# Matemáticas/Transformada de Laplace/Tabla de las transformadas de Laplace más comunes
## Tabla de las transformadas de Laplace más comunes

La siguiente tabla provee la mayoría de las transformaciones de Laplace para funciones de una sola variable. Debido a que la transformada de Laplace es un operador lineal, la transformada de Laplace de una suma es la suma de la transformada de Laplace de cada término.
   ${\mathcal {L}}\left\{f(t)+g(t)\right\}={\mathcal {L}}\left\{f(t)\right\}+{\mathcal {L}}\left\{g(t)\right\}$
   ${\mathcal {L}}\left\{af(t)\right\}=a{\mathcal {L}}\left\{f(t)\right\}$
Aquí está una lista de las transformadas más comunes. En ella $u\,$ denota a la llamada función de Heaviside o función escalón, que vale 1 cuando su argumento es positivo y 0 cuando su argumento es negativo. Cuando su argumento vale 0 se le suele asignar el valor 1/2, aunque esto no tiene relevancia práctica.
| ID | Función | Dominio en el tiempo $x(t)={\mathcal {L}}^{-1}\left\{X(s)\right\}$ | Dominio en la frecuencia $X(s)={\mathcal {L}}\left\{x(t)\right\}$ | Región de la convergencia para sistemas causales |
| 1 | retraso ideal | $\delta (t-\tau )\$ | $e^{-\tau s}\$ | |
| 1a | impulso unitario | $\delta (t)\$ | $1\$ | $\mathrm {todo} \ s\,$ |
| 2 | enésima potencia retrasada y con desplazamiento en la frecuencia | ${\frac {(t-\tau )^{n}}{n!}}e^{-\alpha (t-\tau )}\cdot u(t-\tau )$ | ${\frac {e^{-\tau s}}{(s+\alpha )^{n+1}}}$ | $s>-\alpha \,$ |
| 2a | n-ésima potencia | ${t^{n} \over n!}\cdot u(t)$ | ${1 \over s^{n+1}}$ | $s>0\,$ |
| 2a.1 | q-ésima potencia | ${t^{q} \over \Gamma (q+1)}\cdot u(t)$ | ${1 \over s^{q+1}}$ | $s>0\,$ |
| 2a.2 | escalón unitario | $u(t)\$ | ${1 \over s}$ | $s>0\,$ |
| 2b | escalón unitario con retraso | $u(t-\tau )\$ | ${e^{-\tau s} \over s}$ | $s>0\,$ |
| 2c | Rampa | $t\cdot u(t)\$ | ${\frac {1}{s^{2}}}$ | $s>0\,$ |
| 2d | potencia n-ésima con cambio de frecuencia | ${\frac {t^{n}}{n!}}e^{-\alpha t}\cdot u(t)$ | ${\frac {1}{(s+\alpha )^{n+1}}}$ | $s>-\alpha \,$ |
| 2d.1 | amortiguación exponencial | $e^{-\alpha t}\cdot u(t)\$ | ${1 \over s+\alpha }$ | $s>-\alpha \$ |
| 3 | convergencia exponencial | $(1-e^{-\alpha t})\cdot u(t)\$ | ${\frac {\alpha }{s(s+\alpha )}}$ | $s>0\$ |
| 3b | exponencial doble | ${\frac {1}{b-a}}\left(e^{-at}-e^{-bt}\right)$ | ${\frac {1}{(s+a)(s+b)}}$ | $s>-a\ y\ s>-b\$ |
| 4 | seno | $\sin(\omega t)\cdot u(t)\$ | ${\omega \over s^{2}+\omega ^{2}}$ | $s>0\$ |
| 5 | coseno | $\cos(\omega t)\cdot u(t)\$ | ${s \over s^{2}+\omega ^{2}}$ | $s>0\$ |
| 5b | seno con fase | $\sin(\omega t+\varphi )\cdot u(t)$ | ${\frac {s\sin(\varphi )+\omega \cos \varphi }{s^{2}+\omega ^{2}}}$ | $s>0\$ |
| 6 | seno hiperbólico | $\sinh(\alpha t)\cdot u(t)\$ | ${\alpha \over s^{2}-\alpha ^{2}}$ | $s>|\alpha |\$ |
| 7 | coseno hiperbólico | $\cosh(\alpha t)\cdot u(t)\$ | ${s \over s^{2}-\alpha ^{2}}$ | $s>|\alpha |\$ |
| 8 | onda senoidal con amortiguamiento exponencial | $e^{-\alpha t}\sin(\omega t)\cdot u(t)\$ | ${\omega \over (s+\alpha )^{2}+\omega ^{2}}$ | $s>-\alpha \$ |
| 9 | onda cosenoidal con amortiguamiento exponencial | $e^{-\alpha t}\cos(\omega t)\cdot u(t)\$ | ${s+\alpha \over (s+\alpha )^{2}+\omega ^{2}}$ | $s>-\alpha \$ |
| 10 | raíz n-ésima | ${\sqrt[{n}]{t}}\cdot u(t)$ | $s^{-(n+1)/n}\cdot \Gamma \left(1+{\frac {1}{t}}\right)$ | $s>0\,$ |
| 11 | logaritmo natural | $\ln \left({t \over t_{0}}\right)\cdot u(t)$ | $-{t_{0} \over s}\ [\ \ln(t_{0}s)+\gamma \ ]$ | $s>0\,$ |
| 12 | Función de Bessel de primer tipo, de orden n | $J_{n}(\omega t)\cdot u(t)$ | ${\frac {\omega ^{n}\left(s+{\sqrt {s^{2}+\omega ^{2}}}\right)^{-n}}{\sqrt {s^{2}+\omega ^{2}}}}$ | $s>0\,$ $(n>-1)\,$ |
| 13 | Función de Bessel modificada de primer tipo, de orden n | $I_{n}(\omega t)\cdot u(t)$ | ${\frac {\omega ^{n}\left(s+{\sqrt {s^{2}-\omega ^{2}}}\right)^{-n}}{\sqrt {s^{2}-\omega ^{2}}}}$ | $s>|\omega |\,$ |
| 14 | Función de Bessel de segundo tipo, de orden 0 | $Y_{0}(\alpha t)\cdot u(t)$ | | |
| 15 | Función de Bessel modificada de segundo tipo, de orden 0 | $K_{0}(\alpha t)\cdot u(t)$ | | |
| 16 | Función de error | $\mathrm {erf} (t)\cdot u(t)$ | ${e^{s^{2}/4}\operatorname {erfc} \left(s/2\right) \over s}$ | $s>0\,$ |
| Notas explicativas: $u(t)\,$ representa la función escalón unitario. $\delta (t)\,$ representa la Delta de Dirac. $\Gamma (z)\,$ representa la función gamma. $\gamma \,$ es la constante de Euler-Mascheroni. $t\,$, un número real, típicamente representa tiempo, aunque puede representar cualquier variable independiente. $s\,$ es la frecuencia angular compleja. $\alpha \,$, $\beta \,$, $\tau \,$, y $\omega \,$ son números reales. $n\,$es un número entero. sistema causal es un sistema donde la respuesta al impulso h(t) es cero para todo tiempo t anterior a t = 0. En general, el ROC para sistemas causales no es el mismo que el ROC para sistemas anticausales. Véase también causalidad. |||||