# Matemáticas/Espacios Métricos/Conjuntos Abiertos y Cerrados
## Introducción

Este capítulo estará dedicado completamente a la topología de los subconjuntos de un espacio métrico. Veremos como formalizar algunas de las principales nociones asociadas a “proximidad” entre puntos (o entre conjuntos, o entre puntos y conjuntos).
Cuando pensamos en una figura plana, podemos intuitivamente considerar puntos que están ya sea dentro de la figura, en el borde de la figura, o en el exterior de la figura. Aquí formalizaremos esas nociones. Introduciremos el cómodo lenguaje de vecindades y clasificaremos a los puntos por la cantidad de vecinos en un vecindario próximo.
Los lectores deberán seguir cuidadosamente las argumentaciones de las demostraciones y ejemplos, porque son básicas en el razonamiento topológico. Una mayoría de las demostraciones se basan en propiedades de conjuntos y sus operaciones, por lo que resultará conveniente echar un vistazo a las sección A.1 del apéndice A, donde se resumen las propiedades de las operaciones. También, usaremos propiedades de familias de conjuntos que aparecen en la sección B.5 del apéndice B.
En los ejemplos, proposiciones, etc. sugerimos hacer un dibujo de la situación. Un dibujo apropiado puede ayudar a la intuición y guiar en la formalización de la misma.

## Los Conjuntos Abiertos

La primera noción que estudiaremos, conjunto abierto, representa la formalización de la intuición de puntos próximos o cercanos.
Definición. (Conjunto Abierto) Sea E un espacio métrico. Decimos que un subconjunto A de E es abierto, si y solo si, para cada punto x de A podemos hallar un número real r > 0 tal que la bola abierta de centro x y radio r está contenida en A.
(☩) Informalmente, un conjunto es abierto cuando contiene todos los vecinos suficientemente próximos a cada uno de sus puntos
Ejemplo 5.2.1. El semiplano H = {(x, y) ∈ R$^2$ : y > 0} es un conjunto abierto.
Resolución. Sea p = (x$_0$, y$_0$) un punto cualquiera del semiplano H. Debemos probar que hay un disco abierto con centro en p totalmente contenido en H. Sea r = y$_0$/2 y B = B$_r$(p). Entonces, para todo (x, y) en B, se tiene que
de donde
Como |y − y$_0$| < r es equivalente a y$_0$ − r < y < y$_0$ + r y y$_0$ − r = y$_0$ − y$_0$/2 = y$_0$/2 > 0, tenemos que (x, y) está en H. Lo que prueba que H es un abierto.
Proposición 5.2.1.
En cualquier espacio métrico, las bolas abiertas son conjuntos abiertos..
Ejemplo 5.2.2. Sigue de la proposición que los intervalos abiertos acotados de la línea real son abiertos, ya que son bolas abiertas.
Introduciremos dos nociones auxiliares: vecindad y punto interior. Tales nociones nos ayudarán a expresar más significativamente algunas propiedades.
Definición. (Vecindad) Sea E un espacio métrico y sea A un subconjunto de E. Llamamos vecindad de A a cualquier conjunto V que contenga a un abierto que contiene a A. Cuando A = {p}, decimos que V es una vecindad de p.
Una vecindad abierta es una vecindad que como subconjunto del espacio es un conjunto abierto.
Definición. (Punto Interior) Sea E un espacio métrico y sea A un subconjunto de E. Decimos que un punto p es un punto interior de A, ssi, A es una veceidad de p; o sea, cuando haya un abierto U que contenga a p y que esté contenido en A.
Sigue de lo anterior que cada conjunto abierto, en particular, una bola abierta, es una vecindad abierta de cada uno de sus puntos y que, por lo tanto, cada uno de sus puntos es interior.
Vecindad es una noción auxiliar que simplifica la expresión, ya que decir “vecindad de p” es más simple que decir “un conjunto que contiene a un abierto que contiene a p” y nos da, además, la idea de proximidad o cercanía.
Algunas veces, por simplicidad de la expresión, hablaremos de una r–vecindad de un punto para referirnos a una vecindad que es una bola abierta de radio r con centro en el punto.
¿Cuándo no es abierto un conjunto A? Cuando haya, al menos, un punto p del conjunto tal que todas las bolas abiertas con centro en el punto p, contienen al menos un punto que no está en A. Es decir que cada bola abierta con centro en p interseca en forma no vacía al complemento de A.
Sigue de la observación anterior que cuando no hay tal punto, el conjunto es abierto. Un conjunto, en particular que no tiene ese tipo de puntos es el conjunto vacío, es decir que:

