# Extensión de cuerpos

En álgebra, las extensiones de cuerpo son el problema fundamental de la Teoría de Cuerpos. Un cuerpo es un conjunto en el que las operaciones suma y producto están definidas y «funcionan bien». Cuando se construye una extensión de un cuerpo, se busca un conjunto más grande en el que las operaciones suma y producto sigan funcionando bien y además se puedan resolver las ecuaciones polinómicas.

## Definición

Sea $(F,+,\cdot )$ un cuerpo, decimo que un cuerpo $K$ es una extensión de $F$ si $F$ es un subcuerpo de $K$; es decir, si $(K,+,\cdot )$ es un cuerpo y $(F,+,\cdot )$ es un cuerpo con la restricción a $F$ de las operaciones $+$ y $\cdot$ en $K$. Que $K$ sea extensión de $F$ se denota usualmente como $K/F$, $K|F$ o $K:F$.

### Extensión sobre un cuerpo como espacio vectorial sobre el cuerpo

* Si $K$ es una extensión de $F$, entonces $K$ es un espacio vectorial sobre $F$.
En efecto, la adición de $F$ sirve también de adición en el espacio vectorial, y la multiplicación de un elemento de $F$ por uno de $K$ define el producto escalar del espacio vectorial.
Por definición de cuerpo, $(K,+)$ es grupo abeliano, y podemos considerar el producto por escalares $\cdot :F\times K\longrightarrow K$ como una restricción a $F\times K$ del producto en $\cdot :K\times K\longrightarrow K$. De esta forma es inmediato que se cumple que:
* $a\cdot (\alpha +\beta )=(a\cdot \alpha )+(a\cdot \beta )$,
* $(a+b)\cdot \alpha =(a\cdot \alpha )+(b\cdot \alpha )$,
* $(a\cdot (b\cdot \alpha ))=(a\cdot b)\cdot \alpha$,
* $1\cdot \alpha =\alpha$,
cualesquiera que sean $a,b\in F$ y $\alpha ,\beta \in K$. Las dos primeras propiedades son debidas a la distributividad del producto respecto de la suma en $K$ y a que $F\subseteq K$, la tercera se debe a que el producto es asociativo en $K$, y la cuarta se debe a que $F$ es subcuerpo de $K$, por lo que el elemento unidad de $K$ es el elemento unidad de $F$.

## Extensión simple

Sea $K/F$ una extensión de cuerpos y $\alpha \in K$, consideremos el conjunto $F(\alpha ){\overset {\triangle }{=}}\left\{{\frac {f(\alpha )}{g(\alpha )}}\ {\Big |}\ f,g\in F[x],\ g(\alpha )\neq 0\right\}$. Este conjunto es un cuerpo, es extensión de $F$ y subcuerpo de $K$, y de hecho es la menor extensión de $F$ que contiene a $\alpha$. Se le denomina extensión generada por $\alpha$ sobre $F$. Al estar generada por un solo elemento, hablamos de una extensión simple.

## Extensiones algebraicas y trascendentes
### Teorema de Kronecker.

* Sea $F$ un cuerpo y $p(x)\in F[x]$ un polinomio irreducible en el anillo de polinomios sobre $F$, entonces existe alguna extensión $K/F$ de forma que $p(x)$ tiene alguna raíz en $K$.
Demostración:
La extensión $K$ se puede construir como $K:=F[x]/\langle p(x)\rangle$, es decir, el anillo de polinomios con coeficientes en $F$ módulo el ideal generado por $p(x)$. Vamos a ver que cumple todos los requisitos: que es un cuerpo, una extensión de $F$ y que contiene un elemento que es raíz de $p$.
Veamos que es un cuerpo. Como $p(x)\in F[x]$ es irreducible y $F[x]$ es un dominio de ideales principales, el ideal $\langle p(x)\rangle \subseteq F[x]$ generado por $p(x)$ es maximal. Como $\langle p\rangle$ es maximal, el cociente $F[x]/\langle p\rangle$ es un cuerpo, como queríamos.
Para ver que es una extensión de $F$, basta encontrar un subcuerpo de $K$ isomorfo a $F$ o simplemente un morfismo inyectivo $F\hookrightarrow K$ (pues su conjunto imagen será un subcuerpo de $K$ isomorfo a $F$ por el segundo teorema de isomorfía). Un tal morfismo es el que manda cada $\alpha \in F$ a la clase de equivalencia del polinomio constante igual a $\alpha$, es decir, $\alpha \mapsto [\alpha ]$. Este es claramente un morfismo y es inyectivo como todo morfismo de cuerpos.
Por último, encontremos un elemento de $K$ que es raíz de $p$. Ese elemento es $[x]\in {F[x]}/{\langle p\rangle }$, la clase de equivalencia del polinomio $x\in F[x]$. En efecto, como $[f(x)+g(x)]=[f(x)]+[g(x)]$ y $[f(x)g(x)]=[f(x)][g(x)]$ para cualesquiera polinomios $f,g\in F[x]$ (por definición de anillo cociente), tenemos que para cualquier polinomio $f(x)=\sum a_{i}x^{i}\in K[x]$ se tiene que $f([x])=\sum a_{i}[x]^{i}=\left[\sum a_{i}x^{i}\right]=[f(x)]$. En particular, obtenemos que $p([x])=[p(x)]=[0]$, como queríamos. $\quad \square$

### Homomorfismo evaluación

La función $\Phi _{\alpha }:F[x]\longrightarrow F(\alpha )$ que a cada polinomio $p(x)\in F[x]$ le hace corresponder su evaluación en $\alpha$, i. e., $\Phi _{\alpha }(p)=p(\alpha )$. Esta aplicación es de hecho un isomorfismo de anillos conmutativos y unitarios, y se denomina homomorfismo evaluación.

