# Matemáticas/Álgebra Abstracta/Grupos/Grupos
## Introducción

Los grupos representan, entre las estructuras algebraicas con una operación, aquellas con mayores propiedades algebraicas, ya que en un grupo la operación es asociativa, admite neutro y cada elemento es invertible respecto a la operación.
Dicha estructura aparecerá frecuentemente en todo nuestro trabajo posterior. Por esa razón, habrá varios capítulos dedicados al tema.
En los capítulos anteriores, los grupos fueron presentados conjuntamente con los semigrupos y monoides. Por comodidad para el lector, aquí revisaremos la mayoría de los temas referentes a grupos, aunque algunas veces referiremos al lector a los capítulos anteriores.

## Definiciones y Ejemplos

Definición. (Grupo) Un Grupo es una estructura algebraica $<G,*,e,x\mapsto x'>$ tal que:
       (i) G es un conjunto,
       (ii) * es una operación asociativa en G;
       (iii) e es un elemento neutro para la operación *;
       (iv) $x\mapsto x'$ es una función de $G$ en $G$ que asigna a cada elemento $x$ un elemento $x'$ que es un inverso de $x$ respecto a la operación.
Cuando no haya riego de confusión acerca de los parámetros de la estructura, podemos hablar del grupo <G,*> o del grupo G con la operación * o, simplemente del grupo G.
Nomenclatura.
* Decimos que un grupo es abeliano o conmutativo cuando la operación es conmutativa.
* Llamamos orden del grupo a la cantidad de elementos del conjunto y lo simbolizamos por $|G|.$
* Decimos que el grupo G es finito cuando su orden lo sea. En caso contrario, es un grupo infinito.

### Ejemplos de Grupos Numéricos

Empezaremos nuestros ejemplo con grupos de origen numérico.
* Los Enteros con la Adición. Se trata del grupo $\scriptstyle <\mathbb {Z} ,+,0,x\mapsto -x>$ que es infinito y abeliano. Este grupo nos servirá de motivación e ilustración para muchas nociones que veremos más adelante. Otros ejemplos numéricos posibles son:
* Los grupos aditivos de los Racionales, los Reales y los Complejos.
* Los grupos multiplicativos de $\mathbb {Q} ^{*},\ \mathbb {R} ^{*},\ \mathbb {C} ^{*}$ (Racionales, Reales, Complejos no nulos).
* El grupo aditivo de los Enteros módulo m, donde m es un entero cualquiera.
* El grupo multiplicativo de los Enteros módulo p, cuando p es un entero primo.
    Todos esos grupos son abelianos. Los dos últimos son finitos.
Ejemplos de Grupos no conmutativos.
* El Grupo Simétrico, S$_n$. Este grupo está formado por todas las biyecciones del conjunto I$_n$ = {1, 2, ... , n} en si mismo. La operación es la composición de funciones. Cuando n >2, el grupo no es conmutativo.
* (Grupo Lineal de dimensión 2), $GL_{2}(\mathbb {R} )$) El grupo determinado por las matrices 2 x 2 invertibles.
    Para detalles sobre estos dos grupos, mirar en el capítulo Semigrupos, Monoides y Grupos.

