# Punto isodinámico

En geometría euclídea, los puntos isodinámicos de un triángulo tienen la propiedad de que una inversión centrada en uno de estos puntos transforma el triángulo dado en un triángulo equilátero, y que las distancias desde el punto isodinámico a los vértices del triángulo son inversamente proporcionales a las longitudes de los lados opuestos del triángulo. Los triángulos que son semejantes entre sí tienen puntos isodinámicos en ubicaciones correspondientes en el plano, por lo que los puntos isodinámicos son elementos notables de un triángulo y, a diferencia de otros centros de triángulos, los puntos isodinámicos también son invariantes bajo la transformación de Möbius. Un triángulo que es en sí mismo equilátero tiene un punto isodinámico único, en su centroide (que coincide con su ortocentro, su incentro y su circuncentro, que son concurrentes). Por otro lado, todo triángulo no equilátero tiene dos puntos isodinámicos.
Los puntos isodinámicos fueron estudiados y nombrados por primera vez por Neuberg (1885).

## Relaciones de distancia

Los puntos isodinámicos se definieron originalmente a partir de ciertas igualdades de proporciones (o equivalentemente de productos) de distancias entre pares de puntos. Si $S$ y $S'$ son los puntos isodinámicos de un triángulo $ABC$, entonces los tres productos de distancias $AS\cdot BC=BS\cdot AC=CS\cdot AB$ son iguales. Las igualdades análogas también son válidas para $S'.$ De manera equivalente a la fórmula del producto, las distancias $AS,$ $BS,$ y $CS$ son inversamente proporcionales a las correspondientes longitudes de los lados del triángulo $BC,$ $AC,$ y $AB.$.
$S$ y $S'$ son los puntos de intersección comunes de los tres círculos de Apolonio asociados con un triángulo $ABC$, las tres circunferencias que pasan cada una por un vértice del triángulo y mantienen una relación constante de distancias a los otros dos vértices. Por lo tanto, la línea $SS'$ es el eje radical común para cada uno de los tres pares de círculos de Apolonio. La bisectriz perpendicular del segmento de línea $SS'$ es la recta de Lemoine, que contiene los tres centros de los círculos de Apolonio.

## Transformaciones

Los puntos isodinámicos $S$ y $S'$ de un triángulo $ABC$ también pueden definirse por sus propiedades con respecto a transformaciones del plano, y particularmente con respecto a la inversión y la transformación de Möbius (productos de múltiples inversiones).
La inversión del triángulo $ABC$ respecto de un punto isodinámico transforma el triángulo original en un triángulo equilátero.
La inversión con respecto a la circunferencia circunscrita del triángulo $ABC$ deja el triángulo invariante, pero transforma un punto isodinámico en el otro.
De manera más general, los puntos isodinámicos son equivariantes bajo la transformación de Möbius: el par desordenado de los puntos isodinámicos de una transformación de $ABC$ es igual a la misma transformación aplicada al par $\{S,S'\}.$ Los puntos isodinámicos individuales se fijan mediante transformaciones de Möbius que aplican el interior de la circunferencia circunscrita de $ABC$ al interior de la circunferencia circunscrita del triángulo transformado, y se intercambian mediante transformaciones que hacen corresponder el interior y el exterior de la circunferencia circunscrita.

## Ángulos

Además de ser las intersecciones de los círculos de Apolonio, cada punto isodinámico es el punto de intersección de otra terna de circunferencias. El primer punto isodinámico es la intersección de tres circunferencias a través de los pares de puntos $AB,$ $AC,$ y $BC,$ donde cada una de estas circunferencias cruza la circunferencia circunscrita del triángulo $ABC$ para formar una figura con forma de lente con un ángulo de vértice de 2π/3. De manera similar, el segundo punto isodinámico es la intersección de tres circunferencias que intersecan la circunferencia circunscrita para formar lentes con un ángulo de vértice π/3.
Los ángulos formados por el primer punto isodinámico con los vértices del triángulo satisfacen las ecuaciones $ASB=ACB+\pi /3,$ $ASC=ABC+\pi /3,$ y $BSC=BAC+\pi /3.$ De manera análoga, los ángulos formados por el segundo punto isodinámico satisfacen las ecuaciones $AS'B=ACB-\pi /3,$ $AS'C=ABC-\pi /3,$ y $BS'C=BAC-\pi /3.$
El triángulo podal de un punto isodinámico, el triángulo formado al trazar perpendiculares desde $S$ a cada uno de los tres lados del triángulo $ABC,$ es equilátero, al igual que el triángulo formado al reflejar $S$ a través de cada lado del triángulo. Entre todos los triángulos equiláteros inscritos en el triángulo $ABC,$, el triángulo podal del primer punto isodinámico es el que tiene área mínima.

