# Fundamentos de la Matemática/Tipos de las relaciones binarias homogéneas

Una relación binaria homogéneas puede cumplir o no una serie de propiedades:
    reflexiva o no reflexiva
    simétrica o antisimétrica
    transitiva
    acotada
    total
Esto da lugar a que se pueda clasificar por tipos según las propiedades que cumpla. Normalmente desde un punto de vista matemático se estudian unos tipos de relaciones binarias homogéneas muy concretas que podemos ver en el esquema.

## Relaciones binarias homogéneas

Dado un conjunto A y una relación R entre los elementos de ese conjunto, dado que el conjunto inicial y final de esa relación es el mismo conjunto, esta relación se dice homogénea, a diferencia de la correspondencia (o relación binaria heterogenia) en las que los conjuntos inicial y final son diferentes o los consideramos como diferentes.
Partiendo de este tipo de relación matemática podemos considerar los siguientes casos:

### Relación reflexiva

Una relación binaria homogénea, que cumple la propiedad reflexiva, se dice relación reflexiva.
Dado un conjunto A en el que se ha definido una relación binaria R, si se cumple que:
    $\forall x\in A:(x,x)\in R$
Para todo elemento x de A, se cumple que el par ordenado (x,x) pertenece a la relación, esta relación es reflexiva.
En el ejemplo, representado en el diagrama sagital de la derecha, tenemos el conjunto:
    $A=\{a,b,c,d\}$
Y la relación:
    $R=\{(a,a),(a,d),(b,b),(c,a),(c,c),(d,a),(d,d)\}$
Su representación cartesiana seria:
    ${\begin{array}{c|cccc}d&\star &\cdot &\cdot &\star \\c&\cdot &\cdot &\star &\cdot \\b&\cdot &\star &\cdot &\cdot \\a&\star &\cdot &\star &\star \\\hline R&a&b&c&d\\\end{array}}$
Donde puede verse la relación R, entre los elementos del conjunto A, en el eje horizontal el conjunto A como conjunto inicial (de donde salen las flechas) y en el eje vertical el conjunto A como conjunto final (donde llegan las flechas). Representando con una estrella si esa relación se cumple y con un punto si no se cumple, puede verse que la diagonal todo son estrellas, lo que indica que la relación es reflexiva, cada elemento está relacionado consigo mismo.

### Relación no reflexiva

Una relación binaria homogénea, que no cumple la propiedad reflexiva, se dice relación no reflexiva.
    $\lnot \forall x\in A:(x,x)\in R$
No para todo elemento x del conjunto A, se cumple que el par ordenado (x,x) pertenece a la relación R.
Lo que es lo mismo que: Dado un conjunto A en el que se ha definido una relación binaria R, si se cumple que:
    $\exists x\in A:(x,x)\notin R$
Si existe x de A, y se cumple que el par ordenado (x,x) no pertenece a la relación, esta relación es no reflexiva.
Dado el conjunto:
    $A=\{a,b,c,d\}$
Y la relación representada en el diagrama de la derecha:
    $R=\{(a,a),(a,d),(b,b),(c,a),(d,a),(d,d)\}$
Su representación cartesiana seria:
    ${\begin{array}{c|cccc}d&\star &\cdot &\cdot &\star \\c&\cdot &\cdot &\cdot &\cdot \\b&\cdot &\star &\cdot &\cdot \\a&\star &\cdot &\star &\star \\\hline R&a&b&c&d\\\end{array}}$
Se puede ver que el elemento c no está relacionado con sigo mismo, y por tanto no se cumple la propiedad reflexiva. Es suficiente con que un único elemento del conjunto no cumpla la propiedad reflexiva para que la relación sea no reflexiva.
La relación representada en el diagrama de la derecha:
    $R=\{(a,d),(b,b),(c,a),(d,a),(d,d)\}$
Su representación cartesiana seria:
    ${\begin{array}{c|cccc}d&\star &\cdot &\cdot &\star \\c&\cdot &\cdot &\cdot &\cdot \\b&\cdot &\star &\cdot &\cdot \\a&\cdot &\cdot &\star &\star \\\hline R&a&b&c&d\\\end{array}}$
Los elementos a y c no cumplen la relación reflexiva.
La relación representada en el diagrama de la derecha:
    $R=\{(a,d),(b,b),(c,a),(d,a)\}$
Su representación cartesiana seria:
    ${\begin{array}{c|cccc}d&\star &\cdot &\cdot &\cdot \\c&\cdot &\cdot &\cdot &\cdot \\b&\cdot &\star &\cdot &\cdot \\a&\cdot &\cdot &\star &\star \\\hline R&a&b&c&d\\\end{array}}$
Los elementos a, c y d no cumplen la relación reflexiva.
La relación representada en el diagrama de la derecha:
    $R=\{(a,d),(c,a),(d,a)\}$
Su representación cartesiana seria:
    ${\begin{array}{c|cccc}d&\star &\cdot &\cdot &\cdot \\c&\cdot &\cdot &\cdot &\cdot \\b&\cdot &\cdot &\cdot &\cdot \\a&\cdot &\cdot &\star &\star \\\hline R&a&b&c&d\\\end{array}}$
Los elementos a, b, c y d no cumplen la relación reflexiva. que son todos los elementos del conjunto A.
Dado un conjunto A en el que se ha definido una relación binaria R, se cumple que:
    $\forall x\in A:(x,x)\notin R$
Para todo elemento x del conjunto A, se cumple que el par ordenado (x,x) no pertenece a R. Esto es la relación R definida en A cumple la propiedad irreflexiva, que es un caso particular de las relaciones no reflexivas en la que ningún elemento del conjunto está relacionado con sigo mismo.
Las relaciones que son no reflexivas y no irreflexivas simultáneamente se dicen arreflexivas.