# Trigonometriaren historia

Trigonometriaren eta funtzio trigonometrikoen historia 3.000 urtetik gora zabal liteke. Babiloniarrek triangelu angeluzuzenen angeluen neurketak eta aldeen luzeren hurbilketak zehaztu zituzten; buztin lehorraren gainean grabatu zituzten zenbait taulak aditzera ematen dute. Adibidez, kuneiformean idatzitako taula babiloniar batean, Plimpton 322 izenekoan (K.a. 1900 inguruan), hamabost hiruko pitagoriko eta zenbaki-zutabe bat ageri dira, funtzio trigonometrikoen taula gisa interpreta daitekeena. Dena den, zenbait eztabaida daude honen inguruan.

## Trigonometriaren historia
### Antzinako Ekialde Hurbila

Trigonometria babiloniarrekin eta egiptoarrekin hasi zen. Hala ere, historiaurreko gizarteek angeluaren neurria kontzeptua ezagutzen ez zutenez, triangeluen aldeak aztertzera mugatu ziren.
Astronomo babiloniarrek erregistro zehatzak izan zituzten izarren igoerari eta ezkutatzeari buruz, planeten mugimenduari buruz eta eguzki- eta ilargi-eklipseei buruz, eta horrek guztiak zeru-esferan neurtutako distantzia angeluarrak ezagutzea ekarri zuen.
Egiptoarrek, bestalde, trigonometriaren forma primitibo bat erabili zuten piramideak eraikitzeko K.a. 2. milurtekoan. Hauek angeluen neurria gradutan, minututan eta segundotan ezarri zuten.

### Antzinate klasikoa

Grezia klasikoaren garaian, K.a. II. mendean, Hiparko Nizeako astronomoak hari-taula bat egin zuen triangeluak ebazteko. Hiparko izan zen angelu-multzo bati dagozkion arku- eta korda-balioak taula batean jartzen lehena.
Euklides eta Arkimedesen lanetan trigonometriarik ez dagoen arren, badira geometrikoki (forma trigonometriko baten ordez) aurkeztutako teoremak, berariazko lege edo formula trigonometrikoen baliokideak direnak.
Pitagorasek, geroago funtzio trigonometriko izenez ezagutuko ziren propietate asko aurkitu zituen. Pitagorasen teorema, $a^{2}+b^{2}=c^{2}$, $sin^{2}(x)+cos^{2}(x)=1$ oinarrizko identitate trigonometrikoaren adierazpen bat da. Edozein triangelu angeluzuzenen hipotenusaren luzera 1 da, eta aldeen luzera sin(x) eta cos(x) da, x zuzena ez den beste angeluetako bat izanik. Horrenbestez, trigonometriaren oinarria Pitagorasen teorema dela esan dezakegu.

### Indiako matematikariak

Aldi berean, Indiako astronomoek sinu funtzioan oinarritutako sistema trigonometriko bat garatu zuten. Sinu funtzio hori, hipotenusa ezaguna zenean, triangelu angeluzuzen bateko angelu baten kontrako aldearen luzera zen. Aldi berean, kosinua, bersinua (1-kosinu) eta arkosinua definitu zituzten. Siddhantasek eta Aryabhatiyek sinuen eta bersinuen taula zaharrenak dituzte, 0°-tik 90º-ra bitartekoak , 3.75°-ko tarteekin eta 4 hamartarreko zehaztasunarekin.
VII. mendean Brahmaguptazek,
$1-sin^{2}(x)=cos^{2}(x)=sin^{2}({\frac {\pi }{2}}-x)$
formula eta Brahmaguptaren interpolazio formula birgaratu zuen, sinuaren balioak kalkulatzeko. Geroago, XII. mendean, Bhaskara II Indiar autoreak trigonometria esferikoa garatu zuen eta hainbat emaitza trigonometriko ikertu zituen. Emaitza hauen artean
$sin(a+b)=sin(a)cos(b)+cos(a)sin(b)$
formula zegoen.
Madhavak aurrerapen goiztiarrak egin zituen funtzio trigonometrikoen analisian eta serie infinituen hedapenetan. Berak berretura-serieen eta Taylorren serieen kontzeptua garatu zuen eta sinuaren, kosinuaren, tangentearen eta arkotangentearen berretura-serieak sortu zituen. Funtzio trigonometrikoei dagokienez, π-ren berretura-seriea eta zirkulu baten angelua, erradioa, diametroa eta zirkunferentzia ere eman zituen.

