# Matemáticas/Espacios Métricos/Topología de Matrices
## Introducción

En este capítulo, y en los dos siguientes, presentaremos aplicaciones de lo visto anteriormente a ciertos grupos geométricos. Los grupos geométricos son objetos algebraicos asociados a nociones geométricas. En nuestro caso, se tratará de la geometría de los espacios Euclídeos R$^n$.
Los grupos (abstractos o generales) se estudian en los cursos de Álgebra Abstracta, lo necesario para este capítulo está resumido en el apéndice C. Los principales grupos geométricos aparecerán como conjuntos de matrices, por lo que iniciaremos el capítulo estudiando la topología de las matrices n × n. En la tercera sección, generalizaremos lo visto en grupos de matrices a grupos topológicos cualesquiera. Finalmente, aplicaremos lo anterior a la topología de los grupos geométricos. Para concretar lo anterior consideremos a GL(n). (grupo lineal) que será el conjunto de todas las matrices n×n cuyo determinante no es nulo. Este conjunto como veremos, puede considerarse un subconjunto de R$^{n2}$, por lo que resulta natural preguntarse por la topología del mismo: ¿es abierto o cerrado? ¿es conexo? ¿es compacto? Además de presentar alguna matemática interesante por sí mismo, queremos, como dijimos arriba, mostrar como se aplican los conceptos vistos a esos conjuntos de matrices.
Este capítulo requiere un conocimiento básico de Álgebra Lineal. Cuando una lectora o lector no posea dicho conocimiento, puede hallar algunas dificultades en la lectura del mismo. Sin embargo, en cualquier caso, creemos que la lectura de estos capítulos puede ser provechoso, usando algo de fe para los resultados de Álgebra Lineal.

## El Espacio Métrico de las Matrices

Simbolizaremos por M$_n$(R) al conjunto formado por todas las matrices n × n con entradas en los Reales. Cada matriz A = [a$_{ij}$ ] puede identificarse con un punto de R$^{n2}$ , colocado las filas, ordenadamente, una tras otra. Es decir que a$_{ij}$ ⇆ b$_{(i−1)n+j}$ .
Ejemplo 13.2.1. En M$_2$(R),
${\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{bmatrix}}\rightleftarrows (a_{11},a_{12},a_{21},a_{22})\in R^{4}.$
La identificación de M$_n$(R) con R$^{n2}$ provee, por lo tanto, a M$_n$(R) con la estructura de espacio normado y, en consecuencia, con la métrica deducida de tal norma. Luego, podremos aplicar a M$_n$(R) las nociones métricas y topológicas vistas anteriormente.
Cada subconjunto de M$_n$(R) será un subespacio con la topología relativa. Cualquier métrica de R$^{n2}$ define la misma topología en M$_n$(R), pero como estamos interesados en los grupos geométricos usaremos la norma euclídea, a menos que se indique lo contrario.
Recordemos que las proyecciones (o coordenadas) p$_i$ : (x$_1$, ... , x$_m$) ↦ x$_i$, 1 ≤ i ≤ m de R$^m$ en R son funciones continuas. Recordemos, también, que una función f : E → R$^m$, en particular m = n$^2$, es continua, ssi, la composición con cada una de las proyecciones es continua, o como diremos si es continua por coordenadas.
Cuando A = [a$_{ij}}$] sea una matriz $n\times n$, denotaremos las coordenadas como pares i,j o ij con $0\leq i,j\leq n$. Así la coordenada ij de la matriz A es $a_{ij}$.

