# Tabla del 99

La tabla del 99 tiene una propiedad muy especial para el cálculo de su producto. Esta tabla permite transformar la multiplicación en resta facilitando el cálculo de su producto.
La tabla del 99 podrá quizás ser considerada por muchos como una tabla muy difícil de aprender pero en realidad no es así. Para calcular los productos de esta tabla sin calculadora o inclusive con la propia mente puede utilizarse la siguiente fórmula:
·Sea "99" el número de la tabla.
·Sea "a" el número por el que se está multiplicando.
·Sea a > 0.
Entonces se cumple que:
99a = (a-1)·100+[99-(a-1)]

## Ejemplos

99·15 = (15-1)· 100+[99-(15-1)] = 14· 100+[99-14] = 1400+85 = 1485
99·51 = (51-1)· 100+[99-(51-1)] = 50· 100+[99-50] = 5000+49 = 5049
99·83 = (83-1)· 100+[99-(83-1)] = 82· 100+[99-82] = 8200+17 = 8217

## Ejemplos con números de 3 cifras

99·201 = (201-1)·100+[99-(201-1)] = 200·100+[99-200] = 20000-101 = 19899
99·673 = (673-1)·100+[99-(673-1)] = 672·100+[99-672] = 67200-573 = 66627
99·888 = (888-1)·100+[99-(888-1) = 887·100+[99-(887)] = 88700-788 = 87912

## Ejemplos con números de 4 cifras

99·2189 = (2189-1)+[99-(2189-1)] = 2188·1000+[99-2188)] = 218800-2089 = 216711
99·6724 = (6724-1)·100+[99-(6724-1)] = 6723·100+[99-6723] = 672300-6624 = 665676
99·9934 = (9934-1)·100+[99-(9934-1)] = 9933·100+[99-9933] = 993300-9834 = 983466

## Ejemplos con números racionales

99·3/5 = [(3/5)-1]·100+[99-((3/5)-1)] = (-2/5)·100+[99+(2/5)] = -40+(497/5) = 297/5
99·6/111 = [(6/111)-1]·100+[99-((6/111)-1)] = (-35/37)·100+[99+(35/37)] = (-3500/37)+(3698/37) = 198/37
99·13/81 = [(13/81)-1]·100+[99-((13/81)-1)] = (-68/81)·100+[99+(68/81)] = (-6800/81)+(8087/81) = 143/9

## Generalización de la fórmula para los números racionales negativos

Según las reglas de la aritmética si multiplicamos un número positivo (en este caso "99") por un número negativo (en este caso "-a",que como se había planteado anteriormente "a" es un número entero o racional positivo) obtendremos un número negativo cuyo valor absoluto será igual a 99a. Entonces cuando "a" toma un valor negativo habría que hacer una pequeña modificación a la fórmula.
·Sea "99" el número de la tabla.
·Sea "a" el número por el que se está multiplicando.
·Sea a < 0.
Entonces se cumple que:
99a = -[(a-1)·100+[99-(a-1)]]

## Generalización de la fórmula para los números imaginarios puros

Un número imaginario puro es aquel de la forma "ai", en que "a" es la parte real e "i" es la parte imaginaria. En este caso especial de los números imaginarios puros se da que el número imaginario puro "ai" es ya un producto, cuyos factores son "a" e "i", y como sabemos que el producto de "i" no varía al multiplicarse por un número real, entonces podemos deducir que al multiplicar "ai" por cualquier número real(en este caso "99"), btendríamos un producto que será igual al producto de ambos números reales por "i". Por lo tanto la Fórmula se aplicaría normalmente pero "i" quedaría multiplicando a la fórmula principal.
Sea "99" el número de la tabla.
Sea "ai" el número por el que se está multiplicando.
Sea "ai" un número imaginario puro.
Sea "i" la parte imaginaria de "ai".
Entonces se cumple que:
99ai= [(a-1)·100+[99-(a-1)]]·i

## Generalización de la fórmula para los números imaginarios puros negativos

Si bien se ha planteado anteriormente un número imaginario puro es de la forma "ai", ello no implica que "a" sea necesariamente un número real positivo, por lo tanto vamos a considerar a "a" como un número real negativo. Entonces la generalización de la fórmula sería:
Sea "99" el número de la tabla.
Sea "ai" un número imaginario puro.
Sea ai < 0.
Sea "i" la parte imaginaria del número imaginario puro.
Entonces se cumple:
99ai = -i·[(a-1)·100+[99-(a-1)]

## Generalización de la fórmula para los números complejos de la forma a+bi

Si tomamos un número complejo en su forma canónica a+bi, al multiplicarle por un número real (en este caso "99") daría como producto 99a + 99bi. Entonces al generalizar la fórmula quedaría:
Sea "99" el número de la tabla.
Sea "a+bi" un número complejo.
Entonces se cumple que:
99·(a+bi) = [(a-1)·100+[99-(a-1)]]+[(b-1)·100+[99-(b-1)]]·i

## Generalización de la fórmula para los números complejos de la forma -a-bi

Como se ha dicho anteriormente la forma canónica un número complejo es "a+bi", bueno, pues su conjugado es -a-bi. Si multiplicamos un número real (en este caso "99") por "-a-bi" obtenemos -99a-99bi también complejo. Entonces la fórmula generalizada quedaría así:
Sea "99" el número de la tabla.
Sea "-a-bi" un número complejo.
Sea "-a-bi > 0.
Entonces se cumple que:
99·(-a-bi) = -[(a-1)·100+[99-(a-1)]+[(b-1)·100+[99-(b-1)]i]]