### Matematikari txinatarrak

Txinatarrak matematikaren beste eremu batzuetan nabarmendu ziren, hala nola, geometria solidoan, teorema binomialean eta formula aljebraiko konplexuetan. Izatez, Txinan, trigonometriaren hastapenak ez ziren aurreko mundu grekoan, helenistikoan, indiarrean eta islamiarrean bezain nabariak izan. Ezagutza horien ordez eta, nahiz eta txinatarrek sinua, tangentea eta sekantearen erabilera praktikoa ezagutzen zuten, Chong Cha izeneko beste metodo batzuk erabiltzen zituzten.
* Chong Cha metodoa aplika daitekeen problema baten adibidea (Itsasoko uharteen problema)
* Goiko problemaren irudikapena matematikoki eta Chong Cha metodoarekin ebazteko prestatua
Hala ere, Song Dinastiaren garaian (960–1279), trigonometriak aurrera egin zuen. Izan ere, matematikari txinatarrak interes handiagoa izaten hasi ziren trigonomtrian, honek egutegi-zientzian eta kalkulu astronomikoan zuen erabileragatik.
Shen Kuo (1031–1095) matematikari txinatarrak funtzio trigonometrikoak erabili zituen korden eta arkuen problema matematikoak ebazteko. Gainera, zirkulu baten s arkuaren hurbilketa bat sortu zuen, d diametroa, v sagitta, eta c arkua mugatzen duen kordaren luzera emanda:
$s=c+{2v^{2} \over d}$.
Zirkuluen arkuen luzeretan Shenek egindako lanak oinarria eman zuen Guo Shoujing (1231–1316) matematikari eta astronomoak garatutako trigonometria esferikoaren inguruko lanean. Guo Shoujing-ek trigonometria esferikoa erabili zuen bere kalkuluetan, egutegi-sistema eta astronomia txinatarra hobetzeko.
Shenek eta Guok trigonometrian egindako ekarpenez geroztik, Txinako trigonometrian ez zen funtsezko beste lanik argitaratu 1607ra arte. Orduan, Xu Guangqi astronomoak (1562–1633) Euklidesen Elementuak argitaratu zituen.

