# Matemáticas/Espacios Métricos/Grupos Matriciales
## Los Grupos Matriciales

Volvemos en este capítulo a los grupos de matrices, especialmente a aquellos relacionados con aspectos geométricos. Todos esos grupos son grupos topológicos. Entre ellos, los m'as interesantes serán aquellos que llamaremos \textit{grupos matriciales} (en la literatura en inglés, ``matrix groups), cuya definición daremos a continuación.
Definición. (Grupo Matricial) Llamaremos grupo matricial a cualquier grupo topológico que sea isomorfo-homeomorfo a un subgrupo cerrado de algún grupo lineal general.
Grupos de matrices cerrados como subespacios son, por lo tanto, grupos matriciales. Sigue de los trabajos previos que los grupos SL(n) y O(n) son grupos matriciales. Igualmente, SO(n) = O$^+$(n) = SL(n) ∩ O(n), ya que es la intersección de dos cerrados. Recordemos que la proposición 14.2.2 establece que subgrupos abiertos son
cerrados. Hay, sin embargo, subgrupos cerrados que no son abiertos, por ejemplo Z en R.
Sigue de los trabajos previos que los grupos SL(n) y O(n) son grupos matriciales. Igualmente, SO(n) = O$^+$(n) = SL(n) ∩ O(n), por lo que es un subgrupo cerrado de GL(n), ya que es la intersección de dos cerrados.
Mostraremos, a continuación, otros interesantes grupos de matrices que son grupos matriciales. Para probar la cerradura topológica, recurriremos, muchas veces, al siguiente lema.
Lema 15.1.1 (Lema–C). Sea A un subconjunto de GL(n) tal que todas las matrices en A tienen nulas iguales coordenadas. Entonces, A es cerrado en GL(n).
Ejemplo 15.1.1. Sea $G={\textsf {SUT}}(2)=\{{\begin{bmatrix}1&x\\0&1\end{bmatrix}}:x\in \mathbb {R} \}.$ ( Matrices 2 × 2 triangulares superiores especiales)
Observado que la coordenada 2,1 es nula para todas las matrices de G, sigue del Lema C, que G es un subconjunto cerrado de SL(2) y, por lo tanto, de GL(2).
Veamos que se trata de un grupo, subgrupol de GL(2). Claramente, la identidad I está en G (x = 0). Sea $A(x)={\begin{bmatrix}1&x\\0&1\end{bmatrix}}$. Entonces,
$A(x)A(y)={\begin{bmatrix}1&x\\0&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1&y\\0&1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&x+y\\0&1\end{bmatrix}}=A(x+y).$
Luego, A(x)A(−x) = A(x + (−x)) = A(0) = I, lo que prueba que el producto de dos matrices de G y la inversa de cada matriz en G, están en G. Por lo tanto, G = SUT(2) es un subgrupo cerrado de GL(2), o sea que se trata de un grupo matricial.
Ejemplo 15.1.2. (Usamos la notación del ejemplo anterior) Sea A : R → SUT(2) tal que x ↦ A(x). Por la relación obtenida arriba, tenemos que A es un homomorfismo, que como función es claramente biyectiva, por lo que es un isomorfismo de grupos, que es claramente continuo, lo mismo que su inversa. Lo que prueba que el grupo aditivo de los reales <R,+> es isomorfo–homeomorfo a un grupo matricial; o sea que es un grupo matricial.

### Ejercicios 15.1

* Sean G$_1$ un grupo de matrices m×m y G$_2$ un subgrupo de matrices n×n. Sea G = G$_1$ × G$_2$ el grupo producto (con operación por coordenadas). G puede considerarse como un grupo de matrices (m + n) × (m + n) con elemento típico ${\begin{bmatrix}A&\vdots &0\\\dots &\cdot &\dots \\0&\vdots &B\end{bmatrix}}$ donde A es un elemento de G$_1$ y B un elemento de G$_2$. Probar que G es un grupo matricial, subgrupo cerrado de GL(m + n).. Generalizar lo anterior a un producto de una cantidad finita de grupos matriciales.
* Probar que <R$^n$, +> (+ es la suma de vectores) es un grupo matricial. (Sugerencia: usar el ejercicio anterior y el ejemplo 15.1.2.)
* Sea θ el ángulo π/3 (= 60◦). La rotación por θ alrededor del origen está dado por la transformación lineal con matriz $\rho ={\begin{bmatrix}\cos(\theta )&-\operatorname {sen}(\theta )\\\operatorname {sen}(\theta )&\cos(\theta )\end{bmatrix}}.$
** Probar que ρ$^6$ = id y que ρ$^k$ ≠ id, cuando k = 1, ... , 5.
** Sea C$_6$ = {id, ρ, . . . , ρ$^5$}. Probar que C$_6$ es un grupo matricial.

