# Matemáticas para educación media en Chile/Conjuntos numéricos

* Unidad I: Números y proporcionalidad
* Lección 1: Conjuntos númericos
* Notas:
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## Conjuntos numéricos
### Números naturales

Conjunto designado con la letra $\mathbb {N}$ que surgió de la necesidad de contar:
* $\mathbb {N} =\{1,2,3,4,5,\ldots \,+\infty \}$
Características:
* Posee infinitos elementos.
* El primer elemento es el número 1.
* Cada número natural tiene un sucesor dentro del mismo conjunto:
   * $n+1,\forall \ n\in \ \mathbb {N}$
* Cada número natural posee un antecesor dentro del mismo conjunto:
   * $n-1,\forall \ n\in \ \mathbb {N} ,n\not =1$
   * Excepto el número 1 ya que: $1-1=0,0\not \in \mathbb {N}$
Sub-conjuntos:
* Números pares representados como $2n,\forall \ n\in \ \mathbb {N}$
* $\mathbb {N} =\{2,4,6,8,\ldots \,+\infty \}$
* Números impares representados como $2n-1,\forall \ n\in \ \mathbb {N}$
* $\mathbb {N} =\{1,3,5,7\ldots \,+\infty \}$
* Números primos son aquellos divisibles por sí mismo y el uno, excepto este último.
* $\mathbb {N} =\{2,3,5,7,11,13,\ldots \,+\infty \}$
Operaciones:
* Adición entre sus propiedades encontramos:
   * Clausura $(a+b)\in \ \mathbb {N} ,\forall \ a,b\in \ \mathbb {N}$
   * Conmutatividad $(a+b)=(b+a),\forall \ a,b\in \ \mathbb {N}$
   * Asociatividad $a+(b+c)=(a+b)+c,\forall \ a,b,c\in \ \mathbb {N}$
* Sustración: en el conjunto de números naturales la resta no siempre es cerrada
       Ejemplo:
$3-4=-1,-1\not \in \mathbb {N}$
       Por ello para que la sustración exista en éste conjunto debe estar definida como:
$a-b\in \ \mathbb {N} \Leftrightarrow a>b,\forall \ a,b\in \ \mathbb {N}$
* Multiplicación entre sus propiedades encontramos
   * Clausura $(a\,\cdot \ b)\in \ \mathbb {N} ,\forall \ a,b\in \ \mathbb {N}$
   * Conmutatividad $(a\,\cdot \ b)=(b\,\cdot \ a),\forall \ a,b\in \ \mathbb {N}$
   * Asociatividad $a\,\cdot \ (b\,\cdot \ c)=(a\,\cdot \ b)\cdot \ c,\forall \ a,b,c\in \ \mathbb {N}$
   * Neutro multiplicativo es el 1: $a\,\cdot \ 1=a,\,\forall \ a\in \ \mathbb {N}$
* División para que la división de números naturales exista el dividendo debe ser divisible por el divisor, definiéndola como:
$(a:b)\in \ \mathbb {N} \Leftrightarrow a$ es divisible por $b,\forall \ a,b\in \ \mathbb {N}$

### Números cardinales

El conjunto de números cardinales surgé de la unión de los números naturales y el cero $\mathbb {N} _{0}=\mathbb {N} \cup {\big \0{\big \}}$
* $\mathbb {N} _{0}=\{0,1,2,3,4,5,\ldots \,+\infty \}$
Características posee las mismas características que el conjunto de los naturales salvo:
* El primer elemento es el número 0.
* El número 1 sí tiene antecesor o sea el 0 , sin embargo éste no tiene puesto que
       $0-1=-1,-1\not \in \mathbb {N} _{0}$
Operaciones:
* Adición, se cumplen las mismas propiedades del conjunto de números naturales, pero se agrega :
   * Neutro aditivo el 0 $a+0=a,\,\forall \ a\in \ \mathbb {N} _{0}$
* Sustración, en los cardinales la resta está determinada por:
$a-b\in \ \mathbb {N} _{0}\Leftrightarrow a\geq b,\forall \ a,b\in \ \mathbb {N} _{0}$
* Multiplicación se añade:
   * Elemento absorbente el 0
$a\cdot \ 0=0,\forall \ a\in \ \mathbb {N} _{0}$
* División, para que ésta se defina el divisor debe ser distinto de cero, luego:
$(a:b)\in \ \mathbb {N} _{0}\Leftrightarrow a$ es divisible por $b,\forall \ a,b\in \ \mathbb {N} _{0},\land b\not =0$

### Números enteros

    Artículo principal: Principales conjuntos numéricos/Números enteros.

### Números racionales

    Artículo principal: Principales conjuntos numéricos/Números racionales.

### Números irracionales

Son todos aquellos números que no se puedes escribir como fracción, se puede designar al conjunto con el símbolo $\mathbb {Q} ^{*}$ o $\mathbb {I}$.
Entre los números irracionales más famosos están: $\pi ,e,\phi ,{\sqrt {2}},{\sqrt {3}},{\sqrt {5}}$

### Números reales

Los números reales corresponde a la unión de todos los conjuntos anteriores. Se usa la letra $\mathbb {R}$ para representar al conjunto.