# Cálculo y análisis matemático/Ejercicios resueltos de Cálculo

Se presentan a continuación, ejercicios de cálculo organizados por tema, evaluando diferentes conceptos y con sus soluciones correspondientes.

## Números Complejos
### Ejercicio 1

Sean $a\in \mathbb {R} ;z,z_{0}\in \mathbb {C} .{\text{ Con }}z=x+iy$. ¿Qué representa la ecuación $z{\bar {z}}+z_{0}{\bar {z}}+{\bar {z_{0}}}z+a=0$ en el plano $xy$?
* Solución
* Consideramos $z_{0}=b+ic$, y uso la siguiente propiedad de números complejos: $z{\bar {z}}={|z|}^{2}=x^{2}+y^{2}$
* ${\begin{array}{ccccccccc}z{\bar {z}}&+&z_{0}{\bar {z}}&+&{\bar {z_{0}}}z&+&a&=&0\\x^{2}+y^{2}&+&(b+ic)(x-iy)&+&(b-ic)(x+iy)&+&a&=&0\\x^{2}+y^{2}&+&bx+cy+i(cx-by)&+&bx+cy-i(cx-by)&+&a&=&0\\x^{2}+y^{2}&+&bx+cy\ {\cancel {+i(cx-by)}}&+&bx+cy\ {\cancel {-i(cx-by)}}&+&a&=&0\end{array}}$
* $\Rightarrow x^{2}+y^{2}+2bx+2cy+a=0$
* A partir de acá tengo dos maneras de proceder, dependiendo cuales de las Fórmulas de la Circunferencia uso.
* Una de ellas dice que:
* $x^{2}+y^{2}+Ax+By+C=0\ (A,B,C\in \mathbb {R} )\Rightarrow \left\{{\begin{array}{l}A=2b\\B=2c\\C=a\end{array}}\right.$
* Y se debe cumplir que el radio sea un número real positivo, dado por la fórmula:
* ${\sqrt {{\frac {A^{2}}{4}}+{\frac {B^{2}}{4}}-C}}={\sqrt {{\frac {{(2b)}^{2}}{4}}+{\frac {{(2c)}^{2}}{4}}-a}}={\sqrt {{\frac {4b^{2}}{4}}+{\frac {4c^{2}}{4}}-a}}={\sqrt {b^{2}+c^{2}-a}}={\sqrt {{|z_{0}|}^{2}-a}}$
* En el caso de cumplirse, además obtenemos el centro de la circunferencia dado por la fórmula:
* $\left({\frac {-A}{2}},{\frac {-B}{2}}\right)=(-b,-c)$
* Otra de las Fórmulas de la Circunferencia dice:
* $(x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2}$ donde $(a,b)$ es el centro y $r$ el radio.
* Para llegar a esta fórmula tenemos que obtener el "cuadrado completo" de la ecuación:
* $x^{2}+y^{2}+2bx+2cy+a=0\Leftrightarrow x^{2}+2bx+y^{2}+2cy+b^{2}+c^{2}=-a+b^{2}+c^{2}\Leftrightarrow (x+b)^{2}+(y+c)^{2}=b^{2}+c^{2}-a$
* Entonces la respuesta es, que es una circunferencia si se cumple la condición:
* ${|z_{0}|}^{2}-a>0\Leftrightarrow {|z_{0}|}^{2}>a$.

### Ejercicio 2

Considere las raíces cúbicas de $i$, la unidad imaginaria, y las siguientes afirmaciones:
* Dos de las raíces tiene la misma parte imaginaria.
* Una de las raíces es imaginaria pura.
* Las raíces se corresponden con los vértices de un triángulo equilátero con centro en el origen.
* Solución
* Comienzo avierguando los complejos que cumplen: $z={\sqrt[{3}]{i}}$
* Para saber las raíces n-esimas de un complejo $a+bi$, debo averiguar su módulo y argumento:
* $\rho =|a+bi|={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}={\sqrt {0^{2}+1^{2}}}=1$
* $\varphi =argumento(a+bi)=tan^{-1}\left({\frac {b}{a}}\right)=tan^{-1}\left({\frac {1}{0}}\right)=tan^{-1}(\infty )={\frac {\pi }{2}}$
* Las raíces 3 tienen módulo ${\sqrt[{3}]{\rho }}$ y argumento ${\frac {{\frac {\varphi }{2}}+2k\pi }{3}},k\in \{0,1,2\}$
* $z_{0}=1\angle {\frac {\pi }{6}}$, $z_{1}=1\angle {\frac {5\pi }{6}}$ y $z_{2}=1\angle {\frac {9\pi }{6}}$
* Y su representación en el plano es la siguiente:
* De donde se deduce que las 3 afirmaciones son correctas.

