# Matemáticas/Álgebra/Productos Notables
## Términos semejantes de polinomios

Se denominan términos semejantes a aquellos que tienen la misma parte literal. Por ejemplo: –2a$^2$b y 5a$^2$b son semejantes.
Los términos semejantes se pueden sumar (o restar) sumando o restando los coeficientes y conservando la parte literal. Por ejemplo:
–2a$^2$b + 5a$^2$b = 3a$^2$b
10x$^2$z$^3$ – 22x$^2$z$^3$ = – 12x$^2$z$^3$
Si los términos no son semejantes, no se pueden sumar o restar:
La operación 12a$^2$b + 13ab$^2$ no se puede reducir más, debido a que los términos no son semejantes.

## Eliminación de Paréntesis

Para eliminar paréntesis en expresiones algebraicas, se debe seguir las siguientes reglas:
(1) Si aparece un signo “+” delante de un paréntesis (o ningún signo), se elimina el paréntesis conservando los signos de los términos que aparezcan dentro del paréntesis.
(2) Si aparece un signo “-” delante de un paréntesis, se elimina el paréntesis cambiando los signos de los términos que aparezcan dentro del paréntesis.
Ejemplo:
2ab – (a + ab) + (3a – 4ab) =
Aplicando las reglas anteriores, tenemos:
2ab – a – ab + 3a - 4ab, reduciendo términos semejantes:
-3ab + 2a

## Producto de expresiones algebraicas
### Producto de monomios

Se multiplican los coeficientes entre sí, y para multiplicar potencias de igual base, ocupamos la propiedad: “para multiplicar potencias de igual base, se conserva la base y se suman los exponentes”.
Ejemplo: 2x$^2$y$^3$ z · 4x$^4$y$^2$ = 8x$^6$y$^5$z

### Producto de monomio por polinomio

Se aplica la propiedad distributiva, esto es: “el monomio multiplica a todos los términos del polinomio”.
Ejemplo:
2ab (3a - ab$^2$ + 4b$^2$c$^2$) = 2ab . 3a - 2ab . ab$^2$ + 2ab . 4b$^2$c$^2$ = 6a$^2$b – 2a$^2$b$^3$ + 8ab$^3$c$^2$

### Producto de binomio por binomio

Se multiplican todos los términos del primer binomio con los términos del segundo binomio.
Ejemplo:
(2a - 3b$^2$c) (4a$^2$ + 5ab$^3$) = 2a . 4a$^2$ + 2a . 5ab$^3$ – 3b$^2$c . 4a$^2$ – 3b$^2$c . 5ab$^3$ = 8a$^3$ + 10 a$^2$b$^3$ – 12 a$^2$b$^2$c – 15 ab$^5$c

### Producto de polinomio por polinomio

Al igual que en el caso anterior, se multiplican todos los términos del primer polinomio con todos los términos del segundo.
(2x – 3y + 4z$^2$). (5x + 2xy + 4xz$^2$) = 2x . 5x + 2x . 2xy + 2x . 4xz$^2$ – 3y . 5x – 3y . 2xy – 3y . 4xz$^2$ + 4z$^2$ . 5x + 4z$^2$ . 2xy + 4z$^2$ . 4xz$^2$ = 10x$^2$ + 4x$^2$y + 8x$^2$z$^2$ – 15xy – 6xy$^2$ – 12xyz$^2$ + 20xz$^2$ + 8xyz$^2$ + 16xz$^4$

## Productos notables

Son productos que, dada la frecuencia con que aparecen, es necesario memorizarlos para poder realizarlos más rápidamente.

### Axioma de la distribución de la multiplicación respecto a la suma:

a(b + c + d) = ab + ac + ad

### Reglas de Stevin (Binomios con un término en común):

(x + a) (x + b) = x$^2$ +(a + b)x + ab
(x + a) (x + b) (x + c) = x$^3$ +(a + b + c) x$^2$ +(ab + bc + ac)x + abc

### Cuadrado de binomio:

(a + b)$^2$ = a$^2$ + 2ab + b$^2$
(a - b)$^2$ = a$^2$ – 2ab + b$^2$

#### Identidades de Legendre:

(a + b)$^2$ + (a + b)$^2$ = 2(a$^2$ + b$^2$)
(a + b)$^2$ - (a + b)$^2$ = 4ab
(a + b)$^4$ - (a + b)$^4$ = 8ab (a$^2$ + b$^2$)

### Diferencia de cuadrados:

(a + b) (a – b) = a$^2$ - b$^2$

### Cubo de binomio:

(a + b)$^3$ = a$^3$ + 3a$^2$b + 3ab$^2$ + b$^3$
(a - b)$^3$ = a$^3$ - 3a$^2$b + 3ab$^2$ - b$^3$

