# Problema de la transformación

En discusiones del siglo XX y XXI sobre la crítica de la economía política de Karl Marx y la economía marxista, el llamado problema de la transformación se trata de la cuestión para encontrar una regla general mediante la cual transformar los "valores" de las mercancías (basados en su contenido de trabajo socialmente necesario, según la teoría del valor-trabajo) en sus "precios de producción" (los cuales oscilan los precios competitivos del mercado).
La dificultad esencial es: dado que se obtienen las ganancias, en forma de plusvalía, a partir de insumos de trabajo directo, y que la relación entre insumos de trabajo directo e insumos de capital variaba ampliamente entre mercancías, ¿cómo se podría conciliar esto con una tendencia hacia una tasa de ganancia media sobre todo el capital invertido entre industrias, si tal tendencia (como la predijeron Marx y Ricardo) existe; y cómo se modela la conversión de valores en precios de producción?
Este problema fue introducido por Friedrich Engels en el prólogo del tomo II de El capital como un desafío a la economía clásica. Marx esbozó una solución en el capítulo 9 del tomo III mediante su teoría de "precios de producción". Marx acepta que los precios divergen de los valores del trabajo, pero la suma de todos los precios es igual a la suma de todos los valores agregados dada la formación de una tasa de ganancia media entre todas las industrias.
La transformación requiere encontrar un algoritmo en el que la magnitud del valor agregado por el trabajo, en proporción a su duración e intensidad, se contabilice suficientemente después de que este valor se distribuya a través de precios que reflejen una tasa igual de rendimiento del capital adelantado. Si hay una magnitud adicional de valor o una pérdida de valor después de la transformación, entonces la relación entre valores (proporcionales al trabajo) y precios (proporcionales al capital total adelantado) es incompleta. Por otro lado, dado que el capital invertido en la tasa de ganancia media se mide valores también debe de ser transformada dicha tasa medida, ya que un producto vendido a su precio de producción será el insumo del capital invertido para una futura producción. En consecuencia, una serie de "igualdades agregadas" deben mantenerse:
* Suma total de valores = Suma de precios de producción
* Masa del plusvalor = Masa de ganancia
* Tasa de ganancia en valores = Tasa de ganancia en precios de producción
El problema ha sido objeto de crítica del marxismo y, en consecuencia, ha sido adaptado o reinterpretado por sus defensores. Los críticos argumentan que el problema invalida la ley del valor de Marx, y por lo tanto sus argumentos económicos. Los defensores de la teoría de Marx tienden a resolver el problema mediante distintas interpretaciones de la obra de Marx o demostrar que no invalida sus teorías. No fue hasta la segunda mitad del siglo XX que se intentó resolver este problema de forma matemática. Se han ofrecido varias soluciones y teoremas de imposibilidad para la transformación, pero el debate no ha llegado a ninguna resolución clara.

## Teoría clásica del valor-trabajo
### Caso más simple: solo costos del trabajo

Consideremos el sencillo ejemplo utilizado por Adam Smith para presentar el tema. Supongamos una economía de cazadores con tierra libre, sin esclavitud y sin una producción actual significativa de herramientas, en la que los castores $(B)$ y ciervos $(D)$ son cazados. En el lenguaje de los modelos de producción lineal modernos, llamemos a la unidad de insumo de trabajo requerida para la producción de cada bien $l_{i}$, dónde $i$ tal vez $B$ o $D$ (es decir, $l_{B}$ es el número de horas de trabajo uniforme que normalmente se requieren para atrapar un castor, y $l_{D}$ un ciervo; (nótese que debemos asumir que el trabajo es uniforme para poder, más adelante, utilizar una tasa salarial uniforme).
En este caso, observó Smith, cada cazador estará dispuesto a intercambiar un ciervo (lo que le cuesta $l_{D}$ horas) para ${l_{D} \over l_{B}}$ castores. La proporción ${l_{D} \over l_{B}}$ — es decir, la cantidad relativa de trabajo incorporado en la producción (unitaria) de ciervos con respecto a la producción — castores— da así la relación de intercambio entre ciervos y castores, el "precio relativo" de los ciervos en unidades de castores. Además, dado que los únicos costos aquí son los costos laborales, esta relación es también el "costo unitario relativo" del ciervo para cualquier salario uniforme competitivo dado $w$. Por tanto, la cantidad relativa de trabajo incorporado en la producción de ciervos coincide con el precio relativo competitivo de los ciervos en unidades de castores, que puede escribirse como ${P_{D} \over P_{B}}$ (donde el $P$ representa precios competitivos absolutos en alguna unidad de cuenta arbitraria, y se definen como $P_{i}=wl_{i}$ ).

### Costos de capital

Las cosas se vuelven más complicadas si la producción también utiliza algún bien de capital escaso. Supongamos que la caza requiere también algunas flechas $(A)$, con coeficientes de entrada iguales a $a_{i}$, lo que significa que para atrapar, por ejemplo, un castor necesitas usar $a_{B}$ flechas, además $l_{B}$ horas de trabajo. Ahora el costo unitario total (o precio competitivo absoluto) de los castores y los ciervos se convierte en
    $P_{i}=wl_{i}+k_{A}a_{i},(i=B,D)$
dónde $k_{A}$ denota el costo de capital incurrido al usar cada flecha.
Este costo de capital se compone de dos partes. Primero, está el costo de reposición de la flecha cuando se pierde en la producción. Esto es $P_{A}$, o el precio competitivo de las flechas, multiplicado por la proporción $h\leq 1$ de flechas perdidas después de cada disparo. En segundo lugar, está el alquiler o devolución de la red que exige el propietario de las flechas (que puede ser o no la misma persona que el cazador que las utiliza). Esto se puede expresar como el producto $rP_{A}$, dónde $r$ es la tasa de rendimiento neta (uniforme) del sistema.
Resumiendo y suponiendo una tasa de reemplazo uniforme $h$, los precios competitivos absolutos de los castores y los ciervos pueden escribirse como
    $P_{i}=wl_{i}+(h+r)P_{A}a_{i}$
Sin embargo, todavía tenemos que determinar el precio competitivo de las flechas $P_{A}$ . Suponiendo que las flechas se produzcan únicamente con mano de obra, con $l_{A}$ horas-hombre por flecha, tenemos:
    $P_{A}=wl_{A}$
Suponiendo además, por simplicidad, que $h=1$ (es decir, todas las flechas se pierden después de un solo disparo, por lo que son capital circulante), los precios competitivos absolutos de los castores y los ciervos se convierten en:
    $P_{i}=wl_{i}+(1+r)wl_{A}a_{i}$
Aquí, $l_{i}$ es la cantidad de trabajo directamente incorporada en la producción unitaria de castores y ciervos, mientras que $l_{A}a_{i}$ es el trabajo indirectamente así incorporado, a través de la producción previa de flechas. La suma de los dos,
    $E_{i}=l_{i}+l_{A}a_{i}$ ,
da la cantidad total de trabajo incorporado.
Ahora es obvio que el precio relativamente competitivo del ciervo ${P_{D} \over P_{B}}$ ya no puede expresarse generalmente como la relación entre las cantidades totales de trabajo incorporado. Con $a_{i}>0$ el radio ${E_{D} \over E_{B}}$ corresponderá a ${P_{D} \over P_{B}}$ sólo en dos casos muy especiales: si $r=0$ ; o si ${l_{B} \over l_{D}}={a_{B} \over a_{D}}$ . En general, las dos proporciones no sólo diferirán: ${P_{D} \over P_{B}}$ puede cambiar para cualquier momento ${E_{D} \over E_{B}}$, si la tasa de rendimiento neta o los salarios varían.
Como se verá ahora, esta falta general de cualquier relación funcional entre ${E_{D} \over E_{B}}$ y ${P_{D} \over P_{B}}$, del que Ricardo había sido especialmente consciente, está en el centro del problema de transformación de Marx. Para Marx, r es el cociente entre la plusvalía y el valor del capital adelantado a insumos no laborales, y suele ser positivo en una economía capitalista competitiva.

