# Física Biológica PCLF/Movimiento browniano y Difusión
## Difusión

La difusión es un proceso que tiende a uniformizar la densidad de moléculas, debido al transporte neto de moléculas desde una región donde la concentración es mayor hacia otra de concentración menor. Este proceso ocurre en sólidos, líquidos y gases. Es independiente de cualquier movimiento microscópico del medio o perturbaciones por densidad, temperatura o presión, aunque en la práctica otros efectos debidos a esas perturbaciones pueden enmascarar los efectos de la difusión.
Puede darse una definición microscópica de la difusión como sigue; si hay concentraciones (n moléculas por unidad de volumen) y los flujos, más adelante se hará el tratado para sistemas biológicos donde se trabajan con el conjunto de partículas. Considerando una sola dimensión espacial: $n=n(x,t)$.
El flujo de partículas j=j(x,t), de define como el número de partículas que en promedio atraviesan un área transversal por unidad de tiempo. Es un hecho experimental que en cualquier instante $t$ el flujo en cualquier posición $x$ es proporcional al gradiente de concentración que se tiene en ese momento y espacio, es ([1],[2]):
$j=-D\left({\frac {dc}{dr}}\right)$
Donde D es el coeficiente de difusión y la anterior definición es nombrada como ley de Fick.

## Caminos aleatorios, fricción y Difusión

El Origen de la fricción es la conversión de un movimiento ordenado en movimiento desordenado debido a las colisiones con un medio desordenado. Cuando entendemos el origen de la fricción, también comprendemos una amplia variedad de procesos disipativos, es decir, de los procesos que transforman de forma irreversible el orden en desorden: 1. La difusión de moléculas de tinta en agua elimina el orden; por ejemplo, desaparece el patrón de formas inicialmente presente (agua en su estado original).
2. La fricción elimina el orden del movimiento inicialmente dirigido de un objeto.
3. La corriente a través de una resistencia eléctrica consume las pilas de la linterna y produce un calentamiento de las mismas.
En todos los casos anteriores, la energía organizada, se degrada en un movimiento desordenado a causa de las colisiones contra un entorno grande y aleatorio. Por otro lado, los procesos anteriormente señalados resultan de gran importancia para comprender el mudo físico de las células. La diferencia es que los actores claves aquí son unos cuantos cientos de moléculas. En este micromundo, la pequeña energía no es tan pequeña. Los golpes aleatorios de las moléculas vecinas pueden degradar rápidamente cualquier movimiento concertado. Por ejemplo:
1. La difusión resulta ser la forma dominante de transporte material en las escalas submicrométricas.
2. Las matemáticas de los caminos aleatorios proporcionan el lenguaje apropiado para entender la configuración de muchas macromoléculas biológicas.
3. Las ideas de difusión proporcionan una descripción cuantitativa de la permeabilidad de membranas y del potencial eléctrico a través de ellas, dos problemas de gran importancia en fisiología celular.

