# Generalización de la fórmula de Simpson

Entre las fórmulas para las cuadraturas son notables la de los trapecios
| (α) | $\int _{a}^{b}f(x)\,dx={\frac {b-a}{2}}\left[f(a)+f(b)\right]+R$ | , |
donde
$R=-{\frac {\left(b-a\right)^{3}}{12}}f^{''}(u)$
y la de Simpson:
| (β) | $\int _{a}^{b}f(x)\,dx={\frac {b-a}{6}}\left[f(a)+4f\left({\frac {a+b}{2}}\right)+f(b)\right]+R$ |
donde
$R=-{\frac {\left(b-a\right)^{5}}{4!5!}}f^{IV}(u)$
representando constantemente con u un valor intermedio entre a y b. El resto en (α) es nulo, si f(x) es entera de primer grado, y en (β) el resto es nulo, si f(x) es entera de grado no superior al tercero.
Paralelamente a estas fórmulas están las de Gauss. La análoga a (β) es
| (β') | $\left\{{\begin{array}{lcl}\int _{a}^{b}f(x)\,dx&=&{\frac {b-a}{2}}\left[\left({\frac {a+b}{2}}-{\frac {1}{\sqrt {3}}}{\frac {b-a}{2}}\right)\right.\\&&+\left.f\left({\frac {a+b}{2}}+{\frac {1}{\sqrt {3}}}{\frac {b-a}{2}}\right)\right]+R\end{array}}\right.$ |
donde
$R=-{\frac {\left(b-a\right)^{5}}{180.4!}}f^{IV}(u)$
y el resto es nulo para las funciones de grado no superior al tercero.
Comparando las formulas (β) y (β'), que se pueden considerar como igualmente aproximadas, resulta que es más simple, en general, el cálculo de los tres valores $f\left(a\right)$, $f\left({\frac {a+b}{2}}\right)$, $f\left(b\right)$ que exige la fórmula (β), que el cálculo de los dos
$\left({\frac {a+b}{2}}-{\frac {1}{\sqrt {3}}}{\frac {b-a}{2}}\right)$
$\left({\frac {a+b}{2}}+{\frac {1}{\sqrt {3}}}{\frac {b-a}{2}}\right)$
que exige la fórmula (β'). Esto explica el mayor uso de la fórmula (β) de Simpson sobre la correspondiente (β') de Gauss.
Las fórmulas de Gauss constituyen una sucesión infinita, mientras que las fórmulas de los trapecios y de Simpson eran hasta ahora aisladas. Yo me propongo exponer aquí una sucesión de infinitas fórmulas de cuadratura, de las cuales las dos primeras son exactamente la (α) y la (β).
Por simplicidad supondremos los límites de la integral iguales a -1 y +1; así que basta hacer la sustitución
$x={\frac {a+b}{2}}+{\frac {b-a}{2}}x'$
donde se reduce a este caso.
La cuestión que proponemos es la siguiente: Determinar los n + 1 coeficientes A$_0$, A$_1$, ... A$_n$ y los n - 1 valores x$_1$, x$_2$, ... x$_{n-1}$ comprendidos entre -1 y +1 de tal manera que la fórmula
| (1) | $\left\{{\begin{array}{lcl}\int _{-1}^{1}f(x)\,dx&=&A_{0}f\left(-1\right)+A_{1}f\left(x_{1}\right)+A_{2}f\left(x_{2}\right)+...\\&&+A_{n-1}f\left(x_{n-1}\right)+A_{n}f\left(1\right)\end{array}}\right.$ |
exista, cualquiera sea la función f(x) entera de grado 2n - 1.
La solución es la siguiente. Hágase.
| (2) | $Y_{n}=\left({\frac {d}{dx}}\right)^{n-1}\left(x^{2}-1\right)^{n}$. |
Teniendo la función (x$^2$ - 1)$^n$ las raíces -1 y 1 múltiplos de orden n, su derivada (n-1)$^{ma}$, Y$_n$, tendrá las raíces x$_0$=-1, x$_n$=1, simples, y n - 1 raíces x$_1$, x$_2$, ... x$_{n-1}$ distintas y comprendidas entre -1 y +1. Se calculan los coeficientes A$_0$, A$_1$, ... con la fórmula
| (3) | $A_{r}=\int _{-1}^{+1}{\frac {\left(x-x_{0}\right)...\left(x-x_{r-1}\right)\left(x-x_{r+1}\right)...\left(x-x_{n}\right)}{\left(x_{r}-x_{0}\right)...\left(x_{r}-x_{r-1}\right)\left(x_{r}-x_{r+1}\right)...\left(x_{r}-x_{n}\right)}}dx$ |
Entonces existirá la fórmula (1).