### Erdi Aroko mundu islamiarra

Aurreko lanak, matematikari musulmanek (gehienak, persiarren eta arabiarren ondorengoak) itzuli eta zabaldu zituzten Erdi Aroko mundu islamiarrean, horrela teorema ugari enuntziatuz. E. S. Kennedyren arabera, matematika islamiarreko garapen horren ondoren sortu zen lehenengo trigonometria erreala, aztergaia triangelu esferiko edo planoetara eta haien alde eta angeluetara mugitu baitzen orduan.
Triangelu esferikoak lantzen zituzten metodoak ere garatu zituzten matematikari islamiarrek, bereziki Menelaus Alexandriakoaren metodoa, zeinak "Menelausen teorema" azaldu baitzuen problema esferikoak tratatzeko . Hala ere, E. S. Kennedy-k adierazten du, hasiera batean, matematika aurreislamikoan, hari-taula eta Menelausen teorema erabiliz, gorputz esferiko baten magnitudeak kalkulatu ahal izan zirela, nahiz eta praktikan teorema problema esferikoetan aplikatzea oso zaila izan [38]. Egun santuak islamiar egutegian behatzeko helburuarekin, zeinetan denborak ilargiaren aldien arabera zehaztuta zeuden, astronomoek Menelausen metodoa erabili zuten, hasiera batean, ilargiaren eta izarren kokapena kalkulatzeko. Gurutzatutako bi triangelu angeluzuzen ezartzen ziren; “Menelausen teorema” aplikatuz, sei aldeetako bat ebatz zitekeen, baina soilik beste bost aldeak ezagunak baziren. Denbora eguzkiaren altitudetik kontatzeko, adibidez, “Menelausen teorema”ren aplikazio errepikatuak behar izan ziren. Erdi Aroko astronomo islamiarren erronka metodo trigonometriko sinpleagoa aurkitzea izan zen.
K. o. IX. mendearen hasieran, Muhammad ibn Mūsā al-Khwārizmī-k sinu eta kosinuaren taula zehatzak egin zituen, eta tangenteen lehen taula. Trigonometria esferikoan ere aitzindari izan zen. K.o. 830. urtean, Habash al-Hasib al-Marwazik lehen kotangenteen taula egin zuen. Muhammad ibn Jābir al-Harrānī al-Battānī-k (Albatenius-ek) (853-929 AD) sekante eta kosekantearen elkarrekiko funtzioak aurkitu zituen, eta 1°tik 90°ra bitarteko gradu bakoitzaren kosekanteen lehen taula sortu zuen.
K.o. X. menderako, Abū al-Wafā' al-Būzjānī-k formula trigonometriko hauek garatu zituen:
$sin(\alpha \pm \beta )={\sqrt {sin^{2}\alpha -(sin\alpha \sin \beta )^{2}}}\pm {\sqrt {sin^{2}\beta -(sin\alpha \sin \beta )^{2}}}=sin\alpha \cos \beta \pm \cos \alpha \sin \beta$$\sin(2x)=2sin(x)\cos(x)$
Trigonometria esferikorako Sinuaren Teorema ere aurkitu zuen:
${\frac {sin\ A}{sin\ a}}={\frac {sin\ B}{sin\ b}}={\frac {sin\ C}{sin\ c}}$
XX. mendearen amaieran eta XI.aren hasieran ere, Ibn Yunus astronomo egiptoarrak kalkulu trigonometriko asko egin zituen, eta honako identitate trigonometrikoa frogatu zuen:
$cos\ a\ cos\ b={\frac {cos(a+b)+cos(a-b)}{2}}$
Al-Andaluseko Al-Jayyanik (989–1079) "Esfera baten arku ezezagunen liburua" idatzi zuen, zeina "trigonometria esferikoaren lehen tratatua" dela esaten den. Geroago, tratatu horrek "eragin handia izan zuen Europako matematikan", eta haren "arrazoien definizioa zenbaki gisa" eta " alde guztiak ezezagunak direnean triangelu esferiko bat ebazteko metodoa", Regiomontanorengan eragina izan zuten.
Triangulazio teknika lehen aldiz garatu zuten matematikari musulmanek, zenbait esparrutan erabiliz, hala nola topografian eta geografia islamikoan, XI. mendearen hasieran Abu Rayhan Birunik deskribatu zuen bezala. Birunik berak triangulazio teknikak erabili zituen Lurraren tamaina eta hainbat lekuren arteko distantziak neurtzeko. XI. mendearen amaieran, Omar Khayyám-ek (1048–1131) ekuazio kubikoak ebatzi zituen, hurbildutako zenbakizko soluzioak erabiliz zeinak taula trigonometrikoetan interpolatuz aurkitu ziren. XIII. mendean, Nasīr al-Dīn al-Tūsī trigonometria astronomiarekiko diziplina independentetzat tratatzen lehena izan zen, eta trigonometria esferikoa gaur egun ezagutzen den bezala garatu zuen. Trigonometria esferikoan triangelu angeluzuzen baten sei kasu ezberdinak zerrendatzeaz gain, “On the Sector-Figure” lanean, triangelu lau eta esferikoetarako Sinuaren Teorema ezarri eta triangelu esferikoetarako tangentearen teorema aurkitu zuen, bi teoremen frogak emanez. Nasir al-Din al-Tusi diziplina independentetzat hartutako trigonometriaren sortzailetzat jo izan da.
XV. mendean, Jamshīd al-Kāshī-k Kosinuaren Teoremaren lehen adierazpen esplizitua eman zuen triangulaziorako modu egokian. Frantzian, teorema hau “Al-Kashiren teorema” izenez ezagutzen da oraindik.