### Propiedades de Vecindades y Conjuntos Abiertos

Veremos algunas de las propiedades de los conjuntos abiertos y dejaremos como ejercicios las propiedades análogas para las vecindades (que se deducen casi en forma inmediata de las propiedades de los abiertos.
Supongamos que A y B fueran abiertos en un espacio métrico. ¿Que podríamos decir de A ∪ B? Supongamos que p fuera un punto de la reunión que, por definición de reunión, estaría tanto en A como en B. Si estuviera en A, habría una r–vecindad V de p totalmente contenida en A. Como V ⊂ A implica que V ⊂ A∪B, concluiríamos que A ∪ B es abierto. Un razonamiento análogo funciona para p en B. Revisando el argumento, vemos que si consideramos la reunión de más de dos abiertos, el mismo argumento es válido, inclusive para la reunión de una familia cualquiera de abiertos.
Sea (A$_i$), i ∈ I, una familia de abiertos y sea A = $\cup${A$_i$: i∈I}. Probaremos que A es abierto, razonando como arriba. Sea p un punto de A. Entonces (paso clave) hay al menos un i en I tal que p ∈ A$_i$. Como A$_i$ es abierto, hay una r–vecindad V de p totalmente contenida en A$_i$. Luego, como V ⊂ A$_i$ ⊂ A, concluimos que A es abierto.
¿Qué pasa con A ∩ B cuando A y B son abiertos? Primeramente, observemos que si la intersección es vacía, entonces se trata de un conjunto abierto. Supongamos que los conjuntos no fueran disjuntos y que p fuera un punto de la intersección. Como A es abierto, hay una r$_1$–vecindad de p totalmente contenida en A; análogamente, hay una r$_2$–vecindad de p totalmente contenida en B. Sea r el menor valor entre r$_1$ y r$_2$ y sea V = B$_r$(p), como r ≤ r$_i$, i = 1, 2, V ⊂ B(p;r$_1$) ⊂ A y V ⊂ B(p;r$_2$) ⊂ B. Como V está contenida tanto en A como en B, está contenida en A ∩ B, lo que prueba que dicho conjunto es abierto.
El argumento anterior se puede extender a una familia finita de abiertos, razonando por inducción (ver más abajo la demostración). Sin embargo, el argumento no vale necesariamente para familias infinitas, ya que puede que no haya valor mínimo de los radios y que el ínfimo de los mismos sea 0.
Ejemplo 5.2.3. Consideremos la familia de abiertos (A$_n$), A$_n$ =] - 1/n, 1/n[, donde n es un natural positivo.
Veremos que A = ∩{A$_n$ : n∈N } = {0}, que es un conjunto que será, claramente, un conjunto que no es abierto ya que cualquier vecindad abierta con centro en 0 contiene números diferentes de 0.
Veamos una demostración formal de lo anterior. Suponer que hubiera un número real x que perteneciera a A. Sin perdida de generalidad, por la simetría de la situación, podemos suponer que x > 0. Por el principio arquimediano, siempre podremos hallar un n tal que 1/n < x. Pero esto implica que x no está en ]−1/n, 1/n[, por lo que no puede estar en A (que consiste de los elementos comunes a todos los A$_n$). Luego A = {0}. Resumimos las consideraciones anteriores en la siguiente importante proposición.
Proposición 5.2.2 (Propiedades de los Abiertos).
Sea E un espacio métrico.
Proposición 5.2.3 (Propiedades de las Vecindades).
Sea A un subconjunto de un espacio métrico E. Entonces,
Ejemplo 5.2.4. El intervalo abierto I =]a,+∞[ es un conjunto abierto en R, ya que es una reunión de abiertos.
Sea x un número cualquiera que sea mayor que a. Entonces, x − a es positivo y hay, por lo tanto, un natural n mayor que x−a (PropiedadAarquimediana). Como x − a < n implica que x < a + n, tenemos que x está en ]a, a + n[ y, por lo tanto, en la reunión indicada. Esto prueba que el intervalo está contenido en la reunión de los ]a, a + n[’s. La inclusión inversa es trivial; de donde la igualdad.
Ejemplo 5.2.5. El intervalo (semiabierto) A = [0, 1[ no es abierto.
Consideremos al punto 0 de A. Cualquier bola abierta con centro en 0 contiene números negativos que no están, por lo tanto, en A; por lo que 0 no es un punto interior de A, lo que implica que A no puede ser abierto.
Proposición 5.2.4.
Sea E un espacio métrico. Cualquier conjunto abierto A es igual a una reunión de bolas abiertas.
Base de los Abiertos. Cuando una familia de abiertos tiene la propiedad que cualquier abierto es una reunión de abiertos de la familia, se dice que familia es una base para los abiertos. El resultado de la proposición anterior expresa que las bolas abiertas son una base para los abiertos del espacio.
Ejemplo 5.2.6. Sea E un espacio métrico discreto con métrica 0–1. Entonces, para cada x de E, la (1/2)-vecindad de x contiene solamente a x. Por lo que deducimos que cada conjunto con un único punto es abierto. Como cualquier subconjunto de E es una reunión de conjuntos con un único elemento, concluimos que cada subconjunto de E es un abierto.
La siguiente proposición muestra un resultado casi trivial, pero muy importante más adelante.
Proposición 5.2.6 (Propiedad de Hausdorff).
    Sean x, y puntos diferentes de un espacio métrico. Hay abiertos U y V tales que (i) x ∈ U, (ii) y ∈ V, y (iii) U ∩ V = ∅. (Decimos que dos puntos diferentes están separados por abiertos disjuntos.)