## Movimiento Browniano

Muchos físicos han llegado a la conclusión de que la hipótesis atómica es indispensable para explicar las leyes de los gases ideales y muchos otros fenómenos. No obstante, las dudas y controversias continuaban y uno de los motivos era que la ley de los gases ideales no decía que tan grande eran las moléculas. Otro aspecto señalaba hacia si ¡fuera posible ver las moléculas y su movimiento! Pero carecía de esperanza. Todas las estimaciones, cada vez mejoradas del número de Avogadro deducidas desde Franklin Apuntaban a un tamaño descorazonadamente pequeño para las moléculas, muy por debajo de lo que podía ser observado por un microscopio.
En 1828, el botánico Robert Brown había advertido que los granos de polen suspendidos en agua ejecutaban una peculiar e interesante danza, visible en el microscopio.Con tan solo $1\mu m$ de diámetro los granos de polen son pequeños macroscópicamente, pero grandes en una escala microscópica puestos que alcanzan a ser observados mediante el microscopio (de la época de Brown). Brown propuso que estaba observando un proceso naturalmente vivo y mediante un análisis más meticuloso descubrió que:
1. El movimiento del polen jamás cesaba, incluso después de que los granos hubieran sido mantenidos durante un largo período en un contenedor sellado. Si el movimiento fuera un proceso vivo los granos de polen se habrían quedado sin comida y habrían dejado de moverse. Pero no lo hicieron. 2. Las partículas totalmente carentes de vida presentaban exactamente el mismo comportamiento. Brown lo intento con partículas de hollín y otros materiales. Para las partículas de tamaño similar en agua a las mismas condiciones (por lo menos a la misma temperatura), el movimiento era siempre el mismo.
En los años 1860, varias personas habían propuesto que la danza observada por Brown era causada por las continuas colisiones entre granos de polen y moléculas de agua agitadas por su movimiento térmico. Además de esto científicos confirmaron que este movimiento browniano era más vigoroso a temperaturas más elevadas, como era de esperarse de la relación
${\frac {3}{2}}k_{B}T$
La explicación de este movimiento basada en el movimiento molecular fue criticada bajo dos puntos: 1. Si las moléculas son tan pequeñas ¿cómo puede una colisión molecular con un grano de polen, comparativamente enorme, hacer que el grano se mueva de forma apreciable?
2. La taza de colisiones vale por lo mínimo, $(10^{3}ms^{-1})(10^{-9}m)=10^{12}$ colisiones por segundo (de acuerdo a la definición de camino libre medio). ¿Cómo podría ver estos hipotéticos pasos de danza?
Así es cuando estaban las cosas cuando un estudiante de doctorado estaba terminando su tesis en 1905. Este era Albert Einstein. La tesis se retraso debido a que este inquieto estudiante tenía otras cosas metidas en su cabeza, entre ellas este movimiento tan peculiar.

## Los Caminos Aleatorios Conducen a Comportamientos Difusivos
### Caminos aleatorios

Imaginemos que desplazamos un marcador en la acera, debajo de un rascacielos (farol). Una vez por segundo lanzamos una moneda al aire. Cada vez que sale cara damos un paso al este, y cada vez que sale cruz, un paso hacia el oeste. Una persona está mirando desde lo alto de un edificio y no puede distinguir los posible cuadros marcados en la acera, ya que están demasiado lejos de ella. Pero pueden salir cierto número de caras o sellos seguidos de tal manera que se pueda realizar un trazo visible desde estas condiciones. Ciertamente estos acontecimientos son poco frecuentes ¿Podría esta persona seguir este juego desde su lejanía?
De la misma manera dijo Einstein que, aunque no podemos ver los pequeños y rápidos granos de polen debidos a las colisiones moleculares, podemos ver y veremos los desplazamientos grandes aunque sean poco frecuentes.
El hecho de que existan desplazamientos grandes poco frecuente se expresa mediante la frase de que un camino aleatorio presenta estructura en todas las escalas de longitud, y no sólo en la escala de un único paso. Además de concentrar el estudio en grandes desplazamientos infrecuentes no sólo da una visión diferente de los fenómenos que se cobijan bajo este aspecto si no que también nos dice algo del movimiento molecular invisible (esto es, el valor de la constante de Boltzmann).
Es fácil adaptar esta lógica a movimientos más realistas, en dos o tres dimensiones. Para dos dimensiones, podría ser el camino que recorre un borracho así este se convierte de un movimiento aleatorio unidimensional en uno bidimensional.
Suponiendo que La persona sale a la ventana del edificio después de tres horas. Cuando vuelva a mirar, es bastante improbable que nuestro marcador esté exactamente donde se encontraba al principio (si se quiere de otra manera que el borracho se recoja nuevamente en el farol). Después de 10000 marcaciones o pasos del borracho tendrían que haberse dado 5000 a la derecha y 5000 a la izquierda. Determinando los cálculos concluimos que es muy improbable que terminemos exactamente donde empezamos y peor aún que se hayan dado todos los 10000 pasos o marcaciones a la derecha o izquierda.

