# Matemáticas/Álgebra Abstracta/Grupos/Grupos Generados
## Introducción

En este capítulo, generalizamos la noción de grupo cíclico, para considerar grupos generados por un subconjunto arbitrario. Aprovecharemos el capítulo para explorar más cuidadosamente los grupos diedrales y expandir nuestro conocimiento de los grupos simétricos. Veremos también como extender las operaciones entre elementos de un grupo a subconjuntos del grupo. Aprovecharemos lo anterior para ver un criterio para determinar si un grupo es producto de dos de sus subgrupos.
Sea $G$ un grupo y sea $S=\{s_{1},s_{2},\dots ,s_{k}\}.$ ¿Qué quiere decir que $S$ genera a $G$ ? Simplemente que cada elemento de $G$ es un producto de potencias enteras de elementos de $S.$ Por ejemplo, $s_{3}^{2}s_{5}^{-1}s_{1}s_{3}^{-2}.$ Inclusive, podríamos considerar conjuntos $S$ infinitos y formar productos, como arriba, de subconjuntos finitos de $S.$ La manera matemática de hacer lo anterior será expuesta a continuación.

## Subgrupos Generados por Subconjuntos

Sean $G$ un grupo, $S$ un subconjunto no vacío de $G$ y $H$ un subgrupo de $G.$ Cuando x, y son elementos de $S,$ tenemos que tanto $xy$ como $x^{-1}$ y $xy^{-1}$ son elementos de $H.$ Las relaciones anteriores se extienden a productos cualesquiera.
Lema 1. Sean $G$ un grupo, $S$ un subconjunto no vacío de $G$ y $H$ un subgrupo de $G.$ Sean $y_{1},y_{2},\dots ,y_{n}$ elementos de $G$ tales que $y_{i}$ está en $S$ o su inverso está en $S$ . Entonces, $y=y_{1}y_{2}\dots y_{n}$ está en $H.$
Lema 2. Sean $G$ un grupo, $S$ un subconjunto no vacío de $G.$ Sea $\langle S\rangle$ el conjunto formado por todos los productos de la forma
donde cada factor o su inverso están en $S.$ Entonces, $\langle S\rangle$ es un subgrupo de $G,$ que es un subgrupo de cualquier subgrupo $H$ que contenga a $S.$
(Convenio. Diremos que un producto con k=0 factores es el elemento neutro del grupo.)
Definición. (Subgrupo Generado) Sean $G$ un grupo y $S$ un subconjunto de $G.$ Decimos que un subgrupo $H$ de $G$ está generado por $S,$ cuando $H=\langle S\rangle$ . En tal caso, decimos que $S$ es un conjunto de generadores de $H.$
* En particular, un grupo es un grupo generado por un subconjunto $S,$ cuando lo sea como subgrupo de si mismo.
* Notemos que cuando $S$ contiene un solo elemento, $\langle S\rangle$ es el grupo cíclico generado por ese único elemento.
* Cuando la notación es aditiva, $\langle S\rangle$ está formado por todas las sumas cuyos sumandos son elementos de $S$ u opuestos aditivos de elementos de $S.$
* Decimos que el grupo $\langle S\rangle$ está finitamente generado, cuando $S$ sea un conjunto finito.
* De acuerdo al convenio indicado, el subgrupo generado por el conjunto vacío es el subgrupo trivial {e}.
Ejemplos.
* Los grupos cíclicos son grupos generados por un elemento.
* El conjunto de generadores no es único. Por ejemplo, el grupo cíclico ${\textsf {C}}_{4,a}$ es generado por $a$ pero también por $a^{3}$ ya que $(a^{3})^{2}=a^{6}=a^{2},(a^{3})^{3}=a^{9}=a,y(a^{3})^{4}=a^{12}=e.$
La siguiente proposición establece una caracterización de $\langle S\rangle$ en términos de subgrupos de $G.$
Proposición 1. (Intersección de Subgrupos) Sean $G$ un grupo y $S$ un subconjunto de $G$ Sea $H$ la intersección de todos los subgrupos de $G$ que contienen a $S.$ Entonces, $H=\langle S\rangle$ .
El siguiente ejemplo muestra como usamos lo anterior para asegurar la existencia de un subgrupo, aunque no tengamos una idea precisa de cuales son sus elementos.
Ejemplo.(Subgrupo de los Conmutadores).
Sea $G$ un grupo. Llamamos conmutador de los elementos $x,y$ al elemento denotado por $[x,y]$ y definido por $[x,y]:=xyx^{-1}y^{-1}$ . Llamamos subgrupo de los conmutadores o grupo derivado de $G$ al subgrupo generado por todos los conmutadores de $G.$ Lo simbolizamos por $D(G)$ .
Sean
Proposición 5. Cada permutación $\sigma$ de ${\textsf {A}}_{n}$ es un producto de 3-ciclos, cuando $n\geq 3.$ Es decir que los 3--ciclos generan al grupo ${\textsf {A}}_{n},$ $n\geq 3,$

