# Matemáticas/Álgebra Abstracta/Anillos/Los Anillos
## Introducción

En este capítulo, iniciamos el estudio de las estructuras algebraicas llamadas anillos que están caracterizadas por tener dos operaciones (binarias), que usualmente llamamos adición y multiplicación. Los ejemplos básicos de anillos son los Enteros, los Racionales y los Reales con la suma y multiplicación usual. También determinan un anillo el conjunto de las matrices $2\times 2$ con entradas que son números reales.
Se puede decir que las estructuras que estudiaremos analizan y generalizan las propiedades algebraicas de los ejemplos indicados

## Las Definiciones

Un anillo es básicamente un grupo abeliano (escrito aditivamente) con una multiplicación distributiva con respecto a la adición.
Definición. (Anillo) Un Anillo es una estructura $\langle A,+,\cdot \rangle$ tal que:
* $\langle A,+\rangle$ es un grupo abeliano. Es decir que la operación $+$ es asociativa, con neutro 0, y donde cada elemento $x$ tiene un opuesto aditivo $-x.$ Decimos que ese grupo es el grupo aditivo del anillo.
* $\langle A,\cdot \rangle$ es un semigrupo, o sea que la multiplicación es asociativa. Decimos que ese semigrupo es el semigrupo multiplicativo del anillo.
* La multiplicación $\cdot$ es distributiva respecto a la adición $+.$: para todo $x,y,z$ en $A$ se cumple que $x(y+z)=xy+xz,\quad {\text{ y }}\quad (y+z)x=yx+zx.$
Las propiedades adicionales que supongamos para la multiplicación producen varios tipos diferentes de anillos. Daremos, a continuación, un listado de algunos de esos tipos. La lista es larga, pero las nociones indicadas son más o menos obvias.
Definición. (Tipos de Anillos)
* Un anillo con identidad es un anillo donde hay un neutro respecto a la multiplicación, al que usualmente simbolizaremos por $1$ o ${\textsf {I}}.$ Para evitar trivialidades, supondremos que $1\neq 0.$
* Un anillo conmutativo es un anillo donde la multiplicación es conmutativa.
* Un anillo integro o dominio de integridad es un anillo conmutativo con identidad donde el producto de dos de sus elementos es cero, solamente cuando uno de los factores es cero; o, equivalentemente, el producto de elementos no nulos es un elemento no nulo.
* Un anillo con división es un anillo con identidad tal que cada elemento no nulo tiene un inverso respecto a la multiplicación. Es decir cuando el semigrupo multiplicativo sea un grupo.
* Un cuerpo es un anillo conmutativo con división.
Al igual que con las estructuras con una operación, tendremos subestructuras asociadas a cada tipo de anillo, que denotaremos colocando sub delante del nombre. Como siempre, una subestructura de una estructura de cierto tipo se refiere a un subconjunto que posee una estructura del mismo tipo con respecto a las operaciones restringidas al subconjunto. Para ilustración, daremos la definición de subanillo.
Definición. (Subanillo, Superanillo) Sea $A$ un anillo. Decimos que un subconjunto $B$ de $A$ determina o es un subanillo de $A$, ssi, $B$ con las operaciones de $A$ restringidas a $B$ es un anillo. En tal caso, también, diremos que $A$ es un superanillo de $B.$ Notación: $B<A.$
Cuando $A$ tenga una identidad, $B$ será un subanillo, cuando la identidad sea un elemento de $B.$
Sigue de la definición que un subanillo $B$ de un anillo $A$ determina con la suma un subgrupo del grupo aditivo de $A$ y con la multiplicación determina un subsemigrupo de $\langle A,\cdot \rangle .$
Combinando los criterios para subgrupos y subsemigrupos, tenemos la siguiente proposición.
Proposición 1. (Criterio de Subanillo)
Sea $A$ un anillo. Un subconjunto no vacío $B$ es un subanillo de $A$, ssi,

