# Análisis matemático/Cálculo Integral

La idea del cálculo integral consiste en calcular, en general, superficies curvilíneas, es decir, el área entre la gráfica de una función y el eje-x.
Estamos de acuerdo con la siguiente notación:
$S=\int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} x$
Es la integral definida de la función f(x) de variable x, entre los límites de a a b. Se pretende que la zona entre la curva y el eje x, como en la imagen de arriba, es la superficie S. Más específicamente, es que esta es una integral de Riemann (por ejemplo, Riemann), hay también integrante líneas generales.
El cálculo integral se refiere al cálculo de integrales tales.

## Aspecto geométrico

Para hacer la integral de manera sistemática "de vuelta al espacio", que es abordado por las llamadas sumas superior e inferior de rectángulos cada vez más precisos.
* segun integral de Riemann
* por exceso
Las áreas de los rectángulos ahora se pueden calcular fácilmente, así que tenemos un límite superior y un límite inferior para la zona.
| $\int _{0}^{1}x^{2}\mathrm {d} x$ | $>R_{1}\,$ | $+R_{2}\,$ | $+R_{3}\,$ | $+R_{4}\,$ |
| | $={\frac {1}{4}}\cdot 0^{2}$ | $+{\frac {1}{4}}\cdot \left({\frac {1}{4}}\right)^{2}$ | $+{\frac {1}{4}}\cdot \left({\frac {2}{4}}\right)^{2}$ | $+{\frac {1}{4}}\cdot \left({\frac {3}{4}}\right)^{2},\qquad {\text{donde cada rectangulo }}{\tfrac {1}{4}}{\text{ largo y tan alto}}$ |
| | $=0{,}21875\,$ |
Analógamente la suma superior calculada:
| $\int _{0}^{1}x^{2}\mathrm {d} x$ | $<R_{1}\,$ | $+R_{2}\,$ | $+R_{3}\,$ | $+R_{4}\,$ |
| | $+{\frac {1}{4}}\cdot \left({\frac {1}{4}}\right)^{2}$ | $+{\frac {1}{4}}\cdot \left({\frac {2}{4}}\right)^{2}$ | $+{\frac {1}{4}}\cdot \left({\frac {3}{4}}\right)^{2}$ | $+{\frac {1}{4}}\cdot \left({\frac {4}{4}}\right)^{2}$ |
| | $=0{,}46875\,$ |
Entonces vale:
    $0{,}21875<\int _{0}^{1}x^{2}\mathrm {d} x<0{,}46875$

#### Para un enfoque general

Aqui se tiene para la n-esima suma por defecto $U_{n}$:
    $U_{n}={\frac {1}{n}}\cdot 0^{2}+{\frac {1}{n}}\cdot \left({\frac {1}{n}}\right)^{2}+{\frac {1}{n}}\left({\frac {2}{n}}\right)^{2}+{\frac {1}{n}}\cdot \left({\frac {3}{n}}\right)^{2}+\cdots +{\frac {1}{n}}\cdot \left({\frac {n-1}{n}}\right)^{2}$
y la n-esima suma por exceso $O_{n}$:
    $O_{n}={\frac {1}{n}}\cdot \left({\frac {1}{n}}\right)^{2}+{\frac {1}{n}}\left({\frac {2}{n}}\right)^{2}+{\frac {1}{n}}\cdot \left({\frac {3}{n}}\right)^{2}+\cdots +{\frac {1}{n}}\cdot \left({\frac {n}{n}}\right)^{2}$
Y para sacar el valor exacto de la Integral, definimos formalmente
    $\int _{1}^{2}x^{2}\mathrm {d} x=\lim _{n\to \infty }U_{n}=\lim _{n\to \infty }O_{n}$
que en el caso es la igual.
Primero sacamos por la suma por exceso:
    $\left.O_{n}={\frac {1}{n}}\cdot \left({\frac {1}{n}}\right)^{2}+{\frac {1}{n}}\left({\frac {2}{n}}\right)^{2}+{\frac {1}{n}}\cdot \left({\frac {3}{n}}\right)^{2}+\cdots +{\frac {1}{n}}\cdot \left({\frac {n}{n}}\right)^{2}\qquad \right|{\text{ factorizamos por }}{\tfrac {1}{n}}{\text{, quadriere die }}\mathrm {Br{\ddot {u}}che}$
       $=\left.{\frac {1}{n}}\left[{\frac {1^{2}}{n^{2}}}+{\frac {2^{2}}{n^{2}}}+{\frac {3^{2}}{n^{2}}}+\cdots {\frac {n^{2}}{n^{2}}}\right]\qquad \qquad \qquad \right|{\text{ resolvemos }}{\tfrac {1}{n^{2}}}{\text{ las potencias}}$
       $={\frac {1}{n}}\left[{\frac {1}{n^{2}}}\cdot \left(1^{2}+2^{2}+3^{2}+\cdots +n^{2}\right)\right]\qquad {\text{ con }}1^{2}+2^{2}+3^{2}+...+n^{2}={\tfrac {1}{6}}n(n+1)(2n+1)$
       $=\left.{\frac {1}{n}}\left[{\frac {n(n+1)(2n+1)}{6n^{2}}}\right]\qquad \qquad \qquad \right|{\text{ resolviendo el parentesis, }}{\tfrac {1}{n}}{\text{se simplifica}}$
       $={\frac {(n+1)(2n+1)}{6n^{2}}}$
       $={\frac {2n^{2}+3n+1}{6n^{2}}}$
       $={\frac {2n^{2}}{6n^{2}}}+{\frac {3n}{6n^{2}}}+{\frac {1}{6n^{2}}}$
       $={\frac {1}{3}}+{\frac {1}{2n}}+{\frac {1}{6n^{2}}}$
Con lo que el valor limite será:
    $\lim _{n\to \infty }O_{n}=\lim _{n\to \infty }{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{2n}}+{\frac {1}{6n^{2}}}={\frac {1}{3}}$
Para la suma por defecto se tiene
    $U_{n}=O_{n}-{\frac {1}{n}}\cdot 1^{2}$
y de todos modos analógamente
    $\lim _{n\to \infty }U_{n}={\frac {1}{3}}$
entonces tenemos:
    $\int _{0}^{1}x^{2}\mathrm {d} x={\frac {1}{3}}$

## Corolario

La sabiduría de las Matemáticas "La diferenciación es un arte, la integración de un arte" ya se ha señalado, no existe un procedimiento general para la determinación (exacto) de una integral, es decir, en particular, la función potencial. Hay técnicas como la integración por partes o por sustitución, con la que uno - es parte integral de - pero incluso con una buena "mente matemática".
Otros conceptos son parte integral de la integral de Lebesgue y la integral de Stieltjes, una superior y un límite inferior de la zona.