# Matemáticas/Espacios Métricos/Grupos Topológicos
## Definiciones y Propiedades Básicas

Los grupos topológicos son grupos (en el sentido de Álgebra Abstracta; ver C.1) provistos con una topología compatibles con las operaciones del grupo. Tales objetos aparecen en diversas ramas de la matemática y tienen, incluso, aplicaciones importantes en Física
Nuestro ejemplo básico es G = GL(n). Vimos, en el capítulo anterior, que tanto la multiplicación de matrices y la función "tomar inversas" en G son funciones continuas, lo que conecta la parte algebraica con la parte topológica. Dichas propiedades se abstraen en la siguiente definición.
Definición. (Grupo Topológico) Un grupo topológico G es un grupo provisto de una topología tal que la operación del grupo y la operación unaria (x ↦ x$^{−1}$, tomar inversos) son funciones continuas.
Nuestro primer ejemplo es, por supuesto, GL(n). Con la topología usual tenemos, que además, son grupos topológicos: los Reales con la suma, los Reales no nulos con la multiplicación. También, R$^n$ con la suma de vectores es un grupo topológico y, en particular, las matrices n × n con la suma.
Veremos, a continuación, algunas propiedades generales de los grupos topológicos. Aunque nuestro interés es el estudio de los grupos de matrices, algunos resultados generales sobre grupos topológicos son relativamente fáciles de obtener y servirán de aplicaciones a nuestros conceptos topológicos generales. Además, la abstracción, como siempre, ilumina las relaciones entre los conceptos y puede simplificar algunas consideraciones. Por lo que, en esta sección, trabajaremos principalmente con grupos topológicos abstractos.
Lema 14.1.1. Sean G un grupo topológico, g un elemento cualquiera del grupo, y e el elemento neutro del grupo.
Observación 14.1. Sigue directamente del lema anterior que para cualquier subconjunto A de un grupo topológico G, los subconjuntos A, gA, Ag, gAg$^{−1}$ y A$^{−1}$ son homeomórficos entre si. Tenemos, como consecuencia inmediata la siguiente proposición.
Lema 14.1.2. Sea G un grupo topológico. Sean U, F y Z subconjuntos de G tales que U es abierto, F es cerrado y Z es cualquiera. Sea g un elemento cualquiera. Entonces,
Observación. El producto (como subconjuntos del grupo) de dos conjuntos abiertos es abierto ¿vale lo mismo para conjuntos cerrados? Ver ejercicio 5.

### Homogeneidad de los Grupos Topológicos

Decimos que un espacio topológico X es un espacio homogéneo, cuando para todo x, y en X hay un homeomorfismo f de X en sí mismo tal que f(x) = y.
Los grupos topológicos son espacios homogéneos, ya que sigue del lema anterior que dados puntos x, y del grupo, se cumple que L$_g$(x) = y cuando g = yx$^{−1}$. Cuando un espacio es homogéneo las propiedades locales (propiedades alrededor de un punto) son las mismas para cualquiera de los puntos. Resulta natural entonces, en el caso de los grupos topológicos, estudiar las vecindades del elemento neutro, como representante de cualquiera de los puntos de un grupo topológico.

### Las vecindades del elemento neutro

Denotaremos por V_e al conjunto formado por todas las vecindades del neutro e. Sigue de la continuidad de la multiplicación y de que ee = e que dada una vecindad U de e, hay vecindades V, W de e, tales que VW ⊂ U. Análogamente, como tomar inversos es continuo y e$^{−1}$ = e, para cualquier U vecindad de e, hay una vecindad V tal que V $^{−1}$ ⊂ U, Combinando los resultados anteriores y observando que e$^{−1}$e = e, dada una vecindad U del neutro e, hay vecindades V, W de e tales que V $^{−1}$W ⊂ U.
Resultará conveniente para algunas demostraciones considerar vecindades simétricas. Una vecindad V del neutro es simétrica, ssi, V $^{−1}$ = V. Dada cualquier vecindad U del neutro, la vecindad V = U ∩ U$^{−1}$ es simétrica y contenida en U.
Finalmente, Si U es una vecindad del neutro, hay una vecindad W tal que W$^2$ ⊂ U. Si V es una vecindad simétrica contenida en W, tenemos que V$^2$ ⊂ U. Registraremos los resultados anteriores en la siguiente proposición.
Proposición 14.1.3. Sea G un grupo topológico.
que V$^2$ = V V ⊂ U.
Observación 14.3. Sea G un grupo topológico y sea A un subconjunto cualquiera no vacío de G. Entonces, para cada vecindad U del neutro, UA es un abierto que contiene a A (ea = a). Si A = {g}, Ug es una vecindad de g.