### Ejemplos de Grupos definidos por Tablas

Podemos usar tablas de operaciones para visualizar o definir operaciones en conjuntos donde la cantidad de elementos es pequeña.
Ejemplo.
Consideremos el subconjunto $U=\{1,-1,i,-i\}$ de los complejos, donde i$^2$ = -1. Veamos la tabla de multiplicación de ese conjunto.
${\begin{array}{r|rrrr}\cdot \ &1&-1&i&-i\\\hline 1&1&-1&i&-i\\-1&-1&1&-i&i\\i&i&-i&-1&1\\-i&-i&i&1&-1\end{array}}$
Mirando a la tabla, vemos que 1 es un neutro y que cada elemento de U tiene recíproco (o sea inverso multiplicativo) en U. Como la multiplicación es asociativa, tenemos que efectivamente se trata de un grupo. La simetría respecto a la diagonal principal refleja que el grupo es abeliano.
Notemos que cada elemento de U aparece una sola vez en cada fila y en cada columna del interior de la tabla. Tales arreglos de símbolos se llaman cuadrados latinos. Las tablas anteriores se denominan tablas de Cayley (en honor a Arthur Cayley (1821-1895), quien las introdujo junto con una noción (abstracta) de grupo).
Grupos definidos por tablas.
Las tablas siguientes definen operaciones que proveen al conjunto subyacente con una estructura de grupo.
    $(C_{1,a}){\begin{array}{c|c}&e\\\hline e&e\\\end{array}}\qquad (C_{2,a}){\begin{array}{c|cc}&e&a\\\hline e&e&a\\a&a&e\\\end{array}}\qquad (C_{3,a}){\begin{array}{c|cccc}&e&a&b\\\hline e&e&a&b\\a&a&b&e\\b&b&e&a\\\end{array}}\qquad$
    $(C_{4,a})_{1}{\begin{array}{c|cccc}&e&a&b&c\\\hline e&e&a&b&c\\a&a&e&c&b\\b&b&c&e&a\\c&c&b&a&e\\\end{array}}\qquad (C_{4,a})_{2}{\begin{array}{c|cccc}&e&a&b&c\\\hline e&e&a&b&c\\a&a&e&c&b\\b&b&c&a&e\\c&c&b&e&a\\\end{array}}\qquad (C_{4,a})_{3}{\begin{array}{c|cccc}&e&a&b&c\\\hline e&e&a&b&c\\a&a&b&c&e\\b&b&c&e&a\\c&c&e&a&b\\\end{array}}\qquad (C_{4,a})_{4}{\begin{array}{c|cccc}&e&a&b&c\\\hline e&e&a&b&c\\a&a&c&e&b\\b&b&e&c&a\\c&c&b&a&e\\\end{array}}$
    $({\text{Klein}})_{1}{\begin{array}{c|c}&e\\\hline e&e\\\end{array}}\qquad ({\text{Klein}})_{2}{\begin{array}{c|cc}&e&a\\\hline e&e&a\\a&a&e\\\end{array}}\qquad ({\text{Klein}})_{4}{\begin{array}{c|cccc}&e&a&b&c\\\hline e&e&a&b&c\\a&a&e&c&b\\b&b&c&e&a\\c&c&b&a&e\\\end{array}}$
Un examen de las tablas muestra que las operaciones son conmutativas. En cada caso, mirando a la primera fila y primera columna, (fila y columna de encabezados o datos) vemos que $e\,$ es un neutro para la operación. En cada caso se puede buscar los inversos de cada elemento, ubicando al elemento en la columna de datos, luego nos movemos por la fila donde estaba ese elemento hasta ubicar el neutro. Subiendo hasta la fila de datos, hallamos el inverso.
* En $(C_{4,a})_{3}$ tenemos que $e^{-1}=e,\ a^{-1}=c,\ b^{-1}=b{\text{ y }}c^{-1}=a.$
* En el grupo de Klein tenemos que cada elemento es su propio inverso.
Lo único que no se puede apreciar directamente de una tabla es si la operación es asociativa o no. Esto se deberá hacer por un examen exhaustivo de casos (bastante largo y aburrido) o por otro medio. Creyendo que las operaciones indicadas son asociativas (verificar unos tres casos) las tablas anteriores son tablas de grupos.
El grupo U, visto arriba, y el grupo de Klein son diferentes. La diferencia esencial no es que haya letras diferentes para los elementos, sino en sus propiedades algebraicas. Esto se puede apreciar porque la ecuación $x*x=e$ tiene dos soluciones en el primero (1*1 = 1 y (-1)*(-1)=1), mientras que tiene cuatro en el segundo. Sin embargo, mirando con cuidado, debería apreciarse que U y $C_{4,a}$ son esencialmente el mismo grupo. Esto implica, que a pesar del nombre de sus elementos los grupos $C_{4,a}$ y de Klein son diferentes grupos.
El grupo C$_{2,a}$ es representativo de todos los grupos con 2 elementos. Cualquier grupo con dos elementos tendrá un neutro, al que podemos llamar $e,$ y un elemento diferente del neutro, que podemos llamar $a.$ La primera columna y la primera fila de la tabla quedan determinada por las propiedades del neutro. Solamente nos falta ver que pasa con $a*a.$ Hay solamente dos posibilidades $a*a=e{\text{ o }}a*a=a.$ Observemos que si $a*a=a,$ multiplicando por el inverso de a en ambos lados obtendríamos que a = e, lo que es imposible. Luego, $a*a=e,$ lo que nos dice que $a^{-1}=a.$

## Propiedades Básicas

En esta sección, G es un grupo con neutro e y para cada x, x' denota un inverso de x. Algunas propiedades son generales de operaciones, neutros e inversos, pero las repetiremos aquí, tanto por completitud como por lo que la estructura de grupo agrega.

### Propiedades del Neutro

* El neutro es único.
    Si e y e' son neutros entonces e * e'= e (ya que e' es neutro) y, también, e * e' = e' (ya que e es neutro). Luego, e' = e.
Recordemos que, por definición, e es un neutro de una operación * en un conjunto E, ssi, para todo a en E se cumple que a*e=a y e*a=a. En un grupo, veremos que basta que un elemento e cumpla con una de las ecuaciones anteriores para un solo elemento, para ser neutro.
* Si, para algún a en G, se tiene que a * x = a (o que x * a = a) entonces x = e.
    Sea a' un inverso de a. Entonces,
    Análogamente para el otro caso.
* (Corolario). Si x * x = x entonces x = e.
    Esta aparentemente inocente propiedad puede servir para probar que un elemento de un grupo es el neutro.

### Propiedades de los Inversos

* Cada elemento tiene un único inverso.
    Suponer que y, y' son inversos de x Entonces,
$y=y*e=y*(x*y')=(y*x)*y'=e*y'=y'.$
Como hay un único inverso, podemos hablar de el inverso de x, al que denotaremos usualmente por $x^{-1}.$
Por definición, un elemento y es un inverso de x, ssi, x * y = e y y * x = e. Veremos, que en un grupo, con solamente una de esas ecuaciones se tiene que y es el inverso de x.
* Si a * x = e (o x * a = e) entonces x = a$^{-1}$.
    a * x = e ==> a$^{-1}$*(a * x) = a$^{-1}$* e ==> (a$^{-1}$ * a)* x = a$^{-1}$ ==> x = a$^{-1}$.
    Análogamente el otro caso.
    Luego, para mostrar que b es un inverso de a, basta con verificar que a * b = e (o que b*a = e).
* El inverso del inverso de un elemento, es el mismo elemento. (a$^{-1}$)$^{-1}$=a.
    Como a * a$^{-1}$ = e, el resultado sigue de lo dicho arriba.
* El inverso de un producto es igual al producto de los inversos, pero con el orden invertido. (a*b)$^{-1}$ = b$^{-1}$*a$^{-1}$.
       (a*b) * (b$^{-1}$*a$^{-1}$)=a*(b*b$^{-1}$)*a$^{-1}$ = a*a$^{-1}$ = e, se tiene el resultado.

