# Matemáticas/Álgebra Abstracta/Operaciones
## Introducción

En este capítulo, iniciaremos nuestros estudios del Álgebra con las abstracciones de las operaciones usuales. Analizaremos, es decir, consideraremos en forma aislada cada una de las propiedades usuales, para ver claramente las consecuencias de las suposiciones de cada una de esas propiedades. Igualmente, para elementos o subconjuntos destacables.
Cuando estudiamos a los números enteros, nos encontramos con las operaciones de suma, resta y multiplicación. Dichas operaciones poseen varias propiedades interesantes. Hay, además, números y subconjuntos destacados respecto a esas operaciones. Igualmente, tenemos operaciones en los Racionales, Reales y Complejos.
Presentaremos nociones que son abstracciones de esas operaciones y de sus propiedades. Al analizar las propiedades de las operaciones y de elementos destacados como el 0, respecto a la suma, o el 1, respecto a la multiplicación, podremos ver las consecuencias lógicas de la existencia de esas propiedades y elementos.

## Definiciones y Ejemplos

La noción general de operación que veremos es una simple abstracción de las operaciones usuales en los conjuntos numéricos. Consideremos las operaciones de suma, resta y multiplicación. ¿Qué tienen en común esas operaciones? Las tres operaciones mencionadas hacen esencialmente lo siguiente: asocian a un par ordenado de números, otro número.
La diferencia entre esas operaciones reside en el valor asociado. Por ejemplo, al par (5, 3), la suma asocia el 8, mientras que resta asocia el 2 y la multiplicación el 15. Esa observación es la base para la definición abstracta de operación que daremos a continuación.
Definición. (Operación) Una operación en un conjunto $E$ es una función
    ${\begin{array}{rccl}\circledcirc :&E\times E&\longrightarrow &E\\&(a,b)&\longmapsto &c=a\circledcirc b\end{array}}$
Es decir, una operación en un conjunto $E$ es la asignación a cada par ordenado de elementos de E, de un único elemento de E. Cuando $\circledcirc$ es una operación, es costumbre denotar el valor de la función $\circledcirc$ en la pareja (x, y) como $x\circledcirc y$, en lugar de $\circledcirc (x,y)$, como es lo usual para las funciones.
Simbolizamos a las operaciones por símbolos tales como $+,-,\cdot ,\div$, etc. Usamos $\ast$ para indicar una operación cualquiera. Muchas veces, por simplicidad, escribiremos ab o $a\cdot b$ en lugar de a * b.
Ejemplo 1.1.
En el conjunto de los Enteros, $\mathbb {Z}$, tenemos tres operaciones: la suma, la resta y la multiplicación. En el conjunto de los (números) Racionales y los Reales tenemos también operaciones de suma, resta y multiplicación.
Ejemplo 1.2.
Sigue de la definición dada de operación que la resta NO es una operación en el conjunto de los números naturales, ya que no siempre es posible asignar un número natural a la resta de dos números naturales. Por ejemplo, 3 - 5 no es un número natural. Aunque lo anterior es diferente a lo usado cotidianamente, la diferencia permite hacer un trabajo lógicamente más simple
Como no hay división por cero en los Reales, la división tampoco es, de acuerdo a la definición dada una operación en dicho conjunto.
Ejemplo 1.3.
Sea $X$ un conjunto no vacío y consideremos el conjunto $F(X,\mathbb {R} )$ formado por todas las funciones de ese conjunto en los Reales. Para esas funciones se definen una suma, resta y multiplicación de la siguiente manera.
${\begin{matrix}f+g&:&x\mapsto f(x)+g(x),\\f-g&:&x\mapsto f(x)-g(x),\\f\cdot g&:&x\mapsto f(x)\cdot g(x).\end{matrix}}$
Este ejemplo aparece en cursos elementales con la restricción de que se supone que X es un subconjunto de los Reales.
Ejemplo 1.4.
Sea $X$ un conjunto no vacío y sea $F(X,X)$ el conjunto formado por todas las funciones de $X$ en si mismo. La composición de funciones $(f,g)\mapsto f\circ g$ es una operación en $F(X,X)$.
Ejemplo 1.5.
Sea $X$ un conjunto no vacío y sea $\mathbb {P} (X)$, el conjunto formado por todos los subconjuntos de $X$. La (re)unión e intersección de subconjuntos son operaciones en $\mathbb {P} (X).$.
Definición. (Magma) Llamamos magma a un conjunto E provisto de una operación.
Cuando queramos identificar al conjunto y a la operación, describiremos al magma como un pareja formada por el conjunto y la operación, $\langle E,*\rangle$. Por ejemplo, los Enteros con la suma ($\langle {\mathbb {Z} ,+}\rangle$) y los Enteros con la multiplicación ($\langle {\mathbb {Z} ,\cdot }\rangle$), son ejemplos diferentes de magmas.

