# Almagesto: Libro XIII - Capítulo 03

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## {Sobre los valores de la Inclinación y de la Oblicuidad para cada (Planeta)}

De las consideraciones anteriores uno puede inferir [deducir] la situación general y el establecimiento de las inclinaciones de [varios] círculos. Pero [concerniendo] para cada planeta el tamaño actual del arco cortado por la inclinación sobre el gran círculo dibujado perpendicularmente al plano de la Eclíptica a través de los polos del círculo inclinado (con respecto al cual [al gran círculo] están medidas las posiciones en Latitud), es fácilmente calculado para el caso de Venus y de Mercurio desde las posiciones aparentes en latitud en las situaciones [ya] descritas.
Dado que cuando sus movimientos en longitud los llevan hasta el apogeo o el perigeo de la excéntrica, si la posición del planeta esta en el perigeo o en el apogeo del Epiciclo, parecerán [tener], como dijimos, ([y] operando a partir de observaciones cercanas), una cantidad igual tanto al Norte como al Sur de la eclíptica: [para] Venus siempre alrededor de ⅙º al Norte, y [para] Mercurio siempre ¾º al Sur. Por consiguiente [concluimos que] las inclinaciones de las Excéntrica son de esos tamaños para cada uno. Pero si ellos están en una máxima elongación desde el Sol, ambos planetas parecen [estar por] alrededor de 5º (en promedio) mas al Norte o mas al Sur que en la máxima elongación opuesta: ya que Venus tiene una diferencia aparente en latitud del tipo mencionado [por ej. entre las máximas elongaciones de la mañana y de la tarde] por [un valor] insignificantemente menor que 5º en el apogeo de la excéntrica, e insignificantemente mayor que 5º en el perigeo, mientras que para Mercurio tiene alrededor de ½º [menor que y mayor que 5º en diferencia longitudinal en el apogeo y 180º desde el apogeo respectivamente]. Por consiguiente, la oblicuidad del epiciclo a ambos lados del plano de la excéntrica subtiende, en promedio, alrededor de 2 ½º del [gran] círculo ortogonal a la eclíptica. Desde esta [cantidad] el tamaño de los ángulos formados por la oblicuidad del epiciclo hasta el plano de la excéntrica [para cada planeta] puede ser hallado, como quedará claro seguidamente en nuestras pruebas acerca de ellos (Libro XIII Capítulo 4, Fig. 13.13) (con el fin de no fragmentar, en este punto, nuestra discusión sobre las inclinaciones, que tratará los cinco planetas en común).
Pero cuando su movimiento en longitud corregido los lleva hasta los nodos y [por consiguiente] muy cercanos a su distancia media: por lo tanto para Venus, cuando su posición esta cerca del apogeo del epiciclo, aparece 1º al Norte o al Sur de la eclíptica, y, cuando su posición esta cerca del perigeo, por alrededor de 6 ⅓º: por consiguiente la inclinación de su epiciclo también corta 2 ½º del gran círculo dibujado a través de sus polos por el camino descrito; dado que encontramos desde la [Tabla de] la Anomalía Epicíclica que en la distancia media tal cantidad [de 2 ½º] subtiende en el ojo del observador, un ángulo de 1;2º para [el planeta en] el apogeo del epiciclo, y 6;22º para [el planeta en] el perigeo. En cuanto a Mercurio, cuando su posición esta cerca del apogeo del epiciclo, como uno puede calcular desde las fases mas cercanas a él, este [se ubica] al Norte o al Sur de la eclíptica por 1 ¾º, y, cuando esta cerca del perigeo, por alrededor de 4º; por consiguiente la inclinación de su epiciclo llega a 6 ¼º. Porque nuevamente encontramos desde la [Tabla de] la Anomalía Epicíclica que en las distancias de la máxima inclinación, esto es cuando la longitud corregida esta a un cuadrante desde el apogeo, esta cantidad [de 6 ¼º] subtiende, en el ojo del observador, 1;46º para [el planeta en] el apogeo del epiciclo, y 4;5º para [el planeta en] el perigeo.
En el caso de los otros planetas, Saturno, Júpiter y Marte, no existe un método para hallar inmediatamente los tamaños de las inclinaciones [desde los datos observacionales], dado que ambas inclinaciones, aquella conectada con la excéntrica y aquella conectada con el epiciclo, siempre se entremezclan; sin embargo, una vez más, desde las posiciones latitudinales observadas en el perigeo y el apogeo de la excéntrica y del epiciclo, determinamos separadamente de la siguiente manera cada inclinación.
