# Aritmética/Bases Numéricas/Conversiones
## Binario

Conversión entre potencias enteras de dos:
${\begin{array}{ll|rrrrrrrrrrrrrrrr}bit&base-2&0000&0001&0010&0011&0100&0101&0110&0111&1000&1001&1010&1011&1100&1101&1110&1111\\Nibble&base-4&00&01&02&03&10&11&12&13&20&21&22&23&30&31&32&33\\Byte&base-8&00&01&02&03&04&05&06&07&10&11&12&13&14&15&16&17\\hexade.&base-16&0&1&2&3&4&5&6&7&8&9&A&B&C&D&E&F\\\end{array}}$

### Decimal a binario

Se divide el número del sistema decimal entre 2, cuyo resultado entero se vuelve a dividir entre 2, y así sucesivamente hasta que el dividendo sea menor que el divisor, 2. Es decir, cuando el número a dividir sea 1 finaliza la división. A continuación se ordenan los restos empezando desde el último al primero, simplemente se colocan en orden inverso a como aparecen en la división, se les da la vuelta. Este será el número binario que buscamos.

#### Ejemplo

    Transformar el número decimal 131 en binario. El método es muy simple:
En sistema binario, 131 se escribe 10000011

#### Ejemplo

    Transformar el número decimal 100 en binario.
Otra forma de conversión consiste en un método parecido a la factorización en números primos. Es relativamente fácil dividir cualquier número entre 2. Este método consiste también en divisiones sucesivas. Dependiendo de si el número es par o impar, colocaremos un cero o un uno en la columna de la derecha. Si es impar, le restaremos uno y seguiremos dividiendo entre dos, hasta llegar a 1. Después solo nos queda tomar el último resultado de la columna izquierda y todos los de la columna de la derecha y ordenar los dígitos de abajo a arriba.

#### Ejemplo

Ejemplo
Para convertir al sistema binario el número decimal 77 haremos una serie de divisiones que arrojarán los siguientes resultados:
Existe un último método denominado de distribución. Consiste en distribuir los unos necesarios entre las potencias sucesivas de 2 de modo que su suma resulte ser el número decimal a convertir. Sea por ejemplo el número 151, para el que se necesitarán las 8 primeras potencias de 2, ya que la siguiente, 2$^8$=256, es superior al número a convertir. Se comienza poniendo un 1 en 128, por lo que aún faltarán 23, 151-128 = 23, para llegar al 151. Este valor se conseguirá distribuyendo unos entre las potencias cuya suma dé el resultado buscado y poniendo ceros en el resto. En el ejemplo resultan ser las potencias 4, 2, 1 y 0, esto es, 16, 4, 2 y 1, respectivamente.

#### Ejemplo
### Decimal (con decimales) a binario

Para transformar un número del sistema decimal al sistema binario:
* Se transforma la parte entera a binario. (Si la parte entera es 0 en binario será 0, si la parte entera es 1 en binario será 1, si la parte entera es 5 en binario será 101 y así sucesivamente).
* Se sigue con la parte fraccionaria, multiplicando cada número por 2. Si el resultado obtenido es mayor o igual a 1 se anota como un uno (1) binario. Si es menor que 1 se anota como un 0 binario. (Por ejemplo, al multiplicar 0.6 por 2 obtenemos como resultado 1.2 lo cual indica que nuestro resultado es un uno (1) en binario, solo se toma la parte decimal del resultado).
* Después de realizar cada multiplicación, se colocan los números obtenidos en el orden de su obtención.
* Algunos números se transforman en dígitos periódicos, por ejemplo: el 0.1.

