OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Artes culinarias/Recetas/Pan de carne porteño

| Cantidad para 4 personas ? Kcal / 100g | Glosario A - B - C - D - E - F - G - H - I - J - K - L - M - N - Ñ - O - P - Q - R - S - T - U - V - W - X - Y - Z Navegar por categorías Aves | Carne | Cereales | Frutas | Legumbres | Mariscos | Pan | Pescados | Setas | Verduras | Postres | Regímenes | Zonas geográficas | 20 minutos |
| | Glosario A - B - C - D - E - F - G - H - I - J - K - L - M - N - Ñ - O - P - Q - R - S - T - U - V - W - X - Y - Z Navegar por categorías Aves | Carne | Cereales | Frutas | Legumbres | Mariscos | Pan | Pescados | Setas | Verduras | Postres | Regímenes | Zonas geográficas | Dificultad: |
| | Precio: ? |
| Ingredientes 1/2 kg de carne picada común 1/2 kg de miga de pan 1/4 l de leche 1 cebolla rallada 1 zanahoria rallada 1 diente de ajo finamente picado 1/2 taza de perejil picado 1 papa cruda rallada 2 huevos 2 cucharadas de maicena Sal Pimienta, nuez moscada, pimentón, ají molido. Especias a gusto. 1/2 taza de queso duro rallado (Opcional) 2 huevos duros (Opcional) 1/4 kg de muzzarella o port salut (Opcional) | Procedimiento Poner en remojo la miga de pan mezclar con la carne picada , la cebolla , la zanahoria, la papa, el ajo , el perejil, los huevos , mezclando sin amasar. Si se quiere , se pueden agregar los opcionales , primero el queso rallado. Se mira que tenga una consistencia que lo permita moldear , y se le va agregando Maicena hasta lograrlo , En general un par de cucharas basta. Se coloca en budinera enmantecada y espolvoreada con pan rallado , se coloca en el centro de la masa los huevos duros y las tiras de muzzarella y se cierra con más masa. Se cocina en horno caliente , a baño maría durante 1 hora y luego sin el agua por media hora más para que se dore. |
Trucos y consejos
Variantes: Se puede preparar por capas , masa de carne , etc.. capa de queso , masa, jamón picado , masa, morrones , zanahorias cocidas. etc.
Se puede agregar queso crema , crema de leche , cebollas rehogadas en manteca, dependiendo de la creatividad del cocinero.
También se puede hacer de un dia para otro y calentar en micro hondas
# Artes culinarias/Recetas/Palomitas al microondas

| Cantidad para 1 personas ? Kcal / 100g | Glosario A - B - C - D - E - F - G - H - I - J - K - L - M - N - Ñ - O - P - Q - R - S - T - U - V - W - X - Y - Z Navegar por categorías Aves | Carne | Cereales | Frutas | Legumbres | Mariscos | Pan | Pescados | Setas | Verduras | Postres | Regímenes | Zonas geográficas | 5+2 (min) |
| | Glosario A - B - C - D - E - F - G - H - I - J - K - L - M - N - Ñ - O - P - Q - R - S - T - U - V - W - X - Y - Z Navegar por categorías Aves | Carne | Cereales | Frutas | Legumbres | Mariscos | Pan | Pescados | Setas | Verduras | Postres | Regímenes | Zonas geográficas | Dificultad: |
| | Precio: |
| Ingredientes 60 g de maíz en grano para palomitas. Sal 2g, al gusto. Aceite de oliva, 1/2 cucharadita | Procedimiento Colocar en un cuenco los granos de maíz. Añadir aceite y sal. Cubrir con un plato. Poner el microondas 2 min. Comprobar que han estallado todos los granos. Si no fuera así, se pueden ir añadiendo más segundos. Condimentar al gusto. |
Trucos y consejos
# Artes culinarias/Recetas/Pan de patata

