# Álgebra Abstracta/Texto Completo

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Álgebra Abstracta

## A. Las Estructuras

Ejemplo 3.1.
Sea $<\mathbb {R} ,\cdot >$ el magma multiplicativo de los Reales y sea $S$ el conjunto de los reales positivos, ${\mathbb {R} }^{+}$. Los positivos son cerrados respecto a la multiplicación, al neutro y a tomar recíprocos (inversos multiplicativos).
Operación Restringida.
Cuando un conjunto es cerrado respecto a una operación, dicha operación define por restricción una operación en el conjunto cerrado. Aunque, en rigor, la operación restringida es una operación diferente a la operacíón en todo el conjunto, ya que como función se han cambiado su dominio y codominio, es tradicional usar la misma notación para la operación restringida.
Ejemplo 3.2.
Sea S el conjunto formado por todos los números complejos de la forma $m+n{\sqrt {-5}}$ donde $m$ y $n$. Sean $z=m+n{\sqrt {-5}}$ y $w=p+q{\sqrt {-5}}$ elementos de S.
* Probaremos que con respecto a la adición S es cerrado respecto a la operación, al neutro y a los opuestos aditivos.
** $z+w=(m+p)+(n+q){\sqrt {-5}}$. Como la suma de enteros es un entero, tenemos que z + w es un elemento de S, lo que prueba la cerradura respecto a la suma,
** Como $0=0+0{\sqrt {-5}}$, el neutro es un elemento de S
** El opuesto aditivo de Z es $(-m)+(-n){\sqrt {-5}}$, que también es un elemento de S.
* Probaremos que S es cerrado respecto a la multiplicación y al neutro multiplicativo1; pero, veremos que no es cerrado respecto a tomar recíprocos.
** Como $zw=(m+n{\sqrt {-5}})(p+q{\sqrt {-5}}=(mp+5nq)+(mq+np){\sqrt {-5}}$, los productos de elementos en S están en S, o sea que S es cerrado respecto a la multiplicación.
** Como $1=1+0{\sqrt {-5}}$, el neutro 1 está en S.
** Como $(1+{\sqrt {-5}})(1-{\sqrt {-5}})=6$, el recíproco de $1+{\sqrt {-5}}$ es igual a ${\frac {1}{6}}-{\frac {1}{6}}{\sqrt {-5}},$ que no está en S.
Proposición 4. Cuando la intersección de dos partes cerradas no es vacia, dicha intersección es una parte cerrada.

## Tablas de Operaciones

Cuando el conjunto donde actúa una operación es finito y con relativamente pocos elementos, podemos presentar a la operación como una tabla de la operación, que es un arreglo como el siguiente.
${\begin{array}{c|cccc}*&e&a&b&c\\\hline e&e&a&b&c\\a&a&e&c&b\\b&b&c&e&a\\c&c&b&a&e\end{array}}$
El producto b * c se obtiene en la intersección de la fila que contiene a b con la columna que contiene a c. En esta tabla, b * c = a.
Notemos que la fila y columna de e reproducen la fila y tabla de elementos del conjunto, lo que indica que e es neutro.
Veamos como buscar en la tabla si un elemento tiene inverso, digamos que buscamos el inverso de b. Nos movemos por la fila del b hasta hallar el neutro. Si no hallamos un neutro, eso significa que no hay inverso. En este caso hallamos e (neutro en este caso) en la columna del b, lo que nos dice que b * b = e. Por lo que b$^{-1}$ = b.
En general, si hallamos x * y = e ( e neutro), antes de concluir sobre inversos, debemos chequear y * x (a menos que haya conmutatividad u otra situación especial, no hay nada que indique que y * x = x* y = e).
Cuando la tabla, como en este caso, es simétrica respecto a la diagonal principal (desde izquierda arriba a derecha abajo), tenemos que la operación es conmutativa.
Ejemplo 4.1. (Las tablas de $\mathbb {Z} _{6}$).
Sabemos que $\mathbb {Z} _{6}$ tiene solamente seis elementos, a saber
* $\mathbb {Z} _{6}=\{0,1,2,3,4,5\}.$
Presentamos las tablas de la operaciones como ejemplos de tablas finitas. Queda de asignación verificar la corrección de las mismas.
${\begin{array}{c|cccccc}+&0&1&2&3&4&5\\\hline 0&0&1&2&3&4&5\\1&1&2&3&4&5&0\\2&2&3&4&5&0&1\\3&3&4&5&0&1&2\\4&4&5&0&1&2&3\\5&5&0&1&2&3&4\end{array}}\qquad \qquad {\begin{array}{c|cccccc}\cdot &0&1&2&3&4&5\\\hline 0&0&0&0&0&0&0\\1&0&1&2&3&4&5\\2&0&2&4&0&2&4\\3&0&3&0&4&2&3\\4&0&4&3&2&1&2\\5&0&5&4&3&2&1\end{array}}$
Mirando a la tabla de suma o por simple computación) vemos que 2 + 4 =0, o sea que -2 = 4. ¿Qué otros elementos tienen opuestos aditivos? En la tabla de multiplicación vemos que 5*5 = 1, o sea que 1/5 =5. ¿Qué otros elementos tiene recíproco?
Finalmente, observemos que {1,5} es un subconjunto cerrado para la multiplicación.