### Ejemplos de Anillos y Subanillos

El listado de anillos y subanillos es bastante extenso, por lo que nos limitaremos a dar algunos de los ejemplos más relevantes para nuestros propósitos. Es importante que el lector verifique cuidadosamente que se verifican las propiedades indicadas.
Ejemplo.
Sea $A$ un anillo. Entonces, $A$ mismo y $\{0\}$ siempre son subanillos de $A.$
Ejemplos (Anillos Numéricos).
Los Enteros con la suma y multiplicación usual, $\langle \mathbb {Z} ,+,\cdot \rangle$, determinan un anillo conmutativo con identidad donde el producto de elementos no nulos siempre es un elemento no nulo, por lo que se trata de un dominio de integridad.
Por su parte, los Racionales, los Reales y los Complejos son cuerpos respecto a la suma y multiplicación usual, ya que la multiplicación es conmutativa y cada elemento no nulo tiene un recíproco.
Los Enteros son un subanillo (con identidad) de los Racionales que, a su vez, es un subcuerpo de los Reales y de los Complejos. Los Reales son un subcuerpo de los Complejos.
Ejemplo (Anillo Trivial).
Sea $A=\{e\}.$ Si definimos $e+e:=e$ y $e\cdot e=e$ vemos que $A$ tiene dos operaciones que trivialmente definen una estructura de anillo en $A.$ En dicho anillo, el neutro multiplicativo y el aditivo coinciden. Llamamos a este anillo el anillo trivial, y será el único anillo adonde es permitido que coincidan los neutros de las operaciones.
Ejemplo (Los Subanillos de $\mathbb {Z}$).
Sabemos que los únicos subgrupos aditivos de $\mathbb {Z}$ están formados por los múltiplos enteros de un entero, $\langle m\rangle =m\mathbb {Z}$. Como 1 esta en $m\mathbb {Z}$, ssi, $m=\pm 1$, el único subanillo (con identidad) es $\mathbb {Z}$ mismo.
Ejemplo (Subanillos de los Complejos).
Veremos una familia de subanillos de $\mathbb {C}$. Suponer que $m$ es un entero positivo y que ${\sqrt {-m}}$ es un número complejo cuyo cuadrado es $-m.$ Sea
$\mathbb {Z} [{\sqrt {-m}}]:=\{m+n{\sqrt {-m}}:m{\text{ y }}n{\text{ números enteros}}\}.$
Verificaremos que $\mathbb {Z} [{\sqrt {-m}}]$ con la suma y la multiplicación de los Complejos es un subanillo de los complejos.
Sea $\theta =i{\sqrt {m}}={\sqrt {-m}}$, luego $\theta ^{2}=-m.$ y sean $\alpha =a+b\theta$ y $\beta =c+d\theta$ dos elementos de $\mathbb {Z} [{\sqrt {-m}}].$ Entonces,
${\begin{array}{rcl}\alpha -\beta &=&(a+b\theta )+(c+d\theta )=(a-c)+(b-d)\theta \in \mathbb {Z} [{\sqrt {-m}}]\\\alpha \beta &=&(a+b\theta )(c+d\theta )=ac+ad\theta +bc\theta +bd\theta ^{2}\\&=&(ac-mbd)+(ad+bc)\theta \in \mathbb {Z} [{\sqrt {-m}}]\end{array}}$
Luego, $\mathbb {Z} [{\sqrt {-m}}]$ es un subanillo de los complejos. Como $\mathbb {Z} [{\sqrt {-m}}]$ está contenido en los Complejos no puede contener elementos no nulos cuyo producto sea cero, además como la multiplicación es conmutativa, vemos que se trata de un dominio de integridad.
Estos anillos proporcionarán ejemplos muy importantes, especialmente cuando hagamos consideraciones aritméticas---por ejemplo, la teoría de la divisibilidad, en los capítulos siguientes.
Introduciremos, para usos futuros, la noción de norma de un elemento $z$ de este anillo, que será el número real definido por
$N(z):=z\,{\bar {z}},$
donde ${\bar {z}}$ es el conjugado de $z.$
Ejemplo (Enteros de Gauss).
Se llama Enteros de Gauss al subanillo $\mathbb {Z} [i]$ de los Complejos. Aunque este subanillo es un caso particular de los ejemplos anteriores con $m=1$, es lo suficientemente importante para tener un nombre propio, además de honrar a su genial inventor.
Ejemplo (Los Anillos de Funciones).
Sea $X$ un conjunto no vacío y sea $A$ unanillo. Sea $F=F(X,A)$, el conjunto formado por todas las funciones de $X$ en $A.$ Podemos definir una suma y una multiplicación en $F$, punto a punto, es decir que para $f$ y $g$ en $F$ ponemos que
$(f+g)(x):=f(x)+g(x)\quad {\text{ y }}\quad (fg)(x)=f(x)g(x).$
Se verifica fácilmente que se obtiene una estructura de anillo en $F.$ Cuando $A$ sea conmutativo, el anillo $F$ también lo será. Ver los ejercicios.
(Cálculo) Cuando $X\subset \mathbb {R}$ y $A=\mathbb {R}$, algunos subanillos de ese $F(X,\mathbb {R} )$ quedan determinados por los subconjuntos formados por
* las funciones constantes,
* las funciones polinómicas,
* las funciones continuas,
* las funciones derivables,
Un aspecto interesante de este ejemplo es que cuando $X$ tiene más de un elemento, entonces aparecen divisores de cero, es decir elementos no nulos cuyo producto es nulo.
Ejemplo (Sucesiones).
