# Matemáticas/Álgebra Abstracta/Anillos/Factorización de Polinomios
## Introducción

Este capítulo tiene como objetivo final el estudio de la factorización de polinomios con coeficientes en Enteros, los Racionales, los Reales y los Complejos.
Cuando se desarrolló la teoría para dicho estudio se observó que dependía de dos resultados:
* Los Racionales son el cuerpo de fracciones del dominio $\mathbb {Z}$, y
* Cada número entero no nulo puede expresarse como una unidad por un producto único de potencias de primos.
Los resultados pueden generalizarse fácilmente al estudio de las relaciones entre la factorización de polinomios sobre dominios donde se tiene la propiedad de factorización única y la factorización de esos polinomios sobre el cuerpo de fracciones del dominio/
Este será el camino que seguiremos en las primeras secciones del capítulo. Posteriormente aplicaremos los resultados a la factorización sobre los cuerpos $\mathbb {Q}$, $\mathbb {R}$ y $\mathbb {C}$.
Veremos, también, los polinomios ciclotómicos que están relacionados con la factorización de $X^{n}-1$, por su importancia en diferentes áreas de la matemática.
Finalmente, veremos una reseña del llamado Teorema Fundamental del Álgebra.

## Los Dominios de Factorización Única

La siguiente definición singulariza a los dominios que tienen la propiedad de factorización única, tales como los Enteros y los anillos de polinomios sobre cuerpos.
Definición. (Dominio de Factorización Única, DFU) Decimos que un dominio es un dominio de factorización única, ssi, cada elemento no nulo que no sea una unidad se puede factorizar como un producto de elementos irreducibles de manera única.
Diremos que la expresión de un elemento en un producto de irreducibles es la descomposición del elemento en un producto de irreducibles. La unicidad de la descomposición significa que si tenemos dos descomposiciones del mismo elemento, digamos que
$p_{1}p_{2}\dots p_{s}=q_{1}q_{2}\dots q_{t},$
donde $p_{i}$'s y $q_{j}$'s son irreducibles, entonces se tiene que $s=t$, y que cada $p_{i}$ es un asociado de $q_{i}$, posiblemente después de una reenumeración de los irreducibles $q_{j}$'s.
Los ejemplos básicos de DFUs son los Enteros: $\mathbb {Z}$, y el anillo de polinomios $k[X]$, cuando $k$ es un cuerpo.
Se verifica que los dominios de ideales principales (DIPs) son siempre DFUs. El lector interesado puede examinar lo hecho en el caso de los polinomios sobre un cuerpo para intentar la demostración de esa afirmación.
Una consecuencia de la descomposición única en producto de irreducibles es que dos elementos, no ambos nulos, siempre tienen mcd y mcm.
Proposición 1.
En un DFU, dos elementos no nulos tienen MCD y MCM.
Otra consecuencia importante de la descomposición única es la siguiente proposición.
Proposición 2. En un DFU, los irreducibles son primos.
Un estudios más detallado de los DFUs, se hallará en el capítulo Tipos de Dominio.

## Polinomios sobre Dominios de Factorización Única

El principal objetivo de esta sección será generalizar relaciones entre polinomios en $\mathbb {Z} [X]$ y polinomios en $\mathbb {Q} [X]$, a polinomios sobre $D[X]$--$D$ un DFU---y polinomios sobre $k[X]$, donde $k$ es el cuerpo de fracciones de $D$. Comenzaremos generalizando una propiedad de los polinomios con coeficientes enteros, llamada en ese contexto, el teorema de los ceros racionales}.