## Productos Múltiples, Potencias

Los lectores seguramente han visto anteriormente sumatorias de números,
$\sum _{i=1}^{n}a_{i}=a_{1}+\dots +a_{n}.$
Operaciones Generalizadas. Supongamos que tenemos un magma $<E,*>$ y una sucesión $a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n}$ de elementos de E.
Supongamos que queremos hallar el producto de todos ellos. En el texto, hemos aprovechado la experiencia manipulativa de los lectores para no preocuparnos demasiado de ese asunto. La situación es que, por definición, nuestra operación es binaria por lo que no hay como hallar, sin un convenio previo, el producto de una sucesión con más de dos elementos.
Si tuviéramos tres elementos, digamos a, b y c, podríamos formar producto con los tres de una de las siguientes maneras
* $a*(b*c),\quad (a*b)*c$
Notemos que los paréntesis se usan para agrupar dos a la vez. Cuando la operación es asociativa, ambas expresiones representan al mismo elemento. Pero, si la operación no fuera asociativa, ¿cuál de las dos sería el producto de esos tres elementos?
Cuando hay cuatro elementos, hay muchas más posibilidades de agrupamientos, dos a la vez.
Definiremos una noción análoga a las sumatorias para un producto de una sucesión cualquiera.
Definición. (Producto Generalizado) Sea <E,*> un magma y sea $a_{1},a_{2},\dots ,a_{n}$. Llamamos producto de los elementos de la sucesión (en el orden indicado) al elemento de E, denotado por $\prod _{i=1}^{n}a_{i}$ y definido como
$a_{1}*a_{2}*\dots *a_{n}=\prod _{i=1}^{n}a_{i}:={\begin{cases}a_{1}&{\text{si }}n=1\\(\prod _{i=1}^{k}a_{i})*a_{k+1}&{\text{si }}n=k+1\end{cases}}$
Es fácil ver, por inducción, de que efectivamente se ha definido un elemento de E.
Sigue de la definición que
* ($n=2$) $a_{1}*a_{2}=(a_{1})*a_{2}=a_{1}*a_{2}.$
* ($n=3$) $a_{1}*a_{2}*a_{3}:=(a_{1}*a_{2})*a_{3}.$
* ($n=4$) $(a_{1}*a_{2}*a_{3})*a_{4}=((a_{1}*a_{2})*a_{3})*a_{4}.$.
$a_{1}*\dots *a_{5}=a_{1}*(a_{2}*a_{3})*(a_{4}*a_{5})=a_{1}*(a_{2}*a_{3}*a_{4})*a_{5}.$
Cuando la operación sea además conmutativa, el producto multiple es el mismo para cualquier permutación (reordenamiento) de los índices.
En notación aditiva, la definición anterior es la usual definición de sumatoria
* $\sum _{i=1}^{n}a_{i}:={\begin{cases}a_{1}&{\text{si }}n=1\\(\sum _{i=1}^{k}a_{i})+a_{k+1}&{\text{si }}n=k+1.\end{cases}}$
Asociatividad. Cuando la operación es asociativa, se puede probar que independiente de la manera que agrupemos los elementos de la sucesión--siempre y cuando, mantengamos el orden de aparición---el producto siempre es el mismo.
