# ProgramacionIngenieriaMecanicaUPB:Grupo 1520 02

El problema a resolver trata sobre la variación de la temperatura a lo largo del año tomando datos promedios de las temperaturas durante las estaciones en una de las plantas de “Cité du Refuge” (La ciudad del refugio), actualmente conocida como “Foundation de I’Armee du Salut” diseñada por Le Corbusier en Paris y construido por el ejército de Salvación dedicado a alojar a 600 personas de escasos recursos.
Se espera obtener una simulación de la variación de la temperatura de una de las plantas del edificio. Teniendo en cuenta la temperatura exterior y una fuente de calor al interior de éste. Actualmente la ciudad del refugio es uno de los monumentos históricos de la capital francesa, siendo ésta construcción llamativa por los adelantos tecnológicos del arquitecto Le Corbusier tempranos para la época

## Introducción

La ciudad del refugio es una edificación diseñada por el arquitecto suizo Charles Édouard Jeanneret-Gris conocido como Le Corbusier realizada por el ejército de salvación, conocido como “Armèe du Salut”, con el apoyo de la princesa suiza Edmond de Polignac entre 1929 y 1930 en Paris con la finalidad alojar 600 personas de escasos recursos. La idea de Le Corbusier era realizar un edificio innovador con arquitectura ecosostenible combinando dos tecnologías avanzadas las cuales llamo “mur neutralisant” y “respiration exacte”. Su intención era obtener un ambiente confortable a lo largo del año en todos los climas, creando atmosferas artificiales al interior, saludables y libres de contaminación para los dormitorios.
Para ello implemento el vidrio, un elemento sofisticado en la época, usado para satisfacer las necesidades del hombre, específicamente las relacionadas con los cambios del clima debido a las estaciones; pretendía diseñar un edificio que no dependiera de las condiciones climáticas del entorno. Para lograrlo formulo tres aspectos importantes:
* Panel de vidrio:
    Servía como un sistema de protección solar. Consistía en unos vidrios ubicados horizontalmente que se podían deslizar gracias a unos rieles en el piso dejando una cámara de aire entre estos y las ventanas del edificio.
* Respiration exacte:
    Se traduce como la respiración exacta, ésta idea no es propia de Le Corbusier, su sistema se basó en la idea de Gustave Lyon, que consiste en un sistema mecánico de ventilación. En realidad Le Corbusier nunca definió técnicamente la respiración exacta, realizo una analogía con el sistema circulatorio, en el cual las arterias son una serie de conductos que difunden el aire limpio, y las venas transportan el aire contaminado del interior para regenerarlo usando dos máquinas, una que expulsa el aire limpio por los conductos y otra que absorbe el contaminado. Este sistema hace que la edificación sea hermética, sin necesidad de incorporar ventanas con sistemas abiertos.
* Mur neutralisant:
    Se traduce como el muro neutralizante, éste actúa como un aislante térmico, dispositivo que neutraliza los flujos de corriente tanto en invierno como verano, actúa como una barrera evitando que el aire caliente se escape en invierno y que el frio se escape en el verano; constituido por dos paneles de vidrio que forman una cámara de aire en su interior, utilizando la inserción de tubos en las cámaras de aire, lo cual le permitiría al sistema de respiración exacta mantener una temperatura interna constante de 18°C. La temperatura del aire que circula dentro de la cámara depende de las condiciones de temperatura externas.
Es de aclarar que en la realización del proyecto no se llevaron a cabo en su totalidad la respiración exacta y el muro neutralizante, debido a los altos costos, además es muy difícil evitar que el calor no se escapara en invierno y controlar la radiación del calor en verano.
Se analizará los fenómenos de convección y conducción térmica presentes en una parte de la estructura (específicamente los dormitorios de las mujeres, primer piso), para ello se utilizara MATLAB en la simulación y el análisis de las ecuaciones de dichos fenómenos, teniendo en cuenta la variación del tiempo, condiciones de frontera y considerando flujo de temperatura al interior por medio de fuentes de calor (chimenea y aire acondicionado), todo esto implementando los métodos de solución implícito y explícito de análisis por diferencias finitas.