## E l Grupo Euclídeo

Sea E un espacio euclídeo. Una isometría T de E es una transformación biyectiva de E en si mismo que preserva la distancia entre puntos, es decir que
Se notará que tal noción es la generalización de la noción de congruencia del plano. Denotaremos por Eucl(E) al conjunto de todas las isometrías de E. Dicho conjunt La noción de isometría apareció en la sección 4.2.2, donde se probó que las isometrías determinan un grupo de transformaciones, al que llamaremos el grupo euclídeo de E---que sea un grupo implica que la composición de dos isometrías y la inversa de una isometría son isometrías. Denotaremos por Eucl(E)$ al grupo Euclídeo de E. En una próxima sección, probaremos que es un grupo matricial, aunque tal hecho no es aparente de la definición.

### Las Traslaciones

Los primeros ejemplos de isometrías son las traslaciones. Una traslación por un vector a es la transformación que denotaremos por t$_a$ y que será tal que t$_a$(x) = a + x. Notemos que la traslación por el vector nulo, t$_0$, coincide con la identidad id.
Proposición 15.2.1 (Propiedades de las Traslaciones).
Denotaremos por Tras(E) al conjunto formado por todas las traslaciones de E. Sigue de las partes (a) y (b) de la proposición, que se trata de un grupo de transformaciones, que por (c) es un subgrupo del grupo de las isometrías. Más adelante, probaremos que se trata de un grupo matricial.

### Las Transformaciones Ortogonales

Recordemos que las trasformaciones ortogonales son las transformaciones lineales que preservan el producto interior. Sigue de la proposición 13.3.1 que el grupo O(n) de las transformaciones ortogonales es un subgrupo de Eucl(E). Recordemos que las transformaciones ortogonales preservan el origen, por lo que, excepto por t$_0$ = id, las traslaciones no pueden ser transformaciones ortogonales.

### La estructura del Grupo Euclídeo

Sea f : E → E una isometría cualquiera y supongamos que f(0) = a. Entonces, t$_{−a}$f es una isometría (composición de isometrías) y (t$_{−a}$f)(0) = t$_{−a}$(f(0)) = t$_{−a}$(a) = −a + a = 0. Es decir que t$_{−a}$f = u, donde u es una isometría que fija el origen. Luego f = t$_a$u. Por lo que podemos afirmar lo siguiente.
Proposición 15.2.2. Cada isometría es el producto de una traslación por una isometría que preserva el origen.
Veremos, después de algunos lemas que las isometrías que fijan el origen son ortogonales.
Lema 15.2.3. Una isometría u que preserva el origen, preserva largos.
Lema 15.2.4. Una isometría u que preserva largos es ortogonal.
Lema 15.2.5. Sea u una isometría ortogonal. Entonces, u es lineal._
Proposición 15.2.6. Cada isometría es el producto de una traslación por una transformación lineal ortogonal biyectiva.
Corolario 15.2.7. Las isometrías son siempre transformaciones biyectivas.

