# Física Biológica PCLF/estructura química de enlaces/Orbitales Hibridos SP3 del Átomo de Carbono
## ORBITALES HIBRIDOS $SP^{3}$ DEL ÁTOMO DE CARBONO

El carbono es un elemento crucial para la existencia de los organismos vivos. Su número atómico es 6 y pertenece al grupo 14 del sistema periódico.
El carbono tiene la capacidad única de enlazarse con otros átomos de carbono para formar compuestos en cadena muy complejos. Debido a lo anterior, el carbono puede formar una cantidad infinita de compuestos, siendo los más comunes las combinaciones carbono-hidrogeno.
A continuación se estudiará con detalle la función de onda que describe al carbono en un estado llamado hibridación $SP^{3}$.
Muchos enlaces químicos reales se forman a partir de funciones de onda que son combinaciones lineales de orbitales $P$ y $S$ . Este fenómeno se llama hibridación, y da lugar a funciones de onda de geometría diferente. Por ejemplo, el carbono, cuyo estado fundamental tiene la configuración $1S^{2},2S^{2},2P^{2}$, puede formar hasta cuatro enlaces covalentes, pues a partir de la única función de onda $2S$ y las tres funciones $2P_{x},2P_{y}$ y $2P_{z}$ se forman cuatro combinaciones lineales independientes (orbitales híbridos SP^3) cada uno de los cuales está ocupado por uno de los cuatro electrones externos (Fig. 1). En el carbono, esta hibridación da lugar a cuatro enlaces dirigidos hacia los vértices de un tetraedro regular. El ángulo entre dos cualesquiera de esos enlaces es de 109.5˚. Esta circunstancia es la que da lugar a la estructura cristalina del diamante. La hibridación $SP^{3}$ no es la única posible en el carbono, aunque es la más usual.
Figura 1. Estructura cristalina de diamante - Hibridación
De lo dicho se desprende que cuando un átomo forma más de un enlace covalente, estos enlaces forman entre sí ángulos bien definidos. Por lo tanto los enlaces covalentes son dirigidos, además de saturables. Estas propiedades son fundamentales porque determinan la geometría de las moléculas y el tipo de estructura cristalina del compuesto.
De acuerdo a la configuración electrónica del carbón, uno puede esperar que solamente existan dos capas que intervienen en la formación de enlaces, estas capas corresponden a los dos orbitales $2P$ en los cuales cada uno está ocupado por un electrón. La hibridación $SP^{3}$ se pude entender en términos de la siguiente descripción: Uno de los dos electrones del orbital $2S$ es excitado dentro del orbital $2P$ vacío y el único orbital $2S$ ahora contiene un electrón; Por tanto, cada uno de los orbitales $2S,2P_{x},2P_{y},2P_{z}$ pueden participar en un enlace covalente. La superposición con cada función de onda de un vecino cercano es maximizada si cuatro nuevas funciones de onda están conformadas por una combinación lineal de los orbitales originales $2S,2P_{x},2P_{y},2P_{z}$. Este nuevo orbital es el que se conoce como $SP^{3}$ hibrido.
La hibridación $SP^{3}$ provee una ventaja energética, pues la superposición en forma tetraédrica es bastante favorable energéticamente para compensar la energía necesaria para promover el electrón del orbital $2S$ al orbital $2P$. Esto se debe básicamente a que la energía entre el orbital $2S$ y $2P$ es muy pequeña, es decir, $\Delta E=|2S-2P|\pi \varepsilon$ donde $\varepsilon$ es una cantidad de energía muy pequeña comparada con las energías de $2S$ y $2P$.
Como se menciono anteriormente, la función de onda que describe al átomo de carbono híbrido debe ser la combinación lineal de las funciones de onda de cada uno de los orbitales de la hibridación, es decir:
$\psi _{i}=\sum _{j}a_{ij}\phi _{j}$
Donde $\phi _{j}$ son las funciones de onda de átomos hidrogenoides de orbitales $2S,2P_{x},2P_{y}$ y $2P_{z}$.
En coordenadas esféricas, cada una de las funciones de onda correspondientes a los orbitales $2S,2P_{x},2P_{y},2P_{z}$ se puede dar como sigue:
$\phi _{1}(2S)=Ce-^{\rho }(1-\rho )$ $\phi _{2}(2P_{z})=Ce-^{\rho }\rho \cos(\theta )$ $\phi _{3}(2P_{x})=Ce-^{\rho }\rho \sin(\theta )\cos(\phi )$ $\phi _{4}(2P_{y})=Ce-^{\rho }\rho \sin(\theta )\sin(\phi )$
Donde $\rho ={\frac {zr}{a_{0}}}$ con $a_{0}$ como el radio de Bohr y z la carga nuclear del carbón.A continuación se muestran las gráficas de $\phi _{1}\phi _{2}y\phi _{3}$ y $\phi _{4}$ :
Figura 2. Función de onda para el nivel 2s
Figura 3. Función de onda para el nivel 2pz
Figura 4. Función de onda para el nivel 2px
Figura 5. Función de onda para el nivel 2py
Las anteriores representaciones gráficas de las funciones de onda se han realizado con la salvedad de que $\rho =cte$.
Al graficar la superposición de las funciones de onda de cada uno de los orbitales, se obtiene la forma tetraédrica del carbono hibrido.
Figura 6. Forma tetrahédrica del carbono hibrido
Como se muestra en la figura anterior, cada uno de los cuatro orbitales híbridos resultantes pueden crear enlaces covalentes sencillos con otro átomo, quedando de esta manera dilucidado el porque de la tetravalencia del átomo de carbono.
Por otra parte, la densidad de probabilidad de encontrar un electrón a una distancia r del núcleo del carbono viene dada por:
$\rho (r)=\phi _{i}^{*}\phi _{i}$
Donde $\phi _{i}$ es la función de onda de un electrón en un orbital y número cuántico principal dado. Para el caso del carbono, dichas funciones de onda serán $\phi (1s),\phi (2s)$ y $\phi (2p)$ .
A continuación se muestran las gráficas de las densidades de probabilidad de cada uno de los orbitales del carbono ( $S$ y $d$ ):
Figura 7. Densidades de probabilidad vs. Radio
Del análisis pertinente de las anteriores gráficas se concluye que en el carbono es mucho más probable encontrar sus electrones en un radio superior al radio de Bohr (línea punteada).

