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# Curso de alemán para avanzados con audio/Lección 034

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Fraktur lesen
Fraktur-Schrift (Wikipedia) (mit Alphabet in Fraktur)
    Aus Deinem letzten Brief klang ein starkes Heimweh heraus. Ich weiß das wohl zu
    würdigen. Es ist ja bei unserem innigen Familienleben ganz natürlich, daß Du gerade am
    Weihnachtsfest, das vor allen anderen Festen die Eltern und Kindern und alle Familienmitglieder
    besonders eng aneinanderschließen, von Sehnsucht nach der Heimat befallen wirst und wehmütigen Herzens an die schöne Zeit denken, als Du noch unter uns im Hause weiltest. Da-
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# Química Orgánica/Hidrocarburos alifáticos

Los hidrocarburos alifáticos son compuestos orgánicos constituidos por carbono e hidrógeno, en los cuales los átomos de carbono forman cadenas abiertas. Los hidrocarburos alifáticos de cadena abierta se clasifican en alcanos, alcenos o alquenos y alcinos o alquinos. Los primeros son los que presentan sólo enlaces sencillos entre átomos de carbono, mientras que los alquenos y alquinos presentan enlaces doble y triple respectivamente. Cuando la cadena alifática se cierra formando un anillo, se denomina hidrocarburo alicíclico, hidrocarburo alifático cíclico o cicloalcano.

## Nomenclatura

Los alcanos, alquenos y alquinos se distinguen porque en su nomenclatura utilizamos la terminación -ano -eno -ino respectivamente. La primera parte del nombre, el prefijo, nos indica el número de átomos de Carbono que constituyen la cadena. Por ejemplo Met-ano es un alcano de un sólo átomo, el prop-eno es un alqueno de tres átomos y el etino es un alquino de dos átomos. Los diez primeros prefijos son los siguientes:
| No de átomos de C | Prefijo |
| 1 | Met |
| 2 | Et |
| 3 | Prop |
| 4 | But |
| 5 | Pent |
| 6 | Hex |
| 7 | Hept |
| 8 | Oct |
| 9 | Non |
| 10 | Dec |
# Cursos/Ciclo Básico/2º año

* Unidad 1: Números
* Unidad 2: Ecuaciones e inecuaciones de primer grado
* Unidad 3: Expresiones algebraicas
* Unidad 4: Funciones
* Unidad 5: Geometría del triángulo
* Unidad 6: Funciones del plano en el plano
* Unidad 7: Geometría del espacio
Texto completo de este capítulo Esta página contiene todo el texto del capítulo del programa de «Segundo año año»

# Programa Ajuste 2010

* Contenidos Transversales.
** Número entero. Número racional. Los números reales. Expresiones decimales.
** Orden. Adición, sustracción, multiplicación, división, potenciación. Raíz cuadrada. Notación científica.
* Álgebra.
** Expresiones algebraicas.
*** Polinomios de una variable. Grado. Valor numérico.
*** Adición. Sustracción. Multiplicación.
** Funciones.
*** Funciones entre conjuntos numéricos.
*** Interpretación de gráficas.
*** Funciones cuya expresión analítica es de la forma f(x) = a x + b con a y b reales, definidas en diferentes dominios.
* Geometría.
** Geometría del triángulo.
*** Figuras convexas. Ejemplos. Intersección de figuras convexas.
*** Triángulos. Definición como figura convexa. Revisión de clasificación.
*** Relaciones entre los elementos del triángulo: entre ángulos, entre lados y entre lados y ángulos.
*** Líneas y puntos notables en el triángulo.
**** Mediatrices, bisectrices, medianas y alturas.
**** Circuncentro, incentro, baricentro y ortocentro.
*** Construcción de triángulos.
** Funciones del plano en el plano.
*** No isométricas: Homotecia.
*** Isométricas:
**** Traslación (cuadriláteros, paralelogramos).
**** Rotación.
** Geometría del Espacio.
*** Revisión de las posiciones relativas entre rectas, rectas y planos, y entre planos.
*** Paralelismo. Definiciones y estudio de algunas de sus propiedades.
*** Perpendicularidad.
**** Relaciones de perpendicularidad entre rectas, rectas y planos y entre planos.
**** Definiciones y estudio con demostración de algunas de sus propiedades.
*** Noción de ortogonalidad. Relaciones de ortogonalidad en el cubo y en pirámides regulares.
*** Representación del espacio en el plano.
**** Proyecciones.
**** Nociones elementales sobre la representación perspectiva caballera.
<noinclude>Texto completo de este capítulo Esta página contiene todo el texto del capítulo del programa de «Segundo año»
# Cursos/Ciclo Básico/3º año

