# 1.1. Espacios topológicos

Definición 1.1. Sea $X$ un conjunto. Una topología sobre $X$ es un conjunto ${\mathcal {T}}$ de subconjuntos de $X$ que verifica las propiedades siguientes:
* El conjunto vacío y el propio conjunto $X$ son elementos de ${\mathcal {T}}$.
* La unión de toda familia de conjuntos de ${\mathcal {T}}$ es un conjunto de ${\mathcal {T}}$.
* La intersección de toda familia finita de conjuntos de ${\mathcal {T}}$ es un conjunto de ${\mathcal {T}}$.
Un espacio topológico es un par $(X,{\mathcal {T}})$ con ${\mathcal {T}}$ una topología sobre el conjunto $X$. Cuando digamos que $X$ es un espacio topológico, entenderemos que lo es junto con cierta topología que no es necesario mencionar explícitamente. Si ${\mathcal {T}}$ es una topología sobre $X$, los elementos de ${\mathcal {T}}$ se dicen abiertos de $X$ en la topología ${\mathcal {T}}$, o simplemente abiertos cuando está claro cuál topología se está considerando. Por lo regular nos referiremos a los elementos de $X$ como puntos de $X$.
Ejemplo 1.2. Si $X$ es un conjunto cualquiera, entonces el conjunto potencia de $X$, $P(X)$, es claramente una topología de $X$, la cual recibe el nombre de toplogía discreta en $X$. En esta topología, tenemos que todo subconjunto de $X$ es un abierto.
Ejemplo 1.3. El conjunto formado por todas las uniones de intervalos abiertos de $\mathbb {R}$ es una topología sobre $\mathbb {R}$. Nos referiremos a esta topología como la topología usual sobre $\mathbb {R}$. Cuando hablemos del espacio topológico $\mathbb {R}$, se entenderá que nos referimos a $\mathbb {R}$ dotado de esa topología.
Sea $X$ un espacio topológico y $x\in X$. Un subconjunto $U\subset X$ se dice un entorno abierto de $x$ si $U$ es abierto y $x\in U$. Un conjunto $U\subset X$ es un entorno de $x$ si éste contiene un entorno abierto de $x$.
Decimos que un espacio topológico $X$ es de Hausdorff, o que es separado, si para cualesquiera $x,y\in X$, existen entornos $U$ y $V$ de $x$ y $y$, respectivamente, tales que $U\cap V=\varnothing$.
A partir de este punto, asumiremos que todos los espacios topológicos de los que hablemos son espacios de Hausdorff.
Sea $X$ un espacio topológico y $x$ un punto de $X$. Una familia ${\mathcal {U}}$ de subconjuntos de $X$ es una base de entornos de $x$ si todos los conjuntos de ${\mathcal {U}}$ son entornos de $x$ y, para todo entorno $U$ de $x$, existe un entorno $V$ de ${\mathcal {U}}$ contenido en $U$ y que contiene a $x$.
Es posible definir una topología localmente, partiendo de bases de entornos abiertos de cada punto de un conjunto $X$. Con más detalle, supongamos que para cada punto $x$ de $X$, existe una familia de conjuntos no vacíos ${\mathcal {U}}_{x}$ con las propiedades siguientes:
* Si $U\in {\mathcal {U}}_{x}$, entonces $x\in U$.
* Si $U_{1},U_{2}\in {\mathcal {U}}_{x}$, existe un $U_{3}\in {\mathcal {U}}_{x}$ tal que $U_{3}\subset U_{1}\cap U_{2}$.
* Si $U\in {\mathcal {U}}_{x}$ y $y\in U$, existe un $V\in {\mathcal {U}}_{y}$ tal que $V\subset U$.