Las sucesiones con valores reales son las funciones $s:\mathbb {N} \longrightarrow \mathbb {R}$, por lo que este ejemplo es un caso particular del ejemplo anterior, ya que el conjunto de las sucesiones es ${F}(\mathbb {N} ,\mathbb {R} )$.
Ejemplo (Polinomios).
Sea $A$ un anillo con identidad. Un polinomio con coeficientes en $A$ es una expresión de la forma
$a_{0}+a_{1}X+a_{2}X+\cdots +a_{n}X^{n}$
donde los $a_{i}$'s son elementos de $A$, $X$ es un elemento, llamado la indeterminada, que suponemos que es un elemento de un superanillo de $A$ que conmuta con todos los elementos de $A.$ Simbolizaremos por $A[X]$ al conjunto formado por todos los polinomios con coeficientes en $A.$
Supondremos conocidos del lector las operaciones con polinomios, así como la terminología asociada con los mismos: términos, coeficientes, grado, etc. Una presentación más formal de los polinomios se halla en el capítulo de los polinomios.
$A[X]$, con las operaciones usuales de suma y multiplicación, es un anillo con identidad que es conmutativo cuando $A$ lo sea. Se verifica que cuando $A$ es un dominio de integridad (o un cuerpo), el anillo $A[X]$ es también un dominio.
Ejemplo (Matrices.
Las matrices $2\times 2$ con coeficientes reales determinan un anillo con identidad que no es conmutativo, al que simbolizaremos por ${\textsf {M}}_{2}(\mathbb {R} ).$ Notemos que
${\begin{bmatrix}0&1\\0&0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}2&0\\0&0\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0&0\\0&0\end{bmatrix}}.$
Es decir que, en un anillo de las matrices, hay elementos no nulos cuyo producto es nulo.
Las matrices nos proporcionan el primer ejemplo de un anillo no conmutativo. Otro ejemplo importante de anillo no conmutativo se verá a continuación.
Ejemplo (Los Cuaterniones).
Este ejemplo muestra la existencia de un anillo con división que no es cuerpo, es decir donde la multiplicación no es conmutativa.
Sea $\mathbb {H} =\{a+bi+cj+dk:a,b,c,d\quad {\text{ números reales.}}\}$ Se supone los siguientes convenios para la multiplicación.
$i^{2}=j^{2}=k^{2}=-1,\quad ij=-ji=k,\quad jk=-kj=i,\quad ki=-ik=j.$
Suponiendo las propiedades usuales para anillos y que $i$, $j$ y $k$ permutan con los Reales, tenemos, por ejemplo, que
Queda de ejercicio, verificar que la multiplicación es asociativa, distributiva y que cada elemento no nulo tiene un recíproco. Claramente, la multiplicación no es conmutativa, por lo que $\mathbb {H}$ es un anillo con división que no es un cuerpo, llamado los cuaterniones. Los Cuaterniones fueron inventados en el siglo XIX---1843, por el matemático irlandés, William Hamilton, para aplicarlos a problemas de Mecánica tridimensional. Posteriormente, Frobenius probó que solamente hay dos anillos con división que tiene dimensión finita sobre los Reales: los Complejos y los Cuaterniones. Además, de las aplicaciones originales, los cuaterniones tienen interesantes aplicaciones en varias otras áreas: Física y gráficas de computadoras.
Ejemplo (Los Enteros módulo $\mathbf {m}$).
$\langle \mathbb {Z} _{m},+,*\rangle$, tiene la estructura de un anillo conmutativo con identidad.
Recordemos que cuando $x$ es un entero, $[x]$ es la clase de $x$, o sea el conjunto de enteros cuya diferencia con $x$ es un múltiplo de $m$. La suma y la multiplicación están definidas por
$[x]+[y]:=[x+y]\quad {\text{y}}\quad [x]\cdot [y]:=[xy].$
Se verifica que con esas operaciones $\mathbb {Z} _{m}$ tiene una estructura de anillo (ver ejercicios).
Estos anillos tienen muchas aplicaciones y sirven, también, para ilustrar varios aspectos de la teoría de los anillos. Ver los ejercicios.
Ejemplo. (Producto de Anillos).
Sean $A=A_{1}\times A_{2}$ donde $A_{1}$ y $A_{2}$ son anillos. Dotamos a $A$ con una estructura de anillo, definiendo la adición y multiplicación componente a componente. Es decir que:
${\begin{array}{rcl}(x_{1},x_{2})+(y_{1},y_{2})&:=&(x_{1}+y_{1},x_{2}+y_{2})\\(x_{1},x_{2})\cdot (y_{1},y_{2})&:=&(x_{1}y_{1},x_{2}y_{2}).\end{array}}$
Decimos que el anillo $A$ es el producto directo de los anillos $A_{1}$ y $A_{2}$.
Cuando $A_{1}$ y $A_{2}$ son conmutativos, podemos hablar de la suma directa de $A_{1}$ con $A_{2}$ y denotar al producto por $A_{1}\oplus A_{2}$.
Las propiedades del producto directo $A$ dependen naturalmente de las propiedades de sus factores. Por ejemplo, cuando ambos factores tienen identidad, digamos $1_{1}$ y $1_{2}$ respectivamente, entonces.
$(a,b)(1_{1},1_{2})=(a\cdot 1_{1},b\cdot 1_{2}=(a,b).$
Análogamente, se verifica que $(1_{1},1_{2})(a,b)=(a,b)$; es decir que $A$ tiene como identidad a $(1_{1},1_{2})$.
Notemos, además, que $(a,0)(0,b)=(0,0)$; por lo que productos no triviales tienen divisores de cero.

