# Colisiones/Colisiones en tres dimensiones

Proyecto de aprendizaje: Colisiones

## Plano de colisión

Si únicamente actúan fuerzas centrales en el sistema de laboratorio en que una partícula esta incialmente en reposo, todas las aceleraciones estarán dirigidas en cada momento en la dirección de la recta que une las dos partículas en colisión, por lo que dicha fuerza central entre las dos partículas se puede expresar como:
   (1)${\vec {F_{1}}}({\vec {r}})=f(\|{\vec {r_{2}}}-{\vec {r_{1}}}\|){\frac {({\vec {r_{2}}}-{\vec {r_{1}}})}{\|{\vec {r_{2}}}-{\vec {r_{1}}}\|}}$
Ahora bien, si la partícula blanco está en reposo, el vector velocidad inicial de la partícula incidente y la recta que une las dos partículas determinan un subespacio de dimensión menor o igual a 2. Podemos entonces elegir un sistema de coordenadas con el eje Z perpendicular a dicho plano y expresar la componente Z de la fuerza (1) del siguiente modo:
   (2)$F_{1z}({\vec {r}})=m_{1}{\ddot {z}}_{1}=f(\|{\vec {r_{2}}}-{\vec {r_{1}}}\|){\frac {(z_{2}-z_{1})}{\|{\vec {r_{2}}}-{\vec {r_{1}}}\|}}$
Siendo las condiciones iniciales:
   (3)${\begin{Bmatrix}z_{1}(0)=z_{2}(0)\\{\dot {z}}_{1}(0)={\dot {z}}_{2}(0)=0\\{\ddot {z}}_{1}(0)={\ddot {z}}_{2}(0)=0\end{Bmatrix}}$
Donde las condiciones iniciales para la aceleración se deducen sustituyendo en la ecuación (2) las condiciones iniciales para la coordenada Z.
Haciendo entonces la suposición de que la componente Z del vector de posición es una función del tiempo infinitamente derivable, deduciremos que la función $g(\|{\vec {r_{2}}}-{\vec {r_{1}}}\|)={\cfrac {1}{m_{1}}}{\cfrac {f(\|{\vec {r_{2}}}-{\vec {r_{1}}}\|)}{\|{\vec {r_{2}}}-{\vec {r_{1}}}\|}}$ también lo ha de ser. Si escribimos ${\ddot {z}}_{1}=g(\|{\vec {r_{2}}}-{\vec {r_{1}}}\|)(z_{2}-z_{1})$, se puede demostrar por inducción que:
   (4)${\cfrac {d^{n}z_{1}}{dt^{n}}}=\sum _{i=0}^{n-2}{n-2 \choose i}{\cfrac {d^{i}g}{dt^{i}}}\left({\cfrac {d^{n-2-i}z_{2}}{dt^{n-2-i}}}-{\cfrac {d^{n-2-i}z_{1}}{dt^{n-2-i}}}\right)n\geq 2$
El caso n=2 ya está demostrado, si suponemos que se cumple para n, entonces el caso n+1 es
   ${\cfrac {d^{n+1}z_{1}}{dt^{n+1}}}=\sum _{i=0}^{n-2}{n-2 \choose i}\left[{\cfrac {d^{i}g}{dt^{i}}}\left({\cfrac {d^{n-1-i}z_{2}}{dt^{n-1-i}}}-{\cfrac {d^{n-1-i}z_{1}}{dt^{n-1-i}}}\right)+{\cfrac {d^{i+1}g}{dt^{i+1}}}\left({\cfrac {d^{n-2-i}z_{2}}{dt^{n-2-i}}}-{\cfrac {d^{n-2-i}z_{1}}{dt^{n-2-i}}}\right)\right]=$
   $=\sum _{i=0}^{n-2}{n-2 \choose i}{\cfrac {d^{i}g}{dt^{i}}}\left({\cfrac {d^{n-1-i}z_{2}}{dt^{n-1-i}}}-{\cfrac {d^{n-1-i}z_{1}}{dt^{n-1-i}}}\right)+\sum _{i=0}^{n-2}{n-2 \choose i}{\cfrac {d^{i+1}g}{dt^{i+1}}}\left({\cfrac {d^{n-2-i}z_{2}}{dt^{n-2-i}}}-{\cfrac {d^{n-2-i}z_{1}}{dt^{n-2-i}}}\right)=$
