# Matemáticas/Álgebra Abstracta/Anillos/Divisibilidad y Polinomios
## La Divisibilidad en el Anillo de los Polinomios

El anillo de los polinomios sobre un anillo conmutativo con identidad es, a su vez, un anillo conmutativo con identidad, por lo que todas las nociones de divisibilidad sobre anillos le aplican. En particular, las nociones de unidad, elemento primo, elemento irreducible. Veremos,a continuación, que la teoría de la divisibilidad en el anillo de polinomios es semejante a la teoría de divisibilidad de los Enteros, especialmente cuando los coeficientes se toman de un cuerpo.

## La Divisibilidad en el Anillo de los Polinomios

El anillo de los polinomios sobre un anillo conmutativo con identidad es, a su vez, un anillo conmutativo con identidad, por lo que todas las nociones de divisibilidad sobre anillos le aplica. En particular, las nociones de unidad, elemento primo, elemento irreducible. Veremos,a continuación, que la teoría de la divisibilidad en el anillo de polinomios es semejante a la teoría de divisibilidad de los Enteros, especialmente cuando los coeficientes se toman de un cuerpo.

### Las Unidades y Asociados en un Anillo de Polinomios

Sea $A$ un anillo conmutativo con identidad. ¿Cuáles son las unidades, o sea los elementos con recíprocos, en el anillo de polinomios $A[X]$? En general, la respuesta puede resultar complicada, como podemos apreciar del siguiente ejemplo.
Ejemplo.
Sea $A=\mathbb {Z} _{4}$ y consideremos los polinomios $f=1+2x$ y $g=f.$ Entonces, $fg=(1+2X)^{2}=1+4X+4X^{2}=1.$ Es decir que $f$ es una unidad.
Como, usualmente, no esperamos que polinomios de grado positivo tengan recíprocos, lo anterior es una anomalía; la que eliminaremos si trabajamos con coeficientes en un dominio de integridad o como también diremos sobre un dominio de integridad, en particular, al trabajar sobre un cuerpo.
Proposición 1.
Sea $A$ un dominio de integridad. Entonces, las unidades de $A[X]$ coinciden con las unidades de $A.$
Cuando $A$ sea el anillo de los Enteros, las únicas unidades en $A[X]$ son $\pm 1.$ En cambio, si $A$ es un cuerpo, cualquier polinomio de grado cero no nulo es una unidad---que están identificados con los elementos no nulos del cuerpo.
Recordemos que decimos que dos elementos de un anillo está asociados cuando uno de ellos es un múltiplo por una unidad del otro.
Lema A. Sobre un cuerpo, cada polinomio tiene asociado un polinomio mónico.
Ejemplo.
Suponer $A=\mathbb {Q} .$ Como $2X^{3}+5x-7=2(X^{3}+(5/2)X-(7/2))$ y $2$ es un unidad, se tiene que $X^{3}+(5/2)X-(7/2)$ es un asociado del polinomio original.

### El Algoritmo de la División

En esta sección, veremos que tenemos un Algoritmo de la División para polinomios semejante al de los números enteros, siempre que el coeficiente líder del divisor sea una unidad del anillo.
Teorema. (El Algoritmo de la División).
Sea $A$ un anillo conmutativo con identidad. Sean $f$ y $g$ polinomios con coeficientes en $A$ tales que el coeficiente líder de $g$ sea una unidad de $A$ (o sea, invertible en $A$). Entonces, podemos hallar polinomios únicos $q$ y $r$ en $A[X],$ tales que
$f=qg+r,\quad {\text{donde }}r{\text{ es nulo o }}{\text{gr}}(r)<{\text{gr}}(g).$
Nomenclatura. Llamamos dividendo y divisor a los polinomios $f$ y $g$ de la proposición anterior. Por su parte, los polinomios $q$ y $r,$ se llaman el cociente y el residuo, respectivamente, de la división de $f$ por $g.$
Observación. Notemos que lo indicado en la demostración del caso cuando el grado del dividendo era mayor o igual al grado del divisor es el comienzo del proceso usual de división manual de polinomios, proceso que suponemos conocido del lector.

## La Estructura del Anillo de Polinomios sobre un Cuerpo

En esta sección, veremos que la teoría de la divisibilidad en $k[X],$ $k$ cuerpo, es totalmente análoga a la teoría de la divisibilidad en los Enteros.
Proposición 2. $\mathbf {k} [X]$ es DIP
Sea $k$ un cuerpo. Cada ideal de $k[X]$ es principal. Los ideales no nulos tienen como generador a un polinomio con el menor grado entre los elementos del ideal. (DIP significa dominio de ideales principales, todos los ideales son principales).
Sean $f$ y $g$ polinomios no nulos. Suponer que $f=qg+r,$ donde $q$ es el cociente de la división de $f$ por $g$ y $r$ es el residuo de esa división. Entonces, (excepto por una unidad),
Lema C. Sea $A$ un dominio de integridad y sean $f,$ $g$ polinomios en $A[X].$ Entonces,