### Ejercicios 15.2

Suponemos que E es un espacio euclídeo de dimensión n.
* Sean p y q dos puntos de E, probar que hay una traslación que envía p en q.
* Sea p un punto y sea Eucl$_p$ el conjunto formado por todas las isometrías que fijan p.
    a) Probar que Eucl$_p$ es un subgrupo de Eucl(E).
    b) Sea q = t$_a$(p). Probar que Eucl$_p$ = t$_a$ Eucl$_q$ t$_{−a}$. (Ambos grupos son conjugados.)
* Sean p y q dos vectores de E de igual largo, probar que hay una transformación ortogonal que envía p en q.
* (Simetría central con centro en c.) Sea c un punto de E. Sea σ$_c$(p) = 2c − p.
** La transformación σ$_c$ fija c y envía cada punto p distinto de c en un punto p′ tal que c es el punto medio entre p y p′.
** σ$_c$$^2$ = id.
** σ$_c$ es una isometría.
** Sea σ$_0$ la simetría con centro el origen. Probar que
    (i) σ$_0$es una transformación ortogonal y
    (ii) σ$_c$ = t$_c$σ$_c$t$_{−c}$.
** Sean c y d puntos diferentes. Probar que σ$_c$σ$_d$ = σ$_d$σ$_c$ es una traslación.
* Las isometrías son homeomorfismos del espacio en si mismo.
* Probar que el grupo de las traslaciones Tras(E) es isomorfo al gruo aditivo de R$^n$.

## El Grupo Afín

El grupo afín es la generalización del grupo euclídeo, donde una isometría es el producto de una traslación por una transformación (lineal) ortogonal.
Definición. (Grupo Afín) Llamamos transformación afín a un transformación que es el producto de una traslación por una transformación lineal biyectiva cualquiera.
Sigue de los trabajos anteriores que las isometrías son transformaciones afines, cuya parte lineal es ortogonal. En particular, las traslaciones son trasformaciones afines (producto de una traslación por la identidad---que es lineal). Esto implica que habrá transformaciones afines que no preservan el origen, por lo que no pueden ser lineales.
(♠) Geométricamente las transformaciones afines son importantes porque se puede probar que una transformación biyectiva envía líneas sobre líneas si, y sólo si, es afín.
Veamos, a continuación, que las transformaciones afines determinan un grupo. Sean f = t$_v$A y g = t$_w$B dos transformaciones afines. Entonces, para todo x en E, se tiene que
${\begin{array}{rcl}(fg)(x)&=&(t_{v}At_{w}B)(x)=v+A(w+B(x))=v+Aw+AB(x)\\&=&(t_{v+Aw}AB)(x).\end{array}}$
Por lo que la composición de transformaciones afines es una transformación afín. Notemos, también, que
${\begin{array}{rcl}f^{-1}(x)&=&(t_{v}A)^{-1}(x)=A^{-1}t_{v}^{-1}(x)=A^{-1}(-v+x)\\&=&-A^{-1}(v)+A^{-1}(x)=(t_{w}A^{-1})(x),\end{array}}$
donde w = −A$^{−1}$(v).
En consecuencia, las transformaciones afines determinan un grupo de transformaciones que llamamos el grupo afín y que denotamos por GA(n) o GA$_n$(R).
Proposición 15.3.1. Las transformaciones afines determinan un grupo de transformaciones al que llamamos el grupo afín y denotamos por GA(n) o GAn(R).
Notemos que el grupo lineal está contenido en el grupo afín, ya que cualquier A en GL(n) es igual a t$_0$A, por lo que es afín. Es decir que el grupo afín contiene al grupo lineal, y a todos sus subgrupos. .