## Propiedades adicionales

Los puntos isodinámicos son los conjugados de los dos puntos de Fermat del triángulo $ABC,$ y viceversa.
La cúbica de Neuberg contiene los dos puntos isodinámicos.
Si una circunferencia se divide en tres arcos, el primer punto isodinámico de los puntos finales del arco es el único punto dentro del círculo con la propiedad de que cada uno de los tres arcos tiene la misma probabilidad de ser el primer arco alcanzado por un movimiento browniano que comienza en ese punto. Es decir, el punto isodinámico es aquel punto para el cual la medida armónica de los tres arcos es igual.
Dado un polinomio univariado $P(z)=z^{3}+az^{2}+bz+c$ cuyos ceros son los vértices de un triángulo $T$ en el plano complejo, los puntos isodinámicos de $T$ son los ceros del polinomio $I(z)=(a^{2}-3b)z^{2}+(ab-9c)z+b^{2}-3ac.$. Téngase en cuenta que $I(z)$ es un múltiplo constante de $\mathrm {Discriminant} _{u}(nP(u)+(z-u)P'(u)),$ donde $n$ es el grado de $P.$. Esta construcción generaliza puntos isodinámicos a polinomios de grado $n\geq 3$ en el sentido de que los ceros del discriminante anterior son invariantes bajo transformaciones de Möbius. Aquí, la expresión $nP(u)+(z-u)P'(u)$ es la derivada polar de $P(u)$ con polo $z.$
De manera equivalente, con $P$ y $n$ definidos como anteriormente, los puntos isodinámicos (generalizados) de $P$ son los valores críticos de $f(z)=z-nP(z)/P'(z)$. Aquí, $f(z)$ es la expresión que aparece en el método de Newton relajado con el parámetro de relajación $n$. Existe una construcción similar para funciones racionales en lugar de polinomios.

## Construcción

El círculo de Apolonio que pasa por el vértice $A$ del triángulo $ABC$ se puede construir encontrando las dos bisectrices (interior y exterior) de los dos ángulos formados por las rectas $AB$ y $AC$ en el vértice $A,$ e intersecando estas bisectrices con la recta $BC$. El segmento de línea entre estos dos puntos de intersección es el diámetro del círculo de Apolonio. Los puntos isodinámicos se pueden encontrar construyendo dos de estos círculos y encontrando sus dos puntos de intersección.
Otra construcción con compás y regla implica encontrar la reflexión $A'$ del vértice $A$ respecto a la línea $BC$ (la intersección de circunferencias centradas en $B$ y $C$ hasta $A$), y construir un triángulo equilátero hacia adentro en el lado $BC$ del triángulo (el vértice $A''$ de este triángulo es la intersección de dos circunferencias que tienen como radio $BC$). La recta $A'A''$ cruza las rectas $B'B''$ y $C'C''$ construidas de manera similar en el primer punto isodinámico. El segundo punto isodinámico puede construirse de manera similar, pero con los triángulos equiláteros erigidos hacia afuera y no hacia adentro.
Alternativamente, la posición del primer punto isodinámico se puede calcular a partir de sus coordenadas trilineales, que son
    $\sin(A+\pi /3):\sin(B+\pi /3):\sin(C+\pi /3).$
El segundo punto isodinámico utiliza coordenadas trilineales con una fórmula similar que involucra $-\pi /3$ en lugar de $\pi /3.$.