# Fundamentos de la Matemática/Estructura algebráica de un conjunto y dos leyes de composición internas

En este capitulo veremos las estructuras algebraicas en un conjunto y con dos leyes de composición internas.
Sea un conjunto: A y dos leyes de composición: $\circledcirc ,\odot$, definida:
- 1º ley:
    ${\begin{array}{rccl}\circledcirc :&A\times A&\longrightarrow &A\\&(a,b)&\longmapsto &c=a\circledcirc b\end{array}}$
Dado que se cumple:
    $\forall (a,b)\in A\times A\,,\quad \exists !c\in A\;:\quad c=a\circledcirc b$
Para todo par ordenado (a,b) en A por A, se cumple que existe un único c en A, tal que c es el resultado de operar a con b con esta 1º ley.
- 2º ley:
    ${\begin{array}{rccl}\odot :&A\times A&\longrightarrow &A\\&(a,b)&\longmapsto &d=a\odot b\end{array}}$
Dado que se cumple:
    $\forall (a,b)\in A\times A\,,\quad \exists !d\in A\;:\quad d=a\odot b$
Para todo par ordenado (a,b) en A por A, se cumple que existe un único d en A, tal que d es el resultado de operar a con b con esta 2º ley.
La terna $(A,\circledcirc ,\odot )$ es una estructura definida en un unico conjunto: A, con dos leyes de composición, que puede dar lugar a las estructuras algebráicas: semianillo, semianillo unitario, anillo, anillo unitari o cuerpo, entre otras estructuras según las propiedades que cumplan.

## Semianillo

Dado un conjunto: A y dos leyes de composición internas: 1ª ley: $\circledcirc$, 2ª ley: $\odot$, definidas en A, la terna $(A,\circledcirc ,\odot )$ es una estructura álgebraica de semianillo si se cumple que:
* $(A,\circledcirc )$ es semigrupo conmutativo.
* $(A,\odot )$ es semigrupo.
* $\odot$ es distributiva sobre $\circledcirc$.

### Senianillo conmutativo

Dado un conjunto: A y dos leyes de composición internas: 1ª ley: $\circledcirc$, 2ª ley: $\odot$, definidas en A, la terna $(A,\circledcirc ,\odot )$ es una estructura álgebraica de semianillo conmutativo si se cumple que:
* $(A,\circledcirc )$ es semigrupo conmutativo.
* $(A,\odot )$ es semigrupo conmutativo.
* $\odot$ es distributiva sobre $\circledcirc$.

## Semianillo unitario

Dado un conjunto: A y dos leyes de composición internas: 1ª ley: $\circledcirc$, 2ª ley: $\odot$, definidas en A, la terna $(A,\circledcirc ,\odot )$ es una estructura álgebraica de semianillo unitario si se cumple que:
* $(A,\circledcirc )$ es semigrupo conmutativo.
* $(A,\odot )$ es monoide.
* $\odot$ es distributiva sobre $\circledcirc$.

### Senianillo unitario conmutativo

Dado un conjunto: A y dos leyes de composición internas: 1ª ley: $\circledcirc$, 2ª ley: $\odot$, definidas en A, la terna $(A,\circledcirc ,\odot )$ es una estructura álgebraica de semianillo unitario conmutativo si se cumple que:
* $(A,\circledcirc )$ es semigrupo conmutativo.
* $(A,\odot )$ es monoide conmutativo.
* $\odot$ es distributiva sobre $\circledcirc$.

## Anillo

Dado un conjunto: A y dos leyes de composición internas: 1ª ley: $\circledcirc$, 2ª ley: $\odot$, definidas en A, la terna $(A,\circledcirc ,\odot )$ es una estructura álgebraica de anillo si se cumple que:
* $(A,\circledcirc )$ es grupo conmutativo.
* $(A,\odot )$ es semigrupo.
* $\odot$ es distributiva sobre $\circledcirc$.

### Anillo conmutativo

Dado un conjunto: A y dos leyes de composición internas: 1ª ley: $\circledcirc$, 2ª ley: $\odot$, definidas en A, la terna $(A,\circledcirc ,\odot )$ es una estructura álgebraica de anillo conmutativo si se cumple que:
* $(A,\circledcirc )$ es grupo conmutativo.
* $(A,\odot )$ es semigrupo conmutativo.
* $\odot$ es distributiva sobre $\circledcirc$.

## Anillo unitario

Dado un conjunto: A y dos leyes de composición internas: 1ª ley: $\circledcirc$, 2ª ley: $\odot$, definidas en A, la terna $(A,\circledcirc ,\odot )$ es una estructura álgebraica de anillo unitario si se cumple que:
* $(A,\circledcirc )$ es grupo conmutativo.
* $(A,\odot )$ es monoide.
* $\odot$ es distributiva sobre $\circledcirc$.

### Anillo unitario conmutativo

Dado un conjunto: A y dos leyes de composición internas: 1ª ley: $\circledcirc$, 2ª ley: $\odot$, definidas en A, la terna $(A,\circledcirc ,\odot )$ es una estructura álgebraica de anillo unitario conmutativo si se cumple que:
* $(A,\circledcirc )$ es grupo conmutativo.
* $(A,\odot )$ es monoide conmutativo.
* $\odot$ es distributiva sobre $\circledcirc$.

## Cuerpo

Dado un conjunto: A y dos leyes de composición internas: 1ª ley: $\circledcirc$, 2ª ley: $\odot$, definidas en A, la terna $(A,\circledcirc ,\odot )$ es una estructura álgebraica de cuerpo si se cumple que:
* $(A,\circledcirc )$ es grupo conmutativo.
* $(A,\odot )$ es grupo.
* $\odot$ es distributiva sobre $\circledcirc$.

### Cuerpo conmutativo

Dado un conjunto: A y dos leyes de composición internas: 1ª ley: $\circledcirc$, 2ª ley: $\odot$, definidas en A, la terna $(A,\circledcirc ,\odot )$ es una estructura álgebraica de cuerpo conmutativo si se cumple que:
* $(A,\circledcirc )$ es grupo conmutativo.
* $(A,\odot )$ es grupo conmutativo.
* $\odot$ es distributiva sobre $\circledcirc$.

## Álgebra de Boole

Dado un conjunto: A y dos leyes de composición internas: 1ª ley: $\circledcirc$, 2ª ley: $\odot$, definidas en A, la terna $(A,\circledcirc ,\odot )$ es una estructura álgebraica de álgebra de Boole si se cumple que:
* $(A,\circledcirc )$ es monoide conmutativo.
* $(A,\odot )$ es monoide conmutativo.
* $\circledcirc$ es distributiva sobre $\odot$.
* $\odot$ es distributiva sobre $\circledcirc$.

## Referencias

* ↑ Sigler, L.E. (1981). Álgebra (1ª. edición). Barcelona: Editorial Reverté. pp. 476. ISBN 9788429151299. http://www.reverte.com/isbn/9788429151299.
* ↑ García Rua, J.,; Martínez Sánchez, J. M. (1977). «3». En Ministerio de Educación (en español). Matemática básica elemental. pp. 56. ISBN 9788436902167.
* ↑ Fernandez Nvoa, Jesús (1991). «1» (en español). Análisis matemático I (4 edición). UNED. pp. 15. ISBN 978-84362-1668-4.