### La ley de difusión

Siguiendo con el ejemplo del borracho (en una sola dimensión), supongamos que cada paso tiene una longitud constante L. Así pues el desplazamiento del paso j es $k_{j}L$ , donde hay la misma probabilidad que $k_{j}$ valga +1 o -1 (consideremos el camino recto, no una subida o bajada, de ser así el borracho tendría una dirección más probable ya predeterminada). Denominamos $x_{j}$ la posición tras j pasos; la posición inicial es $x_{0}=0$ por lo que $x_{1}=k_{1}L$ y análogamente la posición tras j pasos es $x_{j}=x_{j-1}+k_{j}L$.
Nada podemos decir de pues el camino es aleatorio. LO que podemos afirmar con certeza es que el desplazamiento medio en un camino aleatorio es cero (debido a que son equiprobables los posibles pasos a la derecha o izquierda). Esto para valores grandes de N. Siguiendo este orden de ideas calculamos $\langle x_{N}^{2}\rangle$ (Promedio de la posición).
$\langle x_{N}^{2}\rangle =\langle (x_{N-1}+k_{N}L)^{2}\rangle =\langle (x_{N-1})^{2}\rangle +2L\langle x_{N-1}k_{N}\rangle +L^{2}\langle (k_{N})^{2}\rangle$
En esta última expresión, el término final es igual a $L^{2}$ porque $(\mp 1)^{2}=1$ Para el término del medio, observemos que podemos agrupar en pares los $2^{N}$ caminos posibles. Cada par consiste en dos caminos igualmente probables con el mismo $x_{N-1}$, que difiere sólo en su último paso, de manera que cada par tiene una contribución nula al promedio de $x_{N-1}k_{N}$. Así pues esta última ecuación afirma que un camino aleatorio de N pasos tiene un desplazamiento cuadrático medio mayor en $L^{2}$ que un camino de $N-1$ pasos, que a su vez es mayor en un término $L^{2}$ que un camino de $n-2$ pasos y así sucesivamente. Llevando esta lógica hasta el extremo tenemos que:
$\langle x_{N}^{2}\rangle =NL^{2}$
Podemos aplicar este resultado al problema inicial del movimiento del marcador o del borracho en una sola dimensión, a un paso por segundo. Donde $\Delta t=1s$. Definimos la constante de difusión del proceso como $D=L^{2}/(2\Delta t)$ . Entonces,
a. El desplazamiento cuadrático medio en un camino aleatorio unidimensional crece linealmente con el tiempo: $\langle x_{N}^{2}\rangle =2$ D $t$ , donde
b. La constante D es igual a $L^{2}/(2\Delta t)$.
La primera parte de esta idea es llamada la ley de difusión unidimensional. Como ejemplo, el intervalo entre cada paso puede ser $\Delta t=1s$, si el marcador realiza (o el borracho) pasos de 1cm de longitud obtenemos . Esta idea formula nuestras expectativas sobre caminos aleatorios. , si el marcador realiza (o el borracho) pasos de 1cm de longitud obtenemos $D=1m^{2}s^{-1}$ . Esta idea formula nuestras expectativas sobre caminos aleatorios.
Volviendo a la física del movimiento browniano, este resultado significa que, aunque no podamos ver los pasos elementales en nuestro microscopio, podemos, sin embargo medir D experimentalmente: simplemente anotando la posición inicial de una partícula coloidal, esperamos un tiempo t, anotamos la posición final y calculamos $x^{2}/(2t)$ . Repetimos la observación varias veces; el promedio de $x^{2}/(2t)$ da como resultado D. Si queremos profundizar en este aspecto podemos extendernos en dos o tres dimensiones. Como ejemplo en un tablero de ajedrez con casillas de tamaño L. también definimos D como $D=L^{2}(2\Delta t)$ . Ahora cada paso es una diagonal, así que la longitud esta dad por ${\sqrt {2}}L$ . Además la posición se puede orientar por medio de un vector así $\langle (r_{N})^{2}=\langle (x_{N})^{2}\rangle +\langle (y_{N})^{2}\rangle \rangle =4Dt$ . Esto es dos veces más grande que en el caso unidimensional mencionado anteriormente, análogamente para tres dimensiones tenemos:
$\langle (r_{N})^{2}\rangle =6Dt$
Puede ser muy confuso tratar todos estos casos distintos, pero los aspectos más importantes acerca de la ley de difusión son simples: en cualquier número de dimensiones, el desplazamiento cuadrático medio crece linealmente con el tiempo; de modo que la constante de proporcionalidad D tiene dimensiones de $L^{2}t^{-1}$.

