# Polinomios asociados de Legendre

En matemáticas, los polinomios asociados de Legendre son las soluciones canónicas de la ecuación de Legendre
    $(1-x^{2})\,y''-2xy'+\left(\ell [\ell +1]-{\frac {m^{2}}{1-x^{2}}}\right)\,y=0,\,$
o de forma equivalente
    $([1-x^{2}]\,y')'+\left(\ell [\ell +1]-{\frac {m^{2}}{1-x^{2}}}\right)\,y=0,\,$
donde los índices ℓ y m (los cuales son enteros) son el grado y el orden del polinomio asociado de Legendre respectivamente. Esta ecuación tiene soluciones distintas de cero que son no singulares en [−1, 1] solo si ℓ y m son enteros con 0 ≤ m ≤ ℓ, o con valores negativos trivialmente equivalentes. Si además m es par, la función es un polinomio. Cuando m es cero y ℓ entero, estas funciones son idénticas a los polinomios de Legendre. En general, cuando ℓ y m son enteros, las soluciones regulares a veces son llamadas "polinomios asociados de Legendre", incluso cuando estas no son polinomios en el caso de que m sea impar. La clase de funciones en el caso completamente general con valores reales o complejos de ℓ y m son llamadas funciones de Legendre. En este caso los parámetros son usualmente etiquetados con letras griegas.
La ecuación diferencial ordinaria de Legendre es encontrada frecuentemente en física además de otros campos. En particular, esta ecuación aparece cuando se soluciona la ecuación de Laplace (y ecuaciones en derivadas parciales similares). Los polinomios asociados de Legendre desempeñan un papel vital en la definición de los armónicos esféricos.

## Definición para valores no negativos de ℓ y m

Estas funciones son denotadas como $P_{\ell }^{m}(x)$, donde el superíndice indica el orden, y no la potencia de P. Su definición más directa se da en términos de las derivadas de los polinomios de Legendre ordinarios (m ≥ 0)
    $P_{\ell }^{m}(x)=(-1)^{m}\ (1-x^{2})^{m/2}\ {\frac {d^{m}}{dx^{m}}}\left(P_{\ell }(x)\right)\,$
El factor (−1)$^m$ en esta fórmula es conocido como la fase de Condon–Shortley. Algunos autores la omiten. Las funciones descritas por esta ecuación satisfacen la ecuación diferencial de Legendre dado un parámetro ℓ, y m indica las veces que se deriva la ecuación de Legendre P$_ℓ$
    $(1-x^{2}){\frac {d^{2}}{dx^{2}}}P_{\ell }(x)-2x{\frac {d}{dx}}P_{\ell }(x)+\ell (\ell +1)P_{\ell }(x)=0.$
Más aún, dado que por la fórmula de Rodrigues
    $P_{\ell }(x)={\frac {1}{2^{\ell }\,\ell !}}\ {\frac {d^{\ell }}{dx^{\ell }}}\left[(x^{2}-1)^{\ell }\right],$
el Pm ℓ puede ser expresado de la forma
    $P_{\ell }^{m}(x)={\frac {(-1)^{m}}{2^{\ell }\ell !}}(1-x^{2})^{m/2}\ {\frac {d^{\ell +m}}{dx^{\ell +m}}}(x^{2}-1)^{\ell }.$
Esta ecuación permite la extensión del rango de m a: −ℓ ≤ m ≤ ℓ. Las definiciones de P$_ℓ$$^{±m}$ obtenidas de esta expresión por sustitución de ±m, son proporcionales. Es decir, se igualan los coeficientes de la misma potencia a la izquierda y derecha de
    ${\frac {d^{\ell -m}}{dx^{\ell -m}}}(x^{2}-1)^{\ell }=c_{lm}(1-x^{2})^{m}{\frac {d^{\ell +m}}{dx^{\ell +m}}}(x^{2}-1)^{\ell },$
y se tiene que la constante de proporcionalidad es
    $c_{lm}=(-1)^{m}{\frac {(\ell -m)!}{(\ell +m)!}},$
de manera que
    $P_{\ell }^{-m}(x)=(-1)^{m}{\frac {(\ell -m)!}{(\ell +m)!}}P_{\ell }^{m}(x).$

### Notaciones alternativas

Las siguientes definiciones alternativas también son usadas en la literatura:
    $P_{\ell m}(x)=(-1)^{m}P_{\ell }^{m}(x)$