#### Ejemplo
### Binario a decimal

Para realizar la conversión de binario a decimal, realice lo siguiente:
* Comience por el lado derecho del número en binario. Multiplique cada dígito por 2 elevado a la potencia consecutiva (comenzando por la potencia 0, 2$^0$).
* Después de realizar cada una de las multiplicaciones, súmelas todas y el número resultante será el equivalente al sistema decimal.
Ejemplos:
* (Los números de arriba indican la potencia a la que hay que elevar 2)
${\overset {5}{\mathop {1} }}\,{\overset {4}{\mathop {1} }}\,{\overset {3}{\mathop {0} }}\,{\overset {2}{\mathop {1} }}\,{\overset {1}{\mathop {0} }}\,{\overset {0}{\mathop {1} }}\,_{2}=1\cdot 2^{5}+1\cdot 2^{4}+0\cdot 2^{3}+1\cdot 2^{2}+0\cdot 2^{1}+1\cdot 2^{0}=32+16+0+4+0+1=53$
${\overset {7}{\mathop {1} }}\,{\overset {6}{\mathop {0} }}\,{\overset {5}{\mathop {0} }}\,{\overset {4}{\mathop {1} }}\,{\overset {3}{\mathop {0} }}\,{\overset {2}{\mathop {1} }}\,{\overset {1}{\mathop {1} }}\,{\overset {0}{\mathop {1} }}\,_{2}=1\cdot 2^{7}+0\cdot 2^{6}+0\cdot 2^{5}+1\cdot 2^{4}+0\cdot 2^{3}+1\cdot 2^{2}+1\cdot 2^{1}+1\cdot 2^{0}=128+0+0+16+0+4+2+1=151$
${\overset {5}{\mathop {1} }}\,{\overset {4}{\mathop {1} }}\,{\overset {3}{\mathop {0} }}\,{\overset {2}{\mathop {1} }}\,{\overset {1}{\mathop {1} }}\,{\overset {0}{\mathop {1} }}\,_{2}=1\cdot 2^{5}+1\cdot 2^{4}+0\cdot 2^{3}+1\cdot 2^{2}+1\cdot 2^{1}+1\cdot 2^{0}=32+16+0+4+2+1=55$
También se puede optar por utilizar los valores que presenta cada posición del número binario a ser transformado, comenzando de derecha a izquierda, y sumando los valores de las posiciones que tienen un 1.

#### Ejemplo

El número binario 1010010 corresponde en decimal al 82. Se puede representar de la siguiente manera:
${\overset {64}{\mathop {1} }}\,{\overset {32}{\mathop {0} }}\,{\overset {16}{\mathop {1} }}\,{\overset {8}{\mathop {0} }}\,{\overset {4}{\mathop {0} }}\,{\overset {2}{\mathop {1} }}\,{\overset {1}{\mathop {0} }}\,_{2}$
entonces se suman los números 64, 16 y 2:
${\overset {64}{\mathop {1} }}\,{\overset {32}{\mathop {0} }}\,{\overset {16}{\mathop {1} }}\,{\overset {8}{\mathop {0} }}\,{\overset {4}{\mathop {0} }}\,{\overset {2}{\mathop {1} }}\,{\overset {1}{\mathop {0} }}\,_{2}=64+16+2=82$
Para cambiar de binario con decimales a decimal se hace exactamente igual, salvo que la posición cero (en la que el dos es elevado a la cero) es la que está a la izquierda de la coma y se cuenta hacia la derecha a partir de -1:
${\begin{aligned}&{\overset {5}{\mathop {1} }}\,{\overset {4}{\mathop {1} }}\,{\overset {3}{\mathop {0} }}\,{\overset {2}{\mathop {1} }}\,{\overset {1}{\mathop {0} }}\,{\overset {0}{\mathop {1} }}\,,{\overset {-1}{\mathop {1} }}\,{\overset {-2}{\mathop {0} }}\,{\overset {-3}{\mathop {1} }}\,=1\cdot 2^{5}+1\cdot 2^{4}+0\cdot 2^{3}+1\cdot 2^{2}+0\cdot 2^{1}+1\cdot 2^{0}+1\cdot 2^{-1}+0\cdot 2^{-2}+1\cdot 2^{-3}=\\&=32+16+0+4+0+1+{\frac {1}{2^{1}}}+{\frac {0}{2^{2}}}+{\frac {1}{2^{3}}}=32+16+0+4+0+1+0,5+0+0,125=53,625\\\end{aligned}}$

### Binario a decimal (con parte fraccionaria binaria)

1. Inicie por el lado izquierdo (la primera cifra a la derecha de la coma), cada número deberá ser multiplicado por 2 elevado a la potencia consecutiva a la inversa (comenzando por la potencia -1, 2$^{-1}$).
2. Después de realizar cada una de las multiplicaciones, sume todas y el número resultante será el equivalente al sistema decimal.