### Ejercicios

* Hallar la descomposición en ciclos disjuntos de cada uno de los elementos de ${\textsf {S}}_{4}.$ Determinar además $n(\sigma )$ para cada uno de ellos.
* Expresar como producto de ciclos disjuntos a $\sigma ={\begin{pmatrix}1&2&3&4&5&6&7&8&9&10\\3&9&7&1&4&2&5&6&6&10\end{pmatrix}}$ . Hallar $\sigma ^{-1},$ $\sigma ^{2},$ $\sigma ^{3},$ $\sigma ^{5},$ $\sigma ^{2011}.$
* Verificar las relaciones siguientes. Conjeturar un resultado que establezca una relación entre transposiciones y transposiciones simples, probando de esta manera que las transposiciones simples generan al grupo simétrico.
** $(2\,4)=(2\,3)(3\,4)(2\,3).$
** $(2\,5)=(2\,3)(3\,4)(4\,5)(3\,4)(2\,3).$
** $(2\,6)=(2\,3)(3\,4)(4\,5)(5\,6)(4\,5)(3\,4)(2\,3).$
* Escribir cada una de las permutaciones siguientes como un producto de transposiciones simples. \smallskip\setcounter{ejt}{0} \begin{tabular}{lp{1.8in}ll} \nejt & $(27).$ &% \nejt & $(1432).$ \\ \nejt & $(123)(456).$ &% \nejt & $(123)(345).$ \\ \end{tabular}
* Sea $\sigma$ igual al producto de cinco transposiciones simples disjuntas. Hallar $n(\sigma )$
* Sea $\sigma =(12345)$ y sea $s=(34).$ Hallar $s\sigma s^{-1}.$
* Probar que el orden de ${\textsf {S}}_{6}$ es divisible por 8, pero no hay elemento de orden 8 en ese grupo.
* Listar todos los ordenes posibles para los elementos de ${\textsf {S}}_{6}$ y hallar elementos de cada uno de ese orden.
* Probar que ${\textsf {S}}_{12}$ no tiene un elemento de orden 13, pero sí tiene un elemento de orden 60.
* Sea $p$ un número primo menor que $n.$ Hallar la cantidad de subgrupos de orden $p$ de ${\textsf {S}}_{p}.$
* Probar las siguientes afirmaciones: Generalizar para $r$ --ciclos.
** La cantidad de $2$ --ciclos en ${\textsf {S}}_{n},$ $n\geq 2,$ es ${\dfrac {n(n-1)}{2}}={\binom {n}{2}}.$
** La cantidad de $3$ --ciclos en ${\textsf {S}}_{n},$ $n\geq 3,$ es $={\dfrac {n(n-1)(n-2)}{3}}.$
* Sea $G$ un grupo con generadores $\theta _{I},$ $1\leq i<n,$ tales que Entonces, $G\cong {\textsf {S}}_{n}.$
** $\theta _{i}^{2}=e,$
** $\theta _{i}\theta _{j}=\theta _{j}\theta _{i}$, cuando $j\neq i\pm 1,$
** $\theta _{i}\theta _{i+1}\theta _{i}=\theta _{i+1}\theta _{i}\theta _{i+1}.$

