# Aritmética/Operaciones con Números Naturales/Suma de Números Naturales
## Aritmética

Primero veremos la operación aritmética suma de números naturales, con la cual, partiendo de dos números podemos calcular su suma.

### Tablas de sumar

La tabla de sumar del 1 al 9:
    ${\begin{array}{c}{\text{Tabla de sumar}}\\\\{\begin{array}{ccccc}{\begin{array}{|c|}\hline {\text{Tabla del 1}}\\{\begin{array}{rcrcr}1&+&0&=&1\\1&+&1&=&2\\1&+&2&=&3\\1&+&3&=&4\\1&+&4&=&5\\1&+&5&=&6\\1&+&6&=&7\\1&+&7&=&8\\1&+&8&=&9\\1&+&9&=&10\\1&+&10&=&11\\\end{array}}\\\hline \end{array}}&{\begin{array}{|c|}\hline {\text{Tabla del 2}}\\{\begin{array}{rcrcr}2&+&0&=&2\\2&+&1&=&3\\2&+&2&=&4\\2&+&3&=&5\\2&+&4&=&6\\2&+&5&=&7\\2&+&6&=&8\\2&+&7&=&9\\2&+&8&=&10\\2&+&9&=&11\\2&+&10&=&12\\\end{array}}\\\hline \end{array}}&{\begin{array}{|c|}\hline {\text{Tabla del 3}}\\{\begin{array}{rcrcr}3&+&0&=&3\\3&+&1&=&4\\3&+&2&=&5\\3&+&3&=&6\\3&+&4&=&7\\3&+&5&=&8\\3&+&6&=&9\\3&+&7&=&10\\3&+&8&=&11\\3&+&9&=&12\\3&+&10&=&13\\\end{array}}\\\hline \end{array}}\\\\{\begin{array}{|c|}\hline {\text{Tabla del 4}}\\{\begin{array}{rcrcr}4&+&0&=&4\\4&+&1&=&5\\4&+&2&=&6\\4&+&3&=&7\\4&+&4&=&8\\4&+&5&=&9\\4&+&6&=&10\\4&+&7&=&11\\4&+&8&=&12\\4&+&9&=&13\\4&+&10&=&14\\\end{array}}\\\hline \end{array}}&{\begin{array}{|c|}\hline {\text{Tabla del 5}}\\{\begin{array}{rcrcr}5&+&0&=&5\\5&+&1&=&6\\5&+&2&=&7\\5&+&3&=&8\\5&+&4&=&9\\5&+&5&=&10\\5&+&6&=&11\\5&+&7&=&12\\5&+&8&=&13\\5&+&9&=&14\\5&+&10&=&15\\\end{array}}\\\hline \end{array}}&{\begin{array}{|c|}\hline {\text{Tabla del 6}}\\{\begin{array}{rcrcr}6&+&0&=&6\\6&+&1&=&7\\6&+&2&=&8\\6&+&3&=&9\\6&+&4&=&10\\6&+&5&=&11\\6&+&6&=&12\\6&+&7&=&13\\6&+&8&=&14\\6&+&9&=&15\\6&+&10&=&16\\\end{array}}\\\hline \end{array}}\\\\{\begin{array}{|c|}\hline {\text{Tabla del 7}}\\{\begin{array}{rcrcr}7&+&0&=&7\\7&+&1&=&8\\7&+&2&=&9\\7&+&3&=&10\\7&+&4&=&11\\7&+&5&=&12\\7&+&6&=&13\\7&+&7&=&14\\7&+&8&=&15\\7&+&9&=&16\\7&+&10&=&17\\\end{array}}\\\hline \end{array}}&{\begin{array}{|c|}\hline {\text{Tabla del 8}}\\{\begin{array}{rcrcr}8&+&0&=&8\\8&+&1&=&9\\8&+&2&=&10\\8&+&3&=&11\\8&+&4&=&12\\8&+&5&=&13\\8&+&6&=&14\\8&+&7&=&15\\8&+&8&=&16\\8&+&9&=&17\\8&+&10&=&18\\\end{array}}\\\hline \end{array}}&{\begin{array}{|c|}\hline {\text{Tabla del 9}}\\{\begin{array}{rcrcr}9&+&0&=&9\\9&+&1&=&10\\9&+&2&=&11\\9&+&3&=&12\\9&+&4&=&13\\9&+&5&=&14\\9&+&6&=&15\\9&+&7&=&16\\9&+&8&=&17\\9&+&9&=&18\\9&+&10&=&19\\\end{array}}\\\hline \end{array}}\\\end{array}}\\\end{array}}$
La tabla cartesiana. La ultima fila y la primera columna contienen los números que se van a sumar (habitualmente, los números enteros hasta el 10), y en la intersección de cada fila y cada columna está la suma del número de su fila más el número de su columna.
    ${\begin{array}{r|rrrrrrrrrr}+&0&1&2&3&4&5&6&7&8&9&10\\\hline 0&0&1&2&3&4&5&6&7&8&9&10\\1&1&2&3&4&5&6&7&8&9&10&11\\2&2&3&4&5&6&7&8&9&10&11&12\\3&3&4&5&6&7&8&9&10&11&12&13\\4&4&5&6&7&8&9&10&11&12&13&14\\5&5&6&7&8&9&10&11&12&13&14&15\\6&6&7&8&9&10&11&12&13&14&15&16\\7&7&8&9&10&11&12&13&14&15&16&17\\8&8&9&10&11&12&13&14&15&16&17&18\\9&9&10&11&12&13&14&15&16&17&18&19\\10&10&11&12&13&14&15&16&17&18&19&20\end{array}}$
Estas tablas se aprenden de memoria y permiten hacer sumas de dos números de un dígito cada uno directamente.