## Teoría del valor-trabajo de Marx

Karl Marx define el valor de cambio como el número de horas de trabajo socialmente necesarias para producir una mercancía. Esto incluye dos elementos: primero, incluye las horas que un trabajador con habilidades y dedicación normales necesitaría para producir una mercancía en condiciones promedio y con el equipo habitual (Marx lo llama "trabajo vivo"). En segundo lugar, incluye el trabajo incorporado en las materias primas, herramientas y maquinaria utilizadas o desgastadas durante su producción (que Marx llama "trabajo muerto"). En el capitalismo, los trabajadores dedican una parte de su jornada laboral a reproducir el valor de sus medios de subsistencia, representados como salario (trabajo necesario), y una parte de su jornada a producir valor por encima y más allá de eso, denominado plusvalía, que se destina al capitalista (trabajo excedente).
Dado que, según Marx, la fuente de la ganancia capitalista es este excedente de trabajo de los trabajadores, y dado que en esta teoría sólo el trabajo nuevo y vivo produce valor, parecería lógico que las empresas con una baja composición orgánica (una mayor proporción de capital gastado sobre trabajo vivo) tendrían una tasa de ganancia más alta que las empresas con una alta composición orgánica (una mayor proporción de capital gastado en materias primas y medios de producción). Sin embargo, en los modelos de competencia perfecta clásica, las tasas de ganancia más altas generalmente no se encuentran en empresas con una composición orgánica baja, y las tasas de ganancia bajas generalmente no se encuentran en empresas con una composición orgánica alta. Más bien, hay una tendencia hacia la igualación de la tasa de ganancia en industrias de diferentes composiciones orgánicas. Es decir, en estos modelos sin barreras de entrada, los capitalistas son libres de desinvertir o invertir en cualquier industria, existe una tendencia hacia la formación de una tasa general de ganancias, constante en todas las industrias. Esta igualación de las tasas de ganancia fue aceptada por economistas como Adam Smith, David Ricardo, John Stuart Mill y William Stanley Jevons.
Marx esbozó el problema de la transformación como una solución teórica a esta discrepancia. La tendencia de la tasa de ganancia hacia la igualación significa que, en esta teoría, no existe una traducción simple del valor al dinero (por ejemplo, 1 hora de valor equivale a 20 dólares) que sea la misma en todos los sectores de la economía. Si bien una traducción tan simple puede ser aproximadamente cierta en general, Marx postuló que existe una desviación sistemática en toda la economía según las composiciones orgánicas de las diferentes industrias, de modo que 1 hora de valor equivale a 20 dólares multiplicado por T, donde T representa una factor de transformación que varía según la composición orgánica de la industria considerada.
En esta teoría, T es aproximadamente 1 en industrias donde la composición orgánica está cerca del promedio, menos de 1 en industrias donde la composición orgánica está por debajo del promedio y mayor que 1 en industrias donde la composición orgánica es superior al promedio.
Debido a que Marx estaba considerando sólo el trabajo socialmente necesario, esta variación entre industrias no tiene nada que ver con el trabajo calificado y mejor pagado versus el trabajo no calificado y peor pagado. Este factor de transformación varía sólo con respecto a las composiciones orgánicas de las diferentes industrias.

### El trabajo como "sustancia generadora de valor"

Marx definió el "valor" de una mercancía como la cantidad total de trabajo socialmente necesario incorporado en su producción. Desarrolló este tipo especial de teoría del valor trabajo en el primer capítulo del tomo I de El capital. Debido a la influencia de la definición particular de valor de Marx en el problema de la transformación, se le cita extensamente donde sostiene lo siguiente:
       —Karl Marx, El capital, tomo I, Capítulo 1

### Plusvalía y explotación

Marx distingue entre fuerza de trabajo como potencial para trabajar y trabajo, que es su uso real. Describe la fuerza de trabajo como una mercancía y, como todas las mercancías, Marx supone que, en promedio, se intercambia por su valor. Su valor está determinado por el valor de la cantidad de bienes necesarios para su reproducción.
Sin embargo, hay una diferencia entre el valor de la fuerza de trabajo y el valor producido por esa fuerza de trabajo en su uso. A diferencia de otras mercancías, en su uso, la fuerza de trabajo produce un nuevo valor más allá del utilizado por su uso. Esta diferencia se llama plusvalía y es para Marx la fuente de ganancia de los capitalistas. La apropiación del excedente de trabajo es lo que Marx denotó como explotación del trabajo.

### Capital variable y constante

Como el trabajo produce en este sentido más que su propio valor, el insumo de trabajo directo se llama capital variable y se denota como $v$. La cantidad de valor que el trabajo vivo transmite al ciervo, en nuestro ejemplo anterior, varía según la intensidad de la explotación. En el ejemplo anterior, $v_{i}=l_{W}l_{i}$.
Por el contrario, el valor de otros insumos — en nuestro ejemplo, el trabajo pasado indirecto (o "muerto") plasmado en las flechas agotadas — se transmite al producto tal como está, sin adiciones. Por eso se le llama capital constante y se denota como c. El valor transmitido por la flecha al ciervo nunca puede ser mayor que el valor de la propia flecha. En nuestro ejemplo anterior, $c_{i}=l_{A}a_{i}$.

### Fórmulas de valor

El valor total de cada bien producido es la suma de los tres elementos anteriores: capital constante, capital variable y plusvalía. En nuestro ejemplo anterior:
    $p_{i}=c_{i}+v_{i}+s_{i}=l_{A}a_{i}+l_{W}l_{i}+s_{i}$
Dónde $p_{i}$ representa el valor marxiano (unitario) de los castores y los ciervos.
Sin embargo, de la definición de Marx de valor como trabajo total incorporado, también debe ser cierto que:
    $p_{i}=l_{A}a_{i}+l_{i}=E_{i}$
Resolviendo para $s_{i}$ Las dos relaciones anteriores se tienen:
    ${s_{i} \over v_{i}}={(1-l_{W}) \over l_{W}}=\sigma$
para todos $i$.
Esta relación necesariamente uniforme ${s_{i} \over v_{i}}=\sigma$ Marx lo llama tasa de explotación y permite reescribir las ecuaciones de valor de Marx como:
    $p_{i}=c_{i}+v_{i}(1+\sigma )=l_{A}a_{i}+l_{W}l_{i}(1+\sigma )$

## Tablas económicas

Al igual que Ricardo, Marx creía — los valores laborales relativos ${p_{D} \over p_{B}}$ en el ejemplo anterior — generalmente no corresponden a precios competitivos relativos — ${P_{D} \over P_{B}}$ en el mismo ejemplo. Sin embargo, en el tomo 3 de El capital argumentó que los precios competitivos se obtienen a partir de valores a través de un proceso de transformación, mediante el cual los capitalistas redistribuyen entre ellos la plusvalía agregada dada del sistema de tal manera que se produzca una tendencia hacia una tasa igual de ganancia, $r$, entre sectores de la economía. Esto sucede debido a la tendencia de los capitalistas a trasladar su capital hacia sectores donde obtiene mayores rendimientos. A medida que la competencia se vuelve feroz en un sector determinado, la tasa de rendimiento cae, mientras que sucederá lo contrario en un sector con una tasa de rendimiento baja. Marx describe este proceso en detalle.

### Razonamiento de Marx

Las dos tablas siguientes adaptan el ejemplo del ciervo, el castor y la flecha visto anteriormente (que, por supuesto, no se encuentra en Marx y es sólo una simplificación útil) para ilustrar el enfoque de Marx. En ambos casos se supone que las cantidades totales de castores y ciervos capturados son $Q_{B}$ y $Q_{D}$ respectivamente. También se supone que el salario real de subsistencia es un castor por unidad de trabajo, de modo que la cantidad de trabajo incorporado en él es $l_{W}=E_{B}=l_{A}a_{B}+l_{B}<1$. La tabla 1 muestra cómo se determina el monto total de plusvalía del sistema, que se muestra en la última fila.
Tabla 1 — Composición de los valores marxistas en el modelo de producción ciervo-castor-flecha :
| Sector | Capital constante total $Q_{i}c_{i}$ | Capital variable total $Q_{i}v_{i}$ | Valor excedente total $\sigma Q_{i}v_{i}$ | Valor unitario $c_{i}+(1+\sigma )v_{i}$ |
| Castores | $Q_{B}l_{A}a_{B}$ | $Q_{B}(l_{A}a_{B}+l_{B})l_{B}$ | $\sigma Q_{B}(l_{A}a_{B}+l_{B})l_{B}$ | $l_{A}a_{B}+(1+\sigma )(l_{A}a_{B}+l_{B})l_{B}$ |
| Ciervo | $Q_{D}l_{A}a_{D}$ | $Q_{D}(l_{A}a_{B}+l_{B})l_{D}$ | $\sigma Q_{D}(l_{A}a_{B}+l_{B})l_{D}$ | $l_{A}a_{D}+(1+\sigma )(l_{A}a_{B}+l_{B})l_{D}$ |
| Total | | | $\sigma (l_{A}a_{B}+l_{B})(Q_{B}l_{B}+Q_{D}l_{D})$ | |
La tabla 2 ilustra cómo Marx pensó que este total se redistribuiría entre las dos industrias, como "beneficio" a una tasa de rendimiento uniforme, r, sobre capital constante. En primer lugar, para determinar r se utiliza la condición de que la "ganancia" total debe ser igual al plusvalor total (en la última fila de la tabla 2). Luego, el resultado se multiplica por el valor del capital constante de cada industria para obtener su "beneficio". Finalmente, cada precio competitivo (absoluto) en unidades de trabajo se obtiene, como la suma del capital constante, el capital variable y la "ganancia" por unidad de producción, en la última columna de la tabla 2.
Tabla 2 — Fórmulas de transformación de Marx en el modelo de producción ciervo-castor-flecha :
| Sector | Capital constante total $Q_{i}c_{i}$ | Capital variable total $Q_{i}v_{i}$ | Total de plusvalía redistribuída $rQ_{i}c_{i}$ | Precio competitivo resultante $v_{i}+(1+r)c_{i}$ |
| Castores | $Q_{B}l_{A}a_{B}$ | $Q_{B}(l_{A}a_{B}+l_{B})l_{B}$ | $rQ_{B}l_{A}a_{B}$ | $(l_{A}a_{B}+l_{B})l_{B}+(1+r)l_{A}a_{B}$ |
| Ciervo | $Q_{D}l_{A}a_{D}$ | $Q_{D}(l_{A}a_{B}+l_{B})l_{D}$ | $rQ_{D}l_{A}a_{D}$ | $(l_{A}a_{B}+l_{B})l_{D}+(1+r)l_{A}a_{D}$ |
| Total | | | $rl_{A}(Q_{B}a_{B}+Q_{D}a_{D})=\sigma (l_{A}a_{B}+l_{B})(Q_{B}l_{B}+Q_{D}l_{D})$ | |
Las tablas 1 y 2 son paralelas a las tablas en las que Marx elaboró su ejemplo numérico.

