# Aritmética/Operaciones con Números Naturales/Resta de Números Naturales
## Definicion

Es la operación que representa la distancia o la eliminación de un elemento con respecto a otro, solamente se pueden usar dos elementos y se expresa cómo:
$a-b=c$
Los términos que intervienen en una resta se llaman: a, minuendo y b, sustraendo. Al resultado, c, lo llamamos diferencia o resta.

## Algoritmo de la resta

Hay varios algoritmos para la resta, y difieren en su idoneidad para diversas aplicaciones. Para el cálculo a mano, se adaptan un número de métodos; por ejemplo, al hacer el cambio, no se realiza la resta real, sino más bien sigue subiendo el cambio de cuentas.
Para cálculo en máquina, se prefiere el método de complementos, por lo que la resta se sustituye por una adición en una aritmética modular.

### La enseñanza de la resta las escuelas

Los métodos utilizados para enseñar la resta para la escuela primaria varían de país en país, y dentro de un país, están de moda diferentes métodos en diferentes momentos.
Algunas escuelas europeas emplean un método de sustracción llamado método austriaco, también conocido como el método de adiciones. En este método, no hay préstamo. En cambio, existen muletas (marcas para ayudar a la memoria), que varían de acuerdo al país.
Este método separa la sustracción como un proceso de sustracciones de un dígito por valor de posición. A partir de un dígito menos significativo, una sustracción de sustraendo:
    s$_j$ s$_{j−1}$ ... s$_1$
desde el minuendo
    m$_k$ m$_{k−1}$ ... m$_1$,
donde cada s$_i$ y m$_i$ es un dígito, procediendo a escribir abajo m$_1$ − s$_1$, m$_2$ − s$_2$, y así sucesivamente, siempre y cuando s$_i$ no exceda m$_i$. En caso contrario, m$_i$ se incrementa en 10 y algunos otros dígitos se modifica para corregir de este aumento. El método americano lo corrige intentando disminuir el dígito minuendo m$_{i+1}$ por uno (o continuar el préstamo hacia la izquierda hasta que no sea un dígito distinto de cero desde el que presta). El método europeo corrige incrementado el dígito sustraendo s$_{i+1}$ por uno.
Ejemplo: 704 − 512.
   ${\begin{array}{rrrr}&\color {Red}-1\\&C&D&U\\&7&0&4\\&5&1&2\\\hline &1&9&2\\\end{array}}{\begin{array}{l}{\color {Red}\longleftarrow {\rm {acarreo}}}\\\\\longleftarrow \;{\rm {Minuendo}}\\\longleftarrow \;{\rm {Sustraendo}}\\\longleftarrow {\rm {Resta\;o\;Diferencia}}\\\end{array}}$
El minuendo es 704, el sustraendo es 512. Los dígitos del minuendo son m$_3$ = 7, m$_2$ = 0 y m$_1$ = 4. Los dígitos sustraendo son s$_3$ = 5, s$_2$ = 1 y s$_1$ = 2. Comenzando en el lugar de las unidades, 4 es no menos de 2 por lo que se escribe 2 la diferencia en el lugar del resultado. En el lugar de las decenas, 0 es menor que 1, por lo que el 0 se incrementa en 10, y la diferencia con 1, que es 9, se escribe en lugar de las decenas. El método americano corrige el aumento de diez reduciendo el dígito en el lugar de la centena del minuendo en uno. Es decir, el 7 está tachado y se sustituye por un 6. Entonces, la resta procede en el lugar de las centenas, donde 6 no es inferior a 5, lo que la diferencia se reduce en el lugar del resultado de cien. Ahora hemos terminado, el resultado es 192.
El método austriaco no reduce la 7 a 6. Más bien aumenta el dígito de las centenas del sustraendo en uno. Se hace una pequeña marca cerca o por debajo de esta cifra (dependiendo de la escuela). A continuación, la restas procede por preguntar qué número cuando aumenta en 1, y 5, se añade a la misma, hace 7. La respuesta es 1, y se anota el resultado en el lugar de las centenas.
Hay una sutileza adicional en que el estudiante siempre emplea una tabla de sustracción mental en el método americano. Muchas veces, el método austriaco alienta al estudiante a usar mentalmente la tabla de sumar a la inversa. En el ejemplo anterior, en lugar de la adición de 1 a 5, consiguiendo 6, y resta este desde el 7, el estudiante se le pide que considere qué número, cuando aumenta en 1, y 5, se añade al mismo, haciendo 7.

### Resta con la mano
#### Método austriaco

Ejemplo:
* 1 + … = 3
* Se escribe la diferencia debajo de la línea.
* 9 + … = 5 ¡La suma requerida (5) es demasiado pequeña!
* Por lo tanto, añadimos 10 a la misma y ponemos un 1 bajo el siguiente lugar más alto en el sustraendo.
* 9 + … = 15 Ahora podemos ver la diferencia como antes.
* (4 + 1) + … = 7
* Se escribe la diferencia debajo de la línea.
* Se escribe la diferencia total.

