# Jaiotza-heriotza prozesu

Jaiotza-heriotza prozesuak denbora jarraituko Markov kateen kasu berezi bat dira, non egoera trantsizioak bakarrik bi motakoak izan daitezkeen: jaiotzea, egoera aldagaiari bata gehitzen diona, eta heriotza, egoera batean gutxitzen duena. Ereduaren izena aplikazio arrunt batetik dator: populazioaren uneko tamaina adierazteko ereduetan erabiliak dira, non trantsizioak literalki jaiotzak eta heriotzak diren. Jaiotza-heriotza prozesuek aplikazio asko dituzte demografian, ilara-teorian, errendimendu ingeniaritzan, epidemiologian edo biologian. Adibidez, bakterioen eboluzioa, populazioko zenbat pertsonak duten gaixotasun bat edo supermerkatu bateko ilaran zenbat erosle egongo diren aztertzeko.
Jaiotze bat ematen denean prozesua $n$ egoeratik n+1{\textstyle n+1} egoerara pasatzen da. Heriotza gertatzean berriz, prozesua $n$ egoeratik n−1{\textstyle n-1} egoerara pasatzen da. Prozesua {λ$_i$} i=0, …, ∞{\textstyle \{\lambda _{i}\}\ {i=0, \dots , \infty }} jaiotza tasa eta {μ$_i$} i=1, …, ∞{\textstyle \{\mu _{i}\}_{\ }{i=1, \dots , \infty }} heriotza tasekin zehazten da.

## Sarrera

Jaiotza-heriotza prozesu bat jaiotza prozesu purua da baldin eta μ$_i$=0{\textstyle \mu _{i}=0} i≥0{\textstyle i\geq 0} guztietarako.
Jaiotza-heriotza prozesu bat heriotza prozesu purua izango da baldin eta λ$_i$=0{\textstyle \lambda _{i}=0} i≥0{\textstyle i\geq 0} guztietarako.
Poisson prozesu bat jaiotza prozesu purua izango da $\lambda _{i}=\lambda$ denean $i\geq 0$ guztietarako.
M/M/1 eta M/M/C ereduak, biak ilara-teorian erabiliak, ilara infinitu bateko bezeroak deskribatzeko jaiotza-heriotza prozesuak dira.
$\Delta t$ denbora tarte txikian, hiru motako trantsizioak bakarrik dira posible: heriotza bat, jaiotza bat edo ez jaiotza ez heriotzarik. Jaiotza tasa (denbora unitatean) $\lambda$ bada eta heriotza tasa $\mu$, orduan trantsizio horien probabilitateak hauek dira, hurrenez hurren: $\lambda \Delta t$, $\mu \Delta t$, eta $1-(\lambda +\mu )\Delta t$.

## Erabilera Ilara-teorian

Ilara-teorian jaiotza-heriotza prozesua da ilara ereduaren oinarrizko adibidea, M/M/C/K/∞/FIFO ilara Kendallen notazioan. Honek adierazten du ilararen etorrerak Poisson prozesuaren araberakoak direla, populazio infinitu batetik, bere zerbitzu denborek banaketa esponentziala jarraitzen duten C zerbitzari eta K toki daudela ilaran. Nahiz eta populazio infinitua izango dela onartu, eredu hau ona da telekomunikazio sistema hainbatentzat. Banaketa esponentzialean kopuruen arteko independentzia dagoenean, denborak infinituraino askeak izango dira trantsizioei buruz.

### M/M/1 ilara

Zerbitzari bakarra egongo da tamaina infinituko bufferrarekin. Ausazkoa ez den ingurunean jaiotza-heriotza prozesuak ilara ereduan batezbeste epe luzekoak dira, beraz batezbesteko etorrera tasa λ{\textstyle \lambda } moduan ematen da eta batezbesteko zerbitzu denbora 1/μ{\textstyle 1/\mu } bezala. Jaiotze-heriotza prozesu bat M/M/1 ilara da baldin eta,
$\lambda _{i}=\lambda {\text{ eta }}\mu _{i}=\mu \quad i{\text{ guztietarako}}.\,$
Sistema t denboran k egoeran izateko probabilitatearen funtzio errekurtsiboa hau da:
$p_{0}^{\prime }(t)=\mu _{1}p_{1}(t)-\lambda _{0}p_{0}(t)\,$
$p_{k}^{\prime }(t)=\lambda _{k-1}p_{k-1}(t)+\mu _{k+1}p_{k+1}(t)-(\lambda _{k}+\mu _{k})p_{k}(t)\,$