## Los Grupos de Simetrías

En esta sección, veremos algunos grupos que se presentan de forma natural cuando consideramos simetrías de figuras planas. Primeramente, precisaremos la nomenclatura que usa alremos. Nuestro universo es el plano, al que siempre consideraremos como el plano cartesiano $\mathbb {R} ^{2}$.
Llamamos transformación del plano a cualquier función del plano en si mismo. Las transformaciones biyectivas son los elementos del grupo simétrico del plano. Estamos interesados en una familia de transformaciones especiales: Las congruencias, que son aquellas transformaciones biyectivas que preservan la distancia entre puntos. Es decir, que la distancia entre las imágenes de un par de puntos es igual a la distancia entre los puntos. Es fácil ver que todas las congruencias determinan un grupo de transformaciones del plano, llamado el grupo euclídeo} del plano y que denotaremos como ${\textsf {Eucl}}_{2}$.
En efecto, si $f$ y $g$ son congruencias, se tiene que
* $d((f(g(P)),f(g(Q))=d(g(P),g(Q))=d(P,Q)$ y
* $d(f^{-1}(P),f^{-1}(Q))=d(f(f^{-1}(P)),f(f^{-1}(Q))=d(P,Q).$
Lo que prueba que efectivamente ${\textsf {Eucl}}_{2}$ es un grupo de transformaciones.
En textos de Geometría se prueba que las traslaciones, rotaciones y reflexiones son congruencias. Además, se verifica que las reflexiones generan el grupo Euclídeo. De hecho que cada congruencia es el producto de a lo más tres reflexiones. Ver o
Nomenclatura. Para las transformaciones de un conjunto cualquiera, tenemos la siguiente nomenclatura con respecto a su acción.
Sea $f$ una transformación de un conjunto $X.$
* Decimos que un punto $x$ de $X$ es fijo por $f,$ o que $f$ fija a $x,$ ssi, $f(x)=x.$
* Decimos que un subconjunto $Y$ es fijo puntualmente por $f,$ o que $f$ fija puntualmente a $Y,$ ssi, cada punto de $f$ es fijo por $f.$
* Decimos que un subconjunto $Y$ es fijo (globalmente) por $f,$ o que $f$ fija puntualmente a $Y,$ ssi, $f(y)=Y.$
Una rotación siempre deja a su centro fijo. Una reflexión (del plano) entorno al eje $X$ deja fijo puntualmente el eje $X$ y globalmente, pero no puntualmente, al eje $Y.$

### Las Simetrías

Llamamos figura (plana) a un subconjunto cualquiera del plano. Algunos \newline ejemplos de figuras son las líneas, los cuadrados, las circunferencias, los sectores circulares, etc.
Decimos que una congruencia $\sigma$ es una simetría de una figura </math> F</math> cuando la congruencia fija globalmente a la figura, o sea es tal que $\sigma (F)=F.$
Las simetrías de una figura forman un grupo, subgrupo del grupo Euclídeo, ya que (como es fácil verificar) la identidad es una simetría (de cualquier figura), la composición de dos simetrías de $F$ y la inversa de una simetrías de $F$ son simetrías. Usaremos la notación ${\textsf {Sim}}(F)$ para las simetrías de $F.$