### Los Abiertos en R$^n$

Sabemos, del capítulo anterior, que hay varias métricas posibles en R$^n$. Veremos, relaciones entre algunas de esas métricas. Como siempre, cuando no especificamos la métrica es porque se trata de la métrica euclidiana.
Ejemplo 5.2.7. Llamamos celda o caja abierta de R$^2$ a un conjunto de la forma ]a, b[×]c, d[. Probaremos que dicha celda abierta es un conjunto abierto.
Resolución. Sea C la celda indicada. Sea (x$_0$, y$_0$) en C. Observemos que a < x$_0$ < b y c < y$_0$ < d. Sea r = mín{x$_0$ − a, b − x$_0$, y$_0$ − c, d − y$_0$}. Luego, r ≤ x$_0$ −a ≤ ⇒ a ≤ x$_0$−r. Análogamente, tenemos que x$_0$ +r ≤ b, c ≤ y$_0$−r y y$_0$ + r < d. Sea B = B((x$_0$, y$_0$); r), y sea (x, y) un punto de B. Se tiene entonces que |x − x$_0$| ≤ d((x, y), (x$_0$, y$_0$)) < r. De donde, r < x − x$_0$ < r, o sea que x$_0$ − r < x < x$_0$ + r. Por las observaciones anteriores tenemos que a ≤ x$_0$ − r < x < x$_0$ + r ≤ b. Análogamente se verifica que c ≤ y$_0$ − r < y < y$_0$ + r ≤ d. Lo que prueba que (x, y) está en C. Por lo que B ⊂ C, o sea que C es abierto.
Ejemplo 5.2.8. Probaremos que los conjuntos abiertos respecto a la métrica--máxima son abiertos respecto a la métrica euclídea.
Sea C(p;r) la celda ]x$_p$ − r, x$_p$ + r[ × ]y$_p$ − r, y$_p$ + r[, donde
(x$_p$, y$_p$ ) = p. De acuerdo al ejemplo anterior, dicha celda es un abierto de R$^2$ respecto a la métrica euclídea.
Lo que implica que cualquier bola abierta respecto a la métrica--máxima, es un abierto respecto a la métrica euclidiana.
Sea $U_{\text{max}}$ un abierto respecto a la distancia máxima. Por definición de abierto, esto quiere decir que para cada punto $p$ en $U_{\text{max}}$, hay una celda $C(p,r)$ contenida en $U_{\text{max}}$. Como $C(p;r)$ contiene a $B(p;r)$, concluimos que $U_{\max }$ es un abierto euclídeo. Resumiendo,
Proposición 5.2.6. Cada abierto respecto a la métrica máxima es un abierto respecto a la métrica euclídea.
Observación 5.1. El resultado del ejemplo anterior no es trivial, ya que puede haber conjuntos con diferentes métricas y que los abiertos respecto a una de las métricas no sean necesariamente abiertos respecto a la otra métrica. Por ejemplo, con respecto a la métrica discreta cualquier subconjunto de los Reales es abierto, lo que no pasa con respecto a la métrica usual de los Reales. El resultado de ejemplo también sugiere investigar el converso, ¿son los abiertos euclidianos abiertos respecto a la métrica máxima?