### Propiedades Especiales

Las propiedades familiares de asociatividad, conmutatividad y distributividad de las operaciones numéricas se pueden definir para un operación cualquiera. Sin embargo, notemos de partida, que no siempre las operaciones tienen esas propiedades.
Definición. (Tipos de Operaciones) Decimos que una operación * en un conjunto $E$ es:
* Asociativa, si, para todo $a,b,c$ en $E$, se cumple que: $a\ast (b\ast c)=(a\ast b)\ast c.$
* Conmutativa, si, para todo $a,b$ en $E$, se cumple que: $a\ast b=b\ast a.$
* Distributiva respecto a otra operación $\oplus$, si, para todo a, b y c en $E$, se cumple que: $a\ast (b\oplus c)=(a\ast b)\oplus (a\ast c),{\text{ y }}(b\oplus c)*a=(b*a)\oplus (c*a).$
Ejemplo 1.6.
La suma y la multiplicación usual en los conjuntos numéricos son operaciones asociativas y conmutativas. Además, la multiplicación es distributiva respecto a la suma.
Significado de la Conmutatividad. Una operación es conmutativa, cuando el orden en que se realiza la operación no afecta al resultado. La resta, en los Enteros, no es conmutativa ya que, por ejemplo, tenemos que $5-3=2$ y $3-5=-2$, y $2\neq -2$.
Significado de la Asociatividad. La asociatividad nos sirve, cuando está presente, para evaluar el resultado de aplicar la operación a más de dos elementos. En tal situación, debemos agrupar elementos en grupos de a dos para poder evaluar (eso proviene de que nuestras operaciones son binarias, o sea que asocian a dos elementos un tercer elemento). La asociatividad nos dice que podemos agrupar como queramos para la evaluación, sin cambiar el orden de aparición, y el resultado no cambiará.
La resta no es asociativa, ya que 5 - (3 - 2) = 5 - 1 = 4, mientras que (5 - 3) - 2 = 2 - 2 = 0. Esto nos dice que la expresión 5 - 3 - 2 es ambigua, porque el valor de esa expresión dependerá de como agrupemos los operandos. Al contrario, $5+3+2$ no es ambigua, ya que $5+(3+2)=5+5=10$ y $(5+3)+2=8+2=10$.
En general, cuando una operación * es asociativa, para evaluar una expresión tal como $a*b*c$, lo podremos hacer agrupando como queramos, ya que ambas posibilidades, $a*(b*c)$ y $(a*b)*c$, producirán el mismo valor. Por esa razón, cuando la operación es asociativa, podemos eliminar los paréntesis. Ejemplo 1.7.
Definamos una operación $\oplus$ en los Enteros, por $a\oplus b:=a+b+ab$. Probaremos que $\oplus$ es asociativa y conmutativa.
Resolución. Sean a, b y c números enteros cualesquiera. Tenemos que
${\begin{array}{rcl}a\oplus (b\oplus c)&=&a\oplus (b+c+bc)=a+(b+c+bc)+a(b+c+bc)\\&=&a+b+c+bc+ab+ac+abc.\end{array}}$
Por su parte,
${\begin{array}{rcl}(a\oplus b)\oplus c&=&(a+b+ab)\oplus c=(a+b+ab)+c+(a+b+ab)c\\&=&a+b+ab+c+ac+bc+abc.\end{array}}$
Comparando las dos expansiones, concluimos que $a\oplus (b\oplus c)=(a\oplus b)\oplus c.$ Es decir que la operación $\oplus$ es asociativa.
Veamos ahora la conmutatividad. $a\oplus b=a+b+ab$ y $b\oplus a=b+a+ba.$ Luego, $a\oplus b=b\oplus a$, o sea que la operación $\oplus$ es conmutativa.
Ejemplo 1.8. Sea $\mathbb {Z} ^{2}$ el conjunto formado por todos los pares ordenados de números enteros. Definamos una operación $\oplus$ en $\mathbb {Z} ^{2}$ por
$(m,n)\oplus (p,q):=(ac+2bd,ad+bc).$
* Evaluate $(3,-1)\oplus (5,2)$. $(3,-1)\oplus (5,2)=(3*5+2*(-1)*2,3*2+(-1)*5)=(11,1).$
* Verificar que $\oplus$ is asociativa. Sean $\alpha =(a_{1},a_{2})$, $\beta =(b_{1},b_{2})$ y $\gamma =(c_{1},c_{2})$ tres elementos cualesquiera de $\mathbb {Z} ^{2}$. ${\begin{array}{rcl}\alpha +(\beta +\gamma )&=&(a_{1},a_{2})+((b_{1},b_{2})+(c_{1},c_{2}))\\&=&(a_{1},a_{2})+(b_{1}c_{1}+2b_{2}c_{2},b_{1}c_{2}+b_{2}c_{1})\\&=&(a_{1}(b_{1}c_{1}+2b_{2}c_{2})+2a_{2}(b_{1}c_{2}+b_{2}c_{1}),\\&&\qquad a_{1}(b_{1}c_{2}+b_{2}c_{1})+a_{2}(b_{1}c_{1}+2b_{2}c_{2}))\\&=&(a_{1}b_{1}c_{1}+2a_{1}b_{2}c_{2}+2a_{2}b_{1}c_{2}+2a_{2}b_{2}c_{1},\\&&\qquad a_{1}b_{1}c_{2}+a_{1}b_{2}c_{1}+2a_{2}b_{1}c_{1}+2a_{2}b_{2}c_{2}).\end{array}}$ ${\begin{array}{rcl}(\alpha +\beta )+\gamma &=&((a_{1},a_{2})+(b_{1},b_{2}))+(c_{1},c_{2})\\&=&(a_{1}b_{1}+2a_{2}b_{2},a_{1}b_{2}+a_{2}b_{1})+(c_{1},c_{2})\\&=&((a_{1}b_{1}+2a_{2}b_{2})c_{1}+2(a_{1}b_{2}+a_{2}b_{1})c_{2},\\&&\qquad (a_{1}b_{1}+2a_{2}b_{2})c_{2}+(a_{1}b_{2}+a_{2}b_{1})c_{1})\\&=&(a_{1}b_{1}c_{1}+2a_{2}b_{2}c_{1}+2a_{1}b_{2}c_{2}+2a_{2}b_{1}c_{2},\\&&\qquad a_{1}b_{1}c_{2}+2a_{2}b_{2}c_{2}+a_{1}b_{2}c_{1}+a_{2}b_{1}c_{1})\\\end{array}}$ Lo que prueba la asociatividad.
* Veamos ahora que $\oplus$ es conmutativa. ${\begin{array}{rcl}\alpha +\beta &:=&(a_{1},a_{2})\oplus (a_{2},b_{2})=(a_{1}+b_{1},a_{2}+b_{2})\\\beta +\alpha &:=&(a_{2},b_{2})\oplus (a_{1},b_{1})=(a_{2}+b_{2},a_{1}+b_{1})\end{array}}$ Como la suma de enteros es conmutativa, los pares ordenados a la derecha son iguales, lo que prueba la conmutatividad.

