# Cálculo de un Eclipse Solar y Lunar. Ocultación y Tránsito/Ocultación/Curva del Límite Sur

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## Cálculo de la Curva del Límite Sur - Contactos Exteriores

La condición para que ocurran ambos límites, el Norte y el Sur, es que el "Cono de la Penumbra" Lunar "pase" enteramente dentro de la Tierra, es decir que llegue totalmente al Plano Fundamental o Principal de Referencia. En este ejemplo práctico de la Ocultación de Júpiter por la Luna del 22.01.2013 se cumple para ambos límites, el Norte y el Sur.
Por lo tanto, en este capítulo vamos a encontrar todos los puntos del límite Sur.
Sabiendo que la Conjunción Júpiter-Luna, en Ascensión Recta, ocurre a las 03:07:40 hs. (GMT = Greenwich Meridian Time), tomamos 7 horas para los cálculos respectivos. T₀ = 3 hs. es la hora central y anterior más cercana a tal conjunción, luego se realizan los cálculos para ±3 hs. a partir de esa T₀, es decir para las 0 hs., 1 hs., 2 hs., 3 hs., 4 hs., 5 hs. y 6 hs. (GMT).
Según los tiempos del primer y último contacto exterior se comienzan los cálculos desde las 2,2 hs. y se repiten (iteración) cada 12 minutos y así sucesivamente hasta las 4 hs. Para todas las horas enteras y con fracción se interpolará el valor en la tabla correspondiente descrita más abajo y con el argumento según el método de Interpolación por Diferencias.
Comenzamos entonces calculando ν en [°] donde f y e para Tᵢ = 2,2 hs., hallando estos valores en las tablas correspondientes (más abajo)
                               ν = Atan(f / e) (151)
el ángulo ν debe estar comprendido entre 0° y 180°. Si e es negativo sumar 180° a ν.
Luego calculamos E en [°]
                               E = E / 2 (152)
E lo encontramos interpolando en la tabla correspondiente (más abajo).
Seguido hallamos ψ en [°]
                               ψ = Atan(Tan(45 + ν) * Tan(E)) (153)
Luego, según las siguientes condiciones, calculamos Qᵢ en [°]
* Para la curva del límite Sur, cálculo en este capítulo, Q "cae" entre E y E/2 + ψ y
* Para la curva del límite Norte, Q "cae" entre 180° + E y 180° + E/2 + ψ, entonces
calculamos los límites inferior Q₁ y superior Q₂ para tal límite Sur, por lo tanto
                               Q₁ = E (154)
                               Q₂ = E/2 + ψ (155)
los ángulos Q₁ y Q₂ deben estar comprendido entre 0° y 360°. Luego hallar el Q inicial (asumido) en [°] hallando el promedio entre Q₁ y Q₂, entonces
                               Q = Entero((Q₁ + Q₂) / 2) (156)
el ángulo Q debe estar comprendido entre 0° y 360°. Calculamos luego γ en [°] donde x, y y l₁ para el Tᵢ, hallando estos valores en las tablas correspondientes (más abajo)
                               γ = Atan((x - l₁ * Seno(Q)) / (y - l₁ * Coseno(Q))) (157)
el ángulo γ debe estar comprendido entre 0° y 360°. Si (y - l₁ * Coseno(Q)) es negativo (-) sumar 180° a γ.
Luego β en [°]
                               β = Aseno((x - l₁ * Seno(Q)) / Seno(γ)) (158)
el ángulo β debe estar comprendido entre 0° y 360°. Seguido, calculamos el valor de ν' en [°]
                               ν' = Atan(f * Coseno(β) / e) (159)
los valores de e y f son los hallados anteriormente por interpolación (más arriba). Si e es negativo sumar 180° a ν' .
Con todas estas formulas anteriores encontraremos ahora el valor final de Q para el punto indicado del límite Sur, entonces
                               Q = Atan(Tan(45 + ν') * Tan(E / 2)) + E / 2 (160)
Hallar luego el valor de d en [°], siendo la declinación del Eje del "Cilindro de Luz" de Júpiter o del punto Z, e interpolando en la tabla correspondiente (más abajo) y también d₁ en [°] siendo la declinación del Eje del "Cilindro de Luz" de Júpiter o del punto Z según e la excentricidad terrestre