[Ver fig. 13.1] En el plano ortogonal a la eclíptica sea AB la intersección con él del plano de la eclíptica, y GD del plano de la excéntrica. Sea el punto E el centro de la eclíptica, y en la intersección de los planos, [aquel de la excéntrica y aquel ortogonal hasta la eclíptica], dibujar, en el plano definido, alrededor de G, el apogeo de la excéntrica, y alrededor de D, el perigeo, los círculos iguales ZHΘK y LMNX para representar los círculos a través de los polos de los epiciclos. Sobre esos círculos sean [dibujados] los planos de los epiciclos sobre las líneas HGK y MDX, inclinados, obviamente, en ángulos iguales en G y en D. Desde E, el centro de la eclíptica, en el cual esta el ojo del observador, dibujar unas líneas rectas uniéndolo hasta el apogeo y el perigeo de los epiciclos, EH y EM hasta los apogeos, y EK y EX hasta los perigeos. Esta claro que los puntos K y X representarán las posiciones en la oposición, y H y M aquellas en la conjunción.
Para Marte, luego, obtenemos las posiciones en latitud en torno de las oposiciones ocurriendo en el apogeo de la excéntrica (a saber, alrededor del punto K del epiciclo), y también en torno de las oposiciones ocurriendo en el perigeo de la excéntrica (esto es, alrededor del punto X del epiciclo), dado que la diferencia entre ellas es bastante notable. En las oposiciones cerca del apogeo este esta a 4 ⅓º al Norte de la eclíptica, y en aquellas cerca del perigeo alrededor de 7º al Sur. En consecuencia
el ^ AEK = 4 ⅓º donde 4 ángulos rectos = 360º el ^ BEX = 7º donde 4 ángulos rectos = 360º.
Con esto como dato, encontramos el ángulo formado por la inclinación de la excéntrica, a saber el ^ AEG, y aquel formado por la inclinación del epiciclo, a saber el ^ HGZ, de la siguiente manera.
Dado que es más fácil ver desde nuestras demostraciones de las anomalías de Marte que, si uno considera los ángulos subtendidos en el ojo del observador por arcos iguales del epiciclo cerca de su perigeo, aquellos [ángulos] para las posiciones cerca del apogeo de la excéntrica, mantienen a aquellos para las posiciones cerca del perigeo [de la excéntrica], una proporción de aproximadamente 5;9, y dado que
arco ΘK = arco NX, sigue que ^ GEK / ^ DEX = 5 / 9.
Entonces, ya que son dados los ángulos AEK y BEX, y la proporción de ^ GEK / ^ DEX esta dada,
y el ^ AEG = ^ BED,
si formamos la diferencia entre las magnitudes de todos los [ángulos, por ej. el ^ AEK y el ^ BEX] totales, y la diferencia entre [los miembros de] la proporción [por ej. 5 con 9], tomar la fracción cuya primera [diferencia] es de la segunda, y tomar aquella fracción de cada uno [de los miembros de la] proporción, tomaremos la magnitud correspondiente para cada una de las partes de la proporción. Esto puede ser probado por medio de un lema aritmético.
Entonces, dado que las magnitudes son 4 ⅓ y 7, y su diferencia es de 2 ⅔,
tomamos las dos terceras partes de 5 y 9 [respectivamente], y tomamos
el ^ GEK = 3 ⅓º y ^ DEX = 6º.
De acuerdo, por sustracción,
el ^ AEG = ^ BED = 1º, la inclinación de la excéntrica.
Por consiguiente el arco ΘK, representando la inclinación del epiciclo [de Marte], es de 2 ¼º, dado que desde la Tabla de la Anomalía encontramos que aquella cantidad [de 2 ¼º] le corresponde aproximadamente a las cantidades que hallamos para los ángulos GEK y DEX.
En el caso de Saturno y Júpiter, encontramos que las posiciones [latitudinales] que ocurren cerca del apogeo de la excéntrica, no son sensiblemente diferentes de aquellas diametralmente opuestas, cerca del perigeo. Entonces por otro camino calculamos los resultados requeridos, comparando las [posiciones latitudinales] cerca del apogeo del epiciclo con aquellas cerca del perigeo. Nos comienza a ser claro desde las observaciones individuales que en las posiciones cercanas a la primera y última visibilidad, [siendo de] alrededor de 2º para Saturno y 1º para Júpiter, mientras las posiciones cercanas a la oposición [en la máxima desviación latitudinal] es de alrededor de 3º para Saturno y de 2º para Júpiter. Ahora para esos planetas también es obvio desde la [Tabla de] la Anomalía que, si uno considera los ángulos subtendidos en el ojo del observador por arcos iguales cerca del apogeo y del perigeo del epiciclo, los ángulos subtendidos por arcos cerca del apogeo mantienen, para Saturno, una proporción de 18;23 para aquellos subtendidos por arcos cerca del perigeo y para Júpiter de 29;43;
y los arcos ZH y ΘK del epiciclo son iguales.
Entonces ^ ZEH / ^ ZEK = 18;23 para Saturno Entonces ^ ZEH / ^ ZEK = 29;43 para Júpiter.
Pero el ^ HEK, que es la diferencia entre las dos latitudes [en el apogeo y el perigeo del epiciclo], es, por sustracción, de 1º para ambos planetas. Por lo tanto, si dividimos este 1º [grado] en las relaciones anteriores (de arriba), tomamos,
el ^ ZEH = 0;26º para Saturno el ^ ZEH = 0;24º para Júpiter, y el ^ ZEK = 0;34º para Saturno y el ^ ZEK = 0;36º para Júpiter.