#### Ejercicios

* Dar tres ejemplos de operaciones asociativas.
* Dar dos ejemplos de operaciones no asociativas.
* Definir la operación $\odot$ en los Enteros por $a\odot b:=a+b+1$. Evaluar $3\odot 5$, $2\odot 0$, $-2\odot 1$. ¿Es $\odot$ asociativa? ¿conmutativa?
* Suponer que la operación $*$ no es asociativa. Entonces, la expresión $a*b*c$ tiene dos interpretaciones posibles. ¿Cuántas interpretaciones posibles tiene la expresión $a*b*c*d$?
* Suponer que la operación $*$ es asociativa. Verificar que todas las interpretaciones posibles de la expresión $a*b*c*d$ (ver el ejercicio anterior) producen el mismo valor.

## Los Elementos Destacados

Algunos elementos de un magma tienen propiedades especiales respecto a la operación. Veremos, en esta sección, las nociones de elementos neutros, invertibles y cancelables, que son abstracciones de ciertas propiedades numéricas.

### Elementos Neutros

En muchas situaciones, hallamos elementos de un conjunto que tienen propiedades especiales respecto a una operación. Pensemos, por ejemplo, en el rol del 0 en la suma o en el rol del 1 en la multiplicación.
¿Qué tiene en común esos elementos? Simplemente, que cuando se operan con cualquier otro elemento, siempre producen el otro elemento. Es decir, que para todo número $a$ se cumple que $a+0=0+a=a$ y que $a\cdot 1=1\cdot a=a$ En forma abstracta, llamaremos neutro a un elemento con esa propiedad.
Definición. (Elemento Neutro) Sea E un magma con operación *. Decimos que un elemento $e$ de $E$ es un neutro respecto a la operación *, si, para todo $a\in E$ se cumple que
$a*e=a=e*a.$
Cuando haya un neutro para una operación, diremos que la operación tiene o admite un neutro.
Ejemplo 2.1.
En los conjuntos numéricos, el 0 es un neutro para la suma y el 1 es un neutro para la multiplicación.
Siempre que tenemos elementos destacados, cabe preguntarse ¿cuántos elementos de ese tipo hay? Los ejemplos del 0 y del 1, nos hacen sospechar que tales elementos son únicos. Lo que probaremos que es válido de forma general, o sea, para una operación cualquiera.
Supongamos entonces que $e$ y $e^{\prime }$ fueran ambos neutros para una misma operación $\ast$. Para obtener una respuesta, calcularemos de dos maneras diferentes a $e*e'$.
Como $e'$ es neutro, tenemos que $e*e'=e$. Pero como $e$ es neutro, tenemos que $e*e'=e'$. Luego $e=e'$.
Hemos así probado, nuestro primer resultado abstracto.
Proposición 1. (Unicidad de Neutros) Cuando una operación tiene un neutro, dicho neutro es único.
A menos que se diga lo contrario, $\mathbf {e}$ será la notación preferida para denotar a un elemento neutro cualquiera.
Ejemplo.
Consideremos la operación $\oplus$ en los Enteros definida por $a\oplus b=a+b+ab$. Vimos en el ejemplo 1.7 que esta operación era asociativa y conmutativa. Aquí, trataremos de determinar si tiene o no un elemento neutro.
Supongamos que tuviera elemento neutro, digamos $e$ Entonces, para cualquier número entero $a$ tendríamos que
${\begin{array}{lrcl}&a\oplus e&=&a\\\implies &a+e+ae&=&a\\\implies &e(1+a)&=&0\\\implies &e&=&0.\end{array}}$
Donde hemos supuesto que $1+a\neq 0$ Verifiquemos
$a\oplus 0=a+0+a0=a.$
Es decir que 0 es efectivamente un neutro para la operación $\oplus$