### El supuesto error de Marx y su corrección

Economistas posteriores sostuvieron que las fórmulas de Marx para precios competitivos estaban equivocadas.
En primer lugar, el equilibrio competitivo requiere una tasa de rendimiento uniforme sobre el capital constante valorado a su precio, no a su valor marxiano, al contrario de lo que se hace en la tabla 2 anterior. En segundo lugar, los precios competitivos resultan de la suma de los costos valorados a los precios de las cosas, no como cantidades de trabajo incorporado. Así, tanto el cálculo de Marx de $r$ y las sumas de sus fórmulas de precios no suman en todos los casos normales, donde, como en el ejemplo anterior, los precios competitivos relativos difieren de los valores marxistas relativos. Marx notó esto, pero pensó que no era significativo, afirmando en el capítulo 9 del tomo 3 de El Capital que "Nuestro presente análisis no necesita un examen más detenido de este punto".
El método de ecuaciones lineales simultáneas para calcular precios competitivos (relativos) en una economía de equilibrio es hoy muy conocido. En el modelo muy simplificado de las tablas 1 y 2, donde se supone que el salario es dado e igual al precio de los castores, la forma más conveniente es expresar dichos precios en unidades de castores, lo que significa normalizar $w=P_{B}=1$ . Esto produce el precio (relativo) de las flechas como
    $P_{A}=l_{A}$ castores.
Sustituyendo esto en la condición de precio relativo de los castores,
    $1=l_{B}+(1+r)l_{A}a_{B}$ ,
da la solución para la tasa de rendimiento como
    $r={(1-l_{B}) \over (l_{A}a_{B})}-1$
Finalmente, la condición del precio del ciervo puede escribirse como
    $P_{D}=l_{D}+(1+r)l_{A}a_{D}=l_{D}+{a_{D}(1-l_{B}) \over a_{B}}$ .
Este último resultado, que da el precio competitivo correcto del ciervo en unidades de castores para el modelo simple utilizado aquí, es generalmente inconsistente con las fórmulas de precios de Marx de la tabla 2.
Ernest Mandel, defendiendo a Marx, explica esta discrepancia en términos del marco temporal de producción más que como un error lógico; es decir, en este modelo simplificado, los bienes de capital se compran a un precio de valor laboral, pero los productos finales se venden a precios que reflejan el plusvalor redistribuido.

## Exposición histórica del problema
### Presentación de Marx y El capital, tomo I

Karl Marx era consciente de este problema teórico cuando escribió La miseria de la filosofía (1847). Allí se cuestiona sobre cómo "la influencia que la acumulación de capitales y su distinta naturaleza (capitales fijos y capitales circulantes), así como el nivel de los salarios, pueden ejercer sobre el valor proporcional de los productos".
En Trabajo asalariado y capital (1849) Marx describió una "ley general que rige el alza y la baja del salario y la ganancia, en sus relaciones mutuas" donde establece que el aumento de la ganancia (capital) es inversamente proporcional al salario (trabajo) y viceversa. Marx recuerda que "lucros conseguidos por unos capitalistas a costa de otros dentro de la clase capitalista se nivelan necesariamente entre sí", por tanto la ley aún se impone.
En los Grundrisse (1857-9) señaló que en el capitalismo los precios de los bienes ya no se ajustan a sus valores intrínsecos, "son constantemente diferentes y no coinciden nunca, o sólo ocasionalmente y como excepción”. En el final de la Contribución a la crítica de la economía política (1859), Marx se refiere al argumento de que es la oferta y la demanda más que el trabajo lo que determina el valor de cambio:
También en Teorías sobre la plusvalía (1861-3) criticó la presentación de la ganancia media y teoría de los costes de producción de David Ricardo. Con la publicación del tomo I de El capital en 1867, Marx asumió en el primer volumen de El capital que los precios son iguales al valor o tiempo de trabajo socialmente invertido, pero señala que "veremos en el Volumen III que, incluso en el caso de precios medios, la suposición no puede hacerse de esta manera tan simple". En el capítulo 9 expuso el problema de las ganancias medias y que el valor transferido por los medios de producción a la mercancía final no corresponde a su valor, sino a su precio:
Su colaborador Friedrich Engels le advirtió de esta equiparación como una objeción que debió haber anticipado, pero Marx prefirió no responderla hasta más adelante porque "echaría a perder todo el método dialéctico de exposición", el cual "constantemente tiende trampas" a "los filisteos y los economistas vulgares". Tras la muerte de Marx, Engels publicó el tomo II de El capital (1885). En él, Marx muestra cómo los diferentes “tiempos de rotación” en producirse y circular dos mercancías hacen que sus precios diverjan de sus valores, porque las industrias capitalistas de ambas mercancías compiten entre ellas. Además, Engels presentó públicamente en el prólogo del tomo II el reto del problema para convertir los valores en ganancia media:
A lo largo de la década esto condujo a una ola de soluciones propuestas por los economistas Wilhelm Lexis, Conrad Schmidt, Peter Fireman, Julius Wolf, Achille Loria, Georg Christian Stiebeling y Werner Sombart. Estas fueron respondidas por Engels también en el prólogo (1894) y postafacio del tercer III (1895). Solo Schmidt y Fireman llegarían a acercarse a la solución de Marx..

### Solución de Marx y El capital, tomo III

La respuesta de Marx no sería presentada oficialmente por Engels hasta la publicación póstuma del tomo III de El capital (1894), aunque Marx esbozó dicha solución años antes de la publicación del tomo I en sus manuscritos. Ya en 1868, Engels le preguntó a Marx acerca de la determinación de la tasa general de ganancia con el capital comercial. Marx le respondió con un resumen detallado de lo que sería la solución del tomo III.
Según Marx, la solución está en la competencia y la reasignación de capital después de la producción. De hecho, dado que el beneficio se genera únicamente con el trabajo, una empresa con un uso muy intensivo de capital genera una tasa de ganancia baja, mientras que una empresa con un uso muy intensivo de mano de obra genera una tasa de ganancia más alta. Los capitalistas de la empresa con una tasa de ganancia baja reasignarán su capital hacia la empresa con una tasa de ganancia alta, la reasignación de capital inducirá una modificación de la distribución de beneficios hasta que las tasas de beneficio de todas las empresas sean todas iguales. Esta respuesta ya fue bocetada previamente por Marx en Trabajo asalariado y capital (1849):
Marx ilustra matemáticamente de forma detallada su punto en el capítulo 9 del tercer tomo de El Capital nombrando cinco sectores de producción con misma tasa de plusvalor e igual capital invertido pero con diferentes composiciones orgánicas de capital:
Un sistema económico antes de la reasignación de capital (i) :
| Sector | Composición orgánica del capital | Tasa de explotación | Plusvalor | Tasa de ganancia | Capital constante usado | Valor de la mercancía |
| I | 80C + 20V | 100% | 20 | 20% | 50 | 90 |
| II | 70C + 30V | 100% | 30 | 30% | 51 | 111 |
| III | 60C + 40V | 100% | 40 | 40% | 51 | 131 |
| IV | 85C + 15V | 100% | 15 | 15% | 40 | 70 |
| V | 95C + 5V | 100% | 5 | 5% | 10 | 20 |
Un sistema económico después de la reasignación de capital (ii) :
| Sector | Composición orgánica del capital | Capital constante usado | Valor de la mercancía | Precio del costo de las mercancías | Precio de las mercancías | Tasa de ganancia | Desviación de precio |
| I | 80C + 20V | 50 | 90 | 70 | 92 | 22% | + 2 |
| II | 70C + 30V | 51 | 111 | 81 | 103 | 22% | - 8 |
| III | 60C + 40V | 51 | 131 | 91 | 113 | 22% | - 18 |
| IV | 85C + 15V | 40 | 70 | 55 | 77 | 22% | + 7 |
| V | 95C + 5V | 10 | 20 | 15 | 37 | 22% | + 17 |
Donde C es capital constante (incluye capital fijo y medios de producción); V es el capital variable (o salario); el precio de costo es, desde el punto de vista del capitalista, la suma de los salarios y el costo de desgaste del capital constante: $C+V$; el precio de los bienes es la suma del precio de costo y la plusvalía: $C+V+Pl$. Se puede notar que $2-8-18+7+17=0$, por lo que las desviaciones se compensan entre sí. Así, Marx cree haber resuelto el problema de la transformación encontrando un compromiso entre la teoría del valor trabajo y la tasa de ganancia proporcional al nivel de capital invertido: las empresas que han invertido 100 unidades de capital tienen todas una tasa de ganancia igual a 22%. Los precios más la ganancia media se denominan como precios de producción y los beneficios superiores a la ganancia media se denominan plusganancia.
Es importante recalcar, como Ernest Mandel señala, que para Marx, los precios de producción no son los precios de mercado.La teoría monetaria de Marx "hace abstracción de las fluctuaciones monetarias en el análisis de los precios de producción" y el precio es, a su vez, una "forma de valor" medida en dinero. El capital social global, es decir, "la suma de valor de las mercancías (o su precio si se la expresa en dinero) producidas por él" sigue siendo $C+V+Pl$.
Luego, la solución que postula Marx debe mantenerse tres "igualdades agregadas":
* La tasa de ganancia medida en precios producción sea igual a la tasa de ganancia medida en valores;
* "la suma de las ganancias de todas las diferentes esferas de la producción debe ser igual a la suma de los plusvalores";
* y "la suma de los precios de producción del producto social global debe ser igual a la suma de sus valores" (ver: Valor agregado).
Marx advirtió que siempre habrá un posible error en la transformación de precios de producción, y profundizó en este punto. Sin embargo, para Marx la transformación fue un problema secundario cuyo método de cálculo consideraba como una aproximación. Por ello, "una modificación de los precios de producción siempre debe explicarse, prima facie, a partir de un cambio real en el valor de las mercancías". El propósito principal de Marx en El capital "no era teorizar los precios de mercado", sino explicar el origen de la ganancia y "revelar la ley económica del movimiento de la sociedad moderna". Esta transformación solo oscurece el origen de la ganancia, "pero el funcionamiento de la ley de los grandes números conduce a una coincidencia aproximada de la ganancia total y la plusvalía total".
Marx concluye ofreciendo unos cuatro argumentos para explicar que esta desviación no pone en duda la teoría del valor-trabajo:
* El valor medio de los bienes de una sociedad es igual a la media de los precios, por lo que los precios de los bienes giran en torno al valor de los bienes (se trata de hecho de una reformulación de la solución aportada por Conrad Schmidt).
* El tiempo de trabajo necesario para la producción de un bien sigue influyendo en el precio del bien: un aumento de este tiempo de trabajo aumenta el precio, y una reducción del tiempo de trabajo hace que baje.
* Históricamente, antes del modo de producción capitalista, el valor de un bien era efectivamente igual a su precio correspondiente, sólo con la posibilidad de reasignación de capital apareció esta desviación, el valor de un bien es en esencia, por lo tanto, valor trabajo.
* Los valores “se hallan detrás de los precios de producción y, en última instancia, los determinan”, es decir que los precios de los bienes sólo se transforman, estos precios son siempre aproximadamente iguales a sus respectivos valores.
William Jefferies propuso que Marx en los Grundrisse ya había resuelto el problema de la transformación como "resultado necesario de la desproporción causada por la introducción generalizada de capital fijo que completó la transición al capitalismo mismo" y del desarrollo de las fuerzas productivas, que crean "capitales de diferentes composiciones" y "una tasa de ganancia media" que alteran la producción. El desarrollo de estas contradicciones conduce a la sobreproducción y a la crisis de depreciación general o "una devaluación general o destrucción del capital". Una respuesta parecida proviene de Pavel Maksakovsky.
Según Maksakovsky Marx "proporcionó una solución general al problema de la dinámica del conjunto capitalista" en "términos esquemáticos ideales". Marx "asumió el equilibrio en sus modelos de reproducción" pero estos son perturbados "por procesos dinámicos que se encuentran en otro plano del conjunto capitalista". Esto significaba que "la crisis y el ciclo son inherentes a la forma más básica de la ley del valor". Maksakovsky sostuvo una "teoría de la coyuntura" donde "el estudio del capitalismo tal como se desarrolla a través de la totalidad de sus relaciones".

