# Programación Ingeniería Mecánica UPB:Grupo 06
## Resumen

En el presente trabajo se tratarán los esfuerzos y desplazamientos radiales que se presentan en un cilindro de pared gruesa al ser sometido a presión interna y externa, a partir del análisis de las fuerzas y deformaciones que se generan en este. La ley de hooke y la teoría de elasticidad tomada de la mecánica de materiales, serán la base para explicar el modelo.

## Introducción

La regulación del diseño, construcción y operación de calderas y recipientes a presión se consideró necesaria debido a un catastrófico accidente en una fábrica de calzado localizada en Brockton, Massachusetts (EUA) en 1905, la cual causó la pérdida de muchas vidas humanas y grandes pérdidas económicas. A partir de este hecho se originaron diversos estudios que fueron recopilados, corregidos y difundidos por la Sociedad Americana de Ingenieros Mecánicos (American Society of Mechanical Engineers –ASME) en el año 1915 con el nombre de ASME Rules for Construction of Stationary Boilers and for Allowable Working Pressures.
En la industria se utilizan recipientes que están sujetos a presión interior y exterior, como lo son las calderas. La presión interna tiende a hacer estallar el recipiente debido a los esfuerzos de tensión presentes en sus paredes. La capacidad que tiene el recipiente de soportar dichos esfuerzos es estudiada por la mecánica de materiales, también conocida como resistencia de materiales, la cual plantea el problema de los desplazamientos en las paredes del recipiente cilíndrico o esférico, analizando los esfuerzos y deformaciones que se producen en este.
Antes de analizar los esfuerzos, se analiza el recipiente, las partes que lo componen y el uso que se le dará para así lograr un diseño económico y seguro; luego se analizan los esfuerzos para determinar el espesor del material y el tipo de material necesario para el recipiente deseado. Experimentalmente los esfuerzos que se presentan en un recipiente no se miden directamente, se determinan a través de la medición de las deformaciones que se producen en la superficie. Las deformaciones se miden por medio de galgas extensométricas y a partir de ellas se determinan los esfuerzos.
En está ocasión se analizan los cilindros de pared gruesa bajo presión, los cuales se caracterizan por que el espesor de su pared es mayor que una décima de su radio medio, en ellos a diferencia de los cilindros de pared delgada, no se considera que las tensiones son constantes a través del espesor de la pared, sino que dependen de su distancia al eje del cilindro; siendo máximas en el radio interior y mínimas en el exterior, para presiones internas mayores que las externas.
En estos recipientes se debe garantizar el equilibrio de cada elemento infinitesimal, y por medio del uso de relaciones geométricas, permitir sólo las deformaciones posibles dentro del rango elástico; también son de gran ayuda las propiedades mecánicas de los materiales ya que estas relacionan las deformaciones unitarias con los esfuerzos.
La magnitud del esfuerzo en la pared de un recipiente a presión, varía en función de la posición en la pared. Un análisis preciso permite calcular el esfuerzo en cualquier punto. Este análisis es muy útil en recipientes que contienen uno o varios fluidos a presión (gases o líquidos).
Las aplicaciones más comunes son: los domos de las calderas, las tuberías, los separadores de fluidos en la industria petrolera, moldes de extrusión, los tanques llamados "salchichas” y los tanque esféricos llamados "esferas" en la industria petrolera.

## Planteamiento del problema

Todos los recipientes a presión están sometidos a una presión interna que es ejercida por un uno o varios fluidos a presión (gases o líquidos) que estén contenidos dentro del elemento y una presión externa que la ejerce en este caso la ubicación geográfica en la cual se encuentre dicho recipiente (conocida como presión atmosférica, que depende de varios factores especialmente de la altura con respecto al nivel del mar). Dependiendo del uso que se le quiera dar al recipiente se deben establecer unas variables como su radio interior y exterior, definiendo el espesor y el tipo de material con el cual se quiere trabajar.
Mediante el uso de un software el usuario podrá ingresar sus condiciones de trabajo para así proceder a calcular los esfuerzos internos generados y entregar resultados tanto numéricos como gráficos.
Las variables que el usuario debe tener previamente definidas son:
* Radio interno $r_{i}$
* Radio externo $r_{e}$
* Presión interna $P_{i}$
* Presión externa $P_{e}$
* Tipo de material (Material metálico)
Si es un material diferente a los seleccionados, se debe conocer:
* Módulo de Young $E$
* Módulo de Poisson $v$

## Marco teórico
### Análisis de esfuerzos

Para analizar los esfuerzos que se generan en un cilindro de pared gruesa sometido a presión interna y externa se utiliza un método característico de la teoría matemática de la elasticidad, el cual consiste en garantizar que haya un equilibrio de cada elemento infinitesimal y permitir solo las deformaciones compatibles. Las condiciones de equilibrio y las deformaciones se relacionan entre sí por medio de la ley de Hooke generalizada, de esta resulta una ecuación diferencial que se resuelve sujeta a las condiciones de frontera.