### Europako errenazimentua eta ondorengoa

XII. mendean, Mendebaldean, trigonometria arabiarra ezagutzen hasi zen Arabiako astronomia-liburu batzuen itzulpenei esker.
* Andrea Biancoren 1436ko atlaseko irudia; bertan, nabigazio-norabideen kalkuluan balio trigonometrikoak kalkulatzeko metodoa bisualki ikus daiteke
* 1619ko liburu baten agertzen den taula trigonometrikoa
1327an, Levi ben Gershon matematikariak, Gersonides izenez ezagutua, zenbait lan idatzi zituen. Horien artean aipatzekoa da Sinuaren Teorema frogatu eta zenbait taula trigonometriko idatzi zituela. Taula trigonometrikoak oso erabiliak ziren antzina, kalkulagailu modernoak existitu baino lehen; nabigazioan, zientzian edota ingeniaritzan erabiltzen ziren batik bat. Taula trigonometriko sinplifikatu bat, "toleta de marteloio” izenekoa, Mediterraneo itsasoko marinelek erabili zuten XIV. eta XV. mendeetan nabigazio-norabideak kalkulatzeko. Azken hau, Ramón Llull de Mallorcak deskribatu zuen 1295ean, eta Andrea Bianco kapitain veneziarrak 1436ko atlasean ezarri zuen.
Trigonometriaren inguruan Europan egin ziren lehen lan garrantzitsuenetariko batzuk Johann Müller Königsberg (Regiomontano izengoitiz ezagutua) matematikari eta astronomo alemaniarrak idatzitakoak izan ziren. Aipatzekoak dira, besteak beste, 1464ko De triangulis omnimodis eta geroagoko Tabulae directionum (non tangente funtzioa sartu zuen). Bestalde, XVII. mendearen hasieran, John Napier matematikari eskoziarrak logaritmoa ezagutu zuen eta, horri esker, kalkulu trigonometrikoek bultzada handia izan zuten.
XVII. mendearen erdialdean, Isaac Newton eta Gottfried Wilhelm Leibniz zientzialariek kalkulu diferentziala eta integrala garatu zuten. Newtonen lanaren oinarrietako bat serieen bidez (zehazki, x aldagaiaren berreturez osatutako serie infinituen bidez) funtzio matematiko asko adieraztea izan zen. Horien artean, sin(x) , cos(x) eta tg(x) funtzioak adierazteko serieak aurkitu zituen. Kalkulu diferentziala eta integralaren asmakuntzarekin, funtzio trigonometrikoak Analisiaren alorrean erabiltzen hasi ziren, zeinek, gaur egun ere, garrantzi handia duten bai matematika puruetan bai aplikatuetan.
XVIII. mendean, Roger Cotesek sinuaren deribatua definitu zuen Harmonia Mensurarum (1722) liburuan. Bestalde, Leonhard Euler matematikari suitzarrak Introductio in analysin infinitorum (1748) liburuan, trigonometriaren propietateak zenbaki konplexuen aritmetikaren emaitza zirela frogatu zuen. Gainera, funtzio trigonometrikoak definitu zituen, zenbaki konplexuen esponentzialak zituzten adierazpideak erabiliz. Horrekin batera, $e^{ix}=cosx+isinx$ “Eulerren formula” ezaguna aurkeztu zuen. Halaber, bere lanean sin., cos., tg., cot., sec. eta cosec. laburdura modernoak erabili zituen.
XVIII. mendean ere, Brook Taylorrek Taylorren serie orokorra definitu zuen, eta horri esker funtzio trigonometrikoen serie bidezko garapenak eta hurbilketak eman zituen. Halaber, XVII. mendeko James Gregoryren eta XVIII. mendeko Colin Maclaurinen lanek garrantzi handia izan zuten serie trigonometrikoen garapenean.