#### De Macro a Micro

Con todo lo señalado y detallado anteriormente podemos concluir la idea de que el movimiento browniano proporciona una conexión entre el mundo microscópico y el macroscópico. Las observaciones de este movimiento no sólo ofrece un apoyo cualitativo a la teoría molecular del calor sino que aporta algo novedoso a la teoría cinética molecular, con relaciones entre los parámetros microscópicos (la longitud L y el intervalo temporal $\Delta t$ ) y una magnitud observable en los experimentos macroscópicos (la constante de difusión D).

#### La ley de difusión es independiente del modelo

Nos podríamos preocupar por si nuestro resultado simple, no pudiese vivir en un modelo más realista. Esta sección mostrará que bien por el contrario, la ley de difusión es universal, es decir, es independiente del modelo, siempre que tengamos una distribución de pasos aleatorios independientes. Para mayor simplicidad se seguirá trabajando en una sola dimensión. Supongamos que el marcador o el borracho efectúan pasos de diferentes longitudes. Tenemos un conjunto de números $P_{k}$, las probabilidades de dar un paso de longitud $kL$ , donde k es un número entero. La longitud $k_{j}$ del paso puede ser negativa o positiva dependiendo si se da el paso hacia delante o hacia atrás. Suponemos que las probabilidades relativas de las distintas longitudes del paso son las mismas para cada paso (es decir, para cada valor de existe una equiprobabilidad). Sea u el valor medio de $k_{j}$ :
$u=\langle k_{j}\rangle =\sum _{k}P_{k}$
u describe el movimiento impuesto al camino aleatorio. (El análisis reside en el hecho particular $P_{\pm j}=1/2$ para el caso $u=0$.
La posición media del caminante es ahora.
$\langle x_{N}\rangle =\langle x_{N-1}\rangle +L\langle k_{N}\rangle =\langle x_{N-1}\rangle +uL=NuL$
Para obtener esta última igualdad hemos advertido que un camino de N pasos puede ser construido paso a paso; el desplazamiento medio crece en $uL$ . También sabemos que en la difusión se presentan fluctuaciones con respecto al desplazamiento medio. Por consiguiente calculemos ahora la varianza (o desviación cuadrática media) de la posición real con respecto a la media (o promedio). La varianza esta dada por:
$varianza(x_{N})=\langle (x_{N-1}-u(N-1)L^{2}\rangle +2\langle (x_{N-1}-u(N-1)L)(k_{N}L-uL)+L^{2}(k_{N}-u)^{2}\rangle$