    La demostración consiste en considerar particiones de [1,..,n] que preserven el orden y mostrar que el producto de $a_{1},\dots ,a_{n}$ es igual al
producto de los productos parciales.
    Por ejemplo, en el caso $n=7$ si tenemos 1,2|3,4,5|6,7. Entonces
deberíamos probar que $\prod _{i=1}^{3}b_{i}=\prod _{i=1}^{7}a_{i}$, donde $b_{1}=a_{1}*a_{2},\quad b_{2}=a_{3}*a_{4}*a_{5},\quad b_{3}=a_{6}*a7.$ Es decir que
$\underbrace {(a_{1}*a_{2})} _{b_{1}}*\underbrace {(a_{3}*a_{4}*a_{5})} _{b_{2}}*\underbrace {(a_{6}*a_{7})} _{b_{3}}=\prod _{i=1}^{7}a_{i}.$
    La demostración formal procede por inducción sobre n. Los lectores
experimentados con este tipo de demostraciones puede intentarlo por su cuenta. La demostración formal se puede hallar en las referencias bibliográficas, o.
También en la página Semigrupos, Monoides,... de WikiLibros, donde puede hallarse demostraciones tanto de la asociatividad como de la conmutatividad generalizadas.
Al igual que hay sumatorias de la forma $\sum _{i=5}^{20}a_{i}$, podemos definir productos multiples de sucesiones de elementos cuyos subíndices sean un subconjunto ordenado finito de $\mathbb {N}$. Dejaremos al cuidado de lectores y lectoras tales generalizaciones.
En cursos primeros de matemáticas, se define la potencia natural de un número $a$ como el producto de $a$ consigo mismo $n$ veces, denotado por $a^{n}$. Usando la definición de producto multiple definiremos $a^{n}$ como el producto de $n$ factores, todos ellos iguales a $a$.
Definición. (Potencia) Sean $*$ una operación en el conjunto $E$, $a$ un elemento de $E$, y $n$ un natural positivo. Definimos $a^{n}$ como el producto $a_{1}*a_{2}*\dots *a_{n}$, cuando $a_{1}=a_{2}=\cdots a_{n}=a$. Cuando la operación tiene neutro $e$, se define, además, $a^{0}:=e$
Observación. Sigue de la definición que $a^{1}=a$, $a^{k+1}=a^{k}*a$. Proposición ## (Propiedades de las Potencias)
Demostración Aprovechando la observación anterior, usaremos inducción sobre $n$ para las pruebas.
* ($n=1$) $a^{m+1}=a^{m}*a=a^{m}*a^{1}$. Suponiendo que $a^{m+k}=a^{m}*a^{k}$ $a^{m+(k+1)}=a^{(m+k)+1}=a^{m+k}*a=(a^{m}*a^{k})*a=a^{m}*(a^{k}*a)=a^{m}*a^{k+1}$.
* $(a^{m})^{1}=a^{m}=a^{m\cdot 1}$. Suponiendo que $(a^{m})^{k}=a^{mk}$. $(a^{m})^{k+1}=(a^{m})^{k}*a^{m}=a^{mk}*a^{m}=a^{mk+m}=a^{m(k+1)}$.
* $a*b^{1}=a*b=b*a=b^{1}*a$. Suponiendo que $a*b^{k}=b^{k}*a$, $a*b^{k+1}=a*(b^{k}*b)=(a*b^{k})*b=(b^{k}*a)*b=b^{k}*(a*b)=b^{k}*(b*a)=(b^{k}*b)*a=b^{k+1}*a$.
* $(a*b)^{1}=a*b=a^{1}b^{1}$. Suponiendo que $(a*b)^{k}=a^{k}*b^{k}$, $(a*b)^{k+1}=(a*b)^{k}*(a*b)=(a^{k}*b^{k})*(a*b)=a^{k}*(b^{k}*a)*b=a^{k}*(a*b^{k})*b=(a^{k}*a)*(b^{k}*b)=a^{k+1}b^{k+1}$.
* Ejercicio.

