# Compendio de matemáticas puras y mistas (Tomo II)/Aplicacion del Álgebra á la Geometría
## APLICACION DEL ÁLGEBRA Á LA GEOMETRÍA

$x=a+b-c$
$x$
$DC$
$A$
$AB$
$a$
$B$
$BC=b$
$C$
$CE=c$
$AE=AB+BC-CE$
$a$
$b$
$c$
$AE=a+b+c$
$x=a+b-c$
$AE=x$
$x$
$c=a+b$
$x$
$A$
$c>a+b$
$x$
$x$
$AE'$
$x=a+b-c=AB+BC-CE'=-AE'$
$x={\frac {ab}{c}}$
$AV$
$AZ$
$VAZ$
$AE=c$
$AC=a$
$AD=b$
$E$
$D$
$ED$
$C$
$CB$
$DE$
$AB$
$x$
$AED$
$ACB$
$AE:AC::AD:AB={\frac {AC\times AD}{AE}}={\frac {ab}{c}}=x$
$x={\frac {a^{2}}{c}}={\frac {aa}{c}}$
$c$
$a$
$x={\frac {ab+db}{c+d}}$
$x={\frac {(a+d)b}{c+d}}$
$b$
$c+d$
$b$
$a+d$
$x={\frac {a^{2}-b^{2}}{c}}$
$\S$
$x={\frac {(a+b)(a-b)}{c}}$
$c$
$a+b$
$a-b$
$x$
$x={\frac {abc}{de}}$
$x={\frac {ab}{d}}\times {\frac {c}{e}}$
$d$
$a$
$b$
$m$
$m={\frac {ab}{d}}$
$x={\frac {m\times c}{e}}$
$e$
$m$
$c$
$x$
$x={\frac {b^{4}}{a}}$
$c$
$c^{2}$
$x={\frac {b^{4}}{c^{2}\times a}}={\frac {b^{2}}{c}}\times {\frac {b}{c}}\times {\frac {b}{a}}$
$c$
$b$
$m$
$x=m\times {\frac {b}{c}}\times {\frac {b}{a}}$
$c$
$m$
$b$
$n$
$x=n\times {\frac {b}{a}}$
$a$
$n$
$b$
$x$
$x={\frac {a}{b^{2}d^{2}}}$
$a$
$c=1$
$x={\frac {ac^{4}}{b^{2}d^{2}}}={\frac {ac}{b}}\times {\frac {c}{b}}\times {\frac {c}{d}}\times {\frac {c}{d}}$
$x={\sqrt {ab}}$
$AB$
$AC=a$
$CB=b$
$AB$
$ADB$
$C$
$DC$
$AC:DC::DC:CB$
$DC^{2}=AC\times CB=ab$
$DC={\sqrt {ab}}=x$
$x={\sqrt {abc}}$
$d$
$x={\sqrt {\frac {abc}{d}}}={\sqrt {{\frac {ab}{d}}\times c}}$
$d$
$a$
$b$
$m$
$x={\sqrt {mc}}$
$m$
$c$
$x={\sqrt {a}}$
$b$
$x={\sqrt {ab}}$
$x={\sqrt {a^{2}+2bc-{\frac {mnd}{p}}}}$
$2bc=ak$
${\frac {mnd}{p}}=ah$
$k={\frac {2bc}{a}}={\frac {2b\times c}{a}}$
$a$
$b$
$c$
$h={\frac {mnd}{ap}}={\frac {mn}{a}}\times {\frac {d}{p}}$
$2bc$
${\frac {mnd}{p}}$
$x={\sqrt {a^{2}+ak-ah}}={\sqrt {a(a+k-h)}}$
$a$
$a+k-h$
$x={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}$
$b^{2}=am$
$x={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}={\sqrt {a^{2}+am}}={\sqrt {a(a+m)}}$
$VAZ$
$AV$
$AB=a$
$AZ$
$AC=b$
$B$
$C$
$BC$
$x$
$ABC$
$BC^{2}=AB^{2}+AC^{2}=a^{2}+b^{2}$
$BC={\sqrt {a^{2}-b^{2}}}=x$
$x={\sqrt {a^{2}-b^{2}}}$
$a^{2}>b^{2}$
$AB=a$
$ACB$
$B$
$BC=b$
$A$
$C$
$CA$
$x$
$ACB$
$C$
$AC^{2}=AB^{2}-BC^{2}=a^{2}-b^{2}$
$AC={\sqrt {a^{2}-b^{2}}}=x$
$a^{2}>b^{2}$
$a>b$
$VAZ$
$AZ$
$AC=b$
$C$
$CB=a$
$B$
$AV$
$AB$
$x$
$AB={\sqrt {BC^{2}-AC^{2}}}={\sqrt {a^{2}-b^{2}}}=x$
$x={\sqrt {ab+c^{2}+ef-gh}}$
$ab=m^{2}$
$ef=n^{2}$
$gh=p^{2}$
$m={\sqrt {ab}}$
$n={\sqrt {ef}}$
$p={\sqrt {gh}}$
$x={\sqrt {m^{2}+c^{2}+n^{2}-p^{2}}}$
$m$
$c$
$BAC$
$BC^{2}=AB^{2}+AC^{2}=m^{2}+c^{2}$
$q$
$BC$
$q^{2}$
$m^{2}+c^{2}$
$x={\sqrt {q^{2}+n^{2}-p^{2}}}$
$C$
$CD=n$
$DB$
$r$
$BD^{2}=r^{2}=BC^{2}+CD^{2}=q^{2}+n^{2}$
$x={\sqrt {r^{2}-p^{2}}}$
$BD$
$BFD$
$D$
$DF=p$
$F$
$B$
$BF=x$
$BF^{2}=BD^{2}-DF^{2}=BC^{2}+CD^{2}-DF^{2}=AB^{2}+AC^{2}+CD^{2}-DF^{2}=m^{2}+c^{2}+n^{2}-p^{2}$
$BF={\sqrt {m^{2}+c^{2}+n^{2}-p^{2}}}={\sqrt {ab+c^{2}+ef-gh}}=x$
$x^{2}+px=q$
$x=-{\frac {1}{2}}p\pm {\sqrt {{\frac {1}{4}}p^{2}+q}}$
$x$
$\left\{{\begin{array}{c}x=-{\frac {1}{2}}+{\sqrt {{\frac {1}{4}}p^{2}+q}}\\x=-{\frac {1}{2}}-{\sqrt {{\frac {1}{4}}p^{2}+q}}\end{array}}\right.$