### Eugen von Böhm-Bawerk y la contradicción marxiana

El primer clímax fue la controversia del economista austriaco Eugen von Böhm-Bawerk, que, sin embargo, aún no abordaba el problema de la transformación en el sentido más estricto y matemáticamente formalizado.
Böhm-Bawerk era partidario de la teoría subjetiva del valor, por lo que toda transformación es imposible porque la teoría del valor-trabajo no es válida. En La conclusión del sistema marxiano (1896) argumentó que la propuesta de Marx del Tomo III contradice los fundamentos de su propia teoría del valor-trabajo. Esta crítica fue adelantada años antes por el economista italiano Achille Loria.
Böhm-Bawerk trató de contradecir los cuatro argumentos de Marx:
* Aunque el promedio de los precios corresponde a un valor preciso, nada dice que este valor condiciona el promedio de los precios, o si, por el contrario, el valor de Marx no es más que un promedio; como contraejemplo, Böhm-Bawerk toma la longevidad de la vida de los animales, afirmando que todos los animales tienen la misma longevidad, se podría argumentar que las desviaciones en la longevidad de los diferentes animales se compensan entre sí y son en promedio iguales al valor fundamental de la vida, y por lo tanto que el valor fundamental de la vida es de hecho la longevidad de los animales.
* Ningún economista cuestiona el hecho de que el tiempo de trabajo condiciona el precio, ya que este tiempo es un costo para el capitalista en forma de salarios. La cuestión no es si el trabajo es un factor en la formación de los precios, sino si es el factor.
* Aunque Marx presenta el argumento histórico, Marx no menciona ningún ejemplo que apoye su punto. De hecho, incluso parecería que la historia confirma exactamente lo contrario: citando a Werner Sombart, afirma que esta inconsistencia entre el valor y el precio de los bienes ya estaba presente en los primeros tiempos del sistema capitalista, en un momento en que la asignación de capital aún no estaba suficientemente desarrollada.
* Hay al menos otro factor independiente del valor del trabajo (salarios) que puede explicar una desviación en los precios después de la asignación de capital.
Para Bohm Bawerk el método seguido por Marx no es objetivo y real, sino apriorístico. La ley del valor de Marx explicaría las relaciones de intercambio mercancías separadas entre sí, pero esta no puede ser demostrada por mirando el sistema como un todo, como lo hace Marx, ya que sostener que "el precio total pagado por la totalidad del producto coincide exactamente con la cantidad total de valor o trabajo incorporado en él" es tautológico y no demuestra nada. El economista austriaco también le reprocha haber subestimado en gran medida el papel de la ley de la oferta y demanda; y de los "dones de la naturaleza" en la búsqueda de recuperar el valor de cambio:
* Según Böhm-Bawerk, el mercado tenía para Marx un papel insignificante, ya que es sólo el lugar donde la oferta y la demanda se compensan mutuamente, pero ante el enigma de la tasa media de ganancia, Marx se vio obligado a admitir que, de hecho, es el mercado el que tiene la última palabra sobre la formación de los precios. Su papel no es, por tanto, desdeñable, sobre todo porque Böhm-Bawerk especifica que la oferta y la demanda no se compensan, porque esto sería olvidar la oferta y la demanda que no pudieron ser satisfechas (por un precio demasiado alto o demasiado bajo), por lo que existe una cierta tensión en cualquier mercado.
* Por último, la teoría marxista no logra explicar el valor fundamental de los bienes naturales que aún no han sido explotados por el hombre, sin embargo, estos "dones de la naturaleza" tienen un papel importante en el comercio y en el intercambio entre dos bienes, por ejemplo, para la fertilidad del suelo, para la riqueza de las minas de carbón, para la madera de los bosques... Por lo tanto, el valor de cambio sería cualquier cosa menos reducible a la cantidad de trabajo socialmente necesario.
Aunque Böhm-Bawerk estimaba a Marx, consideraba que su trabajo había terminado en fracaso, y que los marxistas acabarían admitiendo que la teoría del valor-trabajo conduciría a un callejón sin salida.
Las críticas posteriores a Marx en su mayoría reiteraron o simplemente reformularon las ideas fundamentales ya expuestas por Böhm-Bawerk.Aun hoy en día la respuesta de Bohm Bawerk ha sido muy influyente en economistas que sostienen que la teoría subjetiva del valor, característica de la escuela austriaca. William Brake escribe "Bohm Bawerk que anticipó casi todos los ataques sobre el marxismo. Desde el punto de vista de los que mantienen la economía política, centrada en torno a la teoría subjetiva del valor. En conjunto, poco ha sido añadido a este caso por sus críticos".
En el campo marxista, Louis B. Boudin afirma que "Bohm Bawerk es superior a sus camaradas en armas y es reconocido por ellos". Rudolf Hilferding planteó contra las críticas de Böhm-Bawerk que la teoría del valor-trabajo marxista "es una afirmación sobre las relaciones sociales que subyacen a los fenómenos del mercado, no un mero teorema sobre los precios". Jean Hyppolite desde un punto de vista hegeliano defiende que el tomo I trata de la Esencia, mientras que el tomo III de los fenómenos. "La esencia es el valor-trabajo, el origen de la plusvalía, el proceso de producción mismo; la apariencia es el mercado". Es decir, no hay contradicción, sino un doble punto de vista.
Michio Morishima argumentó que, contrariamente, el propósito de Marx era demostrar que los valores y los precios necesariamente han de desviarse en el modo de producción capitalista. Según Morishima, "el único modo de que las ganancias y el plusvalor coincidan es que la composición orgánica del capital sea uniforme en todos los ramos de la producción".