## Etimologia

"Trigonometria" terminoa grekozko τρίωνον "triangelu" eta μέτρον “neurri” hitzetatik dator.
"Sinu" hitza latinez, sins terminotik dator, gaizki egindako itzulpen batetik. Aryabhatak ardha-jiva ("soka-erdi") terminoa erabili zuen, jiva-ra laburtua eta, gero, arabiarrek jiba (جب) gisa transkribatua. XII. mendean, Toledon, Roberto de Chester eta Gerardo de Cremona bezalako itzultzaile europarrek jiba jaib-ekin (جب) nahastu zuten, segur aski jiba (جب) eta jaib (جب) idazkera arabiarrean berdin idazten direlako. Izan ere, idazkera sistema horrek “azentu” modukoak (diakritikoak) erabiltzen ditu bokalen ordez eta, hainbat kasutan, “azentu” horiek ez dira idazten idazkera errazteko; horrela, irakurleak letra berdineko baina fonetika ezberdineko hitzak nahas ditzake.
“Tangente” hitza latinezko tangens hitzetik dator (euskaraz “ukitu”), lerroak erradio-unitatearen zirkulua ukitzen baitu; eta sekantea, berriz, secans hitz latindarretik dator (euskaraz “ebaki”), lerroak zirkulua ebakitzen duelako.
"Minutu" eta "segundo" hitzak latinezko ondorengo esaldietatik datoz: partes minutae primae eta partes minutae secundae. Hitz horiek "lehen zati txiki" eta "bigarren zati txiki" gisa itzul daitezke.