El pan de tomate es un pan que lleva tomate en la receta. 250 gr de harina, 90 gr de puré de tomate, 10 gr de aceite de oliva, 5 gr de sal, un pelín de azúcar, 75 ml de agua y 12 gr de levadura prensada.
| Cantidad para ? personas ? Kcal / 100g | Glosario A - B - C - D - E - F - G - H - I - J - K - L - M - N - Ñ - O - P - Q - R - S - T - U - V - W - X - Y - Z Navegar por categorías Aves | Carne | Cereales | Frutas | Legumbres | Mariscos | Pan | Pescados | Setas | Verduras | Postres | Regímenes | Zonas geográficas | 2 horas |
| | Glosario A - B - C - D - E - F - G - H - I - J - K - L - M - N - Ñ - O - P - Q - R - S - T - U - V - W - X - Y - Z Navegar por categorías Aves | Carne | Cereales | Frutas | Legumbres | Mariscos | Pan | Pescados | Setas | Verduras | Postres | Regímenes | Zonas geográficas | Dificultad: |
| | Precio: ? |
| Ingredientes Harina de trigo de fuerza 500 g. Patatas 500 g. Levadura fresca de cerveza 25 g (o 2 sobres de levadura de panadería en polvo). 2 cucharadita de sal sal, 30 g (opcional en el pan sin sal). 1 cucharadita de azúcar, unos 20 g (opcional en el pan sin azúcar). Aceite 2 cucharadas soperas de aceite de oliva= 30 g. Agua para cocer las patatas. | Procedimiento Se hace puré de patatas, al que se le añade el aceite de oliva y el agua de la cocción En un bol se pone la harina, la sal y la levadura. Se le añade el puré de patata y se amasa durante unos 10 minutos. Se tapa el bol con un film y se deja reposar durante una hora. Cuando haya doblado el volumen se vuelve a amasar. Se coloca en una bandeja hasta que crezca de nuevo. Precalentar el horno a 190ºC y hornear una hora. |
Trucos y consejos

## Véase también

* Pan casero
* Panceta
# Artes culinarias/Recetas/Palomitas en olla GM

    El artículo principal de esta categoría es GM Modelo G.
| Cantidad para Nº de comensales personas ? Kcal / 100g | Glosario A - B - C - D - E - F - G - H - I - J - K - L - M - N - Ñ - O - P - Q - R - S - T - U - V - W - X - Y - Z Navegar por categorías Aves | Carne | Cereales | Frutas | Legumbres | Mariscos | Pan | Pescados | Setas | Verduras | Postres | Regímenes | Zonas geográficas | 5 (min) |
| | Glosario A - B - C - D - E - F - G - H - I - J - K - L - M - N - Ñ - O - P - Q - R - S - T - U - V - W - X - Y - Z Navegar por categorías Aves | Carne | Cereales | Frutas | Legumbres | Mariscos | Pan | Pescados | Setas | Verduras | Postres | Regímenes | Zonas geográficas | Dificultad: |
| | Precio: |
| Ingredientes 25 g de mantequilla o aceite 25 g de maíz Sal o pimienta al gusto | Procedimiento Echamos el aceite, las palomitas y la sal o pimienta.  Menú Plancha , 180ºC, 5 min. y cubrimos con la tapa transparente. Servir. |
# Artes culinarias/Recetas/Pan de Huevo

| Cantidad para 4 personas ? Kcal / 100g | Glosario A - B - C - D - E - F - G - H - I - J - K - L - M - N - Ñ - O - P - Q - R - S - T - U - V - W - X - Y - Z Navegar por categorías Aves | Carne | Cereales | Frutas | Legumbres | Mariscos | Pan | Pescados | Setas | Verduras | Postres | Regímenes | Zonas geográficas | 2 horas |
| | Glosario A - B - C - D - E - F - G - H - I - J - K - L - M - N - Ñ - O - P - Q - R - S - T - U - V - W - X - Y - Z Navegar por categorías Aves | Carne | Cereales | Frutas | Legumbres | Mariscos | Pan | Pescados | Setas | Verduras | Postres | Regímenes | Zonas geográficas | Dificultad: |
| | Precio: ? |
| Ingredientes 6 yemas de huevo 5 claras batidas 1 taza de azúcar flor 1/2 cucharadita de sal 2 cucharaditas de polvo de hornear 800 gramos de harina 150 gramos de margarina leche | Procedimiento Se baten las yemas con el azúcar, luego se agregan las claras de huevo previamente batidas a punto de nieve. Luego añadir la harina, polvos de hornear y sal. Mezclar todo, agregar poco a poco la margarina para poder formar una masa blanda, ir añadiendo la leche necesaria para formar una masa compacta. Trabajar con la masa y formar los panes, tradicionalmente se forman redondos, pequeños y gordos. Colocar los panes en una bandeja de horno enmantequillada, y realizar un corte en forma de cruz sobre los panes. Cocinar en el horno a temperatura media-alta hasta que estén cocidos. |
Trucos y consejos
# Artes culinarias/Recetas/Pan de higo