## CÁLCULO DE LA HIBRIDACIÓN $SP^{3}$ DEL CARBÓN

Para el átomo de hidrogeno tenemos que sus orbitales son los dados en el conjunto de ecuaciones referentes $\phi$, para estos niveles tenemos como ya se habia mancionado que $\Delta E=|2S-2P|$ con $\Delta E\approx 0$ puesto que los niveles de energìa son bastante cercanos.Para la hibridaciòn $SP^{3}$ tenemos que
$\psi _{i}(2SP^{3})=\sum _{j}a_{ij}\phi _{j}$
Con $j,i=1,2,3,4$ teniendo encuenta las condiciones impuestas por las ecuaciòn $\int \psi _{i}\psi _{j}$ analizada anteriormente y aplicando los orbitales del atomo de hidrogenoide tenemos
$\int \psi _{m}\psi _{l}d^{3}x=\delta _{lm}$
Ahora bien, basándonos en el hecho que las funciones de onda sean ortogonales encontramos que
$\int \psi _{k}\psi _{j}dr=\int (\sum _{m=1}^{4}a_{km}\phi _{m})(\sum _{i=1}^{4}a_{ji}\phi _{i})$
$\int \psi _{k}\psi _{j}dr=a_{k1}a_{j1}\int \phi _{1}\phi _{1}^{*}dx^{3}+a_{k2}a_{j2}\int \phi _{2}\phi _{2}^{*}dx^{3}+a_{k3}a_{j3}\int \phi _{3}\phi _{3}^{*}dx^{3}+a_{k4}a_{j4}\int \phi _{4}\phi _{4}^{*}dx^{3}$
Donde si $a_{km}$ y $a_{ji}\epsilon R$, se puede garantizar que la probabilidad está normalizada
$\sum _{i=1}^{4}a_{ki}a_{ji}=\delta _{kj}$
pero la función $\delta _{kj}$ cumple con las condiciones que es nula si $k\neq j$y es identicamente uno si $k=j$.
Se puede evidenciar tras un riguroso análisis que los coeficientes $a$ toman unos valores determinados segun la ecuación de onda a la que esten sometidas, encontrando el siguiente comportamiento.
Entonces, para encontrar la dirección de máximo privilegio analizaremos la distribución de probabilidades $|\psi _{1}^{2}|$ y $|\psi _{2}^{2}|$ que dependen de $\$\theta \$$ y $\$\phi \$$, derivaremos las 2 con respecto a $\theta$y $\$\phi \$$ así encontraremos el valor de y para el cual se da el máximo de probabilidad de enlace (Hibridación $SP^3$), que es donde ambas tienen el máximo. Asumiendo las constantes de la ecuación (45) aproximadamente iguales se tiene que
$\psi _{1}=C[e-^{\rho }(1-\rho )+e-^{\rho }\rho \cos(\theta )+e-^{\rho }\rho \sin(\theta )\cos(\phi )+e-^{\rho }\rho \sin(\theta )\sin(\phi )]$
encontrando que
$|\psi _{1}|^{2}=A^{2}[\cos {\theta }+\sin(\theta )\sin(\phi )+\sin(\theta )\cos(\phi )]^{2}$
Donde en $A^{2}$ están las constante y la dependencia de $\rho$ la cual no nos importa puesto que nuestro punto de interés es la dirección de máxima probabilidad.
Análogamente con $\psi _{2}$ se tiene
$|\psi _{1}|^{2}=B^{2}[-\cos {\theta }+\sin(\theta )\sin(\phi )+\sin(\theta )\cos(\phi )]^{2}$
luego
$|\psi _{1}o\psi _{2}|=C_{1}^{2}[1\pm \sin(2\theta )[\sin(\phi )+\cos(\phi )]+\cos {\theta }^{2}\sin {2\phi }]$
derivando encontramos las siguientes dos expresiones con las que se podrá definir $\theta$ y $\phi$
${\frac {\partial |\psi _{1}o\psi _{2}|}{\partial \theta }}=\pm \cos(2\theta )[\sin(\phi )+\cos(\phi )]+\sin {2\theta }\sin {2\phi }=0$
${\frac {\partial |\psi _{1}o\psi _{2}|}{\partial \phi }}=\pm \sin(2\theta )[\cos(\phi )-\sin(\phi )]+[1-\cos {2\theta }]\cos {\phi }=0$
Finalmente estas dos expresiones dan los valores de $\theta$ y $\phi$
$\phi ={\frac {\pi }{2}}$
$\tan {2\theta }=\pm 2{\sqrt {2}}$ lo que conduce a decir que $\theta =54.65$