### Las propiedades de Separación

Convenios. Sea G un grupo topológico. Cuando especifiquemos un tipo especial de grupo, el adjetivo usado podría referirse a la estructura algebraica o a la topológica del grupo. Usualmente, los adjetivos se referirán a la estructura topológico: cerrado, abierto, compacto, conexo, etc. La única excepción será normal, ya que siempre lo usaremos para referirnos al significado algebraico (contener todos los posibles conjugados). Grupos con la propiedad de separación normal, se indicarán como grupos topológicamente normales.
Las definiciones de las propiedades topológicas de separación se hallan en el capítulo 12.
El siguiente lema muestra que los grupos topológicos tienen la propiedad de separación T$_3$.
Lema 14.1.4. Sea G un grupo topológico. Entonces, para cada vecindad U del neutro, hay una vecindad V del neutro tal que Cl(V ) ⊂ U.
Sigue directamente del lema anterior y de la proposición 12.3.1, la siguiente proposición
Proposición 14.1.5. Sea G un grupo topológico T$_1$, entonces G es regular, y, por lo tanto, Hausdorff.
(Para la noción de espacio regular, ver la sección 12.3.)
Sean G un grupo topológico T$_0$ y G$^*$ el complemento de {e}. Probaremos que G$^*$ es abierto. Sea x en G$^*$. Por estar en un espacio T$_0$ al menos una de las alternativas siguientes es válida.
    (i) Hay una vecindad U de x que no contiene a e;
    (ii) Hay una vecindad W de e que no contiene a x.
La alternativa (i) implica que x es un punto interior de G$^*$. Supongamos válida la alternativa (ii) y sea V una vecindad simétrica contenida en W. Entonces xV es una vecindad de x. Si e estuviera en xV, habrá un v tal que e = xv. Pero esto implica que v = x$^{−1}$ y como v es simétrica, v = (v$^{−1}$)$^{−1}$, tendríamos que x estaría en V. Luego, xV no contiene a e; lo que implica que x es interior de G$^*$. Por lo tanto G$^*$ es un abierto. En consecuencia, {e} es cerrado. Por la homogeneidad, cada {x} = L$_x$(ε) es cerrado. En consecuencia, el grupo G como espacio topológico es T$_1$. Sigue de la proposición anterior que, también, es Hausdorff. Hemos probado, así, la siguiente proposición.
Proposición 14.1.6. En un grupo topológico, se cumple que T$_0$ ⇐⇒ T1 ⇐⇒ T2 (Hausdorff).
Corolario 14.1.7. Un grupo topológico T$_0$ es regular.
Observación 14.4. En la literatura matemática hay gran variedad acerca de cuáles propiedades de separación debe tener un grupo topológico. Algunos autores agregan a la definición que dimos la exigencia de que sean espacios T$_1$. Los últimos resultados muestran que podemos suponer indistintamente T$_0$, T$_1$ o Hausdorff. Como nuestros ejemplos de interés son los grupos de matrices, que son subconjuntos de espacios métricos, tenemos que son automáticamente Hausdorff, no necesitaremos una restricción especial.
Lema 14.1.8. Sean F y C subconjuntos disjuntos de un grupo topológico G. Si F es cerrado y C es compacto, hay una vecindad U del neutro e tal que UC ∪ CU es disjunta de F. Si G es localmente compacto, se puede seleccionar U de modo que Cl(UC ∪ CU) es compacta.
Proposición 14.1.3. Sean A y B subconjuntos de G.

### Ejercicios 14.1

* Sea G un subgrupo topológico, A un subconjunto cualquiera no vacío.
** Sea x un punto de G tal que para toda vecindad U del neutro x está en xU ∩ A ≠ ∅, entonces x está en la clausura de A.
** Sea y un punto de G tal que para toda vecindad U del neutro x está en UA, entonces x está en la clausura de A.
** Usar cualesquiera de las afirmaciones de los ejercicios anteriores para dar una condición para que un punto x no esté en la clausura de A.
* Sean G un grupo topológico, g un punto de G, A y B subconjuntos cualesquiera no vacíos, y U una vecindad del neutro. Probar que A ∩ UxB ≠ ∅, ssi, U$^{-1}$A ∩ xB ≠ ∅.

