# AM

La modulación AM (Amplitude Modulation) es un tipo de modulación lineal, siendo una de las modulación analógicas mas usadas, por no decir la que mas abunda en los sistemas de comunicaciones. La diferencia entre esta modulación y la DSB es que en esta última no tenemos energía en la portadora.

## Representación en tiempo y frecuencia

Su representación temporal es:
${\begin{aligned}&x_{AM}(t)=A_{c}\left(1+mx(t)\right)\cos(\omega _{c}t)\\&x(t){\text{ o }}\,x_{m}(t):{\text{ modulador}}\\&{\text{m: modulation index}}{\text{, indice de modulacion}}\\\end{aligned}}$
El índice de modulación nos dice indirectamente la amplitud de la portadora, y varia de 0 a 1, dandose su valor normalmente en porcentajes de 0% a 100%. En la función se considerá que $\left|x(t)\right|\leq 1\to S_{x}\leq 1$ .
También, debido a que los canales bloquean el paso de continua, nuestra señal no tendrá continua:
$m_{x(t)}=0\to {\frac {1}{T}}\int _{-\infty }^{\infty }{x(t)\partial t}=0$
Si vemos su representación en frecuencia:
${\begin{aligned}&x_{AM}(t)=A_{c}\left(1+mx(t)\right)\cos(\omega _{c}t)=A_{c}\cdot \cos(\omega _{c}t)+m\cdot x(t)\cos(\omega _{c}t)\\&\cos \left(\omega _{c}t\right)={\frac {e^{j\omega _{c}t}+e^{-j\omega _{c}t}}{2}}\\&\mathbb {F} \left[x_{AM}(t)\right]=X_{AM}(f)={\frac {A_{c}}{2}}\left(\delta \left(f-f_{c}\right)+\delta (f+f_{c})\right)+{\frac {A_{c}}{2}}m\left(X\left(f-f_{c}\right)+X(f+f_{c})\right)\\\end{aligned}}$
Como se ha dicho, en AM tenemos potencia en la portadora lo cual nos permitirá demodular usando detección por envolvente.