### Propiedades Cancelativas

Proposición 1. (Leyes de Cancelación) Sea G un grupo. Para todo a, b,c en G se cumple que:
    (a) (Cancelación por la izquierda) a*b = a*c ==> b = c.
    (b) (Cancelación por la derecha) b*a = c * a ==> b = c.
Demostración: Basta en (a) premultiplicar por a$^{-1}$ o en (b) posmultiplicar por a$^{-1}$.

### Ecuaciones en un grupo

Proposición 2. Sea $G$ un grupo. Para todo a, b en G se cumple que
Para simplificar la escritura y la lectura, de ahora en adelante, a menos que se indique lo contrario, el producto se denotará como la multiplicación usual por "$\mathbf {\cdot }$" o, como es costumbre, simplemente estará implícito entre los operandos.

### Propiedades Heredadas

Sea $<G,*,e,x\mapsto x'>$ un grupo. Si ignoramos o nos olvidamos del elemento neutro y de la existencia de inversos, obtenemos una estructura <G,*> de semigrupo, a la que llamamos el semigrupo subyacente del grupo G. Igualmente, si solo nos olvidamos de los inversos, obtenemos un monoide subyacente.
Como consecuencia de lo anterior, los grupos heredan todas las propiedades de los semigrupos, monoides y, por supuesto, de los magmas.

### Ejercicios

* Explicar de manera cuidadosa por qué los Racionales con la suma determinan un grupo y por qué los Racionales no nulos con la multiplicación determinan un grupo.
* Probar que en un grupo, un elemento que es inverso por la izquierda de otro elemento, también es inverso por la derecha de ese elemento. Es decir, que es un inverso del elemento. (Un elemento x'es inverso por la izquierda (resp. derecha) de x, ssi, x'* x = e (resp. x * x'= e).
* Resolver la ecuación $x*a*b*x*c=x*b*a$ en un grupo abeliano. ¿Cómo cambia la respuesta, si no suponemos conmutatividad?
* Sea G un grupo y Z(G) el subconjunto de G formado por todos aquellos elementos que conmutan con todos los elementos del grupo. $Z(G):=\{x\in G|{\text{para todo }}g\in G,xg=gx\}.$ Probar que Z(G) es una parte cerrada de G que contiene al neutro y a los inversos de sus elementos.
* Sea G un grupo y $a_{1},a_{2},\dots ,a_{n}$ elementos del grupo. Probar que: $(a_{1}*a_{2}*\dots *a_{n})^{-1}=a_{n}^{-1}*\cdots *a_{2}^{-1}*a_{1}^{-1}$
* Sea G un grupo y a un elemento de G. Sea $L_{a}$ (resp. $R_{a}$) la función de G en si mismo tal que $L_{a}(g)=a*g$ (resp. $R_{a}(g)=ga$). Probar que $L_{a}$ (multiplicación por la izquierda de a) y $R_{a}$ (multiplicación por la derecha de a) son biyectivas. ¿Dónde en una tabla de operaciones de un grupo se puede ver los valores de $L_{a}$ (resp. de $R_{a}$)?.
* Sea S un semigrupo donde las funciones $L_{a}$ y $R_{a}$ definidas como en el ejercicio anterior son biyectivas. Probar que $S$ es un grupo. ¿Es realmente necesario suponer que ambas funciones son biyectivas? (ver el próximo ejercicio.)
* Sea $<S,*>$ un semigrupo que tiene un neutro por la izquierda e inversos por la izquierda para todos sus elementos. Es decir que: Probar que $<S.*>$ es un grupo. (Sug. Probar primero que $a*a'=e_{L},$ evaluando adecuadamente $a*a'*a*a'$)
** hay un elemento $e_{L}$ tal que para todo $a$ en $S'$ se cumple que $e_{L}*a=a,$ y
** para cada $'A$ de $S$ hay un $a'$ tal que $a'a=e_{L}.$
* Construir la tabla de la multiplicación de los enteros no nulos módulo 5 y módulo 6. Verificar que en el primer caso tenemos un grupo, pero no en el segundo caso.(Buscar los recíprocos de cada elemento).
* Sea G un grupo y sea a un elemento de G. Probar que el conjunto formado por todas las potencias naturales de a es una parte cerrada de G respecto a la operación.

## Potencias en un Grupo

Sea G un grupo con neutro e. Sea a un elemento de G. Para todo número natural n, la enésima potencia de a es, intuitivamente, el producto de a consigo mismo n veces. Formalmente, se define la potencia n--ésima recursivamente por:
Notemos que $\scriptstyle a^{1}=a^{0+1}=a^{0}*a=e*a=a,\quad a^{2}=a^{1+1}=a^{1}*a=a*a,\quad a^{3}=a^{2+1}=a^{2}*a=(a*a)*a,$ etc.
Proposición. (Propiedades de Potencias)
Sean a, b elementos del grupo y m, n naturales (o cero).
* $a^{m+n}=a^{m}*a^{n}.$
* $a^{mn}=(a^{m})^{n}.$
* si $a*b=b*a$ entonces $(a*b)^{n}=a^{n}b^{n}.$
    Demostración de (a): (Por inducción sobre n.) Sea m un natural cualquiera
    (n=0) $a^{m+0}=a^{m}=a^{m}*e=a^{m}*a^{0}.$
    Supongamos el resultado válido cuando $n=k,k\geq 0.$ Entonces,
    $a^{m+(k+1)}=a^{(m+k)+1}=a^{m+k}*a=a^{m}*a^{k}=a^{m}*a^{k+1}$
    El resto se prueba de manera semejante.
Podemos extender la definición de potencias para exponente nulo o negativo, agregando que
${\text{ d. }}\quad a^{-n}:=(a^{-1})^{n}.$
Es fácil verificar que las propiedades anteriores, también son válidas para exponentes negativos. Por ejemplo, si m es negativo y n positivo, se tiene que
$(a^{m})^{n}=((a^{-1})^{-m})^{n}=(a^{-1})^{-mn}=a^{mn}$