### Otros Caminos Aleatorios
#### La conformación de polímeros

Para determinar y examinar el estado físico y biológico de un polímero, hay que considerar varios aspectos ente los cuales se encuentra la configuración geométrica del elemento que implica una variable fundamental para el estudio teniendo en cuanta el ángulo de cada enlace químico. Aunque de los polímetros se pueden predecir varias cosas; aquí solo las fundamentales en el estudio de la difusión serán insinuadas ya que los polímeros tienen agentes externos que continuamente están afectando su estabilidad a cierto grado.
Partiendo de que el polímero es una cadena de clips que varia a cada instante su configuración espacial y esto afecta los ángulos que se buscan relacionar, aun en equilibrio térmico las juntas estarán formando ‘’esquinas’’ aleatorias.
Suponiendo que cada junta esta en uno de los ocho vértices de un cubo centrado en la junta anterior
Las aristas son de longitud 2L y de longitud de enlace raíz de tres L, el fragmento del camino es en 3D; en esta configuración, el salto del vértice n más 1 es el vector suma de un paso en cada dirección.
En cuestión de probabilidad es casi nulo que un polímetro tenga una configuración tal que se encuentre estirado en línea recta, pero esta situación puede manejarse probablemente si se consideras el polímero como una gota u ovillo aleatorio. La distancia cuadrática media del ovillo aleatorio puede calcularse y comprobarse experimentalmente, matemáticamente puede expresarse:
${\sqrt {\langle {\textbf {r}}_{N}^{2}\rangle }}={\sqrt {\langle x_{N}^{2}\rangle +\langle y_{N}^{2}\rangle +\langle z_{N}^{2}\rangle }}={\sqrt {3L^{2}N}}=L{\sqrt {3N}}$
Induciendo la idea general:
   Si condensan polímeros constituidos por números disparejas de unidades idénticas, el tamaño del ovillo correspondiente crece proporcionalmente a la raíz cuadrada de la masa molar
Para medir las constantes de difusión de algunos polímeros que han sido manipulados experimentalmente en disoluciones diluidas, se traen a mención las relaciones matemáticas de Stokes y de Einstein, a esta constante D se le previsto que esta a razón del radio del ovillo del polímetro. Lo cual hace predecir que D es proporcional a $M^{-1/2}$, deben representar las curvas $D=AM^{-1/2}$ para los valores de A. pero la predicción no muestra la relación exponencial presupuesta sino unas líneas rectas con pendientes negativas, donde operar la relación nos da un valor para la pendiente que confirmaría la idea de proporcionalidad anteriormente expresada.
Una consecuencia de esta idea es que los ovillos aleatorios de los polímeros son estructuras bastante sueltas, una unidad del un polímero podrá ocupar un volumen determinad v, para encajar N unidades necesitaría de una esfera de radio (ver copias). Lo más relevante del método con el cual se indujo esta idea es la de igualdad de probabilidad para sus unidades respecto a la posición que pueden ocupar con los lados opuestos del cubo.

##### La conformación de polímeros

La seroalbúmina:
M=6.6e4 g/mol; Rg= 3nm y Re= 2nm.
Catalasa:
M= 2.25e5 g/mol; Rg= 4nm y Re= 3nm.
Miosina
M= 4.93e5 g/mol; Rg= 47nm y Re=4nm.
DNA, in Vitro.
M= 4.0e6 g/mol; Rg= 117nm y Re= 7nm.

#### Perspectiva: caminos aleatorios en Wall Street

La bolsa de un sistema interactivo de innumerables subunidades biológicas independientes: los inversores. Cada inversor esta gobernado por una mezcla única de experiencia y conocimiento incompleto, cada uno de ellos depende de un agregado de decisiones de otros inversores para tomar la suya, así pues en estos sistemas es bastante complejo realizar una predicción debido a su complejidad.
Así, aunque no se puede conocer la información de un solo inversor, a lo largo si se puede hacer un pronóstico estadístico de la información que captura un inversor en el tiempo, esto conduce a cierta regularidad. La reducción global en el camino precede que con el tiempo invertir en los puntos receptores otorga beneficios. El camino es aleatorio, debe reflejarse en una distribución gaussiana y debe mostrar los tamaños de los pasos en un camino.