## Estado del arte

Es importante anotar y tener en cuenta las investigaciones previas que se han realizado relacionadas con el tema de interés, ya que se precisa utilizar de la manera más adecuada los recursos bibliográficos obtenidos a partir de la presente investigación en el orden de tener un adecuado sustento científico.
La primera investigación fue realizada por el arquitecto Le Corbusier, quien fue el precursor de la idea de implementar un sistema de acondicionamiento de espacios cerrados sometidos a diferentes condiciones climáticas, como se aclaró anteriormente; posteriormente en el 2014 el tema fue retomado por los arquitectos C.Ramirez-Balas, J.J.Sendra y R.Suárez de la Universidad de Sevilla, la escuela técnica superior de arquitectura y el instituto universitario de arquitectura y ciencias de la construcción en una exhaustiva investigación publicada en la revista ElSevier, donde se aprecia el estudio y comportamiento de los fenómenos de conducción de calor, convección y radiación por medio de simulación numérica y usando análisis por diferencias finitas, que permiten analizar el comportamiento general de la distribución de la temperatura; Debido a que la construcción no cumple con el diseño original y todas las ideas de Le Corbusier, este estudio se centró en el análisis hipotético del resultado que se habría obtenido de haber cumplido con todos los parámetros establecidos inicialmente.
Se han realizado una gran cantidad de investigaciones sobre la distribución de la temperatura en espacios cerrados, debido a que es un tema a considerar en el campo de la arquitectura, en miras de lograr siempre el máximo confort para los clientes, durante el presente estudio se encontró en la referencias [6] y [16], Técnicas de control de confort en edificios, realizado por M. Castilla y J. Álvarez y Building envelope design with the objective to ensure thermal, visual realizado por G. C. Oral y A.K.Yener, respectivamente, un fundamento en el análisis térmico que puede ser planteado en espacios habitables y las implicaciones que puede generar en el diseño final de una estructura.
A la hora de analizar las ecuaciones de calor, convección y conducción, el proyecto fue fundamentado en los textos de Fundamentos de transferencia de calor por el autor Incropera.
Debido el corto alcance del estudio de métodos numéricos en un programa de pregrado, se procede en el presente a simplificar el problema a un análisis de conducción dentro de la planta y los efectos de la convección en los alrededores usando diferencias finitas por medio de una aplicación en Matlab, el proyecto se escoge debido a su aplicabilidad a la ingeniería mecánica y aeronáutica además de la ser idóneo para el estudio de métodos numéricos.

## Marco teórico
### Modelo físico

El modelo físico a estudiar responde a un caso de termodinámica, transferencia de calor, y dinámica de fluidos. Para su resolución se minimizará el problema a la solución de la parte termodinámica en estado transitorio, es decir teniendo en cuenta la variación del tiempo y omitiendo el análisis de la dinámica de fluidos.
Los conceptos planteados por el arquitecto Le Corbusier (mur neutralisant y la respiración exacta) no serán relevantes para este proyecto debido al incremento en el grado de la complejidad.
Se tendrá en cuenta la temperatura de cada estación al exterior del edificio; las condiciones se idealizarán de la siguiente manera: la temperatura en las fronteras Γ$_1$, Γ$_2$, Γ$_3$, Γ$_4$, Γ$_5$, Γ$_6$, donde Γ$_3$ Γ$_4$ Γ$_5$ Γ$_6$ son datos dados que equivalen a la temperatura en la sombra en Paris y Γ$_1$ Γ$_2$ se obtienen implementando la ecuación 1 que representan la transferencia de calor por convección natural (Ver Fig. 4). La distribución de la temperatura dentro de la planta será uniforme modelada por la ecuación de calor de Fourier 2 y 3 primero en estado estable para eliminar incógnitas en la ecuación de estado transitorio que se procederá a solucionar por medio del análisis de diferencias finitas usando métodos numéricos.
Se analizarán dos tipos de estado según el usuario desee, el primero sería el análisis de la distribución de la temperatura sin tener en cuenta ningún tipo de fuentes de calor al interior y el segundo, el usuario tiene la posibilidad de interactuar con la distribución de la temperatura al interior modificando el estado inicial de la planta adicionando fuentes de calor como una chimenea o un sistema de acondicionamiento de aire que se considerará como una zona en la cual la temperatura es más baja. Esto con el fin de visualizar como se afecta el comportamiento del sistema en diferentes condiciones.
Para poder solucionar el problema mediante métodos numéricos se necesita realizar un enmallado lo suficientemente fino con el fin de observar con mayor precisión el comportamiento del fenómeno, por esta razón se utilizaran 6324 nodos, cantidad ajustada a la geometría de la planta. Siendo coherente con la intención del curso de métodos numéricos en un programa de pregrado, ha sido ajustada una malla rectangular a la geometría de la planta modificando las temperaturas que no pertenecen a ésta como se ve en la Fig. 4, debido a que ajustar una malla de geometría extraña no concierne al curso.
Se despreciará el análisis del fenómeno de radiación debido a que conllevaría la solución numérica de derivadas parciales hasta de cuarto orden, lo cual se traduce en una perdida innecesaria de tiempo gracias al número de iteraciones necesarias para resolver dicho cálculo.
Dado que el proyecto analiza el primer piso de la estructura, donde las corrientes de viento son poco influyentes en el estudio del fenómeno de convección, se considera ésta de forma natural (no forzada).
Los valores necesarios para la correcta definición del problema son: La temperatura de parís (agencia del clima pariasiana. Ver bibliografía)