## Función Inversa
### Ejercicio 1

Sea $\displaystyle F(x)=\int _{\pi }^{x}{\frac {e^{t}}{3+sen(t)}}dt$, cual es el valor de $(F^{-1})'(0)$?
* Solución
* Se cumple que $\displaystyle (F^{-1})'(0)={\frac {1}{F'(F^{-1}(0))}}$
* Y $F^{-1}(0)=A\Leftrightarrow F(A)=0$, y esto sucede cuando $x=\pi {\text{ en }}F(x)$ ya que:
* $\displaystyle F(\pi )=\int _{\pi }^{\pi }{\frac {e^{t}}{3+sen(t)}}dt=0$, puesto que una integral evaluada entre $\pi {\text{ y }}\pi$ vale 0.
* Entonces $F^{-1}(0)=A=\pi$ y ahora solo resta evalular $F'(F^{-1}(0))=F'(\pi )$.
* $F'(x)$ por ser ${\frac {e^{t}}{3+sen(t)}}$ continua (composición de funciones continuas) $\forall x\in \mathbb {R}$, entonces puedo aplicar el Teorema Fundamental del Cálculo que dice que $\displaystyle F'(x)={\frac {e^{x}}{3+sen(x)}}$.
* $\displaystyle F'(\pi )={\frac {e^{\pi }}{3+sen(\pi )}}={\frac {e^{\pi }}{3}}{\text{ y finalmente }}(F^{-1})'(0)=\displaystyle {\frac {1}{\frac {e^{\pi }}{3}}}={\frac {3}{e^{\pi }}}=3e^{-\pi }$

## Series
### Ejercicio 1

$a_{n}=\displaystyle \int _{0}^{\frac {\pi }{4}}{\frac {cos(x)-sen(x)}{(sen(x)+cos(x))^{n+1}}}dx{\text{ y }}b_{n}={\frac {1}{n}}-a_{n}{\text{ , con }}n\in \mathbb {R}$ Sean las series: $(I)\ \displaystyle \sum _{n=1}^{+\infty }a_{n}$ y $(II)\ \displaystyle \sum _{n=1}^{+\infty }b_{n}$ Estudiar convergencia de la series.
* Solución
* Aplico un cambio de variable a la integral:
* $u=sen(x)+cos(x){\text{ y }}du=cos(x)-sen(x)$
* Cambiando también los extremos:
* $sen(0)+cos(0)=1{\text{ y }}sen\left({\frac {\pi }{4}}\right)+cos\left({\frac {\pi }{4}}\right)={\sqrt {2}}$
* $\displaystyle \int _{1}^{\sqrt {2}}{\frac {1}{u^{n+1}}}du={\frac {-1}{nu^{n}}}{\bigg |}_{1}^{\sqrt {2}}={\frac {-1}{n{\sqrt {2}}^{n}}}+{\frac {1}{n1^{n}}}={\frac {1}{n}}-{\frac {1}{n{\sqrt {2}}^{n}}}$
* Entonces:
* $a_{n}={\frac {1}{n}}-{\frac {1}{n{\sqrt {2}}^{n}}}$
* $b_{n}={\frac {1}{n{\sqrt {2}}^{n}}}$
* Aplicamos el Criterio del cociente para series sobre $b_{n}$:
* $\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {\frac {1}{(n+1){\sqrt {2}}^{n+1}}}{\frac {1}{n{\sqrt {2}}^{n}}}}=\lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {n{\sqrt {2}}^{n}}{(n+1){\sqrt {2}}^{n+1}}}=\lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {n}{(n+1){\sqrt {2}}}}=\lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {n}{{\sqrt {2}}n+{\sqrt {2}}}}={\frac {1}{\sqrt {2}}}<1$
* $\Rightarrow b_{n}$ converge.
* Se sabe que $\displaystyle \sum _{n=1}^{+\infty }{\frac {1}{n}}$ diverge, entonces si: $\displaystyle a_{n}=\underbrace {\frac {1}{n}} _{\text{Diverge}}-\underbrace {\frac {1}{n{\sqrt {2}}^{n}}} _{\text{Converge}}$
* Y la suma de algo que diverge menos algo que converge, evidentemente sigue divergiendo.
* $\Rightarrow a_{n}$ diverge.

## Proyecto de aprendizaje

* Cálculo y análisis matemático