### La Sustracción

En cualquier anillo, siempre, tendremos asociada con la adición, la operación de sustracción, definida como es usual.
Definición. (Sustracción) Sea $A$ un anillo, llamamos substracción o resta a la operación definida por
$a-b:=a+(-b).$

### Las Propiedades Básicas

La siguiente proposición resume las propiedades básicas de las operaciones en un anillo. El lector reconocerá las propiedades básicas de las operaciones algebraicas estudiadas en los primeros cursos de Álgebra.
Proposición 2. Sea $A$ un anillo. Sean $a$, $b$ y $x$ elementos de $A.$ Entonces,

### Elementos destacados

Ejemplo.
Consideremos el anillo de los Enteros módulo 8. Observemos que
$[4]\cdot [2]=[0]=[4]\cdot [4].$
Es decir que hay elementos no nulos cuyo producto es $[0]$, el neutro aditivo del anillo. Además, tenemos que $[4]\cdot [2]=[4]\cdot [4]$, pero $[2]\neq [4]$, es decir que no podemos cancelar a $[4]$ en ambos lados de la igualdad anterior.
Por otra parte, tenemos que $[3]\cdot [5]=[1]$ y que $[7]*[7]=1$, es decir que los elementos $[3]$, $[5]$ y $[7]$ son invertibles en $\mathbb {Z} _{8}$,
Los elementos del ejemplo anterior representan dos clases importantes de elementos de un anillo: los divisores de cero y las unidades. Nociones que definiremos a continuación.
Definición. (Divisor de Cero, Unidad) Sea $A$ un anillo cualquiera (no necesariamente conmutativo) con identidad $1.$
* Decimos que un elemento $a$ de un anillo $A$ es un divisor de cero, ssi, hay un elemento $b$ no nulo en $A$, tal que $ab=0$ o $ba=0.$
* Decimos que un elemento $a$ de un anillo $A$ es una unidad, ssi, hay un elemento $b$ tal que $ab=ba=1.$ Simbolizaremos por $A^{*}$ o $U(A)$ al conjunto formado por todas las unidades del anillo $A.$
* Decimos que un elemento $a$ de un anillo conmutativo $A$ es cancelable, ssi, para todo $x$, $y$ del anillo se cumple que $ax=ay\implies x=y.$
Los anillos $\mathbb {Z} _{m}$ contienen divisores de cero cuando $m$ es un número entero compuesto. El anillo de matrices $2\times 2$, que no es un anillo conmutativo, siempre contiene divisores de cero, como vimos en un ejemplo anterior.