### Modelo matemático

Ecuaciones básicas para analizar el modelo son: Ecuación de convección natural
$-k{\frac {\partial T}{\partial n}}=h(T-T_{\infty })$ (1)
Donde k represeunta la conductividad térmica y h el coeficiente de transferencia por convección del material, en este caso cemento. La variable independiente(n) de esta ecuación es el vector normal a la dirección en la que se transfiere el calor.
Ecuación de calor de Fourier en estado estable
$k({\frac {\partial ^{2}T}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}T}{\partial y^{2}}})=q$ (2)
En la cual q es el calor tranferido. k representa la conductividad térmica del material en cuestión.
Ecuación de calor de Fourier en estado transitorio
${\frac {\partial ^{2}T}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}T}{\partial y^{2}}}+{\frac {q}{k}}={\rho Cp}{\frac {\partial ^{2}T}{\partial t^{2}}}$ (3)
En la cual ρ es la densidad del concreto, y Cp el calor especifico de este mismo. k representa la conductividad térmica del material en cuestión.
Diferenciación central
$f_{i}^{\prime }={\frac {f_{i+1}-f_{i-1}}{2h}}$ (4)
$f_{i}^{\prime \prime }={\frac {f_{i+1}-2f_{i}+f_{i+1}}{h^{2}}}$ (5)
Diferenciación hacia adelante
$f_{i}^{\prime }=\displaystyle {\frac {f_{i+1}-f_{i}}{2h}}$ (6)
La solución en estado estable se realizará de manera implícita formando un sistema de ecuaciones como se mencionó anteriormente para poder encontrar la solución, debido a los datos que arroja este análisis se puede desarrollar la ecuación en estado transitorio de forma explícita ya que se genera solo una incógnita en la ecuación.
Se utilizan las ecuaciones 5 y 6 para modelar el comportamiento de cada uno de los nodos de la malla formando así un sistema matricial de la forma AY=B, donde “A” y “B” son matrices de los coeficientes de las ecuaciones de cada uno de los nodos y “Y” son los valores de las temperaturas a encontrar, para solucionar éste se utiliza el método de Jacobi, se puede aplicar debido a que la matriz formada es simétrica.

## Descripción del software

El software cuenta con una serie de 7 interfaces, la primera es la interfaz introductoria al programa, allí se presentan los autores y una imagen sobre el problema tratado. Ésta interfaz es el punto de partida.
Luego aparece la interfaz principal que en dónde se ingresan los datos iniciales y se seleccionan las opciones para poder obtener una solución al problema. Desde ésta interfaz se acceden a los resultados dependiendo de la opción que el usuario ingrese. También se puede acceder desde allí a otras interfaces que explican un poco sobre el problema, tanto históricamente como físicamente lo que ocurre.
Se puede interactuar por medio de ingreso de datos, botones, y barra de herramientas. Es de aclarar que para obtener datos más lógicos se debe considerar la estación de año y las temperaturas que se ingresen (Temperatura ambiente y temperatura de sombra).
Antes de correr el programa se deben ingresar las condiciones iniciales para que el programa pueda iterar.