### Las Simetrías del Cuadrado

Supongamos que tenemos un cuadrado hecho de un material rígido, donde por material rígido queremos decir que lo podemos manipular sin que se deforme. Supongamos, además, que:
* los vértices están identificados como $A,$ B, $C$ y $D,$ en ambas caras del cuadrado;
* el cuadrado está sobre una superficie fija y hemos marcado los bordes del cuadrado sobre esa superficie y copiado las etiquetas de los vértices;
* el cuadrado está sujeto a la superficie por un alfiler colocado en su centro, de manera que pueda rotar libremente alrededor del alfiler.
Observemos que si rotamos por un cuarto de vuelta, el cuadrado quedará coincidiendo con su imagen en la superficie y que si no fuera por las etiquetas de los vértices, no nos daríamos cuenta del cambio. Esto es lo que quiere decir dejar fija globalmente a la figura. Llamemos $R$ a la rotación por un cuarto de vuelta.
Si volvemos a rotar por $R,$ nuevamente llevaremos al cuadrado a coincidir con su imagen en la superficie. Simbolizaremos por $R^{2}=RR$ la doble rotación, por $R^{3}$ la triple rotación, etc. Notemos que si efectuamos $R^{4}$ (cuatro cuartos de vuelta), volveremos a la posición original, por lo que si no hubiéramos visto el cambio, diríamos que nada ha pasado, que todo se encuentra idénticamente igual a la posición original. Por esa razón escribiremos que $R^{4}=I,$ donde $I$ significa que las etiquetas en el cuadrado y en la superficie coinciden. Es decir que se trata de la identidad que fija todos los puntos de la figura.
En lenguaje de la teoría de grupos, $R$ tiene orden 4.
Es fácil ver que todas las posibles rotaciones distintas, que llevan al cuadrado sobre su imagen, son $I,$ $R,$ $R^{2}$ y $R^{3},$ y que aplicando consecutivamente dos de esas rotaciones, obtenemos una rotación de ese conjunto. Es decir que tenemos una operación en el conjunto de las rotaciones que corresponde a la composición de transformaciones (como funciones).
Como $R^{4}=I,$ tenemos que las rotaciones determinan un grupo cíclico.
¿Habrá otros movimientos del cuadrado que lo lleven a cubrir su imagen en la superficie?
La respuesta es afirmativa, pero tendremos que sacar el alfiler que lo sujetaba a la superficie.
Sea $U$ la reflexión entorno a la diagonal $BD.$ Es decir que envía $A$ en $C,$ $C$ en $A$ y los puntos $B$ y $D$ quedan fijos. Notemos que $U^{2}=I.$ Análogamente, tenemos la reflexión $V$ entorno a $AC$ que envía $B$ en $D$ y $D$ en $V.$ Hay dos reflexiones adicionales ($W_{1},$ $W_{2}$ ) que introduciremos más tarde. La figura muestra las simetrías que son reflexiones del cuadrado, identificadas por su eje. Introduciremos, a continuación, una notación que nos servirá para identificar las simetrías del cuadrado con permutaciones de los vértices.
Observemos que las simetrías quedan totalmente identificadas cuando damos sus efectos en los vértices. Por ejemplo la rotación $R$ es tal que
$A\mapsto B,\quad B\mapsto C,\quad C\mapsto D,\quad D\mapsto A.$
Por lo que podemos identificar a las simetrías del cuadrado con permutaciones del conjunto de vértices. Usando esta identificación, tenemos que
$I={\begin{pmatrix}A&B&C&D\\A&B&C&D\end{pmatrix}}\quad {\text{y}}\quad R={\begin{pmatrix}A&B&C&D\\B&C&D&A\end{pmatrix}}.$
De la misma manera, tenemos que las reflexiones introducidas tendrán como permutaciones a
$U={\begin{pmatrix}A&B&C&D\\C&B&A&D\end{pmatrix}}\quad {\text{y}}\quad V={\begin{pmatrix}A&B&C&D\\A&D&C&B\end{pmatrix}}.$
Notemos que escribiendo las simetrías anteriores como ciclos, tenemos que
$R=(A\,B\,C\,D),\quad U=(A\,C),\quad V=(B\,D).$
Usando la identificación resulta fácil computar los efectos de aplicar simetrías en forma consecutiva. Por ejemplo,
$RU=(A\,B\,C\,D)(A\,C)=(A\,D)(B\,C)$
Es decir que se intercambian $A$ con $D$ y $B$ con $C.$ Geométricamente, esta es la reflexión $W_{1}$ entorno a la línea que pasa por los puntos medios de los segmentos $AD$ y $BC.$ Tendremos otra reflexión, $W_{2}$ entorno a un línea que pasa por los puntos medios de $AB$ y $CD,$ es decir que
$W_{2}={\begin{pmatrix}A&B&C&D\\B&A&D&C\end{pmatrix}}=(A\,B)(C\,D).$
Computemos $URU.$
$URU=(A\,C)(A\,B\,C\,D)(A\,C)=(A\,D\,C\,B)=R^{-1}=R^{3}$
Observemos que $URU=R^{3}$ implica que $UR=R^{3}U.$
Sea $G$ el grupo generado por $R$ y $U.$ Como tenemos las relaciones $R^{3}=U^{2}=I$ y $RUR=R^{3},$ vemos que coincide con el grupo diedral ${\textsf {D}}_{8},$ poniendo $a=R$ y $b=U.$
Interrogante ¿Habrá otras simetrías del cuadrado?
Suponer que $\sigma$ es una simetría del cuadrado diferente de la identidad.
Cuando un vértice queda fijo por $\sigma ,$ el vértice opuesto también queda fijo, porque en caso contrario su imagen sería adyacente al vértice fijo y no permanecerían invariantes las distancias entre los vértices. Es decir que $\sigma$ es $U=(A\,C)$ o $V=(B\,D).$ Este razonamiento prueba también que no hay 3--ciclos que puedan ser simetrías del cuadrado.
Cuando un conjunto de dos vértices queda globalmente fijo, pero no puntualmente fijo, hay una transposición de los dos vértices. Cuando los vértices son adyacentes, sus opuestos deben intercambiarse ($(X\,Y)(X^{o}\,Y^{o})$ ). Si los vértices son opuestos, el otro par de vértices puede quedar fijo puntualmente o intercambiarse. Por lo que $\sigma$ es una de las siguientes simetrías.
$(A\,B)(C\,D),\quad (A\,D)(B\,C),\quad (A\,C)(B\,D)$
es decir $W_{2},$ $W_{1}$ y $R^{2}.$
Si una simetría diferente de la identidad deja fijo globalmente tres vértices, el cuarto vértice quedaría fijo; lo que vimos anteriormente que es imposible.
Finalmente consideremos el caso donde la simetría $\sigma$ no tiene subconjuntos con dos elementos fijo globalmente. Por lo que se representa por un 4--ciclo.
Entonces, $\sigma (A)\in \{B,C,D\}.$ Si $\sigma (A)=C$ entonces $\sigma (C)=A,$ ya que en caso contrario no se preservaría distancias. Luego, la imagen de $A$ es un vértice adyacente. El mismo razonamiento aplica a los otros vértices, por lo que concluimos que
$\sigma =(A\,B\,C\,D)=R\quad$
$\quad \sigma =(A\,D\,C\,B)=R^{-1}.$
Como conclusión final tenemos la siguiente proposición.
Proposición 6. El grupo diedral ${\textsf {D}}_{8}$ contiene a todas las simetrías del cuadrado.