## Erreferentziak

* ↑ Joseph, George Gheverghese. (2000). The crest of the peacock : the non-european roots of mathematics. (New ed. argitaraldia) Princeton University Press ISBN 0-691-00659-8. PMC 45031736. (Noiz kontsultatua: 2022-11-24).
* 1 2 3 Boyer, Carl B.. (1991). A history of mathematics. (2nd ed. [rev.]. argitaraldia) Wiley, 158 or. ISBN 0-471-54397-7. PMC 23823042. (Noiz kontsultatua: 2022-11-24).
* 1 2 Maor, Eli. (1998). Trigonometric delights. Princeton University Press ISBN 0-691-05754-0. PMC 37141102. (Noiz kontsultatua: 2022-11-24).
* 1 2 «MacTutor History of Mathematics Archive» Reference Reviews 30 (1): 27–28. 2016-01-18 doi:10.1108/rr-08-2015-0205. ISSN 0950-4125. (Noiz kontsultatua: 2022-11-24).
* ↑ Boyer, Carl B.. (1991). A history of mathematics. (2nd ed. [rev.]. argitaraldia) Wiley, 162 or. ISBN 0-471-54397-7. PMC 23823042. (Noiz kontsultatua: 2022-11-24).
* ↑ Boyer, Carl B.. (1991). A history of mathematics. (2nd ed. [rev.]. argitaraldia) Wiley, 209 or. ISBN 0-471-54397-7. PMC 23823042. (Noiz kontsultatua: 2022-11-24).
* ↑ Boyer, Carl B.. (1991). A history of mathematics. (2nd ed. [rev.]. argitaraldia) Wiley, 215 or. ISBN 0-471-54397-7. PMC 23823042. (Noiz kontsultatua: 2022-11-24).
* ↑ "Madhava of Sangamagramma". "Madhava of Sangamagramma".
* ↑ «"Madhava of Sangamagramma"» Reference Reviews 30 (1): 27–28. 2016-01-18 doi:10.1108/rr-08-2015-0205. ISSN 0950-4125. (Noiz kontsultatua: 2022-11-24).
* 1 2 3 4 5 6 Needham, Joseph. (1986). Science and Civilization in China: Volume 3, Mathematics and the Sciences of the Heavens and the Earth.. Taipei: Caves Books, Ltd., 108-110 or..
* ↑ The mathematics of Egypt, Mesopotamia, China, India, and Islam : a sourcebook. 2007, 308 or. ISBN 0-691-11485-4. PMC 71369310. (Noiz kontsultatua: 2022-11-24).
* ↑ Restivo, Sal. (1992). Mathematics in Society and History : Sociological Inquiries. , 32 or. ISBN 978-94-011-2944-2. PMC 913703611. (Noiz kontsultatua: 2022-11-24).
* ↑ Gauchet, L.. (1917). Note Sur La Trigonométrie Sphérique de Kouo Cheou-King.. .
* ↑ History of Islamic philosophy. Routledge 1996 ISBN 0-415-05667-5. PMC 32050152. (Noiz kontsultatua: 2022-11-28).
* ↑ Haq, Syed Nomanul. (2020-08-17). «The Indian and Persian background» History of Islamic Philosophy (Routledge): 52–70. ISBN 978-1-003-07073-3. (Noiz kontsultatua: 2022-11-28).
* ↑ Greek Trigonometry and Mensuration. , 163 or..
* ↑ Robertson, Edmund F., O'Connor, John J. "Menelaus of Alexandria". .
* ↑ Gingerich, Owen. (1986-04). «Islamic Astronomy» Scientific American 254 (4): 74–83. doi:10.1038/scientificamerican0486-74. ISSN 0036-8733. (Noiz kontsultatua: 2022-11-28).
* 1 2 Sesiano, Jacques. (2000). «Islamic Mathematics» Mathematics Across Cultures (Springer Netherlands): 137–165. ISBN 978-1-4020-0260-1. (Noiz kontsultatua: 2022-11-28).
* 1 2 3 (Ingelesez) «Trigonometry | Definition, Formulas, Ratios, & Identities | Britannica» www.britannica.com (Noiz kontsultatua: 2022-11-28).
* ↑ Ali., Moussa,. (2011). Mathematical methods in Abū al-Wafā's Almagest and the Qibla determinations. PMC 907790584. (Noiz kontsultatua: 2022-11-28).
* ↑ Ambrose, Alan F.; Brice, William C.. (1982-07). «An Historical Atlas of Islam» The Geographical Journal 148 (2): 283. doi:10.2307/633830. ISSN 0016-7398. (Noiz kontsultatua: 2022-11-28).
* 1 2 3 O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F.. "Abu Abd Allah Muhammad ibn Muadh Al-Jayyani". .
* ↑ Rashed, Roshdi. (2019-08-08). Encyclopedia of the History of Arabic Science. Routledge ISBN 978-1-134-97724-6. (Noiz kontsultatua: 2022-11-29).
* ↑ Berggren, J. Lennart. (2007). Mathematics in Medieval Islam. , 518 or. ISBN 978-0-691-11485-9..
* ↑ (Ingelesez) «MacTutor History of Mathematics Archive» Maths History (Noiz kontsultatua: 2022-11-29).
* ↑ Berggren, J. L.. (2013). Islamic Mathematics. , 62–83 or. ISBN 978-0-511-97400-7..
* ↑ (Ingelesez) Foundation, Encyclopaedia Iranica. «Welcome to Encyclopaedia Iranica» iranicaonline.org (Noiz kontsultatua: 2022-11-29).
* ↑ Simonson, Charles G.. (2000). The Mathematics of Levi ben Gershon, the Ralbag (PDF). Bekhol Derakhekha Daehu. Bar-Ilan University Press., 10: 5–21 or..
* ↑ Boyer, Carl B.. (1991). A history of mathematics. (2nd ed. [rev.]. argitaraldia) Wiley, 274 or. ISBN 0-471-54397-7. PMC 23823042. (Noiz kontsultatua: 2022-11-30).
* ↑ Katz, Victor J.. (November 1987). The calculus of the trigonometric functions. Historia Mathematica, 14 (4): 311–324 or..
* ↑ (Ingelesez) «trigonometry | Etymology, origin and meaning of trigonometry by etymonline» www.etymonline.com (Noiz kontsultatua: 2022-11-30).

## Kanpo estekak

* Datuak: Q2344515