### Ejercicios 5.2

* Decidir la validez o falsedad de cada uno de los siguientes enunciados. Explicar su respuesta.
** 1/2 es un punto interior del intervalo abierto ]0,1[.
** 1/2 es un punto interior del intervalo cerrado [0,1].
** El intervalo cerrado [0,1] es una vecindad de 1/2.
** El intervalo [0,1] es abierto.
* ¿Cuáles de los conjuntos siguientes son conjuntos abiertos en la línea real?
** El intervalo semiabierto ]a, b].
** El intervalo ]a,+∞[.
** El intervalo [a,+∞].
** {t ∈ R : t ≠ 0}.
** El complemento del conjunto ]a, b[.
** El complemento del conjunto [a, b].
** El complemento de los Naturales.
** El complemento de los Enteros.
** El complemento de los Racionales.
* ¿Cuáles de los siguientes conjuntos son conjuntos abiertos en R$^2$ ?
** A = {(x, y) ∈ R$^2$ : y < 2}.
** B = {(x, y) ∈ R$^2$ : 2 < x < 5}.
** C = {(x, y) ∈ R$^2$ : y = 5}.
* Probar que R$^2$ \ {(0, 0)} es abierto.
* Probar que el conjunto {(x, y) ∈ R$^2$ : x + y < 1} es abierto en R$^2$.
* (♠) Probar que el conjunto {t ∈ R : sen(t) > 0} es abierto.
* Un conjunto es acotado, ssi, hay una bola abierta que lo contiene.
* El subconjunto de un conjunto formado por todos sus puntos interiores es un conjunto abierto.
* Cuando en un conjunto todos los puntos son interiores, el conjunto es abierto
* Probar que cuando V es una vecindad cualquiera de un punto p, hay una r–vecindad de p, contenida en V.
* (Propiedad de Separación de Hausdorff) Sean x, y puntos diferentes de un espacio métrico. Probar que hay vecindades V, W de x y y, respectivamente, que son disjuntas.
* Sea f : E → E′ una isometría de espacios métricos. La imagen de cualquier bola abierta B de E por f es una bola abierta B’de E′ de igual radio y cuyo centro es la imagen del centro de B. Usar lo anterior para probar que las imagen por una isometría de un abierto, es un conjunto abierto abierto.
* Probar la proposición 5.2.3.
* (Relaciones entre la métricas euclidiana y máxima del plano) En el ejemplo 5.2.5 se vió que cada abierto respecto a la métrica máximal es abierto respecto a la métrica euclidiana. Se trata ahora de probar el recíproco.
** Probar que cada bola euclidiana contiene una celda C(p;r).
** Concluir que cada abierto euclidiano es un abierto respecto a la métrica máxima
** Un subconjunto V de R$^2$ es una vecindad de un punto p, ssi, contiene una caja ]a, b[×]c, d[ que contiene a p. (Este resultado ayuda a probar que ciertos subconjuntos de R$^2$ son abiertos, porque es más fácil, a veces, trabajar con cajas, que con bolas.) d) Generalizar los resultados del ejemplo citado y los de este ejercicios a R$^3$.
** Idem para R$^n$.