### Los Elementos Invertibles

Cuando trabajamos con la suma de los números enteros, tenemos asociado a cada número $a$ el número $-a$ que es un número con la propiedad de que sumado con el original nos da el neutro. Los recíprocos tienen propiedades análogas respecto a la multiplicación de los números reales, ya que multiplicados con el número original producen el neutro multiplicativo 1. Generalizaremos lo anterior en la siguiente definición.
Definición. (Elemento Invertible) Sea $<E,*>$ un magma con neutro $e$ Decimos que un elemento $a$ de $E$ es invertible (respecto a la operación), ssi, hay un elemento $b$, al que llamamos un inverso de $a$, y que es tal que
$a*b=b*a=e.$
Observación. El neutro es su propio inverso.
    Sea * una operación en el conjunto $E$ con neutro $e$. Como $e*e=e$ tenemos que el elemento neutro es invertible y que es su
propio inverso.
Ejemplo 2.2.
Consideremos la suma en el conjunto de los números naturales positivos. La operación es asociativa y conmutativa, pero no tiene neutro, ya que el 0 no está en ese conjunto.
Ejemplo 2.3 (Los Enteros).
La Suma en los Enteros tiene neutro 0 y cada elemento $a$ tiene un inverso respecto a la suma, $(-a)$, ya que $a+(-a)=(-a)+a=0$
La Multiplicación tiene neutro 1 y los únicos elementos invertibles son $1$ y $-1$---ya que $1$ es el neutro y $(-1)(-1)=1$ .
Probaremos, a continuación, que cuando la operación sea asociativa, cada elemento invertible tiene exactamente un inverso.
Proposición 2. (Unicidad de los Inversos) Cuando la operación es asociativa, cada elemento invertible tiene exactamente un inverso.
La proposición tiene la siguiente interesante consecuencia. Corolario 2.1. Cuando para cierta operación con neutro, hay un elemento que tiene al menos dos inversos diferentes, la operación no puede ser asociativa.
    Como cada elemento invertible tiene un único inverso, hablaremos de el
inverso del elemento. Cuando $a$ tenga inverso, simbolizaremos
dicho inverso por $a^{-1}.$
La proposición anterior tiene los siguientes importantes corolarios
Corolario 2.2. Sea * una operación asociativa en un conjunto E.
* Sean $a,b$ elementos invertibles, entonces su producto $a*b$ también es invertible y se cumple que $(a*b)^{-1}=b^{-1}*a^{-1}.$ (Notemos el cambio de orden en el lado derecho) Es decir que el inverso de un producto de dos elementos invertibles es invertible y su inverso es el producto de los inversos de los factores pero con el orden cambiado.
Interrogante. ¿Por qué fue necesario suponer asociatividad en la proposición anterior?
Ejemplo 2.4.
Recordemos la operación $\oplus$ definida en los Enteros por $a\oplus ~b=a+ab+ab$ Vimos anteriormente que esa operación es asociativa, conmutativa y tiene neutro 0. Nos preguntamos ahora, ¿cuáles elementos tienen inverso respecto a esa operación?
Resolución. Supongamos que $a$ es un número entero con inverso $x$ respecto a $\oplus$ Entonces,
${\begin{array}{lrcl}&a\oplus x&=&0\\\implies &a+x+ax&=&0\\\implies &x(1+a)&=&-a\end{array}}$
Lo que prueba que $a$ tendrá inverso, ssi, podemos dividir por $1+a$ en los Enteros. Es decir, ssi, $1+a=1$ o $1+a=-1$ Por lo que $a=0$ o $a=-2$ son los únicos posibles elementos invertibles, y sus inversos serían, respectivamente, 0 y $-2$ Como $0$ es el neutro, sabíamos que tenía inverso y que era él mismo. Verifiquemos el caso de $-2,$
$(-2)\oplus (-2)=(-2)+(-2)+(-2)(-2)=0.$
Luego, los únicos elementos invertibles respecto a $\oplus$ son el neutro y $-2$.

### Los Elementos Cancelables

En los números Enteros, la relación $3x=3y$ implica que $x=y$, a pesar de que no hay división por 3 en los enteros. Esa cancelación del 3 se generaliza en la siguiente definición, que habla de cancelación por la izquierda o derecha, ya que las operaciones no son necesariamente conmutativas.
$a$
$a*x=a*y\implies x=y.$
Decimos que un elemento a es cancelable por la derecha, ssi, para todo x, y de E, se cumple que
$x*a=y*a\implies x=y.$
Decimos simplemente que un elemento es cancelable, cuando lo sea tanto por la derecha como por la izquierda.
Ejemplo 2.5.
En los Enteros, con respecto a la multiplicación, todos los elementos no nulos son cancelables.
Probaremos, a continuación, que cuando un elemento es invertible, ese elemento es cancelable. El recíproco de lo anterior no es cierto como lo muestra el ejemplo de la multiplicación en los Enteros.
Proposición 3. (Invertibles son cancelables) Cada elemento invertible respecto a una operación asociativa es cancelable.
Ejemplo 2.6.
Volvemos a examinar la operación $\oplus$ del ejemplo 1.8, para determinar elementos cancelables respecto a esa operación.
Resolución: Sean $a$, $x$, $y$ enteros cualesquiera.
${\begin{array}{lrcl}&a\oplus x&=&a\oplus y\\\implies &a+x+ax&=&a+y+ay\\\implies &(1+a)x&=&(1+a)y.\end{array}}$
Lo que implica que $x=y$ cuando
$1+a\neq 0$ Es decir que todos los elementos diferentes de $-1$ son cancelables.

### Convenios de notación

Podemos simbolizar una operación de muchas maneras diferentes, pero hay algunas maneras que usamos más frecuentemente. Por ejemplo, las sumas se simbolizan usando $+$ o algo parecido, $\oplus$. Cuando usemos $+$ hablaremos de la notación aditiva. Usaremos preferentemente la notación aditiva cuando la operación sea conmutativa. Por su parte, la multiplicación se denota por $\cdot$ o nada y diremos que estamos usando la notación multiplicativa. Cuando queramos insistir en la abstracción, usaremos la notación $\ast$ La siguiente tabla resume los convenios notacionales acerca de esas notaciones.
| Si la operación es | + | $\cdot$ | * |
| la notación es | Aditiva | Multiplicativa | General |
| el neutro es | 0 | 1 | e |
| el inverso es | -a | $a^{-1}$ | $a^{-1}$ |
| | opuesto aditivo | recíproco | inverso |
Observaciones.
* (Terminología) Algunos autores llaman leyes de composición a las operaciones, elementos simetrizables a los invertibles.
* Nuestra definición de operación es aquella de una operación binaria porque asocia a dos elementos del conjunto un valor. Como esas será, en la práctica, la única forma de operación que usaremos, hemos omitido el apellido. Sin embargo podemos definir operaciones con otra cantidad de argumentos. Véase, por ejemplo, el apéndice sobre la Teoría de Estructuras Algebraicas.
* Nuestra definición de operación es aquella de una operación interna. Hay otra clase operaciones llamadas externas en un conjunto E, que son funciones $A\times E\rightarrow E$, donde A usualmente tiene también una estructura algebraica. El ejemplo típico de operación externa es el producto de un escalar (número) por una matriz, o de una constante (número) por una función.

