# Matemáticas/Espacios Métricos/Los Grupos
## Introducción

En este apéndice resumimos nociones del Álgebra Abstracta que usamos en el texto: grupo, subgrupo y homomorfismos. Presentamos dichas nociones y, algunas otras nociones y propiedades asociadas.
Si el lector o lectora ha tomado un curso básico de Álgebra Abstracta, no hallará posiblemente nada nuevo aquí, una lectura rápida podrá ayudarle a recordar lo básico necesario para la lectura del texto.
Si el lector o lectora no ha tenido contacto previos con Álgebra Abstracta, recomendamos que lea las definiciones y las proposiciones. Procure memorizar tales definiciones y cuando se usen las propiedades en el texto, use la fe, en que está bien. Si dispone de tiempo, puede leer este material con calma, pero después de completar el texto, así tendrá una idea de adonde se aplican estas nociones abstractas.

## Los Grupos

Definición C.1. Un grupo es un par < G, * > tal que G es un conjunto—conjunto base—y * una operación en G (o sea una función de G × G en G), tales que
El Grupo de las Biyecciones. Sea E un conjunto y Biy(E) el conjunto formado por todas las biyecciones de E en si mismo. La composición de funciones produce a partir de dos funciones, digamos f y g, una nueva función f◦g—la composición de f con g.
Cuando f y g son biyecciones de un conjunto E, su composición es una biyección, por lo que la composición produce una operación en Biy(E). Biy(E) con esa operación determina un grupo—grupo de biyecciones de E— ya que la composición de funciones es asociativa, la función identidad, id$_E$ es biyectiva y es un neutro para la composición, y cada función biyectiva es invertible y su inversa es biyectiva.
Extensión de las operaciones a subconjuntos. Sea G un grupo (con operación denotada multiplicativamente). Sean A y B subconjuntos de G, g un elemento del grupo. Las siguientes notaciones son usadas frecuentemente.
* AB := {ab : a ∈ a, b ∈ B}. Si A = {g}, gB = AB. Análogamente si B = {b}.
* A$^{−1}$ := {a$^{−1}$ : a ∈ A}.
* A$^n$ = AA ··· A, producto de n copias de A.
Convenio. Para simplicidad de la exposición, hablaremos de “las operaciones” del grupo, para referirnos conjuntamente a la operación y al tomar inversos.

## Los Subgrupos

Definición C.2. Sea G un grupo. Un subconjunto H de G determina o forma un subgrupo de G cuando H con las operaciones de G restringidas a H, proveen a H con una estructura de grupo. Notación; H < G.
Ejemplos C.3.1.
* El subconjunto de los Enteros determina un subgrupo de E respecto a la adición.
* El conjunto G y el conjunto {e} determinan subgrupos de G. Hay ejemplos de grupos sonde estos son los únicos subgrupos posibles.
Proposición C.3.1. (Criterio para Subgrupo) Sea G un grupo. Un subconjunto no vacío H determina un subgrupo de G, ssi.
Las condiciones de la proposición anterior se pueden resumir en una sola, diciendo que para todo x, y en H se cumple que xy$^{−1}$ está en H. Usando operaciones con subconjuntos.
Ejemplo C.3.2. Los Reales positivos determinan un subgrupo de <R$^+$, ·>—grupo multiplicativo de los reales, ya que el producto de dos positivos es positivo y el recíproco de un positivo es positivo. no nulos. Otro subgrupo está formado por los racionales no nulos, $\mathbb {Q} ^{*}.$
* ↑ Para simplicidad de la comunicación, transformaciones serán, implícitamente biyectivas, a menos que el contexto indique algo distinto.