### Representación Matricial de D$_8$

Supongamos que estamos trabajando en el plano cartesiano $\mathbb {R} ^{2}.$ Supongamos, además, que nuestro cuadrado tiene como vértices a $A=(1,0),$ $B=(0,1),$ $C=(-1,0)$ y $D=(0,-1).$
Sean $a={\begin{bmatrix}0&-1\\1&0\end{bmatrix}}$ y $b={\begin{bmatrix}1&0\\0&-1\end{bmatrix}}.$
* Las matrices $a$ y $b$ definen transformaciones (biyectivas) del plano, ya que sus determinantes no son nulos.
* Sea $P=(p_{1},p_{2}).$ Entonces, $a(P)={\begin{bmatrix}0&-1\\1&0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}p_{1}\\p_{2}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}-p_{2}\\p_{1}\end{bmatrix}}.$
* Sea $Q=(q_{1},q_{2}).$ Entonces, ${\begin{array}{rcl}d(a(P),a(Q))&=&{\sqrt {(-p_{2}-(-q_{2}))^{2}+(p_{1}-q_{1})^{2}}}\\&=&{\sqrt {(p_{1}-p_{2})^{2}+(q_{1}-q_{2})^{2}}}\\&=&d(P,Q).\end{array}}$ Es decir que $a$ es una congruencia del plano.
* Se tiene que $b({\begin{bmatrix}p_{1}\\p_{2}\end{bmatrix}})={\begin{bmatrix}p_{1}\\-p_{2}\end{bmatrix}}.$ De manera análoga a lo hecho con $a,$ se verifica que $b$ define una congruencia del plano.
* Por la parte b) se tiene que ${\begin{array}{rcl}a(A)&=&a(1,0)=(0,-1)=B.\\a(B)&=&a(0,1)=(-1,0)=C.\\a(C)&=&a(-1,0)=(0,-1)=D.\\a(D)&=&a(0,-1)=(1,0)=A\end{array}}$ Por lo tanto, $a$ es una simetría del cuadrado.
* Es fácil ver que $b(A)=A,$ $b(B)=D,$ $b(C)=A$ y $b(D)=B.$
* Observando los resultados anteriores tenemos que $a:A\mapsto B\mapsto C\mapsto D\mapsto A$ por lo que $A$ tiene orden 4. Por su parte $b$ tiene orden 2. Finalmente, tenemos que: ${\begin{array}{rcl}bab&=&{\begin{bmatrix}1&0\\0&-1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}0&-1\\1&0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1&-1\end{bmatrix}}\\&=&{\begin{bmatrix}0&1\\-1&0\end{bmatrix}}=a^{-1}=a^{3}.\end{array}}$
Es decir que $a,b$ generan un subgrupo de matrices isomorfo a $D_{8}.$