### Ejemplo: F(X,X)

Sea X un conjunto no vacío. Simbolizamos por $F(X,X)$ al conjunto formado por todas las funciones del conjunto X en si mismo. La composición de funciones es una operación en ese conjunto.
Este es un ejemplo importante, que reaparecerá varias veces en el futuro. Ilustra un conjunto con una operación donde hay elementos cancelables que no son invertibles o que son cancelables por la izquierda, pero no por la derecha, etc.
* La composición de funciones define una operación asociativa en F(X,X).
* La función identidad $1_{X}$ que envía cada elemento de X en si mismo, es un neutro para la composición.
En F(X,X) tenemos funciones inyectivas, suprayectivas, y biyectivas. Se sabe por resultados generales que:
* Las funciones inyectivas son cancelables por la izquierda.
    Recordemos que una función $f:X\rightarrow Y$ es inyectiva, ssi, para todo $x$, $y$,\\ $f(x)=f(y)$ implica que $x=y$. Supongamos que $f,g,h:X\rightarrow X$ son 0funciones tales que $f\circ g=f\circ h$ y que $f$ es inyectiva. Entonces, para todo $x$, $y$ en $X$
* Las funciones suprayectivas son cancelables por la derecha.
    Recordemos que una función $f:X\rightarrow Y$ es suprayectiva, ssi, para todo $y$ en$Y$, hay un $x$ en $X$ tal que$f(x)=y$ . Supongamos que $f,g,h:X\rightarrow X$ son funciones tales que $g\circ f=h\circ f$ y que $f$ es suprayectiva. Entonces, para todo $y$ en $X$ hay un $x$ en$X$ tal que $y=f(x)$.
* Las funciones biyectivas, por ser inyectivas y suprayectivas son cancelables por izquierda y derecha. De hecho, son invertibles.

### Ejemplo. Los Enteros Módulo m

Sea $m$ un número entero positivo. Llamamos enteros módulo $m$ al conjunto denotado por $\mathbb {Z} _{m}$ y que está formado por los enteros, pero sujeto a la condición $m=0$. Las operaciones de suma, resta y multiplicación son aquellas de los enteros son aquellas de los enteros, pero computadas usando la condición indicada.
Por ejemplo, cuando $m=5$, se tiene que $2+2=4$, $2+3=5=0$, $2+6=5+1=1$, etc. Además, se tiene que $12=7=2$, ya que $12=7+5=7=5+2=2$.
Sea $x$ un entero cualquiera, dividiendo por $m$ se obtiene un cociente $q$ y un residuo $r$, $0\leq r<m$, tal que $x=qm+r.$
Por lo que en $\mathbb {Z} _{m}=r$. Es decir que en $\mathbb {Z} _{m}$ hay solamente tantos elementos como residuos en la división por $m$, o sea $0,1,2,\dots ,m-1$.
Las operaciones de $\mathbb {Z} _{m}$, por ser las operaciones en los enteros, son asociativas, conmutativas, y la multiplicación es distributiva respecto a la suma
Notemos, que $x+(m-x)=m=0$, lo que implica que cada elemento $x$ de $\mathbb {Z} _{m}$ tiene un opuesto aditivo.
En $\mathbb {Z} _{5}$, el elemento 2 tiene inverso multiplicativo 3, ya que $2\cdot 3=6=1$. Como se verá en ejemplos y ejercicios posteriores, no siempre elementos de $\mathbb {Z} _{m}$ tienen recíprocos. Por ejemplo en $Z_{4}$, $2*0=0$, $2*1=2$, $2*2=0$, $2*3=2$, lo que muestra que $2$ no tiene inverso multiplicativo.

### Ejercicios

* Sea $\mathbb {Q} [{\sqrt {5}}]$ el conjunto de números reales de la forma $p+q{\sqrt {5}}$, donde $p$ y $q$ son números racionales. Probar que la suma y el producto de dos números de esa forma son de la misma forma. Probar que $p+q{\sqrt {5}}$. tiene un recíproco de la misma forma, cuando $p$ y $q$ no son ambos nulos.
* (Enteros módulo $m$)
** En $\mathbb {Z} _{6}$, con la multiplicación. ¿Cuáles elementos tienen recíprocos?
** En $\mathbb {Z} _{5}$, con la multiplicación ¿cuáles elementos tienen recíprocos?
* Probar que si para un elemento $x$ de un magma $E$ se cumple que $x^{2}=e$, donde $e$ es un neutro. Entonces, $x$ es invertible.
* Sea $E$ un magma asociativo con neutro $e$. Suponer además que $x$ y $y$ son elementos invertibles del magma. No suponga conmutatividad. Simplificar las siguientes expresiones.
** $(x^{-1}y)^{-1}.$
** $(xyx^{-1})^{-1}.$
** $(yxy^{-1})^{2}.$.
* Sea $E$ un magma asociativo, pero no conmutativo. Sean $x$, $y$ y $z$ elementos invertibles de $E$. ¿Cuál es el inverso de $xyz$?