### Ladislaus Bortkiewicz y la crítica matemática

Desde la economía neoclásica afirman mediante el uso de ejemplos matemáticos que un conjunto de funciones en las que se cumplen las igualdades de Marx generalmente no existe a nivel de empresa individual o agregado, de modo que el problema de transformación del capítulo 9 no tiene solución general. Esto fue señalado por primera vez, entre otros, por Ladislaus Bortkiewicz (1907) basado en el trabajo de Mijaíl Tugán-Baranovski (1905).
Bortkiewicz aplicó métodos matemáticos de álgebra lineal al problema en un sistema de tres sectores: uno dedicado la producción de máquinas, otro de bienes de consumo y otro de bienes de lujo (oro). Basado en las condiciones de circulación estáticas de la "reproducción simple" del capital del segundo tomo de El capital, parecida a la teoría del equilibrio general. "En el supuesto de la reproducción simple, la oferta de producto de cada uno de los tres sectores debe ser igual a la demanda del mismo, ya que esto surge de la suma de los ingresos generados en los tres departamentos".
Antecedentes a una formulación matemática del problema de la transformación de Bortkiewicz se encuentra en la obra de Wolfgang Mühlpfordt: Preis und Einkommen in der privatkapitalistischen Gesellschaft (1893) y Karl Marx und die Durchschnittsprofitrate (1895).En 1987, el Cambridge Journal of Economics dio la primera indicación de que Mühlpfordt merece la originalidad de este planteamiento en comparación con Bortkiewicz. Su presentación moderna anticipó muchos de los enfoques posteriores para resolver el problema.
* Solución de Marx (descrita matemáticamente por Bortkiewicz) al problema de la transformación
* Del cálculo en valores de los tres sectores: ${\begin{cases}{\text{Sector 1 }}\rightarrow V_{1}=c_{1}+v_{1}+s_{1}\\{\text{Sector 2 }}\rightarrow V_{2}=c_{2}+v_{2}+s_{2}\\{\text{Sector 3 }}\rightarrow V_{3}=c_{3}+v_{3}+s_{3}\end{cases}}$ ; se infiere las sumas totales: ${\begin{cases}c_{1}+c_{2}+c_{3}=C\\v_{1}+v_{2}+v_{3}=V\\p_{1}+p_{2}+p_{3}=P\end{cases}}$ ;
* y de estas se obtiene la tasa general de ganancia: $(\pi )={P \over C+V}$Entonces, mediante el procedimiento de Marx, se deduce el cálculo en precios de producción: ${\begin{cases}{\text{Sector 1 }}\rightarrow P_{1}=c_{1}+v_{1}+\pi (c_{1}+v_{1})\\{\text{Sector 2 }}\rightarrow P_{2}=c_{2}+v_{2}+\pi (c_{2}+v_{2})\\{\text{Sector 3 }}\rightarrow P_{3}=c_{3}+v_{3}+\pi (c_{3}+v_{3})\end{cases}}$
La solución marxista mantiene las igualdades agregadas (valor total = precio total; y plusvalor global = ganancia global). Sin embargo, Bortkiewicz critica que cuando la ganancia producida se invierte de nuevo en un ciclo económico los insumos ahora se miden en precios de producción y no en valores. Luego, "la tasa de ganancia y los precios de producción sólo pueden determinarse simultáneamente y no secuencialmente".​ Ello implica que el procedimiento de transformación de Marx es incompleto y, en consecuencia, el sistema se encuentra erróneamente planteado.
* Corrección de Bortkiewicz a la solución marxiana del problema de la transformación
* Para resolver la transformación Bortkiewicz toma la relación entre valor y precio de las mercancías del sector I como ($x$), las mercancías del sector II como ($y$); y las mercancías del sector III como ($z$).
* Entonces:
* ${\begin{cases}{\text{Sector 1 }}\rightarrow (c_{1}x+v_{1}y)+(1+\pi )=(c_{1}+c_{2}+c_{3})x\\{\text{Sector 2 }}\rightarrow (c_{2}x+v_{2}y)+(1+\pi )=(v_{1}+v_{2}+v_{3})y\\{\text{Sector 3 }}\rightarrow (c_{3}x+v_{3}y)+(1+\pi )=(p_{1}+p_{2}+p_{3})z\end{cases}}$Bortkiewicz también adoptó la posición ricardiana de que el sector de bienes de lujo no afectaría en la formación de la tasa de ganancia media, ya que esta depende únicamente de los otros dos sectores productores. También asumió como "invariante" el sector III de bienes lujo ya que no entra en los esquemas de "reproducción simple", y el oro como mercancía numerario (véase Patrón oro). "En consecuencia, la tasa media de ganancia no conduce a la igualdad de el valor total y el precio total, salvo que la composición del capital en la industria productora de oro es la misma que la de el capital total".
* Entonces, asumiendo $z=1$ resuelve el sistema algebraico:
* ${\begin{array}{lcr}\pi &=&\end{array}}$${\frac {f_{2}g_{1}+g_{2}-{\sqrt {(f_{2}g_{1}-g_{2})^{2}+4f_{1}g_{1}g_{2}}}}{2(f_{2}-f_{1})}}-1$
* ${\begin{array}{lcr}y&=&\end{array}}$${\frac {g_{3}}{g_{2}+(f_{3}-f_{2})(1+\pi )}}$
* ${\begin{array}{lcr}z&=&\end{array}}$${\frac {f_{1}y(1+\pi )}{g_{1}-(1+\pi )}}$Donde:
* ${\begin{array}{lcr}f_{1}&=&\end{array}}$${\frac {v_{1}}{c_{1}}}{\text{; }}$ ${\begin{array}{lcr}g_{1}&=&\end{array}}$${\frac {v_{1}+c_{1}+p_{1}}{c_{1}}}$
* ${\begin{array}{lcr}f_{2}&=&\end{array}}$${\frac {v_{2}}{c_{2}}}{\text{; }}$ ${\begin{array}{lcr}g_{1}&=&\end{array}}$${\frac {v_{2}+c_{1}+p_{1}}{c_{1}}}$
* ${\begin{array}{lcr}f_{3}&=&\end{array}}$${\frac {v_{3}}{c_{3}}}{\text{; }}$ ${\begin{array}{lcr}g_{1}&=&\end{array}}$${\frac {v_{3}+c_{3}+p_{3}}{c_{3}}}$
Los resultados de Bortkiewicz fueron que la solución marxista no mantiene las igualdades agregadas. De manera que las mercancías parecen tener diferentes valores cuando se venden como productos de cuando se compran como insumos.
Marx era consciente de este problema matemático. Como explica en el capítulo 9 del tercer tomo de El capital:
Fue gracias a Paul Sweezy (1949) que la crítica matemático de Bortkiewicz se convirtió en "tema central de las corrientes marxistas y neoricardianas" a mediados del siglo XX.
Economistas como Josef Winternitz, Luigi Pasinetti y Arghiri Emmanuel criticaron el procedimiento de Bortkiewicz por elegir $z$ como mercancía patrón invariante, incompatible con la teoría del dinero de Marx, donde el dinero-mercancía (patrón oro) "para que sea medida de valor, su valor ha de ser, stricto sensu, variable"; y por el uso de la reproducción simple, que es "restrictivo e irreal [...] incompatible con las leyes del movimiento del capitalismo", en lugar reproducción ampliada. Además, "el equilibrio de la reproducción simple, si se obtiene con un intercambio de valores iguales, no se obtendría con un intercambio a precios de producción", por lo que se requiere una distribución del trabajo social para restablecerlo. Para Paul Mattick "los esquemas de reproducción de Marx no se refiere al mundo real de las relaciones de precios, sino que es un dispositivo metodológico". Además, el sector de lujo si afecta a la formación de la ganancia media porque los precios de producción se expresan en unidades de la mercancía dinero (oro).
Winternitz propuso una solución similar a la de Bortkiewicz, aplicada incluso a la reproducción ampliada, adoptando la "unidad de trabajo o valor agregado" de Natalie Moszkowska. En dicha solución "la suma de los precios sea igual a la suma de los valores" pero "la ganancia total normalmente diverge del plusvalor total". Para Winternitz, si se intercambian valores iguales pero los precios cambian el método de Marx seria siendo válido siempre que se mantenga una tasa de ganancia igual en ambos. Así, "la suma de todos los precios cambia sólo si y en la medida en que cambia el número de horas necesarias para producir la producción total o el valor de la mercancía-dinero".
La solución de Winternitz fue criticada por no mantener las igualdades agregadas. Pasinetti y Michio Morishima criticaron el uso del valor agregado porque impide la determinación del trabajo socialmente necesario y soslaya la igualdad de las tasas de explotación del esquema marxiano.

