# Cinemática/Movimiento circular

En el apartado dos vimos como se comporta un cuerpo en una dimensión y las distintas ecuaciones que describen su movimiento de forma rigurosa, no obstante, es evidente a ojos de cualquiera que el mundo no tiene una dimensión si no que los distintos cuerpos pueden tener dos, tres e incluso mas grados de libertad.
En este apartado veremos el movimiento circular es decir, introduciremos una nueva dimensión y estudiaremos las consecuencias de esto.

## Movimiento curvilíneo en dos dimensiones con aceleración constante

Si se define el vector posición de una partícula que se mueve en el plano $xy$ como ${\vec {r}}=x{\widehat {i}}+y{\widehat {j}}$
La velocidad instantánea de la partícula se puede obtener como ${\vec {v}}={d{\vec {r}} \over dt}={dx \over dt}{\widehat {i}}+{dy \over dt}{\widehat {j}}=v_{x}{\widehat {i}}+v_{y}{\widehat {j}}$
y la aceleración instantánea de la partícula como:
${\vec {a}}={d{\vec {v}} \over dt}={dv_{x} \over dt}{\widehat {i}}+{dv_{y} \over dt}{\widehat {j}}=a_{x}{\widehat {i}}+a_{y}{\widehat {j}}$
Por lo tanto, las ecuaciones de la cinemática para dos dimensiones quedan expresadas como
${\vec {v}}_{f}={\vec {v}}_{i}+{\vec {a}}\,t$
${\vec {r}}_{f}={\vec {r}}_{i}+{\vec {v}}_{i}\,t+{1 \over 2}\,{\vec {a}}\,t^{2}$

## Caso especial: Tiro parabólico

El movimiento parabólico de una partícula se va a analizar a partir de dos suposiciones:
1. La aceleración de caída libre es constante en el intervalo de movimiento y se dirige hacia abajo.
2. El efecto de la resistencia del aire es despreciable.
* En la figura, se muestra la trayectoria parabólica de un proyectil que sale del origen con velocidad ${\vec {v}}_{i}$.
* El vector velocidad ${\vec {v}}$ cambia con el tiempo tanto en magnitud como en dirección.
* Este cambio es el resultado de la aceleración en la dirección $y$ negativa.
* La componente $x$ de la velocidad permanece constante en el tiempo, porque no hay aceleración a lo largo de la dirección horizontal.
* La componente $y$ de la velocidad es cero en el pico de la trayectoria.
Por ende, el movimiento parabólico es una composición de dos movimientos:
1. Movimiento de una partícula bajo velocidad constante en la dirección horizontal.
2. Movimiento de una partícula bajo aceleración constante (caída libre) en la dirección vertical.
Las ecuaciones de este movimiento en el eje $x$ son:
$a_{x}=0$
$v_{xi}=v_{i}\,\cos \theta$
$x=x_{i}+v_{xi}\,t$
Las ecuaciones de este movimiento en el eje $y$ son:
$a_{y}=-g\approx -9.8\left[{\frac {m}{s^{2}}}\right]$
$v_{yi}=v_{i}\,\sin \theta$
$y_{f}=y_{i}+v_{yi}\,t+{1 \over 2}\,a_{y}\,t^{2}$
$v_{yf}=v_{yi}+a_{y}\,t$
$v_{yf}^{2}=v_{yi}^{2}+2\,a_{y}\,(y_{f}-y_{i})$
Otras ecuaciones que surgen de las anteriores son:
$t_{vuelo}={2\,v_{i}\,\sin \theta \over g}$
$h_{max}={(v_{i}\,\sin \theta )^{2} \over 2\,g}$
$x_{max}={v_{i}^{2}\,\sin {2\,\theta } \over g}$

## Movimiento circular uniforme

Es el movimiento que describe una partícula cuando da vueltas sobre un eje estando siempre a la misma distancia $r$ del mismo y desplazándose a una velocidad constante.
* Velocidad angular: Se puede calcular a partir del periodo o la frecuencia. $w={2\,\pi \over T}=2\,\pi \,f$. La velocidad angular en el MCU es constante.
* Velocidad tangencial: Se puede calcular a partir de la velocidad angular y el radio. $v=w\,r=2\,\pi \,fr$
* Aceleración centrípeta: $a_{c}={v^{2} \over r}=v\,w=w^{2}\,r$
* Aceleración angular y tangencial: En el MCU, tanto la aceleración angular como la aceleración tangencial son cero.

## Aceleración tangencial y radial en un movimiento circular

La componente de aceleración tangencial causa un cambio en la rapidez $v$ de la partícula $a_{t}=\left\vert {\frac {dv}{dt}}\right\vert$
La aceleración radial o centrípeta surge de un cambio en dirección del vector velocidad tangencial:
$a_{r}=-{v^{2} \over r}$
La aceleración total: ${\vec {a}}={\vec {a}}_{r}+{\vec {a}}_{t}$

## Movimiento circular uniformemente acelerado

El movimiento circular uniformemente acelerado (MCUA) se presenta cuando una partícula o cuerpo sólido describe una trayectoria circular aumentando o disminuyendo la velocidad de forma constante en cada unidad de tiempo. Es decir, la partícula se mueve con aceleración constante.
La aceleración angular se define como $\alpha ={\Delta w \over \Delta t}={w_{i}-w_{f} \over t_{i}-t_{f}}$
Las ecuaciones cinemáticas de este movimiento son muy similares a las ecuaciones del MRUA, el desplazamiento de la partícula se calcula a partir del ángulo recorrido $\theta$
$\theta _{f}=\theta _{i}+w_{i}\,t+{1 \over 2}\,\alpha \,t^{2}$
La velocidad angular se define como $w_{f}=w_{i}+\alpha \,t$

## Confirmo lo aprendido

* Evaluación de la lección 3: Movimiento curvilíneo y circular