# Matemáticas/Espacios Métricos/Conjuntos
## Los Conjuntos

Este apéndice contiene un resumen de las nociones acerca de conjuntos usadas en el texto

### Las Operaciones con Subconjuntos

Los conjuntos son usualmente denotados por letras mayúsculas y sus elementos por letras minúsculas. Los conjuntos se presentan ya sea por enumeración o por especificación. La presentación por enumeración presenta explícitamente los elementos como por ejemplo {1, 3, 5, 7, 9}. Las presentación por especificación indica los elementos como aquellos que satisfacen una propiedad. Por ejemplo, podemos expresar el conjunto anterior como {x en N: x es impar y menor que 10}.
(Igualdad.) Dos conjuntos son iguales cuando tienen los mismos elementos.
(Inclusión.) Cuando todos los elementos de un conjunto A están en un conjunto B, decimos que A es un subconjunto de B (A ⊂ B) o que B es un superconjunto de A (A ⊃ B). En ambas relaciones los conjuntos pueden ser iguales. Notemos que A = B, ssi, A ⊂ B y B ⊂ A.
(Conjunto vacío) El conjunto vacío es un conjunto sin elementos denotado por { } o ∅. El conjunto vacío está contenido en cualquier otro conjunto.
(Operaciones con Subconjuntos Supondremos que todos nuestros conjuntos son subconjuntos de un conjunto $\scriptstyle {\mathcal {U}}$, llamado el conjunto universal o universo del discurso. Recordemos las principales operaciones con conjuntos. Sean A y B conjuntos (subconjuntos del universal).
* (Reunión) A ∪ B = { x ∈ $\scriptstyle {\mathcal {U}}$ : x ∈ A o x ∈ B}.
* (Intersección) A ∩ B = { x ∈ $\scriptstyle {\mathcal {U}}$ : x ∈ A y x ∈ B.
* (Complemento) A$^c$ = { x ∈ $\scriptstyle {\mathcal {U}}$ : x ≠ A}.
* (Diferencia) A \ B = { x ∈ $\scriptstyle {\mathcal {U}}$ : x ∈ A y x ∉ B}.
Suponemos conocidas las principales propiedades de esas operaciones. En particular que la reunión e intersección son asociativas, conmutativas, idempotentes y distributivas una respecto a la otra.

#### Algunas Propiedades Especiales

Las siguientes propiedades se usan frecuentemente en el texto. Sean A, B y C conjuntos. Entonces se cumple que:
* A = B, ssi, (A ⊂ B) y (B ⊂ A).
* A ⊂ B ==> B$^c$ ⊂ A$^c$.
* (Leyes de Morgan) (A ∪ B)$^c$ = A$^c$ ∩ B$^c$ y (A ∩ B)$^c$ = A$^c$ ∪ B$^c$.
* A, B ⊂ C ==> A ∪ B ⊂ C.
* A, B ⊃ C ==> A ∩ B ⊃ C.

### El Producto Cartesiano

Sean A y B conjuntos. Llamamos producto cartesiano de A y B al conjunto denotado por A x B y que está formado por todos los pares ordenados (a,b), donde a es un elemento de A y b es un elemento de B. Llamamos coordenadas de (a,b) al a (primera coordenada) y al b (segunda coordenada).
El producto cartesiano es distributivo respecto a la unión e intersección de conjuntos.
$A\times (B\cup C)=(A\times B)\cup (A\times C)\quad A\times (B\cap C)=(A\times B)\cap (A\times C).$
De manera análoga, podemos usar triples, cuartetos, ...etc. ordenados para formar productos de tres, cuatro, ... etc. conjuntos.
El producto cartesiano de n copias de un mismo conjunto A se denota por A$^n$, el conjunto de las n-uplas de elementos de A.

## Los Conjuntos Cocientes

Relación de equivalencia. Una relación ∼ en un conjunto A es una relación de equivalencia, ssi, es
* reflexiva, x ∼ x,
* simétrica, x ∼ y ==> y ∼ x,
* transitiva, x ∼ y y y ∼ z ==> x ∼ z.
Sea ∼ una relación de equivalencia en un conjunto A. Decimos que los elementos x, y son equivalentes, cuando se cumpla que x ∼ y. Para cada x de A, llamamos clase de equivalencia de x al subconjunto de A, [x], formado por todos los elementos de A que son equivalentes con x.
[x] := { y ∈ A : y ∼ x }.
    Se verifica que dos clases de equivalencia o son iguales o son disjuntas, y que la reunión de todas las clases de equivalencia es el conjunto A.
Conjunto cociente. Sea ∼ una relación de equivalencia en un conjunto A. Llamamos "conjunto cociene de A por la relación ∼" al conjunto denotado por A/∼ y que está formado por todas las clases de equivalencia de la relación.
* ↑ Prefiero usar reunión en vez de unión, porque caracteriza más la idea envuelta.