### Piero Sraffa, Paul Samuelson y críticas posteriores

El trabajo de Wassily Leontief y Piero Sraffa (1960) sobre modelos de producción lineal proporcionó un marco dentro del cual argumentar este resultado de manera general. Aunque en realidad nunca mencionó el problema de la transformación, en el capítulo 6 de Producción de mercancías por medio de mercancías acerca de la "reducción" de los precios a cantidades de trabajo presente y pasado incorporado proporcionó implícitamente la primera prueba general, mostrando que el precio competitivo $P_{i}$ de $i$ bien producido se puede expresar como:
    $P_{i}=\sum _{n=0}^{\infty }l_{in}w{(1+r)^{n}}$ ,
dónde $n$ es el desfase de tiempo, $l_{in}$ es el coeficiente de insumo de mano de obra rezagado, $w$ es el salario, y $r$ es la tasa de "beneficio" (o rendimiento neto). Dado que el trabajo incorporado total se define como:
    $E_{i}=\sum _{n=0}^{\infty }l_{in}$ ,
del resultado de Sraffa se deduce que generalmente no hay ninguna función de $E_{i}$ a $P_{i}$, como lo hicieron explícito y elaborado escritores posteriores, en particular Ian Steedman en Marx after Sraffa. Economistas neoricardianos modernos argumentan que se puede obtener la tasa general de ganancia y el precio utilizando datos tecnológicos.
Una referencia estándar, con un amplio estudio de toda la literatura anterior a 1971 y una bibliografía completa, es Understanding the Marxian notion of exploitation de Paul Samuelson (1971). Samuelson rechazó las críticas de Böhm-Bawerk de que Marx abandonó la teoría del valor en favor de una teoría de precios ya que esta última fue escrito antes que la primera. En su lugar, Samuelson retomó la solución formal del problema planteado, afirmando que no existe un algoritmo que conduzca desde los valores laborales hasta los precios de producción. Samuelson arguye los valores y los precios son "mutuamente excluyentes alternativas", se "puede tener ya sea lo uno o lo otro, pero no ambos simultáneamente", por lo que "el cálculo de los valores hecho por Marx en el libro I es redundante e innecesario, a la par que confuso y complejo".
Los académicos tradicionales como Paul Samuelson cuestionan el supuesto de que la naturaleza básica de la producción y distribución capitalistas pueda deducirse de casos especiales poco realistas. Por ejemplo, en casos especiales en los que se aplica, el razonamiento de Marx puede invertirse mediante un proceso de transformación inverso; Samuelson sostiene que la inferencia de Marx de que
podría con igual contundencia ser "transformado" en:
Para aclarar este punto, cabe señalar que los casos especiales en cuestión también son precisamente aquellos en los que el antiguo modelo de productividad marginal agregada de John Bates Clark es estrictamente válido, lo que conduce a la igualdad entre los niveles de equilibrio del tipo de salario real y la tasa marginal agregada del trabajo. producto, una hipótesis considerada refutada por todas las partes durante la controversia de Cambridge sobre la capital. Se tendría así un estado "puro" de la sociedad capitalista en el que la teoría de la explotación de Marx y su principal supuesta refutación fueran ciertas.
Al igual que el argumento de Clark sobre la "justicia" de los — de productividad marginal, el argumento básico de Marx — la "sustancia" del valor hasta el concepto de explotación- se afirma que es un conjunto de proposiciones no analíticas ni empíricas. Es por eso que, al no ser falsables, se puede encontrar que ambas teorías se aplican al mismo objeto formal y/o empírico, aunque se supone que se niegan entre sí.
Samuelson no sólo descartó la teoría del valor trabajo debido al problema de la transformación, sino que, en cooperación con economistas como Carl Christian von Weizsäcker, proporcionó soluciones. Von Weizsäcker (1962), junto con Samuelson (1971), analizaron el problema bajo el supuesto de que la economía crece a un ritmo constante siguiendo la Regla de oro del ahorro. Weizsäcker concluye:

## Respuestas a las críticas
### Primeras respuestas después de Marx
#### Friedrich Engels

Friedrich Engels, el editor de El capital, planteó la contradicción de la economía clásica en el prefacio del tomo II de El capital como un desafío a sus teóricos mediante la demostración de la igualación de la tasa media de ganancia sin contradecir la ley del valor, el cual Engels creía que Marx ya había resuelto en el tomo III de El capital, aunque solo como "un contorno esbozado".
Al igual que Marx, sostuvo que "beneficio total y la plusvalía total sólo pueden coincidir aproximadamente", ya que "ni la plusvalía total ni el capital total son magnitudes constantes, sino variables cuyo valor cambia diariamente". También prevé "que la suma total de las ganancias monetarias -resultantes de los precios del mercado- es inferior a la suma total del plusvalor producido, porque entretanto el valor ha disminuido como resultado del aumento de la productividad del trabajo".
En un suplemento (y luego postfacio) al tomo III de El capital (1895) respondió de forma directa al problema de la contradicción entre valores y precios propuesto por Achille Loria. Según Engels "las mercancías no simplemente se intercambian como mercancías, sino como producto de capitales que exigen una participación en la masa global del plusvalor". Luego "todo valor, toda mercancía, y por tanto, todo coste-precio es también capital".
Engels insinuó una forma alternativa de abordar el asunto desde una interpretación histórica. En su reseña de la Una contribución a la crítica de la economía política de Marx para hacer crítica de la economía política estableció un "método lógico-histórico" (denominado así por Ronald L. Meek), en donde las "las categorías económicas aparecerían" históricamente "por el mismo orden que en su desarrollo lógico". Este es elaborado por Engels en el prefacio y postfacio del tomo III. Engels citó a Marx diciendo:
Su opinión era que la pura "ley del valor" marxiana del tomo I y los precios "transformados" del tomo III se aplicaban a diferentes períodos de la historia económica. Este proceso es autónomo y "si el capitalista individual estuviese consciente de que produce plusvalía y en qué proporciones [...] la relación entre la plusvalía y la ganancia estaría suficientemente clara desde el comienzo".
En particular, la "ley del valor" habría prevalecido en las economías de intercambio precapitalistas, desde Babilonia hasta el siglo XV, mientras que los precios "transformados" se habrían materializado bajo el capitalismo.
El método lógico-histórico fue aceptado por marxistas posteriores como Karl Kautsky, Rosa Luxemburgo y Moisevich Rosental.Como Isaak Rubin escribió: “la teoría del valor trabajo y la teoría del precio de producción no son teorías de dos tipos diferentes de economía, sino teorías de una misma economía capitalista tomadas en dos niveles diferentes de abstracción científica”. Rubin concluyó que "Marx demostró que en la economía capitalista, a diferencia de una simple economía mercantil, la ley del valor trabajo no se impone directamente, sino sólo indirectamente a través de un complejo proceso social de formación de la tasa media de ganancia y los precios de producción".
El razonamiento de Engels fue retomado más tarde por Ronald L. Meek (1956) y Edward J. Nell (1973). Estos autores argumentaban que, independientemente de lo que se pudiera decir de su interpretación del capitalismo, la teoría del "valor" de Marx conserva su utilidad como herramienta para interpretar las sociedades precapitalistas, porque, sostenían, en las economías de intercambio precapitalistas no había "precios de producción" con una tasa uniforme de rendimiento (o "ganancia") sobre el capital. De aquí se deduce que la transformación de Marx debe haber tenido una dimensión histórica, dada por la transición real a la producción capitalista (y no más "valores" marxistas) al comienzo de la era moderna. En este caso, esta verdadera "transformación histórica" podría y debería ocupar el lugar de la transformación matemática postulada por Marx en el capítulo 9 del tomo 3. Según Meek, en la historia hubo dos tipos de "precios de oferta": el que el productor considera sus ingresos como "recompensa por su trabajo" y el que considera como "ganancia de su capital". Solo bastaría con demostrar que la historia hubo "una transformación de un tipo de precio de oferta en otro". Esta es "la transformación histórica de la que la transformación lógica [...] debe considerarse como la contraparte". Arghiri Emmanuel (1972) también sostuvo que la teoría del valor-trabajo es válida cuando hay sólo una clase de receptores del producto neto (los trabajadores), y la teoría de los precios de producción es válida cuando hay dos clases de receptores (capitalistas y trabajadores).
La visión de Engels de El capital fue dominante en el marxismo ortodoxo, pero en discusiones posteriores la interpretación de Engels fue ampliamente cuestionada. La consideración del valor como previo plantea la posibilidad de que también existía antes la división del trabajo, lo cual contradice la solución de Marx al problema de la transformación, donde "los valores no transformados se modifican en respuesta a una división del trabajo desarrollada, que no existía, histórica y lógicamente, en el momento en que existían los valores". Mario L. Robles Báez afirma que la interpretación de Engels según la cual la ley del valor corresponde a una forma de producción precapitalista "es opuesta a la de Marx de que el valor no existe fuera de capitalismo". Joan Robinson rechazó la interpretación "histórica" de Engels al caer en "el argumento de los economistas 'burgueses' sobre cómo Robinson Crusoe igualó sus utilidades marginales" que el mismo Marx argumentó en contra. Si realmente fuera el caso la suposición de que Marx en el tomo I pensara que solo se aplicaba al mundo precapitalista entonces el desafío que Engels en el prefacio del tomo II se vuelve irrelevante, ya que los precios de producción eran las bases del sistema de precios y no el valor.

#### Wilhelm Lexis

Wilhelm Lexis, director de tesis de Ladislaus Bortkiewicz, escribió en 1885 una reseña al Tomo II de El capital que "la única solución posible era una en la que se permitiera que los precios y los valores del trabajo divergieran, de una manera que permitiera la transferencia de plusvalía de los capitalistas que usaban cantidades relativamente grandes de fuerza de trabajo a los que usaban proporcionalmente menos".
Lexis interpretó la ley del valor de Marx como "una concepción puramente teórica" que en la realidad pero su validez podría preservarse en el total de mercancías producidas "siempre que se aplique no a los productos individuales, sino al total de productos básicos". Esto permitiría a Marx analizar su análisis de la producción capitalista de forma más sencilla, cuyas leyes derivadas "no son más que abstracciones hipotéticas". Lexis sostuvo desde la teoría marginalista del valor subjetivo de William Stanley Jevons y Carl Menger que "las tasas de ganancia igualadas sólo podría lograrse si, para la mercancía individual, se abandonara la medida del valor como tiempo de trabajo" y el capitalista obtiene “ganancias de sus transacciones vendiendo a un precio superior al precio de compra”. Luego, ambas del teorías del valor (marxista y marginalista) "son igualmente válidas desde el punto de vista del razonamiento lógico". Esta respuesta anticipa "la crítica de la redundancia de la teoría del valor trabajo" frente a los precios y Engels describe a Lexis como "un marxista disfrazado de economista vulgar".