## Ortogonalidad

Asumiendo que 0 ≤ m ≤ ℓ, se satisface la condición de ortogonalidad para un m fijo:
    $\int _{-1}^{1}P_{k}^{m}P_{\ell }^{m}dx={\frac {2(\ell +m)!}{(2\ell +1)(\ell -m)!}}\ \delta _{k,\ell }$
Donde δ$_{k,ℓ}$ es la delta de Kronecker.
Similarmente, también se satisface la condición de ortogonalidad para un ℓ fijo:
    $\int _{-1}^{1}{\frac {P_{\ell }^{m}P_{\ell }^{n}}{1-x^{2}}}dx={\begin{cases}0&{\mbox{si }}m\neq n\\{\frac {(\ell +m)!}{m(\ell -m)!}}&{\mbox{si }}m=n\neq 0\\\infty &{\mbox{si }}m=n=0\end{cases}}$

## m y/o ℓ negativos

La ecuación diferencial es claramente invariante bajo un cambio de signo de m.
Se vio arriba que para las funciones con un m negativo, estas debían ser proporcionales a las funciones donde se tenía un m positivo:
    $P_{\ell }^{-m}=(-1)^{m}{\frac {(\ell -m)!}{(\ell +m)!}}P_{\ell }^{m}$
(Esto se obtiene de la definición de la fórmula de Rodrigues. Esta definición también hace que las diferentes fórmulas de recurrencia funcionen para valores de m positivos o negativos.)
${\textrm {Si}}\quad {\mid }m{\mid }>\ell \,\quad \mathrm {entonces} \quad P_{\ell }^{m}=0.\,$
La ecuación diferencial también es invariante bajo un cambio de ℓ a −ℓ − 1, y las funciones para ℓ negativo son definidas por
    $P_{-\ell }^{m}=P_{\ell -1}^{m},\ (\ell =1,\,2,\,...)$.

## Los primeros polinomios asociados de legendre

A continuación se muestran los primeros polinomios asociados de Legendre, incluyendo aquellos para los que se tienen valores negativos de m:
    $P_{0}^{0}(x)=1$
    $P_{1}^{-1}(x)=-{\begin{matrix}{\frac {1}{2}}\end{matrix}}P_{1}^{1}(x)$
    $P_{1}^{0}(x)=x$
    $P_{1}^{1}(x)=-(1-x^{2})^{1/2}$
    $P_{2}^{-2}(x)={\begin{matrix}{\frac {1}{24}}\end{matrix}}P_{2}^{2}(x)$
    $P_{2}^{-1}(x)=-{\begin{matrix}{\frac {1}{6}}\end{matrix}}P_{2}^{1}(x)$
    $P_{2}^{0}(x)={\begin{matrix}{\frac {1}{2}}\end{matrix}}(3x^{2}-1)$
    $P_{2}^{1}(x)=-3x(1-x^{2})^{1/2}$
    $P_{2}^{2}(x)=3(1-x^{2})$
    $P_{3}^{-3}(x)=-{\begin{matrix}{\frac {1}{720}}\end{matrix}}P_{3}^{3}(x)$
    $P_{3}^{-2}(x)={\begin{matrix}{\frac {1}{120}}\end{matrix}}P_{3}^{2}(x)$
    $P_{3}^{-1}(x)=-{\begin{matrix}{\frac {1}{12}}\end{matrix}}P_{3}^{1}(x)$
    $P_{3}^{0}(x)={\begin{matrix}{\frac {1}{2}}\end{matrix}}(5x^{3}-3x)$
    $P_{3}^{1}(x)=-{\begin{matrix}{\frac {3}{2}}\end{matrix}}(5x^{2}-1)(1-x^{2})^{1/2}$
    $P_{3}^{2}(x)=15x(1-x^{2})$
    $P_{3}^{3}(x)=-15(1-x^{2})^{3/2}$
    $P_{4}^{-4}(x)={\begin{matrix}{\frac {1}{40320}}\end{matrix}}P_{4}^{4}(x)$
    $P_{4}^{-3}(x)=-{\begin{matrix}{\frac {1}{5040}}\end{matrix}}P_{4}^{3}(x)$
    $P_{4}^{-2}(x)={\begin{matrix}{\frac {1}{360}}\end{matrix}}P_{4}^{2}(x)$
    $P_{4}^{-1}(x)=-{\begin{matrix}{\frac {1}{20}}\end{matrix}}P_{4}^{1}(x)$
    $P_{4}^{0}(x)={\begin{matrix}{\frac {1}{8}}\end{matrix}}(35x^{4}-30x^{2}+3)$
    $P_{4}^{1}(x)=-{\begin{matrix}{\frac {5}{2}}\end{matrix}}(7x^{3}-3x)(1-x^{2})^{1/2}$
    $P_{4}^{2}(x)={\begin{matrix}{\frac {15}{2}}\end{matrix}}(7x^{2}-1)(1-x^{2})$
    $P_{4}^{3}(x)=-105x(1-x^{2})^{3/2}$
    $P_{4}^{4}(x)=105(1-x^{2})^{2}$