### Extensión algebraica

Una extensión $K/F$ se dice que es algebraica si todo elemento $\alpha \in K$ es algebraico sobre $F$.

#### Elementos algebraicos

Supongamos que existe algún polinomio $p\in F[x]$ que tiene a $\alpha$ por raíz.
En esta situación ($\ker \Phi _{\alpha }\neq \{0\}$, o equivalentemente, existe algún $p\in F[x]$ irreducible con $F[x]/{\langle p\rangle }\cong F(\alpha )$) se dice que $\alpha$ es algebraico sobre $F$.
Un elemento es entonces algebraico sobre un cuerpo si y solo si es raíz de algún polinomio a coeficientes en dicho cuerpo.
Si $\alpha$ es un elemento algebraico sobre el cuerpo $F$ de manera que $\alpha \notin F$, el polinomio $p$ que genera al núcleo de la aplicación evaluación (i.e., $\ker \Phi _{\alpha }=\langle p\rangle$) es irreducible. Dividiendo $p(x)$ por su coeficiente principal (aquel escalar que multiplica a la mayor potencia de la variable $x$) se obtiene un polinomio mónico (es decir, de manera que su coeficiente principal es la unidad), que se denota por ${\text{Irr}}(\alpha ,x,F)$ y se denomina polinomio mínimo de $\alpha$ sobre $F$.
Claramente, $F(\alpha )\cong F[x]/\langle {\text{Irr}}(\alpha ,x,F)\rangle$.

### Extensión trascendente

Una extensión $K/F$ se dice que es trascendente si existe algún elemento $\alpha \in K$ que sea trascendente sobre $F$.

#### Elementos trascendentes

Si el ker del homomorfismo evaluación es$\ker \Phi _{\alpha }=\{0\}$, será $\Phi _{\alpha }$ un monomorfismo. En ese caso, $F(x)$ (el cuerpo de fracciones de $F$) es isomorfo a $F(\alpha )$.
Se dirá que el elemento $\alpha$ es trascendente sobre $F$ y que $F(\alpha )$ es una extensión trascendente sobre $F$. Además, no existirá ningún polinomio con coeficientes en $F$ que tenga por raíz a $\alpha$; es decir, si $p(x)\in F[x]$, entonces $p(\alpha )\neq 0$.

## Grado de una extensión

Como todo espacio vectorial tiene base, podemos calcular la dimensión de $K$ como espacio vectorial sobre $F$, denotado por $\operatorname {dim} _{F}(K)$. Se denomina grado de la extensión $K/F$ a la dimensión de $K$ como $F$-espacio vectorial: $[K:F]=\operatorname {dim} _{F}(K)$.
Tomemos varios ejemplos:
$F=\mathbb {Q}$ el cuerpo de los racionales y $K=\mathbb {R}$ el cuerpo de los reales; $\mathbb {R}$ visto como espacio vectorial sobre $\mathbb {Q}$, es de dimensión infinita, es decir, $[\mathbb {R} :\mathbb {Q} ]=\infty$.
El resultado no sorprende si se considera los cardinales de ambos conjuntos: Si la dimensión de $\mathbb {R}$ sobre $\mathbb {Q}$ fuese finita, $\mathbb {R}$ sería isomorfo a $\mathbb {Q} ^{n},n\in \mathbb {N}$, lo que no es posible porque $|\mathbb {Q} ^{n}|=|\mathbb {Q} |=|\mathbb {N} |<|\mathbb {R} |$.
Si $F=\mathbb {Q}$, el cuerpo de los racionales y $K=\mathbb {Q} ({\sqrt {2}})$, el menor cuerpo que contiene a la vez $\mathbb {Q}$ y ${\sqrt {2}}$, claramente $\mathbb {Q} ({\sqrt {2}})$ es una extensión algebraica de $\mathbb {Q}$, ya que ${\sqrt {2}}$ es raíz del polinomio $x^{2}-2$.
Al mismo tiempo:
$\mathbb {Q} ({\sqrt {2}})\cong \mathbb {Q} [x]/\langle x^{2}-2\rangle$
ya que el ideal $\langle x^{2}-2\rangle$ es el núcleo del morfismo $\Phi _{\sqrt {2}}:\mathbb {Q} [x]\longrightarrow \mathbb {Q} ({\sqrt {2}})$, claramente este es un morfismo suprayectivo, se sigue del primer teorema de isomorfismo que son campos isomorfos.
Además $[\mathbb {Q} ({\sqrt {2}}):\mathbb {Q} ]=2$, es decir, la dimensión de $\mathbb {Q} ({\sqrt {2}})$ como espacio vectorial sobre $\mathbb {Q}$ es 2, esto es así ya que 2 es el grado del polinomio mónico e irreducible que tiene a ${\sqrt {2}}$ como raíz: $x^{2}-2$.
En general $[F(\alpha ):F]=n$ si $n$ es el grado del polinomio mónico e irreducible en $F[x]$ que tiene a $\alpha$ como raíz.