## Los Subgrupos Topológicos

Sea G un grupo, topológico o no. Recordemos que un conjunto no vacío H determina un subgrupo de G (lo que simbolizamos por H < G), cuando HH$^{−1}$ ⊂ H (ver definición de subgrupo en C.2). Veremos, a continuación, que cualquier subgrupo de un grupo topológico es un grupo topológico. Para simplicidad de la expresión, diremos “las operaciones del grupo” para referirnos conjuntamente a la operación del grupo junto con tomar inversos (operación unaria).
Proposición 14.2.1. Sea G un grupo topológico y H < G, entonces H es un grupo topológico.
Subgrupos Topológicos. Resulta de la experiencia que un subgrupo de un grupo topológico tiene propiedades "agradables" cuando como subespacio topológico es cerrado. Por lo que es costumbre llamar subgrupos topológicos a tales subgrupos. Además, resultará que los subgrupos abiertos como subconjuntos de G, serán cerrados.
Proposición 14.2.2. Un subgrupo H de un grupo topológico G que sea abierto como subconjunto, será cerrado topológicamente.
Ejemplos 14.2.1.
* Un subgrupo cerrado que no es abierto: Z en R. Un subgrupo que no es ni cerrado ni abierto: Q en R.
Definición. (Subgrupo Topológico) Sea G un grupo topológico y sea H un subgrupo (algebraico) de G. Decimos que H es un subgrupo topológico de G, ssi, H es cerrado como subespacio topológico de G.
Naturalmente que si deseamos que el subgrupo trivial {e} sea un subgrupo topológico, debemos suponer que el grupo es un espacio T$_0$ (o T$_1$ o Hausdorff).. Para la próxima proposición, recordemos que un subgrupo H de G se dice que es normal en G, cuando todos los conjugados de sus elementos son elementos de H; es decir, cuando para todo g en G se cumple que c$_g$(H) = gHg$^{−1}$ ⊂ H.
Proposición 14.2.3. Sea G un grupo topológico cualquiera. Sea H la intersección de todas las vecindades del neutro. Entonces, H es un subgrupo normal de G.
La próxima proposición muestra que la clausura de cada subgrupo es un subgrupo topológico.
Proposición 14.2.3. Sea G un grupo topológico y sea H un subgrupo G, entonces CL(H) < G, o sea es un subgrupo topológico de G. Cuando H es normal, Cl(H) también lo es. Si H es abierto, entonces Cl(H) = H.

### Ejercicios 14.2

* Sean A y B subconjuntos de un grupo topológíco G.
** Cl(A) Cl(B) ⊂ Cl(AB).
** Cl(A$^{-1}$) = Cl(A)$^{-1}$.
** x Cl(A)x$^{−1}$ = Cl(x A x$^{−1}$).
* Usar los resultados del ejercicio anterior para probar que si H es un subgrupo (resp. subgrupo normal) de un grupo topológico G, entonces Cl(H) también lo es.
* Sea G un grupo T$_0$, A y B subconjuntos de G.
** Si para todo a en A, b en B se cumple que ab = ba, entonces para todo a en Cl(A) y b en Cl(B) se cumple que ab = ba.
** Si H es un subgrupo abeliano (conmutativo) de G, entonces Cl(H) también lo es.
** Sea G un grupo topológico con neutro e. La clausura de {e} es un subgrupo normal de G que es el menor (respecto a la inclusión) de los subgrupos cerrados de G.

## Los Homomorfismos Continuos

Definición. (Homomorfismo Continuo) Sean G y H grupos topológicos.
* Un homomorfismo continuo de G en H es un homomorfismo de grupos que, además, es continuo como función.
* Un homomorfismo abierto es un homomorfismo continuo que, además, es abierto.
* Un isomorfismo continuo es una biyección que es un isomorfismo de grupos y que es continuo.
* Un isomorfismo–homeomorfismo o isomorfismo topológico, es un isomorfismo de los grupos que también es un homeomorfismo.
* Un automorfismo topológico es un isomorfismo topológico de un grupo en si mismo.
La composición de dos homomorfismos continuos (resp. abiertos, isomorfismos topológicos) es también continuo (resp. abierto, isomorfismo topológico).
Ejemplos 14.3.1.
* La función exponencial usual es un isomorfismo topológico entre el grupo aditivo de los Reales y el grupo multiplicativo de los Reales positivos.
* La función identidad es un automorfismo de cualquier grupo topológico.
* La función determinante de GLn en R$^*$ es un homomorfismo continuo.
* Sea E un espacio normado. La multiplicación por un escalar no nulo en E es un homomorfismo de la estructura aditiva que es un isomorfismo topológico.
Convenios. Sea G un grupo topológico. Cuando especifiquemos un tipo especial de grupo, el adjetivo usado especificará si se refiere a la estructura algebraica o a la topológica del grupo. Los adjetivos se referirán usualmente a la estructura topológica: cerrado, abierto, compacto, conexo, etc. La única excepción será normal, ya que siempre lo usaremos para referirnos al significado algebraico (contener todos los posibles conjugados).
Proposición 14.3.1. Sean G, H grupos topológicos y sea f : G → H un homomorfismo de grupos. f es continua (resp. abierta), ssi, es continua (resp. abierta) en el neutro.