### Ley de Hooke generalizada

La relación que existe entre los esfuerzos y las deformaciones en el rango plástico son bien conocidas. El primero que enunció esta relación fue Robert Hooke. Años más tarde, Thomas Young observó que la constante de proporcionalidad enunciada por Hooke era una propiedad específica de los materiales elásticos. En términos del módulo de Young o módulo de elasticidad E, la ley de Hooke se escribe:
   $\sigma _{x}=E\varepsilon _{x}$
Esta ley se generalizó para el estado general de tres dimensiones gracias a los aportes del matemático francés Louis Cauchy. Al formular esta ley de manera general se utiliza el principio de superposición, el cual dice que el esfuerzo resultante en un sistema que es sometido a la acción de varias fuerzas es la suma de sus efectos. Esto se cumple si la deformación está directamente relacionada con el esfuerzo que la origina.
La ley de Hooke generalizada para el problema, dado que no existen esfuerzos cortantes, se expresa como:
   ${\begin{cases}\varepsilon _{r}={\frac {1}{E}}\left[\sigma _{r}-\nu \left(\sigma _{t}+\sigma _{x}\right)\right]\\\varepsilon _{t}={\frac {1}{E}}\left[\sigma _{t}-\nu \left(\sigma _{r}+\sigma _{x}\right)\right]\\\varepsilon _{x}={\frac {1}{E}}\left[\sigma _{x}-\nu \left(\sigma _{r}+\sigma _{t}\right)\right]\end{cases}}$

## Diseño de la solución

Como ya se había mencionado anteriormente el cálculo de esfuerzos y desplazamiento radial en cilindros de pared gruesa es un tema exclusivo de la mecánica de materiales. Aparte de los conocimientos que se deben tener en ecuaciones diferenciales también se hace necesario conocer algunas propiedades de los metales y la teoría básica de recipientes sometidos a presión. Con la solución de la ecuación gobernante, las consideraciones de la ley de Hooke generalizada, la teoría acerca de mecánica de materiales propuesta por Thomas Young, Robert Hooke y Louis Cauchy; estarán propuestas todas las ecuaciones necesarias para la solución del problema.
Los metales más comunes y favorables para la fabricación de recipientes a presión estarán incluidos en la solución del problema con sus respectivos módulos de Young y de Poisson; con la libertad de elegir el material y si no se encuentra en las elecciones, consultar los respectivos módulos para seguir con el desarrollo del problema. Se debe tener en cuenta que las paredes internas estarán sometidas a una presión interior, las externas a una presión exterior lo que hace que en el interior de la pared también se presenten unas presiones ejercidas por las dos anteriores (en donde se apreciará más claramente el desplazamiento radial).
Con la finalidad de mostrar un resultado gráfico, se le solicita al usuario que ingrese un valor de incremento del radio para así en la segunda parte del programa poder observar gráficamente como cambia punto a punto el desplazamiento y los esfuerzos radial y tangencial con respecto al radio y también se puedan observar los resultados numéricos de los desplazamientos, esfuerzos tangenciales y esfuerzos radiales.

### Ecuación gobernante

La ecuación diferencial que describe el problema es:
   ${\frac {d^{2}u}{dr^{2}}}+{\frac {1}{r}}{\frac {du}{dr}}-{\frac {u}{r^{2}}}=o$
La anterior es una ecuación diferencial lineal homogénea de segundo orden donde $u$ es el emplazamiento radial de las paredes (variable dependiente) y $r$ es el radio (variable independiente). Resolviéndola por los métodos conocidos se obtienen las siguientes ecuaciones:
   $C_{1}={\frac {(1+\nu )(1-2\nu )}{E}}{\frac {p_{i}r_{i}^{2}-p_{0}r_{0}^{2}}{r_{0}^{2}-r_{i}^{2}}}$
   $C_{2}={\frac {1+\nu }{E}}{\frac {(p_{i}-p_{0})r_{i}^{2}r_{0}^{2}}{r_{0}^{2}-r_{i}^{2}}}$
Por último para este problema en particular los esfuerzos tangencial y radial se definen así:
   $\sigma _{r}=D_{1}-{\frac {D_{2}}{r_{2}}}$
   $\sigma _{t}=D_{1}+{\frac {D_{2}}{r_{2}}}$
Donde:
   $D_{1}={\frac {p_{i}r_{i}^{2}-p_{0}r_{0}^{2}}{r_{0}^{2}+r_{i}^{2}}}$
   $D_{2}={\frac {(p_{i}-p_{0})r_{i}^{2}r_{0}^{2}}{r_{0}^{2}+r_{i}^{2}}}$