   $=g\left({\cfrac {d^{n-1}z_{2}}{dt^{n-i}}}-{\cfrac {d^{n-i}z_{1}}{dt^{n-i}}}\right)+\sum _{i=1}^{n-2}{n-2 \choose i}{\cfrac {d^{i}g}{dt^{i}}}\left({\cfrac {d^{n-1-i}z_{2}}{dt^{n-1-i}}}-{\cfrac {d^{n-1-i}z_{1}}{dt^{n-1-i}}}\right)+\sum _{i=0}^{n-3}{n-2 \choose i}{\cfrac {d^{i+1}g}{dt^{i+1}}}\left({\cfrac {d^{n-2-i}z_{2}}{dt^{n-2-i}}}-{\cfrac {d^{n-2-i}z_{1}}{dt^{n-2-i}}}\right)+{\cfrac {d^{n-1}g}{dt^{n-1}}}\left(z_{2}-z_{1}\right)=$
   (5)$=g\left({\cfrac {d^{n-1}z_{2}}{dt^{n-i}}}-{\cfrac {d^{n-i}z_{1}}{dt^{n-i}}}\right)+\sum _{i=0}^{n-3}{n-2 \choose {i+1}}{\cfrac {d^{i+1}g}{dt^{i+1}}}\left({\cfrac {d^{n-2-i}z_{2}}{dt^{n-2-i}}}-{\cfrac {d^{n-2-i}z_{1}}{dt^{n-2-i}}}\right)+\sum _{i=0}^{n-3}{n-2 \choose i}{\cfrac {d^{i+1}g}{dt^{i+1}}}\left({\cfrac {d^{n-2-i}z_{2}}{dt^{n-2-i}}}-{\cfrac {d^{n-2-i}z_{1}}{dt^{n-2-i}}}\right)+{\cfrac {d^{n-1}g}{dt^{n-1}}}\left(z_{2}-z_{1}\right)=$
   $=g\left({\cfrac {d^{n-1}z_{2}}{dt^{n-i}}}-{\cfrac {d^{n-i}z_{1}}{dt^{n-i}}}\right)+\sum _{i=0}^{n-3}\left[{n-2 \choose {i+1}}+{n-2 \choose i}\right]{\cfrac {d^{i+1}g}{dt^{i+1}}}\left({\cfrac {d^{n-2-i}z_{2}}{dt^{n-2-i}}}-{\cfrac {d^{n-2-i}z_{1}}{dt^{n-2-i}}}\right)+{\cfrac {d^{n-1}g}{dt^{n-1}}}\left(z_{2}-z_{1}\right)=$
   $=g\left({\cfrac {d^{n-1}z_{2}}{dt^{n-i}}}-{\cfrac {d^{n-i}z_{1}}{dt^{n-i}}}\right)+\sum _{i=0}^{n-3}{n-1 \choose {i+1}}{\cfrac {d^{i+1}g}{dt^{i+1}}}\left({\cfrac {d^{n-2-i}z_{2}}{dt^{n-2-i}}}-{\cfrac {d^{n-2-i}z_{1}}{dt^{n-2-i}}}\right)+{\cfrac {d^{n-1}g}{dt^{n-1}}}\left(z_{2}-z_{1}\right)=$
   $=g\left({\cfrac {d^{n-1}z_{2}}{dt^{n-i}}}-{\cfrac {d^{n-i}z_{1}}{dt^{n-i}}}\right)+\sum _{i=1}^{n-2}{n-1 \choose {i}}{\cfrac {d^{i}g}{dt^{i}}}\left({\cfrac {d^{n-1-i}z_{2}}{dt^{n-1-i}}}-{\cfrac {d^{n-1-i}z_{1}}{dt^{n-1-i}}}\right)+{\cfrac {d^{n-1}g}{dt^{n-1}}}\left(z_{2}-z_{1}\right)=$
   $=\sum _{i=0}^{n-1}{n-1 \choose {i}}{\cfrac {d^{i}g}{dt^{i}}}\left({\cfrac {d^{n-1-i}z_{2}}{dt^{n-1-i}}}-{\cfrac {d^{n-1-i}z_{1}}{dt^{n-1-i}}}\right)$
La ecuación (4) relaciona las derivadas de la variable $z_{1}$ con sus derivadas de orden inferior, lo que junto con las condiciones iniciales (3) permite demostrar que
   (6)${\cfrac {d^{n}z_{1}}{dt^{n}}}\left(0\right)=0$
De modo que, suponiendo que $z_{1}$ es analítica, un desarrollo de Taylor lleva a $z_{1}=0$ y de forma equivalente $z_{2}=0$. Se puede concluir entonces que las partículas se mantienen en todo momento en el plano definido por la velocidad inicial de la partícula incidente y la línea que une los dos puntos en el instante inicial.