### Representación matricial de GA(n)

En esta sección, veremos que el grupo afín es un grupo matricial, construyendo un homomorfismo continuo inyectivo del grupo afín GA(n) en el grupo GL(n + 1), cuya imagen. Dicha representación tendrá, posteriormente, otras aplicaciones
Sean A una matriz n × n y v un vector cualquiera de R$^n$, asociaremos con el par (A, v) la matriz (n + 1) × (n + 1) que denotaremos por T(A, v) y que definiremos como
$T(A,v):={\begin{bmatrix}A&\vdots &v\\\dots &&\dots \\0&\vdots &1\end{bmatrix}}$
Los siguientes lemas mostrarán que las matrices de la forma T(A, v) forman un subgrupo de GL(n + 1). Lema 15.4.1. T(A; v)T(B;w) = T(AB;Aw + v)
Comparar el resultado del lema con lo visto para el producto de dos transformaciones afines.
Lema 15.4.2. Sean A en GL(n), v en R$^n$. Entonces, T(A, v) es invertible, con inversa $T(A^{-1};-A^{-1}(v)).$
El siguiente lema nos ayudará para nuestros propósitos.
Lema 13.4.4 (Lema–D). Sea A en GL(n), B = T(A, 0). Entonces,
Demostración.
* Sigue del lema 13.4.3
* Se tiene, usando lema 13.4.2, que BB$^t$ = T(A; 0)T(A$^t$; 0) = T(AA$^t$, 0).
* Trivial, ya que det(B) = det(A).
Sean
* ${\mathcal {GA}}:=\{T(A,v):A\in \mathbf {GL(n)} ,v\in \mathbb {R} ^{n}\}.$
* ${\mathcal {GL}}:=\{T(A,0):A\in \mathbf {GL(n)} \}.$
* ${\mathcal {GO}}:=\{T(A,0):A\in \mathbf {O(n)} \}.$
* ${\mathcal {GSO}}:=\{T(A,0):A\in \mathbf {SO(n)} \}.$
Sigue de los lemas anteriores que ${\mathcal {GA}},{\mathcal {GL}},{\mathcal {GO}}{\text{ y }}{\mathcal {GSO}}$, determinan subgrupos de GL(n + 1) que además, por el Lema–C, cada uno de ellos es cerrado (topológicamente).
Definamos ϕ : GA(n) → GL(n + 1) tal que ϕ(t$_c$A) = T(A, c). Sigue del lema 14.3.2, que ϕ es un homomorfismo de grupos. Como T(A, v) = I$_{n+1}$, ssi, A = I$_n$ y v = 0, concluimos que ϕ es inyectivo, por lo que GA(n) es isomorfo a su imagen, que es precisamente ${\mathcal {GA}}$. Como ese isomorfismo y su inverso (definido en su imagen) son claramente continuos, concluimos que el grupo afín es un grupo matricial.
Se tiene también, por el Lema–D, que: $\Phi (\mathbf {GL(n)} )={\mathcal {GL}}$, $\Phi ({\bf {{GO(n)})={\mathcal {GO}}}}$, y $\Phi (GSO(n))={\mathcal {GSO}},$ lo que implica respectivos isomorfismos homeomórficos. Resultados que usaremos más adelante.
I=== El Grupo Euclídeo ===
Proposición 15.3.4. Sea Tras(n) el grupo de las traslaciones de R$^n$. Sea t$_v$ la traslación por el vector v. Entonces. ϕ(t$_v$) = ϕ(I, v), donde I es la matriz identidad. ϕ induce un isomorfismo algebraico entre Tras(n) y el subgrupo ${\mathcal {GT}}$ = {T(A, V ) : A = I} de ${\mathcal {GA}}$. Lo que implica que Tras(n) es un grupo matricial.
Proposición 15.3.5. El grupo Euclídeo es un grupo matricial.

