zapiain, Markos. (2018). Jose Ramon Etxebarria. Ingeniaria, irakaslea eta idazlea: "Pentsatzeko gaitasuna lortu duen materia-multzo bat gara". Deia. Ostadar gehigarria.
* ↑ Angulo 2005, 126 orr. .
* 1 2 3 4 5 6 Taisbak & Van der Waerden 2021, § "Sources and contents of the Elements".
* ↑ Artmann 2012, 3–4 orr. .
* ↑ Wolfe 1945, 4 orr. .
* ↑ Angulo 2005, 127 orr. .
* 1 2 3 Artmann 2012, 4 orr. .
* ↑ Heath 1908, 202 orr. .
* ↑ Angulo 2005, 75-91 orr. .
* 1 2 3 Sialaros 2021, § "The Elements".
* ↑ Artmann 2012, 5 orr. .
* ↑ Artmann 2012, 5–6 orr. .
* ↑ Artmann 2012, 6 orr. .
* ↑ Angulo 2005, 264 orr. .
* 1 2 Artmann 2012, 7 orr. .
* ↑ Artmann 2012, 3 orr. .
* 1 2 Artmann 2012, 9 orr. .
* ↑ Elhuyar. Euklides. Elementuak. (Noiz kontsultatua: 2017-03-28).
* ↑ Euklidesen «Elementuak» lanaren itzulpena, matematika arloko euskararen normalizazioarako ekarpena - Patxi Angulo Martin - EIZIE. (Noiz kontsultatua: 2017-03-28).

## Kanpo estekak

* Datuak: Q172891
* Multimedia: Elements of Euclid / Q172891