#### Ejemplos

* 0,101001 (binario) = 0,640625(decimal). Proceso:
* 0,110111 (binario) = 0,859375(decimal). Proceso:

## Conversión entre sistema binario y octal
### Sistema binario a octal

Debido a que el sistema octal tiene como base 8, que es la tercera potencia de 2, y que dos es la base del sistema binario, es posible establecer un método directo para convertir de la base dos a la base ocho, sin tener que convertir de binario a decimal y luego de decimal a octal. Este método se describe a continuación:
Para realizar la conversión de binario a octal, realice lo siguiente:
1) Agrupe la cantidad binaria en grupos de 3 en 3 iniciando por el lado derecho. Si al terminar de agrupar no completa 3 dígitos, entonces agregue ceros a la izquierda.
2) Posteriormente vea el valor que corresponde de acuerdo a la tabla:
| Número en binario | 000 | 001 | 010 | 011 | 100 | 101 | 110 | 111 |
| Número en octal | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
3) La cantidad correspondiente en octal se agrupa de izquierda a derecha.

#### Ejemplos

* 110111 (binario) = 67 (octal). Proceso:
* 11001111 (binario) = 317 (octal). Proceso:
* 1000011 (binario) = 103 (octal). Proceso:
Si el número binario tiene parte decimal, se agrupa de tres en tres desde el punto decimal hacia la derecha siguiendo los mismos criterios establecidos anteriormente para números enteros. Por ejemplo:
0.01101 (binario) = 0.32 (octal) Proceso: 011 = 3 01 entonces agregue 010 = 2 Agrupe de izquierda a derecha: 32 Agregue la parte entera: 0.32

### Octal a binario

Cada dígito octal se convierte en su binario equivalente de 3 bits y se juntan en el mismo orden.

#### Ejemplo

* 247 (octal) = 010100111 (binario). El 2 en binario es 10, pero en binario de 3 bits es Oc(2) = B(010); el Oc(4) = B(100) y el Oc(7) = (111), luego el número en binario será 010100111.

## Conversión entre binario y hexadecimal
### Binario a hexadecimal

Para realizar la conversión de binario a hexadecimal, realice lo siguiente:
1) Agrupe la cantidad binaria en grupos de 4 en 4 iniciando por el lado derecho. Si al terminar de agrupar no completa 4 dígitos, entonces agregue ceros a la izquierda.
2) Posteriormente vea el valor que corresponde de acuerdo a la tabla:
| Número en binario | 0000 | 0001 | 0010 | 0011 | 0100 | 0101 | 0110 | 0111 | 1000 | 1001 | 1010 | 1011 | 1100 | 1101 | 1110 | 1111 |
| Número en hexadecimal | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | A | B | C | D | E | F |
3) La cantidad correspondiente en hexadecimal se agrupa de derecha a izquierda.

#### Ejemplos

* 110111010 (binario) = 1BA (hexadecimal). Proceso:
* 11011110101 (binario) = 6F5 (hexadecimal). Proceso:

### Hexadecimal a binario

Note que para pasar de Hexadecimal a binario, se remplaza el número Hexadecimal por el equivalente de 4 bits, de forma similar a como se hace de octal a binario.

# Octal
## Métodos de conversión octales
### Decimal

Para poder convertir un número en base decimal a base octal se divide dicho número entre 8, dejando el residuo y dividiendo el cociente sucesivamente por 8 hasta obtener residuo 0, luego los restos de las divisiones leídos en orden inverso indican el número en octal.
Para pasar de base 8 a base decimal, solo hay que multiplicar cada cifra por 8 elevado a la posición de la cifra, y sumar el resultado.

### Binario

Es más fácil pasar de binario a octal, porque solo hay que agrupar de 3 en 3 los dígitos binarios, así, el número 74 (en decimal) es 1001010 (en binario), lo agruparíamos como 1 / 001 / 010, después obtenemos el número en decimal de cada uno de los números en binario obtenidos: 1=1, 001=1 y 010=2. De modo que el número decimal 74 en octal es 112.