De hecho, se divide la f(x), función entera de grado 2n - 1, por Y$_n$, de grado n + 1; son φ(x) el cociente, ψ(x) el resto, donde:
| (4) | $f(x)=\psi (x)+Y_{n}\varphi (x)$ |
Será ψ(x) de grado n, y φ(x) de grado n - 2. Atribuyendo a x los n + 1 valores x$_0$, x$_1$, ... x$_n$ por lo cual se anula Y$_n$, se tiene
$f(x_{0})=\psi (x_{0})$
$f(x_{1})=\psi (x_{1})$
$f(x_{n})=\psi (x_{n})$
Entonces la función ψ(x), entera, de grado n, del cual se conocen los valores para n + 1 valores de la variable, se puede expresar con la fórmula de interpolación de Lagrange:
| (5) | $\psi (x)=\sum _{r}{\frac {\left(x-x_{0}\right)...\left(x-x_{r-1}\right)\left(x-x_{r+1}\right)...\left(x-x_{n}\right)}{\left(x_{r}-x_{0}\right)...\left(x_{r}-x_{r-1}\right)\left(x_{r}-x_{r+1}\right)...\left(x_{r}-x_{n}\right)}}f(x_{r})$ |
De (4) se tiene:
| (6) | $\int _{-1}^{+1}f(x)dx=\int _{-1}^{+1}\psi (x)dx+\int _{-1}^{+1}Y_{n}\varphi (x)dx$ |
Ahora, de (5) y (3), se obtiene
| (7) | $\int _{-1}^{+1}\psi (x)dx=\sum _{r}A_{r}f(x_{r})$ |
Volviendo a la segunda integral, con la integración por partes se tiene:
${\begin{array}{lcl}\int Y_{n}\varphi (x)dx&=&\int \varphi (x)\left({\frac {d}{dx}}\right)^{n-1}(x^{2}-1)^{n}dx=\\&=&\varphi (x)\left({\frac {d}{dx}}\right)^{n-2}(x^{2}-1)^{n}-\varphi '(x))\left({\frac {d}{dx}}\right)^{n-3}(x^{2}-1)^{n}+...\\&\pm &\varphi ^{n-2}(x^{2}-1)^{n}\mp \int \varphi ^{n-1}(x)(x^{2}-1)^{n}dx\end{array}}$
Poniendo los límites -1 y +1, todos los terminos integrados en el segundo miembro se anulan, porque contienen el factor x$^2$ - 1; y como φ(x) es de grado n - 2, será φ$^{(n-1)}$(x)=0, donde:
| (8) | $\int _{-1}^{+1}Y_{n}\varphi (x)dx=0$ |
Sustituyendo en (6) a las dos integrales del segundo miembro sus valore dados a partir de (7) y (8), se tiene la fórmula (1) que se quiere demostrar.
La fórmula (1), exacta si f(x) es entera de grado 2n - 1, es aproximada si f(x) es una función arbitraria. Para calcular el error R tal que se tiene:
| (9) | $\int _{-1}^{+1}f(x)dx=\sum _{r}A_{r}f(x_{r})+R$ |
se forma la función F(x), entera, de grado 2n - 1, que satisface a las 2n condiciones:
$F(x_{0})=f(x_{0}),F(x_{1})=f(x_{1}),F(x_{2})=f(x_{2})$
$F(x_{n-1})=f(x_{n-1}),F(x_{n})=f(x_{n})$
$F'(x_{1})=f'(x_{1}),F'(x_{2})=f'(x_{2})...F'(x_{n-1})=f'(x_{n-1})$
Se tendrá, como es notorio:
| (10) | $f(x)=F(x)+(x-x_{0})(x-x_{1})^{2}(x-x_{2})^{2}...(x-x_{n-1})^{2}(x-x_{n}){\frac {f^{(2n)}(u)}{(2n)!}}$ |
Integrando se tendrá $\int _{-1}^{+1}F(x)dx=\sum _{r}A_{r}f(x_{r})$, donde
| (11) | $R=\int _{-1}^{+1}(x-x_{0})(x-x_{1})^{2}(x-x_{2})^{2}...(x-x_{n-1})^{2}(x-x_{n}){\frac {f^{(2n)}(u)}{(2n)!}}dx$ |
Llevando afuera del signo integral el factor ${\frac {f^{(2n)}(u)}{(2n)!}}$, cosa lícita, ya que el factor remanente tiene un signo constante en el intervalo de integración, se tiene:
| (12) | $R={\frac {f^{(2n)}(u)}{(2n)!}}\int _{-1}^{+1}(x-x_{0})(x-x_{1})^{2}(x-x_{2})^{2}...(x-x_{n-1})^{2}(x-x_{n})dx$ |
Haciendo n = 1, se tiene la fórmula de los trapecios (α). Para n = 2 se tiene la fórmula de Simpson (β). Para n = 3, haciendo los cálculos, se tiene:
$\int _{-1}^{+1}f(x)dx={\frac {1}{6}}f(-1)+{\frac {5}{6}}f\left(-{\sqrt {\frac {1}{5}}}\right)+{\frac {5}{6}}f\left({\sqrt {\frac {1}{5}}}\right)+{\frac {1}{6}}f(1)+R$
donde
$R=-{\frac {2^{5}}{3.5^{2}.7.6!}}f^{(6)}(u)$
y el resto es nulo para las funciones de grado inferior al 6º.
Para n = 4 se tiene:
$\int _{-1}^{+1}f(x)dx={\frac {1}{10}}f(-1)+{\frac {49}{90}}f\left(-{\sqrt {\frac {3}{7}}}\right)+{\frac {92}{45}}f(0)+$
$+{\frac {49}{90}}f\left({\sqrt {\frac {3}{7}}}\right)+{\frac {1}{10}}f(1)+R$
donde
$R=-{\frac {f^{(8)}(u)}{2^{2}.3^{4}.5^{2}.7^{3}}}=-{\frac {f^{(8)}(u)}{2778300}}$
Nota. — La misma cuestión ya fue tratada por D. Turazza, en su escrito: « Acerca del uso de los compartimentos desiguales en la búsqueda del valor numérico de un dato integral » (Memorias I. R. Instituto Véneto, vol. V, 1855, pág. 277-298). Sin embargo creo que son nuevas las expresiones de Y$_n$ y de los restos.