## Ejercicios del Capítulo

* Completar los espacios en blanco
** Una operación en un conjunto E es una función de _________ en _____.
** Un elemento neutro de una operación * de un conjunto E es un elemento e tal que para todo x en E se cumple que ______________ y ______________ .
** Un elemento x es un inverso de un elemento y, ssi, __________ y ________.
** Un conjunto S es cerrado respecto a una operación, cuando para cada par x, y de elementos de S se cumple que __________________
** Cuando el orden de los operandos no altera el resultado (producto) de una operación, la operación es ________________.
** Cuando la notación es aditiva, el neutro usualmente se simboliza por __.
** Cuando la notación es aditiva, llamamos _____________ ______________ al inverso.
* ¿Cuáles de las siguientes especificaciones determinan una operación en el conjunto de los naturales positivos, $\mathbb {N} ^{+}$? En caso afirmativo, determinar las propiedades de las operaciones y la existencia de neutro y de inversos.
** $a\#b:=\max\{x,y\}$.
** $a\wedge b:=$ máximo común divisor de a y b.
** $a\vee b:=$mínimo común divisor de a y b.
** $a\otimes b:={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}$.
* Construir la tabla de $\mathbb {Z} _{2}$ (enteros módulo 2) y $\mathbb {Z} _{3}$ respecto a la suma.
* Construir la tabla de $\mathbb {Z} _{5}$ (enteros módulo 5) respecto a la multiplicación. Mirando la tabla determinar el neutro y los elementos que tienen recíproco.
* Cada una de las siguientes tablas es una tabla de un operación asociativa. Examinando la tabla determinar si hay elementos neutros y cuáles elementos tienen inversos. ${\begin{array}{c|cccc}&e&a&b&c\\\hline e&e&a&b&c\\a&a&a&b&c\\b&b&b&b&c\\c&c&c&c&c\end{array}}\qquad {\begin{array}{c|cccc}&e&a&b&c\\\hline e&e&a&b&c\\a&a&b&c&e\\b&b&c&e&a\\c&c&e&a&b\end{array}}\qquad {\begin{array}{c|cccc}&e&a&b&c\\\hline e&e&a&b&c\\a&a&e&c&b\\b&b&c&e&a\\c&c&b&a&e\end{array}}$
* Escribir en forma precisa el procedimiento para determinar en una tabla de una operación
** ¿cuál es el elemento neutro?
** ¿cuáles elementos tienen inversos?
* ¿Cuáles de los conjuntos siguientes son cerrados respecto a la adición en los Enteros?
** El subconjunto formado solamente por el 0, $\{0\}$.
** Los múltiplos de 9.
** Los múltiplos de 23.
** Generalizar los ejercicios anteriores.
** $\{1,0,-1\}$.
** Los Enteros positivos.
** Los Primos.
* ¿Cuáles de los conjuntos siguientes son cerrados respecto a la multiplicación en los Enteros?
** Los números pares.
** Los números impares.
** Los múltiplos de 5.
** Los Enteros positivos.
** Los Enteros negativos.
* ¿Cuáles de los conjuntos siguientes son cerrados respecto a la adición en los Racionales?
** Los Racionales positivos.
** Los Racionales negativos.
** Los números de la forma $m/2^{n}$, donde m es un entero cualquiera y n es un número natural.
** Los números de la forma $m/10^{n}$ donde m es un entero positivo y n es natural.
* Probar que el conjunto $\{1,-1,i,-i\}$, donde $i^{2}=-1$, es cerrado respecto a la multiplicación en los Complejos. Construya la tabla correspondiente a esa operación,
* Sea A una parte cerrada respecto a una operación. Explicar por qué cuando operación es asociativa (resp.conmutativa), su restricción a A también lo será.
* Sea $\mathbb {Q} [{\sqrt {5}}]$ el conjunto formado por todos los números reales de la forma $p+q{\sqrt {5}}$ donde $p$ y $q$ son racionales. Probar que $\mathbb {Q} [{\sqrt {5}}]$ es cerrado respecto a la multiplicación en los Reales.
* Sea X un conjunto y sea $\mathbb {P} (X)$ el conjunto formado por todos los subconjuntos de X. Investigar si la unión e intersección de subconjuntos son operaciones y sus propiedades.
* Sea E un magma. Decimos que dos elementos a y b permutan o conmutan entre si, ssi, ab = ba. probar que si la operación es asociativa y a conmuta con b y c, entonces, a conmuta con b * c.
* ¿Cuántas operaciones diferentes se pueden definir en un conjunto con dos elementos?, ¿cuántas son conmutativas?