## Los Conjuntos Cerrados

En esta sección, introduciremos un concepto dual al de conjunto abierto: conjunto cerrado. Los intervalos cerrados de la línea real serán los ejemplos iniciales de la noción. La definición inicial no será muy ilustrativa desde el punto de vista topogeométrico, pero la presentamos de esta manera porque queremos, por razones que quedarán claras más adelante, usar abiertos en las definiciones de los conceptos importantes. Cuando veamos la noción de \textit{puntos de acumulación}, tendremos una imagen topogeométrica más clara del significado de cerrado.
Definición. (Conjunto Cerrado) Sea E un espacio métrico. Decimos que un subconjunto F de E es un conjunto cerrado, ssi, su complemento es abierto.
Ejemplos 5.3.1. Cuando A es un subconjunto de otro X, su complemento en X se denota por X \ A. Cuando el conjunto X es el conjunto universal de la discusión, entonces podremos simbolizar el complemento de A por A$^c$.
* Un intervalo cerrado de la línea real es un conjunto cerrado. [a, b]$^c$ = ]−∞, a[ ∪ ]b,+∞[ (abierto) y  ] −∞, a]$^c$ = ]a,+∞[ (abierto)
* El conjunto vacío y todo el espacio son cerrados, ya que sus complementos son abiertos.
* Los Naturales son cerrados, porque su complemento es abierto N$^c$ = ]-∞, 0[ ∪n, n + 1[: n ∈ N}.
* El intervalo ]0, 1] no es cerrado, ya que su complemento es la reunion de ]−∞, 0] con ]1,+∞[. El primer conjunto no es abierto, porque 0 no es un punto interior del conjunto, por lo que la reunión no es un abierto.
Ejemplo 5.3.2. Sea E un espacio discreto. Vimos en el ejemplo 5.2.6 que cada subconjunto de E es abierto, por lo que su complemento es cerrado, Luego, todos sus subconjuntos son cerrados, ya que sus complementos son abiertos.
Conclusión: en un espacio discreto los subconjuntos son abiertos y cerrados a la vez.
☞ Notemos los ejemplos muestran que hay conjuntos abiertos---pero no abiertos, conjuntos cerrados---pero no abiertos, conjuntos que no son ni abiertos ni cerrados, y otros que son abiertos y cerrados a la vez (el conjunto vacío y todo el espacio).