### Operación suma de números naturales

Para realizar una suma entre dos sumandos se pone el primero en una linea, el segundo debajo, haciendo coincidir los números en la misma vertical, debajo una raya horizontal y por fin debajo el resultado de la suma, si los sumandos son de una sola cifra el resultado de la suma esta en la tabla. En el ejemplo 4 más 5 son 9.
    ${\begin{array}{crcl}&4&\longleftarrow &primer\;sumando\\+&5&\longleftarrow &segundo\;sumando\\\hline &9&\longleftarrow &suma\end{array}}$

#### Caso 1

El primer caso de suma es el de dos números de una sola cifra, como el ejemplo anterior, el resultado se obtiene de la tabla de sumar, que se supone se sabe de memoria. Si queremos sumar 6 más 2:
    ${\begin{array}{cr}&6\\+&2\\\hline &8\end{array}}$
siendo 6 más 2 igual a 8.

#### Caso 2

En el que se suman un número de varias cifras con otro de una sola. Sean los números 237 y 5, su suma seria:
    ${\begin{array}{crrr}&2&3&7\\+&&&5\\\hline &&&\end{array}}$
primero se suman 7 y 5 que da 12, de esta cantidad las unidades se anotan como resultado, en este caso el 2, ( se anota el 2 y nos llevamos 1 ):
    ${\begin{array}{crrr}&2&3&7\\+&&&5\\\hline &&&2\end{array}}$
y las cifras mayores que la unidad se suman, como llevada o acarreo, a las decenas del primer sumando, ( 3 y 1 de llevada 4 ):
    ${\begin{array}{crrr}&2&3&7\\+&&&5\\\hline &&4&2\end{array}}$
Por ultimo el 2 sin un segundo sumando y sin llevada es 2:
    ${\begin{array}{crrr}&2&3&7\\+&&&5\\\hline &2&4&2\end{array}}$
Sumando 237 más 5 nos da 242.

#### Caso 3

Sumar dos números de dos o más cifras, por ejemplo: 496 y 157:
    ${\begin{array}{crrr}&4&9&6\\+&1&5&7\\\hline &&&\end{array}}$
primero se suman las unidades, 6 más 7 son 13, anotamos el 3 y nos llevamos 1:
    ${\begin{array}{crrr}&4&9&6\\+&1&5&7\\\hline &&&3\end{array}}$
ahora sumamos las decenas: 9 y 5 son 14, más 1 de llevada 15, anotamos el 5 y nos llevamos 1:
    ${\begin{array}{crrr}&4&9&6\\+&1&5&7\\\hline &&5&3\end{array}}$
sumando las centenas: 4 y 1 son 5, más 1 de llevada son 6 y no nos llevamos nada:
    ${\begin{array}{crrr}&4&9&6\\+&1&5&7\\\hline &6&5&3\end{array}}$
Esto es sumando 496 y 157 nos da 653.