## Propiedades y DEP

${\begin{aligned}&x(t)=x_{I}(t)\cos(\omega _{c}t)-x_{Q}(t)\sin(\omega _{c}t)\to \\&s(t)=x_{AM}(t)=A_{c}\left(1+mx(t)\right)\cos(\omega _{c}t)\\&s_{I}(t)=A_{c}\left(1+mx(t)\right)\\&s_{Q}(t)=0\\&e(t)=A_{c}\left|\left(1+mx(t)\right)\right|\\&A_{c}\left|\left(1+mx(t)\right)\right|=A_{c}\left(1+mx(t)\right){\text{ si }}m\leq 1\\\end{aligned}}$
Para sacar la Densidad Espectral de Potencia, sacaremos primeramente la autocorrelación:
${\begin{aligned}&R_{AM}(\tau )={\underset {T\to \infty }{\mathop {\lim } }}\,{\frac {1}{T}}\cdot \int _{-\infty }^{\infty }{x_{AM}^{*}(t)\cdot x_{AM}(t+\tau )\partial t=}\\&{\underset {T\to \infty }{\mathop {\lim } }}\,{\frac {1}{T}}\cdot \int _{-\infty }^{\infty }{\left[A_{c}\left(1+mx(t)\right)\cos(\omega _{c}t)\right]^{*}\cdot \left[A_{c}\left(1+mx(t+\tau )\right)\cos \left(\omega _{c}\left(t+\tau \right)\right)\right]\partial t=}\\&{\underset {T\to \infty }{\mathop {\lim } }}\,{\frac {1}{T}}\cdot A_{c}^{2}\int _{-\infty }^{\infty }{\left(1+mx^{*}(t)\right)\left(1+mx(t+\tau )\right)\cos(\omega _{c}t)\cdot \cos \left(\omega _{c}t+\omega _{c}\tau \right)\partial t}=\\&{\underset {T\to \infty }{\mathop {\lim } }}\,{\frac {1}{T}}\cdot A_{c}^{2}\int _{-\infty }^{\infty }{\left(1+mx(t+\tau )+mx^{*}(t)+m^{2}x^{*}(t)x(t+\tau )\right)\cos(\omega _{c}t)\cdot \cos \left(\omega _{c}t+\omega _{c}\tau \right)\partial t}=\\&\left\{\cos a\cos b={\frac {\cos(a+b)+\cos(a-b)}{2}}\right\}\\&{\underset {T\to \infty }{\mathop {\lim } }}\,{\frac {1}{T}}\cdot A_{c}^{2}\int _{-\infty }^{\infty }{\left(1+mx(t+\tau )+mx^{*}(t)+m^{2}x^{*}(t)x(t+\tau )\right)\left({\frac {\overbrace {\cos(2\omega _{c}t+\tau )} ^{{\text{fuera del area de }}\int}+\overbrace {\cos(\omega _{c}\tau )} ^{\text{no depende de t}}}{2}}\right)\partial t}=\\&{\underset {T\to \infty }{\mathop {\lim } }}\,{\frac {1}{T}}\cdot {\frac {A_{c}^{2}}{2}}\cos(\omega _{c}\tau )\int _{-\infty }^{\infty }{\left(1+mx(t+\tau )+mx^{*}(t)+m^{2}x^{*}(t)x(t+\tau )\right)\partial t}=\\&\left\{m_{x}=0,{\frac {1}{T}}\int _{-\infty }^{\infty }{x(t)\partial t}\right\}\\&{\underset {T\to \infty }{\mathop {\lim } }}\,{\frac {1}{T}}\cdot {\frac {A_{c}^{2}}{2}}\cos(\omega _{c}\tau )\int _{-\infty }^{\infty }{\left(1+m^{2}x^{*}(t)x(t+\tau )\right)\partial t}=\\&{\frac {A_{c}^{2}}{2}}\cos(\omega _{c}\tau )\left(1+m^{2}\overbrace {\cdot {\underset {T\to \infty }{\mathop {\lim } }}\,{\frac {1}{T}}\cdot \int _{-\infty }^{\infty }{x^{*}(t)x(t+\tau )\partial t}} ^{R_{x}(\tau )}\right)={\frac {A_{c}^{2}}{2}}\left(1+m^{2}R_{x}(\tau )\right)\cos(\omega _{c}\tau )\\\end{aligned}}$
Por lo que la DEP:
${\begin{aligned}&R_{AM}(\tau )={\frac {A_{c}^{2}}{2}}\left(1+m^{2}R_{x}(\tau )\right)\cos(\omega _{c}\tau )\\&\mathbb {F} \left[R_{AM}(\tau )\right]=G_{AM}(f)\\&G_{AM}(f)={\frac {A_{c}^{2}}{4}}\left(\delta (f-f_{c})+\delta (f+f_{c})\right)+{\frac {A_{c}^{2}}{4}}\cdot m^{2}\left(G_{x}(f-f_{c})+G_{x}(f+f_{c})\right)\\\end{aligned}}$
Terminando, la potencia de la señal será:
${\begin{aligned}&R_{AM}(\tau )={\frac {A_{c}^{2}}{2}}\left(1+m^{2}R_{x}(\tau )\right)\cos(\omega _{c}\tau )\\&P_{AM}=S_{AM}=R_{AM}\left(\tau =0\right)\\&S_{AM}={\frac {A_{c}^{2}}{2}}\left(1+m^{2}S_{x}\right)\\\end{aligned}}$