## Notas

* 1 2 Ver Apéndice sobre Funciones.
* ↑ (BB) Bourbaki
* ↑ (BB) Dubreil
* ↑ (BB) Jacobson

# 3. Las Estructuras Algebraicas
## Introducción

Cuando a un conjunto lo proveemos de una o más operaciones, obtenemos una estructura algebraica. En este capítulo, veremos algunas de las estructuras clásicas con una o dos operaciones.
Las estructuras se clasifican por la cantidad de operaciones que aparecen en la estructura, las propiedades de esas operaciones, la existencia de elementos o subconjuntos destacados y las relaciones (de orden u otras) entre los elementos del conjunto base.
Presentaremos diversos tipos de estructuras con ejemplos de cada uno de esos tipos. Resultará importante familiarizarse con esos ejemplos, ya que nos referiremos a la mayoría de ellos en capítulos posteriores.

### Estructuras Algebraicas

Una Estructura Algebraica o Sistema Algebraico es un lista de la forma <E, p$_1$, p$_2$, ...> donde E es un conjunto (llamado el conjunto base o portador de la estructura) y p$_1$, p$_2$, ... son los parámetros de la estructura. Dichos parámetros son usualmente operaciones en E, incluyendo operaciones externas (operaciones tales como la multiplicación por constante de una función, o escalar por matriz). También puede haber relaciones entre los elementos de E.
       Las operaciones pueden ser de varios tipos. Además de las operaciones vistas en el capítulo anterior, que son operaciones binarias porque tienen dos operandos, hay operaciones unarias, ternarias, etc.
El Álgebra Abstracta es el estudio de las diferentes estructuras---definiciones, propiedades, relaciones entre ellas, etc--- independiente de la naturaleza de los elementos del conjunto base. Como veremos en el texto, varios conjuntos diferentes sirven de conjunto base de una misma estructura. A medida que avancemos en el texto, discutiremos más detalles acerca de las estructuras. Una discusión más detallada puede hallarse en el apéndice sobre la Teoría de Estructuras Algebraicas.

## Estructuras con una Operación

Nuestro estudio empezará con estructuras muy simples ya que la lista de parámetros incluye solamente a una operación. Veremos las estructuras de magma, semigrupos, monoides y grupos.

### Definición de Magma

La estructura algebraica más simple que consideraremos, magma, fue introducida en el capítulo anterior. Recordaremos a continuación su definición.
Definición. (Magma) Llamamos magma a un par <E,*> donde E es un conjunto no vacío y $*$ es una operación en el conjunto.
Ejemplos.
* Los Enteros con la suma, $<\mathbb {Z} ,+>$, o con la multiplicación, $<\mathbb {Z} ,\cdot >$.
* Los Racionales, los Reales, los Complejos con respecto a la suma y también a la multiplicación.
* Los Enteros con la resta.
Sea <E,*> un magma. Cuando no haya ambigüedad acerca de la operación de un magma, podremos hablar simplemente del magma E. Otras veces, podremos hablar del magma E con la operación *.

### Definiciones de Semigrupo, Monoide y Grupo

Definición. (Semigrupo, Monoide, Grupos)
* Un semigrupo es un magma con operación asociativa.
* Un monoide es un semigrupo con elemento neutro.
* Un grupo es un monoide cuyos elementos son todos invertibles respecto a la operación.
* ↑ Terminología usada en programación con objetos
* ↑ Se puede cinemáticamente visualizar la línea anterior como la trayectoria de un móvil que pasa al tiempo $\alpha =0$ por $A$ y tiene velocidad constante dada por $D$.}
* ↑ Llamado, a veces, en textos básicos "producto escalar" o "producto punto".