# Matemáticas/Álgebra Abstracta/Anillos/Divisibilidad y Dominios
## Introducción

En este capítulo, estudiaremos abstracciones de la teoría de la divisibilidad de los Enteros. Aunque muchas de las nociones relevantes pueden extenderse a anillos cualesquiera, la extensión natural es a dominios de integridad (o sea anillos conmutativos con unidad y sin divisores de cero). En este capítulo, y en los siguientes, dominio será sinónimo de dominio de integridad.
Los Enteros están contenidos en los Racionales, que son un cuerpo formado por las fracciones de números enteros. En total analogía, veremos que cada dominio tiene asociado un cuerpo de fracciones de elementos del dominio.
Convenio. Todos nuestros anillos serán conmutativos con identidad, a menos se diga explícitamente lo contrario.

## La Divisibilidad

En primer lugar, extenderemos la divisibilidad y nociones asociadas de los Enteros a anillos conmutativos generales.
Definición. (Divisores, Unidades, Asociados) Sea $A$ un anillo conmutativo con identidad.
* Decimos que un elemento no nulo $a$ divide a $b,$ ssi, hay un elemento $x$ tal que $ax=b.$ Simbólicamente $a|b.$
* Decimos que un elemento $u$ de $D$ es una unidad, ssi, $u$ es un divisor de la identidad.
* Decimos que los elementos $a$ y $b$ son asociados, ssi, hay una unidad $u$ tal que $a=bu.$
Observaciones.
* Cuando $a$ divide a $b,$ podemos también decir alguna de las siguientes expresiones.
** $a$ es un factor de $b.$
** $a$ des un divisor de $b.$
** $b$ es un múltiplo de $a.$
** $b$ es divisible por $a.$
* Las unidades ya habían sido definidas anteriormente como los elementos invertibles del dominio. Claramente, ambas nociones coinciden.
* Un divisor de cero es cualquier elemento no nulo que divide (en el sentido de la definición) al 0, o que es un factor no nulo del 0.
La siguiente proposición resume las principales propiedades de la divisibilidad.
Proposición 1.
Sea $A$ un anillo conmutativo con identidad. Para todo $a,$ $b,$ $c$ en $A$ se cumple que

### Unidades

Como observamos anteriormente, la noción de unidad en un anillo es lo mismo que invertible respecto a la multiplicación, pero la tradición es usar el nombre unidad en el contexto de divisibilidad.
Observemos que cuando $u$ es una unidad, como $u|1,$ $u$ es un divisor de cualquier elemento del anillo. Claramente, en cualquier anillo, $1$ y $-1$ son divisores de 1 y son, por lo tanto, unidades. El siguiente ejemplo muestra que, en general, puede haber otras unidades en un anillo. Además, en cualquier cuerpo, cualquier elemento no nulo es una unidad.
Ejemplo (Enteros de Gauss).
Sea $A=\mathbb {Z} [i]=\{a+bi:a,b\in \mathbb {Z} ,i^{2}=-1\}.$ Sabemos de ejemplos anteriores que $A$ es un anillo respecto a las operaciones usuales. Además, como es un subconjunto de $\mathbb {C} ,$ es un dominio de integridad.
Además de $1$ y $-1,$ también son unidades $i$ y $-i,$ ya que $i(-i)=1.$ Se puede verificar que esas son las únicas unidades de ese anillo.
Simbolizamos el conjunto de las unidades de un anillo por $A^{*}$ o $U(A).$ Como las unidades son los elementos invertibles, $U(A)$ es cerrado respecto a la multiplicación, contiene al 1 y es cerrado respecto a tomar inversos. Es decir que $U(A)$ tiene una estructura de grupo, que es un subgrupo del semigrupo multiplicativo del anillo.

### Asociados

Sea $a$ un asociado de $b$ , digamos que $a=bu,$ donde $u$ es una unidad. Sea $v$ tal que $uv=1.$ Entonces,
$a=bu\implies av=(bu)v=b(uv)=b.$
lo que prueba que $b$ está asociado con $a.$ Es decir que la relación "estar asociado con" es una relación simétrica. De hecho, puede probarse que es una relación de equivalencia.
La siguiente proposición es básica para entender el rol de las unidades en la divisibilidad y las nociones asociadas con ella.
Proposición 2. Sea $A$ un anillo conmutativo con Identidad. Sean $a$ y $b$ elementos de $A$ tales que $a|b.$