### M/M/C ilara

Zerbitzari anitzeko ilarak buffer infinitua du C zerbitzariekin. M/M/1 ilararekin alderatuz, desberdintza bakarra zerbitzu denbora da orain honelakoa izanik
$\mu _{i}=i\mu \quad 0<i<C{\text{ izanik }}$
eta
$\mu _{i}=C\mu \quad i\geq C{\text{ izanik }}\,$
non
$\lambda _{i}=\lambda \quad i{\text{ guztietarako}}.\,$

### M/M/1/K ilara

Zerbitzari bakarra eta K tamainako bufferra (finitua) duen ilara da. Ilara mota hau telekomunikazioetan erabiltzen da, baita ere biologian populazioaren tamaina mugatuta dagoenean. Telekomunikazioetan berriro ere erabiltzen dira M/M/1 ilararen parametroak
$\lambda _{i}=\lambda {\text{ baldin }}0\leq i<K\,$
$\lambda _{i}=0{\text{ baldin }}i\geq K\,$
$\mu _{i}=\mu {\text{ non }}1\leq i\leq K.\,$
Biologian, batez ere bakterioen hazkundearen analisian, populazioa zero denean ez dagoenez hazteko gaitasuna,
$\lambda _{0}=0.\,$
Gainera, K-k populazioaren limitea adierazten badu, non hortik aurrera bakterioen populazioaren soberakina hil egiten den
$\mu _{K}=0.\,$
Probabilitatearen funtzio errekurtsiboa sistema k egoeran izateko t unean
$p_{0}^{\prime }(t)=\mu _{1}p_{1}(t)-\lambda _{0}p_{0}(t)$
$p_{k}^{\prime }(t)=\lambda _{k-1}p_{k-1}(t)+\mu _{k+1}p_{k+1}(t)-(\lambda _{k}+\mu _{k})p_{k}(t){\text{ baldin }}k\leq K\,$
$p_{k}^{\prime }(t)=0{\text{ baldin }}k>K\,$

## Oreka

Ilara bat orekan dagoela esaten da baldin eta $\lim _{t\to \infty }p_{k}(t)$ existitzen bada. Horretarako $p'_{k}(t)=0$ izan behar da.
M/M/1 ilara adibide moduan erabiliz, egoera egonkorraren ekuazioak hauek dira:
$\lambda _{0}p_{0}(t)=\mu _{1}p_{1}(t)\,$
$(\lambda _{k}+\mu _{k})p_{k}(t)=\lambda _{k-1}p_{k-1}(t)+\mu _{k+1}p_{k+1}(t)\,$
$\lambda _{k}=\lambda$ eta $\mu _{k}=\mu$ baldin badira $k$ guztietarako orduan ekuazioen kasu homogeneoan gaude eta honela laburtu daitezke:
$\lambda p_{k}(t)=\mu p_{k+1}(t){\text{ non }}k\geq 0.\,$

## Ikus, gainera

* Ilara-teoria
* Markov kate
* Prozesu estokastiko

## Bibliografia

* R. Jain. The Art Of Computer Systems Perfomance Analysis. 1. edizioa. 31. kapitulua: Analysis of a Single Queue; WILEY, 1991.
* G. Latouche, V. Ramaswami. Introduction to Matrix Analytic Methods in Stochastic Modelling, 1. edizioa. 1. kapitulua: Quasi-Birth-and-Death Processes; ASA SIAM, 1999.
* M. A. Nowak. Evolutionary Dynamics: Exploring the Equations of Life, Harvard University Press, 2006.
* K. S. Trivedi. Probability and Statistics with Reliability, Queuing and Computer Science Applications, 2. edizioa. 8. kapitulua: Continuous-Time Markov Chains; WILEY, 2002.
* J. Virtamo,"Birth-death processes", 38.3143 Queueing Theory.

## Kanpo estekak

* Datuak: Q1456275