#### Notación aditiva

Cuando la operación se escribe aditivamente, la operación de un elemento consigo mismo n veces, es un múltiplo del elemento.
$ma=a+a+\cdots +a\quad {\text{(n veces)}}..$
Con esa notación, tenemos que las propiedades básica de los múltiplos enteros son:
       (a) $(m+n)a=ma+na.$
       (b) $(mn)a=m(na).$
       (c) si $a+b=b+a$ entonces $m(a+b)=ma+mb.$
       (d) $(-n)(a)=n(-a).$

### Orden de un Elemento

El orden de un elemento de un monoide fue definido el capítulo Estructuras. Recordemos el orden finito de un elemento es el menor entero positivo $n$ tal que $a^{n}=e.$ Aquí revisaremos la noción aplicada, principalmente, a elementos de un grupo. Sea $a$ un elemento de un monoide con neutro $e,$ la definición de potencia con exponente natural $n$ hace sentido en un monoide, ya que no necesitamos de la existencia de inversos para probar las propiedades básicas. Consideremos la sucesión $(a^{n}),$ $n$ en $\mathbb {N} .$
$e=a^{0},\ a,\ a^{2},\ \dots \ a^{n},\ \dots .$
Cuando todos los elementos de la sucesión son diferentes entre sí, decimos que el orden de $a$ es infinito y escribimos $o(a)=+\infty .$
Supongamos, ahora, que en la sucesión apareciera un término que fuera igual a un término anterior. Digamos que $a^{s}=a^{r}$ con $s>r.$ ¿Qué podemos concluir? Simplemente que a partir de el término $r$--ésimo tendremos una porción de la sucesión que se repetirá indefinidamente. Por ejemplo con $r=2,s=7,$ se tiene la sucesión
$e,a,a^{2},a^{3},a^{4},a^{5},a^{6},a^{2},a^{3},a^{4},a^{5},a^{6},a^{2},\dots$
Por ejemplo, en $\mathbb {Z} _{10},$ con la mutgiplicación, tenemos que para las potencias naturales de 2, la sucesión (escribimos $x$ en lugar de $[x]$).
$1,2,4,8,6,2,4,8,6,\dots$
Recordemos que $\mathbb {Z} _{10}$ con la multiplicación no es un grupo. ¿Qué pasa cuándo estamos trabajando con un grupo y se tiene que $a^{s}=a^{r},$ $s>r$? Si $a^{s}=a^{r},$ multiplicando por el inverso de $a^{r},$ se tiene que $a^{s}(a^{r})^{1}=e,$ o sea que $a^{s-r}=e.$ Es decir, que tenemos un entero positivo $t$ tal que $a^{t}=e.$ De acuerdo a la definición citada de orden, esto significa que $a$ tiene orden finito.
Proposición 3. (Orden de un elemento en un grupo $G$) Sea $G$ un grupo con neutro $e.$ Entonces, para todo $a$ en $G$ se cumple que una, y solo una, de las alternativas siguientes:
Luego, en un grupo cada elemento o tiene orden finito o tiene orden infinito.
Corolario 3.1. Sea $G$ un grupo finito con orden $|G|=n.$ Cada elemento $a$ de $G$ tiene orden finito y $o(a)\leq |G|.$
Ejemplos.
* En el grupo aditivo de los Enteros módulo 6, tenemos que (recordemos que potencias son los múltiplos) $o(0)=1,\quad o(1)=6,\quad ,o(2)=3,\quad ,o(3)=2,\quad o(4)=3,\quad o(5)=6$
* En el grupo de los Enteros, todos los elementos no nulos tienen orden infinito.
* En el grupo multiplicativo de los Complejos, el imaginario $i$ tiene orden 4.
Notemos que cuando $o(a)=n,$ entonces para cualquier múltiplo de $n,$ digamos $kn$ se cumple que $a^{kn}=(a^{n})^{k}=e^{k}=e.$ La siguiente proposición, nos da un recíproco de ese resultado.
Proposición 4. Sea $a$ un elemento de un grupo $G.$ Sea $m$ un entero positivo tal que $a^{m}=e.$ Entonces el orden de $a$ es un divisor de $m.$