* Unidad 0: Números, Polinomios, Ecuaciones e Inecuaciones
* Unidad 1: Polinomios
* Unidad 2: Ecuaciones. Sistema de ecuaciones
* Unidad 3: Inecuaciones. Sistema de Inecuaciones
* Unidad 4: Resolución de problemas sobre Triángulos y Paralelogramos
* Unidad 5: Teorema de Thales. Teorema de Pitágoras
* Unidad 6: Trigonometría
* Unidad 7: Geometría del Espacio
* Unidad 8: Introducción a la Estadística
* Unidad 9: Probabilidad
Texto completo de este capítulo Esta página contiene todo el texto del capítulo del programa de «Tercer año»
# Teoría musical/Armonía/Relativas menores
### Relativas Menores

A la escala construida a partir de la sexta nota de cualquiera de las escalas diatónicas se le denomina escala relativa menor, en el caso estudiado anteriormente diremos que la escala de "la" es la relativa menor de la escala diatónica de "do" y si tomamos una relativa menor y construimos una nueva escala a partir de la tercera nota obtendremos la relativa mayor. Debemos notar que las notas que conforman las escalas mayores o diatónicas y sus relativas menores son las mismas, es claro que para el caso inverso se cumple la misma regla.
Asimismo, podemos decir que la escala de lam es relativa a doM,
etc
Existe una manera sencilla de ubicar las relativas de una tonalidad en particular. Si estamos en una tonalidad mayor, ubicamos la nota fundamental y bajamos una tercera menor (1 tono y medio descendente) y así sabremos cuál es su relativa menor. Por otro lado, si estamos en una tonalidad menor, ubicamos la nota fundamental y subimos una tercera menor (1 tono y medio ascendente) y de esa manera encontraremos la relativa mayor.
Ejemplo: para seguir con los ejemplos anteriores y estamos en la escala de Sol Mayor, basta descender una tercera menor, esto nos da una nota de Mi entonces sabremos que la relativa menor de Sol Mayor es Mi menor.
# Teoría musical/Armonía/Triada Disminuida
#### Triada Disminuida

El acorde disminuido se construye con una 3ra menor, y una 5ta disminuida. En este acorde la tercera y la quinta se encuentran 1/2 tono por debajo de su posición en la tríada mayor.
o también
o lo que es lo mismo
Un acorde disminuido se representa colocando el signo ° , con la denominación dim o 5b . Es decir, coexisten las siguientes formas de cifrado: C°, Cdim, C5b. Los tres cifrados refieren al acorde tríada de DO disminuido.
# La familia - Die Familie

Parentescos:
| el padre | der Vater |
| la madre | die Mutter |
| los padres | die Eltern |
| el hermano | der Bruder |
| los hermanos (hombres) | die Brüder |
| la hermana | die Schwester |
| los hermanos (hombres y mujeres) | die Geschwister |
| el hijo | der Sohn |
| la hija | die Tochter |
| el marido | der Mann |
| la mujer | die Frau |
| el yerno | der Schwiegersohn |
| la nuera | die Schwiegertochter |
| el suegro | der Schwiegervater |
| la suegra | die Schwiegermutter |
| los suegros | die Schwiegereltern |
| el tío | der Onkel |
| la tía | die Tante |
| el abuelo | der Opa/Großvater |
| la abuela | die Oma/Großmutter |
| los abuelos | die Großeltern |
| el primo | der Vetter, der Cousin |
| la prima | die Kusine, die Cousine |
| el sobrino | der Neffe |
| la sobrina | die Nichte |
| el nieto | der Enkel |
| la nieta | die Enkelin |
| los nietos | die Enkelkinder |
| el cuñado | der Schwager |
| la cuñada | die Schwägerin |
| el concuñado | der Schwippschwager |
| la concuñada | die Schwippschwägerin |
# Alemán/Vocabulario/En el hogar

El plural está señalado entre paréntesis.
die Wand (Wände)= la pared
das Haus (Häuser) = la casa
die Tür (Türen) = la puerta
das Fenster (-) = la ventana
die Küche (Küchen) = la cocina
das Bad (Bäder) = el baño
# El restaurante - Das Restaurant