## Sistema de laboratorio

En el plano de colisión, se puede escribir la conservación de la energía y del momento lineal en la forma:
   (7)$\left.{\begin{matrix}p_{1}=p'_{1}\cos \theta _{1}+p'_{2}\cos \theta _{2}\\0=p'_{1}\operatorname {sen} \theta _{1}-p'_{2}\operatorname {sen} \theta _{2}\\{\cfrac {p_{1}^{2}}{2m_{1}}}={\cfrac {p_{1}{'2}}{2m_{1}}}+{\cfrac {p_{2}^{'2}}{2m_{2}}}\end{matrix}}\right\$
Donde las variables sin primar corresponden al caso antes del choque y las primadas al de después del mismo. En (7) se conocen las masas y $p_{1}$, por lo que quedan 4 incógnitas, los momentos y los ángulos finales y sólo 3 ecuaciones, encontrándonos así con un sistema subdeterminado para el que existen diferentes estados finales para un mismo valor de $p_{1}$. El sistema se convierte en determinado si se incluye el parámetro de impacto, que es un parámetro difícil de conocer en la mayoría de las situaciones que se encuentran en el laboratorio. Resolviendo las ecuaciones de conservación del momento lineal en función de $\cos \theta _{1}$ se llega a:
   (8)$p_{1}^{2}+p_{1}^{'2}-2p_{1}p_{1}^{'}\cos \theta _{1}=p_{2}'$
Que al sustituirla en la ecuación de la conservación de la energía y resolviendo para $p_{1}'$:
   (9)${\cfrac {p_{1}'}{p_{1}}}={\cfrac {m_{1}}{m_{1}+m_{2}}}\cos \theta _{1}\pm \left[\left({\cfrac {m_{1}}{m_{1}+m_{2}}}\cos ^{2}\theta _{1}+{\cfrac {m_{1}-m_{1}}{m_{1}+m_{2}}}\right)\right]^{1/2}$
Una vez determinada $p_{1}'$, se puede calcular $p_{2}'$ y $\theta _{2}$.
El análisis de la ecuación (9) en función de la relación de masas permite extraer las siguientes conclusiones:
(a) Caso $m_{1}>m_{2}$
En este caso, el discriminante de (9) es negativo si $\theta _{1}>\theta _{m}$, siendo
   (10)$\cos ^{2}\theta _{m}=1-{\cfrac {m_{2}^{2}}{m_{1}^{2}}};0<\theta _{m}<{\cfrac {\pi }{2}}$
Por lo tanto, $\theta _{m}$ es el ángulo máximo de desviación de la partícula 1 y en el caso $m_{1}>>m_{2}$ se concluye que $\theta _{m}$ es próximo a cero, es decir, la partícula blanco no puede desviar significativamente al proyectil.
En particular, $\theta _{1}=0$ corresponde a los casos de ausencia de colisión (la partícula 1 pasa sin verse afectada por la 2) y de colisión frontal. Para este último caso, se tiene que ambas partículas acaban desplazándose hacia delante, siendo la más ligera la más veloz, ya que:
   (11)${\cfrac {p_{1}'}{p_{1}}}={\cfrac {m_{1}-m_{2}}{m_{1}+m_{2}}};\theta _{2}=0;{\cfrac {p_{2}'}{p_{1}}}={\cfrac {2m_{2}}{m_{1}+m_{1}}}$
De modo que ${\cfrac {v_{2}'}{v_{1}'}}={\cfrac {2m_{1}}{(m_{1}-m_{2})}}$
(b) Cuando las masas de las partículas son iguales:
   (12)${\cfrac {p_{1}'}{p_{1}}}=\cos \theta _{1};{\cfrac {p_{2}'}{p_{1}}}=\operatorname {sen} \theta _{1};\theta _{2}={\cfrac {\pi }{2}}-\theta _{1}$
Se ve que $\theta _{1}+\theta _{2}={\cfrac {\pi }{2}}$, es decir, en el sistema de laboratorio dos partículas de la misma masa salen con una separación de 90º.
En general, $\theta _{1}$ varía desde 0 (sin colisión) a ${\cfrac {\pi }{2}}$ (colisión frontal, con transferencia total de momento de una a otra partícula).
(c) Cuando $m_{1}>m_{2}$, todos los valores $0\leq \theta _{1}\leq \pi$ son posibles. El caso de colisión frontal tiene como parámetros:
   (13)$\theta _{1}=\pi ;\theta _{2}=0;{\cfrac {p_{1}'}{p_{1}}}={\cfrac {m_{2}-m_{1}}{m_{2}+m_{1}}};{\cfrac {p_{2}'}{p_{1}}}={\cfrac {2m_{2}}{m_{2}+m_{1}}}$

## Sistema del centro de masas

En el sistema centro de masas las ecuaciones que plasman la conservación del momento lineal y energía son:
   (14)${\begin{matrix}\|p_{1}\|=\|p_{2}\|=p\\\|p_{1}'\|=\|p_{2}'\|=p'\\\left({\cfrac {1}{2m_{1}}}+{\cfrac {1}{2m_{2}}}\right)p_{2}=\left({\cfrac {1}{2m_{1}}}+{\cfrac {1}{2m_{2}}}\right)p_{2}'\end{matrix}}$
De donde se deduce que $p=p'$, siendo por tanto el único dato que queda por determinar $\theta$

## Colisiones inelásticas

Hasta ahora hemos tratado el caso en que se conserva energía cinética (colisiones elásticas). Cuando dicha energía no se conserva, la colisión se conoce como inelástica. Una representación es considerar que las partículas emergentes son diferentes a las incidentes:
   (15)$1+2\rightarrow 3+4$
Pudiendo ser $1\equiv 3$ y $2\equiv 4$, salvo un cambio de energía interna.
Finalmente, la expresión de las ecuaciones a resolver es:
   (16)${\begin{matrix}p_{1}=p_{3}\cos \theta _{3}+p_{4}\cos \theta _{4}\\0=p_{3}\operatorname {sen} \theta _{3}-p_{4}\operatorname {sen} \theta _{4}\\T_{1}=T_{3}+T_{4}-Q\end{matrix}}$
Siendo $Q$ la energía absorbida o liberada.