#### Las Unidades

Observemos que las unidades de un anillo son precisamente los elementos invertibles del anillo. En particular, la identidad 1 es un unidad. Otro elemento que siempre es una unidad es $-1$, ya que $(-1)(-1)=1.$ Hay anillos, por ejemplo los Enteros, donde las únicas unidades son 1 y $-1.$ Otros anillos, tienen elementos adicionales que son unidades. Se verifica que en los Enteros de Gauss $i$ y $-i$ son unidades, ya que $i(-i)=1.$ Finalmente, en anillos como los cuerpos, todos los elementos no nulos son unidades. Un anillo no conmutativo puede contener unidades; por ejemplo, las matrices invertibles en el anillo de matrices $2\times 2.$
Con la noción de divisores de cero, se tiene que un anillo conmutativo con identidad es un dominio de integridad, ssi, no contiene divisores de cero, o sea, ssi, $ab=0\implies a=0{\text{ o }}b=0.$ Veremos, a continuación, que un dominio de integridad se puede también caracterizar porque todos sus elementos no nulos son cancelables.
Proposición 3. Sea $A$ un anillo conmutativo con identidad. Entonces, los elementos no nulos de $A$ son cancelables, ssi, $A$ es un dominio de integridad.
Corolario. Los cuerpos son dominios de integridad.
Corolario En un cuerpo, todos los elementos no nulos son cancelables.
El mundo finito tiene algunas simplificaciones interesantes.
Proposición 4.
Un dominio de integridad finito $D$ es un cuerpo.
Corolario 4.1. Sea $\mathbb {Z} _{p}$ tal que $p$ es primo. Entonces $\mathbb {Z} _{p}$ es un cuerpo.
Otro resultado muy interesante, debido a Joseph Wedderburn (1882--1948), que sólo mencionaremos aquí, establece que un anillo con división finito es un cuerpo, o sea que necesariamente se tiene que la multiplicación es conmutativa.