| Cantidad para 1 personas ? Kcal / 100g | Glosario A - B - C - D - E - F - G - H - I - J - K - L - M - N - Ñ - O - P - Q - R - S - T - U - V - W - X - Y - Z Navegar por categorías Aves | Carne | Cereales | Frutas | Legumbres | Mariscos | Pan | Pescados | Setas | Verduras | Postres | Regímenes | Zonas geográficas | 4 |
| | Glosario A - B - C - D - E - F - G - H - I - J - K - L - M - N - Ñ - O - P - Q - R - S - T - U - V - W - X - Y - Z Navegar por categorías Aves | Carne | Cereales | Frutas | Legumbres | Mariscos | Pan | Pescados | Setas | Verduras | Postres | Regímenes | Zonas geográficas | Dificultad: |
| | Precio: ? |
| Ingredientes Higos. Nueces. Matalauva Harina. Almendra moyales/marconas crudas. | Procedimiento Los higos los seleccionamos, los cortamos por la mitad y el el horno los metemos en una bandeja para que se sequen Las almendras le quitamos la cáscara marrón poniéndolas en agua hirviendo durante 5 minutos, luego en una sartén las tostamos. Partimos las nueces y las acompañamos a las almendras Cogemos un molde en enharinado, y ponemos los higos secos en un piso, luego almendras y nueces, leugo higos hasta que lo rellenemos. Le ponemos un peso, lo metemos en el horno a temperatura suave hasta que se nos quede compacto. |
# Animales
## Animales domésticos

das Haustier < -[e]s , -e > :
| Deutsch | < Genitivo sing. , Plural > | Castellano |
| der Hund | < -es , -e > | el perro |
| die Katze | < -- , -n > | el gato (genérico), la gata |
| der Kater | < -s , -- > | el gato (macho) |
| die Maus | < - , -ë > | el ratón |

## Aves

der Vogel < -s , Vögel > :
| Deutsch | < Genitivo sing. , Plural > | Castellano |
| der Strauß | < -es , -e > | el avestruz |
| der Falke | < -n , -n > | el halcón |
| der Adler | < -s , -- > | el águila |
| der Bartgeier | | el quebrantahuesos |
| der Wanderalbatros | | el Albatros |

## Reptiles y anfibios

das Reptil < -s , -ien > / die Amphibie < -- , -n > :
| Deutsch | < Genitivo sing. , Plural > | Castellano |
| der Frosch | < -[e]s , Frösche > | la rana |
| die Eidechse | < -n , -n > | la lagartija |
| die Schlange | < -- , -n > | la serpiente |

## Mamíferos

das Säugetier < -[e]s , -e > :
| Deutsch | < Genitivo sing. , Plural > | Castellano |
| der Elefant | < -en , -en > | el elefante |
| der Wolf | < -[e]s , Wölfe > | el lobo |
| das Pferd | < -[e]s , -e > | el caballo |
| der Löwe | | el león |
| der Beutelteufel | | el diablo de Tasmania |
| der Brillenbär | | el oso de los anteojos |
| der (große) Panda | | el oso panda |

## Insectos y arácnidos

das Insekt < -s , -en > :
| Deutsch | < Genitivo sing. , Plural > | Castellano |
| die Fliege | < -- , -n > | la mosca |
| die Mücke | < -- , -n > | el mosquito |
| die Biene | < -- , -n > | la abeja |
| die Spinne | | la araña |

## Marinos

der See < -ls, -en > :
| Deutsch | Castellano |
| der Schwertwal | La Orca |
| der See-Elefant | el Elefante marino |
| das Walross | la Morsa |