#### Conrad Schmidt

Conrad Schmidt fue uno de los primeros en señalar la contradicción entre las mercancías que tienden a cambiar a su valor de trabajo y una tasa media de ganancia en su obra Die Durchschnittsprofitrate auf Grundlage des Marxschen Wertgesetzes (1889). En 1895 Schmidt planteó que el valor es "una hipótesis para la explicación de la realidad". Engels se opuso a esta interpretación del valor como una "ficción necesaria", pues los valores fueron visibles empíricamente y reales en la "producción mercantil simple", antes de que capitalismo que "modificara" las relaciones involucradas.
Paul Mattick (1972) también consideró el valor en Marx como "una realidad evidente". Las "relaciones de valor" son "relaciones sociales laborales", más concretamente "las relaciones de clase específicas del modo capitalista de producción". En una sociedad sin clases sociales "no habría intercambio entre los propietarios de los medios de producción y los obreros, y las relaciones sociales de producción no significarían relaciones de valor".

#### Werner Sombart

El economista Werner Sombart, quien Engels considera el primer profesor alemán en entender a Marx, afirmó que el valor "no es un hecho empírico, sino lógico"; y "no se manifiesta en la relación de intercambio de las mercancías producidas de manera capitalista". El valor desempeñaría ningún papel es sólo una especie de “ley natural” con una función reguladora, "la forma histórica específica en la que se impone de manera determinante la fuerza productiva del trabajo".
Considera que "el valor no es un hecho empírico, sino conceptual". Los hechos contradicen la teoría marxista fundamental del valor, pero es necesaria una simplificación teórica de la formación del valor y de los precios para permitir un estudio simple antes de introducir en la teoría económica elementos más realistas y complejos, como el hecho de que el físico admita que la fricción no existe. Posteriormente, Alexander Parvus también señaló hechos históricos precapitalistas que "obstaculizaban la concepción de un valor de cambio general fundado en el tiempo de trabajo de los productores" como sostuvo Engels con su "producción mercantil simple". Afirmó que "la formación del valor de cambio del trabajo y los problemas conexos del valor y la plusvalía no son más claros en esa etapa de la industria que en la actualidad".
Engels criticó que Sombart "esperaba un milagro" en tomo III y consideró "demasiado generalizado e impreciso" su "reducción de la significación de la ley del valor a la dominación de la fuerza productiva del trabajo como poder económico determinante".

#### Eduard Bernstein

Pocos años después de la muerte de Engels el socialdemócrata Eduard Bernstein escribió en su obra Las premisas del socialismo y las tareas de la socialdemocracia (1899) una serie de reflexiones acerca de la teoría económica de Marx. Dado que Marx sostiene en libro tercer de El capital que "las mercancías no se venden según su valor individual, sino según su precio de producción" entonces "el valor pierde toda cualidad concreta y se convierte en un concepto abstracto puro [...] una hipótesis abstracta". El valor es pues algo secundario al precio, lo cual no es otra cosa la utilidad marginal de la escuela de Hermann Heinrich Gossen, William Stanley Jevons y Eugen von Böhm-Bawerk. Como la plusvalía es una consecuencia derivada de la teoría del valor es también una hipótesis abstracta.
Esta posición fue tildada como "revisionista" por el marxismo ortodoxo y criticada por Karl Kautsky y Rosa Luxemburgo.

### Respuestas marxistas posteriores

Desde la década de los 80 comenzó a plantearse varias interpretaciones que resolvieran el problema (ver siguiente sección). Por ejemplo, defensores de la interpretación temporal y de sistema único sostienen que la determinación de precios mediante ecuaciones lineales simultáneas (que suponen que los precios son los mismos al inicio y al final del período de producción) es lógicamente inconsistente con la determinación de valor por tiempo de trabajo, rechazan los principios de la prueba matemática de que el problema de transformación de Marx no tiene solución general. Por otro lado, autores como Mike Beggs sostiene que es difícil evitar una solución ad hoc del problema a la manera de los epiciclos de Ptolomeo, "incluso si se presenta en una forma lógicamente coherente".
Algunos economistas marxistas aceptan el problema pero rechazan su relevancia para algunos elementos clave de la economía política marxista.
Para Ernest Mandel los insumos no necesitan ser transformados ya que "los insumos en los ciclos actuales de producción son datos que se dan al comienzo de ese ciclo", por lo que basta con suponer que ya se calculan en precios de producción del ciclo de producción anterior para eliminar la inconsistencia lógica. Los precios de producción, como señala Shaikh, pueden calcularse directamente a partir de los mismos "datos económicos" que los "precios directos", por lo que "necesidad de tal transformación en primer lugar". Mandel también criticó la excesiva formalización matemática para resolver el problema:
Otros más rechazan rotundamente la economía marxista y, en cambio, enfatizan la política de las relaciones de producción. Por ejemplo, Ian Steedman en Marx after Sraffa. “Las magnitudes de valor”, escribe Steedman, “son irrelevantes para la determinación próxima de la tasa de ganancia y de los precios de producción”. Dentro del marxismo analítico se defiende teoría de la explotación de Marx sin apelar a la teoría del valor-trabajo (John Roemer, 1989). Según Michio Morishima, se puede concebir a Marx sin la teoría del valor siempre que se acepte la teoría de la explotación del “Teorema fundamental marxiano” (postulado por Nobuo Okishio), la cual es independiente del concepto de valor. No obstante, marxistas como Paul Sweezy creen que centrase únicamente en el cálculo de precios e ignorar el valor cae en el "fetichismo de la mercancía," ya que se "mistifica las relaciones sociales subyacentes de la producción capitalista".
Anwar Shaikh afirma que "el punto más importante" de Marx es que de la teoría del valor no pueden derivarse ciertas conclusiones que de una teoría que comience solo con los precios de producción (por ejemplo, la relación entre valor y el precio con su correspondencia entre producción y circulación). Como critica de la economía política "reducir la cuestión de la transformación a una cuestión de mero cálculo es simplemente reducir a Marx a la economía neoclásica". Tiago Camarinha Lopes similarmente sostiene que toda teoría del valor "tiene una dimensión de clase" y todo solución analítica al problema cae en la "redundancia del análisis de valor para la economía convencional" cuando en realidad habría que centrase una lectura política que favorezca los análisis marxistas. La pregunta fundamental previa de Shaikh a todo análisis de transformación: "¿Qué leyes deriva Marx de ella que no pueden derivarse del análisis económico convencional?"
Fred Moseley argumentó que en el método de Marx "no es necesaria ni apropiada" tal transformación. Su propósito no era crear una teoría de precios de mercado sino descubrir el origen de las ganancias, que es la plusvalía. Según Moseley "el valor total y la plusvalía se determinan en el nivel macroeconómico antes de la formación microeconómica de los precios de producción". En este sentido argumenta que la teoría del valor-trabajo "proporciona una capacidad explicativa superior para una amplia gama de fenómenos importantes de las economías capitalistas".
También se ha sugerido que dado que "el capitalismo nunca está en equilibrio, sino siempre turbulento y cambiante" este problema puede ser ignorado. Carlos Fernández Liria y Luis Alegre Zahonero defienden que Marx no estaba interesado en la transformación de precios sino más bien que para Marx no podía existir economía política sin valor, así como para Galileo Galilei no podía existir física sin inercia. Entonces si el capitalismo no funciona según la ley del valor, es culpa del capitalismo y no de la ley del valor.
H. D. Dickinson consideró que no es posible determinar exactamente las variables que permiten la transformación dada la indeterminación de la natural, luego solo importa que la relación entre valores y precios pueda determinarse. Paul Mattick priorizó el análisis de las condiciones socioeconómicas frente a "los economistas con inclinaciones matemáticas", cuyos modelos pueden ser útiles pero no pueden sustituir a la realidad. Para Ronald L. Meek, "el verdadero punto al que Marx" del problema era ilustrar "la proporción fundamental de la que dependía la ganancia todavía podía decirse que estaba determinada de acuerdo con el análisis del Tomo I" y no demostrarla matemáticamente.
Finalmente, hay académicos marxistas (por ejemplo, Anwar Shaikh, Makoto Itō, Gerard Dumenil y Dominique Levy, y Duncan Foley) que sostienen que no existe ningún procedimiento lógico indiscutible mediante el cual derivar las magnitudes de los precios a partir de las magnitudes de los valores, pero aun así piensan que no hay consecuencias letales para su sistema en su conjunto. En unos pocos casos muy especiales, la idea de Marx del trabajo como la "sustancia" del valor (intercambiable) no estaría abiertamente en desacuerdo con los hechos del equilibrio competitivo del mercado. Estos autores han argumentado que tales casos — generalmente — se observan– arrojan luz sobre la naturaleza "oculta" o "pura" de la sociedad capitalista. Así, las nociones relacionadas de Marx sobre plusvalía y trabajo asalariado todavía pueden considerarse básicamente ciertas, aunque sostienen que los detalles prácticos de su funcionamiento son más complicados de lo que Marx pensaba.