#### Sustracción de izquierda a derecha

Ejemplo:
* 7 − 4 = 3 Este resultado solo se dibuja con lápiz aquí.
* Debido a que el siguiente dígito del minuendo es menor que el sustraendo, se resta uno de nuestro con lápiz-en-número y mentalmente se añade diez a la siguiente.
* 15 − 9 = 6
* Debido a que el siguiente dígito del minuendo no es menor que el sustraendo, se mantiene este número.
* 3 − 1 = 2

#### Método americano

En este método, cada dígito del sustraendo se sustrae del dígito por encima de él comenzando de derecha a izquierda. Si el número superior es demasiado pequeño para restar el número inferior del mismo, se le suma 10 al mismo; este 10 es 'prestado' desde el dígito superior hacia la izquierda, lo que se resta 1 de. Luego se pasa a restar el siguiente dígito y el préstamo como sea necesario, hasta que se haya restado cada dígito. Ejemplo:
* 3 − 1 = …
* Se escribe la diferencia debajo de la línea.
* 5 − 9 = … ¡El minuendo (5) es demasiado pequeño!
* Por lo tanto, se le suma 10 al mismo. El 10 es 'prestado' del dígito de la izquierda, el cual baja en 1.
* 15 − 9 = … Ahora la resta funciona, y escribimos la diferencia debajo de la línea.
* 6 − 4 = …
* Se escribe la diferencia debajo de la línea.
* La diferencia total.

#### Primero comercio

Una variante del método americano, donde todos los préstamos se realizan antes de que toda resta.
Ejemplo:
* 1 − 3 = no es posible. Añadimos un 10 al 1. Debido a que el 10 es "prestado" desde el 5 cercano, el 5 se baja en 1.
* 4 − 9 = no es posible. Así se procede como en el paso 1.
* Trabajando de derecha a izquierda: 11 − 3 = 8
* 14 − 9 = 5
* 6 − 4 = 2

#### Diferencias parciales

El método de las diferencias parciales se diferencia de otros métodos de sustracción verticales porque ningún préstamo o o acarreo se realiza. En su lugar, se usan unos lugares más o signos de menos en función de si el minuendo es mayor o menor que el sustraendo. La suma de las diferencias parciales es la diferencia total.
Ejemplo:
* El número menor se resta del mayor: 700 − 400 = 300 Debido a que el minuendo es mayor que el sustraendo, esta diferencia tiene un signo de más.
* El número menor se resta del mayor: 90 − 50 = 40 Debido a que el minuendo es menor que el sustraendo, esta diferencia tiene un signo de menos.
* El número menor se resta del mayor: 3 − 1 = 2 Debido a que el minuendo es mayor que el sustraendo, esta diferencia tiene un signo de más.
* + 300 − 40 + 2 = 262

#### Métodos no verticales
##### Contando para arriba

En lugar de encontrar diferencia dígito por dígito, puede contar los números entre el sustraendo y el minuendo.
Ejemplo:
1234 − 567 = puede ser encontrada en los siguientes pasos:
* 567 + 3 = 570
* 570 + 30 = 600
* 600 + 400 = 1000
* 1000 + 234 = 1234
Se suma el valor de cada paso para obtener la diferencia total: 3 + 30 + 400 + 234 = 667.

#### Rompiendo la resta

Otro método que es útil para el cálculo mental es dividir la resta en pequeños pasos.
Ejemplo:
1234 − 567 = puede ser resuelta de la siguiente manera:
* 1234 − 500 = 734
* 734 − 60 = 674
* 674 − 7 = 667

##### Igual cambio

El mismo método de cambio se basa en el hecho de que sumar o restar el mismo número del minuendo y sustraendo no cambia la respuesta. Se añade la cantidad necesaria para obtener ceros en el sustraendo.
Ejemplo:
«1234 − 567 =» puede ser resuelta de la siguiente manera:
* 1234 − 567 = 1237 − 570 = 1267 − 600 = 667

## Propiedades de la resta

    No es una operación interna
Esto es por que una operación donde el sustraendo es mayor al minuendo cómo lo es 2 − 5 es igual a -3 ,y este útlimo no pertenece al conjunto de los Números naturales.
    No es Conmutativa
5 − 2 ≠ 2 − 5
    Si se agrega el cero este es el elemento neutro
Pues cualquier número menos cero da cómo resultado el minuendo.
    Es Distributiva con la Multiplicación
$5\cdot (7.2-2.2)=5\cdot 7.2-5\cdot 2.2=36-11=25$
* ↑ Klapper 1916, p. 177-.
* ↑ David Eugene Smith (1913) (en inglés). The Teaching of Arithmetic. Ginn. pp. 77–. http://books.google.com/books?id=A7NJAAAAIAAJ&pg=PA77.
* ↑ The Many Ways of Arithmetic in UCSMP Everyday Mathematics Subtraction: Trade First
* ↑ Resta de Diferencias-Parciales (en inglés) ; Las muchas maneras de la aritmética en Matemáticas diarias UCSMP Sustracción: Diferencias parciales
* ↑ The Many Ways of Arithmetic in UCSMP Everyday Mathematics Subtraction: Counting Up
* ↑ The Many Ways of Arithmetic in UCSMP Everyday Mathematics Subtraction: Left to Right Subtraction