### Ejercicios

* Probar cada una de las siguientes identidades en un anillo cualquiera.
** $a(b-c)=ab-ac.$
** $(a+b)(c+d)=ab+ac+bc+bd.$
** $-(a+b)=-a-b.$
** $-(a-b)=-a+b.$
* Probar cada una de las siguientes identidades en un anillo conmutativo. ¿Es necesario suponer la conmutatividad?
** $(a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}.$
** $(a+b)^{3}=a^{3}+3a^{2}b+3ab^{2}+b^{3}.$
** $a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b).$
** $a^{3}-b^{3}=(a-b)(a^{2}+ab+b^{2}),$
* Completar las demostraciones del texto.
* Verificar que:
** $3\mathbb {Z}$, los múltiplos enteros de 3, determinan un anillo sin divisores de cero, pero que no es un dominio de integridad porque no contiene la identidad.
** $\mathbb {Z} _{4}$, los enteros modulo 4, determinan un anillo conmutativo con identidad que no es un dominio de integridad porque tiene divisores de cero
** El subconjunto $\{[0],[2],[4],[6]\}$ de $\mathbb {Z} _{8}$ es cerrado respecto a resta y productos, pero no es unsubanillo, porque no contiene al $[1]$.
* Probar que en un anillo conmutativo, un elemento es cancelable, ssi, no es un divisor de cero.
* Hallar todos los divisores de cero y las unidades de $\mathbb {Z} _{7}$, $\mathbb {Z} _{10}$ y $\mathbb {Z} _{12}.$
* Verificar cuidadosamente cada una de las propiedades de anillo para $\mathbb {Z} _{m}.$
* Verificar que cuando $m$ es un número entero compuesto, entonces $\mathbb {Z} _{m}$ contiene divisores de cero.
* Probar que, $[a]$ es una unidad de $\mathbb {Z} _{m}$, ssi, el máximo común divisor de $a$ y $m$ es 1.
* Verificar que cuando $p$ es un número primo, se cumple que $\mathbb {Z} _{p}$ es un dominio de integridad. Luego, por una proposición del texto es un cuerpo.
* Probar que un subanillo de un cuerpo es siempre un dominio de integridad.
* (Unidades en un Anillo). Sea $A$ un anillo (no necesariamente conmutativo) con identidad. Sea $A^{*}$ el subconjunto de $A$ formado por las unidades de $A.$ Probar las siguientes afirmaciones. Las dos primeras propiedades muestran que $\langle A^{*},\cdot \rangle$ es un subgrupo del semigrupo multiplicativo del anillo $A.$
** $A^{*}$ es cerrado respecto a la multiplicación.
** $A^{*}$ es cerrado respecto a tomar inversos.
** $A^{*}$ es cerrado respecto a tomar opuestos aditivos.
** Si $u$ es una unidad, entonces para todo $m$ en $\mathbb {Z}$, $u^{m}$ es una unidad.
* Sea $A$ un anillo con identidad. Probar que la relación $x\sim y$, ssi, hay una unidad $u$ tal que $x=uy$, es una relación de equivalencia en $A.$
* Probar las afirmaciones siguientes. ($N(Z)=z\,{\overline {z}}$)
** La norma $N:\mathbb {Z} [{\sqrt {-m}}]\longrightarrow \mathbb {Z}$ es una función cuyos valores son todos positivos o cero que satisfacen la siguiente relación de función multiplicativa: $N(zw)=N(z)N(w)$
** Si $u$ es una unidad de $\mathbb {Z} [{\sqrt {-m}}]$ entonces $N(u)=1.$
* Usando propiedades de los Complejos probar que las unidades de $\mathbb {Z} [i]$ son exactamente $1$, $-1$, $i$ y $-i.$ (Sugerencia. Suponer que $z=a+bi$ es una unidad, hallar su recíproco, e investigar condiciones sobre $a$ y $b$ para que el recíproco esté en $\mathbb {Z} [i].$ Otra alternativa, usar que la norma de una unidad es $1$.)
* Sea $m$ un entero positivo que no es un cuadrado perfecto y sea $A=\{a+b{\sqrt {m}}:a,b\in \mathbb {Z} \}.$Para $z=a+b{\sqrt {m}}$ definir una norma $N(z):=a^{2}-mb^{2}.$
** Probar que $A$ es un subanillo de los Reales que es un dominio de integridad, pero que no es un cuerpo.
** Probar que la norma es multiplicativa, $N(zz')=N(z)N(z').$
** Probar que las unidades tienen norma igual a 1 o $-1.$
* Sea $A=\{a+b{\sqrt {2}}:a,b\in \mathbb {Z} \}\subset \mathbb {R} .$
** Probar que $A$ es un subanillo de $\mathbb {R} .$ (Ver ejercicio anterior.)
** Probar que $({\sqrt {2}}-1)$ y $({\sqrt {2}}+1)$ son unidades de $A.$
** Probar que $17-12{\sqrt {2}}$ es una unidad de $A.$
** Hallar todas las unidades de $A$, ¿Cuántas unidades hay?
* Todos los subgrupos de $\mathbb {Z}$ son subanillos de $Z.$ Hallar un subgrupo de $\mathbb {Q}$ que no sea un subanillo de $\mathbb {Q} .$