                               d₁ = Atan(Seno(d) / (Coseno(d) * (1 - e^2)^0,5)) (161)
el valor de e lo podemos hallar en la tabla de las Constantes (más abajo)
Luego hallamos el valor de ρ₁ en [Radios Terrestres] también en función de e, la excentricidad terrestre
                               ρ₁ = Seno(d) / Seno(Atan(Seno(d) / (Coseno(d) * (1 - e^2)^0,5))) (162)
después los valores de a y b, primero interpolando los valores x, y y l₁ para el instante en cuestión y según las siguientes fórmulas se tiene
                               a = x - l₁ * Seno(Q) (163)
                               b = y - l₁ * Coseno(Q) (164)
Luego γ en [°] según
                               γ = Atan(a / b) (165)
el ángulo γ debe estar comprendido entre 0° y 360°. Si b es negativo (-) sumar 180° a γ.
Seguido, calculamos β en [°]
                               β = Aseno(a / Seno(γ)) (166)
el ángulo β debe estar comprendido entre 0° y 360°. Ahora calculamos ε en [°]
                               ε = i₁ * Coseno(Q - γ) / Seno(1) (167)
Luego calcular ζ₁, ξ y η₁ en [Radios Terrestres]
                               ζ₁ = Coseno(β) - Seno(β) * Seno(ε) (168)
                               ξ = Seno(β) * Seno(γ) + i₁ * ζ₁ * Seno(Q) (169)
                               η₁ = Seno(β) * Coseno(γ) + i₁ * ζ₁ * Coseno(Q) (170)
Ahora calcular C en [°] y c
                               C = Atan(η₁ / ζ₁) (171)
el ángulo C debe estar comprendido entre 0° y 360°, en el caso ζ₁ sea negativo (-) sumar 180° a C, luego calcular c según C
                               c = η₁ / Seno (C) (172)
Por último, hallaremos las coordenadas terrestres para el instante Tᵢ, pero primero μ₁, siendo el ángulo horario del Eje del "Cilindro de Luz" de Júpiter o del punto Z en Greenwich, ángulo comprendido entre 0° y 360°, para el instante Tᵢ interpolando en la tabla correspondiente (más abajo). Seguido calculamos θ que es ángulo horario del Eje del "Cilindro de Luz" de Júpiter o del punto Z en el lugar o bien en la Longitud ω, que es aproximadamente el Ángulo Horario de Júpiter, y correspondiente también a ese instante Tᵢ, entonces
                               θ = Atan(ξ / (c * Coseno(C + d₁))) (173)
el ángulo θ debe estar comprendido entre 0° y 360°, si (c * Coseno(C + d₁)) es negativo (-) sumar 180° a θ.
Para el Tiempo Aparente Local que es aproximadamente la Hora Solar Verdadera, dividir θ por 15.
Luego calculamos φ₁ en [°] para hallar después la latitud geográfica φ también en [°]
                               φ₁ = Acoseno(ξ / Seno(θ)) (174)
Finalmente, para a ese instante Tᵢ de Eclipse tenemos:
* Latitud Geográfica φ = Atan(Tan(φ₁) / (1 - e^2)^0,5)    (175)
* Longitud ω (al W) = μ₁ - θ    (176)
e lo encontramos en la tabla de las Constantes (más abajo). La Longitud ω debe estar comprendida entre 0° y 360°, desde Greenwich hacia el Oeste.
Para representar en un mapa la Longitud ω se multiplica por -1 si se encuentra entre 0° y 180°, y si la Longitud ω se encuentra entre más de 180° y menos de 360°, calcular 360° - Longitud ω.

## Ejemplo práctico:
### Tablas para interpolar valores

Todos los valores de las siguientes tablas han sido calculados según el capítulo Teoría de una Ocultación Planetaria o Estelar y Cálculo de los Elementos Besselianos
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* Cálculo de una Ocultación
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## Notas de referencia

* 1 2 3 Interpolación por diferencias (click en la imagen).