## Resultados y discusión

Se procedió a calcular los comportamientos bajo diferentes parámetros como se mencionó anteriormente, de lo cual se obtuvieron los siguientes resultados:
* Considerando un estado estable, usando las ecuaciones 1 (ecuación de convección para temperatura en frontera) y 2 (ecuación de Fourier en estado estable para los nodos), mediante el uso de un sistema de ecuaciones matricial de la forma AY=B usando la solución implícita, formando las ecuaciones nodales, se pudo obtener la distribución térmica dentro de la planta, bajo las condiciones anteriormente planteadas, Matlab permitió generar la matriz respuesta y la gráfica aproximada al comportamiento (Fig.7)
El enmallado como se muestra es rectangular, pero se aproximaron los resultados únicamente a la geometría principal de la planta. Las temperaturas de Γ_1,Γ_2 (Ver Fig.5 por referencia) son las sometidas a convección, en este estado se consideró bajo una temperatura ambiente de 30°, por lo que está será la zona más próxima a esa temperatura, Γ_3,Γ_4,Γ_5 según la ubicación del edificio, estarán siempre bajo sombra, por lo que se aproximó a un valor menor dependiente de la ambiente; en este caso 25°. El interior de la planta ilustra la distribución de calor, bajo el comportamiento de la ecuación 2. Según los datos obtenidos, la zona critica del edificio es toda la cercana a la fachada que da frente a los rayos solares, por esto consideramos que el muro neutralizante, propuesto por Le Corbusier, que consiste en un refrigeramiento por medio del flujo de aire, de las paredes de la fachada, sería una solución consistente con el comportamiento térmico; si se refrigeran estás zonas, podría darse un mayor confort dentro del edificio, debido a que estás se presentan como las mayores fuentes de calor.
También se plantearon diferentes estados en la planta, para poder ver el efecto que podría generar un elemento sobre la distribución de calor dentro de esta, y las implicaciones que podrían producir. Se agregó un horno como fuente de calor y se obtuvo una distribución térmica acorde a las fuentes de calor propuestas (ver Fig.8).Este análisis se realizó con el único fin de notar variaciones térmicas en la planta más no bajo consideraciones reales, realizado bajo el único fin de ilustrar.
Variando la Temperatura ambiente a estados próximos a los veranos de Paris, y agregando un horno de máximas temperaturas, que podría considerarse como un horno industrial, se observa que, en primer lugar, no podría ser habitable sin una adaptación térmica, como un sistema de acondicionamiento, por lo que el refrigeramiento solo de las paredes no sería suficiente. Para estas condiciones, el sistema propuesto por el arquitecto francés no es suficiente, pero debe considerarse que es un estado para el cuál posiblemente no fue diseñado; y que la probabilidad de que en un edificio residencial se utilice un horno bajo estás temperaturas es bajo.
El otro estado propuesto, fue la utilización de un sistema de acondicionamiento de aire, debido a las implicaciones de simplificación propuesto, no consideramos este como un sistema de acondicionamiento por circulación de aire, omitido por las complicaciones que puede generar para la realización, si no como fuentes de calor a temperaturas más bajas que las actuales sin el elemento; y visualizamos como afectaba la distribución de calor si esta fuente era interna y se localizaban dos en un lugar central (Ver Fig 9) ; lugares en los cuales es más posible que existan zonas comunes, o estén habitados y posean mayor necesidad de refrigeración.
Como se ilustra en la Fig. 9 si existe una adecuación del recinto al establecer estás dos fuentes de calor más bajo, las cuales generan que una amplia zona se encuentre a una menor temperatura que si no se tuvieran estos elementos; La distribución térmica, bajo estas condiciones genera un ambiente más idóneo para el confort del usuario, por lo que cómo es conocido ampliamente una de las soluciones más practicas es el uso de este tipo de elementos para la generación de un ambiente habitable, pero como las consideraciones del proyecto era el ahorro de capital, y usualmente un acondicionamiento interno de este tipo podría generar altos costos, seguimos considerando que la utilización del muro neutralizante y la respiración exacta, método vanguardistas para la época, podrían funcionar, no de forma tan eficiente como sería con un acondicionamiento de aire, pero sí como una mejoría de confort habitable.
Bajo estado transitorio se logró plantear las ecuaciones de forma explícita, cambiando el estado bidimensional de la matriz por tres dimensiones, dos dimensiones espaciales y una dimensión temporal. Se utilizó la ecuación 3 para modelar el comportamiento de los nodos en estado transitorio, e igualmente se consideraron los nodos que se encontraban bajo convección y los que solo se verían afectados por conducción.
De forma explícita se despejo un tiempo futuro que daría los datos de la tercera dimensión de la matriz, y se trató de generar una animación con un delta de tiempo apropiado que diera un tiempo prudente de iteración. Lastimosamente la cantidad de iteraciones otorgadas quizás no fueron suficientes debido a que como se observa en la figura 10, no se generan suficientes datos que permitan realizar la animación de un delta de temperatura.
El resultado por lo tal puede ser una aproximación a una temperatura futura que podría generarse a partir de los datos otorgados. Es válido afirmar igualmente que se parte de los datos de estado estable y se ingresan a este, por lo que la variación de la temperatura visualizada puede ser un intento de búsqueda equilibrio térmico.
El tiempo dado de iteración aparte es muy bajo, lo que indica que estamos dando milésimas de segundo de delta de tiempo, lo cual no es suficiente para generar cambios visibles de distribución de temperatura ni para que las iteraciones realizadas por la máquina puedan ser suficientes para que converjan a datos congruentes, no podría darse un tiempo de iteración más alto debido a que no se poseen las herramientas que puedan generar el proceso en el tiempo solicitado de iteración.