Ahora pondremos un diálogo entre dos clientes (Gast1 und Gast2) y un camarero (Kellner).
    Gast1: Wir möchten gern bestellen.
    Kellner: Bitte, was wünschen Sie?
    Gast1: Ich nehme eine Gemüsesuppe und einen Schweinebraten.
    Kellner: Und was möchten Sie trinken?
    Gast1: Ein Glas Weißwein, bitte.
    Kellner: Und Sie? Was bekommen Sie?
    Gast2: Ein Rindersteak, bitte. Aber keine Pommes Frites, ich möchte lieber Bratkartoffeln. Geht das?
    Kellner: Ja, natürlich! Und was möchten Sie trinken?
    Gast2: Einen Apfelsaft, bitte.
    Cliente1: Nos gustaría pedir.
    Camarero: Por favor, ¿qué quiere usted?
    Cliente1: Me gustaría una sopa de verdura y cerdo a la brasa.
    Camarero: ¿Y qué quiere de beber?
    Cliente1: Un vaso de vino blanco, por favor.
    Camarero: ¿Y usted? ¿Qué quiere?
    Cliente2: Un filete, por favor. Pero no quiero patatas fritas, prefiero patatas chips. ¿Puede ser?
    Camarero: Si, ¡por supuesto! ¿Y qué quiere de beber?
    Cliente2: Un zumo de manzana, por favor.
# Países y Regiones
## España - Spanien

| País | Land | Adjektiv | Einwohner |
| Andalucía | Andalusien | andalusisch | der Andalusier |
| Asturias | Asturien | asturisch | der Asturier |
| Cantabria | Kantabrien | kantabrisch | der Kantabrier |
| Castilla | Kastilien | kastilisch | der Kastilier |
| Cataluña | Katalonien | katalanisch | der Katalane |
| Galicia | Galicien | galicisch | der Galicier |
| País Vasco | das Baskenland | baskisch | der Baske |

## Alemania - Deutschland

| País | Land | Adjektiv | Einwohner |
| Baviera, Bavaria | Bayern | bayrisch, bayerisch | der Bayer |
| Brandeburgo | Brandenburg | brandenburgisch | der Brandenburger |
| Baja Sajonia | Niedersachsen | niedersächsisch | der Niedersachse |
| Frisia | Friesland | friesisch | der Friese |
| Hesse | Hessen | hessisch | der Hesse |
| Holsatia | Holstein | holsteinisch | der Holsteiner |
| Mecklemburgo | Mecklenburg | mecklenburgisch | der Mecklenburger |
| Palatinado | die Pfalz | pfälzisch | der Pfälzer |
| Renania | das Rheinland | rheinländisch | der Rheinländer |
| Sajonia | Sachsen | sächsisch | der Sachse |
| Suabia | Schwaben, das Schwabenland | schwäbisch | der Schwabe |
| Turingia | Thüringen | thüringisch | der Thüringer |

## Europa - Europa

| País | Land | Adjektiv | Einwohner |
| Alemania | Deutschland | deutsch | Deutscher, der Deutsche |
| Croacia | Kroatien | kroatisch | der Kroate |
| España | Spanien | spanisch | der Spanier |
| Finlandia | Finnland | finnisch | der Finne |
| Francia | Frankreich | französisch | der Franzose |
| Hungría | Ungarn | ungarisch | der Ungar |
| Irlanda | Irland | irisch | der Ire |
| Italia | Italien | italienisch | der Italiener |
| Letonia | Lettland | lettisch | der Letten |
| Lituania | Litauen | litauisch | der Litauer |
| Portugal | Portugal | portugiesisch | der Portugiese |
| Rumanía | Rumänien | rumänisch | der Rumäne |
| Rusia | Russland | russisch | der Russe |
| Suiza | die Schweiz | schweizerisch | der Schweizer |
| Turquía | die Türkei | türkisch | der Türke |
| Ucrania | die Ukraine | ukrainisch | der Ukrainer |

## África - Afrika

* Camerún - Kamerun
* Congo - Kongo
* Costa de Marfil - Elfenbeinküste
* Egipto - Ägypten
* Etiopía - Äthiopien
* Gambia - Gambia
* Kenia - Kenia
* Liberia - Liberia
* Libia - Libyen
* Madagascar - Madagaskar
* Marruecos - Marokko
* Mauricio - Mauritius
* Níger - Niger
* Nigeria - Nigeria
* Senegal - Senegal
* Somalia - Somalia
* Sudáfrica - Südafrika
* Túnez - Tunesien
# Números
## Números cardinales