## Relación señal a ruido de una señal AM, detección coherente

${\begin{aligned}&s(t)=x_{AM}(t)=A_{c}\left(1+mx(t)\right)\cos(\omega _{c}t)\\&s_{R}(t)=x_{AM}(t)\cdot^{g_{T}}\!\!\diagup \!\!_{L}\;\to \left\{A_{R}=A_{c}{\frac {g_{T}}{L}}\right\}\to \\&s_{R}(t)=A_{R}\left(1+mx(t)\right)\cos(\omega _{c}t)\\&y_{R}(t)=s_{R}(t)+n_{R}(t)\\&\left(^{S}\!\!\diagup \!\!_{N}\;\right)_{R}=?\\&G_{n_{R}}(f)=G_{n}(f)\cdot \left|H_{R}(f)\right|^{2}\to G_{n}(f)={\frac {\eta }{2}}\to N_{R}=\int _{-\infty }^{\infty }{G_{n_{R}}(f)\partial f}\\&N_{R}=2\int _{0}^{\infty }{{\frac {\eta }{2}}\cdot \prod {\left({\frac {f-f_{c}}{2W}}\right)}\partial f}=2{\frac {\eta }{2}}2W=\eta 2W\\&S_{AM}={\frac {A_{c}^{2}}{2}}\left(1+m^{2}S_{x}\right)\\&\left(^{S}\!\!\diagup \!\!_{N}\;\right)_{R}={\frac {S_{R}}{N_{R}}}={\frac {S_{R}}{\eta \beta _{T}}}={\frac {S_{R}}{\eta 2W}}={\frac {{\frac {A_{R}^{2}}{2}}\left(1+m^{2}S_{x}\right)}{\eta 2W}}\\\end{aligned}}$
Calculemos ahora, la relación señal a ruido en detección $\left(^{S}\!\!\diagup \!\!_{N}\;\right)_{D}$
${\begin{aligned}&s_{R}(t)=A_{R}\left(1+mx(t)\right)\cos(\omega _{c}t)\\&y_{R}(t)=s_{R}(t)+n_{R}(t)\\&y_{D}(t)=s_{D}(t)+n_{D}(t)\\&e_{s_{R}}(t)=\left|A_{R}\left(1+mx(t)\right)\right|{\xrightarrow[{m\leq 1}]}A_{R}\left(1+mx(t)\right)\\&s_{D}(t)\to e_{s_{R}}(t){\text{ }}\cdot {\text{ DC-Block}}\to A_{R}mx(t)\\&s_{D}(t)={\frac {A_{R}mx(t)}{2}}\\&n_{D}(t)=?\\&x(t)=x_{I}(t)\cos \left(\omega _{c}t\right)-x_{Q}(t)\sin(\omega _{c}t)\\&n(t)=n_{I}(t)\cos \left(\omega _{c}t\right)-n_{Q}(t)\sin(\omega _{c}t)\to n_{R}(t)=n_{R_{I}}(t)\cos \left(\omega _{c}t\right)-n_{R_{Q}}(t)\sin(\omega _{c}t)\\&n_{D}(t)=n_{R}(t)\cdot \cos(\omega _{c}t){\text{ y filtro }}\left|H_{LPF}(f)\right|^{2}\\&n_{D}(t)=\left(n_{R_{I}}(t)\cos(\omega _{c}t)-n_{R_{Q}}(t)\sin(\omega _{c}t)\right)\cdot \cos(\omega _{c}t)\to \left\{{\begin{aligned}&\cos a\cos b={\frac {\cos(a+b)+\cos(a-b)}{2}}\\&\sin a\cos b={\frac {\sin(a+b)+\sin(a-b)}{2}}\\\end{aligned}}\right\}\\&n_{D}(t)=n_{R_{I}}(t)\left({\frac {\overbrace {\cos(2\omega _{c}t)} ^{\text{eliminado por el filtro}}+1}{2}}\right)-n_{R_{Q}}(t)\left({\frac {\overbrace {\sin(2\omega _{c}t)} ^{\text{eliminado por el filtro}}+0}{2}}\right)\\&n_{D}(t)={\frac {n_{R_{I}}(t)}{2}}\\\end{aligned}}$
${\begin{aligned}&y_{D}(t)=s_{D}(t)+n_{D}(t)\\&s_{D}(t)={\frac {A_{R}mx(t)}{2}}\\&n_{D}(t)={\frac {n_{R_{I}}(t)}{2}}\\&\left(^{S}\!\!\diagup \!\!_{N}\;\right)_{D}={\frac {S_{D}}{N_{D}}}\\&G_{Y_{D}}(f)={\underset {T\to \infty }{\mathop {\lim } }}\,{\frac {\left|Y_{D}(f)\right|^{2}}{T}}\to S_{D}={\frac {A_{R}^{2}m^{2}S_{x}}{4}}\\&N_{D}={\frac {N_{R_{I}}}{4}}\to \left\{{\text{Propiedades: }}S_{x}=S_{x_{I}}=S_{x_{Q}}\right\}\\&N_{R}=\eta \beta _{T}=\eta 2W\to N_{D}={\frac {\left(\eta 2W\right)}{4}}\\&\left(^{S}\!\!\diagup \!\!_{N}\;\right)_{D}={\frac {S_{D}}{N_{D}}}={\frac {\frac {A_{R}^{2}m^{2}S_{x}}{4}}{\left(^{\eta 2W}\!\!\diagup \!\!_{4}\;\right)}}={\frac {A_{R}^{2}m^{2}S_{x}}{\eta 2W}}\\\end{aligned}}$