#### Caso 4

Sumar más de dos números de varias cifras, por ejemplo: 25.876; 46.146; 9.983; 1.201; 37.391 que se suman de este modo:
    ${\begin{array}{crrrrrr}&&2&5&8&7&6\\&&4&6&1&4&6\\&&&9&9&8&3\\&&&1&2&0&1\\+&&3&7&3&9&1\\\hline &&&&&&\end{array}}$
Sumando las unidades: 6 y 6 son 12 y 3 son 15 y 1 son 16 y 1 son 17, anotamos el 7 y nos llevamos 1:
    ${\begin{array}{crrrrrr}&&2&5&8&7&6\\&&4&6&1&4&6\\&&&9&9&8&3\\&&&1&2&0&1\\+&&3&7&3&9&1\\\hline &&&&&&7\end{array}}$
En las decenas sumamos primero la llevada, para no olvidarnos: 1 de llevada más 7 son 8, más 4 son 12, más 8 son 20, más 9 son 29; anotamos el 9 y nos llevamos 2:
    ${\begin{array}{crrrrrr}&&2&5&8&7&6\\&&4&6&1&4&6\\&&&9&9&8&3\\&&&1&2&0&1\\+&&3&7&3&9&1\\\hline &&&&&9&7\end{array}}$
Sumamos las centenas: 2 de llevada más 8 son 10, más 1 son 11, más 9 son 20, más 2 son 22, y más 3 son 25; anotamos el 5 y nos llevamos 2:
    ${\begin{array}{crrrrrr}&&2&5&8&7&6\\&&4&6&1&4&6\\&&&9&9&8&3\\&&&1&2&0&1\\+&&3&7&3&9&1\\\hline &&&&5&9&7\end{array}}$
Sumamos 2 de llevada más 5 son 7, más 6 son 13, más 9 son 22, más 1 son 23 y mas 7 son 30; anotamos el 0 y nos llevamos 3:
    ${\begin{array}{crrrrrr}&&2&5&8&7&6\\&&4&6&1&4&6\\&&&9&9&8&3\\&&&1&2&0&1\\+&&3&7&3&9&1\\\hline &&&0&5&9&7\end{array}}$
Sumamos 3 de llevada más 2 son 5, más 4 son 9 y mas 3 son 12; anotamos el 2 y nos llevamos 1:
    ${\begin{array}{crrrrrr}&&2&5&8&7&6\\&&4&6&1&4&6\\&&&9&9&8&3\\&&&1&2&0&1\\+&&3&7&3&9&1\\\hline &&2&0&5&9&7\end{array}}$
Posemos anotar directamente la 1 de llevada porque no hay mas números que sumar:
    ${\begin{array}{crrrrrr}&&2&5&8&7&6\\&&4&6&1&4&6\\&&&9&9&8&3\\&&&1&2&0&1\\+&&3&7&3&9&1\\\hline &1&2&0&5&9&7\end{array}}$
El resultado de la suma es: 120.597.

## Álgebra

La operación suma de números naturales, desde un punto de vista algebraico, permite el siguiente análisis: Definimos el conjunto de los numeros naturales, N, como el formado los los numeros enteros iguales o mayores que cero:
    $\mathbb {N} =\{0,1,2,3,4,\ldots \}$
La operación suma de números naturales es una aplicación, por la cual, a cada par ordenado de números naturales (a,b) se le asocia un número natural c, que es la suma de los dos anteriores:
    ${\begin{array}{ccccl}+&:&\mathbb {N} \times \mathbb {N} &\longrightarrow &\mathbb {N} \\&&(a,b)&\longmapsto &c=+(a,b)\quad \equiv \quad c=a+b\end{array}}$
Al ser una aplicación matemática, se cumple que, para todo par de valores a, b de números naturales existe un numero natural c que la suma de a y de b (existencia de imagen) y ademas el número natural c que es la suma de a y de b es único (unicidad de imagen), estas dos propiedades, aunque se consideran obvias, es necesario tenerlas en cuenta, dado que indican que la suma siempre dará un resultado y un único resultad.
Según la siguiente estructura, para un conjunto y una operación binaria:
    $grupo\left\{{\begin{array}{l}monoide\left\{{\begin{array}{l}semigrupo\left\{{\begin{array}{l}magma\left\{{\begin{array}{l}conjunto\\operac{\acute {o}}n\;binaria\\interna\\\end{array}}\right.\\asociativa\end{array}}\right.\\elemento\;neutro\end{array}}\right.\\elemento\;sim{\acute {e}}trico\end{array}}\right.$

## Referencias

* ↑ Alonso Salinas García (2008). «2» (en español). Método calma. Como iniciara tu hijo en el aprendizaje de las matemáticas (sin saber nada). Editorial Procompal. p. 30.
* ↑ Sabrás Gurrea, Amós (1931). «II». En Núñez y Cª. (en español). Nociones y ejercicios de aritmética y geometria (5 edición). p. 18.