## Los Grupos Ortogonales y Las Esferas

En esta sección, continuaremos usando las notaciones introducidas en la sección anterior.
Supongamos que nuestro espacio es R$^{n+1}$ provisto de una base ortonormal (e$_1$, ... , e$_n$, e$_{n+1}$). Probaremos que O(n) puede identificarse con las transformaciones en O(n + 1) que fijan e$_{n+1}$.
Sea σ una transformación ortogonal en O(n + 1) que fija a e$_{n+1}$. Sea [a$_{ij}$] la matriz de σ. Como σ(e$_{n+1}$) = e$_{n+1}$ se tiene que a$_{i,n+1}$ = δ$_{i,n+1}$ (δ de Kronecker), o sea que el único elemento no nulo de esa columna es a $_{n+1,n+1}$ que es igual a 1. Por su parte, la última fila de la matriz de σ es un vector unitario. Es decir que $\sum _{j}a_{n+1,j}^{2}=1$.
Pero, como a$_{n+1,n+1}$ = 1, tenemos que a$_{n+1,j}$ = 0 cuando j ≤ n. Es decir que σ es un elemento de GO, o sea que GO está formado por todas las transformaciones ortogonales de R$^{n+1}$ que fijan e$_{n+1}$. Usando la identificación de O(n) con GO tenemso que podemos considerar a O(n) como un subgrupo de O(n + 1) que fija e$_{n+1}$.
Sea τ una transformación ortogonal en O(n + 1) que fija a e$_{n+1}$. Sea [a$_{ij}$ ] la matriz de τ . Como τ (e$_{n+1}$) = e$_{n+1}$ se tiene que a$_{i,n+1}$ = δ$_{i,n+1}$ (δ de Kronecker), o sea que el único elemento no nulo de esa columna es a$_{n+1,n+1}$ que es igual a 1.
Por su parte, la última fila de la matriz de τ es un vector unitario. Es decir que $\sum _{j}a_{m+1,j}^{2}=1$. Pero como a$_{n+1,n+1}$ = 1, tenemos que a$_{n+1,j}$ = 0 cuando j < n. Es decir que τ es un elemento de ${\mathcal {GO}}$, o sea que ${\mathcal {GO}}$ está formado por todas las transformaciones ortogonales que fijan e$_{n+1}$. Identificando ${\mathcal {GO}}$ con O(n) tenemos la identificación anunciada.
Sean, ahora, σ, τ dos ortogonales de O(n + 1) que fijan a e$_{n+1}$. Entonces,
$(\sigma ^{-1}\tau )(e_{n+1})=\sigma ^{-1}(\tau (e_{n+1}))=\sigma ^{-1}(\sigma (e_{n+1}))=e_{n+1}.$
Por lo tanto, σ$^{−1}$τ está en O(n). La relación entre σ y τ definida como que σ$^{−1}$τ ∈ O(n) es una relación de equivalencia en O(n+1) cuyas clases de equivalencias son los subconjuntos de la forma σO(n) (todos los productos de σ por un elemento de O(n)).
Denotamos por O(n+1)/O(n) al correspondiente conjunto cociente con la topología inducida por la función η : O(n + 1) → O(n + 1)/O(n) tal que η(σ) = σO(n) (la clase de equivalencia de σ). Se tiene que η es continua y abierta (envía abiertos en abiertos).
Sea S$^n$ la esfera unitaria de R$^{n+1}$ o sea el conjunto formado por todos los vectores de largo 1. Cada transformación ortogonal actúa en S$^n$---, ya que preserva largos, envía puntos de S$^n$ en S$^n$. Consideremos la órbita de e$_{n+1}$, o sea el subconjunto de S$^n$ formado por todos los σ(e$_{n+1}$) con σ en O(n+1). Dado v en S$^n$, siempre hay una transformación ortogonal σ tal que σ(e$_{n+1}$) = v; basta tomar una base ortonormal (v$_1$, ... , v$_{n+1}$ = v) y definir σ como la transformación cuya matriz tenga como columnas a los vectores de la base anterior.
Definamos una función π : O(n + 1) → S$^n$ tal π(σ) = &sigma(e$_{n+1}$). Notemos que por lo anterior (i) π es suprayectiva y (ii) π(σ) = π(&tau) ⇐⇒ &sigma$^{-1}$τ ∈ O(n).
Cuando σ = [a$_{ij}$ ] entonces σ(e$_{n+1}$)$^t$ = [a$_{1,n+1}$ ... a$_{n+1,n+1}$]; lo que prueba que π es una función continua.
Por lo que hay una función π$^*$: O(n + 1)/O(n) → S$^n$ tal que el diagrama en la figura 15.1 es conmutativo.
La función π$^*$ es biyectiva y continua. Como O(n+1)/O(n) es compacto (imagen continua de compacto) y S$^n$ es Hausdorff (subconjunto de un espacio métrico), entonces por la proposición 11.3.16, π$^*$ es un homeomorfismo. Tenemos, en consecuencia, la siguiente proposición.
Proposición 15.4.1. Sea n ≥ 1 entonces ${\textsf {O}}(n+1)/{\textsf {O}}(n)={\textsf {S}}^{n}$.

### Grupos Ortogonales Especiales

Una revisión de los argumentos anteriores, muestra que los razonamientos anteriores son válidos para los SO(n), Por lo que se obtiene el siguiente resultado.
Proposición 15.4.2. Sea n ≥ 1 entonces SO(n + 1)/SO(n) ∼= S$^n$.
* ↑ Las traslaciones son las “traslaciones por la izquierda” L g del lema 14.1.1, del grupo aditivo de R$^n$. Algunas de las propiedades de la sección se pueden deducir utilizando los resultados del lema citado.