## Fórmulas de recurrencia

Estas funciones tienen algunas propiedades de recurrencia:
    $(\ell -m+1)P_{\ell +1}^{m}(x)=(2\ell +1)xP_{\ell }^{m}(x)-(\ell +m)P_{\ell -1}^{m}(x)$
    $2mxP_{\ell }^{m}(x)=-{\sqrt {1-x^{2}}}\left[P_{\ell }^{m+1}(x)+(\ell +m)(\ell -m+1)P_{\ell }^{m-1}(x)\right]$
    ${\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}P_{\ell }^{m}(x)={\frac {-1}{2m}}\left[P_{\ell -1}^{m+1}(x)+(\ell +m-1)(\ell +m)P_{\ell -1}^{m-1}(x)\right]$
    ${\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}P_{\ell }^{m}(x)={\frac {-1}{2m}}\left[P_{\ell +1}^{m+1}(x)+(\ell -m+1)(\ell -m+2)P_{\ell +1}^{m-1}(x)\right]$
    ${\sqrt {1-x^{2}}}P_{\ell }^{m}(x)={\frac {1}{2\ell +1}}\left[(\ell -m+1)(\ell -m+2)P_{\ell +1}^{m-1}(x)-(\ell +m-1)(\ell +m)P_{\ell -1}^{m-1}(x)\right]$
    ${\sqrt {1-x^{2}}}P_{\ell }^{m}(x)={\frac {1}{2\ell +1}}\left[P_{\ell -1}^{m+1}(x)-P_{\ell +1}^{m+1}(x)\right]$
    ${\sqrt {1-x^{2}}}P_{\ell }^{m+1}(x)=(\ell -m)xP_{\ell }^{m}(x)-(\ell +m)P_{\ell -1}^{m}(x)$
    ${\sqrt {1-x^{2}}}P_{\ell }^{m+1}(x)=(\ell -m+1)P_{\ell +1}^{m}(x)-(\ell +m+1)xP_{\ell }^{m}(x)$
    ${\sqrt {1-x^{2}}}{P_{\ell }^{m}}'(x)={\frac {1}{2}}\left[(\ell +m)(\ell -m+1)P_{\ell }^{m-1}(x)-P_{\ell }^{m+1}(x)\right]$
    $(1-x^{2}){P_{\ell }^{m}}'(x)={\frac {1}{2\ell +1}}\left[(\ell +1)(\ell +m)P_{\ell -1}^{m}(x)-\ell (\ell -m+1)P_{\ell +1}^{m}(x)\right]$
    $(x^{2}-1){P_{\ell }^{m}}'(x)={\ell }xP_{\ell }^{m}(x)-(\ell +m)P_{\ell -1}^{m}(x)$
    $(x^{2}-1){P_{\ell }^{m}}'(x)={\sqrt {1-x^{2}}}P_{\ell }^{m+1}(x)+mxP_{\ell }^{m}(x)$
    $(x^{2}-1){P_{\ell }^{m}}'(x)=-(\ell +m)(\ell -m+1){\sqrt {1-x^{2}}}P_{\ell }^{m-1}(x)-mxP_{\ell }^{m}(x)$
Algunas identidades útiles (valores iniciales para la primera recursión):
    $P_{\ell +1}^{\ell +1}(x)=-(2\ell +1){\sqrt {1-x^{2}}}P_{\ell }^{\ell }(x)$
    $P_{\ell }^{\ell }(x)=(-1)^{l}(2\ell -1)!!(1-x^{2})^{(l/2)}$
    $P_{\ell +1}^{\ell }(x)=x(2\ell +1)P_{\ell }^{\ell }(x)$
donde !! es el doble factorial.