## Comparación mediante factor de calidad

Para comparar lo eficaz de nuestra modulación, podremos la relación señal a ruido de detección en función del factor de calidad.
${\begin{aligned}&\gamma ={\frac {S_{R}}{\eta W}}\\&S_{R}={\frac {A_{R}^{2}}{2}}\left(1+m^{2}S_{x}\right)\\&\left(^{S}\!\!\diagup \!\!_{N}\;\right)_{D}={\frac {A_{R}^{2}m^{2}S_{x}}{\eta 2W}}\to {\frac {A_{R}^{2}m^{2}S_{x}}{2}}{\frac {1}{\eta W}}\cdot {\frac {S_{R}}{S_{R}}}={\frac {A_{R}^{2}m^{2}S_{x}}{2}}{\frac {1}{\eta W}}\cdot {\frac {S_{R}={\frac {A_{R}^{2}}{2}}\left(1+m^{2}S_{x}\right)}{S_{R}={\frac {A_{R}^{2}}{2}}\left(1+m^{2}S_{x}\right)}}\to \\&\left(^{S}\!\!\diagup \!\!_{N}\;\right)_{D}={\frac {A_{R}^{2}m^{2}S_{x}}{2}}{\frac {1}{{\frac {A_{R}^{2}}{2}}\left(1+m^{2}S_{x}\right)}}{\frac {S_{R}}{\eta W}}={\frac {m^{2}S_{x}}{1+m^{2}S_{x}}}{\frac {S_{R}}{\eta W}}={\frac {m^{2}S_{x}}{1+m^{2}S_{x}}}\gamma \\\end{aligned}}$
En el mejor de los casos
$m=1\to {\frac {m^{2}S_{x}}{1+m^{2}S_{x}}}\gamma ={\frac {S_{x}}{1+S_{x}}}\gamma {\xrightarrow[{S_{x}\leq 1}]}{\frac {\gamma }{2}}$
Con lo que, el mejor de los casos, desperdicíamos la mitad de la potencia, debido a que tenemos energía en la portadora.

## Relación señal a ruido de una señal AM, detección por envolvente

${\begin{aligned}&\left(^{S}\!\!\diagup \!\!_{N}\;\right)_{D}=?\\&y_{R}(t)=s_{R}(t)+n_{R}(t)\\&n_{R}(t)=n_{R_{I}}(t)\cos(\omega _{c}t)-n_{R_{Q}}(t)\sin(\omega _{c}t)\\&s_{R}(t)=A_{R}\left(1+mx(t)\right)\cos(\omega _{c}t)\\&e_{s_{R}}(t)=\left|A_{R}\left(1+mx(t)\right)\right|{\xrightarrow[{m\leq 1}]}A_{R}\left(1+mx(t)\right)\\&s_{D}(t)=e_{s_{R}}(f){\text{ }}\cdot {\text{ DC-Block }}\to A_{R}mx(t)\\&y_{R}(t)=y_{R_{I}}(t)\cos(\omega _{c}t)-y_{R_{Q}}(t)\sin(\omega _{c}t)\\&y_{R}(t)=\underbrace {\left(A_{R}\left(1+mx(t)\right)+n_{R_{I}}(t)\right)} _{y_{R_{I}}(t)}\cos(\omega _{c}t)-\underbrace {n_{R_{Q}}(t)} _{y_{R_{Q}}(t)}\sin(\omega _{c}t)\\&y_{D}(t)=e_{y_{R}}(t)={\sqrt {\left(A_{R}\left(1+mx(t)\right)+n_{R_{I}}(t)\right)^{2}+n_{R_{Q}}^{2}(t)}}\\\end{aligned}}$
Ahora, hay dos escenarios posibles: señal con poco ruido, y señal con mucho ruido, que dependen directamente de lo buena que sea la relación señal a ruido en recepcion $\left(^{S}\!\!\diagup \!\!_{N}\;\right)_{R}$

