# Biálgebra de Lie

En matemáticas, una biálgebra de Lie es un caso de biálgebra en la teoría de Lie, es decir, un conjunto con estructuras de álgebra de Lie y coálgebra de Lie compatibles.
Es una biálgebra donde la comultiplicación es antisimétrica y satisface una identidad de Jacobi dual, de forma que el espacio vectorial dual es un álgebra de Lie, al mismo tiempo que la comultiplicación es un 1-cociclo, de forma que la multiplicación y la comultiplicación son compatibles. La condición de cociclo implica que, en la práctica, se estudian únicamente clases de biálgebras que son cohomólogas a una biálgebra de Lie en un coborde.
Se conocen también como álgebras de Poisson-Hopf, y son el álgebra de Lie de un grupo de Poisson-Lie.
Las biálgebras de Lie aparecen de forma natural en el estudio de las ecuaciones de Yang-Baxter.

## Definición

Un espacio vectorial ${\mathfrak {g}}$ es una biálgebra de Lie si es un álgebra de Lie y existe también una estructura de álgebra de Lie compatible en el espacio dual ${\mathfrak {g}}^{*}$. De forma más precisa, la estructura de álgebra de Lie en ${\mathfrak {g}}$ viene dada por un corchete de Lie $[\ ,\ ]:{\mathfrak {g}}\otimes {\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {g}}$ y la estructura de álgebra de Lie en ${\mathfrak {g}}^{*}$ viene dada por un corchete de Lie $\delta ^{*}:{\mathfrak {g}}^{*}\otimes {\mathfrak {g}}^{*}\to {\mathfrak {g}}^{*}$. Entonces, la aplicación dual de $\delta ^{*}$, $\delta :{\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {g}}\otimes {\mathfrak {g}}$ y la condición de compatibilidad es la siguiente relación de cociclos:
    $\delta ([X,Y])=\left(\operatorname {ad} _{X}\otimes 1+1\otimes \operatorname {ad} _{X}\right)\delta (Y)-\left(\operatorname {ad} _{Y}\otimes 1+1\otimes \operatorname {ad} _{Y}\right)\delta (X)$
donde $\operatorname {ad} _{X}Y=[X,Y]$ es el adjunto. Nótese que esta definición es simétrica y por tanto ${\mathfrak {g}}^{*}$ es también una biálgebra de Lie, y se denomina biálgebra de Lie dual.

## Ejemplo

Sea ${\mathfrak {g}}$ ${\mathfrak {t}}\subset {\mathfrak {g}}$ y asignemos las raíces positivas. Sea ${\mathfrak {b}}_{\pm }\subset {\mathfrak {g}}$ ${\mathfrak {t}}={\mathfrak {b}}_{-}\cap {\mathfrak {b}}_{+}$ y existe una proyección natural $\pi :{\mathfrak {b}}_{\pm }\to {\mathfrak {t}}$. Definimos entonces un álgebra de Lie
    ${\mathfrak {g'}}:=\{(X_{-},X_{+})\in {\mathfrak {b}}_{-}\times {\mathfrak {b}}_{+}\ {\bigl \vert }\ \pi (X_{-})+\pi (X_{+})=0\}$
que es una subálgebra del producto ${\mathfrak {b}}_{-}\times {\mathfrak {b}}_{+}$, y tiene la misma dimensión que ${\mathfrak {g}}$. Identificamos ahora ${\mathfrak {g'}}$ como el dual de ${\mathfrak {g}}$,
    $\langle (X_{-},X_{+}),Y\rangle :=K(X_{+}-X_{-},Y)$
con $Y\in {\mathfrak {g}}$ y $K$ la forma de Killing. Esto define una estructura de biálgebra de Lie en ${\mathfrak {g}}$, y es el ejemplo estándar: subyace al grupo cuántico de Drinfeld-Jimbo. Nótese que ${\mathfrak {g'}}$${\mathfrak {g}}$ es semisimple.

## Relación con los grupos de Poisson-Lie

El álgebra de Lie ${\mathfrak {g}}$ de un grupo de Poisson-Lie G tiene una estructura natural de biálgebra de Lie. La estructura de grupo de Lie provee el corchete de Lie en ${\mathfrak {g}}$ como es habitual, y la linealización de la estructura de Poisson en G da el corchete de Lie en ${\mathfrak {g^{*}}}$ (recordando que una estructura de Poisson lineal sobre un espacio vectorial es lo mismo que un corchete de Lie sobre el espacio dual). De forma más detallada, sea G un grupo de Poisson-Lie y sean $f_{1},f_{2}\in C^{\infty }(G)$ dos funciones suaves sobre la variedad de grupo. Sea $\xi =(df)_{e}$ el diferencial en el elemento identidad. Claramente, $\xi \in {\mathfrak {g}}^{*}$. La estructura de Poisson en el grupo induce así un corchete en ${\mathfrak {g}}^{*}$, dado por
    $[\xi _{1},\xi _{2}]=(d\{f_{1},f_{2}\})_{e}\,$
donde $\{,\}$ es el corchete de Poisson. Dado $\eta$ el bivector de Poisson sobre la variedad, se define $\eta ^{R}$ como la traslación a derecha del bivector al elemento identidad en G. Se tiene entonces que
    $\eta ^{R}:G\to {\mathfrak {g}}\otimes {\mathfrak {g}}$
El coconmutador es entonces la aplicación tangente:
    $\delta =T_{e}\eta ^{R}\,$
de manera que
    $[\xi _{1},\xi _{2}]=\delta ^{*}(\xi _{1}\otimes \xi _{2})$
es el dual del coconmutador.