* (Múltiplos enteros de un elemento) Sea $a$ un elemento de una anillo $A.$ Para todo entero $m$, $ma$ denota a un múltiplo entero de $a.$ Probar que para todo par de números enteros $m$ y $n$ y para todo par $a$, $b$ de elementos de un anillo se cumple lo siguiente. (Sugerencia: múltiplo es potencia, pero en notación aditiva.) (Colocamos $n\cdot x$ en este ejercicio para distinguir "múltiplo" de producto en el anillo.)
** $(m+n)\cdot a=m\cdot a+n\cdot a.$
** $(mn)\cdot a=m\cdot (n\cdot a).$
** $1\cdot a=a.$
** $m\cdot (a+b)=m\cdot a+m\cdot b.$
** $(m\cdot a)b=m\cdot (ab)=a(m\cdot b).$
* Sea $A$ un anillo y $a$ un elemento del anillo. Probar que el conjunto de todos los múltiplos enteros de $a$, $\mathbb {Z} \cdot a$ es un subgrupo del grupo aditivo del anillo $A$, pero que, en general, no es cerrado respecto a la multiplicación. ¿Cuándo podremos estar seguros de que ese conjunto será cerrado respecto a la multiplicación?
* (Teorema del Binomio) Sea $A$ un anillo cualquiera con identidad. Sean $a$ y $b$ elementos que conmutan entre si, o sea que $ab=ba$. Probar que $(a+b)^{n}=\sum _{i=0}^{n}{\binom {n}{i}}a^{n-i}b^{i},$ donde ${\binom {n}{i}}={\dfrac {n!}{i!(n-i)!}}$ (coeficiente binomial).
* (Anillo de Funciones) Verificar que $F(X,A)$ con la suma y multiplicación punto a punto tiene una estructura de anillo. Ver ejemplo del texto.
* Sea $X=\{a,b\}$ y sea $A$ un anillo. Sean $f,g:X\longrightarrow A$ tales que $f(a)=g(b)=0$ y $f(b)=g(a)=1.$ Probar que $f$ y $g$ no son la función nula (que es aquella que envía todos los elementos de $X$ en 0), pero su producto sí lo es. Es decir que el anillo $F(X,A)$ es un anillo con divisores de cero.
* Clasificar cada una de las afirmaciones siguientes como ciertas o falsas. Explicar la respuesta.
** Un subanillo de un anillo conmutativo es conmutativo.
** Un subanillo de un dominio de integridad es un dominio de integridad.
** Un subanillo con identidad de un dominio de integridad es un dominio de integridad.
** En un dominio de integridad, cualquier elemento no nulo tiene inverso multiplicativo.
** Un anillo que contiene a otro anillo conmutativo es conmutativo.
* Sea ${\textsf {M}}_{2}(\mathbb {R} )$ el conjunto de matrices $2\times 2$ con coeficientes reales con la suma y multiplicación usuales. Verificar que ${\textsf {M}}_{2}(\mathbb {R} )$ con las operaciones usuales posee la estructura de un anillo con identidad que no es conmutativo y que tiene divisores de cero.
* Sea ${\mathcal {C}}$ el subconjunto formado por todas las matrices de la forma ${\begin{bmatrix}a&-b\\b&a\end{bmatrix}}.$ Probar que ${\mathcal {C}}$ con las operaciones usuales es un cuerpo.
* Sea $A={\textsf {M}}_{2}(\mathbb {Z} )$ el conjunto de todas las matrices $2\times 2$ con entradas que son números enteros. $A$ es un anillo con identidad, no conmutativo y con divisores de cero y que es un subanillo con identidad de ${\textsf {M}}_{2}(\mathbb {R} ).$
* Completar el ejemplo de los Cuaterniones, probando que efectivamente se trata de un anillo con división,
* ¿Cuáles de los siguientes subconjuntos son subanillos del anillo de matrices ${\textsf {M}}_{2}(\mathbb {R} )$?
** Las matrices de la forma ${\begin{bmatrix}x&y\\0&0\end{bmatrix}}.$
** Las matrices de la forma ${\begin{bmatrix}0&y\\0&0\end{bmatrix}}.$
** Las matrices de la forma ${\begin{bmatrix}x&y\\0&z\end{bmatrix}}.$
* Considerar el anillo de matrices ${\textsf {M}}_{2}(\mathbb {Z} _{2})$.
** Hallar la cantidad de elementos del anillo.
** Hallar las unidades del anillo.
* ¿Cierto o falso?
** Cada cuerpo es también un anillo.
** Cada anillo tiene una identidad.
** Cada anillo con identidad tiene al menos dos unidades.
** Cada anillo con identidad tiene a lo más dos unidades.
** Un subconjunto de un cuerpo puede ser un subanillo, sin que tenga que ser un subcuerpo.
** La multiplicación de un dominio tiene que ser conmutativa.
** Cuando $m$ no es primo, $\mathbb {Z} _{m}$ tiene divisores de 0.
** Cada cuerpo es un dominio entero.
** $\mathbb {Z}$ es isomórfico a $\mathbb {Z} _{m}$ como anillos.
** El producto directo de dos dominios es un dominio/
** Si $m$ es primo, $\mathbb {Z} _{m}$ es un subdominio de $\mathbb {Z} _{m}$.