### Ejercicios 14.3

* Probar la proposición 14.3.1.
* La composición de dos homomorfismos continuos (resp. abiertos, isomorfismos continuos, isomorfismos–homeomorfismos) es también continuo (resp. abierto, isomorfismo continuo, isomorfismo–homeomorfismo).
* Sea f : G → H un homomorfismo de grupos. f es un homomorfismo continuo, ssi, para cada vecindad del neutro eH de H hay una vecindad U de eG tal que f(U) ⊂ V.
* Sea f : G → H un homomorfismo de grupos. Probar que cuando H es un espacio T$_1$, el núcleo de f, ker(f) = {x ∈ G : f(x) = e$_H$}—que siempre es un subgrupode G—es cerrado como subespacio de G.

## Grupos Cocientes, Espacios Homogéneos

Sea G un grupo y H un subgrupo de G. Se verifica que x ∼ y ↔ x$^{−1}$y ∈ H es una relación de equivalencia cuyas clases de equivalencia son los conjuntos de la forma xH = {xh : h ∈ H} (clase lateral izquierda de x respecto a H). Denotamos por G/H al conjunto cociente de la relación, o sea al conjunto formado por todas las clases laterales respecto a H. El conjunto G/H no es necesariamente un grupo, a menos que H sea normal en G (o sea que H contiene a todos sus conjugados. Ver C.5).
G/H es un espacio topológico cuando se lo provee (canónicamente) con la topología más fina tal que la suprayección canónica η : G → G/H, η : x ↦ xH, sea continua. Sigue de esa definición que U$^*$ es abierto en G/H, ssi, η$^{−1}$(U$^*$) es un abierto de G. Equivalentemente, una subconjunto F$^*$ de G/H es cerrado, ssi, η$^{-1}$(F$^*$) es cerrado. La definición, también, implica que η es abierta.
Supongamos ahora que H fuera un subgrupo normal de G. Probaremos que G/H es un grupo topológico con la operación natural del grupo cociente,
Sean xH, yH dos puntos de G/H y sea zH = xyH. Sea U$^*$ = η(U) una vecindad de zH en G/H. Como la multiplicación es continua en G, hay vecindades V de x y W de y, tales que VW ⊂ U. Entonces, V $^*$ = η(V ) y W$^*$ = η(W) son vecindades de xH y yH, respectivamente, y tales que V $^*$W$^*$ ⊂ U$^*$. Lo que prueba que la multiplicación en G/H es continua. De manera análoga se verifica que tomar inversos es continua en G/H. Es decir que G/H es un grupo topológico.
Resumimos lo anterior en la siguiente proposición.
Proposición 14.4.1. Si G un grupo topológico y H un subgrupo de H, entonces se cumple lo siguiente.
Proposición 14.4.2. Sea G un grupo topológico, H un subgrupo de G, ν : G → G/H la suprayección natural, y f : G → X continua tal que x, y en H implica que f(x) = f(y). Entonces, hay una función continua inyectiva f$^*$ : G/H → X tal que f$^*$ ◦ ν = f. Cuando f es abierta o cerrada, f$^*$ es un homeomorfismo sobre su imagen. Si, además, H es normal en G y X un grupo topológico, f es un homomorfismo.
Corolario 14.4.3. Sea f : G → G′ un homomorfismo continuo de grupos topológicos. El núcleo de f, ker(f) = {x ∈ G : f(x) = e′}, e′ neutro de G′, es un subgrupo normal de G. Además, si G′ es Hausdorff, entonces ker(f) es un subgrupo topológico.