### Grupos Cíclicos

Definición. (Grupo Cíclico) Llamamos grupo cíclico a un grupo cuyos elementos son todos potencias enteras de uno de sus elementos. Dicho elemento se dice que es un generador del grupo.
Escribiremos $G=\langle a\rangle$, cuando G sea un grupo cíclico con generador a.
Las potencias de un elemento de un grupo tienen las propiedades usuales de las potencias. Ver los ejercicios. En particular se tiene que
$a^{r}a^{s}=a^{r+s},\quad a^{0}=e,$
* Los grupos cíclicos son grupos abelianos. (a$^r$a$^s$ = a$^{r+s}$ = a$^{s+r}$ = a$^s$a$^r$.)
* El inverso de a$^r$ es a$^{-r}$. (a$^r$a$^{-r}$ = a$^{r+(-r)}$ = a$^0$ =e.)
Notemos que cuando la notación es aditiva, en lugar de potencias tenemos múltiplos. Es decir, que en este caso un grupo es cíclico si todos su elementos son múltiplos de uno de ellos.
Ejemplo. (Los Enteros son un grupo cíclico.) Como para todo número entero m se cumple que $m=1\cdot m,$ vemos todos los enteros son múltiplos del número 1, Es decir que Los Enteros son un grupo cíclico con generador 1. Observemos que -1 también es un generador de $\mathbb {Z} ,$ por lo que un grupo cíclico puede tener más de un generador.
Ejemplo (Los Números Pares con la Suma).
Los números pares son los números enteros que son múltiplos de 2. Denotamos al conjunto de pares por $2\mathbb {Z} .$ Como la suma de números pares es un número par, la suma define una operación en el conjunto de los pares. La operación es asociativa, con neutro 0 (que es un número par). Cada número par, 2x, tiene como opuesto aditivo a 2(-x) que también es par. Este grupo es cíclico generado por 2, $\scriptstyle 2\mathbb {Z} =\langle 2\rangle .$
Ejemplo. (Múltiplos de un número fijo).
Este ejemplo generaliza al ejemplo anterior. Consideremos el conjunto $m\mathbb {Z}$ formado por todos los múltiplos enteros de un número entero fijo m.
$m\mathbb {Z} =\{0,\pm m,\pm 2m,\ldots \}$
La suma de mx con my es igual a m(x+y), o sea un múltiplo de m. Tenemos que el neutro 0 (= m*0 ) es un múltiplo de m. El opuesto aditivo de mx es m(-x). Luego, $<m\mathbb {Z} ,+>$ es un grupo cíclico con generador m.
Como este grupo es un grupo respecto a las mismas operaciones del grupo $\mathbb {Z} ,+,0,x\mapsto -x>$ se dice que es un subgrupo de los Enteros con la suma.
Ejemplo (Raíces n-ésimas de la unidad).
Llamamos raíz n-ésima de la unidad a cualquier número complejo $z$ tal que $z^{n}=1.$ Consideremos el caso $n=12$ y sea
$\zeta =e^{(2\pi /12)}=\cos(\pi /6)+i\operatorname {sen}(\pi /6).$
* Recordando la relación de Moivre que establece que $(\cos(\theta )+i\operatorname {sen}(\theta ))^{r}=\cos(r\theta )+i\operatorname {sen}(r\theta ),$ tenemos que $\zeta ^{12}=\cos(12\pi /6)+i\operatorname {sen}(12\pi /6)=1.$ Es decir que $\zeta$ es una 12--ésima raíz de la unidad.
* Usando Moivre, tenemos que $\zeta ^{k}=\cos(k\pi /6)+i\operatorname {sen}(k\pi /6).$
* Cualquier potencia entera de \theta es también una raíz 12--ésima $(\zeta ^{k})^{12}=\zeta ^{12k}=(\zeta ^{12})^{k}=1^{k}=1.$
* Hay solamente $\scriptstyle n$ raíces diferentes de la unidad: $1,\theta ,\theta ^{2},\dots ,\theta ^{n-1}.$
Sea $m$ un entero cualquiera, la división por $n$, nos produce $q$ y $r$ tales que $m=qn+r$, con $0\leq r<n.$
Luego $\theta ^{m}=\theta ^{qn+r}=\theta ^{qn}\theta ^{r}=\theta ^{r}.$ Lo que prueba que hay $n$ raíces de la unidad: $\theta ^{r},r=0,1,2,\dots ,n-1.$
Simbolizaremos por $U_{n}(\mathbb {C} )$ al conjunto formado por todas las raíces enésimas de la unidad. $U_{n}(C)$ es un grupo cíclico con $n$ elementos.
Observemos que $U_{4}(\mathbb {C} )$ es nuestro viejo conocido $\langle i\rangle =\{1,-1,i,-i\}.$

### Ejercicios

* Sean $\alpha =e^{i(\pi /6)}=\cos(\pi /6)+i{\rm {{sen}(\pi /6)}}$ una raíz sexta de la unidad. Sean $\beta =\alpha ^{2}$ y $\gamma =\alpha ^{3}.$ Hallar los ordenes de $\alpha ,\quad \beta ,\quad \gamma ,\quad \beta \gamma$ .
* (Orden de un producto) Sean $a,$ $b$ elementos de un grupo abeliano <G>. Si $o(a)=3$ y $o(b)=5,$ probar que $o(ab)=15.$ ¿Qué pasaría si no requiriéramos que operación fuera conmutativa?
* En las matrices siguientes, supondremos que las entradas están tomadas de $\mathbb {Z} _{3}.$ Hallar el orden de cada una en el grupo lineal $GL_{2}(\mathbb {Z} _{3})$ ${\text{a. }}{\begin{bmatrix}1&0\\0&2\end{bmatrix}}\quad \quad {\text{ b. }}{\begin{bmatrix}1&1\\0&1\end{bmatrix}}.$

