# Matemáticas/Espacios Métricos/Funciones
## Las Funciones
### Definiciones y Convenios

Llamamos función de un conjunto A en un conjunto B a la asignación a cada elemento de A de un único elemento de B.
    La asignación puede ser una regla, una fórmula, una expresión verbal o cualquier cosa que nos permita dado un elemento de A identificar el correspondiente elemento de B.
Simbolizamos por f: A → B a una función de A en B. Llamamos dominio de la función f al conjunto A, mientras que el conjunto B es el codominio. La flecha representa la regla de la función, o sea lo que asigna a cada elemento de A el correspondiente elemento de B. Finalmente, f es el nombre de la función.
Sea f una función de A en B. Sea x un elemento de A y sea y el correspondiente elemento de B asignado a x por la función. simbolizamos dicha situación por y = f(x) o por x ↦ y. Nos referimos a esa situación diciendo que "y es el valor de f en x" o que "f envía x en y". También podremos decir que "y es la imagen por f de y".
Cuando especifiquemos una función podremos escribir "f: A → B:: x ↦ y", lo que leeremos como "la función f de A en B que envía x en y". Por ejemplo, f: R → R::x ↦ x$^2$"es la función que asigana a cada número real x, su cuadrado x$^2$.
Simbolizamos por F(A,B) al conjunto formado por todas las funciones de A en B.
Llamamos imagen de f al subconjunto de B formado por todos elementos que son imagen de algún elemento de A.
(Igualdad de Funciones) Decimos que las funciones f y g en F(A,B) son iguales, ssi, para todo a en A se cumple que f(a) = g(a).
    Notemos que para que dos funciones sean iguales deberán tener igual dominio e igual condominio y la misma regla de asignación.
(La función identidad) En cualquier conjunto A, la función identidad es aquella que asigna a cada elemento x de A , el mismo elemento x. Notación: 1_A, id_A o simplemente id. (1_A(x) := x)

### La Composición de Funciones

Sean f:A → B y g:B → C, la composición de g con f es una función de A en C simbolizada por g o f y tal que
* $(g\circ f)(x)=g(f(x)).$
La composición de varias funciones, cuando está definida, es asociativa y las correspondientes funciones identidad son un neutro por derecha o izquierda

### La Clasificación de las Funciones

Sea f:A → B una función. Dado un elemento b de B consideramos la ecuación f(x)=b (*). Las soluciones de esa ecuación son todos los elementos de A cuyas imágenes son iguales al elemento b de B.
* Decimos que f es suprayectiva o que es una suprayección, ssi, para todo b en B, la ecuación f(x) = b tiene al menos una solución. Es decir que cada elemento de $B$ es imagen de algún elemento de A, o sea que im(f) = B.
* Decimos que f es inyectiva o que es una inyección, ssi, para todo b en B, la ecuación f(x) = b tiene a lo más una solución. Es decir que elementos de A que tienen la misma imagen por f , deben ser iguales,
* Decimos que f es biyectiva o que es una biyección, ssi, para todo b en B, la ecuación f(x)=b tiene exactamente una solución. Claramente esto pasa cuando, y solo cuando, la función es inyectiva y suprayectiva a la vez.
Ejemplos.
* La función identidad es una biyección en cualquier conjunto.
* La función definida por la inclusión de un subconjunto A de B, x ↦ x es inyectiva (inyección canónica). Tal función no es suprayectiva, a menos que el subconjunto coincida con el conjunto.
* La función de un conjunto A en un conjunto cociente A/~ que asigna a cada elemento x de X su clase de equivalencia [x], es suprayectiva (suprayección canónica).
* Sean A y B dos conjuntos cualesquiera. La función de A x B en A (resp. en B) que asigna a cada par (a,b) su primera (resp. su segunda) coordenada es una función suprayectiva, llamada la primera (resp. la segunda) proyección.
La siguiente proposición nos informa acerca de la relación entre la composición de funciones y la ``yectividad de las mismas.
Proposición

### La Función Inversa

(Inversa de una Función) Sea f: A → B una función. Decimos que f es invertible con inversa g: B → A, ssi,
Proposicion (Propiedades de las inversas)
Cuando f:A → B es biyectiva, la inversa es tal que para todo y en B, f$^{-1}$(y)=x, donde x es el único elemento de A tal que f(x) =y.

## Funciones y Subconjuntos

Sea f : A → B una función, X un subconjunto de A y Y un subconjunto de B.
* Llamamos imagen (o imagen directa) de X por f al subconjunto de B denotado f(X) y formado por las imágenes de todos los elementos de X. f(X) := { y ∈ B : hay un x en X tal que f(x)=y.}
* Llamamos preimagen (o imagen inversa) de Y por la función f al subconjunto de A denotado por f$^{-1}$(Y) y que está formado por todos los x de A tales que f(x) está en Y. f$^{-1}$(Y) := { x ∈ A : f(x) ∈ Y}.
Se cumple que (g ◦ f)(A) = g(f(A)) y (g ◦ f)$^{-1}$(B) = f$^{-1}$(g$^{-1}$(B)).
Proposicion (Propiedades de las Imágenes Directas).