# Ecuación de Colebrook-White

La Ecuación de Colebrook-White es una fórmula usada en hidráulica para el cálculo del factor de fricción de Darcy $\lambda$ también conocido como coeficiente de rozamiento. Se trata del mismo factor $f$ que aparece en la ecuación de Darcy-Weisbach.
La expresión de la fórmula de Colebrook-White (1937, 1939) es la siguiente:
${\frac {1}{\sqrt {\lambda }}}=-2\log _{10}{\left({\frac {k/D}{3,7}}+{\frac {2,51}{Re{\sqrt {\lambda }}}}\right)}$ :
| Símbolo | Nombre |
| $Re$ | Número de Reynolds |
| $k/D$ | Rugosidad relativa |
| $\lambda$ | Factor de fricción |
El campo de aplicación de esta fórmula se encuentra en la zona de transición de flujo laminar a flujo turbulento y flujo turbulento. Para la obtención de $\lambda$ es necesario el uso de métodos iterativos. Otra forma más sencilla y directa de obtener el valor de $\lambda$ es hacer uso del diagrama de Moody.
Para el caso particular de tuberías lisas la rugosidad relativa, es decir la relación entre la rugosidad en las paredes de la tubería y el diámetro de la misma, es muy pequeño con lo que el término $k/D$ es muy pequeño y puede despreciarse el primer sumando situado dentro del paréntesis de la ecuación anterior. Quedando en este caso particular la ecuación del siguiente modo:
   ${\frac {1}{\sqrt {\lambda }}}=2\log _{10}{\left(Re{\sqrt {\lambda }}\right)}-0,8$
Para números de Reynolds muy grandes el segundo sumando situado dentro del paréntesis de la ecuación de Colebrook-White es despreciable. En este caso la viscosidad no influye en la práctica a la hora de determinar el coeficiente de fricción, este únicamente depende de la rugosidad relativa $k/D$ de la tubería. Esto se manifiesta en el diagrama de Moody en que en la curva para valores elevados de $Re$ se hacen rectas horizontales.

## Aproximaciones conocidas para el cálculo del factor de fricción

Para la solución de la ecuación implícita de Colebrook-White se han planteado diversos técnicas divididas en dos tipos principalmente

### Métodos iterativos implícitos.

Existen varias formas de solucionar la ecuación de Colebrook-White de forma iterativa pero se presenta aquí solo el algoritmo de Newton-Raphson.

#### Solución implícita por Iteración de Método de Newton-Raphson

La ecuación se plantea con un proceso iterativo en $\lambda$.
Primero es necesario suponer un valor de $\lambda =0.001$
Calcular:
    $x={1 \over {\lambda }^{0.5}}$
    $a={{k/\ D} \over 3.70}$
    $b={2.51 \over Re}$
    $f(x)={-2.0\cdot log_{10}{(a+b\cdot x)}}$
    $f'(x)={-2.0 \over {ln(10)}}\cdot ({b \over {a+b\cdot x}})$
    $\Delta ={{f(x)-x} \over {f'(x)-1}}$
Si $\Delta >~1e^{-8}$ entonces
    $x=x-\Delta$
Repetir hasta lograr convergencia en $x$.
Por último calcular $\lambda$ a partir de $x$.
    $\lambda ={1 \over x^{2}}$
Donde $\lambda$ está en función de:
| Símbolo | Nombre | Unidad |
| $k$ | Rugosidad de la tubería | (mm) o (pulg) |
| $D$ | Diámetro | (mm) o (pulg) |
| $Re$ | Número de Reynolds | |

### Métodos directos, explícitos.

Existen muchas ecuaciones explícitas a la ecuación de Colebrook-White como:
* Moody (1944, 1947),
* Wood (1966),
* Eck (1973),
* Churchill (1973),
* Swamee & Jain (1976),
* Chen (1979),
* Round (1980),
* Barr (1981),
* Zigrang and Sylvester (1982),
* Haaland (1983),
* Serghides (1984),
* Manadilli (1997),
* Romeo et al (2002),
* Sonnad and Goudar (2006),
* Buzelli (2008),
* Avci and Karagoz (2009),
* Papaevangelou et al. (2010) and
* Brkic (2011).
Sin embargo debe recordarse que estas ecuaciones corresponden a aproximaciones y regresiones de valores calculados a partir de métodos implícitos como el de Newton-Raphson. Tan sólo la ecuación de Avci and Karagoz (2009) ha sido desarrollada a partir de datos de laboratorio recientes conocidos como "Princeton University super-pipe data".

#### Solución explícita con la ecuación de Goudar–Sonnad

La ecuación de Goudar es una de las aproximaciones para hallar el factor de fricción $\lambda$ de Darcy–Weisbach, en tuberías circulares; la cual ha sido calculada de la ecuación de Colebrook–White. Teniéndose:
    $a={2 \over \ln(10)}$
    $b={k/D \over 3.7}$
    $d={\ln(10)Re \over 5.02}$
    $s={bd+\ln(d)}$
    $q={{s}^{s/(s+1)}}$
    $g={bd+\ln {d \over q}}$
    $z={\ln {q \over g}}$
    $D_{LA}=z{g \over {g+1}}$
    $D_{CFA}=D_{LA}\left(1+{\frac {z/2}{(g+1)^{2}+(z/3)(2g-1)}}\right)$
    ${\frac {1}{\sqrt {\lambda }}}={a\left[\ln \left({\frac {d}{q}}\right)+D_{CFA}\right]}$
Donde λ está en función de:
* Rugosidad de la tubería, $k$ (mm, pulgada)
* Diámetro, $D$ (mm, pulgada)
* Número de Reynolds, $Re$ (adimensional).

#### Discusión acerca del error de las aproximaciones

Brkic, encontró que las aproximaciones con menor error máximo (<0.14%) son las de Romeo-Royo-Monzon, Buzelli, Serghides, Zigrang-Silvester. Mientras que del otro lado de la balanza, las aproximaciones con mayor error relativo (>8.0%) fueron las de Eck, Round, Moody, Wood, Rao-Kumar.
Un resultado interesante de este trabajo radica en que la aproximación más usada para aproximar la ecuación de Colebrook suele ser la de Swamee y Jain, pero esta presenta un error máximo relativo superior al 2.0%.