## Descripción del software
### Descripción

Programa realizado en el software MATLAB, el cual consta de dos (2) interfaces realizadas con la aplicación GUI, en donde primero se abre la Interfaz 1 y posteriormente la Interfaz 2 (ver manual de uso). La Interfaz 1 consta de siete (7) edit text para ingresar los valores numéricos pedidos en donde dos (2) de ellos aparecen en un principio des habilitados ya que están ligados con un check box y al seleccionar dicho check box se habilitaran. También tiene un Pop up Menu en el cual se encuentran todos los materiales que fueron seleccionados y este también está ligado con el check box puesto que si se encuentra seleccionado el Pop up Menu se des habilita. Por último hay dos (2) Push Button uno para calcular y pasar a la Interfaz 2 y otro para salir del programa. En la Interfaz 2 se encuentran cuatro (4) List Box en donde se muestran los valores del radio, el desplazamiento, el esfuerzo radial y el esfuerzo tangencial; dos (2) Axes para mostrar los resultados gráficos del desplazamiento en el primero y en el segundo el de los esfuerzos radial y tangencial. En la parte inferior se sitúan tres (3) Push Button; uno para graficar los resultados, otro para volver a la Interfaz 1 y uno más para salir del programa (en el manual de uso se describe detalladamente para que sirve cada uno).

### Manuela de uso
#### Interfaz 1

(Figura 2).
Los pasos descritos a continuación no se deben realizar en el orden que están enunciados, el usuario puede ingresar los valores pedidos en el orden que lo desee. Si es necesario ingresar un valor decimal lo debe hacer con punto (.) y no con coma (,).
* Ingresar el valor numérico de los radios interior y exterior, teniendo en cuenta que la cifra que se ingrese será tomada por el programa como si estuviera en metros [m].
* Ingresar el valor numérico de las presiones interna y externa, teniendo en cuenta que la cifra que se ingrese será tomada por el programa como si estuviera en kilo pascales [KPa]. Nota: En el siguiente enlace se le proporcionan algunos datos importantes: Presión
* Ingresar el valor numérico del incremento radial, mientras menor sea el valor más datos de obtendrá y más precisas serán las gráficas.
* Seleccionar el material de la lista al cual se le desea hacer el análisis, si el material deseado no se encuentra pasar al siguiente paso. (Materiales: Acero ASTM A36, Acero AISI SAE 1008, Aluminio, Bronce, Cobre, Hierro, Latón, Oro, Plata, Platino y Zinc)
* Si el material es distinto a los seleccionados debe seleccionar el cuadro habilitado de Otro material e ingresar el valor numérico del módulo de Young en giga pascales [GPa] y el valor numérico del módulo de Poisson (adimensional).
* Para observar los resultados debe dar click izquierdo en el botón Calcular o si desea salir del programa darle click izquierdo en el botón Salir.
* Elemento de lista numerada

#### Interfaz 2

(Figura 3).
El usuario podrá observar los resultados numéricos de los desplazamientos radiales, los esfuerzos radiales y los esfuerzos tangenciales, así como también el incremento del radio interior hasta igualar el valor del radio exterior ingresado. El usuario encontrará 3 botones con los cuales podrá interactuar de la siguiente manera:
* Botón Graficar: Este botón envía la orden al software para que realice dos (2) gráficas, la primera es una gráfica de desplazamiento radial (Radio Vs Desplazamiento) y la segunda es una gráfica superpuesta de los esfuerzos radiales (Radio Vs Esfuerzo radial) y esfuerzos tangenciales (Radio Vs Esfuerzo tangencial).
* Botón Atrás: Este botón le sirve al usuario para volver a la interfaz 1 para realizar un análisis con otras variables distintas o corregir algún valor anterior (por defecto cuando se pasa de la Interfaz 2 a la Interfaz 1 los valores que fueron ingresados anteriormente se borran, por lo que se debe tener cuidado al escribir los valores).
* Botón Cerrar: Este botón sirve para final la ejecución del software, si se lo oprime por error el mostrará una ventana de prevención para verificar la decisión.