## Las Partes Cerradas

Definición. (Cerraduras) Sea E un magma. Decimos que un subconjunto $S$ de $E$ es:
* cerrado respecto a la operación cuando el producto de dos elementos de $S$ está siempre en $S$.
* cerrado respecto a tomar neutro, cuando contiene al neutro.
* cerrado respecto a tomar inversos, cuando para cada $x\in S$, el recíproco de $x$, también está en $S$.
Ejemplo 3.1.
Sea $<\mathbb {R} ,\cdot >$ el magma multiplicativo de los Reales y sea $S$ el conjunto de los reales positivos, ${\mathbb {R} }^{+}$. Los positivos son cerrados respecto a la multiplicación, al neutro y a tomar recíprocos (inversos multiplicativos).
Operación Restringida.
Cuando un conjunto es cerrado respecto a una operación, dicha operación define por restricción una operación en el conjunto cerrado. Aunque, en rigor, la operación restringida es una operación diferente a la operacíón en todo el conjunto, ya que como función se han cambiado su dominio y codominio, es tradicional usar la misma notación para la operación restringida.
Ejemplo 3.2.
Sea S el conjunto formado por todos los números complejos de la forma $m+n{\sqrt {-5}}$ donde $m$ y $n$. Sean $z=m+n{\sqrt {-5}}$ y $w=p+q{\sqrt {-5}}$ elementos de S.
* Probaremos que con respecto a la adición S es cerrado respecto a la operación, al neutro y a los opuestos aditivos.
** $z+w=(m+p)+(n+q){\sqrt {-5}}$. Como la suma de enteros es un entero, tenemos que z + w es un elemento de S, lo que prueba la cerradura respecto a la suma,
** Como $0=0+0{\sqrt {-5}}$, el neutro es un elemento de S
** El opuesto aditivo de Z es $(-m)+(-n){\sqrt {-5}}$, que también es un elemento de S.
* Probaremos que S es cerrado respecto a la multiplicación y al neutro multiplicativo1; pero, veremos que no es cerrado respecto a tomar recíprocos.
** Como $zw=(m+n{\sqrt {-5}})(p+q{\sqrt {-5}}=(mp+5nq)+(mq+np){\sqrt {-5}}$, los productos de elementos en S están en S, o sea que S es cerrado respecto a la multiplicación.
** Como $1=1+0{\sqrt {-5}}$, el neutro 1 está en S.
** Como $(1+{\sqrt {-5}})(1-{\sqrt {-5}})=6$, el recíproco de $1+{\sqrt {-5}}$ es igual a ${\frac {1}{6}}-{\frac {1}{6}}{\sqrt {-5}},$ que no está en S.
Proposición 4. Cuando la intersección de dos partes cerradas no es vacia, dicha intersección es una parte cerrada.

## Tablas de Operaciones

Cuando el conjunto donde actúa una operación es finito y con relativamente pocos elementos, podemos presentar a la operación como una tabla de la operación, que es un arreglo como el siguiente.
${\begin{array}{c|cccc}*&e&a&b&c\\\hline e&e&a&b&c\\a&a&e&c&b\\b&b&c&e&a\\c&c&b&a&e\end{array}}$
El producto b * c se obtiene en la intersección de la fila que contiene a b con la columna que contiene a c. En esta tabla, b * c = a.
Notemos que la fila y columna de e reproducen la fila y tabla de elementos del conjunto, lo que indica que e es neutro.
Veamos como buscar en la tabla si un elemento tiene inverso, digamos que buscamos el inverso de b. Nos movemos por la fila del b hasta hallar el neutro. Si no hallamos un neutro, eso significa que no hay inverso. En este caso hallamos e (neutro en este caso) en la columna del b, lo que nos dice que b * b = e. Por lo que b$^{-1}$ = b.
En general, si hallamos x * y = e ( e neutro), antes de concluir sobre inversos, debemos chequear y * x (a menos que haya conmutatividad u otra situación especial, no hay nada que indique que y * x = x* y = e).
Cuando la tabla, como en este caso, es simétrica respecto a la diagonal principal (desde izquierda arriba a derecha abajo), tenemos que la operación es conmutativa.
Ejemplo 4.1. (Las tablas de $\mathbb {Z} _{6}$).
Sabemos que $\mathbb {Z} _{6}$ tiene solamente seis elementos, a saber
* $\mathbb {Z} _{6}=\{0,1,2,3,4,5\}.$
Presentamos las tablas de la operaciones como ejemplos de tablas finitas. Queda de asignación verificar la corrección de las mismas.
${\begin{array}{c|cccccc}+&0&1&2&3&4&5\\\hline 0&0&1&2&3&4&5\\1&1&2&3&4&5&0\\2&2&3&4&5&0&1\\3&3&4&5&0&1&2\\4&4&5&0&1&2&3\\5&5&0&1&2&3&4\end{array}}\qquad \qquad {\begin{array}{c|cccccc}\cdot &0&1&2&3&4&5\\\hline 0&0&0&0&0&0&0\\1&0&1&2&3&4&5\\2&0&2&4&0&2&4\\3&0&3&0&4&2&3\\4&0&4&3&2&1&2\\5&0&5&4&3&2&1\end{array}}$
Mirando a la tabla de suma o por simple computación) vemos que 2 + 4 =0, o sea que -2 = 4. ¿Qué otros elementos tienen opuestos aditivos? En la tabla de multiplicación vemos que 5*5 = 1, o sea que 1/5 =5. ¿Qué otros elementos tiene recíproco?
Finalmente, observemos que {1,5} es un subconjunto cerrado para la multiplicación.