### Las Operaciones Matriciales son Funciones Continuas

La suma, resta, y producto de matrices n × n, son funciones continuas
R$^{n2}$ × R$^{n2}$ → R$^{n2}$ .
También es continua la multiplicación por escalar. Para probar lo anterior, basta con ver la continuidad por coordenadas. En efecto, sean A = [a$_{ij}$ ] y B = [b$_{ij}$ ] matrices en M$_n$(R) = R$^{n2}$. Las coordenadas $_{ij}$ de la suma, resta y multiplicación son, respectivamente,
a$_{ij}$ + b$_{ij}$,  a$_{ij}$ − b$_{ij}$ y ∑$_k$ a$_{ik}$ b$_{kj}$.
Como dichos valores son polinomios en las coordenadas de los operandos, vemos que son funciones continuas. (Ver la sección 6.5.3). Resumimos la discusión anterior en la siguiente proposición.
Proposición 13.2.1. La suma, resta y multiplicación son operaciones continuas en M$_n$(R).
Se verifica que la suma y la multiplicación son asociativas, que la multiplicación es distributiva respecto a la suma. La suma es conmutativa, pero la multiplicación no lo es. La matriz identidad I es una matriz cuyas entradass en la diagonal principal son todas iguales a 1 y las demas entradas son nulas. Se verifica que para toda matriz A se cumple que AI = IA = A.
Ejemplo. La matriz identidad de $M_{3}(\mathbb {R} )$ es ${\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}}$.

### La Función Determinante y el Grupo Lineal

El determinante es una función de M$_n$(R) en R definida como
$\det([a_{ij}]):=\sum _{\sigma }(-1)^{{\text{sgn}}(\sigma )}a_{i\,\sigma (i)},$
donde la suma corre sobre todas las permutaciones $\sigma$ de los elemento del conjunto {1, 2, ... , n} y $\operatorname {sgn}(\sigma )$ es el signo de la permutación. Se verifica la siguiente importante relación (a la que nos referiremos como la identidad básica del determinante).
$\det(AB)=\det(A)\det(B).\qquad (IBD)$
Sigue de la definición que el determinante de la matriz identidad es igual a 1.
Decimos que una matriz A es invertible cuando hay una matriz $B$ tal que $AB=I$. Dicha matriz $B$ es única y se denota $A^{-1}$.
Sigue de la identidad~{IBD} que cuando una matriz $A$ es invertible se cumple que
$\det(A)\det(A^{-1})=\det(AA^{-1})=\det(I)=1.$
Por lo que el determinate de una matriz invertible no es cero. Se verifica que el converso es válido, por lo que una matriz es invertible, ssi, su determinante no es nulo. En particular la matriz identidad es invertible.
Notemos que cuando $A$ es invertible, $\det(A^{-1})=1/\det(A)$. Simbolizaremos por GL(n) al conjunto formado por todas las matrices n × n
invertibles. Cuando A y B son matrices invertibles, se cumple que
       (i) El producto AB es invertible, con (AB)$^{−1}$ = B$^{−1}$A$^{−1}$, y
       (ii) La inversa de A es invertible con (A$^{−1}$)$^{−1}$ = A.
En la terminología de Álgebra Abstracta, las propiedades anteriores, conjuntamente con la asociatividad del producto, hacen que GL(n) tenga una estructura de grupo (ver definición C.1), al que llamamos el grupo lineal (real de dimensión n). Con esa terminología, la relación básica establece que el determinante es un homomorfismo (ver definición C.4) de grupos entre los grupos GL(n) y R$^*$ (los Reales no nulos) que se verifica, además, que es suprayectivo. Sigue de la teoría de grupos, que la preimagen de cualquier subgrupo de R$^*$ será un subgrupo de GL(n) (ver D.4.2). En particular, la preimagen del subgrupo {1} de R$^*$ es un subgrupo de GL(n), al que llamamos el (sub)grupo lineal especial y que denotamos por SL(n).
Proposición 13.2.2. La función determinante es continua.
Corolario 13.2.3. El grupo lineal GL(n) es un subconjunto abierto de M$_n$(R).
El grupo lineal especial SL(n) es un subconjunto cerrado (topológicamente) de GL(n).
Proposición 13.2.4. La asociación a cada matriz invertible A = [a$_{ij}$ ] de su inversa es una función continua.
Corolario 13.2.5. La función $A\mapsto A^{-1}$ es un homemorfsimo de GL(n) en si mismo.

### La Conjugación

Sea G un grupo. Se llama conjugación por (un elemento) g de G, a la función del grupo en sí mismo tal que x ↦ gxg$^{−1}$ (el conjugado por g de x).
Proposición 13.2.5. La conjugación es un homeomorfismo para todo g.
* ↑ La transpuesta A$^t$ de una matriz A, es la matriz que se obtiene cambiando las filas por las columnas de A.