### Ejercicios

* Construir el grupo de simetrías de un triángulo equilátero y verificar que es isomorfo a ${\textsf {D}}_{6}.$
* Sea $G$ un grupo de transformaciones de un conjunto $X$ ( o sea , un subgrupo del grupo simétrico de $X.$
** Las transformaciones que fijan un punto $x$ determinan un subgrupo de $G.$
** Sea $G_{Y}$ las trasformaciones que fijan globalmente un subconjunto $Y$ de $X.$ Probar que $G_{Y}$ es un subgrupo de $G,$ que contiene como subgrupo a las transformaciones que fijan $Y$ puntualmente.
** Sea $x$ un punto fijo de $f,$ Entonces, $g(x)$ es un punto fijo de $gfg^{-1}.$
* Sean $\sigma ={\begin{bmatrix}\cos(2\pi /n)&-\operatorname {sen}(2\pi /n)\\\operatorname {sen}(2\pi /n&\cos(2\pi /n)\end{bmatrix}}$ y $\tau ={\begin{bmatrix}1&0\\0&-1\end{bmatrix}}.$ Sea ${\mathcal {P}}_{n}$ el polígono regular con $n$ vértices $A_{0}$ \ldots $A_{n-1},$ $n\geq 3$ ubicados en la circunferencia unitaria del plano cartesiano de modo que $A_{0}=(1,0).$ Probar las siguientes afirmaciones.
** $A_{i}=(\cos(2\pi /n,\operatorname {sen}(2\pi /n)$
** $\sigma$ y $\tau$ son congruencias del plano.
** $\sigma$ es una rotación por un ángulo que mide $2\pi /n$ radianes.
** $\tau$ es una reflexión entorno al eje $X.$
** El orden de $\sigma$ es $n$ y el orden de $\tau$ es 2.
** El grupo de matrices generados por $\sigma$ y $\tau$ es isomorfo al grupo diedral $2n.$
* (*) Construir el grupo de simetrías del tetraedro regular.
* (*) Construir el grupo de simetrías de un cubo.

