# Lugar de raíces

En teoría de control, el lugar de raíces o lugar de las raíces (del inglés, root locus) es la representación gráfica del lugar geométrico de los polos de una función de transferencia a medida que se varía un parámetro en un determinado intervalo. Típicamente, parámetro corresponde con la ganancia $k$ de un control proporcional.
El método del lugar de raíces, propuesto por Walter R. Evans, permite determinar la posición de los polos de la función de transferencia a lazo cerrado para valores de ganancia K en el rango $\left[0,\infty \right)$a partir de la función de transferencia a lazo abierto.
El lugar de raíces es una herramienta útil para analizar el transitorio de sistemas dinámicos lineales tipo SISO (single input single output) y su estabilidad (BIBO stability).

## Definición

Sea $G(s)$ la función de transferencia de una planta, y $H(s)$ la función de transferencia de la cadena de realimentación.
$G(s)H(s)$ representa la función de transferencia del sistema en bucle abierto. Pertenecen al lugar de raíces todos los puntos del plano complejo que satisfacen la ecuación característica:
    $1+kG(s)H(s)=0\;\;\forall k\in \left[0,\infty \right)$
Para el caso de $k\in \left(-\infty ,0\right)$, se denomina Lugar de las Raices Complementario.

## Propiedades

El lugar de raíces es simétrico respecto del eje real.
Comienza en $k=0$ los polos $p_{i}$ de la función de transferencia en lazo abierto $G(s)H(s)$, y termina para $k\to \pm \infty$, normalmente con valor nulo. Las soluciones para $k\geq 0$ corresponden al lugar de raíces verdadero, mientras que las soluciones para $k<0$ corresponden al lugar de raíces complementario.

## Reglas para graficar el lugar de raíces

Las reglas que se detallan a continuación permiten graficar el lugar de raíces sin resolver la ecuación característica para cada uno de los valores de $k$, permitiendo que el método sea aplicable a de orden elevado. Se basan en el desarrollo de Walter Richard Evans, publicado en 1948, y por consiguiente se las conoce como Reglas de Evans, que permiten graficar el lugar de las raíces para $k\in \left[0,\infty \right)$ empleando como dato los polos y los ceros de la función en bucle abierto $G(s)H(s)$. Para valores negativos de $k$ se existe un conjunto de reglas equivalente.
Las reglas de Evans son:
* Función de transferencia en bucle abierto. Dada por $G(s)H(s)$, denotamos sus polos como $p_{i},i=1\ldots n$, denotamos como sus ceros finitos como $z_{i},j=1\ldots m$.
* Número de ramas. Tiene $n$ ramas. El número de ramas del lugar de raíces es igual al orden de la ecuación característica de la función de transferencia a lazo cerrado. Para sistemas racionales, esto equivale al orden de la ecuación característica de la función de transferencia a lazo abierto, es decir, el denominador de la función de transferencia a lazo abierto.
* Simetría. Dado que la ecuación característica es de coeficientes reales, las raíces complejas deben ser complejas conjugadas. Por tanto, el lugar de raíces es simétrico respecto al eje real.
* Polos de lazo abierto. Los polos de la función de transferencia a lazo abierto pertenecen al lugar de raíces y corresponden a $k=0$.
* Ceros de lazo abierto. Los ceros de la función de transferencia a lazo abierto pertenecen al lugar de raíces y corresponden a $k=\infty$. Si hay más polos que ceros, entonces habrá $n-m$ ceros en el infinito. Por cada cero en el infinito, el lugar de las raíces tendrá una asíntota.
* Asíntotas. Si la función de transferencia de lazo cerrado tiene t polos más que ceros, entonces el lugar de raíces tiene $n-m$ asíntotas equiespaciadas. La dirección de cada asíntota viene dada por $\gamma _{l}={\frac {\pi (2l+1)}{t}}$, donde $l=0,1,\dots ,n-m-1$.
dirección asíntotas :
| $m-n$ | 1 | 2 | 3 | 4 |
| $\gamma _{l}$ (deg) | 180 | +90,-90 | +60,+180,-60 | +45,+135,-135,-45 |
* Centroide de las asíntotas. El punto del eje real donde las asíntotas se intersecan se denota mediante $\sigma _{0}$, y se calcula mediante $\sigma _{0}={\frac {\sum _{i=0}^{n}{p_{i}}-\sum _{j=0}^{m}{z_{j}}}{n-m}}$.
* Lugar de raíces sobre el eje real. Si la función de transferencia a lazo abierto tiene más de un polo o cero reales, entonces el segmento del eje real que tiene un número impar de polos y ceros reales a su derecha forma parte del lugar de raíces.
* Puntos de entrada-salida. Los puntos de entrada-salida, o puntos singulares, indican la presencia de raíces múltiples de la ecuación característica, y se dan en los valores de s para los cuales se verifica ${\frac {d(-k)}{ds}}=0$.
* Intersección con el eje imaginario. Las intersecciones con el eje imaginario se encuentran calculando los valores de k que surgen de resolver la ecuación característica para $s=j\omega$.
* Pendiente del lugar de raíces en polos y ceros complejos (Condición de Argumento). La pendiente del lugar de raíces en polos y ceros complejos de la función de transferencia a lazo abierto se puede encontrar en un punto de la vecindad del polo o cero mediante la relación $\sum _{j=0}^{m}{\arg(z_{j})}-\sum _{i=0}^{n}{\arg(p_{i})}=\pi (2p-1)$, para k>0, o $2p\pi$, para k<0. Es decir, para k > 0 (lugar de las raíces) la sumatoria de los ángulos que se forman desde los ceros hasta el polo arbitrario S menos la sumatoria de los ángulos que se forman desde los polos hasta S, es múltiplo impar de 180°; y para k < 0 (lugar complementario de las raíces) debe ser múltiplo par de 180°.
* Cálculo de $k$ en un punto del lugar de raíces (Condición de Módulo). El valor absoluto de $k$ que corresponde a un punto,$s_{0}$, que pertenece al lugar de raíces puede determinarse evaluando la función en bucle abierto en ese punto:
$k={\frac {1}{\left|\left.G(s)H(s)\right|_{s_{0}}\right|}}$

## Bibliografía

* G.F. Franklin, A.D. Powell, A. Emami-Naeini, “Feedback Control of Dynamic Systems ”, Ed. Pearson, 6th edition, 2009. Chapter 5.
* K. Ogata, “Ingeniería de Control Moderna ” , Ed. Pearson, 5ª Edición, 2010. Capítulo 6.
* W. R. Evans (January 1948), "Graphical Analysis of Control Systems", Trans. AIEE, 67 (1): 547–551, doi:10.1109/T-AIEE.1948.5059708
* W. R. Evans (January 1950), "Control Systems Synthesis by Root Locus Method", Trans. AIEE, 69 (1): 66–69, doi:10.1109/T-AIEE.1950.5060121