## La Difusión obedece a una ecuación sencilla

El movimiento de una partícula coloidal es casi completamente impredecible, pero se puede encontrar una propiedad de una función de probabilidad que describa dicho camino aleatorio. Podemos observar el comportamiento de una partícula coloidal, y dar su posición en un tiempo t, repetiríamos las observaciones y encontraríamos una distribución de probabilidad $P(x,t)dx$, lo anterior si monitorizamos su densidad.
De acuerdo con la Figura de la derecha, suponemos que la distribución en un estado inicial es uniforme y constante, en las direcciones $Y$ y $Z$ pero no en la $X$. Entonces, imaginamos que en un intervalo de tiempo dado $\Delta t$, cada partícula se desplaza a la izquierda o a la derecha una distancia L, aproximadamente la mitad de las partículas salta a la derecha y la otra mitad a la izquierda, pero habrán más que se desplazan desde la franja $x-L$ a la centrada en $x$, de la cual saltarán en dirección contraria, sencillamente por que más partículas situadas en $x-L$ y dispuestas a efectuar su salto.
Consideramos $N(x)$ el número total de partículas situadas en la franja central $x$, $Y$ y $Z$ son las dimensiones de la caja en sus respectivas direcciones $Y$ y $z$; entonces el flujo total de partículas que atraviesan la franja a de izquierda a derecha, la tomamos como la diferencia de los valores N en dos puntos próximos, teniendo en cuenta que las partículas que salten en dirección contraria se toman con un signo negativo, así que obtenemos:
${\frac {1}{2}}N(x-L)-N(x)$
Para simplificar la relación anterior, tomamos la distancia entre franjas como una distancia muy pequeña, entonces tenemos:
$N(x-L)-N(x)\longrightarrow -L{\frac {dN}{dx}}$
La concentración o la densidad numérica de partículas c(x), esta dada por el número de partículas N(x) en una franja dividido entre el volumen LYZ , en base a estos datos podemos hallar el flujo numérico $j$, el cual es la tasa media de partículas que cruza una superficie de área $A$:
$j={\frac {1}{YZ\times \Delta t}}\times {\frac {1}{2}}\times L\times \left(-{\frac {d}{dx}}LYZc(x)\right)=-{\frac {1L^{2}}{\Delta 2t}}\times {\frac {dc}{dx}}$
Anteriormente habíamos definido la constante de difusión como $D=L^{2}/2\Delta t$, reemplazando en la ecuación tenemos:
$j=-D{\frac {dc}{dx}}$
A la anterior ecuación, en un estado de difusión estacionario, se le conoce como Ley de Fick; j mide el número de partículas que se desplazan de izquierda a derecha. Es importante notar que si la distribución de probabilidad tiene algún orden o estructura la Ley de Fick explica que la difusión tenderá a borrarla, es por esto que la constante D determina que tan rápido se borrará la estructura, siendo D dependiente del tipo de difusión y de la temperatura.
Como vemos, la ley de Fick estable una ecuación con dos incógnitas, c y j, pero si queremos solucionar esta ecuación es necesario encontrar una ecuación con una incógnita o independiente de j y c.
Volviendo a la y recordando que j establece el flujo de partículas de izquierda a derecha, se observa que dichas partículas pueden cruzar en dado momento la franja a o b, entonces,
${\frac {d}{dx}}N(x)=YZj\left(x-{\frac {L}{2}}\right)-YZj\left(x+{\frac {L}{2}}\right)$
De la misma manera que para la Ley de Fick, consideramos la distancia entre franjas muy estrecha y dividimos entre el volumen LYZ, sí que obtenemos:
${\frac {dc}{dt}}={\frac {dj}{dx}}$
Si derivamos la ecuación de la Ley de Fick y reemplazamos en la anterior ecuación obtenemos de la Ley de Fick:
${\frac {dc}{dt}}=D{\frac {d^{2}c}{dx^{2}}}$
que corresponde a la Ecuación de Difusión.

