# Cero elevado a cero

Cero elevado a cero (denotado 0$^0$) es una expresión matemática que se define como 1 o se deja indefinida, dependiendo del contexto. En álgebra y combinatoria, se suele definir como 1. En análisis matemático, a veces no se define. Los lenguajes de programación y los programas de ordenador también tienen formas diferentes de tratar esta expresión.

## Exponentes enteros

Muchas fórmulas ampliamente utilizadas que implican exponentes de números naturales requieren que 0$^0$ se defina como 1. Por ejemplo, las tres interpretaciones siguientes de b$^0$ tienen tanto sentido para b = 0 como para los enteros positivos b:
* La interpretación de b$^0$ como producto vacío le asigna el valor 1;
* la interpretación combinatoria de b$^0$ es el número de 0-tuplas de elementos de un conjunto de b-elementos; hay exactamente una 0-tupla;
* la interpretación en teoría de conjuntos de b$^0$ es el número de funciones del conjunto vacío a un conjunto de b-elementos; existe exactamente una función de este tipo, a saber, la función vacía.
Los tres se particularizan en dar 0$^0$ = 1.

## Polinomios y series de potencias

Al evaluar polinomios, es conveniente definir 0$^0$ como 1. Un polinomio (real) es una expresión de la forma a$_0$x$^0$ + ⋅⋅⋅ + a$_n$x$^n$, donde x es una indeterminada, y los coeficientes a$_i$ son números reales. Los polinomios se suman por términos y se multiplican aplicando la ley distributiva y las reglas habituales para los exponentes. Con estas operaciones, los polinomios forman un anillo R[x].

## Exponentes continuos

Los límites que involucran operaciones algebraicas a menudo pueden ser evaluadas reemplazando las variables por sus límites. Si la expresión resultante no determina el límite, la expresión es conocida como una forma indeterminada. De hecho, cuándo$f(t)$ y $g(t)$ son funciones reales ambas con límite 0 cuando $t$ tiende a infinito y $f(t)>0$, la función $f(t)^{g(t)}$ no necesariamente se acerca a 1 cuando $f(t)$ y $g(t)$ tienden a 0. En ese caso, el límite de $f(t)^{g(t)}$ puede ser cualquier número real o puede divergir. Por ejemplo, las funciones de más abajo son de la forma $f(t)^{g(t)}$ con $f(t)\to 0$ y $g(t)\to 0$ cuando $t\to 0^{+}$pero los límites son diferentes:
       $\lim _{t\to 0^{+}}{t}^{t}=1,$
       $\lim _{t\to 0^{+}}\left(e^{-{\frac {1}{t^{2}}}}\right)^{t}=0,$
       $\lim _{t\to 0^{+}}\left(e^{-{\frac {1}{t^{2}}}}\right)^{-t}=+\infty ,$
       $\lim _{t\to 0^{+}}\left(e^{-{\frac {1}{t}}}\right)^{at}=e^{-a}.$
Así, la función de dos variable $x^{y}$ es continua en el dominio$\{(x,y):x>0\}$ pero no se puede extender como función continua el dominio $\{(x,y):x>0\}\cup \{(0,0)\}$. Aun así, bajo ciertas condiciones, como cuándo $f$ y $g$ son ambas funciones analíticas en cero y $f$ es positiva en el intervalo abierto $(0,b)$ para algún positivo $b$, el límite por la derecha en 0 siempre es 1.

## Exponentes complejos

En los números complejos, la función $z^{w}$ puede ser definida para $z$ no nulo eligiendo una rama de $\operatorname {log} \,z$ y definiendo $z^{w}$ como $e^{w\operatorname {log} \,z}$. Esto no define $0^{w}$ puesto que no hay ninguna rama de $\operatorname {log} \,z$ definida en 0.

## La historia de $0^{0}$desde diferentes puntos de vista

El debate sobre la definición de $0^{0}$ viene desde al menos desde comienzos del siglo XIX. En aquel tiempo, la mayoría de los matemáticos estaba de acuerdo en que $0^{0}=1$, hasta que en 1821 Cauchy listó $0^{0}$ junto con las expresiones del tipo ${\frac {0}{0}}$ en la tabla de formas indeterminadas. En el año 1830 en el Guglielmo Libri Carucci dalla Sommaja publicó un argumento poco convincente de que $0^{0}=1$, y Möbius a la par, erróneamente afirmó que $\lim _{t\to 0^{+}}f(t)^{g(t)}=1$ siempre y cuando $\lim _{t\to 0^{+}}f(t)=\lim _{t\to 0^{+}}g(t)=0$. Un comentarista quien firmó su nombre sencillamente tan solo con "S" proporcionó un contraejemplo con la función $(e^{-1/t})^{t}$, y esto calmó el debate por algún tiempo. Más detalles históricos pueden encontrarse en Knuth (1992).
Autores más recientes interpretan la situación de diferentes maneras:
* Algunos argumentan que el valor más adecuado para $0^{0}$ depende del contexto. Según Benson (1999), "La elección de como definir $0^{0}$ está basada en la conveniencia, no en la exactitud. [...] El consenso es utilizar la definición $0^{0}=1$, a pesar de que hay libros de texto que creen que es conveniente no establecer una definición."
* Otros argumentan que $0^{0}$ debería ser definido como 1. Knuth (1992) afirma fuertemente que $0^{0}$ "tiene que ser 1", resaltando una distinción entre el valor $0^{0}$, el cual tiene que ser igual a 1, de acuerdo a lo dicho por Libri, y la forma límite $0^{0}$ (una abreviatura para un límite de $f(x)^{g(x)}$ cuando $f(x),g(x)\to 0$ ), la cual es necesariamente una forma indeterminada como fue dicho por Cauchy: "Ambos Cauchy y Libri dijeron lo correcto, pero Libri y sus defensores no entendieron por qué la verdad estaba de su lado." Vaughn da muchos ejemplos de teoremas cuyos enunciados requieren que $0^{0}=1$ para ser expresados en forma sencilla.