En alemán, como en inglés, las fechas se expresan con números ordinales
* 0 null
* 1 eins
* 2 zwei
* 3 drei
* 4 vier
* 5 fünf
* 6 sechs
* 7 sieben
* 8 acht
* 9 neun
* 10 zehn
* 11 elf
* 12 zwölf
* 13 dreizehn
* 14 vierzehn
* 15 fünfzehn
* 16 sechzehn
* 17 siebzehn
* 18 achtzehn
* 19 neunzehn
* 20 zwanzig
* 21 einundzwanzig
* 22 zweiundzwanzig
* 23 dreiundzwanzig
* 24 vierundzwanzig
* 25 fünfundzwanzig
* 26 sechsundzwanzig
* 27 siebenundzwanzig
* 28 achtundzwanzig
* 29 neunundzwanzig
* 30 dreißig
* 35 fünfunddreißig
* 40 vierzig
* 50 fünfzig
* 60 sechzig
* 70 siebzig
* 80 achtzig
* 90 neunzig
* 100 (ein)hundert
* 101 (ein)hunderteins
* 110 (ein)hundertzehn
* 125 (ein)hundertfünfundzwanzig
* 200 zweihundert
* 300 dreihundert
* 1000 (ein)tausend
* 1526 eintausendfünfhundertsechsundzwanzig
* 1000000 eine Million

## Números ordinales

* 1. erste
* 2. zweite
* 3. dritte
* 4. vierte
* 5. fünfte
* 6. sechste
* 7. siebte
* 8. achte
* 9. neunte
* 10. zehnte
* 11. elfte
* 12. zwölfte
* 13. dreizehnte
* 14. vierzehnte
* 15. fünfzehnte
* 16. sechzehnte
* 17. siebzehnte
* 18. achtzehnte
* 19. neunzehnte
* 20. zwanzigste
* 21. einundzwanzigste
* 22. zweiundzwanzigste
* 23. dreiundzwanzigste
* 24. vierundzwanzigste
* 25. fünfundzwanzigste
* 26. sechsundzwanzigste
* 27. siebenundzwanzigste
* 28. achtundzwanzigste
* 29. neunundzwanzigste
* 30. dreißigste
* 31. einunddreißigste
* 40. vierzigste
* 50. fünfzigste
* 60. sechzigste
* 70. siebzigste
* 80. achtzigste
* 90. neunzigste
* 100. (ein)hundertste
* 1000. (ein)tausendste

## Enlaces externos

* Pronunciación de los números en alemán - audio (mp3)
# Las plantas
## Árboles

el árbol - der Baum < -[e]s , Bäume > :
| Castellano | Deutsch |
| el manzano | der Apfelbaum |
| el peral | der Birnbaum |
| el naranjo | der Orangenbaum |
| el olivo | der Olivenbaum |
| el alcornoque | die Korkeiche |
| el haya (fem.) | die Buche |
| el roble | die Eiche |
| el chopo | die Pappel |
| el olmo | die Ulme |
| la palmera | die Palme / der Palmenbaum |
| el pino | die Kiefer |
| el abeto | die Tanne / der Tannenbaum |

## Arbustos

el arbusto :
| Castellano | Deutsch |
| el rosal | der Rosenstock |

## Flores

la flor - die Blume < -- , -n > :
| Castellano | Deutsch |
| la rosa | die Rose |
| el clavel | die Nelke |
| la petunia | die Petunia |
| la lila | der Flieder |
| la orquídea | die Orchidee |
| la margarita | das Gänseblümchen |
| la pasiflora o flor de la pasión | die Passionsblume |

## Frutas

la fruta - das Obst < -[e]s , - > :
| Castellano | Deutsch |
| la naranja | die Orange |
| la manzana | der Apfel |
| el melocotón | der Pfirsich |
| la piña | die Ananas |
| la uva | die Traube |
| la granada | der Granatapfel |
| el melón | die Honigmelone / die Melone |
| la sandía | die Wassermelone / die Melone |
| el aguacate | die Avocado |
| el limón | die Zitrone |
| la lima | die Limette |
| la chirimoya | die Cherimoya |
| la nectarina | die Nektarine |
| el higo | die Feige |
| el plátano | die Banane |
| la cereza | die Kirsche |
| la ciruela | die Pflaume / die Zwetsche |
| el kiwi | die Kiwi |
| el caqui | die Kaki |
| la pera | die Birne |
| la fresa | die Erdbeere |
| la frambuesa | die Himbeere |
| la mora | die Brombeere |
| el arándano | die Heidelbeere |
| el coco | die Kokosnuss |
| el dátil | die Dattel |
| el pomelo | die Grapefruit |
| el lichi | die Litschi |
| el mango | die Mango |
| la guayaba | die Guave |
| la papaya | die Papaya |