## Grupos definidos por Generadores

Un grupo puede definirse mediante generadores sujeto a restricciones (relaciones entre los generadores), lo que se representa como
$G=\langle a,b,...|r_{1}(a,b,...),r_{2}(a,b,..),...\rangle$
que leemos como que "G es el grupo generado por a,b,c, que satisfacen las restricciones r_1(a,b,...), r_2 (a,b,.. ) ..."
Formalmente, lo anterior significa que el conjunto G consiste de productos formales de expresiones formadas por potencias de los generadores.
* $a^{i}b^{j}c^{k}\cdots \quad {\text{ tales que }}0\leq i,j,k,...$
Podemos considerar a los generadores como las letras de un alfabeto. Poniendo esas letras juntas formamos palabras. Una potencia de una letra significa que la letra está repetida tantas veces como el exponente. Cuando el exponente es nulo, se considera que es la palabra vacía (sin letras). La operación es la concatenación de palabras, esto es pegarlas juntas, que es claramente asociativa y tiene como neutro a la palabra vacía (sin letras). El largo de una palabra es la cantidad de letras de la palabra. En los lenguajes de programación, se denomina cadenas a la concatenación de letras (llamadas caracteres en ese contexto).
Ejemplo (Grupo Cíclico Finito).
Sea ${\textsf {C}}_{n,a}:=\langle a|a^{n}=e\rangle .$ donde n es un natural positivo. Los elementos de C$_{n,a}$ son palabras consistentes solamente de aes, es decir potencias de a. Por lo que se trata de un grupo cíclico. La restricción consiste en que consideramos que cuando haya n de esas letras, la palabra será (por la restricción) considerada como igual a la palabra vacía. (Podemos decir que si hay n letras aes juntas, las podemos borrar.) Suponemos, además, que el número n es el menor entero positivo con esa propiedad. Lo que implica, de acuerdo a lo visto en el ejemplo de las raíces enésimas de la unidad, que
* $C_{n,a}=\{e,a,\dots ,a^{n-1}\}.$
Esencialmente, hay un único grupo cíclico de orden n; la única diferencia entre ellos es como simbolizamos la operación y al generador. Cuando el nombre del generador no sea importante, simplemente escribiremos $C_{n}$ para el grupo cíclico de orden $n$. Mayores detalles para los grupos cíclicos, los veremos en el capítulo.
Ejemplo (Grupos Diedrales).
Llamamos grupo diedral de orden 2n, $n\geq 3$ al grupo denotado por $D_{2n}$ y definido como
* ${\textsf {D}}_{2n}:=\langle a,b:a^{n}=e,b^{2}=e,bab=a^{n-1}\rangle .$
Notemos que los elementos de $D_{2n}$ son productos de expresiones de la forma $a^{i}b^{j}$ con $0\leq i,j.$ La tercera restricción nos dice que el grupo no es conmutativo, pero indica que podemos rearreglar las letras de modo que las aes estén delante de las bes.
Supongamos, para concretizar, que n = 3. Entonces. $bab=a^{2}$ implica que ba = a$^2$b. Por lo que
* aba = a a$^2$b = b.
* aababaab = aa(ba)baab = aaa$^2$bbaab =a$^4$b$^2$aab =aaab = b.
Lueego, los elementos de $D_{2n}$ son los productos de la forma $a^{i}b^{j}$ con $0\leq i<n,\quad j=0,1.$ Es decir que
* $D_{2n}=\{e,a,...,a^{n_{1}},b,ab,...,a^{n-1}\}.,$
o sea que tiene 2n elementos. Además, como
* $a^{i}b^{j}b^{2-j}a^{n-i}=a^{i}b^{2}a^{n-1}=a^{i}a^{n-1}=e$
Cada elementos es invertible. Es decir que $D_{2n}$ es un grupo.
Los grupos diedrales provienen de las simetrías de un polígono regular de $n$ lados. (Congruencias que dejan fijo globalmente al polígono). Mayores detalles en el capítulo sobre Grupos Generados.

### Ejercicios

* Verificar que las definición de potencia natural y sus propiedades son válidas para cualquier monoide; y que si tomamos a$^1$=a como punto de partida de la definición de potencias (en lugar de a$^0$), las propiedades son válidas para cualquier semigrupo.
* Construir las tablas de $C_{n,a}$ para n = 2, 3, 4, 5. En cada caso identificar los inversos de los elementos.
* Sea G = C$_{12,a}$ = <a | a$^{12}$=e>. Probar que G tiene elementos de orden 2, 3, 4 y 6, pero no tiene elemento de orden 5.
* Probar las relaciones no probadas de potencias, especialmente con exponentes negativos.
* Probar que cuando a conmuta (o permuta) con b (ab=ba) se cumple que:
** a conmuta con cualquier potencia natural de b, $ab^{n}=b^{n}a.$
** a conmuta con el inverso de b.
** el inverso de a conmuta con cualquier potencia entera de b.
* Sea $G=<a,b:a^{2}=b^{2}=e,ba=ab>$. no Probar que G es el grupo de Klein.
* Hallar los ordenes de todos los elementos del grupo diedral $D_{8}$.
* Verifica que cuando la operación no es conmutativa, en general no se cumple que $(ab)^{2}=abab.$
* Sea $G=\langle a,b|a^{m}=e,b^{n}=e\rangle .$ Probar que G es un grupo infinito no abeliano con elementos de orden infinito, cuando $m,n>1.$

## Producto de Grupos

Sean <H ,*> y <K, #> grupos. Sea $G=H\times K$ el producto cartesiano de los conjuntos H y K, es decir el conjunto formado por todos los pares ordenados (x,y) tales que x están H, y está en K. Definimos una operación en G, coordenada a coordenada,
$(x,y)\cdot (z,w)=(x*z,y\#w),$
Proposición. (Grupo Producto)
Sean H, K y G como arriba. Entonces G es un grupo.
Demostración: Tenemos que
* ${\begin{array}{rcl}(x,y)\cdot ((z,w)\cdot (u,v))&=&(x,y)\cdot (z*u,w\#v)=(x*z*u,y\#w*\#v)\\((x,y)\cdot (z,w))\cdot (u,v)&=&(x*z,y*w)\cdot (u,v)=(x*z*u,y\#w\#v).\end{array}}$
Lo que prueba la asociatividad.
Sean e$_H$ y e$_K$ los neutros de H y K respectivamente. Sea e = (e$_H$, e$_K$). Entonces, $e\cdot (x,y)=(e_{H}*x,e_{K}\#y)=(x,y).$ De forma similar se prueba que $(x,y)\cdot e=(x,y).$ Por lo que e es neutro respecto a la operación.
Finalmente, $(x,y)\cdot (x^{-1},y^{-1})=(x*x^{-1},y\#y^{-1})=(e_{H},e_{K})..$ Análogamente, $(x^{-1},y^{-1})\cdot (x,y)=e.$
Definición. (Producto de Grupos) Llamamos producto de los grupos H y K al grupo $G=H\times K$ provisto de la operación por coordenadas.
Cuando la notación es aditiva, podemos llamar suma al producto. El grupo aditivo $\mathbb {R} ^{2}$.
Consideremos al grupo aditivo de los Reales. $\mathbb {R} ^{2}$ es el producto cartesiano de los Reales consigo mismo. $\mathbb {R} ^{2}$ es un grupo abeliano con operación
$(x,y)+(z,w)=(x+z,y+w).$
(Esta es la suma usual de vectores de dimensión 2 o la suma de los complejos.)
En general, cuando se toma el producto de un grupo G consigo mismo, el producto se denota por G$^2$. Si se toma el producto de un grupo G consigo mismo n veces, denotamos al producto resultante por G$^n$; sus elementos son n--uplas de elementos de G.