Entonces existe una única topología en $X$ para la cual las familias ${\mathcal {U}}_{x}$ son bases de entornos de cada punto $x\in X$. Esta topología viene dada de la siguiente manera: se define un punto $x$ como interior del conjunto $A$ si existe un entorno $U\in {\mathcal {U}}_{x}$ contenido en $A$. Luego se establece que $A$ es abierto si y sólo si todos sus puntos son interiores. Dicho de otro modo, $A$ es abierto si y sólo si es un entorno de cada uno de sus puntos.
Sea $S$ un espacio topológico y $S\subset X$. Decimos que $S$ es cerrado si su complemento $X\setminus S$ es abierto. En virtud de las identidades de De Morgan, la intersección de cualquier familia de cerrados es cerrada, mientras que la unión de un número finito de cerrados es cerrada. Por supuesto, $X$ y $\varnothing$ son siempre abiertos a la vez que cerrados.
La clausura de $S\subset X$ se define como el menor de los conjuntos cerrados que contienen a $S$. Equivalentemente, la clausura de $S$ es la intersección de todos los conjuntos cerrados que contienen a $S$. A dicho conjunto lo representaremos por ${\overline {S}}$.
Un punto de $x$ es un punto de acumulación de $S$ si todo entorno de $x$ contiene al menos un punto de $S$ que no sea $x$ mismo. Al conjunto de todos los puntos de acumulación de $S$ lo representamos por $S^{\prime }$, y lo llamamos conjunto derivado de $S$. Tenemos que ${\overline {S}}=S\cup S^{\prime }$.
Sea $(x_{n})$ una sucesión de puntos de un espacio topológico $X$. Decimos que $(x_{n})$ converge a un punto $x\in X$, o que $x$ es el límite de $(x_{n})$, si para todo entorno $U$ de $x$ existe un número natural $N$ tal que $n\geq N$ implica $x_{n}\in U$, o sea, cuando $U$ contiene a todos los términos de la sucesión a partir de cierto punto. Para indicar que $(x_{n})$ converge a $x$ escribiremos $\lim _{n\to \infty }x_{n}=x$, o también $x_{n}\to x$.
Una aplicación (o sea, una función) $f:X\longrightarrow Y$ de espacios topologicos es continua si, para todo abierto $B$ de $Y$, la imágen recíproca (o preimagen) $f^{-1}(B)$ es un abierto de $X$. Equivalentemente, $f$ es continua si para todo punto $x\in X$ y todo entorno $U$ de $f(x)$ existe un entorno $V$ de $x$ tal que $f(V)\subset U$. Si $f:X\longrightarrow Y$ es biyectiva y $f$ y $f^{-1}$ son ambas continuas, decimos que $f$ es un homeomorfismo.
Sea $S$ un subconjunto de un espacio topológico $X$. Si $A\subset S$ y declaramos que $A$ es un abierto de $S$ si es la intersección de un abierto de $X$ y $S$, entonces estos abiertos forman una topología en $S$, que llamamos la topología inducida de $S$. Con dicha topología, hablamos de $S$ como un subespacio del espacio topológico $X$.
Ejemplo 1.4. Sea $\mathbb {R}$ el conjunto de los números reales con la topología usual. El conjunto de números enteros $\mathbb {Z}$ es un subespacio de $\mathbb {R}$. La topología inducida en $\mathbb {Z}$ es la topología discreta.

# 1.2. Compacidad

Definición 1.5. Sea $X$ un espacio topológico y $S$ un subconjunto de $X$. Decimos que una familia de abiertos ${\mathcal {U}}$ es un cubrimiento de $S$ si $S\subset \bigcup {\mathcal {U}}$. Decimos que $S\subset X$ es compacto cuando de cualquier cubrimiento ${\mathcal {U}}$ de $S$ podemos extraer una colección de abiertos finita ${\mathcal {V}}$ que es también un cubrimiento de $S$.
Proposición 1.6. En un espacio Hausdorff, todos los conjuntos compactos son cerrados, y los subconjuntos cerrados de un conjunto compacto son compactos.