## Verduras

las verduras - die Gemüse :
| Castellano | Deutsch |
| la verdura | das Gemüse |
| la sopa de verdura | die Gemüsesuppe |
| la sopa de cebolla | die Zwiebelsuppe |
| la patata | die Kartoffel |
| el pepino | die Salatgurke |
| el pepinillo | die (saure) Gurke |
| el tomate | die Tomate |
| la espinaca | der Spinat |
| la calabaza | der Kürbis |
| el calabacín | die Zucchini |
| la zanahoria | die Karotte |
| el arroz | der Reis |
| el guisante | die Erbse |
| la judía | die Bohne |
| la alubia | die Bohne |
| el haba (fem.) | dicke Bohne |
| la judía verde | grüne Bohne |
| la lenteja | die Linse |
| el garbanzo | die Kichererbse |
# La oficina - Das Büro

das Papier = el papel
der Bleistift = el lápiz
der Kugelschreiber = el bolígrafo
der Kuli = el boli (coloquial)
das Büro = la oficina
der Schreibtisch = el escritorio
der Computer = el computador/ordenador
die Schreibmaschine = la máquina de escribir

# Presentaciones - Sich Vorstellen

Ich heiẞe Hans Müller = Me llamo Hans Müller
Ich bin Verkaufsdirektor der firma Boge = Soy el director de ventas de Boge
Wie geht es Ihnen = Cómo está usted?
Angenehm = Mucho gusto
Es hat mich gefreut, Sie kennenzulernen = Ha sido un placer conocerle
# Alemán/Vocabulario/La casa - Das Haus

| Das Bett (cama) | Der Tisch (mesa) | Der Stuhl (silla) | Der Schrank (armario) | Das Regal (estantería) | Der Teppich (alfombra) |
| Der Spiegel (espejo) | Der Fernseher (televisión) | Das Sofa (sofá) | Der Sessel (butaca) | Der Hocker (taburete) | Die Matratze (colchón) |
| Die Truhe (cofre) | Der Vorhang (cortina) | Das Bild (cuadro) | Das Kofferradio (radio portátil) | Der Kühlschrank (nevera) | Der Plattenspieler (tocadiscos) |
| Die Waschmaschine (lavadora) | Die Lampe (lámpara) | Die Wand (pared) | Die Tür (puerta) | Das Fenster (ventana) |
# Wikichicos/Geometría/Capítulo 11. Poliedros: Pirámides

Las pirámides se nombran según el polígono de sus bases
Pirámides :
| Triangular | Cuadrada | Pentagonal | Hexagonal | Heptagonal | Octogonal | Eneagonal | Decagonal... |

### Elementos

De acuerdo con las denominaciones de la imagen del artículo:
* [B] Base: es el polígono que forma la pirámide y sobre la que se asienta.
* [C] Centro de la base: centro del polígono que forma la base.
* [v$_i$] Vértices de la base: los vértices del polígono que forma la base.
* [A] Vértice de la pirámide: también denominado ápice o cúspide, es el punto donde se encuentran los triángulos que forman los lados.
* [h] Altura: es el segmento perpendicular a la base trazado desde el vértice de la pirámide. También lo es su medida.
* [P] Apotema de la pirámide: es un segmento tendido perpendicularmente desde el vértice de la pirámide a un lado de la base. En una pirámide regular podemos decir que la apotema es la altura de cualquier triángulo de los que forman la pirámide.
* Arista lateral: es el segmento que une cada vértice de la base con el ápice de la pirámide.
* Cara lateral: cada uno de los triángulos que forman la pirámide.