Entonces, por sustracción [desde el ^ AEK], la inclinación de la excéntrica
el ^ AEG = 2;26º para Saturno el ^ AEG = 1;24º para Júpiter.
En cambio de esas, para lograr una máxima simetría, hemos adoptado los números redondeados 2 ½º y 1 ½º. Entonces el arco ΘK, representando la inclinación del epiciclo, puede inmediatamente ser calculado como de 4 ½º para Saturno y de 2 ½º para Júpiter. Porque de nuevo, en las tablas de la anomalía para cada planeta, aquellas fueron las cantidades que corresponden aproximadamente a las cantidades que hallamos para los ángulos ZEH y ZEK.
Lo que se ha requerido para examinar.
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## Notas de referencia

* ↑ Sobre los capítulos 3 y 4 ver HAMA 208-16, Pedersen 361-85, Riddell, "Latitudes de Venus y Mercurio".
* ↑ "Círculo inclinado": Deferente o epiciclo según sea posible el caso.
* ↑ Desde las "observaciones cercanas" porque los planetas son invisibles cuando [están] precisamente en el apogeo o en el perigeo del epiciclo. La puntuación correcta de Heiberg insertando una coma después de  ("como dijimos"), no puede referirse al uso de observaciones cercanas, sino solo al hecho de que el planeta esta al Norte o al Sur, etc. (como al final del Libro XIII Capítulo 1).
* ↑ Ver HAMA 1279 Fig. 219b: Venus, en el Apogeo, esta al Norte para κ₀ = 90º, y al Sur para κ₀ = 270º.
* ↑ Para la relación con este cálculo ver HAMA 215. Desde la Tabla de la Anomalía, col. 6, para un argumento de 2 ½º cerca del apogeo le corresponde una ecuación en anomalía de 2;31º * 2 ½ / 6 ≈ 1;2º, mientras que para 2 ½º cerca del perigeo le corresponde 7;38º * 2 ½ / 3 ≈ 6;22º.
* ↑ Ver HAMA 1280 fig. 221: Mercurio en el apogeo esta al Norte para κ₀ = 270º y al Sur para κ₀ = 90º.
* ↑ Ver HAMA 216 (que tiene varios pequeños errores). La longitud corregida para Mercurio es exactamente de 90º desde el apogeo cuando la longitud media es de 92;52º. Desde la Tabla de la Anomalía, cols. 6-8, uno encuentra, para seg. κ = 92;52º y α = 6 ¼º, una ecuación de 1;45,51º, y para seg. κ = 92;52º y α = 173 ¾º, una ecuación de 4;4,47º, confirmando los cálculos de Ptolomeo.
* ↑ Eliminando  luego de  en H537,20 (en el manuscrito D). Alternativamente uno puede colocar un punto final después de  en H537,19 (en los manuscritos A y Is), y traducir "sea E el punto del centro de la elíptica y en la intersección de [todos los tres] planos. Luego dibujar...".
* ↑ Ver HAMA 209-10, Pedersen 363 (con la corrección en Toomer [3], 141) para la derivación de esta proporción desde la Tabla de la Anomalía.
* ↑ Dadas dos magnitudes A, B y la proporción l / m de las otras dos magnitudes, C, D tal que A = x + C, B = x + D, el lema establece que C = l * (B - A) / (m - l), D = m * (B - A) / (m - l). Demostración: dado que D / C = m / l, (D - C) / C = (m - l) / l. Pero D - C = B - A en consecuencia C = 1 * (B - A) / (m - l), D = C * m / l = m * (B - A) / (m - l).
* ↑ Para este método ver la nota de referencia anterior nro. 5. Aquí, desde la tabla Tabla de la Anomalía, cols. 5-7, para el argumento α = (180º - 2 ¼º) en la Máxima y Mínima distancia respectivamente, uno encuentra (5;45 - 1;16) * 2 ¼ / 3 ≈ 3;22º y (5;45 + 2;20) * 2 ¼ / 3 ≈ 6;4º (en el texto 3 ⅓º y 6º).
* ↑ Ver HAMA 211, donde sin embargo uno debería cambiar a c6 (183) / c6 (3) = 23 / 18 para Saturno y 43 / 29 para Júpiter, exactamente de acuerdo con Ptolomeo.
* ↑ Ver la nota de referencia anterior nro. 5. Aquí, desde la tabla Tabla de la Anomalía, col. 6 para Saturno, 0;36 * 4 ½ / 6 = 0;27º (en el texto 0;26º), y 0;23 * 4 ½ / 3 = 0;34,30º (en el texto 0;34º); para Júpiter 0;58 * 2 ½ / 6 = 0;24,10º (en el texto 0;24º); 0;43 * 2 ½ / 3 = 0;35,50 (en el texto 0;36).