## Conclusiones y trabajo futuro

Los diseños realizados por Le Corbusier son viables para la aplicación sobre el edificio, debido a que estos sistemas se centraban en una refrigeración por medio de flujos de las paredes que se veían afectadas por radiación, que son las dos fuentes principales de calor. Por ende, la refrigeración de estas fronteras, modificara la distribución de la temperatura dentro del recinto y generaría mayor confort para los habitantes.
La geometría especial de la planta del edificio propicia que una mayor porción de frontera reciba transferencia de calor por convección, la cuál es la cara que recibe los rayos solares, por ende como es notorio en la solución bajo estado estable sin ningún elemento que interfiera (horno o sistema acondicionado), la distribución de la temperatura es aproximadamente homogénea en la planta con la menor temperatura en la zona central y la mayor temperatura en las frontera.
Cuando se agregan elementos externos que puedan interferir con la transferencia de calor, el sistema cambiará y generará otras consideraciones que deben analizarse para mantener el ambiente dentro del recinto a una temperatura adecuada. El horno, dependiendo de la temperatura a la que se encuentre podrá ser una mayor fuente de calor que la generada por las fronteras, por lo que la variación de la temperatura se verá fuertemente influenciada por esta. Para este caso particular la refrigeración de las fronteras no es suficiente y debe considerarse una refrigeración interna que contrarreste el horno. El otro caso analizado, el sistema de acondicionamiento de aire, se evidencia como un sistema ideal para la refrigeración interna de la planta, por lo que como alternativa al diseño original es la solución más viable, pero no concorde al proyecto de bajo costo que se ideó originalmente.
El análisis para un estado transitorio, exigía un delta de tiempo mayor, para poder generar una variación de la temperatura visible, pero debido al tiempo consumido en las iteraciones, que necesitaría la máquina para procesar la información y converger a resultados coherentes, no se obtienen datos congruentes. Un tiempo mínimo que pueda generar muestras visibles de la variación de la temperatura consumiría una gran cantidad de tiempo, por lo cual no se consideró viable.