## Tipos de pirámides
### Según la posición de la cúspide sobre la base

* Una pirámide recta es un tipo de pirámide en el que la altura coincide con el centro de la base.
* Una pirámide oblicua es una pirámide que no es recta, es decir la altura no coincide con el centro de la base
* Pirámide recta (la altura coincide con el centro)
* Pirámide oblicua (la altura no coincide con el centro)

### Según la forma de sus caras

* Una pirámide regular es una pirámide recta y que tiene por base un polígono regular.
* Una pirámide irregular es la tiene por base un polígono irregular.
* Pirámide regular (es recta y la base es un cuadrado)
* Pirámide irregular (no es recta y la base es un romboide)

## Área y volumen de una pirámide regular

El área lateral de una pirámide es la medida de la superficie de los triángulos que forman sus caras.
Para hallar el área lateral de una pirámide se multiplica el perímetro del polígono de la base por la mitad de la altura de los triángulos de sus caras.
* Área lateral: P$_b$ x h/2
* Área total: A$_l$ + A$_b$
* Volumen: A$_b$ x h/3
Donde P$_b$ es el perímetro de la base, h es la altura de los triángulos, A$_l$ es el área lateral y A$_b$ es el área de la base.
Área y el volumen de una pirámide
       Área lateral
$A_{l}={\frac {P_{b}\cdot h_{c}}{2}}$ $A_{l}={\frac {40\cdot 13}{2}}$ $A_{l}={\frac {520}{2}}$
       Área total
$A_{t}=A_{l}+A_{b}$ $A_{t}=260+A_{b}$ $A_{t}=260+l^{2}$ $A_{t}=260+100$
       Volumen
$V={\frac {A_{b}\cdot h_{p}}{3}}$ $V={\frac {100\cdot 12}{3}}$ $V={\frac {1200}{3}}=400\ cm^{3}$
# Wikichicos/Geometría/Capítulo 2. Actividades

* Traza un ángulo y señalar sus elementos
* Traza un ángulo obtuso y mide su amplitud en grados sexagesimales con un transportador
* Escribe debajo de cada ángulo su clasificación por su amplitud
4. Dibuja un ángulo convexo y otro cóncavo
5. Escribe cómo son estos ángulos según su posición:
# Wikichicos/Geometría/Capítulo 1A. Longitud, área y volumen
## Longitud

La longitud es la distancia que hay entre dos puntos.

## Unidades de longitud

* Milimetro (mm) 0,001 m
* Centimetro (cm) 0,01 m
* Decimetro (dm) 0,1 m
* Metro (m) 1 m
* Decametro (dam) 10 m
* Hectometro (hm) 100 m
* Kilometro (km) 1000 m
Para medir una longitud con la regla colocamos un extremo en el 0 y la medida la obtendremos en el otro extremo (fg.1)

## Área

El área es la medida de una "superficie" que está en un plano.

### Unidad de área

Al dar la medida de una superficie hay que especificar la unidad de medida en la que la medimos. Un área de 6 ... ¿pero 6 qué?
* Una longitud se expresa en una unidad de longitud: el metro (m), el centímetro (cm) o el milímetro (mm) etc.
* A una unidad de longitud corresponde una unidad de superficie, la unidad al cuadrado: el metro cuadrado (m$^2$), el centímetro cuadrado (cm$^2$), el milímetro cuadrado (mm$^2$)

### Calcular el área de una figura

El cálculo del área se realiza mediante la comparación del área de los cuadrados que forman la figura:
Si cortamos una figura en varias piezas, la superficie total es la suma de las áreas de cada pieza;
El área de un cuadrado de una unidad de lado es un cuadrado unidad.

#### Cuadrado y rectángulo

El rectángulo es un cuadrilátero que tiene cuatro ángulos rectos.
Imagina un rectángulo cuyos lados tienen de longitud 4 unidades y 7 unidades. (La unidad puede ser metro, centímetro ...) trazamos líneas paralelas para dividir el rectángulo en cuadrados de una unidad. Nos queda una especie de cuadrícula. Esto es posible porque los lados del rectángulo tienen números enteros como unidades de longitud. Esto da un conjunto de 4 columnas y 7 líneas. Por definición de la multiplicación, tenemos 4 × 7 = 28 cuadrados en el rectángulo.
Por lo tanto, el área del rectángulo es de 28 unidades cuadradas. El razonamiento sigue siendo válido reemplazando 4 y 7 por cualesquiera enteros. En general:
* Si el rectángulo tiene un lado de 3 cm y otro de 6 cm entonces el área A del rectángulo es igual a 6 × 3 = 18 cm$^2$ .
* Se debe tener cuidado para expresar las longitudes en la misma unidad.

## Volumen

El volumen es el espacio ocupado por un cuerpo. La unidad de medida de volumen es el metro cúbico (m$^3$), y también el centímetro cúbico (cm$^3$) y el milímetro cúbico (mm$^3$).
Para hallar el volumen de un cubo, formado por seis caras iguales, de multiplica el largo, por el ancho y por el alto. En este caso el volumen sería:
* $4cm*4cm*4cm$ = $64cm^{3}$