## Generalización de la fórmula para los números complejos de la forma -a+bi

Si bien se ha dicho que la forma canónica de un número complejo es a+bi, ello no implica que "a" sea necesariamente un real positivo, por lo tanto vamos a considerar a "a" como un número real negativo. Por eso se da la siguiente generalización:
Sea "99" el número de la tabla.
Sea "-a+bi" un número complejo.
Entonces se cumple que:
99·(-a+bi) = -[(a-1)·100+[99-(a-1)]]+[b-1·100+[99-(a-1)]]·i

## Generalización de la fórmula para los números complejos de la forma a-bi

Si bien se ha dicho que la forma canónica de un número complejo es a+bi, ello no implica que "b" sea necesariamente un número real positivo, por lotanto vamos a considerar a "b" como un número real negativo. Por eso se da la siguiente generalización:
99·(a-bi) = [(a-1)·100+[99-(a-1)]]-[(b-1)·100+[99-(b-1)]]·i

## Generalización de la fórmula para tablas similares

Sin duda el hecho de transformar una multiplicación en resta habrá resultado fascinante, ya que seguramente muy pocos rebuscan en las estrañas de la matemática este tipo de fórmulas. Como ya se ha planteado anteriormente la fórmula sirve para hallar el producto de "99" por cualquier número entero o racional sea éste positivo o negativo, pero valdría la pena preguntarse si es que puede "99" ser reemplazado en la fórmula, cuya respuesta es que sí, sí puede ser reemplazado en la fórmula pero exclusivamente por números reales cuyas cifras sean igual a "9" no importando el número de cifras de dicho número. Sin embargo, ello también variaría en el sentido de que "100" de la fórmula principal se reemplazaría por 10^c,`donde "c" es el número de unidades del número de la tabla que se ha elegido.
Sea "x" un número racional peteneciente al intervalo [9,99,999,9999,...).
Sea "a" un número racional positivo.
Sea "c" el número de cifras de "x".
Entonces se cumple que:
xa = (a-1)·10^c + [X-(a-1)]
Sea "x" un número racional peteneciente al intervalo [9,99,999,9999,...).
Sea "a" un número racional negativo.
Sea "c" el número de cifras de "x".
Entonces se cumple que:
xa = - [(x-1)·10^c + [x-(a-1)]
Sea "x" un número racional peteneciente al intervalo [9,99,999,9999,...).
Sea "ai" un número imaginario puro.
Sea ai > 0
Sea "i" la parte imaginaria de "ai".
Sea "c" el número de cifras de "x".
Entonces se cumple que:
xai = [(a-1)·10^c + [x-(a-1)]]·i
Sea "x" un número racional perteneciente al intervalo [9,99,999,9999,...).
Sea "ai" un número imaginario puro.
Sea ai < 0.
Sea "i" la parte imaginaria de "ai".
Sea "c" el número de cifras de "x".
Entonces se cumple que:
xai = -[(a-1)·10^c + [x-(a-1)]]·i
Sea "x" un número racional perteneciente al intervalo [9,99,999,9999,...).
Sea "a+bi" un número complejo.
Sea "c" el número de cifras de "x".
Entonces se cumple que:
x·(a+bi) = [(a-1)·10^c + [z-(a-1)]+[((b-1)·10^c+[x-(b-1)]·i
Sea "x" un número racional perteneciente al intervalo [9,99,999,9999,...).
Sea "-a-bi" un número complejo.
Sea "c" el número de cifras de "x".
Entonces se cumple que:
x·(-a-bi) = -[[(a-1)·10^c + [x-(a-1)]+[(b-1)·10^c +[x-(b-1)]·i]]
Sea "x" un número racional pertneciente al intervalo [9,99,999,9999,...).
Sea "-a+bi" un número complejo.
Sea "c" el número de cifras de "x".
Entonces se cumple que:
x·(-a+bi) = -[(a-1)·10^c + [x-(a-1)]]+[(b-1)·10^c + [x-(b-1)]]
Sea "x" un número racional perteneciente al intervalo [9,99,999,9999,...).
Sea "a-bi" un número complejo.
Sea "c" el número de cifras de "x".
Entonces se cumple que:
x·(a-bi) = [(a-1)·10^c + [x-(a-1)]]-[(b-1)·10^c + [x-(b-1)]]·i

## Generalización a la tabla del 9

De modo coloquial podemos interpretar que:
- Para determinar el primer dígito del resultado debemos al segundo factor restarle 1
- Para determinar el segundo dígito del resultado debemos al 9 (número de la tabla) restarle el primer dígito del resultado
9 x 1 = 09
9 x 2 = 18
9 x 3 = 27
9 x 4 = 36
9 x 5 = 45
9 x 6 = 54
9 x 7 = 63
9 x 8 = 72
9 x 9 = 81
Dado la tabla anterior probemos la interpretación coloquial para el 4
- Para determinar el primer dígito del resultado (3) debemos al segundo factor (4) restarle 1
- Para determinar el segundo dígito (6) del resultado debemos al 9 (número de la tabla) restarle el primer dígito del resultado (3)