## Extintos

der Ausgertorben :
| Deutsch | < Genitivo sing. , Plural > | Castellano |
| der Beutelwolf | | el lobo marsupial |
| das Mammut | < -- , -s > | el Mamut |

## Mitológico

das Mithologie :
| Deutsch | < Genitivo sing. , Plural > | Castellano |
| der Drache | | el Dragón |
# El fútbol

| Deutsch | Español |
| das Tor | la puerta, el arco |
| der Ball, das Leder | la bola, la pelota, el balón, la de cuero, la redonda |
| der Anstoß | el saque de centro |
| der Eckball | el saque/el tiro de esquina, el córner |
| der Abstoß | el saque de puerta, el saque de meta |
| der Einwurf | el saque de banda, el saque de línea |
| der Elfmeter, der Strafstoß | el penal |
| der Freistoß | el tiro libre |
| das Foul | la falta |
| das Handspiel | tocar al balón con la mano |
| die gelbe/rote Karte | la tarjeta amarilla/roja |
| die Schwalbe | la falta fingida / simulada |
| der Kopfball | el cabezazo |
| der Fallrückzieher | la chilena, la chalaca (Perú) |
| das Abseits | el fuera de juego, el Off Side, la posición adelantada |
| der Stürmer | el delantero, el ariete, el artillero, el goleador |
| der Verteidiger | el defensa, el defensor, el zaguero |
| der Mittelfeldspieler | el mediocampista, el volante |
| der Torwart, der Torhüter | el portero, el guardameta, el arquero, el golero |
| der Trainer | el entrenador, el director técnico |
| der Co-Trainer | el asistente técnico, el co-entrenador |
| der Schiedsrichter | el árbitro, el referée, el juez |
| der Linienrichter | el árbitro asistente, el juez de línea |
| die Halbzeitpause | el descanso, la pausa, el medio tiempo, el entretiempo |
| der Abpfiff | el pitazo final / el silbatazo final, el término o la interrupción del juego |
| die Verlängerung | la prórroga, el alargue |
| das Elfmeterschießen | el penal, la ejecución del penal |
| die Unterbrechung | la interrupción |
| der Torrichter | el juez de línea / el juez del arco |
| der linke Flügel/die linke Außenbahn | el puntero izquierdo |
| der rechte Flügel/die rechte Außenbahn | el puntero derecho |
| der Anpfiff | el pitido inicial / el silbatazo inicial |
| die Nachspielzeit | el tiempo adicional / suplementario, los descuentos |
# Alemán/Vocabulario/Bebida
## Refrescos

Se llaman die Erfrischungsgetränke las bebidas refrescantes contra la sed. Se les sirve en todos los bares y restaurantes, en verano con cúbitos de hielo y en caso de agua o coca-cola a veces con un gajo de limón.
| Alemán | Castellano | Comentario |
| das Wasser | el agua | Al decir Wasser, siempre se sirve agua mineral con gas. Nunca se sirve agua del grifo. |
| das Mineralwasser | el agua mineral | Al decir Wasser, siempre se sirve agua mineral con gas. Nunca se sirve agua del grifo. |
| ~ mit / ohne Kohlensäure | ~ con / sin gas | Al decir Wasser, siempre se sirve agua mineral con gas. Nunca se sirve agua del grifo. |
| das stille Wasser | el agua sin gas | Al decir Wasser, siempre se sirve agua mineral con gas. Nunca se sirve agua del grifo. |
| die Apfelschorle | - | Refresco preferido en el sur de Alemania, medio zumo de manzana, medio agua mineral con gas. |
| die Cola | la coca-cola | También para otras marcas como Pepsi. |
| der/die Spezi | - | Medio coca-cola, medio limonada de naranjas. |
| die Fanta | la Fanta | |
| die Limo(nade) | la limonada | Normalmente se refiere a limonada de naranjas, esp. a Fanta. |
| die Zitronenlimo(nade) | la limonada de limones |
| der Saft | el zumo |