## Operaciones con Subconjuntos

Introduciremos una notación que nos ayudará en el enunciado de teoremas y que, también, será útil en consideraciones posteriores.
Definición. (Operaciones con Subconjuntos) Sea $G$ un grupo y sean A, $B$ subconjuntos de $G.$
* Llamamos (conjunto) producto de $A$ con $B$ al conjunto denotado por $AB$ y que está formado por todos los productos $ab$ tales que $a$ está en $A$ y $b$ está en B. Cuando $A$ o $B$ consistan solamente de un elemento, escribiremos solamente el elemento; por ejemplo, si $A=\{a\}$ escribiremos $aB$ en lugar de ${a}B.$ Cuando la notación es aditiva, simbolizamos por $A+B,$ al conjunto formado por todas las sumas de un elemento de $A$ con un elemento de B.
* $A^{-1}$ denotará al conjunto formado por los inversos de los elementos de $A.$ Notación Aditiva: $-A$ (los opuestos aditivos de todos los elementos de $A.$
* En forma general, $A^{n}$ denotará el conjunto de las potencias enésimas de elementos de $A.$ Notación aditiva: $nA$ (todos los $n$ múltiplos de elementos de A.).
Observaciones. Sea $G$ un grupo.
* Decir que $F$ es una parte cerrada de $G,$ es equivalente a decir que $FF$ es un subconjunto de $F.$
* Análogamente, decir que $F$ es cerrado respecto a inversos, es equivalente a decir que $F^{-1}$ es un subconjunto de $F.$
* Decir que $H$ es un subgrupo de $G,$ es equivalente a decir que $H$ no es vacío y que $HH^{-1}$ es un subconjunto de $H.$
* Decir que $aS=Sa$ es equivalente a decir que para cada $s$ de $S$ hay un $s'$ en $S$ tal que $as=s'a,$
Ejemplo.
Sean $G=<\mathbb {Z} ,+>,$ $A=2\mathbb {Z}$ y $B=3\mathbb {Z} .$ ¿Qué es $A+B$ ? Notemos la notación aditiva usada ya que la operación del grupo es suma.
Advertencia.
Cuando $H$ y $K$ son subgrupos de $G,$ el conjunto $HK$ no es necesariamente un subgrupo de $G,$ ya que si $x_{1}y_{1}yx_{2}y_{2}$ son elementos de $HK,$ no necesariamente se tiene que $x_{1}y_{1}x_{2}y_{2}$ sea igual a un $xy$ de $HK.$
Ejemplo.
Sea $G={\textsf {S}}_{3}=\langle a,b:a^{3}=b^{2}=e,bab^{-1}=a^{2}\rangle .$ Sean $A=\langle ab\rangle =\{e,ab\}$ y $B=\langle b\rangle =\{e,b\}.$ Entonces, $AB=\{ee,eb,abe,abb\}=\{e,b,ab,a\}.$ Notemos que, en este ejemplo, $A$ y $B$ son subgrupos de $G,$ pero que $AB$ no lo es (¿por qué no es subgrupo?).
Sea $C=\{a,ab\},$ entonces $C^{-1}=\{a^{-1},(ab)^{-1}\}=\{a^{2},ba^{2}\}=\{a^{2},ab\}.$

### Ejercicios

* Sea $G=\mathbb {Z} _{36}.$ Hallar los elementos de los conjuntos indicados, cuando $A=\{9,10\},$ $B=\{5,18,20\}.$
** $A+B.$
** $-A.$
** $-B.$
* Sea $G={\textsf {D}}_{8}$ y sean $A=\{a,a^{2}\},$ $B=\{ab,a^{2}b\}.$ Hallar los conjuntos indicados. $AB,\quad BA,\quad aB,\quad bA,\quad ABBA,\quad A^{-1}.$
* Sean $A,B,C$ subconjuntos de un grupo cualquiera. Entonces, $A(BC)=(AB)C.$

## Subgrupo Generado por dos Subgrupos

En general, cuando $H$ y $K$ son subgrupos, el producto $HK$ no es un subgrupo, por lo que el subgrupo que contenga a dos subgrupos debe definirse otra manera.
Definición. ($H\vee K$ ) Sean $H$ y $K$ subgrupos de un grupo $G.$ Por $H\vee K$ denotaremos al subgrupo generado por la (re)unión de $H$ y $K.$
$H\vee K=\langle H,G\rangle :=\langle H\cup K\rangle .$
Sea $L=HvK.$ Claramente, $H$ y $K$ están contenidos en $L,$ por lo que $H$ y $K$ son subgrupos de $L.$ Sea $S$ cualquier subgrupo de $G$ que contenga a $H$ y a $K.$ Entonces, contendrá cualquier producto de elementos de $H$ y $K,$ por lo que contendrá a $L,$ probando que $L$ es el menor subgrupo que contiene a $H$ y $K.$
Proposición 6. ($H\vee K$ ) Sean $H,$ $K$ subgrupos de $G.$ Entonces, $H\vee K$ es el menor subgrupo (respecto a la inclusión) que contiene a ambos subgrupos.}}