## Soluciones modernas
### Método iterativo

En 1973, Anwar Shaikh y Michio Morishima desarrollaron independientemente "una solución iterativa al problema de la transformación (ISTP)" de cálculos secuenciales en lugar del de ecuaciones lineales simultáneas (que suponen que los precios son los mismos al inicio y al final del período de producción) "para resolver matemáticamente un sistema de ecuaciones de precios bajo postulados dados de invariancia".
A diferencia de la visión estática de la economía, donde la conversión de valores a precios es directa, Shaikh (1977) argumenta que la relación es más compleja. El procedimiento de Marx es el "primer paso" de una transformación iterativa de los "precios directos" (precios proporcionales a los valores) a los precios de producción. Los precios son dinámicos y pueden cambiar, debido a variaciones en la oferta y demanda, pero tienden a regresar a un equilibrio a largo plazo. Rolando Astarita resume este procedimiento de la siguiente manera:
Shaikh (1977) describe que este proceso ocurre "ocurre continuamente y, en su forma pura, actúa modificando los precios de productos individuales, dejando intacta la suma de precios de una masa dada de productos".

### Nueva interpretación

La "Nueva Solución" o "Nueva Interpretación (NI)" fue propuesta por Gerard Duménil (1983-1984), Duncan Foley (1982) y Alain Lipietz (1982). La nueva interpretación "argumenta que el capital variable no se deriva de una cantidad dada de medios de subsistencia, sino que se toma como dado, como la cantidad real de capital monetario adelantado para comprar fuerza de trabajo en la economía capitalista real, y que esto es igual al precio de producción de los medios de subsistencia". Foley y Duménil 2018 rebautizaron la solución como "Teoría del valor-trabajo de un solo sistema (TS-LTV)".

### Interpretación simultánea de sistema único

Otro enfoque "más radical" es la "Interpretación Simultánea de Sistema Único (SSSI)" propuesta por Richard D. Wolff, Antonino Callari y Bruce Roberts (1984) donde se sostiene que "en el mismo sistema de precios se manifiestan tanto valores como precios de producción". Mientras que el enfoque tradicional es la "determinación matemática unidireccional de los precios por los valores" (Valores → Precios), en la SSSI sostiene una "determinación mutua bidireccional", es decir, "los valores se transformaron en precios y los precios se transformaron en valores" (Valores ↔ Precios). Luego: "No hay necesidad de debatir cuál es correcto [...] El mejor enfoque es explorar y aprender de sus diferencias, lo que cada uno enseña y prioriza, lo que cada uno ilumina y lo que oscurece".
Los autores argumenta que Marx asume los valores como iguales a los precios para analizar mejor el plusvalor en el tomo I, aunque todo forma de valor difiera del valor como tiempo de trabajo socialmente necesario. Es en el tomo III que se analiza la distribución del plusvalor bajo los efectos del mercado debido a la circulación de mercancías típico del modo de producción capitalista. Marx concibe la economía capitalista como "una red de relaciones de clase dentro de la cual tanto los procesos de producción como los de circulación condicionan conjunta e interactivamente los resultados cuantitativos resultantes". Así la solución vendría dada por la "interdependencia entre valor y forma de valor". La forma del valor es "un elemento constitutivo para determinar la magnitud del valor de la mercancía" y cuando "los valores de cambio de las mercancías se transforman en precios de producción a través del intercambio de equivalentes en el mercado, esta transformación debe incluir aquellas mercancías compradas como elementos de capital constante. Sus precios de producción se incorporan luego al valor de la producción recién producida, ya que esos precios de producción expresan el tiempo de trabajo ahora socialmente necesario para producir esa producción".

### Interpretación temporal y de sistema único

Mientras que en la interpretación simultánea "el sistema de valores y el sistema de precios se determinan al mismo tiempo", según la "Interpretación temporal y de sistema único (TSSI)" propuesta por Alan Freeman, Andrew Kliman y otros; "la transformación se produce en un orden cronológico", por lo que "los precios de entrada y salida pueden diferir". En esta interpretación la tasa media de ganancia igual es una tendencia. Kliman afirmó:
Fred Moseley critica que en la Interpretación del Sistema Único Temporal "los precios de producción son precios a corto plazo que se aplican a un solo ciclo" y no se mantendrían las igualdades agregadas a largo plazo. Para Moseley la TSSI malinterpreta los precios de producción de Marx y no explica cómo cambian de un período a otro manteniéndose como “centro de gravedad” durante largos períodos de tiempo. Gary Mongiovi criticó la interpretación como "economía vulgar" por reducir valores por precios de forma tautológica. Esta crítica fue también sostenida por Jonathan Nitzan y Shimshon Bichler:

### Desarrollo cualitativo

El denominado "desarrollo cualitativo" surge a partir de la obra de Isaak Rubin y de Paul Mattick (1972), donde "el lado cualitativo del análisis de valor se convierte en el centro de atención. [...] El vínculo entre valor y precio sería más bien un desarrollo de categorías, una conexión entre expresiones en diferentes niveles de abstracción, y no un procedimiento lógico-matemático". Según este enfoque "la conversión cuantitativa de valores en precios de producción sería un método incorrecto para abordar el problema".

### Interpretación probabilística

Dentro de la econofísica surgió la "interpretación probabilística" propuesta por Emmanuel Farjoun y Moshe Machover (1983) en Laws of Chaos (ver referencias), "disuelven" el problema de la transformación reconceptualizando las cantidades relevantes como variables aleatorias. En particular, consideran que las tasas de ganancia alcanzan una distribución de equilibrio. Una analogía heurística con la mecánica estadística de un gas ideal los lleva a la hipótesis de que esta distribución de equilibrio debería ser una distribución gamma.
Paul Cockshott y Allin F. Cottrel (1998) argumentan mediante estudios empíricos y estadísticos que parece haber una divergencia algo pequeña en los precios por encima de los valores, pero estos últimos son más cercanos "a la realidad observada del capitalismo". Victor Magariño (2024) también observó una débil tendencia hacia la igualación de las tasas de beneficio de la economía noruega. En consecuencia, Cockshott y David Zachariah (2021) rechazaron la existencia de una tasa media de ganancia en el mercado, defendiendo en su lugar la correlación positiva entre valores y precios. Como concluye Nils Fröhlich (2013), "el supuesto de una tendencia hacia la igualación de la tasa de ganancia es empíricamente falso y teóricamente insostenible" y "la base del debate sobre la transformación parece ser errónea porque las tasas de ganancia y la intensidad del capital están correlacionadas negativamente". Por otro lado, R. E. Greenblatt (2014) propuso un modelo estocástico en el que los valores laborales aparecen como una propiedad emergente junto con un diferencial de tasas de ganancia.
Críticos a las investigaciones empíricas como Andrew Kliman, Jonathan Nitzan y Shimshon Bichler consideran las correlaciones de precios y valores observadas pueden ser espurias.
Ian Wright critica que la alta correspondencia entre valores y precios no es suficiente para explicar una relación 1:1 entre los dos. Dichas diferencias, Wright sostiene, son todavía debido la tendencia a la igualación de las tasas de ganancia, "incluso si esa tendencia nunca se realiza plenamente". Por lo tanto, esta interpretación no resuelve sino que ignora el problema.

### Interpretación monetaria

Michael Heinrich (2012) defendió una teoría monetaria del valor, donde "la mercancía y el valor no pueden existir y tampoco pueden conceptualizarse sin referencia al dinero". Luego "no puede tener sentido ningún tipo de procedimiento para calcular los precios de producción a partir de los valores". Sostiene que "la transición del valor y la plusvalía al precio de producción y al beneficio medio no es una secuencia histórica o incluso temporal, sino más bien una transición entre diferentes niveles de descripción". El problema representa "un avance conceptual de la determinación de la forma de la mercancía".
En Money and Totality, Fred Moseley (2016) propuso a partir de la teoría monetaria de Marx una interpretación "macro-monetaria" desde un "enfoque secuencial, monetario y de sistema único". Moseley critica que en el problema "no se supone que los insumos de capital constante y capital variable sean transformados" durante el proceso de producción.
   "[S]egún esta interpretación y contrariamente a la interpretación tradicional, Marx no "falló en transformar los insumos" porque los insumos (los precios de costo) no se supone que se transformen (como se alega comúnmente), sino que se supone que tienen la misma magnitud (K) en la determinación tanto de los valores como de los precios de producción."
La interpretación de Moseley abraza la NI y la TSSI, ya que "trata sistemáticamente el capital inicial invertido [...] como cantidades de dinero dadas y predeterminadas", por lo que "no hay dicotomía entre sistema de valores y sistema de precios", estos últimos son una forma de valor; y los precios de producción "se aproximan, a largo plazo, a un promedio a los valores". El valor para Moseley es pues una variable "macromonetaria" (la cantidad total de trabajo agregado en un año determinado más la depreciación del capital fijo en ese año), que luego se concreta al nivel de los precios individuales de producción, lo que significa que los "valores individuales" de las mercancías no existen.

### Error categorial

Ian Wright (2014) defendió que el el problema de la transformación es un "error categorial" al suponer que "los valores-trabajo clásicos, que miden los costos de producción estrictamente técnicos o materiales, son del mismo tipo lógico que los precios naturales, que miden los costos de producción no técnicos o sociales". Wright propuso en su lugar una "teoría general del valor-trabajo" donde los costos nominales totales (es decir, los precios de producción) se comparan con los costos laborales totales (o "valores de trabajo superintegrados"). En consecuencia, los valores y precios del trabajo en condiciones de equilibrio adecuadas son mutuamente consistentes.