## Bebidas alcohólicas

| der Wein | el vino |
| der Rotwein | el vino tinto |
| der Weißwein | el vino blanco |
| der Rosé | el vino rosado |
| der Sekt | el cava |
| der Schnaps | aguardiente |
| das Bier | cerveza |
| das Weizenbier | cerveza de trigo |
| das Pils | cerveza tipo Pilsen |
| das Radler | la cerveza con limonada de naranja (solo en el sur) |
| das Alsterwasser | cerveza con limonada (solo en el norte) |
| die Berliner Weiße | cerveza con almíbar (solo en Berlin) |

## Bebidas calientes

El café es la bebida caliente preferida de Alemania. En cafés tradicionales se le sirve puro, con azucarero y dos latitas de leche condensada o crema, o bien en Tasse (taza, pequeño) o bien en Kännchen (jarrita, grande). Hay especialidades regionales como el Wiener Melange de Viena. Desde Italia se han difundidos el Espresso y el Cappuccino, desde Francia el Café au lait. Hoy, desde el ascenso de la cadena de cafés americana Starbuck's, muchos toman un Latte macchiato.
| Alemán | Castellano | Comentario |
| der Kaffee | el café | |
| der Tee | el té | |
| die Wiener Melange | - | Especialidad de Viena. Café con leche espumada, similar al capuchino. |
| der Espresso | el café solo | De Italia, pequeñísimo café fuerte. |
| der Cappuccino | el capuchino | De Italia, café con leche espumada. |
| der Milchkaffee | el café con leche | Café normal con leche. |
| der Café au lait | el café au lait | De Francia, café grandísimo con mucha leche y leche espumada. |
| der Latte macchiato | el latte macchiato | De Italia, café solo con mucha leche espumada. |
| die heiße Schokolade, der Kakao, der Kaba | el chocolate | |
| der Glühwein | - | Especialidad de navidad. Vino tinto caliente aromatizado con especias. Normalmente se le toma en el Weihnachtsmarkt (mercado navideño). |
| der Lumumba | el Lumumba | Longdrink, cacao caliente con ron. |
# Partes del cuerpo

el cuerpo - der Körper < -s , -- > :
| Castellano | Deutsch | < Gen. sing. , Plural > |
| la pierna | das Bein | < -[e]s , -e > |
| la rodilla | das Knie | < -s , -- > |
| el pie | der Fuß | < -es , Füße > |
| el dedo del pie | der Zeh | < -s , -en > |
| el brazo | der Arm | < -[e]s , -e > |
| la mano | die Hand | < -- , Hände > |
| el dedo de la mano | der Finger | < -s , -- > |
| la cabeza | der Kopf | < -[e]s - Köpfe > |
| el cuello | der Hals | < -es , Hälse > |
| el pecho | die Brust | < -- , Brüste > |
| la espalda | der Rücken | < -s , -- > |
| el hombro | die Schulter | < -- , -n > |
| la barriga | der Bauch | < -[e]s , Bäuche > |
| la cadera | die Hüfte | < -- , -n > |

## La cara

la cara - das Gesicht < -[e]s , -er > :
| Castellano | Deutsch | < Gen. sing. , Plural > |
| el ojo | das Auge | < -s , -n > |
| la nariz | die Nase | < -- , -n > |
| la oreja | das Ohr | < -(e)s , -en > |
| la boca | der Mund | < -(e)s , Münder > |
| la frente | die Stirn | < -- , -en > |
| la barbilla | das Kinn | < -(e)s , -e > |
| la mejilla | die Wange | < -- , -n > |

## Órganos

el órgano - das Organ < -s , -e > :
| Castellano | Deutsch | < Gen. sing. , Plural > |
| el corazón | das Herz | < -ens , -en > |
| el cerebro | das Gehirn | < -[e]s , -e > |
| el estómago | der Magen | < -s , Mägen > |
| el pulmón | die Lunge | < -- , -n > |
| el hígado | die Leber | < -- , -n > |
| el páncreas | die Bauchspeicheldrüse | < -- > |
| el intestino | der Darm | < -- > |
| el riñón | die Niere | < -- , -n > |