### Puntos Aislados, Puntos de Acumulación

Para entender el significado topológico de la noción de cerrado, introduciremos dos conceptos: punto aislado y punto de acumulación, que se referirán a la cantidad de vecinos que puede tener un punto.
Veamos las posibilidades. Supongamos que tenemos un punto p de un espacio métrico y un conjunto A. Si tomamos una vecindad V de p ¿cuántos vecinos de V V están en A? Si hubiera una cantidad finitas de vecinos diferentes de p en A, tomando como r a la menor de las distancias entre esos vecinos y p, tendríamos que la r–vecindad de p no contendría puntos de A diferentes de p. →Tal punro será un punto aislado en A; algo opuesto serán los puntos de acumulación.
Definición. (Puntos Aislados, Puntos de Acumulación) Sea < E, d > un espacio métrico. Sea A un subconjunto de A y p un punto de E.
* Decimos que un punto p de A es un punto aislado de A, ssi, hay una vecindad del punto que no contiene otro punto de A.
* Decimos que un punto p (no necesariamente en A) es un punto de acumulación de A, ssi, cada vecindad del punto contiene al menos un punto de A diferente del punto p.
Ejemplo 5.3.3. Sea X = {a$_1$,..., a$_n$} un espacio métrico finito (por ejemplo un subconjunto finito de un espacio métrico). Sea p un punto cualquiera de X. El conjunto {d(p, a$_i$) : a$_i$ ≠ p} es un conjunto finito. Si r es el menor de esos números, entonces la bola abierta con centro p y radio r no contiene otro punto de A, luego p es aislado.
Nuestro próximo ejemplo muestra que hay conjuntos infinitos tales que cada uno de sus puntos es aislado.
Ejemplo 5.3.4. Los Naturales en los Reales son un subconjunto infinito tal que todos sus puntos son aislados. En efecto, para cada número natural m, la bola abierta de centro m y radio 1/2 solamente contiene a un número natural m.
Ejemplo 5.3.5. Consideremos al subconjunto A = [0, 1] de los Reales.
Cualquier punto p en A=]0, 1[ es interior y la bola abierta con centro en p y contenida en A contiene puntos de A diferentes de p; es decir que p es un punto de acumulación de A.
Consideremos ahora a p = 0. Entonces, cualquier intervalo abierto centrado en 0, contiene números positivos que son elementos de A por lo que 0 es un punto de acumulación de A. Análogamente, se verifica que 1 es un punto de acumulación de A. Es decir que todos los puntos de [0, 1] son puntos de acumulación.
Consideremos al subconjunto B=]0, 1] de los Reales. Razonando como arriba, vemos que 0 es un punto de acumulación de B, aunque no pertenece a B.
Ejemplo 5.3.6. Sea A = {1/n : n es un natural positivo}∪{0}. Notemos que por la propiedad arquimediana de los Reales (ver sección 2.4.3) se tiene que para todo r > 0 hay un n tal que 1/n < r. Es decir que cualquier bola abierta con centro en 0 contiene puntos del conjunto diferentes del 0. Es decir que 0 es un punto de acumulación de A. Consideremos ahora al punto p = 1/n. Como los “vecinos” de p son 1/(n + 1) y 1/(n − 1) y como
${\frac {1}{n+1}}<{\frac {1}{n}}<{\frac {1}{n-1}}.$
tomando r = (1/2)|(1/n) − (1/(n + 1)) es fácil verificar que la bola con centro 1/n y radio r contiene solamente al punto 1/n del conjunto. Es decir, que excepto por el 0 todos los puntos de A son puntos aislados.
Ejemplo 5.3.7. Los ejes de coordenadas del plano cartesiano son un conjunto cerrado porque su complemento es la reunión de los cuadrantes que son conjuntos abiertos.
La siguiente proposición caracteriza topogeométricamente a los conjuntos cerrados.
Proposición 5.3.1. Un conjunto F es cerrado, ssi, contiene a todos sus puntos de acumulación.
    Demostración. Si F es el conjunto vacío o todo el espacio, el resultado es trivial. (Como el conjunto vacío no tiene puntos de acumulación, los contiene a todos)
    Supongamos que F fuera un conjunto que contiene a todos sus puntos de acumulación y sea x un punto cualquiera del complemento de F. Como x no está en F, no puede ser un punto de acumulación de F. Por lo tanto, hay una bola abierta con centro en x que no contiene puntos de F, es decir que está contenida en F$^c$. Lo que prueba que F$^c$ es un conjunto abierto y, por lo tanto, que F es cerrado.
    Supongamos ahora que F fuera cerrado. Necesitamos probar que F contiene a todos sus puntos de acumulación. Si hubiera un punto de acumulación x de F que no estuviera en F, estaría en F$^c$. Pero, al ser F$^c$ abierto, habría una bola abierta con centro en x totalmente contenida en F$^c$ lo que implicaría que no puede contener punto alguno de F; o sea que no puede ser punto de acumulación. Luego, F debe contener a todos sus puntos de acumulación.
La siguiente proposición muestra que un punto de acumulación tiene muchos vecinos.
Proposición 5.3.2. Sea p un punto de acumulación de un conjunto A en un espacio métrico E. Cada vecindad de p tiene infinitos puntos de A.
* ↑ En Álgebra hay una noción de conjunto cerrado respecto a una operación, para indicar que cuando los operandos están en un conjunto, el resultado de la operación con esos operandos, también está en el conjunto. Para distinguir las dos nociones, en este texto ``cerrado algebraicamente significará cerrado en el sentido del Álgebra.