Para hallar estos valores de $x$ se construirá primero el radical ${\sqrt {{\frac {1}{4}}p^{2}+q}}$; pero como $q$ no tiene mas de una dimension, se multiplicará por la unidad espresada v.g. por $a$, y el radical se convertirá en ${\sqrt {{\frac {1}{4}}p^{2}+aq}}$; y haciendo $aq=m^{2}$, que da $m={\sqrt {aq}}$, el radical será ${\sqrt {{\frac {1}{4}}p^{2}+m^{2}}}$; por consiguiente formando un triángulo rectángulo $ABC$ (fig. 7) en que uno de los catetos $CA$ sea igual con ${\frac {1}{2}}p$; y el otro $CB=m$, se tendrá $AB={\sqrt {AC^{2}+CB^{2}}}={\sqrt {\left({\frac {1}{2}}p\right)^{2}+m^{2}}}={\sqrt {{\frac {1}{4}}p^{2}+m^{2}}}$; ahora, tomando desde $B$ hácia la izquierda una parte $BO=CA={\frac {1}{2}}p$, será $AO=AB-BO={\sqrt {{\frac {1}{4}}p^{2}+m^{2}}}-{\frac {1}{2}}p$, que es el primer valor de $x$.
Para construir el segundo, se tomará desde $A$ hácia la izquierda una parte $AM={\frac {1}{2}}p$, y desde $M$ tambien hácia la izquierda otra parte $MN={\sqrt {{\frac {1}{4}}p^{2}+m^{2}}}=AB$; y se tendrá $AN=-AM-MN=-{\frac {1}{2}}-{\sqrt {{\frac {1}{4}}p^{2}+q}}$.
Esc. Si $q$ fuese negativa se construiría el radical por lo dicho (16).
19 Para manifestar el modo de cifrar en ecuaciones las cuestiones de Geometría, resolverémos el siguiente problema.
Dado un triángulo $ABC$ (fig. 8) tirar paralelamente á uno de sus lados, tal como $AC$, una línea $DE$ que sea igual á una recta dada $MN$.
Res. y Dem. Como el triángulo es dado, quiere decir que son conocidos sus lados y todos sus datos; por lo que cual haciendo $AB=c$, $AC=b$, y la recta dada $MN=n$, todo estará en determinar en el lado $AB$ el punto $D$ por donde se ha de tirar la paralela que se pide. Luego tomando por incógnita la parte $AD$, que espresarémos por $x$, será $BD=c-x$, y los triángulos $BAC$, $BDE$, semejantes (I $\S$ 328), darán $AB:AC::BD:DE$, ó $c:b::c-x:n$, que da $cn=bc-bx$, y despejando $x$, se tendrá $x={\frac {bc-nc}{b}}={\frac {c(b-n)}{b}}$; cuyo valor manifiesta que la distancia $AD$ debe ser una cuarta proporcional á $b$, $c$ y $b-n$.
Este valor se podría construir (4) en un paraje cualquiera, y colocándole despues desde $A$ hácia $B$, se tendría determinado el punto $D$ que se busca; pero en esta clase de cuestiones es mas elegante el hacer la construccion en la misma figura que se da. Para esto, de la recta $AC=b$ se quitará una parte $CF=n$, y tirando por $F$ una paralela al lado $BC$, esta determinará en el lado $AB$ el punto pedido, de manera que $AD$ será el valor de $x$.
En efecto, la semejanza de los triángulos $ABC$, $AFD$ (I $\S$ 328) da $AC:AB::AF:AD$, ó $b:c::b-n:x={\frac {c(b-n)}{b}}$.
Si la línea $MN$ fuese mayor que $AC$, no se podría tirar en lo interior del triángulo $ABC$, sinó que sería necesario prolongar los lados $AB$, $BC$, y el problema debería decir por la prolongacion de uno de sus lados, etc., en vez de por uno de sus lados, etc. En este caso el punto que se pide sería el $D'$, el cual estaría por la parte inferior del punto $A$, como lo da á conocer el cálculo y la construccion.
En efecto, si se tiene $M'N'>AC$, resultará $n>b$; entóncesel factor $b-n$, que será negativo, hará que lo sea el valor de $x$, y por consiguiente que se debe tomar (3) desde $A$ hácia abajo; y como, haciendo la construccion en la misma figura, la línea $b-n$ será (3 esc.) la $AF'$ negativa, la recta $F'D'$ tirada por el punto $F'$ paralelamente á $BC$ no podrá encontrar sinó la prolongacion de $BA$ en el punto $D'$.
20 Tambien suceden aquí casos análogos á los que hemos espuesto (I 236); esto es, que muchas veces se enuncia como problema una proposicion que en realidad es teorema.