## Los sentidos

el sentido - der Sinn < -[e]s , -e > :
| Castellano | Deutsch | < Gen. sing. , Plural > |
| el gusto | der Geschmack(ssinn) | < -(e)s , -- > |
| el olfato | der Geruchssinn | < -[e]s , -- > |
| tacto | der Tastsinn | < -(e)s , -- > |
| el oído | das Gehör | < -(e)s , -- > |
| la vista | der Sehsinn | < -- , -- > |
# Las emociones - Emotionen

| Deutsch | Castellano |
| der Hass | el odio |
| der Zorn | la ira |
| die Angst | el miedo |
| das Mitleid | la compasión |
| die Verachtung | el desprecio |
| die Furcht | el miedo |
| die Scham | la vergüenza |
| die Schadenfreude | alegría provocada por el sufrimiento de otro |
| die Liebe | el amor |
| die Zuneigung | el afecto |
| die Trauer | la tristeza |
| die Bewunderung | la admiración |
| die Freude | la alegría |
| der Kummer | la pena |
| der Liebeskummer | la pena de amor |
| das Glück | la felicidad |
# Las profesiones - die Berufe

Nota: Todas las profesiones terminadas en "er" poseen como correspondiente femenino los mismos nombres con el sufijo "in".
* Ejemplo: Mechaniker - Mechanikerin
| Deutsche | < Plural > | Deutsche |
| der Arzt | < Ärzte > | el médico |
| die Architektin | < -- > | la arquitecta |
| der Bäcker | < -- > | el panadero |
| der Bauer | < -n > | el agricultor |
| der Fernfahrer | < -n > | conductor de camión |
| der Friseur | < -e > | el barbero/peluquero |
| der Ingenieur | < -- > | el ingeniero |
| die Journalistin | < -e > | la periodista |
| der Kellner | < -- > | el camarero |
| der Kunstmaler | < -n > | el artista |
| die Krankenschwester | < -- > | la enfermera |
| der Lehrer | < -n > | el profesor |
| der Maler | < -n > | el pintor (de brocha gorda) |
| der Autoschlosser (Mechatroniker) | < -n > | el mecánico |
| der Pfarrer | < -en > | el pastor/cura/párroco/vicario |
| der Polizist | < -- > | el policía |
| der Schauspieler | < -- > | el actor |
| die Sekretärin | < -- > | la secretaria |
| der Student | < -- > | el estudiante |
| der Verkäufer | < -- > | el vendedor |
# Alemán/Vocabulario/Colores
## Die Farben

| Español | Deutsch |
| Rojo | rot |
| Naranja | orange |
| Amarillo | gelb |
| Verde | grün |
| Azul | blau |
| Morado/Violeta | violett |
| Rosa | rosa |
| Marrón | braun |
| Negro | schwarz |
| Gris | grau |
| Blanco | weiß |
Para hacer mención a colores claros y oscuros se usa:
* dunkel - oscuro
* hell - claro
* blass - pálido

## Enlaces externos

* Vídeo en YouTube
* Audio y ejemplos en aprendealeman.com
# El estudiante

die Schule = el colegio
das Heft = el cuaderno
der Kuli = el lapicero, el bolígrafo, la pluma
der Stuhl = la silla
der Tisch = la mesa
die Klasse = la clase
das Klassenzimmer = el salón de clase
die Tafel = el tablero, el pizarrón
der Marker = el marcador
der Bleistift = el lápiz
das Lineal = la regla
Sport = Deporte
Italienisch = Italiano
Spanisch = Español
Informatik = Informática
Mathe/Mathematik = Mates/Matemática
Religión (no hay que traducir)
Franzosisch = Francés
Deutsch = Alemán
Chinesisch = Chino
Biologie = Biología
Geographie = Geografía
# Consideraciones generales para el trabajo en hormigón fresco