## Productos Múltiples, Potencias

Los lectores seguramente han visto anteriormente sumatorias de números,
$\sum _{i=1}^{n}a_{i}=a_{1}+\dots +a_{n}.$
Operaciones Generalizadas. Supongamos que tenemos un magma $<E,*>$ y una sucesión $a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n}$ de elementos de E.
Supongamos que queremos hallar el producto de todos ellos. En el texto, hemos aprovechado la experiencia manipulativa de los lectores para no preocuparnos demasiado de ese asunto. La situación es que, por definición, nuestra operación es binaria por lo que no hay como hallar, sin un convenio previo, el producto de una sucesión con más de dos elementos.
Si tuviéramos tres elementos, digamos a, b y c, podríamos formar producto con los tres de una de las siguientes maneras
* $a*(b*c),\quad (a*b)*c$
Notemos que los paréntesis se usan para agrupar dos a la vez. Cuando la operación es asociativa, ambas expresiones representan al mismo elemento. Pero, si la operación no fuera asociativa, ¿cuál de las dos sería el producto de esos tres elementos?
Cuando hay cuatro elementos, hay muchas más posibilidades de agrupamientos, dos a la vez.
Definiremos una noción análoga a las sumatorias para un producto de una sucesión cualquiera.
Definición. (Producto Generalizado) Sea <E,*> un magma y sea $a_{1},a_{2},\dots ,a_{n}$. Llamamos producto de los elementos de la sucesión (en el orden indicado) al elemento de E, denotado por $\prod _{i=1}^{n}a_{i}$ y definido como
$a_{1}*a_{2}*\dots *a_{n}=\prod _{i=1}^{n}a_{i}:={\begin{cases}a_{1}&{\text{si }}n=1\\(\prod _{i=1}^{k}a_{i})*a_{k+1}&{\text{si }}n=k+1\end{cases}}$
Es fácil ver, por inducción, de que efectivamente se ha definido un elemento de E.
Sigue de la definición que
* ($n=2$) $a_{1}*a_{2}=(a_{1})*a_{2}=a_{1}*a_{2}.$
* ($n=3$) $a_{1}*a_{2}*a_{3}:=(a_{1}*a_{2})*a_{3}.$
* ($n=4$) $(a_{1}*a_{2}*a_{3})*a_{4}=((a_{1}*a_{2})*a_{3})*a_{4}.$.
$a_{1}*\dots *a_{5}=a_{1}*(a_{2}*a_{3})*(a_{4}*a_{5})=a_{1}*(a_{2}*a_{3}*a_{4})*a_{5}.$
Cuando la operación sea además conmutativa, el producto multiple es el mismo para cualquier permutación (reordenamiento) de los índices.
En notación aditiva, la definición anterior es la usual definición de sumatoria
* $\sum _{i=1}^{n}a_{i}:={\begin{cases}a_{1}&{\text{si }}n=1\\(\sum _{i=1}^{k}a_{i})+a_{k+1}&{\text{si }}n=k+1.\end{cases}}$
Asociatividad. Cuando la operación es asociativa, se puede probar que independiente de la manera que agrupemos los elementos de la sucesión--siempre y cuando, mantengamos el orden de aparición---el producto siempre es el mismo.
    La demostración consiste en considerar particiones de [1,..,n] que preserven el orden y mostrar que el producto de $a_{1},\dots ,a_{n}$ es igual al
producto de los productos parciales.
    Por ejemplo, en el caso $n=7$ si tenemos 1,2|3,4,5|6,7. Entonces
deberíamos probar que $\prod _{i=1}^{3}b_{i}=\prod _{i=1}^{7}a_{i}$, donde $b_{1}=a_{1}*a_{2},\quad b_{2}=a_{3}*a_{4}*a_{5},\quad b_{3}=a_{6}*a7.$ Es decir que
$\underbrace {(a_{1}*a_{2})} _{b_{1}}*\underbrace {(a_{3}*a_{4}*a_{5})} _{b_{2}}*\underbrace {(a_{6}*a_{7})} _{b_{3}}=\prod _{i=1}^{7}a_{i}.$
    La demostración formal procede por inducción sobre n. Los lectores
experimentados con este tipo de demostraciones puede intentarlo por su cuenta. La demostración formal se puede hallar en las referencias bibliográficas, o.
También en la página Semigrupos, Monoides,... de WikiLibros, donde puede hallarse demostraciones tanto de la asociatividad como de la conmutatividad generalizadas.
Al igual que hay sumatorias de la forma $\sum _{i=5}^{20}a_{i}$, podemos definir productos multiples de sucesiones de elementos cuyos subíndices sean un subconjunto ordenado finito de $\mathbb {N}$. Dejaremos al cuidado de lectores y lectoras tales generalizaciones.
En cursos primeros de matemáticas, se define la potencia natural de un número $a$ como el producto de $a$ consigo mismo $n$ veces, denotado por $a^{n}$. Usando la definición de producto multiple definiremos $a^{n}$ como el producto de $n$ factores, todos ellos iguales a $a$.
Definición. (Potencia) Sean $*$ una operación en el conjunto $E$, $a$ un elemento de $E$, y $n$ un natural positivo. Definimos $a^{n}$ como el producto $a_{1}*a_{2}*\dots *a_{n}$, cuando $a_{1}=a_{2}=\cdots a_{n}=a$. Cuando la operación tiene neutro $e$, se define, además, $a^{0}:=e$
Observación. Sigue de la definición que $a^{1}=a$, $a^{k+1}=a^{k}*a$. Proposición ## (Propiedades de las Potencias)
Demostración Aprovechando la observación anterior, usaremos inducción sobre $n$ para las pruebas.
* ($n=1$) $a^{m+1}=a^{m}*a=a^{m}*a^{1}$. Suponiendo que $a^{m+k}=a^{m}*a^{k}$ $a^{m+(k+1)}=a^{(m+k)+1}=a^{m+k}*a=(a^{m}*a^{k})*a=a^{m}*(a^{k}*a)=a^{m}*a^{k+1}$.
* $(a^{m})^{1}=a^{m}=a^{m\cdot 1}$. Suponiendo que $(a^{m})^{k}=a^{mk}$. $(a^{m})^{k+1}=(a^{m})^{k}*a^{m}=a^{mk}*a^{m}=a^{mk+m}=a^{m(k+1)}$.
* $a*b^{1}=a*b=b*a=b^{1}*a$. Suponiendo que $a*b^{k}=b^{k}*a$, $a*b^{k+1}=a*(b^{k}*b)=(a*b^{k})*b=(b^{k}*a)*b=b^{k}*(a*b)=b^{k}*(b*a)=(b^{k}*b)*a=b^{k+1}*a$.
* $(a*b)^{1}=a*b=a^{1}b^{1}$. Suponiendo que $(a*b)^{k}=a^{k}*b^{k}$, $(a*b)^{k+1}=(a*b)^{k}*(a*b)=(a^{k}*b^{k})*(a*b)=a^{k}*(b^{k}*a)*b=a^{k}*(a*b^{k})*b=(a^{k}*a)*(b^{k}*b)=a^{k+1}b^{k+1}$.
* Ejercicio.

