# Enunciado

El principio de Arquímedes afirma que un cuerpo total o parcialmente sumergido en un fluido estático, será empujado con una fuerza igual al peso del volumen de líquido desplazado por dicho objeto. De este modo se genera un empuje hidrostático sobre el cuerpo que actúa siempre hacia arriba a través del centro de gravedad del fluido desplazado.
    $\ F=Vg\Delta \rho$
donde Δρ es la diferencia de densidades ($\ \rho _{final}-\rho _{inicial}$); V el volumen del objeto; y g la aceleración de la gravedad.
Otra forma de demostrar el principio de Arquímedes es utilizando la relación Fuerza = Presión x Área
    $\ \Sigma F=p_{inf}A-p_{sup}A$
Donde $p_{inf}$ es la presión aplicada sobre la cara inferior del cuerpo, $p_{sup}$ es la presión aplicada sobre la cara superior y A es el area proyectada del cuerpo.
    $\ \Delta p=\rho g\Delta z$ Ecuación general de la Hidrostática
    $\ \Delta E=\rho gA\Delta z$
    $\ E=\rho gVol$
El peso del volumen de líquido desplazado por el cuerpo, el cual es igual al empuje, se calcula multiplicando el peso específico del líquido por el volumen del cuerpo sumergido, siendo este último igual al volumen de agua desplazado.
    $\ E=PV_{des}$
El empuje, es decir la fuerza que ejerce vertical y ascendentemente el líquido sobre un cuerpo cuando éste se halla sumergido, resulta ser también la diferencia entre el peso que tiene el cuerpo suspendido en el aire y el peso que tiene el mismo cuando se lo introduce en un líquido (a éste último se lo conoce como peso "aparente" del cuerpo pues su peso en el líquido disminuye "aparentemente" pero en realidad no es así porque la fuerza que ejerce la Tierra sobre el cuerpo y el instrumento de medición, por ejemplo, un dinamómetro, son los mismos).
Todo cuerpo que aplique al principio de Arquímedes pesará siempre menos que antes de aplicar.
    $\ E=P_{c}-P_{ac}$

# Demostración

Se utilizará el supuesto de líquido incompresible.
Consideremos las fuerzas ejercidas en un punto en la superficie del cuerpo por el fluido. La componente x del diferencial de la fuerza es
$dF_{x}=d{\vec {F}}{\hat {i}}$
integrando en toda la superficie
$F_{x}=\int _{S}d{\vec {F}}{\hat {i}}=\int _{S}{\frac {d{\vec {F}}}{dS}}dS{\hat {i}}$
y teniendo en cuenta que la fuerza ejercida por la presión del líquido se dirige en sentido opuesto a la normal de la superficie del cuerpo
$F_{x}=\int _{S}-p{\hat {i}}{\hat {n}}dS$
teniendo en cuenta el teorema de la divergencia w:Teorema de la divergencia
$F_{x}=-\int _{S}p{\hat {i}}{\hat {n}}dS=-\int _{V}{\boldsymbol {\nabla }}(p{\hat {i}})dV$
pero ${\boldsymbol {\nabla }}(p{\hat {i}})={\frac {\partial p}{\partial x}}$ y por tanto
$F_{x}=-\int _{V}{\frac {\partial p}{\partial x}}dV$
Ecuaciones similares se cumplen para las coordenadas y,z, lo que permite obtener la siguiente expresión de para el vector fuerza total.
${\vec {F}}=F_{x}{\hat {i}}+F_{y}{\hat {j}}+F_{z}{\hat {k}}=-{\hat {i}}\int _{V}{\frac {\partial p}{\partial x}}dV-{\hat {j}}\int _{V}{\frac {\partial p}{\partial y}}dV-{\hat {k}}\int _{V}{\frac {\partial p}{\partial z}}dV=-\int _{V}{\boldsymbol {\nabla }}pdV$
La presión no puede expresarse como $p=\rho g(h-z)$
donde $\rho$ es la densidad del líquido
$g$ la aceleración de la gravedad
$h$ altura de líquido desde el origen de coordenadas
El gradiente de la presión es entonces: ${\boldsymbol {\nabla }}p=-\rho g{\hat {k}}$ y
${\vec {F}}=-\int _{V}{\boldsymbol {\nabla }}pdV=\rho g{\hat {k}}V=m_{desp}g{\hat {k}}$
Luego la fuerza ejercida por el líquido es igual al peso del líquido desplazado y el sentido es el positivo del eje z (hacia arriba).