Consideraciones generales para el trabajo con hormigón fresco
Antes de comenzar hormigonado:
* Se ha de comprobar que el encofrado es impermeable, que no puede moverse y que tiene las medidas precisas
* Se ha de comprobar el número, diámetro, distancias, uniones y la limpieza de las armaduras.
* Se han de limpiar los encofrados, se han de fijar algunas aberturas de limpieza en la solera y se ha de humedecer el encofrado suficientemente y en el momento oportuno.
* Se ha de comprobar si todas las instalaciones se encuentran dispuestas para entrar en servicio y si la relación de mezclado es exacta.
Armaduras:
* Conviene asegura la armadura contra los desplazamientos y contra el pisoteo; en caso necesario se podrá disponer unos pasos.
* Hasta el momento de hormigonado las armaduras deben mantenerse libres de salpicaduras de hormigón, siendo precisa su eliminación en caso de que sucediera.
* Una vez hormigonado será preciso remover el espacio comprendido entre las armaduras mediante varillas, con el fin de desplazar las piedras gruesas aprisionadas entre ellas permitiendo la entrada y distribución de la mezcla.
* Las armaduras verticales han de colgarse para que no se hundan.
* Es precisa la protección de los hierros que sobresalen del hormigón fresco, de forma que el hormigón pueda fraguar son ninguna perturbación.
# Conjuntos numéricos/Axiomática de la Teoría de Conjuntos/Esquema Axiomático de Sustitución

El Esquema Axiomático de Sustitución dice lo siguiente: sea ${\mathcal {P}}$ una propiedad relativa a pares de conjuntos, de manera que si los pares de conjuntos $(c,d)$ y $(c,e)$ verifican ${\mathcal {P}}$, entonces $d=e$. Para todo conjunto $a$ existe un conjunto $b$ de manera que $d\in b$ si y solamente si existe un $c\in a$ tal que $(c,d)$ verifique ${\mathcal {P}}$.

## Consecuencias
### Imagen de una aplicación

Sean $A$ y $B$ dos conjuntos, $f\in B^{A}$ y $a\subset A$. Podemos considerar la propiedad ${\mathcal {P}}$ sobre pares de conjuntos $(x,y)$ de forma que $(x,y)$ verifica ${\mathcal {P}}$ si y solamente si $y=f(x)$ (es decir, si $(x,y)\in f$). El Esquema Axiomático de Sustitución nos asegura que existirá un conjunto $b$ formado por los conjuntos $d$ tal que existe un $c\in a$ de forma que $d=f(c)$. Como $f\in B^{A}$ y $a\subset A$, entonces es $d\in B$, luego $b\subset B$. Tenemos entonces el conjunto $f(a):=b=\{d\in B:d=f(c),c\in a\}$, que se denomina imagen de $a$ mediante $f$. En particular, tendremos el conjunto $Img(f):=f(A)\subset B$, imagen de la aplicación $f$.

### Aplicaciones sobreyectivas y biyectivas

Sean $a$ y $b$ dos conjuntos, y $f\in b^{a}$. Se dice que $f$ es:
* sobreyectiva si $Img(f)=b$;
* biyectiva si existe $g\in a^{b}$ de manera que si $c\in a$ entonces $g(f(c))=c$ y si $d\in b$ entonces $f(g(d))=c$. A la aplicación $g\in a^{b}$ se la denomina aplicación inversa de $f$, y se suele denotar por $f^{-1}$. De esta manera, podemos decir que $f\in b^{a}$ es biyectiva si existe $f^{-1}\in a^{b}$.
Una aplicación es biyectiva si y solamente si es inyectiva y sobreyectiva.
# Conjuntos numéricos/Axiomática de la Teoría de Conjuntos/Axioma de las Partes

El enunciado del axioma de las partes dice: dado un conjunto $a$, existe un conjunto $b$ de forma que si $c\subset a$ entonces $c\in b$.
Ahora usamos el Esquema Axiomático de Separación y creamos el conjunto ${\mathcal {P}}(a):=\{c\in b:c\subset a\}$. Como en las otras ocasiones, este conjunto es independiente del conjunto $b$:
Sean $b,b'$ conjuntos con las condiciones que afirma el enunciado del Axioma de las Partes, es decir, de manera que si $c\subset a$, entonces $c\in b$, y si $c\subset a$, entonces $c\in b'$. Consideremos $B:=\{c\in b:c\subset a\}$, y $B':=\{c\in b':c\subset a\}$. Supongamos ahora que $x\in B'$. Entonces es $x\in b'$ y $x\subset a$. Pero si $x\subset a$ entonces $x\in b$ (ya que $b$ lo hemos tomado de esa manera), luego es $x\in b$ y $x\subset a$, es decir, $x\in B$. Esto prueba que $B'\subset B$. La otra inclusión se demuestra de la misma manera.