### Hexadecimal

Se procede a convertir en sistema binario ,y se agarran de 4 bits en 4 comenzando desde la derecha hacia la izquierda y se anotan los números.

# Hexadecimal
## Hexadecimal a Decimal
### Método de Intermedio Binario

Ejemplo
$FC2_{16}$
1.-Se convierte el número hexadecimal a binario
$F=1111C=11002=0010$
$111111000010_{2}$
2.-Se hace la misma conversión de binario a decimal
$(1*2^{11})+(1*2^{10})+(1*2^{9})+(1*2^{8})+(1*2^{7})+(1*2^{6})+(1*2^{1})=4034$

## Método de potencias de 16

Ejemplo
$A3F5_{16}$
1.-Se cuenta el número de digitos que hay en el número hexadecimal de derecha a izquierda.
En $A3F5_{16}$ tenemos 4 dígitos
2.-Se pone cómo base el número 16 en cada dígito, y se ponen cómo exponentes el número cero en adelante de derecha a izquierda igualemtne.
$16^{3}+16^{2}+16^{1}+16^{0}$
3.-Se convierten las letras A,B,C,D,E y F en 10,11,12,13,14 y 15.
4.-Se procede a hacer los productos y sumas correspondientes
$(10*16^{3})+(3*16^{2})+(15*16^{1})+(5*16^{0})=(10*4096)+(3*256)+(15*16)+(5*1)=41973$

## Decimal a Hexadecimal
# Tabla de conversión entre decimal, binario, octal y hexadecimal

| 0$_{hex}$ | = | 0$_{dec}$ | = | 0$_{oct}$ | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 1$_{hex}$ | = | 1$_{dec}$ | = | 1$_{oct}$ | 0 | 0 | 0 | 1 |
| 2$_{hex}$ | = | 2$_{dec}$ | = | 2$_{oct}$ | 0 | 0 | 1 | 0 |
| 3$_{hex}$ | = | 3$_{dec}$ | = | 3$_{oct}$ | 0 | 0 | 1 | 1 |
| 4$_{hex}$ | = | 4$_{dec}$ | = | 4$_{oct}$ | 0 | 1 | 0 | 0 |
| 5$_{hex}$ | = | 5$_{dec}$ | = | 5$_{oct}$ | 0 | 1 | 0 | 1 |
| 6$_{hex}$ | = | 6$_{dec}$ | = | 6$_{oct}$ | 0 | 1 | 1 | 0 |
| 7$_{hex}$ | = | 7$_{dec}$ | = | 7$_{oct}$ | 0 | 1 | 1 | 1 |
| 8$_{hex}$ | = | 8$_{dec}$ | = | 10$_{oct}$ | 1 | 0 | 0 | 0 |
| 9$_{hex}$ | = | 9$_{dec}$ | = | 11$_{oct}$ | 1 | 0 | 0 | 1 |
| A$_{hex}$ | = | 10$_{dec}$ | = | 12$_{oct}$ | 1 | 0 | 1 | 0 |
| B$_{hex}$ | = | 11$_{dec}$ | = | 13$_{oct}$ | 1 | 0 | 1 | 1 |
| C$_{hex}$ | = | 12$_{dec}$ | = | 14$_{oct}$ | 1 | 1 | 0 | 0 |
| D$_{hex}$ | = | 13$_{dec}$ | = | 15$_{oct}$ | 1 | 1 | 0 | 1 |
| E$_{hex}$ | = | 14$_{dec}$ | = | 16$_{oct}$ | 1 | 1 | 1 | 0 |
| F$_{hex}$ | = | 15$_{dec}$ | = | 17$_{oct}$ | 1 | 1 | 1 | 1 |
* ↑ ING. EVA VIVEROS ZENTENO. «Matemáticas Discretas». Consultado el 14 de marzo de 2106.
* ↑ Nieves, Antonio (1999). Métodos Numéricos.. Continental, S.A de C.V.