# Elemento conjugado

En matemáticas, los elementos conjugados de un elemento algebraico x en un cuerpo K son las raíces de su polinomio mínimo en K, en una extensión L de K donde este polinomio es dividido (es decir, se puede expresar como un producto de monomios).
De manera equivalente, los conjugados de x son la imagen de x generada por los K-automorfismos de L/K.

## Ejemplos

* Si α es un elemento de K, su polinomio mínimo sobre K es X – α, por lo tanto, su único conjugado sobre K es él mismo.
* Si α = a + ib es un número complejo no real, es decir, si su parte imaginaria b no es cero, entonces su polinomio mínimo en ℝ es (X – α)(X – α) = X$^2$ – 2aX + a$^2$+b$^2$, y por lo tanto, sus conjugados en ℝ son α y su número complejo conjugado α.
* Las raíces cúbicas de la unidad en ℂ son
$1,\quad \mathrm {j} =\mathrm {e} ^{\frac {2\mathrm {i} \pi }{3}}={\frac {-1+\mathrm {i} {\sqrt {3}}}{2}}\quad {\text{y}}\quad \mathrm {j} ^{2}={\overline {\mathrm {j} }}=\mathrm {e} ^{\frac {-2\mathrm {i} \pi }{3}}={\frac {-1-\mathrm {i} {\sqrt {3}}}{2}}.$
En ℚ, j y j$^2$ tienen el polinomio mínimo común X$^2$ + X + 1 y son conjugados. De manera más general, las raíces primitivas n-ésimas de la unidad en ℂ tienen un polinomio mínimo en ℚ, el n-ésimo polinomio ciclotómico, y son conjugadas en ℚ.

## Propiedades

* El polinomio mínimo de α en K se divide entre cualquier extensión normal L de K que contenga α (por ejemplo, una clausura algebraica de K, o incluso solo un cuerpo de descomposición del polinomio). Los conjugados de α son entonces las imágenes de α por los elementos del grupo de Galois de la extensión.
* Sea α un número entero algebraico distinto de cero y |α|, el mayor de los módulos de sus conjugados sobre ℚ. Kronecker demostró que
* Si |α| es menor o igual a 1, α es la raíz de la unidad;
* Si |α| es menor o igual a 2 y α es totalmente real, es decir, si todos los conjugados de α sobre ℚ pertenecen al intervalo real [–2, 2], entonces α es de la forma 2 cos(πr) para un determinado r racional.
El punto 1 se puede deducir del siguiente lema (utilizado también en otra parte de la prueba del teorema de las unidades de Dirichlet): para cualquier entero n y cualquier real C, existe solo un número finito de enteros algebraicos α tales que el grado (del polinomio mínimo) de α es menor o igual que n y que |α| ≤ C.
* Demostración
* * Prueba del lema: los coeficientes del polinomio mínimo P de α son funciones simétricas de los conjugados de α. Si el grado de P y los conjugados de α están acotados, entonces estos coeficientes también están acotados (ya que son números enteros) y solo pueden tomar un número finito de valores. Así, el conjunto considerado es finito, como el conjunto de raíces de un número finito de polinomios.
* Prueba del punto 1: si α es de grado n, entonces todas sus potencias son de grado menor o igual a n. Al aplicar el lema para C = 1, se deduce que estas potencias son finitas, lo que nos permite comprobar la proposición.
Existen varios refinamientos del punto 1 proporcionando, según el grado de α, un aumento de |α| menos restrictivo pero suficiente para que α sea la raíz de la unidad.

## Conjugados de un polinomio

Supóngase que f(x) es un polinomio separable e irreducible en K[X], y que existe una extensión M/K y un polinomio g en M[X] de modo que g divide f en M[X]. Si se denomina L al cuerpo de descomposición de f en K, L/K es galoisiano y L[X]/K[X] es isomorfo a L/K. Además, los coeficientes de g pertenecen a L. En particular, el polinomio g es algebraico en K[X], y por tanto tiene elementos conjugados en K[X]: el conjunto de conjugados de g se obtiene aplicando los automorfismos de Gal(L/K) sobre los coeficientes de g.

### Propiedades

Es natural pensar que el producto de los conjugados de g es igual a f, pero esto es incorrecto, a menos que g sea irreducible y f sea primitivo, en el sentido de que L/K es generado por una sola raíz de f.
En general, el producto de los conjugados de g es igual a cf$^n$, donde c pertenece al campo K y n es un número natural.