#### Disposición práctica de Cauchy:

Se usa en casos donde conoces la suma y el producto de a y b.
(a + b)$^3$ = a$^3$ + b$^3$ + 3ab (a + b)
(a + b)$^3$ = a$^3$ - b$^3$ - 3ab (a - b)

### Suma y diferencia de cubos:

(a+b)(a$^2$ - ab + b$^2$) = a$^3$ + b$^3$
(a+b)(a$^2$ + ab + b$^2$) = a$^3$ - b$^3$

### Suma y diferencia de quintas potencias:

(a - 1)(a$^4$ + a$^3$ + a$^2$ + a + 1) = a$^5$ - 1
(a + b)(a$^4$ + a$^3$b + a$^2$b$^2$ + ab$^3$ + b$^4$) = a$^5$ - b$^5$

### Desarrollo productos notables
## Factorización

Consiste en expresar adiciones y/o sustracciones en términos de multiplicaciones. Los casos de factorización que estudiaremos son los siguientes:

### Factor común

Se aplica cuando todos los términos tienen un divisor común diferente de 1. Ejemplo:
15x$^2$y$^2$z$^3$ – 5xy$^3$z$^2$ + 10x$^4$y$^4$z$^3$
Aquí el factor común es: 5xy$^2$z$^2$, por lo tanto, la expresión dada se puede colocar de la forma:
15x$^2$y$^2$z$^3$ – 5xy$^3$z$^2$ + 10x$^4$y$^4$z$^3$ = 5xy$^2$z$^2$ (3xz – y + 2x$^3$y$^2$z), lo que corresponde a su factorización.

### Diferencia de cuadrados

Toda diferencia se puede factorizar mediante el producto de la suma con la diferencia de las bases.
a$^2$ – b$^2$ = (a + b) (a – b)
Ejemplo: 25a$^2$ – 16b$^4$
Esta expresión corresponde a la diferencia entre el cuadrado de 5a y el de 4b$^2$ :
Por lo tanto: (5a)$^2$ – (4b2)$^2$ = (5a + 4b$^2$) (5a — 4b$^2$)

### Factorización de trinomio cuadrático perfecto

Un trinomio cuadrático perfecto es aquel que corresponde al desarrollo de un cuadrado de binomio, por lo tanto, su factorización es:
a$^2$ + 2ab + b$^2$ = (a + b)$^2$
Ejemplo: 16x$^2$ – 24xy + 9y$^2$
En este trinomio hay dos términos que son cuadrados perfectos: 16x$^2$ = (4x)$^2$ y 9y$^2$ = (3y)$^2$, por lo tanto, el trinomio dado puede provenir del desarrollo del binomio:
(4x - 3y)$^2$, si se desarrolla esta expresión se constata que efectivamente coincide con la expresión dada.

### Factorización de trinomio cuadrático no perfecto

En este caso hay dos subcasos:
Caso en que el coeficiente cuadrático es 1
Utilizando el producto notable “producto de binomios con término común”:
(x + a)(x + b) = x$^2$ + (a + b)x + ab
Nos da la forma de poder factorizar una expresión del tipo: x$^2$ + px + q
Ejemplo: x$^2$ – 10x + 24
El trinomio se factoriza de la forma: (x + a)(x + b), donde a y b son números tales que a + b = –10 y ab = 24. Estos números son: –4 y –6, por lo tanto:
x$^2$ – 10x + 24 = (x – 4)(x – 6)
Caso en que el coeficiente cuadrático es diferente de 1
Ejemplo: 2x$^2$ + 7x – 15
Para poder factorizar trinomios de este tipo, multiplicaremos y dividiremos (para que la expresión no cambie) por el coeficiente del término cuadrático:
El numerador se puede factorizar de la forma (2x + a)(2x + b), donde a y b son números tales que a + b = 7 y ab = –30. Estos números son: 10 y -3:

### Diferencia de cubos

a$^3$ – b$^3$ = (a – b) (a$^2$ + ab + b$^2$)
Ejemplo:
125z$^3$ – 64y$^6$
La expresión 125z$^3$ es el cubo de 5z y 64y$^6$ es el cubo de 4y$^2$, por lo tanto:
125z$^3$ – 64y$^6$ = (5z)$^3$ – (4y$^2$)$^3$
Ocupando que a = 5z y b = 4y$^2$ en la expresión dada, tenemos que:
(5z)$^3$ – (4y2)$^3$ = (5z – 4y$^2$)(25z$^2$ + 20y$^2$z + 16y$^4$)