## Resultados

Un cilindro de radio interior 0.1 m y radio exterior 0.12 m está construido con acero ASTM A36 con módulo de elasticidad 200 Gpa y módulo de Poisson 0.26 está sometido a una presión interna de 200 KPa y una presión externa de 101.3 KPa.
Se observa en la Figura 4 que los desplazamientos que se generan en las paredes del cilindro son muy pequeños respecto al radio. La pared interior de radio 0.1 m tuvo un desplazamiento de 2.40702x10-7 m mientras que la pared exterior de radio 0.12 m tuvo un desplazamiento de 2.14225x10-7 m, lo cual muestra que a medida que se aleja de la pared interior del cilindro, los desplazamientos son menores, esto debido a que la presión interna es mayor que la externa.
Si ahora en cambio se analizan los desplazamientos con una presión interior de 90 KPa y una presión exterior de 101.3 KPa se obtiene un gráfica como muestra la Figura 5, en donde se observa que los desplazamientos a diferencia de la Figura 4 son negativos, esto debido a que la presión exterior es mayor que la interior lo cual obliga a que la pared del cilindro se desplace hacia adentro, además en la pared interior se produce menos desplazamiento que en la pared exterior, efecto contrario a la Figura 4.
Ahora si se considera que las presiones son iguales (101.3 KPa cada una), se obtiene una gráfica como la Figura 6 donde se puede observar que al tener las presiones iguales, el desplazamiento se comporta como una línea recta que a diferencia de las gráficas con presiones diferentes no posee concavidad. Es decir, el desplazamiento cuando las presiones son iguales es proporcional al radio.
Los esfuerzos que se generan en la pared del cilindro con la presión interior mayor que la presión exterior se presentan en la Figura 4, el esfuerzo radial se representa por la línea azul y el esfuerzo tangencial se representa por la línea verde (los esfuerzos están dados en Pascales). Se observa en la gráfica que los esfuerzos son mayores en la pared interior del cilindro y que ambos van disminuyendo a medida que el radio aumenta. El esfuerzo radial es de compresión y el esfuerzo tangencial es de tracción, esto debido a que la presión interior al ser mayor que la presión exterior fuerza a que la pared del cilindro se “encoja” en su espesor debido al esfuerzo radial de compresión y al mismo tiempo se “alargue” en su contorno (aumente longitud de la circunferencia) debido al esfuerzo tangencial de tracción.
Los esfuerzos cuando la presión exterior es mayor que la presión interior se presentan en la Figura 5. Ambos esfuerzos disminuyen a medida que aumenta el diámetro y ambos son negativos, es decir, el cilindro queda sometido a compresión tanto en dirección radial como en tangencial. Esto se explica porque la presión exterior fuerza a que el espesor de la pared del cilindro se reduzca debido al esfuerzo radial de compresión y también que se “encoja” en su contorno (reduzca la longitud de la circunferencia) debido al esfuerzo tangencial de compresión.
Si se varía el material del cual está hecho el cilindro por uno con mayor resistencia mecánica, los desplazamientos cambian debido a que estos dependen de las propiedades del material. Mientras mayor sea el módulo de elasticidad, menor desplazamiento va a tener la pared del cilindro. Lo contrario sucede con los esfuerzos, los cuales permanecen iguales debido a que dependen de las presiones y los radios del cilindro pero no dependen de las propiedades del material.

## Aplicaciones

Este trabajo tiene diversas aplicaciones como lo son: la construcción de recipientes para la industria como la petrolera y la química, para el desarrollo de moldes de extrusión calculando los esfuerzos a los que está sometido el molde, en calderas industriales para conocer donde se puede presentar la falla y diseñar así elementos con un factor de seguridad alto, en tuberías para transporte de líquidos o gases para conocer los desplazamientos de las paredes de estas y evitar que fallen por fatiga y en general en toda aplicación que requiera calcular esfuerzos y desplazamientos en un recipiente conociendo las presiones a las cuales está sometido.

## Conclusiones y trabajo futuro

Conclusiones.
* A partir del análisis de los desplazamientos y los esfuerzos, se puede determinar un rango de presiones que un recipiente puede soportar y conociendo este rango, se pueden crear pautas para el diseño de los recipientes en aplicaciones industriales.
* En el diseño de recipientes a presión se debe elegir un material con alta resistencia mecánica si las presiones a las cuales va a estar sometido son muy altas, o aumentar el espesor si se requiere de un material con menor resistencia.
* Las consideraciones geométricas que se tomaron para el análisis de los esfuerzos fueron ideales. Para recipientes con discontinuidades geométricas se debe tener especial cuidado en la parte donde se concentren los esfuerzos: esquinas rectas, agujeros o accesorios del recipiente, para poder así evitar fallas.
Trabajo futuro.
Con la finalidad de crear un programa más completo a futuro se podría implementar la opción realizar el mismo análisis para cilindro de pared delgada e implementar una mayor cantidad de materiales. También pensar en hacer mucho más didáctico el entorno usuario-interfaz para que sea de fácil manejo y entendimiento. En cuanto a recipientes a presión este seria todo el estudio, ya si se quieren implementar fluidos (gaseosos o líquidos) para que el usuario interactúe con ellos se deberá recurrir a la teoría de la mecánica de fluidos y así se podría estar trabajando con un programa de alta efectividad y utilidad industrial.