#### Ejercicios

* Probar que si H y K son abelianos, entonces también lo es H x K.
* Construir la tabla de C$_{2,a}$ x C$_{2,b}$. Compara la tabla que se obtiene con la tabla del grupo de Klein.
* Sean C$_{3,a}$ y C$_{4,b}$ grupos cíclicos de orden 3 y 4, con generadores a y b, respectivamente. Probar que el producto C$_{3,a}$ x C$_{4.b}$ es cíclico con generador (a,b).
* Sean C$_{4,a}$ y C$_{2,b}$ grupos cíclicos con generadores a y b respectivamente. Probar que el producto C$_{4,a}$ x C$_{2,b}$ no es cíclico.
* Construir las tablas de $C_{8,a},\quad C_{4,a}\times C_{2,b}\quad {\text{ y }}\quad C_{2,a}\times C_{2,b}\times C_{2,c}$

## Ejercicios del Capítulo

* Sea G un grupo finito. Probar que para cada a en G hay un entero positivo n tal que $a^{n}=e.$
* En un grupo G, para elementos g y x definir $x^{g}:=gxg^{-1}.$ (Conjugado de x por g). Probar que se cumplen las siguientes relaciones.
** x$^g$ y $^g$ = (xy)$^g$.
** (x$^g$)$^{-1}$ = (x$^{-1}$)$^g$.
** (x$^g$)$^n$ = (x$^n$)$^g$.
* Hallar el orden de todos los elementos del grupo simétrico S$_3$. Ver la definición en el capítulo Las Estructuras.
* (Grupos de Transformaciones) Sea X un conjunto no vacío. Un grupo de transformaciones de X es un grupo G tal que sus elementos son elementos del grupo $S_{X}$ (Funciones biyectivas de X" en si mismo).
** Sea x en X y sea $G_{x}$ el conjunto formado por todas las transformaciones f de G que fijan el punto x, es decir que f(x) = x. Probar que $G_{x}$ es cerrado respecto a la composición, contiene a la identidad y a los inversos de cada uno de sus elementos, es decir, que se trata de un grupo de transformaciones. Por ejemplo, en el grupo de las congruencias del plano, las rotaciones entorno al origen, son precisamente las congruencias que dejan fijo únicamente al origen.
** Dado un subconjunto $Y$ de X, el conjunto $G_{Y}$ denota a las biyecciones de G que dejan fijo globalmente a Y, Es decir, $G_{Y}:=\{f\in G:f(Y)=Y\}.$ Probar que $G_{Y}$ es un grupo de transformaciones. En el grupo de las congruencias, la simetría que voltea el plano alrededor del eje X, deja al eje Y fijo globalmente, aunque todos sus puntos, exceptuando al origen, se mueven a un punto distinto. Esta misma simetría deja fijo al eje de X puntualmente, o sea punto a punto.
* Sea $G=\mathbb {Z} _{15}^{*}$ (el grupo multiplicativo de los invertibles en $\mathbb {Z} _{15}$). Probar que $G\cong C_{2}\times C_{4}.$ Concluir que $\mathbb {Z} _{15}^{*}$ no es un grupo cíclico.
* Considerar el grupo $G=C_{2}\times C_{2}\times C_{2}.$ Probar que el orden de G es igual a 8 y que, aunque 4 divide a 8 no hay elemento de orden 4 en G. Concluir de lo anterior que G no puede ser cíclico.
* Sea G = <a> un grupo cíclico de orden impar. Probar que a aparece en la diagonal principal de la tabla del grupo.
* Probar que el grupo multiplicativo $<\mathbb {Q} ^{*},\cdot >$ no es cíclico.
* Sea $\mathbb {T} ,$ el conjunto formado por todas los complejos cuyo módulo es igual a 1. Probar que $\mathbb {T}$ es cerrado respecto a la multiplicación, contiene al 1, y a los inversos de cada uno de sus elementos. Por lo que tiene una estructura de grupo. Mostrar que dicho grupo contiene elementos de orden finito de cualquier orden. (Sug: Considerar las raíces n--ésimas de la unidad.)
* Sea $G=<a,b|a^{n}=e,ba=e>.$ Probar que G es finito y cíclico.
* ¿Por qué podemos estar seguro que los grupos diedrales no son cíclicos?
* Determinar cuáles de los siguientes conjuntos de matrices, respecto a la operación indicada determinan un grupo. Recordar que una matriz diagonal es una matriz cuadrada cuyas únicas entradas no nulas están en la diagonal principal. Una matriz es triangular superior, cuando las entradas debajo de la diagonal principal son nulas. El determinante de una matriz es un número asociado a cada matriz cuadrada y es tal que
** $\det(AB)=\det(A)\det(B),$
** $\det(I_{n})=1\quad ,$ donde ($I_{n}$ es la matriz identidad, una matriz diagonal con todas la entradas en la diagonal iguales a 1), y
** una matriz es invertible, ssi, su determinante es diferente de cero.
** Las matrices diagonales con la suma de matrices.
** Las matrices diagonales con la ~multiplicación de matrices.
** Las matrices diagonales cuyas entradas son todas 1 o $-1,$ con la multiplicación'on.
** Las matrices triangulares superiores con la suma.
** Las matrices triangulares superiores con la multiplicación.
** Las matrices con determinante positivo con la multiplicación.
** Las matrices cuyo determinante es 1 o $-1$ con la multiplicación.
* Sea $G=GL_{2}(\mathbb {R} )$ el grupo de las matrices invertibles. Sea $G^{+}$ el subconjunto de G formado por todas las matrices cuyo determinante es positivo. Probar que $G^{+}$ es cerrado respecto a la multiplicación de matrices (usar una famosa identidad de determinantes), contiene a la matriz identidad y a los inversos de cada uno de sus elementos. Es decir que se trata de un grupo de transformaciones..
* Sea G un grupo y H un conjunto finito de G que es cerrado respecto a la operación. Probar que H es con la misma operación es un grupo.
* Sea $H$ el conjunto formado por todos los números reales excepto $-1.$ Definir * en $S$ por $a*b=a+b+ab.$
** Probar que $<S,*>$ es un grupo. .
** Hallar la solución o soluciones de la ecuación f the equation $2*x*5=3$ en $S.$
* Sea $G$ un grupo finito. Probar que cada elemento $a$ de $G$ tiene orden finito. (Considerar $e,a,a^{,}\dots ,a^{n}$ donde $n=|G|$),
* Sea T el conjunto de números reales no nulos. Definir $a*b=|a|b$
** Muestre que * es asociativa.
** Probar que * tiene neutro por la izquierda e inversos por la derecha
** ¿Es $T$ un grupo?
* Sea $G$ tal que para todo $a$ se cumple que $a^{2}=e.$ Probar que $G$ es abeliano. (Sugerencia: considerar $(ab)^{2}=e.$ )
* Probar que si, en un grupo< se cumple que $(ab)^{2}=a^{2}b^{2}$ entonces, $ba=ab.$
* Sea $G$ un grupo y suponga que $ab=e,$ Pruebe que también $ba=e.$
* Sea $G=\{a,b:a^{4}=b^{2}=e,\quad bab^{-1}=a^{3}\}..$ Probar las siguientes afirmaciones.
** $ba=a^{3}b.$
** Todos los elementos de $G$ son de la forma $a^{i}b^{j},$ $0\leq i\leq 3$ y $j=0,1.$ Concluir que el orden de $G$ es 8.
** El orden $a^{k}b$ es 2, para cualquier valor de $k.$
** Determinar todos los subgrupos de $G.$ Indicar cuántos de ellos son cíclicos.
* Sea $G$ un grupo de orden par. Probar que si un elemento $a$ de $G$ aparece en la diagonal principal de la tabla, lo hace una cantidad par de veces.
* Sea $G$ un grupo de orden $2s$ con $s$ impar. Probar que $G$ tiene exactamente un elemento de orden 2, Además que el producto de todos los elementos del grupo es precisamente ese elemento de orden 2.