## Ejercicios del Capítulo

* Completar los espacios en blanco
** Una operación en un conjunto E es una función de _________ en _____.
** Un elemento neutro de una operación * de un conjunto E es un elemento e tal que para todo x en E se cumple que ______________ y ______________ .
** Un elemento x es un inverso de un elemento y, ssi, __________ y ________.
** Un conjunto S es cerrado respecto a una operación, cuando para cada par x, y de elementos de S se cumple que __________________
** Cuando el orden de los operandos no altera el resultado (producto) de una operación, la operación es ________________.
** Cuando la notación es aditiva, el neutro usualmente se simboliza por __.
** Cuando la notación es aditiva, llamamos _____________ ______________ al inverso.
* ¿Cuáles de las siguientes especificaciones determinan una operación en el conjunto de los naturales positivos, $\mathbb {N} ^{+}$? En caso afirmativo, determinar las propiedades de las operaciones y la existencia de neutro y de inversos.
** $a\#b:=\max\{x,y\}$.
** $a\wedge b:=$ máximo común divisor de a y b.
** $a\vee b:=$mínimo común divisor de a y b.
** $a\otimes b:={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}$.
* Construir la tabla de $\mathbb {Z} _{2}$ (enteros módulo 2) y $\mathbb {Z} _{3}$ respecto a la suma.
* Construir la tabla de $\mathbb {Z} _{5}$ (enteros módulo 5) respecto a la multiplicación. Mirando la tabla determinar el neutro y los elementos que tienen recíproco.
* Cada una de las siguientes tablas es una tabla de un operación asociativa. Examinando la tabla determinar si hay elementos neutros y cuáles elementos tienen inversos. ${\begin{array}{c|cccc}&e&a&b&c\\\hline e&e&a&b&c\\a&a&a&b&c\\b&b&b&b&c\\c&c&c&c&c\end{array}}\qquad {\begin{array}{c|cccc}&e&a&b&c\\\hline e&e&a&b&c\\a&a&b&c&e\\b&b&c&e&a\\c&c&e&a&b\end{array}}\qquad {\begin{array}{c|cccc}&e&a&b&c\\\hline e&e&a&b&c\\a&a&e&c&b\\b&b&c&e&a\\c&c&b&a&e\end{array}}$
* Escribir en forma precisa el procedimiento para determinar en una tabla de una operación
** ¿cuál es el elemento neutro?
** ¿cuáles elementos tienen inversos?
* ¿Cuáles de los conjuntos siguientes son cerrados respecto a la adición en los Enteros?
** El subconjunto formado solamente por el 0, $\{0\}$.
** Los múltiplos de 9.
** Los múltiplos de 23.
** Generalizar los ejercicios anteriores.
** $\{1,0,-1\}$.
** Los Enteros positivos.
** Los Primos.
* ¿Cuáles de los conjuntos siguientes son cerrados respecto a la multiplicación en los Enteros?
** Los números pares.
** Los números impares.
** Los múltiplos de 5.
** Los Enteros positivos.
** Los Enteros negativos.
* ¿Cuáles de los conjuntos siguientes son cerrados respecto a la adición en los Racionales?
** Los Racionales positivos.
** Los Racionales negativos.
** Los números de la forma $m/2^{n}$, donde m es un entero cualquiera y n es un número natural.
** Los números de la forma $m/10^{n}$ donde m es un entero positivo y n es natural.
* Probar que el conjunto $\{1,-1,i,-i\}$, donde $i^{2}=-1$, es cerrado respecto a la multiplicación en los Complejos. Construya la tabla correspondiente a esa operación,
* Sea A una parte cerrada respecto a una operación. Explicar por qué cuando operación es asociativa (resp.conmutativa), su restricción a A también lo será.
* Sea $\mathbb {Q} [{\sqrt {5}}]$ el conjunto formado por todos los números reales de la forma $p+q{\sqrt {5}}$ donde $p$ y $q$ son racionales. Probar que $\mathbb {Q} [{\sqrt {5}}]$ es cerrado respecto a la multiplicación en los Reales.
* Sea X un conjunto y sea $\mathbb {P} (X)$ el conjunto formado por todos los subconjuntos de X. Investigar si la unión e intersección de subconjuntos son operaciones y sus propiedades.
* Sea E un magma. Decimos que dos elementos a y b permutan o conmutan entre si, ssi, ab = ba. probar que si la operación es asociativa y a conmuta con b y c, entonces, a conmuta con b * c.
* ¿Cuántas operaciones diferentes se pueden definir en un conjunto con dos elementos?, ¿cuántas son conmutativas?

## Notas

* 1 2 Ver Apéndice sobre Funciones.
* ↑ (BB) Bourbaki
* ↑ (BB) Dubreil
* ↑ (BB) Jacobson