### Señal con poco ruido

${\begin{aligned}&\left(^{S}\!\!\diagup \!\!_{N}\;\right)_{R}\uparrow \uparrow \\&y_{D}(t)=e_{y_{R}}(t)={\sqrt {\left(A_{R}\left(1+mx(t)\right)+n_{R_{I}}(t)\right)^{2}+n_{R_{Q}}^{2}(t)}}\\\end{aligned}}$
${\begin{aligned}&n_{R_{Q}}^{2}(t)\ll \left(A_{R}\left(1+mx(t)\right)+n_{R_{I}}(t)\right)^{2}\\&y_{D}(t)=e_{y_{R}}(t)\approx {\sqrt {\left(\underbrace {A_{R}\left(1+mx(t)\right)+n_{R_{I}}(t)} _{y_{R_{I}}(t)}\right)^{2}}}\\&y_{D}(t)=A_{R}\left(1+mx(t)\right)+n_{R_{I}}(t){\text{ y filtro DC}}\\&y_{D}(t)=A_{R}mx(t)+n_{R_{I}}(t)\\&S_{D}=A_{R}^{2}m^{2}S_{x}\\&N_{D}=N_{R_{I}}=N_{R}=\eta \beta _{T}=\eta 2W\\&\left(^{S}\!\!\diagup \!\!_{N}\;\right)_{D}={\frac {A_{R}^{2}m^{2}S_{x}}{\eta 2W}}={\frac {m^{2}S_{x}}{1+m^{2}S_{x}}}\gamma \\\end{aligned}}$
Sale lo misma relación señal a ruido que la detección coherente, con la ventaja añadida de usar un detector por envolvente, que es mucho mas barato y sencillo.

### Señal con mucho ruido

${\begin{aligned}&\left(^{S}\!\!\diagup \!\!_{N}\;\right)_{R}\downarrow \downarrow \\&y_{R}(t)=\underbrace {\left(A_{R}\left(1+mx(t)\right)+n_{R_{I}}(t)\right)} _{y_{R_{I}}(t)}\cos(\omega _{c}t)-\underbrace {n_{R_{Q}}(t)} _{y_{R_{Q}}(t)}\sin(\omega _{c}t)\\&y_{D}(t)=e_{y_{R}}(t)={\sqrt {\left(A_{R}\left(1+mx(t)\right)+n_{R_{I}}(t)\right)^{2}+n_{R_{Q}}^{2}(t)}}\\\end{aligned}}$
Para dibujar la representación mediante vectores, lo representaremos mediante la envolvente compleja:
${\begin{aligned}&{\tilde {x}}(t)=x_{I}(t)+jx_{Q}(t)=e(t)\cdot e^{j\phi (t)}\\&{\tilde {y}}_{R}(t)=\left(A_{R}\left(1+mx(t)\right)+n_{R_{I}}(t)\right)+j\cdot n_{R_{Q}}(t)\\&{\tilde {y}}_{R}(t)=\left(A_{R}\left(1+mx(t)\right)+n_{R_{I}}(t)\right)+n_{R_{Q}}(t)\cdot e^{j{\frac {\pi }{2}}}\\\end{aligned}}$
$A_{R}\left(1+mx(t)\right)\ll n_{R_{I}}(t)$
No podemos sacar $y_{D}(t)=e_{y_{R}}(t)$ directamente, por lo que tendremos que usar la siguiente aproximación: $\phi _{y_{R}}(t)\approx \phi _{n}(t)$
Por lo que: $b(t)\approx e_{n}(t)$ y sabiendo $\cos x={\frac {\text{cateto adyacente}}{\text{hipotenusa}}}$
${\begin{aligned}&\cos \phi _{y_{R}}(t)={\frac {a(t)}{A_{R}\left(1+mx(t)\right)}}\\&a(t)=A_{R}\left(1+mx(t)\right).\cos \phi _{y_{R}}(t){\xrightarrow[{\phi _{y_{R}}(t)\approx \phi _{n}(t)}]}a(t)=A_{R}\left(1+mx(t)\right).\cos \phi _{n}(t)\\&e_{y_{R}}(t)=a(t)+b(t)=A_{R}\left(1+mx(t)\right).\cos \phi _{n}(t)+e_{n}(t)\\\end{aligned}}$
Como se ve la demodulación no funcionará bien, habrá mucho ruido.
Por estos motivos se suele poner un limite inferior o threshold como valor mínimo de la relación señal a ruido para considerar que podemos demodular correctamente.
$\left(^{S}\!\!\diagup \!\!_{N}\;\right)_{R}\geq \left(^{S}\!\!\diagup \!\!_{N}\;\right)_{R_{\text{threshold}}}$
El valor de threshold no es fijo y dependerá de la calidad que queramos, pero podemos considerar 10 como un valor adecuado. (Además, el decibelios 10 vale también 10).
* Proyecto: Teoría de señales y comunicaciones
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