## Comentarios

La noción de grupo aparece en matemáticas por tres caminos, aparentemente independientes: la búsqueda de una fórmula para resolver la ecuación de quinto grado, las aritméticas modulares y la geometría.
Resolución de ecuaciones. Los matemáticos de fines del siglo XVIII e inicios del siglo XIX (Lagrange, Ruffini, Cauchy, Abel, Galois) se preocuparon de expresiones algebraicas relacionando las raíces de las ecuaciones y que permanecían invariantes (no cambiaban de valor) cuando se permutaban dichas raíces. Los trabajos de Abel y las geniales construcciones de Galois, asociando grupos a ecuaciones, trajeron los grupos a primer plano. Todo el tiempo, esos grupos eran grupos de permutaciones. Alrededor de la mitad del siglo XIX, Arthur Cayley formuló una definición abstracta de grupo, semejante a la usada actualmente.
Aritmética modular. Los enteros módulo un entero positivo hacen sus primeras apariciones con Euler. Su estudio fue continuado por Gauss que analizo ejemplos muy generales de lo que llamaríamos hoy día grupos abelianos.
Geometría Desde los inicios del siglo XIX, los estudios de geometrías proyectivas y no--euclidianas condujo al estudio de las propiedades e invariancia de propiedades con respecto a ciertas transformaciones (preservación de colinealidad, paralelismo, etc.) Tales estudios hicieron aparecer de forma natural grupos en la Geometría. A finales del siglo, Felix Klein definiría a la Geometría como el estudio de los invariantes de un grupo, Erlargen Programm, 1872.
Otras fuentes. Paralelo al desarrollo de los grupos finitos, que expresaban de forma natural las clasificaciones de las simetrías de estructuras cristalinas (usadas hasta hoy por los químicos), se desarrolló el estudio de grupos infinitos, especialmente grupos de matrices. La teoría de esos grupos ayudó, y también se impulsó, por las aplicaciones a las teorías físicas del siglo XX (relatividad, mecánica cuántica, partículas elementales).
Las siguientes páginas de Wikipedia pueden agregar más información acerca de la teoría de grupos y sus aplicaciones.
* Grupos (matemática)
* Teoría de Grupos
* Teoría geométrica de grupos Notas
* ↑ Llamamos parámetros de una estructura a todos los componentes diferentes del conjunto base.
* ↑ En honor a N. H. Abel (1802-1829)
* ↑ Felix Klein (1802)
* ↑ Los grupos cíclicos
* ↑ Louis Evariste Galois (1811-1832)