## Los Homomorfismos de Anillos

Definición. (Homomorfismo de Anillos) Sean $A$ y $A'$ anillos. Una función $f:A\longrightarrow A'$ es un homomorfismo de anillos, si, para todo $x$, $y$ en $A$ se cumple que
$f(x+y)=f(x)+f(y)\qquad {\text{y}}\qquad f(xy)=f(x)f(y).$
Un homomorfismo de anillos con identidad debe, además, preservar la identidad, es decir que $f(1)=1'.$
Los homomorfismos de dominios, anillos con división y cuerpos son homomorfismos de anillos con identidad.
Un isomorfismo es un homomorfismo biyectivo.
Observemos que sigue, directamente, de la definición de homomorfismo de anillos, que un homomorfismo de anillos es un homomorfismo tanto de los grupos aditivos como de los semigrupos multiplicativos de los anillos.
Las terminologías de monomorfismo, supramorfismo, endomorfismo y automorfismos tienen igual significado que para los grupos.
Ejemplo.
Sean $A$, $B$ anillos cualesquiera, sea $f:A\longrightarrow B$ tal que para todo $a$ en $A$, $f(a)=0.$ Entonces, $f$ es trivialmente un homomorfismo de anillos. Aunque ambos anillos tengan identidad, el anterior homomorfismo no es un homomorfismo de anillos con identidad.
Ejemplo.
Sea $A=\mathbb {Z}$---el anillo de los Enteros---y $A'=\mathbb {Z} _{m}$, los enteros módulo $m$ Sea $f:\mathbb {Z} \longrightarrow \mathbb {Z} _{m}$ tal que $f(z)=[z]$, donde $[z]$ es la clase de congruencia de $z$ módulo $m$, o sea $z+m\mathbb {Z} .$ Como se cumple que
$[z+w]=[z]+[w]\quad {\text{ y }}\quad [zw]=[z][w],$
tenemos que $f$ es un homomorfismo suprayectivo (de anillos), que diremos que se trata del supramorfismo canónico.
Notemos que aunque $\mathbb {Z}$ es un dominio de integridad, cuando $m$ es un número compuesto, su imagen homomórfica, $\mathbb {Z} _{m}$, no lo es.
Ejemplo.
Sea $f:\mathbb {C} \longrightarrow \mathbb {C}$ la asignación a cada número complejo $z=a+bi$ de su conjugado ${\overline {z}}=a-bi.$ Sigue de las propiedades de los conjugados que esa función es un homomorfismo. Como es un homomorfismo biyectivo se trata de un automorfismo del cuerpo $\mathbb {C} .$
Ejemplo.
Sea $f:\mathbb {C} \longrightarrow {\textsf {M}}_{2}(\mathbb {R} )$ tal que $f(a+bi)={\begin{bmatrix}a&-b\\b&a\end{bmatrix}}.$ Se puede verificar que $f$ es un homomorfismo inyectivo de anillos con identidad. La verificación queda de ejercicio. ¿Cuál es la imagen de $f$? Dicha imagen es un subcuerpo de ${\textsf {M}}_{2}(\mathbb {R} ).$
Ejemplo.
Sea $A$ un anillo y $B$ un subanillo de $A.$ Sea $i:B\longrightarrow A$ tal que $i(x)=x.$ Claramente, $i$ es un homomorfismo inyectivo de anillos, que llamamos el monomorfismo inducido por la inclusión.
Proposición 5. (Propiedades de los Homomorfismos)
Sea $f:A\longrightarrow A'$ un homomorfismo de anillos. Entonces,
La siguiente proposición es la extensión natural de la proposición acerca de subgrupos y homomorfismos a subanillos y homomorfismos de anillos.
Proposición 6. (Subanillos y Homomorfismos)
Sea $f:A\rightarrow A'$ un homomorfismo de anillos.