## La Difusión y el Metabolismo Bacteriano

Suponiendo una bacteria esférica de radio R que esta sumergida en el agua de un lago y, además su naturaleza es aeróbica la cual la hace consumir el oxigeno en una concentración $c_{0}$ perteneciente al agua que la rodea, en una forma que se va gastando el mas próximo a ella y considerando también que el tamaño del lago en comparación con el de la bacteria es enorme de tal forma que el oxigeno consumido por esta no afecta de manera significativa la concentración de oxigeno presente en el lago la bacteria llegara a un estado en el cual la concentración c del oxigeno no dependerá del tiempo y dependerá de la distancia r al centro de la bacteria, es decir, ahora la concentración de dicho estado es $c(r)$.
De aquí que cada una de las moléculas de oxigeno que llegan a la superficie de la bacteria es tragada por esta de manera que en la superficie de la bacteria $c(R)=0$ que la ser estudiado a partir de la ley de Fick nos lleva a que debe haber un flujo j entrante de moléculas de oxigeno en la bacteria. Por ejemplo, necesitamos conocer la concentración c(r) y el numero máximo de moléculas de oxigeno que pudiera consumir nuestra bacteria por unidad de tiempo. Entonces imaginamos una serie de capas concéntricas de diferentes radios alrededor de nuestra esfera de donde asumimos que todas las moléculas de oxigeno que se dirigen hacia ella y atraviesan estas capas en tiempos iguales sin presentar acumulaciones en ninguna de ellas, lo que significa que el flujo j(r) es constante, es decir, que las moléculas atraviesan las capas por unidad de tiempo multiplicado por el área de la superficie de la capa que esta atravesando es el mismo para todas las capas e independiente de r. Llamamos I a esta constante.
La ley de Fick establece que $j=D(dc/dr)$ pero $j=I/(4\pi r^{2})$ con lo cual obtenemos que $c(r)=A-(1/r)(I/4\pi D)$ donde A es una constante de integración. Sabemos que la concentración cuando se encuentra a una distancia, por decirlo asi, infinita de la bacteria es igual a la concentración inicial $c_{0}$ y sobre la superficie de la bacteria es $c(r)=0$, entonces, según esto encontramos que $A=c_{0}$ e $I=4\pi DRc_{0}$.

## Relación de Nernst

Las moléculas tienen una carga eléctrica neta al ser suspendidas en agua, es asi como la sal común al disolverse en agua experimenta la separación de sus componentes en donde el átomo de cloro atrapa un electrón adicional del sodio dejando al cloro cargado negativamente y al sodio como un ion positivo. Cualquier campo eléctrico E presente en la disolución ejercerá fuerzas sobre cada uno de los iones individualmente, y los arrastrara hacia el fondo del recipiente donde se encuentran localizados.
Supongamos que nuestra disolución se encuentra con una distribución uniforme de carga q en presencia de un campo eléctrico E el cual es generado por una diferencia de potencial V entre dos placas paralelas que se encuentra a un distancia L ente ellas y estas a su vez contienen al recipiente de la muestra en el medio. La placa positiva se encuentra en la parte superior y la negativa en la inferior.
Entonces nuestra partícula experimenta una fuerza neta qE que la hará desplazarse a una velocidad $v=qE/\zeta$ donde $\zeta$ es el coeficiente de fricción viscoso del fluido donde se encuentra sumergida la mezcla. Imaginemos que cada uno de nuestros iones atravieza una red q es paralela a E y cuya area es A. sabemnos que el ion avanza una distancia $vdt$ en un tiempo $dt$ de modo que en este intervalo los iones en la malla serán de un numero similar al volumen $'Avdt'$. El numero total es el producto de este número por una densidad numerica c, de tal manera que el flujo j total es el numero de iones que cruzan por unidad de area y tiempo, es decir, cv, pero como conocemos el valor de v entonces el flujo es igual a $j=qEc/\zeta$ y se denomina flujo electroforético de iones.
Si la densidad de iones no fuera uniforme tendríamos que sumar este flujo a la ley de Fick obteniendo
$j(x)={\frac {qE(x)c(x)}{\zeta }}-D{\frac {dc}{dx}}$
de donde conocemos, gracias a la relación de Einstein que $\zeta =k_{B}T/D$ lo que significa que el flujo no es otra cosa que
$j=D\left(-{\frac {dc}{dx}}+{\frac {q}{k_{b}T}}\zeta c\right)$
que se conoce como Formula de Nernst-Planck la cual nos permite que campo eléctrico necesitamos para obtener un flujo igual a cero, es decir, $j=0$ de donde obtenemos que
${\frac {1}{c}}{\frac {dc}{dx}}={\frac {q}{k_{B}T}}\zeta$ para un sistema en equilibrio.
lo que conduce, luego de resolver para $c$, a la Relacíon de Nernst.

## Bibliográfia

[1] Termodinámica e introducción a la Mecánica Estadística; Julio Gratton; Notas de clase para el curso de Física 4 en el año 2000.
[2] Física Biológica, Energía, información, vida; Philip Nelson; University of Pennsylvania; Editorial Reverté, S.A.; Barcela, año 2004.